ESTADÍSTICA DESCRIPTIVAMEDIDAS DE POSICIÓN Y

DISPERSIÓN

• M E D I D A S D E T E N D E N C I A C E N T R A L• M E D I D A S C E N T R A L E S , D E

P O S I C I Ó N Y D I S P E R S I Ó N

B A C H I L L E R J U A N S E R R A N O .

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALAl describir grupos de diferentes observaciones, con

frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.1 En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

ENTRE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL TENEMOS

• Media Aritmética• Media Ponderada• Media Geométrica• Media Armónica• Mediana• Moda

MEDIA ARITMÉTICA En matemáticas y estadística, la media aritmética (también

llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos, objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.

Dados los n números {x1,x2…xn} , la media aritmética se define como:

EJEMPLOla media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra ( X ), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se da el resultado

MEDIA PONDERADALa media ponderada es una medida de tendencia central, que

es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación (peso) para luego sumarlos, obteniendo así una suma ponderada; después se divide esta entre la suma de los pesos, dando como resultado la media ponderada.

EJEMPLOSe puede usar una media ponderada para calcular la nota final de un

curso escolar, en donde se asigna distinta importancia (peso) a los distintos exámenes que se realicen. Por ejemplo, los dos primeros exámenes tienen un peso o valor de 30% y 20% respectivamente, y el último del 50%; las calificaciones respectivas son de 6.4, 9.2 y 8.1, entonces la nota final corresponde a la siguiente media ponderada:

Datos: X={6.4,9.2,8.1} Pesos:  W={0.3,0.2,0.5}Media Ponderada X=6.4 *0.3+9.2* 0.2+8.1* 0.5/0.3+0.2+0.5=7.81

Si se consideran n puntos diferentes en el plano, con sus respectivas masas, es posible hallar un punto, que algunos llaman baricentro, que representa la masa promedio.

MEDIA GEOMÉTRICA En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad

arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 esOtro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

MEDIA ARMÓNICA La media armónica (designada usualmente mediante H) de una

cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

MEDIANAla mediana (del latín mediānus 'del medio') representa el valor de la

variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.CálculoExisten dos métodos para el cálculo de la mediana:1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.A continuación veamos cada una de ellas:

MÉTODOS DE CÁLCULOMediana para datos sin agruparPara un número de datos imparLa mediana es el dato que se encuentra a la mitad de la lista. Para

calcular su posición se aplica la siguiente ecuación: Ejemplo ilustrativo:Calcular la mediana de las siguientes calificaciones del curso

de Estadística evaluadas sobre diez: 10, 8, 6, 4, 9, 7, 10, 9 y 6Solución:1) Se ordena los datos de menor a mayor: 2) Se aplica la ecuación:

MÉTODOS DE CÁLCULOLa mediana es el valor de x5 (quinto dato), es decir, Md=8En Excel se calcula así:Insertar la función MEDIANA(A1:I1) y luego en Aceptar

MÉTODOS DE CÁLCULOMediana para datos agrupadosLa mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada

llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. N / 2Luego calculamos según la siguiente fórmula: Li-1  es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.N / 2  es la semisuma de las frecuencias absolutas.Fi-1  es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.fi  es la frecuencia absoluta del intervalo mediano.ti  es la amplitud de los intervalos.

MODALa moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.Hallar la moda de la distribución:2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es

la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de

las dos puntuaciones adyacentes.0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

MEDIDAS DE POSICIÓNSon indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de

frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama " Medidas de Tendencia Central ".

Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son:

Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tercer cuartil.

Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al

noventa y nueve percentil).

MEDIDAS DE DISPERSIÓNLas medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los

valores de la distribución.Las medidas de dispersión son:• Rango o recorridoEl rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una

distribución estadística.• Desviación mediaLa desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable

estadística y la media aritmética.Di = x - xLa desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las

desviaciones respecto a la media.La desviación media se representa por