Capítulo 3:Medidas de posición

Las medias y sus propiedadesMediana y moda

Medidas de posición no centrales; Cuartiles, deciles y percentiles

Media aritmética

• Media aritmética

La media aritmética es la suma de todos los valores de la distribución dividida por el número total de datos.

Para el caso de En el caso contrario

frecuencias unitarias;

N

x

N

xxxx

N

ii

n

121 ...

n

i

iinn

N

nx

N

nxnxnxx

1

2211 ...

Media aritmética

• Si tenemos datos agrupados en intervalos, se puede usar la marca de clase representando el valor medio de dicha clase.

• Media aritmética ponderada es la media cuando cado valor tiene una ponderación

ii

iiix

x

Media aritmética

• Propiedades de la media aritmética

• La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su media es cero. [ENSEÑA, p 39]

• La media de las desviaciones al cuadrado de los valores de la variable respecto a una constante k cualquiera, se hace mínima cuando esa constante k es igual a la media aritmética. (Teorema de König). [ENSEÑA, p 39]

Media aritmética

• Si a todos los valores de una variable les sumamos (restamos) una constante k, la media aritmética queda aumentad (disminuida) también en esa constante. La media aritmética queda afectada por los cambios de origen. [ENSEÑA, p 40]

• Si todos los valores de una variable los multiplicamos (dividimos) por una constante k, su media aritmética también queda multiplicada (dividida) por la misma constante. La media aritmética queda afectada por los cambios de escala. [ENSEÑA, p 40]

Media aritmética

• Si de un conjunto de valores obtenemos dos o más conjuntos disjuntos, la media aritmética de todo el conjunto es la media ponderada de las submedias donde la ponderación es el número de observaciones. [ENSEÑA, p 41]

Media aritmética

Ventajas…

• Consideración de todos los valores• Calculable• Única• Es el centro de gravedad (primera propiedad).

…e inconvenientes…

• Si la variable tiene valores anormalmente extremos, la media aritmética puede distorsionarse, haciéndola incluso poco representativa. (La mediana, que vamos a estudiar más tarde, no tiene este inconveniente.)

Uso: distribuciones en escala de intervalos o de proporción.

Media geométrica

• Media geométrica

• El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.

Nnn

nnN

n

i

ni

N nn

nn nin xxxxxxxG /121

121 )( 2121

n

iii

n

i

ni

n

i

ni

N

n

i

ni nx

Nx

Nx

NxG iii

1111

)(log1

log1

log1

loglog

Media geométricaVentajas…

• Consideración de todos los valores• Menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.

… e inconvenientes…

• Menos intuitivo que la media aritmética• Más difícil calcular.• En ocasiones no queda determinada. (El logaritmo no existe para valores

negativas y cero.)

Uso: porcentajes, tasas, números índices etc., es decir cuando la variable presenta variaciones acumulativas.

[EJEMPLO, p 44]

Media armónica

• Media armónica

• La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.

n

ii

i

nn

nx

N

nx

nx

nx

NH

12

21

1

11...

11

Media armónicaVentajas…

• Consideración de todos los valores• Más representativa

… e inconvenientes

• Influencia de valores pequeños.• No queda determinada cuando un valor es cero. (¡La división da el

infinito si !)• Así, no debemos usar la media armónica cuando existan valores muy

pequeños.

Uso: para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.

[EJEMPLO, p 45]

0ix ix/1

Mediana

• Definición:

– Aquel valor de la distribución, supuesta ésta ordenada de menor a mayor, que deja a su izquierda y a su derecha el mismo número de frecuencias, es decir el valor que ocupa el lugar central, supuesto un número impar de datos. Si el número de datos fuese par puede decirse que hay dos valores medianos, y se toma la media aritmética entre ellos como valor mediano.

Mediana

• Número impar de valores:

• Número par de valores:

2

1nxMe

2

122

nn xx

Me

Mediana

• Aquel valor de la distribución cuya frecuencia acumulada es .

• En distribuciones agrupadas en intervalos:

Busca el valor que ocupa el lugar . Encontramos un intervalo mediano. Suponemos que todos los valores dentro del intervalo mediano se encuentran distribuidos uniformemente a lo largo de él. Vamos a considerar la poligonal de frecuencias acumuladas correspondiente al intervalo mediano y a sus dos contiguos, y determinamos gráficamente la mediana.

[EJEMPLO, p 50]

2/N

2/N

ii

i

i cn

NN

LMe

1

12

Mediana

Propiedad• La mediana hace mínima la suma de todas las

desviaciones absolutas.

[Enseña*, p 51-52]

Uso: distribuciones en escala ordinal.

• Nota: la mediana no es sensible como la media aritmética a los valores extremos. En estos casos, la mediana puede dar un resumen más representativo.

• La mediana de un variable discreta es siempre un valor de la variable. (Ej. Numero de hijos.).

Moda

• Definición: El valor de la variable que más veces se repite; en una distribución de frecuencias, el valor que tiene la frecuencia más alta.

Moda

• a) Distribuciones no agrupadas en intervalos.

observa la columna de las frecuencias absolutas, el valor que tiene la mayor frecuencia es la moda.

• Una distribución puede tener una moda relativa y una moda absoluta.

• Una distribución también puede tener más que una moda.

Moda• b) Distribuciones agrupadas en intervalos

B1: intervalos de la misma amplitudEl intervalo que tiene la mayor frecuencia da un intervalo modal.

Dentro este intervalo podemos encontrar el valor modal, usando diferentes criterios;– Tomar como valor modal el extremo inferior del intervalo. .– Considerar como valor modal el extremo superior. .– Hacer la moda igual a la marca de clase. .– Suponiendo que:

1) Todos los valores del intervalo están distribuidos uniformemente dentro de él.

2) La moda estará más cerca de aquel intervalo contiguo cuya frecuencia sea mayor.

1 iLMo

iLMo ixMo

Moda

• De acuerdo a 1. y 2.

• Usando las propiedades de las proporciones;

mLMo i 1

1

1

i

i

i n

n

mc

m

11

1

ii

i

i nn

n

mmc

m

iii

i cnn

nm

11

1

iii

ii c

nn

nLMo

11

11

Moda

• B2: intervalos de distinta amplitud

• Donde es la densidad de frecuencia.

[EJEMPLO, p 58]

i

ii c

nd

iii

ii c

dd

dLMo

11

11

Medidas de posición no centrales

• Los cuartiles; tres valores que dividen la distribución en cuatro partes iguales. 25 por ciento están incluidos en cada uno de los cuatro intervalos.

• Los deciles; nueve valores que dividen la distribución en diez partes iguales. 10 por ciento están incluidos en cada uno de los diez intervalos.

• Los percentiles; noventa y nueve valores que dividen la distribución en cien partes iguales. 1 por ciento están incluidos en cada uno de los cien intervalos.

Medidas de posición no centrales

• A. Para distribuciones no agrupadas en intervalos

Cuarteles:

1C es el valor que ocupe el lugar 4

N.

2C es el valor que ocupe el lugar 4

2N.

3C es el valor que ocupe el lugar 4

3N.

Medidas de posición no centrales

Deciles:

1D es el valor que ocupe el lugar 10

N.

2D es el valor que ocupe el lugar 10

2N.

…etc…

9D es el valor que ocupe el lugar 10

9N.

Medidas de posición no centrales

Perceciles:

1P es el valor que ocupe el lugar 100

N.

2P es el valor que ocupe el lugar 100

2N.

…etc…

99P es el valor que ocupe el lugar 100

99N.

Medidas de posición no centrales

• B. Para distribuciones agrupadas en intervalos

ii

i

ikr cn

NNk

r

LQ

1

1/

Donde 4k y 3,2,1r da cuarteles. Donde 10k y 9,...,2,1r da deciles. Donde 100k y 99,...,2,1r da percentiles.

• [EJERCICIOS, p 61]