ELECTIVO MATEMÁTICO:

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Medidas de Posición

Parte I

Docente: Montserrat I. Guerrero Barra

Cursos: 3ero Medio A – B, 4to Medio

Temuco, Julio de 2020

Tiempo

(Minutos)

Marca de

Clase 𝑪𝒊

Frecuencia

Absoluta 𝒇𝒊

Frecuencia

Absoluta

Acumulada

Frecuencia

Relativa

Frecuencia

Relativa

Acumulada

[0 – 5) 2,5 5 5 10% 10%

[5 – 10) 7,5 10 15 𝟐𝟎% 30%

[10 – 15) 12,5 15 30 30% 𝟔𝟎%

[15 – 20) 17,5 5 35 10% 70%

[20 – 25) 22,5 5 40 10% 80%

[25 – 30) 27,5 10 50 20% 100%

Límites del Intervalo

Para el 𝐼3 el dato 15 corresponde a su Límite Superior 𝑳𝑺𝟏 y

el dato 10 corresponde a su Límite Inferior 𝑳𝑰𝟏

Frecuencia Relativa Acumulada

Es la suma de la Frecuencia Relativa

de cada dato con la Frecuencia

Relativa Acumulada del dato anterior.

Frecuencia Relativa

Cociente entre la frecuencia absoluta de cada dato y el tamaño de la

muestra. Se puede expresar como decimal, fracción o porcentaje

Significa que:

“La estatura del 20% de los

estudiantes tardan entre 5 y 10

minutos en llegar al liceo”

Significa que:

“El 60% de los estudiantes

tardan menos de 15 minutos

en llegar al liceo”

Definiciones Previas: Tabla de Frecuencia para datos agrupados

Variable Estadística

En este caso, la variable de estudio se compone por 6 estados

o categorías, cada una representada por un intervalo diferente.

Al graficar la frecuencia relativa acumulada en un Polígono de Frecuencia Acumulada, también

conocido como Ojiva Porcentual, resultaría el siguiente grafico:

Tiempo

(Minutos)

Frecuencia

Relativa

Acumulada

[𝟎 – 𝟓) 𝟏𝟎%

[𝟓 – 𝟏𝟎) 𝟑𝟎%

[𝟏𝟎 – 𝟏𝟓) 𝟔𝟎%

[𝟏𝟓 – 𝟐𝟎) 𝟕𝟎%

[𝟐𝟎 – 𝟐𝟓) 𝟖𝟎%

[𝟐𝟓 – 𝟑𝟎) 𝟏𝟎𝟎%

En el eje horizontal va el límite superior de cada intervalo de la variable estadística.

Y en el eje vertical va una escala porcentual, de modo que permita graficar y visualizar de la mejormanera las Frecuencias Relativas Acumuladas de cada límite superior.

Tiempo

(Minutos)

Frecuencia

Relativa

Acumulada

[𝟎 – 𝟓) 𝟏𝟎%

[𝟓 – 𝟏𝟎) 𝟑𝟎%

[𝟏𝟎 – 𝟏𝟓) 𝟔𝟎%

[𝟏𝟓 – 𝟐𝟎) 𝟕𝟎%

[𝟐𝟎 – 𝟐𝟓) 𝟖𝟎%

[𝟐𝟓 – 𝟑𝟎) 𝟏𝟎𝟎%

Interpretación de la frecuencia relativa acumuladaPara interpretar los valores de esta frecuencia, es comúnutilizan conceptos como: “a lo más”, “como máximo”,“menos de”, entre otros.

La Frecuencia Relativa Acumulada permite visualizar laposición que tiene cierto porcentaje de la muestra contenidodesde el primer estado de la variable hasta un determinadoestado posterior.

Ejemplos• El 30% de los estudiantes tarda cómo máximo 10 minutos en llegar al liceo

desde sus hogares.• El 60% de los estudiantes tarda a lo más 15 minutos en llegar al liceo desde

sus hogares.

Las Medidas de Posición se interpretan de la misma forma que la FrecuenciaRelativa Acumulada, con la diferencia de que dependiendo de la medida quese utilice, se abordarán porcentajes específicos de la distribución.

Medidas de Posición MP

Dividen un conjunto de datos en grupos con igual cantidad de datos, de modo que entre cada grupo hay una medida de posición.

Percentiles 𝑃𝑖

Divide los datos en 100 grupos

Los percentiles son

𝑃1 = 1%

𝑃2 = 2%

𝑃3 = 3%

…

Cuartiles 𝐶𝑖

Divide los datos en 4 grupos

Los cuartiles son:

𝐶1 = 25%,

𝐶2 = 50%

𝐶3 = 75%

Quintiles 𝑄𝑖

Divide los datos en 5 grupos

Los quintiles son:

𝑄1 = 20%,

𝑄2 = 40%

𝑄3 = 60%

…

Deciles 𝐷𝑖

Divide los datos en 10 grupos

Los deciles son

𝐷1 = 10%

𝐷2 = 20%

𝐷3 = 30%

…

Recordar:

El segundo cuartil 𝐶2 = 50% representa la mediana de la distribución y por lo tanto ambas se obtiene de la misma

manera. Ver PPT Medias de Tendencia Central, diapositiva 6.

Sea la siguiente distribución: 10, 15, 12, 15, 10, 16, 10, 10, 11, 14, 15. Para obtener estas MP, es necesario tener presente:

1. Los datos se deben ordenar de forma creciente: 10, 10, 10, 10, 11, 12, 14, 15, 15, 15, 16

2. Ya ordenados, es necesario indicar la posición que tiene cada dato dentro de la distribución. Esto se realizará con lanotación 𝒙𝒊, donde el segundo dato es 𝑥2, el tercer dato es 𝑥3, el octavo dato es 𝑥8, etc.

10 10 10 10 11 12 14 15 15 15 16

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏

Cuartiles en distribuciones sin agrupar (con cantidad impar de datos)

Ya realizados lo anterior, primero se busca el 𝑄2 (mediana), cuya posición se ubica al centro de la distribución.

Por lo tanto, el segundo cuartil ocupa la sexta posición 𝒙𝟔 y corresponde al dato 𝑄2 = 12.

Posteriormente, para hallar 𝑄1 y 𝑄3 se ubican los datos centrales a ambos lados de la distribución:

Finalmente, 𝑄1 y 𝑄3 ocupan la tercera y novena posición, 𝒙𝟑 y 𝒙𝟗 respectivamente y son los datos 𝑄1 = 10 y 𝑄3 = 15.Notar que la distribución quedó dividida en 4 grupos con 2 datos cada uno y entre cada grupo hay un cuartil

10 10 10 10 11 12 14 15 15 15 16

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏

10 10 10 10 11 12 14 15 15 15 16

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏

Cuartiles en distribuciones sin agrupar (con cantidad par de datos)

Una vez que ya se ordenó la distribución de forma creciente y se indicó la posición de cada dato, se busca el 𝑄2(mediana), cuya posición se ubica al centro de la distribución.

10 10 10 10 11 12 14 15 15 15 16 16 16 17

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟏𝟒

10 10 10 10 11 12 14 14,5 15 15 15 16 16 16 17

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝑄2 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟏𝟒

Nota:

Por ahora solamente se abordarán distribuciones con cantidad de datos baja, de modo que permitan calcular las MP sin la

necesidad de aplicar fórmula. Por lo mismo, trabajaremos solo con cuartiles y quintiles, ya que no tiene sentido buscar

percentiles o deciles en distribuciones con bajas cantidades de datos.

La interpretación de las MP es la misma que se realiza al interpretar la frecuencia relativa acumulada, ver diapositiva 4.

Como existen dos datos centrales (𝒙𝟕 y𝒙𝟖), el segundo cuartil es el promedioentre ambos datos 𝑄2 = 14,5.

Finalmente, 𝑄1 y 𝑄3 ocupan la cuarta y onceava posición, 𝒙𝟒 y 𝒙𝟏𝟏 respectivamente y son 𝑄1 = 10 y 𝑄3 = 16Notar que la distribución quedó dividida en 4 grupos con 3 datos cada uno y entre cada grupo hay un cuartil.

Posteriormente, para hallar 𝑄1 y 𝑄3 seubican los datos centrales a amboslados de la distribución:

Quintiles en distribuciones sin agrupar (con cantidad par de datos)

Los quintiles ocupan las posiciones 𝒙𝟑, 𝒙𝟔, 𝒙𝟗 y 𝒙𝟏𝟐 y corresponden a 𝑄1 = 10, 𝑄2 = 13, 𝑄3 = 15 y 𝑄4 = 16 respectivamente.

10 10 10 11 11 13 14 15 15 16 16 16 17 18

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟏𝟒

Una vez ordenada la distribución crecientemente y ya

indicada la posición de cada dato, de la siguiente forma:

Se divide la cantidad total de datos en 5. Es este caso

14 ∶ 5 = 2 con resto 4. El resultado de la división 2

indica la cantidad de datos en cada grupo y entre cada

grupo hay un quintil. Con lo anterior, la distribución

quedaría de la siguiente forma:

10 10 10 11 11 13 14 15 15 16 16 16 17 18

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟏𝟒

Quintiles en distribuciones sin agrupar (con cantidad impar de datos)

El procedimiento es idéntico al anterior, en este caso la distribución tiene 19 datos. Al dividir en 5 obtenemos 19 ∶ 5 = 3 con

resto 4. Por lo tanto cada grupo contiene 3 datos y entre cada grupo hay un quintil. Con lo anterior, la distribución quedaría de

la siguiente forma:10 10 10 10 11 11 12 12 14 15 15 15 16 16 16 16 17 18 18

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟏𝟒 𝒙𝟏𝟓 𝒙𝟏𝟔 𝒙𝟏𝟕 𝒙𝟏𝟖 𝒙𝟏𝟗

Los quintiles ocupan las posiciones 𝒙𝟒, 𝒙𝟖, 𝒙𝟏𝟐 y 𝒙𝟏𝟔 y corresponden a 𝑄1 = 10, 𝑄2 = 12, 𝑄3 = 15 y 𝑄4 = 16 respectivamente.

Paso 1: Identificar el dato mínimo, 𝑪𝟏, 𝑪𝟐, 𝑪𝟑 y dato máximo:

Paso 2: Ubicar los valores en una recta numérica.

Construcción de un Gráfico de Caja y Bigote

El propietario de una pizzería desea averiguar cuánto tiempo demoran las entregas de sus pizzas en los horariosde alta demanda. Para lograrlo, registró la cantidad de minutos que demoraron 45 entregas seleccionadas al azar.A partir de los siguientes datos, los pasos para construir un diagrama de caja son:

Mín 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑 Máx

6 14 24 36 40

Paso 3: Construir un rectángulo cuyo extremo izquierdo sea el 𝑪𝟏 y su extremo derecho sea 𝑪𝟑

𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑

𝑪𝟏 𝑪𝟑

Paso 4: Marca dentro del rectángulo la posición de 𝑪𝟐. Además, marca las posiciones del dato máximo y eldato mínimo y únelas mediante una línea al rectángulo.

Paso 5: Finalmente, añade el título del gráfico y del eje numérico. Debe quedar de la siguiente forma:

𝑪𝟐

Identificación elementos de un Gráfico de caja y bigote

Se realizó una encuesta para registrar la estatura de los niños de 12 años de un colegio. A partir de estos datos

se confeccionó el siguiente diagrama de cajón.

Paso 1:

Identificar elementos de la

caja del gráfico.

Paso 3:

Identificar elementos de los

bigotes del gráfico.

Mín 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑 Máx

1,76 1,64 1,62 1,59 1,56

𝑪𝟐

𝑪𝟏

𝑪𝟑