3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ......3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN 3.1.1. MEDIDAS DE...

ESTADÍSTICA APLICADA - DIPLOMATURA DE TURISMO

CURSO ACADÉMICO 2006/2007. PROF. MÓNICA MARTÍN DEL PESO 1

ESTADÍSTICA APLICADA. DIPL. TURISMO

PROF. MÓNICA MARTÍN DEL PESO

Curso Académico

2006/2007

3.1. MEDIDAS DE POSICIÓN

3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA

Si tenemos el siguiente conjunto de datos ...10, 9, 8, 10, 9, 9, 10, 9, 10, 9

EJEMPLO 1:

... y deseamos encontrar un valor resuma y represente a todo el conjunto:

(...) seguramente lo primero que se os ocurriría es sumar todos los valores y dividirlos entre el número total de datos.

( ) ( )

10 9 8 10 9 9 10 9 10 910

8 9 5 10 49,3

10

+ + + + + + + + +=

+ ⋅ + ⋅= =

A este valor se le denomina MEDIA ARITMÉTICA.



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2006/2007



EJEMPLO 2: Tras encuestar a 25 familias sobre el número de hijos que tenían, se obtuvieron los siguientes datos:

56842

01234

N = 25 familiasTOTAL

Nº familias (ni)Nº hijos (xi)

42 hijos

i ix n⋅0 5 01 6 62 8 163 4 124 2 8

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

,0 5 1 6 2 8 3 4 4 2 0 6 16 12 8 42 1 6825 25 25

x hijos⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + += = = =

Es decir, las familias encuestadas tienen un número medio de hijos de 1'68.





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2006/2007



EJEMPLO 3: Se han observado los pesos (en kg.) de 5 estudiantes. Siendo éstos los siguientes: 54, 59, 60, 63, 64

11111

5459606364

N = 5Total = 300

Nº estudiantes (ni)peso (xi)

300

i ix n⋅54 1 5459 1 5960 1 6063 1 6364 1 64

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

54 59 60 63 64 300 605 5

x kg+ + + += = =

Es decir, los estudiantes encuestados tienen un peso medio de 60 kg



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2006/2007



EJEMPLO 4: Se han observado los pesos (en kg.) de 100 estudiantes, cuyos resultados se presentan agrupados en intervalos en la siguiente tabla de frecuencias:

302050

30 - 4040 - 5050 - 60

N = 100Total

Nº estudiantes

(ni)Peso

Li-1 - Li(30+40) / 2 = 35(40+50) / 2 = 45(50+60) / 2 = 55

1

2

i iCi

L Lx −+

=

4700

i

Cix n⋅

35 30 105045 20 90055 50 2750

⋅ =⋅ =⋅ =

35 30 45 20 55 50 1050 900 2750 4700 47100 100 100

x kg⋅ + ⋅ + ⋅ + += = = =





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2006/2007



EJEMPLO 5: Un estudiante realizó 3 pruebas de distinta complejidad en las que logró las puntuaciones de 50, 80 y 70 puntos. El 1er. examen lo hizo en ½ h., el 2º en 1h. y el 3º en 1+½ h.; por lo que, a cada nota, se le atribuyó una ponderación de 1, 2 y 3, respectivamente.

123

508070

6Total

ponderación o peso (wi)

puntos (xi)

420

i ix w⋅

50 1 5080 2 16070 3 210

⋅ =⋅ =⋅ =

50 1 80 2 70 3 420 706 6

x puntos⋅ + ⋅ + ⋅= = =

El estudiante saco una nota media de 70 puntos.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Edad

0

25

50

75

100

125

Frec

uenc

ia

,x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅= =

11 4 12 62 13 62 14 86 19 7 20 1 14 8498

MEDIA ARITMÉTICA = CENTRO DE GRAVEDAD DE LA DISTRIBUCIÓN

Edad

4 ,862 12,462 12,486 17,389 17,9

121 24,345 9,021 4,2

7 1,41 ,2

498 100,0

11121314151617181920Total

Frecuencia Porcentajenº de años

EJEMPLO 6





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2006/2007

11121314151617181920

N = 498

462628689

121452171

- 3,8 * 4 = - 15,2- 2,8 * 62 = - 171,9- 1,8 * 62 = - 110,9- 0,8 * 86 = - 67,9+0,2 * 89 = + 18,8+1,2 * 121 = + 146,5+2,2 * 45 = + 99,5+3,2 * 21 = + 67,4+4,2 * 7 = + 29,5+5,2 * 1 = + 5,2

11 - 14,8 = - 3,812 - 14,8 = - 2,813 - 14,8 = - 1,814 - 14,8 = - 0,815 - 14,8 = + 0,216 - 14,8 = + 1,217 - 14,8 = + 2,218 - 14,8 = + 3,219 - 14,8 = + 4,220 - 14,8 = + 5,2

TOTAL 0

ix x− ( )i ix x n− ⋅ix in



Curso Académico

2006/2007

583115100 – 130

5539590 - 100

5258580 - 90

47117570 - 80

36216560 – 70

15105550 – 60

554540 – 50

Fr. acum.

frecM. ClasePeso

MEDIA = CENTRO DE GRAVEDAD

,x ⋅ + ⋅ + + ⋅= =

45 5 55 10 115 3 69 358…





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EJEMPLO 7: La siguiente tabla recoge las calificaciones obtenidas por un alumno en las 10 asignaturas cursadas en el 1er. año de carrera:

32212

5,56

6,57

7,5

N = 10Total

Nº asignaturas

(ni)calificación

(xi)16,512137

15

63,5

i ix n⋅, ,63 5 6 35

10x puntos= =

Nota media:

Los profesores, de forma unánime, han decidido aumentar la nota del alumno en 1 punto en cada una de sus asignaturas, como premio a su buen comportamiento en clase: ¿nueva nota media?

, ,Si i iy x y xy

= + ⇒ = += + =

1 16 35 1 7 35



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EJEMPLO 8: La siguiente tabla recoge el número de horas semanales que dedican al estudio una muestra de 120 alumnos:

604020

2 – 44 – 66 – 10

N = 120Total

Nº alumnos

(ni)Nº horas

Li-1 - Li6 / 2 = 3

10 / 2 = 516 / 2 = 8

1

2

i iCi

L Lx −+

=

540

i

Cix n⋅

3 60 1805 40 2008 20 160

⋅ =⋅ =⋅ =

, horasx = =540 4 5120

Nº medio de horas de estudio:

¿Cuál sería el tiempo medio dedicado al estudio expresado en minutos? ,

60 604 5 60 270i iy x y x

ySi

minutos= ⋅ ⇒ = ⋅

= ⋅ =





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2006/2007



EJEMPLO 9: Se sabe que la nota media de los 220 alumnos aprobados en una determinada asignatura en el grupo de mañana, es igual a 6,5 puntos. Mientras que la nota media de los 125 alumnos aprobados en esa misma asignatura y matriculados en el grupo de tarde, ha sido de 7 puntos. ¿Cuál es la nota media del conjunto total de alumnos aprobadosen esa asignatura?

X = nota de los alumnos aprobados en una determinada asignatura

N = total alumnos que aprobaron la asignatura

125 alumnos

nota media = 7 puntos

220 alumnos

nota media = 6,5 puntos

Tarde(2º subconjunto)

Mañana(1er. subconjunto)

,Nx

==

1

1

2206 5

Nx

==

2

2

1257

, ,

N N NN

x N x NxN

x

= += + =

⋅ + ⋅=

⋅ + ⋅= =

1 2

1 1 2 2

220 125 345

6 5 220 7 125 6 68345



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2006/2007



EJEMPLO 10





Curso Académico

2006/2007

i i ix n N0 3 31 2 52 3 83 4 124 1 13

0 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4

hijosMe 2=

valor centralN impar= ⇒ 1


i iN NN N13 6,5 ¿ ?2 2 2= = ≠ ⇒ >

MÉTODO DE CÁLCULO EN LA PRÁCTICA:



Curso Académico

2006/2007

hijosMe 2 3 2,52+

= =

0 0 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4


2N par valores centrales distintos = ⇒

iN N12 62 2= = =


i i ix n N0 2 21 1 32 3 63 4 104 2 12





Curso Académico

2006/2007

hijos2Me =

0 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4


2N par valores centrales iguales = ⇒

i iN NN N12 6 ¿ ?2 2 2= = ≠ ⇒ >


0 1 11 1 22 5 73 3 104 2 12

i i ix n N



Curso Académico

2006/2007



EJEMPLO 11: Distribución de los salarios de los empleados de una compañia:

101520187

600 – 700700 – 800800 – 950

950 – 2000más de 2000

N = 70Total

nº empleados ni

salariosLi-1 - Li

1010 + 15 = 2525 + 20 = 4545 + 18 = 6363 + 7 = 70

Ni

= =70 35

2 2N

¿ ? −> ⇒ −12i i iNN L L

−

−

− −= + ⋅ = + ⋅ =

1

135 252 800 150 875

20

i

i ii

N NMe L c

n

INTERVALO MEDIANO

VALOR MEDIANO:





Curso Académico

2006/2007


3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODAEJEMPLOS

349

1072

1257

1215

nixi max 10iin =

7Mo =

183282

161718192021

nixi max 8iin =

1

2

1720

MoMo

==Distribución

UNIMODAL Distribución BIMODAL

2617415453ni

211814129852xi 1

2

149

MoMo

==



Curso Académico

2006/2007


3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA

204010060

ni25252525

0 – 2525 – 5050 – 75

75 – 100

ciLi-1 - Li

EJEMPLO 12: Valor modal en distribuciones agrupadas en intervalos de amplitud constante

max 100iin =

INTERVALO MODAL : 50 – 75

VALOR MODAL:

11

1 1

6050 25 6540 60

ii i

i i

nMo L cn n

+−

− +

= + ⋅ = + ⋅ =+ +





Curso Académico

2006/2007


3.1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA

201401804020

ni2525505050

0 – 2525 – 50

50 – 100100 – 150150 – 200

ciLi-1 - Li

EJEMPLO 13: Valor modal en distribuciones agrupadas en intervalos de amplitud variable

max ii ii

i

nd dc

⇒ =

INTERVALO MODAL :

25 – 50

VALOR MODAL:

, ,, ,

11

1 1

3 625 25 45 50 8 3 6

ii i

i i

dMo L cd d

+−

− +

= + ⋅ = + ⋅ =+ +

20/25 = 0,8140/25 = 5,6180/50 = 3,640/50 = 0,820/55 = 0,4

di



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2006/2007


3.1.2. MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES: CUANTILES

N = 20

37532

ni

310151820

59

162025

Nixi

EJEMPLO 14: Distribución del precio (en €) del menú del día de 20 restaurantes

Mediana: 20 10

2 2N

= = , €9 16 12 52

Me +⇒ = =

Cuartiles:

?11 20 54 4NC ⇒ = == €1 9C⇒ =

min iix max ii

xC1 C3C2

%25 %25%25 %25

?22 40 104 4NC ⇒ = == , €2

9 16 12 52

C +⇒ = = 2C Me⇒ =

?33 60 154 4NC ⇒ = == €3

16 20 182

C +⇒ = =





Curso Académico

2006/2007



N = 20

37532

ni

310151820

59

162025

Nixi


Deciles:

?11 20 2

10 10ND ⇒ = == €1 5D⇒ =

?55 100 10

10 10D N⇒ = == , €5

9 16 12 52

D +⇒ = = 5D Me⇒ =

?88 160 16

10 10D N⇒ = == €8 20D⇒ =

min iix max ii

xD2 D8 D9D3D1

%10 %10%10 %10 %10

?22 40 4

10 10ND ⇒ = == €2 9D⇒ =



Curso Académico

2006/2007



N = 20

37532

ni

310151820

59

162025

Nixi


Percentiles:

?3030 600 6

100 100NP ⇒ = == €30 9P ⇒ =

?7575 1500 15

100 100NP ⇒ = == €75

16 20 182

P +⇒ = =

min iix max ii

x2P 98P 99P3P1P

%1 %1%1 %1 %1





Curso Académico

2006/2007

90140150120

ni90230380500

0 – 100100 – 200200 – 300300 – 800

NiLi-1 - Li

EJEMPLO 16: Precios por habitación de 500 hoteles

?11 500 125 100 2004 4NC ⇒ = = ⇒ −=

€

1

1 1

14

125 90100 100 125140

i

i ii

N NC L c

n

−

−

−= + ⋅ =

−= + ⋅ =

?66 3000 300 200 300

10 10ND ⇒ = = ⇒ −=

, €1

6 1

6300 23010 200 100 246 67

150

i

i ii

N ND L c

n

−

−

− −= + ⋅ = + ⋅ =



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