MEC2_Cinemáica I.pdf

7/21/2019 MEC2_Cinemica I.pdf

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Cinemtica I


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Posicin

El movimiento es el cambio de posicin con el tiempo respecto a un

sistema de referencia. La posicin de un punto en un plano la podemosdeterminar mediante dos coordenadas y en el espacio con tres.


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Vector de posicin

La posicin del punto P est determinada por el vector:

r= 6 i + 2,3j


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Trayectoria y desplazamiento

La trayectoria es la lnea formada por las sucesivas posiciones que

ocupa el mvil

El desplazamiento es el vector que une la posicin inicial con la

final, no se debe confundir nunca con el espacio recorrido que es la

longitud de la trayectoria descrita


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Desplazamiento y posicin

Cundo el mvil se desplaza desde P hasta Q el desplazamiento es el vector que

une P con Q

=>

El desplazamiento es el vector de posicin final menos el inicial es decir es el

incremento del vector de posicin.

Observar que el mdulo del desplazamiento es la distancia entre el punto final y el

inicial.


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Ecuacin de movimiento

Es una ecuacin que da el vector de posicin en funcin del tiempo

Ejemplo: r = 2t i + 3j + 4t2k

Esta ecuacin vectorial la podemos descomponer en ecuaciones escalares,(ecuaciones paramtricas) en este ejemplo:

x = 2t ; y = 3 ; z = 4 t2

Si no decimos nada en contra entenderemos que la ecuacin est expresada

en unidades del Sistema Internacional, longitud en metros y tiempo en

segundos.

Eliminando el tiempo en las ecuaciones paramtricas obtenemos la ecuacin

de la trayectoria.


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Ejercicio

Un cuerpo se mueve segn la ecuacin: r= 3t2i+ 2tj+ 5 kDetermina el mdulo del desplazamiento desde t = 1 hasta t = 3 s

r1= 312i+ 21j+ 5 k = 3 i+ 2j + 5 k

r3= 332i+ 23j + 5 k =27 i+ 6j + 5 k

Desplazamiento = r3

- r1= 24 i+ 4j

Mdulo = (242+ 42)1/2= 24,3 m

As hemos calculado la distancia entre la posicin final e inicial.


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Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el desplazamiento y el tiempo

transcurrido.

Es por tanto un vector que tiene la misma direccin y el mismo sentido que

el desplazamiento


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Velocidad Instantnea

La velocidad instantnea es el limite de la velocidad media cuando el

intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad instantnea la derivada del vector de posicin respecto al

tiempo, es un vector que es siempre tangente a la trayectoria, tiene el

sentido del movimiento y su mdulo se suele llamar rapidez o celeridad.

El velocmetro de un coche nos da el mdulo de la velocidad instantnea


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Ejercicios

a) Vm= Desplazamiento/tiempo = 24 i+4j/ 2 = 12 i+ 2j

Vm = | 12 i+ 2j| = 12,2 m/s = 44 km/h

b) V= dr/dt = 6 t i+ 2j V3= 18 i+ 2j V

3= 18,1 m/s = 65,2 km/h

v2= 23 i + 24j => v = 33,2 m/s = 120 km/h

2. Un cuerpo se mueve segn la ecuacin: r= 3t2i+ 2tja) Determina la velocidad media entre t = 1 y t = 3 s (vector y mdulo)

b) Calcula su velocidad instantnea en el instante t = 3s

1. Un cuerpo se mueve con velocidad V= (6t2-1) i+ 12tj

Determina la velocidad, en km/h, en el instante t = 2 s


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Aceleracin

En el S.I. se mide en m/s2

La aceleracin es la derivada de la velocidad instantnea respecto al

tiempo.

Si la velocidad es constante la aceleracin es cero, eso solo ocurre en el

MRU (en los dems movimientos la velocidad vara aunque pueda

mantener su mdulo constante, por eso en el MCU la aceleracin no es

nula)

Hemos visto que la velocidad es una magnitud vectorial que mide como varia

el vector de posicin respecto al tiempo.

Del mismo modo la aceleracin es una magnitud vectorial que mide como

varia la velocidad respecto al tiempo. Y por lo mismo

existe aceleracin media y aceleracin instantnea.


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Componentes de la aceleracin

Por conveniencia se suele descomponer el vector aceleracin en dos

componentes, una de la misma direccin que la velocidad que se llama

aceleracin tangencialy otra componente perpendicular a la velocidad que se

llama aceleracin normal o centrpeta.

La aceleracin tangencial nos informa de como vara el mdulo de la velocidad

y la aceleracin normal nos informa de como vara la direccin de la velocidad

El valor de la aceleracin tangencial es la derivada del mdulo de la velocidad

respecto a tiempo.


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En resumen

Un movimiento se describe mediante una ecuacin que nos da la posicin enfuncin del tiempo (ecuacin de movimiento) a partir de ella podemos deducir

la velocidad y la aceleracin en cualquier instante as como la trayectoria.


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En resumenEl vector aceleracin se puede descomponer en dos componentes:

aceleracin tangencial que es un vector de la direccin de la velocidad quenos indica como vara el mdulo de la velocidad

aceleracin normalque es un vector perpendicular a la velocidad que nos

indica como vara la direccin de la velocidad


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MRU

La velocidad es constante.

(tiene en todo momento el

mismo mdulo la misma

direccin y el mismo sentido)

x = xo+ v t


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Ejercicio de MRUDada la siguiente grfica s-t de un MRU determina el espacio recorrido y la

velocidad en cada tramo.

V1= 30-10/40 = 0,5 m/s

V2= 0 V3= 0-30/100-90 = -3 m/s

S1= 30 -10 = 20 m

S2= 0

S3= 0 - 30 = - 30 m


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MRUA

Tiene trayectoria rectilnea y vector aceleracin constante. Esto implica que la

aceleracin normal es cero y que la aceleracin tangencial es constante. Las

ecuaciones de aceleracin velocidad y posicin son:

despejando t en la segunda ecuacin y sustituyendo en la tercera

podemos deducir:

V2 - Vo

2 = 2 a ( x - xo

)


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Grficas

del MRUA


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Ejercicio de MRUA

Dada la siguiente grfica v-t de un movimiento rectilneo determinar la

aceleracin y el espacio recorrido en cada etapa.

a1= 30-10/40 = 0,5 m/s2

a2= 0 (MRU)

a3= 0-30/100-90 = -3 m/s2

S1= 10 40 + 1/2 0,5 402= 800 m S

2= 30 50 = 1500 m

S3= 30 10 - 1/2 3 102

= 150 m


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Cada libre

La cada libre es un caso particular de MRUA.

Es conveniente acostumbrarse a resolver los ejercicios de cadalibre

siempre con el mismo criterio de signos. Por ello vamos a fijar uno.

La aceleracin de la gravedad vale 9,8 m /s2, es vertical y hacia abajo.

Utilizaremos un eje vertical con el sigo positivo hacia arriba, por tanto laaceleracin de la gravedad la consideraremos negativa y utilizaremos las

siguientes ecuaciones:

g = - 9,8

v = vo- 9,8 t

y = yo+ v

ot - 4,9 t2


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Ejercicio de cada libre

Desde una altura de 30 m se lanza verticalmente hacia arriba una piedra

con velocidad de 50 m/s. Determinar

a) Hasta que altura llega

b) Su posicin para t = 8 s

c) El tiempo que tarda en llegar al suelo

Tomamos el suelo como referencia (y = 0)

a) En el punto ms alto V = 0 => 0 = 50 - 9,8 t => t = 5,1 s

y = yo+ v

ot - 4,9 t2 = 30 + 50 5,1 - 4,9 5,12 = 157,6 m

b) y = yo+ v

ot - 4,9 t2 = 30 + 50 8 - 4,9 82 = 116,4 m

c) 0= 30 + 50 t - 4,9 t2 => t = 10,77 s


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MCU

Es un movimiento con trayectoria circular y con el mdulo de la velocidad

constante. Por tanto tiene at

= 0 y an

= cte


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MCUA

Es un movimiento con trayectoria circular y aceleracin angular constante.


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Ejercicios de movimiento circular

Determina la velocidad angular de la rotacin terrestre.

Recorre dos pi radianes (una vuelta) en 24 horas

w = 2 3,14 / 24 3600 = 7,3 10-5rad/s

Un motor gira a 3000 rpm, Calcula la aceleracin angular si se detiene en2 minutos. Cuantas vueltas da hasta detenerse.

w = 3000 (rev/min) (6,28 rad / 1 rev) ( 1 min /60 s) = 314 rad/s

& = (0 - 314) / 120 = -2,6 rad/s2

= 314120 - (1/2) 2,6 1202= 18960 rad = 3000 vueltas


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Ejercicio de movimiento circularUn coche entra en una curva, de radio de curvatura 100 m, a 120 km/h y entres segundos sale de la curva a 90 Km/h. Calcula

a) La aceleracin centrpeta, la aceleracin tangencial y la aceleracin total enel punto medio de la curva.

b) La longitud de la curvac) La aceleracin angular

a) at= v - v

o/ t= 25 -33,3 / 3 = - 2,78 m/s2 (cte en toda la curva)

En el punto medio V = 120 + 90 / 2 = 105 km/h = 29,2 m/s

ac= V2/R = 29,22/100 = 8,5 m/s2

a = (at2+ ac2)1/2= (2,782+ 8,52)1/2= 8,9 m/s2

b) s = vot + 1/2 a

t t2 = 33,3 3 - 0,5 2,78 32= 87,4 m

c) &= at/ R = - 0,0278 rad/s2


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Peralte en las curvas

Un r.


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Ejercicio

Un vehculo circula a 108 km /h por una curva peraltada de radio 200 m.

Determinar el ngulo del peralte para que no exista riesgo de derrapar.

Buscamos el ngulo que hace que la fuerza

resultante sea perpendicular a la calzada.

Fc/P = tg&

Fc = m v2/R P = m g

tg& = 302/ (200 9,8) = 0,46

& = 24,7


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Ejercicio

Un camin tiene una anchura de 2 m y su centro de masas est a 1'50 m

de altura. Determinar qu velocidad mxima debe llevar para no volcar en

una curva de radio 30 m.

Suponemos que el rozamiento es suficiente para

que no deslice.

Volcar cuando el momento de la fuerza centrgugasuper al momento del peso respecto al punto O

P 1 = Fc 1,5

m g = m V2 / R 1,5

V2= g R /1,5 = 9,8 30 / 1,5 = 196

V = 14 m/s = 50,4 km/h

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