MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL 1.docx

8/18/2019 MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL 1.docx

1/25

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS A DISTANCIA

TALLER

MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL.

GONZALO MOLINARES CORRALES

TUTOR

CARLOS ANDRES CABALLERO CARBONELL

IV SEMESTRE – NCR 35839

BARRANQUILLA, COLOMBIA

OCTUBRE DE 2015


2/25

I!"#$%&&'(

Las medidas de Tendencia Central son empleadas para resumir a los conjuntos de

datos que serán sometidos a un estudio estadístico, se les llama medidas de

tendencia central porque general mente la acumulación más alta de datos se

encuentra en los valores intermedios. Estas medidas son utilizadas con grandes

frecuencias como medidas descriptivas de poblaciones o muestras. Las medidas de

Tendencia Central son empleadas para resumir a los conjuntos de datos que serán

sometidos a un estudio estadístico, se les llama medidas de tendencia central porque

general mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores

intermedios. Estas medidas son utilizadas con grandes frecuencias como medidas

descriptivas de poblaciones o muestras.

Las más empleadas

. !oda " Es el valor con una ma#or frecuencia en una distribución de datos.

$. !ediana % &epresenta el valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de

los datos en un conjunto ordenados de menor a ma#or.

'. !edia % (romedio o valor obtenido por la suma de todos los datos )valores* dividida

entre el n+mero de sumandos. Las más empleadas.

Las medidas de tendencia central )!edia, !ediana, !oda* nos permiten fijar,

establecer #o pro#ectar límites # valores -acia los que tiende a ubicarse la variable

que se está evaluando. (or otra parte las !edidas de ispersión permiten ver el rango

entre el cual pudiese moverse la variable. / la 0mportancia de ambas es que permite

fijar los valores de las variables para lograr una mejor administración de los procesos1(roductivos, administrativos, de servicios, etc., en cualquier área donde se puedan

generar # tomar datos1 educativos, de salud, comercio, producción, economía, etc .


3/25

D)*+""#+" #* *'-%')!)* %!#*.

1. /C% )* + '#"!+&'+ $) +* )$'$+* $) !)$)&'+ &)!"+

2eg+n )C-ao, 334*, los datos obtenidos pueden condensarse en un solo valor

central alrededor del cual todos los datos mu5strales se distribu#en. 2eg+n

)2piegel, 33*, es un valor típico o representativo de un conjunto de datos que

suele situarse -acia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud. La

medidas de tendencia central nos indican en torno a qu5 valor se distribu#en los

datos. Cuando se -ace referencia +nicamente a la posición de estos parámetros

dentro de la distribución, 0ndependientemente de que 5sta est5 más o menos

centrada, se -abla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se

inclu#en tambi5n los cuantiles entre estas medidas. Las medidas de tendencia

central se utilizan con bastante frecuencia para resumir un conjunto de

cantidades o datos num5ricos a fin de describir los datos cuantitativos que los

forman. E)#* de ello, pueden ser1 la edad promedio o la estatura promedio

de los estudiantes de la universidad o el peso promedio de las bolsas de cereal

que son llenadas por una determinada máquina en un proceso de producción o

las ventas de un negocio. Las medidas de tendencia central son tambi5n

frecuentemente usadas para comparar un grupo de datos con otro, por ))#1

el promedio de ventas obtenido por un grupo de vendedores de una zona

comparado con el promedio de ventas otro grupo de vendedores de otra zona, el promedio de reclamos de clientes de una sucursal, comparado con el promedio

de reclamos de otra sucursal. 6tras características generales de las medidas de

tendencia central son las siguientes1

• (ermiten apreciar qu5 tanto se parecen lo grupos entre sí.

• 2on valores que se calculan para un grupo de datos # que se utiliza para

describirlos de alguna manera

• 7ormalmente se desea que el valor sea representativo de todos los valores

incluidos en el grupo.

• Es el valor más representativo o típico de un grupo de datos, no es el valor

más peque8o o el más grande, sino un valor que está en alg+n punto

intermedio del grupo, más e9actamente, se acerca a estar al centro de todos

los valores, por ello se les llama medidas de tendencia central.

• 2e utilizan como mecanismo para resumir una característica de un grupo de

datos en particular.


4/25

• Tambi5n para comparar un grupo de datos contra otro.

Entre las medidas de tendencia central se encuentran1 La media, La mediana, La

moda

2. E4'%) % ))# &+$+ %+ $) +* "#')$+$)* $) + )$'+.

L: !E0:1 :+n # cuando e9isten varias media, la media aritm5tica es la más

frecuentemente utilizada en Estadística. La media aritm5tica, es la suma de las

puntuaciones o valores originales dividida entre el n+mero de ellas.

Ejemplo1 *' 672, 3, 2, :, )!#&)* 6 ; ? @ ; 3,5 . 2i tenemos los datos enforma de distribución de frecuencias, el cálculo de la media supone sumar el producto

de los valores por la correspondiente frecuencia absoluta, # dividir el resultado por el

n; de casos.

L: !E0:7:1 :nálogamente a lo que se se8alaba para las variables

categóricas, la mediana puede ser aplicada tambi5n en variables cuantitativas,

si bien, no es el índice estadístico que mejor resume la tendencia central de

este tipo de variables.

La mediana de una variable < )!dn? o, en su caso, el

superior a >? más peque8o

L: !6:1 La moda de una variable < )!o


5/25


6/25

3. R)+'&) % ++ &)!%+ *#") +* ")+&'#)* )!") )$'+, #$+ F )$'++.


7/25


8/25

@. /C% )* + '#"!+&'+ $) # &%+"!')*, $)&')* F )"&)!')*

CUARTILES

Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en

cuatro partes porcentualmente iguales. @a# tres cuartiles denotados usualmente A,

A$, A'. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en

el cual o por debajo del cual queda un cuarto )$>=* de todos los valores de la

sucesión )ordenada*B el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual

quedan las tres cuartas partes )4>=* de los datos.

atos :grupados

Como los cuartiles adquieren su ma#or importancia cuando contamos un n+mero

grande de datos # tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son

resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles

cuando se trata de datos agrupados es la siguiente1

D , $,' onde1

L D Límite real inferior de la clase del cuartil

n D 7+mero de datos

D recuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil .

f D recuencia de la clase del cuartil

c D Longitud del intervalo de la clase del cuartil

2i se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra fórmula se tiene lo

siguiente1 El primer cuartil A, es el menor valor que es ma#or que una cuarta parte

de los datosB es decir, aquel valor de la variable que supera $>= de las observaciones

# es superado por el 4>= de las observaciones.

órmula de A, para series de atos agrupados1

onde1

L D límite inferior de la clase que lo contiene

( D valor que representa la posición de la medida


9/25

f D la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.

a" D frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.

0c D intervalo de clase

El segundo cuartil A$, )coincide, es id5ntico o similar a la mediana, A$ D !d*, es el

menor valor que es ma#or que la mitad de los datos, es decir el >?= de las

observaciones son ma#ores que la mediana # el >?= son menores.

órmula de A$, para series de atos agrupados1

onde1





0c D intervalo de clase

El tercer cuartil A', es el menor valor que es ma#or que tres cuartas partes de los

datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 4>= # es superado por el $>=

de las observaciones.

órmula de A', para series de atos agrupados1

onde1





0c D intervalo de clase.


10/25

6tra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos

particulares del percentil, #a que el primer cuartil es el $>= percentil # el tercer cuartil

4>= percentil.

(ara atos 7o :grupados

2i se tienen una serie de valores


11/25

L D Límite real inferior de la clase del decil

n D 7+mero de datos

D recuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil .

f D recuencia de la clase del decil

c D Longitud del intervalo de la clase del decil

6tra fórmula para calcular los deciles1

El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al F?=, de las observaciones

# es superado por el G?= de las observaciones.

El quinto decil corresponde a la mediana.

El noveno decil supera al 3?= # es superado por el ?= restante.

onde )para todos*1





0c D intervalo de clase.

órmulas atos 7o :grupados



12/25

Cuando n es impar1

2iendo : el n+mero del decil.

PERCENTILES

Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o

clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso,

estatura, etc. Los percentiles son ciertos n+meros que dividen la sucesión de datos

ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 33 valores que

dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles )(,

($,... (33*, leídos primer percentil,..., percentil 33.

atos :grupados

Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante

la fórmula1

D , $,',... 33

onde1

L D Límite real inferior de la clase del decil

n D 7+mero de datos

D recuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil .

f D recuencia de la clase del decil

c D Longitud del intervalo de la clase del decil

6tra forma para calcular los percentiles es1

(rimer percentil, que supera al uno por ciento de los valores # es superado por el

noventa # nueve por ciento restante.


13/25

El G? percentil, es aquel valor de la variable que supera al G?= de las observaciones #

es superado por el F?= de las observaciones.

El percentil 33 supera 33= de los datos # es superado a su vez por el = restante.

órmulas atos 7o :grupados


F??"F33 $? $3>

>??">33 4? 'G>

G??"G33 G$ F$4


14/25

4??"I?? 'G FG'

Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula

2iendo

(osición del primer cuartil.

La posición del 4 decil.

La posición del percentil '?.

Entonces,

El primer cuartil1

>.> % I> D '?.4>

Li D '??, 0c D ??, fi D 3?

El 4 decil1

(osición1

'$F. % $3> D $3.

Li D >??, fi D 4?

El percentil '?

(osición1

'I.3 % I> D >'.3

fi D 3?

5. ")+'H+" $)*$) + -'+ 1237 #* %!#* 1, @, 11 + 1, 23, 2, 32, 3@ F 3.


15/25

. 2e tiene $ vendedores en una compa8ía. Cada uno vendió en un día las sgtes

cantidades de cierto producto1 $3 FI I $? $? $> $3 F '' $> G # $

+. C+&%) + )$'+, )$'++, #$+, ) &%+"!' !")* F ) $)&' *)'*.

D889

12

=24,08 M e J$ F G I $? $? $3 $3 '' FI

d=¿

e=¿ 20+25

2 =22,5 M ¿

M ¿

$?,$3 bimodal

(osición13 (n+1)

4 =

3(13)4 D3.4>

i=¿

3=¿ x¿Q

¿

$3

(osición16 (n+1)

10=6 (13)10 D4.I

i=¿6=¿ x¿

D¿$>

. D) #* !")* "')"#* "#)$'#* *#'&'!+$#*, /&%+ ")")*)!+ )#" +'#"+&'( /#"%) La mediana es 22.5 porque -a# presencia de valores e9tremos, nos permiteeliminar en el cálculo el valor más alto e9tremo siendo en este caso FI,

evitando de esta forma su peso influencia en el promedioB en cuanto a la moda por ser bimodal, por esta razón tampoco la consideramos como representativa

de los $ datos

@. C#)!)+. La )$'+ se determina ordenando los datos de menor a ma#or,seleccionando el valor central . Como se define una distribución de frecuencia, si la media mediana # modason iguales *'J!"'&+&. La )$'+ +"'!J!'&+ no es representativa si un valor de la variable esdemasiado gde con la relación a los demás

$. 2e debe utilizar la )$'+ -)#J!"'&+ cuando se quiere dar importancia alos valores peque8os de la variable o cuando los datos muestran uncomportamiento geom5trico). La )$'+ no se puede calcular, si la distribución es deintervalos abiertos o no definidos. las fórmulas para calcular la )$'+ +"'!J!'&+ admiten tratamientoalgebraico de intervalos abiertos o no definidos

11. U +*&)*#" !')) &++&'$+$ +"+ *##"!+" % )*# 4'# $) 00 K'#*. A %!''H+"*) #" '#* %) )*+ ) "#)$'# 22 K'#* F 8 +$%!#*%) )*+ ) "#)$'# 2 K'#*, /)*! *#")&+"-+$# ) +*&)*#"


16/25

D22 (6 )+72(8)

14 =50.57 total1 F)>?.>4*D4?I ilos

(or esta razón si está sobrecargado en I ilos

12. C' "#)*#")* !"+++ ) $')")!)* %')"*'$+$)* #" #"+*, % +#" $)7 25.200 30.000 20.000 35.000 +. 6btenga el salario promedio por -ora para los cinco profesores. 2i cada uno trabaja ? $ I G # $? -oras a la semana, calcule sus sueldos

totales a la semana&. Calcule el salario promedio por -ora considerando el n+mero de -oras de

trabajo semanal $. KAu5 conclusión se obtiene con las respuestas a # c

13. S' +* +&&'#)* $) %+ ++ + #*!"+$# +%)!#* #"&)!%+)* )*% +#" $%"+!) #* !'#* +#*, /&% )* ) +%)!# #"&)!%+ "#)$'#$) +#" $) +* +&&'#)* ) ) "#)$'# $) +#*

A#* 200 200 2008 2009 2010 2011P#"&)!+

)1.8 2.1 3. 5.3 2. 2.8

log M 0 D

log1.8+ log 2.1+ log3.6+log 5.3+log 2.7+ log2.86 D?.F>G?3IGG

M 0=¿ anti log de ?.F>G?3IGG D$.IG= M 0=¿ 2.8

El aumento porcentual en el valor promedio de las acciones, durante ese

periodo es de 2.8

1@. U+ '"+ )"&'+ !')) $#* *%&%"*+)* % !#!+ $) 220 ))+$#*, % "#)$'# *++"'+ $) 1.200.000. S) *+) %) ) 30 !"+++ ) + "')"+ *%&%"*+ +$)*, ) + *)-%$+ $) )+* ) )"*#+ -++ 180.000 )#* %) #* $) + "')"+. /C% )* ) "#)$'# *++"'+ $) &+$+ %+ $) +**%&%"*+)*

E)+$#* !#!+)*;220

S%&%"*+ 1 ; D1200000+1020000

2 D????

S%&%"*+ 2 ; 15@S++"'# 1 ; 120000 S++"'# 2 ; 102000


17/25

15. C# #* *-!)* $+!#* $) %+ *)"') *' +-"%+"

xi1 I $ G $F $ I $ G $ I

C+&%)7 +. M)$'++ . M)$'+ -)#J!"'&+ &. D)&' *')!) $. )"&)"!' 2

+. 6rdenar M e M$ $ $ $ I I I G G $F M e DI mediana DI.I

.g=¿ 10√ π xi

M ¿ D

10√ 8 x2 x ……….x .8=5.89

&. D7 posición D7 (n+1)

10 =

7 (11)10 D4.4

D7 D x j DIN ?.4 )I*D'.G

D7 D'.G

$. P62 (osición D62(n+1)

100 =¿ G.I$ P62 D x j D I

1. C# #* *-!)* $+!#* $) %+ $'*!"'%&'( $) ")&%)&'+ &+&%)+. M)$'+ . M)$'+ +"('&+ &. T)"&)" &%+"!' $. Q%'!# $)&' ). P)"&)!' 80

1. +) + )$'+, )$'++ F #$+, )&+$+ %# $) #* *-!)* %!#* $)

#*)"+&'#)*7

:. $? I G ? I ' $ $ I $? O. ' > > > 4 4 3C. ? $ > F F '?

+. /E &% $) #* !")* &+*#* + )$'+ !')) #&+ ")")*)!+!'+ . E &+$+ %# $) #* &+*#* ")$), %) + *%+* $) +*

$)*'+&'#)* ")*)&!# + + )$'+ +"'!J!'&+&. D) ))"&'&'# !)*!)7 /Q%J +*+"+ #* ")*%!+$#* #!)'$#*

+ +'&+&'( $) +* !")* )$'$+*. *' + &+$+ %# $) #* +#")*$) + +"'+)* *) %!''&+ #"3 /*' + &+$+ +#" *) ) *%+5

y ' i−1 "

y ' i

ni

2.1 – 3.1 – 10 1 10.1 – 12 @12.1 – 20 12 20.1 – 2@ 5

x ' i−1 "

x ' i

f i


18/25

x i−1

x i

x i f i x i f i f i x i F i

2.1 –

.1 – 10 10.1 –12 12.1 20 20.1 2@

@.5

8.5 11.0 1.0 22.0

3

1 @12 5

13.5

13.0 @@.0 192.0 110.0

0.

1.88 0.3 0.5 0.23

3

192335 @0

@0 @95.5 3.89

y1

y1

y1 n1 y1

n1

ni xi N i


19/25

A. ;157

10 ; 15. M d ; x j ; 18 M e ;

16+182

=17

B. ;137

9 ; 15 M d ; x j ; 15 M e ; x j ;

15

C. ;206

7 ; 29.@3 M d ; x j ; 1@ M e ; x j ; 1@


20/25

C.

D')>.4* D F4. M d ;5@ M e ; 51

D ')>* D F>

M d; @5

M e ; @5

x1 x1 ; d i

x1 x2 ; d i x1 x1 ; d i

20 – 15.;@.3

11 15 ; @ 10 – 29.@3 ; 19.@3

18 – 15.;2.3

13 – 15 ; 2 11 29.@3 ; 18.@3

1 – 15.; 0.3

13 – 15 ; 2 12 – 29.@3 ; 1.@3

10 – 15.;5.

15 – 15 ; 0 15 – 29.@3 ; 1@.@3

18 15.;2.3

15 – 15 ; 0 1@ – 29.@3 ; 15.@3

1315.;2.

15 – 15 ; 0 130 – 29.@3 ; 85. 12

12 15.;3.

1 – 15 ; 2

12 15.;3.

1 – 15 ; 2

18 15.;2.3

19 – 15 ; @

20 – 15.;@.3

0

0 0


21/25

D ')$3* D II.$3 M d ; @2 M e ; @2

D > N >.4 D $?.4 M d ; 23 M e ;22

D > N > D $? M d ; 20 M e ;20

D > N $3.F' D 'F.F' M d ; 19 M e ;19

23. E % ++&J $) ")%)*!#* *) ")+'H( % )*!%$'# ) +#" F )"# $)$)%$#")*, + %)*!"+ + +H+" "")*#$'( + 80 &%)!+*, + &%+ *)*!"%F( + *'-%')!) !++

+> C+&%) + )$'+ F + #$+

´ x=48 ,71md=¿ 30

> /C(# "#&)$)"+ %*!)$ *' ) '$')"+ &+&%+" + )$'+ +"'!J!'&+

A'&+#* + )$'++ # + #$+ ) +-%#* &+*#* &%+$# *) %')") &+&%+" #!"+* )$'$+* *) $)) ")*&'$'" #* +#")* )4!")#*, *')") F &%+$# +*

")&%)&'+* # *)+ +!+* +, *) %)$) '&%'" ) ) '!)"+# "(4'#.

V+#" $) +$)%$+ ')*

N%)"# $)$)%$#")*

20 1@

20.1 @0 2

@0.1 – 0 20

0.1 – 80 10

80.1 – 100

100.1 F +* @

∑ 80


22/25

2. C#*'$)") %) %+ )")*+ &%)!+ !")* $)+"!+)!#* $')")!))"# $) ))+$#*. S) ")+'H+ %+ )&%)*!+ +"+ $)!)"'+" ) )"# $)%'$+$)* "#$%&'$+* #" #"+, #* *-!* ")*%!+$#*7

epartamento

7P

epartamento

7P$

epartamento

7P'

U'$+$)*

N $)!"+++$#")

* U'$+$)*

N $)!"+++$#")

* U'$+$)*

N $)!"+++$#")

*

' $ $ ' F G

> ' F 4 > $

4 G > F 4 $

I $ 4 3 I ?

? F I ' 3 F

$ ? F ? $

$ ∑ @0 $ '

∑ 30 '

∑ 50

+> C+&%) ) "#)$'#


23/25

D!#. N P$ x2 ¿

2 (3 )+4 (7 )+5 (14 )+7 (9 )+8 (3 )+10(4 )40

=¿ >,44>

D!#. N3 x

3

¿

4 (6 )+5 (2 )+7 (12)+8 (10 )+9 (14 )+10 (2 )+12 (3 )+13(1)

50 =¿

G,$G

> O!)-+ ) "#)$'# $) %'$+$)* +"+ ) !#!+ $) #* 12 ))+$#*

4,4GGN>,44>NG,$GD19,801

32. U +"'&+!) "+ !#$#* #* +#* + '*+ &+!'$+$ $) % +"!&%#'$'*)*+) # +!)"'+ "'+ +"+ + )+#"+&'( $) % "#$%&!#. P#" K'#,+ *%'$# ) #* !'#* &' +#* $) + *'-%')!) #"+7 1.200 + 1.800%)-# + 2.00 $)*%J* + 3.500 F '+)!) + 5000/C% )* ) ")&'# "#)$'# #" K'# %) + +-+$# ) +"'&+!) ) #* !'#* &' +#*.

´ x=1200+1800+2600+3500+5000

5 =$2820 el kilo

3@. D) +&%)"$# ) ))"&'&'# 33, *%#-+ %) #* "')"#* 50 K'()!"#* #*")"") + %+ )#&'$+$ $) 0K, #* @0K *'-%')!)* + 52K, #**'-%')!)* 100K + 80K F #* !'#* 0K + %+ )#&'$+$ + 0K.C+&%) ) )*!+* $'&'#)* + )#&'$+$.

50K0K?

@0K52K?

100K80K?

0K0K?

QmD

st

∑( si

vi) D

50+40+100+7050

70+40

52+100

80 +70/60

= 260

0,71+0,78+1,25+1,17 D260

3,91 DGG, >

m-


24/25

3. E %+ "'&+ ) $)+"!+)!# $) "#$%&&'( )*! $''$'$# ) !")* *)&&'#)*, *) *+) %) ) + *)&&'( A, 120 ))+$#*, + +*'*!)&'+ "#)$'# )* $) 2@0 $+* + +#, ) + *)&&'( B, %) !')) 180 ))+$#*, ++*'*!)&'+ )$'+ )* 21 $+* + +#. S' + +*'*!)&'+ )$'+ ) !#$# ) $)+"!+)!# )* $) 22.5 $+* + +# /&%!#* ))+$#* +F ) + *)&&'( C,

$#$) + +*'*!)&'+ "#)$'# )* $) 230 $+* + +#.

226,5=120 (240)+180 (216)+n

3

300+n3=226,5 (300+n3)=28,800+38.880 N$'? n3=¿

G4.3>?"G4.GI?D$'? n

3+226,5n3 D

135,63

3,5 =39empleados

C#&%*'(


25/25

Las medidas de tendencia central sirven para conocer promedios o puntos medios

dentro de una muestra. La media es un promedio, la moda es el valor que más se

repite # la mediana es el n+mero que divide un dos a la muestra de un lado el >?= de

los datos menores # del otro, el otro >?= que los sobrepasa. 2irven para analizar los

puntos medios de una muestra. Es decir, donde -a# ma#or concentración en datos o

características, en cambio las de dispersión indican cuan alejados de esas tendenciascentrales se pueden -allar los datos dentro de una muestra o población de datos.

Las medidas de tendencia central tienen como objetivo, el sintetizar los datos en un

valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen -asta qu5 punto estas

medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las

medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los

valores de la distribución respecto al valor central. istinguimos entre medidas de

dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras # las

relativas que nos permitirán comparar varias muestras. / su importancia es en

encontrar o medir estadísticamente los problemas que tiene una empresa # así poder solucionarlos de modo eficaz # eficiente.

MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL 1.docx

Documents

Transcript of MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL 1.docx