INVESTIGACIÓN OPERACIONES

Mg. Paul Linares OrtegaIngeniero Industrial

UNIDAD IPROGRAMACION LINEAL Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Método Gráfico de Solución de los problemas de Programación lineal

FORMAS DE PRESENTACIÓN DE MODELOSProgramación Lineal

1. Forma canónica de un programa linealSerá de forma canónica si el objetivo es maximizar una función lineal sujeto a restricciones exclusivamente de la forma "menor igual que" y las variables de decisión solamente admiten valores no negativos.

Zmax = 2X1 + 5X2 + X3 Sujeto a:2X1 + 3X2 + X3 ≤ 18

X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 205X1 + X2 + 4X3 ≤ 40

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0

2. Forma estandarizada de un programa linealSerá de forma estandarizada si el objetivo es maximizar una función sujeto a restricciones exclusivamente de la forma "igual que" y las variables de decisión sólo admiten valores no negativos.

Zmax = 7X1 + 9X2 + X3 Sujeto a: 3X1 + X2 + 6X3 = 100

X1 + 8X3 = 60 4X1 + 2X2 + X3 = 40

X1, X2, X3 ≥ 0

3. Forma mixta de un programa lineal Esta forma mixta, cuando la función objetivo es la maximización o la minimización de una función lineal sujeto a restricciones de la forma "menor o igual que" , "igual que" ó "mayor ó igual que" y las variables de decisión sólo admiten valores no negativos.

Zmax = 4X1+ 7X2 Sujeto a: 6X1 + X2 ≤ 10

X1 + 8X2 = 60 X1+ 20X2 ≥ 200

X1, X2 ≥ 0

MÉTODOS DE PROGRAMACION LINEAL

Existen tres métodos para resolver problemas de programación lineal:

Método geométrico o gráfico:Tiene un valor práctico limitado pero es de gran utilidad para visualizar los conceptos de la programación lineal.

Método algebraico:Muchos califican al método algebraico, como uno de los métodos más importantes en el campo de la programación lineal

Método simplex: Es utilizado para resolver cualquier problema de programación lineal.

MÉTODO GEOMÉTRICO O GRÁFICO

Un problema de programación lineal puede ser resuelto en forma gráfica o en forma analítica.

El método gráfico, tiene la virtud de ser fácilmente comprensible y además permite visualizar algunas propiedades de un programa lineal. Sin embargo, desde el punto de vista práctico, el método gráfico no es aplicable, por cuanto está limitado a programas que tengan un máximo de dos variables, y por otro lado, los problemas prácticos de programación lineal, normalmente tienen decenas, centenas e incluso miles de variables, lo cual implica la necesidad de usar métodos analíticos.

Por lo tanto, el método gráfico consiste en delinear sobre el primer cuadrante (debido a la condición de no negatividad) la región de soluciones factibles, y luego graneando sobre ella la función objetivo, se ubica el programa o programas óptimos.

El método grafico ha sido desarrollado para demostrar cómo un problema industrial dado puede expresar en forma matemática y hallar su solución optima.

Sin embargo, en las aplicaciones prácticas, este método es poco empleado, ya que admite el análisis de solo dos productos, desde el momento que se trabaja en un plano o espacio de dos dimensiones.

DEFINICIONES IMPORTANTES

• Región factible:Es aquella que cumple con todas las restricciones y condiciones de no negatividad.

• Solución factible:Es cualquier punto situado en la región factible.

RegiónFactible

• Solución Básica:Es aquella que se encuentra en la intercepción de las rectas o en la intercepción con los ejes coordenado.

• Solución básica factible:Es una solución básica que pertenece a la región factible.

PROPIEDADES DE UNA SOLUCION OPTIMA

Para hallar una solución de un problema de programación lineal a través del método grafico, es necesario ejecutar ciertos pasos:1.- Hallar la región factible2.- Hallar el punto a los puntos óptimos sobre la región factibleLa solución óptima de un problema de programación lineal goza de ciertas propiedades, cuya aplicación facilita la tarea del calculo del punto o puntos óptimos. Teorema 1:El conjunto de todas las restricciones factibles al problema de programación lineal es un conjunto convexo.Teorema 2:La función objetivo alcanza su máximo o mínimo en un punto extremo del conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones factibles al problema de programación lineal.

.

PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN

Una empresa produce dos productos 1 y 2. El proceso de producción es similar para cada uno de ellos, ambos necesitan un cierto número de horas de trabajo en los diferentes departamentos de electrónica y ensamblaje.Para producir el producto 1 se requieren 4 horas de trabajo en el Dpto. de electrónica y 2 horas de trabajo en el Dpto. de ensamblaje. Para producir el producto 2 se requieren 3 horas de trabajo en el Dpto. de electrónica y 1 horas de trabajo en el Dpto. de ensamblaje.Durante le periodo de producción, están disponibles 240 horas en el Dpto. de electrónica y 100 horas en el Dpto. de ensamblaje. El producto 1 aporta una utilidad de S/ 7.00 y el producto 2 una utilidad de S/. 5.00.Determinar el número de unidades a producir de 1 y 2 de manera que se obtenga la máxima utilidad.

DptosProductos Horas

Disponibles1 2

Electrónica 4 3 240

Ensamblaje 2 1 100

Utilidad S/. 7 S/. 5

X1 = Numero de unidades a producir del producto 1

VARIABLES DE DECISION

X2 = Número de unidades a producir del producto 2

Dpto. Electrónica 4X1 + 3X2 ≤ 240

Dpto. Ensamblaje 2X1 + X2 ≤ 100

X1, X2 ≥ 0

RESTRICCIONES

CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD

FUNCION OBJETIVO

Zmax = 7X1 + 5 X2

Eje X2

Eje X1

100

80

60

40

20

20 40 60 80 1000

4X1 + 3X2 =240

2X1 + X2 =100

Región Factible

Método para seleccionar el Punto Optimo, es decir aquel punto que genera mayor utilidad a la función objetivo.

1.- Método del Punto de la Esquina

2.- Método de Iso-Utilidad

Eje X2

Eje X1

100

80

60

40

20

20 40 60 80 1000

4X1 + 3X2 =240

2X1 + X2 =100

Región Factible

1

2

3

4

Método Punto de la Esquina

Solución con Winqsb

Solucionar : Zmax = 5X1 + 3X2

Sujeto a: 3X1 + 5X2 ≤ 15 5X1 + 2X2 ≤ 10

X1, X2 ≥ 0

PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN

Dos fabricas de papel producen 3 tipos de diferentes de papel; de bajo gramaje, medio gramaje y alto gramaje.Se tiene un contrato de venta para proveer: 16 Ton de bajo gramaje,5 Ton de medio gramaje y 20 Ton de alto gramaje.Los costos de operación son de S/. 1,000 para la 1ra fabrica y S/. 2,000 para la 2da fabrica.La 1ra fabrica produce 8 Ton de bajo gramaje, 1 Ton de medio gramaje y 2 Ton de alto gramaje.

La 2da fabrica produce 2 Ton de bajo gramaje, 1 Ton de medio gramaje y 7 Ton de alto gramaje.

¿Cuántos días debe trabajar cada fabrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de venta en la forma más económica?

Tipos de Papel Fabricas

Toneladas1ra 2da

Bajo Gramaje 8 2 16

Medio Gramaje 1 1 5

Alto Gramaje 2 7 20

Costo S/. 1,000 S/. 2,000

X1 = Numero de días de trabajo de la 1ra fabrica.

VARIABLES DE DECISION

X2 = Numero de días de trabajo de la 2da fabrica

Zmin = 1000X1 + 2000X2

Bajo gramaje 8X1 + 2X2 ≥ 16 Medio gramaje X1 + X2 ≥ 5 Alto gramaje 2X1 + 7X2 ≥ 20

X1, X2 ≥ 0

RESTRICCIONES

CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD

FUNCION OBJETIVO

Eje x2

Eje x1

10

8

6

4

2

2 4 6 8 100

X1 + X2 =5

8X1 + 2X2 =16

2X1 + 7X2 =20

Región Factible

Método para seleccionar el Punto Optimo, es decir aquel punto que genera mayor utilidad a la función objetivo.

1.- Método del Punto de la Esquina

2.- Método de Iso-Utilidad

Eje x2

Eje x1

10

8

6

4

2

2 4 6 8 100

X1 + X2 =5

8X1 + 2X2 =16

2X1 + 7X2 =20

Región Factible

1

2

3

4

Método Punto de la Esquina

Solución con Winqsb

Solucionar : Zmin = X1 + 3X2

Sujeto a: 6X1 + 3X2 ≥ 8 2X1 + 9X2 ≥ 3

X1, X2 ≥ 0

PROBLEMAS ESPECIALES

5.- Resolver el siguiente problema:

Zmax = 100X1 + 90X2

Sujeto a:

6X1 + 4X2 ≥ 24 20X1 + 8X2 ≤ 160

3X1 + 5X2 ≥ 15 X2 ≤ 5 X1, X2 ≥ 0

6.- Resolver el siguiente problema:

Zmin = 2X1 + 3X2

Sujeto a:

X1 + X2 ≤ 4 6X1 + 2X2 ≥ 8

X1 + 5X2 ≥ 4 X1 ≤ 3 X2 ≤ 3

X1, X2 ≥ 0

CASOS EXCEPCIONALES EN MÉTODO GRÁFICO

Hasta aquí hemos desarrollado una representación gráfica de modelos de programación lineal con dos vértices de decisión. Esta representación nos ha servido de base para resolver el modelo y ha dado como resultado la conclusión de que “ si existe una solución óptima, siempre habrá por lo menos una solución única en un vértice”, es decir la SOLUCIÓN IDEAL, sin embargo existen una variedad de problemas diferentes al ideal que vale la pena analizar:

1.- SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE2.- SOLUCIÓN ÓPTIMA NO ACOTADA3.- SOLUCIÓN INFACTIBLE4.- SOLUCIÓN REDUNDANTE O SOBRANTE

SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE

Una de las variantes que puede presentar un ejercicio de programación lineal consiste en la cantidad de soluciones óptimas, gran cantidad de ellos presenta más de una solución óptima, es decir una solución en la cual la función objetivo es exactamente igual en una combinación cuantitativa de variables diferente.

Estos problemas deben de afrontarse de tal manera que prime el Análisis de Sensibilidad.

• La ebanistería "SALAZAR LTDA" ha recibido una gran cantidad de partes prefabricadas para la elaboración de mesas, sin embargo no ha podido iniciar un plan de producción enfocado a estas por la alta demanda que tiene de sus productos restantes. Las mesas que pueden elaborarse de las partes prefabricadas son de dos modelos, modelo A y B, y estas no requieren más que ser ensambladas y pintadas. Esta semana se ha determinado dedicar 10 horas de ensamble y 8 de pintura para elaborar la mayor cantidad de mesas posibles teniendo en cuenta que cada mesa modelo A requiere de 2 horas de ensamble y 1 de pintura respectivamente, y que cada mesa modelo B requiere de 1 hora de ensamble y 2 de pintura respectivamente. Si el margen de utilidad es de $20,000 por cada mesa modelo A y $10,000 por cada mesa modelo B. Determine el modelo adecuado de producción para esta semana.

SOLUCIÓN ÓPTIMA NO ACOTADA

Otra de las variantes que presentan los modelos de programación lineal corresponde a los modelos de solución óptima no acotada, es decir problemas con infinitas soluciones óptimas.

Gran parte de estos problemas se deben a un mal planteamiento de las restricciones.

• La compañía comercializadora de bebidas energéticas "CILANTRO SALVAJE" se encuentra promocionando dos nuevas bebidas, la tipo A y la tipo B, dado que se encuentran en promoción se puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de demanda, sin embargo existen 2 políticas que la empresa debe tener en cuenta. Una de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A que se vendan no puede ser menor que las de tipo B, y la segunda es que se deben de vender por lo menos 1,500 bebidas de cualquier tipo. Dado que se encuentran en promoción el precio de venta de ambas bebidas equivale a $1,800 . Determine la cantidad de unidades que deben venderse.

SOLUCIÓN INFACTIBLE

El caso de la solución infactible es más típico de lo pensado, y corresponde a los casos en los cuales no existen soluciones que cumplen con todas las restricciones.

• La compañía de galletas "CAROLA" desea planificar la producción de galletas que tendrá que entregar a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la compañía "CAROLA" se compromete a entregar por lo menos 300 cajas de galletas cualquiera sea su tipo (presentación D, presentación N o una combinación de ambas presentaciones), cada caja de galletas presentación D tiene un tiempo de elaboración de 2 horas, y un tiempo de horneado de 3 horas, mientras cada caja de presentación N tiene un tiempo de elaboración de 3 horas y un tiempo de horneado de 1 hora. La compañía cuenta estas dos semanas con 550 horas para elaboración y con 480 horas de horneado. Teniendo en cuenta que el margen de utilidad de cada caja de galletas presentación D y N es de $8,500 y $8,100 respectivamente.Determine mediante un modelo de programación lineal el plan de producción que maximice las utilidades.

SOLUCIÓN REDUNDANTE O SOBRANTE

Existen en los modelos de programación lineal un tipo de restricciones que no juegan rol alguno en la determinación del conjunto solución (de igual manera en la solución óptima), lo que lleva a deducir que estas son redundantes o sobrantes.

• La compañía "CONGELADORES MAJO" pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores tipo A requieren 2 horas de ensamblaje, 3 kg de pintura y 4 horas de control de calidad; los congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen contributivo por cada congelador tipo A y B es de $102,000 y $98,000 respectivamente. La compañía dispone como máximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840 kg de pintura y 450 horas de control de calidad. Con base en la información suministrada determine las unidades a producir semanalmente de cada referencia para maximizar las utilidades.

LABORATORIO