Medidas De

Tendencia Central

Media, Mediana, Moda.

Como su nombre indica, una

medida de tendencia central es

la que describe un valor central

para ubicar la localización del

conjunto de datos.

MEDIA

La media de un conjunto de datosnumérico es el valor que se obtiene alsumar los valores observados (obtenidos) yal dividir la suma entre el número total deobservaciones.

Si las observaciones provienen de unamuestra se llama media muestral; siproceden de toda la población, recibe elnombre de media poblacional.

Ejemplo:

Determinar a partir de una muestra de

14 fósiles, la altura promedio de un

hueso frontal. Para cada fósil en la

muestra, Xi, con i igual al número de la

observación, se mide el hueso en

milímetros (mm) y se obtienen los datos

siguientes.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14

42 27 25 40 33 31 42 34 35 25 29 30 29 35

Una desventaja de la media es que

puede resultar muy afectada cuando

existen datos inusualmente grandes o

muy pequeños con relación al resto

dentro de un conjunto. Como se ha

señalado, este tipo de datos se llaman

atípicos.

Ejemplo:

Un alumno universitario acaba de

comprar sus libros y observa la cantidad

de páginas que tienen: 247, 312, 198,

780, 175, 286, 293, 258.

¿Cuál es el promedio de páginas que

tienen sus libros?

¿Es esta una buena aproximación para

todos sus libros?

MEDIANA

La mediana es el valor que está justo en

medio de los datos una vez que han

sido ordenados de forma ascendente.

Cuando la muestra tiene un número

impar de datos solo hay un valor en

medio, pero si el número de datos es

par existen dos; en este caso la media

de ambos es la mediana.

La mediana de una muestra se obtiene

al ordenar los datos de menor a mayor,

incluidos los valores que se repiten, de

manera que todos aparezcan en la lista

ordenada. Por tanto:

Mediana= Valor en medio si el número de datos es impar.

Promedio de los valores de en medio si el número

de datos es par.

Ejemplo:

Calcular la mediana para los datos del

ejemplo anterior:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1425 25 27 29 29 30 31 33 34 35 35 40 42 42

MODA

La moda es el valor más frecuente

dentro del conjunto de datos, es decir,

el que tiene mayor frecuencia.

En muchas ocasiones la moda no es

única, pues puede existir más de un

valor con la misma frecuencia dentro

del conjunto de observaciones (datos).

Ejemplo:

Calcular la moda a partir de los

siguientes datos obtenidos en el grupo

de tercer semestre de la licenciatura en

educación preescolar con relación a la

edad:

22 18 19 18 18 20 19 19 21 19

MEDIDAS DE

TENDENCIA CENTRAL

CON DATOS

AGRUPADOS

Media de un conjunto de datos agrupados

La media de un conjunto de datos

agrupados se calcula al usar las marcas

de clase y las frecuencias relativas

asociadas. Si las marcas de clase son X1,

…, Xn y las frecuencias que

corresponden f1, …, fn entonces la

media es un promedio de las marcas

ponderando por las frecuencias; se

calcula como sigue.

Ejemplo:

Calcular la media de una muestra

que presenta datos agrupados.

Un grupo de 45 alumnos presentan

un examen para ingresar a una

universidad. Las calificaciones se

han agrupado como se muestra en

el siguiente cuadro.

Intervalo de calificaciones

Número de personas

[0,10) 2

[10,30) 5

[30,50) 8

[50,60) 9

[60,75) 10

[75,90) 9

[90,100) 2

Intervalo deCalificaciones

Marca de clase

Xi

Número de personas

fi

Xi * fi

[0,10) 5 2 10

[10,30) 20 5 100

[30,50) 40 8 320

[50,60) 55 9 495

[60,75) 67.5 10 675

[75,90) 82.5 9 742.5

[90,100) 95 2 190

Xi * fi

10

100

320

495

675

742.5

190

Total:

Mediana de un conjunto de datos agrupados

La mediana para datos agrupados seubica en el intervalo donde la frecuenciaacumulada relativa alcanza al menos 50%;este intervalo se llama clase mediana y seobtiene por medio de interpolación.

Sea, Li el limite inferior del intervalo en elque se alcanza al menos 50% de los datos;ai, la longitud de dicho intervalo; Fi-1 lafrecuencia acumulada del intervaloanterior, y fi la frecuencia del intervalo quese considera.

Ejemplo:Calcular la mediana de un conjunto de datos

agrupados.

Determinar la mediana de los datos del ejemplo

anterior.Intervalo de

calificacionesNúmero de personas

[0,10) 2

[10,30) 5

[30,50) 8

[50,60) 9

[60,75) 10

[75,90) 9

[90,100) 2

Intervalo deCalificaciones

Número de personas

fi

Frecuenciaacumulada

[0,10) 2 2

[10,30) 5 7

[30,50) 8 15

[50,60) 9 24

[60,75) 10 34

[75,90) 9 43

[90,100) 2 45

Moda de un conjunto de datos agrupados

La moda es el valor más

frecuente en el conjunto de

datos, se encuentra en el

intervalo de máxima

frecuencia que se llama

clase modal.

L1= limite inferior de la clase modal.

Ai= longitud de la clase modal.

Fi= frecuencia de la clase modal.

Fi-1= frecuencia de la clase anterior a la clase modal.

fi-+1= frecuencia de la clase siguiente a la modal.

Ejemplo:

Calcular la moda de un conjunto de datosagrupados.

Determinar la moda del conjunto de datos delejemplo pasado.

Intervalo de calificaciones

Número de personas

[0,10) 2

[10,30) 5

[30,50) 8

[50,60) 9

[60,75) 10

[75,90) 9

[90,100) 2