MEDIDAS DE POSICIÓN - WordPress.com · MEDIDAS DE POSICIÓN Las medidas de tendencia central son...
13
MEDIDAS DE POSICIÓN Las medidas de tendencia central son en realidad, un caso particular de un tipo de medidas más amplias, llamadas “de posición “. Estas medidas de posición, tienen también la propiedad de ubicarse entre los dos extremos de variación de los datos, pero ya no necesariamente hacia el centro del intervalo como las de tendencia central. Se utilizan principalmente para indicar la posición relativa de un dato dentro del conjunto. Así por ejemplo, si alguien nos informa que en la prueba de admisión a una Universidad, un determinado alumno obtuvo 453 puntos; esta información es insuficiente, si no conocemos la escala utilizada, y las calificaciones obtenidas por los demás alumnos . En un caso como el anterior, una información mucho más precisa , sería que nos informaran que este alumno ocupó el tercer lugar dentro de dos mil aspirantes, pues de esta manera , tendríamos la posición relativa el alumno dentro del grupo, y sabríamos que la calificación obtenida por él, es significativamente alta en comparación con la del resto de los aspirantes. Las medidas a estudiar, buscan justamente este objetivo, de medir o indicar la posición relativa de un dato dentro del conjunto. CUARTILES. Se definen como los intervalos dentro de los cuales quedan proporcionalmente repartidos los datos sin agrupar o agrupados de una distribución, en cuatro partes iguales. Se tienen tres cuartiles que se simbolizan por Q1 (primer cuartil), Q2 (segundo cuartil) y Q3 (tercer cuartil), en donde cada uno contendrá el mismo número de datos, es decir, el 25% del total. El primer cuartil (Q1) es el valor que indica en el cual o por debajo del cual quedan el 25% o un cuarto de todos los datos. El segundo cuartil (Q2) es la medida igual a la mediana, es decir, es el valor que indica en el cual o por debajo del cual queda el 50% ó la mitad de todos los datos. El tercer cuartil (Q3) es el valor que indica en el cual o por debajo del cual queda el 75% o las tres cuartas partes de todos los datos. Formas de calcular los cuartiles: ! = ∙ 4 En el cálculo de los cuartiles de una distribución de frecuencias para datos agrupados se determina matemáticamente por la ecuación general: ! = ! + ∙ 4 − ! ! ∙
Transcript of MEDIDAS DE POSICIÓN - WordPress.com · MEDIDAS DE POSICIÓN Las medidas de tendencia central son...
MEDIDASDEPOSICIÓNLas medidas de tendencia central son en realidad, un caso particular de un tipo demedidasmásamplias,llamadas“deposición“.Estasmedidasdeposición,tienentambiénla propiedad de ubicarse entre los dos extremos de variación de los datos, pero ya nonecesariamente hacia el centro del intervalo como las de tendencia central. Se utilizanprincipalmenteparaindicarlaposiciónrelativadeundatodentrodelconjunto.Asíporejemplo,sialguiennosinformaqueenlapruebadeadmisiónaunaUniversidad,un determinado alumno obtuvo 453 puntos; esta información es insuficiente, si noconocemoslaescalautilizada,ylascalificacionesobtenidasporlosdemásalumnos.En un caso como el anterior, una información mucho más precisa , sería que nosinformaranqueestealumnoocupóel tercer lugardentrodedosmilaspirantes,puesdeestamanera,tendríamoslaposiciónrelativaelalumnodentrodelgrupo,ysabríamosquelacalificaciónobtenidaporél,essignificativamentealtaencomparaciónconladelrestodelosaspirantes.Lasmedidas a estudiar, buscan justamente este objetivo, demedir o indicar la posiciónrelativadeundatodentrodelconjunto.CUARTILES.Sedefinencomolosintervalosdentrodeloscualesquedanproporcionalmenterepartidoslosdatossinagruparoagrupadosdeunadistribución,encuatropartesiguales.SetienentrescuartilesquesesimbolizanporQ1(primercuartil),Q2(segundocuartil)yQ3(tercercuartil), en donde cada uno contendrá elmismo número de datos, es decir, el 25%deltotal.Elprimercuartil(Q1)eselvalorqueindicaenelcualopordebajodelcualquedanel25%ouncuartodetodoslosdatos.Elsegundocuartil(Q2)eslamedidaigualalamediana,esdecir,eselvalorqueindicaenelcualopordebajodelcualquedael50%ólamitaddetodoslosdatos.Eltercercuartil(Q3)eselvalorqueindicaenelcualopordebajodelcualquedael75%olastrescuartaspartesdetodoslosdatos.Formasdecalcularloscuartiles:
𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4
Enelcálculodeloscuartilesdeunadistribucióndefrecuenciasparadatosagrupadossedeterminamatemáticamenteporlaecuacióngeneral:
𝑄! = 𝐿! +𝑛 ∙ 𝑁4 − 𝑓!𝑓!
∙ 𝐶
Donde:Li=Límiterealinferiordelaclasedeln-ésimocuartil,esdecir,ellimiteinferiordelaclasequecontieneelvalordelcuartilquedeseamoscalcularmenosmediaunidad(0.5).fa=Frecuenciaacumuladadelintervaloanteriordondeseencuentraelcuartil.fc=Frecuenciadeclasedondeseencuentraelcuartil.C=Amplituddeclase.DECILES.Se definen como todos los intervalos dentro de los cuales quedan proporcionalmenterepartidoslosdatossinagruparoagrupadosdeunadistribución,endiezpartesiguales.Se tienen nueve deciles que se simbolizan por D1(primer decil), D2(segundo decil), D3(tercer decil),…, D9(noveno decil), en donde cada uno contendrá elmismo número dedatos,esdecir,el10%deltotal.Formasdecalcularlosdeciles:
𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10
Enelcálculodelosdecilesdeunadistribucióndefrecuenciasparadatosagrupadossedeterminamatemáticamenteporlaecuacióngeneral:
𝐷! = 𝐿! +𝑛 ∙ 𝑁10 − 𝑓!𝑓!
∙ 𝐶
Donde:Li=Límiterealinferiordelaclasedeln-ésimodecil,esdecir,ellimiteinferiordelaclasequecontieneelvalordeldecilquedeseamoscalcularmenosmediaunidad(0.5).fa=Frecuenciaacumuladadelintervaloanteriordondeseencuentraeldecil.fc=Frecuenciadeclasedondeseencuentraeldecil.C=Amplituddeclase.PERCENTILES.Se definen como todos los intervalos dentro de los cuales quedan proporcionalmenterepartidoslosdatossinagruparoagrupadosdeunadistribución,encienpartesiguales.Se tienen noventa y nueve percentiles que se simbolizan por P1 (primer percentil), P2(segundo percentil), P3(tercer percentil),…, P99(noventa y nueve percentil), en dondecadaunocontendráelmismonúmerodedatos,esdecir,el1%deltotal.Formasdecalcularlospercentiles:
𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁100
Enelcálculodelosdecilesdeunadistribucióndefrecuenciasparadatosagrupadossedeterminamatemáticamenteporlaecuacióngeneral:
𝑃! = 𝐿! +𝑛 ∙ 𝑁100 − 𝑓!
𝑓!∙ 𝐶
Donde:Li=Límiterealinferiordelaclasedeln-ésimopercentil,esdecir,ellimiteinferiordelaclasequecontieneelvalordelpercentilquedeseamoscalcularmenosmediaunidad(0.5).fa=Frecuenciaacumuladadelintervaloanteriordondeseencuentraelpercentil.fc=Frecuenciadeclasedondeseencuentraelpercentil.C=Amplituddeclase.EJEMPLO1Unaempresadetransportesreportaloskilómetrosrecorridosporsuscamionescuandotieneneltanquellenodecombustible:200,201,198,205,199,201,197,203,201,205,202,199,198,201,202,198,197,197.Determina:a) CuartilesQ1,Q2yQ3b) DecilesD4,D5yD7c) PercentilesP40,P50yP88
SoluciónOrdenamoslosdatos:197,197,197,198,198,198,199,199,200,201,201,201,201,202,202,203,205,205123456789101112131415161718NúmerodedatosN=18a)Cuartiles:Utilizamoslafórmula𝑄! =
!∙!!paraencontrarlaposición.
Cuartil1
𝑄! =1 ∙ 18
4=184= 4.5 ≈ 5
Elnúmero4.5esunnúmerodecimalquenos indicaráqueelvaloren laposición4.5 lodebemosderedondeara5.Porlotantoelvalorenlaposición5es:𝑄! = 198
Cuartil2
𝑄! =2 ∙ 18
4=364= 9
El número 9 es un número entero, lo que nos indicará que el valor en la posición 9 lodebemospromediarconelvalordelasiguienteposición.
𝑄! =200 + 201
2= 200.5
𝑄! = 200.5Cuartil3
𝑄! =3 ∙ 18
4=544= 13.5 ≈ 14
Elnúmero13.5esunnúmerodecimalquenosindicaráqueelvalorenlaposición13.5lodebemosderedondeara14.Porlotantoelvalorenlaposición14es:𝑄! = 202b)Deciles:Utilizamoslafórmula𝐷! =
!∙!!"paraencontrarlaposición.
Decil4
𝐷! =4 ∙ 1810
=7210
= 7.2 ≈ 7Elnúmero7.2esunnúmerodecimal,loquenosindicaráqueelvalorenlaposición7.2lodebemosderedondeara7.Porlotantoelvalorenlaposición7es:𝐷! = 199Decil5
𝐷! =5 ∙ 1810
=9010
= 9El número 9 es un número entero, lo que nos indicará que el valor en la posición 9 lodebemospromediarconelvalordelasiguienteposición.
𝐷! =200 + 201
2= 200.5
𝐷! = 200.5Decil7
𝐷! =7 ∙ 1810
=12610
= 12.6 ≈ 13Elnúmero12.6esunnúmerodecimal,loquenosindicaráqueelvalorenlaposición12.6lodebemosderedondeara13.Porlotantoelvalorenlaposición13es:𝐷! = 201c)Percentiles:Utilizamoslafórmula𝐷! =
!∙!!""paraencontrarlaposición.
Percentil40
𝑃!" =40 ∙ 18100
=720100
= 7.2 ≈ 7Elnúmero7.2esunnúmerodecimal,loquenosindicaráqueelvalorenlaposición7.2lodebemosderedondeara7.Porlotantoelvalorenlaposición7es:𝑃!" = 199
Percentil50
𝑃!" =50 ∙ 18100
=900100
= 9El número 9 es un número entero, lo que nos indicará que el valor en la posición 9 lodebemospromediarconelvalordelasiguienteposición.
𝑃!" =200 + 201
2= 200.5
𝑃!" = 200.5Percentil88
𝑃!! =88 ∙ 18100
=1584100
= 15.84 ≈ 16El número15.84 es unnúmerodecimal, lo quenos indicaráque el valor en la posición15.84lodebemosderedondeara16.Porlotantoelvalorenlaposición16es:𝑃!! = 203
EJEMPLO2Lasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasregistralossalariossemanalesenmilesdepesosde75empleadosdelacompañía“FestoDidactic”;determinar:a) CuartilesQ1,Q2yQ3b) DecilesD2,D7yD9c) PercentilesP15,P50yP75
Intervalos(Salarios)
Frecuencia(Familias)
110–119120–129130–139140–149150–159160–169170–179180–189190–199
591915117432
N=75SoluciónAgregamoscolumnadefrecuenciaacumuladafa.
Intervalos(Salarios)
Frecuencia(Familias)
FrecuenciaAcumulada(fa)
110–119120–129130–139140–149150–159160–169170–179180–189190–199
591915117432
51433485966707375
N=75
a)CuartilesCuartil1(Q1)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordelcuartil1(Q1),utilizandolafórmula:
𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4
𝑄! =1 ∙ 754
= 18.75Entonceselcuartil1quedaubicadoeneltercerintervalodeclasedebidoaquelaposición18.75estáenlafrecuenciaacumuladadel15al33.Li=130–0.5=129.5fa=14fc=19C=10
Utilizamoslafórmula𝑄! = 𝐿! +!∙!! !!!!!
∙ 𝐶
𝑄! = 129.5 +18.75 − 14
19∙ 10 = 129.5 + 0.25 ∙ 10 = 129.5 + 2.5 = 132
𝑄! = 132
Cuartil2(Q2)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordelcuartil2(Q2),utilizandolafórmula:
𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4
𝑄! =2 ∙ 754
= 37.5Entonceselcuartil2quedaubicadoenelcuartointervalodeclasedebidoaquelaposición37.5estáenlafrecuenciaacumuladadel34al48.Li=140–0.5=139.5fa=33fc=15C=10
Utilizamoslafórmula𝑄! = 𝐿! +!∙!! !!!!!
∙ 𝐶
𝑄! = 139.5 +37.5 − 33
15∙ 10 = 139.5 + 0.3 ∙ 10 = 139.5 + 3 = 142.5
𝑄! = 142.5
Cuartil3(Q3)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordelcuartil3(Q3),utilizandolafórmula:
𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4
𝑄! =3 ∙ 754
= 56.25Entonces el cuartil 3 queda ubicado en el quinto intervalo de clase debido a que laposición56.25estáenlafrecuenciaacumuladadel49al59.Li=150–0.5=149.5fa=48fc=11C=10
Utilizamoslafórmula𝑄! = 𝐿! +!∙!! !!!!!
∙ 𝐶
𝑄! = 149.5 +56.25 − 48
11∙ 10 = 149.5 + 0.75 ∙ 10 = 149.5 + 7.5 = 157
𝑄! = 157b)DecilesDecil2(D2)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordeldecil2(D2),utilizandolafórmula:
𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10
𝐷! =2 ∙ 7510
= 15Entonceseldecil2quedaubicadoeneltercerintervalodeclasedebidoaquelaposición15estáenlafrecuenciaacumuladadel15al33.Li=130–0.5=129.5fa=14fc=19C=10
Utilizamoslafórmula𝐷! = 𝐿! +!∙!!" !!!!!
∙ 𝐶
𝐷! = 129.5 +15 − 1419
∙ 10 = 129.5 + 0.0526 ∙ 10 = 129.5 + 0.526 = 130.026
𝐷! = 130.026Decil7(D7)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordeldecil7(D7),utilizandolafórmula:
𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10
𝐷! =7 ∙ 7510
= 52.5Entonceseldecil7quedaubicadoenelquintointervalodeclasedebidoaquelaposición52.5estáenlafrecuenciaacumuladadel49al59.Li=150–0.5=149.5fa=48fc=11C=10
Utilizamoslafórmula𝐷! = 𝐿! +!∙!!" !!!!!
∙ 𝐶
𝐷! = 149.5 +52.5 − 48
11∙ 10 = 149.5 + 0.4090 ∙ 10 = 149.5 + 4.09 = 153.59
𝐷! = 153.59Decil9(D9)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordeldecil9(D9),utilizandolafórmula:
𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10
𝐷! =9 ∙ 7510
= 67.5
Entonceseldecil9quedaubicadoenelséptimointervalodeclasedebidoaquelaposición67.5estáenlafrecuenciaacumuladadel67al70.Li=170–0.5=169.5fa=66fc=4C=10
Utilizamoslafórmula𝐷! = 𝐿! +!∙!!" !!!!!
∙ 𝐶
𝐷! = 169.5 +67.5 − 66
4∙ 10 = 169.5 + 0.375 ∙ 10 = 169.5 + 3.75 = 173.25
𝐷! = 173.25c)PercentilesPercentil15(P15)Primeramente determinamos la posición del valor del percentil 15 (P15), utilizando lafórmula:
𝑃! =𝑛 ∙ 𝑁100
𝑃!" =15 ∙ 75100
= 11.25Entonceselpercentil15quedaubicadoenelsegundointervalodeclasedebidoaque laposición11.25estáenlafrecuenciaacumuladadel6al14.Li=120–0.5=119.5fa=5fc=9C=10
Utilizamoslafórmula𝑃! = 𝐿! +!∙!!"!!!!!!
∙ 𝐶
𝑃!" = 119.5 +11.25 − 5
9∙ 10 = 119.5 + 0.6944 ∙ 10 = 119.5 + 6.944 = 126.44
𝑃!" = 126.44
Percentil50(P50)Primeramente determinamos la posición del valor del percentil 50 (P50), utilizando lafórmula:
𝑃! =𝑛 ∙ 𝑁100
𝑃!" =50 ∙ 75100
= 37.5Entonces el percentil 50 queda ubicado en el cuarto intervalo de clase debido a que laposición37.5estáenlafrecuenciaacumuladadel34al48.Li=140–0.5=139.5fa=33fc=15C=10
Utilizamoslafórmula𝑃! = 𝐿! +!∙!!""!!!!!
∙ 𝐶
𝑃!" = 139.5 +37.5 − 33
15∙ 10 = 139.5 + 0.3 ∙ 10 = 139.5 + 3 = 142.5
𝑃!" = 142.5Percentil75(P75)Primeramente determinamos la posición del valor del percentil 75 (P75), utilizando lafórmula:
𝑃! =𝑛 ∙ 𝑁100
𝑃!" =75 ∙ 75100
= 56.25Entonces el percentil 75 queda ubicado en el quinto intervalo de clase debido a que laposición56.25estáenlafrecuenciaacumuladadel49al59.Li=150–0.5=149.5fa=48fc=11C=10
Utilizamoslafórmula𝑃! = 𝐿! +!∙!!""!!!!!
∙ 𝐶
𝑃!" = 149.5 +56.25 − 48
11∙ 10 = 149.5 + 0.75 ∙ 10 = 149.5 + 7.5 = 157
𝑃!! = 157
ACTIVIDAD6
1.Treintafallasdeenergíaduraron23,130,49,100,36,31,85,54,123,67,44,38,93,17,97,75,42,81,62,128,19,39,96,26,80,53,85,77,29y86minutos,determinar:a) LoscuartilesQ1,Q2yQ3
b) LosdecilesD3,D7yD9
c) LospercentilesP45,P65yP85
2.Dieciséistraductoresdeinglés-español,enunahoralograrontraducir92,107,123,90,78,81,76,94,105,88,109,121,95,101,90y89páginasdeunmismolibrodecontroldecalidad;determina:a) LoscuartilesQ1,Q2yQ3
b) LosdecilesD4,D6yD8
c) LospercentilesP30,P70yP90
ACTIVIDAD71.LasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasregistralossalariosanualesenmilesdedólaresdecincuentafamiliasquetrabajaneneldepartamentodeagriculturadeCalifornia.Determina:LoscuartilesQ1,Q2yQ3.LosdecilesD2,D6yD9.LospercentilesP35,P65yP80
Intervalos(Salarios)
Frecuencia(Familias)
9500–999910000–1049910500–1099911000–1149911500–1199912000–1249912500–1299913000–13499
3813107531
N=50
2.Lasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasregistralostiemposensegundosque35atletasvaronestardanenrecorrerunaprueba.Determina:LoscuartilesQ1,Q2yQ3.LosdecilesD3,D6yD9.LospercentilesP35,P70yP90
Intervalos(Segundos)
Frecuencia(Atletas)
88–9293–9798–102103–107108–112
251396
N=35
