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MATEMÁTICA BÁSICA 2VECTORES Y MATRICES

C O N N Ú M E R O S C O M P L E J O S

QUINTA EDICIÓN 2005

© Impreso en: Ediciones

Jr. Loreto 1696 Breña Telefax: 423-8469 e-mail: ed ic iones_2@ hotmail.com

Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley N° 26905

H E C H O E L D E P Ó S IT O L E G A L N° 1501052001-3466 R A Z Ó N S O C IA L : R IC A R D O F IG U E R O A G A R C IA

D O M IC IL IO : Jr. Loreto 1696 Breña

Prohibida su reproducción por cualquier medio, total o parcialmente, sin el previo permiso escrito

del autor.

0 3 3 X 0 3

Dada la gran acogida que le d ispensaron los estudiantes a

la ediciones preliminares de esta obra, explica la aparición de esta

nueva edición ampliada a nueve capítulos, en la que se han hecho

las m odificaciones necesaria s con el propósito de hacer m ás

asequible su lectura, pues la obra proporciona una excelente

preparación para el estudio de cu rso s superiores com o el Aná lisis

Matemático y sobre todo, el A lgebra Lineal.

El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene

conocim ientos del Algebra y la Geometría elemental E s a si que

en el primer capítulo se desarrolla la relación que existe entre

estos d o s g randes cam pos de la matemática, esto es, el estudio

de la técnica de los vectores en el plano (sistema bidimensional).

En este capitulo, antes de definir un vector bidimensional, se

presenta el e spacio numérico bidimensional denotado por R J En

los capítulos 2 y 3 se estudian, por separado, las rectas en el

plano y su s aplicaciones, respectivamente En el capítulo 4 el

sistem a bidimensional se extiende al tridimensional, el cual se

denota por R : Lo s capítulos 5 y 6 proporcionan una introducción

vectorial a la geometría analítica sólida al estudiar rectas y p lanos

en R 3 En el capítulo 7 se introduce el estudio de los núm eros

complejos, que si bien es cierto, tienen gran sem ejanza con los

vectores en R \ no se debe confundir con estos dos conjuntos de

pares ordenados que tienen naturaleza cualitativamente

diferentes En el capitulo 8 se hace referencia al estudio de las

matrices de acuerdo con su dim ensión o tamaño y su s

aplicaciones a la solución de ecuaciones lineales. Finalmente, en

el capítulo 9 se expone la teoría de los determinantes de particular

importancia en la teoría de las matrices y su s num erosas

aplicaciones

IN P ró logo

C on este libro se tiene la intensión de desarrollar la

capac idad del estudiante y crea en él hábitos de rutina

matemática; esto es, la exposición teórica e s acom pañada de

num erosos ejemplos ilustrativos y ejercicios con su s respuestas

d adas al final del libro, los cuales, indudablemente, ayudarán al

estudiante a adquirir destreza y afirmar el dom inio de la materia.

Por ello, se recom ienda que los ejercicios propuestos se resuelvan

sistemáticamente, toda vez que su solución obedece a un criterio

de aprendizaje progresivo.

Mi reconocim iento a todos los am igos profesores que

tuvieron la gentileza de hacerme llegar su s sugerencia s y

o b se rv a c io n e s a la s e d ic io n e s p re lim inares. S u s c rít icas

constructivas hicieron posible corregir, mejorar y ampliar esta

n u e va ed ic ión . A s í m ism o d e se o e x p re sa r un e sp e c ia l

reconocim iento a E d ic io n e s R F G cuyo personal no ha escatim ado

esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la publicación

del texto.

El autor

V

Q

CONTENIDO

V E C T O R E S EN E L PLANO 1

1 . 1 C oordenadas rectangulares 11 .2 R J com o espacio vectorial 5

1.3 Representación geométrica de un vector en el plano 91.4 Magnitud y dirección de un vector en el plano 121.5 Adición de vectores en el plano 161.5.1 Representación gráfica de la sum a de vectores en el plano 171.6 Multiplicación de un esca lar por un vector 201.7 Vectores paralelos 29

1 .8 Producto esca lar de vectores 361.9 Angu lo entre dos vectores 511 . 10 Descom posic ión de vectores 591 . 1 1 Proyección orotogonal 661 . 1 2 Area del paralelogramo y del triángulo 821.13 Dependencia e independencia lineal de vectores 901.14 Los vectores y la geometría elemental 1061.15 Los vectores y la física 116

G R EC TA S EN E L PLANO 125

2.1 Recta que pasa por dos puntos 1252.2 Segm entos de recta 127

2.3 División de un segm ento en una razón dada 1292.4 Puntos que están sobre una recta 1332.5 Pendiente de una recta 137

2.6 Forma general de la ecuación de una recta 148

2.7 Forma punto pendiente 150

2.8 Forma pendiente y ordenada al origen 1512.9 Forma absc isa y ordenada al origen 1512.10 Forma simétrica 152

Contenido

A P LIC A C IO N ES DE LA R EC TA 163

3.1 Distancia de un punto a una recta dada 163

3.2 Intersección de rectas 171

3.3 Angu lo entre d o s rectas 180

V E C T O R E S EN E L ESPA CIO 193

4.1 El espacio tridimensional 193

4.2 Vectores en el espacio 194

4.3 Dirección de un vector en el espacio 199

4.4 Producto esca lar de do s vectores en el espacio 202

4.4.1 Angu lo entre d o s vectores en R 1 204

4.5 Proyección ortogonal y com ponentes 212

4.6 Com binación lineal de vectores en R ' 218

4.7 El producto vectorial 223

4.8 El producto mixto de vectores 238

4.8.1 Prop iedades del producto mixto de vectores 239

4.8.2 Interpretación geométrica del producto mixto 240

R EC TA S EN E L ESPA CIO 249

5.1 Ecuación vectorial de una recta en el e spacio 249

5.2 Posic iones relativas de vectores en el espacio 254

5.3 Aplicaciones de la recta en el e spacio 262

PLAN O S EN E L ESPA CIO 269

6.1 Ecuación vectorial de un plano 269

6.2 Distancia de un punto a un plano 277

6.3 Intersecciones de p lanos 281

6.4 Familia de planos que pasan por la intersección

de dos planos 285

6.5 Intersecciones de rectas y p lanos 290

LO S N UM EROS C O M P LEJO S ___________________________301

7.1 El conjunto de los números complejos 301

Contenido VII

7.2 R com o subconjunto de C 3087.3 Forma cartesiana de un número complejo 3097.4 Representación geométrica de los núm eros complejos 3117.4.1 Representación gráfica de la sum a y diferencia 3117.5 Módulo de un número complejo 3127.5.1 Prop iedades del módulo de un número complejo 3237.6 La raíz cuadrada de un número complejo 3287.7 Lugares geom étricos en C 3327.7.1 La línea recta 3327.7.2 La circunferencia 3337.7.3 La parábola 3347.7.4 La elipse 3367.7.5 La hipérbola 3377.8 Forma polar de un número complejo 3457.9 Potenciación de núm eros complejos 3517.10 Radicación de núm eros complejos 3557.10.1 Ecuac iones cuadráticas con coeficientes complejos 3577.10.2 R a íce s primitivas de la unidad 3547.11 La exponencial compleja 361

M ATRICES___________________________________ 379

8.1 Introducción 3798.2 Definición 3798.3 Orden de una matriz 3808.4 Igualdad de matrices 3818.5 Tipos de matrices 3828.6 Sum a de matrices 3838.7 Producto de un escalar por una matriz 3858.8 Multiplicación de matrices 3878.9 Prop iedades de la multiplicación de matrices 3928.10 Matrices cuadradas especia les 4048 .10 .1 Matrices simétricas 4048.10.2 Matriz antisimétrica 4058.10.3 Matriz identidad 4068.10.4 Matriz diagonal 4098.10.5 Matriz escalar 4098.10.6 Matriz triangular superior 4108.10.7 Matriz triangular inferior 4108 .10.8 Matriz periódica 4108.10.9 Matriz transpuesta 4148.10 .10 Matriz hermitiana 416

vni Contenido

8.10 . 1 1 Matriz inversa 417

8 .10 . 12 Inversa de una matriz triangular 419

8.11 Transform aciones elementales 427

8.1 1 . 1 Transform ación elemental fila 0 columna 427

8.1 1 . 2 Matriz e scalonada 428

8.11.3 Matrices equivalentes 429

8.11.4 R ango de una matriz 430

8.11.5 Matrices elementales 431

8 .1 1 .6 Inversa de una matriz por el método de las matrices

elementales (Método de G a u s s - Jordán) 434

8.12 S istem as de ecuaciones lineales 440

8.13 R a n go de un sistem a de ecuaciones lineales 449

8.14 S istem as hom ogéneos de ecuaciones lineales 456

□D ETER M IN A N TES 465

9.1 Definición 465

9.2 Prop iedades de los determinantes 466

9.3 Existencia de los determinantes 473

9.3.1 M enor de una componente 474

9.3.2 Cofactor de una componente 475

9.4 Cálculo de determinantes de cualquier orden 479

9.5 Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 499

9.5.1 Regla de Sarru s 499

9.5.2 Cálculo de determinates mediante la reducción a la forma

escalonada 501

9.5.3 Prop iedades multiplicativas 511

9.5.4 R ango de una matriz 516

9.5.5 Adjunta de una matriz 523

9.5.6 Inversa de una matriz 525

9.5.7 Matrices no singu lares 538

9.5.8 Resolución de sistem as de ecuaciones en dos variables 543

9.5.9 Resolución de sistem as de ecuaciones de tres variables 544

R e sp u e s ta s a lo s e je rc ic io s p ro p u e sto s 552

B ib liogra fía 572

A] VECTORESEíl El PUMO

' o — ^

( l .1 j C O O R D E N A D A S R E C T A N G U L A R E S____________________

El propósito de esta sección e s el de definir el concepto de par ordenado de

elementos, introducir una notación para representar tales pares y definir y estudiar

operaciones algebraicas sobre pares ordenados de núm eros reales. Em pecem os

entonces a definir el producto cartesiano de dos conjuntos.

DEFINICION 1.1 E l producto cartesiano de dos conjuntos

S i A y B son dos conjuntos dados, entonces el producto car­tesiano de A y B , denotado por A x B , e s el conjunto de todas las posibles

parejas o rdenadas {a , b) para las cuales la primera componente es un elemento

de A y la se gu n da componente e s un elemento de B. En sím bolos escribim os :

A x B = { (a , b)\a e A , b e B }V _________________________________

Por ejemplo , s i A = { 2 , 3 , 5 } y B = { a , & } , entonces

A x B = { (2 , a) , (2 , b ) , (3 . a ) , (3 , b) , (5 , a ) , (5 , b ) }

El producto cartesiano con el que trataremos en este libro e s R x R, denota­

do mediante R 2, que se define com o el conjunto infinito de parejas ordenadas de

núm eros reales. En sím bolos :

R x R = { (x , y) | x e R . y e R }

A s í com o el conjunto R de los núm eros reales es representado geométricamente por

una recta real, el conjunto R 2 se representa geométricamente mediante un plano

llamado plano real.

Capítulo I: Vectores en el plano

El plano real consta de dos rectas perpendiculares entre si, llam ados ejes de coordenadas, y su punto de intersección O se llama origen de coordenadas. La s

cuatro regiones en los que los ejes de coordenadas dividen al plano se llaman cua­drantes, y se num eran I , II, III y IV com o se muestra en la Figura 1.1.

La s distancias desde O a los puntos sobre los ejes son distancias dirigidas, es decir positivas a la derecha y negativas a la izquierda sobre el eje X y positivas

hacia arriba y negativas hacia abajo sobre el eje Y. La Figura 1.1 muestra los s ig no s

de los com ponentes de cada par (x , y) en los cuatro cuadrantes.

fY i

1 1

i

I(+.+)

o(

I I I

F A

IV(+. -)

V

c

Y i

y y

- \

k ¡11

h________ u b s c i s iJ ________ ^ f • >')11

¡ i

o

V

X

J

FIGURA 1.1 F IGURA 1.2

Estab lezcam os ahora una correspondencia biunívoca entre los puntos Pdel

plano y los elementos (x , y) de R :. El asociar a cada par ordenado (x , y) un punto P

se lleva a cabo com o sigue :

1. Por el punto que corresponda al número x sobre el eje horizontal (eje de absc i­

sa s) se traza una recta paralela al eje vertical.

2. Por el punto que corresponda al núm ero y sob re el eje vertical (eje de ordena­

das) se traza una recta paralela al eje horizontal.

3. Al punto de intersección P de estas rectas se le asocian las coordenadas (x , y).

P se llama “la gráfica de (x , y)” o simplemente “el punto (x , y)”.

O b sé rve se que todo P del plano determina un par (x , y) de núm eros reales, que son

su absc isa y su ordenada, y recíprocamente, todo par (x , y) determina un punto P

(Figura 1.2). Este medio de establecer una correspondencia uno a uno (biunívoca)

se llama sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.

Debido a que existe esta correspondencia uno a uno, si dos pares ordenados co­

rresponden al m ism o punto, los pares deben ser iguales. Tenem os entonces la s i­

guiente definición.

Sección 1.1: Coordenadas rectangulares 3

DEFINICION 1.2 Igualdad de pares ordenados

v_

La igualdad de pares (a , b) y (c , d) se define con

{a ,b ) - { c ,d ) <=> a = c y b =d

Ejemplo 1 ^ Para qué valor o valores de x se tiene que

(2x2 - 7 x + 1 . 3 x - 1) = (-2 , 8)

Solución. De la Definición 1.2 , se sigue que :

(2x: - 7x + 1 = -2) a (3x - 1 = 8)

de donde : (2x3 - 7x + 3 = 0) a (3x - 9 = 0) <=> (x = 3 ó x = 1/2) a (x = 3)

El número que bu scam os es la solución com ún , esto es, x = 3 ■

Ejemplo 2 J Hallar los elementos del conjunto

A = { (x , y) I (2x2 + 7 x , 4 y 2 - 19y) = (x , -12) }

Solución. Se g ú n la Definición 1.2, se debe cumplir que :

(2x: + 7x = x) a (4y: - 19y = -12)

<=> (2x2 + 6x = 0) a (4y: - 19y + 12 = 0) <=> (x = 0 ó x = -3) a (y = 3/4 ó y = 4)

Por lo tanto : A = { (0 , 3/4) , (0 . 4 ). (-3 , 3/4) , ( - 3 , 4 ) } ■

Una propiedad importante que debe recordarse e s que si se emplea una

m ism a escala en am bos ejes coordenados, entonces la distancia que separa a dos

puntos A ( x , , y,) y B ( x , , y :) en el plano es. por definición, la longitud del segm ento de

recta que los une. El siguiente teorema establece una fórmula de la distancia en

términos de las coordenadas de los dos puntos.

TEOREMA 1.1 Fórmula de la distancia

D ado s dos puntos A (x ( , y,) y B ( x . , y,) en el plano, la distancia

entre los d o s puntos viene dada por la fórmula

d ( A , B) = V(x, - x,): + ( y , - y , ) :.________________________________________________________________

Demostración. La demostración se b asa en el teorema de Pitágoras. En efecto, en

el triángulo rectángulo A C B de la Figura 1.3

I A"B I -’ = I Á C I - + IC B I

= I x 2 - x, 1 2 + 1 y, - y , |2y de aquí obtenem os :

d{A , B) = V(x, - x,)- + (y, - y ,)2

4 Capitulo 1: Vectores en el plano

E j e m p lo 3 ) Dem uestre que el triángulo A B C con vértices A (1 , -3), B (3 , 2)

y C (-2 , 4) e s un triángulo isósceles.

Demostración. La fórmula de la distancia da

I A B I = V(3 - 1): + (2 + 3)-’ = \Í29

IB C | = V(3 + 2)’ + (2 - 4)- = V29

I A C j = V(1 + 2): + (-3 - 4)- = V58

Dado que I A B I = j B C I , queda probado que el triángulo A B C e s isósceles.

Com o I A B I -’ + I B C 12 = I A C 1 2 , la recíproca del teorema de Pitágoras implica ade ­

m ás que A B C e s un triángulo rectángulo. ■

EJERCICIO S : Grupo 1

En los ejercicios 1 - 6, determine para qué núm eros reales la ecuación e s válida. S i

no existe solución, indíquelo.

1 . (x - 2y , 2x + y) = (-1 , 3) 4. (x2 + 2x , 2 x 2 + 3x) = (-1 , - 1 )

2 . (2x + 3y , x + 4y) = (3 , -1 ) 5. (x2 - y 2 , 4) = (12 , xy * y 2)

3. (x2 - 2x , x2 - x) = (3 , 6) 6. (x2 - xy , 3) = (12 , x y - y 2)

7. Hallar los elementos del conjunto

S = {(x , y) I (x2 + 2 xy , 3 x2 + 2 y 2) = (16 , 4 xy + 6)}

8. Hallar los elementos del conjunto

S = {(x , y) I (x3 - y3 , 6) = (19 , x2y - xy2)}

Sección 1.2: R: como espacio vectorial 5

9. Se a n los pares ordenados A = (2x + y - 3 , 5y - x - 8) y B = (x + 3y - 11 , 2x +

3y + 4); si A = B, encontrar el valor de S = 4x + 5y

10 . Determ ínese gráficamente las coordenadas del punto I de intersección de la

recta que pasa por A(2 , 3) y B (-1 , 4) y la recta que p asa por C(-1 , 0) y D(-2 , 3).

11. Hallar x de modo que la distancia de A(2 , -1) a B (x , 2) se a 5.

12. Dem uestre que los puntos A(-4 , 4), B (-2 , -4) y C (6 , -2) son los vértices de un

triángulo isósceles.

13. Probar que los puntos A (4 , 0), B (2 , 1) y C(-1 , -5) son vértices de un triángulo

rectángulo.

14. U sar la fórmula de la distancia para determinar que los puntos A(-2 , -5), B(1 , -1)

y C (4 , 3) están sobre una recta.

15. Dem uestre que M ^ t, e s punto medio del segm ento cuyos extre­

m os son los puntos A(a , b) y B(c , d)

I^ T ) R 2 C O M O E SP A C IO V E C T O R IA L ________________________

Tom ando al conjunto R de núm eros reales hem os construido el producto

cartesiano R x R, al cual sim bolizam os por

R- = { (x , y) I x e R , y € R }

Un hecho de fundamental importancia en este conjunto e s que podem os

definir en él dos operaciones entre su s elementos sim ilares a la adición y multiplica­

ción de núm eros reales. Este hecho hace que tal conjunto tenga una estructura

algebraica llamada espacio vectorial y que, por tanto, no s podam os referir a él no

so lo com o el “el conjunto R 2”, sino com o el “espacio R :”. La s operaciones que defini­

m os en R 2 son :

DEFINICION 1.3 Adición de pares ordenados de números reales

S i A = (a, , a:) y B = (bl , b2) son dos pares ordenados en R 2,

definimos su sum a como

A + B = (tf, + 6, , a z , b2)A la operación que a cada par le hace corresponder su sum a la llamaremos

adición de pares ordenados.

Por ejemplo, si A = (3 , 5) y B (l , -8), entonces :

A + B = ( 3 + l , 5 + (-8)) = (4 , -3)

6 Capítulo I: Vectores en el plano

DEFINICION 1.4 Multiplicación de un número real por un par ordenado

S i A = (at , a,) e s un elemento de R 2 , y r e s un número real

(llamado escalar), definimos su producto com o

rA = ( ra , , rtí,)

A la operación que hace corresponder a cada número real y cada par ordenado

su producto escalar la llamaremos multiplicación de un número real por un par

ordenado.

Por ejemplo, si A = (-2 , 6) y r = 3/2 , entonces :

r A = y (-2 , 6) = ( y (2), y (6)) =(-1,9)

O bsé rve se que, según estas definiciones, tanto la sum a de pares com o la

multiplicación de un escalar por un par ordenado, son nuevam ente elementos de R 2.

Por ello se dice que estas operaciones son cerradas en R 2.

E sta s do s operaciones gozan de prop iedades m uy importantes que se indi­

can en el siguiente teorema.

TEOREMA 1.2 Propiedades de los pares ordenados

D ado s los pares ordenados A, B, C e R 2 y los escalares r, s e R, se

cumplen las siguientes propiedades para la adición de pares ordenados y la multipli­

cación de esca lares por pares ordenados.

A, : S i A, B e R : ■=* (A + B) e R 2 (C lausura)

A 2 : S i A, B e R : => A + B = B + A (Conmutatividad)

A 3 : S i A, B, C € R 2 <=> (A + B) + C = A + (B + C) (Asociatividad)

A 4 : Propiedad del elemento identidad para la adición de pares

3 ! 0 e R 2|A + 0 = 0 + A = A , V A e R : (0 = (0 ,0))

A s : Propiedad del elemento inverso para la adición de pares

3 ! - A 6 R 2 1 A + (-A) = (-A) + A = 9 , V A e R 2 M, : S i r g R y A e R 2 <=> r A e R 2 (C lausura)

M 2 : 3 l e R I l A = A , V A e R 2 (Ex istencia del elemento neutro)

D, : r (A + B) = r A + r B , V r e R , V A , B e R 2 (Ley distributiva)

D 2 : (r + s)A = rA + sA , V r , s e R , V A e R 2 (Ley distributiva)

D 3 : r(sA ) = (rs)A , V r , s e R , V A e R 2 (Ley distributiva)

S e deja al lector la demostración de cada una de estas propiedades haciendo uso

de las propiedades respectivas de los núm eros reales.

Sección 1.2: R: como espacio vectorial 7

DEFINICION 1.5 E l espacio vectorial

El espacio vectorial V e s un conjunto de elementos, llamados

vectores, junto con un conjunto de elementos, llam ados escalares, con dos ope ­

raciones llam adas adición vectorial y multiplicación cscalar\a\es que para cada

par de vectores A y B en V y para todo escalar r, un vector A + B y un vector i A

están definidos de tal forma que las propiedades del Teorem a 1.2 se satisfacen.

El Teorem a 1.2 nos demuestra que el conjunto R 2 e s un espacio vectorial

sobre R. denotado por V,. Por tanto a los pares representados por ( x , y) también los

llam aremos vectores.

DEFINICION 1.6 Vectores en el plano

Un vector en el plano e s un par ordenado de núm eros reales

de la forma <x . y), donde x e y son las componentes del vector.

Para denotar vectores se utilizan letras en negritas tales com o A, B, C, a, b,—) —)

c, v, x, y, z. En la escritura a m ano se usan los sím bolos com o A , a , de tal forma que

un vector A de com ponentes escalares x e y se escribirá A = (x , y), para distinguirlo

del punto A (x , y). Para denotar los núm eros o escalares, se usarán letras m inúscu­

las tales com o a, b, c, r, s, t, x, y, z, com o contraste con los vectores.

Dado dos vectores en V,, A = (x, , y,> y B = ( x , , y , ) , podem os definir

1. S i A = B <=> (x, = x,) a (y, = y,) (Igualdad de vectores)

2. A + B = (x, + x , , y, + y,) (Definición 1.3)

3. r A = (r x, , r x,) (Definición 1.4)

Ejemplo 1 ] S i A = (-2 , 3) y B = (4 , -1), hallar el vector V = 2A + 3B

Solución. S i V = 2(-2 , 3) + 3(4 , - 1) <=> V = (-4 , 6) + (12 , -3) (Def. 1.4)

= ( - 4 + 1 2 , 6 - 3 ) (Def. 1.3)

= (8 , 3) ■

1 Ejemplo 2 j Hallar el vector x en la ecuación

2(-1 , 2) + 3x = (4 , -5)

Solución. S u p on ga m os que x = (x, , x,), entonces en la ecuación dada :

8 Capítulo l: Vectores en el plano

2<-l , 2) + 3<X, . x2> = (4 , -5)

=> (-2 , 4) + <3x, , 3x,) = <4 , -5) (Def. 1.4)

«=* <-2 + 3x, , 4 + 3x,) = <4 , -5) (Def. 1.3)

Por la igualdad de vectores : -f - + ^x i - 4 ^ x i - -*- 4 + 3x, = -5 <=> x, = -3

Por tanto, el vector buscado es : x = (2 , -3) ■

Cjcmplo 3 J Hallar todos los núm eros reales r y 4 tales que

r (4 , -6) + 4 (5 , -2) = <7 , 6>

Solución. <4r , -6r) + <54 , -2ó> = <7 , 6> (Def. 1.4)

<4r + 54 , -6r - 24> = <7 , 6> (Def. 1.3)

Por la igualdad de vectores : -f 4r + 54 _ 7l -6r * 24 = 6

Resolviendo el sistem a obtenem os los núm eros : r = - 2 , 4 = 3 ■

EJER C IC IO S : Grupo 2

1. D ado s A = (3 , -4), B = (8 , -1) y C = (-2 , 5 ), hallar el vector V. s i :

a) V = 3 A - 2 B + C c) V = 2 (A - B) + 3C

b) V = 4 A + 1 ( B - C ) d) V = 2 (A + C ) + 1 ( B - 2 C )

2. Hallar el vector X en las siguientes ecuaciones :

a) 3 <0 , -2) + 2 X - 5 <1 , 3) = (-3 , -5>

b) <15 , -12) + 2[ (-6 , 5) + X] = 4(1 ,-2 )

c) 2 X - 3 <1 , -2) = 5 <-1 , 3) - X

3. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los núm eros reales r y s

a) r <-2 , 3) - s (8 , 1) = <16 , 15) c) r <-2 , 3) + s <4 , -6) = <0 , 2)

b) r <5 , 1) + s <-3 , 5) = <-2 , 8) d) r <4 , 3) + s <-1 , 2) = <2 , -26)

4. S i <1 , 5) + 2x = <7 , -3 ), hallar r y t , tales que (-3 , 2) = r x + t<2 , -4)

5. S i A = <n , m ) , B = <1 , -2), C = <-1 , -3) y m A + n B - C = <0 , m2) , hallar el valor

de 3m + 2n

6. S i A = (m , n ) . B = <2 , -3) y C = <-1 , 1), hallar m y n para que se cumpla

m A + nB + C = 2n<1 , 0)

Sección 1.3: Representación geométrica de un vector en el plano 9

7. S i A = <2 , 3 ), B = <3 , -2) y C = <4 , -1 ), resolver la ecuación

2A - 3( — (B - 3C) + ^ X ] = l x + 3C2 4 4

8. Hallar los elementos del conjunto

V = { <m , n) e R : I < 12m - 1 |, 12m + 1 |) = <5 , 9)}

9. D ado s los vectores A = <3x - 5 , x - 2y + 2) y B = (x - y - 2 , 3 - 2 y ) , hallar x e y

tales que 3 A = 4 B

10. S i A = <2m - 3n , 4n - m) y B = <2 , -3), hallar los valores de m y n que hacen que

A = 5B.

1-3 ) REPRESEN TA CIO N G EO M ETRICA DE UN V E C T O R EN E L PLANO

Geométricamente, cualquier par de puntos distintos S y T en el plano deter­

m inan un segmento de recia orientado ST de S a T. S i representam os este segm ento

de recta por un vector V = <x , y ) , mediante una flecha, éste se llama vector geomé­trico cuyo punto inicial e s S ( x , , y,) y tiene com o punto final T (x + x, , y + y t). De este

m odo un vector V e R : puede interpretarse com o una traslación descrita por un par

de núm eros reales (x , y ) , la primera componente indica un desplazam iento paralelo

al eje X y la segunda componente un desplazam iento paralelo al eje Y. La Figura 1.5

ilustra se is representaciones del vector V = <x , y). En cada ca so , V traslada el punto

(x^ , y ) en el punto (xt + x , y + y). S i am bos puntos , el inicial y el final son el origen

, entonces a V se le llama vector cero y se denota mediante O = <0 , 0 ).

r

Yi■N

J * ->

j

\>

■y'U AA

.Vi

T \ J i 'r

s( J w

V Vy

OA

V I T /

>

>k

p,v —

p \ S

0

V

\

FIGURA 1.5 F IG URA 1.6

El segm ento de recta dirigido O P que va del origen al punto P(x , y) e s una

representación ordinaria del vector V = (x , y) y se dice que la flecha o vector tiene

posición ordinaria o estandar. Por esta razón, el vector V se llama vector de posicióno radio vector del punto P(x , y).

10 Capítulo I: Vectores en el plano

DEFINICION 1.7 Vector Localizado

Un vector localizado en R : e s una pareja de puntos P t y P,

que se indican con P P, para los cuales P, e s el punto inicial o de partida y P, e s

el punto final o de llegada (Figura 1.6). S i una flecha tiene com o punto inicial a

p ,(x , . >',) Y a p2(x r ’ >'i) com o punto final, entones la flecha P,P, e s una represen­

tación geométrica del vector V = (x . y ) , donde :

<x J \> = < \; - \ 1 (1)

S i consideram os a P l y P, com o vectores de posición de los puntos ?! y P,

entonces, según la Definición 1.7 :

V = p p = p - p12 *2 *1de donde :

i'v + p, = «*.) (2)

Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final P, del vector V co ­

nociendo, desde luego, el punto inicial y las com ponentes del vector V.

I O B S E R V A C IO N 1.1 Un vector en R : puede se r conside rado com o una función

cuyo dominio y rango e s el conjunto de puntos en el plano.

En efecto, si V e s el vector que traslada el punto P, en el punto P, escribim os V(P,) =—>

P,. A s í si P,(x, , y,) e s el punto de partida y V = (x , y) e s el vector localizado PtP„ entonces

V (P.) = (x, + x , y, + y) = P2

i iDominio Rango

D ebem os notar que si V (P,) = P, <=> V = (0 , 0)

Cjemplo 1 ] Hallar V (P l). dados P, = (-2 , 1) y V = (3 , 4). Graficar P,P,

Solución. Se gú n la ecuación (2):

V (P,) = P, <=> P2 = (x, + x , y, + y)

= (-2 + 3 , l + 4)

= d . 5 )

La gráfica de P,P, se muestra en la Figura 1.7

Sección 1.3: Representación geométrica de un vector en el plano 11

E j e m p lo 2 ^ | Hallar el vector localizado de P ,P 2 si P, = (5 , -2) y P 2 = (2 , 3).

Interpretar geométricamente el resultado.—)

Solución. Se g ú n la Definición 1.7 : V = P,P, = P, - P,

= < 2 ,3 > -< 5 ,-2 >

= ( 2 - 5 , 3 - (-2)) = (-3 , 5)

La gráfica de P,P, se muestra en la Figura 1.8, en ella se puede observar la equiva­

lencia del vector localizado P,P: y del vector de posición V = P, - P, ■

E j e m p lo 3 ] Un vector que va de A (3 , 5) a B(x , y) representa al m ismo

vector que va de B(x , y) a C (8 , 1). Hallar B (x , y)

Solución. Se a n : V = A B = B - A = <x , y) - (3 , 5) = (x - 3 , y - 5)

W = B C = C - B = <8 , 1> - (x , y) = <8 - x , 1 - y>

r X - 3 = 8 - X <=> X = 11/2 S i V = W <=> <x - 3 , y - 5) = <8 - x , 1 - y> c=* |

Por tanto, el punto buscado es B (1 1/2 , 3)

y - 5 = 1 - y ■=> y = 3

Ejemplo 4 } En la Figura 1.9, se tiene :O P = x3 y O Q = x2y . ,

S i b = (y3 + 19 , 6 + xy2) y a = b , hallar el valor de x + y.—> —>

Solución. L a s com ponentes del vector a son O P y O Q

■=> a = < x *, x2y)

r x ’ = y J + 19 <=> xJ - y- = 19 (1)L u e g o , si a = b <=> < , , , , , ,

I x :y = 6 + xy- «=> x*y - xy- = 6 (2 )

Reso lv iendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : x = 3 ,

y = 2 ó x = -2 , y = -3. D ado que en la Figura 1.9, O P y OQ

f

p

k

i/

’o ^

/

A

f

c

FIGURA 1.9

son negativos, descartam os la primera alternativa. Por tanto : x + y = -5

12 Capítulo I: Vectores en el plano

EJER C IC IO S : Grupo 3

En los ejercicios del 1 al 4, hallar V ( P , ) , d ados V y P,. S i P 2 = V ( P , ) , graficar

P P1 1* 2‘1. V = (2 , 6) , P, = (1 ,3 )

2. V = <-4 , 1 ) , P, = (-2 , -3)

3. V.= (-3 , 5 ), P, = (-5 , -2)

4. V = <5 , -1 ), P, = (-2 , 4)

En los ejercicios del 5 al 8, hallar el punto S(x , y) tal que P Q y R S sean repre­

sentaciones del m ism o vector

5. P(2 , 5 ), Q(1 , 6) , R(-3 , 2) 7. P(0 , 3 ), Q (5 , -2 ), R (7 , 0)

6. P (-1 , 4) , Q (2 , -3 ), R(-5 , -2) 8. P(-2 , 0 ), Q (-3 , -4 ), R (4 , 2)

9. El vector V = (3 , 2) e s el vector localizado del segm ento A B cuyo punto m e­

dio e s C (3 , 1). Hallar las coordenadas de los extremos de AB.

10. Se an los puntos P(5/2 , 5 ), Q(1/3 , 13/4) , R(-16/5 , 7/2) y S (x , y). S i P Q y R S

representan el m ism o vector, calcular el valor de 30x + 80y.

11. S e a V = (7 , -6) el vector localizado del segm ento A B y C(5/3 , 3) el punto de

trisección m ás cercano de B, de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A y B.

1 2 . En la Figura 1.10 se tiene : O P = x3 , O Q = 6 - x

Hallar a , si b = (9xy - y 3 , y) y a = b.13. Se a n A (a , -2) , B(2 , 4 ), C (8 , -3) y

D = { (x , y) I y = 2x + 1}

Si A B = C D , hallar el valor de a - x

1.4 ) M A G N IT U D Y D IR E C C IO N DE UN V E C T O R EN R2

Para cada vector V e R - , V = (x , y ) , existe un esca lar o número llamado

norma. módulo o magnitud de V, denotado por 11V 11, tal que :

II V|| = V x2 + y: (3)

La fórmula (3) e s coincidente con la noción intuitiva

de longitud de un segm ento deriva del teorema de

Pitágoras. La Figura 1 . 1 1 ilustra esta propiedad.

FIGURA 1.11

Sección 1.4: Magnitud y dirección de un vector en R2 13

Cjemplo 1 Hallar la magnitud del vector de extremos A(1 , 3) y B(-2 , 7).

Solución. S i V e s el vector que va de A a B, entonces

V = Á B = B - A = (-2 - 1 , 7 - 3) = (-3 , 4>

Luego, según la fórmula (3 ): 11V11 = V(-3): + (4)- = 5 ■

TEOREMA 1.3 Propie<' des de la norma de un vector en R-

V A , B e R : , y V r e R se cumplen las siguientes propiedades

N, : V A e R- , 11A ¡| > 0

N 2 : || A I I = 0 <=> A = O

N 3 : V r e R . V A e R - , 11 rA 11 = I r 1. 11 A11

N 4 : V A , B e R : , | a + B | | < | | a || + 11 B 11 (Desigualdad triangular)

V________________________________________________________________Demostración de N1:

En efecto, si A = (x , y> <=> ! A 11 = \ ’x : + y2 S i x * 0 y * c=> 11 A 11 0

Sa b e m o s que si existe la raíz cuadrada de un número, ésta e s positiva, por

lo tanto, 1 1A 11 > 0

Demostración de N2 :(■=>) S i II A II = 0 => 11 A 11 = vx- + y : = 0. La igualdad se cumple si

x = y = 0 , esto e s , A = (0 ,0 ) = O

( H S i A = O t=> A = (0 , 0) <=> 11A 11 = \ '0 : + 02 = 0

Por consiguiente : I A ! I = 0 <=> A = O

Demostración de N3 :En efecto , si A = (x , y) ■=> r A = (rx , ry)

y 11 rA 11 = V(rx): + (ry): = \ r:(x2 + y :) = \ r 2 . Vx: + y :

11 rA11 = I r I Vx: + y :

DEFINICION 1.8 Dirección de un vector en R :

A cada vector no nulo , V = (x , y) e R 2 , le corresponde una

dirección dada por la medida del ángulo a (ángulo de dirección de V) que forma

el vector con el semieje positivo de las X, para el cual

S e n a = — , C o s a = — -L— = ■ ■ ,x : - (4)11 V 11 V.\- + v 2 11 V 11 V x: + y

y 0 o < m (a) < 360°

De las ecuaciones (4) se sigue que

V = (x , y) = 11 V 11 ( C o s a , S e n a ) (5)

14 Capítulo 1: Vectores en el plano

Por tanto, un vector en R: queda determinado por su magnitud y dirección.

I O B S E R V A C IO N 1.2 La dirección m (a) del vector V se obtiene de la manera

siguiente

Mediante un ángulo de referencia a, y haciendo

uso de una tabla de valores se halla el valor de

con 0o < m ía,) < 90° para el cual

Tg a, = |y| . x * 0

S i x > 0 , y > 0 o m (a) = m(a,) (Cuad. I)

x < 0 , y > 0 «=* m (a) = 180° - m(a,) (Cuad. II)

x < 0 , y < 0 => m(a) = 180° -t- m(a,) (Cuad. III)

x > 0 , y < 0 t=> m(a) = 36(T - m (a () (Cuad. IV )

D e sde luego, si x = 0 pero y * 0, entonces m (a) =

para y > 0 ó y < 0.

Ejemplo 2 J Hallar la magnitud y dirección del vector V = <-3 , 4)

Solución. Se gú n la fórmula (3), la magnitud del vector V e s

II V|| = V (-3): + (4)3 = 5

Por las ecuaciones (4) la dirección del vector está dada

por

S e n a = | y C o s a = - j

Dado que S e n a > 0 y C o s a < 0 , entonces a está en el

II cuadrante.

Angulo de referencia : Tga, = |-|| = - i <=> a, = 5398’

Por lo que : m(a) = 180° - 53°8’ = 126°52’ ■

Ejemplo 3 J Expresar el vector V = (3 , -3 \3 ) en términos de su magnitud y

de su ángulo de dirección.

Solución. Se gú n (3): 11V11 = \'(3)2 + (-3\3)2 = 6 y por las ecuaciones (4 ):

S e n a = - ^ y C o s a = ^

Com o S e n a < 0 y C o s a > 0 , entonces a está en el IV cua ­

drante.

Angulo de referencia : Tga, = |-¿| = V3 => m(a,) = 60°

í YÁ u

vu

JFIGURA 1.14

90° ó m(a) = 270° respectivamente

Sección 1.4: Magnitud v dirección de un vector en R ' 15

Luego, m (a) = 360° - 60° = 300°

Por lo que, se gún la ecuación (5 ):

V = 6(C o s 300°, S e n 300°)

DEFINICION 1.9 Vector unitarioDado un vector no nulo V = <x , y), llam am os vector unitario a

un vector u que tiene la m ism a dirección de V tal que :

u = V / x... _ > ! _ \ (6)i i v i l i i vt i i i v i r

o bien

u = (C o sa , S e n a ) (7)

Ejemplo 4 J Hallar un vector unitario que tiene la m ism a dirección y sentido

del vector V = <-3 , V7)

Solución. La norma del vector dado e s : 11 V i ! = V(-3)’ + (V7): = 4

Por la fórmula (6): u - ) ■

í Ejemplo 5 j Hallar un vector de módulo 10, que tenga la m ism a dirección y

sentido opuesto al vector que va de S (4 , 2) a T(1 , 6).

Solución. S e a A = ST = T - S = (1 - 4 , 6 - 2) = (-3 , 4)

. < - 3 , 4 )Un vector unitario en la dirección de A es : u = — ^—

Luego, el vector buscado e s : V = - 11V I ! u <=> V = <6 , -8) ■

( Ejemplo 6 j Hallar un vector unitario en la dirección del vector V de longitud

5 , que tiene su punto inicial en (1 , - 1 ) y su punto terminal tiene

ab sc isa 4.

Solución. S i P,(I , -1) y P, = (4 , y) => V = P,P, = P2 - P,= <4 , y) - (I , - l)

= <3 , y + i> (1)

C om o 11 V11 = 5 <=» V9 + (y + I )2 = 5

.=> (y + 1): = 16 <=> y + 1 = 4 ó y + 1 = - 4

<=> y = 3 ó y = - 5

16 Capítulo I: Vectores en el plano

Luego, en (1) : V = (3 , 4) ó V = (3 , -4)

E JE R C IC IO S : Grupo 4

En los ejercicios del 1 al 4, se dan las coordenadas de los puntos A y B. Expre­

sar el vector V = A B en términos de su magnitud y de su ángulo de dirección.

1. A(-3 , 4 ), B(-5 , 6) 3. A(5V3„ 4 ), B(V48 , 5)

2 . A (\ 12 , -3 ), B(V27 , -4) 4 . A(3>/5 , - V Í 5 ) , B (V20 , -V60)

5. Hallar un vector V cuya magnitud e s igual a la del vector A = (4 , -2) y cuya

dirección es la m ism a que la del vector B = (1 , \3 )

6. Hallar un vector de m ódulo 10 que form a un ángu lo de 3 7 9 con el eje X

positivo. (Sugerencia: U sa r C o s 37 2 = 3/4)

7. Hallar un vector de m ódulo 15 que form a un ángu lo de 5 3 s con el eje Y

positivo. (Sugerencia : U sa r C o s 539 = 3/5)

8. Hallar un vector que tenga la m ism a magnitud del vector que va de A(-2 , 3) a

B(-5 , 4) y que tenga el sentido opuesto al vector que va de S (9 , -1) a T(12 , -7 ).

9. Hallar un vector V de longitud 6 \3 y que tiene la m ism a dirección de un vector

que forma un ángulo de 309 con el sentido positivo del eje X.

10. S i V = <x , y ) , cuya norma e s 6 e y = \3 x , hallar dicho vector.

11. Hallar un vector unitario en la dirección del vector V de longitud 17, que tiene su

punto de apoyo en (3 , -12) y su punto terminal tiene ordenada 3.

O P E R A C IO N E S V E C T O R IA L E S F U N D A M E N T A L E S^

11.5 A D IC IO N DE V E C T O R E S EN R-_________________________

D ado s dos vectores A y B en R- tales que A = <x, , y,) y B = ( x , , y,>, defini­

m os la adición del modo siguiente :

A + B = (x, , y,) + <x2 , y,) = <x, + x , , y, + y,) (8)

Por ejemplo, si A = (5 , -7) y B = (-3 , 2 ), entonces :

A + B = <5 - 3 , -7 + 2> = <2 , -5)

Sección 1.5: Adición de vectores en R2

rTEOREMA 1.4 Propiedades de la adición vectorial

S i A , B y C son vectores en R 2, entonces se cumplen las s i­

guientes propiedades

A, : S i A y B e R 2 <=> (A + B ) € R C lausura

A., : A + B = B + A Conmutatividad

A 3 : (A + B ) + C = A - ( B + C) Asociatividad

A : 3 !0 6 R 2 , V A € R 2 I A + 0 = 0 + A = A Elem ento neutro para la adición

A 5 : V A e R 2 , 3(-A) € R 2 ! A + (-A) = (-A) + A = 0 Opuesto de un vectorv . . ■J

D em ostración de A, :En efecto, si A = (x, , y,) y B = ( x , , y , ) , entonces, por (8):

A + B = (x, + x , , y, + y2)Puesto que la adición e s cerrada en R «=> (x, + x,) e R y (y, + y,) e R

Por lo tanto , (x, + x , , y, + y,) e R 2 «=> (A + B ) e R !

D em ostración de A4 : Consta de dos partes : Existencia y Unicidad

Existencia. S i A = ( x , , y,>, se tiene

A + O = <x, , y,) + <0 , 0) = <x, + 0 , y, + 0) = < x ,, y,> = A Análogam ente se dem uestra que : O + A = A

Unicidad. S e a O i otro elemento de R 2 que también cumple

A + 0, = 0 1 + A = A Esta igualdad e s cierta VA e R :, en particular se A = O , entonces

0 + 0 , = O, + 0 = 0 Análogam ente, haciendo A = O , , en A 4 se sigue que

O, + 0 = 0 + 0 , = O,Luego, las dos igualdades anteriores prueban que

o, = oPor lo tanto, queda dem ostrado que : 3 ! O e R 2 , VA s R 2 A + 0 = 0 + A = A

í j .5 . l) R E P R E SE N T A C IO N G R A F IC A DE LA S U M A DE V EC T O ­R E S EN R 2 __________________________ _ _

Se a n los vectores A y B en R 2, la flecha que representa a la sum a A + B se

obtiene del m odo siguiente

Representam os una traslación a lo largo de una flecha cualquiera que represente al

vector A = (x, , y,) segu ida de una traslación del punto final de esta flecha a lo largo

de la flecha que representa al vector B = ( x , , y,). La traslación total correspondiente

18 Capitulo I: Vectores en el plano

al vector A + B. e s una flecha que tiene com o punto inicial el del vector A y com o

punto final el del vector B (Figura 1.15).

La sum a A + B o B + A s e conoce com o el vector resultante y e s la d iago­

nal de un paralelogramo que tiene com o lados adyacentes a los vectores A y B. La

obtención de la sum a A + B sigu iendo este procedimiento recibe el nombre de ley del paralelogramo, que se ilustra en el siguiente ejemplo.

C jo m p lo 1 ) D ado s los vectores A = (-1 , 4) y B = (3 , 2), hallar A + B y

construir una gráfica que muestre las representaciones ordina­rias correspondientes a los vectores.

Solución. Por definición :

A + B = (-1 + 3 , 4 + 2)

= (2 , 6)

En la Figura 1.17, obsérvese que la flecha que

va de S a T representa al vector A y la flecha que

va de R a T representa a B (por segm entos de

paralelas). ■

DEFINICION 1.10 Negativo de un vector en R-

S i A e R :, tal que A = (x , y), se denom ina negativo o inverso aditivo de A al vector

-A = (*x , -y)

Sección 1.5.1: Representación gráfica de una suma de vectores en R2

Por ejemplo, el negativo del vector A = (-3 , 2) e sY1

-----------------k

-A = (3 , -2).

| O B S E R V A C IO N 1.3 Dado el vector A s R : suii

negativo -A e R : e s colineal, de la m ism a m agni­ 0' r \ • \ - A l

tud, esto es, 11 - A 11 = 11A11, pero de sentido opuesto\ i

que el vector A.

Puesto que para cualquier vector V = (x , y) se FIGURA 1.18

tiene q u e :

V + (-V) = <x , y> + <-x , -y) = <x + ( - x ) , y + (-y)> = (0 , 0) = O

Esto n o s lleva a la definición natural de diferencia de dos vectores.

DEFINICION 1.11 Diferencia de vectoresD a d o s d o s vecto re s A , B e R- , ta les que A = <x, , y,) y

B = <x, , y 2>, definimos la diferencia A - B del m odo siguiente :

A - B = A + (-B) = <x, , y,) +.<-x: , -y,)

A - B = (x, - x , , y, - y,> (9)

¡Cjem plo 2 J S i A = (4 , 2) y B = <-3 , 3), hallar la diferencia A - B y trazar una

gráfica que muestre la representación ordinaria de los tres vec­

tores.

Solución. Se g ú n la Definición 1.11 :

A - B = <4 , 2) - (-3 , 3) = <4 - (-3), 2 - 3> = <7 , -1> ■

La representación ordinaria de cada uno de los vectores se muestran en la Figu- -

ra 1.19. D ebem os destacar que el inverso aditivo de (-3 , 3) e s <3 , -3) (negativo del

vector B), que e s colineal y de la m ism a magnitud que (-3 , 3> , pero de sentido

opuesto.La representación geométrica de A - B puede obtenerse aplicando la regla del

parale logram o a la sum a A + (-B). La F igura 1.20 no s muestra otra m anera de

representar la diferencia A - B , que consiste en unir los puntos finales de los

vectores B y A.

| O B S E R V A C IO N 1.4 S i A , B e R 1, entonces la diferencia A - B satisface la con ­

dición B + (A - B) = A, lo que explica porque a lgunas veces

se dice que la diferencia A - B e s el vector que va de B a A (Figura 1.20).

20 Capítulo I: Vectores en el plano

I j Q M U L T IP L IC A C IO N DE UN E S C A L A R PO R UN V E C T O R

Dado un vector V = (x , y) € R 2 y un esca lar r e R, el producto del escalar por

el vector es otro vector rV para el cual

rV = r(x , y) = (rx , ry)

La magnitud de rV e s 11 rV 11 = I r I . 11 V i I y su dirección e s la m ism a que la de V,

aunque su sentido puede ser opuesto, e s decir, los vectores V y rV son paralelos.

I Nota. Al vector rV se denomina múltiplo escalar de V

R E P R E S E N T A C IO N G R A F IC A . Se gú n que r se a positivo o negativo la gráfica de

rV puede ser

TEOREMA 1.5 Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector

S i A y B son vectores en R 2 y r, s e R (escalares), se cumplen las

siguientes propiedades

M, : i A e R ; C lau su ra

Sección 1.6: Multiplicación de un escalar por un vector 21

M 2 : (r s) A = r (sA) Asociatividad

M 3 : 1A = A Neutro multiplicativo

M 4 : i A = 0 <=> r = 0 ó A = 0 Cero multiplicativo

M 5 : - 1 A = -A Inverso multiplicativo

D, : r(A + B ) = rA + rB Distribuidad respecto a la adición de vectores

D 2 : (r + s)A = rA + sA Distribuidad respecto a la adición de escalares

M 6 : l l r A l l = | r l . Il A l l Magnitud respecto a múltiplos escalares

D emostración de D,. S i r e R y A , B e R : , tales que A = (x, , y,) y B = (x2 , y,)

dem ostrarem os que : r (A + B) = rA + rB

En efecto : r (A + B) = r «x, , y,) + <x2 , y,))

= r «x, + x 2 , y, + y 2» (Adición de vectores)

= <r (x, + x 2) , r (y, + y 2)>

= (rx , + r x , , r y, + r y 2> (Múltiplo escalar)

= <r x, + r y,) + (r x, + ry 2) (Adición de vectores)

= r <x, , y,) + r <x, + y 2> (Múltiplo escalar)

= rA + rB

D emostración d eD 2. S i r , s e R y A e R 2, tal que A = (x , y), dem ostrarem os que:

rA + sA = (r + s)A

En efecto : rA + sA = r <x , y) + s (x , y)

= <r x , r y> + (s x , s y> (Múltiplo escalar)

= < rx + s x , r y + s y ) (Adición de vectores)

= ( ( r + s ) x , ( r + s)y > (D istribuidad en R)

= (r + s) <x , y) (Múltiplo escalar)

= (r + s)A

í EJEM PLOS ILUSTRATIVOS^

Ejemplo 1 ) Dem ostrar que V A e R 2 : -(-A) = A

Demostración. En efecto, según la propiedad A s :

V A e R 2 , 3! -A e R 2 1A + (-A) = 0 (1 )

y para el vector - A s R : , 3! [-(-A)] I (-A) + [-(-A)] = 0 (2 )

En (2), por la propiedad A 2, se tiene : [-(-A)] + (-A) = 0 (3)

Por (1) y (3) y la unicidad del inverso aditivo se sigue que :

-(-A) = A ■

22 Capítulo 1: Vectores en el plano

C jc m p lo 2 ^ Dem ostrar que s i : A = B c=> A + C = B + C , V C e R :

Demostración. Por la propiedad A 4 se sabe que

3! O e R 11 B = B + O , V B e R 1 Por hipótesis : A = B , entonces , A = B + O (1 )

Por la propiedad A 5 : 3! (-C) e R-1 C + (-C) = O ', V C e R : (2)

Sustituyendo (2) en (1 ) se sigue que :

A = B => A = B + [C + (-C)]

<=> A = (B + C) + (-C) (A 3)

<=> A - (-C) = (B + C ) + [(-C) - (-C)]

c=> A + C = (B + C ) + 0 (Ejemplo 1 y A 5)

A = B <=> A + C = B + C , V C € R ! ■

Ejemplo 3 J Se a x un vector tal que (3 , -4> = x + (1 , -6>.

S i (3 , -2) = tx + r(-2 , 1 ), hallar el valor de 3r + 6t

Solución. En la primera ecuación se tiene :

<3 * *4) • <1 , -6) = X + [ <1 , -6) - (1 , -6) ]

<=> (3 - 1 , -4 - (-6)) = x + O (Definición 1.11 y A 5)

<=> (2 , 2) = x

Luego, si (3 , -2) = t<2 , 2> + r <-2 , 1>

= (2t , 2t) + <-2r , r) (Múltiplo escalar)

= (2t - 2 r , 2t + r> (Adición de vectores)

De la igualdad de vectores se sigue que : 3 = 2t - 2r y -2 = 2t + r

Resolviendo el sistem a obtenem os : r =-5/3 , t = - 1/63r + 6t = -6 ■

E j e m p lo 4 j Resolviendo una ecuación vectorial *

D a d o s : A = <-2 ,2 ), B = (3 , -2) y C = (-1 ,1 >, resolver la ecuación

3 A - 2 [3(B - 2C) + 2A j + 3 X = 2 C + X

Solución. Restando 2C + X a cada extremo de la ecuación dada se tiene :

3A - 6(B - 2C) - 4 A + 3X - (2C + X) = (2C + X) - (2C + X)

<=> (3 - 4)A - 6B + 12C + (3 - 1)X - 2C = O

=> -(A + 6B - 10C) + 2X = O

<=> (A + 6B - 10C) - (A + 6B - 10C) + 2X = (A + 6B - 10C)

■=> 2X = A + 6B - 10C = (-2 , 2) + 6(3 , -2) - 10<-l . 1>

= (-2 , 2) + (18 , - 12) + (10 , - 10)

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 23

= ( - 2 + 1 8 + 1 0 , 2 - 1 2 - 10)

= (26 , -20) •

X = (13 , -10)

Ejemplo 5 J Mediante segm entos orientados demostrar la propiedad A 3 : (a + b) + c = a + (b + c)

Demostración. Se an los segm entos orientados

PT = a , T S = b , SR = c ,

Haciendo uso de la ley del paralelogramo para

la sum a de vectores se tiene :

En el APTS : S = PT + T S = a + b

E n e lA T S R : T R = T S + SR = b + c

En el APSR : PR = PS + SR

■=> x = (a + b) + c (1 )

En el APTR : PR = PT + TR

<=> x = a + (b + c) (2) FIGURA 1.23Por lo tanto, de (1) y (2) se sigue que : (a + b) + c = a + (b + c)

PR = X (Figura 1.23)

r

>

/ 'p

V J

I Ejemplo 6^ j Se a n los vectores A = (-2 , 3) y B = (4 ,-3). Un segm ento diri-

O I . . .gido que representa a -| A - B tiene p o r punto in icial

O O

S (5 , -3/2), hallar el punto final.—>

Solución. S e a T (x , y) el punto final del segm ento ST

S i S T = | A - 1 B => T - S = -I (-2 , 3> - 1 (4 , -3> = (-2 , 5/2)3 6 3 6

S r X - 5 = -2 =Entonces, si : (x - 5 , y + = (-2 , -y) o -1 ^ ^

Por tanto el punto final e s T(3 , 1).

x - 5 = -2 t=> x = 3

5 2y + -f = ? ■=> y = i

Ejemplo 7 J S e t ie n e : 2(2 , -3) + C = (3 , -5) + (a , 7) y C está sobre la recta

CJ ’ : y = x + 2. S i A(3 , 5) y B (-2 , 6 ) , hallar el punto P tal que

P C = -AB.

Solución. S e a C = ( x , y ) y s i C e W- : y = x + 2 e=> C = ( x , x + 2)

En la ecuación dada : 2(2 , -3) + (x , x + 2) = (3 , -5> + (a , 7)

24 Capitulo I: Vectores en el plano

de donde : (x , x + 2) = (a - 1 , 8) o -f X ü '^ x + 2 = 8 => x = 6

Luego . C = <6 , 8>. S i P = ( x , , y,) y K ! = -A B => C - P = -(B - A) = A - B

==> <6 - x, , 8 - y,) = (3 + 2 , 5 - 6) <=> {

Por tanto, el punto buscado e s : P(1 ,9 )

6 - x, = 5 <=> x, = 1

-y, = - i => y, = 9

I € j c m p lo 8 J L o s vecto re s A , B y C e R 2, cum plen que : A + 2 B = C y

A - 3 B = 2C. S i A e s un vector unitario, hallar la norma de B + C.

Solución. De las ecuaciones dadas se tiene : A = C - 2B ( 1 )

A = 2C + 3B (2)

Luego , s i : C - 2B = 2C + 3B <=> C = -5B

Sustituyendo en (1) obtenem os : B = - J r A = > C = ^ A

=> B + C = y A , implica que : 11 B + C 11 = -^ 11A 11

Com o A es un vector unitario , entonces : 11 B + C11 = ■

Ejemplo 9 ) En la Figura 1.24, se tiene :

|| A l l = 3 . Il B || = 2 ||C || = 2 V ÏÔ

Si T g a = 1/3 y T gp = 3, hallar el valor de m de modo que

m A + 3B = nC

t=> S e n a = 1/VTÔ y C o sa = 3/vlO

> Se n p = 3/VTÔ y C o sP = 1/VTÔ

c=> A = 3(1 , 0)

Y i.............

/v

A > "

jFIGURA 1.24

Solución. S i T ga = 1/3

TgP = 3 cUn vector unitario en el sentido de A e s (l ,0 )

B = 11 B 11 ( -C o sa - S e n a ) = 2VTÔ (-3/VTÔ, -1/VÏÔ) => B = {-6 , -2)

C = 11 C 11 (C osP , Senp) = VTÔ ( 1/VTÔ, 3/VÏÏj) => C = (1 , 3)

r 3m - 18 = nLuego, si m(3 , 0) + 3(-6 , -2) = n(I , 3) <=>

'- 0 - 6 = 3n <=> n = -2

Sustituyendo el valor de n en la primera ecuación obtenem os : m = 16/3

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 25

Ejemplo 10J Se a el exágono regular de lado

a , mostrado en la Figura 1.25.

Al sum ar los segm entos orientados BA, AC, D C y—►

A E se obtiene un vector S, hallar la norma de S.

Solución. S i r e s el radio de la circunferencia cir­

cunscrita al exágono regular, entonces :

f:b = r = a y t } = r V3 , esto e s , 11 A C 11 = 11 A E 11 = <zn'3,

por se r lados de un triángulo equilátero.

T ra sladam os los vectores indicados a un sistem a

bidimensional con origen en A, cuyo eje X siga la

dirección de A D (Figura 125a). Ahora, aplicando la

ecuación (5) tenem os :

B A = I I b a || ( C o s 240", S e n 2 40° )= a(- \

D C = I ID C II (C o s 120° , S e n 120°) = a <’ 7 -

A C = 11 A C 11 ( C o s 30° , S e n 30° ) =

rV3<W5<f , l > = « < 2 . f >

A E = II A E ! ! ( C o s 330°, Se n 330° ) = aV3 = a (J- , - - Ç )

Por tanto, si S = B A + A C + D C + A E = (2a , 0) <=> 11 S 11 = 2 a

( Ejemplo 11 ] Puntos de trisección de un segmento

Dem ostrar que si P, * P 2 entonces los puntos P y Q que trise­

can al segm ento que va de P, a P 2 tienen por vectores de posición a :

P = 1 ( 2 P , + P,) y Q = 1 ( P , + 2P,)

Demostración. En efecto, si P y Q son los puntos—>

de trisección de P,P2, entonces:

f } = i p ) , c * 3 ( P -P , ) = P ; -P ,

=> 3 P - 3 P , = P ; -P ,

de donde : P = -L (2P, + P,)

1.

—7 9P,Q = 3 P,P: => 3(Q - P,) = 2 (P , - P.)

=> 3 Q -3 P , = 2 P : -2 P ,

c * Q = 1 ( P , + 2P :) FIGURA 1.26

26 Capítulo I: Vectores en el plano

E j e m p lo 1 2 ^ En la F igu ra 1.27, el triángulo

O A B e s isó sce les con O A = A B

y PH e s perpendicular a O B y mide 6 unidades. S i

11AQ 11 = 2 11QB 11, hallar el módulo de PQ.

Solución. S e a O H = x <=> P(x , 6)

A MA O M A = AO H PPH

OMOH

8 2 3=> t ~ =* x = 4 -6 x 2Luego, si P(3/2 , 6) entonces :

PA = A - P = <2 , 8) - (3/2 , 6> = (1/2 , 2)

Adem ás : Á B = B - A = (4 , 0) * (2 , 8) = (2 , -8)

Por lo que , s i : 11 A Q 11 = 2 11 Q B 11

2 /-> _ov — 1

FIGURA 1.27

A Q = A B = -=- (2 , -8)

C om o : PQ = PA + A Q = (1/2 , 2> + 4 ( 2 , -8) = 1 (11 , -20)i o=* IIp a II = ¿-V (ll)2 + (-20)- = V52I

Ejemplo 1 3 En la Figura 1.28, si P e s tal que

el área del triángulo A P C e s el

doble del área del triángulo C P B , hallar 11 C P 11.

Solución. Por la geometría plana se sabe que :

a (AA PC ) = A P x P C _ A P

a (ACPB ) PB x PC PB

Com o, a (AAPC) = 2a(ACPB) = 2

x + 4 = 2(2 - x) «=> x = 0

de donde : A P = 2PB => P - A = 2(B - P)

c=> (x + 4 , y - 2) = 2 (2 - x , 10 - y) « íJ l y - 2 = 2 ( 1 0 - y) = > y = 22/3

Luego : CP = P - C = (0 , 22/3) - (2 , 2) = -| (-3 . 8)

II CP II = ¿V ( -3 ) : + 8- = |V73

EJERCICIOS ; Grupo 5 27

: Ejemplo 1 4 ] En el rombo de d iago­

nales D y d e s tal como

se indica en la Figura 1.29, hallar la norma

del vector

v = v 1 + v 2 + v 3 + v 4

donde los vectores V, , V 2 , V 3 y V 4 llegan a

los puntos m edios de los lados del rombo.

Solución. C onside rando un sistem a carte­

siano con s u s ejes X e Y sobre—) —>

las d iagonales PR y SQ, respectivamente, te­

nem os :

V, = R F = F - R = , 0 ) = ( - | D , £ )

v , = p o = q - p = < § . 4 > - < - f ' ° > = < l D - 4 >

V, = Q E = E - Q = <- f . - | > - < 0 , 4 > = < - f '

V 4 = 0 H = H - Q = ( £ , - | ) - ( 0 , | > = < £ , - j d )

Luego : V = V, + V, + V, + V 4 = (0 , - d) => 11V11 = d

EJERCICIO S : Grupo 5

En los ejercicios 1 al 5, si A. B, y C son vectores en R :, demuestre la validez de

cada afirmación.

1 . A + B = B + A (A2 : Prop iedad conmutativa)

2 . A + (-A) = (-A) + A = O (As : Inverso aditivo)

3. Si A + B = C A = C - B

4. S i A + B = B <=> A = O (Unicidad del idéntico aditivo)

5. Si A + B = O *=> A = -B (Unicidad del inverso aditivo)

6. Mediante segm entos orientados demuestre la propiedad A 2 : A + B = B + A

7. S e a P Q una representación del vector A. Q R una representación del vector B y —> —> —> —>

R P una representación del vector C. Probar que si PQ, Q R y R P son los lados

de un triángulo, entonces A + B + C = O

28 Capítulo l: Vectores en el plano

8. D ado s los vectores A = (5 , 2 ), B = (-3 , 4) y C = (7 , 4), resolver la ecuación

2 X + 5 A - 3 B = 4 C

9. S e a x un vector en R : tal que : (-5 , 2) = 2 x + <1 , -8)

S i <-5 , 3) = t x + r <2 , - 1 ), hallar el valor de 2t + r

10. Resolver la ecuación vectoria l: 3 (1 , -2) + 2 x = (2 , -1) - x

1 1 . D ado s los puntos A (5 , 1 ), B(-2 , 3 ), C (-3 , -2) y D(1 , -4), determ inar el punto

P (x , y) tal que : 3 A B - P D = 3 A P - ^ C D + B C

12. S e tiene : 2( <5 , -1) + C ) = 3 <1 , 3) - (-1., a > . S i A (2 , 3) , B (3 , -1) y el punto

final del vector C, en posición ordinaria, está sob re el conjunto P = { (x , y ) I—) —> —>

y = x2 - 1} ; hallar las coordenadas de un punto P tal que : A P + 2 P C = A B

13. S i A = (5 , -2), B = (2 , -5) y C = (-3 , 1), hallar un vector unitario en la dirección

y sentido de V = 2 A - 3 B + 4 C

14. S e a n A y B vectores en R : tales que B e s el opuesto de A. S i B tiene el m ism o

sentido que el vector C = <-1/3 , 1/4) y la norm a de A e s 5 , hallar el vector

V = 2 B + A

15. En la Figura 1.30 se tiene : O M = 5x/2 y O P = 27/2. S i A = <2x3 , 4 x 2 + 4 y 2) y

B = ( i x y2 » ' 4 x y > , hallar x - y de modo que : 2 S = 1 A - 2Bo o O

16. En la Figura 1.31, A B C D E F e s un exágono regular de lado a , hallar la normao 1 ~* 1 —>

de S, sabiendo que : S = ^ (AD + D E ) + E B

17. D ado el e xágono regular A B C D E F (F igura 1.32) , hallar el va lor de p + 3 q ,—> —> j —> —) —)

sabiendo que : B C + C F + ± E F = p A B + q E F

18. En la Figura 1.33, P es un punto tal que el triángulo de área A, e s tres veces el

área del triángulo de área Hallar la norma del vector V.

19. En la Figura 1.34 , O A B C e s un cuadrado, P , Q , R y S son puntos m edios de

Sección 1.7: Vectores paralelos 29

los lados O A , A B , B C y C D respectivamente. Hallar 11 S T + BH 11 si T es punto

medio de P Q y H es punto medio de 'Q R .

20. En la Figura 1.35, si S = A + B + C, hallar S sabiendo que su segunda com po­

nente e s cero, que 11 B 11 = 20 , 11A 11 = 10V2 y que la primera componente de

C e s 20, (Asum ir S e n 3 7 9 = 3/5).

( 1.7 J V E C T O R E S P A R A L E L O S

D o s vectores A y B, no nulos, son paralelos o proporcionales si y sólo si uno

de ellos e s un múltiplo escalar del otro, esto e s

A || B <=> A = r B , V r e R

I O B S E R V A C IO N E S 1.5

a) S i r > 0 y B * O = > A y r B tienen la m ism a dirección y sentido.

S i r < 0 y B * O => A y r B tienen la m ism a dirección y sentidos opuestos.

B B

A = r B A = r B

r > 0 r < 0

b) E s conveniente establecer que el vector nulo O es paralelo a todo vector, esto es:

0|| A ó A l l O , V A e R :

En efecto, si O 11 A <=> O = r A = 0 A , 0 e R

c) Todo vector e s paralelo a si mismo.

En efecto, si l e R ■=> A = lA . por lo que A A , V A e R -

f--------------{ EJEM PLOS ILUSTRATIVOS )--------------- *

¡ Ejemplo 1 ^ Determ inar si los vectores dados son paralelos

1. A = < 4 , -1 ) , B = ( -1 2 ,3 )

2. A = <3 , -6) , B = <1 , 2)

Solución. 1 . S i A|| B => <4 ,-1 ) = r <-12 , 3)'<=> -f 4 = * I2 r = * r = *1/3L -i = 3 r => r = -1/3

Com o r e s único y r < 0 , A y B son paralelos, tienen la m ism a dirección y senti­

dos opuestos.

2. S i A 11 B = * <3 . -6> = r<l , 2) <=> -T 3 = r = * r = 3L -6 = 2r t=> r = -3

C om o r no e s ún ico o A K B , e s d e c ir , no existe n ingún r e R que cum ple

<3 , -6) = r<l , 2), pues esto implicaría que 3 = r = -3 , lo cual e s absurdo. ■

^2__________________ __________________________ Capítulo I: Vectores en el p lano

E j e m p lo 2 ) Dem ostrar que si A . B e R : son vectores paralelos y B * O

entonces existe un escalar r para el cual se tiene : A = r B.

Demostración. S e a n A = <x, , y,) y B = < x ,, y , ) , y sean a, y a, los ángu lo s de di­

rección de A y B respectivamente. Por las ecuaciones (4) se tiene:

S e n a ' = TTXTT ' Cosc<l = í í a TT

ySena , = — , C o s a = —

- l l A l l : ||A||

Por hipótesis A e s paralelo a B, entonces :

m(a,) = m (a2) ó m(a,) = m(a,) ± 180°

S i m(a.) = m(a,) c=> = Xl = —l l A l l II B 11 || A || M B ||

=> y = I M y x - U A Ü x y ' I I B I I ’ I I B I I ••

Tam bién , por h ipótesis , I B I * 0 , por lo que llAll e s un núm ero real r ,

entonces: x, = r x , , y, = r y , I I B I I

Luego , < x ,, y,) = r < x ,, y , ) , esto e s : A = r B . ■

Sección 1.7: Vectores paralelos 31

í Ejemplo 3 J Dem ostrar que s iD = B + C y B A , entonces

------------------------- D 11A <=> C 11 A

Demostración. (<=>) Dem ostrarem os que si D A <=> C ! A

En efecto, si D 11 A <=> Br e R D = rA

Por hipótesis, B | | A = > 3 s e R B = sA

Luego, si C = D - B = rA - sA = (r - s)A => C A

(<=) Ahora probarem os que s i : C !; A t=> D A

En efecto, s i C | A « = > B l e R C = tA

Por hipótesis , B l : A <=> 3 s e R B = s A

Luego , s i D = B + C = sA + iA = (s + t)A => D A ®

Ejemplo 4 J S i A = <1 - 2m , 1 )y B = <-7, m + 2), hallar los valores de m , de

m odo que A sea paralelo a B.

Solución. S i A B « = > 3 r e R | A = r B

. r 1 - 2m = -7 r (1)~ < , - 2 m . » = * 7 - . m + 2 > « { i = r(m + 2) (2)

Al dividir (1) entre (2) obtenem os la ecuación

2m: + 3 m - 9 = 0 o m = -3 ó m = 3/2 B

[ Ejemplo 5 J S i al vector A = <1 , 1 8) lo expresam os como A = X + Y , donde

X11 B e Y11C. S i B = <-1 , 4) y C = <2m , 3m), hallar el vector X.

Solución. S i X B c=> 3 r e R ! X = r<-1 , 4)

Y 11 C <=> 3 s e R I Y = s<2m , 3m) = sm<2 , 3) = t<2 , 3)

Luego, si A = X + Y => <l , 18) = r<-l , 4) + t<2 , 3) « { ^

Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : r = 3 y t = 2

X = 3<-1 ,4 ) = <-3 , 12) ■

f Ejemplo 6 ^ S i A = <m , 2 m ) , A - B = <2m , p ) , A11 B y la norma de A - B e s

20, hallar la norma de B.

Solución. S i B 11 A => B = r A = r<m , 2m) => B = rm<l , 2) (1)

A - B = <2m , p) <=> (m , 2m) - rm<l , 2) = <2m , p)

c=> <m - rm , 2m - 2) = <2m , p)

Por la igualdad de vectores se sigue que : m - r m = 2 m , de donde , r = -1

32 Capítulo 1: Vectores en el plano

Luego, en (1 ): B = -m(l ,2 ) => 11 B ! | =|-m | V Í T 4 = mV5 (2)

S i A - B = (m , 2m) + m(l , 2) = 2m(l , 2) => 11 A - B 11 = 2mV5

C om o 11 A - B 11 = 2 0 => 2m>/5 = 20 => m = 2^5

Por lo tanto, en (2), se tiene : 11 B 11 = (2\í5)\í5 = !0 ■

E j e m p lo 7 j El vector A = (3 , 0) se descom pone en dos vectores B y C

paralelos a los vectores < 2 r, -3r/2) y (p , -3p) respectivamente,

donde r * 0 y p * 0. Hallar las longitudes de B y C.

Solución. S i B 11 <2r , -3r/2> => B = ^ <4 , -3> = s<4 , -3>

C || <p . -3p> => C = p ( l , -3)

S i A = B + C «=* ( 3 , 0 ) = s<4 , -3) + p(l , -3) <=> -f 3 = 4s + PL 0 = -35 - 3p

Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenemos, s = 1 y p = - I

Luego : B = (4 , -3) ■=> 11 B 11 = V(4): + (-3)- = 5

C = -<1 ,-3> = <-l ,3 ) => ||C II = V (-l)2 + (3)2 = V IO ■

Ejemplo 8 J En la Figura 1.36 se tiene

un e xágono regular cuyo

lado mide a unidades. S i II V, II =|| V 2I| = || V 3||

= 11 V 411 = 11 V s 11 = a , hallar 11S11, donde . S =

V 1 + V 2 + V J + V 4 + V 5.

Solución. V, = V 4 y V 2 = V, por ser parale los y

de la m ism a magnitud, dirección y

sentido. Entonces : S = 2 V, + 2 V, + V £

FIGURA 1.36

Trasladando e stos vectores a un sistem a de ejes

rectangulares (Figura 1.36a) se tiene :

V, = a (C o s 90°, S e n 90°) = a <0 , I)

V : = a (C o s 60°, S e n 60°) = a (1/2 , V3/2)

V 5 = a (C o s 180°, S e n 180°) = a (-1 , 0)

Luego : S = 2a (0 , 1> + a (1 , V3) + a (-1 ,0 )

= a (0 , 2 + V3> => 11 S11 = a(2 + \Í3) ■

Sección 1.7: Vectores paralelos 33

[ Ejemplo 9 ) S e a el A A B C y se an M (2 , 5) y P (4 ,2 ) puntos meceos de los

lados A B y B C respectivamente. S i A B 11 (3 , 1) y C B 11 (1 ,4),

hallar los vértices del triángulo.

Solución. C om o los puntos A, M y B son colineales, en­

tonces: M B 11 A B 11 (3 , l) => M B = r (3 , 1)

Luego : B - M = r (3 , 1) «=> B = (2 , 5) + r (3 , 1) (1)

Análogam ente :

PB = s (1 , 4) <=> B = (4 , 2) + s (1 , 4) (2)

(1) = (2) = * (2 . 5) + r (3 , 1) = (4 , 2 >+ s (1 , 4>

c=> (-2 , 3) = s (1 , 4) - r (3 , 1) <=> =

Resolviendo el sistem a obtenem os : r = s = 1

-2 = s - 3r

3 = 4s - r

r >

i OK4.2)

r

c

CJ

FIGURA 1.37Entonces, en (1) : B = (2 , 5) + (3 , 1) = (5 , 6) <=> B(5 , 6)

—¥ —> —>M e s punto medio de A B <=> A M = M B

c=> M - A = B - M => A = 2M - B

=> A = 2(2 , 5> - (5 , 6) = (-1 , 4> c * A (-l , 4)

P e s punto medio d e C B <=> C P = PB => P - C = B - P <=> C = 2 P - B

>=> C = 2(4 , 2) - (5 , 6) = (3 , -2) = * C(3 , -2)

! Ejemplo 10 J El punto P(-3 , 1) e s un vértice del rombo P Q R S , tal que P Q =

(4 , 2) y el lado P S se ha obtenido del lado P Q mediante un giro

de 609 en el sentido antihorario. Hallar los dem ás vértices del rombo.

Solución. S i a e s el ángulo de dirección del vector

—» o iPQ = (4 , 2 ), entonces , T g a = = —4 L

de donde se tiene : S e n a = 1V5 y C o s a = 2/V5

S i PQ = Q - P = (4 , 2) ■=> Q = P + (4 , 2)

=> Q = (-3 , 1) + (4 , 2) = (1 ,3 )

e s el vector de posición del punto Q, por lo que : Q(1 ,3 )

Por ser lados de un rombo :

11 PS 11 = 11 PQ 11 = V(4y + (2)2 = 2 V5—>

S e a u un vector unitario en la dirección de PS cuyo ángulo

de dirección e s a + 60°, entonces :

u = (C o s (a + 60°), S e n (a + 60°)>

FIGURA 1.38

(1)

Cos(a + 60°) = Cosa CosftO" - Sena Sen60” = A ) ( 4 ) ' (^=)(^r) = -jf (2- V3)

34 Capitulo 1: Vectores en el plano

Se n (a + 60°) = S e n a Cos60° + C o s a Sen60 " = (JL) (JL) + = (i + 2V3)

Luego, en (1 ): u = ( ^ ( 2 - V3) , ^ (1 + 2\Í3))

Ahora, si PS = 11 PS 11 u => S - P = 2>/5 ( y | (2 - V3) , ^ - ( 1 + 2nÍ3)>

=> S = (-3 , 1) + (2 - V3 , 1 + 2\Í3> = (-! - V3 , 2 + 2V3>

e s el vector de posición del vértice S <=* S(-l - V3 , 2 + 2V3)

C om o SR = PQ = ( 4 , 2 ) <=> R - S = (4 , 2)

■=> R = (-1 - >/3 , 2 + 2V3) + (4 , 2) = (3 - V3 , 4 + 2\Í3)

Por lo que : R (3 - \Í3 ,4 + 2V3)

y¡5

ejemplo 1 1 J S i M (1 1/2 , 7/2), N(8 , 6). P(9/2 ,13/2) y Q (2 , 4) son los puntos

m edios de los lados del trapecio A B C D y 11 DC11 = vTo , hallar

los vértices del trapecio.

Solución. Q N = N - Q = (8 , 6) - (2 , 4) = (6 , 2)

Un vector unitario en la dirección de

de Q N e s u =Q N (6 ,2 ) ( 3 , 1 )

I I q n II V3o Vio

C om o D C II Q N ==> D C = 11 D C 11 11 = ( 3 , 1 )

DP = 1 D C «=> P - D = (3/2 , 1/2)

«=> D = P - (3/2 , 1/2) = (3 , 6)

D Q = Q A ■=> Q - D = A - Q <=> A = 2Q - D

Aná logam ente : FIGURA 1.39

A M = M B c=> B = 2M - A = 2(11/2 , 7/2) - ( 1 , 2 ) = (10 , 5)

Ñ C = BN «=» C = 2N - B = 2(8 , 6) - (10 , 5) = (6 , 7)

Por lo tanto, los vértices del trapecio son :

A(1 , 2) , B(10 , 5) , C(6 , 7) y D(3 , 6)

EJERCICIO S : Grupo 6

1. Determine si los siguientes pares de vectores son paralelos. C uá le s tienen el

m ism o sentido y cuáles sentido opuesto.

a) A = (-8 , -7 ), B = (32 , 28) c) A = (-3/2 , 3 ), B = (1/3 , -2/3)

EJERCICIOS : Grupo 6 35

b) A = (3 , 2 ) , B = (2 , 4/3) d) A = (4 , -2 ), B = (-1 , 1/2)

2. Dem ostrar que s i A Ü C , B i C y C ? t O <=> A l B

3. Dem ostrar que para vectores no nulos A , A, , B y B,

A II A, . B l l B , y A I I B «=* A,||B,

4. Dem ostrar que si A y B tienen la m ism a dirección y sentido entonces

I I A + B l l = II A11 + 11 B 11

5. S i A = (2 , 2m - 3) y B = (1 - m , -5 ), determinar los valores de m de modo que

A y B sean paralelos.

6. S i A = (m , 5) + (3 , 3 ), B = 4(-m , -3) - 2(1 , 2) y A 11 B , hallar el valor de m.

7. D a d o s los vectores A = (a , 3m) y B = (-2m , b) , hallar a + b tales que A + B =

(8 , -4) y se a A 11 B.

8. Se a n los vectores A y B, tales que : A = (a , 2a) , A - B = (2a , p) , A B y la

norma de A - B e s \ 112. Hallar la norma de B.

9. El vector A = (x , y) e s paralelo al vector B = (2 , 4), tal que u = (x/\5 , y/\ 5) e s

un vector unitario paralelo a ambos. Hallar el vector A.

10. Se a n A y B dos vectores en R 2, tales que B e s el inverso aditivo de A. S i B tiene

el m ism o sentido que el vector C = (-1/3 , 1/4) y 11 A 11 = 5 , hallar X = A + 2B,

11. Hallar la norma de la sum a de los vectores unitarios u y v . s i u A y v i B

sabiendo que A = (4 , -3) y B = (-5 , 0)

12. L o s vectores A y B son tales que A e s del m ism o sentido que B = (1 , 3) y

A _ / X Y \ . Um IIm . a| tiolnr Ov _ J= (-]==■, ; hallar el valor de 2x - \ yA V40 V40 2

13. El punto P(2 , -3) e s extremo del vector PR, el punto Q(1 , -2) alineado con P y

R, dista de P la quinta parte de 11 P R 11. Hallar R.

14. S i A = (a , b) y B = (1/2, - 4/3) son dos vectores en R \ hallar a + b sabiendo que

11A11 = V73/3 y que A y B tiene sentidos opuestos.

15. El vector C = (2 , -1) e s expresado com o C = A + B , donde los vectores A y B

son paralelos a X = (3m , 4m) e Y = (-3n , -n), respectivamente, siendo m # 0 y

n * 0. Hallar A - B.

16. D a d o s los vértices con secutivo s de un parale logram o A (7 , -1) , B (-3 , 1) y—>

C (-5 , 5 ); determinar el cuarto vértice y la longitud de la diagonal BD.

17. En la Figura 1.40, sea O la intersección de las d iagonales de un cuadrado

A B C D . S i O e s el baricentro del triángulo isó sce le s A P D con 11AP 11 = 11 PD 11,—>

hallar el vector NQ.

36 Capítulo 1: Vectores en el plano

18. S i M (9/2 , -3), N(2 ,6 ), P(-7/2 ,9) y Q(-1 , -1) son los puntos m edios de los lados

del trapecio A B C D y 11AD 11 = \ 52, hallar los vértices del trapecio.

19. En la Figura 1.41, A B C D e s un cuadrado de lado 3a y A ' B ’ C ’ D ’ e s un cuadrado—) —►

de lado a , si la norma de D 'D e s a, hallar el vector B ’P.—>

20. S e a el triángulo A B C y sean M(1 , 9) y N (6 , 2) puntos m edios de los lados A B~> —> .. -> , i

y B C respectivamente. S i A B M <1 , 1) y B C II <3 , 1), hallar los vértices del

triángulo.

21. D ado s los vectores A = (2a , 2) , B = (6 , n ) , C = (c , 3 n > , si A11 B I C, calcular

el valor de an + c.

1.8 ) PRO D U C T O E S C A L A R DE V E C T O R E S

D ado s los vectores A = (a , , a,} y B = <6,, 6,), el producto escalar o interno de

A y B se denota por A • B y se define p o r :

A • B = ( a , , a ) • , b2> = a p { + a p : (10)

I O B S E R V A C IO N E S 1.6

1. El producto escalar de vectores e s una operación cuyo resultado e s una escalar

y no un vector.

Por ejemplo , si A = (2 , -3) y B = (4 , 1), entonces se gún (10)

A • B = (2) (4) + (-3)(1) = 8 - 3 = 5

2. S i A , B e R " , entonces

Sección 1.8: Producto escalar de vectores 37

TEOREMA 1.6 PROPIEDADES DEI. PRODUCTO ESCAIAR

S i A, B y C son vectores en R J y r e R e s un escalar, entonces

se cum plen las siguientes propiedades :

I’E, : A • B = B • A Conmutatividad

P E , : r(A • B) = (rA) ♦ B Asociatividad escalar

P E . : C • (A + B) = C • A + C • BDistribuidad}(A + B ) - C = A - C B * C

P.E4 : A - A = ||A|| ->0 Magnitud respecto al producto escalar

P.EC : A • A = 0 « A = O

La prueba de estas propiedades son m uy simples, por lo que dem ostrare­

m os la primera y la cuarta, dejando com o ejercicio las dem ostraciones restantes.

Para dem ostrar la primera propiedad, sean A = (a, , a,) y B = (bt , 6,)

<=> A • B = a p t + a,b2 = bxa x + b,a^ = B • A

Para la cuarta propiedad, se a A = (a, , a ,> , entonces

A • A = <a, , a 2> • ( a , , a 2> = (a,)2 + (a2)2 = (Va,2 + a22)2 = 11A 112

IN T E R P R E T A C IO N G E O M E T R IC A D E L P R O D U C T O E S C A L A R E N R :

Se a n A y B dos vectores y A - B (el vector que va de B a A). S i A es

perpendicular a B , ocurre que la representación geométrica de los vectores A , B y

A - B e s un triángulo rectángulo, para los cuales, por aplicación del teorema de

Pitágoras se tiene que :

||a - b ||2 = ||a ||2 + | Ib I|j

=> (A - B) • (A - B) = 11 A 112 + 11 B 112 (P EJ

<=> a * a - a * b - b * a + b - b = |Ia ||2 + ||b I|2 (p e ,)

= * I|a ||2 - 2 A * b + ||b ||2 = ||a I I 2 + ||b I|2 (p e 4)

de donde : -2A • B = 0 ■=> A • B = 0

C om o hem os establecido la condición de ortogonali-

dad para A y B. entonces podem os dar la siguiente definición.

DEFINICION 1.12 VECTORES ORTOGONALES

D o s vectores A y B son ortogonales si y só lo si A • B = 0 (El

vector nulo O se considera ortogonal al cualquier vector)

S i e s el ca so que A y B son am bos no nulos, entonces se dice que los vectores

son ortogonales y anotarem os :

A l B <=> A • B = 0 (11)

38 Capítulo I: Vectores en el plano

Por ejemplo, si A = <1/2 , -3) y B = (-2 , -1/3), entonces según (10)

A • B = (l/2)(-2) + (-3)(-l/3) = -1 + 1 = 0

Com o A y B no son nulos, entonces A 1 B

DEFINICION 1.13 E l vector A x

Para cada vector A = (a, , a,) e R :, definimos un correspon­

diente vector A 1 e R 2 , que se lee ortogonal a A. mediante

A 1 = <-a2 . a x) (12)

Geométricamente el vector A x se obtiene haciendo

rotar el vector A, sobre su punto inicial, un ángulo

de 90a en dirección contraria a las agujas del reloj.

S e verifica luego que si A ± A x >=* A • A x = 0

En efecto, A • A x = (al , a :) • <- a 1 , a )= - a ta : + a :a { = 0

TEOREMA 1.7 D ado s los vectores A = (al , a} y B = (b] , b,),am bos diferentes

de O, se tiene que :

A 1 B => A l l B 1 (13)

Demostración. En efecto, si B = (6, , b,) , B * O c=> * o y b ,* 0

Su p on gam os que b{* 0

A 1 B <=* A • B = ( a , , a 2) • (b , , b2) = a p x + a2b2 = 0 <=> a, = - a

Por lo que : A = h . a2 , a 2) '= <- b2 , bt)2

i “iA= - f Bx = r B x => A l l B 1

b

TEOREMA 1.8 Se an A y B dos vectores en R :, am bos diferentes de O, entonces

A | | B <=> A • B x = A x • B = 0 (14)

La demostración se deja como ejercicio.

Sección 1.8: Producto escalar de vectores 39

TEOREMA 1.9 Desigualdad de Cauchy - Schwartz

Sean A y B vectores en R 2 , entonces se cumple

1. I A - B I < II A II II B II2. I A - B | = II A 11 II B II ^ A | | B

Demostración.

1. S i A = 0 ó B = 0 , entonces se nota claramente que el teorema es válido.

Supongam os que A * O y B * O y considerem os la función para un número r e R

/(r) = 11 A + r B 112 = (A + r B) • (A + r B) (1)

y ocurre que /(r) > 0 , V r e R

Desarrollando (1) no s dá el polinomio de segundo grado :

/(r) = (B • B )r2 + 2(A • B )r (A • A)

Com pletando el cuadrado para r se tiene :

/(r) = (B - B) r « ^ 5 1 r + - < * ! § > : ♦ (A • A)n l ' ' L ( B - B ) ( B - B ) ¡ J ( B - B )

= ( B . B ) ( r + A l | ) ‘ + ( A - A ) ( B - B ) - . ( A - B ); v 7V B • B / B • B

o- u / v A • B ,/ , (A • B )(B • B) - (A • B )2 /oxS i hacem os ( g = - => / ( g = i ------------ bT~¿ -------

C om o /(r()) > 0 y B * B = | | B | | 2> 0 , implica que

(A • A )(B • B) - (A • B )2 > 0 => (A • B )2 < (A • A )(B • B)

<=> I A • B |2 < 11 A 112 11 B 112

=> I A - B | < || A II llB||

2. I A - B I = 11 A 11 II B || A | | B

Probarem os que s M a « B | = | | a ||||B|| ■=> A 11 B

En efecto, si I A • B I = 11 A 11 11 B 11 => (A • B )2 = 11A 112 11 B 112

■=> (A • B )2 = (A • A )(B • B)

Sustituyendo en (2) ocurre que : / (rj = ; A + r0B I = 0

=> A + r, B = A - ( A l | ) B = 0 => A = r B ^ A || B

Probarem os ahora que si A 11 B = > | A * B | = ||A|| 11 B I

En efecto, si A 11 B ^ A = i B

Luego, IA • B I = I (r B) - B | = |r(B - B) | = I r I II B I I 2

= lr| 11 B 11 11 B 11 = ||rB|| ||B||

= l l A l l II B || ■

40 Capítulo 1: Vectores en el plano

TEOREMA 1.10 Desigualdad triangular

Se a n A y B vectores en R :, entonces

I I A + B l l < II A || + II B ||

M á s aún : ||A + B|| = ||A|| + | lB | | s iy sólo si un vector e s un múltiplo escalar

no negativo del otro.

Demostración. En efecto :

11 A + B 112 = (A + B) • (A + B)

= ||a I I 2 + 2 A * b + ||b I|2 .

< | | A | | 2 + 2 | A - B | +|| B ||2 ( A • B < | A • B |)

Por la desigualdad (1) del teorema de Schwartz. se sigue que

11 A + B 112 < 11 A 112 + 2|I A 11 II B II + 11 B 112

< ( l l A l l + 11 B 11 )2

Extrayendo la raíz cuadrada en am bos miembros obtenemos lo deseado, esto e s :

II a + b II í 11a 11 + IIb II ■

-í EJEM PLOS ILUSTRATIVOS )1

E j e m p lo 1 ] Dem ostrar que : | | A + B | | 2 = ||A||2 + | B | | 2 + 2 A * B

Demostración. En efecto : 11 A + B 112 = (A + B) • (A + B) (PE4)

= A • (A + B ) + B • (A + B) (PE,)= A * A + A * B + B * A + B * B (PE,)

= A * A + B * B + 2 A * B (PE,)||a + b I|2 = ||a ||2 + ||b ||2 + 2 A * b ■ (p e 4)

E j e m p lo 2 J Dem ostrar que A + B y A - B son ortogonales <=> 11A11 = I ! B11

Demostración. Dem ostrarem os primero la ortogonalidad

En efecto, por hipótesis : 11A11 = 11 B I = *| | A | | 2 = ||b H 2

<=> IIa I|2-I|b I|2 = o=> (A + B ) • (A + B) = 0

Por tanto, según (11), A + B y A - B son ortogonales.

Ahora dem ostrarem os la igualdad de las magnitudes.

En efecto, por hipótesis , A + B y A - B son ortogonales

Sección 1.8: Producto escalar de vectores 41

c * (A + B) • (A - B) = 0

o A * A - A * B + B * A - B * B = 0

c * ||a ||2-||b ||2 = o ^ Il A I I 2 =

Il A l l = II B II

[ Ejemplo 3 j Dem ostrar que : (A + B )x = A 1 + B x

Demostración. En efecto, sean : A = (a, , a,) y B = (bt , b2) En tonce s: A + B = (a, + 6, , a, + ¿>2>

Por la definición 1.12 : (A + B )x = <- a, - 6 ,, a, + bt)

= (r a2, a l) + (-b2 ,b l)(A + B )1 = A 1 + B x

( Ejemplo 4 ] Dem ostrar que si A, B y C son vectores en R :, entonces el

vector V = (B x • C )A - (A x • C )B e s paralelo al vector C.

Demostración. Por el teorema 1.8 sabem os que A 11 B <=> A 1 * B = A * B J- = 0

=> V x • C = [ (B1 • C )A - (A-1 • C ) B ] 1 • C

= [ (B 1 • C )A X - (A 1 • C )B X] • C (Ejemplo 3)

= (B x • C )(A X • C ) - (A x • C )(B X • C) (PE,)

Por lo tanto, s i V x * C = 0 t = > v | | C ■

[ Ejemplo 5 J S i i = (1 , 0) y j = (0 , 1), resolver la ecuación

2( (1/2 , 6) + ix - x ) = j x - 2 x x

Solución. S e a el vector x = (x, , x2) , entonces

2( (1/2 , 6> + (1 , 0>x - ( x , , x 2> ) = (0 , 1>X - 2(x, , x /

c=> (1 , 12) + (0 , 2> - 2(x , , x , ) = ( - 1 , 0 ) - 2 ( - x , , x, )

=> (2 , 14) = 2(x, , x,) - 2(- x 2 , x,)

<=> ( 1 ,7 ) = (x + x , , x , - x ) <=> \ * X| + X-’1 7 = x, - x,

Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x, = -3 , x, = 4

x = (- 3 , 4) • ■

[ Cjemplo 6 j Se an A , B e R:, demostrar que si 2 A X - B = 2 B X - A, entonces

A + B es ortogonal a A - B.

42 Capítulo I: Vectores en el plano

Demostración. En efecto, si 2A X - B = 2 B X - A <=> A - B = 2 (BX - A 1) (1)

Aplicando el ortogonal a cada m iembro de (1) se tiene :

(A - B )1 = 2 (BX - A Y ; pero com o , (A + B )1 = A x + B 1 y (A 1)1 = -A

<=> A 1 - B x = 2(-B + A ) , de donde : 4 (A - B) = 2 (AX - B 1) (2)

Sum ando (1) y (2) obtenem os : 5(A - B) = O «=> A - B = 0

Por lo tanto, (A + B) • (A - B) = (A + B) • O = 0 => (A + B ) _ L ( A - B ) ■

E j e m p lo 7 ] Hallar la norma del vector B = (- 3m , m), sab iendo que ha sido

descom puesto en el vector A = <- 5 ,3) y en otro vector paralelo

al vector C = <1 , 1)

Solución. S i B = m(- 3 , 1 > <=> I B 11 = I m I V(-3)2 + ( l)2 = I m IV ÍO (1)

y si B = A + r C <=> m<-3 , 1) =-<-5 , 3) + r <1 , 1)

Multiplicando escalarmente, cada miembro por (1 , l)1 , se tiene :

m(-3 , 1) • <-1 , 1) = (-8 , 3) • <-1 , 1) + r <1 , 1> • <-1 , 1>

<=> m(3 + 1) = (5 + 3) + r (0 ) , de donde : m = 2

Por tanto, en (1), se obtiene lo deseado : 11 B I = 2V k I ■

E j e m p lo 8 ^ j S i A = (-6 ,15), B = (-2 , 9) y C = <- 2m , 3m ) y se sabe que

X + Y = A , X II B e Y II C ; hallar X • Y x

Solución. S i X 11 B => X = t<-2 , 9 ), y si Y 11C «=> Y = m<-2 , 3)

Luego si X + Y = A => t<-2 , 9> + m<-2 , 3) = (-6 ,15) (1)

U sa rem os un método m ás directo para calcular i y m.

Para calcular t , multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por <-2 , 3)x

t<-2,9> • < -3 , - 2 > + m (0 )= < -6 , 15) • <-3, 2) » t = = 1

Para calcular m , multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por (-2 , 9)x

t(0) + m(-2 , 3) • <-9,-2> = <-6, 15) • ( -9 , -2 ) => m = 9~-2) = 2

Luego , X = <-2 , 9) y Y = (-4 , 6) «=> X • Y x = (-2 , 9) • (-6 , -4) = - 24 ■

E j e m p lo ~ ^ T ) S i A + B + C = O y| |A l| = 2 , 1 i B 11 = 5 , 11 C11 = 8; hallar A - B

Solución. A + B + C = O => A + B = -C <=> A + B l = 11 -C 11

Elevando al cuadrado am bos m iem bros se tiene :

||A||J + 2 A - B + | lB|| : = ||C||: c=>4 + 2 A - B + 25 = 64

<=> A • B = 35/2 ■

Sección 1.8: Producto escalar de vectores 43

Ejemplo 1 0 ] D ados tres vectores unitarios a . b y c que satisfacen la condi­

ción a + b + c = O. Hallar el valor d e a * b + b * c + a * c

Solución. S i a + b + c = O >=> (a + b + c )2 = O-

c=> 11 a 112 + 11 b 112 + 11 c 112 + 2a • b + 2b • c + 2a • c = 0

Com o a, b y c son unitarios >=> i + i + l + 2 ( a * b + b * c + a * c ) = 0

< = > a * b + b * c + a * c = - 3 / 2 ■

Ejemplo 11 ] Dado vector B = (2 , 3) y la función f : R: =* R /(P) = P • B. El

vector A e s tal que /(A) = -16 y A11C = (1 ,2). Calcular 11A11.

Solución. S i /(P) = P • B <=> /(A) = A • B t=» A • B = -16

A 11C <=> A = r C = r ( l ,2 ) <=> 11 A 11 = |r| V5 (1)

A • B = -16 c=> r (1 , 2). <2 , 3) = -16 <=> r(2 + 6 )= -1 6 r = -2

Por lo tanto, en (1 ): 11A 11 = 2V5 ■

Ejemplo 12 J D ados los vectores A = (m , 3p) y B = <-2p , n) , calcular la

norma de A - B 1 , sabiendo que A + B = (8 , -4) y A • B 1 = 0.

„ , , , , . . . . . r m - 2 p = 8 c = > m = 2p + 8 (1)Solucion. S i <m , 3p) + <- 2p , n) = (8 , -4) K ^

L 3p + n = -4 <=> n = -3p - 4 (2)

y si A • B 1 = 0 «=> (m , 3p) • <-n , -2p) = 0 <=> -m n - 6p: = 0 <=> m n = - 6p: (3)

Sustituyendo (1) y (2) en (3) se tiene : (2p + 8) (-3p - 4) = - 6p2 , de donde , p = -1

Luego, en (1) y (2) obtenem os : m = 6 y n = 1 , entonces , A = (6 , -3) y B = (2 , -1)

Por tanto , A - B A = <6 , 3) - <1 , 2) = <5 , -5) => 11 A - B x 11 = 5\Í2 ■

[Ejemplo 13 J S i a y b son vectores tales que 11 a 11 < 1 y l l b l l < 1 .dem ostrar

que V t g [0 , 1 ] , 11 a + t (b - a) 11 < 1

Demostración. En efecto , si 11 a + t(b - a) 11 = 11 (1 - t)a + i b ! | , entonces por la

desigualdad triangu lar:

l la + t(b -a )|| < 11(1 -t)a II + l l t b l l

=> 11 a + t(b - a) 11 < 11 - 1 1 11 a 11 + 11 1 11 b 11 (1 )

Com o t e [0 , 1 ] , esto e s , t > 0 => 111 = t ,

0 < t < l - l < - t < 0 ^ o ^ l - t < l => 11 - 11 = 1 - 1 ,

Por hipótesis : | | a | | < l <=> ( l - 1) 11 a 11 < I - 1 , con t * I

11 b 11 < 1 <=> t| | b | | < t , con t * 0

Por lo tanto , en (1) podem os escribir

11 a + t(b - a) 11 < ( I - 1) + t <=> 11 a + t(b - a) 11 < 1 ■

44 Capítulo 1: Vectores en el plano

Dem ostrar que si A + B = ( 11 B 11 , ||A||), entonces A es

ortogonal a B.

Demostración. Por hipótesis : A + B = ( | | B ! | , | ! a I| ) , entonces multiplicando

escalarmente cada miembro por si m ismo, se tiene :

(A + B) • (A + B) = < 11 B 11, 11A 11) • (||B||,||a ||)

<=* 11 A + B •' = 11 B ! : + I j A 11: (PE4 y Producto escalar)

= * | | a ||2 + 2 A - b + |!b I|: = ||b ||- + ||a ||2

de donde o b te n e m o s: A - B = 0 o A 1 B - ■

Ejemplo 14 J

Ejemplo 15 J D ados los vectores A y B tales que A - B * O , dem ostrar que:

l l A l l - I I B I I

l l A - B< l

Demostración. S i escribim os ! A ! = || (A-B) + B I , entonces por la desigualdad

triangular: | | A | | < | | A - B | | + | | b | |

=> l l Al l - I IBII < I I A - B l l

C om o I ! A - B ; I e s positivo , entonces : B

A - B< I

De (1) y (2) se s igue que : -1 <A - B

< 1 o

A - B

B

A - B

(1)

Análogam ente si escribim os : 11 - B 11 = 11 - B + A - A 11

y dado que 11 - B i I = 11 B 11 => l l B i l = 11 (A - B) + (-A) 11

<=> ||B|| < II A - B || + ||-A ||

<=> IIBII - II A || < || A - B ||

Multiplicando por -1 se tiene : H a | | - | | B | | > - | | A - B | | <=> ^ A ^ - 11 B| I > ^ (2)

< 1

Ejemplo 16 ^ En la F igura 1 .44 , A . C y E son puntos corre spond ientes a

vértices de un triángulo equilátero inscrito y los segm entos AB,—> —>

C D y E F son tangentes a la circunferencia tales que

_ J| A B | | = 3 , I I C D l l = 4 , I l É F i l = 5

S i S = A B + C D + E F y U = (2 , 2v3> , hallar S • U

— ^Solución. T rasladam os los segm entos A B , C D y E F sobre un sistem a cartesiano

de modo que su s puntos iniciales coincidan con el origen. Entonces

A B = 11 A B 11 (C o s 0o , S e n 0°) = 3 (1 , 0)

Sección 1.8: Producto escalar de vectores 45

E F = 11 E F 11 (C o s 120°, S e n 120°) = 5 (-1/2 , V3/2)

C D = 11 C D 11 (C o s 240°, S e n 240°) = 4(-l/2 , -V3/2)

Luego : S = (3 , 0> + (-5/2 , 5V3/2) + (-2 , -2V3> = (-3/2 , \Í3/2>

S • U = i (-3 , V3> • 2(1 , V3> = -3 + 3 = 0

Ejemplo 17 ) Un triángulo D E F de encuen­

tra sobre un plano inclinado co­

mo se muestra en la Figura 1.45. Hallar el vector D F

Solución. En el A D E F : D F = D E + E F (1)

I lÓ A l l =V (5)- + (12)’ = 13 —)

Un vector unitario en el sentido de O A e s :

„= <ii^>13

Entonces : D E = 3 u = ( y j . -j-^)

E F = "> u 1 = 2 /- — . — \ = /- — — )¿ \ 13 1 3 ' ' 13 ’ 13 '

Por lo tanto , en (1 ): D F = (| | . | | ) + (- , | | ) = (2 , 3>

r. ,

k FA

A . 2

/ , / ^ E5

rO 12 B > X

V. >FIGURA 1.45

Ejemplo 18J En la Figura 1.46 , m (<£ A B C ) = 90- y 11O B II

de x , si :

x = ó b - ó c + ó a - 6 b - ó a * 6 c

= 3. Hallar el valor

Solución. En la figura dada se tiene : O C = O B + BC

46 Capítulo 1: Vectores en el plano

=> x = O B • (OB + BC ) + O A • Ó B - O A • (ÓB + BC)

- I | 6 b I|- + 6 b - bc + ó a*ó b - ó a*6b -6 a *bc = 11OB 112 + BC • (Olí - ÓA) = 11 <5b 112 + BC • ÁB Como BC1AB c=* BC • AB = 0

.% x = 11 OB 112 = (3)2 = 9 ■

FIGURA 1.46

Ejemplo 19 J S e a A B C D un rectángulo, una de cu ya s d iagonales tiene por

extremos A(-6 , 1) y C (-2 , 8). S i los lados de m ayor longitud

tienen el m ism o sentido del vector S = (2 , 1 ) , hallar los vértices B y D.

Solución. Á C = C - A ■=> A C = <-2 , 8) - <-6 , 1> = <4 ,7 )

S i Á B || S c=> Á B = r<2 , I>

lie 11 S x => BC = t<-l , 2)

Dado que : A C = A B + BC

■=> <4.7> = r<2, l ) + t < - l ,2 )

De donde obtenem os : r = 3 y t = 2 —►

Luego, s i : A B = 3<2 , l) = <6 , 3 ), entonces

B = A + A B = (-6 , I) + (6 , 3> = (0 , 4)

B"C = Á D = 2(-l , 2) = (-2 , 4)

B (0 , 4)

Ejemplo 20 ] En la Figura 1.48 , los triángu­

los O C B , P B S y R S T son to-—)

dos ellos semejantes. Hallar R T si P y R son puntos—) —)

m edios de O B y PS, respectivamente.

Solución. La F igura 1.48 m uestra tres triángulos

rectángulos isósceles, en donde :

11 O B 11 = 4>/2 y II S i l = V(2\'2)2 + (2V2)2 = 4

Un vector unitario en el sentido de O B e s :

u = J£^4> V2

4^ y • '

Luego : PB = 2V2 u = 2(1 , I ) , BS = 2V2 u1 = 2<-l , 1)

Sección 1.8: Producto escalar de vectores 47

S i PS = PB + B S c=> PS = 2<1 , 1) + 2<-l , 1) = <0 , 4)

Un vector unitario en el sentido de PS e s : v = — = <0 , 1)

Entonces : R S = 2 v = (0 , 2) y S T = 2 v 1 = (-2 , 0>

Ejemplo 21 ] En la F igura 1.49, A B C D e s

un cuadrado y A B E un trián­

gulo equilátero. S i A(4 , 9) y C ( 6 , -5), hallar el vector

V = D E + A B

Solución. S i C A = A - C = <4 , 9> - <6 , -5)

=> C A = (-2 , 14)

I I c a I I = V(-2)2 + (14)2 = 10V2

II D A || = 11CA || C o s 45° = 10V2 (1/V2) = 10—)

Un vector unitario en el sentido de C A e s :

u = — = — ’ l4 = ¿ J - lI} ^ „ í - ¿ L id } FIGURA 1.49| | ¿ a | | I0V2 5^/2 5>/2

- 1M e s punto medio de C A <=> M = -y (A + C ) = <5 , 2>

M D = ||MD|| ir1 = 5^2 (' 7 ’ = ( - 7 , - 1 ) <=> D = M + ( - 7 , - 1 ) ^ D = (-2 , 1>5V2

Tam bién: M = -± -(B + D) ==> B = 2 M - D = 2(5 , 2) - <-2 . 1) c=> B = <12 , 3>

Á B = B - A = <12 , 3> - <4 , 9) = <8 , -6>

Un vector unitario en el sentido de A B e s : v = —

l l A B l I 10 5

11 PE 11 e s la altura del triángulo equilátero A E B c=> 11 PE 11 = 1 0 (V3/2) = 5^3

Luego : PE = 11 PE 11 v 1 = 5VJ = V3 <3 , 4)

P = -i- (A + B) = <8 , 6) => E = P + \Í3<3 , 4) = <8 + 3>/3 , 6 + 4>/3)

D E = E - D = <8 + 3V3 , 6 + 4\Í3) - <-2 , l> = <10 + 3>/3 , 5 + 4V3>

V = D E + Á B = <18 + 3^3 , -1 + 4^3)

48 Capítulo I: Vectores en el plano

Ejemplo 22 ] En la Figura 1.50, A B C D

e s un trapecio, el A A D B

e s isó sce les ( 11AD 11 = 11 B D 11) y el A B D C

es rectángulo en D y tiene la hipotenusa B C

de longitud 10V2 unidades. S i el ángulo B C D

mide 379 (considerar T g379 = 3/4), B(-2 , 4) y —>

D(4 , -2 ), hallar el vector AC.

Solución. B D = D - B = (4 , -2) - (-2 , 4) = <6 , -6)

II BD II = \'(6): + (-6): = 6V2

rYi k

Bo —

/ ^

— — 3 7 °V ^

k X f W y/ '° i

AD

V JFIGURA 1.50

Un vector unitario en el sentido de B D e s : u = <6 , - 6) <1 , - 1) <1 . O6-ñ V2

En el triángulo rectángulo B D C : 11 D C II = 11 B D 11 Cotg 37° = 6 \2 (4/3) = 8V2

DC = 11DC 11 ux = 8>/2 ( ) = 8(1 , 1)

S i D C = <8 , 8) <=> C - D = <8 , 8) <=> C = <4 , -2) + <8 , 8) = <12 , 6)

B C = C - B = <12 , 6) - <-2 , 4) = 2<7 , 1)

B C 2<7 ,1 ) < 7 ,1 )Un vector unitario en el sentido de B C e s : v = . - _ -

II B C II 10^2

El A A D B e s isó sce le s , entonces : 11 A D 11 = 11 B D 11 = 6V2

y com o A D 11 B C => A D = 11 A D 11 v = 6V2 = j <7 , 1)

A D = D - A => A = D - Á D = <4 , -2) - y <7 , 1) = <-22/5 , -16/5)

5^2

A C = C - A = <12 , 6) - <-22/5 , -16/5) = <82/5 , 46/5)

EJER C IC IO S : Grupo 7

1. Sean A y B vectores en R :. Utilizando las propiedades del producto escalar

dem ostra r:

a) ||a + b ||2 -||a - b I|2 = 4 A * b

b) ||a + b ||2 + ||a - b ||2 = 2 ( I | a I|2 + ||b ||2 )

2. Demostrar que los vectores A y B en R ! son ortogonales, si y só lo si

11A + b I|2 = ||a||2 + IIb | |23. D ado s los vectores A y B en R : , demostrar que :

Ejercicios de ¡a Sección 1.8 49

a) (Ax)x = - A c) A 1 • B 1 = A • B

b) A 1 • B = - A • B 1 . d) 11 A 1 11 = I I A II

4. D ado s los vectores A y B en R : , demostrar que :

a) A • B = - I I A || II B II <=> A y B tienen sentido opuestos

b) 11 A + Bl I = 11A 11 + 11 B I « A y B tienen el m ism o sentido

5. Deducir de la desigualdad triangular que si A y B están en R 2, entonces

I l l A l l - 11 B 111 £ II A + B II <11 A II + 11 B 11

(Sugerencia : escribir A = B - (B - A) y aplicar la desigualdad triangular)

6. Dem ostrar que si A y B son vectores paralelos en R 2 , entonces

| A - B | = 11 A 11 II B II

7. S i A y B son vectores en R 2 , demostrar que

a) lA -B ^ - l < || A II II B II

b) | A - B X I = II A || II B || <=> A 1 B

8. Dem ostra r m ediante un contraejemplo que A • B = B • C no implica ni que

A = C , ni que A = O

A • B9. Dem ostrar que el vector V = B - „ . A , e s perpendicular al vector A

I I A I I 2

10. Dem ostrar que A + B y A - B son perpendiculares si y só lo si 11A 11 = 11 B 11.

11. S i A = <2 , -3 ), B = <-2 , 1) y C = <3 , 2 ), hallar un vector unitario ortogonal al

vector V = 5 A - 3 (B + C).

12. S i A = <4m , m - 3) y B = <2 , m + 3 ), hallar los valores de m tales que A sea

perpendicular a B.

13. S i u y v son, vectores unitarios y paralelos , hallar la norma de ir1 + v

14. S i a , b y a + b son vectores unitarios , hallar la norma del vector a - b

15. S i A = <1 , x ) , B = <2x , x) y C = <2x , -1), en donde x e s un número real; hallar

la sum a de los elementos del conjunto M = {(x , y) I (A - C) • B = A • C - 1}

16. S e a n A , B e R 2 , am bos unitarios, demostrar que 11 A + B 11 < 1

17. S i m e R y u = ( m - 2 , 5 - 3m) es un vector unitario , hallar el valor de

11 m (u + 2 u1) + 2 u 1 11

18. Se a n los vectores A = <x , x + 4 ), B =<5x - 5 , x - 4). S i x > 0 y A • B = -1 0 , hallar

la norma de A + B.

19. S e a n los vectores A . B y C tales que 11A 11 = V26 , 11 B 11 = 3V2 y B • C = 12.

S i A = B - C , hallar la norma de C.

50 Capítulo 1: Vectores en el plano

20. S i 11 A 11 = V2 , 11 B 11 = 2 y A • B = 1/4 , hallar las longitudes de los vectores

2 A - 3 B y 4 A + B.

21. Se a n los vectores A = <m2 - 3 , m - 1 ), B = (4/m2 , 4/m) , donde m * 0 e s un

número real positivo. S i A y B son ortogonales , hallar V = 9 B - 4 A

22. S i ¡ = <1 , 0) y j = <0 , 1 ), resolver para x

3(-2 , -3)x + 1 [ x + \L - <3 , -1) ]x = (5 , 2)1 - 2X1

23. Sean los vectores A , B y C tales que A = B + C , I i A II = 5 , 11 B I i = 2^5 y

B * C = 1 0 ; hallar ||C ||.

24. Si A = (2 , x ) . B = <x , -2x) y C = (x - 2 , x + 1 ), donde x > 0 y si (A + B ) • C =

A • B + 1 , hallar el vector V = A + B + C.

25. Hallar los valores de m para que los vectores

A = (m + 3 , 2m - 4} y B = (m - 1 , m + 1> sean paralelos.

26. S e a O A B el triángulo cuyos vértices son O = <0 , 0 > , A = (-8 , 0) y B = (0 , 6). S i—> —>

O M es la altura relativa al vértice O, hallar el vector OM.

27. S e a el rectángulo A B C D de área 48 u2 y cuyo s dos vértices consecutivos son

A(-2 , 5) y B(2 ,1). S i la diagonal A C tiene el m ism o sentido del vector v = <5,1 >,

hallar los vértices C y D.

28. Se a n A(3 , 2) y C (10 , 6) vértices opuestos de una paralelogramo A B C D . S i se

sabe que 11 B D II = V5 y 111 B D 11 - 11 (-2 , 4) 111 = 11 B D + <2 , -4) 11, hallar los

vértices B y D.—) —) —> —>

29. En el cuadrilátero P Q R S , sean a = P Q , b = Q R , c = R S y d = SP . Hallar c • d,si se sabe que : 11 a + b 11 = 7 , ||c|| = 3 y ||di| = 5

30. S i A = (-3 , 5) y B = (4 , -3 ), hallar la norma del vector C , s i :

a) C = (A + B) • (A - 2 B ) B X ' b) C = (A • B)BL - (A 1 • B )C

31. S i u e s un vector unitario y A . B son vectores cualesquiera, demostrar que :

(A • u)(B • u) + (A • ux)(B • ir1) = A • B

( Sugerenc ia : considerar u = (C o sa , S e n a ) . A = (a} ,a 2) y B = (b, , b2) )

-432. S e a A(6 , 2) uno de los vértices de un A A B C . S i A B tiene la m ism a dirección y

—>sentido que el vector (1 , -2) y A C tiene la m ism a dirección y sentido que el

vector (3 , 4) tal que 11 A B 11 = 3 \5 y 11 A C 11 = 1 0 . Hallar el vector A M , si A M es

la m ediana del triángulo trazada desde el vértice A.

Sección 1.9: Angulo entre dos vectores 51

r RELACIO N ES EN TRE VECTO RES >

f 1 . 9 ) ANGULO EN TRE DOS VECTO RES

S e a n A y B d o s vecto re s no nu lo s que tienen el m ism o origen y se a

9e [0 , 7C] el m enor de los án gu lo s positivos form ado por s u s respectivos vectores

de posición normales, com o se ilustra en la Figura 1.51. El teorema siguiente m ues­

tra com o calcular este ángulo mediante el producto escalar.

TEOREMA 1.11 Angulo entre dos vectores

S i 0 es el ángulo entre dos vectores no nulos A y B, entonces

C o s 0 = ----- ------------11A 11 11 B II

Demostración. En efecto , los vectores A , B y r

la diferencia A - B forman un y \triángulo cuyo s lados miden 11A 11 , 11 B 11 y * y \|| A - B 11. y V 8Por la ley de los c o se n o s , tenem os / \||A -B ||2 = ||A||2 + ||B||2-2||A||||B||Cos0 (1) -----------------------i bU sando prop iedades del producto escalar, po­ O A

dem os reescribir el primer m iembro com o FIGURA 1.51

11A - B 112 = (A - B) • (A - B) = (A - B) • A - (A - B) • B

= a - a - b * a - a - b + b - b = ||a||2 - 2 A * b + I|b II2que sustituido en (1) no s lleva a

||a||2 - 2A * b + ||b||2 = ||a||2 + ||b||: - 2 ||aI| I I b l icose

C o s 0 = A » B

Il A ll I IB I I(15)

I Nota. Si se conoce el ángulo entre dos vectores, entonces reescribiendo el Teorema 1.11

en la forma

A • B = I A B : ¡ C o s0 (16)

obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar.

52 Capítulo 1: Vectores en el plano

EJEM PLOS ILUSTRATIVOS^

Ejemplo 1 J Hallar el valor del ángulo que forma el vector A que va de P (4 ,

5) a Q (6 , 4), con el vector B que va de S(-3 ,1 ) a T(-2 , -2).

Solución. A = PQ = Q - P = (6 , 4) - (4 , 5> = (2 , -l> => || A i | = \ 5

B = S T = T - S = <-2 , -2> - <-3 , l> = <1 , -3> «=> II B || = nTÍÓ

Luego , por la fórmula (15): C o s 8 = * 11 ’ = 1 ± J = _ L(V5)(nOÓ) 5V2 V2

En consecuencia , 0 = 45° ■

Ejemplo 2 j Hallar el norma del vector D , sabiendo que A y-B forman un

ángulo de 609 . D = A + B , 11A 11 = 3 y 11 B 11 = 5. ‘

Solución. S ¡ D = A + B < = > | | d | | = | | A + B | |

=> IId | |2 = | |a | |2 + 2 A - b + | | b | |2Ahora, usando la forma alternativa del producto e sc a la r , se tiene :

IId | | : = | | a II: + 2| |a || 11b 11 C o s0 + | | b | |2 = (3 )2 + 2 (3)(5)(l/2) + (5 )2 = 49

II D || =7 ■

Calcular A • B. donde A y B

son vectores de la F igura

1.52, para los cuales. 11 A 11 = 4 y 11 B 11 = 2\\3

S o lu c ió n . S i 0 e s el ángulo que forman am bos

vectores, entonces :

0 = 90°- (12°+ 18°) = 60°

Luego, haciendo u so de la fórmula (16) se tiene :

A * B = | | a || I I b II C o s 0 = (4) (3V3)Cos 60°

A • B = 4V3 ■

Ejemplo 4 J Los vectores A y B forman entre si un ángulo de 309 y la norma

de A e s \48. Hallar la norma de B sabiendo que A - B e s per­

pendicular al vector A.

Sección 1.9: Angulo entre dos vectores 53

Solución. S i (A - B) 1 A => (A - B) • A = 0

=> A - A - B - A = 0 <=> 11 A 112 = A • B

U sando la forma alternativa del producto escalar tenem os :

|! A 11 - = 11 A 11 || B || C o s 30° «=> I I A II = I I B || C o s 30

Por lo que : 4^3 = 11 B I (V3/2) «=> 11 B 11 = 8 ■

Ejemplo 5 J Los vectores A y B forman un ángulo de rc/6 radianes. Sab ien ­

do que 11 A11 = \ 3 y 11 B 11 = 1 , hallar el ángulo entre los vecto-

res U = A + B y V = A - B.

Solución. Haciendo u so de la fórmula (16) tenem os :

A • B = 11 A 11 11 B 11 C o s 30° = (VJ) (1) (V3/2) = 3/2

U • V = I| U II II V i lC o s 0

= * (A + B) • (A - B) = 11 A + B 11 11 A - B 11 C o s0

■=> 11 A 112 -1 1 B 112 = V 11A + B 112 11 A - B 112 CosQ____________________

^ (V3)2 - ( l)2 = n/( 11A 112 + 2A • B + 11 B 112) ( 11 A 112 - 2A • B + 11 B 112) C os0

c=> 2 = V[ 3 + 2(3/2) + 1] [ 3 - 2(3/2) + I] C o s0

de donde : C o s0 = 2/V7 => 0 = are Cos(2/V7) ■

i Ejemplo 6 J L o s vectores A . B y C form an d o s a d o s un ángu lo de 6 0 9 ,

sabiendo que [ I A 11 = 4 , 11B I = 2 y ! I C 11 = 6 , determinar la

norma del vector V = A + B + C.

Solución. S i V = A + B + C <=> ||V||2 = | ÍA + B + C |2

i=>||v ||2 = ||a ||2 + I| b ||2 + ||c I I 2 + 2 A * b + 2 A * c + 2 B * c

C om o el ángulo entre los vectores A y B . A y C . B y C e s d e 60°, entonces

1IvI|2 = | |aI|2 + | |b| |2 + | | c | | 2 + 2(IIa|| 11 b11 +I|aII 11c11 4-11bII IIC11) Cos60°= 16 + 4 + 36 + 2 ( 4 x 2 + 4 x 6 + 2 x 6 ) (1/2)= 100

I I V I I = 10 ■

Ejemplo 7 J Los vectores A y B tienen igual longitud y forman un ángulo de

60®. S i la longitud de A + B es 4 un idades m ayor que la longitud

de uno de ellos, hallar la longitud de A.

Solución. S i A - B =||A|| ||B|| C o s0 y 11 A 11 = 11 B 11 c=> 2 A • B = 11 A 11 - (1)

Adem ás :||A + B|| = 4 + 11A 11 , e levando al cuadrado se tiene

||a ||2 + 2 A * b + ||b ||2 = 16 + 8 II A II + 11A 112

54 Capítulo J: Vectores en el plano

Teniendo en cuenta (1) , resulta que: 3 I I A I I 2 = 16 + 8

de donde : H a I|2 -4 | | a I| -8 = 0 « 11 A 11 = 2 ± \4 + 8

/. II A || = 2 + 2^3

C j c m p lo 8 ) S i el vector A = <-\ 8 , \50> gira

45 s en el sentido horario, se

determina el vector B = (x , y). Hallar x + y

Solución. Com o ||B|| = ||aI| <=> Vx: + y ’ = \8 + 50

S i :

C o s 45° = A - B

Il A l l I I B I I

c=> x : + y 2 = 58

V2 _ <-2V2 , 5V2) • (x , y)

(\58) (V58)

de donde obtenemos : y = - i (2x + 29) (2; FIGURA 1 53

que sustituido en (1) da : x : + 4x - 21 = 0 <=> x ='-7 ó x = 3Elegimos x = 3 por cuanto el lado terminal de B está en el primer cuadrante. Luego,en (2) se tiene : y = 7

x + y = 10 ■

[ Ejemplo En el cuad rado de la F igu ra

1.54, el lado mide a unidades.

Hallar el valor del ángulo 0, si P y T son puntos que

trisecan los lados del cuadrado.

Solución. C om o P y T son puntos de trisección ,

entonces : OP = (a , a/3) y O T = (al3 , a)

L u e g o : 11 OP11 = 11ÓT11 = Va2 + (a/3): = f \ K)

O P • Ó T = (a , a/3) • (al3 , a) = 2a:/3

S i CosG = — = P P O T

I I OPl I I I OTl I<=> C o s0 = 2a73

(a^W3)- 5

0 = are C o s (3/5)

FIGURA 1.54

ejemplo 1 0 j Sean A y B vectores unitarios en R :. Dem ostrar que la sum a es

un vector unitario si y sólo si el ángulo formado por d ichos vec­

tores es de 1209

Sección 1.9: Angulo entre dos vectores 55

Demostración. (<=>) P robarem os primero que ¡ ' A + B i = 1

En efecto, por hipótesis 0 = 120° e s el ángulo entre los vecto­

res A y B. Entonces :

l l A + B ||2 = | | a II2 + IIb I|2 + 2 A * b

= IIa II2 + I| b | | 2 + 2|Ia II I I b I I CosG

= 1 + 1 + 2 (1)(!)(-1/2) = 1

11A + B 11 = 1

(<=) Dem ostrarem os ahora que A y B forman un ángulo de 120°

En efecto, por hipótesis : l lAl l = | |B|| = | | A + B S i 11 A + B 11: = 1 «=> 11 A 112 + 2A • B C o s0 + 11 B 112 = 1

■=> (1 )2 + 2 11 A 11 II B II C o s0 + ( I)2 = 1

1 + 2(1)(1) C o sG + 1 = 1 => CosG = - 1/2

[ Cjemplo 11 ] Se a n A y B vectores en R 2 , A e s un vector unitario, la sum a de

los com ponentes de B e s 31 y el máximo valor de A • B e s 41;

hallar los vectores A y B.

Solución. Se a n los vectores A = (x, , y,) y B = < x ,, y,>

S i A - B = 11 A11 ||B|| C o s0 ,y c o m o | | A11 = I y C o s 0 e [ -1 ,1 ] , el valor

de A • B será máximo cuando C o s0 = 1 , luego :

A • B = 11 B 11 *=> 41 = V x,2 + y,2 (1)

A d e m á s, x, + y, = 31 ^ y, = 31 - x 2 (2)

Sustituyendo (2) en (1) se tiene : 41 = Vx,2 + (31 - x,)2

de donde obtenem os : x,2 - 31x, - 360 = 0 <=> x, = 40 ó x, = -9

Por lo que, y, = 9 ó y, = 40 <=> B = <40 , -9) ó B = <-9 , 40)

D ado que el vector A e s unittario entonces : x,2 + y,2 = 1 (3)

4 0 x , - 9 y , = 4 l (4)y si A . B = 41 ■=> x, x, + y, y, = 41 =>

9x, + 40y, = 41 (5)

De (3) PI (4) se tiene A = <40/41 , -9/41), y de (3) fl (5) : A = <-9/41 , 40/41 ) ■

! Cjemplo 1 2 J S e a n A y B y C vectores en R J. Su p o n e r que 11 A 11 = 1 ,

^ ’ 11 B 11 = 1 y l l c l l = 4 . S i 11A - B + C 11 = 11 A + 2 B + C 11 y el

ángulo entre A y B mide 4 59, hallar el co seno del ángulo entre vectores B y C.

Solución. S i A • B = 11 A 11 11 B 11 C o s0 = * A • B = (1) (1) C o s 45° = V2/2

Desarrollando los cuadrados I! A - B + C |: = l ¡A + 2 B + C l| 2, tenemos:

56 Capítulo I: Vectores en el plano

||A||2 + H b ||2 + ||C||* + 2 ( - A ’ B + A - C - B - C ) =

M a I I : + 4 | !b I I 2 + I I c I I 2 + 2 ( 2 A - b + a * c + 2 B * C )

Simplificando se tiene : ||B||2 + 2 A * B + 2 B * C = 0

=* (1)2 + 2(V2/2) + 2 11 B 11 ||C || C o s 0 = => C o s 0 = - 1 +- V-2 ■O

E j e m p lo 1 3 ^ En la Figura 1.55 , O A C B e s un pa-

ralelogramo. S i O C = (5 , 3 ) , B A =—) —)

(-3 , 9) y 0 e s el ángulo determinado por O A y O B 1 , hallar

el co seno de 0.

Solución. S i B A = <-3 , 9} => A - B = (-3 ,9 ) (1)—) —) —> —) —^

O C = O A + AC, pero com o A C = OB, entonces

O C = O A + O B = A + B <=> A + B = (5 , 3> (2)

De (1) y (2) obtenem os :

A = <1 . 6) , B = <4 , -3) -=> B x = <3 , 4)

c o s 8 = A ' B1 = < ' - 6> ' < 3 ' 4> = - 2 LII A || II B || (Vi + 36 ) (V9 + 16) 5V37

Ejemplo 1 4 j En el paralelogramo A B C D

de la Figura 1.56, se tie­

ne: ||ÁB II = 6 , I IA D II = 4 , m (<A ) = 609; M y

N son puntos m edios de los lados A B y B C ,

respectivamente. Hallar C o s0 , sab iendo que

II U || = 6 y II V11 = 4V l3 .

Solución. A D = 4 <Cos60°, Sen60°) = 2 (1 , V3)

Á B = 6 (C osO °, SenO°> = 6 ( 1 , 0 )

Luego, A M = i - Á B = (3 , 0> y BN = -y A D = <1 , \ f3)

D M = A M - Á D = (3 , 0) - <2 , 2^3) = (1 ,_-2V3>

Un vector unitario en la dirección y sentido de D M e s :

D M O . - 2V3)

FIGURA 1.56

u= lyíl311 D M 11 V l3

Análogam ente : A N = A B + BN = 6 (1 , 0) + (1 , V3> = (7 , V3)

2V3>

Ejercicios de la Sección 1.9 57

Un vector unitario en la dirección y sentido A N es

v= jM - ü = => V = ir v II v= (4VÍ3) =2(7,V3>I Ia n I I 2\^3 2V13

• C oq0 = U • v _ 12(1 ,-2>/3) » <7,V 3) _ j _

I IU l I ||V il a/T3(6) (4VT3) " 2 6

EJERCICIO S : Grupo 8

1. Hallar la medida del ángulo entre los vectores A y B, si A va de P(2 , 5) a Q(4 , 4)

y B va de S (3 , -2) a T(2 , 1).—) —>

2. S i A B C e s un triángulo tal que A C = (4 , 1 ), A B = (-4 , -3 ), hallar el coseno del

ángulo que forma el vector B C con el vector unitario j = (0 , 1).“4 -4

3. En un triángulo A B C se tiene : A C = <-2 , 4) y A B = <3 , -1). Hallar el ángulo que—>

forma el vector B C con el vector unitario ¡x.

4. En un triángulo A B C se tiene : A B = (2V6 , 2\'2 ) y A C = ( \6 , -V2). Hallar la—)

m edida del ángulo formado por B C y el semieje positivo de las abscisas.

5. En un plano cartesiano, los puntos A ( r , s ) , B(na + r , nb + s) y C (-m ¿ + r , rrw + s)

son diferentes del origen y m ^ O . n ^ O . Hallar la medida del ángulo formado

por los vectores A B y AC.

6. Hallar el ángulo que forman el vector A que va de P(-1 , 3) a Q (6 , 4) con el

vector B que va de S (5 , -1) a T(2 , -5).

7. Calcular A • B . donde A y B son los vectores

de la Figura 1.57 , para los cuales: 11A11 = 8r

Yi k

y IIB || = \7 2 B

8. Calcu la r 11 A + B 11 sab iendo que A y B for­ A

m an un ángulo de 1509 y que , 11 A11 = \!48 y(J

II B II = 6

9. Lo s vectores A y B forman un ángulo de 609, FIGURA 1.57

sab iendo que ||A|| = 5 ,| | B | | = 8 , hallar

I I A + B l l y | | A - B ||.

10. Se a n A , B y C vectores diferentes de O, y supuesto que el ángulo entre A y C

e s igual al ángulo ente B y C, para qué valor de t e s el vector C perpendicular al

vector D = II B || A + tB.

58 Capítulo l: Vectores en el plano

11. L o s vectores A y B form an un ángu lo de 1209, sa b ie n d o que i í A ! I = 3 y

11 B 11 = 5 , determ inar, 11 A + B 11 y 11A - B 11.

12. Q ué condición deben satisfacer los vectores A y B para que el vector A + B

bisecte al ángulo formado por los vectores A y B.

13. El vector A = (x , y) se obtiene girando 609 al vector B = <-2 , 4) en el sentido

horario. Hallar el vector A.

14. S i l l A l l = a y l l B | | = ¿?, demostrar que el vector C = + , b iseca ela +b

ángulo formado por A y B.

15. Se an A y B dos vectores no nulos tales que 11 A ■ I = I i B 11 = m. S i el ángulo

entre A y B e s n/3 radianes , y la norma de su diferencia e s 2 - m ; hallar m.

16. Tres vectores A , B y C e R : satisfacen las siguientes prop iedades : I ! A !! =

I I C l l = 5 , 11 B 11 = 1 y 11A - B + C 11 = 11 A + B + C 11. S i el ángulo que forman

A y B e s n/8 , hallar el que forman B y C.

17. D ado s los vectores unitarios a , b y c tales que el ángulo entre a y b mide 309 y

el ángulo entre b y c mide 60e, graficar el vector a + 2b - 3c y calcular su

longitud.

18. En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.58

se tienen : | i AB11 = 3 , 11 A D 11 = 6 , m (< A) =

609 , P y Q son puntos de trisección de los

lados A B y B C respectivamente. Hallar C o s0

sabiendo que 11 U 11 = 4 \ 7 y 11 V 11 = 3 \ 19

19. D ado s tres vectores no nulos en R : , A , B y

C. Supuesto que el ángulo que forman A y C

e s igual al que forman B y C. Dem ostrar que

C e s ortogonal al vector 11 B 11A - 1 A B.

20. Los vectores A y B forman entre si un ángulo de 609 y el m ódulo de A e s 6.

Hallar 11 B 11 para que A - B forme con A un ángulo de 309.

21. Los vectores A y B forman un ángulo de 309 . 11A 11 = v3 y 11 B 11 = 1. Hallar el

ángulo que forman los vectores A + B y A - B.

22. El punto A(4 , 2) e s un vértice de un trapecio isó sce le s A B C D , cu ya s b a se s A B

y C D miden 10V5 y 4 \5 unidades respectivamente. S i A B e s paralelo al vector

U = (1 , 2) y el lado Á D e s paralelo al vector V = (-2 , 3 > , hallar los otros vértices

del trapecio.

Sección 1.10: Descomposición de vectores 59

23. Lo s ángu los entre los vectores no nulos B y C , A y C , A y B son a , p y y

respectivamente , y los vectores U y V están definidos como

U = (A • C )B - (A • B )C , V = (A • C )B - (B • C )A

Dem ostrar que si U y V son perpendiculares , entonces : C o sp = C o s a C o sy

24. Dem ostrar que si A y B son vectores de igual longitud entonces el vector A + B

b iseca el ángulo entre A y B y que A - B es ortogonal a A + B.

[1.10) D E S C O M P O S IC IO N DE V E C T O R E S ____________________

Se an los vectores A y B en R J. S i desde un punto de vista geométrico un

vector V del plano podem os expresarlo, en forma única, com o una sum a de com po­

nentes vectoriales rA y tB, que son múltiplos escalares de A y B : entonces se dice

que se ha efectuado una descomposición del vector V en su s com ponentes vecto­

riales paralelos a los vectores A y B (F igu­

ra 1.59), esto e s :

V = r A + t B

El conjunto p = {A , B } se llama base de R :,

para cada vector V e R :, y los núm eros r y t

se llaman componentes escalares de V en

relación a la base p.

S i ocurre que los vectores A y B so n uni­

tarios y ortogonales entonces al conjunto

{ A , B } se le llama conjunto ortonormal.

Definición 1.14 Bases ortonormales

S e dice que una base p e R* e s una base ortonormal si el

conjunto de vectores A y B que la constituyen e s un conjunto ortonormal. Así, la

base p = { A , B } e s una base ortonormal si ocurre que :

A • B = 0 ó A • A = l^------------------- —________ _ _________________________

Por ejemplo , con sid e re m os el conjunto de vectores { A , B } , donde A =

<4 , -2) y B = <3 , 6). Este e s un conjunto ortogonal (A • B = 0) y e s por lo tanto una

base de R :. S in embargo, no e s b ase ortonormal, pues los vectores A y B no son

unitarios. Para obtener una base ortonormal bastará normalizar los vectores A y B.

A s í , si

60 Capítulo 1: Vectores en el plano

A <4, -2) <2, -1) u _ B _ ( 3 , 6 ) = (1 , 2)

|| A || " V J 6 T 4 V5 ’ 2 I I B || V9 + 36 V5

entonces el conjunto { u |f u,} constituye una base ortonormal en R :.

Indudablemente existen m uchas b a se s ortonormales en R 2, sin embargo,

una base ortonormal de singular importancia lo constituye la b ase formada por los

vectores unitarios ortogonales ¡ = (1 , 0) y j = (0 , 1). Así, fijada la b ase (3 = - i , j >,

llamada base ortonormal canónica, cada vector V = (x , y) en R*. de origen O, se

escribe en términos de esta base com o

V = xi + yj

En efecto :

V = (x , y) = <x , 0) + <0 , y)

= x < I , 0) + y <0 , 1)

= xi + yj

que e s la expresión analítica del vector V, en la

cual los núm eros x e y son su s componentes escalares y los vectores xi e yj componentes vectoriales (Figura 1.60)

— \ Definición 1.15 CO MUI NACION LINEAL DE VECTORES_____________________

S i (3 = { A . B } e s una base de R 2, entonces de dice que cada

vector V e R 2 e s una combinación lineal de los vectores de p , si existen los

núm eros s y t e R , tales que

V = s A + t Bv_______________________________________ __________________________ :-----------------------y

Se gú n esta definición , si la base p e s ortonormal, todo vector V e R 2, puede

expresarse mediante una y só lo una combinación lineal de un par dado de vectores

unitarios ortogonales u y u±. E s decir, existe una y só lo una pareja de esca lares s y

t tales que

V = s u + t u 1 (17)

Lo s escalares s y t pueden calcularse fácilmen­

te tom ando los productos e sca la re s V • u y

V • u x, pues si u • u1 = 0 y u • u = u 1 • u 1 = 1,

entonces en (17):

V • u = s ( u • u) + t(u1 • ti) *=> s = V • u

V • u 1 = s ( u • u x) + t(u1 • u1) => l = V • u1 Luego , en (17) se tiene el siguiente resultado

[ V = (V » u)u + ( V - u > x) (18) FIGURA 1.61

Sección 1.10: Descomposición de vectores 61

En el ejemplo anterior se vió que p = {u,, u,} , donde

(2 , -1) (1 , 2) u = - — --- - v U = - - -V5 V 2 V5

es una base ortonormal en R 2. E scribam os el vector V = (5 , - I) en términos de esta

base. Por la ecuación (18 ), se sigue que :

V = (V • u () u, + (V • o,) u

= ( f

= 4 « , - - i «,V5 1 >¡5 '

También, todo vector V e R : se puede expresar com o una sum a de múlti­

plos e sca la res de vectores ortogonales no nulos que no sean unitarios.

B B 1 r iEn efecto , si u = —— - y ux = —-----— = —— — , entonces en (18) se tiene :

I IB II I I b -HI II B II

v = ( v * — — + ( v» - BX) —B1 .[ II B I K I I B | | \ I I b I I M I b I I

que equivale a :

( 19 )

EJEM PLOS ILUSTRATIVOS 1

( fjcmplo 1 ) Dado los vectores V = (-2 ,2 ) y B = <3,1), expresar V com o una

combinación lineal de B y B 1.

Solución. S i B = (3 , 1) ■=> B x = <-1 , 3) y 11 B 11 = VTo

Luego, si aplicam os la ecuación (19) obtenem os :

v " 2 ) 10<3' 0 ) (3 ■ ') * (<-2' 2> 1 0 ' 3>) <-' ■ 3>

^ v = (:ÍL¡ Í Í ) < 3 ' 0 + <-• • 3> = - <3 • I> + y < - l .3 )

Com probación : V = (- y , - y ) + (- — — ) = (-2 , 2) ■

62 Capítulo I: Vectores en el plano

Ejemplo 2 J En la Figura 1.62 se tiene :

f p l l O X y | |Ó P II = 8—> —> —►

S i O T = m O P + n O P 1 , hallar el valor mn.

Solución. Ó P = 11 O P 11 <Cos30°, Sen30°> = 4 (V J , 1 >

La s com ponentes de O T son (x , x ) , pues

y = x. La ordenada de P es y = 11 OP 11 Sen30° = 8(1/2) = 4

=> Ó t = <4 ,4 ) = 4(1 , 1)

Com o Ó T está expresado com o una combinación lineal de vectores ortogonales ,

u sarem os la ecuación (19) para calcular los e sca la res m y p , esto e s

Ó T • Ó P 4(1 , 1> * 4(^3 , 1)

11 O P 112

Ó T 'Ó P 1

(4V3 + 1 y

4(1 , 1) » 4 (- l ,V 3 ) _ 1

(4\/3 + 1): •} m n 8

Ejemplo 3 J En la Figura 1.63 se tiene los

vectores A y B con 11A 11 =

2 \3. S i B = s A + t A 1 , hallar el valor de s + t.

Solución. A = 11 A 11 (C o s 60° , S e n 60°) = (V3 , 3)

L a s com ponentes de B son ( - y , y ) , pues

y = -x y com o y A = y B = 3 , entonces B = <-3 , 3).

Luego, usando los escalares de la ecuación (19) ten­

drem os :

<-3 , 3) • <V3 , 3> 3 -V 3s =

t =

B • A

11A 11;

B • A J

(V3 T 9 y

(-3 , 3) • (-3 . n/3)

(V3 + 9 ):

4

3 + V3

f ' y4

\ £ .áV J

}

FIGURA 1.63

Ejemplo 4 ] Se a n los vectores de la F igura

1.64, dondeII A|| = 2 y11C11 = 8 .

S i C = m A + nA-1 , hallar el valor de m - \3 n

Solución. El ángu lo de dirección del vector A e s

a = 180° - (90 + 30°) = 60° , luego , si

FIGURA 1.64

Sección 1.10: Descomposición de vectores 63

A = 11 A 11 (Cos60° , Sen60°) <=* A = <1 , n/3) y A x = (-V3 , l>

S i C = (0 , 8 ), los e sca lares de C = m A + n A 1 son :

m = C -A = <0.8> • <1 .V3) = 2 = . C -A 1 = (0 , 8) ■ (-V5 . I) _ ,11A 11 - (2)! ' ’ 1 1A 112 (2)’

m - \5 n = 2V3 - >Í3(2) = 0 ■

I O B S E R V A C IO N 1.7 Sabem os, por la Definición 1.15. que cualquier vector V e R 1

puede expresarse de manera única com o

V = s A + t B (1)

Si ocurre que los vectores A y B no son ortogonales, los escalares s y t pueden

calcularse tom ando los productos e sca la re s V • A 1 y V • B x , pues si A • A x = 0 y

B • B 1 = 0 , entonces en (1) se tiene :

A . A 1 = 0 + t B • A x c=> t = V - A ^ ; V • B 1 = 0 + s A . B x ■=> s = _¥_!_B^B • A 1 A • B 1

Por consiguiente en (1) : j^V = ( a T § x ) A + [ q ‘~ ^ i ) B ) (20 )

[ Ejemplo 5 j En la Figura 1.65 se muestran los

vectores A, B y C, donde 11 A 11 =

3 , 1! B || = 2 , 11 C 11 = 6 y a = 309. S i C = m A + n B ,

hallar m + \3n .

Solución. L a s com ponentes de los vectores m ostra­

dos s o n :

A = (3 , 0> , B = 2<Cos 30° , S e n 30°) = <V3 , 1)

y C = 6 (C o s 120° , S e n 120°) = <-3 , 3>/3)

Si C = m A + n B , los esca lares m y n lo obtenem os a

partir de la ecuación (24 ), esto e s :

m = C * B X = (-3 .3V 3 ) • (-1 ,V3) = 3 + 9 =

A - B 1 ( 3 .0 ) • <-1 , V3> *3

n = C • A± = (-3 , 3n/3) • ( 0 , 3 ) _ 9V3 _ , ^

B • A 1 (n/3 , 1) . (0 , 3) 3

Ejemplo 6 j Los segmentos orientados y la combinación lineal

FIGURA 1.65

m + \3 n = 5 ■

En la Figura 1.66 , A B C D es un paralelogramo. S i A F = J- A D yO

64 Capítulo I: Vectores en el plana

E D = 5 B E , expresar E F com o combinación li­

neal de A D y AB.

Solución. El objetivo e s expresar É F en la for­

m a :

E F = m A D + n A B

Entonces en el A E F D se tiene :

É D = É F + F D ■=> É F = É b - F D (1)

Dado que E D = 5 B E => É D = -| B D = -| (Á D - Á B )

Luego , en (1) se tiene : EF = (A D - A B ) - -=- A D

«=> E F = 4 -Á D - ¿ A B6 6

r

/IK /A F u

v JFIGURA 1.66

EJERCICIO S : Grupo 9

1. Dado los vectores A y B en R ! , demostrar que

11 A 112 B = (A • B )A + (A 1 - B )A A

2. S i A y B son dos vectores en R : , demostrar que :

I I a ! I2 ||b I I 2 = (A • B )2 + (A 1 • B )2

3. Em plee el resultado del Ejercicio 2 para dem ostrar que :

II A 112 || B 112 > (A • B )2

4. En la Figura 1.67 se tiene los vectores A y B . con A 11 = 4. S i B = s A + tA 1 ,

hallar el valor de s + t.—> —> —>

5. En la Figura 1.68 se tiene (X = 309 y 11 O M II = 12. S i O N = m O M + n O M 1 , hallar

el valor de m + n.

6. Dado los vectores de la Figura 1.69, hallar el valor de n + V3m sab iendo que

m A + n A x = C , siendo A un vector unitario y I i C ! I = 8

\>C

VFIGURA 1.68 FIGURA 1.69

Ejercicios de la Sección 1.10 65

7. En la F igura 1.70 se tiene los vectores A , B y C , donde 11A I = 2 \3 . S i C =

m A + n B , hallar el valor d e m - n .

8. En la Figura 1.71 se tiene : A B 11OY y 11OA 11 = 4. S i O B = m O A + n O A x , hallar

el valor de m - n.

9. En la Figura 1.72 , f/ ' e s una recta paralela al eje X y se tienen los vectores A

y B en R 2 , donde 11 B 11 = 3 \2 . S i A = s B + t B 1 , hallar s . t y l l A - B||.

FIGURA 1.70 FIGURA 1.71 FIGURA 1.72

10. En un trapecio A B C D , los la d o s p ara le los A B y C D m iden 9 y 3 un idades

respectivamente. S i M e s punto medio de A B , N e s punto medio de B C y M N =

n A B + n A D , hallar el valor de m - n.

11. En la Figura 1.74 se tiene el paralelogramo A B C D donde E es punto de trisec­

ción de A B , H e s un punto tal que 3 D H = 4 HE. S i AH = m A D + n A B , hallar los

e sca la res m y n.

12. En el paralelogramo de la Figura 1.73 se tiene : A E = E C y 4 FD = AF. S i E F =

m A D + n C D , hallar el valor de m + n.

13. En la Figura 1.75 se dan los vectores A , B y C , donde 11 A 11 = 3 , 11 B 11 = 4 ,

11 C 11 = 6 y a = 609. S i C = m A + n B , hallar el valor de m + 2n.

14. S e tiene un trapecio escaleno A B C D , cuya base m ayor A D es el doble de la

base menor BC. S e trazan las d iagonales A C y B D que se cortan en el punto P.

S i B P + C P = m (BC + C D ) + n (C B + B A ) , hallar m + n.

15. S e a A B C D un parale logram o , tal que d o s lados no paralelos son A B = 3u y

A D = 6 v , donde u y v son vectores unitarios. S i P e s punto medio del lado A D

y E e s el punto de intersección de los segm entos A C y B P ; hallar en términos

de u y v los vectores A E y BE.

66 Capítulo 1: Vectores en el plano

í l . 1 l ) P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L

Se a n A y B d os vectores y B * O. la proyección ortogonal o componente

vectorial de A sobre B , denotada por ProyBA , e s el vector

Proy°A = ( i í i T r ) B ■ ° r ° )

S i aplicam os la ecuación (21) a (19) , obtenem os

A = ProyBA + ProyB, A

(21)

(22)

Geométricamente esta definición significa que se puede construir un triángulo rec­

tángulo cuya hipotenusa sea el vector A y cuyo s catetos contienen a los vectores

P royBA y P royBA . (Figura 176).

| O B S E R V A C IO N 1.8 Lo s vectores B y P royBA son paralelos de tal m odo que si el

ángulo 9 entre A y B e s agudo entonces B y P royBA tienen

la m ism a dirección y sentido (Figura 1.76), en tanto que si 0 e s obtuso entonces B y

P royBA tiene la m ism a dirección y sentido opuestos (Figura 1.77)

E j e m p lo 1 . S i A = <12 , 5) y B = ( -3 , 4 ), hallar la P royBA

Solución. Partiendo de la ecuación (21) se tiene :

Proy=A=( <lH(^4)l l=4>) <’3 '4 ) = ( -3 •4> = f <-3 ' 4>En este ca so vem os que Proy0A y B son paralelos y tienen sentidos opuestos. I

Sección l . l l : Proyección ortogonal 67

P R O P IE D A D E S D E L A P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L

1. Proyc (A + B) = ProycA + ProycB

2. ProyB (rA ) = r ProyBA

Definición 1.12 Componentes Escalares

A • BAl número j—^ j ■■ se denom ina componente escalar del vector

A en la dirección del vector B , siendo B * O y se denota p o r :

C om p°A = T í Í Í T (23)

D ad o que ProyBA = ( ) — B , se puede establecer la relación B B

siguiente entre proyección (un vector) y componente (un número)

(V r o y BA = (Com paA ) (24)

S i Com psA > 0 , entonces la ProyBA tienen el m ism o sentido de B. del m ism o modo,

si Com pBA < 0 entonces la ProyBA tiene sentido opuesto a B (Figura 1.77). Por

tanto, la com ponente escalar de un vector e s la longitud dirigida u orientada del vec-

Rtor. Esto e s , si - — - es un vector unitario , la ecuación (24) se puede escribir •

B

Com pBA = ± || Proy A 11 (25)

El signo se debe elegir según que B y ProyBA tengan o no el m ism o sentido. A s í para

los vectores de la Figura 1.77 se toma : C om pBA = - 1 i P royBA 11

Ejemplo 2. Hallar la proyección ortogonal y la com ponente e sca lar del vector

A = (-3 , -4) sobre el vector B = <4 , -2)

Solución. S i B = (4 - 2) B | = V20 , luego , en la ecuación (21) se tiene :

Pr°yeA = ( - ~3- ’ ’ ~2)) (4 . -2> = - 1 (4 , -2) = (-4/5 , 2/5)

Obtenem os la componente escalar aplicando (23 ), esto e s

r.nmn a - <~3 , -4) • (4 , -2) _ -12 + 8 _ 2V5

68 Capítulo I: Vectores en el plano

Com o la C om pBA < 0 , la P royBA y B tienen sentidos opuestos.____________ - 2 V 5 "

La norma de la proyección ortogonal e s : 11 ProyBA I i = V(-4/5): + (2/5)- = — j -

C om pBA = - 11 P royBAl I

P R O P IE D A D E S D E L A C O M P O N E N T E E S C A L A R

1. C om p c(A + B) = C om pcA + C om p cB

2. C om p B(rA ) = r C om pBA

------------- f EJEM PLOS ILUSTRATIVOS]------------- ^

E je m p lo 1 ^ ) L o s lados de un triángulo son los vectores A , B y A - B. S i

----------------------- || A II = 5 , II B II = 3 y C o m p BA = -5/2, hallar la longitud del

lado A - B.

Solución. S i C om pBA = - | => TT^TT = * 7 ’ de donde A . B = - 15/2B

y s i| | A - B ||2 = I Ia | | 2 - 2 A - B + M b ||2 = (5)2 - 2(-15/2) + (3) = 49

11 A - B 11 - = 7

Ejemplo 2 ] Lo s lados de un triángulo son los vectores A , B y A + B. S i

----------------------- | | a I I = 5 , 11 B 11 = 2 V2 y 11A + B 11 = n 53 , h a lla r:

2 C om pBA - C om p A(A + B)

Solución. S i I ! A + B l = V53 <=> A + 2 A • B + 11 B i I = 5.-1:V53 <=> II A 112 + 2

c=£ (5 y + 2 A •

/ A - - 9 ( j mMl B ll)

— ¿

(A + B) * A A I I - + B - A _ 2 5 + 1 0 _ 7 Com pA(A + B) = |[A|— = ----------5 5 -

2 Comp A - CompA(A + B) = 5V2 - 7

Sección 1.11: Proyección ortogonal 69

f Ejemplo 3 ) S i A + B + C + D = 0 , | | A + B | | = a , | | C | | = 6 y | | D | | = c ,

hallar la Com pcD

Solución. S i A + B = - (C + D) => 11 A + B 11 = 11 - (C + D) 11 c=> a = 11 C + D 11

Elevando al cuadrado se tiene : a2 = 11 C 112 + 2 C • D + 11 D 112

Luego , a 2 = b2 + 2 C • D + c2 , de donde : C • D = \ (a2 - b2 + c2)

• '• Com p ' D = ^ = ¿ ( a ; - i : + c ! ) ■

Ejemplo 4 ] S i el vector B forma un ángulo de 3 09 con el semieje positivo

de las x , 11 B 11 = 2 , C om p BA = -2 y C o m p B A = 2^3 ; hallar el rector A.

Solución. S i B = 11 B 11 <Cos 30°, Se n 30°) = * B = ( V I , 1)

Por la ecuación (21 ): A = ProyBA + ProyB±A

<=> A = ( CompBA ) + (Com pBlA) = (-2) + (2VT) <1*

1 A = (-2V3 , 2) ■

( Ejemplo 5 ] S i A = (-2 , \ 12) y B = (-3 , \ 3 ), hallar el ángulo formado por los

vectores A y ProyBi A

Solución. S e a el vector C = P ro y B A = ( B x* II B x ||2 *

0 c ° [ —Si A U y C 11V , entonces : U = <-1 , V3> y V = (1 , V3>

El ángulo entre U y V e s el m ism o entre A y C , por lo que :

C o s 9 = U ~ V = < - '■ >5) - (I ■ V3) = 1 ^ 9 = 60- .I l u l l l l v l l (2) (2) 2 ~ "

i j e m p l o 6 ) D ado los puntos A (-1 , 3 ) , B (5 , 6) y C (7 , 5 ) ; si P divide al

segm ento A B en la razón A P : P B = 2 , hallar la proyección del

vector A P sobre el vector BC.

70 Capítulo 1: Vectores en el plano

Solución. S e a el punto P(x , y). S i ^ = 2 ■=> A P = 2 P B

«=> P - A = 2 (B - P)

r x + 1 = 10 - 2x ■=> x = 3« < x + l , y - 3 > = 2 < 5 - x , 6 - y > o | y . 3 = 12 - 2y « y = 5

Luego , P(3 , 5) => A P = P - A = <3 . 5) - <-1 , 3> = (4 , 2)

B C = C - B = <7 , 5) - (5 , 6> = <2 , -1 >

Ahora : ProyBCÁ P = ( A P * B C = ( (4 ’ 2)_ L Í- 2 ’ (2 , -1)/BC M l B C l l 2' ' (V4T T ) j '

ProyB-cA P = f < 2 , - l > ■

[ E j e m p lo 7 J S i A. B y C son vectores no paralelos con C * O, dem ostrar que

a) 11 Proyc(A + B) 11 < i C om pcA I + I C om p cB !

b) Proy sC(rA + B) = r ProycA + ProycB , V r , s e R , s * 0

Solución. En efecto, de la definición de proyección ortogonal se sigue que :

a) Proyc(A + B , = C = ( - ^ C ) C ♦ ( J ^ ) C

_ /A • C + B • C \ C

l l c l l 1 l i e IIO bsé rve se que el paréntesis del segundo miembro es un número real y que es

coeficiente de un vector unitario; luego, si norm alizam os am bos m iem bros de

esta igualdad obtendremos :

11 Proyc<A + B) || =

Ahora, si aplicam os al numerador del segundo miembro la desigualdad triangular

para núm eros reales, tendremos :

l|Pro^ ( A + B ) l l s 1 W + 1 W

|| Proyc(A + B) || < C om pcA + C om pcB

» * - r (A; ? i ; r v

= O c + ( ^ ) c= r ProycA + ProycB ■

Sección 1.11: Proyección ortogonal 71

Ejemplo 8 J Se an los vectores A = (k , -2) y B = (2k , k + 2 ), donde k e R.

Hallar los valores de k de modo que ProyBA y B tengan senti­

dos opuestos.

Solución. S i ProyBA y B tienen sentidos o p u e sto s , entonces C om pBA < 0 , esto es,

A - B < 0 , pero com o 11 B [ I > 0 , implica que : A . B < 0I I B

Luego : (k , -2) • <2k , k + 2) < 0 => 2k- - 2(k + 2) < 0 <=> k: - k - 2 < 0

=> (k + 1 )(k - 2) < 0 « (k + 1 < 0 a k - 2 > 0) v ( k + l > 0 a k - 2 < 0)

<=> (k < • 1 a k > 2) v (k > -1 a k < 2 )

» (0 ) v (-1 < k < 2) <=> k e < -1 , 2 > ■

[ E j e m p lo 9 ^ ] Se an los vectores no nulos A. B e R : y r * 0. Establecer el valor

de verdad de las siguientes afirmaciones

1. 11 A x + B 11 = I I a - b M I

2. ProyA(ProyBA) = ProyB(ProyAB) .=> A 11 B 1 ó 11 A 11 = 11 B 11

3. | C om pA(Ax + B) | < 11 B 11

4. S i r > 0 ■=> C o m p g iA = - C om p^A -1

5. S i A + B 1 = A 1 + B «=> A = B

Solución.

1. Dado que 11 A 11 = 11 A x 11 •=> 11 A 1 + B 11 = 11 (A 1 + B )1 !!

= 11 (A A)X + B x 11

= I I - A + B M I = l l( - l) (A - B x) 11

= |(-1)| II A - B^ || = 11 A - B x 11

Luego , la afirmación e s verdadera

2. ProyA(ProyBA) = Proy8(ProyAB) « * ] A = [ - ^ 7 ° ] B

r t A - B X B - A ) , f ( B . A ) ( A ; B ) l BI I b I I : I I a I I : 1 1 a 1 12 11b 11-

La igualdad (1) se cumple si y só lo si

A • B = 0 => A 1 B = * A | | B X

A • B * 0 <=> A = B , luego 11A11 = || B iI

Por tanto , la afirmación de verdadera.

3. Por la desigualdad de Cauchy - Schw artz se sabe que :

72 Capítulo 1: Vectores en el plano

A • B I < I I a I I 11 B 11 « J A l B j < || B 11 <=> ' A - A ^ A - B l < | |BIl A l l

A • (A 1 + B)

I I A II

Luego , la afirmación e s verdadera

< 11 B i I <=>\ C om p A(A x + B) | < 11 B 11

4. C om pBiA = jy~TT\ * per0 11 01 i I = I B y A . B x = - A 1 . BB II B x II

A i . R A x • (r B)Luego : C o m p B A = - t com o r > 0 => C o m p B A = - 11 r B j y

<=> C om p 0iA = - C om p iBA x

Por tanto , la afirmación e s verdadera.

5. S i A + B x = A x + B ■=> A - B = A x - B x

«=> (A - B) • (A - B) = (A - B) • (A x - B x)

o (A - B) • (A - B) = (A - B) • (A - B )x (A • A x = 0)

=> (A - B) • (A - B) = 0 (A • A = 0 <=> A = O)

<=> A - B = O c=> A = B

Luego , la afirmación e s verdadera. ■

C j c m p lo 1 0 j Dado el vector A = (-4 , 2) y P royBiA - (-3 , 3 ), supuesto que

C om pBiA e s positivo , hallar la C om pBA.

Solución. S i A = ProyBA + Proya±A

«=> (-4 , 2) = ProyBA + (-3 , 3)

c=> P royBA = <-l , *l>

Dado que . C om pBA = ± 11 P royBA I , entonces :

C om pBA = ± + (* l); = ± >/2

En la Figura 1.78 se observa que B y ProyBA tienen

sentidos opuestos , por lo que : C om p0A = - V2 ■Prov„ A

FIGURA 1.78

E j e m p lo 1 1 } Dado el exágono regular de lado a (Figura 1.79), hallar la pro­

yección ortogonal de F C sobre BE.

Solución. FC = 11 r c 11 <Cos60°, Sen60°)

= 2a (1/2 , V3/2) = a (1 . V3>

Sección 1.11: Proyección ortogonal 73

BE = 11 B E 11 (C o s 300°, Se n 300°) = 2a (1/2 , - \Í3/2) B E = a <1 , - V3)

L u e g o . P roy.-FC = ( ^ # ) B E = ( a <' ■ ' ^ > ) a <, . . V5)a /BE ' 11 B E I I 2' V a ! ( i í T + 3 ) ! 1

ProyB-EF C = - | ( l , - V 3 >

Ejemplo 12 J En la Figura 1.80 . C e s un vector unitario tal que Cotg a = 3 \ 3.

S i A + V = A x , hallar la C om pvC.

Solución. Dado C o tga = 3V3 y a en el IV cuadrante , entonces

Se n a = - — U y C o s a =2V7 2V7

Si C = (C o s a , S e n a ) c=> C = ^ | <3^3 , -1)

Sen 75° = Sen(45° + 30°) = Se n 45° C o s 30° + Se n 30° C o s 45° = ^ ( 1 + V3)

C os 75° = Cos(45° + 30°) = C o s 45° C o s 30° - S e n 45° S e n 30° = ^ (\Í3 - 1)

t=> A = 11 A 11 (C o s 75° , S e n 75°) = ^ | I A 1 1 <V3 - 1 , V3 + 1) = r <V3 - 1 , >/3 + 1)

Luego , si V = A x - A => V = r (-VJ - 1 , V3 - 1) - r <V3 - 1 , \Í3 + 1) = 2r (-V3 , -1)

Com p C = C . V

II V i l

(3V3 , - 1) . 2r (-V3 , -1)

2r V3 + 1

2V77

Ejemplo 1 3 ] En la Figura 1.81 se tiene : 11 A11 = 2 , A • B = \2 11 B11. S e a V

un vector tal que B x + V = B y a el ángulo entre A y B. Hallar

ProyvA.

74 Capítulo I: Vectores en el plano

Solución. A = 11 A I ! (C o s 60°, Se n 60°) = <1 , V3)

S i A • B = 11A 11 11 B 11 C o s a , entonces

V2 11 B 11 = 2 1! B 11 C o s a , de donde ,

V2C o s a =

S i B = 11 B || (C o s 105°, S e n 105°)

V2t=> B = llB|| (1 - V 3 , 1 +V3> 4

c=> B i = Í L || B II (-1 - V 3 , 1 - V3>

Lu e g o , si V = B - B 1 => V = ^ Il B II <2 . 2>/3> = ^ Il B II (1 , V3> = r (1 , V3)

O ■ r ( l

(V1 + 3)*. P r o y A = f - ^ V - W = ( < l ' ^ > m i , ^ ) r < l , V 3 > = <1 ,V 3) ” Kr°VvA l||v||-/ V r: (V1 + 3)2 1

Ejemplo 14 J En el paralelogramo de la

F igu ra 1.82 se tiene :

D E = É C , m (3 B A D ) = 609. La altura relativa a

la base Á D e s h. S i el vector M = A B + A E - B D

y V = P royAl M , hallar la norma de V en función

de h.

Solución. En la Figura 1.82 se tiene :

A E = A D + D E y B D = A D - A B

Luego , si M = A B + A E - B D «=> M = A B + (A D + DE) - (A D - A B )

= 2 Á B + D É = 2Á B + -y A B = j Á B

FIGURA 1.82

M • A D 5 /AB • A D \ 5 /Il A B II II A D l l C o s 60°\

II A D l l ~ 2 ' IIÁD lr 2 \ || A D l l '

de donde obtenem os : 11V11 = -j 11 A B 11

En el A D H C : h = 11DC 11 Se n 60° = 11 A B 11 Se n 60° =

••• l l v l l = t ( 2 r ) h = 5 r h

A B II =

Sección l . l l : Proyección ortogonal 75

[ Ejemplo 15^ La Figura 1.83 e s un trape­

cio rectángulo en donde :

A = (5 , 12) y C = (-2 , 3). Hallar su área.

Solución. 11 A 11 = V5: + 12: = 13

11 H 11 = Com p iC = — * A 1 l l A l l

H|| = ( -2 ,3 ) . (-12, 5) _ 13

= 3

r

á

B

A

/H

(¿ ° »

V A

D|| = C om p C = = .<-2 .3 ) » (5 , 12) _Il A l l 13

FIGURA 1.83

B 11 = 11 A 11 - 1| D || = 1 3 - 2 = 11

Area del trapecio = i ( | | A || + ||B||)||H|| = | ( 1 3 + ll)(3 ) = 3 6u -

E je m p lo 1 6 ) El triángulo A B C e s isó sce le s , s iendo A (4 , 10) y B C el lado

desigual. S i Proye-cB A = (3 , -1) y P royA-cÁ B = f (1 , -7) , hallarlos vértices B y C. 5

Solución. S i Proy-cÁ B = j (l , -7) <=> A C 11 (I , -7),

esto e s , 3 r e R | A C = r ( I ,-7)

c=> C - A = r ( l , -7) <=> C = (4 , 10) + r(l , -7) ( 1 )

Com o B C = 2BH c * B C = 2 P r o y -B A = 2(3 , - I)

«=> C - B = (6 , -2) <=> B = (4 , 10) + r ( l , -1) - (6 , -2)

E => 8 = (-2 , I2) + r ( l , -7) (2)

AB = B - A = (-2 , 12) + r ( I , -7) - (4 , 10) = (r - 6 , 2 - 7r)Adem ás :

11 A B l l= | | A C 11 <=> \(r - 6)2 + (2 - 7r)J = r V i + 49

de donde , r = 1 , que sustituido en (1) y (2) obtenem os :C(5 , 3) y B(-1 , 5) ■

e je m p lo 1 7 7 ) Se a n A(-3 , 2 ), B , C(-1, 13) y D los vértices de un rectángulo

tal que A C es una de s u s d iagonales y Á B es ortogonal a (4 , -3). Hallar los vértices B y D.

Solución. S i A B 1 (4 , -3) implica que A B 11 ( 3 , 4 ) , entonces un vector unitario en

76 Capimio I: Vectores en el plano

Á B (3 , 4>la dirección y sentido de A B es: u = ■■ ■ _ - = — ^—

* II A B II 5

A d em ás , si A C = C - A

«=> Â C = (-1 , 13) - <-3 , 2) = <2 , 11)

En la Figura 1.85 se observa que A B = ProyuA C

=> Â B = u = (ÂC ‘ u' l l u l l 27

Luego : Â B = « 2 , 11) • (3/5 , 4/5» (3/5 , 4/5) = (6 ,8 )

C om o B - A = A B

=> B = A + Â B = (-3 , 2) + (6 , 8) = (3 , 10)

S i M es el punto de intersección de las d iagonales , entonces :

M = l ( A + C ) = (-2, 15/2)

Tam bién : M = -y (B + D) ■=> D = 2 M - B = (-7 , 5)

Por tanto , los vértices bu scados son : B(3 , 10) y D(-7 , 5)

FIGURA 1.85

f Cjemplo 1 í T } S e a el cuadrilátero A B C D tal que M (-2 , 4) y N ( 4 , 2) son puntos

m edios de los lados Á B y B C respectivamente ; D M e s paralelo

al vector S = (1 , 4) y C M e s paralelo al vector T = (-3 , 2) y P royAl)D N = (3 , 2).

Hallar los vértices del cuadrilátero.

Solución. S i P roy-BD N = (3 , 2) *=> Á B 11 (3 , 2 ), luego 3 r e R I A B = r<3 , 2)

D M 11 S => 3 s e R l D M = s ( l ,4 ) M - D = s ( l ,4 ) <í=> D = (-2 , 4) - s ( l , 4) (1)

D Ñ = N - D = (4 , 2) - (-2 , 4) + s ( l , 4)

= (6 + s , -2 + 4 s)

/DN • A B

MIÁB II1

f f<3,2>=(

Ia b

(6 + s , -2 + 4s) • r<3 , 2) ) r (3 , 2)r: (\'9 + 4Ÿ

de donde obtenem os s = 2 , luego en (1) :

D = (-4 , -4)

Como M es punto medio de AB <=> AB = 2M B

Vi3

‘ B

\ ' °% \

\ l 1 /

[)V. J

FIGURA 1.86

Sección I. / 1: Proyección ortogonal 77

<=> r(3 , 2) = 2(B - M ) <=> B = 1 <3r - 4 . 2r + 8) (2)

C M 11T <=> M - C = t(-3 , 2) <=> C = (-2 + 3t , 4 - 21) (3)

N es punto medio de B C ■=> 2N = B + C

=> 2(4 , 2) = \ (3r - 4 , 2 r + 8) + (-2 + 3t , 4 - 2t)

de donde : <16 , 8) = <3r + 6t - 8 , 2r - 4t + 16)

r I6 = 3r + 6 t - 8 => r + 2t = 8<=> -{

8 = 2r - 4t + 16 r - 2t = -4

Resolviendo el sistem a obtenem os r = 2 y t = 3 , que sustituidos en (2) y (3), respec­

tivamente , encontram os B = (1 , 6) y C = <7 , -2)

Si A B = 2(3 , 2) => B - A = <6 , 4) => A = <1 , 6) - (6 , 4) = (-5 , 2)

Por tanto, los vértices del cuadrilátero son : A(-5 , 2 ), B(1 , 6), C(7 , -2) y D(-4 , -4) ■

Ejemplo 19 ) En un triángulo A B C , M(-1 , 6) y N (7 , 1) son puntos m edios de

los lados A B y B C respectivamente. A B e s paralelo al vector

V = (2 , 1) y ProyAlgA B = y y ( 4 , 1). Hallar los vértices del triángulo.

Solución. S i P r o y - Á B = <4 , -1) => Á Ñ 11 (4 , -1) => 3 r e R IÁ Ñ = r(4 , -1)

Luego , N - A = r<4 , -1) <=> A = (7 , 1) - r(4 , -1) (1 )

A M 11 A B y Á B 11 V = (2 , 1) c=> 3 t e R | Á M = t (2 , 1)Por lo que , M - A = t(2 , 1) = * A = (-l , 6 ) - t ( 2 , 1) (2)

De (1) y (2) se sigue que :

(7 , 1) - r (4 , -1) = (-1 , 6) - 1 (2 , 1)

=> t<2 , 1) - r<4 , -1) = (-8 , 5) <=> { 21 ‘ 4 r = ' 8 t + r = 5

Resolviendo el sistem a obtenem os r = 3 y t = 2

Para r = 3 , en (1) se tiene : A = (-5 , 4)

M es punto medio de Á B => M = -L (A + B)

c=> B = 2M - A = 2(-l , 6) - (-5 , 4) = (3 , 8)

N es punto medio de BC => N = \ (B + C)

= * C = 2 N - B = 2 (7 , 1) - (3 , 8) = (11 , -6)

Por lo tanto , los vértices del triángulo son :

A ( - 5 ,4 ) , B(3 , 8) y C (1 1 ,-6 ) ■

78Capítulo I: Vectores en el plano

--------------------------A D = 3AN

a) Hallar r y s tales que : M N = r A D j f s AB

b) S i adicionalmente los vectores B A y A D for­

m an un ángulo de 120c y I ! A D 11 = 2jJ B A 11 ,

hallar la proyección ortogonal de M N sobre

ÁD.

Solución.

R _ c

r / ^

/

l ) n

v ----------------------

D

FIGURA 1.88

a) S i M D = 4 B M «=> M D = j B D = j (A D - A B )

y si A D = 3AN <=> N D = - j A D

E n e l A M N D : M N = M D - Ñ D = ¿ ( Á b - A B ) - ¿ A D « M N = ^ A D - ¿

Por lo que : r = 2/15 y s = - 4/5

b) P o r la igualdad (1 ) : P ro y aT>MN = ^ P r o y lT>A"í> - f P r° y A-DA B

_ J _ a d - - ( AB - A D" 1 5 A 5 \ 11 a D I I 2 '

(1)

‘I I Áb l l

Pero : Á B • Á D = II Á B II II ÁD11 Cos60° = \ II Á D II 11 Á D 11 (X ) = i - l I A D 11

Luego , en (2) se tiene : P royA-DM Ñ = Á D - ± (^ ) A D = - ± A D

(2)

EJERCICIO S : Grupo 10

1. Dem ostrar que : a) P r o y A( B - C ) - P royAB - P royAC

b) ProyA(r B) = r ProyAB

c) C om pc(A + B) = C om p cA + C om p cB

2. Se a n A , B y C vectores no nulos en R 2 y r , s e R. Establecer si las siguientes

proposiciones son verdaderas o falsas.

a) ProyBA + ProyBi(A - B) = A

b) ProyA(A + B) - ProyAB = A

c) P royB(r A + s C) = (r + s) (ProyBA + ProyBC)

d) ProyBiA + P ro yA B = O

3. S e a n los vecto re s A y B lados de un parale logram o. S i 11 A 11 = 6 11 A 11 =

EJERCICIOS ; Grupo 10 79

2 11 B 11 y C om pBA = 10/3 , hallar la longitud de la diagonal A - B.

4. D ado s los vectores A = <\3 , -1) y B = (3 , V3 ), hallar 2 (ProyBA + ProyAB)

5. Se a n A y B d o s vectores tales que A = <5 , -2 ), C om p AB = -58 y I : B ¡! = 2 9 .

Hallar C om p BA.

6. S i A e s un vector del m ism o sentido que V = (1 ,2 ) , tal que 11 A ¡ I = 50 y 11 B ! I =

29 ; hallar C om pBA.

7. Los lados de un triángulo son los vectores A . B y B - A. S i I ! A | = 6 , 11B11 =

2 y 11 B - A 11 = 5 ; hallar C om pBA * C om pAB.

8. Lo s lados de un triángulo son los vectores A . B y A - B, si 11 A11 = 10 , 11 B 11 =

6 y C om p BA = -5. Hallar la longitud de A - B.

9. Los lados de un triángulo son A , B y A + B , tales que 11 A I = 3 ,! B 1! = 2 \2

y 11 A + B 11 = V53. Hallar 2 C om pBA - C om pA(A + B).

10. S i II A - B II = 4 , II B II = 3 y C om pB(A - B) = 22/3 , hallar la norma de A.

11. S i D = A + B + C , 11 A 11 = p , 11 B 11 = q , 11 C 11 = r , A * B = p q , A * C = p r y

Com pBC = r ; hallar la norma de D.

12. S i A + B + C = 0 , B * 0 , | | A | | - a , II B II = ¿>, 11 C 11 - c \ hallar Com pBA.

13. S i P royBA = <2 , -5 ), P royBiA = (-3 , 2) y B = 2 A + A 1 ; hallar 11 B 11.

14. S e a 11 A 11 = V65 , 11 A + B 11 = V Í6 4 , C o m p A(A + B) = ; hallar^ / A O \ l l A HCom p8(A - B).

15. Establecer si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Proy0i.A = P ro yA B «=> A = B

b) S ¡ A * 0 , B * 0 y ProyBA = ProyAB => Com pBA + Com pAB = 2 11 B I i

c) (ProyBA)-L = P r o y ^ A 1

d) C om pBi (ProyBA) = 0

16. S i A = (5 , -2) y P royBi A = <4 , 1), hallar C o m p BA sab iendo que C om p 0i A e s

positivo.

17. Hallar el ángulo formado por los vectores A y ProyBiA , si A = <1 , 2) y B = (1 ,3).

18. Lo s vectores A y B de longitudes 2 y 3 respectivam ente , forman ángu lo s de

m edidas a y p con el vector C = (1 ,1). S iendo O2 < a < 909 y P < 1809 . Hallar

11 P royc(A + B) 11 en términos de a y p.

19- SiA=3 (nfri) + 4 (Trfrn) yc°mp«iB=2’haiiar|Ai- B|20. Hallar el vector B sabiendo que I ! B I = 2 \2 , A = (-4 , 2 ) , C om pBA es positivo

80 Capitulo I: Vectores en el plano

y ProyBi A = (-3 , 3).

21. D ado s los vectores A = (3 , -6 ), B = <3 , 4) y C = <21 , 0 ), hallar los valores de

r y s tales que : C = r P roy8A + s P ro y ^ A

22. Lo s vectores A y B de R : cumplen : 11A11 = 3 \5 , B = (-4 , 3 ), P royAxB = <-2 , 4)

y Com pAB > 0.

a) Con los datos dados, en un plano cartesiano, gráficamente ubicar los vecto­

res A . A x y P royAB.

b) H a lla r, P royBA y C o m p A B

23. Se a el triángulo A B C y sean Q(1 , 9) y S (6 , 2) los puntos m edios de los lados AB

y B C respectivamente. S i A B 11 (1 , 1 > y ProyA-gAB = (3 t - 1 ) t hallar los vér­

tices del triángulo.

24. Se an los vectores A , B e R : , tales que :| A + B|| = \ 1 7 , | | 2 A - B ! = \2 6 ,

(B + \2 A) 1 (B - \2 A) y el vector V = 5 A + 3 B tienen la m ism a dirección y

sentido que el vector (-2 , 1). Hallar ProyvA.

25. Dado un triángulo isó sce les A B C (AB = AC), sean M y N puntos de trisección de

la base BC. S i el co seno del ángulo A e s 1/4, hallar la proyección ortogonal del

vector A M + A N sobre el vector A C y el vector A C 1.

26. Se a n A = 2u + v y B = u - 2 v , donde u y v son

vectores unitarios que forman un ángulo de 609 ,

com o se muestra en la Figura 1.89. Un trapecio isó s ­

celes O P Q R se forma de tal modo que una de su s—>

base s es A = O R y uno de su s lados no paralelos e s

B = OP.

a) Con referencia a las posiciones de u y v , graficar

cuidadosam ente el trapecio O P Q R .

b) H a lla r, en términos de u y v , el vector OQ.

27. Dado el exágono regular A B C D E F de la Figura 1.90, cuyo lado mide 10 unida­

des y el vector V = B D + F C + B C ; hallar 11 ProyA-pV 11.

28. Dado el exágono regular de lado a (Figura 1.91), en donde G y H son puntos

medios de B C y D E respectivamente. Hallar la norma de V, si V = P ro y ^ S A G ) +

ProyA-F(9AH).

29. En la Figura 1.92 , A , B y C son tres vectores de R : tales que B e s unitario, C

e s ortogonal a A y A * B = ||A|| (\3/2). Hallar la C om p A.

EJERCICIOS ; Grupo 10 81

30. En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.93 , m (4 B A D ) = 60e , 11 A B 11 = a ,

I I ÁDI I = 2a , donde a e R - {0 }. S i p = 11 ProyADÁ C 11 y q = 11 PrbyA8Á C 11 .hallar

p + q.

31. Se a A B C D un rectángulo (Figura 1.94) tal que 2A~B = Á D y 11 A B 11 = a ; sean E

y F puntos m edios de los lados B C y D C respectivamente. S i V = Á E + Á C + ÁF,

hallar el valor de : Com pA- V + C o m p ^ V .

32. En el rectángulo de la F igura 1.95 , H , P y Q son puntos medio. Á B = 4 F B ,

O C = 4a , OA - a. S i V = H F + A P + Q C , hallar Com pABV + Com p -.y.

FIGURA 1.95

33. Sab iendo que ProyA<ü , b) = <1 , 2) y ProyA(x , y) = (-4 , -8 > , hallar la norma de

P royA(4í2 - x , 4b - y).

34. Lo s lados de un triángulo son los vectores A , B y A + B. S i || A I I = 8,||B|| =

6 y ¡ A + B I = \6 8 , h a lla r: Com pA(A + B) - 3 C om pB(A - B).

35. Hallar el vector A cuya norm a e s 3 \5 , sab iendo que B = (-4 , 3 ) , P roy iB =

(-2 , 4) y C om p AB > 0.

36. E n la F igura 1.96 el A A B C e s equilátero y C H e s altura. S i C H = (2 , 4) y V =

(V3 , 1 ) , hallar la C om pvCA.

37. En el exágono regular de lado 8 unidades mostrada en la Figura 1.97 , hallar la

82 Capítulo I: Vectores en el plano

proyección ortogonal de

a) M Ñ sobre M B + B Í) b) V = Á C + B D - C Ñ sobre M B

38. En el trapecio P Q R S de la F igu ra 1.98 se tiene : 11 R Q 11 = 11SP 11 , S (-4 , 2 ),

Q (10 , 4 ), P S • P R = 0 y P roy¿pPR = (8 , 8). Hallar los puntos A , P y R.

39. Lo s vértices de un rectángulo A B C D son A(-2 , -6 ), C (2 , 6), D (-6 , -2) y B. Lo s

puntos M e D C , N e A B , R e BC, adem ás P ro y ^ A D = m(1 , -3) y N M + N R =

(4 , 14). a) Hallar el vértice B. b) Hallar los puntos M , N y R.

A R E A D EL P A R A LE LO G R A M O Y D EL T R IA N G U L O

Haciendo uso de la proyección ortogonal de un vector sobre otro, estam os

en condiciones de hacer otra interpretación geométrica del producto escalar. Para

tal efecto considerem os el paralelogramo de lados A y B (Figura 1.99). Llam em os

11 C11 a la altura que se obtiene mediante la proyección ortogonal de A sobré B x, de

modo que :

11 C 11 = 11 Proy0iA 11 = I C om p0ÍA I

C 11 = A » B J

11 B x |

Dado que el área del paralelogramo e s igual al

producto de su base por su altura , entonces

.............................1 A • B x |-S = l B C I = I B

11 B x 11

S = ! A . B xPero com o 11B ! I = I B x 11

A s í hem os dem ostrado el siguiente teorema

Sección 1.12: Area (leí paralelogramo y del triángulo 83

TEOREMA 1.12 Area del paralelogramo y del triángulo

El área S de un paralelogramo , cuyos lados son los vectores

A y B , e s igual al producto escalar de uno de ellos por el ortogonal del otro. Esto

es :

S = | A • B x | = I A 1 • B I (26)

En particu lar, el área del triángulo S, , cuyos lados consecutivos son los vecto­

res A y B está dado p o r :

S, = | | A . B X | = i - l A x . B| (27)

r EJEM PLOS ILUSTRATIVOS^

í Ejemplo i j Se a n P ( -3 ,1 ), Q { 7 , -1) y R ( 5 ,3 ) tres vértices consecutivos de

un paralelogramo. Hallar su área.

Solución. Conside rem os el vértice Q com o punto inicial de los vectores A y B.

Luego, si A = QP => A = P - Q = <-3 , 1) - <7 , -1 > = (-10 , 2)

B = QR B = R - Q = (5 , 3) - (7 , - I) = (-2 , 4)

Por lo que, si S = | A • B x | <=> S = I <-10 , 2) • <-4 . -2) I = 140 - 4 1 = 36 u- ■

Ejemplo 2 J Hallar el área del paralelogramo sab iendo que su s d iagonales

están contenidos en los vectores U = <3 , 3) y V = (5 , -1).

Solución. S e a el paralelogramo PQ R T m os-

trado en la Figura 1.100

En el A P T Q : B = A + V = * B - A = V

En el A P Q R : B + A = U

De (1) y (2) obtenem os ;

A = - L ( U - V ) , B = -L(U + V)

Luego , A = (-1 , 2) y B = <4 , 1> ■=> B 1 =

S = I A • B x I = I <-1 , 2) • <-1 , 4) I = 9

84 Capitulo J: Vectores en el plano

Ejemplo 3 ) S e dan los puntos A(3 , -2 ), B (-3 , 2) y C (2 , 7). S i P divide al

segm ento B C en la razón B P : P C = 2 : 3 ; hallar el área del

triángulo A P C .

Solución. S e a P(x , y). S i 3 BP = 2 PC , entonces

3<x + 3 , y - 2) = 2<2 - x , 7 - y)

r 3x + 9 = 4 - 2x <=> x = -I i , ..<=> i r ■=> P(- i , 4)

L 3y - 6 = 14 - 2y y = 4 J

Luego , si

U = A P = * U = P - A = (-1 , 4) - (3 , -2) = (-4 , 6>

V = A C <=* V = C - A = <2 , 7) - (3 , -2) = <-1 , 9)

S = l l u - v 1 ! = - j l<-4 , 6) • <-9,-1)1 = 15 u: ■

Ejemplo 4 j Lo s vértices de un triángulo son A(2 , -1), B (4 , 2) y C e = { (x, ) ly = x - 2}. S i su área e s 5 u2 , hallar la sum a de las

ordenadas de todos los posibles valores del vértice C.

Solución. S i C (x , y) e <5? <=> C (x , x - 2)

Se a n : U = A B = B - A = <2 , 3)

V = A C = C - A = ( x - 2 , x O

s = -i-1 V - U-1-1 <=> 10 = | <x - 2 , x - 1) • <-3,2)|

de donde : 14 - x I = 1 0 o 4 - x = 10 ó 4 - x = -10

<=> x = -6 ó x = 14

H ay dos so luc iones : C(-6 ,-8) ó C( 14 , 12)

Por tanto , la sum a de las ordenadas e s :

y, + y, = 4

rq B

"N

u /S \

A

v

v !'Pe

JFIGURA 1.102

C je m p lo 5 ] En la Figura 1.103 : a (A O P R ) =

10 u2 ,11 A 11 = 5 y a = 3 09. S i B =

<m , n ) , hallar el valor e m + v ^ n .

Solución. A = 11 A 11 <Cos 30°, Se n 30°) = ¿ .(< 3 ,1 )

B = 11 B 11 <Cos 60°, Se n 60°)

=» <m , n) = \m : + n-’ ( 1 , ^ )

Sección 1.12: Area del paralelogramo y del triángulo 85

Igualando las primeras com ponentes se tiene :

m = -i- \m : + n : , de donde : n = V3 m (1)

Si a (AO PR) = 10 <=> -i-1 A 1 • B | = 10 .=> <-1 , <Í3) -<m , n) = 10

=> -m + V3 n = 8 (2)

Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas , obtenem os : m = 4 y n = 4\/3

/. m + V 3n = 4 + V J (4VJ) = 16 ■

f ”ejemplo |a Figura 1.104, O A C B e s un paralelogramo. S i O C = (5 , 3)^ M —)

y B A = <-1 , 5 ), hallar el área del triángulo O AB.

Solución. Se a n los vectores : U = O A y V = O B

En el A O B A : B A = U - V

E n e lA O A C : O C = U + V

De este sistem a de ecuaciones obtenem os

U = JL (ÓC + B Á ) y V = \ (ÓC - BÁ )

Luego , U = <2 , 4) y V = <3 , -1) => V x = <1 , 3)

fl(AOAB) = i I U • V x | = 1|<2 , 4) • <1 , 3)1 = 7 u2

[ Cjemplo Hallar el área del polígono

de vértices en A (-2 , 3) ,

B (2 , 7 ), C (8 , 2) , D (6 , -2) y E(2 , -5).

Solución. La Figura 1.105 muestra el polígono

dividido en tres triángulos de áreas

S, , S , y S,. Tom ando el vértice A com o punto

inicial de los vectores R . T , U y V , se sigue que:

R = A B = <2 , 7) - <-2 , 3) = <4 , 4)

T = A C = <8 ,2 ) - < -2 , 3) = <10,-1 )

U = A D = <6 , -2) - <-2 , 3) = <8 , -5)

V = Á E = <2 , -5) - <-2 , 3) = <4 , -8)FIGURA 1.105

8 6 Capiiulo I: Vectores en el plano

S, = y | R • T 1 ! = y l <4 , 4) • <1 , 10)1 = 2 2 u:

S ; = - j |T • U 1 ! = ^ I< 1 0 , - 1 > • <5,8)1 = 21 u-

S , = '1 | U - v 1 ! = -i-l<8,-5> • <8,4)1 = 22 li*

S = S ) + S , + S , = 65 u-

Ejemplo 8^j La Figura 1.106 es un trapecio isó sce le s , en donde , A = <1 ,3)

y B = <5 , -1). Hallar su área.

Solución. S e a n : C = R E = ProyAiB , S, = a (Q R EF) y S ,= a (A R E T ) .

/ A x - B \ A i _ ,f(-3 , l> -<5 , -1>\

M 1 A 1 112 ' i 10 /

S, = I A - C x | = | |<1 , 3).<| , 3>| = 16 u2

S , = 4 - 1 B • C x I = 1 (| .)|<5 . - !> .< ! ,3>| = f u - ’

S = S, + 2 S , = 16 + -y- = 19.2 u :

Ejemplo 9 J En la F igu ra 1.107 se tiene : M (0 , 4) , N (5 , 3) , P (2 , *2) y

Q ( - 3 , -1) son puntos m edios de los lados de un trapecio A B C D .

Hallar su área sabiendo que 11AB 11 = 2 \ 5

Solución. D ado que Q N e s m ediana del tra­

pecio, entonces ; Q N 11 A B 11DC

Luego ; Q N = N - Q = <5 , 3) - <-3 , - l) = 4<2 , 1)

Entonces , un vector unitario en la dirección de

Á M | <2, I) e s :

u = - 4 ^ — ■=> Á M =11 Á M II u 11 A M 11

«=* AM= V 5 ( ^ - ))= < 2 , 1)

rY1M

‘ «

—__ •_✓

i ' ' °l Q f

i)V

/ ■ ■

JFIGURA 1.107

Sección 1.12: Area del paralelogramo y del triángulo 87

=> M - A = <2 , 1) <=> A = M - <2 , 1) = <0 , 4) - <2 , 1) <=> A = <-2 , 3>

M = 1 ( A + B) => B = 2 M - A = 2<0 , 4) - <-2 , 3> = <2 , 5>

N = y (B + C ) c=> C = 2 N - B = 2<5 , 3> - <2 , 5) = <8 , 1>

P = 1 (C + D) = * D = 2 P - C = 2<2 , -2> - <8 , 1) = <-4 , -5)

=» Á B = < 2 ,5 > -< -2 ,3 > = <4,2> ; Á C = <8 , 1> - <-2 , 3) = <10 , -2>

D A = <-2 , 3) - <-4 , -5> = <2 , 8)

Por lo que : S = a (A A D C ) + a (A A B C ) = \ I D A • ÁC-1 ! + \ I Á B • Á C 1 !

= i | < 2 , 8> -<2 , 10)1 + l | < 4 , 2 > - < 2 , 10>| = 56 u- ' ■

( E j e m p lo 1 0 J T re s v é rt ice s c o n se c u t iv o s de un re c tá n gu lo A B C D so n

A (-8 , 4) , B (2 , -2) y C (5 , 3). S i P e Á B , Q e C D , R e Á D ,

PQ 11V = <7 , 6) y P Q + P R = <5/3 , 31/3); hallar el vértice D , los puntos P , Q , R y el

área del cuadrilátero P R D Q .

Solución. C D = B A >=> D = C + (A - B)

c=> D = <5 , 3) + <-8 , 4) - <2 , -2>

Si PQ 11 V c=> Q - P = r <7 , 6) (1)

Á P = tB A P = A + IB A

_ P = <-8 , 4) -M <-5 , 3> (2)

D Q = s C D => Q = D + s C D

=> Q = <-5 , 9) + s<-5 , 3) (3)

Restando (3) - (2) obtenem os :

Q - P = <3 , 5) + (s - 1) <-5 , 3>

Luego , en (1):

r <7 , 6) = <3 , 5) + (s - 1) <-5 , 3>

« r<7 , 6) + (s - 1)<5 , -3) = <3 , 5>

Multiplicando escalarmente por <5 , -3)-Ly

luego por <7 , 6>1 obtenem os respectiva- FIGURA 1.108mente

r = 2/3 y s - 1 = - 1/3 «=> PQ = -|<7 , 6>

Dado que : PQ + PR = <5/3 , 31/3) <=> PR = <5/3 , 31/3) - <14/3 , 4) = <-3 , 19/3)

=> R - P = <-3 , 19/3) (4)

= <-5 , 9)

88 Capítulo I: Vectores en el plano

A dem ás , A R = k A D ■=> R = A + k A D = (-8 , 4) + k(3 , 5)

Restando (5) - (2) se tiene : R - P = k (3 , 5) - 1 (-5 , 3)

<=> (-3, 19/3) = k <3 , 5) - 1 (-5 , 3)

de donde obtenem os : k = 2/3 y t = -1 , luego , s = -1 - 1/3 = - 4/3

Por lo tanto : P = <-8 , 4) - l<-5 , 3) = ( -3 ,1 ) ; Q = (-5 , 9) - ± < -5 , 3) = <5/3 , 5)

R = (-8 , 4) + - j (3 j 5) = <-6, 22/3)

Area del cuadrilátero : a (PRD Q ) = a (APRD ) + a (APQ D )

c=> a (PRD Q ) = i - | PR • PD1 ! + i |PQ • P D X |

(5)

= l | < - 3 , J | ) . < -8 , - 2 )| + i | < M ,4 ) .< -8 , -2 )| = - ^ u -85

EJERCICIO S : Grupo 11

En los ejercicios 1 al 4 , hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos

dados.

1. A(-5 , 0 ), B(1 , 3 ), C (-3 , -2) 3. A (2 , -3 ) , B(4 , 2 ). C (-5 ,-2 )

2. A(-3, 4 ), B(6 . 2 ), C (4 , -3) 4. A(-1 , 2 ), B(3 , 5 ), C (5 , 1)

En los ejercicios 5 al 8 se dan tres vértices consecutivos de un paralelogramo,

hallar las coordenadas del cuarto vértice y el área de cada paralelogramo.

5. A (4 . -5 ), B(-2 , 3 ), C (-3 , 1) 7. A(-1 , -5 ), B (2 . 1 ), C(1 , 5)

6. A(-1 , -2 ), B(0 , 1), C (-3 , 2) 8. A(2 , 4) , B(6 , 2 ) , C (8 , 6)

En los ejercicios 9 al 12, hallar el área del paralelogramo cuya s d iagonales son

los vectores dados.

9. U = <-2 , 3 ), V = <6 , -1) 11. U = <11 , -1 ) , V = < -2 ,4 )

10. U = <5 , -4 ), V = <-1 , -8) 12. U = <1 , 10), V = < 5 ,-2 )

En los ejercicios 13 al 15, hallar el área de los polígonos cuyas coordenadas de

su s vértices se dan.

13. A(2 , 5 ), B(7 , 1) . C (3 , -4) y D(-2 , 3)

14. A(1 , 5 ), B(-2 , 4 ), C(-3 , -1) , D (2 , -3) y E(5 , 1)

15. A(-5 , -2 ), B(-2 , 5) , C (2 , 7) , D (5 , 1) y E(2 , -4)

16. Se a n los puntos A(3 , 5) , B(k , 2) y C (5 , 1). Hallar los valores de k tales que

d ichos puntos son vértices de un triángulo de área 1 1u2

EJERCICIOS : Grupo I I 89

17. D ado s los puntos A(2 , -1), B(-2 , 3) y C (4 , 6). S i P(x , y) divide al segm ento B C

en la razón B P : P C = -2 : 5 , hallar el área del triángulo PAB.

18. D ado s los puntos A(-3 , -5) , B(3 , 1) y C (2 , 5). S i P(x , y) e s el punto de

trisección, m ás cercano de A, del segm ento A B , calcular el área del triángulo

PCB.

19. Lo s vértices de un triángulo son A (3 , -5 ), B(2 , 5) y C e 2? = {(x , y) I y = -2x}.

S i su área e s de 3.5 u2 , hallar las coordenadas del vértice C.

20. L o s vértices de un triángulo so n A (x , y) , B (4 , 3) y C (-2 , 6). S i el área del

triángulo e s 9 u2 y A e .2? = {(x , y) I x - 2y = 4 } , hallar el vértice A.

21. En la Figura 1.109 , O A B C e s un paralelogramo. S i O B = <1 , 6) y A C = <9 , -2),

hallar el área del triángulo A B C .

22. En la Figura 1.110 ,a ( A O P T ) = 15 u2 y I ' A I = 10 . S i B = <m , n ) , hallar el valor

de 3m + n.

23. En la Figura 1.111 , a (AO PT) = 12 u2 , II B II = 2 \2 . S i ProyB±A = <x , y ) , hallar

el valor de xy.

24. S e a V = <-8 , 8) un vector con punto inicial A (13 , 7) y punto terminal B. S i P e s

un punto situado por encima de la flecha que representa al vector V, tal que el

A A P B e s isósce les de área 8 u2 , hallar los puntos P y B.

25. S e a el cuadrilátero A B C D de área 57/2 u2 . S i A(-1 ,4 ), B(2 ,3 ) y C ( 4 , -2); hallar

D sab iendo que este punto está en el eje X

26. S e a el trapecio A B C D de la Figura 1.112,

donde M (1 1/2 ,7/2), N(8 ,6), P(9/2 ,13/2)

y Q (2 , 4) son los puntos m edios de los

lados correspondientes. S i 11 DC11 = \ 10,

hallar P ro y ^ P N y el área del trapecio

A B C D .

1.13 j D EP EN D EN C IA E IN D E P E N D E N C IA L IN EA L DE V EC T O R ES

9Q Capítulo 1: Vectores en el plano

Definición 1.13 Vectores ¡inealnienle dependientes_________________________

S e dice que dos vectores A y B e R : son linealmente depen­dientes (L. D.) si el vector nulo O puede expresarse com o combinación lineal de

e stos vectores , esto es .

s A + t B = O

donde por lo m enos un coeficiente e s diferente de cero. Simbólicamente

A y B son L. D. <=> B s . t e R l s A + t B = 0 . c o n s * 0 ó t * 0 ________________________________________________________ __________________________ x

Por ejemplo , los vectores A = (-1 , 3> y B = <2 , -6) son linealmente dependientes ,

pues si tom am os s = 2 y t = 1 (s * 0 y t * 0) , entonces

2 (-1 , 3) + 1 <2 , -6) = <0 , 0)

El vector nulo O con cualquier otro vector B son siem pre linealmente dependientes,

pues si s = 3 , (s * 0) y i = 0 , entonces : 3 0 + ()B = O

O bsé rve se que A y B son vectores paralelos y com o sabem os, el vector cero O es

paralelo a cualquier vector. Esto nos permite caracterizar a d o s vectores linealmente

dependientes mediante otra definición.

S e dice que dos vectores A y B € R- son linealmente dependientes si uno

de ellos es múltiplo escalar del otro ; e s d e c ir , si A = r B ó B = r A para un escalar

r. En consecuencia , A y B son L. D. precisam ente cuando A y B son colineales.

A BG-------------- - --------------> ........ O----------------------------------- ►

TEOREMA 1.3 D o s vectores A y B e R ; son linealmente dependientes si y sólo

si son paralelos.v----------------1------------------------------------------------------------------------------ ------------------— >

Demostración.(<=>) Dem ostrarem os primero si A y B son L. D . , entonces A y B son paralelos.

En efecto , si A y B son L. D. <=> 3 s , l e R | s A + t B = 0 , c o n s * 0 ó t * 0

Supongam os que s * 0 ■=> A = (- B , lo cual implica que A B

S i i * 0 <=> B = (- |-) A , lo que nos dice que B A

(<=>) Dem ostrarem os ahora que si A B entonces A y B son L. D.

En efecto, si A B o 3 r e R A = i B <=> A - r B = O

Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 91

A + (-r)B = O

S e ha logrado una combinación lineal de A y B igual a O con coeficientes 1 y

*r que son diferentes de cero , por lo tanto , A y B son L. D.

Definición 1.14 Vectores linealmente independientes

D o s vectores A y B e R- , se dice que son linealmente inde­pendientes (L. I.) si toda combinación lineal de A y B que e s igual a O implica

que s u s coeficientes son necesariam ente cero. Simbólicamente :

A y B son L.l. <=> s A + i B = 0 <=> s = t = 0

Por ejemplo , los vectores unitarios ortogonales i = (l , 0) y j = <0 , l) son

linealmente independientes , pues si

s i + t j = O <=> s(l , 0) + t(0 , l) = (0 , 0)

(s , 0) + <0 , 0 = <0 , 0)

(s , t) = (0 , 0) <=> s = 0 y t = 0

Los vectores A = (2 , l) y B = (-1 ,3 ) son también linealmente independientes, pues si

s A + t B = O => s<2, l> + t<-l , 3) = (0 , 0)

(2 s - 1 , s + 3 1) = (0 , 0) <=* -f “ S 1 ° 1 o s = 0 y t = 0l»s + 3 t = 0 J

O bsé rve se que en este ca so A no e s paralelo a B. Esto también caracteriza a los

vectores linealmente independientes con otra definición.

S e dice que d os vectores A y B e R : son linealmente independientes si y sólo si

A y B no son linealmente dependientes, esto es, cuando los vectores A y B no son

colineales.

/---------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------TEOREMA 1.4 D o s vectores A y B son linealmente independientes si y sólo si

A no e s paralelo a B.

Demostración.

(■=>) Dem ostrarem os primero que si A Y\ B entonces A y B son L. I.

En efecto , supongam os que A >T B y que s A + i B = O

Al dividir am bos m iembros de esta igualdad entre s ó t , tendremos :

A = ( - i ) B ó B = ( - ^ ) A <=> A || B ó B I I A

(A y B son linealmente dependientes) lo que contradice la hipótesis.

Por lo tanto , A y B son linealmente independientes.

92 Capítulo I: Vectores en el plano

(<=>) Dem ostrarem os que si A y B son linealmente independientes entonces, A j f B

En efecto , supongam os que A B , A * 0 y B * 0 c=> 3 r * 0 A = r B

t=> A + (-r) B = O

S e ha logrado una combinación lineal de A y B igual a O con coeficientes I y

-r que son diferentes de cero , lo cual contradice la Definición 1.14. Esto signi­

fica que A y B son linealmente dependientes , lo que contradice nuevamente

la hipótesis. Por lo tanto , A J ÍB .

TEOREMA 1.5 E l teorema de las bases-

S i A y B son vectores linealmente independientes del plano ,

entonces A y B forman una base de los vectores del plano.

Demostración. Se a n A = O Q , B = O R y C = OP

Por hipótesis A y B son lineal­r

M -=opmente independientes , entonces O Q y O R no * ^/

son colineales. Por el punto P tracemos parale­ V /las a Ó Q y Ó R de m odo que intercepten a su sB/ /

prolongaciones en M y N respectivamente (Fi­

? A "*Q ^gura 1.113). Luego se tiene : J

O N = s A y O M = l BFIGURA 1.113

Dado que : OP = O N + NP = O N + O M , entonces

C = s A + tB

lo que nos permite afirmar que C se representa com o una única combinación lineal

de A y B y genera el espacio vectorial R :.

En síntesis , dado un par de vectores A y B en R ; , entonces

a K b « {A , B • e s una base del espacio R 1

La demostración del teorema nos sugiere la siguiente definición.

Definición 1.15 D o s vectores A y B constituyen una base de los vectores del

plano s i , todo vector C del plano se puede expresar de m ane­

ra única com o una combinación lineal de A y B. E s decir

A y B generan a R : « V C € , 3 s , t e R I C = s A + t B

Sección /. 13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 93

Los números s y t pueden calcularse multiplicando escalarmente la igualdad por A 1

y B x , esto e s :

A 1 • C = l (A 1 • B) => t = A - L.QA x • B

I O B S E R V A C IO N E S 1.9

1. Un vector no nulo se puede expresar no solamente com o una combinación lineal

de dos vectores ortogonales A y A 1 , sino que A x se puede reemplazar por

cualquier otro vector que cum pla la condición de no se r paralelo a A.

2. Los núm eros s y i de la ecuación (28) se denom ina coordenadas del vector C en

la base (3 = { A , B }

. D i , p .3. En la Figura 1.113 podem os observar que el ve c to r: s A = — — J A

es la proyección del vector C sobre el vector A siguiendo la dirección de B.

A esta proyección se le denota p o r : fproy.A B)C = ) A

_________________ /

A s í mismo, el vector B = ^ ) b | e s la proyección de C sobre B siguien­

do la dirección de A . y se le denota p o r : Proy(B A)C = ( * g ) B j

Por lo tanto , en la ecuación (28) se tiene :

c = Pr°y,A.8)c + Pr°y,B.A,c

(29a)

(30)

94 Capítulo I: Vectores en el plano

Ejemplo 1 J Hállese los valores de k para que los vectores

A = (-7 , k + 2) y B = <1 - 2 k ,1 ) sean linealmente indepen­

dientes.

Solución. Sab em os que dos vectores A y B son linealmente dependientes <=> A B,

o bien , si A • B 1 = 0

Luego, si (-7 , k + 2) • (-1 , 1 - 2 k) = 0 •=> 7 + (k + 2) (1 - 2 k) = 0

<=> 2 k; + 3 k - 9 = 0 <=> k = -3 ó k = 3/2

Por lo tanto , A y B son linealmente independientes si y sólo s i , k * -3 ó k * 3/2 , esto

e s : k e R - { - 3 , 3/2 } ■

[ Ejemplo 2 J Sean A y B vectores linealmente independientes. Para qué va­

lores de k tendremos que C = 3 A - 2 B y D = k A + 4 B son L. I.

Solución. D ebem os hallar núm eros s y t , que no sean simultáneamente cero, de

modo que s i : s(3 A - 2 B) + t(k A + 4 B) = 0 <=> (3 s + k t)A + (4 1 - 2 s)B = O

Se gú n la Definición 1.14 , la dependencia lineal de A y B implica que

3 s + k t = 0 y 4 i - 2 s = 0

De la segunda ecuación , s = 2 t , y sustituyendo en la primera ecuación se tiene :

6 1 + k t = 0 <=> t (6 + k) = 0 o t = 0 ó k = -6

C om o s y t no deben ser am bos cero , entonces los vectores C y D son linealmente

independientes si k = -6. B j

Ejemplo 3 j Se an A y B vectores linealmente independientes y com o ta l,

susceptibles de formar una base. Dem ostrar que C = 3 A + 2 B

y D = 2 A - 5 B también forman una base.

Demostración. En efecto , com probarem os que C y D son linealmente indepen­

dientes aplicando la Definición 1.14

S i s C + t D = O => s(3 A + 2 B) + t(2 A - 5 B) = 0

<=* (3 s + 2 t)A + (2 s - 5 i)B = 0

Por hipótesis , A y B son L. I. , luego aplicando nuevamente la Definición 1.14 se

tiene: 3 s + 2 t = 0 y 2 s - 5 t = 0 c=> s = 0 , t = 0

Por lo tanto , C y D son linealmente independientes. ■

Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 95

Ejemplo 4 ) Fijado el vector C e R : , en tonces C e s expresab le en forma

^ única , com o la com binación lineal de los siguientes pares devectores :

a) A = (2/3 , 1/5) y B = (-1 , -3/10) b) A = (3/5 , 1) y B = (-1 , 5/3)

Establecer el valor de verdad de cada afirmación.

Solución. Sa b em os que V C e R 2 , 3 s , t € R I C = s A + t B <=> A K B

Luego, bastará comprobar si cada par de vectores dados son paralelos

2/3 = -r => r = -2/3

1/5 = (-3/10) r c=> r = -2/3

Existe un único r e R , tal que A = r B <=> A B .-.La afirmación e s falsa.

b) A = r B <=> (3/5,1) = r(-l , 5/3) o / 3/5 = ' r * * r = ' 3/5l 1 = (3/5) r => r = 3/5

a) A = r B <=» (2/3 , 1/5) = r(-l ,-3/10) <=> j

. — (3/5) r => r = 3/5

Luego , J l r e R A = r B a K B / .L a afirmación e s verdadera.

Ejemplo 5 ) Expresar el vector C = (4 , -5) com o combinación lineal de los

vectores A = (-2 , 3 ) y B = (3 , -1 ), luego hallar Proy(A B>C y

pr°y(8.A)C y comprobar la ecuación (30).

Solución. Hallem os las coordenadas (s , t) de C según la base {A B .

Aplicando la ecuación (28) se tiene :

S = ^ ’ 3> * <4 ’ ~5> = 11 . . A x • C _ (-3 , -2) • (4 , -5) 2* A ( 1 , 3 ) . ( - 2 , 3 ) 7 ’ A-l . B ~ ( - '3 , -2 ) . ( 3 , -1 ) = t

/. C = s A + t B = - y - (-2 , 3) + y (3 , - 1)

D a d o q u e : Proy(A B)C = s A = - ü (-2 , 3) y Proy(BA)C = t B = 2 ( 3 , - 1 )

«=> c = - y - (-2 , 3) + y (3 , -1) = (4 , -5) ■

Ejemplo 6 ) S e a n {A, , A2} , {B , , B J b a s e s de R : y A = 2 B, - 3 B r S i

= ‘ . Aj = 3 B t + (1/2)BZ y A = m A t + n A 2 , hallar m - n.

Solución. C om o (m , n) son las coordenadas de A según la base (A. , A,} , halla­

rem os las coordenadas de B, y B, se gún esta m ism a base, esto es, s i :

A, = B, - 2 B , <=» B, = A, + 2 B, (-|)

A , = 3 (A 1 + 2 B , ) + Í B . => B , = - Í A , t ^ A ¡ (2)

Sustituyendo (2) en (1) obtenem os : B | = 1 A : + p A,

96 Capítulo I: Vectores en el plano

A h o r a . S ¡ : A = 2 B , - 3 B ; « A = 2 ( - Ì A , - f A s) - 3 (. A A , + ¿ A ;)

< = > A = — A + — A 13 ' 13 -

(m , n) = (20/13 . 2/13) => m - n = 18/13

Ejemplo 7 J Halle las fórm ulas del cam bio de b ase , s iendo A t = B, - B 2 ,

A = 3 B, - 5 B 2 , y determine las coordenadas del vector A

respecto de la base P’ = { B, , B 2} , si respecto de la base p = {A , , A 2} son (2 , -1).

Solución. Resolviendo el sistem a de ecuaciones para B, y B, obtenem os las fór­

m ulas del cambio de base , esto e s :

R - — A - 1 A B = — A - — A' “ 2 1 2 2 ’ 2 _ 2 1 2 2

S i (2 , -1) son las coordenadas de A respecto de la base p = { A I , A ,} , entonces

A = 2 A, - A,

Se a n (s , t) las coordenadas de A respecto de la b ase p’ = {B , , B ,}

=» A = s B( + t Bj = s ( | A , - Í A , ) + t ( | A, - i A,)

r 2 = Jr ( 5 s + 3 t ) « = > 5 s + 3 t = 4

<=> 2 A, - A, = -y (5 s + 3 t)A, - y (s + l) A, <=> -JL -1 = - -i- (s + t) => s + t = 2

De donde obtenem os : s = -1 y t = 3 , luego (-1 ,3 ) son las coordenadas del vector

A respecto de la base p’ = { B t , B,}. ■

Ejemplo 8 ) Los puntos P(-3 , 4) , Q(1 , 2) y S (-5 , -1) son vértices de un

paralelogramo P Q T S , siendo P y T vértices opuestos.

a) Mostrar que los vectores U = T S y V = Q T forman una base de R 2.

b) Expresar el vector A = <1 ,5 ) com o combinación de U y V.

Solución. S e a C el centro del paralelogramo , entonces

C = - j (Q + S ) = y <-4 , 1 > = <-2, 1/2)

También C = -L (P + T) <=> T = 2 C - P = (-4 , 1) - (-3 , 4) = (-1 , -3>

a) U = T S = S - T = ( - 5 , - l ) - ( - l , -3> = (-4 , 2>

V = Q T = T - Q = (-1 , -3) - <1 , 2) = <-2 , -5)

Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 97

<=> (-4 s - 2 1 , 2 s - 5 t) = O o {

S i U y V forman una base de R 2, m ostrarem os que:

i) U y V son vectores linealmente independientes.

En efecto , según la Definición 1.14

s U + t V = 0 t=> s (-4 , 2) + t (-2 , -5) = O

-4 s - 2 1 = 0

2 s - 5 t = 0

Resolviendo el sistem a obtenem os , s = t = 0 ,

por lo que : U y V son L. I.

ü ) U y V generan a R 2

En efecto , se a C = (x , y) un vector del plano

=> B . t e R I C = s U + 1V

«=> (x , y> = s(-4 , 2) + t<-2 , -5> <=> { X 4S ” l } ^ s = - y ~ , t = -l y = 2 s - 5 t J 24 . 12

Com o x . y e R <=> 3 t , s e R ¡ C = s U + t V , por lo que U y V generan a R 2.

En consecuencia , de i ) y ¿ í ) , se sigue que U y V forman una base de R 2.

b) S i A = r U + t V <=> (1 , 5) = r (-4 , 2) + t (-2 , -5}

r l.= - 4 r - 2 n

l 5 = 2 r - 5 t J

c

p

/

■>

k

^fc>Q

s<\ . /

I

F ig u ra 1.114

<1 , 5> = <-4 r - 2 1, 2 r - 5 1> <=> <=* r = — , t = - — 24 ’ 12

A = ^ < - 4 , 2 > - j j < - 2 . - 5 >

[ C je m p lo 9 ] El vector A = (-5 , 2) se descom pone en A, I IX y A ? |[ Y.

El vector B = <2 , 1/2) se descom pone en B, 11 X y B 2 ¡ | Y.

Si X = (2 , 1) e Y = (-2 , -3 ), hallar el valor de (A, + B 2) • (A 2 + B 2)

Solución. S i A = m X + n Y

=> (-5 , 2) = m<2 , 1) + n<-2 , -3) <=> ( ' 5 = 2 m ' 2 n2 =

de donde obtenem os : m = -19/4 y n = -9/4 <=* A ( = - J-2. < 2 ,1 ) y A, = - -2. (-2 , -3)

2 = m - 3 n

19 4

Si B = r X + i Y «=> (2, 1/2) = r(2 , 1) + t(-2 , -3) <=> { 2 = 2 r - _ tl 1/2 = r - 3t

de donde se tiene : r = 5/4 y i = 1/4 => B, = ¿ ( 2 , 1) y B, = j ( - 2 , -3)

Por lo tanto : (A, + B , ) . (A, + B,) = (- 1 ) (-2) ( 2 , 1 ) . (-2 . -3) = - 49

98 Capítulo I: Vectores en el plano

Ejemplo 10 J En la F igura 1.115 se tiene el parale logram o A B C D . S i P es

punto medio de C B , Q D = 7 Q B y si P Q se escribe com o una

combinación lineal de D C y A D , calcular la sum a de los escalares.

PQ = s DC + t A D

_ 1 rñ i . 1En el A Q B P : PQ = PB - Q B = ^ C B - -y Q D

(1)

B D=> PQ = y (- AD) * y ( | BD) = - Í A D - I

= - y Á D - l ( - D B ) = - - y Á D + | ( Á B - Áí>)

Com o A B = C D ■=> PQ = ^ D C - ¿ A D

c -D

\C

p v

AVB >

FIGURA 1.115

Se gú n (1): s D C + t A D = I D C - | A D « (s - D C + (t + | ) A D = O

Dado que D C y Á D son linealmente independientes , entonces :

s - 1/8 = 0 y t + 5/8 = 0 <=> s = 1/8 , t = - 5/8 => s + t = - 1/2

[ Ejemplo 11 ] En el paralelogramo de la Figura 1.116 : A E = -^ A C , D F = -^-DC

S i É F = m Á B + n Á D , hallar el valor de m + n.

Solución. En el cuadrilátero A D F E se tiene :

■=> m A B + n A D = j A B + -j A D

«=* (m - l/4)ÁB + (n - 3/4)ÁD = O

C om o Á B y Á D son linealmente independientes ■=> m - 1/4 = 0 y n - 3/4 = 0

m + n = 1

Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 99

Ejemplo 12 J S e tiene el cuadrilátero A B C D . Sab iendo que A E = ^ A B y F y

G son puntos de trisección de C D y M e s punto medio de EF. Al

expresar A M com o una combinación lineal de A B , B C y C D , hallar la sum a de todos

los escalares.

Solución. Se a n m , n y r los esca lares tales que :

A M = m A B + n BC + rC D

En el A A E M ; Á M = Á É + É M = \ Á B + \ ÉF

= 1 Á B + i - (ÉB + B C + CF)

= 4 A B + 4 ( 4 A B ■i3

+ B C + y C D )

= -| A B + ^ B C + -2-CDó ¿ O

Luego , s i : m A B + n BC + rC D = 4 a B + \ B C + -^ C D

=* (m - 2/3)Á B + (n - 1/2)BC + (r - 1/6)CD = O

Com o A B , B C y C D son linealmente independientes , entonces

m - 2/3 = 0 , n - 1/2 = 0 , r - 1/16 = 0 <=> m = 2/3 , n = 1/2 , r = 1/6

m + n + r = 4/3

Ejemplo 13 J En el paralelogramo de la Figura 1.118 , P y Q son puntos m e­

dios de B C y A B respectivamente , R D = 3 AR. S i R C se expre­

sa com o una combinación lineal de P Q y P A , hallar el producto de los escalares.

Solución. Se a n m , n e R los esca lares tales que

R C = m PQ + n PA

En el A R D C se tiene :

R C = R D + D C = 4 Á D + D C = 4 B C + Á B4 4

= -J- (2 BP) + 2 Á Q = y (QP - Q B) + 2 Á Q

= | (QP - ÁQ ) + 2 Á Q = | Q P + ± Á Q

= - 4 PQ + t (PÁ + PQ) = - PQ + T PÁ

Luego , s i : m PQ + n PA = - PQ + y PA

1 0 0 Capítulo I: Vectores en el plano

=> (m + l)PQ + (n - 1/2)PA = O

Com o P Q j f P A >=> m + 1 = 0 y n -l/2 = U es m = -I , n = 1/2

m n = -1/2 I

Ejemplo 14 J S e a A B C D un parale logram o , M un punto sob re el lado BC.

S i el área del A A B M es igual a la mitad del área del cuadriláte­

ro A M C D y A M = r D C + t AD , hallar el valor de r + 3 1.

Solución. S i área (A M C D ) = 2 área (A A B M )

t=> área (A B C D ) = 3 área (A A B M )

Luego , (BC) h = | ( B M ) h <=* B M = -| B C

En el A A B M : A M = Á B + B M = D C + BC

S i r D C + t Á D = D C + | .Á D

c=> ( r - l)D C + (t - 2/3)ÁD = O

Com o D C K A D => r - l = 0 y t - 2/3 = 0

=> r = l y t = 2/3 r + 3 t = 3

Ejemplo 15^ En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.120 se cumple :

A EE D

1 A P 1n - 1 y A C m

S i M = m A P - n A E , dem ostrar

que M = A B

Demostración. En efecto , en el A A B C :

Á B = Á C - B C = Á C - Á D

= Á C - ( Á É + ÉD ) = Á C - Á É - E D

De las razones dadas :

Á C = m .AP y É D = (n - l)Á É

= * Á B = m ÁP - Á E - (n - I )Á E = m ÁP - n A E

M = Á B ■

Ejemplo 16 ) En la Figura 1.121, el A A B C e s equilátero. S i A B = n A C - m HB,

donde H e s el ortocentro , hallar el valor de :

Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 101

Solución. S i A C = A B + B C <=> A B = A C - BC

En el A B D C : B C = D C - D B = -i-ÁC - DB

Como el A A B C e s equilátero , el punto H e s también

su baricentro , por lo que :

H B = ¿ D B c=> D B = 4 HB

Luego , en (2 ): B C = A C - HB

Sustituyendo en (1) se tiene :

á b = Á c - ( í á c - 1 lTb ) = I á c + 4 iTb\ 2 2 ' 2 2

Si n Á c - m iTÍJ = 4 -Á C + ¿ Í?B » n = i y m = - |

A ± + i . . 4 * 2 - 4m n 3 3

(1)

(2)

Ejemplo 17 En la Figura 1.122 , A B C D es un paralelogram o donde M y

son puntos tales que D N = ^ D C y M es punto medio de BC.

Hallar los núm eros r y s e R , tales que A R = r A C y N R = s NM.

Solución. En el A M C N :

N M = Ñ C - M C = -i-D C - \ B C

Com o D C = A B y B C = A D

=* N M = i - A B - l . A D

En el cuadrilátero A D N R se tiene :

Á R = Á D + D Ñ + Ñ R = Á D + - | d C + s Ñ M

= Á D + - j Á B + s (4- ÁB - 4 Á D )

. ( * + « ) Á 6 + (| . - | )A D

Ahora , si A R = r A C <=> A R = r (A B + BC) = r A B + r A D

De (1) y (2) se sigue que : ( 4 + -|)a b + (l - 4 ) a d = r AB + r A D

(1)

(2)

102 Capítulo I: Vectores en el plano

■ = > ( § + - § - r ) A B + ( l - - | - r ) A D = 0

C om o Á B K Á D => ( | + -| - r = o ) a ( l - ■§ - r = o) o r = 4/5 , s = 2/5 ■

La F igura 1.123 e s una parale logram o , en el cual M divide al

segm ento B C en la razón 1/3 y N divide a A B en la razón 2/3.

En que razón divide P a D N y AM.

Solución. D esignem os por r y s las razones en f 7 "J

que el punto P divide a A M y D N res-

AP DPpectivamente , esto es : r = y s -

Lo s vectores Á D , D P y P Á son L. I . , luego :

Á D + D P + P Á = 0 (1)

Ahora, el objetivo e s e xp re sa r D P y PA. en v FIGURA 1.123

términos de Á D y Á B , dos vectores linealmente

independientes.

En el A A N D : Á D = AN + N D = A N - D N <=> D N = A N - A D = A B - A D

Si s = — => D P = sD Ñ => D P = s ( 4 Á B - Á D ) (2)DN v 5

En el A A B M : Á M = Á B + B M = Á B + ^ B C = A B + ^ A D

S i r = AP- c=> Á P = r Á M <=> PA = - r A M = - r ÍA B + j A D ) (3)A M H

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene : A D + s ( | A B - A D ) - r (AB + j A D ) = O

==> (l - s - -£ )ÁD + ( - | s - r ) A B = 0

C om o A D K A B , se sigue que :

(l - S - I = °) A ( A S - T = O) f = yj- , s = JJ ■

EJERCICIOS Grupo 12 103

EJERCICIO S : Grupo 12

En los ejercicios 1 al 4 , sean A y B vectores linealmente independientes. Para

qué valores de m tendremos que C y D son linealmente independientes.

1. C = 3 A + (m + 3 )B , D = (m - 4 )A - 4 B

2. C = A - 2 B , D = 3 A + m B

3. C = (m + 1)A + B , D = 4 A + (m + 1)B

4. C = 2 A + (m + 2 )B , D = 3 A + (m -1 )B

5. S i A y B forman una base en R : , demostrar que los vectores C = 5 A - 2 B y D =

3 A + 4 B también forman una base en R :.

6. Hallar los valores de m para los vectores dados sean L. I.

a) A = <m - 5 , 4> , B = <2m , -1} b) A = (2 , 2m - 3) , B = <1 - m , -5)

7. Fijado el vector C en R - , entonces C es expresable y en forma única, com o una

com binación lineal de los siguientes pares de vectores

a) A = (-5 , 10) , B = <3 , -6) c) A = (V6/2 , -6) , B = <-5/4 , 5^6/2)

b) A = (2 , 4) , B = (-1/2 , -1) d) A = (3 , -1/2) , B = (-12 , -2)

Establecer el valor de verdad de cada afirmación.

8. D ado s los vectores: A = (1 ,2 ), B = (-1 ,2 ) , C = (1 ,1 ), D = (2 , -4) y E = (-3, 6).

Cuán ta s b a se s de R- se pueden obtener con ellos.

9. Hallar las coordenadas del vector A = (1 ,2 ) respecto de la base p = { ( 2 , -1 ),

<-1 . 1) }-

10. Halle las coordenadas del vector A = (1 , 3 ), respecto de la base p = { ( - 2 , 1),

<1 , 2 ) } .

11. S e a { u . v } una base de R : . u = (1 , 3 ), v = (-5 , 1). S i A = (-2 , 6) y si A = r u +

t v , entonces :

a) Com p^A = r b) r + t = 5/2 c) u l A 1

Establecer el valor de cada afirmación

12. S i C = 3 u + 5 v. donde {u , v } e s una base de R :, A = 3 u - 5 v , B = - u + — v5 3

y C = r A + s B , donde J,A . B } e s otra base de R : ; determinar los valores de r

y s.

13. D ado s los vectores A , B y C , A * B ^ O , se a P = (C ; A , B) el vector que

satisface las dos condiciones siguientes :

a) P (C ; A . B) e s paralelo al vector A

104 Capítulo I: Vectores en el plano

b) P royBiP (C : A . B ) = P royBiC

Dem ostrar que : P (C : A , B) + P (C ; B , A) = C

14. S i { A , B , C } c R 2 son vectores no nulos , se afirma :

a) S i { A , B } e s base de R : =* {P ro yBA . P royAB } e s base de R 2

b) i A , B , C } e s linealmente dependiente

c) { A , B } e s base de R 2 >=> A 1 B

Determinar el valor de verdad de cada afirmación.

15. Halle las fórmulas del cam bio de base , siendo u, = 3 v, + v 2 , u2 = 4 v, - 3 v 2 ,

y determine las coordenadas del vector u respecto de la base P’ = {v, , v 2} si

respecto de la b ase p = {u, , u 2} son (3 , -2).

16. En el triángulo A B C de la Figura 1.124 se tiene, A M : M C = 3 : 4. S i B M = r BA +

t B C , hallar el valor de r + t.

17. En el triángulo A B C de la Figura 1.125 , las longitudes de los segm entos B D y

D C son 3 y 5 respectivamente. S i Á D = m Á B + n A C , hallar el valor de m + n.

18. S i M y N son puntos de trisección del lado B C del triángulo A B C (Figura 1.126)

y Á Ñ = m Á C + n A B , hallar el valor de ^ .

19. En la Figura 1.127 , A B D C e s un paralelogramo, P punto medio de C D , E punto

medio de BD. S i C B se expresa com o una combinación lineal de A P y A E ,

hallar el producto de los escalares.

20. En el cuadrilátero de la F igura 1.128 se tiene : E e s punto m edio de A D , F y

G son puntos de trisección de B C y M es punto medio de EF. Si A M = a A D +

bA B + cB C , hallar el valor de a + b + 3c

21. En la Figura 1 .129, A B C D e s un paralelogram o , P C = 3 BP. S i B C = m BG +

n AP, hallar el valor de m - n.

EJERCICIOS : Grupo 12 105

22. En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.130 se tiene : B C = 4 B E y F es punto

medio de AC . S i E F = m A C + n A B , hallar el valor de m - n.

23. En la Figura 1.131 , A B C D e s un paralelogramo de 220 u2 de área.

! = ; = o y ^ = § ; a) En qué razón divide P a D N y A M M C ^ N B J

b) Calcular el área del triángulo A PD .

24. E n el triángulo A B C de la F igu ra 1.132 se tiene : A D y C E son m ed ianas y

P M 11 BA. Hallar m y n tales que A P = m P M + n BC.

25. En el plano , se a A B C D un cuadrilátero dado y sean M y N puntos m edios de los

lados A B y C D respectivamente , y sean E y F puntos m edios de los lados B C y

A D respectivamente. S i M N n É F = {Q } , (ÁB y C D lados opuestos)

a) Dem ostrar que Q A + Q B + Q C + Q D e s el vector nulo

b) S i C D = r M E + s A F , hallar r y s

26. Se a n A , , A 2 ...... A n , n puntos de R :. S i OA , + O A 2 + .....+ O A n se expresa com o

combinación de O A l , A ,A 2 , A 2A 3 , ... A^ t A n , hallar la sum a de los escalares.

27. S e a el parale logram o A B C D de la F igura 1.133. S i P , Q , R y S son puntos

m edios de los lados y T e s el punto de intersección de O B y P Q , hallar m y n, si

A T = m B D + n OC.

28. La Figura 1.134 es un paralelogramo en el c u a l , E divide al segm ento A C en la

razón 3/2 , F es punto medio de BC. Expresar M = D E + A F com o combinación

106 Capítulo I: Vectores en el plano

lineal de A D y AB.

29. En el triángulo A B C de la Figura 1.135 se tiene que P , M y N son puntos m edios—> —> —>

de los lados. Hallar m y n s i : n N B + n C M = BO.

1.14j LO S V E C T O R E S Y LA G E O M E T R IA E L E M E N T A L_______

La s relaciones establecidas para los vectores en R : constituyen instrumen­

tos de singular importancia para el tratamiento de ciertos conceptos de la Geometría Elemental. A lgunas veces una apropiada aplicación de m étodos vectoriales facilita­

rá la interpretación y demostración de proposiciones geométricas.

S e debe destacar, sin em bargo que a veces e s necesario el u so de las

coordenadas cartesianas para facilitar las dem ostraciones. El empleo de un sistem a

rectangular e s arbitrario en lo que se refiere a la orientación y colocación de los ejes

coordenados y esta relación no hace perder generalidad al teorema.

r ' r \A

^ b-a

/a/ a j z ' * \

A / \■ O C

c --------------------------- Jv--------------------------------------------------------FIGURA 1.137 FIGURA 1.136

E s oportuno resaltar que cuando se u san m étodos vectoriales para la de­

m ostración de teoremas, no e s importante ubicar la figura en una determinada posi­

ción en el sistem a coordenado; sin em bargo e s recomendable tener en considera­

Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 107

ción el u so de un vértice cualquiera com o origen de los vectores (Figura 1.136), en

otros casos, el vector de posición de cada vértice o punto fundamental de cada

figura geométrica. A s í , en la Figura 1.137 , el vector de posición del vértice A será

designado por a (en negrita), el segm ento A B por b - a , el segm ento B C por c - b ,

etc.

Lo s ejemplos siguientes darán una mejor ilustración de lo que se sugiere.

Ejemplo 1 J Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

Demostración.Hipótesis. Sea ABCD un paralelogramo

M punto medio de la diagonal AC N punto medio de la diagonal BD

Tesis. Demostraremos que : M = N

En efecto , AM = ^-ÁC «=> m - a = y ( c - a)

m = 4 (a + c)

Análogamente , BÑ = \ BD n = - l( b + d)

Por ser ABCD un paralelogramo ;D C = ÁB «=> c - d = b - a

Sumando a + d a ambos miembros de esta igualdad se tiene

c - d + (a + d) = b- a + (a + d) >=> a + c = b + d <=> \ ( a + c) = 4(b + d)

Por lo tanto , m = n , esto es : M = N ■

Ejemplo 2 J Dem ostrar que el segm ento de recta que une los puntos m e­

dios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado , y su

longitud e s la mitad de la longitud del tercer lado.

Demostración.

Hipótesis. S e a el A A B C , donde M y N son puntos

m ed ios de la lados A B y B C respectiva­

mente.

Tesis. Probarem os que MN11 A C y 11 MÑ11 = -A-I | A C 11

En efecto, AB = 2 AM => b - a = 2(m - a) <=> m = 4 (a + b) F|GURA 1.139

1 0 8 Capítulo I: Vectores en el plano

Análogam ente : B C = 2 BÑ => c - b = 2(n - b) co n = -L(b + c)

Dado que M N = n - m <=> M N = 4 (b + c) - -ÿ(a + b)

<=> M N = -J¡-(c - a) <=> M N = Í A C

Por lo tanto , M Ñ 11Á C y IIMÑ il = \\I Á C 11

Ejemplo 3 ] Dem ostrar que los puntos m edios de los lados de un cuadrilá­

tero son los vértices de un paralelogramo.

Demostración.

Hipótesis. A B C D e s un cuadrilátero , M , N , T y S

son puntos m edios de los lados.

Tesis. P robarem os que M N 11 ST y M S 11 N T

En efecto, A M = \ A B ■=> m = \ (a + b)

B N = 4 B C <=> n = \ (b + c)

M N = n - m = \ (b + c) - -JL (a + b) = ÿ (c - a)

_ I

Luego , M Ñ = 4 -A C «=> M Ñ I IÁ C (1)

A s í m ism o : Á S = -i- A D <=> s = -i- (a + d) ; C T = y C D t = \ (c + d)

y com o : ST = t - s = |(c + d ) - -^-(a + d) = i ( c - a) = ± Á C S T l IÁ C

De (1) y (2) se deduce que : M Ñ 11 ST y 11 M Ñ 11 = 11 S T 11

Análogam ente se dem uestra que : M S l i N T y 11 M S 11 = II N T 11

Por lo tanto , el cuadrilátero M N T S e s un paralelogramo.

(2)

! Ejemplo 4 j Dem ostrar que en todo trapecio el segm ento de recta que une

los puntos m edios de las d ia go n a le s, e s igual a la semidiferen-

cia de las bases.

Demostración.

Hipótesis. A B C D es un trapecio , M y N son puntos m edios de las d iagonales A C y

B D respectivamente.

Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 109

Tesis. S e va a dem ostrar que : M Ñ = -i- (Á D - BC)

En efecto , si A M = | A C <=> m = \{a+ c)

BÑ = y B D ■=> n = l ( b + d)

Ahora , M N = n - m «=> M N = 4 "(b + d) - 4p(a + c)

<=> M Ñ = -i- (d - a) - i - (c - b) = i (ÁD) - | (BC)

M N = -i- (Á D - BC)

Ejemplo 5 J Se a n M , N y R los puntos m edios de los lados de un A A B C y

se a P un punto exterior al triángulo. Dem ostrar que :

P M + PÑ + P R = P Á + P B + P C

Demostración.

Hipótesis. S e a el A A B C , M , N y R puntos m edios de

su s lados y P un punto exterior. Entonces :

m = -±-(a + b) , n = ^ -(b + c) , r = \ { a + c)

PM + PN + PR = (m - p) + (n - p) + (r - p)

= - p) + (b + C .p ) + ( a ^ c , p) FIGURA 1.142

= i.(a-p + b-p) + -±.(b-p + c-p) + ¿(a - p + c - p)

= (a - p) + (b - p) + (c - p)

/. PM + PÑ + P R = PÁ + PB + r c ■

Ejemplo 6 j Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendicula­

res.

Demostración.

Hipótesis. S e a el rombo A B C D

Tesis. P robarem os que A C 1 B D

En efecto , en el A A B C : Á C = Á B + B C (1)

y en el A B C D : B D = B C + C D => B D = B C - D C

110 Capítulo ¡ : Vectores en el plano

C om o D C = A B (lados opuestos de un rom b o ), entonces :

B D = B C - Á B (2)

Multiplicando escalarmente las ecuaciones (1) y (2) se tiene:

Á C • B D = (BC + Á B ) • (BC - Á B )

= 11 B C 112 - 11 Á B 112 ; pero , 11 B C 11 = 11 Á B 11

Por lo tanto , A C • B D = 0 «=> Á C ± B D ■

Ejemplo 7 J Dem ostrar por m étodos vectoriales , que un triángulo inscrito

en un sem icírculo e s un triángulo rectángulo.

Demostración.

Hipótesis. S e a el ABAC inscrito en el semicírculo

de centro O (Figura 1.144)

Tesis. Por dem ostrar que B A C es un triángulo rec­

tángulo. Bastará probar que A B 1 A C

En efecto , en el A A O B : A B = A O + O B (1)

y en el A A O C : A C = A O + O C ,

pero Ó C = - Ó B « = > Á C = Á b - Ó B (2)

Multiplicando escalarmente (1) en (2) se tiene :

Á B • Á C = (ÁO + O B) • (Á6 - OB)

= Á Ó • Á O - Á O • Ó B + Ó B • Á Ó - Ó B • Ó B

= 11 Á Ó 112 - 11 Ó B 112

Pero , 11 Á Ó 11 = 11 O B 11 por se r radios del semicírculo

.-. Á B • Á C = O => Á B ± Á C * ■

f Ejemplo 8 J Dem ostrar que las m ed ianas de un triángulo se cortan en un

punto cuya distancia a cada vértice e s los dos tercios de la

distancia que separa a la m ediana de dicho vértice.

Demostración.Hipótesis. Se a n Á M , BÑ y C P m edianas del A A B C

AG BG CG 2Tesis. Probarem os que - = — = — = -

Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 111

En efecto , si Á M = m - a <=> Á M = - i (b + c) - a = (b + c - 2a)

BN = n - b <=> BN = -J¡- (a + c) - b = J_(a + 'c - -b)

CP = p - c => CP = ± (a + b) - c = i (a + b - 2c)

Sean : = r , — - = s y — = i , entonces laA M BN C P -

expresión vectorial que define al baricentro para cada

mediana es

AG = r AM <=> g = a + r ÁM = a + (b + c - 2a) (1)

BG = sBÑ<=>g = b + sBÑ = b + -y(a + c-2b) (2)

CG = tCP => g = c + tCP = c+ 4-(a + b-2c) (3)

Ahora , de (1) = (2 ), se sigue que : a + -y (b + c - 2a) = b + (a + c - 2b)

<=> (2 - 2 r - s)a + (r + 2 s - 2)b + (r - s)c = O

Com o a . b y c son linealmente independientes , entonces :

2 - 2 r - s = 0 , r + 2 s - 2 = 0 , r - s = 0de donde obtenem os : r = s = 2/3

Análogam ente , de (1) = (3) se obtiene : r = i = 2/3

Por tanto , las m edianas se interceptan en el punto G a 2/3 de Á M , B Ñ y CP. ■

I Nota. Si sustituimos los valores de r , s ó t en las ecuaciones (1), (2) ó (3), respectivamente,se obtiene la ecuación vectorial que define al baricentro de un triángulo , esto es :

g = j (a + b + c)

Ejemplo 9 j A B C y A ' B ’ C ’ son dos triángulos , G y G ’ son su s baricentros.

Dem ostrar que : A A ’ + B B ’ + C C ’ = 3 G G ’

Demostración. En efecto , A A ’ = a’ - aB B ’ = b' - b C C ’ = c ’ - c

Sum ando se tiene : A A ’ + B B ’ + C C ’ = (a’ + b’ + c ’) - (a + b + c)

Por la nota hecha en el ejemplo 8 : A A ’ + B B ’ + CC = 3 g ’ - 3 g

Á Á ’ + B B ’ + C C ’ = 3 (g ’ - g) = 3 G G ’ ■

112 Capítulo I: Vectores en el plano

E j e m p lo 1 0 J Demostrar que en un tetraedro , las líneas que unen los puntos

medios de los lados opuestos se b isecan mutuamente.

Demostración.

Hipótesis. S e a el tetraedro O A B C y sean PQ y R T

dos líneas que unen los puntos m edios

de dos lados opuestos.

Tesis. Probarem os que M = N

En efecto , tomando el vértice O com o origen , la

expresión vectorial que define el punto medio de

M de PQ e s :

m = 1 (ÓP + Ó Q ) = i [ i (Ó Á + Ó B ) + I ó C ]1 FIGURA 1.146

m = -L (Ó Á + Ó B + ÓC) (1)

A s í m ism os , para el punto medio N de R T se tiene :

n = I (ÓR + ÓT) = 1 [ ~ (ÓB + ÓC) + I Ó Á ] => n = 1 (Ó Á + Ó B + Ó C ) (2)

De (1) y (2) se s igue que : m = n <=> M = N. ■

E j e m p lo 1 1 } Demostrar que la sum a de los cuadrados de las d iagonales de

un paralelogramo e s igual a la sum a de los cuadrados de su s

lados.

Demostración. S e a el paralelogramo A B C D

S i B D = Á D - Á B

<=> Il B D II = 11 Á D - Á B II

c=> || B D 112 = 11 Á D I I 2 + 11 A B 112 - 2 Á D • Á B (1)

y si : Á C = Á D + D C = BC + D C

c=> | | á c I | 2 = I | b c | | 2 = | | d c II : + 2 B C * d c (2 )

Sum ando (1) y (2) se tiene :

11 B D 112 + 11 Á C 112 = 11 Á D 112 + 11 Á B 112 + 11 B C 112 + 11 D C I I2 + 2 (BC • D C - Á D * 'Á B )

Dado que : Á B = D C y Á D = BC (lados opuestos del paralelogramo)

« Il B D I I 2 + II Ä C l M = I I Ä D II1 + I I Ä B l l * + Il B C 111 + U D O I I 2 ■

Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 113

Ejemplo 1 2 J Dem ostrar que las tres alturas de un triángulo se interceptan

en un punto llamado ortocentro.

Demostración. Conside rem os el triángulo A B C

en el cual trazam os las alturas

correspondientes a los vértices A y C los cuales

se interceptan en el punto O. Para facilitar los cál­

culos suponem os que este punto e s el origen de

coordenadas. Al unir O con el vértice B , la propo­

sición quedará dem ostrada si p robam os que Ó B

es perpendicular a AC.

En efecto , si O A 1 B C <=> a • (c - b) = 0 (1)

Ó C 1 Á B => c - ( b - a ) = 0 (2)

Ahora , sum ando (1) y (2) nos da

a * c - a * b + c * b - c * a <=> b • (c - a) = 0

==> Ó B • Á C = 0 » Ó B 1 ÁC. ■

I Ejemplo 1 3 j Dem ostrar que las m ed iati­

ce s de los lados de un trián­

gulo se cortan en un punto llamado excentro.

Dem ostración. En el A A B C trazam os las me-

diatrices de los lados A B y BC,

las cuales se interceptan en el punto O. Un im os O

con P , punto medio de ÁC. Para dem ostrar la pro­

posición bastará probar que O P e s perpendicular

a ÁC.

En efecto , por definición de mediatriz.

Ó Ñ 1 B C ■=> Ó Ñ • B C = 0 y Ó Ñ 1 1 A B <=> Ó M * Á B = 0

En el A O M P : Ó P = Ó M + M P

= * Ó P • Á B = Ó M • Á B + NÍP • Á B <=> Ó P • Á B = M P • Á B (1)

En el A O N P : Ó P = Ó Ñ - PÑ

<=> Ó P * B C = Ó Ñ * B C - P Ñ * B C ■=> Ó P * B C = -PÑ • B C (2)

La sum a de (1) y (2) da : Ó P • (Á B + BC ) = M P • Á B - PÑ • B C

Dado que , M P = y B C y PN = 4 A B , (Ejemplo 2 ) , entonces

Ó P . Á C = i - ( B C . Á B ) - i - ( Á B . B C ) = 0 => Ó P 1 Á C ■

114 Capítulo I: Vectores en el plano

E j e m p lo 1 4 ] S ¡ A , B , C y D son vértices de un cuadrilátero , dem ostrar que

Á B + Á D + C B + C D = 4 PM

de donde P y M son puntos m edios de las

d iagonales A C y BD.

Demostración. En efecto ,

PM = PÀ + Á B + B M

PM = P À + Á D + D M

PM = PC + C B + B M

PM = PC + C D + D M

Su m an d o ordenadam ente e sta s cuatro

igualdades obtenem os :

4PM = ÁB + ÁD + CB + CD + 2(PÀ + PC) + 2 (BM + DM)

Ahora , com o : PC = - PÂ y D M = - B M , entonces

4 P M = Á B + Á D + C B + C D

Ejemplo 1 ^ ) Se an los puntos no colineales A , B , C y D. S e a O un punto tal

que Ó A = a , Ó B = b , O C = c , O D = d. S i se verifica que b - a =

2 (d - c ) , dem ostrar que el punto de intersección de los segm entos A D y B C e s punto

de trisección de estos segmentos.

Demostración.

Hipótesis. A , B , C y D son puntos no colineales y b - a = 2 (d - c)

Tesis. Probarem os que s i :

r = PB l = A P ^C B y A D

r = t = -

En efecto , en el A A P B : PB = A B - A P = A B - t A D

c=> pb = (b - a) - 1 (d - a)= 2 (d - c) - 1 (d - a) (Hipótesis)

Por el artificio de sum ar y restar t c se tiene :

PB = 2 (d - c) - 1 (d - a) + (t c -1 c)= 2 (d - c) - 1 (d - c) + t (a - c)= (2 - 1) (d * c) + t(a - c)

S i PB = rC B <=> PB = r(b - c) = rb - r e ,

de la hipótesis : b = a + 2d-2c

(1)

c

\ r-

Z\ d\/b

A i

FIGURA 1.151

«=> PB = r(a + 2d - 2c) - re = r(a - c) + 2r(d - c) (2)

Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental 115

De (1) y (2) se sigue que : (2 - 1) (d - c) + t(a - c) = r(a - c) + 2 r(d - c)

<=> (2 - 1 - 2 r) (d - c) + (t - r) (a - c) = O—> —> y

Dado que los vectores C D y C A son linealmente independientes

=> (2 - 1 - 2 r = 0) a (t - r) = 0Resolviendo el sistem a obtenem os : t = r = 2/3 ■

EJERCICIO S : Grupo 13

1. Dem ostrar que las d iagonales de un rectángulo son de la m ism a longitud.

2. Dem ostrar que las d iagonales de un cuadrado son perpendiculares.

3. Dem ostrar que el punto m edio de la h ipotenusa de un triángulo rectángulo

equidista de los tres vértices del triángulo.

4. Dem ostrar que las d iagona le s de un trapecio y la recta que une los puntos

medios de los lados paralelos, se cortan en un m ism o punto.

5. Dem ostrar que el segm ento de recta que une los puntos m edios de los lados no

paralelos de un trapecio e s paralelo a las b a se s , y su longitud es igual a la

mitad de la sum a de las longitudes de las bases.

6. Dem ostrar que las m edianas de los lados iguales de un triángulo isó sce les son

de la m ism a longitud.

7. Dem ostrar que los puntos m ed ios de dos lados opuestos de un cuadrilátero y

los puntos m edios de su s d iagonales son vértices de un paralelogramo.

8. Dem ostrar que si las rectas que contienen a do s lados opuestos de un cuadri­

látero se interceptan en un punto S , y las rectas que contienen a los otros dos

lados del cuadrilátero se interceptan en un punto T , entonces el punto medio

del segm ento S T e s colineal con los puntos m edios de las d iagonales del cua­

drilátero. (Sug. Coloque el origen en uno de los vértices del cuadrilátero).

9. Dem ostrar que la sum a de los cuadrados de las d istancias de un punto cual­

quiera del plano a dos vértices opuestos de un rectángulo e s igual a la sum a de

los cuadrados de las distancias del punto a los otros dos vértices.

10. Dem ostrar la igualdad vectorial O A + ( ^ + Ó C = Ó P + Ó Q + O R , siendo O un

punto cualquiera interior al A A B C y P , Q y R los puntos m edios de los lados AB,

B C y C A , respectivamente.

11. Dem ostrar que la sum a de los cuadrados de los lados de cualquier cuadrilátero

excede a la sum a de los cuadrados de las d iagonales en cuatro veces el cua­

drado de la línea que une los puntos m edios de las diagonales.

116 Capítulo I: Vectores en el plano

12. D ado s los puntos A , B , C , D , E y F ; s i P , Q , R y S son los baricentros de los

triángulos A B C , A B D , D E F y C E F , demostrar que P , Q , R y S son los vértices

de un paralelogramo.

13. Dem ostrar que las tres bisectrices de los ángu lo s de un triángulo se intersecan

en un punto llamado incentro.

14. Dem ostrar que la sum a de los cuadrados de las longitudes de las tres m edianas

de cualquier triángulo e s 3/4 de la sum a de los cuadrados de los tres lados.

15. S i en la F igura 1.152 , A B C D e s un parale logram o , donde M y N son puntos

m edios de A B y B C respectivamente , probar que los segm entos D M y DN

trisecan a la diagonal AC.

16. En la Figura 1.153, A B C D e s un parale logram o, tal que P , Q , R y S son puntos

que dividen a los lados Á B , B C , C D y D A , respectivamente , en la razón 2/1.

Dem ostrar que P , Q , R y S son vértices de un paralelogramo.

17. Dado un triángulo cualquiera , demostrar que existe otro triángulo cuyo s lados

son iguales y paralelos a las m edianas de aquel.

18. En el triángulo AB C , sea D el punto medio de BC. Demostrar, usando vectores,

q u e : 11 A B 112 + 11 A C 112 = 2 11AD 112 + ± 11 B C 112

(1.15) LOS VECTO RES Y LA FISICA_____________________ .____________

El empleo de vectores en la Física e s frecuente , la fuerza , la aceleración y

la velocidad se representan mediante vectores en las que la dirección del vector

está dada por la dirección de la cantidad física , en tanto que la magnitud del vector

e s igual a la magnitud física , en las unidades apropiadas.

C uando se trabaja con velocidades debem os tener en cuenta que , en un

movimiento que e s la com posición de varios movim ientos , el vector de velocidad es

Sección 1.15: Los vectores y la Física 117

la sum a vectorial de los vectores de velocidad de cada movimiento.

Otra aplicación se refiere a las fuerza que actúan sobre una partícula en el

espacio ; en este ca so , a las d iversas fuerzas que actúan sobre una partícula se les

representa mediante vectores : F , , F 2 , F 3 ........... Fn , entonces la segunda ley de

Newton , establece que el movimiento de una partícula está descrita por la ecuación

vectorial

m a = F, + F 2 + F 3 + ......... + Fn

donde m e s la m asa de la partícula y a la aceleración. En esta ecuación la m asa m

es un e s c a la r , en tanto que la aceleración a e s un vector.

Si e s el ca so de que la partícula está en reposo la sum a de los vectores de las

fuerzas e s cero , esto es

F i + F2 + F 3 . . . . + Fn = 0

,--------------- EJEM PLOS ILUSTRATIVOS )-------------- ,I

[ E j e m p lo 1 ^ ] Un hom bre salta desde un automóvil en m archa de m anera

que si el coche hubiese estado quieto , su velocidad habría

tenido magnitud 10 km/h y habría formado un ángulo de 6 02 con la dirección al frente

del automóvil. S i el coche avanza a 30 km/h , con qué velocidad sale el hombre del

automóvil.

Solución. S e a V, , el vector velocidad del co ­

che y V , , el vector velocidad que le

correspondería al hombre si el coche hubiese

estado quieto.

Entonces la velocidad real del hombre e s :

v = v l + v 2

Luego , V, = 30 <Cos 0o , S e n 0o) = 30 <1 , 0)

V, = 10 (C o s 240°, S e n 240°) = 5 <1 , -V3>

Por lo q u e , V = 30(1 ,0) + 5< l , -V3>= 5 (7 , -V3>

es el vector velocidad que desea tener y cuya magnitud es

II V|| = 5 V49 + 3 = 10 VTJkm/h. ■

l i s Capitulo 1: Vectores en el plano

Ejemplo 2 j Un aeroplano vuela hacia el noreste con una velocidad de 400

millas/h y el viento hacia el sureste a una velocidad de 100

millas/h. Cuál e s la velocidad resultante del aeroplano , con respecto a la tierra , y

que curso debe seguir el piloto.

Solución. Representem os por V, el vector velocidad

dad del aeroplano y por V, el vector velo­

cidad del viento.

La velocidad resultante del aeroplano con respecto a

la tierra e s : V = V, + V,

Luego , si V, = 400 (Cos 45°, Sen 45°) = 200\Í2 0 , 1)

V , = 100(Cos 315° , Se n 315°) = 50\/2 (1 , -l>

==> V = 50 <2 (4 + I , 4 - 1) = 50 \2 (5 , 3>

La dirección de la velocidad resultante es

_ _ V _ = (5 ,3 )

I IV || " \/34

esto e s , si Tg a = j = °-6 = * a = 31°

En consecuencia , el vector velocidad resultante forma un ángulo con la dirección

Este de 31°, es d e c ir , su dirección y sentido resultan definidos p o r : Este 31° Norte ,

curso que debe seguir el piloto. ®

Ejemplo 3 ] Una avioneta pequeña vuela a 150 km/h si hay quietud en el

' aire. Q ué curso tendrá que segu ir el piloto cuando hay viento

de 25 km/h que sop la desde el suroeste , y que tiempo tardará en llegar a su destino

situado a 200 km al norte.

Solución. S e a V I el vector velocidad de la avioneta y

V, el vector velocidad del viento . Entonces :

V , = 150(0 , 1) = 2 5 (0 ,6 >

V, = 25 (C o s 45° , S e n 45°) ^2)

La velocidad resultante de la avioneta es

V = V, + V, = ^ (\2 , 12 + V2)

12 + \ 2y su dirección : Tg a = — -j=— -

Luego , p = 90° - 63° 14’ = 6o 46’

= 9.46 => a = 63° 14’

Sección 1.15: Los vectores y la Física 119

Por lo tanto , el curso que debe segu ir el piloto e s : Norte 6o 46’ Oeste.

S i I ! V = =p V(V2): + (12 + \ 2): = 25 ^37 + 6V2 = 25(6.7) km/h , el tiempo que tardará

en llegar a su destino e s :

t = 200 8II V i l 25(6.7) 6.7

= — = 1.2 horas

Cjemplo 4 ] Un automóvil recorre 3 km hacia el Norte y luego 5 km hacia el

Noreste. Representar y hallar el desplazam iento resultante del

recorrido.

Solución. En la Figura 1.157 :—>

A P = a representa el desplazam iento de 3

km hacia el norte.

PQ = b representa el desplazam iento de 5 km hacia el

noreste—>

AQ = c representa el desplazamiento resultante del re­

corrido , e s d e c ir : c = a + b

Las com ponentes de cada vector son :

a = 3 (C o s 90°, S e n 90°) = 3(0 , 1) = (0 , 3)

b = 5 (C o s 45° , S e n 45°) = -| (>/2 , S2)

C = ( ¿ V2 , 3 + 4 \2 ) = \ (5V2 , 6 + 5^2)

=> 11 c 11 = i - V (5 \2 ): + (6 + 5V2)2 = V 3 4 + 15V2 = 7.43 km.

La dirección de la resultante está dada por Tg a = -6 * = 1.846 *=> a = 61° 35’5V2

Luego , la dirección del vector c queda definido p o r :

Este.61° 35’ Norte. ■

Cjemplo 5 A un maratonista que recorre hacia el Su r-E ste a 20 km/h , le

parece que el viento sop la hacia el Este ; pero a un ciclista que

va hacia el Este a 40 km/h , le parece que el viento sop la hacia el Sur. Hallar la

componente de la velocidad del viento en la dirección de un vector que señala la

trayectoria del maratonista.

Solución. La s representaciones de las velocidades se ilustra en la Figura 1.158 ,

donde

120 Capítulo I: Vectores en el plano

V = (x , y) e s la velocidad del viento

V m = Velocidad del maratonista

V c = Velocidad del ciclista

Entonces V m = 20 (C o s 45°, -Se n 45°) = <10V2 , -10^2)

V c = 40 (C o s 0o , S e n 0°) = (40 , 0)

Ahora , teniendo en cuenta que : V = V m + V <paftrti

=> (x , y) = <10\2 , - I0V2) + 11ÁB 11 (1 , 0) => y = -10V2

Análogam ente :

V . V m <40 , - 10V2) • ( I0V2 , - 10V2)

FIGURA 1.158

V = V e + V aparon«e => < X , >') = (40 , 0) + I I B C | | (0 , -1 ) x = 40

Luego : C om pV(nV =11 V m 11 V ( 10V2): + (-10V2)3

CornpVmV = 10(1 + 2\2)

Ejemplo 6 J Sobre un sólido puntual en P actúan tres füerzas coplanares

que se muestra en la Figura 1.159. Hallar la fuerza necesaria

que se debe aplicar en P para mantener en reposo al sólido.

Solución. L a s com ponentes de cada fuerza son :

F, = 200 (C o s 30° , S e n 30°) = 100 (V3 , 1)

F, = 150 (C o s 0o , S e n 0°) = 150 (1 , 0)

F, = 100 (C o s 270° , S e n 270°) = 100 (0 , -1)

La resultante e s la sum a de estas fuerzas , esto e s :

R = F, + F, + F, = 50 (3 + 2^3 , 0)

t=> 11 R 11 = 50(3 + 2V3) = 323 kg.

Com o se puede o b se rva r, el sentido de R e s el m is­

mo que F, ; luego la fuerza que se debe aplicar al

sólido puntual para mantenerlo en reposo e s - R . e s

d e c ir , el vector opuesto a R o a F, ■

FIGURA 1.159

Ejemplo 7^) S e da el siguiente sistem a de fuerza : F, de 50 kg. que actúa

de A(1 , 5) a B(-3 , 8) y F 2 de 65 kg. que actúa de C (-3 , -5) a

D(2 , 7). Hallar la resultante R del sistem a y el trabajo realizado por R al desp lazarse

de P(4 , 3) a Q (9 , 5).

Sección 1.15: Los vectores y la Física 121

Solución. A B = B - A = (-3 , 8> - (1 , 5) = (-4 , 3) c=> 11 Á B 11 = 5

C D = D - C = (2 , 7) - (-3 , -5) = (5 12> «=> 11CD 11= 1 3

Luego , si F, = rÁ B «=> 11 F, 11 = r||ÁB|| <=> 50 = r (5) « r = 10

F2 = tC D <=> l l F j l = 1 1| C D 11 <=> 65 = t (13) <=> t = 5

Por lo que : R = F, + F, = 10(-4 , 3) + 5 <5 , 12) = 15 (-1 , 6>

El trabajo W realizado por una fuerza F al recorrer un espacio S está definido por la

ecuación : W = F • S (O bsé rvese que W e s escalar)

Por lo tanto , si S = P Q = (9 , 5) - (4 , 3) = (5 , 2)

<=> W = 15 (-1 , 6) • (5 , 2) = 105 unidades de trabajo ■

Ejemplo 8 j Un S ó lid o de 100 kg. de p e so

está su sp e n d id o por el centro

mediante una cuerda , tal com o se indica en la Figura

1.160. Hallar la tensión T en la cuerda.

Solución. S e a n 11T, 11 = 11T, 11 = 11T11 , donde las

tensiones y el peso W expresados en fun­

ción de su s com ponentes son :

T, = 11T I l (C o s 30°, S e n 30°) = 11T11 (VJ/2 , 1/2)

T, = 11T11 (C o s 150°, S e n 150°) = 11T 11 (-V3/2 , 1/2)

W = 100 (C o s 270° , Se n 270°) = 100 (0 , - 1)

El sistem a de fuerzas estará en equilibrio si

T, + T, + W = O

«=> 11T 11 (V3/2 , 1/2) + 11T 11 (-V3/2 , 1/2) = -100 (0 , -1)

de donde: 11T11 (0 . 1) = 100 (0 , 1) I|T|| = lOOkg.

FIGURA 1.160

[ Ejemplo 9 ] Sobre un cuerpo que d e s­

cansa en un plano inclina­

do , actúan tres fuerzas : la gravedad G , una

fuerza N de reacción que es perpendicular al pla­

no y una fuerza F de fricción que se dirige hacia

arriba en la dirección del plano. S e define coefi­

ciente de fricción u , com o la razón de 1 1 F 11 a

i N I cuando el ángu lo \\i de inclinación e s talFIGURA 1.161

122 Capí mio 1: Vectores en el plano

que cuerpo está a punto de deslizarse. Dem ostrar que : u = T g \\i

Demostración. En efecto , usando la base ortonormal {5 = {i , j } , con

dirección del plano inclinado , se tiene :

N = 11 N 11 (C o s 90° , S e n 90°) = 11 N 11 ( 0 ,1 )

F = 11 F 11 (C o s 180°, Se n 180°) = 11 F11 (-1 , 0)

G = 11G 11 (Cos(270° + y ) , Sen(270° + y ))

= 11 G 11 (Sen y , -Cosvy)

Estando el cuerpo en reposo , entonces :

N + F + G = O

*=» I IN || + 11F11<-1 , 0) = - 11 G 11(Sen vj/, -C o s y )

de donde : - 1 F 11 = - 11 G 11 Se n y y 11 N 11 = 11 G 11 C o s vji

F11 Se n \\i

i en la

F<«-

Dividiendo estas dos igualdades obtenem os :

u = Tg y

N C o s y

--

E je m p lo 1 0 J Un cuerpo de w = 5 00 Ib. de

peso está suspendido com o se

indica en la Figura 1.162. Determinar cada una de

las fuerzas que ejercen sobre el punto C.

Solución. S e a n W , T y Q las fuerzas que actúan

en el punto C , cuyas representaciones

son :

W = 500 (C o s 270°, Se n 270°) = 500 <0 , - l)

T = ||T 11 (C o s 150° , Se n 150°) = 11T11 <-^3/2 , 1/2)

Q = l lQ II <Cos 0o , Se n 0°) = 11Q 11 <1 , 0)

Estando las fuerza en equilibrio , entonces

W + T + Q = O

FIGURA 1.162

■=> 11 T 11 <-\ 3/2 , I/2) + 11 Q 11 (I , 0) = 500 <0 , 1) <=>

de donde obtenem os : 11 T11 = 1000 Ib. y I ! Q 11 = 500V3 Ib.

r f I I t I I +

V 4 IITII =

l lQ l l = 0

500

. EJERCICIOS ; Grupo 14 123

EJERCICIO S : Grupo 14

1. Un avión recorre 200 km. hacia el Oeste y luego 150 km. Oeste 60° Norte. Hallar

el desplazam iento resultante , gráfica y analíticamente.

2. A qué d istanc ia y en qué d irección del punto de partida se encuentra una

persona que recorre 20m. hacia el Este 30° S u r , 50m. hacia el Oeste ; 40m.

hacia el Noreste , y 30m. hacia el O este 60° Sur.

3. Un hombre que se dirige hacia el S u r a 15 km/h observa que el viento sop la del

Oeste. Aum enta su velocidad a 25 km/h y le parece que el viento sop la del

Suroeste. Determinar la velocidad del viento a s í com o su dirección y sentido.

4. D o s ciudades A y B están situadas una frente a otra en las dos orillas de un río

de 8 km. de ancho , siendo la velocidad del agua de 4 km/h. Un hombre en A

quiere ir a la ciudad C que se encuentra a 6 km agua s arriba de B y en la m isma

ribera. S i la embarcación que utiliza tiene una velocidad máxima de 10 km/h y

desea llegar a C en el m enor tiempo posible ; qué dirección debe tomar y cuan­

to tiempo emplea en conseguir su propósito.

5. Un río tiene 500m. de ancho y fluye a una velocidad de 4 km/h. Un hombre puede

remar a una velocidad de 3 km/h. S i parte de un punto A y rema hacia la orilla

opuesta, cuál e s el punto m ás lejano río arriba que puede alcanzar en la orilla

opuesta. En que dirección deberá navegar.

6. Hallar la resultante de los siguientes desplazam ientos : 10 m. hacia el Noreste;

20m. hacia el este 30° Norte ; 35m. hacia el Sur.

7. D o s fuerzas de m agnitudes 8 y 10 kg. actúan sob re una partícula a un ángulo

de 45°. Hallar la dirección y la magnitud de la resultante.

8. D ad o el sigu iente sistem a de fue rzas : F, de 70 kg. que actúa de A (2 , 3) a

B (5 , -1) y F2 de 357 kg. que actúa de C (3 , -9) a D(-5 , 6). Hallar la resultante R

del sistem a y el trabajo realizado por R al desp lazarse de P(5 , -1) a Q (9 , 1).

9. Un peso de 100 kg. esta su spend ido de una cuerda flexible de 5m. que a dos

soportes separados entre si 2m. Determ inar las fuerzas resultantes en cada

soporte si el sistem a coordenado se e scoge com o se muestra en la Figura

1.163.

10. Un peso de 250 kg. descan sa en un plano con inclinación de 30° relativa a la

horizontal (Figura 1.164). En él actúan una fuerza F, con una magnitud de 200

kg. que se dirige hacia arriba a lo largo de una recta que forma un ángulo de 20°

con el plano ; la fuerza gravitacional F 3 que actúa hacia abajo ; una fuerza de

124 Capítulo I: Vectores en el plano

reacción F2 que actúa perpendicularmente con respecto al plano y una fuerza

F4 que actúa hacia abajo en la dirección del plano inclinado. Hallar las fuerzas

F2 y f >

11. Un barril está sostenido sobre un plano inclinado O P por la fuerza F, que actúa

paralelamente al plano y por otra fuerza F2 que actúa perpendicularmente a él

(Figura 1.165). S i el peso W del barril e s de 300 kg. y el plano forma un ángulo

de 30° con la horizontal, hallar I F. ¡ | y 11 F 2 11.

12. Un cuerpo de 540 kg. de peso está su spend ido com o se indica en la Figura

1.166. Determinar la tensión en cada una de las cuerdas C A y C B , si a = 30°.

13. S e levanta un cuerpo de 200 kg. de peso a velocidad constante , com o se indica

en la Figura 1.167. Determinar cada una de las fuerzas ejercidas sobre el punto

C , si a = 30° y p = 45°

14. Un peso de 100 kg. está suspendido de alam bres com o se indica en la Figura

1.168. La distancia A B es 20 pies . A C mide 1 0 pies y C B = \ 3 pies. Q ué fuerzas

ejercen A C y B C sobre el nudo C ?

FIGURA 1.166 FIGURA 1.167 FIGURA 1.168

R E C T A S E l i

C l P I M I O

2.1 J R EC T A Q UE P A SA PO R D O S P U N T O S

Al hacer el estudio de puntos del plano y su relación con los vectores resulta

útil denotar al vector que va del origen a un punto A del plano mediante la letra

mayúscula A o m inúscula a, escritas en negrita.

E s bien conocido que dos puntos del plano definen una recta. Verem os

como se puede emplear este hecho para obtener la ecuación vectorial de una recta

'J . En la Figura 2.1 se muestra la recta r/ ‘ , que contiene a los puntos P^x, , y,) y

P ,(x ,, y , ) , junto con los vectores de posición P, = (x ( , y,) y P, = ( x , , y,). Nótese que

el vector a = P, - P, , tiene una representación geométrica que está sobre $ y que

por lo tanto e s paralelo a dicha recta.

r

V i ' i* T Í .

p \

>

k

V p.

7Y*--- - ► \O

vFIGURA 2.2

En la F igura 2.2 se muestra la m ism a configuración , excepto que se ha

añadido al punto genérico P (x , y) sobre la recta W y se ha trazado el vector

126 Capílulo 2: Recias en el plano

correspondiente P = (x , y). S i P está sob re W , el vector P - P, e s paralelo al vector

a = P . - P , , entonces podem os escribir

P P ^ t ^ - P . )

o bien

5 ’ : P = P 1 + t ( P 1 - P l) , t e R (1)

El escalar t e s llamado parámetro , por ello a esta ecuación se le llama , ecuación paramétrica vectorial ordinaria de la recta que pasa por P, y P r

E je m p lo 1 ) Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta 2? que pasa

por P,(-3 , 1) y P 2(1 , 4). T rácese un diagrama.

Solución. Un dibujo previo del ejercicio se muestra

en la Figura 2.3. Luego , si

P, = <*3 , 1) y Pj = (1 . 4)

=> P , - P , = <1 , 4 ) -< -3 , 1> = <4 , 3)

Por tanto , la ecuación paramétrica vectorial de & , según ( 1 ) e s

2 ?: P = (-3 , 1) + t (4 , 3 > , t e R ■

—

-3 0

-1 '

>FIGURA 2.3

| O B S E R V A C IO N 2.1 Ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta__________

S i se escribe la ecuación (1) en términos del parámetro t y

de las coordenadas de P ( y P. tenem os

& : (x , y) = ( x , , y,) + t ( ( x , , y,) - ( x , , y , ) )

= < x ,, y,> + t<x2- x , , y 2 -y,>

= <x, + t ( x , - x , ) , y, + t (y 2-y ,) )

Esta ecuación vectorial equivale a las ecuaciones

r x = x + t (x, ■ x )\

$ : { , 1 6 «

\L y = y, + t (y, - y,) J

(2)

E sta s ecuaciones reciben el nombre de sistem a de ecuaciones paramétricas carte­sianas de la recta que pasa por P, y P,

Ejemplo 2 J O b ten er e l s is te m a d e e c u a c io n e s p a ra m é tr ic a s c a r t e s ia n a s de

la recta que pasa por los puntos P,(-2 , 3) y P 2(5 , 1).

Sección 2.2: Segmentos de recta 127

Solución. S e g ú n la ecuación (2 ) : x = -2 + t (5 + 2) , y = 3 + t (1 - 3)

r x = -2 + 7 1 de donde ; ¿2? : 2t

son las ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta pedida.

( 2 .2 J S E G M E N T O S D E R E C T A

S i el conjunto de valores permitidos de t se restringe a un intervalo cerrado

[ a , b ] , entonces la gráfica de la ecuación (1) e s un segmento de recta. En particular

s i :

t = 0 <=> P (x , y) = P , (x , , y,)

t = 1 => P(x , y) = P ;( x , . y,)

Por tanto, com o se indica en el F igura 2.4 , a

medida que t recorre el intervalo [0 , 1 ] , el pun­

to P (x , y) recorre el segm ento de recta desde

P ,(x ,, y,) hasta P , (x , , y , ) , de m odo que el s e g ­

mento de recta P, P, queda definida por la e cua ­

ción

P,P: = { P € R : |P = P, + t ( P , - P i) , 0 < t < l } (3)

FIGURA 2.4Los dem ás puntos de la recta corresponden a

valores de t tales que , t < 0 y t > 1

Se puede emplear la ecuación (1 ) para calcular las coordenadas de un punto P que

está sobre el segm ento P (P. y que está a una distancia r dada de P, sobre la medida

del segm ento P , P , , esto es

P = P, + r (P , - P f) , 0< r< 1 (4)

Así , en la Figura 2.5 se observa que a medida que r crece de r = 0 a r = I , con

intervalos de longitud 1/5 , los puntos P = P, + r (P, - P :) se desp lazan de P, a P, con

la siguiente representación vectorial

A = P, + T ( P : - P . ) C = P, + y ( p , - P,)

b = p i + -t (p 1 - p i) d = p , + t <p . - p .)

128 Capítulo 2: Rectas en el plano

r = 0 r= 1/5 r = 2/5 r = 3/5 r«= 4/5 r = 1

\

V

P, A R C f) P.

FIGURA 2.5

De esta m anera se pueden ubicar puntos que dividen al segm ento [P ( , P ] en n

partes iguales.

E je m p lo 3 } Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del se g ­

mento de recta cuyos extremos son P,(-3 , 7) y P 2(4 , 1).

Solución. Su p on gam os que S y T sean los puntos de trisección del segm ento P,P„

y que P, - P, = <4, I) - <-3 , 7) = (7 , -6), entonces los vectores de posición

de los puntos de este segm ento*están representados por

r = 1/3 r = 2/3P = (-3 , 7) + r (7 , -6) , r e [0 , I ] o ■ -o o — o

P, S T P:

Para r = 1/3 ^ S = (-3 , 7) + y <7 , -6) = (-2/3 , 5>

y para r = 2/3 <=> T = (-3 , 7> + y < 7 , -6) = (5/3 , 3)

Por lo tanto , los puntos buscados son S(-2/3 , 5) y T(5/3 , 3) ■

E je m p lo 4 ^ Dem ostrar que los puntos ^ p ^ l p j y ^ l p i + £ p j

trisecan al segm ento P ,P 2.

Demostración. En efecto , por definición de segm ento de recta :

P^P: = { P = P i + r ( P ;- P i) | r e [ 0 1 1]} (1)

Su p ón ga se q u e : S = y P , + y P , y T “ y P , + y P ,

Luego , podem os e scrib ir:

S = p, + i - p ; - | p , => S = P 1 + 1 ( P , - P , ) , l s [0, I] (2)

T = p . + T P ; " f P , ~ t = P, + t (P ^ P , ) ' T 6 1 0 ’ 11 (3)

--^Entonces , por (1 ), S y T pertenecen al segm ento P,P,

Sección 2.3: División de un segmento en una razón dada 129

Adem ás de (2) : <7(P,, S) = 11S - P,11 = y 11 P, - P,3

d(Pt , T) = 11T - P,11 = y l l P j - P ,y de (3):

Por consiguiente , S y T trisecan al segm ento P,P,

y IIP, p,I

} IIP, - p,II

2.3 J D IV IS IO N DE UN S E G M E N T O EN U N A R A ZO N DADA

S e a P un punto cualquiera sobre una recta 2? que pasa por los puntos P, y

P. y que divide al segm ento P,P, en la razón m/n , esto es

P . P _ m P P, n

Entonces , la ecuación vectorial que define al punto P es :

P = (— ?— ) P, + (— !2L-) P, , m * - n \m + n/ 1 \m + n l 2 '

(1)

En efecto , de (1) : P, P = ( ™ ) P P , ■

= ( " ) ( P T P . - m

de donde : (m + n) P.P = m P,P, <=> (m + n) (P - P () = m (P. - P ()

t=> (m + n)P - (m + n)P, = m P , - m P ]

P = (— 2— ) P. + í - ^ 11- ) P, , m * - n \m + n/ 1 \m + n/ 1

O B S E R V A C IO N E S 2.2

1 . S i m y n tiene el m ism o s igno , e s decir ™ > 0 , entonces P e s interior al

(5)

segm ento P P,.

2. S i m y n tiene s ignos d iferentes, esto e s ™ < 0 , entonces el punto P es exterior

r130 Capítulo 2: Rectas en el plano

al segm ento P P, , y ocurre que :

a) S i I ^ I < 1 , entonces P estará m ás cerca de P,I n I 1

b) S i — > 1 , entonces P estará m ás cerca de P,l n i 2

Ejemplo 5 ^ D ado s los puntos P,(-3 , 3) y P 2(2 , 8) , hallar el punto P que

divide al segm ento P ,P ? en la razón 2 : 3

Solución. S i -^ = -r t=> m = 2 , n = 3 y m + n = 5

Com o la razón e s positiva , el punto P está en el inte­

rior del segm ento P,P,

Luego , según la ecuación (5 ): P = -| P, + -| P,

=> P = | (-3 . 3) + | <2 , 8> = <-1 . 5) P (-l , 5) I

Ejemplo 6 ^ D ado s los puntos P,(3 , -1) y P 2(1 , 2), hallar el punto P que

divide al segm ento P ,P 2 en la razón -3 : 2.

Solución. En este ca so : — = —• n 2

■=> m = -3 , n = 2 , m + n = -1

3Com o la razón e s negativa y |- — l > , entonces

el punto P e s exterior al segm ento P,P, y está m ás

cerca de P,. Luego, haciendo uso de la ecuación

(5):

p = ( ^ ) < 3 . - ¡ > + ( ^ ) ( ' , 2 >

= -2 < 3 , - I ) + 3(1 ,2 ) = (-3 , 8)

Por lo que el punto buscado e s : P(-3 , 8) ■

r

Yi kP q ----------»j \

1 \1 \1 \1 \

■

1 \1 \1 “ 1 J

1 I 1

i \i \

3 O ) 1 i V ) ^ x

p,v

FIGURA 2.7

Sección 2.3: División de un segmento en una razón dada 131

E jem p lo 7 J Se an los puntos P,(-2, 4) y P 2(2 , 6), hallar las coordenadas del

punto P que divide al segmento P ,P2 en la razón dada 3 : (-5)

Solución. S i >=> m = 3 , n = -5 y m + n = - 2

, I 3 IComo la razón e s negativa y | - - j j < 1 , el punto P

es exterior al segm ento P, P, y está m ás cerca de P,.

P = + {— — )P , = - ( - 2 , 4 ) + — (2 , 6)'m + n ' 1 'm + n ' * -2 -2

= 5<-l , 2 ) - 3 (1 ,3)

= (-8 , 1 ) ■

Ejemplo 8 } Un triángulo tiene por vértices A(-2 , -3), B(2 , 8) y C (5 , 2). Por

el punto D(16/5 , 28/5) que pertenece al lado B C se traza una

paralela a A B que corta al lado A C en el punto E. Hallar las coordenadas de E.

Solución. Su p ó n g a se que : ™

c=> n (D - B) = m (C - D)

<=* n (6/5 , - 12/5) = m (9/5 , - 18/5)

de donde : 6n (1 , -2) = 9m (1 , -2) «=> - ^ = y

Com o D É 11 B A , entonces E divide a A C en la m ism a

razón , esto e s , A E : E C = 2 : 3 ■=> m = 2 y n = 3

Luego , haciendo u so de la ecuación (5) se tiene :

c t n \ a m \ r* _ 3 / -> _ a\ . 2 /c t \ _ /

EJERCICIO S : Grupo 15

1. Hallar la ecuación paramétrica vectorial y el sistem a de ecuaciones paramétri-

ca s cartesianas de la recta que contiene a los puntos dados P, y P 2.

a) P, (4 , - 2) , P 2 (4 , 3) b) P, (-7 , 2) , P 2 (-3 , -1)

132 Capítulo 2: Rectas en el plano

2. Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del segm ento cuyo s extre­

m os son los puntos dados P, y P ?.

a) P, (-3 , 6) , P2 (12 , -15) b) P, (-3 , 7) , P 2 ( 4 , 1 )

3. Hallar la ecuación vectorial del segm ento que une a P,(2 , 5) con el punto medio

del segm ento cuyo s extremos son A(5 , 1) y B(7 -3)

4. Hallar la ecuación vectorial del segm ento que une el punto medio del segm ento

de extremos A (-5 , 2) y B(1 , 6) con el punto que está a 1/3 de la distancia que

separa a R(-2 , 6) y T(1 , 9).

5. Obtener la ecuación paramétrica vectorial del segm ento que une al punto que

está a 2/3 de la distancia que separa a los puntos A (8 , -2) y B (2 ,7 ) con el punto

que está a una cuarta parte de la distancia que separa a los puntos C(1 , 6) y

D(9 , 10).

6. Dem ostrar que las coordenadas (x , y) y ( x * , y ’) de los puntos que trisecan el

segm ento de extremos P,(x, , y,) y P 2(x2 , y 2) están dadas p o r :

x = ^ - ( 2x, + x2) , y = - i ( 2y, + y2) ; x ’ = -^ (x , + 2 x2) , y ’ = -|-(yl + 2 y2)

7. D a d o s los puntos P,(-3 , 8) y P 2( 12 , -32) , hallar los puntos que dividen al

segm ento P tP 2 en cinco partes iguales.

8. Se an los puntos P,(3 , -2) y P 2(-7 . 8), hallar el punto P que divide al segm ento

P ,P 2 la razón 2 : 3.

9. D ado s los puntos P , ( -7 , 6) y P 2(1 , 5 ), hallar el punto P que divide al segm ento

P,P, en la razón (-2): 1.

10. S i P,(2 , -3) y P ?(5 , -7) , hallar las coo rdenada s del punto P que divide al

segm ento P,P. en la razón 3 : (-4).

11. El segm ento de extremos A ( - 2 , -4) y B(1 .0) e s dividido por P y Q en las razones

(-3): 2 y (-2): 3 respectivamente. Hallar la norma de PQ.

12. Un triángulo tiene por vértices A(-1 , -3) , B (3 , 5) y C (5 , -1). Po r el punto

E (1 5/4 ,11/4) del lado B C se traza una paralela a A C que corta al lado A B en el

punto D. Hallar las coordenadas del punto D.

13. Lo s vértices de un cuadrilátero son A(-4 , 6) , B(-2 , -1) , C (8 , 0) y D (6 ,11).

Hallar la razón m : n = B P : P D en que la diagonal A C divide a B D , donde P es

el punto de intersección de las diagonales.

14. Se a n A(-2 , 5) y B(1 , -2) los extremos del segm ento A B y P(x , y) un punto que

resulta de prolongar A B por B. S i B P = 4 A B , hallar las coordenadas de P.

Sección 2.4: Puntos que están sobre una recta 133

15. En un triángulo A B C , el punto P(4/5 , 5) d iv ide al se gm e n to A B en la razón

A P : P B = 2 : 3. El punto Q (27/5 , 22/5) divide al se gm e n to B C en la razón

B Q : Q C = 2 : 3. El punto R(14/5 , 3/5) divide al se gm en to A C en la razón

A R : R C = 3 : 2. Hallar lo s vértices del triángulo.

16. D o s vértices de un triángulo A B C son A(2 ,1 ) y B(5 , 3). Hallar las coordenadas

del tercer vértice C si la intersección de las m edianas e s G (3 . 4).

¿ 2.4 J PU N T O S Q UE EST A N S O B R E U N A R EC T A _____________

En la Sección 2.1 se vió que la ecuación vectorial , o que el sistem a de

ecuaciones paramétricas cartesianas , de una recta W queda determinada si se

conocen las coordenadas de dos puntos de r£. E sta s ecuaciones también se pueden

determinar si se conocen un punto de c£ y un vector de dirección de 7:

Efectivamente , considerem os la recta

que pasa por el punto P^x, , y,) y que e s paralela

al vector no nulo a = (h , k ) , (Figura 2.10). A h o ra ,

sabem os que un punto cualquiera P(x , y) está

sobre SB si y sólo si el vector P - P, e s paralelo al

vector a , esto es ,

P - P. = t a

o bien

? = { P(x , y) e R 21 P = P, + t a } (6) FIGURA 2.10

La ecuación (6) recibe el nombre de ecuación vectorial ordinaria de la recta que

pasa por P, y e s paralela al vector a. Dado que la ecuación (6) se puede escribir en

la forma

& : (x , y) = <x, , y ,)+ t(h , k>

el sistem a de ecuaciones paramétricas cartesianas correspondientes para </' e s

x = x. + t h

k

r X = X. + tf : S '

1 y = y, + 1te R (7)

Ejemplo 1 J Hallar la ecuación vectorial y el sistem a de ecuaciones para-

métricas cartesianas de la recta que p asa por P,(2 , 4) y es

134 Capítulo 2: Rectas en el plano

paralela al vector que va de S (3 , -1) a T (-1 , 4). Determ inar si el punto A(1 , 5) está

sobre dicha recta.

Solución. S e a ST la representación geométrica

del vector a. Esto e s , s i :

a = S T «=> a = T - S = (-I , 4) - (3 , -1) = (-4 , 5>

Luego , según (6), la ecuación vectorial de la rec­

ta es

$ : P = (2 , 4) + t<-4 , 5> , t e R

r X = 2 - 4t y por (7 ). X-. { . l e R

l- y = 4 + 5t

S i A (1 , 5) € % => 3 ! t € R I A = (2 , 4) + t (-4 , 5>

/. r 1 = 2 - 4 1 «=> t = 1/4<=> ( I , 5) = <2 - 4 t , 4 + 5 t) <=>

l 5 = 4 + 5 t => l = 1/5

Por lo tanto , com o el valor de t no es único , A e % ■

Existe otra manera m ás sencilla para llegar a esta conclusión y que con­

siste en la aplicación del corolario del siguiente teorema.

TEOREMA 2.1 S i & e s una recta que p a sa por el punto P, y e s paralela al

vector a , entonces , s i :

P ,e St (P, - P,) I ! a' ------------ !_________________________________________________________________________ /

Demostración. En efecto , si f£ tiene por ecuación vectorial

% : P = P, + t a , l e R , entonces

P, e 5? <=> P. = P, + t a , para algún t e R

^ P, - P, = t a <=> (P, - P,) 11 a

Coro la rio . S i X e s la recta que pasa por el punto P, y paralela al vector a, entonces:

P ,e J2? <=> (P ,- P.) • ax = 0

Efectivamente , por el Teorem a 2.1 , P, e % « ( P , - P , ) l l a y por el Teorem a 1.8:

(P, - P,) 11 a <=> (P, - P () • ax = 0

C jom p lo 2 ) Determinar si los puntos S (8 , 5) y T(-2 , 2) están sobre la recta

« . r x = 4 + 2 t

y = -1 + 3 tte R

Solución. Por simple inspección. 2 ' : (x , y) = <4 + 2 1 , - 1 + 3 1)

= <4 , - 1 > + t (2 , 3>

Sección 2.4: Puntos que están sobre una recta 135

Luego , la recta ¡B pasa por P,(4 , -1) y e s paralela al vector a = (2 , 3>

Para el punto S : S - P, = (8 , 5) - (4 , -1) = .(4 , 6)

■=> (S - P ^ • a 1 = (4 , 6> *(-3 , 2> = -12 + 12 = 0

Por lo tanto , (S - P,) 11 a y entonces el punto S está sobre la recta f£.Para el punto T : T - P, = (-2 f 2) - (4 , -1) = (-6 , 3)

= * (T - P ) • a 1 = (-6 , 3) • <-3 , 2) = 18 + 6 = 24 * 0

Por lo tanto , (T - P,) Jf a , y entonces el punto T no está sobre la recta 7'. ■

El resultado expresado en el corolario del Teorem a 2.1 se puede utilizar para

obtener un sencillo criterio que se enuncia a continuación.

Definición 2.1 Ecuación normal de una recta

S i a es el vector de dirección de una recta r/ ‘ que contiene al

punto P, , entonces un punto P(.\ , y) está sobre si y sólo si

$ : n • (P - P.) = 0 (8)

donde n = a 1 e s el vector normal de 7'. E sta expresión se conoce com o la

ecuación normal de la recta %.^ ----------- I--------------------------------------- >

E jem p lo 3 I Hallar la ecuación normal de la recta 9- : /-------------------------* \ y = 2 - 4 1

Solución. La ecuación vectorial de la recta dada es , 7 : P = (1 ,2 ) + 1 (3 , -4), t e R

S i a = <3 , -4) 11 Sí' ■=> a 1 = n = (4 , 3> e s el vector normal a 5?

Luego , según (8) , 5 ? : <4, 3) • ( <x , y> - <1 , 2 ))

o & : <4 , 3> • <x - 1 , y - 2) ■

E jem p lo 4 J Una recta 2' p a sa por el punto A (3k , k - 2) y e s ortogonal al

vector v = (3/k , 3 > , k * 0 ; hallar los valores de k tales que el

punto B(5k , k2 - 6) esté sobre

Solución. S e a n = v el vector normal de 2?, entonces si

B e r£ (B - A) • n = 0 (Def. 2.1)

Luego , <2 k , k : - k - 4) • (3/k , 3) = 0 o k:’ - k - 2 = 0 » k = - l o k = 2 ■

| O B S E R V A C IO N 2.3 S i el vector de dirección a , en la ecuación 7‘ : P = P, + 1 a es

un vector unitario , entonces para cualquier punto P sobre la

136 Capítulo 2: Rectos en e l plano

gráfica de % , 111 e s la distancia que separa P, de C P (Figura 2.12)

En e fe cto :

</(P1 , P ) = l | P - P 1ll = II t a II = l t l l l a l l

y com o 11 a 11 = 1 ■=> d(Pt , P) = 11 1

F IGURA 2.12

E je m p lo 5 J Dada la recta V : P = (-1 , 6) + t (1 , 4 ), obtener las coordena­

das de los puntos de CJ que están a 2\Y7 unidades de distan­

cia del punto S(1 , 14).

Solución. En primer lugar veam os de S(l , 14) está sobre c£.Efectivamente , S - P, = <1 , 14) - <-1 ,-6> = <2 , 8)

«=* (S - P,) • a 1 = (2 , 8) • (-4 , 1 ) = -8 + 8 = 0 . Luego , el punto S está sobre rJ:.

O 4)Ahora , un vector unitario en la dirección de a e s , u = x ’

V17

Com o S € 2', otra ecuación de W e s P = <1 , 14) + t / - J — , - 4 = \' V 17 \ 1 7 '

S e desea hallar las coordenadas de los puntos P(x , y) tales que

It l = 2 \T7 « t = 2 V Í7 O t = -2 VF7

Para t = 2 V17 t=> (x, , y,) = (1 , 14) + 2 V i7 {^7= » = ^

Para t = -2\V7 => <x,,y!) = <l , I4>-2\Í7(-J_ , 4=) = (-1,6)Por lo tanto , P,(3 , 22) y P,(-l , 6) son los puntos buscados. ,, ■

EJERCICIO S : Grupo 16

En los ejercicios 1 - 3 , diga si el punto S está o no sobre la recta 7' cuya

ecuación paramétrica vectorial se da.

1. S ( 2 , - 1 ) , P = (1 ,2 ) + t(-1 ,3 ) . te R

2 . S (3 , 2 ) , £ : P = (1 , 1) + 1 (2 . -3 ), t e R

3. S(-1 . 1 ), SB : P = <-2 . -3> + 1 <1 , 4> . t e R

Sección 2.5: Pendiente de una recta 137

En los ejercicios 4 - 7 , identificar cada uno de los conjuntos en R : dado.

4. {(x , y) I x = 2 t + 1 , y = -3t + 4 , t e R } 6. {(x , y) I (-2 , 1) * (x + 3 , y - 4) = 0 }

5. {(x , y) |(1 , 2) + t (1 , 1), t € [ 0 , 1 ] } 7. {(x , y) I <-1 , -5) • <x - 2 , y) = 0}

8. Hallar la ecuación normal de las rectas

r x = 3 1 c x = -1 + 2 ta) !B : J , t e R b) c£ : J , t e R

y = 1 + 5 t * - y = -3t

En los ejercicios 9 - 1 1 , determinar si las ecuaciones vectoriales dadas corres­

ponden a la m ism a recta o no.

9. P = (2 , 1) + t (3 , -1 ), t e R ; P = <2 , 1) + t <-3 , 1), t e R

10. P = (-1 , -2) + t (-2 , 4 ), t e R ; P = <1 , 0) + t <1 , -2) , t e R

11. P = < 2 ,3 ) + t<-1 , 2 ) , te R ; P = <1 , 5) + t <2 , -4 ) , t e R

12. Una recta rf p a sa por el punto A(2 k -1 ,3) y e s ortogonal al vector v = (2, k + 2);

hallar los valores de k tales que B(7 k , k - 2) esté sobre T.

13. Una recta r£ p a sa por el punto S (2 k , 3) y e s paralela al vector v = (3 , - 4/k),

k * 0 ; "hallar los valores de k tales que el punto 24) pertenezca a J2?.

En los ejercicios 1 4 - 1 5 , hallar las coordenadas de los puntos P, y P, que están

sobre la recta cuya ecuación paramétrica vectorial se da y que están a la distan­

cia dada del punto S dado.

14. Sobre V : P = (4 , -2) + t (1 , 1 ), t e R ; 3 \2 unidades de S (4 , -2)

15. Sobre ÍC : P = (-3 , 2) + 1 <2 , -1 ), t € R ; 2 \5 unidades de S(1 , 0)

2.5 J P E N D IE N T E DE U N A R EC T A

Matemáticamente sabem os que el cociente de la altura y la base de un

segmento recibe el nombre de pendiente del segmento. S i designam os esta pendien­

te por m , se tendrá entonces que

m = 5«ura base

S i a = (h , k) e s el vector de dirección de una recta 5P que contiene al punto

P,(x, , y , ) , entonces C1 tiene por ecuación vectorial

V : P = P, + t <h , k) , t e R

Si se le a signa a t el valor de I , vem os que las coordenadas de otro punto P ,(x ,, y,)

138 Capítulo 2: Rectas en el plano

que está sobre & se puede calcular sum ando h y

k a las coordenadas respectivas de P , , esto es

x, = x, + h , y, = y, + k

Por lo tanto , x, - x, = h y y, - y, = k son la base y

altura del segm ento P , P , , y si h * 0 , entonces

e s la pendiente de P,P, y de la recta que lo con­

tiene. (Figura 2.13)

Definición 2.2 Pendiente de una recta

S i 7 e s una recta tal que uno de s u s vectores de dirección e s

(h , k> con h * 0 , entonces la pendiente m de la recta X está dada por

km =h

V.D e esta definición podem os afirmar que si m e s la pendiente de una recta

¿2? si y só lo si (1 , m ) , o bien (1 , k/h), e s un vector de dirección de T. Esto indica que

la ecuación (6) se puede escribir de la forma

W ; p = P i + i <i . m) , t e R (9)

E je m p lo 1 } Ca lcu la r la pendiente de la recta 5? que p a sa por los puntos

P,(5 , 3) y P 2(2 , -6) , y obtener la ecuación paramétrica vecto­

rial de la forma de la ecuación (9) que describa esta recta.

Solución. El vector de dirección de la recta buscada es

a = P ; - P, = (2 , -6) - (5 , 3) = (-3 , -9)

Luego , por la Definición 2.2 : m = = 3

Com o P,(5 , 3) e S ' , entonces una ecuación paramétrica vectorial de 2' e s

<2?: P = <5 , 3 > + t ( l ,3 ) , te R ■

I O B S E R V A C IO N E S 2.4

a) Puesto que un vector de dirección de la recta que pasa por P , (x , , y,) y P,(x; , y,)

e s

Sección 2.5: Pendiente de una recta 139

a = P, - P, = <x2 - x , , y, *y,>

se sigue que de la Definición 2.2 , si x, , entonces la pendiente de la recta c£ está dada p o r :

b) S e dice que una recta con un vector de dirección de la forma (h , 0), e s una recta

horizontal (paralela al eje X) y su pendiente e s : m = — = 0h

c) S i una recta tiene un vector de dirección de la forma <0 , k ) , se dice que la recta

es vertical (paralela al eje Y ) , y su pendiente m = -jy no está definida.

Definición 2.3 Rectas paralelas

D o s rectas en el p lano , % x : P = P, + t a , t e R y :

P = P, + s b , s e R , so n p a ra le la s s i y só lo s i s u s ve c to re s de d irección

son paralelos ; esto es

7 \ 11 (¡Pz <=> a 11 b

E jem p lo 2 J Determ inar si la recta 2?, que p a sa por P,(3 , 5) y P 2(2 , 8) e s

paralela a la recta 5?2 que p a sa por Q ,(-1 , 9) y Q 2(7 , -15).

Obtener la ecuación vectorial de cada una.

Solución. El vector de dirección de la recta cí\ e s

a = P, - P, = (2 , 8> - (3 , 5) = (-1 , 3>

y el de es : b = Q, - Q, = (7 , -15> - (-1 , 9> = (8 , -24> = -8 <-1 , 3>

Obsérvese que b = r a => b 11 a , por tanto : c£ x 11.2?,

P, e <5?, => .2?,: P = <3 , 5) + t (-1 , 3) , t e R

Q ,e & 2 => # , : P = <-1 ,9 ) + s< -l ,3 ) , s e R ■

TEOREMA 2.2 S i .5?, : P = P, + t a , t € R y .5?, : P = P, + s b , s e R , entonces:

= íí\ <=> a 11 b

Demostración. (=>) Probarem os que si 7\ = 3?, o a 11 b

En e fecto :

Se a Q e 2? , ; tal que Q * P,

140 Capítulo 2: Rectas en el plano

Com o 2?, = SP2 <=> Q e & 2 , y por el Teorem a 2.1 :

Q e £ x <=> ( Q - P , ) l la

Q e X 2 « (Q - P,) 11 b

En consecuencia , por transitividad : a 11 b

(<=) Ahora probarem os que si a b «=> .2?, = .2?,

En efecto , siendo Q e .2?, <=> (Q - P.) 11 aii Y = * Q e %■

<=> ( Q - P . ) l l b J

Por tanto , & x = S&2

. s.TEOREMA 2.3 S i : P = P, + ta , t e R y «2?2 : P = P 2 + s a , s e R : entonces

P ,e .2?. o 5?, =\_________________________ :___ !_____ !____:_______________________ /

Demostración.

(■=>) Probarem os que si P, e J5?, o % x = .5?,

En efecto , en el Ejemplo 3 de la Secc ión 1.7 , dem ostram os que si

D = B + C y B 11 A => D 11 A <=> C 11 A (1)

Luego , partiendo de la siguiente identidad

P P, = (P 2 " P |) + ( P - P , )

D B C

y com o por hipótesis P, e r£ => (P, - P,) 11 a , por ( 1 ) implica que

(P - P,) 11 a » (P - P,) 11 a (2)

Ahora , si P e .2?, ( P - P , ) l ia , y por (2)

<=> (P - P,) 11 a => p € á ?2

En consecuencia : <2?, = 5?,

(*=>) S i $ . = $ 2 => P, e £ . . Trivial ■

TEOREMA 2.4 Se a n las rectas 2', : P = P ( + t a , t e R y 2?, : P = P 2 + s b , s

e R , entonces : f£ x = 2*, <=> P 2 e 2', y a : b

Demostración.

( <=$ ) P robarem os que si SPX = f , => P . e l ' , y a I b

En efecto , si .2?, = 2 \ y dado que P, e .2?, <=> P, e £PX (Teor. 2.3)

Sección 2.5: Pendiente de una recta

I

141

Luego , la ecuación de S¡PX se puede e sc rib ir, & x : P = P 2 + t a , t e R y s i

com param os con la ecuación de J ? , : P = P, + s b , s e R , y aplicando el

Teorem a 2.2 , llegam os a la conclusión de que a ! I b.

(<=■) P robarem os que si P, e ,2?, y a 11 b ■=> 2?, = .2?,

En efecto , P. e .2?, y el Teorem a 2.3 implican que <#x : P = P2 + t a , t e R

Com parando esta ecuación con la de J2?,: P = P, + s b , u sando el Teorem a 2.2

y el hecho de que a 11 b , obtenem os : 9! x- f £ , ■

C jcm p lo 3 ) S i r£ x contienen al punto P,(1 , -5 ), .2?2 contiene a P,(-2 , -3) y 2?

y 2'2 tienen am bas al vector a = ( 3 , 2 ) com o vector de dirección.

Coinciden am bas rectas?

Solución. S i SBX y tienen el m ism o vector de dirección entonces son paralelas.

Coinciderán si y sólo si P, y P. están sobre am bas rectas ; esto es

# , = .% , si (P2 - P,) II a (P : - P , ) - a x = 0

Entonces : ((-2 , -3) - (1 , -5» • (-2 , 3> = (-3 , 2> • (-2, 3> = 12 * 0

Por lo tanto , 2?, y .2?, no coinciden , e s d e c ir , .2? * Z&2 ■

C jem p lo 4 J Determ inar la pendiente de las siguientes rectas paralelas

<£y : P = ( x , , x2) + 1 (2 , b ) , t e R , b > 0 ;

5?2 : (3 , -2b )* [P - (-1 , 5)] = 0

Solución. S i a, = <2 , b) e s el vector de dirección de (3 X ■=> m = -y

n = (3 , -2b) e s el vector normal de 5?,.

S \ y t 11 &2 = * a, • n = 0 <=> (2 , b) • (3 , -2b) = 0

c=> 6 - 2b: = 0 <=> b = V3 ó b = -V3

Por definición de S£x , e legim os b = V3

En consecuencia , la pendiente de las rectas 2?, y & 2 e s , m = V3/2 ■

E je m p lo 5 J Determ inar el valor de m + n para que las rectas

^ ^ ^ 0) + t ( m , 1)1 te R } y 2?z = {(1/m , 0) + s ( -2 , n)| s e R }

sean coincidentes.

Solución. Por el Teorem a 2.4 , si & x = <2?, <=> P, e .2?, y a, lia .

S i P, e <£x <=> (P, - P,) • a x = 0 (Corolario del Teorem a 2.1)

142 Capífulo 2: Rectas en el plano

=> « I/m , 0) * <2 , 0» • (-1 , m) = 0 <=> - 2 , 0>* <-1 , m) «=> m = 1/2

S i a, ' I a, => a, • a ,-1 = 0 «=> <m , 1) • <-n , -2) = 0

<=> -m n - 2 = 0 , de donde n = - 4

m + n = - 7/2

Ejemplo 6 ] D ada s las rectas SPy = {<x + 1 , 4x - 1 ) + t(x2 + x , -3x2 - 2 x + 1)}

y í£2 = {<2x + 2 , -2x + 1 > + s <-2x2 , 2 x 2 + 2 x ) } . Hallar x € R tal

que 2', y Sf2 no sean coincidentes.

Solución. Se a n at = (x: + x , - 3x*' - 2x + 1) y a, = ( -2 x *, 2x + 2x) los vectores de

dirección no nulos de y 2>

S i a , * 0 <=> (x(x + l ) , ( - 3 x + l ) ( x + 1 )> * ( 0 , 0 ) , implica que : x * - l

a, * 0 <=> <-2x : , 2x ( x + 1)> * < 0 , 0>, implica que : x * 0O sea , no existen 7\ y 2*, para x = -1 y x = 0 Su p on gam os que ¿2?, y St\ sean coincidentes , esto e s ,

<¡ex = .2?, <=> P ( € S f\ y a, II a 2

(P, - P,) • a,x = 0 a a, • a / = 0

S i (P. - P,) • a,x = 0 => (x + 1 , -6x + 2) • (-2x 2 - 2x , -2x2> = 0

de donde : x (x - 1) (5x + 1) = 0 ; com o x * 0 x = l ó x = -1/5

S i a, • a,x = 0 =* <x(x + l ) , ( - 3 x + l ) ( x + l))*< -2x ( x + 1) , -2x 2) = 0 de donde obtenem os : 4x 2 (x + 1 ) (x - 1) = 0 ; com o x * 0 y x * -1 ^ x = l

Luego , (x = 1 ó x = - 1/5) a (x = 1) <=> x = 1

Por lo que , .2? y ,2', son coincidentes si x = 1

En consecuencia , y .2-, son no coincidentes si x e R - {-1 , 0 , 1} H

E je m p lo 7 J Hallar la ecuación normal de la recta SB cuyos puntos equidis­

tan de las rectas 5?, = {(0 , 1 ) + 1 (4 ,2 ) , t € R } y SP2 = {(0 , -5) +

r (4 , 2 ), r e R}.

Solución. O b sé rve se que a, = a, = 2 <2 , 1)

Luego , si a e s el vector de dirección de 7' <=> a = (2 , 1 >

Com o S£ e s la paralela media de 2? y 2?,, y si P, € 2?, , P, e 2?, y Q e 2 '

•=> o = y (P, + P :) = y 1(0 » 1) + (0 , -5)] = (0 , -2)

Por lo que , la ecuación normal de la recta buscada e s SB : a x • (P - Q) = 0

J2? : (-1 , 2) • (P - (0 , -2» = 0 ■

Sección 2.5: Pendiente de una recta 143

E jem p lo 8 j Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones

1. Existe por lo m enos un k e R tal que «2?, = {(2 ,3) + t (6 k , j - 3 k)} se a paralela

a la recta SP2 : x = 0

2. Si Y a>, = « 3 , - 1 ) + s < - 2 , 2 » => 2 , = 2 ,

3. Existe por lo m enos u n k e R para que S¡C\ = {{1 , 2) + r(k , 3 )} y

Sí\ = {(7 , 5) + s <1 , - Tj-k)} son paralelas.

4. Se a SBy - {P, + 1 a } un recta no vertical. S i Q, g f , y SB2 = {Q , + s a } , entonces

2?, fl SB2 * 0

Solución.1. Dado que «2?, e s una recta vertical , entonces para que .2?, se a paralela a .2?, es

necesario que <2?, se a vertica l, esto es

<6 k, 4 - - 3k) II <0, 1) <=> <6 k , -j - 3 k ) • (-1 , 0) = 0 , de donde : k = 0 e R

Luego , la afirmación e s verdadera

2. Si i2P, = {(1 , l) + t(l .-1 )} y SBZ = {(3 , -1) + s<-2 , 2 » .en tonce s

SBx = se, « (P, - P,) • a ,-1 = 0 y a,||a,

<=> (2 , -2) • (1 , 1> = 2 - 2 = 0 y a, = -2(1 , - 1> = r a, => a 211 a,

Se cumplen am bas condiciones , luego la afirmación e s verdadera.

3. Si II .2?, <=> m, = m , e s d e c ir : • ¿ - = - 4 - k < = > k : = - 6 = ^ é k e RK L

Por lo que 2?, |f ,2'2 ; luego , la afirmación e s falsa.

4. Com o Q, e 2-, , las rectas dadas son paralelas y no coincidentes.

Luego , .2?, D SB, - 0 , por lo que la afirmación e s falsa. ■

E jem p lo 9 ) Se a n los conjuntos : SBy = {P = <-2 + 3 1 , 3 - 1) 11 e R } y

SB2 = {(1 , 3) • (P - <1 , 2 » = 0 I P e R 2} Dem ostrar que SBy y 2'2representan rectas y que SBy = SB2

Demostración. En efecto , el conjunto SBX se puede escribir de la forma

2? : P = <-2 , 3) + t (3 , - 1), l e R , que por definición e s una recta que

pasa por P ((-2 , 3) y cuyo vector de dirección es a = <3 , - 1 )

El conjunto (J\ e s la forma normal de la ecuación de una recta cuyo punto de paso es

P,(l , 2) y cuyo vector de dirección es

b = <l ,3 >-l = ( - 3 , I) => .2?,: P = (1 , 2) + s(-3 , 1), s € R

144 Capítulo 2: Rectas en el plano

O bsé rve se que a = -b , esto es , á?, 11 2?,Ahora debem os verificar que P, 6 y P, e •#,

En efecto , si P, € <=> (P, - P,) * n, = <3 , - 1) • (1 , 3) = 3 - 3 = 0

Entonces , (P, - P,) 11 b , luego P , 6 f J t o sea que .2?, c

S i P e <=> (P, - P ;) • n, = <-3 , 1> • <1 , 3> = -3 + 3 = 0

Entonces . (P, - P,) l i a . luego P, e , o sea : ^ c ^ ,

En consecuencia , si rl \ y c 5?, => 5?, = í?, ' '■ *

--- -------- ---------------- ----- -----\Definición 2.4 Rectas ortogonales__________________________________________ _ j

D o s rectas en el plano SPt : P = P, + t a , t e R

y CJ P = Q, + r b , r e R , se dice que son ortogonales si y só lo si s u s vectores

de dirección son ortogonales. Esto es

ÍJ\ i ^ , « a i b

l___________________ _________ ____________________ ' - ; ^ ]S i m, y m ,son las pendientes de 2\ y , entonces s u s vectores de dirección

tienen la forma , a, = <1 , m,) y a, = (1 , m ;) . Luego , si

a, 1 a, «• (1 , m,) • <1 , m,> = 0 » l + m, m, = 0

de donde : m, = - ¿ - ó m : = - ^

Entonces , dos rectas no verticales son perpendiculares si y só lo s i , la pendiente j

de una e s el negativo del recíproco de la pendiente de la otra.

^ E j e m p lo 1 0 ^ Dem ostrar que la recta r£ y que contiene a los puntos Q(-1 , -2)

y R(2 , 2) e s perpendicular a la recta $ 2 que contiene a los

puntos S(-5 , 7) y T (3 , 1).

Demostración. En efecto , sea a, el vector de dirección de 3?,, entonces

a, = Q R = R - Q = (2 , 2) - (-1 , -2) = <3 , 4)

S e a a, el vector de dirección de 3 ?,, entonces

a, = S T = T - S = <3 , 1) - (*5 , 7) = <8 , -6>

Puesto que , a, • a, = <3, 4) • <8 , -6> = 2 4 -2 4 = 0 => a, l a , ~ 3?, 1 3?, ■

E je m p lo 1 1 Sean las rectas : P = P, + 1 a , t e R y 7'2 :P - P 2 + r b , r e R,,

donde a = (4 - k , k + 3 ) y b = ( k - 3 , k + 2 ) . S i ^ , 1 7 2 y si

Sección 2.5: Pendiente de una recta 145

v = a - ^ b ; hallar la norma de v.

Solución. S i 2 \ 1 3?, o a • b = 0 <=> (4 - k , k + 3) • (k - 3 , k + 2) = 0

<=* (4 - k) (k - 3) + (k + 3) (k + 2) = 0

de donde obtenem os , k = 1/2 . Luego : a = ^4 - J- , - i + 3^ = -y <1 , 1)

b = < I ' 3 ' í +2> = l < ' 1’ 1>

Por lo que : v = a * y b = y ( l , !)• y { - | , I ) = <7 , 0) «=> ||v|| = 7 ■

E jem p lo 1 2 ] Hallar la ecuación vectorial de la mediatriz del segm ento

R S - {<-1 , 3) + 1 <6 , -2 ), t e [0 ,1 ]}

Solución. C om o el punto P t b iseca al segm ento R S

=> P, = <-1 » 3) + - y <6 , -2) = (2 , 2)El vector de dirección de R S es :

b = (6 , -2) = 2 <3 , - 1)

La mediatriz 3? 1 R S <=> a = b 1 = (1 , 3)

Por lo tanto , su ecuación vectorial e s

3 ?: P = (2 , 2) + t(l , 3 ), t € R

E jem p lo 1 3 J Hallar la ecuación de la recta c£ que p asa por el baricentro del

triángulo de vértices A(-2 , 3 ), B (7 , 4) y C (4 , -1) y e s perpendi­

cular de la recta .5?, = {P , + s(-1 , -2) I s e R }. En qué punto intercepta 3? al eje X ?

Solución. En la Figura 2 .15, B D e s una mediana

del triángulo A B C , en donde

D = I ( A + C ) = Í < 2 , 2 > = <1 , I)

Si D G = t D B t=> G = D + t (B - D)

es la representación vectorial del baricentro.

Para t = 1/3 (propiedad de las m edianas) tendre­

mos que. G = ( l , 1 > + 1 < 6 ,3 > = (3 ,2> => G(3 , 2)

Si 3* 1 i?, <=> a 1 b ■=> a = (-l , -2>x = (2 , - I)

Por lo tanto , la ecuación vectorial de la recta buscada es

146 Capítulo 2: Rectas en el plano

& : P = (3 ,2 ) + 1 (2 , - I ) , t e R

Ahora , com o : <x , y ) = (3 + 2 1 , 2 - 1 ), si y = 0 => 2 - 1 = 0 c=> t = 2

y para t = 2 , se tiene : x = 3 + 2(2) = 7 = > X - in t e r s e c c ió n = (7 ,0 )

Ejemplo 14 J Los puntos P( 12 , 3) y Q (4 , 9) son d o s vértices de un cuadrado

P Q R S y también de un triángulo equilátero P Q T , tal como se

muestra en la Figura 2.16. Hallar la ecuación vectorial de la recta RT.

Solución. El problema se reduce a calcular el punto,

de paso R y el punto T.

Luego , si Q P = P - Q => Q P = <12 , 3) - <4 , 9)

= <8 . - 6) _

R Q 1 Q P <=> Q - P = Q P 1 <=> R = Q - Q P 1

o. R = <4 , 9) - <6 , 8) = <-2 , 1)

Punto medio de Q P : M = (1 r ^ )

Lado del cuadrado y del triángulo equilátero

M (8 ,6)

llQPlI = V8J + (-6): = 10 Altura del triángulo equilátero : 11MT 11 = 5 \3

QP _ (8 . -6)1 l lQ P II '0

S i M T = T - M =* T = M + 11 M T 11 u.

FIGURA 2.16

<=> u, = u ,1 =<3 ,4 )

=> T = <8 , 6) + (5V3) = <8 + 3V3 , 6 + 4V3)

R T = T - R = <8 + 3>/3 , 6 + 4V3) - <-2 , 1) = <10 + 3V3 , 5 + 4^3)

Por lo tanto , la ecuación vectorial de R T e s

R T : L = <-2 , 1) + t <10 + 3V3 , 5 + 4>/3) , t € R

EJERCICIO S : Grupo 17

En los ejercicios 1 - 4 determinar si las rectas cuyas ecuaciones vectoriales se

dan , son : a) paralelas , b) coincidentes , c) perpendiculares , d) oblicuas.

1. i2?1 : P = < 3 ,-5 ) + t ( 2 f - 3 ) , t e R , : P = <-1 , 1) + r <-6 , 9 ), r € R

2. 2?,: P = <2 , -1) + t (-2 , 6) , t e R , % 2 : P = <0 , 1) + r <13 , -39), t e R

EJERCICIOS : Grupo 17 147

3. <2?,:P = <1 , - 2 ) + t < - 2 , - 3 ) t e R , P = <9 , 2 ) + r<4 , -3), re R

4. : P = <4 , 7 ) + t <-19 , 5 7 ), t e R , : P = <3 , 0) + r <51 , 17), r e R

5. Determinar la pendiente de las rectas paralelas

= {P , + 1 <a , 6) 11 € R , a < 0 } y iZ?2 : < 3 a , -2) • (P - <2 , - 1 )) = 0

6. Determinar el valor de a + b para las rectas : P = <-1 , 0) + t <-a , 1) y

c/ \ : P = <1/b , 0) + a <-3 , b) sean coincidentes

7. Hallar la ecuación normal de la recta r/ ' cuyos puntos equidistan de las rectas

^ , = {<-1 , 5) + t <3 , -6) 11 e R } y 2 ?j= {<5 , -9) + r <7 , -14) | r e R }

8. Sean A(2 , 3) y B(-4 , 7) dos puntos de R :. C uántas de las siguientes expresio­

nes vectoriales representa a la mediatriz del segm ento ÁB.

a) P = <2t + 1 , 8 + 3 t ) , t € R c) P = <5 + 2 t , 1 4 + 3 t ) , t e R

b) P = < 2 t - 3 , 4 + 3 t ) , t e R d) P = < 2 t -1 , 5 + 3 1), t e R

9. Hallar la ecuación vectorial de la mediatriz del segm ento

Á B = {<-2 , 3) + t <6 , -4), t e [0 , 1 ]}

10. Los extremos de una de las d iagonales de un rombo son S (2 , -1) y T(14 , 3).

Hallar la ecuación vectorial que contiene a la otra diagonal.

11. Determinar el valor de m + n para que las rectas á ?,: P = <-1 ,2 ) + 1 <m , 2 ), t € R

y <?2 = {<1/n , 0) + r <3 , - n ) , r e R } , sean coincidentes.

12. Hallar la pendiente de la recta que p asa por el origen y por el baricentro del

triángulo de vértices : A(-1 , -4 ), B(1 , 5) y C (5 , -2)

13. S i 5?, = {<a3 + 3 , - 7 ) + t<1 - a 2 , a )| te R } y = {<a , 3a - 7) + s<a - 5 , 8 - 3a)

!s e R }, hallar a e N tal que 7!y y (I ’2 sean rectas coincidentes.

14. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por (-3 , 1) y e s tangente a la

circunferencia 7 '= { P e R 2| |f P || = 2 \2 }

15. Se a n A ( - 3 , 2 ), B , C(-1 , 13) y D los vértices de un rectángulo, tal que Á C es una

de las d iagonales y A B e s ortogonal al vector v = <4 , -3). H a lla r:

a) La ecuación vectorial de la recta que contiene a BD. b) Proyf-uÁ C

16. El triángulo A B C está dado por las coordenadas de s u s vértices , A(2 , -2) ,

B (6 , 1) y C (-2 , 0). S e necesita :

a) Escrib ir la ecuación vectorial del lado AB.

b) Escribir la ecuación vectorial de la altura C D y calcular h = 11CD 11

c) Hallar el ángulo 0 entre la altura C D y la m ediana B M

d) Escrib ir la ecuación de las bisectrices (I\ y de los ángu los interior y

exterior en el vértice A.

UN Capítulo 2: Rectas en el plano

( E C U A C IO N E S C A R T E S IA N A S P E LA RECTA )

2.6 j F O R M A G E N E R A L DE LA E C U A C IO N DE U N A RECT A

La forma general de la ecuación de una recta e s

te ; Ax + B y + C = 0

donde al m enos uno de los coeficientes reales A o B e s diferente de cero.

En efecto, cualquier vector no nulo que sea per­

pendicular al vector de dirección de una recta £ es un vector normal a 2'. En la Figura 2.17 , se

m uestra a una recta Se que contiene al punto

P ,(x ,, y,), a s í com o al vector n = ( A . B ) , normal a

£., donde A y B e R . uno de los cuales e s dife­

rente de cero. Un punto P(x , y) está sobre 2 ' si y

sólo si P - P, e s paralelo a £ , e s decir, si sólo si

P - P, e s perpendicular a n. Entonces una ecua­

ción de íe e s :

(P <=* P . n - P. • n = 0 <=> p . n = P, • n (10)P , ) . n = 0

Puesto que P = (x , y ) , P, = ( x , , y,) y n = <A , B ) , la ecuación se puede escribir de la

forma

(x , y) • (A , B) = (x, , y,) • (A , B) <=> A x + By = Ax, + By,

Dado que x , , y , , A y B son constantes , el número Ax, + B y , , e s también constante,

y podem os denotarlo por -C . S e tendrá entonces que

A x + B v + C = 0 (11)

Com o la ecuación (1 1 ) no contiene vectores se le denom ina también , ecuaciónescalar de ZC.I Nota. Si n = (A , B) es un vector normal a una recta 7, entonces a = (-B , A) es un vector de

dirección de 5?. Por consiguiente la pendiente de iT está dada por

m = - — , si B * 0 B

Ejemplo 1 J Hallar la ecuación general de la recta que contienen al punto

R(-3 , 2) y que tiene a a = (1 , -2) com o vector de dirección.

Solución. U sa rem os dos m étodos para resolver el problema

1. Dado que a = (I ,-2) ■=> n = a1 = (2 , 1)

Ecuaciones cartesianas de la recta 149

Si P(x , y) e s el punto genérico de la recta 2-, entonces

( P - R ) « n = 0 o [<x , y) -<-3 , 2>] • <2 , 1) = 0

« (x + 3 , y - 2) *(2 , 1) = 0

de donde obtenem os , J2?:2x + y + 4 = 0

2. Si a = (-1 , 2) => n = (2 , 1) = (A , B) <=> A = 2 y B = 1

Entonces en la ecuación (11), W : 2x + y + C = 0

Com o R(-3 , 2) e SP <=> 2(-3) + (2) + C = 0 <=> C = 4

<e : 2x + y + 4 = 0 ■

| O B S E R V A C IO N E S 2.5

a) Puesto que los vectores n, = (A , B) y n, = (-B , A) son perpendiculares, y si son

respectivamente norm ales a las rectas .2?, y .2?,, se tiene que las ecuaciones de

la forma

A x + B y + C = 0

- B x + A y + k = 0 (12)

donde A o B es diferente de cero , son ecuaciones generales de dos rectas que

son perpendiculares.

b) Si n = (A , B) e s un vector normal a una recta .2?, entonces e s también normal a

cualquier otra recta paralela a <£. Esta propiedad se indica por las ecuaciones

A x + B y + C = 0

A x + B y + k = 0 (13)

donde A o B e s diferente de cero.

Ejemplo 2 ] Hallar la ecuación general de la recta que pasa por A(1 , 3) y

e s perpendicular a la recta 2?, : 2x - 5y + 7 = 0

Solución. La ecuación (12) establece que la recta buscada tiene por ecuación

<£: 5x + 2y + k = 0

Como A (l , 3) € te <=> 5 (l) + 2(3) + k = 0 , de donde obtenem os : k = -11

s e : 5x + 2y -11 = 0 ■

Ejemplo 3~} Hallar la ecuación general de la recta que pasa por S (-6 , 2) y

e s paralela a la recta 5?, : 5x + 6y - 9 = 0

Solución. Por la ecuación (1 3 ), la recta buscada tendrá por ecuación

JZ'; :5 x + 6y + k = 0 (1 )

Ahora , si S (-6 , 2) e => 5(-6) + 6(2) + k = 0 , de donde , k = 18

Por lo que , en (1 ), tendremos , 2?,: 5x + 6y + 18 = 0 ■

150 Capítulo 2: Rectas en el plano

2.7 j FO RM A PUNTO P EN D IEN T E

En la figura 2.18 se muestra a una rec­

ta & que pasa por el punto P^x, , y,). S i P(x , y)

e s un punto genérico de X , entonces un vector

direccional de dicha recta es

a = P - P, = (x - x , , y - y,)

Luego , por la Definición 2.2 , la pendiente m de

la recta % está dada por

y -y .m = x - x,

de donde obtenem os , $ : y - y, = m(.\ - x () (14)

Ejemplo 4 J Hallar la ecuación general de la recta que p a sa por P 1 (1 , -3) y

cuyo vector de dirección e s a = (5 , 2)

Solución. S i hacem os x, = 1 , y, = -3 y m = 2/5 , en la ecuación (14) se tiene

y - (-3) = | (x - 1) <=> <£ : 2x - 5y - 17 = 0 ■

I Nota. Si una recta £■ contiene a los puntos P,(x,, y,) y P,(x, , y , ) , con x, * x , , entonces la pendiente m de la recta está dada por

S i se sustituye esta expresión de m en la ecuación (14) se obtiene la ecuación equi­

valente

} ' y* = ’ x'> (15)

Esta e s la ecuación cartesiana de !£ que pasa por do s puntos dados.

E je m p lo 5 j Hallar la ecuación general de la recta que p asa por los puntos

S (-4 , 3) y T(-2 , - 1 )

Solución. S i en la ecuación (15) se sustituye x , , y, por las coordenadas del punto

S(-4 , 3), y a x, e y, por las coordenadas del punto T(-2 , -1) obtenem os

y - 3 =(-~ ~ j ) (x + 4 « , 2 ? : 2 x + y + 5 = 0 ■

Ecuaciones cartesianas de la recta 151

2.8 j F O R M A P E N D IE N T E Y O R D E N A D A A L O R IG E N

En la Figura 2.19 se muestra una recta 5?,

no vertical que corta al eje Y en el punto T(0 , b) ,

b e R. El núm ero b se llama la ordenada en el origen de 7'. S i se sustituye a x, por 0 y a y, por b en la ecuación (14) se obtiene

V

i

¡ W .h )

X S

O'

V

.......... a ■— ■ A

J

y -6 = m (x-0 ) es [ ig : y = mx + b ) (16)

S i en la ecuación general A x + By + C = 0 ,

B * 0 , se despeja a y en función de x , se obtiene

v = - — x - — y B B

Si com param os con la ecuación (16) resulta que : m = - A/B y b = - C/B

FIGURA 2.19

E jem p lo 6 J Calcular la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya

ecuación general e s

<£ : (k - 2 n + 5)x + (2 k + n - 1 )y + (3 + n - 2 k) = 0

sabiendo que pasa por S(-1 , 2) e intercepta al eje X en T(3 , 0).

Solución. S i S ( - l , 2) e á?<=> (k - 2 n + 5) (-1) + (2 k + n - 1 ) (2) + (3 + n - 2 k) = 0t=>k + 5 n - 4 = 0 (1)

y si T(3 , 0) e <B => (k - 2 n + 5) (3) + (2 k + n - 1 ) (0) + (3 + n - 2 k) = 0

=> k - 5 n + 18 = 0 (2)

Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : k = - 7 , n = 11/5

c£ \ (-7 - ^ + 5 ) x + ( - 1 4 + l ) y + (3 + y + 14) = 0 o f£ : x + 2y - 3 = 0

Despejando y en función de x se tiene : y = - x + -y

Luego , por simple inspección : m = - 1/2 y b = 3/2 ■

2.9 J F O R M A A B S C IS A Y O R D E N A D A A L O R IG E N ___________

En la Figura 2.18 se muestra una recta no horizontal, que intercepta al eje

X en el punto S(a,0) ,a e R. El número a recibe el nombre de abscisa al origen de £ Si sustituimos las coordenadas de los puntos S (a , 0) y T(0 , b) en la ecuación (15)

152 Capítulo 2: Rectas en el plano

se obtiene

y ' 0 = ( ¡ jT j ) (* ' a ) ** bx + a y = ab

Dividiendo am bos m iembros entre a b resulta

Esta e s la ecuación abscisa y ordenada al origen de la recta r/ '.

E je m p lo 7 ] Hallar la ecuación de la recta cuya a b sc isa y ordenada al

origen sum an -1 , y que pasa por el punto S (2 , 2)

2 . 1 0 I F O R M A S I M E T R I C A

(1)

Solución. S e a la recta buscada , 9} : — + = la b

S i S (2 , 2) e 9 <=> -=‘ + _ r = I <=> 2a + 2b = a b aDado que a + b = -1 , entonces : b = -1 - a (2)

Resolviendo (1 ) y (2 ) obtenem os : a, = -2 , a , = l ; b{ = 1 , b, = -2

Por tanto , hay dos soluciones : + -y = 1 ó y + - ^ - = l

<=> ,2?,: x - 2y + 2 = 0 ó 22?,: 2x - y - 2 = 0 ■

D ada la ecuación paramétrica vectorial de una recta

9 : P = P ( + ta , i e R

las com ponentes h y k del vector de dirección a = (h , k) recibe el nom bre de

números directores de 'I'.S i P,(x, , y,) e s un punto de 9 , entonces una ecuación paramétrica vectorial de la

recta e s :

<x , y) = <x, ,y,> + t< h , k>, t e R

de donde se obtienen las ecuaciones param étricas cartesianas

x = x, + Ih , y = y ( + tk

despejando t de cada una de estas ecuaciones obtenem os

x - x, y - y, (18)

La ecuación (18) recibe el nombre de form a simétrica de la ecuación de una recta.

Ecuaciones cartesianas de la recta 153

Ejem plo 8 J Hallar la ecuación de la recta 9-, en su forma simétrica que

pasa por los puntos S(-1 , 3) y T ( 4 , -3)

Solución. Un vector de dirección de 9' e s a = S T

c=> a = <4 , -3) - (-1 , 3) = (5 , *6)

Por lo que el par de núm eros directores son : h = 5 y k = -6Sustituyendo a x, e y , , en la ecuación (18), por las coordenadas del punto S o T , se

tiene:

x + 1 _ >’ ~ 3 • x - 4 _ y + 35 -6 5 - 6

Se puede verificar que cada una de estas ecuaciones representa a la m ism a recta

reduciéndolas a su forma general. ■

| O B S E R V A C IO N E S 2.6 D ada una ecuación general para una recta 9 1 se puede

escribir una ecuación equivalente en forma simétrica iden­

tificando un punto P,(x, , y,) que está sobre la gráfica de 9 : A x + B y + C = 0 , y

notando que el vector a = <-B , A) e s un vector de dirección de la gráfica. Por lo tanto,

se tiene que la ecuación de á? en forma simétrica es

x - x, = y - y , -B A

(19)

E je m p lo 9 J Hallar la ecuación en su forma simétrica que sea equivalente

a la ecuación r£ : 2x + 5y - 1 0 = 0

Solución. R e so lvem os la ecuación 2x + 5y - 10 = 0 asignándole un valor a x , por

ejemplo , x = -5 , se obtiene : 2(-5) + 5y - 10 = 0 , de donde , y = 4 ; luego

P (-5 ,4) e s un punto de la gráfica de la ecuación dada. Com o A = 2 y B = 5 ,e l vector

a = (-5 , 2) e s un vector de dirección de 9 '. Por tanto , la ecuación en su forma

simétrica e s

cp • x + 5 _ y - 4 uj, . $ - 2

| O B S E R V A C IO N 2.7 S e puede emplear los núm eros directores h y k de una recta

9 para determinar otra forma simétrica en función de los

ángulos directores a y p (Figura 2.20).

En efecto , recordem os que la pendiente m = k/h , entonces a se puede determinar

a través de la ecuación

t 9 « = !

y com o a = (h , k) = (-B , A ) e s el vector de dirección de la recta 9' : A x + By + C = 0,

154 Capítulo 2: R edas en el plano

entonces si B * 0 , el ángu lo de d irección a está

dado por T g a = - - § - , 0 ° < a < 1 8 0 °B

S i en la ecuación (14) sustituimos m = T q a = ^ en “s C o s a

tendremos y - y , = Ü ^ < * - * , >C o s a

Pero com o p = 90 - a «=> C o s p = C o s (90 - a) = S e n a

Por lo que :

C o s p

y ' y ’ = c ^ ( x - x ' ) ~9 :

X - X,________ y - y.C o s a C o s p

(20 )

Ejemplo 10 ^ Hallar la ecuación simétrica de la recta que pasa por S (-5 , 3),

y cuyo ángulo de dirección a se a 60°.

Solución. S i a = 60° => p = 30°, luego , los co se n o s directores de la recta 7' son:

C o s a = 1/2 y C o s p = V3/2

Por lo tanto , si sustituimos las coordenadas de S en la ecuación (20) obtendremos

<j? : x± 5 = y i 3 . m1/2 V3/2

----{ M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S I L U S T R A T I V O S ) —

Ejemplo 1 J D ados los puntos P ,(-2 , 3) y la recta 2? : 3 x - 4y + 8 = 0 , hallar

a) El punto P que e s la intersección de ^ c o n la recta que

p asa por P, y e s perpendicular a 2'.b) El punto P2 tal que el punto P divide al segmento orientado P,P, en la razón r = 3/2.

Solución, a) S e a <2?, la recta que pasa por P, y e s perpendicular a 7'. S i n = <3 , -4)

e s la normal a íC, entonces n, = (4 , 3) e s la normal a 7\ , por lo que

su ecuación general lo obtenem os a partir de la ecuación ( 10 ) , esto e s :

P * n , = P, * n, => (x , y> • (4 , 3) = (-2 , 3) • <4 , 3)

<=> 4x + 3y = -8 + 9 <=> : 4x + 3y - l = 0

$ D 7\ = (3x - 4y + 8 = 0) fl (4x + 3y - l = 0) = P(4 , 5)

Miscelánea de ejemplos ilustrativos 155

b) Si = — = | ^ p = (— 0— ) P, + ( - H L _ ) p. (Ec. (5))' p p , n 2 'm + n ' 1 'm + n ' 2

= > < 4 . 5 > - ( j | i )< -2 ,3> + (t | i ) P ,

de donde obtenem os P, = (8 , 19/3) <=> P ,(8 , 19/3)

Ejemplo 2 J C a lcu la r el á rea del triángulo form ado por la mediatriz del

segm ento A B = {<-1 , -1) + r <6 , -4) , r [0 , 1]} y los ejes

coordenados.

Solución. El punto de paso de la mediatriz e s el punto medio del segm ento A B ,

esto e s : M = (-1 , -1) + y (6 , -4) = (2 ,-3)

Un vector paralelo a la mediatriz e s (6 , -4y- = 2 (2, 3), luego su ecuación vectorial es,

SP : P = <2, -3> + 1 (2 , 3> , t € R => & : (x , y> = <2 , 2 t , -3 + 3t>

La absc isa en el origen lo obtenem os haciendo -3 + 3 1 = 0 « t = 1Entonces , para este valor de t : a = 2 + 2( 1 ) = 4

La ordenada en el origen lo obtenem os haciendo : 2 + 2t = 0 <=> t = -l

c=> b = -3 + 3 (- l) = -6

Por lo tanto , si S = a (A A B C ) = 4 - \ab\ <=> S = \ (4) (-6) | = 12 u2 ■

1 Ejemplo 3 ] Em plee el método expuesto en el Ejemplo 5 de la Sección 2.4

para calcular las coordenadas de los vértices del triángulo

cuyos lados tienen los puntos m edios R(-3 , 1) , S (2 , 3) y T(1 , -1).

Solución. Recuerde que el segm ento cuyos extremos son los puntos m edios de

los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado del triángulo , y que

su longitud e s la mitad de la longitud del tercer lado.

Luego , si T S = S - T = <2 , 3) - (1 , -1> = (1 , 4)

un vector unitario en la dirección de T S es

= T S (» .4)

TS l l T S H V 17

y s i A B Ü T S ■=> A B = r ( l ,4)

Una recta que contienen a los vértices A y B es

S?,: P = R + r u TS = (-3 , l> + r

Dado que I r i e s la distancia que separa a A de R FIGURA 2.21

(1)

156 Capítulo 2: Rectas en el plano

y a R de B , y si I r I = 11 f s 11 = VT7 o r = ± \ l 7

Ahora , si A y B e 2* , entonces en (1) se tiene :

r = -VT7 «=> A = (-3 , 1 ) - ( 1 ,4 ) = < -4 ,-3)

r = V 17 «=> B = <-3, 1> + (1 ,4 ) = (-2 ,5)

Análogam ente : R T = T - P = <1 , - 1) - (-3 , l) = <4 , -2) y l i R T i l = 2^5 Una ecuación de la recta que contiene a los vértices B y C e s

á y p = s + t URt = <2,3> + i ( 2 - j ^ ) (2)

S i 11 1 = I i R T 11 = 2\ 5 , entonces en (2) se tiene :

t = -2V5 => B = <2 , 3) - 2 <2, -1) = <-2 , 5)

t = 2\5 c=* C = <2 , 3) + 2 (2 , - 1) = <6 , 1)Por lo tanto , los vértices del triángulo son : A(-4 , -3) . B (-2 , 5) y C (6 , 1 ) ■

C jcm p lo 4 ^ Hallar la ecuación general de la recta cuyo s puntos equidistan

de las rectas para le la s 7 \ : P = (0 , 1) + t (-2 , - 1 ) , t e R y

■^2 : (1 . *2) • (P - (0 , -5» = 0.

Solución. Recuerde que si : y = m x + bt y V : y = m x + b, son dos rectas

paralelas, entonces la ecuación de la recta paralela media a y 2?2

está dada p o r , , ^ : y = m x + ±-(bl + ¿O

Luego , si : <x , y) = < -2t, I • t> <=> 1 = ; y = y = y x + 1

2?2:<1 , -2 > .< x ,y ) = (l , -2 ) . (0 , -5 ) * * x - 2y = 10 .0,: y = | x - 5

Por lo tanto , T '.y = \ x + \ { \ -5) & % : \ - 2 y -A = 0

es la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas dadas.

E je m p lo 5 ^ Se a n : 7' la recta con ecuación 2x + y - 4 = 0 , P(2 , 0) un punto

de 9 y el punto Q ( 7 , -1). S i A y B son puntos de 2?, cada uno de

los cuales dista \ 5 unidades de P , h a lla r :

a) La s ecuaciones cartesianas de las rectas A Q y B Q

b) El área del triángulo ABQ .

Solución. S i V ': 2x + y - 4 = 0 ■=> n = (2 , 1), luego el vector direccional de rl ' e s

a = (-1 , 2) , entonces un vector unitario en dicha dirección e s :

<■ 1 , 2)U = --------- -V5

Miscelánea de ejemplos ilustrativos 157

PA = || PÁ|| u

=> A = P + | | P A | | u = <2, 0> + V 5 ( ^ - ?= ^ ) = <1 t 2)

B P = || B P || u

=> B = P - 11 B P 11 u = < 2 ,0 > - \/5 ( ^ ^ ) = <3 ,-2 >

*-> i- \ -2 \a) Ecuación cartesiana de A Q : y - 2 = ( ^ t j ) (x • 1 )

o A Q : x + 2y - 5 = 0

/ -1 + 2 \Ecuación cartesiana de B Q : y + 2 = ( 7 _y ) (x - 3)

b) Á B = B - A = (3 , -2) - (1 , 2) = (2 , -4) <=> Á B l = (4 , 2)

B Q = Q - B = <7 , -1) - <3 , *2) = <4 , I)

a (A A B Q ) = y B Q • Á B - = y <4 , 1 > • <4 , 2> = 9 u2 ■

E je m p lo 6 J D ado s los vértices A (-2 ,4) y B (6 , -2) de un triángulo A B C , y el

punto de intersección H(1 , 3) de su s alturas . h a lla r:<—>

a) La ecuación de la recta A C b) El vértice C

Solución, a) S i H B = B - H = <6. -2> - <1 , 3> = 5<1 . -1)

<=> n. = (1 , - 1 ) e s un vector normal a la

recta A C cuya ecuación cartesiana lo obtenem os

a partir d e :

P • n, = A • n, <=> <x , y) *<1 , -1) = <-2 , 4>«<1 , -1>4->

<=> A C : x - y + 6 = 0

b) Á B = B - A = (6 , -2> - <*2 , 4> = 2 <4, -3>

= * n, = (4 , -3) e s un vector normal a D C

S i P • n, = H • n, <=> (x , y) • <4 , -3) = <1 , 3) • <4 , -3>

es D .C : 4x - 3y + 5 = 0

A C D D C = { C } => (x - y + 6 = 0) fl (4x - 3y + 5 = 0) = C( 13 , 19)

E je m p lo 7 J Se an A(0 , 0 ), B y C los vértices de un triángulo ; sabiendo que

B + C = <23 , 7 ), 11 Á B 11 = 5^5 , 11ÁC II = 13 . B C • <3 , *1) = 0 y

158 Capítulo 2: Rectas en el plano

B C • (O , 1) > O ; hallar la ecuación vectorial de la recta que p a sa por C y es

perpendicular al lado AB.

Solución. S e a n los vértices B(a , b) y C (x , y)

<=> B C = C - B = <x - a , y - b)D ado B C »(3 , - 1) = 0 => 3x - 3a - y +b = 0 (1)

a + x = 23B + C = (23 , 7) <=> { (2)

b + y = 7

Com binando las ecuaciones (2) con (1) obte

nem os : y = 3x - 31 , b = 3a -31

S i 11 Á B 11 = 5^5 => a: + b: = 125

<=> a2 + (3a - 31)-’ = 125 = * 5a2 - 93a + 418 = 0

<=> a = 11 ó a = 38/5

o b = 2 ó b = -41/5

S i 11 Á C 1 1=13 <=> x2 + y-’ = 169

=* x2 + (3x - 3 I) 2= 169 5x2.-93x + 792 = 0

«=> x = 12 ó x = 33/5

<=> y = 5 ó y = - 56/5

Luego , hay d os posibles so luc iones : B( 11 , 2) ó B(38/5 , -41/5)

C (12 , 5) ó C(33/5 ,-56/5)

Com o B C • (0 , 1 ) > 0 => (x - a , y -£ )• (0 , 1) > 0 => y -b > 0 <=> y >bS e cum ple só lo para la primera alternativa (5 > 2). En consecuenc ia B (1 1 , 2) y

C ( 12 ,5). S i A B = <11 ,2) => A B X = (-2, 11 >, por lo que la ecuación vectorial de la recta

pedida es

i2?:P = <12,5) + t<-2,11), te R ■

E je m p lo 8 J La recta rI \ : P = (1 , 3) + 1 (2 , -6) forma con los ejes coordena­

dos un triángulo de área S,. S i 7' 2 \ \ rr y y forma con los ejes

coordenados un triángulo de área S 2 tal que S,/S2 = 4. Hallar la ecuación vectorial

de 2?2.

Solución. : P = <1 , 3) + t(2 , -6) ■=> (x , y) = (1 + 2 t , 3 - 6 t)

Intersecciones de rl \ con los ejes coordenados.

C on el eje X : y = 0 <=> 3 - 6 1 = 0 o t = 1/2

«=» x = i +2(1/2) = 2 A(2 , 0)

Con el eje Y : x = 0 ■=> I + 2t = 0 <=> t = - 1/2

=> y = 3 - 6(-l/2) = 6 <=> B (0 , 6)

Miscelánea de ejemplos ilustrativos 159

Luego , S, = a (A A O B ) = \ (2)(6) = 6u :

Com o l i = 4 t=> S , = | ( 6) = 4 4 -

Si 5?,: - + Y = 1 s , = 4 Iab\- a b * 2

t=> — = — \ab\ <=> ab = 3 ó ab = -3 2 2

(1)

Dado que ü.9, 11 í?, => m 2 = m, = -3 , y com o m, - - —

se sigue que : b = 3a Sustituyendo en (1 ): 3a2 = 3 ó 3a: = -3

a2 = 1 ó a : = -l (No existe solución real)

<=> a = 1 y 6 = 3 ó a = - l y b = -3 FIGURA2.25Por lo tanto , existe dos soluciones

<2?:P = < 1 ,0 > + t(l ,-3 ) , te R ó X \ \ P = <-1, 0) + 1 <1 , -3), t e R

Ejemplo 9 ) D ado s el circuncentro D (6 , 1 ) , el ortocentro H ( 3 , -3), el vértice

A (8 ,12) y ProyAl.ÁD = r(1 , -7), r > 0 , de un triángulo A B C ; hallar

las ecuaciones vectoriales de las rectas que contienen a los lados del triángulo.

Solución. La Figura 2.26 muestra al triángulo A B C

al circuncentro D (intersección de las

mediatrices) y el ortocentro (intersección de las al­

turas).

Á D = D - A = (6 , 1) - (8 , 12) = (-2, -11)

S iP ro y A-cÁ D = r ( l , - 7 > , r > 0 => Á C 11 <1 , -7>

yAM = ProfeAD = )<1. -7> = f o .-7)

Dado que A C = 2 A M <=> A C = 3(1 , -7) = (3 , -21)

<=> C = A + (3,-21> = (8 , 12 )+ (3 ,-2 1 ) = (11 ,-9)

H~A = A - H = < 8 , 1 2 ) - (3 , -3 ) = 5(1 ,3)

H C = C - H = <11 , -9) - <3 , -3) = 2 <4 , -3)

Por tanto : Á B ± H C = > A B : P = A + rH C 1 <=> A B : P = (8 , 12) + r<3 ,4) , r e R

B C 1 H A t=> B C : P = C + s H A 1 <=> B C : P = (11 , -9) + s<-3 , 1), s e R

A C : P = A + t(l , -7) <=> A C : P = (8 , 12) + t<l ,-7 ), te R ■

160 Capítulo 2: Rectas en el plano

E je m p lo 1 0 ^ En un triángulo A B C , el lado B C mide 5 \T o ; la mediatriz del

lado A B corta a A C en el punto E(-3 , -5) y a la prolongación de

B C en D(-15 , -21). S i C e s punto medio de B D y P ro y ^ D B = 6(3 , 4 ) , a) hallar los

vértices del triángulo A B C , b) hallar la ecuación general de la recta 5? que pasa por

E y e s ortogonal a B C (la absc isa de A e s positiva).

Solución. La Figura 2.27 muestra al A A B C , junto con

la mediatriz D M y el vértice A con absc isa

positiva. Luego , si

P ro y ^ D B = D M = 6 <3 , 4) ^ 11 D M 11 = 6\/3: + 4- = 30

C e s punto medio de D B => 11 D B 11 = 2(5\7o) = 10V7Ó

En el triángulo rectángulo B M D se tiene :

I f M B 111 = 11 D B 11 - 11 D M 11 - = ( ÍOVTÓ)*’ - (30)- = 100

=> l lM B l I = 11 Á M || = 10

D É = E - D = (-3 , -5) - (-15 , -21) = 4<3 , 4)

Un vector unitario en la dirección de D E es

D Éu = — — — =11 D E II 5 5

a) Cálculo de los vértices del triángulo A B C

D M = 11 D M || u <=> M = D + 11 D M 11 u = ( - !5 ,-2 1 ) + 3 0 ( ^ - ^ ) = (3 , 3)

M B = 11 M B 11 ir1 c=> B = M + 11 M B 11 u1 = (3 , 3) + 10 = (-5 , 9)

Á M = 11 Á M 11 ux <=* A = M - 11 Á M 11 u x = (3 , 3) - 10 ( ^ - ^ ) = <11 ,-3)

D B = B - D = ( - 5 , 9 ) - ( -1 5 ,-2 1 ) = 10(1 ,3)

Un vector unitario en la dirección de D B e s : u = — ¡ ü — _ _ _ ' Il D B II

Luego , si C B = 11 C B I u, C = B - 11 C B 11 u,

(I ,3)

V5

= (-5 , 9) - 5VÎÔ = (-10 , -6)VIO

Por lo tanto , los vértices del triángulo son : A ( 1 1 , -3), B (-5 , 9) y C ( -10 , -6)

b) El vector normal a la recta W e s paralelo a D B , esto e s , si n = (1 , 3), entonces

su ecuación normal es

: P • n = E • n c * (x , y ) . (1 , 3) = (-3 ,-5 )- ( 1 , 3)

de donde obtenem os la forma general 2? : x + 3 y + 1 8 = 0 ■

Miscelánea de ejemplos ilustrativos 161

Ejemplo 1 1 J Hallar la ecuación de la recta de pendiente entera nega-

tiva que no p a sa por el tercer cuadrante. S i 2?, X J? 3 en A ,

fl = B , = C , la absc isa de A e s 3 , .5?,: 3x - y - 5 = 0 , 11 B C 11 = 5 \T o

y el área del triángulo A B C e s 60 u2.

Solución. S i X en A <=> A e <l\

y si 2?,: 3x - y - 5 = 0 y A(3 , y ) , entonces

3(3) - y - 5 = 0 <=> y = 4 , luego A(3 ,4)

Sean a = 11 B C 11 = 5nTo ,6=11 ÁC11 y c = 11ÁB11

a (AABC ) = 60 u: ■=> i- be = 60 <=> be = 120 (1)

Por el Teorema de Pitágoras

a2 = b2 + c2 «=> b2 + c2 =250 ’ (2)

Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os

b = 3V ÍÓ ó b = 4 VTo = * c = 4V io ó c = 3 vTo

El vector normal a la recta ÍL'X e s n = (3 , - 1),

i=> u = e s un vector unitario en la direcciónVIO

deAB.

Cálculo de los vértices B y C con b = 3V 10 y c = 4V Í0

Á B = 11 Á B 11 u => B = A + c u = (3 ,4 ) + 4 \ 7 o ( ^ p ) => B = (15 ,0)

Á C = ||ÁC||u 1 => C = A + ¿ i/ L = (3 ,4 ) + 3V ÍÓ ( ^ = = p ) *=> C = <6 , 13)

Pendiente de : m ,= = ‘ V € Z

Por la condición del problema se descarta esta solución.

Cálculo de los vértices B y C con b = 4V10 y c = 3V10

Á B = 11 Á B 11 u => B = A + c u = (3 ,4 ) + 3 > f í Ó ( ^ p ) c=> B = (12 , 1)

Á C = ||ÁC|| => C = A + í»aJ- = (3 ,4 ) + 4V ÍÓ ( ^ = ^ ) => C = (7 , 16)

Pendiente de al recta (J\ : m, = ^ * \ = - 3 e Z ' <=> n, = (3 , 1)

Por lo tanto , la ecuación general de la recta r£ , lo obtenem os a partir de

P • n 2 = B • n, => ( x , y > - ( 3 , 1) = <12, l ) - ( 3 , 1) <=> 5?,: 3x + y - 37 = 0 ■

Capítulo 2: Rectas en el plano

E JE R C IC IO S : Grupo 18

1 . Hallar los valores de k para que la recta f l ? : (4 ,1 ) • [P - ( , 4)] = 0 , forme

con los ejes coordenados un triángulo de área S = 8 u2.

2. Em plee el método expuesto en el Ejemplo 5 de la Secc ión 2.4 para calcular las

coordenadas de los vértices del triángulo cuyo s lados tienen los puntos me­

dios R (0 , 5 ), S (2 , 3) y T(-3 , -3).

3. Calcular el área del triángulo formado por la mediatriz del segm ento

A B = {<-1 , 3) + r <6 , -2 ), r e [0 , 1 j } y los ejes coordenados.

4. C a lcu la r el á rea del triángulo O A Q si 11 O A 11 = 5 , : P = r <4 , 3 > , r e R ,

7'2: Q = (2 , 5) + s (4 , 3 ), s e R ; donde O e s el origen de coordenadas . A y Q

puntos del primer cuadrante sobre las rectas y respectivamente.

5. D a d o s los puntos m ed ios de los lados de un triángulo : R (2 , 1 ) , S (5 , 3) y

T (3 , -4) , hallar las ecuaciones cartesianas de su s lados.

6. S e a el triángulo A B C , donde el lado A C m ide 3 \1 0 un idades y se encuentra

sob re la recta rI ‘ : x + 3y + 2 = 0 . S i el ortocentro del triángulo e s H (3 , 5) y

ProyA0BH = ^ (7 , 1), hallar los vértices del triángulo.

7. A , B y C son vértices de un triángulo de área 16 u2. A(-2 , -1 ), B(5 , 2) y C está

sobre la recta r£ y: (1 ,1 ) • [ P - <2 , 1)] = 0. Hallar el vértice C.

8. D ado s los vértices de un triángulo A (1 , - 1 ), B ( -2 , 1 ) y C (3 , 5), hallar la ecuación

vectorial de la perpendicular bajada desde el vértice A a la m ediana , trazada

desde el vértice B.

9. D ado s dos vértices de un triángulo A(-10 , 2) y B (6 , 4 ), cuyas alturas se cortan

en el punto H(5 , 2 ), h a lla r: a) La ecuación de la recta A C , b) El vértice C.

10. El área de un triángulo e s S = 4 u2 ; dos de su s vértices son los puntos A (2 . 1)

y B ( 3 , -2), el tercer vértice C está situado en el eje X. Hallar la ecuación normal

de la mediana que pasa por C.

11. El área de un triángulo e s S = 8 u2 , dos de su s vértices son los puntos A(1 , -2).

B(2 . 3) y el tercer vértice C , de ordenada positiva , está en la recta 7\ : 2x +

y - 2 = 0. Hallar la ecuación vectorial de la recta que por C y e s perpendicular

a la recta 7\.

1 2 . S e a n las rectas 7\ - {(x , y) e R -|2x - y = 5 } y 7'2 = { C + t <11 , 2 )} ; A (9 , 13) e

fJ \ , C (25 , -3) y el punto B e 7\ D 7'2. Hallar la ecuación vectorial de la recta 7 que contiene a la bisectriz del ángulo A B C

n p u c n c i o n »

D E ( f l R E C T A

\ 2 A ) D IST A N C IA DE UN PUNTO A U N A RECT A DADA

D ada la recta cuyo vector de direc­

ción e s a , y dadas las coordenadas de P y de

algún punto P, sobre S£, entonces la distancia

de P a la recta J2?, denotada por d [P , 3 ! ) , e s la

norma de la proyección del vector P - P, en la

dirección de la normal n. (Figura 3.1) Esto e s :

d{P , £ ) = II Proyn(P - P.) 11 = I C om pn(P - P,) I

d{ P , SB) =I (P - P,) • n I

(1)

yj— ^

kn _ X)

\ /

oc

FIGURA 3.1

La distancia que separa a P de 7' no depende de la elección de un punto

particular P, de 5?. En efecto , tom em os dos

puntos P, y P, sobre SB. En la Figura 3.2 se

observa que

P - P 1 = (PI - P I) + ( P . P 2)Multiplicando escalarmente am bos m iem bros

por n se tiene :

(P - P,) • n = (P, - P,) • n + (P - P2) • n = 0 + (P - Pj) • n

. (P -P .) -n (P - P2) * nllnl l

FIGURA 3.2

164 Capítulo 3: Rectas en el plano

Ejemplo 1 ) Hallar la distancia que separa al punto P (4 , -2) de la recta $que pasa por T(5 , -3) y cuya pendiente e s 1/2.

Solución. S i m = 1/2 ■=> a = <2 , 1) e s el vector direccional de 2?, y n = a 1 = <-I , 2)

e s su normal.

El vector que va de P a T es : PT = <5 , -3) - (4 , -2) = <1 , - 1)Luego , por la fórmula (1 ):

|(1,-1>«(-1,2>| _ I -1 - 2 1 _ 3 -

V5d (P , £) =

11 <-1 , 2) 11 V5

i Nota. Para hallar una fórmula que permita calcular la d(P , 7 ) cuando la ecuación de 2 está

dada en la forma general Ax + Bx + C = 0 , se procede de la siguiente manera.

Sup ongam os que P(x0, y0) y P ,(x ,, y,) => P - P, = <x0 - x, , y0 - y ,> , y n = <A , B).

S i sustituimos las com ponentes de estos vectores en la fórmula (1) se tiene :

,k p o>\ = U xq -x , , y 0- y , ) - { A , B)| = l A x 0 - Ax, + B y 0 - By, l

\ A : + B 2 V A 2 + B 2

I A x 0 + B y0 - (Ax, + By,) I

VA2 + B 2

Com o P,(x, ,y , )€ 5? ■=> Ax, + By, + C = 0 <=> C = - (Ax, + By,)

d(P,SB) =A x 0 + B y n + C

V A 2 + B :(2)

Ejemplo 2 ) Hallar la distancia del punto P(-2 , 5) a la recta r£ : 5x - 12y - 8 = 0

Solución. Dado que A = 5 , B = -12 y x0 = - 2 , y n= 5 , haciendo u so de la fórmula (2)

tendremos :

//(p _ l 5(-2) - 12(5) - 8 1 _ 1 -1 0 -6 0 -8 1 uV(5)2 + (-12)2 13

Ejemplo 3 J Hallar el va lor de k tal que el punto P (2 , k) se a equ id istan ­

te de la s rectas cu y a s e cu a c io n e s so n á?, : x + y - 2 = 0 y

3% : x - 7y + 2 = 0

Solución. S e debe verificar que d (P , # ',) = d[P , .5?,)

Entonces , por la fórmula (2) se sigue que :

Sección 3.1: Distancia de un punto a una recta dada 165

12 + k - 2| _ | 2 - 7k + 2 I I k | _ 14 - 7k<=>

V l T l V T + 4 9 V2 5\Í2

=> 5 1 k I = 14 - 7k I <=> k = 1/3 ó k = 2

Ejemplo 4 ] Obtener las ecuaciones de las rectas que son paralelas a la

recta r£ : 3x - 4y + 10 = 0 y que están a 5 unidades de .2?.

Solución. El problema se puede resolver por dos m étodos

Método 1. Por familia de rectas paralelas, que en este ca so tienen la forma

¿ : 3 x - 4 y + k = 0 (1)

Como todos los puntos de Sí' equidistan de t , podem os elegir un punto cualquiera

de 2?, dando una solución para 3x - 4y + 10 = 0.

Por ejemplo , para x = 2 i=> 3(2) - 4 y + 1 0 = 0<=> y = 4 ; luego P(2 , 4) e í£

Entonces , si d(P , 2?) = 5 <=> ■ t ^ = 5

de donde obtenem os : I k - i o l = 2 5 <=> k = 35 ó k = -15

que sustituidas en ( 1 ) obtenem os las ecuaciones bu scada s , esto e s

f : 3x - 4y + 35 = 0 ó ( : 3x - 4y - 15 = 0

Método 2. E s el método directo , que consiste en lo siguiente :

D ada s dos rectas paralelas : A x + By + C, = 0 y SC\ : A x + By + C, = 0

d ( 7 \ , = 1 C ,_ C : iV A 2 + B1

(3)

L u e g o , si S£: 3x - 4y + 10 = 0 y t. : 3x - 4y + k = 0 son d os rectas paralelas , entonces

por la fórmula (3) : ^k ~ 10 * = 5 c=> | k - 1 0 1 = 2 5 <=* k = 35 ó k = -15V32 + 42

f : 3 x - 4 y + 35 = 0 ó / : 3 x - 4 y - 15 = 0 ■

Ejemplo 5 ) Lo s puntos A ( x , , y,) y B (x2 , y 2) sobre la recta

r£ : 5x - 12y + 15 = 0 , distan 3 unidades de la recta

: (3 ,4 ) • [ (x , y ) - < 0 ,3 ) ] = 0 . Hallar el valor de x, + x2

Solución. En r£ x se tiene : n = <3 ,4) y P ,(0, 3). S i P(x , y) e S£ <=> d(P , c£ \) = 3

0 s e a : l i P l P . ) : ni . 3 ^ l ( x . y - 3 ) - < 3 . 4 ) | . 311 n I V á Ñ T 2

166 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta

de donde obtenem os : 13x + 4y - 1 2 1 = 15 <=> 3x + 4y - 12 = 15 ó 3x + 4y - 12 = -15

o 3 x |+ 4 y , = 27 ó 3 x ,+ 4y, = -3 (1)

Com o A , B e '21 ■=* 5x, - 12y, = -15 ó 5 x , -1 2 y 2 = -15 (2)

Elim inando y, e y, del s istem a de ecuaciones (1) y (2) obtenem os

x, = 33/7 y x, = - 12/7 => x, + x 2 = 3 M

E je m p lo 6 ] Hallar el perímetro del triángulo equilátero A B C , si A(-1 , 3)

sabiendo que el lado B C está contenido en la recta

2 ?= { ( - 2 , - 4 > + t ( 4 , 3 ) | t e R }

Solución. En un triángulo equilátero

Perímetro del A A B C : 2 p = 3 P. <=> 2 p = 2V3h (1)

h - w . j ) - l < A ' P il ; n lII n IIS í A = (-1 , 3> , P, = < -2 , -4) y n = <4,3>± = <-3,4>

^ h . K l . 7 ) - ( - 3 . 4 > j =5 V(-3)2 + 4*

Por tanto , en (1), el perímetro e s : 2 p = 10 V3 ■

E je m p lo 7 J La s rectas y 2'2 son paralelas , siendo a el ángulo de incli­

nación. S i p a sa por P,(a , b) y p a sa por P2(h , k ) , hallar la

distancia entre las rectas en términos de a y los puntos dados , si

Solución. La pendiente de am bas rectas es

m = Tg a = | ® í i a a C o s a

L u e g o , s i a = ( C o s a . S e n a ) e s el ve c to r

d irecc iona l , e n tonce s el vector norm al e s

n = (-Sen a , C o s a). El vector que va de P, a P,

e s V = P J - P 1 = ( h - a , k - ¿ )

Por lo que : d(HP , = I Com p V I = -,7- -

d( CI \ , á?,) =I (h - a , k - b) • (-Sen a , C o s a) I

\ 'S e n :a + Cos-'a

d( 5?, , 2>,) = I (a - h) S e n a + (k - b) C o s a I

FIGURA 3.4

Sección 3.1: Distancia de un punto a una recta dada 167

E jem p lo 8 J Hallar el punto simétrico al punto Q(-2 , -9) respecto de la

recta f£ : P = (4 , 6) + 1 (5 ,.-2), t e R

Solución. De la ecuación de la recta T se tiene : P , (4 , 6) y a = (5 , -2).

Un vector unitario en la dirección de la normal n = a 1 = (2 , 5) e s :

n (2 ,5 )u =Il n II V29

Si V = QP, ==> V = (4 , 6) - (-2 , -9) = 3 (2 , 5>

«=> d(Q , &) = = |3(2 ’ " --Z i = ^ -— = 3V2911 n 11 V29

QP = P - Q c= * P = Q + Q P = Q + 2d{Q , 2') u

P = <-2,-9> + 6 V 2 9 ( - ^ = ¿ ) = (10,21>

Por lo tanto , el punto buscado e s P(10 , 21) ■ FIGURA 3.5

E jem p lo 9 ^ D a d a la recta X : P = (-4 , -10) + t (5 , 12 ), t 6 R , y el punto

A ( 7 + 12 n3 , 1 6 ' ) , hallar dos puntos B y C sobre í ? , que

que unidos con A formen un triángulo equilátero. Calcular el área de dicho triángulo.

Solución. S i a = (5 , 12) e s el vector direccional de

X , entonces n = (-I2 , 5) e s el vector

normal y si P, (-4 , -10) e s el punto de p a so , su

ecuación general lo obtenem os de

P • n = P, • n <=> (x ,y> . (-12, 5) = (-4 ,-10 ). (-1 2 ,5 )

<=> 5 ?: 1 2 x - 5 y - 2 = 0 La altura del triángulo e s : h = d(A , 2')

16(7 + 12V3)- y (16 - 5 V 3 )- 2| _ o V 3

h _ V (12)~+(-5y ~ ~ 2 ~

y com o : h = => / = 1 3

Un vector unitario en la dirección de 2' e s : u = —(5 , 12)

13

Luego : A H = || A H II ir1 c=> H = A + h u x = A + ( 1 ^ 5 ) = ( j , 8>

H C = 11 H C l lu <=> C = H + (-y) “ = < T . 8> + ( y ) ^ - j T ^ = <6 • l4>

168 Capítulo 3: Aplicaciones Je la recta

BH = llBHl|U « B = H - ( | ) U = < ^ . 8 > - 0 < ^ > = O,2>

El área del triángulo equilátero e s : S = •—~ = - - 1 u : ■4 4

Ejemplo 10 ^ Se a P un punto que divide al segm ento A B en la razón ( -3 ): 1, donde A(3 , 2) y B (9 , 6). S i por P p asa una recta 7 \ , con

pendiente 3/2 , otra recta 7 \ p a sa por A , tal que d {C , 7 ) = 1 0 \ i3 ; donde 7 e s la

recta que contiene al segm ento Á B y { C } = ( 7\ n 7\). Hallar a) El punto C ; b) Las

ecuaciones vectoriales de 7‘ v 7'1 J 2

Solución. Dado que | i-l | > j , el punto P está m ás cerca de B , luego s i :

P = (ñ T T T í)A + ( l í r í T ¡ ) B =* p = - 5 a + 4 b = < '2 .8 > |

Entonces la ecuación vectorial de 7\ e s

^ , = {< 1 2 ,8 )+ 1(1 ,3/2>| te R }

de donde obtenem os la ecuación general

7.\ : 3x - 2y - 20 = 0

S i { C } = 7't n 7\ ^ C(x, , y,) e 5?,

3x, - 2y, - 20 = 0 (1 )

Com o 7 contiene al segm ento A B , su ecua­

ción cartesiana es :

y - 2 = ( | ^ ) ( x - 3 ) «=> y ' : 2x - 3y = 0

Si d (C , SP) = 10 V Í3 «=> -2X|l j yi = 10 VT3V I3

c=> 2x, + 3 y ,= 130 (2)

a) Resolviendo (1) y (2 ) por sim ultáneas obte­

nem os : C(-40 , -70)

b) C A = A - C = (3 , 2) - (-40 , -70) = (43 , 72)

2?, = {(3 , 2) + s (43 , 72) Is e R } ■

E jem p lo 1 1 J S e a el cuadrado A B C D ; si los vértices A y D pertenecen a la

recta 7' : P = (5 . -4) + t <3 , 1) . t € R y B (-1 , 4) , hallar las

coordenadas de los otros vértices. S e sabe adem ás que : xA < xD y xc < xD.

Solución. La Figura 3.8 muestra la gráfica de la recta 7 y del cuadrado se gún las

FIGURA 3.7

Sección 3 .1: Distancia de un punto a una recta dada 169

FIGURA 3.8

condiciones dadas. S i a = (3 , 1 ) e s el vector

direccional de 7', entonces el vector normal es

n = (-1 ,3)Sea V = P p = (-1 , 4) - (5 , -4) = (-6 , 8)

La magnitud del lado del cuadrado es la distan­

cia del punto B a la recta 7'.

í = d (B . * o = - ^ t t = l<' c’. ; 8>" = 3 ^II n lt II (-1 ,3) 11

(3 1)Un vector unitario en la dirección de a e s u =

V 10

Luego : Á B = 11 Á B 11 u 1 A = B - 3 VTo ( ^ U ^ ) = (-1 ,4 ) - ( -3 , 9) ■=> A (2 ,-5)'V I O 7

Á D = 11 Á D 11 u =* D = A + 3 \ T Ó ( ^ = U ) = ( 2 , - 5 ) + (9, 3) => D ( l l ,-2)' \ 1 0 ’

B C = 11 B C 11 u co C = B + 3 VTÓ ( % = ^ ) = (-1 ,4 ) + (9 , 3) «=* C (8 , 7)v lO

E je m p lo 1 2 ^ U na persona tiene que ir d e sd e un punto A(1 , 5) hasta un

punto B (11 ,5 ) pero pasando por un río para sacar agua. S i la

orilla del río se encuentra en la recta 2?: P = ( -2 ,4 ) + 1 (2 , -1 ), t e R ; ubicar un punto

T en la orilla del río de modo que dicha persona recorra la m ínima distancia.

Solución. C om o los puntos A y B están situados a un m ism o lado de la recta 7 . se

halla el punto B ’ , simétrico de B respecto de la recta 7'.E s evidente que la sum a

ÁT + Í B = AT + f B ’

es m ínima . donde T e (7 fi A B ’)

La ecuación cartesiana de la recta dada e s

5 ?: x + 2y - 6 = 0 => n = (1 , 2)

Un vector unitario en la dirección de n es

n ( 1 , 2)

11 n 11 V 5

a | . ( l l ) + 2 ( 5 ) - 6 j = J 5 = 3 ^

\ l + 4 V5

Si eT b = B - B ’ c=> B ' = B - ETB = B - 11 B l3 11 u

170 Capitulo 3: Aplicaciones de la recta

«=» B ’ = <11 , 5) - 2 (3V5) = <5 , -7)\5

Ecuación cartesiana de A B ’ : y - 5 = - 1 ) <=> Á B ’ : 3x + y - 8 = 0

(x + 2y - 6 = 0) D (3x + y - 8 = 0 ) = T (2 , 2) ■

E JE R C IC IO S : Grupo 19

1. D e sde el punto P (1 , 2 ) se trazan dos lados de un triángulo equilátero cuya

base se halla en la recta V - {<0 , 1> + 1 <-3 , 1>| te R }. Hallar el perímetro de

dicho triángulo.

2. S i 2?, : 2 x - 5 y + 7 = 0 , 0 2 : P = <1 ,3> + t<-1 ,4 ) , te R , Z'3= { P I<x - 2 , y + 1>*

<-3 , 1) = 0 } y si d, = d{ O , 7 \) ,d 2 = d( O . 7 2) y d3 = d (0 , 7' 3) , hallar el valor de

3. Hallar el va lor de k tal que el punto P (k , 4) se a equid istante de la s rectas

: 13x - 9y - 10 = 0 y : x + 3y - 6 = 0

4. La distancia del punto P(7 , 1) a la recta <B = {<2 , 1> + 1 a I te R } e s \ 2. Hallar

la pendiente de .5?, sabiendo que e s positiva.

5. S e a k un número real diferente de cero , P,(2 , 1) un punto y

5?,: k 2 x + (k + 1 )y + 3 = 0 , x - 2ky + 7 = 0 , rectas ortogonales. Hallar

</(P,. ^ M í p , , * , ) .

6. Se a n las rectas rJ \ : 2x + 3y + 4 = 0 y 7 Z : 3 x + 4y - 6 = 0. Hallar los puntos de

7‘ que distan 2 unidades de c£ 2.

7. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a <J.’ : <3 , 4) • [P - <3 , -1>] = 0 ,

distantes 2 un idades de ésta.

8. Hallar el simétrico del punto Q (4 , 8) con respecto de la recta 7 ' : x - y +2 = 0

9. S e a A B C un triángulo isó sce les de lados iguales A C y BC. S i A (5 , 2 ), B (13 , 8),

2 ’ = {P , + t a 11 e R } contiene a los puntos m ed ios de los lados A C y B C ,

11 A C I i = 5 \5 ; hallar la distancia de P,(-12 , -9/2) a la recta que contiene al

lado B C del triángulo.

10. D e sd e el punto A (2 , -3) se traza una perpendicular a la recta 7 ' : 3 x - 4y = 0.

A qué distancia se halla dicha perpendicular del punto P (6 , 5).

11. Dem ostrar que la distancia entre las rectas parale las 7 \ : A x + B y + C, = 0 y

Sección 3.2: Intersección de rectas 171

7 2 : A x + B y + C = 0 e s ;

12. Hallar los valores de k de modo tal que la distancia del punto P(-3 , 2) a la recta

7' \ 5x - 12y + 3 + k = 0 sea igual a 4 unidades.

13. Hallar la ecuación vectorial de la recta 7 cuyo s puntos se encuentran a un

tercio de la distancia entre las rectas : 2 x - y + 9 = 0 y 72 \ 2x - y + 3 = 0 , si

la distancia e s medida desde la recta 7', .14. Hallar dos puntos A y B de la recta 7 \ x + y - 8 = 0, tales que si C (6 + 3\'3,2 + 3\3),

el triángulo A B C resulta equilátero , y encontrar su área.

15. S e a el cuadrado A B C D , donde B y C pertenecen a la recta

7 : <-3 , 4) • [P - <3 , 9>1 = 0 y A(2 . 2). Hallar las coordenadas de los otros

vértices si se sabe adem ás que xc < xB y xB < xA.

16. Jaimito tiene que ir desde un punto A(1 , 6 ) hasta el punto B(5 , 10) pero

pasando por el río que se halla en la recta 7 ': P = < 1 ,2 ) + 1 (3 ,1 >, t e R ; ubicar

un punto T en la orilla del río de m anera que Jaimito recorra la mínima distan­

cia.

17. L a s rectas : P = (1 0 ,2 0 ) + 1 <1 , a ) , t e R ; # 2 : P <10 , 20) + r (1 , -a ), r € R

intersecan al eje X en los puntos A y B respectivamente. S i la distancia entre

A y B e s 30 , hallar la distancia del punto A a la recta 7 r

{ 3 . 2 j IN T E R SE C C IO N DE RECTAS

Sa b e m o s que si 7\ y 7\ son dos rectas no paralelas en R : , entonces se

intersectan en uno y solamente un punto.

En efecto , sean las rectas no paralelas

5?, = {P, + l a ! t e R } y 7\ - {Q , + s b I s e R }

Si 7.\ y 7\ no son paralelas implican que a

y b no son paralelos. Entonces existen nú­

meros t y s tales que

Q P = Q P + PPi i iO sea

P, - Q, = s b + t a t=> P - 1 a = Q, + s bD * . . » n o ^ U FIGURA 3.10Por tanto , el punto P = P - i a = Q 1 + sbpertenece tanto a 7 como a 7 \ , y es el punto de intersección de 7 y 7 \

172 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta

E je m p lo 1 } Hallar la intersección de las rectas ^ = { { 2 , 1) + t(1 ,-1> I t e R f

y 5?2 = { ( -5 ,3 > + s ( 3 , 2 ) | s € R }

Solución. Primero verifiquemos que 2>l y r/ \ no son paralelos

Com o (1 , -1 )■*■ • (3 , 2) = (1 , l ) » ( 3 , 2 ) = 3 + 2 = 5 * 0 => 7 \\ \7 < yLuego , 3 l , s e R I P = <2 , 1) + t (1 , 1 > = <-5 , 3) + s <3 , 2) (1)

O s e a :

l< l , - l> - s < 3 . 2 > = <-7.2> (2)

Para e lim inar s , tom em os el producto e sca la r de la e cuac ión (2) con el vector

(3 , 2)1 = (-2 , 3 ), para obtener

1(1 , - 1) • (-2 , 3) * s (0) = (-7 , 2) • <-2 , 3> => t = -4

Sustituyendo en (1): P = (2 , 1) - 4 <1 , -1) = (-2 , 5)

Para com probar este resultado , e lim inem os t , multiplicando esca larm ente la

ecuación (2 ) por <1 , - l )1 = <1 , 1)

t (0) - s (3 , 2) • (1 , 1) = (-7 , 2) • (1 , 1) s=> s = 1

Luego en (1) : P = (-5 , 3) + <3 , 2) = (-2 , 5) <=> P(-2 , 5 ) e f , n ■

E jem p lo 2 J Hallar la intersección de la recta 7\ que p a sa por los puntos

(3 , 7) y (9 , 10), y la recta 7'2 que pasa por (2 , - 1 ) y (11 , 8).

Solución. Lo s vectores direccionales de i? , y 7-, son respectivamente

a = (9 , 10) - (3 , 7) = (6 , 3)= 3 (2 , I >

b = <11 , 8 > -< 2 , -1) = <9 , 9) = 9(1 , 1>

Com o (3 , 7) € cl \ => 5?, = {(3 , 7) + t (2 , 1) 11 6 R\(2 , -1) e 5?, {(2 , - I) + s ( l , 1)1 s e R }

Dado que 7\ y 7\ no son paralelos , entonces 3 i , s e R , tales que

P = (3 ,7 ) + t(2, I ) = (2 , -1) + s (1 , 1) (1)

de donde : t (2 , l ) - s (1 , 1) = (-1 , -8) <=> (2 t - s , i - s) = (-1 , -8)

Por la igualdad de vectores : 2 1 - s = -1 y t - s = -8

Resolv iendo el sistem a obtenem os : t = 7 y s = 15

Finalmente , sustituyendo am bos valores en ( 1 ) se tiene :

P = (3 , 7) + 7(2 , l> = (17, 14)

P = (2 , - 1) + 15(1 , 1) = (17 , 14)

En consecuencia , P(17 , 14) e 7 \C \fJ \ ■

Sección 3.2: Intersección de rectas 173

f E jem plo 3 ^ Hallar vectorialmente el punto de intersección de las rectas

de ecuaciones : x + 3y = 7 y SB2 : 2x + y = -1

Solución. La ecuación vectorial equivalente al sistem a dado es

(x + 3y , 2x + y) = (7 , -1) «=> x (1 , 2) + y (3 , 1) = (7 ,-1) (1)

Esta ecuación se puede resolver em pleando el método descrito en el Ejemplo 1.

Es decir , se e lim ina y m ultip licando a m b o s m iem bros de la ecuac ión (1) por

<3, l)1 = (-l ,3)

<=> x (1 , 2) • (-1 , 3) = (7 , -1) • (-1 ,3 )

x (-1 + 6) = (-7 - 3) <=> x = -2

Ahora , para eliminar x multiplicamos escalarmente (1) por (I , 2)-1 = (-2 , 1)

=> y (3 , 1) • (-2 , 1) = (7 , - 1) *(-2 , 1)

y (-6 + 1) = (-14 - I) <=> y = 3

Por lo tanto , el punto de intersección es P(-2 , 3) ■

i Nota. Los ejemplos anteriores ilustran tres de los muchos métodos que existen para hallar

la intersección de dos rectas en el plano. De*aquí en adelante . usaremos el método directo mostrada en el Ejemplo 1.

E jem p lo 4 J S i T y e s la recta que p asa por A(4 , 2 ) y e s perpendicular al

vector V = (5 , 3) y 7 2 e s la recta que pasa por B(-1 , -1) y es

paralela a la recta 7 3 : 10x - 6y + 3 = 0 , hallar 7\ f) 7'2.

Solución. S i í ' , l V = ( 5 t 3) <=> 7\ = {(4 , 2> + t (-3 , 5 ) 11 e R }

7\ 11 7\ <=> m, = m,. = , luego b = (3 , 5) e s el vector direccional de

7., entonces : ¡2?, = {(-1 , -1) + r (3 ,5 ) I r e R }

Dado que 7\ y 7\ no son paralelos «=> 3 t , r e R tales que :

P = (4 , 2> + t (-3 , 5) = (-1 , -1) + r (3 , 5) (1)

= * t(-3 , 5) - r(3 , 5) = (-5 - 3)

Para eliminar r , multipliquemos escalarmente am bos m iem bros por (3 , 5)x

t (-3, 5) . ( -5 ,3 ) = (-5, -3) *(-5 , 3)

<=> t (15 + 15) = (25 -9 ) <=> t = 8/15

Sustituyendo en (1) obtenem os : P = (4 . 2) + (-3 , 5) =

/. 7 \ n 7 : = { P { 12/5, 14/3)} ■

174 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta

E je m p lo 5 ) S e a A B = {P e R J| P = <3, -5) + 1<-6, 4 > , t [0 ,1 ]}. Determinar el

punto de la recta = {(1 ,-3> + t<-7,2>|te R } que equidiste de

los puntos A y B.

Solución. Lo s puntos que equidistan de A y B se encuentran en la recta 7 , , me-

diatriz del segm ento AB. Luego , el punto pedido I se halla en la inter­

sección de 7\ con la recta dada SP.

El punto medio del segm ento A B e s : M = (3 , -5) + \ (-6 , 4) «=> M (0 , -3)

El vector normal al segm ento A B es n = (-6 , 4)1 = (-4 , -6) = -2 (2 , 3)

Com o el vector direccional de la mediatriz a , e s paralelo a n <=> a = <2 , 3)

Por lo que , la ecuación vectorial de la mediatriz e s 2?l = {<0 , -3) + s <2 , 3) I s e R }

S i I e .7- D <5?, <=> 3 l , s e R , tales que

I = <l , - 3 > + « -7 ,2 > = <0,-3> + s<2,3> (1)

= * t(-7 , 2) - s (2 , 3) = (-1,0)

=> t(*7 , 2>- (-3 , 2) = <-1 , 0>- (-3 ,2 ) t = 3/25

Sustituyendo en (1): i = <i , -3) + J L <-7 t 2) = * I (4/25 , -69/25) ■

C jem p lo 6 ) Sean las rectas 7\ : P = (1 , 2) + 1(1 . -2), t e R ; T 2 : P = (a , 2a) +s b . s e R . S i ^ 2± 5 ?,y(5?2n 7\) f| (Eje Y ) * 0 , hallar tí.

Solución. S i =2?, _L 2? => se2: P = (a , 2a) + s<2 , 1>, s e R

En 2?,: (x , y) = (l , 2) + t(l , -2) <=> { y l '» - ^ t

S i x = 0 <=> l + t = 0 «=> t = -l ; luego , y = 2 - 2(-l) = 4

Por tanto , 7't intercepta al eje Y en el punto P(0 , 4)

Dado que , (J2?, f| 2 ) f| (Eje Y ) * 0 <=> P ((), 4) e 7\

=0 (0 ,4) = (a , 2a) + s(2 , 1)

Multiplicando escalarmente am bos m iem bros de esta ecuación por <2 , I)-1 obten­

drem os lo deseado , esto es

(0 , 4) • (-1 , 2) = (a , 2a) • (-1 , 2), de donde : a = 8/3 ■

E je m p lo 7 J En la Figura 3.11 se tiene la recta : x + 2y - 16 = 0 y la recta

7 2 que es perpendicular a 7 \ y que corta al eje X en el punto

A(1 , 0). Hallar el área del triángulo AB C .

Sección 3.2: Intersección de rectas 175

Solución. La familia de rectas que son perpen­

diculares a Z\ tiene la forma

<1,: 2x - y + k = 0

Como A( 1 , 0) 6 <=> 2 (1) - (0) + k = 0 <=> k = -2

7\ : 2x - y - 2 = 0

En .7\ , si y = 0 <=> x = 16 => C ( 1 6 ,0)

7, D rS, = (x + 2y = 16) D (2x - y = 2) = B(4 , 6)

k tA .

r kJ

f \

FIGURA 3.11Entonces . A B = B - A = (3 , 6) y B C = C - B = (12 , -6)

a (A A B C ) = \ l Á B - B C M = 1 1(3 , 6> *(6 , I2> = 45 u :

E jem p lo 8 J D a d a s las rectas 7 , = {(3 , 6) + 1<1 , 2)! t e R y 7\ = {(0 ,3 ) +

I s <1 , -1) I s e R }. Hallar la ecuación vectorial de la recta que

pasa por <7\ f| 7 \ y que forma con los ejes coordenados positivos un triángulo de

área 4 u2.

Solución. S i P, e (2?, D 2 \) «=> 3 1 , s e R , tales que

P, = <3 , 6) + t(l , 2) = (0 , 3) + s<l , -1> (1)

«=> t(l ,2 > -s< l ,- l> = <-3,-3>

c=> t(l , 2) • <1 , 1) = (-3 , -3) • (1 , 1> <=> l = -2

Sustituyendo en (1) se tiene P,(l , 2)

Sea la recta buscada , SP: — + — = \ (2)a b

Si P (4 ,2 ) 6 !?'■=> — + — = 1 <=> 2a + b = ab (3)a b

\ i’V

kY

A

b Y

“ Tí >-----------\ » xti

V Juaao que a ^ A U b ) = 4 ■=> \ao\ = ?> <=> « » = « o uu=-r> FIGURA3.12

Com o a y b son positivos => a b = 8 (4)

Resolviendo (3) y (4) obtenem os , a = 2 y b = 4

Luego , en (2): = 1 <=> 7 : 2x + y - 4 = 0 <=> m = -2

Por tanto , haciendo u so de la ecuación (9), 7 : P = (I , 2) + t (1 , -2), t e R

E je m p lo 9 ) Hallar el área del triángulo determinado por las rectas J ? , , 7'2y 7 \ , sabiendo que 7\ p asa por el punto (1 , 4) y e s ortogonal

al vector ( 3 , 5 ) ; 72 p a sa por el punto (6 , 1) y e s paralela a la recta 7 ' : 5x - 2y = 3 ;

2 3 p asa por el punto (8 , 6) y e s perpendicular a una recta de pendiente -7/2.

176 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta

Solución. L a s ecuaciones paramétricas vectoriales de las tres rectas son

: p = <1 , 4> + 1<-5 , 3), : P = (6, 1> + r ( 2 , 5), á?,: P = <8 ,6) + s< 7 ,2)

S i A g ( cí \ f| r/ \ ) <=> 3 r , t g R , tales que

A = (1 ,4 ) + t (-5 , 3) = (6 , I > + r <2 , 5) (1)

<=> t (-5 , 3) - r(2 , 5) = (5 , -3)

■=* l (-5 , 3> • <3 , 5) = <5 , -3) * ( 3 , 5 ) <=* l = - l

Sustituyendo en (1) obtenem os , A(6 , I)

S i B € ( í?, D 3 l , s g R , tales que

B = <1 . 4) + t (-5 , 3) = (8 , 6) + s (7 , 2) (2)

=> t <-5 , 3) - s <7 , 2) = (7 , 2)

t (-5 , 3) • <-2 , 7) = <7 , 2>• <-2 , 7) c=> t = 0

Sustituyendo en (2) se tiene : B( 1 , 4)

S i C g => 3 r , s g R I C = (6 , 1> + r <2 , 5> = <8 , 6> + s(7 , 2> (3)

<=> r<2 , 5> - s(7 , 2> = (2 , 5> => r(2 . 5) • <-2 , 7> = (2 , 5>- (-2 , 7> <=> r = 1

Reem plazando en (3) obtenem os : C (8 , 6)

Luego , Á B = <1 , 4> - <6 , 1) = (-5 , 3) y Á C = (8 , 6> - (6 , 1> = <2 , 5)

a (A A B C ) = 1| Á B • Á C X | = i | <-5 , 3) • <-5 , 2> | = 15.5 u : ■

E jem p lo 1 0 J En el plano , dados los vectores A y B . no paralelos ; se an 7\y d os rectas tales que P Q e 7\ , Q 0 g 5?2 , A11 <By , B | f , y

sea M g (5?, fl 2%).

a) Mostrar que : M = Q n + ( ^ °P ° * A ) B0 V B • A - /

b) U sando lo anterior, para T y : 3 x - 2 y + 1 = 0 y rí '7 que pasa por los puntos (-3 , 2)

y ( 2 , 5 ) , hallar 7 \ n

Solución, a) En la Figura 3.14 : Q M | | B c=» Q M = i B

<=> M = Q i( + t B (1)

En el A M P1( Q (i: Q M = Q_ P ,+ P M

Multiplicando escalarm ente am bos extre­

m os de esta igualdad por A1 se tiene :

QjA • A 1 = Q P • A 1 + 0

t B . A 1 = Q P . A 1 «=> l = -Q,,P,> *B • A 1

Luego , en (1) : M = Q + B

Sección 3.2: Intersección de rectas 177

b) En á?,, el vector normal es n = <3 , -2) <=* A = n1 = <2 , 3)

Si elegim os x0 = I => 3(1) - 2y + 1 = 0 <=> y 0 = 2 <=> P o(l , 2) g 2\En 7': , el vector direccional es B = (2 , 5) - (-3 , 2) = <5 , 3) y Q l((-3 , 2) g S \ Por lo tanto , en la fórmula obtenida en la parte a ) , tendremos :

M = (-3 , 2) + ( 1 ' ; | ) <5 . 3) = (-3 . 2 )4 ( ^ | ) (5 . 3> = <11/3 , 6>

M (1 1/3 ,6)

fcjemplo ) Se a n las rectas 7\ = { (4 , 5) + 1 (-3 , 2) 11 e R y = { ( 5 , 4 ) +

s (-2 , 1) I s g R }. Hallar la ecuación general de la recta 7 que

pasa por 7\ f) ‘J e interseca al eje X en un punto cuya absc isa e s igual a dos veces

su pendiente.

Solución. S i P(x , y) g fl v , => 3 r , s g R , tales que

P = (4 , 5) + t (-3 , 2) = (5 , 4) + s (-2 , 1 > (1)

=> l (-3 , 2) - s(-2 , 1> = (1 , -1)

= * t (-3 , 2) • (-1 , -2) = <1 , -1) • (-1 , -2) <=> I = -1

Sustituyendo en (1) obtenem os : P = <4 , 5) - (-3 , 2} ■=> P(7 , 3) g 7-, fl fJ \La recta ít’ bu scada tiene la forma , i ’ : y = m x + f)

Com o P(7 , 3 ) g 2' <=> 3 = m (7) + 6 «=> ¿> = 3 - 7 m ; luego , ? ' : y = m x + 3 - 7m

Si 2 interseca al eje X en el punto (x0 , 0) <=> 0 = m xn + 3 - 7 m <=> x() = 7 ™ ~

Por la condición del problema ; x(i = 2 m <=> x0 = 7 = 2 m

t=> 2 m : - 7 m + 3 = 0 <=> m = 1/2 ó m = 3

Hay so luc iones :

m = l/ 2 «=> y = y X + 3 - y <=> & : x - 2y -1 = 0

m = 3 => y = 3x + 3 -2 1 <=> ? ? : 3 x - y - 18 = 0 ■

E je m p lo 1 2 J U na de las d ia go n a le s de un rom bo está contenida en la

recta ?', = {<k -1 , 5k - 6) + t(k - 3 , 1)11 g R } y uno de los lados

del m ism o está contenido en la recta 7\ = { ( -4 k , k - 2) + s (3 k , k + 1)1 s g R }. Si k > 0

y M (3k + 1 , 6k) e s el punto de intersección de las d iagonales del rombo , hallar los

vértices y el área del rombo.

17S Capítulo 3: Aplicaciones de ¡a recta

Solución. S i P,(k - 1 , 5k - 6) e s el punto de p a so y

a = (k - 3 , 1) e s el vector direccional de 7\ ,

entonces

P~M 11 a <=> P (M • a1 = 0

(2k + 2 , k + 6) • ( -1 , k - 3) = 0

de donde obtenem os : k-’ + k - 20 = 0 <=> k = 4 ó k = -5

D ado que k > 0 , se elige k = 4

Para este valor de k se tiene : M (13 , 24) f i^ i i r a h í

* > { < 3 , 14)+ 1(1 , 1)|te R } , SU, = {(-16 , 2) + s(12 , 5)1 s e R }

Si {A } e ^ f l ^ j ^ B t . s e R , tales que

A = (3, 14) + t(l , 1) = (-16 , 2) + s (12 , 5)

<=> t(l , I ) - s (12 , 5) = (-19 , -12)

=> t(l . I) • (-5 , 12) = (-1 9 , -1 2 ). (-5 , 12), de donde :t = -7

Sustituyendo en (1): A = (3, 14)-7(1 , 1) => A(-4 , 7)

M e s punto medio de A C => M = i ( A + C) c = 2 M - A

<=> C = (26 , 48) - (-4 , 7) <=> C (30 ,41)

Com o r=> ^ , = {(13 , 24) + r ( - l , l ) | r e R >

S i {D } e => 3 s , r e R , tales que

D = ( - 1 6 , 2 ) + s (12,5 ) = (13, 24) + r(-l , 1)

«=> s(12 , 5) - r(-l , 1) = (29 , 22)

s (12 , 5) • (-1 , -1) = (29 , 22) • (-1 ,-1) s = 3

Reem plazando en (2): D = (-16 , 2) + 3 (12 , 5) ^ D(20 , 17)

También : M = -^(B + D) => B = 2 M - D = (26 , 48) - (20 , 17) => B (6 ,3 ! )

Area del rombo : S = I Á B - B C X | = 1(10 , 24)»(-10 , 24)1 = * S = 4 7 6 u :

(1)

(2)

E JE R C IC IO S : Grupo 20

1. Se an 7\ y U\ dos rectas ortogonales tales que 7\ p a sa por (3 , 2) y (2 , 5) y 7 2 pasa por (2 , 1). Hallar la intersección de am bas rectas.

2. Se an las rectas 5? : P = <1 ,0 ) + s (2 . 1 > , s e R ; &2: P = (a , 2a) + tb , t e R. S i

7\ J_ %‘2 y <By n 7'2 H (Eje Y ) * 0 , hallar el valor de a.

3. Hallar la ecuación de la recta 7 que p a sa por la intersección de las rectas

,J, = i ( 3 ,2) • (P - (0 ,2)) = 0 } , 7‘2 : P = (1 , 0) + 1 (6 ,2 ) , t e R , sabiendo que 7 I ! i.

EJERCICIOS : Grupo 20

4. D adas las rectas SP. : S ^ , 7'2 : (-12 , 3) • (P - (0 , 3)) - 0 y 7'3 :^a ,b) +L y = 2 r

t i , t e R. Hallar la ecuación de la recta que pasa por rJ \ fl &2 y se a perpendicular

a * , -

5. D ado s los vértices consecutivos de un cuadrilátero A(-3 , 1 ), B(3 , 9) , C (7 , 6)

y D(-2 , -6) , hallar el punto de intersección de su s diagonales.

6. Hallar la ecuación vectorial de la recta que p a sa por el punto P,(2/5 , 4/5) y

por el punto de intersección de las rectas : P = (4 , -3) + t (1 , 2 ) , t e R y

j5?2 : P = (2 , 1) + r (-3 , 4 ), r e R.

7. S i SL\ : ( 5 , 3 ) * [ P - (0 ,1 ) ] = 0 , hallar la ecuación de la recta 2?, tal que (7 ,0) e 7\

y { ( 4 , k ) } 6 ^ n « r

8. Hallar el perímetro del triángulo determinado por las rectas

: P = (5 , 4) + 1(-3 , -4 ), t € R ; 7 2: Q = (5 , 0) + s (0 , 4 ), s e R y el eje X.

9. Hallar el punto de la recta 7 : P = ( -2 ,0 ) + 1(4 , 3) que está m ás cercano al punto

Q ( 3 ,5).

10. Hallar la ecuación normal de la recta 7'2 de pendiente entera negativa , que no

pase por el tercer cuadrante : sabiendo adem ás que 7 \ 1 2', en A , B e ( D 7\),

C e (# ', fl 2%) , la a b sc isa de A e s 3 , 7 , : 3x - y - 5 = 0 , !! B C 11 = 5 \1 0 y

a (A A B C ) = 60 u2.

11. S e a T una recta que p a sa por la intersección de : x + 2 y -1 = 0 y 7'2 : 5x -

3y - 18 = 0 , y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual

a 6 u2. Halle la ecuación de 7' en su forma simétrica.

12. S e a A B C D un rombo tal que A(-2 , 1) y la diagonal B D mide 2 \ l 3 unidades y

está contenida en la recta r/ ‘ : 2x - 3y + 6 = 0. H a lla r:

a) El área del rombo.

b) L a s pendientes de las rectas que contienen a los lados del rombo.

13. La recta <£ : P = (0 , 3) + 1(2 , 3 ), t € R contiene a un lado de un paralelogramo,

y la recta 7\ : P = (0 , 4) + r(1 ,5 ) contiene a una de su s diagonales. S i el punto

A(3 , -3) e s un vértice del paralelogramo , halle la ecuación vectorial de la recta

que contiene a la otra diagonal.

14. La d istancia que separa a una recta 7 , que p a sa por la intersección de 7 1:

x - 2y + 3 = 0 y 7j2 : x - y - 5 = 0 , del punto Q(1 , 4) e s de 4 unidades. Hallar la

ecuación de esta recta. (D o s soluciones)

3 3 J AN G U LO EN T R E DO S R EC T A S

________________________ __________________Capítulo 3: Aplicaciones Je la recia

Designem os por 7 , la recta con m ayor inclinación a , , y por 7\ la recta de

menor inclinación a,. S i e stas d o s rectas se cortan , entonces el ángulo 0 entream bas se define por

0 = a , - a,

A s í , la Figura 3.16 , muestra un ca so en que el ángulo 0 de 7\ y 7\ es

agudo , y la Figura 3.17 , un ca so en que el ángulo 0 e s obtuso.

I Nota 1 . A la recta de menor inclinación , s e le denomina recta inicial porque a partir de ella se mide , en sentido antihorario , el ángulo 0. A la recta de mayor inclinación y , se le

llama recta fin a l . por que allí termina la medida del ángulo 9.

S i m, y m : son las pendientes de 7 \ y 7 \ , entonces por definición

m, = Tga, y m, = Tga ,

En la Figura 3.16 se observa claramente que 0 = a, - a.

Aplicando tangentes se tiene

Tge = Tg(a, - a,) = T 9a .- ~ T9a ,I + Tga, • Tga.,

T g0 =m. - m

1 + m. • m. (4)

S i Tg0 > 0 , entonces 0 es agudo , o se a , 0 o < 0 < 90c

Tg0 = 0 , entonces 0 = 0o , implica que : 7\ 11 7\ , (m, = m )

Tg0 < 0 , entonces 0 e s obtuso , o sea : 9 0 ' < 0 < I80c

T g 0 = co , entonces 0 = 90°, implica que 7\ 1 7 ,, (m • m, = -l)

Sección 3.3: Angulo entre Jos rectas 181

I Nota 2. Para aplicar la fórmula (4) y evitar confusiones . es necesario trazar las gráficas de

¿ÍP, y !?,. Sin embargo , en la Figura 3.17 , se observa que

p = ti - 0 Tgp = T g [n - 0) = - T g0

Es d ec ir, las tangentes de los ángulos suplementarios que forman dos rectas y

<j,, son iguales pero difieren en signo.

Esta propiedad se puede emplear para hallar el ángulo 0 entre 7\ y 7\ sin

necesidad de trazar su s gráficas , haciendo uso de la fórmula

T g 0 =m. - m, m, - m.

1 + m, • m. 1 + m, • m.

Ejem plo j Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2 , -1)

y forman cada una un ángulo de 45° con la recta 7‘ : 2x - 3y + 7 = 0.

Solución. Se a n m j m , las pendientes de las

rectas bu scadas.

Si 5 ?: 2x - 3y + 7 = 0 «=> m, = 2/3

Por la fórmula (5 ): T g 4 5 ° =' ' a 1 + m • m,

Donde m e s el valor de m, o el de m,

m - 2/3 <=> 12 m + 31 = I 3 m - 21

FIGURA 3.18

l + (l/3)m

<=> m, = -1/2 ó m, = 5

En consecuenc ia , las ecuaciones requeridas son

y + 1 = - j (x - 2) ó y + 1 = 5(x - 2) <=> 7\ : x + 5v + 3 = 0 ó 7\ : 5x - y - 11 = 0 ■

| O B S E R V A C IO N 3.1 La fórmula (4) no s permite hallar el ángulo agudo o el obtuso

entre 7 \ y y , en términos de su s respectivas pendientes.

Análogam ente , si 7 \ - { P, + i a} y rJ \ - {P , + s b } , son las ecuaciones vectoriales de

dos rectas no verticales , entonces el ángulo formado por 7', y 7 ', e s el ángulo

formado por s u s vectores de dirección a y b respectivam ente , y se determina

mediante la fórmula

C o s 0 =l ia M N b II

(6)

Si a • b > 0 <=* C o s 0 > 0 , implica que 0 e s agudo

a • b < 0 <=> C o s 0 < 0 , implica que 0 es obtuso.

182 Capitulo 3: Aplicaciones de la recta

I O B S E R V A C IO N 3.2 S i a y b son vectores de igual magnitud, es decir 11 a 11 = 11 b 11

y a * -b , entonces el vector su m a a + b divide al ángulo 0

fo rm ad ' por a y b en dos partes iguales , esto e s , a + b sigue la dirección de la

bisectriz de a y b.

En efecto , por la fórmula (6)

a • (a + b)C o s a. =a ¡ i

l l a l

!a + b ií

+ a • b

a + b

+ a • b

b 11 I ! a + b

b • (b + a)= C o sa ,

II b II l ia + b

Luego , si C o sa , = C o s a 2 => a, = a,

| O B S E R V A C IO N 3.3 S i a y b son vectores no necesariam ente de igual magnitud y

no parale las , entonces

el vector sum a u + v sigue la dirección de la

bisectriz del ángulo formado por a y b , donde

_ _ J L .. _ b a

u = y v =

son vectores unitarios en las d irecciones de a

y b respectivamente.

EJEM PLOS ILUSTRATIVOS \

ejemplo 1 J Lo s vértices de un triángulo son A (9 , 1 2 ), B(4 , 2) y C(1 , 6).

Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo A C B del triángulo.

Solución. En el A A C B de la Figura 3.21 se tiene :

C B = B - C = ( 4 ,2 ) - (1 ,6 ) = (3 , -4)

C A = A - C = <9 , 12) - < 1 ,6) = 2 (4 ,3 )

Sección 3.3: Angulo entre dos rectas 183

Los vectores unitarios en las direcciones de C B y

CA son respectivamente :

(3 , -4) (4 , 3)u= — y v=

Un vector en la dirección de la bisectriz buscada e s

a = ti + v = j ( 7 , -1)

Por lo que su ecuación vectorial e s

i2 ? :P = <I ,6> + t < 7 , - l ) , t e R ■

E jem p lo 2 ^ ) L o s puntos B (6 , 3) , Q (10 , 6) y R (-6 , 8) son vértices de un

triángulo. Determinar la ecuación de la recta 7 'que es perpen­

dicular a la bisectriz del ángulo Q B R y que contiene al punto Q [ • —) —^Solución. S i B Q = Q - B ■=> B Q = <4, 3)

B R = R - B <=> B R = (-12 ,5 )

Los vectores unitarios en las direcciones de

BQ y B R son , respectivamente

u =(4 ,3 )

y v =(-12 ,5 )

5 7 ' 13

Luego ,el vector direccional de la bisectriz 7 't

(-8 ,6 4 ) 8 „ o\e s : a, = u + v = - ^ --------- ( j d . - D

Por lo tanto , la ecuación vectorial de la recta 7' 1 í l ', e s

<I’ \ P = Q + ta l1 , t e R o V : P = <10 , 6> + 1 (8 , 1), t e R

E je m p lo ^ 5 } Dem ostrar que si las rectas paralelas S.\ y 7'2 son intercepta­

das por una secante 7', entonces los ángu los alternos inter­

nos son congruentes.

Demostración. P robarem os que u = {5

En efecto, supongam os que los

vectores de dirección de 7', 7\ y 7\ son respecti­

vamente . a , a ( y a.

|| Sí\ => a, = ra, (r > 0)

Dado que a e s el ángulo formado por a y a ,

184 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta

■=> C o s a =a • a a • (ra ,)

a l l r i l a ,

a • a.

lia II lia, II

Se a p el ángulo formado por los vectores -a y -a,

^ C o s p . ± a> - < 'a => - a ' a -’a I Ma. Il I la li l la .

.\ p = a

= C o s a

E je m p lo 4 ^ Hallar las e cuaciones de las bisectrices de los ángu lo s for­

m ados por las rectas 7.\ : x + y - 3 = 0 y rí ' 2 : 2x - y + 6 = 0 , y

dem ostrar que son perpendiculares.

Solución. S e a rl \ D 7\ = IQ ( - I ,4 )}

S i n, = <1 , l> <=> a, = <-1 , l>

n, = (2 , -1) <=> a, = <1 , 2)

Entonces , los vectores unitarios en las direcciones

de 7\ y !/', son respectivamente

-------- -ñ v v ' <5

Luego , los vectores que siguen las direcciones de

las b isectrices son

a, = u + v = -J=r(V2 - yÍ5 , \5 + 2 \Í2> , a = u - v = - 4 = <-V2 - V5 , V5 - 2\¡2)V io . nT ó

Por lo tanto , s i 2!y : P = Q + ta, <=> 7\ : P = (-! , 4) + t(V2 - \5 , \5 + 2^2), t e R

7>i : P = Q + s a 4 <=> 5?4 : P = (-1 ,4 ) + s(*V2 - V5 , V5 - 2'fr) , s e R

son las ecuaciones vectoriales de las dos bisectrices.

Para dem ostrar que son perpendiculares , bastará probar que a, • a 4 = 0

En efecto : a, ■ a 4 = <V2 - V5 , V5 + 2 \6) • <-V2 - V5 , VB - 2 V2)

= -(2 - 5) + (5 - 8) = 3 - 3 = 0 «=>

(1 ,2 )

E je m p lo 5 j Hallar la ecuación de la recta de pendiente negativa que pasa

por el punto Q (2 , 1) y forma con el eje Y un ángulo que sea el

doble del ángulo formado por la recta 7 \ \ 3x - 4y - 12 = 0 y el eje X.

Solución. S i m. = T g a = 3/4 <=s- C o s a = 4/5 y com o C o s 2a = 2 C o s ’a - 1

Sección 3.3: Angulo entre dos rectas 185

~ C o s 2 a = 2 ( i f ) . ! = ¿

Sea u = (x , y) un vector unitario en la dirección de la

recta 2?. S i 11 u 11 = 1 «=* x2 + y 1 = 1 (1)

Un vector unitario en la dirección del eje Y e s (0 , I)

° C os2oc= l u T l ' l U o 0 .)!!

de donde obtenem os y = 7/25

Sustituyendo en (1): x : + (7/25)- = I <=> x = ± 24/25

Com o la pendiente de la recta 7 es negativa , entonces x = - 24/25

Si a es el vector direccional de 7 \ paralelo a u = - ^ (-24 , 7 ), la ecuación vectorial

de la recta pedida e s , SP : P = <2 , 1) + 1 <-24 , 7), t e R. ■

E je m p lo 6 ) S e a 7 \ : P = Q + 1<7 , 1), t e R , Q(1 ,-1) e {.7\ D 7'2H 7 ) , A(8 , 0)

e 7\ , í/(A , .7 ) = \To ; 7J e s bisectriz del ángulo formado por 7'yy 7’2 , siendo su pendiente menor que la de 7\. Hallar las ecuaciones vectoriales de

Solución. S i Q A = A - Q <=> Q A = (8 , 0) - (1 , -l> = (7 , 1)

Luego , 11 Q A 11 = \5 0 y i 1 BA11 = VlÓ

En el triángulo rectángulo Q B A :

11QA I I 2 = II Q B I I 2 + 1| B Á ||2

=> (\50): = | i Q B 11 -’ + (\7Ó)2

■=> 11 Q B 11 = 2\To

Sea u = (u : , u,) un vector unitario en la dirección de

la bisectriz 7'.Si Q A = Q B + B A ^ <7 , 1) = 11 Q B 11 u + 11 B A 11 u 1

<=> <7 , 1) = 2VTÓ (u, , u2) + VTÓ <-u,, u,>FIGURA 3.26

7 = 2 \ 10 U * V 10 U,<=>

1 = 2V10 u, + \1 0 u }( 3 ^ 1 )

\‘10

Por lo que la pendiente de la bisectriz e s m = - 1/3

VÍÓ ^ (-1/3)- m : _ j_

1 + (-1/3) m, 2

, _ B C m - m,En el A Q B C : T g a = — ^ <=> ----------- —

a Q B 1 + m • m , 2 \ 10

de donde obtenem os : m, = -I

Dado que Q(1 , -1) e s el punto de paso de 7 y 7 '2 , su s ecuaciones son

7 ': P = <1 , -1 > + t<3, -1 > , t e R ; 7 \ : P = ( l ,-1> + s<1 , - l > , s e R.

Capítulo 3: Aplicaciones de la recta

Ejemplo 7 ] El ángulo 0 entre las rectas á?1 : P = A + t a , t € R y J 2 ? 2 : P = C + s b , s e R , mide 45°. S i { B } = f| 2 2 , estando B en el segundo

cuadrante , C ( 0 , 5 ), A B + B C = (1 , 7 ), y la pendiente de 2, e s -3 ; hallar la ecuación

vectorial de la bisectriz del ángulo 0.

Solución. -Si A e 2', c=* A B .! m, , esto e s : A B = r(l , -3)

Á B + B C = (1 , 7) => Á B + (C - B ) = <1 , 7>

=> Á B - B = (1 , 7 ) - ( 0 , 5 ) t=» Á B - B = <1 ,2) (1)

S i B = (x , y ) , al multiplicar escalarmente (1) por <1 , -3)1

se tiene :

Á B - <3 , 1> - <x . y > - <3 , 1> = <1 . 2>-<3 , 1>

0 - (3x + y) = 3 + 2 <=> 3x + y = -5 (2)

m ,-m . , m, + 3T g 45° =

m, = rn

+ m. • m I + 3 m,c * m, = - 1/2

y - 5>=> x + 2v = 10 (3)

FIGURA 3.27

2 X - 0

Resolviendo (2) y (3) obtenem os

x = -4 , y = 7 => B(-4 , 7)

Luego . Á B = (1 , 2) + <-4 , 7) = 3<-l , 3 )y B C = (4. -2) * 2(2 ,-1)

Entonces los vectores unitarios en las direcciones de 7\ y 7\ son respectivamente:

u = , v = c=> v - u = 4 = (1 + 2^2 , -3 - V2>vlO \5 vTo

es el vector que sigue la dirección de la bisectriz 7', por tanto , su ecuación es

2' : P = (-4 , 7) + t (I + 2V2 , -3 - V 2 ) , t e R. ~ ■

Ejemplo 8 ^ Hallar la ecuación de la recta que p a sa por Q (5 , 3) y forma

un triángulo isó sce le s con las rectas 2 ', : x - y • 1 = 0 y 7‘ 2 :x - 7y -1 = 0

Solución. S e a n m , m, = I y m, = 1/7 la s p en ­

d ientes de las rectas 2; , 7 \ y 2 \

respectivamente. El problema presenta tres c a ­

so s de solución , dependiendo cada ca so de la

ubicación de los lados iguales.

Caso 1. Lo s lados iguales se encuentran en 7\y 2 '

<=> T gA = T g B <=>m - m, m. - m

I + m • m l + m • m. FIGURA 3.28

Sección 3.3: Angulo entre dos rectas

.. m - 1 1/7 - m<=>1 + m “ I + (l/7)m

de donde : 2 m : + 3 m - 2 = 0 <=> m = -2 ó m = 1/2

Hay dos soluciones. 2 : P = (5 , 3) + 1(1 , -2), t € R

o P = (5 ,3 ) + s (2 , 1 ) , S € R

Caso 2. L o s lados iguales se encuentran en 2'* y 2',

-r a> t r* m - mi m, - m-T g A = T g C <t=> ------------ = -— 1-------1 + m m : 1 + m ( m

m - 1 1-1/7- l + m l + l / 7 « m = 7

Existe una solución. 2 ’ : P = (5 , 3) + r (1 , 7), r e R

Caso 3. Lo s lados iguales se encuentran en las rectas 2 ” y 7\

m: - m m, - m :■=> T g B ” = T g C <=>

1 + m m, 1 + m. m.

0 ...l_/7_-.m_ = 1 - 1/7 J71 + (l/7)m 1 + 1/7 31

Hay una solución. 2 '” : P = (5 , 3) + p (31 , -17), p e R.

Ejemplo 9 j D e sde el punto C (6 , -4) se trazan las rectas 2', y ,2'2 con pen-

pendientes negativas. El ángulo de inclinación de 7 \ e s m a­

yor que el ángulo de inclinación de rJ \. La recta 7\ determina sobre la parte positiva

del eje Y un segm ento de 2 unidades. La recta 2 ^ determina sobre el eje X un

segmento de 38/7 unidades. Hallar la ecuación de la recta 2", que no cruza el cuarto

cuadrante , tal que forma con 7 \ y 7’ 2 un triángulo isó sce le s , con base en 2 \ de

área 15 u2.

Solución. El vector direccional de 7\ e s paralelo a :

a, = (6 , -4) - (0 , 2) = 6 (1 , -1)

y el de 2 ',, a : a, = (6 , -4) - (38/7, 0) = i . (1 , -7)

por lo que : = {(6 , -4) + t(l , -1)11 e R } y

2 \ = { ( 6 , - 4 ) + s ( l , -7)1 s e R }

En el triángulo isó sce les AB C , la bisectriz 7\ del

vértice C, tiene su vector direccional paralelo a :

, . . < > ^ ♦ £ ¿ > . 6 0 . - 2 ) x l 5\'2 5Y2

Luego , el vector de dirección de la recta 2 esFIGURA 3.29

ISS Capitulo 3: Aplicaciones de la recta

paralelo al vector <1 , -2)1 = (2 , 1)

Para hallar su ecuación bastará determinar el punto de paso A(x, , y t) o B(x,

Com o Á C ||(1 ,-1) o Á C -< 1 , 1> = 0

(6 - x , , -4 - y,) • (I , 1> = 0 => y, = 2 - x,

B C || (1 , -7> «=> B C • (7 , 1) = 0

=> (6 - x , , -4 - y,> • (7 , 1) = 0 <=> y, = 38 - 7x,

A B 11 (2 , 1) <=> (x ,- x . , y 2 - y,> - (-1 , 2> = 0 =* -x, + x, + 2y, - 2y, = 0

Com binando las ecuaciones (1) y (2) con (3) se tiene :

-x i- x, + 2(38 - 7x:) - 2(2 - x,) = 0 = * x, = 5x, - 24

Sustituyendo en (1) obtenem os : y ( = 2 6 -5 x ,

a (A A B C ) = 15 u : <=> I | C A . C B X | = 15

I (x, - 6 , y, + 4) • (x, - 6 , y, + 4)1 1 = 30

! (x, * 6 , y, + 4) • (y, + 4 , 6 - x,) I = 30

I (5x, - 24 - 6) (38 - 7x, + 4) + (26 - 5x, + 4) (6 - x,) | = 30

Efectuando, resulta : 130(x, - 6): | = 30

c=> (x, - 6)- = 1 <=> x, - 6 = -1 ó x, - 6 = 1

<=> x, = 5 ó x, = 7

Lu e go , en (2): y, = 3 8 -7 (5 ) = 3 ó y, = 38 - 7(7) = -11 => B(5 , 3) ó B(7 ,

S e descarta la segunda alternativa por las condiciones del problema

.5?: P = (5 , 3) + r (2 , I ), r e R.

. y ;).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1)

Ejemplo 10 ) L a s recta s , 2P? y S?3 s o n ta le s que : i? , 11 , m, < 1,

C (-10 , -14) e 7 \ , D(2 , 7) e ¿Z?2 , fl = {A } , n 7'2 = {B},

M(2 , 1) e s el punto medio de A B y Tg0 = - 24/7; donde 0 es la medida del ángulo entre

las rectas 7\ y 7 \ , 0 e (0 , n). H a lla r: a) L a s ecuaciones vectoriales de 2 * , 7'2 y 7 ’, b) d( 7\ , 7 2) ; c) Los puntos A y B.

Solución. S e a E el punto medio de C D , entonces

E = I ( C + D) = i ( - 8 , - 7 ) <=* E(-4 , -7/2)

É M = M - E = (2 , 1 ) - (-4 , -7/2) = | (4 , 3)

Com o E M I ! y , , el vector direccional de rj y 7 \e s a = (4 , 3) ; luego :

fJ \ : P = (-10, -14) + r(4 , 3), r € R

7 \ : P = (2 , 7) + s(4 , 3), s e R

r

/ V m

/FIGURA 3.30

Sección 3.3: Angulo entre dos rectas

Si Tg0 = - y 1m ,- m, _ _ 24

1 + m. m

m, - 3/4

1 + (3/4)m,= - — , de donde : m. = - 3/4

Por lo que , 7\ tiene por ecuación vectorial, 7'.: P = (2 , 1) + t (4 , -3), t e R

b) S e a V = C D <=> V = (2 , 7) - (-10 ,-14) = 3 (4 , 7)

S i n es la normal a 7\ y 7\ <=> n = a 1 = (-3 , 4)

• M # r p \ - l V - n l - 1 3 (4 .7 ) . ( -3 ,4 )1 _ 48 ” ' * ’ ‘ " II n II “ 11 (-3 , 4) 11 ~ 5

c) S i {A } = 7\ fl 7\ => 3 r , t e R , tales que

A = (-10 , -14) + r(4 , 3) = (2 , 1) + 1 (4 , -3)

<=* r(5 , 3) - 1 (4, -3) = (12 , 15)

= * r(4 , 3) • (3 , 4) - 0 = (12 , 15) • (3 ,4 ) <=> r = 4

Sustituyendo en (1) obtenem os : A = (-10 , -14) + 4 (4 , 3) = (6 , -2) <=* A(6 , -2)

S i {: B } = fl <=> 3 s , t e R , tales que

B = (2 ,.7) + s (4 , 3) = (2 , 1) + t (4 , -3)

<=> s (4 , 3) - 1 (4, -3) = (0 , -6)

s(4 , 3)• (3 , 4) - 0 = (0 , -6)• (3 , 4) <=> s = -I

Luego , en (2), se tiene : B = (2 ,7 ) - (4 ,3 ) = (-2 , 4) B(-2 , 4)

(1)

(2 )

E je m p lo 1 1 } Se an . la recta 7". P = (7 ,1 2 ) + 1 a , t e R y Q ( 4 , 3) un punto que

dista 3 \5 unidades de 7 . Por Q pasan d os rectas que inter-

sectan a 7? en los puntos A y B(7 . 12) formando un triángulo isósce les B Q A con

base en 7’. S i B divide al segm ento A D de 7‘, en la razón 4/3 , ha lla r: a) Los puntos

A y D. b) La ecuación vectorial de 7‘.

Solución. La Figura 3.31 muestra una interpre­

tación geométrica del problema . don­

de se observa que hay dos soluciones : los trián­

gulos isó sce le s B Q A y B Q A '.

En el A B Q A : Q B = (7 , 12)- (4 , 3) = 3 (1 , 3)

Luego , la pendiente de la recta 7\ e s m. = 3

Adem ás , 11 Q B 11 = 3\ 10 y ! | Q H 11 = 3\5

<=> SenO = = - L <=> 0 = 45c 3 \ 10 V2

Por lo que el A B Q A e s rectángulo isó sce les

190 Capítulo .?: Aplicaciones de la recta

Tge = =» 1 = -í j ü -. I + m : m 1 + 3m

de donde , la pendiente de ? ' e s m = 1/2 y su vector de dirección e s a = <2 , I)

Un vector unitario en la dirección de 2 ' e s

u = _ a _ . ^ i >

H a l l V5

En el A B Q A : 11 Á B 11 = 2 11 Q H 11 =6\>5

^ Á B = 11 Á B || u = 6V5 ( ^ = ^ ) = <12 , 6>

S i B - A = (12 , 6) => A = <7, 12)-<12 ,6 ) = <-5,6)AQ 1 — ___

— = -± => 3 A B = 4 B D <=> 3 (B - A ) = 4 ( D - B)

=> D = 1 B - | A = | < 7 , 1 2 ) - | < - 5 , 6 > = <l6,33/2>

En el A B Q A ’ : T g a = — ’ ‘ m- => i = _m’ ~ 3 « m - = .o1 + m, m ’ i + 3m (

Luego , el vector de dirección de 7-’ e s a ’ = (I , -2) => u ’ = ^y¡5

Por lo que si B A ’ = 11 B A ' 11 u ’ => BA ' = 6 \5 ( - ’- '2^ = <6 -12>v V5 '

=> A ' - B = (6 , -12) <=* A ’ = <7, 12) + <6 , -12) = <13 , 0)

Análogam ente , si = 1 ^ D ’ = 1 B - 1 A ' c=> D ’ = <5/2 , 21)

b) Ecuac iones vectoriales de 7 y 2? ’

2 = {<7 , 12) + t<2 , l)| t e R } y 7 ' - {<7, 1 2 )+ s< l , - 2 ) | s e R }

EJER C IC IO S : Grupo 21

1. Se a n las rectas 7\ : 3x - 4 y + 6 = 0 y $ 2 : P = <4. 1> + 1<-2 , 4 ), t e R ; hallar

a) La distancia del punto A(4 , 1) a la recta 7\b) La tangente del ángulo agudo formado por las rectas

2. D ada s las rectas ; 7 X : P = < 3 ,4 ) + t < 3 ,4 ) y 7 ;: P = (0 , 14/3) + r<4 , 3 ), ha llar:

a) El punto de intersección de (1 \ y 7 2

b) La ecuación normal a la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas.

3. Determ inar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es

paralela a la bisectriz del ángulo que forman los vectores a = <3 , 4) y b = <4 -3)

EJERCICIOS ; Grupo 21 191

4. Las rectas 7\ : P = P, + 1 a , t e R , 7'2 : b • (P - P2) = 0 , se cortan en P 0. Hallar el

ángulo entre <2?, y &2 sabiendo que

(p , - p¿ - ( p, - p„)-<p , - p!> = l i p0 ll2 , y pt, * p , * p*

5. Los puntos P(2 ,4 ), Q (8 , 6) y R ( 4 , 8) son vértices de un triángulo. Hallar la recta

que e s perpendicular a la bisectriz del ángulo P Q R y que pasa por R.

6. Los vértices de un triángulo son los puntos A , B y C , tales que I A - B ! = a ,

A - C 11 = 2a. Hallar la ecuación de la recta que contiene a la bisectriz interior

del triángulo correspondiente al ángulo A.

7. Lo s puntos A (4 , 6) , B (8 , 4) y C (6 , 7) son los vértices de un triángulo ABC .

Hallar en el lado B C el punto Q por donde p asa la bisectriz del ángulo A.

8. La b ase A D de un trapecio A B C D está contenida en la recta T : 3x - y + 6 = 0 y

una de su s d iagonales A C está contenida en la recta y , : x - y - 4 = 0. S i el

vértice B e s el punto (3 , -5 ), h a lla r: a ) Lo s vértices A, C y D ; b) P ro y ^ A C

9. El ángu lo 0 entre i ? , = { B + t a 11 € R } y ü-2 = { A + s b s e Ri- e s tal que

Tg0 = 5/7. S i { C } = 7 \ fl 3 2 , siendo C un punto en el IV cuadrante , B (0 , 4 ),

A C + B C = <5 , -25) y la pendiente de 7' e s -1. hallar la ecuación vectorial de la

bisectriz del ángulo 0.

10. Sean las rectas : P = <1 ,-1> + t< 7 ,1 > ,te R y # 2 :<1 , - 1 > * [ P - < 2 , 1)] = 0. Hallar

la recta 7 que tiene pendiente positiva , p a sa por Q (0 , -2) y forma con 7'y y

T 2 un triángulo isó sce les cuyos lados congruentes están sobre 7 \ y V2.

11. Hallar la ecuación de la recta que p a sa por el origen y e s paralela a la recta

bisectriz , de menor , pendiente del ángulo que forman las rectas

!7\: P = <1 , 1) + 1<3 , 4 ). t e R y : P = <2, -1) + s<4 , 3 ), s € R

12. Lo s vértices de un triángulo A B C son A(-6 .-2), B(6 , 1) y C (2 , 4). S e traza la

bisectriz del ángulo exterior correspondiente al ángulo interno A C B ; la b isec­

triz interior corta a la prolongación del lado A B en el punto Q. Hallar las coorde­

nadas del punto Q.

13. D ada s las rectas 7\ : P = P, + t a , t e R , y # 2 : P = Q, + s b , s e R , no paralelas,

demostrar que las rectas bisectrices de los ángu lo s que forman 7 \ y 7 ? son

ortogonales.

14. Un rayo parte del punto A ( - 5 , -2) en dirección del vector a = <2 ,3 ) y se refleja en

un espejo plano sobre el eje X en B y luego sobre el eje Y en C. Cuál e s la

ab sc isa del punto S s i S = B + C + D , donde D está sobre el último rayo

reflejado y tiene ordenada -10.

15. La s rectas y 7' se interceptan en el punto C form ando un ángulo 0 , tal que

192 Capítulo 3: Aplicaciones de la recta

Tg0 = 1/2. S i C e s un punto en el cuarto cuadrante, B (0 , 4 ), A C + B C = <2, -10)

y la pendiente de 7\ es -1 ; hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo 0.

16. D ada s las rectas CJ\ : 7x - y - 6 = 0 y 7‘2 : x - y + 2 = 0 , hallar la ecuación de la recta

.7, de pendiente positiva , que pasa por el punto A (5 , -2) y forma con 7\ y 7'2m triángulo isó sce les cuyos lados iguales se encuentran en T y y rJ‘2 , respectiva­

mente.

17. En el plano R 1 , fijados el punto P. y los vectores A y B no nulos y no paralelos,

se define el conjunto

C = { P e R - P = P 0 + tA + s B , con te [0 , 2] a s e [-1 ,0 ] }

a) Representar gráficamente el conjunto C en el plano R :.

b) Para P 0 = (1 , 1 ), A = (-2 , 3) y B = (3 , 1 ), analizar si el punto P(-4 , 29/6)

pertenece al conjunto C . y hallar la ecuación de la recta que contiene a la

bisectriz del ángulo que forman A y B con vértice en P 3 , dados.

18. El ángulo 0 entre las rectas 7 \ : P = B + 1 a , t e R , y ^ : P = A + s b , s e R ,e s

tal que T g0 = 5/7. S i {C } = 7 \ fl 7'2 , siendo C un punto del cuarto cuadrante,

B(0 , 4) , A C + B C = <5 , -25) y la pendiente de 7 2 e s -1 ; hallar la ecuación

vectorial de la bisectriz del ángulo 0.

19. En el plano R : , sean los puntos A(-6 , -6), B(-1 , 4 ), C (c , -1 ), D (2 , 1) y E , tales

que D e B C , E e A B , los segm entos dirigidos D E y A C son paralelos y los

segm entos orientados E B y E C forman un ángulo a . U sando vectores , hallar

C o s a.

4 VECTORES Efl | J? El ESPACIO l

4.1 ) EL ESPAC IO T R ID IM E N S IO N A L _________________________

En la Sección 1.1 definimos el producto cartesiano A x B de los conjuntos

A y B de la siguiente manera

A x B = { ( x , y ) | x e A , y e B }

Si aplicam os una definición similar al producto cartesiano A x B x C de los conjun­

tos A , B y C , entonces

A x B x C = {(x , y , z)l x e A , y e B , z g C }

donde el sím bolo (x , y , z) representa una terna ordenada. C om o las ternas orde­

nadas de núm eros reales son el elemento del producto cartesiano R x R x R , a este

conjunto se le denota por R ' , e s decir

R ' = {(x , y , z) I x e R . y e R , z e R }

que determina lo que llam arem os espacio tridimensional.Esto e s , queda establecido un sistem a cartesia­

no de tres d im ensiones, cu yo s ejes son las rec­

tas orientadas : X (eje de a b sc isa s) , Y (eje de

ordenadas) y Z (cota) , que se cortan perpendicu­

larmente en el punto O (origen de coordenadas).

Todo punto en el espacio queda determinado por

la terna (x , y , z ) , donde

x : e s la distancia dirigida del punto P al plano Y O Z

y : e s la distancia dirigida del punto P al plano X O Z

z : e s la distancia dirigida del punto P al plano X O Y

194 Capítulo 4: Vectores en el espacio

El conjunto R ' de ternas ordenadas de núm eros reales , junto con las

operaciones de sum a y productos definidas en el Teorema 1.2 , recibe el nombre

de espacio vectorial tridimensional sobre el conjunto de núm eros reales R y se

denota por V ;. A los elementos de V, , se les llama vectores , por lo que , la terna

denotada por (x , y , z) e s un vector.

4.2 j VECTORES EN EL ESPACIO_____________________________________

En el e spacio , denotam os los vectores mediante la terna ordenada

V = <x , y , z>

denotándose el vector cero por O = (0 , 0 , 0).

Tal com o en el ca so de R : , un vector en R ' se

puede expresar com o la sum a de com ponentes

vectoriales paralelos a los ejes coordenados. En

R s , i , j y k representan vectores unitarios en las

d irecciones de las partes positivas de los ejes X ,

Y , Z respectivamente. Entonces

¡ = (1 , 0 , 0 ) , j = (0 . 1 ,0 ). k = ( 0 , 0 , 1)

U sando estos vectores , la notación con vectores unitarios canónicos para un vector V = (x , y , z) e s

V = x i + y j + z k

com o se muestra en la Figura 4.2

S i se representa al vector V mediante el segm ento orientado desde A(x, , y, , z,) a

B(x, , y, , z,) , com o se indica en la Figura 4.3 ,

e n to n c e s la s c o m p o n e n te s de V se ob tienen

restando las coordenadas del punto inicial A de

las del punto final B , esto es

V = Á B = <x; - x , , y, - y , , z, - z,)

L a s definiciones que se aplican a los vectores de

dos d im ensiones se puede extender directamen­

te a los vectores de tres dim ensiones. En el cua ­

dro siguiente se resum e las definiciones y opera­

ciones b ásica s con vectores en el espacio. FIGURA 4.3

Sección 4.2 : Vectores en el espacio 195

r \VECTORES EN EL ESPACIO Se a n A = (x, , y , , z,) , B = < x ., y , , z,) y

V = (x , y , z) vectores en el e spacio y se a r € R

un escalar , entonces

1. Igualdad de vectores: A = B <=> x , = x , , y, = y , , z, = z,

2. Componentes: S i se representa a V por el segm ento orientado A B , entonces

V = <x , y , z) = <Xj - x , , y, - y , , z, - z,)

3. Longitud o norma : I V ; | = d{A , B) = \‘(x, - x,): + (y, - y,): + (z, - z,)-

4. Vector unitario en la dirección de V : u = ,, ^ -I I v I!

5. Suma de vectores : A + B = (x, + x 2 , y, + y , , z, + z,)

6. Opuesto de un vector: V A s R ' , 3 (-A) e R ' I A + (-A) = (0 , 0 , 0) = O

7. Producto por un escalar: r A = {r x , , t y, , r z,)

r EJEM PLOS ILUSTRATIVOS )

E jem p lo 1 J Usando vectores para hallar el extremo de un segmentoUn vector que va de S a T (5 , -4 , 2) e s dos veces el vector que

va de R(2 , -1 , 5) a S. Calcular las coordenadas de S.

Solución. S e a n A = S T , B = R S y S (x , y , z)

Luego , A = T - S = <5 , -4 , 2) - <x , y , z) = <5 - x , -4 - y , 2 - z)

B = S - R = (x , y , z) - (2, -1 , 5) = (x - 2 , y + I , z - 5)

r- 5 - x = 2 (x - 2) «=> x = 3 -x

Si A = 2 B <=> -i -4 - y = 2 (y + 1) •=> y = -2 V /. S (3 , -2 , 4) ■

^ 2 - z = 2 ( z - 5 ) < = > z = 4 J

E je m p lo 2 J Usando vectores para hallar un punto perteneciente a un segmento Se a n A(2 , 3 , -2) y B(6 , -3 , 2). Hallar el punto P que está en el

segmento de recta que une A con B y a 3/4 de distancia de A a B.

Solución. S i P(x , y , z) e A B ■=> A P = ^ A B <=> 4 A P = 3 A B

{ 4x-8=12t=>.\ = 5 4y - 12 = -18 => y = -3/2 >■ P(5 , -3/2 , 1)

4z + 8= 12 => z= 1 J ■

196 Capítulo 4: Vectores en el espacio

Usando vectores para determinar pinitos alineados

Dem ostrar que los puntos A(-2 , - 7 , 7 ) , B(2 , -1 , 3) y C (4 ,2 ,1 )

son colineales.

Demostración. Bastará probar que 11AC i ! = I ! A B 11 + 11 B C 11

En efecto

Á C = < 4 ,2 , I> - < - 2 , :7 ,7> = 3 < 2 ,3 ; -2 ) 9---------------------------------- g------------- g

A B = <2 , -I , 3) - (-2 , -7 , 7) = 2 (2 , 3 , -2>

B C = ( 4 , 2 , 1) - (2 , -1 ,3 ) = ( 2 , 3 , - 2 )

Luego : 11ÁC 11 = 3 \4 + 9 + 4 = 3\;7 7 , 11 Á B 11 = 2\T7 y 11 B C 11 = VT7

Dado que : 3V77 = 2^77 + \'T7 t=> 11 Á C 11 = 11 Á B 11 + 11 B C 11

Por lo tanto , los puntos A , B y C son colineales ■

Cjemplo 4 ] Usando vectores para determinar ¡a naturaleza de un triángulo

Dem ostrar que los puntos A(3 , 5 , 2 ), B (2 , 3 , -1) y C (6 ,1 , - 1 )

son vértices de un triángulo rectángulo.

Demostración. En efecto , hallem os las c o m - ' "■

ponentes de los vectores AB.

B C y Á C

Á B = (2 , 3 , -1) - (3 , 5 , 2> = (-1 , -2 , -3 )

B C = (6, 1 , - 1 ) - ( 2 , 3 , -1 ) = ( 4 , - 2 , 0 )

Á C = (6 , 1 , -1) - (3 , 5 , 2) = (3 , -4 , -3)

Lu e go : || A B 11 = vi + 4 + 9 = V 14

11 B C 11 = \ 16 + 4 + 0 = V2Ó FIGURA 4.4

11 Á C 11 = \ '9 + 16 + 9 = V34

Com o (\34): = ( \ l4 )2 + (V20)2 => 11 Á C 11 ’ = 11 Á B 112 + I ! B C 112

S e cumple el Teorema de Pitágoras , por lo que , el A A B C e s recto en B. ■

Cjemplo 5 ^ ) Se an los vectores A = (1 , 5 , 3 ). B = (6 , -4 , -2). C = (0 , -5 , 7)

y D = (-20 , 27 , -35). S e requiere elegir los núm eros r , s y t de

tal m odo que los vectores r A . s B , tC y D formen una línea quebrada cerrada , si el

origen de cada vector sucesivo se hace coincidir con el extremo del anterior.

Solución. S i los vectores r A , > B , t C y D constituyen una línea quebrada cerrada ,

su sum a vectorial debe ser nula , esto es

r A + s B + tC + D = 0 <=> r(l , 5 , 3) + s ( 6 , -4 , -2) + t(0 , -5 , 7) = -(-20, 27 , -35)

Ejemplo 3

Sección 4 .2 : Vectores en el espacio 197

c * (r + 6 s , 5 r - 4 s - 5 t , 3 r - 2 s + 7t) = (20, -27 , 35)

de donde , por igualdad de vectores , obtenem os el sistem a

r + 6 s = 20

5 r - 4 s - 5 t = -27

3 r - 2 s + 7 t = 3 5

Resolviendo por sim ultáneas se tiene lo requerido : r = 2 , s = 3 , i = 5 ■

E je m p lo 6 ^ ) S e a el triángulo de vértices A(-1 ,2 ,2 ), B(4 ,2 ,-3) y C ( 9 ,-3 ,7 ).

Por el punto D(2 , 2 , -1) del lado A B se traza una paralela al

lado A C y que corta al lado B C en E. Hallar la longitud del segm ento DE.

Solución. Re so lve rem os el problema hallando la

razón en que el punto D divide al lado AB.

Esto e s , si r = <=> r D B = A D1 DB

«=> r ( B - D ) = D - A

=* 2 r(l , 0 , -1) = 3 (1 , 0 , -1 ) <=> r = 3/2

Siendo D E I ! A C , por el Teorema de Thales :

§ | = | ® 2 (E - C) = 3 (B - E)FIGURA 4.5

de donde : 5 E = 3(4 , 2 , -3) + 2(9 , -3 , 7) => E = (6, 0 , 1)

Por lo que , D E = (6 , 0 , I) - (2 , 2 , -1) = 2(2 , -1 , 1) «=> I! D E 11 = 2>Í6 ■

E je m p lo 7 J En el trapecio A B C D la razón entre la longitud de la base A D y

de la base B C equivale a r. Supon iendo que A C = a y B D = b .

exprésense los vectores A B , B C , C D y D A por medio de a y b.

Solución. S i = r Á D = r B C (1)B C __ __ _

t=> A B + B D = r B C

En el A A B C : Á B = Á C - B C (2)

Á B = Á C - 1 (ÁB + BD ) <=> Á B =r 1 + rDe (2): B C = Á C - Á B = a - <=* B C =1 + r 1 + rEn el A A C D : C D = A D - A C = r B C - a

«=> C D = r ( a ± b \ _ a <=> C D = -LiiLJ*.' I + r ' 1 + r

Finalmente , de (1): D A = - r B C ■=> D A = - — — (a + b) ■I + r

198 Capítulo 4: Vectores en el espacio

E je m p lo 8 J M e s el punto de intersección de las m edianas del triángulo

A B C , O e s un punto arbitrario del espacio. Dem ostrar que

Ó M = j (Ó A + Ó B + Ó C )

Demostración. La Figura 4.7 muestra al punto M y

una m ediana BD. Entonces

D = y (A + C)

Por la propiedad de las m edianas

DM = j D B <=> M - D = y ( B - D)

Esto e s : M - i-(A+ C) = | B - 1 ( A + C)

de donde obtenem os : M = (A + B + C)

Restando el vector O a cada extremo se tiene : v----------------------------------------- /FIGURA 4.7

M - O = y [ (A - O) + (B - O) + (C - O)]

<=* O M = - i(Ó A + Ó B + Ó C ) ■

EJER C IC IO S : Grupo 22

1. A y B son los vectores de posición de los se gm en to s P Q y R S . S i 2 A = 3 B y

P(3 , - 1 , 2 ) , Q (x , y , z ) , R(-2 , 3 , -3) y S (2 , 5 , - 5 ) ; hállese el vector A.

2. El vector V = (-2 , 2 , 6) es el vector de posición del segm ento Á B , cuyo punto

medio de M (-4 , 3 , 1). Hallar las coordenadas de los extremos del segmento

ÁB.

3. S e a V = (3 , -6 , 1) el vector de posición del segm ento A B y sea C (6 , - 1 , 2 ) el

punto de trisección , m ás cercano de A , de dicho segm ento , hallar las coor­

denadas de A y B.

4. Sean A(2 , -1 , 3 ), B(-4 , 5 , 0 ) , C (4 , -1 , 3) y D(4 , 4 , -7). El punto P está a 2/3 de

distancia de A a B y el punto Q está a 3/5 de distancia de C a D . Calcular las

com ponentes del vector V que va de P a Q.

5. Demostrar que los puntos A(6 , 3 , 4 ), B(2 , 1 , - 2 ) y C (4 , - 1 ,10) son vértices de

un triángulo isósceles.

6. Dem ostrar que los puntos A(2 , 0 , -1), B(3 , 2 , -2) y C (5 , 6 , -4) son colineales.

Sección 4.3 : Dirección de un vector en el espacio 199

7. Si A = (3 , 5 , -1 ), B = (6 , -2 , 3) y C = (-3 , 2 , 0 ), hallar el vector X que satisfaga

la ecuación 3 X + 6 A - 5 C = 8 B

8. Demostrar que los puntos A(2 , 0 , -1 ), B(1 , 2 , 1) y C (6 , - 1 , 2 ) son vértices de

un triángulo rectángulo.

9. Sean A = (2 ,-1 , 5), B = (-1 , -2 , 3) y C = (1 ,-1 , 1) tres vectores en R \ hallar un

vector unitario en la dirección del vector V = A - B + C.

10. Se a n d ados los vértices del triángulo A (3 , - 1 , 5 ) , B (4 , 2, -5) y C (-4 , 0 , 3 ) .

Hállese la longitud de la m ediana trazada desde el vértice A.

11. Determ ínense las coordenadas de los extrem os de un segm ento que está

dividido en partes iguales mediante los puntos C (2 , 0 , 2) y D(5 , -2 , 0).

12. En un espacio están dados los triángulos A B C y A ’B ’C ’. M y M ’ son los puntos

de intersección de las m edianas. Expresar el vector M M ’ mediante los vecto­

res A A ’ , B B ’ y C C \

13. En un paralelogramo A B C D se d e s ig n a n : A B = a , A D = b. Expresar en términos

de a y b los vectores M A , M B , M C y M D , donde M es el punto de intersección

de las d iagonales del paralelogramo.

14. S i A , B y C son puntos colineales , hallar el vector A C sabiendo que B se

encuentra entre A y C ; donde A (3 , - 1 , 0 ) , B(4 , 1 , 3) y 11 A C ! I = 3 \1 4

15. El segm ento de una recta limitado por los puntos A(-1 , 8 , 3) y B(9 , -7 , -2), está

dividido en cinco partes ¡guales por los puntos C , D , E y F. Hallar las coorde­

nadas de e stos puntos.

4.3 j D IR E C C IO N DE UN V EC T O R EN EL ESP A C IO _____________

A cada vector no nulo V = (x , y , z) e R J , le

corresponde una dirección dada por tres ángulos de dirección a. , (i. y , cada uno de los cuales e s el

ángulo determinado por los ejes positivos del s is ­

tema tridimensional con el vector V en posición or­

dinaria (Figura 4.8). L o s ángu lo s de dirección se

elige de m anera que su s m edidas estén com pren­

didas en el intervalo [0 , tc]

A los co seno s de los ángu los de dirección

de un vector en R ' se les llama cosenos directores y

vienen dados por

200 Capítulo 4: Vectores en el espacio

C o s a = í - , C o s ( i=II Vil I Iv i l ' CoSY= l lvll

en donde : 11V11 = \ 'x ? + y : + z:

Elevando al cuadrado y sum ando las ecuaciones (1) , obtenem os

C o s :ot + C o s :p + Cos^y = 1

La ecuación (2) nos permite afirmar que los co se n o s directores de un vector están

íntimamente re lacionados , por lo que , si se conocen d o s de e llos se puede

calcular el valor absoluto del tercero. S i C o s a , C o sp y C o s y so n los co senos

directores de un vector no nulo V = (x , y , z ) , por las ecuac iones (1) resulta que

u = (C o sa , C o sp . Cosy) = ( , ,-*-7-. , -, . - tt , ,, z- n \x ll vi l l lvll l l v l l '

e s el vector unitario que tiene la m ism a dirección que V

E je m p lo 1 ) Obtener los c o se n o s directores del vector V que va de

A(2 , -2 , -1) a B(-4 , -5 , 1). Dem ostrar que la sum a de los

cuadrados de los co seno s directores del vector e s igual a 1 y obtener también un

vector unitario en la dirección de V.

Solución. S i V = Á B <=> V = (-4 , -5 , 1) - (2 , -2 , -1) = (-6 , -3 , 2)

Módulo del ve c to r: 11 V11 = V(-6)- + (-3)2 + (2)2 = 7

Por las ecuaciones (1) , los co seno s directores del vector V son

C o s a = - y C o sp = C o sy =_ 2

Luego : C o s :a + Cos-’P + C o s 'y = ^ ^ = 1

Finalmente , el vector unitario es la dirección de V , se gún (3) , e s

u = (-6/1, -3/7 , 2/7)

Ejemplo 2 } Averiguar si el vector V e R 3 puede tener com o ángu los de

dirección a a = 60°, p = 45° y y = 150°.

Solución. Veam os si la ecuación (2) se satisface para estos ángulos.

C o s :60° + Cos-’45° + C o s :y = (-|) + (~ y ) + ( ' * r j

Sección 4.3 : Dirección de un vector en el espacio 201

= ± + 1 + 2 = 2 * | 4 2 4 2

Por tanto , no existe el vector V con tales ángu los de dirección.

Ejemplo 3 J Obtener un vector V si su norma e s 14 y tiene sentido contra­

rio al vector cuya representación geométrica va de S (3 , - 5 , 2 )

a T (5 , -8 , -4).

Solución. S e a A = S T <=> A = <5 , -8 , -4) - <3 , -5 , 2> = (2, -3 , -6)

Entonces : 11V 11 = V(2): + (-3)2 + (-6)-’ = 7

Un vector unitario con sentido opuesto al de A es

Au = = (2 , -3 , -6)

7

Dado que , V = i V u = * V = I 4 ( ~~~ ' y ' ^ ) = (-4 , 6 , 12)

Ejemplo 4 j Hállese el vector A que forma con todos los tres versores

básico s ángu los agudos iguales , si A || = 2 \3

(Nota. A los vectores unitarios i , j y k se les denomina también versores básicos)

Solución. C om o a = p = y , entonces por la fórmula (2) obtenem os :

3 C o s ’a = I <=> C o s a = ± V3/3

y dado que a , p y y son a gudos , entonces C o s a = \3/3

Si x = 11 A 11 C o s a = * x = 2 \3 (V3/3) = 2

A = (2 , 2 , 2)

E JE R C IC IO S : Grupo 23

1. En los ejercicios siguientes obtener un vector unitario en la dirección del vector

cuya representación geométrica va de S a T.

a) S (2 , - 2 , - 1 ) , T(-4 , - 5 , 1 ) b) S (9 , 2 , -1 ), T(-3 , 5 , - 5 )

2. S i para un vector A e R \ C o sp = 3/10 y C o sy = 2/5; calcular el valor del ángulo a.

3. S i para un vector A e R ' , C o s a = 2/11 y C o sp = - 5/11 ; calcular Cosy.

4. Hallar un vector V cuya norm a e s 1/2 y tiene el m ism o sentido que el vector

A = (6 , 1 2 ,4 )

202 Capítulo 4: Vectores en el espacio

5. Hallar el vector V cuya norma es 7 \2 y que tiene el sentido opuesto al vector

A = (-2 , 5 , -4)

6. Hállese el vector X que forma con el versor j un ángulo de 60° y con el versor

k , un ángulo de 120° , si 11 X 11 = 5\!2

7. Hállese el vector X , colineal al vector A = <1 , -2 , -2 > , que forma con el versor

j un ángulo agudo y cuya magnitud e s 15.

8. Hállese el vector X , colineal con el vector A = - 3 i - 6 j + 2 k , que forma con el

versor k un ángulo obtuso , y cuya norma e s 21.

9. Un vector V forma con los ejes X e Y los ángu los de 60° y 120° respectivamen­

te. Hallar su s coordenadas sabiendo que su magnitud e s 2 unidades.

10. Hallar las coordenadas del punto P , si su radio vector forma con los ejes

coordenados ángu los iguales y su módulo es igual a 3.

11. Puede form ar un vector con los ejes co o rd e n a d o s lo s á n g u lo s s igu ientes

a) a = 4 5 ° ,p = 60o , Y = 1 2 0 * ) b) a = 45°, p = 135° , y = 60° ,

c) a = 90°, p = 150°, y = 6 0 ° ?

12. Puede formar un vector , con dos ejes coordenados los ángu lo s siguientes

a) a ^ 30°, p = 45°, b) p = 60°, y = 60°, c) a = 150°, y = 30° ?

4.4 j PRODUCTO E SC A L A R DE DO S V E C T O R E S EN EL ESPACIO

S i los vectores A y B e R ' se dan mediante su s coordenadas

A = ( x , , y , . z,) y B = ( x , , y , , z,)

su producto e s c a la r , denotado por A • B , se define com o sigue :

A • B = x, x ,+ y, y, + z, z. (4)

Por ejemplo , si A = (-2 , 3 , -5) y B = (1 , - 4 , - 2 ) , entonces

A * B = (-2 , 3 , -5)*(1 , -4 ,-2 )-

= (_2)( 1) + 3(-4) + (-5)(-2)

= -2 - 12+ 10 = -4

El teorema siguiente ilustra las propiedades del producto esca lar que se

puede dem ostrar de forma inmediata a partir de la definición (4)

Sección 4.4 : Producto escalar de dos vectores en el espacio 203

TEOREMA 4.1 Propiedades algebraicas del producto escalar

S i A . B y C son vectores en el espacio y r e s un escalar ,

entonces se verifican las s igu ientes p rop iedades

PE, : A • B = B • A Conmutatividad

P E 2 : r (A • B) = (rA) • B = A • (rB) Asociatividad escalar

P E 3 : C - ( A + B) = C - A + C * B

} Distributividad( A + B ) - C = A - C + B - C

P E 4 : A • A = 11 A I : > 0 Magnitud respecto al producto escalar

P E S : A • A = 0 <=> A = 0

Las dem ostraciones se dejan com o ejercicio.

1 Nota. Como A • B es un número . la expresión (A • B) • C carece de significado . por ie que no se considera la asociatividad del producto escalar.

Cjcmplo 1 J D ado s los vectores A = <3 , -1 , -2) , B = <2 , 1 , 4) y

C = (7 , -2 , -1 ), hallar la sum a de las com ponentes del vector

X tal que : A • X = 4 , B * X = 2 y C * X = 4

Solución. S e a el vector X = (x , y , z)

S i A • X = 4 ■=> (3 , -1 , -2) • (x , y , z) = 4 «=> 3x - y - 2z = 4

B • X = 2 ■=> <2 , 1 , 4) • (x , y , z) = 2 <=> 2x + y + 4z = 2

C • X = 4 <=> <7 , -2 , -1) • < x , y , z> = 4 ■=> 7 x - 2 y - z = 4

Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x = 2 , y = 6 , z = -2

.*. x + y + z = 6 ■

Ejemplo 2 } S i A = (2 , 1 ,-1 ) y B = (1 , -1 , 2 ), hallar un vector no nulo C e R.tal que : A • C = B • C = 0

Solución. S e a el vector C = (x , y , z)

S i A • C = 0 «=> (2 , 1 , - l ) * ( x , y , z) = 0 <=> 2x + y - z = 0 (1)

B * C = 0 <=> (1 ,- l , 2 ) * { x , y ,z ) = 0 => x - y + 2z = 0 (2)

Sum ando (1) y (2) se tiene : /. = -3x

Multiplicando (1) por 2 y sum ándole (2) obtenem os : y = - 5x

<=* C = (x , y , z) = (x , -5x , -3x) = x ( l , -5 , -3>

Hay infinitas soluciones. Un ejemplo , para x = I se tiene

C = (I , -5 , -3) ■

Ahora verem os el significado de ángulo entre dos vectores , el cual condu­

ce a otra expresión para el producto esca lar de vectores.

204 Capítulo 4: Vectores en el espacio

4.4.1J A N G U LO EN T R E DO S V E C T O R E S EN R*

El ángulo entre dos vectores A y B no nulos

e s el ángulo 0 e [0, ti] , entre su s respectivos vecto­

res de posición norm ales com o se muestra en la

F igura 4.9 , esto e s , 0 e s el ángu lo de m edida

positiva entre O P y O Q e interior al triángulo deter-

m inador por O . P y Q.

C om o A y B no son parale los entonces los tres

vectores A , B y A - B tienen representaciones

geom étricas que forman un triángulo. Em pleando

la ley de los co seno s se puede demostrar que :

C o s0 = A - B

Il A l l || B ||(5)

E je m p lo 3 J D ado s los vectores A = (1 , 2 , 1 ) y B = <2 ,1 ,-1>, determinar el

ángulo entre A y B.

Solución. A • B = (1 ,2 ,1 ) *< 2 , 1 ,-1 ) = 2 + 2 - 1 = 3

I A I = Vi + 4 + 1 = V6 y || B || = V4 + 1 + 1 = Vó

Luego , en la fórmula (5) : C o s0 = _ •' _ = - => 0 = 60°(Vó) (V6) 2

I Nota. Si se conoce el ángulo entre dos vectores , entonces de la fórmula (5)

(6)A • B = || A || ||B|| C o s0

obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar.

I O B S E R V A C IO N 4.1 Vectores paralelos

La fórmula (5) e s también válida si los vectores A y B son

paralelos , puesto que con A = r B se tiene

r B - B r 11 B 112 rC o s0 =r B B I r I ¡ ' B ! 12 r!

S i r > 0 <=> C o s0 = I y si r < 0 <=> C o s0 = -1. Entonces los vectores A y B son paralelos

si y sólo si 0 = 0o o 0 = 180°, es d e c ir, si y só lo si C o s0 = ± I. Luego , la fórmula (5)

se puede aplicar para decidir si dos vectores no nulos son paralelos o no.

Sección 4.4.1 : Angulo entre dos vectores en R' 205

Ejemplo 4 j Determinar si los vectores A = (6 , -3 , -9) y B = (-2 , 1 , 3) son

paralelos.

Solución. Re so lve rem os el problema aplicando dos m étodos

Método 1. Haciendo u so de la fórmula (5)

C o s 0 = (6 , -3 , -9) « ( - 2 , 1 , 3 ) = - 1 2 - 3 - 2 7 = _,

(V36 + 9 + 81) (V4 + 1 + 9 ) ( 3 \ Ü ) ( \Ó 4 )

C om o 0 = 180° <=> A |B

Método 2. Escrib iendo el vector A en la forma : A = r B

En efecto , A = - 3 ( - 2 , 1 , 3) = * A = -3 B

.*. A = r B £=> A11 B ■

1 Ejemplo 5 j Para qué valores de a y b los vectores A = (-2 , 3 , a) y

B = (b , -6 , 2) son colineales?

Solución. U sa rem os el método 2 del Ejemplo 4 , esto e s , si

r -2 = rbA 11B c=> (-2,3, a),= r <6 , -6 , 2) <=> J 3 = -6r =* r = - 1/2

L „ _a = 2rde donde obtenem os : a = -1 y b = 4

I O B S E R V A C IO N 4 .2 Vectores ortogonales

D o s vectores A y B son ortogonales , si y só lo si la medida

del ángulo comprendido entre ellos e s 90° , esto e s , si y só lo si C o s0 = 0. De la

fórmula (5) se obtiene inmediatamente que los vectores A y B en R ' son perpendi­

culares si y só lo si A • B = 0

Ejemplo 6 j Dem ostrar que el vector V = (2 , -1 , 3) e s ortogonal a los

vectores A = <3 , 0 , -2), B = (1 , 8 , 2) y C = (1 , -4 , -2).

Demostración. En efecto , hallem os el producto escalar de V con cada uno de los

vectores dados

A • V = (3 , 0 , -2) • (2 , - 1 , 3) = 6 + 0 - 6 = 0

B - V = (l , 8 , 2) * ( 2 , - 1 ,3) = 2 - 8 + 6 = 0

C • V = (I , -4 , -2) • (2 , -1 , 3) = 2 + 4 - 6 = 0

Por tanto , V e s ortogonal a los tres vectores dados. ■

206 Capitulo 4: Vectores en el espacio

En este ejemplo se puede ob se r­

var que ningún par de los tres vectores A . B

y C son paralelos. En realidad , en R ' , e s

posible obtener un número infinito de vecto­

res no paralelos , cada uno de los cuales e s

perpendicular a V. (Figura 4.10).

Esto sugiere que el conjunto de representa- F IG U R A4.10

ciones geométricas de todos los vectores ortogonales a V cübre el plano comple­

tamente.

1 Nota. Los términos perpendicular, ortogonal y normal significan , esencialmente la misma cosa : encuentro en ángulos rectos. Sin embrago , se da preferencia a decir que dos

vectores son ortogonales , dos rectas o planos son perpendiculares y un vector es normal a una recta o plano dado.

r E JE M P LO S ILUSTRATIVO S i-------------- ^I

e jem p lo 1 J Hallar todos los vectores que son perpendiculares al plano

formado por los vectores A = (5 , -1 , -2) y B = (2 , 3 , 4).

Solución. D esignem os por C = (x , y , z) uno de los vectores buscados.

S i C ± A o (x , y , z ) * (5, -1, -2) = 0 «=> 5x - y - 2 z = 0 (1)

C 1 B => <x , y , z) • <2 , 3 , 4) = 0 *=> 2x + 3y + 4z = 0 . (2)

Multiplicando (1) por 2 y sum ándole (2) obtenem os : y = -12x

Multiplicando (1) por 3 y sum ándole (2) resulta : z = (17/2)x

=> C = < x , - I2 x , H x> = -*-(2 ,-2 4 , 17)

Por lo tanto , V = n(2 , -24 , 17), n e R - { 0 } , representa al conjunto de vectores que

son perpendiculares a A y B. ■

, E je m p lo 2 ^ S i A = (2 , -1 ,2 ), B = (1 , 2 , -2 ) , hallar dos vectores C y D en R \

que satisfacen las condic iones sigu ientes :

A = C + D , B • D = 0 , C l lB .

Solución. S e a n : C = ( x l , y , , z l) y D = ( x . , y , , z , )

S i A = C + D <=> (2 ,-1 , 2) = (x, + x , , y, + y , , z, + z,)

Sección 4.4 : Producto escalar de dos vectores en el espacio 207

<=> 2 = x, + x ; , -1 = y , + y 2 , 2 = z, + z, (1)

B • D = 0 => (1 , 2 , -2) • (x: , y , , z,) = 0 <=> x, + 2y, - 2z, = 0 (2)

C l lB => C = r B c * (X|, y, ,z,) = r(l ,2 , -2 ) <=> x, = r , y, = 2 r , z, = - 2 r (3)

Sustituyendo (3) en (1) se tiene : x, = 2 - r , y 2 = -1 - 2 r , z, = 2 + 2r

Finalmente , sustituyendo en (2) , obtenem os r = - 4/9

c = | ( - 1 , - 2 ,2 ) y D = £ ( 2 2 , - 1 , 10) ■

( Ejem p lo 3 J Hallar un vector unitario perpendicular al plano formado por

| los vectores A = (2 , -6 , -3) y B = (4 , 3 , -1)

Solución. S e a C = (x , y , z) el vector normal al plano formado por A y B

S i A ± C ■=> A • C = 0 <=> (2 , -6 , -3) • (x , y , z) = 0 <=> 2x - 6y - 3z = 0

B JL C o B • C = 0 => ( 4 ,3 , -1) • (x , y , z) = 0 <=> 4x + 3y - z = 0

Resolviendo el sistem a para x e y , obtenem os : x = — z y = - - z

^ C = |-(3 , -2 , 6) = n (3 , -2 , 6), n € R - {0 } 6

Por consiguiente : u = n (3 , -2 , 6)— = ± i (3 t _2 , 6)I n | \'y + 4 + 36

e jem p lo 4 J El vector V es perpendicular a los vectores A = (1 , 1 , 1), B =

(2 , 1 , -1) y forma con el eje O Z un ángulo obtuso , hallar el

vector V sab iendo que 11V i I = \'56.

Solución. S e a el vector V = ( x , y , z)

S i A 1 V «=> (i , i , l ) * ( x , y , z) = 0 <=> x + y + z = 0

B X V <=* (2 , 1 , -1) • (x , y , z) = 0 <=> 2x + y - z = 0

Del sistem a de ecuaciones obtenem os : y = (-3/2)x , z = (l/2)x (1)

c=> V = ( x , - | x , | x ) = y (2 , -3 , 1)

S i| | V | | = V 5 6 = > |- -| \4 + 9 + 1 = V56 <=> I x I = 4 <=> x = 4 ó x = -4

Dado que el ángulo y e s obtuso . entonces C o sy < 0 , esto es /. < 0

Luego , en (1 ), para que z < 0 , debem os elegir x = -4

V = ( - 4 ,6 , - 2 ) . ■

208 Capítulo 4: Vectores en el e.ipaci

ejemplo 5 ^ D o s vectores A = (2 , -3 , 6) y B = (-1 , 2 , - 2 ) están aplicados

a un m ism o punto. Hallar las coordenadas del vector C , quetiene Ir m ism a dirección de la bisectriz del ángulo formado por los vectores A y B,

si l|C = 3 \4 2 .

Solución. S e a n : a = -- y - - y b =

dos vectores unitarios en las direcciones de A y B

respectivamente. Entonces el vector C tiene la m is­

ma orientación del vector unitario u = a + b . esto e s ,

C = r (a + b) = -1 < - I ,5 ,4 > = t(-l , 5 , 4 ) , t > 0

= * I I C || = t \ l + 25 + 16 <=> 3 \42 = l\ '42 => t = 3

C = (-3 , 15 , 12) ■

r

A/Z jf

/ / / / ' B

^ b----------------_>

FIGURAh.11

Ejemplo 6 ^ Lo s vectores A y B forman un ángulo 9 = 30° , sabiendo que

A | = \ 3 y 11 B 11 = 1 , hallar el ángulo a formado por los

vectores V = A + B y W = A - B .

. V3Solución. S i CosG = A - B A - B<=> A • B = 3/2

IA || II B If 2 ( \ '3 ) ( I )

V = A + B = > | | V | | J = ||A||J + 2 A - B + | | B l | J = 3 + 2(3/2) + 1 = 7 <=> l l v l l = V T

Análogam ente , para W = A - B , obtenem os : 11W 11 = 1

V - W = (A + B) - (A - B) = 11A 112 - 11 B 112 = 3 - 1 = 2

Luego , si C o sa = - — W c * C o s a = -== o a = are C o s (2A/7) ■IIVll || W || V7 ■

Ejemplo 7 Dado el segm ento A B , donde A(-1 , 2 , 4) y B(8 , -4., -2); hallar

el ángulo C O D , si O e s el ori­

gen de coordenadas y C y D son los puntos de tri­

sección del segm ento ÁB.

Solución. S e a 0 la medida del ángulo C O D .

Com o C y D son puntos de trisección del

sgem ento A B , entonces : -^9- = '-LC B 2

r s r\ J D

•y

( i JFIGURA 4.12

Sección 4.4 : Producto escalar de dos vectores en el espacio 209

Esto es ; C B = 2 A C <=> B - C = 2 (C - A)

d e d on d e :C = y ( 2 A + B ) o C

D es punto medio de C B , luego

B) = ;

C • D <2 , 0 , 2) • (5 , -2 , 0)

dedonde :C = 1 ( 2 A + B ) => C = ± « - 2 , 4 ; 8) + (8 , -4 , -2)) = <2 , 0 , 2)

D = y (C + B) = y «2 , 0 , 2) + <8 , -4 , -2)) = (5 , -2 , 0)

Si CosG =(2%/2 ) ( \ r29) V58

0 = are Cos(5/\ 58 )

f ejemplo 8 ^ En la Figura 4.13 se tiene el paralelepípedo de dimensiones:

O A = 4 , O B = 5 y O C = 3. Hallar el co seno del ángulo formado

por el vector V = 5 a + b - c y el vector W = (-1 , 2 , 0 ) , si 11 a I = V2 , 11 b 11 = 5 y

I IC || =10.

Solución. Haciendo coincidir las aristas O A , O B y

O C con los ejes X , Y , Z , respectiva­

mente , de un sistem a cartesiano tridimensional ,

se tiene :

A(4,0 ,0 ) , B (0 , 5 , 0), C (0 , 0, 3), D (4 ,5 ,0 ) , E ( 0 , 5 ,3)

«=> C A = <4, 0 , 0) - (0 , 0 , 3) = (4 , 0, -3)

C D = (4, 5 ,0) - (0 ,0 , 3) = <4, 5 , -3)

D E = ( 0 , 5 , 3 ) - < 4 , 5 , 0 ) = < - 4 , 0 , 3 ) _

Un vector unitario en la dirección y sentido de C D es

r< 4 ,5 , - 3 ) \

rr

>F.

yfVas / 1 \ r / 1 / ¡

/ 1 \ c J i \f OJ.--/

bJ B' \/ / \ !/ \

V n ,FIGURA 4.13

« = - S & -II C D

a = 1 ( 4 , 5 , -3 )- a = ||al| o = V 2 Ív \50

Análogam ente : b = 11 b 11 ) = 5 ^ 4 ’ ^ <=> b = (-4, 0 , 3)

IICÁIK " v 5Luego : V = 5 a + b - c = <4 , 5 , -3) + (-4 , 0 , 3) - <8 ,0 , -6) = (-8 , 5 , 6)

C o s0 =V - w < -8 , 5 , 6) • <-1 , 2 , 0 ) 18

IIVll II W || (\64 + 25 + 36 ) (\ 1 + 4 )

210 Capítulo 4: Vectores en el espacio

EJERCICIO S : Grupo 24

1. D a d o s los vectores A = (5 , -2 , 1 >, B = <6 , 1 , -4) y C = <1 , 2 , 1 >, calcular el

producto de las com ponentes de un vector X . tal que : A * X = 3 , B * X = 62y

C - X = 15.

2. S i A = (3 , 3, -1) y B = (-1 , -2 , 4 ), hallar un vector no nulo C e R ’ , tal q u e :

A • C = B • C = 0 . (Hay infinitas soluciones)

3. S i A + B + C = 0 ,| lA | | = 3 , 11 B ! | = 4,||C|| = 6 , hallar A • (2 B - A).

4. Sab iendo q u e : 11 A 1 = 3 , Í B l = 1 , | I C l | = 4 y A + B + C = 0, calcular la suma

A • B -f B • C + A • C.5. D a d o : II A II = 11 , 11 B 11 = 23 y II A - B || = 30 , h a lla r I IA + B II

6. D a d a s tres fuerza : F, = <3 , -4 , 2 ). F2 = <2 , 3 , -5> y F3 = (-3 , - 2 , 4 ) , aplicadas a

un punto , calcular el trabajo realizado por la resultante de e stas fuerzas si el

punto de aplicación se desp laza en su movim iento rectilíneo de la posición

A(5 , 3 , -7) a la posición B ( 4 , -1 , -4). (Sugerencia : Trabajo , W = F • e , e = AB).

7. H a lla r to d o s lo s ve c to re s que so n o r to g o n a le s a c a d a uno de vecto re s

A = (1 , 3 , -2) y B = (2 , -4 , 1).

8. Hallar los vectores unitarios que son normales al plano determinado por los

puntos A (3 , - 6 , 4 ) , B(2 ,1 , 1) y C (5 , 0 , -2).

9. S i A = <3 , -1 , 2) y B = (1 , 1 , -4), hallar dos vectores C y D e R ’ que satisfacen

las condiciones siguientes : A = C + D , B * D = 0 , C B.

10. El vector A e s ortogonal a los vectores B = <3, 2 , -1) y C = <-1 .2 ,2 ) y forma con

el eje O Y un ángulo obtuso. Halle el vector A sabiendo que su magnitud es

1 0 V5 :

11. Para qué valores de m , los vectores A = (m , -2 , 1 ) y B = 2 m i + m j - 4 k son

ortogonales.

12. El vector X e s ortogonal a los vectores A = <2 , 3 , -1) y B = (1 , -2 , 3) y satisface

la condición : X • <2 i - j + k) = -6. Hállese su s coordenadas.

13. Hallar el ángulo que forman el vector A que va de P (4 , -9 , 3) a Q (3 , - 5 , 2 ) con

el vector B que va de R(2 , 4 , -7) a S (4 , -1 , -2).

14. Hallar el co seno del ángulo 0 entre las d iagonales A C y B D de un paralelogra­

mo si están dados tres de su s vértices : A(2 , 1 , 3 ), B(5 , 2 , -1) y C (-3 , 3 , -3).

15. Hallar un vector unitario paralelo al plano X Y y ortogonal al vector A = (4 , *3 , 1).

16. El vector B e s ortogonal al vector j = (0 ,1 ,0) y al vector A = ( -3 ,8 ,4 ) . S i adem ás

Ejercicios de la Sección 4.4 211

B forma un ángulo obtuso con el vector k = (0 , 0 , 1 ) ; hallar el vector B sabiendo

que su norma e s 10 unidades.

17. Los vectores A y B forman entre si un ángulo de 45° y 11A | = 3. Hallar I B |de

manera que A + B forme con A un ángulo de 30°.

A B18. S i A y B son vectores no nulos y no paralelos , dem ostrar que

I IA || || B ||forma ángu los iguales con A y B.

19. Los vértices de un triángulo son A(-2 , 3 , -1 ), B(1 , 1, 5) y C(-1 , 5 , -3). Hallar el

vector en la dirección de la bisectriz del ángulo B A C , si la norma del vector es

2\2Í.

20. El vector X e s ortogonal a los vecto re s A = (3 , 2 , 2) y B = (18 , -22 , -5) y

forma con el eje O Y un ángu lo obtuso. H allar s u s com ponen tes sab iendo

que 11 X 1 = 1 4 .

21. D ado s los vectores A = <3 , 5 , 2) y B = (-4 , 0 , 3 ) , tales que A = C + D , siendo

C paralelo a B y ortogonal a D , hallar C y D.

22. S i u y v son vectores unitarios de R ' tales que u • v = 1/4 , hallar I u + v I .

23. D ado s los vectores a = <2 , -1 , 1), b = <1 , 2 , -1) y c = (1 , 1 , -2) de R ' ; hallarlos

vectores d e R ' tales que :d = x b + y c ; x , y e R , d e s unitario y adem ás d es

ortogonal al vector a.

24. El segm ento de una recta , limitado por los puntos A(-1 , 8 , 3) y B(9 , -7 , -2),

está dividido en cinco partes iguales por los puntos C , D , E y F . Hallar el

coseno del ángulo D O E , donde O e s el origen de coordenadas.

25. En la Figura 4.14 se tiene un paralelepípedo de d im ensiones : O A = 3 , O B = 4

y O C = 5. Hallar el ángulo que forman los vectores

V = a - 2 b + 2 c + d + e y W = 2j + k.

26. En la F igura 4.15 , A B C D E F e s un cubo. Hallar el c o se n o del ángulo formado

por los vectores S = a, + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 y V = (-1 , 2 , 2).

FIGURA 4.14 FIGURA 4.15

212 Capítulo 4: Vectores en el

27. El vector A e s ortogonal a los vectores B = (2 , -1 ,3 ) y C = <1 , 0 , -2 ), y forma un

ángulo agu d o 'co n el vector j = (0 , 1 ,0). Hallar el vector A sabiendo que su

norma e s 3V6.

28. Se a n los vectores A = <1 , m , 5) y B = <-6m , m , 1>. Hallar m de modo que el

ángulo que forman A y B sea, respectivamente , recto , agudo y obtuso , y las

com ponentes de A y B cuando su producto e sca lar e s mínimo.

29. Sean A y B vectores en R ' con V * O y r una constante no nula. Demostrar que

el vector W = A - B , e s ortogonal a r B.l lB | | - a J

30. L o s vectores A , B y C tienen longitudes igua les y forman dos a d os ángulos

iguales. Hallar las coordenadas del vector C , s i A = i + j , B = j + k

4.5 j PR O Y EC C IO N O RTO G O NA L Y C O M P O N E N T E S

La definición de proyección ortogonal de un vector sobre otro ve c to r, es

análoga a aquella que se hace para dos vectores en R-. Esto e s , si A y B e R ' ,

entonces: ________________________

P ro y “A = ( ^ B(7)

En efecto , por la Figura 4.16 , hacem os V = P royBA y

com o V e s múltiplo escalar de B podem os escribir

A = V + C = rB + C

Efectuando el producto esca la r en am bos extre­

m os con B , tenem os

A - B = ( rB + C ) * B = r||B||: + C - B

Dado que C y B son ortogonales , C • B = 0 , por lo que

A * B

r

z

I .B

V

A • B = r I B >=> r =B

FIGURA 4.16

- , y si V = i B => V = f A * B ) B- Vil n I I 2/

FIGURA 4.17 FIGURA 4.18

Sección 4.5: Proyección ortogonal y componentes 213

En particular considerem os las F iguras 4.17 y 4.18 , en las que aparecen

las representaciones geom étricas de los vectores no nu los A y B y la P royBA.

Podemos observar lo siguiente.

1. El vector B y la P royBA son paralelos (colineales)

2. Cuando el ángulo 0 e s agudo , B y ProyBA tienen el m ism o sentido.

3. Cuando el ángulo 0 e s obtuso , B y P royaA tienen sentidos opuestos

4. Si B y Proy8A son ortogonales , entonces P royBA = 0, o se a . A 1 B

PRO P IED AD ES.

1. P royc(A + B) = P roycA + ProycB

2. ProyB(rA) = r ProyBA

3. P roytBA = P royBA

La componente o proyección escalar de un vector A sobre otro vector B ,

denotado por C om p BA , se expresa mediante su módulo y el ángulo 0 que forma

con el vector B . por la fórmula

C om pBA = 11A 11 C o s0

Si aplicamos la ecuación (5) a esta fórmula obtenem os el número real

C o m p A = A - B

¡IB |[ (8)

Ahora bien , la proyección de A sobre B puede escribirse com o un múltiplo escalar

de un vector unitario en la dirección de B. Esto e s , de la fórmula (7)

ProysA = ñ f nentonces la proyección ortogonal y la componente están relacionados por

P ro y BA = (C o m p BA) B

II B ||(9)

En donde podem os observar lo siguiente

1. Si C om p BA > 0 , entonces los vectores B y P royBA tienen el m ism o sentido

2. S i C om pBA < 0 , entonces B y P royBA tienen sentidos opuestos.

3. S i C om p BA = 0 , entonces B _L P roy0A , o bien , A 1 B

4. S i en la ecuación (9) tom am os m ódulos a am bos extremos obtenem os

11 P royeA 11 = I C om p BA <=* C om pBA = ± 11 ProyBA 11

De aquí que a la com ponente se le define también com o la magnitud dirigida de la

proyección.

214 Capitulo 4: Vectores en el espacio Sección 4.5 : Proyección ortogonal)' componentes 215

J E JE M P LO S ILUSTRATIVO S )-

e je m p lo 1 ] S e d a n los vectores A = ( - 2 ,1 ,1 ) , B - ( 1 , 5 , 0 ) y C = 4¡ + 4j-2k.

Calcular C om p c(3 A - 2 B).

Solución. 3 A - 2 B = <-6, 3, 3> - (2 , 10,0 ) = <-8 . -7. 3)

Luego , haciendo u so de la fórmula (8) obtenem os

(-8 , -7 , 3) • <4 , 4 , -2) - 3 2 - 2 8 - 6C om pc(3 A - 2 B) =\ 16 + 16 + 4

C jcm p lo 2 ) Se an los vectores A = ( 5 , 4 , 1 ) y B = ( -2 ,6 ,3 ) . Hallar un vector

C que e s ortogonal al vector V = (2 , 1 , 0 ) que satisface las

condiciones : A • C = 1 y C om pBC = -2/7

Solución. S e a C = (x , y , z) el vector buscado

S i C J_ V o (x , y , z )*<2 , 1 , 0) = 0 <=> 2 x + y = 0 (1)

A • C = 1 => <5 , 4 , 1) • (x , y , z) = 1 < = > 5 x + 4 y + z = l (2)

Com p C = - 1 => -X -’ y ’ = - -| «=> -2x + 6y + 3z = -2 (3)V4 + 36 + 9 7 ' '

Resolviendo el sistem a de ecuaciones (1), (2) y (3), obtenem os : x = l , y = - 2 , z = 4

C = <1 ,-2 ,4 > ■

Ejemplo 3 ) Calcular la distancia del punto P(3 , 2 , 1) a la recta que pasa

por los puntos A(-3 , -6 , -3) y B(1 , 2 , 9)

Solución. La Figura 4.19 muestra al punto P y la

recta 2' que pasa por A y B. El punto H

e s el pie de la perpendicular a la recta % bajada

desde P S i d e s la distancia 11 PH 11 , entonces

por el teorema de P itágoras

d = yí\\ÁP112- 1 A H 12 (1)

Á P = P - A = <3 . 2 , 1> - (-3 , -6 , -3) = <6 , 8 , 4> FÍGURA4.19

=> 11 Á P 11 = 2 \ 9 + 16+ 4 = 2V29 (2)

Á B = B - A = (1 , 2, 9) - (-3 , -6, -3> = 4(1 , 2 , 3)

f " '

p

d

f

>< I B

_34

V Í4= (3)IÁ H I = C om p-gÁP = « IÁ H | = 2 <3 - 4 ' 2> - 4 < l ' 2 ' 3-)

AB l l A B l I 4Vl + 4 + 9

Si se sustituye los valores de (2) y (3) en (1) resulta

d= a/(2V29y - = y \ 1 8 2

(^ e je m p lo 4 J S e dan los vértices de un triángulo : A(-1 ,-2 , 4) , B(-4 ,-1 , 2)

y C(-5 , 6 , -4). B D e s la altura del triángulo trazado por el vértice

B. Hállese las coordenadas del punto D.

Solución. En el A A D B : D B = A B - A D

c=> D B = A B - P ro y ^ A B

ÁB = B - A = (-4 , -1 , 2) - <-1 , -2 ,4) = <-3 , l , -2)

ÁC = C - A =<-5 , 6 , -4>-<-l , -2 , 4 > -4 < - l , 2 . -2>

(1)

ProyB-cA B =<-3 , 1 , -2) • <-1 , 2 , -2>

(-1 ,2 , -2 )(Vi + 4 + 4 )2

de donde obtenem os : P ro y ^ A B = <-1 , 2 , -2)

Luego , en (1): D B = (-3 . 1 , -2 )- <-1 ,2 , -2) = (-2 , - 1 ,0 )

r

M ka” ' ñ V -------------- J

FIGURA 4.20

D = B - D B = <-4 , -1 , 2) - (-2 , -I , 0) = <-2 , 0 , 2)

ejemplo 5 J L o s vértices de un triángulo son A (2 , -1 , -3) , B(1 , 2 , -4) y

C (3 , -1 , -2). Hallar el vector V que e s colineal a la altura

bajada del vértice A al lado opuesto si se sabe que I V 11 = 2 \ 17

Solución. En el A B H A : A H = BH - B A

c=> AH = ProyB- B A - B A

BA = A - B = <2,-1 , -3) - < 1 , 2 , -4) = (1 , -3 ,1 )

B C = C - B = <3 , -1 , -2) - <1 , 2 , -4) = <2, -3 , 2)

D- A <1 , -3 , !)• <2 , -3 , 2)

(1)

ProyB-cB A =(\4 + 9 + 4 ):

< 2 ,-3 , 2)

= < 2 , -3 ,2 )

M KB H

\V

>

FIGURA 4.21

Entonces , en (1) se tiene : A H = j y ( 2 , -3 , 2) - <1 , -3 , I) = y y <3 , 4 , 3)

Un vector unitario en la dirección de A H e s : u = <3 ,4 , 3)\Í34

3

216 Capítulo 4: Vectores en el espacio

C om o V e s colineal con AH , entonces : V = 11V 11 u

... V = (2 V ¡7 ) = V 2 ( 3 , 4 , 3 )

E je m p lo 6 j Dado el triángulo A ( 6 , 8 , 0 ) , B ( - 5 ,7, -10) y C (7 , -5 , 1 4 ) ; hallar,

a) El pie de la altura que cae sobre el lado BC.

b) La s coordenadas de un punto D, de manera que A B C D se a un trapecio isósceles.

c) El área del trapecio.

Solución. E n e lA B H A : H A = B A - BH

<=> H A = B A - P ro y ^ B A (1)

B A = A - B = (6, 8 ,0 ) - (-5 . 7 , -10> = <11 , 1 , 10)

B C = C - B = (7 , -5 , 14)-<-5, 7 ,-1 0 )= 12(1 , -1 ,2)

P ,°yB B A = < » '■ ; ■ “ » • < ' 2> .(V1 + 1 + 4)-

= 5(1 , - 1 ,2)

a) En (1) se tiene : H A = ( I I , 1 , 10) - (5 ,-5 , 10) = (6 , 6 , 0)

/. H = A - (6 , 6 , 0) = (6 , 8 , 0) - (6 , 6 , 0) = (0 , 2 , 0)

b) l l B C l l = 12 VI + 1 + 4 = 12 Vó ; 11 BH 11 = 11 P ro y ^ B A 11 = 5 ^ 6

C om o el cuadrilátero A B C D e s un trapecio isó sce le s , II B H II = II E C || ,

en tonces

11 A D 11 = 11 B C 11 - 2 11 BH 11 = 12\6 - 10\6 = 2V6

Un vector unitario en la dirección de B C e s : t

'(1 , - l ,2)S i A D 11 B C <=> A D = 11 A D 11 u = 2 \ó ( -Vó

( = (1 ,-1 ,2 )

Vó

) = ( 2 , - 2 . 4 )

D = A + <2 , -2 , 4) = (6 , 8 ,0 ) + (2, -2 ,4) = (8 ,6 , 4)

c) Area del trapecio : S = -¿*(11 B C 11 + 11ÁD 11)11 HÁ11

S = ^- (12 Vó + 2 Vó) 6 V2 = 84 V3 u-

Sección 4.5: Proyección ortogonal y componentes ______ 217

E JE R C IC IO S : Grupo 25

1. Se an los puntos A(2 , 3 , 1 ), B(5 , -9 , 4) y C (6 , -7 , 2). S i P divide al segm ento

Á B en la razón A P : P B = 1 : 2 , hallar la norma de la proyección Á P sobre el

vector BC.

2. Si A = (4, -2 ,1 ) y B = <2, -1 ,4 ), hallar la componente del vector V = 3 A - 2 B sobre

el vector W = 2 A + 3 B.

3. Si A = (2 , 3 , 1 ) y B = (2 ,1 , -3), calcular la proyección del vector V = 3 A - 2 B sobre

el vector W = B - 3 A.

4. Hallar la com ponente del vector V = (4 , -3 , 2) sobre el eje que forma con los

ejes coo rdenado s d os ángu lo s a gu d o s iguales.

5. Hallar la com ponente del vector V = ( \2 , -3 , -5) sobre el eje que forma con los

ejes coordenados O X y O Z los ángu lo s a = 45° , y = 60° y con el O Y un ángulo

agudo (3.

6. S e dan los puntos A (3 , -4 . -2), B (2 , 5, -2). Hallar la componente del vector A B

sobre el eje que forma con los ejes coordenados O X y O Y los ángulos a = 60°,

(3 = 120° y con el eje O Z un ángulo obtuso y.

7. Calcu lar la distancia del punto P(2 , -1 , -4) a la recta que pasa por los puntos

A (3 , -2 , 2) y B(-9 , -6 , 6).

8. D ado los vectores A = (1 , 2, 3 ). B = (2 , 1 , -3) y C = (3 , -4 , 2 ); hallar todos los

vectores de norma \1 3 9 paralelos al vector ProyAC + Proy8C.

9. Hallar C o m p B A , s i A + B + C = 0 y |Ia | | = 3 , | | B | | = 6 , | | c ! | = 7

10. Lo s vértices de un triángulo son los puntos A (2 , 3, -1 ), B(5 , 1 , 1) y C (6 , 4 , -2).

Hallar un vector V que e s colineal a la altura bajada del vértice B al lado

opuesto si se sabe , adem ás que 11V 11 = 6 .

11. S e dan lo s vértices del triángulo : A(-1 , 3 , 4 ) , B (-5 , 6 . -4) y C(1 , 2 , 6) ; B D

e s la altura del triángulo trazada por el vértice B. Hallar las coordenadas del

punto D.

12. Lo s puntos A (2 , 7 , 0 ) , B (0 , 4 , 4) y C(1 ,1 ,2 ) son los vértices de un trapecio

isó sce le s A B C D tal que Á B e s una de su s bases. H a lla r :

a) El pie de la altura C H que cae sobre AB. b) El vértice D. c) El área del

trapecio.

218 Capítulo 4: Vectores en el espacio

4.6 j C O M B IN A C IO N L IN EA L DE V E C T O R E S EN R*

Se a n los vectores no paralelos y no nu­

los , A , B y C dados en un sistem a tridimensio­

nal. S i gráficamente un vector V del espacio po­

dem os expresarlo com o una sum a de com po­

nentes vectoriales r A , s B y t C , que son múlti­

plos esca lares de A , B y C , entonces se dice

que el vector V se ha expresado com o una com ­

binación lineal de los vectores A , B y C (Figura

4.23). E s decir

V = r A + s B + tC

Ahora bien, todo vector V e R ’ se puede expresar com o una sum a de

múltiplos e sca lares de versores básico s : i = <1 , 0 , 0 ), j = (0 , 1 ,0 ) y k = <0, 0 , l>. '

En efecto sean <x , y , z) las com ponentes del vector V , entonces podemos

escribir :

V = < x , y , z) = (x , 0 , 0 ) + (0 , y , 0) + ( 0 , 0 , z)

= x (l , 0 , 0 ) + y<0, 1 ,0) + z < 0 ,0 , 1)

<=* V = x i + y j + z k

DEFINICION 4.1 Dependencia e independencia lineal de vectores en R ’

Un sistem a de vectores { A , B , C se llama linca/mente dependiente , cuando , y sólo cuando , los vectores A , B y C son coplanares, es

decir , son paralelos o coincidentes a cierto plano (Figura 4.24). S e dice que

tres vectores A , B y C s R- , son lineahnente independientes , si y só lo s i , A . B

y C no son coplanares (Figura 4.25)

FIGURA 4.24 FIGURA4.25

Sección 4.6 : Combinación lineal de vectores en R ' 219

Criterio de Independencia Lineal

Tres vectores A . B y C e R ' , son linealmente independientes si se verifican

las condic iones sigu ientes

r A + s B + tC = 0 <=> r = 0 , s = 0 , t = 0 (8)

DEFINICION 4.2 liase y coordenadas de un vector en R '

Una terna ordenada de vectores no coplanares A , B y C lleva

el nombre de base en el conjunto de todos los vectores geométricos. Sab em os

que todo vector geom étrico V puede se r representado unívocam ente en la

forma

V = r A + s B + i C (9)

los núm eros r , s y t se denom inan coordenadas del vec to r V en la b a se

p = { A , B , C }. Motivo por el cual a la notación (9) se le denom ina también .

descom posición del vector V según la base p.

r

EJE M P LO S ILUSTRATIVOS }1

Ejemplo 1 ~ } S e a dado la terna de vectores no coplanares A, = (1 , - 2 , 0 ) ,

A 2 = <1 , 2 , -2) y A 3 = (3 , 7 , -5). Calcú lese las coordenadas del

vector A = 2 i - 3 j + k en la base P = {A , , A 2 . A 3i y escribir la descom posición

correspondiente se gú n la base.

Solución. S i A, , A, y A, son vectores no coplanares , entonces existen r , s , y t e R,

tales que : A = r A, + s A, + t A,

{ 2 = r + s + 3 1

-3 = -2 r+ 2 s + 7t

1 = -2 s - 5 1Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : r = 2 , s = - 3 y t = I

Luego , el vector A en la nueva base se escribe com o (2 , -3 , I) o equivalentemente:

A = 2 A, - 3 A, + A , ■

E jem p lo 2 j En el tetraedro O A B C la m ediana A M de la arista A B C se

220 Capitulo 4: Vectores en el espacien

divide por el punto P en la razón A P : P M = 3 :7 . Hallar las coordenadas del vector OP

en la base de las aristas O A . O B y OC.

Solución. S i A E = A ^ AP. _ J_P M 7 A M 10

En el triángulo O A P , se tiene :

èO P = O A + A P t=* O P = O A + — A M

Pero, A M = O M - O A

y com o M e s punto medio de B C , entonces

Á M = 4- (Ó B + Ó C ) - Ó Á

Al sustituir en (1) obtenem os

O P = Ó A + ] ^ ( y Ó B + y Ó C - Ó A )

“ i7o ° A + To°~B + é ° ~ c_Por consiguiente , las coordenadas de O P en la base (3 = 'O A , Ó B , Ó C ’- son

(7/10,3/20,3/20)

( • ~ \E je m p lo 3 J Sean dados los vértices de un triángulo, A(1 , -1 , -3), B(2 ,1,-2)

y C(-5 , 2 , -6). Calcular la longitud de la bisectriz de su ángulo

interior en el vértice A.

Solución. Se a n u y v los vectores unitarios de A B

y A C respectivamente

Com o A E 11 (u + v ) , entonces 3 t > 0 , tal que

4 1 — + 4 P ) (1).. A B II l l A C l l '

Por otro lado : A E = A C + C E = Á C + r C B

= Á C + r(Á B - ÁC )

= rÁ B + (1 - r)Á C , r > 0 (2)

La s ecuaciones (1) y (2) representan en si dos descom posic iones del vector AE

según la base formada por los vectores A B y AC. S iendo única la descom posición

de un vector según la base, tenem os

A E = t(u + v) = t ( - 4 1\ A P

r =I A B í = I I ÁC l l

Sección 4.6 : Combinación lineal de vectores en R ' 221

Resolviendo el sistem a obtenem os : t =

Luego, en (1 ): Á E = ( _ l,1 A C l , L - - ) Á B + =3 \ a c j . U r / ' a p

l l A B l I l l A C l l

I I Á Í I I + I I Á C I I

Á B

Il A B II + | | Á C | | ' ' I I Á B II + 11 A C 11

S iÁ B = B - A «=> Á B = (2 , I , -2) -<1 , - l , -3> = (I , 2 , 1) => ||ÁB || = \6

ÁC = C - A ■=> Á C = ( - 5 , 2 , -6) - (1 , -1 , -3) = ( - 6 ,3 , -3) => 11 Á C 11 = 3 \6

(3)

A E = j ( l , 2 , I > + ^- (-6 , 3 , -3) = -j ( -1 , 3 , 0 ) «=> I I A E I I = ^ \ 1 0

Ejemplo 4 J Se a n dados los puntos A(2 , 5 , 2) y B (14 , 5 , 4 ) ; C es el punto

[ de intersección del plano coordenado O X Y con una recta tra­

zada por el punto B paralelamente a la recta OA. Hallar las coordenadas de C.

Solución. S e a el punto C (x , y , 0)

En el triángulo O C B se tiene :

OB = O C + C B = (x i + y j) + rO A

=> (14, 5 , 4> = x ( l , 0 , 0 ) + y ( 0 , I , 0) + r ( 2 , 5 , 2)

14 = x + 2r{ 1 — A T

5 = y +

4 = 2 r

<=>-< 5 = v + 5 r

■=> r = 2

de donde obtenem os : x = 10 , y = -5 <=> C( 10, -5 ,0)FIGURA 4.28

Ejemplo 5 J S e d a n los vectores A = (-2 , 0 , 1), B = (1 .-2 , 0 )y C = (1 ,1 ,1).Hallar la proyección ortogonal del vector A en el plano de los

vectores B y C.

Solución. T rasladam os los vectores A . B y C a un

origen com ún , tal com o se indica en la

Figura 4.29.

Sea V = ProyB CA (Proy. de A en el plano de B y C)

Como los vectores B y C son linealmente indepen­

dientes , constituyen una base del vector V , esto es

3 r , t tales que

V = r B + t C = r ( l , - 2 ,0 ) + t (1 , I , I) (1)

Adem ás , si V está en el plano de B y C , entonces

r ■\

a / i

n

-A '

cV ^ v >

>FIGURA 4.29

n = A - V será ortogonal a B y C , e s d e c ir: (A - V) • B = 0 y (A - V) • C = 0

222 Capítulo 4: Vectores en el espacio

A - V = (-2 , 1 ,0) * r(l , -2 , 0) - t(l , 1 , 1) = (-2 - r - 1 , 2 r - 1 , I - 1)

=> < - 2 - r - t , 2 r - t , 1 - t ) - ( l , - 2 , 0 ) = 0 <=> t - 5 r - 2 = 0

(-2 - r - 1 , 2 r - 1 , 1 - 1) • < 1 , 1 , 1) = 0 <=> 3 t - r + 1 = 0

Resolviendo el sistem a (2) y (3) obtenem os : r = t = -1/2

Por lo tanto , en (1): V = <-l , l/2,-l/2)

(2)

(3)

EJER C IC IO S : Grupo 26

1.- D em uéstrese que para cualesquiera vectores d ad o s A . B y C , los vectores

A + C . B + C y C - A son coplanares.

2. S e a n dados tres vectores no cop lanares A , B y C. D em uéstrese que los >

vectores A + 2 B - C . 3 A - B + C . - A + 5 B - 3 C son coplanares.

3. Se an dados tres vectores no coplanares A . B y C. Hallar los valores de X , para 3

los cuales los vectores XA + B + C , A + XB + C , A + B + XC . son coplanares.

4. S e dan tres vectores : A = <3 , -2 , 1 ), B = <-1 , 1 , -2) y C = <2 , 1t -3). Hallar la

descom posición del vector D = <11 , -6 , 5) en la base p = { A , B , C }.

5. Se a n cuatro vectores: A = <2 ,1, 0 ), B = (1 , -1 ,2 ), C = <2 ,2, -1) y D s (3 , 7, -7). 1

Hallar la descom posición de cada uno de estos vectores tomando por base i los otros tres.

6. Fuera del plano del paralelogramo A B C D se ha elegido un punto O. En la base .

de los vectores O A , O B y O C hállese las coordenadas

a) del vector O M , donde M es el punto de intersección de las d iagonales del

parale logram o.

b) del vector O K , donde K es el punto medio del lado AD.

7. S i B(6 , -3 , -2) y C(-2 , 3 , 6 ) son puntos de R ' , hallar un vector V que biseca el

ángulo formado por los vectores O B y Ó C , donde O e s el origen de coordena­

das. (Guía: Ejemplo 3).

8. Se an dados los puntos A(1 , 2, 3 ), B(2 , -2 , 1), C (3 , 0 . 3) y D(16 , 10 . 18). E e s

un punto de intersección del plano O A B (O e s el origen de coordenadas) con

una recta trazada por el punto D paralelamente a la recta Ó C. Hallar las coor­

denadas del punto E. (Sugerenc ia : D esarró lle se el vector O D se gú n una

base formada de los vectores O A , O B y OC).

9. S e a dada la terna de vectores no cop lanare s A, = (1 , 0 , 0 ) , A 2 = (1 , 1 , 0) |

y A 3 = <1 , 1 , 1). Ca lcu la r las c o o rd e n a d a s del vector A = -2 i - k en la base

P = • A, , A 2 , A J y escribir la descom posición correspondiente según la base.

10. S e dan los vectores A = (1 , -3 , 0 ) , B = (1 , -1 , 2) y C = (0 , 1 , -2). Hallar la

proyección ortogonal del vector A en el plano de los vectores B y C.

11. Si A = <1 , 3 , 1 )y B = < 2 ,0 , -1), determinar un vector C tal que {A + B , A - B , C }

sea una base de R \

12. S e dan los vectores A = <1 , -2 , 0 ) , B = (0 , 1 , 2) y C = <1 , 0 , 1 ) . Hállese la

proyección ortogonal del vector A en el plano de los vectores B y C

¡ Sección 4.7: El producto vectorial___________________________________________ 223

4.7 j EL PRO D U CT O V E C T O R IA L___________________________ ¿

En las aplicaciones de los vectores en el e spacio e s frecuentemente ne-

, cesario construir un vector no nulo que se a ortogonal a d o s vectores dados A y B.

En esta sección se estudia un producto que nos conduce a dicho vector. S e le

llama producto vectorial o producto cruz , se le denota por A x B y su definición que

se da a continuación e s puramente algebraica.

DEFINICION 4.2 E l producto vectorial

Se a n A y B vectores en R- tales que

A = ü,¡ +a j + a ,k y B =6,1 + fc,j + bM entonces el producto vectorial de A y B e s el vector que se define por

A x B = ( a , b3 - a y b2) ¡ - { a , by - a i b,) j + ( a , b 2 - a , b,) k ( 10)

Por ejemplo, si A = <2,-1 ,3) ■=> a t = 2 , a, = -l , «, = 3

y B = <3 , 1 .-1) => ¿, = 3 , bz= 1 , b y = - 1

Luego , por la fórmula (10) se tiene

A x B = [(-1)(-1) - (3)( 1)] ¡ - [(2)(-1) - (3)(3)] j + [(2)( 1) * (-1 )(3)] k

= (1 - 3 ) ¡ - ( - 2 - 9 ) j + (2 + 3 )k

= - 2 i+ 11 j + 5 k

| O B S E R V A C IO N 4.3 C om o resulta com plicado m em orizar la fórmula (10) , se

recomienda el u so de determinantes de segundo orden y

matrices de 2 x 3 ; tem as que serán estud iadas en capítulos posteriores. Pero dada

la utilidad de su em pleo para el cálculo del producto vectorial , e s conveniente

introducir las s igu ientes ideas

224 Capítulo 4: Vectores en el espacio

1.

Ll\ \ s ayb f ' b .

= « A * a h '

= - (a fa -a fr )

= a p 2- a p x

2. Formar la matriz de 2 x 3 : M =_ r a \ a 2 a y i

" U 6, -Idonde los elementos de la primera fila son las com ponentes del vector A y los

elementos de la segunda fila son las com ponentes del vector B. Entonces , el

producto vectorial A x B queda definido por

A x B -<a2 lly

b, b.

a [ a.( 11)

en la que cada componente e s el valor de un determinante de segundo orden,

que resulta de eliminar en la matriz M la primera , segunda y tercera columna

respectivamente.

Ejemplo 1. D ado s A = (2 ,-1 , 3) y B = (3 , 1 , -1> , hallar

a) A x B , b) B x A , c ) A x A

[ i . i 3 1

3 1 - 1 J

Luego , por la fórmula (11) se tiene :

IIGQX< M 3 2 3 2 -11I 1 ’I 3 -1 3 1 1!>

= <1 - 3 , -(-2 - 9), 2 - (-3)>

= ( - 2 , 1 1 ,5 )

b) Form am os la matriz : M = \ 3 1 1L 2 -I 3 J

-< l=> B x A 1 "'I I3 ''I I3

I 31 I2 3 1 I2

= ( (3 -1 ),-(9 + 2 ),(-3 -2 )

= (2,-11 ,-5)

: i >

Sección 4 .7 : El producto vectorial 225

Nótese que se obtuvo el m ism o resultado de la parte a) pero con signo cam ­

biado , esto es . A x B = -(B x A)

c) Form am os la matriz : M = I" “ 1 '1■ L2 -I 3 J

=> A x A - / I *1 3 | , - | 2 3 |,|2 - ' l >\ l- l 3 L 12 3l l2 - ll /

= (0 , 0 , 0) = O

Los resultados de este ejemplo sug ieren a lgu n a s p rop iedades a lgebra icas del

producto vectorial , que entre otras , se anuncian en el teorema siguiente.

■OREMA 4.2 Propiedades algebraicas del producto vectorial

S i A , B y C son tres vectores del espacio y r e R e s un escalar,

entonces se verifican las prop iedades siguientes.

PV.1 : A x (B + C) = (A x B ) + (A x C)

PV .2 : (A + B) x C = (A x C ) + (B x C)

P V .3 : r(A x B) = (r A) x B = A x (i B)

PV .4 : A x B = - (B x A )

P V .5 : A x 0 = 0 x A = 0

PV .6 : A x A = O

PV .7 : A x (B x C) * (A x B) x C

PV .8 : A x (B x C ) = (A • C) B - (A • B) C

PV .9 : 11 A x B 11 - = 11 A 11 - | ¡ B 11 - - (A • B)-

Distributividad por la izquierda

Distributividad por la derecha

Asociatividad escalar

No conmutatividad

No asociatividad vectorial

(Identidad de Lagrange)

Demostración. S e dem ostrará la novena propiedad. S e dejan com o ejercicio el

resto de las dem ostraciones.

En efecto , e levando al cuadrado la norma del vector de la Definición 4.2 se tiene :

A x B | - = {a:bx - a.b2)2 + {apy - a,¿?,): + {ajb, - aj?i)2 (1)

y del producto interno A • B = a tbt + a i , + a,6, se s igue que

11 A11 2 11 B 11 - - A - B = (a,- + a21 + a 3’) ( V + b22 + ¿y ) - + aj>: + a A ) 1 (2)

Efectuando las operaciones que aparecen en los se gu n d o s m iem bros de (1) y (2)

comprobaremos que son idénticas , por tanto

11 A x B 11 - = 11A 112 11 B 112 - (A • B)=

226 Capítulo 4: Vectores en el espacio

TEOREMA 4.3 Propiedades geométricas del producto vectorial

S i A y B son vectores no nulos de R ' y 0 e s el ángulo entre A y

B , entonces se verifican las prop iedades siguientes

1. A x B e s ortogonal simultáneamente a los vectores A y B

2. II A x B l I = 11A ! I 11 B 11 Se n 0

3. A x B = 0 < = > A | | B

4. A x B = Area del paralelogramo que tiene a A y a B com o lados adyacen­

tes. --------------------------------------—----------------------------------------------------------------------------- — .------------------------------------------------------------------------------3

Demostración. Dem ostrarem os la primera , segunda y cuarta propiedades y se

deja la tercera com o ejercicio.

1. S i A = ( a , , a: , a j y B = ( ¿ , , b: , bx) , entonces

A - (A x B) = a,

El segundo miembro e s el desarrollo de un determinante de tercer orden

a, a,

=> A . ( A x B ) = a, a , ' ay

b> K *,Com o el determinante tiene dos filas iguales se sigue que :

A • (A x B) = 0 <=> ( A x B ) l A

fl. a.. a . a > a . a:~a: + ax

b: by b2

2 . Por la identidad de Lagrange (PV.9) sabe ­

m os que

I IA x B ||: = || A ||J || B ||: - (A • B ); ( 1 )

S i 0 e s el ángulo entre A y B , entonces

A • B =| I A 11 I|b|| C os0

Luego . en (1 ) se tiene :

I I A x B 11 •’ = || A I M | B ||2 • || A ||21| B 112 C os-0

= 11 A 11 - 11 B 11: ( I - C o s :0)

= 11A 11 11 B 112 S e n -0

0 >=> (A x B ) J B

r

f iS

A \A

FIGURA 4.30

l l A x B l I = 11A 11 11 B 11 S e n 0

4. Para demostrar esta propiedad , em pleam os la Figura 4.30 que nos muestra un

paralelogram o que tiene com o lados adyacentes a los vectores A y B. Com o

h = I B Sen0 y el área del paralelogramo es

Sección 4.7 : /:’/ producto vectorial 227

S = (base)(altura) = I A B ! Sen0

S = I! A x B (13)

| O B S E R V A C IO N E S 4.4

1. La orientación del vector A x B e n relación a las direcciones de los vectores A y

B se b a sa en su com paración con los vectores unitarios i , j y k = i x j de un

sistem a cartesiano tridim ensional com o se m uestra en la F igura 4.31. (Se

debe destacar que A y B no son necesariam ente perpendiculares). Lo s tres

vectores A . B y A x B forman un sistema positivo o derecho (dextrógiro). m ien­

tras que los tres vectores A , B y B x A forman un sistema negativo o izquierdo (levógiro)

4.

>- , 4 k = i x j

Ax BB ^

Jn ----------- UPlanodeterminadopor A y B

Bx A Plano XYA * *

rV J

FIGURA 4.31

Sab em os que todo vector V e R ' se puede expresar com o una sum a de múlti­

plos e sca la res de vectores unitarios ortogonales , esto e s

V = (x ,y ,z) = x i + y j + z k

Entonces para dos vectores A = (a, ,a , ,a ,)y B = (6, ,b2 ,by) , el vector A x B definido

en la fórmula (1 1 ) se puede escribir de la forma

A x B =a2 ay

fe, b,i - J + (14)

3. U sando el sistem a positivo (o el de la matriz del producto vectorial) , podem os

com probar cada uno de los resultados sigu ientes í-

i x j = k j x ¡ = -k i x i = 0

j x k = ¡ k x j = -i j x j = 0

k x i = j i x k = -j k x k = 0 k V — X«*

Com o una ayuda para recordar los productos vectoriales anteriores hacem os

uso de la permutación cíclica . que consiste en colocar los vectores unitarios i,

I

228 Capítulo 4: Vectores en el espacio

j y k en una circunferencia en sentido antihorario. En este sentido , el producto

vectorial de dos vectores consecutivos , e s el siguiente vector , y el producto

vectorial de dos vectores consecutivos , en el sentido horario e s el negativo del

siguiente vector. Lo s productos vectoriales de cualquiera de los vectores unita­

rios i , j o k consigo m ism o tiene com o resultado el vector cero.

1

Ejemplo 1 El vector C e s ortogonal a los vectores A a <2 , -3 , 1) y B =

< 3 , 1 , -1). Hallar s u s com ponentes si su norm a e s 10\6

un idades.

Solución. Un vector normal al plano formado por A y B e s : n = A x B

-3 1 j . 2 1J +

2 -3

1 -1 3 -1 3 1<=> n =

= (3 - I)i - (-2 - 3)j + (2 + 9)k = <2 , 5 , I I )

Luego , s i C = rn => l l c l l = |rl l i n i

<=> 10 Vó = I r I \ 4 + 25 + 121 , de donde Ir l = 2

C = ± 2 (2 , 5 , 11)

Ejemplo 2 J Hallar el área del triángulo c u yo s vértices son los

P (2 , 0 , - 3 ) , Q(1 , 4 , 5) y R (7 , 2 , 9 )

Solución. Se a n A = P Q = <1 , 4 , 5 ) - < 2 ,0 , - 3 ) = (-1 , 4 , 8 )

B = P R = <7 , 2 ,9) - <2 , 0 ,-3) = < 5 ,2 ,1 2 )

Entonces, haciendo u so de la fórmula (14) se tiene

A x B =4 8

i --1 8

j +-1 4

2 12 5 12 5 2

= (48- 16)1 - (-12 ~40)j + (-2 - 20)k

= 2 (1 6 ,2 6 , -1 1 )

=> 11 A x B 11 = 2 V256 + 6 7 6 + 121 = 18 V Í3

D ado que el área del triángulo = 4 (área del paralelogramo)

S = 9 V Í 3 u 2

FIGURA 4.32

Sección 4 .7 : El producto vectorial 229

Ejemplo 3 J Hallar el área del paralelogramo que tiene com o diagonales

? los vectores u = (5 , -7 , 4) y v = (-3 , 3 , 0)

Solución. S e a n A = P Q y B = PT ,. dos lados adya­

centes del paralelogram o

En el A P T O : A = B + v (1)

y en el A P Q R :u - A + Q R <=> u = A + B (2)

Del sistem a (1) y (2) obtenem os

A = l ( u + v) y B = -^-(u - v)

Luego, A = (l , - 2 , 2 ) y B = < 4 , -5 ,2 )

<=> A x B =-2 2 1 2 1 -2

i - j +-5 2 4 2 4 -5

Area del paralelogramo : S = I A x B

rT

"NR

b/ \ >< '

«y /

1» AV >

FIGURA 4.33

,2 , 1)

Ejemplo 4 J Lo s vectores A y B forman Un ángulo cuyo coseno e s 2/\5 , si

I 11A 11 = 2 .5 y 11B 11 = 4 , hallar la norma del vector (2 A - B) x

(A + 2B ) .

Solución. ( 2A - B) x (A + 2B ) = 2 A x (A + 2 B ) - B x (A + 2B) (PV.1)

= 2 A x A + 4 A x B - B x A - 2 B x B (PV.1)

= 2(0) + 4 A x B + A x B - 2 ( 0 ) (PV.4yPV.6)

= 5 A x B

c=> 11 (2 A - B) X (A + 2 B) 11 = 5 11 A X B 11 = 5 11 A 11 11 B 11 Sena

= 5(2V5)(4)(l/^)

= 40 ■

Ejemplo 5 J Simplificar la expresión

x = i x (j + k) - j x (i + k) + k x (i + j + k)

Solución. Aplicando la propiedad PV.1 a cada término se tiene

x = (i x j) + (i x k) - (j x i) - (j x k) + (k x i) + (k x j) + (k x k)

= (k) + ( - j ) - ( - k ) - ( i ) + ( j ) + ( - i ) + (0)

230 Capítulo 4: Vectores en el espacio

C jcm pto 6 j El vector A e s ortogonal al eje Y y al vector B = (-3 , 8 , 4 ), y

forma un ángulo obtuso con el eje Z. Hallar las componentes

de A sabiendo que su norma es 15 unidades.

Solución. S i j = (0, l , 0) e s el vector unitario en la dirección del eje Y , entonces un

vector ortogonal a j y al vector B es

k = ( 4 , 0 , 3)3 II X Ü0 II 1 0

8 4i -

0 0

-3 4j +

0 1

-3 8

Luego , s i A = r n i = > l l A = I r l II n II

c=> 15 = I r l V l6 + 9 , de donde

C om o el ángulo Y es obtuso , entonces C osY = — - — < 0 , implica que z < 0I I A II

Por lo que se elige , r = -3

A = -3(4, 0 , 3 ) = {-12, 0 , -9 )

E je m p lo 7 j Dem ostrar que dos vectores no nulos A y B en R ' son parale­

los o colineales , si y só lo si , A x B = O

Demostración.

( x=>) Probarem os que : A B => A x B = 0

En efecto , s i A | B ■=> A = r B

■=> A x B = (r B) x B = r (B x B)

<=> A x B = O

( <=>) Probarem os ahora que si A x B = O «=> A B

En efecto , s i A x B = 0 = > l ' A x B 1 = 0

=> 11 A 11|! B 11 Se n e = 0

C om o A ^ O y B / O o Sene = 0 « 6 = 0 o e = n

S e sabe que si A 11 B ■=> m (<£ A . B) = 0 o n A x B = O <=> A 11 B

(PV.3)

(PV.6)

(Fórmula 12)

E je m p lo 8 J Dem ostrar que :

(A x B) x C = A x (B x C) « B x (C x A) = O

Demostración.

( t=>) Probarem os que s i : (A x B) x C = A x (B x C) => B x (C x A) = O

En efecto , haciendo u so de la propiedad P V .8 , se tiene :

(A x B) x C = (A • C )B - (B • C )A

Sección 4 .7: El producto vectorial 231

A x (B x C) = (A • C) B - (A • B ) C

Al igualar los se gu n d o s m iem bros obtenem os

(A • B ) C - (B • C) A = O => (B • A ) C - (B • C) A = O

c=> B x (C x A) = O (PV.8 )

( í = ) Probarem os ahora que s i : B x (C x A) = O ■=> (A x B) x C = A x (B x C)

En efecto , si B x (C x A) = O <=> (A • B ) C - (B • C ) A = O (PV.8)

=> - (B • C ) A = - (A • B) C

=> (A • C ) B - (B • C) A = (A • C) B - (A • B ) C

=» ( A x B ) x C = A x ( B x C ) (PV.8)

(A x B) x C = A x (B x C) <=> B x (C x A) = O ■

Ejem plo 9 j Lo s vectores A . B y C satisfacen la condición : A + B + C = O.

D e m o stra r que A x B = B x C = C x A , e interpretar

(geométricamente el resultado.

Demostración. En efecto , multiplicando vectorialmente la condición dada por A y

luego por B , se tiene

A x ( A + B + C) = A x A + A x B + A x C = A x O

<=> 0 + A x B - C x A = 0 => A x B = C x A (1)

(A + B + C ) x B = A x B + B x B + C x B = O x B

t=> A x B + 0 - B x C = 0 i=> A x B = B x C (2)

Luego , de (1) y (2) se deduce que

A x B = B x C = C x A = k

Las últimas igualdades indican que el vector k es ortogonal a los vectores A . B y C,

por lo tanto , é stos son coplanares. ■

E jem plo 1 Q J Q ué podem os establecer para los vectores V. , si .

A x V, = A x V2 = A x V 3 = .......... = A x Vn

Solución. S e a : A x V , = A x V , = A x V , = ____ = k

donde k es un vector constante que ,

por definición de producto vectorial, e s ortogonal a

los vectores V, , V, , V , .......... V¡. Esto e s , los

vectores Vi son coplanares.

Por otro lado , se debe verificar la igualdad de los

módulos , e s decir

A ! Vi 11 Sena. = 11A 11 I V,|| Sena, = .......=

232 Capítulo 4: Vectores en el espacio

de donde obtenem os : 11V, 11 Sena , = I V, 11 Se n a , = . . . . . = d

Por tanto , conclu im os diciendo que los extremos finales de los vectores V¡ están

sobre una recta c£ paralela al vector A. ■

Ejemplo 11 J Los vectores A , B , C y D están sujetos a las relaciones

A x B = C x D , A x C = B x D

Dem ostrar que los vectores A - D y B - C son coplanares.

Demostración. D ebem os probar que : (A - D) x (B - C ) = O

En efecto

(A - D) x (B - C) = A x (B - C) - D x (B - C)

= A x B - A x C - D x B + D x C

= ( A x B + D x C ) - ( A x C + D x B )

= ( A x B - C x D ) - ( A x C - B x D )

Por las dos relaciones dadas , el resultado de am bos paréntesis e s el vector nulo,

esto e s :

(A - D) x (B - C ) = O - O = O

En consecuencia , los vectores A - D y B - C son coplanares. I j

Ejemplo 1 2 ^ Se a n los vectores A . B y C , tales que

(A x B) x (A x C) = A ; hallar ( A x B ) x ( B x C ) .

Solución. Haciendo A x B = D y por la propiedad P V .8 , se tiene

D x (A x C) = A => (D • C )A (D • A )C = A

Por el Teorema 4.3 , ( A x B ) l A o D • A = 0 , luego , (D • C) A = A =s> D • C = l

Análogam ente : (A x B) x (B x C) = D x (B x C) = (D • C )B - (D • B )C

= U ) B - ( 0 ) C

(A x B) x (B x C) = B ■

Ejemplo 13 } La Figura 4.35 e s un cubo.

S i A (3 , - 1 , 2 ) , C (4 , -1 , -5) ,

F(-3 , 2 , 1) y H(4 , 2 , 2 ) ; hallar las coordenadas de

los dem ás vértices.

Solución. Á C = <4 ,-1 , -5> - <3 , - 1 . 2> = < 1 ,0 ,-7 )

FH = < 4 ,2 ,2 > - < - 3 , 2 , 1> = <7 ,0 , 1)

=> 11 Á C 11 = 11 FH II = Vi + 49 = 5 y¡2 Luego , cada arista del cubo mide : t = 5 \2 f \2 = 5

(PV.1)

(PV.1)

(PV.4)

Sección 4 .7 : El producto vectorial 233

La dirección de las aristas laterales está dada por el vector

V = FH x A C =0 I 7 I 7 0

i - i +0 -7 I -7 l 0

k = 50 < 0 ,1 ,0 )

Un vector unitario , normal a las b a se s del cubo e s , u = <0 , I ,0 )

Por lo que : FB = 5 u => B = F + 5 u = (-3 , 2 , 1) + 5<0, 1 , 0) = <-3 , 7 , 1)

H D = 5 u = * D = H + 5 u = <4 , 2 , 2) + 5(0 , I , 0) = <4 , 7 , 2)

E A = 5u c=> E = A 5 o = <3 , - 1 , 2) - 5<0 , I , 0) = <3 , -6 , 2)

G C = 5u => G = C - 5 u = <4 , -1 , -5) - 5<0 , 1 , 0) = <4 , -6 , -5)

Ejemplo 14 J Una aplicación del producto vectorial

Hallar la distancia del punto P(4 , 6 , -4) a la recta que pasa

por los puntos Q (2 , 2 , 1) y R (4 , 3 , - 1 )

Solución. La Figura 4.36 muestra la recta 7 que

tiene a A = Q R como vector direccional,

a Q P com o representación del vector B y la distan­

cia d del punto P a dicha recta.

Ahora , por el Teorema 4.3 (propiedad 2) :

II A x B|| = 11 A 11 11 B 11 Sen©

Pero , en la figura se observa que : d = 11 B 11 Sene FIGURA 4.36

Entonces : A x B i = 11 A 11 {d) «=> d = 11A x B 11

Luego , si A = Q R = <4 , 3 , -1> - <2 , 2 , l> = <2 , I , -2>

B = Q P = <4 , 6 , -4) - <2 , 2 , I) = <2 , 4 , -5)

k = <3 , 6 , 6) = 3<1 , 2 , 2 )

IIGQX< l -2 4 -5

i -2 -2 2 -5

j +2 I

2 4

II A x B I II -i

+ 4 + 4 = 9

Si reemplazam os estos valores en (15) , obtenem os d = 3

I Nota. La Figura 4 3 7 m uestra a un vector fuerza F , que—)

tiene la representación QP . Si el punto de aplica­

ción de la fuerza e s P . Entonces F ocasiona que un objeto

situado a lo largo de OP rote alrededor de una recta per-— —*

pendicular al plano determinado por OP y QP. El vector—)

torque , cuya representación de posición e s OT , e s el

(15)

234 Capítulo 4: Vectores en el espacio

momento M de la fuerza F alrededor del punto O y está definido porM = ÓP x F

— -fLa magnitud o módulo del momento M mide la tendencia del vector OP a girar en sentido

antihorario alrededor de un eje dirigido a lo largo del vector torque M. |

E je m p lo 1 5 ^ Una aplicación del producto vectorial

En la Figura 4.38 , un torni­

llo en el punto Q se gira al aplicar en el punto P

una fuerza F de 25 Ib. en un ángulo de 70° con

respecto a la llave , la cual mide 8 pulg. de longi­

tud. Calcular la intensidad (módulo) del vector

torque generado por la fuerza en el tornillo.

Solución. El vector torque está dado por

M = Q P x F

y la intensidad o módulo p o r : I ! M 11 = 11QP

Ahora , por la propiedad 2 del Teorema 4.3 : I i M 11 = 11 Q P 11 11 F 11 Se n 70°

= (8) (25) (0.939)

= 187.8

Por lo tanto , la intensidad del vector torque e s de 187.8 pulg.-Ib.

E jem p lo 16 j Una aplicación del producto vectorial

-4).

S e da el siguiente sistem a de fuerzas : F, de 30 kg. que actúa

de A(5 , -1 , -6) a B ( 4 ,1 , -4) y F 2 de 56 kg. que actúa de C (6 ,3 ,2) a D (8 ,0 , -4). Hallar

a) La resultante R del sistem a de fuerzas

b) El momento resultante respecto al punto E (6 , -1

Solución. La dirección de la fuerza F l e s :

Á B = (4 , 1 , -4) - <5 , -1 , -6) = (-1 , 2 , 2)

y la de F, e s : C D = (8 , 0 , -4) - (6 , 3 , 2) = <2 , -3 , -6)

F,Luego , si F = rA B

II A B

F,y si F, = t CD <=> t = — = e -

I I CD l l= — = 8

Entonces : F, = I0(-1 ,2 ,2 ) y F, = 8(2 , -3 , -6)

Sección 4.7 : El producto vectorial 235

a) R = F, + F, = 2 (3 , -2 , -14)

b) Desde que F, y F, no son concurrentes , M será la sum a de los dos momentos,

esto e s , M = E B x F] + E D x F.

t=> É B x F, = (-2 , 2 , 0) x 10<-1 , 2 , 2) = 10(4 ,4 , -2 )

É D x F, = (2 , 1 , 0) x 8(2 , -3 , -6) = 8(-6 , 12, -8)

M = 4(-2 , 34 , -21) ■

Ejem plo 1 7 J S i A , B y C son vectores de posición de los vértices de un

triángulo A B C , demostrar que

A x B + B x C + C x A = 2 S u

donde S e s el área del triángulo y u un vector unitario normal al plano del triángulo

| ABC.

Demostración. En efecto , un vector unitario normal

al plano del triángulo A B C es

u = Á g * A C ==> A B x A C = 11 Á B x Á C 11 u (1)II A B x A C ||

Por la Propiedad 4 del Teorema 4.3 sabem os que el

área del triángulo e s :

S = i 11 Á B x Á C 11 => 11 Á B x Á C 11 = 2S

Luego , en (1) se tiene : A B x A C = 2S u

Como A . B y C son los vectores de posición de los vértices del triángulo , entonces:

(B - A) x (C - A) = 2S u <=> B x (C - A) - A x (C - A) = 2 S u

<=> B x C - B x A - A x C + A x A = 2 S u

c=> B x C + A x B + C x A + 0 = 2 S u

A x B + B x C + C x A = 2S u

(PV.1)

(PV.1)

(PV.6)

[ E jem p lo 1 8 j El módulo de la sum a de dos vectores e s \3 4 , su producto

esca lar e s 4 y su producto vectorial tiene módulo 3. Hallar :

a) El ángulo que forman d ichos vectores

b) El módulo de cada uno de los vectores.

Solución. Se a n A y B los vectores de los cuales se conocen

11 A + B 11 = \ 34 , A • B = 4 , 11 A x B 11 = 3

a) Dado que A x B I = 11A I I I I B I Sene y A * B = | | a I|||B|| C ose

dividiendo m iembro a m iembro cada una de e sta s igua ldades obtenem os

236 Capítulo 4: Vectores en el espacio

T g « = ~~ q 11 T g e = l « 9 = arcTg(3/4)

b) S i 11 A + B ! | = V34 => 11 A 11 - + 2 A • B + 11 B 112 = 34

«=> I IA 1 1 2 + 2(4) + 11B 112 = 34 <=> 11 A ||' + 11 B ||2 = 26 (1 )

Por la identidad de Lagrange (PV.9) : 11A x B 112 = 11 A 112 11 B 112 - (A • B)

<=> (3)-’ = 11 A 1121 B 112 - (4)2 , de donde : 11 A 11 I B 11 = 5 (2)

Sum ando ( I) + 2(2) se tiene : ( 11A 11 + 11 B 11 )2 = 36 => | A 11 + 11 B 11 = 6 (3)

Conociendo la sum a (3) y el producto (2 ) , form am os la ecuación

x 2- 6x + 5 = 0 <=s> x = 1 ó x = 5

En consecuencia : ! I A 11 = 1 y I ! B 11 = 5 ó | ¡ A 11 = 5 y 11 B 11 = 1 ■

E JER C IC IO S : Grupo 27

1 . Simplificar las expresiones

a) (A + B + C) x C + (A + B + C ) x B + (B - C) x A

b) (2A + B) x (C - A) + (B + C) x (A + B)

c) 2 i • (j x k) + 3 j • (¡ x k) + 4 k • (¡ x j)

2. Hallar el área del triángulo que tiene por vértices

a) A (1 . 2 , 3 ) , B (2 ,-1 , 1 ) y C ( -2 , 1 , - 1 )

b) A(2 , -1 , 1), B(3 , 2 , -1) y C(-1 , 3 , 2 )

3. Hallar el área del paralelogram o cuya s d iagona le s están contenidas en los

vectores u y v dados.

a) o = (2 , -1 , 3 ), v = <4 , -3 , -1) b) u = <3 , 4, 2 ) , v = <1 , -2 , -6)

4. Hallar un vector V que sea ortogonal al vector A y paralelo al plano determinado

por los vectores B y C

a) A = ( - 3 , 2 , 5 ) , B = (4 . 2 , - 1 ) , C = (5 , -1 , 1)

b) A = (1 , -2 , 5 ), B = (3 , 0 , -2), C = (0 , 2 , 1)

5. Hallar el área del paralelogram o cu ya s d iagona le s son los vectores 2 u - v y4 u - 5 v . donde u y v son vectores unitarios y la m (<£ u , v) = rt/4.

6. S i A ' = ! B ! = 5 y la m (<£ A , B) = rt/4 ; calcular el área de un triángulo

construido sobre los vectores A - 2 B y 3 A + 2 B .

7. En un triángulo con los vértices en A(1 , -1 , 2) . B (5 , - 6 , 2 ) y C(1 , 3 , -1);

hállese la altura h = 11 B D 11.

8. H á llense las coo rdenada s del vector X , si e s ortogonal a los vectores

Ejercicios de la sección 4.7 237

A = (4 , -2 , -3) y B = (0 , 1 , 3 ), forma con el ve rso r j un ángu lo obtuso y que

II X II = 2 6 .

9. Hallar las co o rd e n a d a s del vector X , si éste e s ortogonal a los vectores

A = (2 , -3 , 1) y B = (1 , -2 , 3) y satisface , a de m ás , la condición

X • (i + 2 j - 7 k) = 10

10. Hallar un vector unitario paralelo al plano X Y y ortogonal al vector V = (4 , -3 , 1)

11. S i A = (2 , 1 , -3) y B = (1 , -2 , 1 ). hallar un vector de módulo 5 ortogonal a los

vectores A y B.

12. S i A = (3 , m , -3) y B = (5 , -4 , 1 ) , hallar el valor de m de modo que B sea

ortogonal al vector V = A x B + 2 A

13. Obtener los valores de m y n tales que : (1 . 2 , m) x (1 , n , 2) = (3 , -3 , -1)

14. Dete rm inar el va lo r de m de m odo que los puntos A (2 , 1 , 1 ) , B (4 , 2 , 3) y

C (-2 , m/2 , 3m/2) sean colineales.

15. S e a A = (2 , -1 , 2) y C = (3 , 4 , -1). Hallar un vector B tal que A x B = C y A - B = 1

16. Los vectores A y B son ortogonales , si ¡ A = \ 3 y ¡ B = \ 12 , hállese el

valor de (2 A - 3 B) x (3 A + B)

17. S e a n A y B vecto re s tales que I A i I = 3 , 1! B 11 = 26 y A x B i = 7 2 . Hallar

A ♦ B. (Sugerencia: U sar la identidad de Lagrange).

18. Se a n los vectores A y B tales que A ¡ = \3/4 ,! B ' = 2 y m (<í A . B) = 2rc/3.

Hallar 11 (2 A + 3 B) x (2 A - 5 B) 11

19. El vector V es ortogonal a los vectores A = (1 , -2 , -3) y B = (-2 .2 , 5) y forma con

el eje Y un ángulo obtuso. S i V \ I = 84 , hallar las com ponentes del vector V.

20. D ado s los vectores A = (2 , -3 . 4 ) , B = (1 ,1 , -1) y C = (2 . 3 , -2); hallar el vector

V sab iendo que es ortogonal a los vectores A y B y que V • C = 12

21. El vector V es perpendicular el eje X y al vector A = (5 , -2 . 3) y forma un ángulo

agudo con el eje Z. Hallar las com ponentes del vector V sabiendo que V ! =

\TÍ7.

22. Dado tres puntos A . B y C , hallar el vector normal al plano determinado por

d ichos puntos.

23. Dem ostrar que el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de los

vectores posición A . B y C es

S = l|| (B - A) x (C - A) ||

24. Dem ostrar que si A . B y C son vectores en R ' que tienen el m ism o punto inicial,

entonces : ( B - A) x (C - A) = (A > B) + ( B x C) + (C x A)

238 Capítulo 4: Vectores en el espacio

25. S i A , B y C son vectores en R ' , demuestre la identidad de JacobiA x ( B x C) + B x (C x A) + C x (A x B ) = O

(.Sugerencia : aplique la propiedad P V .8 a cada término).

26. S i A , B y C son vectores en R ’ , dem ostrar que

( A x B ) x C = A x ( B x C ) « B x ( C x A) = O

(Sugerencia : aplique la identidad de Jacobi del ejercicio 25)

27. D ado s los vectores A , B , C y D dem uestre que

(A x B) • (C x D) = (A • C ) ( B • D) - (A • D) (B • C) (Identidad de Lagrange)

28. Demuestre las identidades

a) (A x B ) x (C x D) + (A x C) x (D x B ) + (A x D) x (B x C) = O

b) (A x B ) 2 x (A x C )2 - [ (A x B) x (A x C ) ] 2 = A 2(A • B • C ) 2

29. Hallar la distancia del punto P a la recta que p asa por los puntos A y B dados

a) P(4 , 6 . - 4 ) , A(2 , 1 ,2 ) , B(3 , - 1 , 4 )

b) P(3 , -1 , 5 ), A(3 , -2 , 4 ), B(0 , 4 , 6) . 1

30. Lo s puntos A(1 ,1 ,1 ) , B (4 , 1 , 1 ) , C (4 , 1 + 3 V 3 , 1) , D(1 , 1 + 3 V 3 , 1 ) y

E(5/2 , 1 + 3 \3/2 , 5) forman una pirámide de base rectangular A B C D y vértice

E. Determinar la distancia del centro de la b ase a una arista lateral.—) —) —)

31. Se an P , Q y R tres puntos no colineales de R ' y sean O P , O Q , O R las

representaciones de posición de los vectores A , B y C , respectivamente.

Demostrar que la distancia del origen al plano determinado por los tres pun­

tos está dado por

d _ l A - B x C l

11 (B - A) x (C - A ) 11

32. Se a n dadas tres fu e rza s: F, = <2, -1 , -3). F2 = <3,2, -1) y F3 = ( - 4 , 1 ,3) aplicadas

al punto A(-1 , 4 , 2 ) . Determ inar la magnitud y los co se n o s directores del

momento de la resultante de tales fuerzas respecto al punto B(2 , 3 , - 1 ) .

33. Lo s vectores A . B . C y D verifican las relaciones

A x B = C x D y A x C = B x D

Demostrar que : (A - D) x ( B - C) = O

4 .8 J E L P R O D U C T O M IX T O D E V E C T O R E S

S e denomina producto mixto de una terma ordenada de vectores A , B y C

al número real A • (B x C).

Sección 4 .8: El producto mixto de vectores 239

En vista de que se verifica la identidad A • ( B x C ) = ( A x B ) • C ; para el

producto mixto A • (B x C) se emplea la notación abreviada (A B C ). De este modo

(A B C ) = A • (B x C) = (A x B) • C

S i los vectores A , B y C se dan mediante su s coordenadas

A = <a, ,a , ,a x) , B = (bt ,b2,b j , C = (c ,,c ,,c ,)

el producto mixto ( A B C ) se determina por la fórmula

(A B C ) = A • (B x C) =a, <2, «3

b2 KC2

(15)

4.8.1) P R O P IE D A D E S DEL PRODUCTO M IXTO DE V E C T O R E S

PM.1 La permutación cíclica (sentido horario) de los vec­

tores A , B y C no cam bia la magnitud del producto

mixto , e s decir

(A B C ) = (B C A ) = (C A B )

Demostración. En efecto , por las propiedades de

los determinantes sabem os que el valor del determinante

cam bia de signo si se intercambian dos filas. T ras dos de tales intercam­

bios , el valor del determinante no se altera , esto es

= (C A B )

a, a, a x c, c2 c3(A B C ) = *. b.' b\ = W a, a, a,

C. C? K b] b>

c,( C A B ) = a , a, a, = (-l)J c , <V

6, b] 6, a.\ flj

= (B C A )

.-. (A B C ) = ( C A B ) = (B C A )

PM.2 (A B C ) = A • (B x C) = ( A x B) • C = (C x A ) • B

PM.3 S i V e s el volumen de un paralelepípedo construido sobre los vectores A , B

y C , entonces

( A B C ) - ^ V , si la terna (A , B , C) e s derecha

l -V , si la terna (A , B , C) e s izquierda

PM.4 Criterio para los vectores coplanares. S i los vectores A , B y C tienen el

m ism o punto inicial , entonces pertenecen al m ism o plano si y sólo si

240 Capítulo 4: Vectores en el espacio

(A B C ) =^1 ^3 3

*. bi Kc. c, c.

= 0

4.8.2) INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO MIXTO

Una interpretación geométrica del pro­

ducto mixto se obtiene al considerar un parale­

lepípedo cuyas aristas lo construyen los vecto­

res A . B y C. V éa se Figura 4.41. El área de la

base del paralelepípedo e s 11 B x C 11 unidades

cuadradas , 11 h 11 e s la longitud de su altura y si

V unidades cúb icas e s el volumen de este pa­

ralelepípedo , entonces

Volumen = (área de la base) (altura)

= * V = ( l lB x C | | ) ( | | h | ) (1 )

Pero , h = ProyNA <=> 11 h 11 = | C om pNA | 11 h 11 =

Luego , en (1) se tiene : V = ( 11B x C11 ) - A ■ xI I B x C 11

V = | A • B x C | = | ( A B C ) | (16)

1

Ejemplo 1 ) S e dan los vectores A = (1 , -1,3), B = <-2,2 , 1) y C = <3, -2, 5>.

C a lcu la r (A B C) y determ inar la orientación de las ternas

{ A . B . C } , { B , A , C } y { A , C , B } .

Solución. Por la fórmula (15) tenem os

(A B C) =1 -1 3

2 l -2 1 -2 2-2 2 1 = 1 -(-1 ) + 3

3 - 2 5-2 5 3 5 3 -2

Sección 4 .8: El producto mixto de vectores 241

= ( 1 0 + 2) + (-1 0 -3 )+ 3 ( 4 - 6)

= -7

Como (A B C) < 0 , la orientación de la terna {A , B , C } e s izquierda (sentido

antihorario) _ A

De la figura adjunta deducim os que las orientaciones de las

ternas { B , A , C } y { A , C , B } son derechas.

Se deja com o ejercicio comprobar , mediante la fórmula (15) ,

q u e :

(B A C) = (A C B) = 7

Ejemplo 2 J Establecer si los vectores A , B y C forman una base en el

conjunto de todos los vectores , si :

a) A = (2 , 3 , -1> , B = (1 , -1 , 3 ), C = (1 ,9 , -1 1 )

b) A = <3 , -2 , 1 > , B =<2 ,1 .2 ) , C = <3, -1 , -2)

Solución. Bastará seguir el criterio para los vectores coplanares, esto es

2 3 - 1 ,

' = 2(11 - 27) - 3(-11 - 3) + (-1 )(9 + 1)a) (A B C) = 1 -1 3

1 9 - 1 1

= -32 + 4 2 - 10 = 0

C om o (A B C) = 0 , los vectores A . B y C son coplanares , por lo tanto no pueden

formar una base.

b) (A B C) =

3 -2 1

2 1 2

3 -1 -2

= 3 (-2 + 2) - (-2)(-4 - 6) + 1 (-2 - 3)

= 3 (0) + 2 (-10) - 5 = -25

C om o (A B C * 0 , los vectores A , B y C son linealmentes independientes y , por

lo tanto , susceptib les de formar una base. ■

Ejemplo 3 ) D ado s los vectores no nu los , A , B y C y N e R '; si A • N = 0 ,

B * N = 0 y C * N = 0 , demostrar que A . B y C son linealmente

dependientes.

Demostración. Bastará probar que (A B C) = 0

En efecto , (A B C) = A • (B x C ) (1)

Com o B l N y C 1 N o ( B x C ) II N , esto e s : B x C = rN

Luego , en (1) se tiene : ( A B C ) = A • (rN) = r (A -N )

= r (0) (H ipótesis)

242 Capitulo 4: Vectores en el espacio

=> (A B C) = O

En consecuencia , los vectores A , B y C son linealmente dependientes. ■

C jcm p lo 4 ] S i en los vectores A , B y C se verifica la ley asociativa para

el producto ve c to ria l, dem ostrar que los vectores A x B . A y

B x C son linealmente dependientes.

Demostración. Dado que en los vectores A , B y C se verifica la ley asociativa

«=* A x (B x C) = (A x B) x C (1 )

Ahora , el producto mixto : [(A x B) A (B x C)] = (A x B) • [A x (B x C)]

En el segundo m iembro , por (1) se tiene :

[(A x B) A (B x C)] = (A x B) • [(A x B) xC ]

Com o el vector ( A x B ) x C e s ortogonal a (A x B) y a C , entonces

[ (A x B ) A ( B x C ) ] = 0En consecuencia los vectores A x B , A y B x C son linealmente dependientes. ■

Ejemplo 5 J Simplificar la expresión

x = (A + B) • (B + C) x (C + A)

Solución. Haciendo u so de la propiedades 1 y 2 del Teorema 4.2 , se tiene :

x = (A + B) • [(B + C) x C + (B + C) x A]

= (A + B) • [(B x C ) + (C x C) + (B x A) + (C x A)]

. = (A + B) • [(B x C) + O + (B x A) + (C x A)] (PV.6)

= A • (B x C) + A • (B x A) + A • (C x A) + B • (B x C) + B • (B x A) + B • (C x A)

Por el Teorema 4.3 : A • (B x A) = A • (C x A) = B • (B x C) = B • (B x A) = 0• => x = A • (B x C) + B • (C x A ) , pero (A B C) = (B C A)

En consecuencia : x = 2 (A B C )

Ejemplo 6 J Dem ostrar que

(A x B) • (B x C) x (C x A) = (A B C )2

Demostración. En efecto , supónga se que

A x B = M , B x C = N , C x A = R

En ton ce s: M • (N x R ) = M • ( N x ( C x A)]

= M • [(N • A) C - (N • C) A]

= M • { [ (B x C ) • A] C - [(B x C) • Cj A }

= (A x B ) • { [A • (B x C)] C - [0] A }

= ( A x B ) * [ (A B C )] C

(PV.8)

(Teor. 4.3)

Sección 4 .8 : El producto mixto de vectores 243

= (A B C) [ (A x B) • C] = (A B C) (A B C)

(A x B) • (B x C) x (C x A) = (A B C) : ■

E jem p lo 7 } Dem uéstrece que : ! (A B C) I < 11 A B C

En qué ca so se verificará el s igno de igua ldad?

Demostración. En efecto , por definición : (A B C) = A • (B x C)

Por la desigualdad de Schw arz : A • B < I A B

se sigue que : ! (A B C) I < I A B x C : (1)

Por la Propiedad 2 del Teorema 4.3 : B x C 11 = 11 B C i I S e n (<£ B . C) I y dado

que | Se n (<$ B , C) I < 1 ' = » | l B x C | | ¿ | l B l l | | C | |

Por lo tanto , en (1) se tiene : I (A B C) I < ! A B I C 11

La igualdad ocurre cuando Se n (<$ B , C) = I , e s d e c ir, cuando la medida del ángulo

entre B y C es de 90°, esto e s , cuando B ± C ■

E jem p lo 8 j Dem ostrar que : C • (A x [A x (A x B ) ] ) = - 1 A | 2 ( A B C )

Demostración. En efecto , A x (A x B) = (A • B ) A - (A • A ) B (PV.8)

<=> A x [A x (A x B); = A x [ (A • B) A - (A • A) B]

= (A* B) (A x A) - 11 A 11 - (A x B) (PV.1)

= (A • B) (0) - 11 A 11: (A x B ) (PV.6)

Por lo tanto: C • (A x [ A x (A x B ) ] ) = - 11A | : C * ( A x B )

= - II A I I 2 A - ( B x C ) (PM.1)

= - 11 A 11 - (A B C) ■

Ejemplo 9 J El vector C e s perpendicular a los vectores A y B . el ángu lo

form ado por A y B e s igual a 30°. Sab iendo que A I = 6 ,

I l B l l = 11 C 11 = 3 , calcular (A B C ) .

Solución. Por la propiedad P M .1 : (A B C) = (C A B)

o ( A B C ) = C - ( A x B ) (PM.2)

y por la desigualdad de Schw arz : I ( A B C) I < ! C A x B

Dado que C 1 B y C 1 A , entonces se tiene la igualdad

I (A B C) | =||C|| 11 A || II B II S e n 30°

= (3) (6) (3) (1/2) = 27

(A B C) = ± 27 ■

244 Capítulo 4: Vectores en el espacio

E je m p lo 1 0 J D ado s los vectores A , B , C y D e R 3 , dem ostrar que

(A x B) • (C x D) = (A • C) (B • D) - (A • D) (B • C)

Demostración. Su p ón ga se que A x B = N - N

=> (A x B) • (C x D) = N • (C x D)

Se gú n la permutación cíclica : N • (C x D) = D • (N x C)

«=> (A x B) • (C x D) = D • (N x C) = - D • (C x N)

= - D • [ C x ( A x B ) ]

= - D • [ (C *B ) A - (C * A) B ]

= - (C • B )(D • A ) + (C • A )(D • B)

y por la propiedad conmutativa del producto escalar

(A x B) • (C x D) = (A • C )(B • D) - (A • D )(B • C)

E je m p lo 1 1 J L o s vectores de posic ión , con respecto al origen , de los

puntos P, Q y R son A = <3 , -2 , -1 >, B = (1 ,3 ,4) y C = (2 ,1 , -2),

respectivamente. Hallar la distancia del punto P al plano O Q R .

Solución. Refiriéndonos a la Figura 4.42 , vem os que

d = 11 ProyNA 11 = I C om pNA I

i—*v ¿y 1A . N| J A • (B xC)|(1 )

IN II l l B x c l l

3 4

1 -2i -

1 4

2 -2i +

1 3

2 1k = 5<-2 , 2 - 1 >B x C =

A . ( B x C ) = 5 < 3 , - 2 , -1 > .(-2 ,2 , -1 ) = -45

Por lo que , en (1 ) tenem os :

I - 45 Id =5 \ 4 + 4 + 1

= 3

E je m p lo 1 2 J Hallar el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los

vectores A = <3 , -1 , 1), B = <2 , 3, -2) y C = <1 , 4 , 3).

Solución. La medida del volumen del paralelepípedo está dada por

3 -1 1

V = | A • B x C | =

<=> V = 33 -2

4 3( - 1)

2

1

+ 1

Sección 4 .8 : El producto mixto de vectores 245

= 3(9 + 8) + (6 + 2) + (8 - 3) = 51 + 8 + 5 = * V = 64 iT

E jem p lo 1 3 J Hallar el volumen del tetraedro cuyas aristas son los vectores

A = <2 ,1 , 3 ), B = <-3 , 0 , 6) y C = <4 , 5, -1)

Solución. Voi. del tetraedro = 4- (base)(altura)

= * V = I ( i | | B x C h I)

Dado que 11 h 11 = Il ProyNA I = i C om pNA

= > v = l ( l l B x C l l ) l , v ‘ B x n l = - M a - B x C 6 l l B x C l l 6

2 l 3

-3 0 64 5 I

= J -| -84 I = 14 u ’ 6

E jem p lo 1 4 } El volumen de un tetraedro e s 5 u3 ; tres de su s vértices están

en los puntos A(2 , 1 , - 1 ) , B(3 , O , 1) y C (2 , -1 , 3). Hallar las

coordenadas del cuarto vértice D si se sabe que está en el eje OY.

Solución. S i el vértice D está sobre el eje Y , entonces : D (O , y , 0)

Tom ando el vértice A com o origen , la representación de posición de

las aristas están dadas por los vectores

a = AB = (3 ,0 , 1) - <2 , 1 , -1> = <1 ,-1 ,2 )

b = Á C = <2 , - 1 , 3) - <2 , 1 , - 1) = <0 , - 2 , 4)

c = A D = <0 , y , 0) - <2 , 1 , -1) = <-2 , y - 1 , 1 >

1 -1 2 0 - 2 4

-2 y -1 1

c=> 30 = I 1 (-2 - 4y + 4) - ( -1 )(0 + 8) + 2(0 - 4) |

de donde obtenem os : I I - 2y 1 = 1 5 <=> 1 - 2y = 15 ó 1 - 2y = -15

<=> y = -7 ó y = 8 En consecuenc ia , hay dos soluciones : D(0 , -7 , 0) y D (0 , 8 , 0)

Ahora , si V = -j- I (a b c) I ■=> 5 = 4- 6 6

E jem p lo 1 5 ) C on los vectores a . b y c de R ' e s posible formar un paralele-

246 Capítulo 4: Vectores en el espacio

pípedo de volumen V. Hallar el volumen del paralelepípedo que se puede formar

con los vectores 2 a - b , 2 a + b , a + 3 c

Solución. S i V = I (a b c ) | = | a - ( b x c ) l = l b - ( c x a ) | = | c - ( a x b )|

=> V ’ = I (2 a - b) • [(2 a + b) x (a + 3c)] I

= I (2 a - b) • [(2 a + b) x a + 3(2 a + b) x c)] | (PV.1)

= I (2a - b) • [2a x a + b x a + 6 ax c + 3 b x c ) ] | (PV.2)

= I (2 a - b) • [2(0) + b x a + 6 a x c + 3 b x c ] (PV.6)

= l 2 a * ( b x a + 6 a x c + 3 b x c ) - b * ( b x a + 6 a x c + 3 b x c ) l

Por definición : a • (b x a) = a • (a x c) = 0 y b • (b x a) = b • (b x c) = 0

«=> V ’ = | [2(0) + 6(0) + 6 a • (b x c)] - [(0 + 6 b • (a x c) + 3(0)] |

= 16 a • (b x c ) + 6 b - (c x a) | (PV.4)

= 121 (a b c) I = 12 V ■

E jem p lo 1 6 J Los puntos A y H , B y E ; C y F , D y G , son respectivam ente,

vértices opuestos de las caras A B C D y H E F G (opuestos) de

un parale lepípedo. Hallar su vo lum en , sa b ie n d o que : A (4 , 0 , -1 ) , F (x , y , 0),

C P = (-1 , 3 , 7 > , B D = <13 , -1 , -21), P F = ProyA-FC F = < 3 , -6 , 3).

Solución. La Figura 4.44 muestra el paralelepípe­

do de acuerdo a los datos dados.

S i P F = ProyA-FC F = <3 , -6 , 3) => ÁF11 3<1 . -2 , 1)

{ x - 4 = t

y - 0 = -21

1 = t

Luego , x - 4 = 1 -> x = 5 , y = -2 => F(5 , - 2 , 0)

P F = <3 , -6 , 3> <=> P = F - <3 , -6 , 3} F IG U R A4.44 '

=> P = <5 , -2 , 0) - <3 , -6 , 3) = <2 , 4 , -3)

C P = <-1 , 3 . 7 ) C = P -< - l . 3 , 7> = <2 . 4 , -3> - <-1 , 3 , 7 ) ==> C = <3 , 1 ,-10)

S i las intersección de las d iagonales A C y B D e s M , entonces

M = | ( A + C) = -|<7 , 1 , - 1 1 ) c=> M D = 4 B D <=> D = M + i B D

<=* D = i < 7 , 1 , - H ) + I < 1 3 , - l , - 2 I) = <10, 0 ,-1 6 )

Adem ás , si B D = <13 , -1 , -21 ) <=> B = D - <13 , -1 , -21 )

= < 1 0 ,0 , -1 6 ) - <13,-1 , -21) = <-3 , 1 ,5)

C onocidos los vértices B , C , D y F , podem os hallar la representación de posición

de las aristas mediante los vectores

Sudón 4 .8: El producto mixto de vectores 247

a = C D = D - C = <7 , -1 , -6) , b = C D = B - C = <-6, 0 , 15) ; c = C F = <2 ,-3 , 10)

7 -I -6V = (a b c) = - -6 0 15 = 1 17 u '

2 -3 10

E JE R C IC IO S : Grupo 28

1. Establecer si los vectores A , B y C forman una base en el conjunto de todos los

vectores , s i :

a) A = <2, 3 , - 1 ) , B = <1 , -1 ,3 ) , C = <1 ,9 , -1 1 )

b) A = <3 , -2 , 1) , B = <2 , 1 , 2) , C = <3 , -1 , -2)

2. Dem ostrar que para cua le squ ie ra A , B y C en R ' , los vectores A - B . B - C

y C - A son coplanares. Cuál e s el sentido geométrico de este hecho?

3. Determ inar el valor de k de modo que los cuatro puntos dados . A(1 , 2 , -1) ,

B(0 , 1 , 5 ) , C(-1 , 2 , 1) y D(k , 1 , 3 ) estén situados en un plano.

4. Dem ostrar las identidades

a) (A + B + C ) * ( A - 2 B + 2 C ) x ( 4 A + B + 5 C ) = 0

b) (A + B) • B x (A + B) = - (A B C)

c) (A - B) • (A - B - C) x (A + 2 B - C) = 3 ( A B C )

d) V a . f i e R . A * B x ( C + a A + p B ) = ( A B C )

5. D em ostra r que lo s vecto re s A = <1 , r , r2) , B = <1 , s , s 2) , y C = <1 , t , t2 ) ,

donde r , s y t son núm eros reales distintos , son linealmente independientes.

6. Se a n los vectores A = <r -1 ,1 , r ) , B = <1 , r -1 , r - 2) y C = <1 , r , r). Hallar los

valores de r para que A , B y C sean linealmente independientes.

7. D ado s los vectores A = <2 - k , -2 , 3 ), B = <1 , 1 - k , 1) y C = <1 , 3 , -1 - k ) ; qué

valores debe tener k para vectores A . B y C sean linealmente independientes,

y que valores debe tener k para que sean linealmente dependientes?

8. Lo s vectores de posición , con respecto al origen , de los puntos P , Q y R son

los vectores A . B y C , respectivamente. Hallar la distancia del punto P al plano

O Q R .

a) A = <3 , 4, -4), B = <-5 , 4 , -2 ), C = <-6 , - 7 , 2 )

b) A = <3 , -1 , -3 ). B = <1 , 0 , 3 ). C = <2 , -2 , 3)

9. S i los vectores A , B y C son las aristas de un paralelepípedo , hallar su

volum en , s i A = 6 j - 4 k . B = <4 , -2 , 1 ) y C = 4 i + 3 j - 4 k

248 Capítulo 4: Vectores en el espacio

10. Hallar el vo lum en del tetraedro c u y o s vértices so n los puntos A(1 , 0 , 1 ) ,

B (3 , 1 , 0 ) ,C ( -1 , 0 , -5) y D(-1 , - 1 ,-10)

11. En un tetraedro de vértices en A(1 , 1 , 1), B(2 , 0 , 2 ) , C (2 , 2 , 2) y D (3 , 4 , -3),

hallar la altura h = || D E II

12. D a d o s los vértices de un tetraedro : A (2 , 3 , 1 ) , B (4 , 1 , - 2 ) , C (6 , 3 , 7 ) y

D(-5 , - 4 , 8 ) , hallar la longitud de su altura bajada desde el vértice D.

13. D ado s los vértices de un tetraedro : A (2 , - 1 , 1 ) , B(5 , 5 , 4 ) , C (m , 2 , - 1 ) y

D (4 , 1 , m) ; hallar el valor de m sab iendo que su volum en es de 3 u3.

14. S i A = (1 , 3 , -1), B = (-2 , 4 , 3) y C = (m + 2 , m , m - 2) son tres vectores en R \

determinar los valores de m para que el volum en del paralelepípedo que se

forma con A , B y C se a 40 u3.

15. L a s a ristas de un para le lep ípedo son para le lo s a los vecto re s <1 , 0 , 0 ) ,

(2 , 3 ,0 ) y (-4 , -5, -6). S i una de las d iagonales e s el vector (0, -4 , -12), hallar

el volumen del paralelepípedo.

16. D ado s los puntos P(2 ,1 , 3 ), Q(1 , 2 , 1 ) , R(-1 , -2 , -2 ) y S (1 , - 4 , 0 ) ; hallar la

mínima distancia entre los segm entos P Q y R S.

17. Dado m * 0 y los vectores no coplanares A . B y C , determinar el vector V , tal

que V x A = V x B y ( V A C ) = m.

r e c t a s en CfPflCIO

5.1 j EC U A C IO N V E C T O R IA L DE UNA RECTA EN EL ESPA C IO

S e a r£ una recta en R ' tal que contienen a

un punto dado P ^ x , , y , , z,) y que e s paralela a las

representaciones de un vector dado

a = (a ,b ,c)Entonces la recta H' e s el conjunto de puntos

P(x , y , z) tales que P,P e s paralelo al vector a.

Esto es

P € SB <=> P,P = ta

<=> P - P, = t a

■\

^ Zi L

S^Pf \ y P ,

7▼■sa / / p .Y ------------------------- ► Yo

XV

<=> P = P + t a , i e R

es una ecuación paraniétrica vectorial de 7'.Entonces 7' se puede escribir com o

f = { P e R '| P = P, + t a , t e R }

FIGURA 5.1

(1)

E je m p lo 1 j Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta 7 que

pasa por los puntos S (2 , 3 , -1) y T(5 , -3 , 1).

Solución. Un vector coincidente con S T e s

a = S T = <5, -3 , 1) - <2 ,3 , - 1 ) = <3, -6 , 2)

250 Capitulo 5: Rectas en el espacio

C om o S está sob re la recta 7 ', entonces se gún (1) , su ecuación paramétrica

vec to ria le s <5?: P = <2 , 3 ,-1) + t <3 , -6 , 2) ■

| O B S E R V A C IO N 5.1 Segmento de recta_______________________________________ 1

Tal com o en el c a so de los vectores en R - , si se restrige el

dom inio de t , en la ecuación (1 ) , a un intervalo

cerrado , entonces la gráfica de la ecuación e s un

segmento de recta. •En particular, si 0 < t < 1 , entonces la gráfica e s el

segm ento ST.

S e puede identificar a los puntos que están a una

distancia dada de S sobre T eligiendo aproxim a­

damente ekparámetrc

FIGURA 5.2

E je m p lo 2 ) Obtener las coordenadas de los puntos que trisecan al seg-

mentó de extremos S (-6 , 1 , 5) y T(3 , 1 3 ,-1 ).

Solución. El vector direccional de la recta que pasa por S y T es

a = T - S = (3 , 13 , -1 > - <-6 , 1 , 5) = <9 , 12, -6)

Luego , la ecuación paramétrica vectorial del segm ento S T e s

S T : P = (-6 , 1 , 3) + t (9 , 12 , -6), t e [0 , 1 ]

Para obtener los puntos de trisección B y C , hacem os : t = 1/3 y t = 2/3

Para t = 1/3 «=> B = <-6 , 1 , 3) + 1 < 9 , 12 , -6) = <-3 , 5 , 3>

Para t = 2/3 c=> C = (-6 , 1 , 3) + | < 9 , 12 , -6) = (0 , 9 , 1)

Conclusión. B(-3 , 5 , 3) y C (0 ,9 ,1 ) son los puntos de trisección del segm ento ST

I O B S E R V A C I O N 5.2 Ecuaciones paramétricas cartesianas de una recta________

S i en la ecuación (1 ) escribim os los vectores P . P, y a en

función de su s com ponentes , entonces

(x , y , z) = ( x , , y , , z,) + t (fl,b ,c )o bien

<x , y , z) = <x, + tü , y, + t¿>, z, + te)

que equivale a las tres ecuaciones cartesianas

x = x + t a , y = y. + tb , z = z + tc (2)

E sta s tres ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta S£.

Sección 5. / . licuación vectorial de una recta en el espacio 251

I O B S E R V A C IO N 5.3 Ecuaciones simétricas de una recta________________________

S i despejam os t de cada una de las ecuaciones (2 ) obtene­

m os

Las ecuaciones (3) reciben el nombre de ecuaciones simétricas de la recta 7 . Los

términos a ,b , y c son los núm eros directores de 7 , ya que son las com ponentes

de un vector de dirección de dicha recta.

S i una recta es paralela a un plano , entonces uno de su s núm eros direc­

tores es 0. Por lo tanto , no tiene ecuaciones simétricas de la forma (3 ), puesto que

uno de los denom inadores sería cero. Por ejemplo , si una recta 7 e s paralela al

plano X Y , pero no a los ejes X e Y (Figura 5.3), entonces tiene un vector direccional

de la forma (a , b , 0), donde a * 0 y b * 0. Aunque 7 no tiene ecuaciones de la forma

(3), si contienen al punto P^x, , y, , z,) se puede determinar mediante las ecuacio­

nes

x - x i _ y-yi a b ’ 1

S i una recta es paralela a uno de los ejes coordenados , entonces dos de

sus números directores son 0 , y en lugar de las ecuaciones simétricas se tiene

sim plemente la s e cu a c ion e s que e xp re sa n las d o s co o rd e n a d a s con stan te s

de cada punto sob re la recta. A s í si la recta 7 , que e s paralela al eje Z , p a sa por

P,(x, , y, , z,) queda especificada por las ecuaciones

x = x, , y = y,

La recta rf interseca al plano X Y en el punto S(x, , y, ,0 ) com o se indica en la

Figura 5.4

252 Capítulo 5: Rectas en el espado

Ejemplo 3 ^ Hallar la ecuación simétrica de la recta .2? que pasa por los

puntos S (2 , 1 , -4) y T (5 , 3 , - 1 ).

Solución. El vector direccional de la recta SL’ e s

a = S T = <5 ,3 , -1 ) - ( 2 ,1 ,-4) = (3 , 2 ,3 )

C om o S e entonces la ecuación simétrica de la recta es

c/> • x - 2 _ y - 1 _ z + 4 3 " 2 " 3 .

Ejemplo 4 ) Hallar la ecuación simétrica de la recta c£ que pasa por S(1 ,-3,4) y e s paralela a la recta = {<-3 , 7 , 5 ) + 1 (2 , -1 , 0) 11 e R>- !

Solución. Lo s núm eros directores de 2?, son , a = 2 , b = -1 y c = 0 Entonces , por (3 ), la ecuación de la recta buscada e s

' 5.2 ) P O S IC IO N E S RELAT IVAS DE R EC T A S EN EL ESPA C IO

DEFINICION 5.1 Paralelismo de rectas

D o s rectas .5? = - P = P, + ta 11 s R } y = < P = Q, + rb l r € R},

se dice que son paralelas si los vectores de dirección a y b son paralelos.

Esto es

11 ** a 11 b

O B S E R V A C IO N 5.4 S i dos rectas y en el e spacio son paralelas , entonces,

o son coincidentes (SPX = &2) o no se interceptan (.!?', fl 2\ = 0 )

Ejemplo 5 ) Dadas las rectas = {(2 , -1 ,2 ) + 1 ( 2 , 1 , -3» , = { ( 0 , 2 , 3 ) +s ( - 4 , -2 , 6)} y 2?3 = {(6 , 1 , -4) + r(6 , 3 , -9 » . Establecer si son

parale las o coincidentes.

Solución. Lo s vectores de dirección de las rectas d adas son

a, = (2 , I , -3> , a, = -2(2 , I , -3) , a, = 3(2 , 1 , -3>

Por simple inspección : a, 11 a2 11 a, => <B 11 11 <l\

Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio 253

Veamos si P,(0 , 2 , 3) e , pertenece también a Para ello trazam os el vector

v = P, - P, = (0 , 2 , 3) - (2 , -1 , 2> = (-2 , 3 , 1 > * (2 , I , -3)

Luego, v K a , , o se a P, e , por tanto , 7 , y 5?, no son coincidentes {2\ fl 2?, = 0 )

Veamos ahora si P, e .2?, pertenece también a

Trazamos el vector v = P, - P, = (6 , 1 , -4) - (2 , -1 , 2) = 2(2 , 1 , -3)

Como v 11 a, «=> ,5?, y 2?, son rectas coincidentes , e s d e c ir , 5?, = .2?, y 2?, fl - {P ,}

! O B S E R V A C IO N 5.5 S i dos rectas ÍL\ y 2', en el e spacio no son paralelas entonces,

o son concurrentes fl 5?, *■ 0 ) o se cruzan en el e spacio

j t * , n * 2= 0 ).

D ada s las rectas no paralelas , = {P , + t a 11 e R } y = {P , + s b I s e R }

y trazado el vector c = P, - P, , entonces para reconocer si e stas rectas son concu­

rrentes o se cruzan en el espacio , se sigue el siguiente criterio.

1 . 2 ', y 2?, son concurrentes o (a b c ) = 02 . .2 ", y 2 ', se cruzan en el e spacio <=> (a b c) * 0

Ejemplo 6 J D a d a s las rectas 7 \ = x + 4 1

z - 3 -1

, J2?2= { ( - 3 , - 2 , 6 > +

t (2 , 3 , -4)} y ^ 3 : x = s + 5 , y = -4 s -1 , z = s - 4 ; establecer

cuales son concurrentes o cuales se cruzan en el espacio. En el ca so de que sean

concurrentes , hallar el punto de intersección.

Solución. S i = {(-4 , 0 , 3) + r (1 , 3 , -1)} y « 5 , -1 , -4 )+ s (1 , -4 , 1)} ,

entonces para cada par e rectas tendremos :

1. Con 2? y 2', a, = (1 , 3 , - 1 ) , a, = (2, 3 , -4 )

c, = P, - p , = (-3 , -2 , 6) - (-4 , 0 , 3) = (1 , -2 , 3)

1 3 -1

=> (a, a, c,) = = -22 * 02 3 -4

1 -2 3

Luego , <2?, y 2?, se cruzan en el espacio

2. Para 5?, y a, = (1 , 3 , -1> , a, = ( 1 , -4 , 1>

Cj = P, - P, = (5 , -1 , -4) - (-4 , 0 , 3) = (9 , - 1 , -7)

I 3 -I

1 -4 1

9 -1 -7

= 42 * 0

Por tanto 2?. y 7\ se cruzan en el espacio

254 Capítulo 5: Rectas en el espacio

3. Para S? y S£ y: a, = <2 , 3 , -4), a, = (1 , -4, 1 >

C3 = P, - P, = (5 , -1 , 4> - (-3 , -2 , 6> = <8 , 1 , - 10)

2 3 - 4

(3, a, c,) = = 01 - 4 1

8 1 -10

Por lo que , y S£. son rectas concurrentes.

S i P e (.5?, f| SU) >=> 3 t , s e R tales que

(x ,‘y , z> = (-3 , -2 , 6) + t(2 , 3 , -4> = <5,-1 ,-4> + s<l , -4 , 1 >

o bien

{ 2 1 - s = 8 3 1 + 4 s = 1

4t + s = 10

Resolviendo las dos primeras ecuaciones obtenem os : t = 3 y s = -2

Luego , en (1): <x , y , z> = <-3 , -2 , 6) + 3 <2 ,3 , -4) «=* P(3 , 7 , -6) e 5?,D

(1)

DEFINICION 5.2 Perpendicularidad de rectas

D o s rectas 2 \ = { P ( + t a } y SB2 = { P, + s b} se dice que son

perpendiculares si lo son su s vectores de dirección , esto e s

2 XLSB2 » a l b

Ejemplo 7 J H alla r la e cu a c ión de la recta S£ que p a s a por el punto

P ^ , 1 , 2 ) y e s perpendicular a las rectas 2' t = {<1 , 0 , 2) +

r(1 . -2 , 2 » y 5?2 = {(2 , 6 , -3) + s (3 , 0 , -1)}

Solución. S i a, = <1 , -2 , 2) y a, = <3 ,0 , -1), y dado que

SU L S(\ => a l a , , y también S£ 1 S&2 => a _L a.

Por la definición de producto vectorial, el vector a e s perpendicular al plano forman­

do a, y a , , entonces

i j k

a = a , x a , = 1 -2 2 = 2 i + 7 j - 6 k

3 0 - 1

Por lo tanto , la ecuación buscada e s , Sf : P = <3 , 1 , 2) + t (2 , 7 , -6), t e R ■

Ejemplo 8 J Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S (2 ,-1 ,1)

y e s perpendicular en el punto de intersección con la recta

Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio 255

* , = {<11 , - 3 , 2 ) + r < 2 , 0 , - 1 ) | r e R }

Solución. S e a T e ( * , f| Si,",) y a, = <2 ,0 , -1>

S i á ?,: P = (1 , -3 , 2) + r<2 ,0 , -1), r e R

y si T € SL\ «=> T = <1 + 2 r , -3 , 2 - r)

ST = T - S = <1 + 2r, -3,2 - r)- <2, -1,1) = <2r -1, -2,1 -r)ST l a, t=> S T • a ] = 0

«=> <2 r - 1 , -2 , 1 - r) • (2 , 0 , -1 > = 0 de donde obtenem os , r = 3/5

Luego : S T = <|--1 , -2 , 1 - } > = | <1 , -1 0 , 2)

Como a 11 S T *=> a = t <1 , - 10 , 2>.

* = {<2 ,-1 , l> + t<l , - 1 0 , 2 > | t e R } ■

Ejemplo 9 j Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S(1 , - 4 , 6 )

y e s perpend icu lar, en el espacio, a la recta = {(3 , 2 , -1) +

r(1 , -1 , 2 )l r e R }

Solución. S e a n : P,(3 , 2 , -1), a, = <1 , -1 , 2) y v = SP ,

Entonces , v = P, - S = <3 , 2 , -1) - <1 , -4 , 6) = <2 , 6 , -7)

Un vector normal al plano formado por los vectores

v y a, e s :

i j k

2 6 - 7 = < 5 , - 1 1 , - 8 )

1 -1 2

y un vector normal al plano formado por los vecto­

res a ] y n i e s :

i j k

1 -1 2 = 6 <5 , 3 , -1)

5 -11 -8

Com o n, e s paralelo a la recta SP ■=> a = (5 , 3 , -1) FIGURA 5.6

* = { < 1 , - 4 , 6 ) + t < 5 , 3 , - l ) | t € R }

n, = v x a, =

a,V

r

\ \ ----

v /

' _

S

\ " ^ a r

\

v\

J

Ejemplo 1 0 ^ H a lla r la e cu a c ió n de la recta 7' que p a sa por la in te rse c ­

ción de la s recta s S¿\ = {<5 , -3 , 1) + t <3 , -4 , 7) 11 e R } y

■2*2 — • (4 , 2 , -9) + r (2 ,1, -3) I r e R y e s perpendicular al plano formado por * , y %

256 Capítulo 5: Rectos en el espacio

Solución. S i P, e (J2?, (1 %2) => 3 t , r e R , tales que

<x,, y , , z,) = <5 , -3 , 1 )+ t<3 , -4 , 7> = (4 , 2 , -9) + r (2 , 1 , -3>

r 31 - 2 r = -1Entonces : (3t - 2 r , -4 t- r , 7t + 3r> = (-1 , 5 , -10) <=> •< -4t - r = 5

L 7t + 3 r = -10

Resolviendo las dos primeras ecuaciones obtenem os , t = r = -1

Luego , en (1): P, = <5 , -3 , 1) - <3 , - 4 , 7 ) = <2, 1 , -6>

S i a e s el vector de dirección de entonces : a = a ] x a,

¡ j k

3 - 4 7

2 1 -3

.2?= « 2 , 1 , -6) + s (5 , 23 , 11 > I s e R>

<=> a = = <5 ,23 , 11)

( 1)

E je m p lo 1 1 ~ } S e a n la s re c ta s SB, = { (3 , 4 , 0) + r (1 , 2 , -1 ) I r e R y

3? = {<1 ,1 , 1) + s (1 , 0 , 2) I s e R }. Hallar la ecuación de una

recta que corta a í ^ e n A . a ^ e n B y a l eje X en C , de m odo que A B = B C

Solución. S i A € rl \ <=> A = (3 + r , 4 + 2 r , -r)

B e se2 =» B = <1 + s , 1 , 1 + 2s)

C e (Eje X) C = <x , 0 , 0)

Dado que A B = B C => B es punto medio de A C

3 + r + x = 2 ( l + s ) <=> r - 2 s + x = -l{ j + i + x =

4 + 2r + 0 = 2

-r + 0 = 2(1 +

2( 1 ) o r = -1 2(1 + 2s) c=> s == -1/4

Lu e go , A = (2 , 2 , 1 ) y B = <3/4, 1 , 1/2)

El vector de dirección de la recta r£ e s

a = B A = A - B = i <5 , 4 , 2)

- {<2 , 2 , 1 ) + t<5 , 4 , 2) 11 e R }

Ejemplo 1 2 j D ado s los vértices de un triángulo A(1 , -2 , -4 ), B (3 , 1 , -3) y

C (5 , 1 , - 7 ) , hallar las ecuaciones paramétricas de la altura

bajada desde el vértice B al lado opuesto.

Solución. Considé rese el A A B C de la Figura 5.8 , en donde :

H B = Á B - Á H = Á B - P royA-cÁ B (1)

Sección 5.2 : Posiciones relativas de rectas en el espacio 257

A B = B - A = <3, l , -3) - <1 , -2 , -4 ) = <2 , 3 , 1)

Á C = C - A = <5 , 1 , -7) - <1 , -2 , -4) = <4, 3-, -3)

á q / (2 , 3 , 1 > • <4 , 3 , -3)'

(2)

ProyA-cA B = (-11 <4 , 3 , -3) 112

) <4 , 3 , -3)

= ?.+ 9 ~3 ( 4 , 3 , -3) = - 1 ( 4 - , 3 , -3>(3)(V16 + 9 + 9 )1 ,7 M 1

Sustituyendo (2 ) y (3) en ( 1 ), obtenem os :

H B = ^ ( 3 , 1 5 , 1 9 >

Si a es el vector direccional de la altura H B y com o a 11 H B ■=> a = (3 , 15 , 19)

Dado que B(3 , 1 , -3) pertenece a la altura H B , s u s ecuaciones paramétricas son

x = 3 + 3t , y = 1 + 151 , z = -3 + 1 91 ■

(^Ejem p lo 1 3 ^ D a d o s los vértices de un triángulo A(3 , -1 , -1 ), B(1 , 2, -7) y

C (-5 , 14 , -3). Hallar las ecuaciones simétricas de la bisectriz

del ángulo interno del vértice B.

Solución. La Figura 5.9 muestra al A A B C y la repre­

sentación de posición de la bisectriz BD.

Entonces

B Á = (3 , -1 , 1 ) - ( 1 . 2 , -7) = (2 , -3 , 6)

B C = (-5 , 14 , -3) - (1 , 2 , 7) = (-6 , 12 , 4)

Los vectores unitarios en las direcciones de B A y B C

son , respectivamente

t ( 2 , - 3 , 6) _ (2 , -3 , 6) w _ ( -6 ,1 2 , 4) _ <•

j V4 + 9 + 36 7 ’ V 3 6+ 144 + ?6

Luego , un vector en la dirección de la bisectriz B D es

b = u + v = - y (1 , -3 , -8 )

Por lo que , los núm eros directores de la bisectriz B D son : 1 , -3 y -8. S i B (l , 2 , -7)

pertenece a la bisectriz , entonces su s ecuaciones simétricas son

3 , 6 , 2 )

258 Capítulo 5: Rectas en el espacio

L o s á n g u lo s q u e fo rm a n el v e c to r a co n lo s vecto re s

ortonormales (1 , 0 , 0), (0 , 1 , 0) y <0 , 0 . 1 > son 45°, 60° y 60°

respectivamente. Lo s ángu los que forman el vector b con d ichos vectores son 45°,

45 c y 90°, respectivamente. H a lla r: a) El ángulo entre a y b. b) La recta que pasa por

A(1 . 1 , 1) y es paralelo al vector a + b , siendo a y b unitarios.

Solución. La ecuación que permite expresar un vector en términos de su módulo

y de su s co seno s directores e s

a = 11 a 11 (C o s a , C o sp , C o sY )

Entonces : a = I ; a 11 (Cos45° , Cos60° , Cos60°) = Ü A Ü (V2 , 1 , 1)

Del m ism o modo : b = I b 1! (C o s 45° , C o s 45c , C o s 90°) = (\2 , \2 , 0> „

Luego ; a • b = l | | a I I I I b I I (2 + *2) ~ ,, = 1 ± £4 a b 4

a) Si C o s 0 = - - a- * ^ Co s e = - + <=> e = are C o s ?.)H a l l l l b i l 4 \ 4 I

es el ángulo entre los vectores a y b.

b) Dado que a y b son unitarios , entonces : a + b = (v2 , , 1 )

7 : P = (l , I , l) + t(2 \2 , I + \ 2 , 1), l e R ■

E j em pl o 1 4 ^

E jem p lo 1 5 j U n a recta 7 , p a s a por lo s puntos A(2 , 1 . 1) y B (6 , 4 , 1 ) y

otra recta 7'2 p a sa por C(1 , 3 , -1) y D(3 , 0 , 5 ) . S i 7 e s una

recta que pasa por P(1 , 3 . - 1 ) formando un m ism o ángulo con 7\ y 7 tal que los

vectores de dirección de las rectas 7 , 7 y y 7’2 son linealmente depend ientes, hallar

la ecuación de 7'. x

Solución. Lo s vectores de dirección de las rectas 7\ y 7\ son

b = Á B = (6 , 4 , I) - (2 , I , f> = (4 ,3 ,0)

c = C D = (3 ,0 ,5 ) - (1 , 3 , - 1) = <2 , -3 , 6)

Entonces s u s ecuaciones vectoriales son

V, = {(2 , I , 1) + r(4 , 3 ,0)1 r e R>

y '/,=»{( I , 3 , - 1) + s (2, -3 , 6) I s e R

Com o 7 , /K 7 . veam os si son concurrentes o se cruzan en el espacio.

Sea d = Á C = (I , 3 . -I> - (2 , I , 1) = <-! , 2 , -2)

Sección 5.2: Posiciones relativas de rectas en el espacio 259

■=> (b e d ) =

4 3

2 -3

-i 7= - 3 0 * 0

luego , y se cruzan en el espacio.

Dado que lo s vectores de dirección de X , <2?, y (J \ son

coplanares (linealm ente depend ientes) , trazam os

éstos sobre un plano de m odo que su s puntos inicia­

les coinciden con P (Figura 5.10). A d e m á s com o í?

forma ángu lo s igua les con J?", y , su vector de direc­

ción es bisectriz del ángulo entre b y c o entre b y -c.

b c<=> a =

o a =

( 4 ^ 0 ) + < 2 . - 3 . 6 ) = ^ i

5 7 35

( 4 , 3 , 0 ) (2 , -3 , 6> 2(7, 18 , 15)

l l b l l l l c l l 5 7 35

Z ' = {(1 , 3 , - 1 ) + 1<19 , 3 , -15)1 l e R } o & = {{ 1 , 3 , - l ) + t ( 7 , 18, 15) 11 e R>

Ejem p lo 1 S e a la recta ,7' - {(1 , -2 , 4 ) + 1 (2 , 1, -2) t e R } y los puntos

P(-2 , 3 , 5) y C (a , b , 2 ), estando C sobre la recta !£.a) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por P e intersecan a 7 \ de tal

m anera que los puntos de intersección disten 9 unidades de C.

b) hallar la ecuación de la recta que pasa por P y se a ortogonal a f y a las rectas

obtenidas en a).

Solución. D ado que C (a , b , 2) e 7 , entonces

(a ,b , 2) = (1 + 2 t , -2 + t , 4 - 2 t ) .

a= 1 + 2 t

= -2 + 1c=> { U = I + Z l 'v* = -2 + , |2 = 4 - 2t <=> 1 =12 = 4 - 2t c=>

Un vector unitario en la dirección de X e s

u = _ a — = <2 , l . - 2)

H a l l 3

a) A C = 11 A C 11 u <=> A = C - 3 (2 , 1 , -2)

= ( 3 , -1 , 2 ) - ( 6 , 3 , -6) = ( - 3 , - 4 , 8)

C B = ||CB|| u <=* B = C + 3 ( 2 , 1 , - 2 )

= < 3 , - 1 , 2 ) + ( 6 , 3 , -6) = (9 , 2 , -4)

Por consiguiente : 7\ = {P + t A P } = {(-2 , 3 , 5) + t (1 , 7 , -3)11 e R }

5c',= {P + tB P } = { ( - 2 , 3 , 5 ) + t( - ll , 1 ,9)1 t e R }

260 Capítulo 5: Rectas en el espacio

b) La recta 7 \ requerida que no aparece en la F igura 5.11 , p a sa por P y es

perpendicular al plano generado por 7\ y 7 \ , entonces su vector de dirección

será paralelo a la normal de dicho plano , esto e s

_ ' j kn = Á P x B P = I 7 -3 = 6 <11 , -7 , 13) «=> a, = <1 1 , -7 , 13)

- I I 1 9

7', = { P + ta,} = {<-2 , 3 , 5) + t<l I , -7 , 13) 11 e R} ■

E JE R C IC IO S : Grupo 29

1. Hallar la ecuación param étrica vectorial de la recta que p a sa por los puntos

S (1 , -2 , -3) y T(2 , -3 , 2).

2. Por los puntos A (-6 , 6 , -5) y B (12 , -6 , 1) se ha trazado una recta. Hallar los

puntos de intersección de esta recta con los p lanos coordenados.

3. Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del segm ento cuyos extre­

m os son S (6 , 0 , -3) y T (-6 , 9 , -12).

4. Hallar las coo rdenada s de los puntos que dividen en 4 partes iguales al

segm ento de extremos A (-1 , 2 , 1) y B (7 , 6 ,-1 1 ).

5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3 , 0 , -1) y e s perpendi­

cular, en su punto de intersección con la recta 7\ = { < 2 , 3 , 2) + t<2 , -1 , 0)| t e R .

6. Una recta j que pasa por el punto A(-2 , 1 , 3) e s perpendicular e interseca a

la recta : P = <2 , 2 . 1) + t ( 1 , 0 f - 1 ) , t e R . Hallar la ecuación vectorial de 7.

7. Hallar la ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto A(2 . 1 , - 1 ) y

corta a las rectas 7\: P = <1 , 1 , 1) + r<2 , 4 , 5 ), r e R . y 7 \ : eje X.

8. Una recta V , pasa por los puntos A(2 , -1 , 1) y B(3 , 2 , - 1 ) y otra recta ff pasa

por el punto C (2 , -3 , -1) y corta perpendicularmente a '/,. Hallar la ecuación

vectorial de 7 .

9. Dem ostrar que las rectas , d ad a s m ediante s u s e cuac ione s param étricas

7\ : x = 2 t - 3 , y = 3 t - 2 , z = -4 t+ 6 y 7'2 : x = t + 5 , y = -4t - 1 , z = t - 4

son concurrentes.

1 0 . S e dan las rectas

7 ■ * + 2 _ X = ü l l w rj . _X_i3 _ y j J ^ _' ’ 2 " -3 4 y 2 ' m 4 ~ 2

cuál debe ser el valor de m para que estas rectas sean concurrentes?

EJERCICIOS : Grupo 29 261

11. Sean 7\ y 7 2 rectas en R ’ , tales que 7.\ e s paralela a 0 2 : x = V2 y = \ 2 z , y 7’2pasa por el punto Q(-2 , 7 , 13) y por el punto medio del segm ento A B , donde

A(-2 , 3 , 4) y B(3 , -2 , -3). Hallar el ángulo que forman y 7’2.

12. Una recta 7' p a sa por el punto A (2 , 1 , 3) y forma con los vectores < 1 , 0 , 0 ) ,

<0,1 , 0) y < 0 , 0 , 1 ) , ángu lo s de 45°, 60° y 7 respectivamente. Hallar un vector

dirección para y , de norma 1 y dar las ecuaciones paramétricas de ésta.

13. Ha llar la e cu ac ión de la recta que p a sa por la in te rsecc ión de la s rectas

= {<-1 , 4 , -3) + r <5 , -2 , 2)} y = {<-2 , 4 , 13) + s <3 , -1 , -10)} y es

perpendicular al plano formado por 7 \ y SP2.

14. Hallar la ecuación de la recta que p asa por P(0 ,1 , 1) y corta a la rectas

.7'.: S x = > y ¿2L = {<1 , - 2 , 0 ) + s<1 ,2, 1 ) | s e R >l 2 x = z

15. D ada s las rectas que se cruzan

f/, . x_i ± - y + 2 _ 5j_z „ fJ¡ . x = _2 Y j J _ z + 2' ' 2 3 4 7 2 ’ 1 2

. hallar la ecuación de la recta que pasa por S(-1 , -2 , 1 ) y es perpendicular a 7\(en el espacio) y corta a 71Y

16. D a d a s las rectas 2?, = {<2 ,-1 , 3 ) + r<1 , 0 , - 2 ) | r e R } , i^2 = {<3 , 0 , -2) +

s (0 , 2 , 1) I s e R } y 7 \ = {<3 , 2 , 0) + t <0 , 3 , 1.) 11 e R }. Hallar la ecuación de

la recta que corta a 7\ , (J'2 y 7 \ en los puntos A , B y C respectivamente, de

modo que B sea el punto de trisección , m ás cercano de C , del segm ento AB.

17. D ado s los vértices de un triángulo A (2 , -1 , -3), B (5 , 2 , -7) y C ( - 7 , 1 1 , 6 ) , hallar

la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo externo del vértice A.

18. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto A(-1 , 2 , -3),

e s perpendicular al vector v = <6 , -2 , -3) y se corta con la recta

7> ■ x _ l i = y + 1 = L l l’ ' 3 2 -5

19. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto A(-4 , - 5 , 3 )

y se corta con las dos rectas

y- . X + l J • “ _ /. - c . . a , .3 -2 -1 ’ 2 * 2 3 -5

20. Hallar la s e cuac ione s param étricas de la perpendicular com ún a las dos

rectas , dadas por las ecuaciones

3?1: x = 3 t - 7 , y = - 2 t + 4 , z = 3 t + 4 y f l ? 2 : x = t + 1 , y = 2 t - 9 , z = - t -1 2

1 _ y + 3 _ Z - 2 . a, . x - 2 _ y + 1 _ z -1

262 Capítulo 5: Rectas en el espado

2 1 . Hallar el punto simétrico de P(3 , 2 , 1 ) , respecto de la recta

'/' = {( 1 . 2 , 1) + t (2 , 3 , 2V3)| t e R }

22. S e a la recta 7 '= { ( 1 , 2 , 3 ) + t ( 1 , -2, 2>l t e R } y los puntos P(3 , 3 , 1 ) y Q ( 2 , r, s),

estando Q en la recta 7'.

a) Hallar las rectas que pasan por P e intersecan a 7' , de tal m anera que los

puntos de intersección disten 6 unidades de Q.

b) Hallar la recta que pasa por P y sea ortogonal a 7 y a las rectas obtenidas

en la parte a).

5.3 1 A P L IC A C IO N E S DE LA RECTA EN EL ESPA C IO

TEOREMA 5.1 Distancia entre tttt punto y tina recta en el espacio

dada por

La distancia entre un punto S y una recta 7 en el e spacio viene

l ia x f S l ld (S , W) =l i a II

donde a e s el vector de dirección de la recta 7 y T e s un punto cualquiera de la

recta.

Demostración. S e a la recta / de ecuación

7 - • P = T + i a i e R :

En la Figura 5.12 se observa que la

d(S , 2 ) = Il f S II Sentì

donde 0 e s el ángulo entre a y TS.

Por la propiedad 2 del Teorema 4.3 , tenem os

Max T S 11 = Ila || N f S l l SenO

Por tanto , 11 a x T S 11 = 11 a ! | d(S , 7 )

d (S , 9 ) = a x vTíaTT

(17)

e jem p lo 1 j Hallar la distancia del punto S(1 , -1 , 2) a la recta

9' • * _2 -1

. x_-_3 _ > - 2 _ 7. + 3

Sección 5.3 : Aplicaciones de la recta en el espacio 263

Solución. Por simple inspección , un punto de la recta <B e s T(3 , 2 , -3) y su vector

de dirección e s a = (2 , - l ,3). Entonces , un vector que va de T a S es:

v = T S = (1 , -1 , 2) - (3 , 2 , -3) = (-2 , -3 ,5 )

i j k

<=* a x v = 2 -1 3 = 4 ( 1 , - 4 , -2>

-2 -3 5

Luego, 11 a x v 11 = 4 \ I + 16 + 4 = 4V2 Í y a 11 = \!4 + 1 + 9 = \14

Finalmente , por la fórmula (17) : d {S , 5?) = = 2^6 ■■vl4

Ejemplo 2 J Hallar la distancia del punto S (5 , -3 , -4) a la recta

<£ : y + 4 = 0 , x + z = 3

v 7 " 3Solución. L a s ecuaciones simétricas de la recta 7' son : — = — j— , y = -4

Por inspección , un punto sobre 7' e s T ( 0 , -4 , 3) y su vector de dirección

es a = (1 , 0 , - 1).

Ahora , si v = f S <=> v = (5 , -3 , -4) - (0, -4 , 3) = (5 , 1 , -7>

<=> a x v =

i j k

1 0 -I

5 1 -7

= ( 1 , 2 , 1)

Luego , 11 a x v 11 = \ 1 + 4 + I = \'6 y a i I = v I + 0 + 1 = V2

Por tanto , aplicando la fórmula (17) obtenem os : d { S , 7') = V3

^ "e je m p lo 3 J D e sd e el punto S ( 4 , 5 , -1 ) se traza una perpend icu la r a la

recta á? = {(2 , -1 ,1 ) + r(1 , 2 , -2) I r e R }. A qué distancia del

punto A (5 , 2 , - 2 ) se halla dicha perpendicular?

Solución. S i .2?,: P = (2 , -1 , 1 > + r (1 , 2 , -3), r e R ,

por inspección , P 1(2, - l , 1) y a = (1 ,2 , -2 )

S i T € ®x c=>T = (2 + r , - l + 2 r , l -2 r)

Luego , T S = S - T = (2 - r , 6 - 2 r , 2 r -2 )

S i S T l a , => (2 - r , 6 - 2r . 2 r - 2 )*(1 , 2 , - 2 ) = 0

=> 2 - r + 1 2 - 4 r - 4 r + 4 = 0 r = 2

Por lo que : T = (4 , 3 , -3) y Í S = 2(0 ,J , 1)

Refiriéndonos a la Figura 5.13 , vem os que a I T S

264 Capítulo 5: Rectos en el espacio

•=> a = <0 , 1 , I) e s el vector de dirección de la recta &' 1S i b = Í A <=» b = (5 , 2 , -2) - (4 , 3 , -3) = (1 ,-1 , 1)

¡ j k

Luego : a x b = 0 I 1 = < 2 > l , - l ) r = > a x b l = V 6 y ! ! a l = V 2

1 -1 I

Ahora , haciendo u so de la fórmula (17) , obtenem os

d (A , y ) = 4 1 = V3V2

f I

Ejemplo 4 J Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1 ,-3 ,-4 )

y corta al eje X , sab iendo que la distancia del origen de coor­

denadas a dicha recta e s 5 unidades.—>

Solución. Se an : A (x , 0 , 0 ) , v = P O = <-1 , 3 , 4) y

a = PA = (x - 1 , 3 , 4 )

¡ j k

c=> a x v = x - I 3 4 = x (0, -4 ,3)

- 1 3 4

I a x v ! | =|x| V0 + 16 + 9 = 5 I x|

S i d(0 , 7‘) = ^ 1 5 I x I<=> x = 13

a 11 Vx: - 2x + 26

/. y = { < l , -3 , -4) + 1 <12, 3 , 4 ) 11 e R }

TEOREMA 5.2 Distancia entre dos rectas en el espacio

La distancia entre do s rectas 7\ y en el espacio , viene dada

por

I (P, - P.) • (a, x a,) | d { 3 \ , Z\) = }

' I a, x a j I

donde los puntos P ( e y , y P, e 7\ , y a ( , a, son los vectores de dirección de

7: y CB respectivamente.

Demostración. Se a n las rectas no paralelas

f¿\ = { P ( + (a, | t e R } y 7 \ = {P , + ra, I r e R }

Sección 5.3: Aplicaciones de la recta en el espacio 265

Construimos dos p lanos paralelos p , y p , que con ­

tengan a las rectas y .2?, respectivamente. Com o

la normal n a am bos p lanos , e s perpendicular a los

vectores de dirección de fJ \ y r£ ,, entonces

d{2\ , = I C om pnv |

en donde: v = P ,P ,= P , - P , y n = a, x a.

d ( t , =lv.nl = 1 (p: - P,) • (a,x a:) I IlnIÌ lia, x a,|| FIGURA 5.15

[ E jem p lo 5 ^ Calcular la distancia entre las rectas

a, . x -1 y_ z - 5 — y + 1 = z - 4v 3 4 -1 y 2 ‘ 2 -1 1

Solución. De 7\ obtenem os : P ((l , 0 , 5) , a, = <3 , 4 , -1)

y de <B2. P ,(0,-1 ,4) , a, = <2 ,-1 , 1) P, - P, = <-l , -l , -l )

i i ka, x a, = 3 4 - 1

2 -1 1

Luego , por la fórmula (18) : d (2 \ , 2\) =

= < 3 , - 5 , - I I )

K - l , - 1 , - 1 )-<3 , -5 , - 1 1)| 13

\9 + 25 + 121 VT55

e jem p lo 6 ^ Hallar la distancia entre las rectas

ST'l :x = 3 t , y = - 4 - t , z = -18 + 4t y 2?2 : ^ _ ± Z = ^

Com o a, = a, <=* 2?, || ; luego , no e s posible

calcular la d( 7\ , 7\) por la fórmula (18) .puesto que

a, x a, = 0

Consultando con la Figura 5.16 , vem os que

Si V = P, - P, = <-7 , 5 , 9 ) - <0, -4 , -18) = (-7, 9 , 27)

a, = <3 . -I ,4 )

, = <3,-1 ,4 )

f N'/?, P.

V / d

fJ\ cf/P,

va,

yFIGURA 5.16

266 Capitulo 5: Rectas en el espacio

<=> v x a. =

i j k

-7 9 27

3 -1 4

= <63 , 109 , -20)

d( 7 7') = V x a ü = 16,25011 a. 11 \'26

= 25

E je m p lo 7 ^ D a d a s las rectas

. x + 6 y - 1 Z + 11 ‘ 2 1 -1

x - 3 _ y- t • z = 2 >

que se cruzan en el espacio : determinar un punto A e 7\ y otro punto B e 7 2 , tales

que la distancia de A a B sea m ínima , a s í como, la recta que los contiene.

Solución. S i 2?, = {<-6 , 1 . -1) + r ( 2 , 1 , - 1) I r e R }

y 5?, = {< 3 ,0 , 2) + s<l , 2 , 0) | s e R }

Entonces a, = <2 , I , - 1) y a, = < 1 , 2 , 0 )

Para que la distancia entre los puntos A y B se a

mínima , la recta 7 que los debe ser perpendicular

a 7\ y 7\ , cuyo vector de dirección e s a = a, x a,

i j k

' = (2, -1 ,3)<=> a =

0

Refiriéndonos a la Figura 5.17: A B = t a <=> B = A + t<2 , - 1 , 3)

B e 7 \ <=> B = ( 3 , 0 , 2 ) + s ( l , 2 , 0 )

A e 7\ => A = <-6 , I , -1) + r<2 , I , - 1)Sustituyendo (2 ) y (3) en (1 ) se tiene :

<3 , 0 , 2) + s<l , 2 , 0 ) = <-6 , l , -1) + r<2 , I , - l ) + t<2 ,-l ,3)

{ s - 2 r - 2 l = - 9

2 s - r + t = I

r - 3 1 = -3

Resolviendo el sistem a de ecuaciones , obtenem os : r = 3 , s = I

Por lo tanto: A = <-6 , I , - I ) + 3 <2 , I , - 1) = <0 , 4 , -4) => A ( 0 , 4 , - 4 )

B = <3 , 0 , 2) + (1 , 2 , 0) = <4, 2 ,2) «=> B ( 4 , 2 , 2 )

3? = { A + t a | l e R } «=> 7'= {<0 , 4 , -4) + t<2 . -I , 3 ) | t e R }

t = 2

(1)

(2 )

(3)

CICIOS : Grupo 30 267

EJER C IC IO S : Grupo 30

1. Hallar la d istancia del punto S (3 , -1 , 5) a la recta que p a sa por los puntos

A (3 , -2 , 4) y B (0 , 4 , 6).

2. Hallar la distancia del punto S(-1 , 2 , 3) a la recta

5? = {<7 , -3 , 0) + 1<6 , -2 , 3) 11 e R }

3. Hallar la distancia entre las rectas 5?, = {(1 , 2 , -2) + 1 <0 , 4 , 2) 11 e R } y

= x + 4 = 0 , y + z = 6.

4. Hallar la distancia entre las rectas , y = 4 , y 2 ? 2 : x + 1 =

y - 2 = z

5. Hallar la distancia entre las rectas y

^ 2= { < 4 , - 1 , 5 ) + t<1 , - 3 , - 1 )| t e R }.

6. D e sde el punto P(3 , 6 , 7) se traza una perpendicular a la recta r£ - {(1 ,1 ,2 ) +

t <2 , -1 , 3)}. A qué distancia del punto A (4 , 4, 7) se halla dicha perpendicular.

7. Se a n dadas las rectas que se cruzan ,

rp . X _ Z + 2 v - 1 v • x + 1 - y + 1 - z ~ ^v - 2 " 1 ’ y " Y 2 ' 1 ” 2 - 1

Hállese la distancia d(5?, , 5?2) entre las rectas y e scríbase la ecuación de la

perpendicular W com ún para am bas rectas.

8. Se a n d ad a s dos rectas .5?,: P = (-7 , -4 , -3) + r(3 , 4 , -2 ), r e R y

Í&,: Q = (21 , -5 , 2) + s (6 , -4 , -1 ), s e R. S e necesita :

a) Dem ostrar que las rectas no se d isponen en un m ism o plano , e s d e c ir , se

cruzan.

b) Determ inar un punto A e f , y otro punto B e (I \ , tales que la distancia de A

a B se a mínima. Halle dicha distancia.

c) Escribir la ecuación de la perpendicular com ún a las rectas 2?, y 3?2

9. Dem uéstrese que las rectas , que pasa por A(9 , -7 , -6) y B(27/2 , -17/2 , 0),

y ^ ; x + 7 = _ z jJ ? son para|e|a s y hállese la distancia d(.2?, , %2)3 -1, 4

10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-2 , 1 , -3) y corta al eje

Y , sabiendo que la distancia del origen de coordenadas a dicha recta es V13

un idades.

11. Hallar la distancia m ás corta entre las do s rectas , en cada uno de los ca so s

s ig u ien te s

268 Capitulo 5: Rectas en el espacio

x + 7 _ y + 4 _ z + 3 3 4 - 2

7. x - 21 = y + s _-4

z - 2-1

a) ^~ir~ = y

b) y , : x = 2 t - 4 , y = -t + 4 , z = -2 t - 1 ; # 2 : x = 4 t - 5 , y = - 3 t + 5 , z = - 5 t + 5

c) 7\ : * -+ 1 = ^ 5 = z j_1 . ry. ;x = 6 t + 9 > y = .2 t z = .t + 2

1 2 . Hallar un punto cuyas d istancias a las rectas 7 \ = .{(3 , 2 , 2) + s (1 , 5 , 3 )} y

^2 = {(1 . 0 , 1 ) + t (1 , 2 , 1 )} sea la mitad de la distancia (mínima) de 7\ a 7r

13. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A (3 . 4 , 0) y corta al eje Z . sabiendo

que la distancia del origen de coordenadas a dicha recta e s 4 unidades.

14. D ada s las rectas 7\ : x - 1 = y/2= z y 7’z : x = y = z ; hallar un punto P 0 e 7 % y otro

Q 0 e 7‘2 , tales que la distancia de P ( a Q sea m ínima , a s í com o la recta 7 que

los contiene.

p i n n o s e n

«P A C IOv

6.1 j EC U A C IO N V E C T O R IA L DE UN PLANO

A s í com o en R 2 , la gráfica de una ecuación de d o s variables x e y es una

cuna , en R ' la gráfica de una ecuación en tres variables x . y . z e s una superficie. ' La m ás simple e s el plano , pues su ecuación e s de primer grado en tres variables.

E s bien conocido que tres puntos no coli­

neales en el espacio determinan un plano. B a sá n ­

donos de este hecho trataremos de obtener su ecua­

ción vectorial de la siguiente manera. Considérese

el plano P que pasa por puntos A , B y P, , y que

contiene a los vectores no paralelos a y b , com o se

muestra en la Figura 6.1. Un vector v = P,P cual­

quiera del plano se puede escribir com o una com ­

binación lineal de un vector en la dirección de a y

otro en la dirección de b. Esto e s , si

P(x , y , x) 6 P <=> 3 s , t , e R , tales que

P,P = sa + tb <=> P - P , = s a + tb

e=> P = P ( + s a + tb

Queda entonces definido la ecuación vectorial del plano P , com o el conjunto de

puntos :

FIGURA 6.1

p = { P | P = P ( + s a + 1 b , s , t e R } (1 )

270 Capitulo 6: Planos en el espacio

Ejemplo 1 j Hallar la ecuación paramétrica vectorial del plano que contie­

ne a los vectores a = <-1 , 2 , 3 ) , b = <4 , -3 , 5) y p a sa por el

punto P,(1 , 0 , 2 ) .

Solución. Se gú n la fórmula (1) , la ecuación vectorial del plano es

P = { P | P =<1 , 0 , 2 > + s<-l , 2 , 3 > + t ( 4 ' , - 3 , 5 ) , s , t € R } ■

I O B S E R V A C IO N 6.1 Ecuaciones paramétricas del plano

S i en la ecuación (1) se sustituye P = ( x , y , z ) , P, = ( x , , y , , z),a = (a ( , a1 , a,) y b = (/>,, , ¿>?) , obtenem os

' X = X , + S£2| + tib,

y = y, + sa, + tb2z = z, + sa. + 1 b.

V 1 - V

(2)

La s ecuac iones (2) son definidas com o las ecuaciones paramétricas del plano,

cuyo punto de paso e s P, y e s paralelo a los vectores a y b.

Ejemplo 2 j Hallar las ecuaciones param étricas del plano que pasa por

los puntos R(2 , 1 , 3 ) , S(-1 , -2 , 4) y T (4 , 2 , 1 ) .

Solución. Se a n : a = R S = (-I , -2 ,4) - (2 , 1 , 3) = (-3 , -3 , 1)

y b = R T = ( 4 , 2 , 1) - <2 , 1 , 3) = (2 , 1 , -2)

Si R(2 , l , 3 ) e P < = > 3 s , t e R , tales que : P = (2 , 1 , 3) + s(-3 , -3 , 1 + t(2 , 1 , -2).

Entonces , por simple inspección , las ecuaciones param étricas del plano son

x = 2 - 3 s + 2t , y = 1 - 3 s + 1 , z = 3 + s - 2 t ■

I O B S E R V A C IO N 6.2 Ecuación normal del plano

S i el p lano P e s para le lo a lo s ve c to re s a y b , en tonces

existen infinidad de vectores ortgonales a dicho pía- .----------------------------------------^

no y por consiguiente ortogonales a los vectores a

y b. Por lo que , un vector normal al plano P será el

vector n = a x b. Ahora , si P, e s un punto dado y P es

un punto cualquiera del plano , entonces el vector

P,P e s ortogonal al vector n y del hecho que el pro­

ducto escalar de dos vectores ortogonales es cero,

se tiene :FIGURA 6.2

Sección 6 .1: Ecuación vectorial de un plano 271

P(x , y , z) e P <=> P ,P • n = 0

« [ (P - P,) • n = 0 (3)

La expresión (3) se conoce com o la ecuación normal del plano P , cuyo punto de

paso es P r

O B S E R V A C IO N 6.3 Ecuación general del plano

Dado que el producto escalar de dos vectores e s un núm e­

ro real , se puede emplear la ecuación (3) para obtener una ecuación escalar o

cartesiana del plano que pasa por P, y con vector normal n.

En efecto , supón ga se que P = (x , y , z ) , P, = ( x , , y , , z () y n = (A , B , C ) , entonces ,

s i :

(P - P,) • n = 0 « P • n = P, • n

<=> (x , y , z) • ( A , B , C ) = ( x , , y , , z,) • ( A , B , C )

<=> A x + B y + C z = A x, + B y, + C z,

Si hacem os D = - (A x, + B y, + C z , ) , obtenem os

Is : A x + B y + C z + D = 0 (4)

que e s la denom inada ecuación general del plano.

Ejemplo 3 J Obtener la ecuación general del plano que pasa por los pun-

tos R (3 , 2 , 1), S(1 , 3 , 2) y T(1 , - 2 , 3 )

Solución. Se an : a = R S = (l , 3 , 2) - (3 , 2 , 1 ) = (-2, 1 ,1)

y b = R Í = (1 , -2 , 3) - (3 , 2 , 1) = (-2 , - 4 , 2 )

Luego , n = a x b e s el vector normal al plano deter­

m inado por los tres puntos d ados , esto es

i j k

=> n = -2 I 1 = 2 ( 3 , 1 ,5)

-2 -4 2

Sin perder generalidad , tom am os n = (3 , 1 , 5)

Si P(x , y , z) e P <=> (P - R) • n = 0 <=> P * n = R * n

<=> (x , y , z ) * (3 , 1 , 5) = (3 , 2 , 1) *(3 , 1 ,5)

de donde obtenem os la ecuación P : 3 x + y + 5 z - 16 = 0

272 Capitulo 6: Planos en el espacio

Ejemplo 4 j Hallar la ecuación normal y la ecuación general de un plano

P que p asa por el punto S (3 , -3 , 1) y contiene a la recta

? ' = { < 2 , 3 , - 1 ) + t<1 , 0 , -1) 11 e R }

Solución. El punto de paso del plano e s S(3 , -3 , 1)

y com o contiene a la recta 7 ', el punto

P, e 7', también pertenece al plano. Luego , el

vector

a = P S = <3 , -3

es paralelo al plano

cional de 7 ' . b = (I

i jn = a x b =

, l> - <2 , 3 , - 1) = <1 , -6 , 2>

, también lo es el vector direc-

0 , - 1 ) . Entonces

k

' = < - 6 , 3 , 6 ) = -3 <2 , - 1 , -2) ‘-6 20 -1

S in perder generalidad podem os elegir a n = <2 , -I , -2) com o el vector normal al

plano. Luego , si P (x , y , z) e P <=> P : (P - S ) • n = 0

«=> P : [ P - <3, -3 , 1) 1 • <2 , -1 , -2) = 0

es la ecuación normal del plano. S u ecuación general lo obtenem os de

P - n = s - n <=> < x , y , z>»<2,-1 ,-2) = <3, -3, I > - <2. - 1 , -2)

e=> P : 2 x - y - 2 z - 7 = 0 ■

Ejemplo 5 j Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene a las

rectas 7\ : P = <2 . 5 , -1) + t< -4 , -3 , 2 ); t e R y 7 \ : x = 4 + 4 s ,

y = -3 + 3 s , z = - 2 s : s e R

Solución. Por inspección , la ecuación vectorial de la recta

<¡(>2 e s : Q = <4, -3 ,0 ) + s <4, 3 , - 2 ) ; s e R

S iendo 7 \ \ \ 7 \ , no podem os construir el producto

vectorial a, x a , , pues el vector n = O , pero com o los

puntos P, y P, pertenecen al plano , entonces , sea

v = p jp , = <4 , -3 , 0) - <2 , 5 , -1) = <2 , -8 , I )

i j k

' =<13 , 8 ,38)Lu e go : n = v x a = -X

3

Por lo que , si P(x , y , z) e 1* « P • n = P, FIGURA 6.5

<=> <x , y , z) - < 13 , 8 , 38) = <2 ,5 , - 1 ) • < 13 , 8 , 38)

P : 13x + 8y + 3 8 z - 28 = 0

Sección 6 .1 : Ecuación vectorial de un plano 273

Ejemplo 6 J S e a P un plano que pasa por P ^ , 4 , 3) y tiene com o vector

normal a n = <1 , 2 , 3 ) . Hallar una ecuación vectorial para P.

Solución. S i P(x , y , z) e P <=> (P - P,) • n = 0 <=> P • n = P, • n

=> < x , y , z ) - ( l , 2 ,3) = <5 , 4 , 3) • (1*, 2 , 3)

de donde obtenem os la ecuación g e n e ra l, P : x + 2 y + 3 z = 22

Entonces , para x = 1 , z = 3 => l + 2 y + 9 = 22 <=> y = 6 => A ( 1 , 6 , 3). € P

x = 1 , y = 0 <=> 1 + 0 + 3 z = 22 z = 7 ■=> B( 1 ,0 , 7) e P

Teniendo tres puntos no colineales del plano , podem os hallar dos vectores que

están contenidas en dicho plano. Esto es , si

a = f^A = <l , 6 , 3 ) - < 5 , 4 , 3) => a = <-4 , 2 , 0) = -2 <2 ,-1 ,0)

b = P ^ = <l , 0 , 7 ) - < 5 , 4 , 3 ) => b = <-4 , -4 , 4) = -4<1 , 1 , - 1 )

Por lo que , una ecuación vectorial del plano pedido es

P = <5 , 4 , 3) + s<2 ,-1 ,0) + t<l , 1 , - l ) ; s , t e R ■

I O B S E R V A C IO N 6.4 Ecuaciones de los planos coordenados

Partiendo de las ecuaciones (3) , (4) y (1) podem os obtener

las ecuaciones n o rm a l, general y vectorial , respectivamente , de los planos coor­

denados.

a) P la n o X Y . En la Figura 6.6a :n = k = < 0 , 0 , l ) , a = l , b = j

La ecuación normal e s : (P - P,) • n = 0 <=> <x , y , z ) - ( 0 ,0 , 1) = 0

La ecuación general e s : z = 0-

Ecuación vectorial, P = { P I P = s <1 , 0 , 0 ) + t <0, 1 ,0 )}

b) P lan o XZ . En la Figura 6.6b :n = j = < 0 , 0 , 0 ) , a = i , b = k y P,(0 , 0 , 0 )

Ecuación n o rm a l: (P - P,) • n = 0 <=> <x , y , z) • <0 , 1 , 0) = 0

Ecuación ge n e ra l: y = 0

Ecuación vectorial: P = { P I P = s <1 ,0 , 0) + t <0, 0 ,1)}

274 Capítulo 6: Planos en el espacio

c) P lan o YZ. En la Figura 6.6c : n = i = < l , 0 , 0 > , a = j , b = k y P , (0 , 0 , 0 )

Ecuación n o rm a l: (P - P,) • n = 0 <=> <x , y , z ) •<! , 0 , 0) = 0

Ecuación ge n e ra l: x = 0

Ecuación vectorial: P = {P IP = s (0 , 1 , 0) + 1 <0, 0 , 1 }

DEFINICION 6.1 Paralelismo y Perpendicularidad de una recia y un plano

Una recta ST es paralela a un plano P si y só lo si un vector de

dirección de 9' e s perpendicular a un vector normal a P. (La recta rJ! puedo o no

estar contenido en P). Una recta ir e s perpendicular a un plano P , si y sólo si

un vector de dirección de í? e s paralelo a un vector normal a P. Por tanto , si a es

el vector de dirección de 7-' y n e s el vector normal al plano P , entonces

a) 7 ' 11 P <=> a • n = 0 b) Í " 1 P <=> a x n = O

Ejemplo 7 } Cuál es el valor de m para que la recta X

sea paralela al plano P : x - 3 y + 6 z + 7 = 0

Solución. Por simple inspección obtenem os : a = (3 , m , -2) y n = <1 , -3 , 6)

Luego , por la Definición 6.1 a , si ?£ 11 P <=> a • n = 0

c * < 3 , m , - 2 ) ' < l , - 3 , 6 ) = 0 <=> m = -3 ■

Ejemplo 8 ) Para que valores de a y b , la recta rJ! :J 7 a 4 - 3

e s perpendicular al plano P : 3 x - 2 y + ¿ > z+1 = 0

Solución. Por inspección : a = (a , 4 , -3) y n = <3 , -2 , b)

Por la Definición 6.1b , si SU 1 P <=> a x n = O

i j k

a 4 -3■=> a x n = = i (46 - 6) - j (a ¿ + 9) + k (-2a - 12)

3 - 2 b

Luego , si : (4¿> - 6 , - a b - 9 , 2 a - 12) = (0 ,0 ,0 ) «

4b - 6 = 0 <=> b = 3/2

a b - 9 = 02a - 12 = 0 «=> a = -6

Sección 6 .1 : Ecuación vectorial de un plano 275

DEFINICION 6.2 Paralelismo y perpendicularidad de dos planos____________

D o s p lanos son paralelos o perpendiculares si y só lo si su s

respectivas norm ales son paralelas o perpendiculares. E s decir , si P , e s un

plano con normal n, y P , e s un plano con normal n ; , entonces

a) P . l l P j o n ,x n , = 0 b) P , ± P 2 p> n , * n : = 0

Ejem p lo 9 } Determ inar para qué va lo re s’de a y b las e cuac ione s

P , : a x - 6 y - 6 z + 2 = 0 y P 2 : 2 x + ¿ y + 3 z - 5 = 0 , determinan

planos paralelos.

Solución. Del plano P, se tiene n, = (a , -6 , -6), y de P , , n, = (2 , b , 3)

S i P , II P , <=> n, x n, = O (Definición 6.2a)

i j k

= i(-18 + 6b) - j(3ü + 12) + k(ab+ 12)a -6 -62 b 3

Luego , si <6 è - 18 , - 3 a - 12 ,ab +{ 6b - 18 = 0 f=> b = 3

-3a- 12 = 0 => a = -

ab+ 12 = 0

[ Ejemplo 10 ^ Dem ostrar que la ecuación del plano que p asa por el punto

~ P , ( x , , y, , z,) y e s perpendicular a los d o s p lanos P , : A,x +

B,y + C ,z + D t = 0 . P 2 : A 2x + B 2y + C 2z + D 2 = 0 , se puede representar en la forma

X - X, y -y , z - z,

A, b , c, = 0

a 2 b 2 c 2

Demostración. Refiriéndonos a la Figura 6.7 , po­

dem os observar que las norm a­

les a los p lanos P , y P, son paralelos al plano P ,

por lo que n = n, x n, y com o cualquier vector conte­

nido en el plano P que va del punto de paso P, a un

punto genérico P , e s ortogonal a su normal , esto

es , si v = P ,P , su ecuación estará definido por el

producto esca lar

v • n = 0 <=} (P - P,) • (n, x n,) = 0

Escrib iendo el producto mixto de vectores en térm inos de s u s com ponentes ,

tendremos :

FIGURA 6.7

276 Capítulo 6: Planos en el espacio

x - x , y - y ,

A, B,

A, B,

z - z

c, = 0

EJER C IC IO S : Grupo 31

1. D ado s los puntos M (3 , -1 , 2) y R(4 , - 2 , - 1 ) , hallar la ecuación del plano que

pasa por M y es perpendicular al vector M R.

2 . Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S (3 , 4 , -5) y e s paralelo a

los vectores a = (3 , 1 , -1 )y b = (1 , -2 ,1).

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos N (3 , -1 , 2 ), R (4 , -1 , -1)

y S (2 , 0 ,2 )

4. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas concurrentes

<y . X - 1 _ y + 3 _ Z . X - 1 _ y + 3 _ Z1 ’ 2 4 7 ’ 2 ' -1 5 -2

5. Determ inar el va lor de m para que lo s p lanos P t : m x - 2 y + 2 z - 7 = 0 y

P 2 : 4 x + m y - 6 z + 9 = 0 sean perpendiculares.

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S (2 , -1 , 1) y e s perpendi­

cular a los p lanos P 1 : 2 x + z + 1 = 0 y P : y = 0

7. P es un plano de ecuación vectorial P = P + ra + s b , r , s e R , y una normal es

el vector n. S i P,.y P 2 e P , demostrara que n 1 P ,P 2

8. Hallar la ecuación del plano que p a sa por el origen de coordenadas y es

perpendicular a los p lanos P, : 2 x - y + 3 z = 1 y P 2 : x + 2 y + z = 0

9. Para qué valores de a y b la recta S? : x = 3 + 4 t , y = 1 - 4 t , z = - 3 + t , está

contenida en el plano P : a x + 2 y - 4 z + ¿> = 0

10. Para qué valores de A y B el plano P : A x + B y + 3 z - 5 = 0 e s perpendicular a la

recta r£ : x = 3 + 2 t , y = 5 - 3 t , z = -2 - 2t.

11. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P,(1 , -1 , -2) y P 2(3 , 1 , 1 )

y e s perpendicular al plano x - 2 y + 3 z - 5 = 0

12. Encuentre la ecuación del plano que contiene a las rectas paralelas

5?,: x = -2 + 2t , y = 1 + 4 t , z = 2 - 1 y r£ 2 : x = 2 - 2t , y = 3 - 4t , z = 1 + 1

13. Encuentre la ecuación del plano que pasa por A (6 , 2 , -1) y perpendicular a la

recta que es intersección de los planos

P, : 4 x - 3 y + 2 z + 5 = 0 y P 2 : 3 x + 2 y - z + 1 1 = 0

Sección 6.2: Distancia de un punto a un plano 277

14. Encuentre la ecuación del plano que contiene a la recta ,í? : x = 1 + 2 t , y = -1 +

3 1 , z = 4 + 1 y al punto A(1 ,-1 , 5)

15. Para qué valores de a y b , la recta c£ : P = (2 , -1 , 5) + t (a , 4 , -3 ), t e R es

perpendicular al plano P : 3 x - 2 y + ¿ z + 1 = 0

16. Dem ostrar que la ecuación del plano que pasa por los puntos P t(x, , y, , z,) y

P,(x2 , y 2 , Zj¡) y e s perpendicular al plano P : A x + B y + C z + D-= 0 , se puede

representar en la forma siguiente :

x - x , y - y , z - z ,

x2 -x, y2 - y , z2 -z, = o

A B C

17. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano P , : 4 x - 3 y + 2 z - 9 = 0 y que

pasa por los puntos P,(2 , -6 , 4) y P 2(3 , - 7 , 5 )

18. Un p lano p a sa por lo s p u n to s e x trem os de lo s ve c to re s a = <1 , 3 , 1) ,

b = <4 . 2 , -1) y c = <3 , 0 , -4 ), si é sto s tienen el origen com ún en el punto

'M(1 , - 1 , 2 )

6.2 ) D IST A N C IA DE UN PUNTO A UN PLANO

S e a S un punto del e spacio y P un plano ,.

Si T e s cualquier punto sobre P , y n e s un vector

normal a P , entonces la distancia que separa a S

de P e s igual a la com ponente del vector V = S - T

sobre n. Esto es

d( S , P ) = | C o m p nV| =I (S - T) » n l

Un II(5)

En la Figura 6.8 se ilustra el hecho de que la í/(S , P ) no depende de la

elección del punto específico T sobre P. La componente de V paralela a n es la

misma para todos los puntos sobre P. E s decir, para cualquier otro punto T, se

tiene

I C om pn(S - T) | = |Com pn( S -T , ) |

P a ra obtener una e xp re sió n ca rte siana de la d istanc ia de S al p lano

P : A x + B y + C z + D = 0 , c o n s id e re m o s lo s punto s S (x , , y , , z , ) , T ( x , , y 2 , z :) y

n = <A , B , C ) una normal al plano P. Entonces , por la fórmula (5):

278 Capítulo 6: Planos en el espacio

,1/c i>\ _ I S • n - T * n | _ l ( x l , y l , z l) - ( A , B , C ) - < x , , y , , z ^ - ( A , B , C > l

( ) = — \ M i ~ = +

I A x , , B y,, C z, - (A x2 , B y2, C z:) I

\ A : + B : + C 3 ~~

C om o T (x , , y , , z,) e P «=> Ax, + By, + Cz, + D = O => D = -(Ax, + By, + Cz,)

,/(.Q P) - l Ax , , By, , Cz , + D|

\ A : + B + C :(6)

;i en la fórmula (6) sustituimos las coordenadas de S por las del origen , obtene-

(7)

S i

m o s

D id(0 , P ) = . lu> L ..■■■■ \ A : + B- + C :

que es la fórmula para calcular la distancia del origen a un plano. Valiéndose de

esta fórmula podem os calcular la distancia cartesiana entre dos p lanos paralelos,

efecto , sean P : A x + B y + C z + D, = 0 y P , : A x + B y + C z + D , = 0 dos planos ]En

para le los

Por la fórmula (7) : d{O . P ) = . I P ‘ I ------ o , P,) = - ___V ' 1 n A 3+ B - ' + C- 2 V A 2 + B- + C-

Luego , d(P, , P,) = d (O , P :) - d (O , P,) o d(P , , P,) = d {O , P,) - d(O , P 2)

D> I

d( P P .= l D | ~ D r l -; \ A- + B- + C-’

(8)

E je m p lo 1 J Hallar la distancia del punto S (5 , - 2 , 3 ) al plano

P = {(2 , -1 , 6) + t (1 . 0 , 3) + s (2 , -2 , 3) I t ; s e R>

Solución. Por simple inspección . un punto sobre el plano P e s T(2 , -1 , 6) y dos

vectores sobre P son , a = <1 , 0 , 3) y b = (2 , -2 , 3)

i j k

o n = a x b = 1 0 3 = ( 6 , 3 , - 2 )

2 - 2 3

Un vector que va de T a S es : v = (5 , -2 , 3) - (2 , -1 , 6) = (3 , -1 , -3)

Luego , u sando la fórmula (5) obtenem os

d{ S - P ) = ^ ' , ~l ■ ° ) , <6 ■ 3 ■ ~2)1 _ 21 _ 3 ■V36 + 9 + 4 7

Sección 6 .2 : Distancia de un punto a un plano 279

(S~---------------------\Ejemplo 2 J D a d o s los p lanos parale los P , : 2 x - 3 y + 6 z - 14 = 0 y P 2 :

4 x - 6 y + 1 2 z + 2 1 = 0 ; determinar si el punto S (3 , - 2 , 5 ) está

entre d ichos planos.

Solución. Un punto estará entre dos p lanos paralelos si su distancia a cada plano

e s menor que la distancia entre am bos planos. Luego , haciendo uso

de las fórmulas (6) y (8) tendremos

12(3) - 3(-2) + 6(5) - 141

7¿ ( S . P , ) =

d( S , P :) =

\'4 + 9 + 36

14(3) - 6(-2) + 12(5)+ 21 10514

= 7.5V I6 + 3 6 + 1 4 4

Obsérvese que los coeficientes de las ecuaciones de am bos p lanos son propor­

cionales , entonces para que sean iguales debem os multiplicar la ecuación de P,

por 2 , y a s í a p lic a r, la fórmula (8) , esto e s , si

I D 2 - D,| . J/n ,, x | 21-(-28 )1P, , P,) = ^(P, , P 2) =

\ A : + B : + C : ' ^ \fl6 + 3 6 + 1 4 4

Como d(S , P,) > d(S , P,) > d(P, , P,) , el punto S no está entre am bos p lanos ■

Ejemplo 3 j S i la base de un tetraedro e s un triángulo cuyos vectores son

R(1 , 3 , -3 ), S (2 , 2, -1) y T(3 , 4 , - 2 ) ; hallar la longitud de la

altura del tetraedro desde el vértice D(2 , 9 , -2) a la base.

Solución. S i a = R T = T - R = (2 , 1 , 1)

y b = R S = R - S = (1 ,-1 ,2)

un vector normal al plano de la base e s

i j k

' =3(1,-1,-1)n = a x b = 2 1 1-1 2

Sin perder generalidad podem os e le g ir, n = (1

Si v = R D = D - R v = ( 1 , 6 , 1)Luego , u sando la fórmula (5) obtenem os

1 , - 1)

(1

w1

v /* \ b , \ ) S

V- TFIGURA 6.9

h = I V • n I = 1( 1 , 6 , ! ) » ( ! , - 1 , - 1)1 = 2V311 n 11 v i + 1 + 1

Ejemplo 4 j Obtener la ecuación del plano que e s paralelo al plano

P , : 3 x - 2 y + 6 z - 9 = 0 , y que está a 7 unidades del origen.

280 Capitulo 6: Planos en el espacio

Solución. La familia de p lanos paralelos a P, es

P : 3 x - 2 y + 6z + k = 0 (1)

S i d{O , P ) = 7 , u sando la fórmula (7) tendremos

^ = 7 <=> | k | = 4 9 <=> k = 49 ó k = -49\9 + 4 + 36

Por lo tanto , en (1 ): P : 3 x - 2y + 6 z ± 4 9 = 0 ■

E jem p lo 5 j Hallar la ecuación vectorial de la recta que se encuentra entre

los p lanos P , : x - 2 y - 2 z = 12 y P ? : x - 2 y - 2 z = 6

Solución. Un plano P paralelo a los p lanos P, y P , , y entre am bos , tiene la forma

P : x - 2 y - 2 z = k , V k e < 6 , 1 2 >

Evidentemente una recta SB que se encuentra entre los p lanos P y P. debe estar

sobre el plano P. Entonces ubiquem os dos puntos A y B e P por donde pasará la

recta 3 . Esto e s , si x = k , y = -k , z = k <=> A ( k , - k , k)

x = 3 k , y = k , z = 0 B(3 k , k , 0)

El vector de dirección de la recta # e s . a = A B = B - A = (2 k , 2 k , -k)

Por lo tanto , la ecuación vectorial de la recta es

•á?:P = < k , - k , k ) + t ( 2 k , 2 k , - k ) , t e R , k e < 6 , 1 2 > ■

EJER C IC IO S : Grupo 32

1 .

2.

Hallar la distancia del punto S al plano P dados.

a) S (4 , -1 ,5 ) , P = {<1 , -3 , 1) + t(2 , 1 , -2> + s(1 , 3 , 4 ) }

b) S ( 4 , 2 , - 3 ) , P = {(1 - 5 s - 6 t , - 2 + 4 s + 7 t , 1 - 2 s + 2 t ) , s , t e R }

c) S (9 , 3 , - 5 ) , P = 2 x + 3 y - 6 z - 15 = 0

Hallar la distancia entre los p lanes paralelos dados

a) P , : 2 x - y + 2 z + 9 = 0

b) P , : 6 x - 1 8 y - 9 z - 2 8 = 0

c) P, : 3 0 x - 3 2 y + 2 4 z - 7 5 = 0

P , : 4 x - 2 y + 4 /?- 21 = 0

P 2 : 4 x - 12 y - 6 z - 7 = 0

P 2 : 1 5x - 17 y + 1 2 z - 2 5 = 0

3. D o s caras de un cubo están en los p lanos P, : 2 x - 2 y + z - 1 = 0 y

P 2 : 2 x - 2 y + z + 5 = 0, calcular el volumen de este cubo.

4. S i la base de un tetraedro e s un triángulo de vértices R(1 , -2 , 1), S (-4 , 2 , - 1 )

y T ( -5 , 5 , 3 ) ; hallar la longitud de la altura del tetraedro trazada desde el vértice

D(4 , 2 , -3) a la base.

Sección 6 .3: Intersecciones de planos 281

5. Hallar la ecuación del plano que e s paralelo al plano P , : x - 3 y + 5 z - 8 = 0 y

que está a 3 unidades del origen.

6. Hallar las ecuac iones de los p lanos parale los al plano P : 2 x - z - 3 = 0 , que

están a la distancia 5 unidades de él.

7. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos equidistantes de los dos

p lanos paralelos P. : 5 x - 3 y + z + 3 = 0 y P 2 : 1 0 x - 6 y + 2 z + 7 = 0

8. Hallar las ecuac ione s de los p lanos que dividen por la mitad los ángu lo s

d iedros form ados por los p lanos concurrentes P , : 2 x - y + 5 z + 3 = 0 y

P 2 : 2 x - 1 0 y + 4 z - 2 = 0

9. H a lla r la d istanc ia del punto ( - 1 , 1 , -2) al p lano que p a sa por los puntos

R(1 ,-1 , 1), S ( - 2 , 1 ,3 ) y T (4 , - 5 , 2 )

10. Hallar un punto simétrico de P (36 , 20 , -17) respecto del plano formado por las

rectas SBy = {<1 , 2 , 3) + 1<0 , 4 , 3)| t e R } y SZ2 : {<1 , -2 , 0) + s < 3 , 0 , 4 )| s e R }

f6.3 j IN T E R SE C C IO N E S DE PLA N O S_________________________

D o s p lanos P , : A,x + B j + C ,z + D, = 0 y P , : A,x + B,y + C ;z + D, = 0 , cuyos

vectores norm ales no son parale los se intersecan en una recta SB. E sta recta

recibe el nombre de recta de intersección de dos planos. C om o todo punto de la

recta SB pertenece también a am bos , su ecuación cartesiana o biplanar suele

escribirse de la forma

g . f A,x + B,y + C ,z + D, = 0

L A,x + B,y + C ,z + D. = 0

S i n, e s una normal al plano P, y n, es

una normal al plano P , , entonces un vector de

dirección de SB está dado por

a = n, x n.

Para determinar SB vectorialmente , bastará ob­

tener al m enos las coordenadas de un punto S

sobre c£ , sab iendo que pertenece también a

los p lanos P, y P . , y si P(x , y , z) representa un

punto cualquiera de £ en el e spacio , entonces

SB : P = S + t(n,x

es una ecuación paramétrica vectorial de SB.n :)

282 Capítulo 6: Planos en el espado

ejemplo 1 Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta de inter­

sección de los planos P , : x - 2 y + z = 0 y P 2 : 3 x + y + 2 z - 7 = 0

Solución. Los vectores normales de am bos planos son n, = (I , -2 , l) y n, = (3 , l , 2)

Entonces un vector de dirección de la recta de intersección e s

i j k

a = n ] x n , = l -2 l = ( - 5 , I , 7)

3 1 2

Com o la coordenada z de a no es cero , la recta r£ no e s paralela al plano X Y , y se

puede sustituir a z por cero en las ecuaciones de los p lanos para obtener el punto

S de intersección de 7 y el plano XY . Esto e s , si

z = 0 .=> (x - 2 y = 0) fl (3 x + y = 7) = (2 , 1) => S ( 2 , 1 , 0)

Por tanto , la ecuación paramétrica vectorial de % e s

Z ' : P = <2, 1 , 0 ) + t<-5, 1 , 7 ) , l e R ■

O B S E R V A C IO N 6.5 Trazas de un plano

La intersección de un plano P en el espacio con uno de los

planos coordenados recibe el nombre de traza de P en e se plano coordenado.

Frecuentemente se puede emplear las trazas de un plano para facilitar el trazado

de su gráfica. En la Figura 6.11 se muestra la parte

de un plano , con ecuación

P : 2 x + 4 y + 3 z - 12 = 0 (1)

que está en el primer octante.

La traza del plano P en el plano X Y se obtiene

haciendo z = 0 en (1). Esto es

2 x + 4 y = 12 = * x + 2y = 6 Haciendo x = 0 en (1) obtenem os la ecuación de la

traza en Y Z , o sea : 4 y + 3 z = 1 2

Finalmente , haciendo y = 0 en ( 1 ) obtenem os la

ecuación de la traza en X Z : 2 x + 3 z = 12

f >Zi l

4(

>v

/ o* x

v -------------------yFIGURA 6.11

O B S E R V A C IO N 6.6 Ecuación simétrica del plano

S i en la ecuación del plano P : A x + B y + C z + D = 0, ninguno

de los coeficientes A . B, C y D e s igual a cero , esta ecuación se puede transformar

a la forma

(9)

Sección 6 .3: Intersecciones de planos 283

en donde , a = - D/A , b = - D/B y c = - D/C son las m agnitudes de los segm entos que

el plano P intercepta en los ejes X , Y y Z respectivamente. La ecuación (9) se llama

ecuación segmentaria o simétrica del plano.

Ejemplo 2 J La s ecuaciones de las intersecciones de un plano P con el

plano X Y y el plano Y Z son las rectas S 1 : 2 x - y - 7 = 0 , z = 0 ,

y S '2 : y + 3 z + 7 = 0 , x = 0 , respectivamente. Hallar la ecuación de dicho plano P.

Solución. Escrib iendo las ecuaciones de rl \ y .2?, en su forma simétrica , tenem os

x

Entonces los vectores de dirección son : a, = <1 , 2 , 0) y a, = (0, -3 , 1)

¡ j k

El vector normal al plano e s , n = a x a, <=> n = = <2,-1 ,-3)1 2 0

0 -3 1

Un punto de es P,(0 , -7 , 0) y com o P, e P , entonces si P(x , y , z) e s un punto

cualquiera de P , implica que

(P - P,) • n = 0 ■=> (x , y + 7 , z> • <2 , -1 , -3) = 0 <=> P : 2 x - y - 3 z - 7 = 0 ■

[ ejemplo 3 Hallar la ecuación del plano P que e s paralelo al plano cuyas

intersecciones con los ejes X , Y y Z son 3 , -1 y 2 respectiva­

mente , y que pasa por el punto S (5 , -8 , 3).

Solución. Por la fórmula (9 ), la ecuación del plano con a = 3 , ¿ = -1 y c = 2 e s

P . : f + + 4 = 1 <=> p , : 2 x - 6y + 3 z - 6 = 0

Si P I P , , entonces la ecuación de P tendrá la forma , P : 2 x - 6 y + 3 z + k = 0

Dado que S (5 , -8 , 3) e P <=> 2(5) - 6(-8) + 3(3) + k = 0 , de donde obtenemos , k = -67

/. P : 2 x - 6 y + 3 z - 6 7 = 0 ■

ejemplo 4 J Hallar la ecuac ión del p lano que p a sa por los puntos

S(-1 , 4 , -1) y T(-13 , 2, -10) y que intercepta a los ejes X y Z

segmentos de igual longitud y diferente de cero.

Solución. S i I a I = I c I <=>a =c ó a = -cX V 7

Para a = c , la ecuación del plano e s P : — + v + — = l (a)a b a

284 Capítulo 6: Planos en el espacio

S i S (- l , 4 , -1) € P <=$> -1 + 4 - - = 1 <=* T - - =I (1)a b a b a

T(-13 , 2 , - 10) e P - > - — + | - — = 1 ^ 1 . 2 3 = i (2)a b a b a

Resolviendo (1) y (2) por sim ultáneas obtenem os : a = -44 y b = 88/21

Luego , en (a.) se tiene , P : 2 x - 2 1 y + 2 z + 8 8 = 0

Para a - -c , la ecuación del plano e s P : — + -7- - — = 1 (P)a b a

S i S ( - l t 4 , - 1) e P «=> -1 + 1 +1 = 1 <=> ¿, = 4v / a b a

T (-13 , 2 , -10) e P <=* - — + -1+ — = 1 ,d e donde obtenem os , a =- 6a b a

Por lo tanto , en ((3) se tiene , P : 2 x - 3 y - 2 z + 12 = 0

EJER C IC IO S : Grupo 33

1. Obtener una ecuación paramétrica vectorial de la recta de intersección de los

pares de planos cuyas ecuaciones se dan

a) P , : 2 x + 3 y - z = 0 , P 2 : y - 3 z + 4 = 0

b) P , : 3 x + y - z -6 = 0 , P , : 4 x - 2 y - 3 z + 2 = 0

c) P , : x + y + 3 z - 1 = 0 , P 2 : 2 x - 3 y + z - 7 = 0

2 . L a s ecuaciones de las intersecciones del plano P con el plano X Y y el plano YZ

son Sí\ : x - 4 y = 12 , z = 0 ; cl ’2: 2 y + 5 z = -6 , x = 0 , respectivamente. Hallar la

ecuación del plano P.

3. Para qué valor de m la recta X : f 3 x - 2 > + z + 3 - 0 g s paraje |a a | p|ano

4 x - 3 y + 4 z + 1 = 0

P : 2 x - y + m z - 2 = 0

4. Hallar la ecuación del plano que e s paralelo al plano cuyas intersecciones con

los ejes X , Y y Z son -1 , 3 y 5 respectivamente , y que pasa por S (0 ,1 , -1)

5. Hallar el volumen de la pirámide limitada por el plano P : 2 x - 3 y + 6 z = 1 2 y p o r

los p lanos coordenados.

6. Hallar la ecuación del plano que intercepta al eje O Z el segm ento c = -5 y es

perpendicular al vector v = (-2 , 1 , 3)

7. Hallar la ecuación del plano que es perpendicular al plano P , : 2 x - 2 y + 4 z = 5 y

que intercepta en los ejes coordenados O X y O Y los segm entos a = -2 y b = 2/3.

Sección 6.4 : Familia He planos que pasan por la intersección de dos planos 285

8. Averiguar para que valor de D la recta g ? ; / 2 x + 3 y z + D 0 cQrtaL 3 x - 2 y + 2 z - 6 = 0

a) el eje X , b) el eje Y , c) el eje Z.

9. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S (2 , -3 , -4) y que intercepta

en los ejes coordenados segm entos de igual magnitud y diferentes de cero

(se supone que cada segm ento parte del origen de coordenadas).

10. Hallar las ecuaciones de los planos que pasan por S (4 , 3 , 2) y que interceptan

en los ejes coordenados segm entos de igual longitud y diferentes de cero.

11. Dem uéstrese que las rectas

r 2 x + 2 y - z - 1 0 = 0 x + 7 _ y -5 = z -9’ ■ L x - y - z - 2 2 = 0 , y 3 -1 4

son paralelas y hállese la distancia d íS?, , SP2)

12. Calcular el área del triángulo intersectado en el ángulo O X Y por el plano

P : 5 x - 6 y + 3 z + 120 = 0

[ 6.4 J FAM IL IA DE PLA N O S QUE PASAN PO R LA IN T E R SE C C IO N DE DO S PLA N O S_______________________ ______________

D a d o s dos p lanos no paralelos

P, : A,x + B,y + C,z + D, = Q y P . : A,x + B,y + C ,z + D, = 0

la ecuación de la familia o haz de planos que pasan por la intersección de P. y

P está dada por la ecuación

A (x + B,)' + C (z + D, + k (A.x + B ,y + C,z + D.) = 0 (10)

donde k se denom ina , parámetro de la familia.

Ejemplo 1 J Hallar la ecuación del plano que p asa por la recta de intersec­

ción de los p lanos P , : 5 x - 2 y - z - 3 = 0 , P 2:x + 3 y - 2 z + 5 = 0 y

es paralelo al vector v = (5 , -1 , 3).

Solución. Por la fórmula (10) , el haz de p lanos está dado por

5 x - 2 y - z - 3 + k(x + 3 y - 2z + 5) = 0 (1)

de donde obtenem os :

(5 + k)x + (3 k - 2)y - ( l + 2 k)z - 3 + 5 k = 0 ■=> n = (5 + k , 3 k - 2 , -1 - 2 k)

Dado que un miembro de la familia e s paralelo al vector v = (5 , -1 , 3 ), entonces

286 Capítulo 6: Planos en el espacio

n • v = O => 5(5 + k) - 1 (3 k - 2) + 3 (-1 - 2 k) = O c=> k = 6 Sustituyendo en (1) obtenem os la ecuación del plano buscado , esto e s

P : l l x + 16 y - 13z + 27 = 0

Ejemplo 2 J Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos

P : x - 3 y + 7 z + 36 + k (2 x + y - z - 1 5 ) = 0

cuya distancia al origen de coordenadas e s igual a 3

Solución. De la ecuación de la familia de p lanos dada se tiene

P : (1 + 2 k)x + (k - 3)y + (7 - k)z + (36 - 15 k) = 0

136 - 15 k|Por la fórmula (7 ), si d {O , P ) = 3

\ (1 + 2 k): + (k - 3)2 + (7 - k)2= 3

c=> | 12 - 5 k| = \ '6 k 2- 1 6 k + 59

de donde obtenem os : 19 k 2 - 104 k + 85 = 0 «=> k = 1 ó k = 85/19

Sustituyendo en la ecuación del haz de p lanos se tiene dos so luc iones

P, : 3 x - 2 y + 6 z + 2 1 = 0 ó P , : 189x + 2 8 y + 4 8 z - 591 = 0

Ejemplo 3 } Averiguar si el plano P : 4 x - 8 y + 1 7 z - 8 = 0 pertenece a la

familia de p lanos : 5 x - y + 4 z + k ( 2 x - 2 y - 3 z + 2) = 0

Solución. S u p ó n ga se la familia de p lanos P , + k (P ,) = 0

Entonces los vectores norm ales de cada plano son : n = (4 , -8 , 17)

n, = <5 , -1 , 4) y n, = (2 , 2 , -3).

El vector de dirección de la recta de intersección de P, y P , e s :

i j k

5 - 1 4 = ( - 5 , 2 3 , 1 2 )

2 2 - 3

El vector de dirección de la recta de intersección de P y P, e s :

i j k

a, = n x n, = 4 -8 17

5 - 1 4

El vector de dirección de la recta de intersección de P y P , e s :

i j k

a, = n x n , = 4 -8 17

2 2 - 3

Com o a 11 a, 11 a , , el plano P pertenece al haz de p lanos P , + k P , = 0

= (-15, 69 , 36) = 3 (-5, 23, 12)

= (-10, 46, 24) = 2 (-5, 23, 12)

Sección 6.4 : Familia de planos que pasan por la intersección de dos planos 287

DEFINICION 6.3 Angulo diedro entre dos planos

El ángulo diedro 0o < 0 < 180° ,

que forman d os p lanos orientados P, A ;x + B,y +

C (z + D ( = 0 y P , : A,x + B,y + C ,z + D. = 0 se define

como el ángulo que forman las norm ales a am bos

planos com o se indica en la Figura 6.12. Entonces,

si n, = ( A , , B , , C ,) y n, = ( A j , B , , C 2) , se tiene

Cos 0 =n. • n,

l l n . l l II n, || FIGURA 6.12

En la F igura 6.12 ob sé rve se también que la recta de intersección .2? s igue la

dirección del vector n = n. x n,.

[ Ejemplo 4 ^ Hallar el co seno del ángulo diedro que forma los planos

P , : 4 x + 2 y - 6 z + 3 = 0 y P , : 2 x - y + 3 z + 5 = 0

Solución. Por simple inspección : n, = (4 , 2 , -6) y n, = (2 , - 1 ,3)

( 4 , 2 , - 6) . ( 2 , - 1 ,3) 8 - 2 - 1 8t=> C o s0 =

(V l6 + 4 + 3 6 ) ( \ '4 + 1 + 9 ) (V 56 )(V Í5 )

C o s0 = - y

DEFINICION 6.4 Angulo entre una recta y un plano

D ado s una recta c£ : P = P I + t a y

un plano P con normal n , se define el ángulo entre

f y P al com plem ento del ángu lo que forma el

vector de dirección de con la normal al plano P.

En efecto , en la Figura 6.13 se observa claramente

que

. a = 90° - 0

S e n a = C o s 0 = a • n (12)FIGURA 6.13

Ejemplo 5 J Hallar el ángulo que forma la recta S ? : / 2 x + y * z 3 r ' l x + y + z = 1

con el plano coordenado X O Y

288 Capítulo 6: Planos en el espacio

Solución. Un vector de dirección de la recta c£ e s

a = a, xa, = (2 , 1 , -1> x (1 , 1 , l> = <2 , - 3 , 1)

Para el plano X O Y , n = k = (0, 0 , 1)

S e n a = (2 ’ ,~3 ’ °_— = - L <=> a = are S e n (1/VÍ4)(V4 + 1 + 9 ) (VT) V Í4

DEFINICION 6.5 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano

S e denom ina proyección orto­

gonal de una recta 9P : P = P, + 1 a , sobre un plano

P , de normal n , a la intersección del plano P con

el plano P ] , de ecuación P | = { P | P = P l + ra + sn },

el cual e s perpendicular al plano P.

FIGURA 6.14

Ejemplo 6 Hallar las ecuaciones de la proyección de la recta

se r 5 x

X +

5 x - 4 y - 2 z - 5 = 0, sobre el plano P : 2 x - y - z - 1 = 0

a = n. x n, =

a. = a x n =

2 z- 2 = 0

Solución. D e la recta SP se tiene , n, = (5 , -4 , -2) y n, = <1 , 0 , 2) y del p lano P ,

n = (2 , -1 , 1). Un vector de dirección de la recta SP e s

i j k

5 -4 -2 • = - 4 ( 2 , 3 , - 1 )

1 0 2La normal del plano P, formado por a y n es

i i k

2 3 -1 = ( 2 , - 4 , - 8)

2 - 1 1Luego , la ecuación del plano que contiene a la recta á ? e s P , : 2 x - 4 y - 8 z + D = 0 Eleg im os un punto cualquiera de 5?, tal com o P^O , -7/4 , 1 )

Com o P, e P , , entonces : 2(0) - 4(-7/4) - 8(1) + D = 0 , de donde obtenem os D = 1

P , : 2 x - 4 y - 8z + 1 = 0

D ado que 2?, e (P fl P , ) , entonces las ecuaciones de la proyección de c£ sobre el

plano P son

2 x - 4 y - 8z + 1 = 0 2 x - y - z - 1 = 0

EJERCICIOS • Grupo 34 289

EJER C IC IO S : Grupo 34

1. Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de p lanos

3 x - 4 y + z + 6 + k ( 2 x - 3 y + z + 2) = 0

y es equidistante de los puntos S (3 , -4 , -6) y T(1 , 2 , 2 )

2. Hallar la ecuación del plano que pertenece a la familia de planos

1 0 x - 8 y - 1 5 z + 5 6 + k ( 4x + y + 3 z - 1 ) = 0

cuya distancia al punto S (3 , -2 , -3) e s igual a 7.

3. Determ inar los va lo re s de m y n para que el p lano 5 x + m y + 4 z + n = 0

pertenezca al haz de p lanos : 3 x - 7 y + z - 3 + k ( x - 9 y - 2 z + 5 ) = 0

4. Averiguar si el plano P : 5 x - 9 y - 2 z + 1 2 = 0 pertenece al haz de planos

2 x - 3 y + z - 5 + k ( x - 2 y - z - 7 ) = 0

5. H a lla r la e cuac ión del p lano que p a sa por la recta de in tersecc ión de los

p la n o s P , : 5 x - 2 y - z - 3 = 0 y P z : x + 3 y - 2 z + 5 = 0 y e s parale lo al vector

v = < 7 , 9 , 1 7 > .

6. Hallar la ecuación del plano que p a sa por la recta de intersección de los

planos 3 x - 2 y + z - 3 = 0 , x - 2 z = 0 y e s perpendicular al plano x - 2 y + z + 5 = 0

7. Hallar la ecuación del plano que p a sa por la recta de intersección de los

planos P , : 2 x + y - z + 1 = 0 , P 2 : x + y + 2 z + 1 = 0 y e s paralelo al segm ento

limitado por los puntos S (2 , 5 , -3) y T(3 , -2 , 2)

8. Hallar la ecuación del plano que pertenece a la familia de planos

3 x - 4 y + z + 6 + k (2 x - 3 y + z + 2) = 0

y e s equidistante de los puntos M,(3 , -4 , -6), M 2(1 , 2 , 2 ) .

9. Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos

4 x + 1 3 y - 2 z - 6 0 + k (4 x + 3 y + 3 z - 30) = 0

y recorta del ángulo O X Y un triángulo de área igual a 6u2

10. Averiguar si el punto M (3 , 2 , - 1 ) está situado en el ángulo agudo u obtuso

formado por los p lanos P 1 : x - 2 y + 3 z - 5 = 0 y P a : 4 x - 3 y + 2 z + 5 = 0

11. Hallar la ecuación del plano que divide por la mitad el ángulo diedro formado

por los p lanos P, : 2 x - y + 2 z - 3 = 0 y P . : 3 x + 2 y - 6 z - 1 = 0 e n que está situado

el punto M(1 , 2 , -3).

12. Hallar en el haz : 2 x - 3 y + z - 3 + k(x + 3 y + 2 z + 1 ) = 0 u n plano que :

a) se a paralelo al eje O X ; b) se a paralelo al eje OZ.

13. Hallar las ecuaciones de las proyecciones de la recta

290 Capítulo 6: Planos en el espacio

g y . f 3 x + 2 > / 1 0 s o p re e | p|a no P : x + 2 y + 3 z - 5 = 0l 2 x - 3 y + 2 z - 2 = 0 7

14. Hallar las ecuaciones de las proyecciones de la recta

^ ; / x + 2> 3 / 5 - 0 S0bre |o s p ianos coordenadosL 2 x - y + z + 2 = 0

15. S e dan el plano P : x + y - z + 1 = 0 y l a recta 5 ?: x = 1 , = -■* 1 , con la

particularidad de que 3' e P (compruébese). S e pide :

a) Calcular el sen a y las coordenadas del punto de intersección de la recta

con el plano, (a e s el ángulo entre la recta y el plano).

b) Escribir la ecuación de un plano que pase por la recta c£ y e s perpendicular

al plano P.

c) Escribir las ecuaciones de la proyección de la recta c£ sobre el plano P.

6.5 j IN T E R SE C C IO N E S DE R E C T A S Y P LA N O S_______________

D ados una recta c£ y un plano P en el espacio hay tres posibles configura­

ciones (Figura 6.13), o bien la recta e s paralela al plano pero no interseca , o bien

e s paralela pero está completamente contenida en el plano , o bien interseca al

plano en un sólo punto.

Los dos ejemplos siguientes ilustran com o obtener la intersección de una recta 5?

con un plano P.

E jem p lo 1 J Hallar las coordenadas del punto S de intersección de la recta

= í ± 2 = i^ 3 y e| p(ano p ;x + 4 y . z + 5 = o.

S o lu c ió n . Las ecuaciones paramétricas de la recta 9- son :

Sección 6 .5 : Intersecciones de rectas y planos 291

x = 1 + t , y = -2 + 2 t , z = 3 + 4 t . S i S e S(1 + t , - 2 + 2 t , 3 + 4t) (1)

y como también S e P <=> (i + t) + 4 (-2 + 2t) - (3 + 4t) + 5 = 0 <=> t = I

Por lo ta n to , en (1) se t ie n e : 5r- f i P = S ( 2 , 0 , 7 ) ■

Ejemplo 2 J Hallar la intersección de la recta

3 \ P = (-5 , 1 , 3) + r (2 , -2 , 3 ), r e R , con el plano P : P =

( 1 , 3 , -2) + a (1 , -2 , 3) + P (2 , 1 , -2 ), a , (3 e R.

Solución. El vector normal al plano e s : n = (1 , -2 , 3) x <2 , 1 , -2) = (1 , 8 , 5 )

Si P(x , y , z) e P <=> (P - P,) • n = 0 <=> P • n = P, • n=> < x , y , z ) - < I , 8 , 5) = (1 , 3 , -2) • < 1 , 8 , 5 )

de donde obtenem os la ecuación general del plano , P : x + 8 y + 5 z - 1 5 = 0

Si S g 31- c=> 3 r e R , tal que , S = (-5 + 2 r , 1 - 2 r , 3 + 3r) (1)

Pero también S e P (-5 + 2 r) + 8 (1 - 2 r) + 5 (3 + 3 r) - 15 = 0 <=> r = -3

Por lo tanto en (1) se tiene : .5? d P = S (-11 , 7, -6) 1 ■

Veam os ahora , a lgunos ejemplos mixtos relativos a la ecuación del plano y a las

ecuaciones de la recta.

M IS C E L A N E A D E E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S ^

n

E je m p lo 1 J Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S (1 , -2 , 1 )

!y + z - 3 = 0

y - z + 2 = 0f x - 2 y + z - 3 = 0

y e s perpendicular a la recta £ : ^ ^ +

Solución. El vector de dirección de la recta 9? e s la

normal al plano buscado , esto es

¡ j k

a = n = n( x n, = 1 -2 1 = ( 1 , 2 , 3 )1 1 -1

Si P(x , y , z) € P t=> ( P - S ) * n = 0 <=> P * n = S * n

t=> (x , y , z ) * ( l , 2 , 3 > = s ( l , -2 , 1 )-(1 , 2 , 3)

de donde obtenem os la ecuación del plano

P : x + 2 y + 3 z = 0 ■

292 Capítulo 6: Planos en el espacio

Ejemplo 2 ) Hallar la proyección del punto S (2 , - 1 , 3 ) sobre la recta

<5? : x = 3t , y = -7 + 5t , z = 2 + 2 t

Solución. La proyección de S sob re la recta c£ e s el

pie de la perpendicular bajada de S sobre

dicha recta , y se encuentra en la intersección de la

recta con el plano que contiene al punto S y e s perpen­

dicular a X . Esto e s , si

P ( x , y , z ) e P =* ( P - S ) * n = 0 <=> P * n = S * n

donde n = <3 , 5 , 2) e s el vector de dirección de &= * (x , y , z) • (3 , 5 , 2) = (2 , -1 , 3) • <3 , 5 , 2)

P : 3 x + 5 y + 2 z - 7 = 0

S i Q 6 & <=> 3 1 € R IQs= ( 3 t , -7 + 5 t , z + 2t) (1) FIGURA6.17

También Q e P => 3 (31) + 5 (-7 + 5t) + 2(2 + 2t) - 7 = 0 <=> t = 1 Sustituyendo en (1 ) obtenem os la proyección buscada : Q(3 , - 2 , 4 )

r

p ()

'v

n

se

v.

Q

y

Ejemplo 3 J Hallar el punto Q simétrico al punto S (4 , 1 , 6 ) respecto de la

4 -|2 = 0¡2?: | Jrecta

2 x + y - 2 z + 3 = 0

Solución. El vector de dirección de la recta c£ e s

1 j k

a = 1 -1 -4 = 3 < 2 , - 2 , 1 )

2 1 -2

Para hallar un punto P, e .2?, h acem os z = 0 en la

ecuación biplanar de c£ y obtenem os

(x - y + 12 = 0) D (2 x + y + 3 = 0) = (-5 , 7) ■=> P,(-5 , 7 , 0 )

& : x = -5 + 2 1 , y = 7 - 2 1 , Z = t

S i M e í£ => 3 t e R I M = (-5 + 2 1 , 7 - 2 1 , t) (1)

La ecuación del plano P que contiene al punto S y es

perpendicular a c£ e s : (P - S) • a = 0 <=> P • a = S • a

<=> (x , y , z) • (2 , -2 , 1) = <4 , 1 , 6) • ( 2 , - 2 , 1 >

<=> P : 2 x - 2 y + z - 12 = 0

También M e P = * 2 (-5 + 2t) - 2 ( 7 - 2t) + i - 12 = 0 o 1 = 4

Sustituyendo en (1 ) obtenem os M(3 , - l ,4)

Dado que M equidista de S (4 , I , 6) y Q (x , y , z ) , implica que : M = \ (Q + S)

<=> 2 (3 , -1 ,4 ) = (x + 4 , y + 1 , z + 6) <=> x = 2 , y = - 3 , z = 2

Q (2 , - 3 , 2 )

Miscelánea de ejemplos ilustrativos 293

Ejemplo 4 j Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos S (3 . 0 , 2 )

y T(4 . 1 , -1) y que e s paralelo a la recta

x - 2 y + z - 2 = 03 v - 2 z - 3 = 0

v . l x ' : l 2\ +

Solución. El vector de dirección de la recta 7 e s

= ( 2 , 4 , 7 )

Sea v = S T = (4 , 1 , 1) - (3 , 0 . 2) = (I , 1 , -3)

Entonces la normal al plano P es

n = v x a = ( l , 1 , -3) x (2, 4 , 7) = ( 19 , - 10 , 3)

Si S e P c=> ( P - S ) - n = 0 P - n = S - n

<=> ( x , y ,z)« (1 9 ,-1 0 , 3) = (3 , 0 , 2 ) * (1 9 - 10 ,3 )

P : I 9 x - lOy + 3 z - 63 = 0

E jem p lo 5 ^ Hallar en el plano P : 2 x - 3 y + 3 z - 1 7 = 0 un punto P de modo

que la su m a de s u s d istanc ia s a los puntos A (3 , -4 , 7) y

B(-5 , - 1 4 , 1 7 ) se a mínima.

Solución. El punto P b u sc a d o se ha lla en la

intersección del plano P con la recta

que pasa por B y A ’ , simétrico de A respecto al

plano P.

La recta que pasa por A , perpendicular al plano P,

tiene por ecuación

CÍ \ : P - (3 , -4 , 7) + r ( 2 , -3 , 3), r e R

S i Q € <=* 3 r e R | Q = f ( 3 + 2 r , - 4 - 3 r , 7 + 3r) ( 1 )

También Q e P c=> 2 (3 + 2 r) - 3 (-4 - 3 r) + 3 (7 + 3 r) - 17 = 0

de donde obtenem os , r = -I ; luego en (1): Q = (I , -l , 4)

Como Q equidista de A y A ’ ^ Q = -^-(A + A ’) <=* A ’ = 2 Q - A

=> A =2(1 ,-1 , 4) - (3 , -4 , 7) = ( -1 , 2 , 1 )

Un vector de dirección de la recta que pasa por B y A es

v = B Á ’ = (-l , 2 , I ) - ( -5 , -1 4 , 17) = 4(1 , 4 , - 4 )

y su ecuación vectorial e s (J ,: P ( - 1 , 2 , I ) + t (I , 4 , -4), t e R

Si P e <=* 3 t e R . tal que : P = (-1 + i , 2 + 4 1 , I - 4 1) (2)

También P e P => 2(-l + 1) - 3(2 + 4t) + 3(1 - 4 i ) - 17 = 0 <=> i = -l

Finalmente , sustituyendo en (2 ) obtenem os : P(-2 , -2 , 5) ■

294 Capítulo 6: Planos en el espacio

Ejemplo 6 ] La posic ión inicial del punto M (x , y , z) , en un movimiento

uniforme rectilíneo en dirección del vector a = (-2 , 2 , 1 ) es

M 0(15 , -24 , *16); la velocidad e s v = 12. T ra s verificar que la trayectoria del punto M

corta al plano P : 3 x + 4 y + 7 z = 1 7 , h a lla r: a) el punto P de su intersección , b) la

longitud del segm ento M i 3 , c) el tiempo que se necesita para que el punto M haga

el recorrido desde M 0 hasta P.

Solución, a) La ecuación vectorial de la trayectoria e s

<B = {<15 , -24, -16) + 1<-2 , 2 , 1>, t e R }

Si P e X «=> P = (15 - 2 t , -24 + 2 t ,-16 + t) (1)

P e P <=> 3 (15 - 2t) + 4(-24 + 2 t) + 7 (-16 + t) = 17

de donde obtenem os , t = 20 Sustituyendo en (1) se tiene

5 ° n P = P(-25, 16,4)

b) M ¡P = <-25, 16 ,4 ) -< 1 5 ,-2 4 , -1 6 ) = 20 <-2, 2 , 1)

El e spacio recorrido e s , e = 11 M 0P

c) T iem po empleado : i = 1 = pj- = 5 un idades de tiempo.

= 20 \4 + 4 + 1 = 60

Ejemplo 7 J Un rayo lum inoso parte del punto A(-3 , 8 , 5) y sigue la direc­

ción de la recta ^ = {<1 , 0 , 1 ) + 1 <-1 , 2 , 1 ), t e R } , llega al

espejo dado por el plano P : x + y + z = 4. Hallar lá ecuación vectorial del rayo

reflejado.

Solución. La ecuación del rayo lum inoso es

= {<-3 , 8 , 5> + r<-l ,2 , l > , r e R }

S i S e i?, c=> S = <-3 - r , 8 + 2 r , 5 + r) (1)

Tam bién

S e P <=> (-3 - r) + (8 + 2 r) + (5 + r) = 4 <=> r = -3

Luego , en (1 ): .5?, fl P = S (0 , 2 , 2)

La ecuación de la recta que pasa por A , perpendi­

cular al plano P , e s :

J2?,= { < -3 , 8 ,5 > + s < l , 1 , 1), s e R } FIGURA 6.22

S i B e <=> B = <-3 + s , 8 + s , 5 + s) (2)

B e P <=> (-3 + s) + (8 + s) + (5 + s) = 4 « s = -2

Sustituyendo en (2) obtenem os : B = <-5 , 6 , 3)

Miscelánea de ejemplos ilustrativos 295

Como B equidista d e A y C ■=> B = 1 ( A + C) » C = 2 B - A

=> C = 2 < - 5 , 6 , 3 > - < - 3 , 8 , 5 ) = <-7,4, 1)

Dirección del rayo reflejado : v = C S = <0 , 2 , 2) - <-7 ,4 , 1) = <7 , -2 , 1)

Por lo tanto , su ecuación vectorial e s SB = {<0, 2 , 2) + t ( 7 , - 2 , 1), t e R } ■

Ejemplo 8 j Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto

S(1 , 4 , -2) y dista una un idad de la recta 5? = {<2 , 6 , 5) +

t(2 , -4 , 0 ), t e R }.

Solución. S e a la ecuación general del plano

* P : x + B y + C z + D = 0 (1)

Si d{f£ , P ) = 1 <=> = 1 <=> I n • v I = 11 n 11I I n 11

donde : v = S T = (2 , 6, 5) - <1 , 4 , -2) = <1 , 2 , 7>

n = <1 , B , C )

Luego : I <1 , B , C ) • <1 , 2 , 7) I = VI + B ; + C*

=> I 1 + 2 B + 7 C I = \ 1 + B - + C 3 (2)

Dado que X ± n <=> <2 , -4 , 0) • <1 , B , C ) = 0

o 2 - 4 B = 0 «=> B = 1/2

Sustituyendo en (2) se tiene : 192C : + 1 1 2 C + 11 = 0 « C, = - 1/8 ó C, = -11/24

Si S e P => 1 + 4 B - 2 C + D = 0

Luego , para B = 1/2 y C, = -1/8 <=> D, = -13/4

y para B = 1/2 y C : = -11/24 => D, = -47/12

Por lo tanto , sustituyendo cada uno de estos valores en (1) obtenem os

P , : 8 x + 4 y - z - 26 = 0 ó P 2: 2 4 x + 12 y - l l z - 9 4 = 0 ■

( * ) Nota. En ocasiones en que se hace uso de la ecuación general del plano P : A x + B y +

Cz + D = 0, es aconsejable considerar como la unidad a cualquiera de los coeficien­tes A , B , C o D , de preferencia A ; con esto se logra eliminar una incógnita y facilitar todas las operaciones realizables.

Ejemplo 9 j Hallar la ecuación del p lano que p a sa a través de la recta

£' = {(1 , 8 ,1 > + 1 <1 , - 3 ,1 ) , te R } y forma un ángulo de 60° con

el plano P, : 2 x - y + z = 7

296 Capitulo 6: Planos en el espacio

Solución. S e a el plano buscado P : x + B y + C z + D = O (1)

cuya normal e s n = (1 , B , C)

C om o J2? c P «=> ( l , .8 , l ) e P = > 1 + 8 B + C + D = 0 (2)

3 ? c P => a * n = 0 = * <1 , -3, !)•<! , B , C ) = 0

<=> l - 3 B + C = O t = > C = 3 B - l (3)

Sustituyendo (3) en (2) se tiene : D = -1 1 B (4)

Un vector normal al plano P , e s n t = <2 , -1 , 1)

S i P y P forman un ángulo de 60° <=» C o s 60° = n * n ‘n n.

esto e s \ - => 2(2 - B + C ) = Vó (V I + B 2 + C 2)2 (VI + B 2 + C : ) (\4 + 1 + 1)

Sustituyendo el valor de (3) se tiene

2 (2 * B + 3 B - 1 ) = \ 6 (\' 1 + B 2 + (3 B - 1 )2 ) , de donde obtenem os

11 B 2 - 13 B + 2 = 0 B, = 1 ó B : = 2/11

Luego , en (3) y (4) tenem os : C, = 2 ó C , = -5/11

D, = -11 ó D, = -2

Sustituyendo en (1) cada uno de estos valores , resultan dos so luc iones

P , : x + y + 2 .Z -11 = 0 ó P , : 11 x + 2 y - 5 z - 22 = 0

E je m p lo 1 0 J Hallar la ecuación del plano que pasa por A(1 , 3 , 0) y B(4 ,0 ,0)

y hace un ángulo de 30° con el plano P , : x + y + z - 1 = 0

Solución. S e a el plano buscado , P : x + B y + C z + D = 0 (1)

Si A (1 , 3 , 0 ) 6 P => 1 + 3 B + D = 0 (2)

B ( 4 , 0 , 0 ) e P ■=> 4 + D = 0 <=> D = -4 , luego en (2), B = 1

Por lo que , en (1) se tiene , P : x + y + C z - 4 = 0 = > n = ( l , l , C ) (3)

La normal al plano P, e s n ( = (1 , 1 , 1)

^ C o s 30° = ■ ü = < U , C ) . < I , 1 , 1 )II n || 11 n, 11 2 (\ 'l + 1 + C J) (V l + 1 + 1)

de donde obtenem os : 5 C 2 - 16 C + 2 = 0 C = j (8 ± 3 \6 )

Por lo tanto , en (3) , las ecuaciones de los planos son

P : 5 x + 5 y + (8 ± 3 V6)z - 20 = 0 ■

Miscelánea ele ejemplos ilustrativos 297

Ejemplo 11 J Hallar la ecuación cartesiana de un plano que contiene a la

recta 7' = {(1 , 2 , -3) + 1 (1 , -4 , 2 ) l t e R } y se encuentra a una

distancia de 8/\41 unidades del punto T(2 , -4 , -5).

Solución. S e a el plano buscado P : x + B y + C /. + D = 0 => n = (l , B , C >

Si y c P c=> (1 , 2 , - 3 ) e P «=> 1 + 2 B - 3 C + D = 0

También si í c P t=> <1 , -4 , 2) • <1 , B , C ) = 0 , de donde : B = -j (1 + 2C )

Sustituyendo (3) en (2) se tiene : D = — (4 C - 3)

d(T , P ) = J L => Í 1 l ¿ B o £ + D ] _\41 Vi + B : + C 2 \41

Sustituyendo en esta expresión los valores de (3) y (4) resulta la ecuación

180 C 2 + 36 C - 1 1 = 0 C, = 1/6 ó-C. = -11/30

Si C, = 1/6 c=> B, = 1/3 y D, = -7/6 , y si C : = -11/30 => B = 1/15 , D, = -67/30

Luego , en (1) , las ecuaciones de los p lanos bu scados son

P , : 6 x + 2 y + z - 7 = 0 ó P , : 30x + 2 y - 11 z - 67 = 0

(1)

(2)

(3)

(4)

Ejemplo 1 2 j Dado el plano

P : x - 2 y + 3 z = 0 y l a recta 7\ : x + 4 5 - z , y = - 1 ; ha-4 3

llar la ecuación de la recta que pasa por A (0 , 2 , -1) , e s

paralelo al plano P y corta a la recta 7\.

Solución. La normal al plano P es n = <l , -2 , 3>

y !?, = {<-4,-1 ,5) + r <4 , 0 , - 3 ) , r e R } .

Si P, e 7\ «=* P, = <-4 + 4 r , -1 , 5 - 3 r )

El vector de dirección de la recta 7 e s a = AP,

<=> a = (-4 + 4 r , -1 ,5 - 3 r ) -<0, 2 , -l) = (-4 + 4 r ,-3 ,6 - 3r)

Com o V 11 P «=> a • n = 0«=> (-4 + 4 r , -3 , 6 - 3 r) • <1 , -2 , 3) = 0

de donde obtenem os , r = 4 => a = <12 , -3 , -6) = 3 (4 , -I , -2)

' 7 ' = {<0, 2 , - 1 ) + l <4,-1 ,-2 ), te R }

FIGURA 6.24

Ejemplo 13 J Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que es parale­

la a los p lanos P , : 3 x + 1 2 y - 3 z - 5 = 0 y P 2: 3 x - 4 y + 9 z + 7 = 0,

y que corta a las rectas

298 Capítulo 6: Planos en el espacio

. x + 5 _ y - 3 _ z + 1 v ™ . X_i3 _ y ± l = Z lA~ 2 -4 ” 3 Y 2 ' -2 3 4

Solución. La s norm ales a los p lanos dados son : n, = (1 ,4 , - l ) y n; = (3 , -4 ,9 ) y las

ecuaciones vectoriales de las rectas son

.5?, = {<-5 , 3 , - 1 ) + r (2 , -4 , 3), r e R } , .#,= {<3,-1 , 2) + s< -2 , 3 ,4) , s e R}

Se a V : P = P, + 1 a , t e R . la ecuación vectorial de la recta b u sc a d a , cuyo vector de

dirección e s a = (a , b , c)

Dado que : 9/ 11P, <=> a * n l = 0 < = > a + 4 f e - c = 0

<&\\P2 t=> a * n , = 0 o 3a-4¿> + 9c = 0

Resolviendo el sistem a para a y b obtenem os , a = 2c y b = 3c/4

c=> a = < -2c,3c/4,c) = - j < 8 , - 3 , - 4 )

S in perder generalidad podem os e le g ir: a = (8 , -3 , -4)

S i P ( 6 (X n «=* p ,e => P, = (-5 + 2 r , 3 - 4 r , -1 + 3 r )

P. e (J2? fl # 2) => P ; e ^ => P : = <3 - 2s , -1 + 3 s , 2 + 4s>

Com o P.P. 11 a «=> P j - P j s k a

■ = > ( 8 - 2 s - 2 r , - 4 + 3 s + 4 r , 3 + 4 s - 3 r ) = k ( 8 , - 3 , - 4 )

{ 8 - 2 s - 2 r = 8 k <=> s + r + 4 k = 4

-4 + 3 s + 4 r = - 3 k «=> 3s + 4 r + 3 k = 4

3 + 4 s - 3 r = - 4 k <=> 4 s - 3 r + 4 k = -3

Resolviendo el sistem a obtenem os : r = 1 , s = -1 , k = 1 <=> P, = (-3 , -1 , 2>

% : P = <-3 , -1 , 2>+ t (8 , -3 , -4) <=> x = -3 + 8 1 , y = -l -3 1 , z = 2 - 4 t ■

Ejemplo 14 J Se a n los conjuntos

A = {(x , y , z) e R J I 63(7 - x) = 18(13 + y) = -14(z + 1)}

B = {(1 + 2 t , -1 + 3 t , 5 + 5 t > e R 3 I t e R }

C = {(x , y , z) e R-' I 8 x + y = 7 , -7 y + 8 z = 47 }

a) D ar la ecuación cartesiana de un plano P que contenga a dos de los conjuntos

d ados.

b) Hallar una ecuación vectorial de una recta % paralela a P y cuya intersección con

A , B y C se a no vacía.

Solución, a) Lo s conjuntos A , B y C son rectas cuyas representaciones vectoria­

les son las sigu ientes

A = <2?,: * 1 2 = = ^ ± 1 <=> <¡Pt = {<7 , -13 , - 1) + t <2 , -7 . 9>| t e R }

B = %^,= {<1 ,-1 ,5>+r<2, 3,5)1 r e R}

EJERCICIOS : Gruyo 35 299

C es la recta dete rm inada por la in te rsecc ión de d o s p la n o s P , : 8 x + y = 7 y

P . : -7 y + 8 z = 47 , cuyo vector de dirección es a, = n f x n,

c=> a, = <8 , 1 ,0 ) X <0, -7 , 8) = 8 (1 , -8 , -7)

El punto de paso de 7 \ lo obtenem os de las ecuaciones de P, y P,. Por ejemplo ,

para v = -1 , en P ( , x = 1 , y en P , , z = 5 , por lo que , ( l , - l , 5 ) e

Luego, C = # , = {<1 , -I , 5) + s (I , -8 , 7)1 s e R }

Obsérvese que A fl B = 0 (compruébese) y A f| C = P (1 , - 1 , 5 ), am bos conjuntos

tienen el m ism o punto de paso. Entonces el plano P formado por los conjuntos B

y C tienen por ecuación vectorial

y por Q 0 e (A D P ) FIGURA 6.25

Luego . si Q ()e f£ x ■=> Q u = (7 + 2 t ,-13 - 7 t ,-1 + 9t) (1)

Q 0 e P o (7 + 2 1) + (-13 - 7t) - (-1 + 9t ) + 5 = 0 <=> t = 0

Por lo que , en (1), obtenem os Q i( = (7, -13 , -1)

El vector de dirección de ? ' e s a = P, Q = Q n - P 0

=> a = <7,-13 ,-1) - <1 ,-1 . 5) = 6 <1 , -2, I)

<0 = {(\ , -I ,5) + t<l , - 2 , 1)1 t e R } ■

EJER C IC IO S : Grupo 35

1 . Hallar la ecuación del plano que pasa por S(1 , 1, 1) y e s perpendicular a la

2 x - y + z = 5

5 •recta

^ . r 2 x - y + z = í

’ *- x + 2 y + 2 =

2. Hallar el punto Q que e s simétrico al punto S (2 , - 5 , 7 ) respecto de la recta que

pase por los puntos A(5 . 4 , 6) y B(-2 , -17 , -8 ).

3. Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos S(1 , 2 , 3) y T(3 , - 1 , 0 )

y que e s paralelo a la recta de intersección de los p lanos x + y + z - 3 = 0 y

x + 2 y - 3 z + 5 = 0.

300 Capítulo 6: Planos en el espacio

4. U na recta 3? que contiene al punto S (2 , - 5 , 8 ) e s perpend icu la r al plano

P : x - 2 y + 3 z - 8 = 0. Hallar las coordenadas del punto de intersección de X y P.

5. Obtener una ecuación cartesiana del plano que contiene al punto S (-6 , 1 , - 3 )

y que e s perpendicular a la recta cuyos co se n o s directores son todos iguales.

6. Hallar las coordenadas del punto de intersección del plano P : 2 x + y + z - 6 = 0

y la recta que pasa por el origen y que es perpendicular a P.

7. Hallar la proyección del punto S (5 , 2 , - 1 ) sobre el plano P : 2 x - y + 3 z + 23 = 0.

8. Hallar el punto Q que e s sim étrico al punto S(1 , 3 , - 4 ) respecto del plano

P : 3 x + y - 2 z = 0

9. Hallar en el plano X O Y un punto P de modo que la sum a de su s distancias a

los puntos A(-1 , 2 , 5) y B(11 , -16 , 10) se a mínima.

10. Hallar en el plano P : 2 x + 3 y - 4 z - 1 5 = 0 un punto P de m odo que la diferencia

de su s d istancias a los puntos A(5 , 2 , -7) y B(7 , -25 , 10) se a máxima.

11. Para que valores de A y B el plano P : A x + B y + 3 z - 5 = 0 e s perpendicular a la

recta 0 : x = 3 + 2 t , y = 5 - 3 t , z = - 2 - 2 t

x - 2 _ y + 1 _ z - 5C4 «M/ ------- ------- — -------

al plano P : 3 x - 2 y + C z + 1 = 0

12. Para que valores de a y C la recta e s perpendiculara 4 -3

13. Hallar la ecuación del plano que p asa por & : y y es per­

pendicular al plano P : 3 x + 2 y - z - 5 = 0

14. Dem ostrar que la ecuación del p lano que p a sa por la recta <£ : x = x0 + a t ,

y = y o = b t , z = z0 + c t y e s perpendicular al plano P 1 : A x + B y + C z + D = 0 s e

puede representar en la forma

x - x 0 y - y 0 z - z 0

a • b c = 0A B C

1 5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P,(1 , 2 , -3) y paralelo a las

rec, a s ^ : V = ^ = ¥ Y = ¥ =

16. Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto P 0(x0 , y 0 , z0) y es

paralelo a las rectas

a>. x - xi y - yi _ z - zi Cp . x - xz _ y ~ y 2 _ z - z? .1 ' a, 6, c, 2 a2 b2 c2

se puede representar en la forma

EJERCICIOS : Grupo 35 301

* - x 0 y - y 0 z * zo

b . c,

ü 2 K C2

= 0

17. La posición inicial del punto M (x , y , z) en un movimiento uniforme rectilíneo ,

es M 0(28 , -30 , -27 ); la velocidad e s v = 12.5 y la dirección e s la de la perpen­

dicular bajada del punto M 0 al plano P : 15 x - 16 y - 12 z + 26 = 0. Hallar las

ecuaciones del movim iento del punto M y determinar : a) el punto P de

intersección de su trayectoria con este plano , b) el tiempo que se necesita

para que el punto M haga el recorrido desde M 0 hasta P, c) la longitud del

segm ento M 0P.

18. S e a n las rectas i ? , = {<-1 , 3 , 3) + s (0 , -1 , 1 ), s € R } , S02 = {(-1 , 3 , 1 ) +

r<1 , -1 , 1), r e R } y 3! una tercera recta que corta a ortogonalmente.

S i P 1 e s el plano que determinan cJ!y y r£ 2 , y P 2 e s el plano que determinan

y % ; hallar el co seno del ángulo que forman P, y P 2.

19. Hallar la ecuac ión del p lano perpend icu lar al p lano z = 2 , que con tenga al

punto P,(1 , -3, 4) y haga un ángulo de 60° con el plano P : 2 x - \ 3 y + 3 z - 5 = 0

20. Hallar la ecuación del plano que pasa por T(2 , -1 , 0) y forma un ángulo de 30°

con el eje X.

21. Hallar la ecuación del p lano que p a sa por A(1 , 3 , 0) y B (4 , 0 , 0) y hace un

ángulo de 30° con el plano P , : x + y + z - 1 = 0

22. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto M 0(3 , -2 , -4)

paralelamente al plano P : 3 x - 2 y - 3 z - 7 = 0 y que corta a la recta

. x_^2 _ y + 4 _ Z jJ 1 ' 3 -2 2

23. Hallar la proyección del punto C (3 , -4 , -2) sobre el plano que pasa por las dos

rectas parale las se,: ^ ^ = z ± 3 y X _ ^ = y ^ 3 = / + 3lO I " 4 lO 1 -^t

24. Hallar el punto Q que e s simétrico al punto P(3 , -4 , -6) con respecto al plano

que pasa por los puntos P ,(-6 , 1 , - 5 ) , P2(7 , -2 , -1) y P 3(10 , -7 , 1).

25. Hallar el punto Q que e s simétrico al punto P(-3 , 2 , 5 ) con respecto al plano

que pasa por las rectas

y . r x - 2 y + 3 z - 5 = 0 r 3 x + y + 3 z + 7 = 0

l x - 2 y - 4 z + 3 = 0 ’ 2 ' l 5 x - 3 y + 2 z + 5 = 0

26. Dem ostrar que la ecuación del plano que pasa por la recta

=5?,: x - Xl = t y e s paralelo a la recta c£'2 : x = x0 + a t , y = y 0 + b t ,a, o, c,

302 Capitulo 6: Planos en el espacio

z = z0 + c t , se puede representa en la forma

x - x, y - y,

a ba, b,

27. Dem ostrar que si dos rectas

z - z

eCy

= 0

^ . x + xi _ y - yi _ z - z.y st9 :

X - X ; _ y ~ y 2 _ z - Z?

¿2^2 2 se cortan , la ecuación del plano en el que están situadas se puede represen­

tar en la forma siguiente

x - x , y - y , z - z ,

a , 6, c. = o

28. Dem ostrar que la ecuación del plano que p a sa por los puntos P t(x, , y , , z,) y

P 2(x2 , y , , z ) y el paralelo a la recta 7' : x - x3 _ y - y3 _ z - z3 a b e se puede re­

presentar en la forma

x - x , y - y , z - z ,

x2 - xi y2-y, z2-z, =oa b e

29. Dem ostrar que la ecuación del plano que p asa por las rectas paralelas

5?, : x = x , + d t , y = y , + ¿ ? t , z = z , + c t y 5r'2; x = x2 + íZt , y = y 2 + M , z = z2+ct,

se puede representar en la forma siguiente :

x - x , y - y , z - z ,

v x, y2-y, v z, =°a b e

30. Dem ostrar que la ecuación del plano que pasa por la recta

7': x = x0 + at , y = y0 + b\ , z = zQ + ct

y por el punto P,(x, , y, , z,) se puede representar en la forma :

x - x , y - y , z - z ,

xt - xo y,-y0 z, - zo =°a b e

[ 7.1 ) EL C O N JU N T O DE LO S N U M E R O S C O M P LE JO S_________

Dentro del cam po de los núm eros reales podem os hallar núm eros x tales

que x: = a , si a > 0. Pero que sucede cuando a < 0. No existe ningún número real que

satisfaga esta ecuación pues , el cuadrado de todo número real e s siem pre posi­

tivo o cero. Por tanto , para resolver la ecuación d ebem os ampliar el sistem a

numérico o incluir expresiones sem ejantes a i = \ - l , tal que i: = - I. Esta expresión

es llamada número imaginario o unidad imaginaria. Podem os entonces investi­

gar el conjunto de núm eros de la forma a + b i (llamados números complejos), donde

a y b se eligen del conjunto de núm eros reales. E sto s núm eros son parejas de

números reales (a , b ) , donde el sím bolo i sirve solam ente para conservar separa­

dos dos números. Esto e s , si representam os por C a dicho conjunto , entonces

tenem os la siguiente definición formal

DEFINICION 7.1 Conjunto de los números complejos

El conjunto de todos los núm eros de la forma

a + b i , donde a . b € R e i: = - 1 se denom ina el conjunto de los números complejos y se denota por ( ' . esto es

C = {(a , b) = a + ¿>i| a , b e R : , i- = -1 )■V__________________________!_______________ __________________________________________

Lo s elementos del conjunto C se denotan por las letras v , w , z , etc. de

m odo que si

304 Capítulo 7: Números complejos

z e C <=* z = (a ,b) ,a ,b e R

w e C <=> w = (c ,d) ,c ,d e R

La com binación de los núm eros com plejos con los núm eros reales se

llama sistema de números complejos. Entonces a sem ejanza con el estudio desa­

rrollado en forma axiom ática de los núm eros reales com enza rem os por definir

este sistem a en función de los núm eros reales.

f — -— — — aDEFINICION 7.2 El sistema de números complejos

El sistem a de núm eros complejos e s el conjunto C de todos

los pares ordenados de núm eros reales (a , b) , provistos de una relación de equivalencia y dos operaciones llam adas de adición y multiplicación . tales

que , para dos elementos cualesquiera (a ,b) e C y {c , d) e C se tiene

1. Igualdad: (a . b) = (c , d) <=> a = c A -b = d2 . Adición : {a , b) + (c , d) = (a + c , b + d)3. Multiplicación : (a , b) (c , d) = (ac - bd , ad + be)

/--------------------------------------------- — -------------TEOREMA 7.1 Propiedades de la Adición

Para los núm eros complejos z, , z, , z3 e C , se cumple las

s igu ien te s p rop iedades

A.1 : V z , , z : e C <=> (z, + z,) e (! (C lau su ra )

A.2 : V z , , z ,e C <=* z, + z, = z, + z, (Conm utatividad)

A .3 : V z , , z , , z, e C r=> (z, + z :) + z, = z, + (z. + z.) (Asociatividad)

A.4 : Existencia y unidad del elemento neutro aditivo z0 = (0 , 0)

3 ! z , e C | V z e C ; z + z(J = z

A .5 : Existencia y unicidad del inverso aditivo

Para cada z e C , existe un único (-z) e C I z + (-z) = z.

Demostración de A .2 : z + z, = z, + z,

En efecto , sean z, = (a , b) y z, = (c , d) dos núm eros complejos

*=$ z, + z, = (a , b) + (c , d) = (a + c , b + a) (Def. de suma)

= (c + a ,d + b) (Conmutatividad en R)

= (c,d) + (a ,b) = z : + z, (Def. de suma)

/. La sum a de núm eros complejos e s conmutativa.

Sección 7. / : El conjunto de los números complejos

Demostración de A .3 : (z, + z ) + z, = z, + (z, + z,)

En efecto, sean : z, = (a , b) , z, = ( c , d) y z^ = (e , f ) I a , b , c , d , e , f e R

*=> (z ,+ z :) + z ; = [(íí ,b) + (c ,d)] + (e , i)= (a +c ,b + d) + (e ,1) (Definición de suma)

= [ (a + c) + e , [b + d) + f ] (Definición de sum a)

= [ a + (c + e ) , b + (d + f )] (A sociativ idad en R)

= (a , b) + [(c + e ) , {d + f )] (Definición de sum a)

= (a ,b) + [(a ,d) + {e ,i)] (Definición de sum a)

= z, + (z, + z,)

La sum a de complejos e s asociativa.

Demostración de A.4 : 3 ! z € C I V z € C : z + zu = z

En efecto , sean , z(1 = (x , y) y z = (a , b)Averiguarem os que valores deben tomar x e y de modo que : z + z,( = z

«=> (a , b) + (x , y) = (a ,b)

(a + x , b + y) = (a , b) (Definición de sum a)

(a + x = a) a (b + y = b) (Definición de igualdad)

t=> (x = 0) a (y = 0)

Entonces el elemento neutro aditivo e s z = (0 , 0). La unicidad de z resulta de la

unicidad de los valores de x e y.

z0 = (0 , 0) e s el elemento neutro aditivo de C

Demostración de A .5 : V z e C , 3 ! (-z) e C I z + (-z) = z0

En efecto , sean : z = {a,b)' y -z = ( x , y )

Averiguarem os que valores deben tomar x e y , tales que : z + (-z) = z

o (a , b) + (x , y) = (0 , 0)

r a + x = 0 = > x = -a=> (a + x , ¿> + y) = (0 , 0) « { b + y = 0 <=> y — -b

Luego , si z = (a , b) o -z = (-a , -fc)

-z = [-a , -b) e s el inverso aditivo u opuesto de z = {u , 6)

Según esta propiedad , se puede definir la resta , z, - z, por la siguiente relación.

z, - z, = z, + (>z;) ) (1)

306 Capítulo 7: Números complejos

TEOREMA 7.2 Propiedades de la Multiplicación

Para z, , z ; . z, e C se cumplen Igs siguientes propiedades

M.1 : V z , , z, e C ==> z, z, e C (C lausura)

M.2 : V z , , z , e C => z z, = z, z, (Conm utatividad)

M.3 : V z , , z 2, z, e C «=> (z. z .)z , = z l( z , z <) (Asociatividad)

M.4 : Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo

3 ! a) € C , a * z01 V z e C : z to = z , donde o> = (1 ,0)

M.5 : Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo

V z e C , z * z , B ! z 1 e C l z z •' = w

, M .6 : V z , , z , , z, e C : z,(z, + z.) = z, z, + z, z, (P ropiedad Distributiva)

Demostración de M .2 : V z, , z, e C ■=> z, z, = z : z,

En efecto , sean : z, = (a , ¿) y z : = {c ,d)(1) = > z , z , = (a ,b) (c ,d) = { a c - b d , a d + bc) (Def. de Mult.)

(2) z ; z, = (c ,íi) (a ,¿>) = ( ca-db, cb +da) (Def. de Mult.)

(3) = [ac-bd , ad + bc) (Conmutatividad en R)

(4) Luego , de (1) y (3): z, z : = z, z,

El producto de núm eros complejos e s conmutativo

Demostración de M .3 : (z, z,)z, = z,(z, z,)

En efecto , s e a n : z l = (a ,b) , z, = (c ,d) y z, = (x , y)

(1 ) t=> (z, z :)z? = {ac -bd ,a d + be) (x , y)

(2 ) = [(ac-bd)\ - (ad + bc)y , (ac-bd)y + {ad + bc)x](3) = ( a c x - b d x - a d y - b e y , a c y - b d y + adx + bcx)(4) = ( a c x - a d y - b d x - b e y , a c y + a d x - b d y + bcx)(5) = [ f l ( c x - ¿ y ) - 6(cy + Jx ) , a (cy + dx) +b{cx-dy)](6) = (a ,b) { cx - dy , cy + dx)(7) = (a , b) [(c ,d)[x , y)] = z,(z, z.)

El producto de núm eros complejos e s asociativo

Demostración de M. 4: 3 ! ( o e C l V z e C : z a > = z , (o = (1 ,0)

Probarem os que w = (1 , 0 ), suponiendo que z = (a ,b) y (o = (x , y)

(1) S i z to = z ■=> (a ,b) (x , y) = (a ,b)(2) f a x - b y =a (a)r a x - o y =

¡=> ( ax - by , a y + bx) = (a ,b) <=> ■{l a y + b \ =y + by = b (P)

Sección 7.1 : El conjunto de los números complejos 307

(3) Multiplicando (a) p o ra : a:x - a b y = a(4) Multiplicando (P) por b : b:x +aby=.b:(5) Sum ando (3) + (4) se tiene : (a'- + b2)x = a'- + b: <=> x = 1(6) Sustituyendo en ( p ) : b + a y = b => y = 0 , luego : to = (I , 0)

.\ cü = (1 , 0) e s el elemento neutro multiplicativo de C

I Nota. El elemento neutro multiplicativo definido en M.4 se llama también unidad compleja o uno complejo y se denota por I . Esto es to = I = (I ,0)

Demostración de M .5: V z e C , z * z( , 3 ! z 1 e C I z z 1 = co

En efecto . sean z = (a , b) y z 1 = (x , y)

(1) S i z z ' = m <=> (a ,b) (x , y) = (I , 0)

a x - b y = I

¡y-

-(3) Resolviendo el sistem a para x e y obtenem os

a .. -b

(2) (a x - b y , a y +b x) = ( 1 , 0) <=> | a x * 1L a \ + bx = 0

x =a: + b: y = a2 + b2

(4) Luego .s i z = (a ,b) y si z 1 = (x , y) => z ' = (— 2— , — >— ) ' a - + 6 ; a : + b : '

(2)

es el inverso multiplicativo de z = (a , b) y e s único,

i Nota. El elemento inverso multiplicativo de z = (a , b) definido en M.5 se denomina también

recíproco de z. Es costumbre representar a z-i como y

Según esta propiedad , se puede definir la división de z entre w por la siguiente

relación

zw = z (w) = z <w> (3)

De esta división se obtiene la regla para dividir dos núm eros complejos :

z = (a ,b) y w = (c , d)

z_ _ (a , b) w (c

- 4 = ( a , b ) i c , d y = ( ú , 4) ( _ £ _ , _ ^ L . ) = m ± M ,,d) \c +d c-+d- l ' c- + d- C- + (l‘ I

-b) _ / a c + bd be - a d \(C , d ) ' C- + d : ’ C: + d 2 >

(4)

Por ejemplo , si z = (5 , 3) y w = (3 , - 1), entonces según la regla (4) para la división

z _ (5 , 3) _ (15 - 3

w (3 ,-1 )= [ * ' 3 9 + 5 \ _ / 6_ _7\

V9 + 1 ’ y + i / \ 5 ’ 5 /

308 Capitulo 7: Números complejos

7 . 2 ) R C O M O S U B C O N J U N T O DE C

Verem os ahora la relación que existe entre los núm eros complejos y los

núm eros reales.

S e a A = {(a , 0) I a e R c f;} , el conjunto de los complejos de parte imaginaria nula.

S e puede establecer una correspondencia b iunívoca entre A y los núm eros reales

de la siguiente manera.

La función / : A •=> R , definida por /[ (a , 0)] = a , a s igna a cada complejo real su

primera componente.

/ e s invectiva , puesto que si z, = ( a , , 0) y z, = ( a , , 0) y z , * z ,

<=> (a , 0) * (a,, 0) <=> a , * a ,

A d em ás com o , /(z,) = / [(a ,, 0)] =a, y / ( z , )= / [ ( a , f 0) ] = a ,

se tiene que : a, * a: /(z,) * /(z,)

/ e s sobreyectiva , pues V a e R , existe [a , ü) e A I f[(a , 0)] = aPor tanto , / e s una función biyectiva. Esto e s , V (a , 0) e A le corresponde el

elemento a en los reales , lo cual se indica escribiendo

{a , 0) <=> a , V a e R

Veam os el comportamiento de las operaciones (2 ) y (3) de la Definición 7.2 en los

conjuntos A y R. S i z, = ( a , . 0) y z , = (a: , 0), entonces

z, + z : = ( a , , 0) + (a , , 0) = (a, + a , , 0) <=> a, + a,

z, z, = (a , , 0) (a , . 0) = (a, a2, 0) <=> a¡ a.

Aplicando / a cada una de estas operaciones se tiene

/ (z, + z,) = / [ (a , , 0) + ( a , , 0)] = /[(a, + a 2 . 0)]

= a , + a, = /[(a, , 0) ] + / [ ( a 2 , 0) ] = / ( z , ) + / ( z J)

/ ( z 1 z :) = / [ ( a 1 . 0) ( a , I 0) ] = / [ ( a |a ,,0)]

= a 1a 2 = / [(a I , 0)]/ [(a 2,0) ] = / ( z l)/(z,)

C

z, = (a, .0)

z; = (a,,0)

z, + z, = (a, + a , , 0)

z l zj.= (a,tfj ,0)

Esta analog ía permite identificar cada complejo real con el real correspondiente

e s d e c ir , e s válida la igualdad

Sección 7.3 : Forma cartesiana de un número complejo 309

(a ,0) = a , V a e R

o sea , podem os afirmar que A = R y com o A c C <=> R c C

De aquí se considera que el sistem a de los núm eros com plejos e s una amplia­

ción del sistem a de los núm eros reales.

Í7 .3 ) FO R M A C A R T E S IA N A DE UN N U M ER O C O M PLEJO

DEFINICION 7.3 Im unidad imaginaria

El número complejo imaginario cuya se gunda componente

e s la unidad se denom ina unidad imaginaria y se denota por

i = (0 , 1)

Tiene la propiedad de que si

P = (0 , I) (0 , 1) = (0 - 1 ,0 + 0) = (-l , 0)

y por la analogía de los complejos reales con los reales

¡- = -1 <=> i =

Si p e s un número positivo , podem os usar la notación i = , para denotar la raízcuadrada principal de -p , representada por V-p , esto e s , si

\-p = Vp V^p = i Vp

Ejem plos : a) V^3 = i \ 3 , b) V^25 = i V25 = 5 i

También podem os usar la rotación i2 = -I para obtener d iversas potencias de i.

i ° = i Análogam ente

5 = i

ft = -l

7 = -i

!*= 1

= I

2 = -l

¡> = j ‘i = (-l)i = -¡

i4 = i 2i 2 = (-1)(-D = i

O b sé rve se que para cada 4 potencias su ce siva s de i se repiten los m ism os resul­

tados. Luego , si el exponente de i e s n e N , al efectuar la división entre cuatro se

obtiene 4 k + r , donde 0 < r < 4 , entonces¡ n _ ¡4k+ r _ /¡ 4k\¡ i _I " = I = ( i4k)i ' = (i4) ir = ( 1 ) i r = i r

En consecuencia , in se reduce a uno de los cuatro conside rados en primer lugar,

según el valor que tenga r

Ejemplos: 1. ilíS = i = i° = l 3. ¡M = i 4(,,, + 2 = i2 = -12. i25 = i 4(61 * 1 = i1 = i 4. i87 = i 4(2,) + 1 = P = -1

310 Capítulo 7: Números complejos

U sando la convención de identificar los núm eros complejos de la forma (a , 0) con

el número real a , podem os escribir el número complejo z = (a , b) en la forma

z = (a , b) = (a , 0) + (0 , b)= (a , 0) + (6, 0) (0 , 1 )

= (a , 0) + ¿ (0 , 1)

/----------------- "Nz = a + b ¡

v____________ /

Notación que se conoce con el nombre de form a cartesiana , rectangular, canóni­ca o binómica de un número complejo , de donde a e s su parte real y b su parte

imaginaria , y se denotan , respectivamente

a = Re (z) , b = Im (z)

de m odo que podem os escribir

r -yz = Re (z) + Im (z) i

v__________ ____________ y

Una ventaja de escribir los núm eros complejos en la forma cartesiana e s que la

sum a y la multiplicación se pueden efectuar sin referirse a las definiciones en

términos de pares ordenados.

S i u sam os la notación z, = (a , b) = a + b i , z, = (c , d) = c + d i para efectuar la

multiplicación z, z, donde consideram os los térm inos a , b , c , d , i , com o si todos

e llos obedecieran a las leyes de los núm eros rea les y reem plazando i2 por -1

tendríam os

z, z, = (ü + b i) (c + d i) = a c + ad i + be i + bd i 2 = (ac-bd) + (ad + be) i = ( a c - b d , ad + bc)

Por ejemplo , si z, = (-2 , 3) y z, = (1 , -2), entonces

z, z, = (-2 + 3 i) (1 - 2 i) = (-2) (1) + (-2)(-2 i) + (30(1) + (3 i)(-2 i)

= -2 + 4 i + 3 Í - 6 i 2 = 4 + 7i = ( 4 , 7 ) ' -

I O B S E R V A C I O N E S

1 . S e dice que un número complejo es puramente r e a l , si su parte imaginaria es

cero. Esto e s , si z = (a , 0) =a + Oi <=> Im (z) = 0

2. S e dice que un número complejo es imaginario puro , si su parte real e s cero.

Esto e s , si z = (0 , a) = 0 + a i ■=> R e (z) = 0

Sección 7.4 : Representación geométrica de los números complejos 311

(7 .4 ) REPR ESEN T A C IO N G EO M ET R IC A DE LOS N U M ER O S CO M ­P LEJO S

La idea de representar geom étricam ente un núm ero complejo e s real­

mente m uy simple. S e puede establecer una correspondencia uno a uno entre los

números complejos y los puntos del plano cartesiano de acuerdo con el esquema:

Núm ero complejo Punto del plano

(a,b) = a+b i <=> P (a , ¿ )

A s í , cada número complejo a + b i corresponde a un punto único del plano cuyas

coordenadas son x = a , y = b. Recíprocam ente , cada punto P(a , b) del plano

corresponde a un número único a + b i.

El punto P(a , b) recibe el nombre de punto , afijo ográfica del número complejo a + b i.

El p lano donde su po n e m o s representados los afijos

de todos los núm eros complejos se llama plano com­plejo. El eje O X de este plano contiene todos los afijos

de los complejos de la forma (a , 0) = a + O i , e s d e c ir ,

los núm eros reales. Por esta razón recibe el nombre

de eje real.

El eje O Y contiene los afijos de los núm eros imaginarios puros (0 , b) y se llama eje imaginario. La línea O P que representa la magnitud del complejo a + b i se llama

radio vector.

i 7.4.1) R EP R ESEN T A C IO N G R A F IC A DE LA S U M A Y D IF ER EN C IA

S i en un p lano com plejo re p re sen tam o s lo s com p le jos z, = (a,, b ,) y

z, = (a , , ¿,) por s u s respectivos rad ios vectores r, y r, , en tonces el vector sum a

z, + z, e s la d iagonal del paralelogramo construido sobre los radios vectores repre­

sentativos de los sum andos.

En efecto , en la Figura 7.2

A O D M s A N E P , por tener : O D = N E y M D = P E

Entonces : a = O B = O A + A B = O A + N E = O A + O D = a, + a ,

6 = P B = P É + É B = M D + Ñ A =b: + bt z = a + b i = (a, + a :) + (6, + b2) i = z, + z,

Para la d iferencia : z = z, - z, (F igura 7 .3 ), constru im os el inverso aditiva de z , ,

312 Capitulo 7. Números complejos

O N ’ , de m odo que :

O M - O N = O M + O N ’ = O P => z = z. + (-z,)

La siguiente definición del conjugado de un número complejo e s útil en las opera­

ciones que involucran núm eros complejos

DEFINICION 7.4 Conjugado de un número complejo_________________________

S i z = a + b i e s un número complejo , entonces z = a - b i se

denom ina conjugado complejo o simplemente , conjugado de z.

Geométricamente dos complejos conjugados están re­

presentados por dos puntos simétricos respecto del eje

real , com o se ilustra en la Figura 7.4

Por ejemplo , el conjugado d e z = 3 - 2 i e s z = 3 + 2 i y

ob sérvese que : z z = (3 - 2 i ) (3 + 20 = 9 - 4 i :

entonces con i : = -1 , se obtiene

z z = 9 + 4 = 13 > 0

El producto de un número complejo por su conjugado

e s un número real positivo.

i J m (z ) 7.—a t Ai

Ke(z)

Z-a ¿i

FIGURA 7.4

TEOREMA 7.3 Propiedades del conjugado de un número complejo

S i z , w e C , entonces se cumplen las propiedades siguientes

CC.1 : a) z + z = 2 R e ( z ) , b) z z e R a (z z ) > 0 .

CC .2 : S i z = a + o i <=> z = z

CC.3-: z + w = z + w

CC.4 : z w = z w

C C.5 : S i z e C «=> ( T ) = z

____

Sección 7.4 : Representación geometrica de los números complejos 313

C C .6 : S i z = a + b i <=> a = R e (z) = \ (z + z) a b = Im (z) = ^ (z - z)

Demostración de CC. 1:

a) La sum a de dos complejos conjugados e s igual al doble de la parte real.

En efecto , z + z = (a + b i) + (a - b i) = 2a <=> z + z ¡= 2 R e (z)

b) El producto de dos complejos conjugados e s un número real no negativo.

En efecto , z z = (a + b i)(a - b i) = a2 - (b i); = a2 + b2Com o a , b e R , se tiene que (z z) e R a (z z) > 0

Demostración de CC.2 : Un número complejo e s real si y só lo si e s igual a su

conjugado.

z e R <=> z = a + 0i<=> (z = a) a (z = a) ■=> z = z

¿i) S i z = z <=* a + b i = a - b i <=> 2b i = 0. Luego , z = a , esto e s z e R.

Demostración de CC.3 : El conjugado de una sum a e s igual a la sum a de los

conjugados.

En efecto, (1) Se a n z = (a,b) y w = (c,d)(2) S i z + w = (a + c , b + d) <=> z + w = {a + c ,-b -d)(3) Igualmente , s i z = (a ,-b) y w = (c ,-d) <=> z + w = (a + c , -b - d)(4) Luego , de (2) y (3) se sigue que : z + w = z + w

Demostración de CC.4 : El conjugado de un producto e s igual al producto de los

conjugados.

En efecto , (1) Se a n z = (a , b) y w = (c ,d)(2) S i z w = (ac-bd , ad + be) >=> z w = (a c - bd , -ad-be)(3) S i z = (a - b) y w = (c , -d) <=> z w = (ac-bd , -ad-bc)(4) Luego , de (2) y (3), se tiene : z w = z w

I Nota. Una aplicación importante de la conjugación en C es el de la simplificación de la

división de dos números complejos. En efecto , según la propiedad CC.1b , el produc­

to de cualquier complejo y su conjugado es un número real positivo. Entonces consideremos

el problema de encontrar el cociente dez = a + ¿>¡ y w = c + d i d e l a siguiente manera

z_ _ z w _ (a +b\)(c - d i) _ (ac + bd) + (bc-ad) i

w w w (c + d\)(c -d\) c2 + d2Por ejemplo , s i z = 2 + 5 i y w = 3 - ¡

z (2 + 5i)(3 + i) (6 - 5) + (2+ 15)i 1 + 17-

314 Capítulo 7: Números complejos

— M IS C E L A N E A D E E J E M P L O S I L U S T R A T I V O S )

Ejemplo 1~~) S e sabe que (3 . 5) (x - 1 , 4) = (y - 2 , 5) + (3 , -1) para ciertos

núm eros complejos. Hallar t y u , tales que :

(5 x - 4 , u + t) = ( 3 1 + 1-, *5 y -1 9 )

Solución. Si

( 3 . 5 ) ( x - 1 , 4) = ( y -2 , 5 ) + (3 ,-1 ) o ( 3 x - 3 - 20 , 12 + 5 x - 5) = (y - 2 + 3 , 5 - 1)

r 3 x - 23 = y + 1 >=> 3 x - y = 24 => (3 x - 23 ,5 x + 7) = (y + 1 ,4) c=> { 5 x + 7 x = . 3/5 , y = , l29/5

y si (5x - 4 , u + 1) = (31 + 1 , -5 y - 19) <=> (-3 - 4 , U + 1) = (3 t+ 1 , 129 -19)

r -7 = 3 1 + 1 <=> t = -8/3=> (*7 , u + 1) = (3 t + 1 , 1 10) <=> u + t = l l 0 » u = 338/3 . ■

Ejemplo 2 j Determinar el complejo o ) = 5 z + 2 w 2 + u , sabiendo que

z= (1 + i)2++(i1-— • W=TTÍT • u = i75 + K1-')'2iJ3iSolución. Para calcular potencias de 1 + i y 1 - i , tener presente lo siguiente :

(1 + i)2 = 1 + 2 i + i2 = 1 + 2 i - 1 = 2 i

(1 - i )2= 1 - 2 í + i2 = 1 - 2 i- 1 = -2 i

Entonces : (1 + i)4 = [(1 + i)2]2 = (2 i): = 4 i2 = -4

(1 -i )4 = [ ( l - i )2]2 = (-2i)2 = 4 i2 = -4

-4 - 4 -8Í2 - i) 8Í2 - i) 8 ¡\L u e g o , z . — - . ( 2 t | ) ( 2 ^ . - —

............. . « „ = 1 1 1 1 ] = = -5(|--2^ > = - (2 + i)1 - 1 - 1 w j + 2 ¡ ( l + 2 i) (1 - 2 i) 1 + 4

<=> w 2 = (2 + i)2 = 4 + 4 i + i2 = 3 + 4 i

¡73s ¡4‘ i a * 3 . p = . ¡ u = -i + (1 - i ) * i: = - i+ ['(1 - i)2]3

<=> U = -i + (-2 i ) ' = -i - 8 i 5 = -i + 8 i = 7 i

a) = 5 z + 2 w 2 + u = -8(2 + i) + 2(3 + 4 i) + 7 i = -1 0+ 7 i i

Ejem plo 3 j Hallar la forma cartesiana de z =(2 + i)2 + (2 - i)2

(1 + i)3

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 315

Solución. Haciendo uso de la identidad (a + b)2 + (a - b): = 2(a2 + b2) , se tiene

_ r 2(4 + i2) i 4 = / 3 \4 _ 81 _ . 81

L 2 i (1 +i)-l ' i - K (-2 i)2 ’ 4-2 i (1 + i)-J v i - r (-2 i)

z = - + Oi4

E je m p lo 4 J Dem ostrar la identidad

x4 + 4 = (x -1 - i) (x -1 + i) (x + 1 - i) (x + 1 + i)

Demostración. S e sabe que : (1 + i)2 = 2i y (I - i)2 = - 2i «=> (1 + i)2 = -(1 - i)2Teniendo en cuenta estos resultados podem os escribir

x4 + 4 = x4 - (-4) = x4 - (2 i)2 = x4 - [(1 + i)2]2Factorizando : x 4 + 4 = [x: + (1 + i)2] [x2 - (1 + i)2]

= [x2 - (1 - i)2] [x2 - (1 + i)2]

= (x + 1 - i)(x - 1 + i) (x + 1 + i)(x - 1 - i)

Ahora , por la propiedad conmutativa del producto en C , obtenem os

x4 + 4 = (x - 1 - i)(x - 1 + i)(x + 1 - i) (x + 1 + i)

E je m p lo 5 J Expresar en la forma binómica : z = 1 +1 +

1 + '1 + i

Solución. En estos c a so s conviene expresar los complejos en la forma de par

ordenado y aplicar la regla (4) para la división , esto e s :

Z — 1 + --------'---- = 1+ ---------- í—:-------- = I + 1

( 1 , 2) n + 2 2 - 1 \ ( 3 , 0( 1 , 1) l 2 ’ 2 I

= 1 + - ^ = 1 + _____ i_____ = 1 + _L0j_ = 2(3 4)( 3 , 3 ) / 9 j+3 ^ 3 \ 6 ( 2,1) 3 ( 2,1)

( 3 , 1 ) \ 10 ’ 10 /

_ 2 /6 + 4 8 - 3\ - 4 23 V 5 ’ 5 / 3 3

I Nota. Otras identidades importantes para simplificar operaciones con números complejos

son las siguientes

a) (1 + i V 3 ) ' = (l - i V3)- =-8

b) (V3 + i)3 = 8 ¡ y (V3 - \Y = -8 i

316 Capítulo 7: Números complejos

Cjomplo 6 S i z = - 1=f , hallar Im (z2)' -------------------------' (V3 - i)3

Solución. z = + = ( 2 0 M L Ü ) = 4 i - ( l + i ) s i (1 ;¡)- 8 ¡ - 8i - 8 ¡ 2 '

L u e g o : zJ= 1 (1 - \y = i ( -2 i) = - 1 ¡ => Im (z2) = - 1 ■

Ejemplo 7 ^ S e a z = ( - j p - j ) 5 . hallar la forma cartesiana de z

Solución. ( ^ L d - Y = Ü L i V ( 4 i i ) = ( i M ) = . l (3 -2>/3i + i 2)'V3 + i' 'V3 + i' 'V3 + i' V8i / 3+1 4

= - i(l - ¡ V3)

(Lt!V = r 1* = (-2LV = ¡5 = ¡Vi - i ) L(I • i ) (1 + i)J Vl + U

.-. z = - i ( 1 - l ^ ) ¡ = - ^ - i i ■

Ejemplo 8 J Expresar en la forma rectangular el complejo

z = (1 + i)n + (1 - i)n

Solución. Veam os los c a so s en que n es un número par o impar

1. S i n e s un número par => n = 4 k o n = 4 k + 2 , k € Z *

a) (1 + ¡)" = (1 + i)4k = (2 i)2“ = (4 i 2)k = (-4)k

(1 - i)n = (1 - i)4k = (-2 i):k = (4 i -y = (-4)k

=> z = 2(-4)k + 0 i , k e Z *

b) (1 + i)" = (l + i)4k‘ 2 = (l + i)- (1 + i)Jk= 2 i(-4 )k

(1 - i )n = (l - i )4k*2 = (l - i ) - ( l - i)4k = - 2 i(-4)k

<=> z = 0 + Oi

2. S i n es un número im p a r, entonces :n = 4 k + l o n = 4 k + 3 , k e Z *

a) (1 + i)n = (1 + i)n = (1 + i)4k* ' = (1 + i ) ( l + i ) 4k = (l + i) ( -4 )k

(1 - i) " = (l - i )4k* ‘ = (l - i ) ( I - i)4k= (1 - i) (-4)k

■=> z = 2(-4)k + Oi , k e Z *

b) (1 + i)n = (1 + i)41“ ’ = (1 + i)2 (1 + i) (1 + i)4k

= (2 i) (1 + i) (-4)k = (-2 + 2 i) (-4)k

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 317

(1 - i) " = (l -¡)4I,° = (1 - i ) 2(l - i) (1 + i)4k

= ( - 2 0 ( 1 - i) (-4)k = ( - 2 - 2 0 H ) k

<=> z = (-4)k+l + 0 i , k e Z *

E je m p lo 9 ] En C definimos la operación binaria * de la siguiente manera:

z * w = z + w + zw , V z . w e C , hallar el va lor de z tal que

z * (1 + i) = O

Solución. Aplicando la operación binaria a z * (1 + i) = O , se tiene :

z + (1 + i) + z (1 + i) = 0.

Si z = (x , y) ■=> (x + 1 , y + 1) + (x , y) (1, 1) = (0 ,0 )

v , , v r x + 1 + x - y = 0 o 2 x - y + l = 0 ( 1 )=* ( x + 1 , y + l) + ( x - y , x + y) = (0 , 0) <=> { '

y + l + x + y = 0 =* x + 2 y + l = 0 (2 )

Resolviendo (1) y (2) obtenem os : x = -3/5 , y = -1/5 => z = (-3/5 ,-1/5) ■

e jem p lo 1 0 J . S i w = 2 u + v , v = -u + (1 - i) y u + (1 - i) = 2(1 + i ) ; e fectuar:

z = v- -t 2 w - u + 2 i - 1 + u3 , expresando el resultado en for- u2 - w

ma de par ordenado.

Solución. S i ü = - (1 - i) + 2(1 -1) = 1 - i ■=> u = 1 + i

v = - u + (1 - i) = - (1 + i) + (1 - i) t=> v = - 2 i

w = 2u + v = 2(l - i ) - 2 i = 2 - 4 i <=> w = 2 + 4i

Lüe9° : Z = 2 ' 0 2i V -4(2 + 4 ¡T 0 - 2 ¡) + (1 + ¡);(1 + i)

2i + 4 + 8 i - 1 - i 2 i - 2 - 4 i

- | - 2 l + 2 i ( l + i ) = - | ( l ± l l )

= • I — r T (i— 1} (8 + 20 «=> z = (-6 , -3/2)

e je m p lo 1 1 ^ Se a n w , z e C tales que , w + z y w z son reales. Dem ostrar

que w = z.

Demostración. En efecto

(1) S e a n : w = a + ¿ i y z = c + d i

(2) Entonces , w + z = (a +c) + (b + d)\ y w z = (ac-bd) + (ad + bc)\(3) Dado que w + z e s real = * b + d = 0 <=> d = -b

31S Capítulo 7: Números complejos

w z e s real <=> ad + be = O >=> a( - b ) +be - 0 «=> c = a

(4) Luego , de (3) se deduce que z = a - b \ => z = a + b iw = z B

m

E je m p lo 1 2 ^ ] Dem ostrar que V w , z , v e C . s e cumple :

“ w l m ( z v ) + z l m ( v w ) + v l m ( w z ) = (0 , 0)

Demostración. Se a n : w = (a ,b) , z = (c , d) y v = (e , f )

■=> w = (a , -b) , z = (e , -d) y v = (e , - i )

Efectuando los productos indicados entre paréntesis , tenem os :

z v = (c , -d) {e , f ) = (ce + di , ei -de) vw = (e , -f )(a ,b) = (ae + b i , be - a \ ) w z = (a , -b) (c , d) = (ac + b d , ad-bc)

Luego : w lm (z v) = (a + b i) (c f- de) i = (aei - ade)\ + (6cf - bdé)Y-= {bde-¿>cf) + {ac\-ade)\ (1 )

z lm (vw) = (c +d\) {be - a i )i = (bce - a c \ )i + (bde - a d \ )i:

= (adi -bde) + {bce-ac\) \ (2 )

v lm (w z) = {e + f i) (ad-bc) i = (ade -bce) i + (a di - be i )i:= (bei -adi ) + (ade-bee)\ (3)

Sum ando (1) + (2) + (3 ), se tiene finalmente que :

w lm (z v) + z lm (v w) + v lm (w z) = 0 + Oi = (0 , 0) I

E je m p lo 1 3 j Dem ostrar que V w , z e V. , se cumple :

lm (w z) = Re (w) lm (z) + lm (w) R e (z)

Demostración. Por la propiedad C C .6 del Teorem a 7.3 : lm (z) = z -.—

w z - w z 2 w z - 2 w z<=> lm (wz) = — — = -------p ------

v ' 2 i 4 i

En el num erador, por el artificio de sum ar y restar 2(w z + w z) se tiene :

. / 2 w z + ( 2w z + 2w z ) - ( 2 w z + w z ) - 2 w zlm (w z) = --------------------------------------------------------

_ W Z + w z - w z - W Z + W Z - W Z + w z - w z4 i 4¡

z (w + w) - z (w + w) . z (w - w) + z (w - w)= ------- Ti------- + Ti

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 319

_ (w + w) (z - z) (w - w) (z + z)4 i 4 i

/. Im (w z)= Re (w) lm (z) + lm (w) Re (z)

E je m p lo 1 4 ^ Resolver el sistem a : - 2 z, + z 2 = 2 + 3 i

¡ Z , + 2 Z2= 2 + ¡

Solución. En la primera ecuación el conjugado de am bos extremos es

- 2 z ) + z : = 2 + 3¡ <=> -2 z , + z 2 = 2 - 3 i

Multiplicando po r - l se tiene : . 2 z t - z , = -2 + 3i (1 )

Multiplicando por 2 la segunda ecuación : 2 i z ( + z, = 5 + 2 i (2)

De la sum a (1) + (2) , resulta : 2 (1 + i)z, = 3 + 5i z, = 2 + y i

Sustituyendo en la primera ecuación dada obtenem os z, , esto es :

- 2 ( 2 - i - i ) + z : = 2 + 3i » z ; = 6 + 2 i «=> C .S = {(2 , 1/2), (6 , 2)} ■

Ejemplo 1 5 J Resolver en C el sistem a de ecuaciones

(1 - i) z + 5 iw = 2 i - 7

2 z + (3 - 4 i)w = 8 - i

y dar las so luc iones en forma cartesiana o binómica.

Solución. Multiplicando las primera ecuación por (1 + i) se tiene :

(1 + i) ( l - i)z + 5(1 + i ) i w =(1 + i)(2i - 7)

<=* 2 z + ( - 5 + 5i)w = - 9 - 5 i (1)

El conjugado de am bos m iem bros de la se gunda ecuación es

2 z + (3 + 4 i)w = 8 + i (2)

Restando (2) - (1 ) resulta : (8 - i)w = 17 + 6 i <=> w = 2 + i

Sustituyendo w = 2 - i en la segunda ecuación dada obtenem os

2 z + (3 - 4 i)(2 - i) = 8 - i <=> z = 3 + 5i ■

320 Capítulo 7: Números complejos

EJER C IC IO S : Grupo 36

1 . Hállense las so luc iones reales de las siguientes ecuaciones

a) (1 + i)x + (-2 + 5 i)y = - 4 + 17 i 1x + y i

= 1 + i

e) x(1 -2 i )z + y(2 + 3i)2 _ 2 M ¡3 - 2 i

b) (2 - 5¡)x + (1 + 3 i)y - 8 + 9 i = 0

c) (1 + 2 i)x + (3 - 5 i)y = 1 - 3 i

f) 12 [(2x + i) (1 + i) + (x + y) (3 - 2 i) ] = 17 + 6 i

g) x(3 + 4 i) - y (8 - 3 i) = (2 x i - 10y + 4) + (4 y i - 2x + 7 i)

2. En los ejercicios sigu ientes , obtener z , dando el resultado en forma de par

ordenado.

a) z = 24(i24 + i19 + i62)3 - 4(1 - i)4 + 3 ( 2 - 3 i)2

b) z =

c) z =

i + i + i

2 - i 4 + i 10 + i 15

ai + 3 a b +b\ + 2a\

« ■ - ( « * )

« ■ ■ u w na + b i ai -b3. En los ejercicios siguientes, ejecútense las operaciones m encionadas, repre­

sentado los resultados en forma cartesiana

(— )3 '1 + Vc) z = ( 1 - i )6- 1

(1 + i)6 + 1

( # * ! ' ) ■(3 - i<3?

(V3 + i \3 )12

4. Dem ostrar que :

a) V z , t z2 , z 3 e C : z,(z2 + z3) = z, z2 + z, z 3

b) V a , b e R , V z e C : (a + b)z = a z + bz

5. Dem ostrar que si z y w son dos núm eros complejos diferentes , entonces

Re ( _ L _ ) - Re 1-ÜL-) = 1 v z - w / \ z - w /

6. Demostrar que si z , w e C , entonces

a> ( r h ¡ ) * (57«) = ’

b) Re (zw) = Re (z) Re (w) - Im (z) Im (w)

7. S iz , = (2,-1) , z2 = (1 ,3) y z, z3 = 2 z 2 , hallar z3 y z^’

EJERCICIOS . Grupo 36 321

8. Sean z = 2(1 + i) + 3(i - 2) y w = J . . H a lla r: a) Re (w2) , b) Im ( ^ 7)

9. Se a n los núm eros com plejos , z, = 2 - i , z 2 = 2 + i \ 3 , 2 3 = 5 - 4 i \ r3 . S i

z = 3 z, - z22 + z3 , hallar Im (z)

10. S i z = 1 ( 1 - i v 3 ) , hallar: — ---- 12 z + 1 z

11. S i z, = (-1 ,3) , z2 = (-5/3,1) y z, z3 = 3 z2 , hallar z3 1

1 2 . S i 3 * 2 l- = 4 i + 8 , hallar z en la forma de par ordenado.z(2 + i)

13. S i z = 1 (1 - 3¡) , hallar (1 + z )7 en la forma cartesiana.

14. En los ejercicios s igu ien te s , ejecútense las ope rac ione s ind icadas , repre­

sentando z en la forma binómica.

a) z = --------------------------------- c) z = 5 + 3 i1 + i ------------ 1^1— ----- 1 + i +

1 - i -------- 1 ~ ' 1 + i + - ^ 7

1 - ¡ + - # L 1 - 13 -1

b) z = (6 + 2 iV3) (7 + 7 i) ( 4V3 + 1 2 i) d) z = ( \2 + i \ 3 )2 - iV6 + (- 1 + ¡ : f )

15. Q ué relación debe existir entre x e y para que siendo z = x + y i , x e R , y e R ,

se tenga que el cociente tenga parte real nula.

16. La sum a de dos núm eros complejos e s 3 + 2 i. La parte real de uno de ellos es

2. Hallar d ichos núm eros , sab iendo que su cociente e s imaginario puro.

17. D ado s los núm eros : w, = 3 + 2 i , w2 = 1 + 4 i y su s afijos M, y M 2 ; se pide

a) La expresión binóm ica del complejo z = a + b i tal que su s afijos están

a lineados con M, y M 2 , y la sum a w2 + z sea imaginario puro.

b) La expresión binómica del número complejo z 1 = a, + b1 i tal que la resultan­

te de la sum a w, + z, , p ase por el afijo (-3 , 12)

18. S i z, = (x , -y) * 0 e C , z2 = Y z , z 2 = (a,b) ; calcular

a 2 + b2.7n * - 1

19. Dem ostrar que V z e C - { 1 } , V n e Z * : 1 + z + z2 + ............ + zn = = —— y-1

(Sug. S e a S = 1 + z + z2 + ....... + z n , multiplicar z S , luego restar z S - S )

20. Hallar todos los valores posib les de S = 1 + i + i2 + ........... + in , n € 7/ , n par.

322 Capitulo 7: Números complejos

(Sug. S = I i h = 1 - ¡'h = 0 ¡

21. Obtener los siguientes complejos

, luego analizar S para n = 2 k)

100a) z = X

k = 0

100

b) z = i ! i kk= 1

En los ejercicios 22 al 33 , resolver el sistem a de ecuaciones

22. (3 - i)z + (4 + 2i)w = 2 + 6 i

(4 + 2 i)z - (2 + 3 i)w = 5 + 4 i

23. (3 + i)z + 2 w = 3 + 4 i

4 i z + (3 + i)w = -4

24. (3 - i)z - (1 + 3 i)w = 5 + 5 i

(4 + i)z + (5 - 3i)w = 7 + 6 i

25. 3 z 2 + iw 3 = 7 i

z2i + 2 w3 = 0 ( v + 1)2 = - 1

26. (1 - i ) z - w + (2 + i)v = 3 - 4 i

z + (1 - i)w + (1 + i)v = 3 i

(1 - i)z + (2 + i)w - v = -i

27. z w = 10 + 11 i

z + w = 7 - 3i

Re (z) = 3

28. (2 - 3 i)z - (1 + i)w = 4 - 3 i

(3 * i)z + (1 + 2 i)w = 11 + i

29. (3 - i)z + (4 + 2 i)w = 1 + 3 i

(4 + 2 i)z - (2 + 3 i)w = 7

30. (2 + i)z + (2 - i)w = 6 (3 + 2 i)z + (3 - 2 i)w = 8

31. 3 iz + 2 w - i v = 1 - 2 i

-z - 2 v - iw = -62 z - w + v = 6 - i

32. (1 + i)z + iw + v = 1

2 z + w + (2 - i ) v = 1 + 2 i

2 z + (1 - i)w + (1 + 2 i)v = 0

33. z + w + v = 2

iz + 2 w + ( 2 + 3 i ) v = 1 2 + 4i

z - iw + v = 2 i

: 7.5 ) M O DU LO DE UN N U M ER O C O M P LEJO

Dado z = a + b i , el módulo o valor absoluto de z e s la raíz cuadrada no

negativa de la sum a de las partes real e imagir

S e denota por

[ I z | = Va3 + b: ) (5)

Geométricamente , el módulo de un número com ­

plejo representa la magnitud del radio vector r del

afijo correspondiente , al origen.

Por ejemplo , si z- = 4 - 3 i , se sigue de la fórmula (5)

que

I z I = V(4y + (-3)-’ <=* r = V 16 + 9 = 5

fYi k z--

| i

¡iii

S l

0

V.

T

>FIGURA 7.5

Sección 7.5 : Módulo de un número complejo 323

7.5.1 J PR O P IED A D ES DEL MODULO DE UN N U M ERO CO M PLEJO

Para todo z , w e C se cumple las siguientes propiedades

VA.1 : El módulo de todo número complejo e s m ayor o igual que cero

I z I > 0 , I z I = 0 <=> z = z0 = (0 , 0)

VA.2 : El módulo de todo número complejo e s m ayor o igual que su parte real y su

parte im aginaria

|z| > Re (z) y \z \ > Im (z)

Demostración. En efecto

(1) S e a z = a + b i => | z l2 = a 2 + ¿>2

(2) Pe ro , | a l2 = a2 <=> | a l2 < a 2 + í>2

(3) Por el paso (2 ): I a |2 < I z 12 *=> |a| < |z|

(4) Dado que a s R o a < I a I , y por (3): a < I z I

(5) De donde se tiene : | z I > R e (z)

Análogam ente se dem uestra que : I z | > Im (z)

V A .3 : El m ódulo de un complejo e s igual al m ódulo de su conjugado y de su

inverso aditivo

I z I = I z I = I -z I

V A .4 : El producto de cualquier complejo por su conjugado e s igual al cuadrado

del m ódulo

z z = I z 1 2

VA.5 : El módulo de un producto de complejos e s igual al producto de los m ódulos

|zw| = |zI I w I

V A .6 : El módulo de la sum a de dos complejos e s menor o igual que la sum a de

lo s m ódu lo s

Iz + w I < I z l + I w i (Desigualdad triangular).

Demostración. En efecto

(1) I z + w |2 = (z + w)( z + w ) (VA.4)

(2) = ( z + w )(z + w ) (CC.3)

(3) = z z + z w + w z + w w (Prop. Distributiva)

(4) = | z |2 + z w + z w + | w |2 (VA.4y M.2)

(5) = | z l 2 + z w + z w + |w |2 ( z w = z w = zw)

(6) C om o los términos centrales son complejos conjugados , entonces

|z + w |2 = |z|: + 2 R e ( z w ) + | w |2 (CC .6)

(7) < I z 12 + 2 1 z w I + | w 12 (VA.2)

324 Capítulo 7: Números complejos

(8 ) < | z |2 + 2 |z||w| + | w |2 (VA.5)

(9) < | z | 2+ 2 |z||w| + | w |2 (VA.3)

(10) Luego : I z + w 12 < ( I z I + I w I )-' (Propiedad en R)

( 1 1 ) |z + w l < I z I + Iw I

VA .7 : El módulo de un cociente e s igual al cociente de los m ódulos

i z i lz ‘w w

, siempre que w # w 0 = (0 , 0)

Demostración. En efecto : ( 1 ) | ) w | = I z I

(2) Aplicando VA.5 se tiene : |^-| lw l = lz !

(3) Por lo tanto: — = — LV ’ |w| ;w l

| O B S E R V A C IO N . Geométricamente, el módulo o

valor absoluto de un núm ero

complejo significa la distancia entre el origen y el

afijo correspondiente al complejo. Aplicarem os esta

propiedad para hallar la distancia entre d o s pun­

tos.

Se a n P t( x , , y,) y P,(x: , y :) los afijos de los com ple­

jos z. y z, respectivamente (Figura 7.6)

Por definición de módulo , d(P, , P,) = I z I

D ado que z = z, - z, ■=> I z I = I z, - z.FIGURA 7.6

d (P 1 , P 2) = | z , -z , l = I (x, - x,) + (y, - y,) I

d{P , , P 2) = V(x, - x ,)-+ (y, - y ,)2

P or ejem plo , s i z, = 2 + 3 i y z ; = 5 - i , la d istanc ia entre s u s afijos P,(2 , 3) y

P,(5 , - 1 ) e s :

I z, - z,l = d(P , . P¡) = V(2 - 5)! + (3 + 1)! = 5

EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )1

Eje m plo 1 j Simplificar la expresión : E = ( I z + 2 i I + | 2 - i z l ) ( | z - 2 i

Sección 7.5 : Módulo de un número complejo 325

Solución. E = ( | z + 2 i I + | i (-2 i - z) I ) ( I z - 2 i |) ( I z I = I z I )

= (|z + 2 i| + I i I | - z - 2 i | ) ( l z + 2 i|) (CC.5yVA.5)

= (| z + 2i| + | z + 2 ¡ |)( | z + 2 i |) ( I i I = 1 y VA.3)

= (2 1 z + 2 i I ) ( I z + 2 i I )

= 2 l z + 2 i 12 ■

(1)

(2)

Ejem p lo 2 j S i z , w e C , dem ostrar q u e : I z + w |2 + 1 z - w| 2 = 2( I z l 2 + | w|2)

Q ué significado geométrico tiene esta identidad?

Demostración. Apoyándonos en la propiedad VA.4 : I z 12 = z z , se tiene

í z + w |2 = (z + w) (z + w ) = (z + w) ( z + w )

= z z + z w + w z + w w

l z - w l 2 = ( z - w ) ( z - w ) = ( z - w ) ( z - w )

= z z - z w - w z + w w

Luego, sum ando (1) + (2) , obtenem os

|z + w |2 + | z - w |2 = 2( z z + w w ) = 2 ( | z |2 + |w-|:)

El significado geométrico de la identidad e s el del

teorema siguiente : “ La sum a de los cuadrados

de las d iagonales del paralelogramo e s igual a la

suma de los cuadrados de su s lados”.

En efecto , si P y Q son los afijos de z y w respecti­

vamente , entonces

O P = I z | y Ó Q = | w |

Adem ás , R e s el afijo de z + w c=> O R = | z + w | FIGURA 7.7

Q también e s el afijo de z - w <=> P Q = | z - w |

Luego : O R : + P Q : = O Q : + P R 2 + O P 2 + Q R 2

Com o O Q = P R y O P = Q R (Lados opuestos de un paralelogramo)

■=> O R 2 + P Q : = 2 (O P 2 + O Q :) <=> lz + w |2 + | z - w |2 = 2 ( l z |2 + |w|2)

r -0 R

' l > '7

0 | z | Pv J

E jem p lo 3 j S i z = l , r e R , dem ostrar que ! z - ^ i | = ^

Demostración. Efectivam ente: | z - ^ i | = - J - | 4 z - 3 i | (1)

326 Capítulo 6: Planos en el espacio

i ( l ' 2 í r ) | = l i l I 1 - 2 i r 1 (VA.7,VA.5yVA.3)1 + 2 ¡ r I | i + 2ir|

14 z - 3 i I = 1 + 2i = 1 . Por tanto , en (1 ): |z - 1 ¡1 = 1| 1 + 2¡ r| | 4 I 4

Ejemplo 4 J Si w y z son dos núm eros complejos y u = \ w z , dem ostrar que

z + w - u i + I 2 1 w + u I = I w I + I z I

Demostración. S e a E = I z - u I + I + u

«=> E = z + w - 2 V w z I I z + w + 2 V w z = l | ^ - V w i : + i l ^ + V w l 2

= l ( \ z - \ w ) (Vz - \ w ) + l ( \ z + \ w) (\z + \ w ) (VA.4)

= | [ ( \z - n w ) ( \z - n w ) + ( \z + \ w ) ( \z + \w )] (CC.3)

Efectuando las operaciones indicadas obtenem os

, E = 1 1 2 \w Vw + 2 Vz Vz ] = | \w I + | \z | ' t=> E = | w | + | z | ■

Ejemplo 5 ^ Dem ostrar que V z e C: a) I z 12 > 2 I R e (z) I I Im (z) I

b) \2 I z l > I Re (z) | + | Im (z) I

Demostración. En e fecto :

a) (1) S e a z = ( x , y ) , donde x = R e (z) , y = Im (z )

(2) Com o ( I x I - 1 y I )- > 0 , V x , y e R ■=> I x I : + I y I - > 2 I x I I y I

(3) - e=> | z l 3 ¿ 2 1 x l' t y |

(4) c=> | 2 r > 2| Re (z) I I Im (z) I

b) Si ! z ! = \ x ? + y-’ =* I z !' = x : + y : = I x I ' + I y I *

(5) De (3): ■=> | z I ' > 2 I x I I y I <=> 2! z I* > I z I + 2 1 x I I y I

(6) Luego : 2 I z l 2 > ( I x I + I y I) : ■=> V2 I z I > I x I + I y I

(7) Por lo tanto : \2 I z I > I Re (z) I + I Im (z) I

E j em plo 6 j Dados z , w e C , demostrar que : I z - w l > I I z l - I w l l

Sección 7.5 : Módulo de un número complejo 327

En qué condiciones se cumple la igualdad?

Demostración. En e fecto :

(1) I z - w l ' = (z - w) ( z - w ) = (z - w) ( z - w )

(2) = z z - z w - w z + w w = | z | - z w - w z + l w r

(VA.4 y CC .3 )

(VA.4)

(3) = i z r + i w r - ( z w + w z )

(4) = l z | : + |w|*, - 2 R e ( z w ) (CC .6)

(5) Pero por V A .2 : R e ( z ) < | z | ■=> Re ( z w ) < | z wI >=> -2 Re ( z w ) > - 2 1 z w

(6) Luego , en (4): | z - w |¿ > I z T + I w I ' - 2 1 z I I w |

(7) Com o Iw I = Iw I <=> | z - w l ‘ > ( Iz| - 1 w I ) 2 <=> | z - w | > ||zl - 1w11

Veam os ahora en que condiciones se cumple la igualdad.

S e a n : z = {a , b) y w = (c , d) <=* I z - w l = V(a -c): + (b - d)2, 1 z I = Va - + b1, 1 w | = Ve2 + d:

Entonces si : V(a - c): + (b - d) = Va: + b2 + VcJ + d2Elevando al cuadrado y luego simplificando términos se llega a la expresión

{ad-bc)2 = 0 ■=> ad = bc <=> = 4 = kb d

Por lo tanto , la igualdad se cum ple , si y só lo si , las partes reales y las partes

imaginarias de los com plejos son proporcionales. ■

Ejemplo 7 } Un triángulo rectángulo tiene por vértices los afijos de los

complejos z, = 1 + i y z 2 = 5 - i. S i la hipotenusa mide 5

unidades , hallar el complejo z3 cuyo afijo representa al tercer vértice ubicado en el

primer cuadrante.

Solución. Se an A( l , l ), B ( 5 , - 1) y C (x , y) los afijos

de los complejos z ] , z, y z 3 respectiva­

mente. Entonces

A B = B - A = z - z, = <4 , -2) = 2(2 , - 1)

Luego , z, - z | = 2 \ 4 + l = 2 \ 5

Por el teorema de P itágoras :

■; CA11 = i z, - z | = V(5): + ( 2 \ 5 ) : = \5

Un vector unitario en la dirección de A B e s :

u = Á B = C ,_ - l)

z - z .— /|

entonces un vector unitario en la dirección de C A e s : v = - u =- ' ■ -L~\ 5

328 Capítulo 7: Números complejos

Ahora , C A = 11 C A 11 v = V5 (- ^ j = ^ ) = - < 1 , 2>

y si A - C = - (1 , 2) <=> C = <1 , !> + <! ,2) = (2, 3) « z, = 2 + 3i

gjomplo 8 ^ Reso lver la e cu a c ión : | z | - z = 1 + 2 i , z e C

Solución. S e a z = (x , y)

=> \ x 2 + y 2 - (x , y) = ( I , 2) <=> -[ ^x + ' x ~ 'L - y = 2 <=> y = -2

Sustituyendo en la primera ecuación se tiene x = 3/2 z = (3/2 , -2)

{ X * - y * :

2x Y =

Sum ando y luego restando (2) y (3) obtenem os :

2 x : = I z I + « <=> x = ± V |Z!/ ^

2 y- = I z I -a <=> y = ± ^ Z [-—

7.6 ) LA R A IZ C U A D R A D A DE UN N U M ER O C O M P LEJO _______

S e a el complejo : z = a + b \ cuya raíz cuadrada es el complejo : w = \z , tal que , w = x + y i

Entonces , si w : = z <=> (x + y i): = a +b\ (1)

Aplicando m ódulos : I (x + y i)-’ I = I a + b i I <=> | x + y i I ' = 'la2 + b:t=> x* + y- = Va2 + b2 = I z | (2)

x2 - y-’ = a (3)

y = 6 (4)

S e obtiene cuatro pares de valores reales , de los cuales se se leccionan dos de

acuerdo con la condición (4)

¿ ) S i b > 0 , entonces x e y se eligen con el m ism o signo

¿i) S i b < 0 . entonces x e y se eligen con distinto signo.

Ejemplo 1 J Hallar las ra íces cuadradas de los sigu ientes complejos

z = 5 - 1 2 i , z = 8 i , z = -9

S o lu c ió n . 1. S i z = 5 - I 2 i « = > a = 5 , 6 =-12 y I z I = \(5): + (-12)-' = 13

Sección 7.6 : La raíz cuadrada de un número complejo 329

x = ± V ^ = ± 3 , y = ± = ± 2

• Dado que 6 = - l 2 < 0 , x e y s e eligen con distinto signo , esto es

x = 3 , y = -2 ó x = -3 , y = 2

Luego si w = \ 5 - 12 i ■=> wo = 3 - 2 i , w ( = -3 + 2 i (Note que w, = -w(()

2. z = 8 i c=> (i=0 , 6 = 8 y I z I = 8

Com o a = 0 r = > x = y = ± = ± '\ / ^ = ± 2

b = 2 > 0 , x e y se eligen con el m ism o signo. Entonces las so luc iones son

(2 , 2) y (-2 , -2). Por lo que si w = \ 8 i = > w ii = 2 + 2 i ó w, = -2 - 2 i

3. z = -9 ■=> a = -9 , 6 = 0 y I z I = 9

Entonces : x = ± = 0 , y = ± -\j - * - = ± 3

C om o b = 0 , en este ca so , los cuatro pares se reducen a dos : (0 , 3) y (0 , -3)

Luego , si w = \^9 ■=> w(| = 3 i ó w, = - 3 i ■

Ejemplo 2 j Determinar algebraicamente las raíces cuadras de z = 8 + 4 \5 i

Solución. S i z= a + 6 i <=> a = 8 , b = 4 \ 5 y I z I = V(8): + (4\5)*’ = 12

S i w = V2 = x + y i ■=> x = ± -yj12 * ** = ± \'To , y = ± r = - ^2

Com o b > 0 , x e y deben tener el m ism o signo. Luego , si w = x + y i , entonces

w0 = VTo + i \2 , w, = -VTo - i V2 son las raíces del complejo dado. ■

Ejemplo 3 j Resolver la ecuación en C : x2 + (-2 - 2 i)x = 3 - 6 i

Solución, x 2 - 2( 1 + i)x - (3 - 61) = 0 <=> x = (1 + i) ± V(l + i): + (3 - 6 i)

= (l + i ) ± V 3 - 4 i (1)

Se a : =c + d\ c = ± V , d = ± V i i ^ l í L

S i a = 3 , b = -4 y z = \(3 ): + (-4)-’ = 5<=> c = ± 2 y t/ = ± l

Com o b < 0 , entonces c y d se eligen de distinto signo , esto e s ,

330 Capítulo 7: Números complejas

V lT T T = ± (2 - i)

Sustituyendo en (1) se tiene : x = (1 + i) ± (2 - i) <=> x, = 3 ó x, = - l + 2 i

.-. C . S = {(3 , 0), (-1 , 2)}

EJER C IC IO S : Grupo 37

1. Si w = | ± i y z = , hallar I w + z I

2 Siz= (i + í)(V3-í)(-3+_3í) |z|(1 -i)(3i)(1 -W3)

3. Calcular z2 , sabiendo que z = - 1 -1 + i I + i \2

4. Se a n z = 2(1 - i) + 3(i - 2) y w = — -— , hallar I w + z I1 + 2 1

5. Se a n z = -2 + 4 i y w = 1 - i , hállese el valor de I w + 2 + 1 II w - z + i I

6. Hallar w y z tales que ,w + z = 4 + i , w z = 5 + 5 i , — = (1 - i) , I z 12 = 10.

7. Resolver la ecuación : ¡ z I + z = 2 + i , z e C

8. D ado s z, = 4 + 6 i y z2 = (1 - i)z, , sabiendo que z , , z2 y z3 son vértices de un

triángulo equilátero , hallar Z3.

9. D ado s z, = 8 + 5 i y z2 = (5 , 0 ), calcular el complejo z = (3 , y) que forma con los

anteriores un triángulo isó sce les , de vértice de lados iguales , el z,.

10. Determ inar el com plejo cuyo afijo equid ista de lo s afijos de z, = (-2 , 0) ,

z 2 = (3 ,3 ) y Zg = (0 , -2)

11. S i z e C , resolver la ecuación : i z + i I z - z + 1 = 4 - 2 i , R e (z) > 0

12. Un triángulo rectángulo tiene por vértices los afijos de los complejos z, = 1 + 3i

y Zj = 5 - 7 i . S i la hipotenusa mide \/T45 unidades , hallar el complejo z3 cuyo

afijo representa al tercer vértice y que unido al afijo de z2 forma la hipotenusa

de dicho triángulo.

13. D ado s w t y w2 tales que I w r| = I w2l = 1 , w 2 = i w , , dem ostrar que V e C , se

cumple : z = R e (| - ) w, + Re U - ) w21 2

14. S i w y z e C , dem ostrar que : I z - w 12 < (1 + I z |2) (1 + 1 w |2)

EJERCICIOS ite las Secciones 7.5 y 7.6 331

15. S i w y z g C , dem ostrar que

I z - w I 4 + lz + w l 4 + 2 lz 2 - w2|2 = 4 í(z z )2 + (w w )2 + 2 z w z w ]

16. D ado s z, , z2 , w, , w2 e C , demostrar que

I z,w2 - z2w, |2 = ( I z, |2 + I z2l 2) ( I w, 12 + | w2 12) - 1 z,w, + z2w2l 2

17. S i w , z e C , dem ostrar que : I 1 - w z 12 - I w - z 12 = (1 - 1 w 12) (1 - 1 z 12)

18. Sean z , , z2 .........zne C, tales que, |z,| = |z2l = ____ = l z j = 1 . Dem ostrar que

z t + z2 + .......+ ZJ = ± + ± + .......+ 1Z , Z2 Zn

19. Se a z e C , si se cumple , (z + y ) e R , dem ostrar que : lm (z) = 0 ó I z I = 1

20. Se a n w , z , e C y sean v2 = w z . Dem ostrar que

|w| + I z l =| v| + | w ± z + v|

21. Demostrar que si para i = 1 , 2 ......n ,ca d a z e s un número complejo, entonces

lz, + z2 + .......+ z j < |z,| + l z 2l + ........+ !znl

22. Sab iendo que z y w son núm eros complejos tales que I z I = I w I = 1 , demostrar

que y T w ’ * *w ) ’ e s un ima9 inario Puro-

23. Se a n z, , z 2 e C :

a) S i w = . dem ostrar que : w w = ' Z’ +1 ‘ Z1 Z2 1 + l z , | 2 |z2|2 - (z ,z2 + z2 z,)

b) En el ca so a ) : si I z 11 < 1 , demostrar que I w I < 1

24. Hallar z | tz2e C tales que i z, I = I z 21 = I z, + z21 = 1 , z,z2 e s un imaginario puro.

25. Sean z, y z2 dos núm eros complejos tales que I z, I = 2 , I z2 1 = \3 y z,z2 = 2 i

. Hallar el valor de I z, + i z2 1.

26. Determinar algebraicamente las raíces cuadradas de los siguientes complejos

a ) z = - 1 5 - 8 ¡ d ) z = -8 + 6¡ g ) z = -2\/3 + 2 i

b ) z = 3 - 4 i e ) z = 5 - 1 2 i h ) z = 7 + 2 4 i

c ) z = - 1 1 + 6 0 i f) z = - 8 - 6 i i ) z = - 1 + 4 \ 3 i

27. Resolver las siguientes ecuaciones en C

a) z2 - (2 + i)z + (3 + i) = 0 c) z 2 - (3 - 2 i)z + (5 - 5 i) = 0

b) z2 - (2 + i)z + (-1 + 7 i) = 0 d) (2 + i)z2 - (5 - i)z + (2 - 2 i) = 0

28. Resolver en C : I z + 2 i I - I i z - 2 I = 0

332 Capítulo 7: Números complejos

7 . 7 ) L U G A R E S G E O M E T R IC O S EN C

El término lugar geométrico se aplica normalmente al conjunto de todos

los puntos que tienen una característica geométrica común. A s í por ejemplo, son

lugares geom étricos : la recta , la circunferencia , la parábola , la elipse , etc.

Haciendo u so de la notación de módulo , a continuación describ im os analítica y

geométricamente a lgunos de estos lugares geométricos.

7 .7 .l) LA L IN EA RECTA

E je m p lo 1 j Representar en el plano complejo las siguientes relaciones

a) Re (z) = 3 c) R e (z) + lm (z) = 1

b) lm (z) = 2 d) Re (z) - lm (z) = z0

Solución.a) Re (z) = 3 , e s el conjunto de todos los pares ordenados para los cuales x = 3 ,

e s d e c ir , e s el lugar geométrico de los afijos de la forma z = (3 , y). La ecuación

x = 3 corresponde a la recta paralela al eje imaginario que pasa por el punto de

ab sc isa 3 (Figura 7.9)

lm (z) = 2 , e s el lugar geométrico de todos los afijos para los cuales y = 2 , es

d e c ir , LG = {z I z = (x , 2)}. S u gráfica corresponde a la recta paralela al eje real

que pasa por el punto de ordenada 2 (Figura 7.10)

b)

c)

....Imi

Z. Z;k

z. z.

r •J

? ^Re

JFIGURA 7.10

Re (z) + lm (z) = I , e s el lugar geométrico de todos los puntos tales que

(x , 0) + (0 , y) = l <=> x( 1 ,0) + y ( 0 , l ) = ( l , 0) «=> S ': x + y = I

E s una recta que pasa por los puntos (1 , 0) y (0 , 1). (Figura 7.11)

d) Re (z) - lm (z) = z0 , está representado en el plano complejo por todos los puntos

tales que

Sección 7.7 : Lugares geométricos en C 333

( x , 0 ) - ( 0 . y ) = (0 ,0 ) <=> x(l , 0 ) - y ( 0 , 1) = (0 ,0 ) «=> i 2 ? : x - y = 0

E s una recta que pasa por el origen de coordenadas y b iseca al primer y tercer

cuadrantes (Figura 7.12)

ejem plo 2 J Determinar la ecuación de la recta cuyo s puntos equidistan

de dos puntos dados.

Solución. S e a n P , (x , , y,) y P , ( x , , y,) los afijos

de los complejos z, y z, respectiva­

mente , y se a z = P (x , y) un punto del lugar

geométrico. En cualquier posición de P se debe

cumplir que

rf(P,,P) = </(P: ,P) => | z - z, I = I z - z J

12 - ( x , , y,) I = I z - ( x , , y,)

Esta ecuación nos describe el lugar geométrico

de todos los afijos de z que equidistan de los

afijos de z, y z : , y que e s la mediatriz del se gm en ­

to que une P, y P,.

Por ejemplo, si z, = (-1, 3) y z, = (3 ,5 ) => lz - (-1 , 3) I = lz - (3 , 5) I

=> I (x + 1 , y - 3) I = I (x - 3 , y - 5) I

<=> \'(x + l ) 2 + (y - 3)2 = V(x - 3): + (y - 5)2

de donde obtenem os la ecuación de la mediatriz 2? : 2x + y - 6 = 0 ■

FIGURA 7.13

7.7.2) LA C IR C U N F E R E N C IA

La circunferencia e s el lugar geométrico de todos los puntos que equidis­

tan de un punto fijo llamado centro.

Se a n Q (x0 , y0) el afijo del complejo w y P(x , y) el afijo generatriz del complejo z. Por

definición

d( Q ,P ) = r t=> | z - w| = r

Entonces el conjunto

A = { z l l z - w | = r , r > 0 , wfijo}

no s describe el lugar geom étrico de todos los

afijos de z a una distancia r del punto fijo w. E s

d e c ir . A e s una circunferencia de centro w y radio

r. S i w = z0 = ( 0 , 0 ) , entonces la ecuación com ple­

ja I z - w I = r representa una circunferencia con

centro en el origen y radio r. En efecto

I (x , y) - (0 , 0) I = r <=> V(x - O)2 + (y - O)2 = r => x 2 + y 2 = r:

334______________________________________________ Capítulo 7: Números complejos

Ejemplo 3 J S e a A = L.G. de los afijos de z , tales que :| z -5 + 7i| = | iz - 1 +3i l

y sea B = L.G. de los afijos de z , tales que : I z + 1 + 2 i I = 5 .

a) G ra f ic a rA U B , b) Hallar A f| B.

Solución. Por la propiedad V A .3 :

=> I z - (5 - 7 i) | = | i (z + 3 + i) I

=> I z - (5 + 7 i) | = I i | | z - (-3 - i) I

<=> I z - (5 , 7) | = 12 - (-3 , -1) I

La ecuación compleja representa la mediatriz del

segm ento que une los puntos (5 , 7) y (-3 , -1)

<=> V(x - 5)2 + (y - 7)2 = V(x + 3)- + (y + l)2

de donde obtenem os la mediatriz S- : x + y = 4

En B : | z - ( - l ,-2)| = 5

Circunferencia de centro Q (-l , -2) y radio r = 5

=> V(x + 1): + (y + 2)2 = 5 <=> re : (x + l)2 + (y + 2)-’ = 25

La gráfica de A U B se muestra en la Figura 7.15

b) De A : y = 4 - x , sustituyendo en B : (x + 1 )2 + (4 - x + 2)2 = 25

de d o n d e : x 2- 5 x + 6 = 0 o x , = 3 ó x = 2 -)« * * - . ó y = 2 } - - - A n B M ( 3 . l , . ( 2 . 2 ) } ■

7.7.3) LA PA RA BO LA

La parábola e s el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un

Sección 7 .7: Lugares geométricos en C 335

punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Caso 1. El eje de la parábola coincide o e s paralelo con el eje real.

Se a n : P(x , y) el afijo genérico del complejo

z ; el foco F(p , 0), afijo del complejo z, y ff : x + p = 0 ,

la directriz; donde p e s la distancia del vértice al foco

de la parábola.

Por definición : d{P , F) =í/(P, D)

<=> | z - z, I = I P E + É D | = I Re (z) + p I

=> I z - (p , 0) I = I x + p I

E s la ecuación compleja de la parábola con vértice

en el origen y eje de simetría coincidente con el eje

real.

En efecto , v(x - p): + y 2 = I x + p I

Elevando al cuadrado : (x - p): + y 2 = (x + p):

de donde obtenem os : y 2 = 4 p x

Si el vértice coincide con el punto V(h , k) la ecuación toma la forma

(y - k)2 = 4p(x - h). Cuando p > 0 , la curva se abre hacia la derecha y cuando p < 0 ,

hacia la izquierda.

Caso 2. El eje de la parábola es coincidente o paralelo al eje imaginario.

C om o en el ca so 1 tenem os :

z = P(x , y) , z, = F ( 0 , p) , &: y + p = 0

Luego , si t/(P , F) = </(P , D) «=> | z - z, I = I P E + E D í

«=> |z - (0 , p) I = I Im (z) + p I

<=> I z - (0 , p) I = I y + p I

E s la ecuación compleja de la parábola con vértice

en el origen y eje coincidente con el eje imaginario.

En efecto : Vx2 + (y - p): = I y + p 1

«=> x 2 + (y - p)2 = (y + p)2 x2 = 4 p y

Si el vértice coincide con el punto V(h , k ) , la ecuación toma la forma

(x - h)2 = 4p (y - k)

cuando p > 0 , la curva se abre hacia arriba y cuando p < 0 , hacia abajo.

E je m p lo 4 J Graficar el siguiente lugar geométrico

|iz + 3 - 2 i l = I Re (z) - 4 1

Solución. I i (z - 2 - 3 i ) I = I x - 4 1 <=> I i I I z - (2 , 3) I = I x - 4 I

=> | z - (2 , 3) I = I x - 4 1

336 Capítulo 7: Números complejos

Foco de la parábola , F(2 , 3); directriz, 7 ' : x - 4 = 0

Forma analítica : V(x - 2): + (y - 3)2 = I x - 4 1

<=> (x - 2)2 + (y - 3)2 = (x - 4 )2

=> (y - 3): = - 4(x - 3)

El lugar geométrico e s una parábola con vértice en V(3 , 3)

Com o 4 p = -4 <=> p = - 1 < 0

La curva se abre hacia la izquierda , tal com o se muestra

en la Figura 7.18

7.7.4) LA E L IP SE

La elipse e s el lugar geométrico de los puntos cuya sum a de las distan­

cias a do s puntos fijos e s una constante 2 a En una elipse se tiene los siguientes elementos

Eje m a y o r : A, A, = 2aEje m e n o r : 6 ,6 , = 2bDistancia fo c a l: F ,F2 = 2c , donde F, y F, son los

focos de la elipse ; de m odo que se cumple la

relación

a2 = b1 + c2

Q e s el centro de la elipse ■=> Q = 1 (F, + F,)

Determ inación de la ecuación compleja :

FIGURA 7 .19Se an F^x, , y,) y F , (x , , yO los afijos de los com ­

plejos z, y z, respectivamente.

Por definición : </(P , F,) + d(P , F,) = 2a <=> |z - z, I + 1 z - z,| = 2 a

=> 12 - ( x , , y,) I + 1 z - ( x , , y,) I = 2 aes la ecuación compleja de la elipse.

E je m p lo 5 ) Graficar el lugar geométrico : ! z - 1 - 3 i I + z + 2 - 2 i I = 4

Solución, z - ( l + 3 i) i + I z - (-2 + 2 i) I = 4

c=> | z - (I ,3)| + | z - (-2,2)1 =4

Luego , 2a = 4 => a = 2 ; F (I , 3) y F,(-2 , 2)

Sección 7.7 : Lugares geométricos en C 337

¿ ( F , , F ¡) = l F , - F , l = 1(3,1)1

=5 2 c = \'9 + I = \ T 0 =» c = \T0/2 •

Como c < a , el lugar geométrico e s una elipse con cen ­

tro en Q = 1 (F, + F,) = (-1/2,5/2), cuya gráfica se muestra

en la Figura 7.20

FIGURA 7.20

7.7.5) LA H IPE R B O LA ______________________________________

La hipérbola e s el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de las

distancias a d o s puntos fijos, llam ados focos , e s constante e igual a 2 a.

Una hipérbola tiene los sigu ientes elementos

Focos : F ,(x ,, y,) y F,(x2 , y,)

Eje transverso : A,A, = 2aEje conjugado : 6 ,8 , = 2bDistancia focal : F,F. = 2 cDado que c> a ■=> c2 = a 2+b2

Centro de la hipérbola : Q = -5- (F, + F,)

Determinación de su ecuación compleja.

Sea P(x , y) el afijo genérico del complejo z , y sean

F, y F, los afijos de los complejos z, y z, respectiva­

mente.

Por definición : I d(P , F,) - d{P , F,) I = 2a

«=> | l z - z , l - l z - z 2ll = 2a « 11z - (x, ,y,) l - l z - ( x , , y 2)ll = 2a

es la ecuación compleja de una hipérbola.

E jem p lo 6 J Graficar el lugar geométrico de los afijos z e € , tales que

( l l i z - 3 + 4i| - | z - 2 + 3 i l l - 3 ) ( | z - 1 + 3 i | - lz + 2- 2l | ) = 0

Solución. S e a A el L.G. de los afijos de z tales que ||iz- 3 + 4 i l - l z - 2 + 3i||-3 = 0

6 el L.G. de los afijos de z tales que |z - l + 3 i ! - I z + 2 - 2 i I = 0

E n A : ||i(z + 3 i + 4)l - I z - (2 - 3 i ) 11 = 3

338 Capítulo 7: Números complejos

= * N i 11 z - (-4 - 3 i) I - lz - (2 + 3 0 II = 3

=> l l z - (-4, -3)1 - lz - (2 , 3)11 = 3

de donde : a = 3/2 , F ,(2 , 3) y F ,(-4 , -3)

¿(F..F,) = I F, - F, | = |(6,6)1 2c = v'62 + 6: = 6 \2 <=$ c = 3 \2

C om o c > a , el lugar geométrico e s una hipérbola

con centro en Q = (F, + F,) = (-1 , 0)

En B : l z - ( l ,-3) I = l z - ( - 2 , 2 ) |

E s la ecuación compleja de la mediatriz del s e g ­

mento que une a P,(l , -3) y P .(-2 , 2)

=> V(x - l) : + (y + 3): = \(x + 2); + (y - 2)2 <=> c£ : 3x - 5y - 1 = 0 ■

! O B S E R V A C IO N . Tener m ucho cuidado al identificar y graficar lugares geométri­

co s cuyas ecuaciones tienen la forma I z - z, I - I z - z, I = 2 a ,

pues éstas representan solam ente una de las d o s ram as de la hipérbola.

Ejemplo 7 j Identificar y construir la gráfica del L .G . : I z + 3 I - I z - 3 1 = 4

Solución. Podem os e scrib ir: I z - (-3 ,0) I - I z - (3 , 0) I = 4

Aparéntemente se trata de una hipérbola con focos en F,(3 ,0) y F,(-3,0),

y con centro Q (0 , 0). Adem ás :2a = 4 <=> a = 2 ; 2c = 6 <=> c = 3 => b2 = c2 - a 2 = 5

Ecuación de la hipérbola : - t t = I => —a- b~ 4

Este m ism o resultado lo obtenem os partiendo de la

ecuación compleja dada.

|z + 3| = 4 - | z - 3 l t=> V(x + 3): + y 2 = 4 + \(x - 3): + y :

Elevando al cuadrado obtenem os :

2 V(x - 3): + y-’ = 3x - 4

Dado que , \a > 0 , V a > 0 , entonces

(2 V(x - 3): + y : )2 = (3x - 4)-' a 3x - 4 > 0

de donde se tiene : 5 x : - 4 y 2 = 20 , para x > 4/3

Por lo que la ecuación del lugar geométrico repre­

senta so lam ente la ram a derecha de la hipérbola

(Figura 7.23)

r

x lm i

\\

\

\\| J

(N! ° i

//

//

/

V

' i F, "R e

J

FIGURA 7.23

Sección 7.7 : Lugares geométricos en C 339

| Nota. Asociadas a las gráficas de los lugares geométricos de ecuaciones complejas estu­diadas . están las gráficas de relaciones que involucran desigualdades. Sus repre­

sentaciones en el plano complejo se hacen en idéntica forma tal como se hizo para las gráficas

de relaciones en R 2.

Ejemplo 8 J Representar en el plano complejo los conjuntos de puntos

que satisfacen a las siguientes relaciones

(1) R, = { z I -2 < lm (z) < 3} (3) R 3 = { z I 2 < I z - 1 I < 4 }

(2) R 2 = { z 12 Re (z) - 3 lm (z) < 6} (4) R 4 = { z 11 z + 1 | < 4 - 1 z - 1 I }

Solución.

(1) La gráfica de R, e s la intersección de las gráficas de : lm (z) > - 2 y lm (z) < 3 ;

e s d e c ir , R, e s el conjunto de puntos para los cuales (y > -2) a (y < 3) , que

corresponde al sem iplano que contiene al origen cuyos bordes inferior y supe ­

rior son las rectas y = -2 , y = 3. No se incluye la frontera y = 3 (Figura 7.24).

(2) La gráfica de R, e s el conjunto de puntos z = (x , y ) , tales que

2x - 3y < 6 <=> y > x - 2

E s decir , e s el conjunto de puntos situados en el sem iplano superior de la

recta % : 2x - 3y = 6 , incluida la frontera SU. (Figura 7.25)

f

lirij"\

k lm (z) = 3

R,

ücJ ^ R c

v

lm (z) ~ -2j

(3) La s gráficas de I z - l l = 2 y l z - l | = 4 son dos circunferencias concéntricas de

radios 2 y 4 y centro com ún en Q (1 , 0).

En efecto , si lz - l| = 2 «=> | ( x - l , y ) l = 2 <=> : (x -1 )2 + y- = 4

|z - 1 1 = 4 <=> I (x - I , y) I = 4 <=> (x - 1)2 + y 2= 16 ,

Por lo tanto , la gráfica de R. e s el anillo circular comprendido entre las circun­

ferencias rf \ y ,, incluyendo los bordes (Figura 7.26)

(4) S i I z - (-1 ,0)1 + | z - (1 ,0)1 < 4 c=> 2 a = 4 => a = 2 ; F,(-l , 0) y F,(l , 0)

d {F, , F,) | = | F, - F, I = | (2 , 0) I => 2 c = 2 => c = 1

340 Capítulo 7: Números complejos

C om o a > c , la gráfica de I z + I I + I z - 1 1 = 4 e s una elipse cuyo centro está en

Q = 7 (F, + F,) = (0 , 0). Adem ás ,a 2 = b: + c2 <=> b: = 4 - 1 = 3

Ecuación de la elipse : — + = l <=> é : — + — = 1a* b- 4 3

Por lo que la gráfica de R ( e s el conjunto de puntos que están en el interior de

la elipse f , incluyendo la frontera (Figura 7.27)

M IS C E L A N E A DE E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S ^

Ejemplo 1 ^ Determinar los conjuntos de puntos del plano complejo que

verifican (z + z ') e RSolución. S e a z = (x , y ) , tal q u e : z * z() = (0 ,0 ) y I z I * 0 <=> x2 + y 2 * 0

Luego ,z + z'' = z + - = x + y i + - X- 'N \- z x* + y-

\ x- + y-/ \ x + y -/

S i (z + z 1) e R <=> Im (z + z 1) = 0 , esto es : y - — T = 0x- + y*

de donde obtenem os : y (x : + y- - 1) = 0 a x : + y 2 * 0

<=> (y = 0 ó x 2 + y : = 1) a (x2 + y 2 * 0)

<=> (y = 0 a x2 + y : * 0) v (x2 + y 2 = 1 a x2 + y 2 * 0)

La gráfica de (z + z 1) e R es la unión de la gráfica de la

circunferencia de radio r = I y centro z0 = (0 , 0 ), con la

gráfica del eje real y = 0 , exceptuando el origen. ■ FIGURA 7.28

Sección 7 .7: Lugares geométricos en C 341

E jem p lo 2 j Dem ostrar que si c e s una constante real positiva , entonces

los afijos de z e C , tales que | | = c representa una cir­

cunferencia si c * 1 , y una recta si c = 1.

Demostración. En efecto , sea z = (x , y)

S i | 2 ± I| = c «=> | z + l | 2 = c2| z - l l :I z - 1 I

=> (x + l)2 + y 2 = c2 [(x - l)2 + y 2] <=> (c2 - l)x 2 + (c2 - l)y 2 - 2(c2 + l)x + c2 - 1 = 0 (1)

Haciendo a = c2 - 1 , se tiene : a x 2 + a y 2-2(a + 2 )x + a = 02 2

Completando el cuadrado para x resulta : ( x - a~* ~ j + y 2= * 1

Tenemos una circunferencia de centro ~ , 0 j y radio r = V ( ~ q ~) ~ * s ' a * 0

Luego , c2 * 1 c * 1

En (1), si c = 1 => -2( 1 + 1 )x = 0 ■=> x = 0 , e s una recta. ■

E je m p lo 3 ) Ana lizar que lugar geom étrico representa los afijos de los

z e d a z z + c z + c z + b = 0 , donde a ,b e R y c e C

Solución. S e a z = x + y i <=> I z 12 = z z = x 2 + y 2; x = Re (z) = ^ (z + z)

Luego , si a I z I * + c(z + z ) + b = 0 <=> a(x: + y 2) + 2c x + b = 0

«x’ + 2(|)x + y>=.| « (* + £):+r-=£i^

El lugar geométrico e s una circunferencia de centro (- ^ , o) y radio r = ^c‘

e je m p lo 4 ) Hallar el lugar geométrico que describe el afijo z cuando

z = 1 + i + — -— , re R1 + n

Solución, z = l + i + -— 1 ~ \ ‘— - ■=> z = fl + — 1 — , I - - r --)(1 + ri) (1 - ri) V 1 + r- 1 + r 2/

1 7 - xLuego , si x = 1 + -— 7 <=> r- = - — -

a I + r2 x - 1

y = | - T T P = | - r ( i T 7 ) y = i - r ( x - i )

342 Capítulo 7: Números complejos

y -1 = - r(x -1 ) => (y - 1)2 = r-’(x - 1)1 = ( I l í . ) ( x - I ) >

de donde obtenem os : (y - 1 )2 = -(x2 - 3x + 2) *=> (y - l ) 2 = - (x - 3/2)-’ + 1/4

(x - 3/2)2 + (y - 1)2 = 1/4

El lugar geométrico e s una circunferencia de centro (3/2 , 1) y radio r = 1/2 ■

Ejemplo 5 J Esboza r la gráfica de la relación

R = { z I l lz + 4 + 3i| - I i z - 2 i + 5l| < 8 }

Solución. ||z + 4 + 3i| - | iz - 2 i + 5 11 =1 z + 4 + 3 il - 1i ( z - 2 - 5 i11

= || z - (-4, -3 ) I - I z - (2, 5 ) 11 = 8

de donde : 2a = 8 <=> a = 4 , F,(2 , 5), F.(-4 , -3)

rf( F , , F2) = | F I - F j = 1(6,8)1

c=> 2c = V36 + 64 = 10 = * c = 5

C om o c > a , el lugar geométrico e s una hipérbola

con centro en Q = i ( F , + F,) = (-1 , 1)

Gráfica del conjunto R

S i l l z -(-4 , -3)1 - I z - (2 , 5) 11 < 8

<=> V(x + 4)2 + (y + 3)2 - V(x - 2)2 + (y - 5)2 < 8

Veam os si (0 , 0) e R

V42 + 32 - V(-2)2 + (-5)2 < 8

t=> V25 - V29 < 8 , se cumple.

Luego , la gráfica de R e s el conjunto de puntos ub icados entre dos ram as de la

hipérbola , incluidos los bordes (Figura 7.29) ■

Ejemplo 6 ) D ado s : R, = { z II z + 1 - 2 i I + I i z + 2 - 3 i I < 6} y

R 2 = { z l l z + 2 - i l < l i z + 5 - 4 i| } ; construirla gráfica de R, H R 2

Solución. (1) Construcción de las gráficas de los lugares geométricos

A : | z + 1 - 2 i I + |iz + 2 -3 i| = 6 y B : I z + 2 - i I = I iz + 5 * 4 i I

(2) En A : | z + 1 -2 i| + | i ( z - 3 - 2 i ) | = 6 => |z - (-1 , 2) I + |z - (3 , 2) I = 6

de donde se tiene : 2a = 6 *=> a = 3 , F,(3 , 2), F,(-l , 2)

= * 2 c = á ( F , , F,) = I F, - F J = | (4 , 0) | = 4 ■=> c = 2

Como c < a , A es una elipse con centro en Q = \ (F( + F,) = (1 ,2)

Sección 7.7 : Lugares geométricos en C 343

Adem ás : c2 = a 2 - b2 <=> 4 = 9 -b2 <=> b = \ 5(3) En B : I z + 2 - i I = I i(z - 4 - 5 i) I => I z - (-2 ..-1)1 = I z - (4 . 5) I

Luego , B es la mediatriz del segm ento que une los puntos (-2 , -1) y (4 , 5).

En e fecto, si I (x + 2), (y + 1) I = I (x - 4 ), (y - 5) I

=> V(x + 2)2 + (y + I )2 = V(x - 4)2 + (y - 5)2 <=> & : x + y = 3

(4) Gráfica de R,

V(x + I): + (y - 2)2 + \ (x - 3)2 + (y - 2)2 < 6

Veam os si (0 , 0) e R, <=}• \ 'l + 4 + V9 + 4 < 6

2.24+ 3.6 < 6

S e cumple , luego R, e s la totalidad de pun­tos en el interior de la elipse , incluyendo el borde.

(5) Gráfica d e R . : x + y < 3 >=> y < 3 - x R, e s el conjunto de puntos ub icados en el

sem iplano inferior de la recta f£ , incluyendo el borde.

(6) La gráfica de R, fl R, se muestra en la Figura 7.30.

FIGURA 7.30

Ejemplo 7 ^ Sean , R, = {z I li z + 3 i + 2 1 + Iz - 5 - 6 i I < 12 yR2 = {z 11 i z - i + 4 I > 3} Hallar el área de R, fl R 3.

Solución. (1) Construcción de las gráficas de los conjuntos

A : I iz+ 3 i+ 2 1 + I z - 5 - 6 i | = 12 y B:| i z - i + 4 | = 3

(2) En A : | i(z + 3 - 2 i) | + | z - 5 - 6 i | = 12 «=> I z - (-3 , 2) | + I z - (5 , 6) | =12

de donde se tiene : 2 a = 12 t=> a = 6 , F,(5 , 6), F,(-3 , 2)

2c = d{F , , F,) = I F, - F, I = I (8 , 4) | = V64 + 16 = 4 ^ => z = 2^5

Como c < a , A es una elipse con centro en Q = 4- (F, + F,) = (1 , 4)

c2~ a 2-b2 <=> 20 = 36 - b: => ¿> = 4

(3) En B : I i(z - 1 - 4 i) I =3 ■=> I z - (1 , 4) | =3 Luego B es una circunferencia de centro

Q(1 ,4) y radio r = 3

(4) Gráfica de R, : I z - (-3 . 2) I + I z - (5 , 6) I <12

=> \ ( x + 3)2 + (y - 2)2 + \ (x - 5)2 + (y - 6)2 < 12

E s (0 , 0) e R, ? «=» W + 4 + V25 + 36 < 12

=> V I3 + \ 6 I < 12 , se cum pleL.FIGURA 7.31

344 Capitulo 7: Números compleja

Luego , R, e s el conjunto de puntos en el interior de la elipse , incluyendo el

borde.

(5) Gráfica de R : I z - ( I , 4) | > 3 (x - 1 )3 + (y - 4)2 > 9

E s (0 , 0) e R, c=> ( |)- + (4): > 9 , se cumple

En tonce s , la gráfica de R e s la totalidad de puntos ub icados en la parte

exterior a la circunferencia , incluyendo el borde. Por lo tanto :

a(R, fl R,) = a(elipse) - a(círculo) = tüíz¿> - 7C r - = 15 7t u2 ■

E JE R C IC IO S : Grupo 38

En los ejercicios 1 al 12 , identificar el lugar geométrico de los puntos que

representan los núm eros complejos z = x + y i , tales que

1. I z l + I m ( z ) = 0 5. | z - 2 + ¡| = 2 9. I z | = l m ( z ) + 1

2. I z I - Re (z) = 2 6. ! z - z, I = I z - z 2 1 10. I z + 1 - 2 i I + ¡ z - 1 - 2 i I = 8

3. z + z = I z 12 7. I z - i I = l z + 2 I 11. 2 z z + (2 + i)z + (2 - i)z = 2

4. ! z - 2 | = 2 1 z + 1 | 8. Im (z2) = 4 12. I z + i I + | z - i I = 4

13. a) S i w = 1 + z 1 - z

y z = x + y i , hallar Re (w) e lm (w)

b) Graficar el siguiente conjunto : A = -|z e CI Re ( = ij-14. Dem ostrar que la ecuación de la mediatriz del segm ento de recta que determi­

nan z, y z2 está dada por

(z2 -z ,)z + (z2 -z,)z = I z 2 I M z , I 2

Aplicación : Verificar la fórmula para z, = (-3 . 4) y z2 = (1 , -2)

En los ejercicios 15 al 26 , hallar el lugar geométrico de los afijos que repre­

sentan a los núm eros complejos z = x + y i , que satisfacen a las desigua lda­

d es dadas.

15. lz - i| < 1 19. Iz - 2 | -| z + 2| > 3 23. 11z - 4i| - 1z + 2 i11 > 4

16. | z - i - 1 I < 1 20. 12 z| > 11 + z 2 1 24. i ¡ z - 5 - i | - | iz + 3 i + 5 11 > 8

17. |z - 2 1 + lz + 4| < 10 21. 1 < | z + 2 | < 2 25. | z + 1 - 5 i | > | iz + 3 - i |

18. 0 < Re (iz) < 1 22. I z I > 1 - Re (z) 26. 1 < R e ( 1 ) + lm ( 1 ) < i

En los ejercicios 27 al 30 se dan los conjuntos R, y R 2 , construir las gráficas

Sección 7 .8: Forma polar de un número complejo 345

de R, fl R 2-

27 . R, = { z| I lm (z) - 5 1 > I z + 1 - 3 i I } ; R 2 = {z 11 z - 3 + 2i| < I iz + 3 i - 4 1}

28 . R, = {z 11 |z + 4 i - 3 1 - lz + 5 + 2 i11 < 8 } ; R y = {z 11 i z - 1 + i I < 5 }

29 . R, = { z | | z - 1 - 2 i | + | iz + 6 - 3 i | > 6 } ; R 2 = { z | | z - 2 + 4 i | < 3 }

30 . R, = {z 11 iz - 2 - i | > I R e (z) - 3 I } ; R 2 = {z 11 z - 2 - 2 i I < 3 }

31. Donde se halla el afijo de z s i : Log - I z I + 1 \ < 2r i z i + 2 13 2 . S i el afijo del complejo z describe I z I = 1 , qué lugar describe el afijo del

complejo w = x + y i , sab iendo adem ás que w(z + 1 )2 = 4

7.8 ) FO R M A PO LAR DE UN N U M E R O C O M P LEJO ____________

S e a el número complejo no nulo z = x + y i. C om o ya se ha visto , este

número se puede representar en un plano complejo por la pareja (x , y). S i traza­

mos la recta desde el origen al punto (x , y ) , habrem os determinado una distancia

r y un ángulo 0 en posición normal (medido en sentido antihorario). Esto es , el

punto (x , y) ha sido representado en términos de las coordenadas polares r y 0

mediante las re laciones

x = r C o s 0 , y = r S e n 0

de modo que s i , z = x + y i , entonces

z = r (C o s 0 + i S e n 0) (6)

Esta representación del complejo z se llama form a polar o trigonométrica de z , donde r e s el módulo,

radio vector o norma , y 0 el argumento o amplitud.

| O B S E R V A C IO N E S

1. El número complejo z = r (C os0 + i Sen0 ) puede se r representada en su forma

simplificada p o r : z = r C is0

2. Lo s valores de r y 0 se pueden hallar por las relaciones

r = | z I = \ 'x : + y 2 , Tg0 = y <=> 0 = a r c T g ( y )

3 . El argum ento de un núm ero complejo no e s único , pero se tomará com o

argum ento principa l: 0 < 0 < 2 k

346 Capítulo 7: Números complejos

4. La relación Tg0 = y da dos valores para 0 y el ángulo que se eligirá se rá el que

se determine por los s ignos de x e y

5. D ado s dos complejo en su forma p o la r: z = r C is0 y z, = rt C is 0, , entonces s i :

z = z <=> r = r) A 0 |= 0 + 2 k 7 r , k e Z

E je m p lo 1 j Determinar la forma polar de los sigu ientes com plejos

a) z = -2 + 2 \ 3 i c) z = 1 + \ 3 i e) z = 3 - 3 \ 3 i

b ) z = -V 3 - i d) z = -5 + 0 i f) z = 0 - 2 i

Solución.

a) z = -2 + 2V3 i <=* r = I z I = V(-2)a + (2V3): = 4

Para el argumento principal tenem os ; x = -2 (negativo) , y = 2V3 (positivo) ,

entonces 0 termina en el II cuadrante.

Luego , si Tg 0 = ^ = ^ 5 = - V3 <=* 0 = arcTg (-V3) = 180° - 60° = 120° = 2 n/3

z = 4 Cis(2rc/3)

b) z = - V3 - i => r = | z I = V(-V3): + (-1): = 2

C o m o x e y so n a m b os negativos , el a rgum ento principal term ina en el 111

cuadrante. Entonces s i T g 0 = — = = ^ <=> 0 = 180° + 30° = 210° = ln/6X .>/3 3

z = 2 C is (771/6)

c) z = 1 + VJi => r = |z| = V ( l ) : + (V3): = 2 ; Tg0 = = V3

Com o x e y son am bos positivos , el argum ento figura en el I cuadrante.

Luego , si 0 = 60° = n/3 <=> z = C is {n/3)

d) z = -5 + Oi «=> r = I z| = \(-5 ): + (0): = 5

Com o x = -5 (semieje real negativo) e y = 0 ^ T g 0 = 1 = o <=> 0 = 7t

z = 5 C is 71

e) z = 3 - 3>/3i => r = |z| = \'(3): + (-3V3)1 = 6

Dado que x = 3 (positivo) e y = -3V I ( nega tivo ), el argum ento 0 termina en el IV

cuadrante. Luego , Tg0 = y = - VT «=> 0 = 360 - 60 = 300° = 5 71/3

z = 6 C is (57t/3)

f) z = 0 - 3 i <=> z = I z I = \ 0 : + (-3)J = 3

------

Sección 7.8: Forma polar de un número complejo 347

C om o x = 0 e y = -3 (semieje imaginario negativo) ■=> T g 0 = = <*> => 0 = 270°

z = 3 C is (371/2) ■

E je m p lo 2 J S i A = {z e el 1 < Iz l < 4 , - j < a r g ( z ) < 7 i } ; graficare identificar

el conjunto A. -------------------------------------------

Solución. 1 <| z I < 4 e s un anillo circular forma- A

do por las circunferencias ! z 1 = 1 y

I z l = 4 . Entonces , A e s un segm ento de dicho / / \

anillo que parte de 0 = kJA y termina en 0 = 71. S u \

gráfica se ilustra en la Figura 7.33 ■

El siguiente teorema muestra com o determinar

el producto y el cociente de dos núm eros complejos cuando éstos se expresan en

forma polar.

_ x

TEOREMA 7.4 Multiplicación y división de números complejos en la form a polar

S i z, = r,(Cos 0, + i S e n 0,) y z, = r^ C o s 0, + i S e n 0 ;) , donde

r, = I z, i y r; = | z, I , entonces

1. z (z, = r,r, lC o s(0 , + 0,) + i Sen(0, + 0,)]

2 . = i [c<B(e,-e,) + ¡ senté,-e,)]V____________________ :____________ _________________________________________

Demostración de 1.z, z, = r, r, (CosO, + i Sen0,) (CosO, + i Sen0,)

= r, r, [(Cos0, CosO, - Sen0, Sen0,) + i (Sen0, CosO + CosO, Sen0,)]

= r, r, [Cos(0, + 0,) + i Sen(0, + 0,)]

A s í tenem os que : z, z, = r, r, Cis(0, + 0,)

La dem ostración de la parte (2) e s similar y se deja com o ejercicio.

| O B S E R V A C IO N E S

1. El argum ento del producto de d os núm eros complejos e s igual a la suma de los

argum entos de cada complejo.

Arg (z,z;) = 0, + 0, = Arg(z,) + A rg(z:)

2. El argum ento del cociente de dos núm eros com plejos e s igual a la diferencia de los argum entos de cada complejo.

Im ¡

\ ñ i ? " "tC \ O'!

V. _

V

) , w Re

JFIGURA 7.33

Capítulo 7: Números complejos

A r g ( | ; ) = 6 , - 9 : = Arg(z,) - A rg(z:)

Se an : z, = - | i y z2 = - 2 + 2 \ 3 i ; efectuar en la forma

polar las siguientes operaciones : a) z,z2 , b) —*2

Solución. En z , : r, = I z, I = 3 y Tq 0 = X = ■ '3/2 = - —1 x 3V3/2 V3

Com o x es positivo e y negativo , el argum ento principal termina en el IV

cuadrante. Entonces : 0, = are Tg (-1/V3) = 360° - 30° = 330° = 1 1 rc/6

Por lo que : z, = 3 C is( 1 1 n/6)

En z,: r2= I z J = 4 y T g 0, = ^ = -^ 3

Com o x e s negativo e y positivo , el argumento principal termina en el II cuadrante.

Entonces : 0, = are Tg(-\Í3) = 180° - 60° = 120° = (271/3 )

Por lo tanto: z, = 4 C is (271/3).

a) z |z, = (3)(4) C is ( ü 71 + -jTc) = 12 C is (^ -71) = 12 C is (271+ = 12 C is (7C/2)

z,z; = 12(Cos90° + i Sen90°) = 12 i

b > z7 = Í C ís ( l“ 71' \ n ) = I C i s ( l n ) = \ C is ( |80° + 30°) = | (*C o s30 ° - i Sen30°)

E je m p lo 4 ) Efectuar: z = ^ 3 ) (CosO + i SenO)— ---- r i y J 2Í1 - iH C o se - i Senfn2(1 - i) (C o s0 - i Sen6)

Solución. Se a n : z, = 1 - i \'3 y z, = I - i. Exp resando am bos complejos en la forma

polar y teniendo en cuenta que su s argum entos principales terminan

en el IV cuadrante , se tiene.

Para z , : r, = 2 y Tge, = - V3 o 0, = 360° - 60° = 300° => z, = 2 C is 300°

z , : r: = V2 y T g0 ; = -1 <=> 0, = 360a - 45° = 315° => z, = y¡2 C is 315°

Luego , z = 2_C ls -'()() (C|s6) _ V2 c ¡S (300o . 3 ,50) c¡s(0 + 0)2\2 C is 315° C is (-0) 2

z = [C o s (20- 15°) + i Sen(20 - 15°)] = C is (20 - ■

Sección 7 .8: Forma polar de un número complejo 349

E jem p lo 5 j Representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos de

los complejos que cumplen con la relación Arg | 2 ' 2l j = 0 ,

donde z, = 1 + i y z 2 = -1 + 2 i.

Solución. S e a n : z = (x , y) y w = z - z -Z| ■

« w = ( x - 1) + ( y - 1)i2 - i

= 1 [(2x - y - 1) + (x + 2y - 3)i]

S i Arg(w ) = are T g = °

=> (x + 2y - 3 = 0) a (2x - y - I > 0)

<=> (x + 2y • 3 = 0) a (y < 2x - 1)

S i C1‘ : x + 2 y - 3 = 0 y 7\ : y = 2 x - 1 , e n tonce s los afijos del lugar geom étrico

que cum plen con la relación dada se encuentran sob re la recta .2?, en la región

del sem ip lano inferior de la recta r£ , , p u e s y < 2 x - I. E s de su p o n e r que el

punto P ( l , 1 )6 á ?,n 2 ' no pertenece al lugar geométrico (Figura 7.34). ■

E je m p lo 6 } S i z e C | | z - 1 l = 1 , 0 < Arg(z -1 ) < n ; determinar A rg(z2 - z)

en función de Arg(z).

Solución. El lugar geométrico i z - 11 = I e s una circun­

ferencia concentro en Q (l , 0) y radio r = l.

Entonces , sean : 0 = Arg(z) y a = Arg(z - l ).

El A O Q P e s isó sce le s , pues O Q = Q P = r ; luego

m (< *Q O P ) = m (< *O P Q ) = 0

Adem ás , com o a = m (<£ Q O P ) + m ( O P Q ) <=> a = 20

S i A rg(z: - z) = A rg(z) (z - l ) = A rg(z) + Arg(z - l )

■=> A rg(z: -z ) = 0 + a = 0 + 20 = 30

A rg (z --z ) = 3 A rg(z) ■

Ejemplo 7 J S i l zi| = 8 y Arg[ z(1 + i)] = tc/6 , hallar el número complejo z en

su forma polar.

Solución. S i I z i I = 8 <=> Iz l |i| = I z l = 8 , esto es , I z I = 8

y si A rg[z(l + i)] = ^ A rg(z) + Arg(l + i) =

350 Capitulo 7: Números complejos

c=> Arg(z) + 5 = 7 « Ar9 (z ) = - t t4 6 12

Por consiguiente : z = 8 C is (-71/12) o z = 8 C is ( l lrc/12) ■

Ejem plo 8 J Hallar la forma polar de cada número complejo z tal que

z 2 - 2 + i = (1 - i)3

Solución. S i (z ): = 2 - i + (1 + i):(l - i) = 2 - i + (-2 i)( 1 - i) <=> (z )- = - 3 i

■=> z = ± VÔT (1)

Se a n w = -3¡ y 1P3 Î =c + d¡ « c = ± V lw l^ a y d = ± V l w !,- a

D ado que a = 0 , b = -3 y I w I = 3 «=> c = d - ± \í3/2

y com o b < 0 , entonces c y d se eligen de distinto signo , esto e s

nTJT = ± (V372 - i V3/2)Luego , en (1) : z = ± (V3/2 - i V3/2) <=> z, = V3/2 - i V3/2 ó z, = - V3/2 + i \/372

<=> Z, = V3/2 + i V3/2 ó z, = - V3/2 - i V3/2

La forma polar de cada complejo es

z , = V 3 C is (71/4) ó z, = V3 C is (57t/4) ■

E JE R C IC IO S : Grupo 39

En los ejercicios 1 al 6 , expresar los núm eros complejos dados en su forma

polar

1 . z = 6 \ 3 + 6 i 3. z = -i-(-V3 + i) 5. z = - 4 + 4 \ f3 i

2. z = 3 - 3 V 3 i 4. z = - 5 \ 3 - 5 i 6. z = - 2\/2 - 2 \ '2 i

En los ejercicios 7 al 10 , realizar la operación indicada y expresar el resultado

en su forma rectangular.

7 (V2 C is 22°) ( 3 C is 84°) (2 C is 27°)

(6 C is 35°) (C is 183°)

8 (C o s 133° + i Se n 767°) (C o s 317° + i S e n 223°)

C o s 30° - i S e n 30°

g (C o s 171° + i Se n 729°) (C o s 284° + i S e n 1336°)

C o s 330° - i S e n 330°

Sección 7.9 : Potenciación de números complejos 351

in (C o s 295° + i S e n 655°) (C o s (-20) + i Se n 700o]

C o s 415° - i S e n 125°

11. S i z, = 6 C is 30° , z 2 = 2 C is 10° y z3 = 3 (C o s 20° - i Se n 20°), hallar z,z2/ z 3.

12. Hallar la forma polar de : a) z = i C is (71/3) + 1

b) z = 1 + i Cotg 0 , k < 0 < 371/2

13. Escribir en la forma polar el resultado de : (6 + 2 i \ '3 ) (7 + 7 i) (4v3 + 12 i)

14. S i z = r C is 0 , representar en forma p o la r : ^ z 2

15. S i I z i I = 4 y Arg [ z (1 + i \3 ) ] = 7t/4 , hallar el número complejo z en su forma

polar.

16. S i z, = 1 - 2 i y z2 = 2 + i , graficar el lugar geométrico de los afijos de núm eros

complejos que satisfacen la relación : Arg ( z - z ' ) = 0\z, - Z2 /

17. Loca lizar en un plano complejo los afijos que representan a los núm eros

complejos z = x + y i , tales que :

a) 71/6 < A rg(z) < 2rc/3 c) n/8 < A rg(z) < n/2 a |z| < 3

b) n/3 < A rg(z + i) < k d) n/4 < Arg(z) < 371/4 a | z | > 2 a | z | < 4

18. Graficar los conjuntos

a) A = {z e C I z = iw 2 , donde I w I = 1 y Arg(w ) € [71/6 ,71/4]}

b) A = {z e C lz = (i/w2) , | w I > 1 y Arg(w ) e [jc/6,7t/3]}

7.9 J P O T EN C IA C IO N DE N U M E R O S C O M P LEJO S

TEOREMA 7.5 E l Teorema de De Moivre

La potencia n-ésim a de un número complejo en su forma po­

lar tiene por módulo la potencia n-ésim a de su módulo , y por argumento el

producto de su argumento por n. Esto e s , si

z = r C is 0 => zn = r" (C o s n 0 + i S e n n 0) (7)

Demostración. Por inducción completa , se a la proposición

P(n) = {n I zn = r C is n 0 }

(1) Para n = 1 => P ( l ) : z '= r 'C is 0 <=> z = r C i s 0 , e s verdadera

(2) Su p on ga m os que para n = h , la proposición

352 Capítulo 7: Números complejos

P (h ) : z h = r h C is h 0 , es verdadera (Hip. inductiva)

Dem ostrarem os que para n = h + 1 , la proposición

P(h + 1): z h* 1 = r h+1 C is (h + 1) 9 , e s verdadera

En efecto

z h ♦1 = zh . z = (r C is 0)h (r C is 0) = (rh C is h 0) (r Q s 0) (Hip. ind.)

= rhr [C is (h0 + 0)] = rh* ' [C is (h + 1)0]

(3) Conclusión : S e ha probado que , P(1) e s V a P(h) e s V <=> P ( h + l ) e s V .

Ejemplo 1 ) S i z = - ^ + 1 i , hallar R e (z20).

Solución. Exp re sam os z en su forma polar

y 1/2 iI z l = r = V(W3/2)> + (l/2)= = 1 ,Tge= ¿ = ^ ^

Com o x < 0 , y > 0 , el argumento principal termina en el II cuadrante

o 0 = are Tg (-1/V3) =180° - 30° = 150° = 571/6

Luego , si z = C is0 «=> z = 1 Cis(57i/6) <=> z :o = 1:0 C is 20(571/6) (De Moivre)

<=> z™ = C is(8 x 271 + -=-7t) = Cos(27i/3) + i Sen(27i/3)

.-. R e (z20) = Cos(2ti/3) = C o s = - Cos ( * ) = - \ ■

f Ejemplo 2 J U sando el Teorema de De Moivre , demostrar las siguientes

iden tidade s: S e n 3 0 = 3 S e n 0 - 4 S e n 30

C o s 3 0 = 4 C o s30 - 3 C o s 0

Demostración. S e a el complejo unitario : z = C o s 0 + i S e n 0 ( I z ! = 1)

Elevando al cubo obtenem os :

z} = C o s '0 + C o s ’0 Se n 0 + 3 i : C o s 0 S e n :0 + i S e n ’0

= (C o s ?0 - 3 C o s 0 Sen-’O) + (3 C o s :0 Se n 0 - Sen'OJi

Por el Teorema de De Moivre : z ’ = (C o s 0 + i S e n 0)'' = C o s 3 0 + i S e n 3 0

Luego : C o s 3 0 + i Se n 3 0 = (C o s ’0 - 3 C o s 0 S e n :0) + (3 C o s '0 S e n 0 - S e n '0 ) i

Igualando las partes reales y las partes im aginarias se tiene :

C o s 3 0 = C o s 'O - 3 C o s 0( 1 - C o s :0) <=> C o s 3 0 = 4 C o s ;0 • 3 C o s 0

Se n 3 0 = 3( 1 - Sen-0) S e n 0 - S e n ’0 = * S e n 3 0 = 3 Sen 0 - 4 Sen 'O ■

| O B S E R V A C IO N . Dado un complejo z = r C i s 0 y un entero positivo n , se cumple

z " = r nC is(-n0 ) (8)

Sección 7.9: Potenciación Je números complejos 353

es d e c ir , el Teorema de De Moivre e s válido para potencias enteras negativas.

Ejemplo 3 ^ Dado z = 1 - i , hallar z -

Solución. El complejo z en su forma polar e s z = V2 Cis(7rc/4)

<=> z 3 = (V2)-’ C is(- 2 17i/4) = - 1 = j^Cos ^ rc) - i S e n ^ n jJ

= ñ [ e o s (471 + t n ) - i S e n (471 + | * ) ] = £ [ c o s ( ¿ i t ) - i S e n ( | ^ ) ]

= & [ e o s (n + i ) - ¡ S e n ( * + £ ) ] = | [■ C o s ( Í - ) + ¡ S e n ( í ) ]

| O B S E R V A C IO N . S i para un complejo unitario z = C is 0 aplicam os el Teorema de

De Moivre , se cumplen las siguientes relaciones :

z" = C o sn O + i S e n n O y z n = C o sn O - iS e n n O , n e Z

de donde se obtienen

C o s n O = ^ (zn + z " ) S e n n 0 = — (zn - z " ) (9)

E sta s d o s fórm ulas se utilizan para exp resar potencias de S e n o y C o se n o en

función de ángu lo s múltiples.

Ejemplo 4 ^ Hallar S e n 50 y C o s 50 en términos de Se n k 0 y C o s k 0 , respec­

tivamente.

Solución. En las fórmulas (9 ), para n = 1 se tiene :

2 C o s 0 = (z + ¿ ) <=> (2 CosO )5 = (z + | )5

32 C o s 50 = z5 + 5 z ‘ + l O z ^ l J + 10z: ( l ) + 5 z ( ^ ) +

= (z í+ f ) + 5(2' + ? ) + i0(z + ?)

= (2 C o s 5 0) + 5(2 C o s 3 0) + 10(2 C o s 0)

.-. C o s 50 = ~ (C o s 5 0 + 5 C o s 3 0 + 1 0 C o s 0)16

354 Capítulo 7: Números complejos

Análogam ente: 2 ¡ S e n 0 = z - i ■=* (2 i Se n 9)5 = (z -

<=> 32 ¡5 S e n '0 = z- - 5 z ; + 10 z - — + Ar -z z ? z '

= (Z ' z>) ' 5(z’ ' ? ) + l0(z ' í )

= * 32 i S e n ?0 = (2 i Se n 5 0) - 5(2 ¡ S e n 3 0 ) + 10(2 i S e n 0)

S e n ’0 = - 1 ( S e n 50 - 5 S e n 3 0 + IO Se n 0 ) ■16

EJERCICIO S : Grupo 40

En los ejercicios 1 al 12 , utilice el Teorema de De Moivre para hallar la poten­

cia indicada. Expresar el resultado en forma cartesiana.

5. (2 - 2 i)10 - (2 + 2 i)1

( i ♦i r

3. ( 1 ± 1 M ) ”

6.( i - i ' ) '

9.

10. ( ! * H '

4.

13.

14.

7. (V2 + V3 + i y¡2 - V3 Y

g ("i + Í V 3 )15 ( - 1 - i ^ ) 15O. ----—---7TTT--- +

( 1 - i ) 2 ( 1 + i ) 2

11. (-3V3 + 3 i)3

12. (4V2 - 4\/2 i )40

En los ejercicios 13 a 16 , efectuar y expresar el resultado en la forma a + b i

(2 C is 225°)2 (3 C is 140°)3

(V3 C is 2 5 o)4 (V2 C is 6 0 o)2

12 Cis(-30°) ( \6 C is 135o)2

15.(v2 C is 4 45 o)2 (V6 C is 140°)4

[2 C is (-130o)]2 (3 C is 3 45o)2

(1 - V3 Í)27 /1 V3 :V316 n -\'3ir _ n V3¡y 24 Cis(-150°) (V § C is 105o)2 ‘ (2 + 2 i)18 \2 2 /

17. S i z = \ 2 + V3 + i V2 - V3 , hallar Re (z20)

18. Simplificar (1 + w)n , donde w = Cis(27r/3)

.... /1 + Se n x + i C o s x \ 619. Simplificar: - — -------- — -------

V 1 + Se n x -1 C o s x I

20. Representar mediante un polinomio de primer grado en términos de ángulos

Sección 7.10: Radicación de números complejos 355

múltiplos de x , lo siguiente

a) S e n 4x b) C o s 6x c) S e n 7x d) C o s 7x

21. Expresar mediante las potencias de Se n x y C o s x las siguientes funciones de

ángu los múltiplos de x

a) C o s 5x b) C o s 8 x c ) S e n 5 x d) S e n 7 x

22. Dado n e Z+ , dem ostrar que ( 9 + 1 \ _ q 0 s 2 n 0 + i S e n 2 n 0\ ' Cotg 0 -1 /

23. S i z = C is0 , hallar todos los valores de 0 para los cuales (z + 1 )2 es imaginario

puro.

24. R e so lve r: [(1 + i -'.3)4z ] 2 = (1 - i \ 3 ) 3z

25. Calcular z4 en los siguientes c a so s

a) z = (-V3 + i)'1 b) z = 4 = ^ c) z = ---------------------- , a e R a O <o.< 2tc’ ' V 3 - i S e n a + i S e n a

( 7.10 j R A D IC A C IO N DE N U M ER O S C O M PLEJO S______________

Por definición , dado un número complejo z y un entero positivo n , se dice

que el complejo w e s raíz n-ésim a de z si y só lo si , w° = z , se escribe

w = \ z , o bien , w = z l/n

El problem a de calcular w se resue lve fácilmente escrib iendo z y w en forma

p o la r , esto e s , si

z = r(C o s0 + i S e n 0 ) y w = R(Cosvj; + i S e n \\i) (1)

entonces por definición de raíz : w n = z

Por la fórmula de D e Moivre :

R n(C o s n vj/ + i S e n n y ) = r(Cos 0 + i S e n 0)

y por la igualdad de núm eros complejos

R n = rA n ij/ = 0 + 2krc ■=> R = \ r a y = ~ k 71

Luego , en (1):

donde , para k = 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 , obtenem os los n valores de w , que lo

designarem os por w k , k = 0 , 1 , 2 ......... . n - 1 , respectivamente.

En resum en , se ha dem ostrado el siguiente teorema.

356 Capítulo 7: Números complejos

TEOREMA 7.6 Radicación de números complejos___________________________

Todo com plejo no nulo adm ite n ra íce s n -é s im a s distintas

d ad a s por

Wi = V [ c o s ( 8 ± l M ) + ¡ S e n ( e ± í M ) J

donde k es 0 , 1 , 2 , .......... n - 1, r = I z | y 0 = Arg(z)v____________________________________ _______ ____________________________________

Dado que todas las ra íces tienen el m ism o módulo , é sta s se encuen­

tran sobre una circunferencia de centro el origen y radio V 7 , y difieren en el

argum ento en múltiplos de 2rc/n. Por esta razón , las distintas n ra íces de un

complejo no nulo , se identifican geométricamente con los vértices de un polígono

regular inscrito en la circunferencia mencionada.

E je m p lo 1 J Determ inar y representar en un p lano complejo las raíces

quintas de z = -16 - 16v3 i

Solución, r = i z ! = 1 6 Vi + 3 = 32 , TgB = V3 «=> 0 = 1 8 0 ° + 60° = 240f;

De m odo que s i : - 16 - 16V3Í = 32 (C os 240° + i S e n 240°)

del Teorema 7.6 , las cinco raíces quintas están dadas por

r240° + 2k;w, = "V32 Jc is ( 240° * 2 -k - ) ] , para k = 0 , 1 , 2 , 3 ,4

Para k = 0 ■=> w(i = 2 C is (48°)

k = 1 ■=> w, = 2 C is (120°)

k = 2 <=> w, = 2 C is (192°)

k = 3 o w, = 2 C is (264°)

k = 4 o w4 = 2 C is (336°)

En la Figura 7.36 se muestra los afijos de las raí­

ce s quintas de z , que son vértices del pentágono

regular inscrito en la circunferencia de radio r = 2 Nótese que la diferencia entre los argum entos de

cada raíz es

(y — - — 360 _ ~i~)o ^n ~ 5

lm,

W . - —

c '

1

w

V

l - S L I I " Rt;

y T V I ,

JFIGURA 7.36

tjem plo 2 j Determinar las raíces cúb icas de la unidad.

Sección 7.10: Radicación de números complejos 357

Solución. S i z = l <=> | z | = 1 y 9 = Arg(z) = 0 <=> wk= \T J^Cis j

«=> wk = C o s + i S e n (— . para k = 0 , 1 , 2

Reem plazando a k sucesivam ente por 0 , 1 y 2 se obtiene

w, = C o s 0o + i S e n 0o = 1

w, = C o s + i Se n = - i + ^ !

w.- = C o s ( ^ ) + ¡ S e n ( f ) = . I . f

I O B S E R V A C IO N E S

(1) Lo s afijos de las raíces cúb icas de la unidad son

los vértices de un triángulo equilátero inscrito

en la circunferencia de radio I z I = l

(2) L a s ra íces cúb icas de la unidad se encuentran igualmente e spac iadas con

una de ellas un ángulo igual a a = 2rc/3

(3) w, = w. t=> wa + w, + w, = 0 ■

{ l A Q A ) EC U A C IO N ES CU ADRA T ICA S CON C O EF IC IEN TES CO M ­PLEJO S

S a b e m o s que una ecuación cuadrática con coeficientes reales

a x : + bx + c = 0 , tiene por raíces

x _ -b i \'¿r - 4ac2 a

En esta sección y , en idéntica forma , trataremos de hallar un proceso que nos

permita resolver una ecuación de la forma

A z : + B z + C = 0 , A , B , C € C y A * 0 (1)

Com pletando el cuadrado se tiene

(2.

R R: 4APSup ongam os que : w = z + ^ y u = 4^

de modo que en (2) tendremos : w : = u (3)

Puede ocurrir entonces que

358 Capítulo 7: Números complejos

I. S i B : - 4 A C = O , entonces u = 0 y la ecuación (3) tendrá por solución el conjunto

{- B / 2 A } , esto e s , si w : = 0 <=> z = -B/2A

En consecuencia , la ecuación (1) tendrá por C .S. = {-B /2A }

II. S i B-' - 4 A C * 0 , la ecuación w : = u tiene dos so luc iones denotados por wü y w (.

DC o m o w = z + , entonces las so luc iones de la ecuación (1) serán :

2A

B By — w - —— V z = w - — —1 0 2A y 2 ' 2A

Pero en la Se cc ión 7.6 v im os que w, = - w0 , por tanto , el conjunto so luc ión es

S = -jw0 - ^ - w(i - ^ j - , donde w0 e s cualquiera de las d o s so luc ione s de

w- — B : - 4 A C 4 A :

En resum en , hem os dem ostrado el siguiente teorema.

TEOREMA 7.7 El conjunto solución de la ecuación

A z + B z + C = 0 , A 1B , C e < . 1 y A * 0 e s

I. j - ^ j , si B : - 4 A C > 0

II. í - — + w , , - — - w, \ , si B 2 - 4 A C * 01 2A 0 2A °J

p2 _ j A pdonde w e s una de las soluciones de la ecuación : w : = ~ ,

0 * 4A -

C jcm p lo 3 j Resolver la ecuación : z2 - (3 + 2 i)z + (5 + 5 i) = 0

Solución. S i A = l , B = - (3 + 2 i) y C = 5 + 5i , entonces

(1) B*’ - 4 A C = (3 + 2i)2- 4 ( l ) ( 5 + 5i) = - 1 5 - 8 ¡ * 0

(2) R eso lvem os la ecuación : w2 = ^ — = - — - 2 i4A- 4 4

<=>w0 = | - 2 i ó w, = - l + 2i

(3) E leg im os una de su s raíces cuadradas : w„ = \ - 2 i

(4) Lu e go : - ^ + wu = + ( i - 2 i) = 2 - i

Sección 7.10: Radicación de números complejos 359

(5) Por lo tanto , el conjunto solución e s : {2 - i , ■

(7.IO .2) R A IC E S P R IM IT IV A S DE LA U N ID AD__________________

S i z = \T = l y l = C o s 0 + i S e n 0 , entonces las n -ésinas raíces de la

unidad , se gún el Teorema de De Moivre , están dadas por

w k = C o s ( ^ ) + i S e n (^ p p ) , k = 0 , l , 2 .......... n - l (1)

Si k = 1 => w, = C o s + i S e n <=> (w,)“ = C o s + i Sen

Se observa que : (w,)“ = wk , k = 0 , 1 , 2 ........ . n - 1

Esto significa que todas las raíces de la unidad son expresadas com o potencias

de w, , e s d e c ir , w ( genera todas las n-ésim as raíces de la unidad , de aquí que w

recibe el nombre de raíz primitiva de la unidad de orden n.

En general , si w e s la raíz n-ésim a de la unidad tal que su s potencias

wk para k = 0 , 1 , 2 ............ , n - l , son diferentes

entonces se dice que w e s una raíz primitiva de la unidad de orden n.

En el Ejemplo 2 determ inamos las raíces cúb icas de la unidad

w = 1 w = - — + j w = - 1 iwo 1 » w i 2 2 2 2 2

de las cuales w, y w, son raíces primitivas de la unidad de o rden '3 , por que para

k = n - 1 ■=* k = 2 , se tiene

(«,)-■ = ( - i + - i - = w, , e s diferente a w.

(w2)2 = (- 1 * -^r i) = - y + i = w, , e s diferente a w,

(w0)J = (1 ): = I , e s igual

entonces w0 no e s raíz primitiva de la unidad de orden 3

Nótese que n = 3 y k = 2 son primos entre s i , e s d e c ir , m c d (2 , 3) = 1

En con secuenc ia , el núm ero de ra íce s prim itivas de la unidad de orden n se

deducen del siguiente teorema.

360 Capítulo 7: Números complejos

TEOREMA 7.8 Raíces primitivas de la unidad

S e a 0 < k < n . Entonces wk e s una raíz primitiva de la unidad de

orden n , si y sólo s i , n y k son coprim os (primos entre si).

Ejemplo 4 j Determinar todas las ra íces de la unidad de orden 6

Solución. La s raíces sextas de la unidad están dadas por (I) para n = 6 , e stas son:

wk = C o s + i S e n , k = 0 f l , 3 , 4 , 5

Por el Teorema 7.8 , e legim os k de m odo que m c d (k , 6) = 1 , esto ocurre para

k = I y k = 5 , entonces

w, = C o s + i S e n ) = C o s 60° + i S e n 60° = \ ^ i

W} = C o s ( ^ ) + i S e n = C o s 300° + i S e n 300° = i - ^ i ■

Ejemplo 5 J Demostrar que si w e s raíz cúbica primitiva de 1 , entonces

(1 -w )(1 - a)2) = 3

Demostración. En efecto , si (tí e s raíz cúbica primitiva de l , entonces oo2 también

lo e s , pues el mcd(2 , 3) = I

Luego , (1 - ío) (I - co2) = 1 - cd2 - co + (tí*

= I - (íd2 + w) + (ú- (1)

Pero , I + w + tú2 = 0 (Ver Ejemplo 2) «=> co2 + (O = - 1

Por lo que , en (1) obtenem os : (1 - w) (1 - w2) = 1 - (-1) + I = 3 ■

EJERCICIO S : Grupo 10

En los ejercicios 1 al 6 , halle todas las raíces que se indican

1. L a s raíces de z = -8 + 8 \3 i 4. La s raíces cúb icas de z = 4 - 4 \ 3 i

2. La s raíces cúbicas de z = - 8 i 5. L a s raíces cuartas de z = — + — i2 2

3. La s raíces quintas de z = 16 - 16 \ 3 i 6. L a s raíces quintas de z = -16V3 - 16 i

En los ejercicios 7 a 10 , hállese las ra íces indicadas

.

Sección 7.11: La exponencial compleja 361

7 6 / 1 - i g 8 / 1 + j 6 / 1 - i 4 / 1 + ¡

VV3+¡ V V3 - i V 1 + i V3 VV3+Í11. S i co0 , co, y co2 son todas las raíces de la ecuación x3 = 1 , hallar el valor de

a) co02 + co,2 + co32 b) co0 co, + co0co2 + (0,0)2

12. Dem ostrar que si z, e s una raíz cúbica de z y si 1 , co y co2 son las raíces cúbicas

de la unidad , entonces z, , z,co , z,co2 son las tres raíces cúb icas de z.

En los ejercicios 13 al 16 , halle el conjunto solución de la ecuación dada

13. z2 + ( 1 - 5 i ) z - ( 1 2 + 5i) = 0 15. (z3- iz2) - (2 + 2 i) ( z 2 - iz) + 2 ( iz - 1) = 0

14. z 2 - (3 + 2 i)z + (1 + 3 i) = 0 16. z2 + (4 + 3 i)z + (7 + i) = 0

En los ejercicios 17 al 28 . resuelva la ecuación para todas las raíces comple­

ja s

17. z4 + 8 + 8 iV 3 = 0 21. z4 - 2 z 2 + 4 = 0 25. z8 -3 5 z 4 - 3 6 = 0

18. z3 + 4 = - 4 iV 3 22. z4 + 4 z 2 + 16 = 0 26. (z + 3)4 = 1 6 ¡

19. z6 + 7 z3 - 8 = 0 23. z4 + (2 i - 3 )z2 + 5 - i = 0 27. z3 + 2 z 2 - z + 6 = 0

20. z3 + 6 + 6 iV 3 = 0 24. 16z4 = ( z + 1)4 28. 2 iz 2 - 5 z + 7 i = 0

29. S i co e s una raíz cúbica de la unidad , dem ostrar que :

a) (1 + co2)4 = co c) ( 1 -c o + c o 2) ( 1 + cú - co2) = 4

b) (1 -co)(1 -co2)(1 - co4) (1 - co5) = 9

30. S i co e s una raíz n-ésim a de la unidad , hallar el valor de

a) S = 1 + 2 c o + 3co2 + ............... + n c o n' 1

b) S = 1 + 4 c o + 9 c o 2 + ...............+ n2 con' 1

7.11) LA E X P O N E N C IA L C O M P LEJA ________________________

S i z = x + y i , se define exponencial de z com o

exp(z) = e* = e *(C o s y + i S e n y)

donde ex e s la función exponencial real y e es la base de los logaritmos neperianos

(e = 2 .7 1 8 2 8 ......... )

S i z e s un imaginario puro , esto e s , s i x = 0 = * z = y i , luego en la exponencial

compleja se tiene :

exp(y i) = ey' = C o s y + i S e n y

/ e* S e n y \Com o el = ( e 'C o s y + ie xS e n y ) <=* e = are T g — j = are Tg(T gy)

<=> 0 = y

362 Capítulo 7: Números complejos

luego , la relación : e xp (i0 ) = e 18 = C o s 0 + i S e n e (11)

e s la llamada fórm ula de Euler o exponencial compleja S iendo la representación de un número complejo

z = r ( C o s 0 + i Se n 0 )

la fórmula de Eu ler da lugar a una representación alternativa de los núm eros

complejos en la forma exponencial

z = r e i9 (12)

donde, r = |z| y 0 = Arg(z)

Ejem plos : z = i = C o s (rc/2) + i S e n (71/2) =» z =<?,(w2)

z = - 1 = C o s 7i + i S e n n <=> z= e 'K z = l = C o s 0 + i S e n 0 <=> z = e i0 = e'ZK z = - i = Cos(37i/2) + i Sen(37t/2) o z = e'<3,K) = e'i{,c/2) z = - 4 + 4 \ í3 i = 8 Cis(27t/3) <=> z = 8 e'2™

O B S E R V A C IO N . S i en la fórmula de E u le r : e'° = C o s 0 + i S e n 0

se sustituye 0 por (:0) se obtiene : e~m = C o s 0 - i S e n 0

De estas dos ecuaciones resultan las identidades

C o s 0 = i (cie + <r,e) ; S e n 0 = I (c 'e - e '6) (13)

que son de m ucha utilidad en dem ostraciones de identidades trigonométricas.

E J E M P L O . Hallar C o s 30 en función de C o sk 0

Solución. S i C o s © = 4- (eM + e '*) «=> C o s '0 = 1 (£1,e + 3£ziW e',tí + 3<?'8 e 'zi9 + c'*)2 o

A grupando térm inos convenientem ente obtenem os

C o s '0 = -j [ 4 (e*® + e ',ie) + 4 (£'" + e’"*)] = -j (C os30 + 3 Cos0 ) ■

P R O P IE D A D E S D E L A E X P O N E N C IA L C O M P L E J A

EC. 1 : ez e"= ez"N EC . 5 : S i y e s real => \e» I = l

E C .2 : -^ -= < ?zw EC. 6 : ez = \ <=> z = 2nrci , V n e Zew

EC. 3 : í>z * 0 , V z e C EC . 7 : ez =e” <=> z = w + 2k7ii , V k e Z

EC. 4 : \ez I ex , y = Arg(z) , z = x + y i EC . 8 : (ez)n =enz , V n eZ

Demostración de E C . 1 : ez ew = e1 * w

(1) Se an : z = x + y i , w = a + ¿>i <=> ez = t?x(C o sy + i S e n y) , = e‘*(Cos b + i S e n b)

(2) <=> ez e* = [e *(C o sy + i S e n y)] [ ^ (C o s b + i Sen¿>)]

Sección 7.11: La exponencial compleja 363

= ex*a [ (C o s y C o s b - S e n y S e n b) + i ( C o s y S e n b + S e n y Cos¿>)]

= e '* a [C o s (y +b) + i Se n (y + b)] =ex*a ei{y*b)(5) ez e'M =

Demostración de EC. 4 : \ez I = ex , y = Arg(z) , donde z = x + y i

En efecto , por definición : ez = ex(Cos y + i Sen y)

^ / e ' t>eny\Si ez = ex C o s y + i ey S e n y <=> 0 = Arg(z) = A rgTg — ------J = are Tg (Tg y)

\ez I = ex v (Cosy)-1 + (Sen y)-’ =e'

e x Se n y

ex C o s y

0 = Arg(z) = y .

Demostración de EC. 6 : ez = I <=> z = 2n7ii , V n e Z

(1) S e a z = x + y i <=> ez = ex + >‘ = ex eiy = ex ( C o s y + i S e n y ) = exC o s y + i e 'S e n y

(2) S i e z = l => ex C o s y + ie 'S e n y = 1

(3) Por igualdad de complejos : e x C o s y = 1 a e ' S e n y = 0

(4) C om o ex * 0 , entonces , S e n y = 0 <=> y = kft , k e Z

(5) Ahora , si y = krc c=> C o s y = C o sk rc = ( - l ) k

(6) Luego , en la primera igualdad de (3 ): e *(-I)k = 1 = ( - i p <=> e x = (- l)k

ex = 1 <=* x = 0

y ;(8) Por lo tan to , z = x + y i = 2n7ti , V n e Z

(9) Recíprocam ente , si z = 2 n 71 i => ez =e2n*' = C o s2 n 7 i + i Se n 2 n rc = 1 + Oi =

(7) Pero e * > 0 < = > k = 2 n - = > - í íL v = 2n7t

O P E R A C IO N E S EN L A F O R M A E X P O N E N C IA L

La s fórmulas relativas al producto , cociente , potenciación y radicación

de núm eros complejos en la forma polar son sim ilares para d ichas operaciones

en la forma exponencial. Esto es :

1. z,z, = (r,e1*') (r,el8;) = r:r, c i<e,* e’J

2 £ l = í l ^ = Í I l U ^ - «z 2 r, ei9: V r, /

3. z n = {re*)n= r "e íne

4. z ,'" = ( r e T = r ,/n ík *y n , n e Z y k = 0 , l , 2 ..........n - l

364 Capitulo 7: Números complejos

p — { MISCELANEA DE EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^----

e jem p lo 1 j S i z = - 7- + ^ r - i y w = - ^ - ~ ¡ , hallar z n + w " , donde— __ J 2 2 2 2n e s un número entero.

Solución. Exp resando z y w en su forma polar obtenem os

z = Cis(2rc/3) y w = Cis(4rc/3)

Entonces : z " + w " = C o s ^ ^ ^ j + i S e n + C o s + ¡ S e n (1)

Dado que :

C o s 120° = - C o s 60° y C o s 240c = - C o s 60° c=> C o s = C o s

Se n 120° = S e n 60° y S e n 240° = - S e n 60° <=> Se n = - Se n

Por lo tanto , en (1):

z " + w " = 2 C o s ■

E jem p lo 2 j Aplicar la potenciación de núm eros complejos para expresar

Tg60 en términos de T g6.

Solución. Por el Teorema de De Moivre : C o s60 + i Sen60 = (C o s0 + i S e n ©)'1Desarro llando la potencia y luego ordenando las partes reales y las

partes im aginarias , obtenem os

C o s 60 + i Se n 6 0 = (C o s”0 - 15 C o s 40 S e n :0 + 15 C o s :0 S e n J0 - S e n '0) +

+ i (6 C o s ‘0 S e n 0 - 20 S e n '0 C o s '0 + 6 C o s 0 S e n -0)

De la igualdad de núm eros complejos se sigue que :

C o s6 0 = C o s 0 - 15 C o s J0 S e n :0 + 15 C o s :0 S e n J0 - Se n ' 0 _ Sen60

Sen60 = 6 C o s '0 S e n 0 - 20 S e n '0 C o s ’0 + 6 C o s 0 Sen<0 J ^ 9 1 C o s6 0

Ahora , d ividiendo cada término del num erador y denom inador de T g60 entre

C o s ft0 , se tiene

0 = 6 T g0 - 20 T g ’Q + 6 T g 5Q my I - 15 T g :0 + l 5 T g J0 - T g '0

Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 365

Ejemplo 3 J S e a z e C , z * z0 , dem ostrar que : ( z n) = { z f

Demostración. S i z = re ,e ■=> z = r<ri8

Luego : z n = rn eine <=> ( z n) = rn r in8

z = re-ie <=> ( z )n = rne-'n9

Por lo tanto , de (1) y (2) se tiene : ( z n) = ( z )n

(1)

(2)

I Ejemplo 4 ) Se an z. , z. eC . demostrar que Cosv|/= Z?\ ,' J 2 7

donde

y e s el ángulo com prendido entre los radios vectores que

representan a z, y z2

Demostración. Se a n los complejos :

z t =rl eia y z, = r,e*

Luego : z, z, = r( r, = r^, C is (a - P)

Entonces : R e (z1 z ) = r, r, C o s (a - p)

= I z, I I z, I Cos(oc - p)

de donde se obtiene : C o s \\i = ^ e Z| z ^z.

ha lla r:Ejemplo 5 j S e a z = x + y i tal que z39 = 1 y z = 1 ;

Re(z + z2 + z3 + . . . . + z37)

Solución. S e a S = z + z : + z-1 + . . . . + z” = z( 1 + z + z- + . . . . + z %)

Entonces : S = z ^ 1 ~z ) . Pero z ,v = z-7z : => 1 = z ,7z 2 <=> z ,7 = 1/z2

Luego :

g _ J \ • 1/z2 \ _ {z + \ \ _ r ( x + l , y ) 1 _ I7 ( x + Q x + y- x y -y (x - ) - 1 )\-|\ 1 - z / V z / L ( x , y) J |_\ x 2 + y 2 ’ x2 + y 2 IJ

_ / x 2 + y 2 + x - y \ „ x 2 + y 2 + x _

" l x 2 + y 2 ; x Ü T - i ^ R e (S ) " x 2 + y 2 "

Ejemplo 6 ) U no de los vértices de un octógono regular co incide con el

afijo del complejo z = 2 C o s 15° - 2 i S e n 15°. Hallar los vérti­

ces restantes (o una fórmula que permita calcularlos).

366 Capítulo 7: Números complejos

Solución. Un octógono regular e s descrito por los afijos de la raíz octava de un

determinado complejo. Ahora bien , sabe m o s que los argum entos de

cada raíz están igualmente e spaciadas un ángulo a = - ^ = = 45°

Entonces , si z = [Cos(-15°) + i Sen(-15°)] , una fórmula que permite calcular los

afijos de cada uno de los vértices del octógono e s

z = 2[Cos(-15° + 45°k) + i Sen(-15° + 45°k)] , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

S i k = 0 ■=> w„ = 2 Cis(-15°) , k = 4 <=> w, = 2 Cis(165°)

k = 1 w, = 2 Cis(30°) , k = 5 <=> w s = 2 Cis(210°)

k = 2 =* w, Cis(75°) , k = 6 => wh = 2 Cis(255°)

k = 3 i=> w. = 2 Cis(120°) , k = 7 => w 7 = 2 Cis(300°) ■

E jem p lo 7 j Determ inar el total de núm eros enteros positivos n de tres

cifras que verifican la igualdad : ( 1 + ^ i) = 1 + i

' i ^Solución. El complejo z = i + i , en su forma polar e s z = Cis(7i/3) = e'm

Luego , si (e"t/,)n = eim <=> ^ ^ + 2krc (Igualdad de complejos)

de donde se obtiene : n = 6k + 1 ; com o n e s de tres cifras <=> 100 < n < 999

esto es : 100 < 6 k + 1 < 99 9 => 16.5 < k < 166.3 => 17 < k < 166 , k € Z*

D ado que , por cada k existe un n ■=> n = ( 166 - 17) + 1 = 150 ■

E jem p lo 8 J Demostrar que para 0 e [0 , 2k ) y n número natural

( 1 + S e n 0 + i C o s e r e o s ; n ( « - e)] + i Sen r n ( £ - e)l' 1 + S e n e - i C o s e ' 2 n L v2 n

Demostración. Se an : z = 1 + Sene + i C o se y w = I + Se n e - C o se

<=> z = S e n y + Se n e + i S e n - 0) =

= 2 S e n ( 5 + e ) c o s ( í . e ) + 2 i S e n ( i . e ) c o s ( i . e )

Por ser complementarios : C o s ( j + t ) s S e n ( j ' t )

Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 367

« z = 2 S e n ( | + | ) C o s ( £ - | ) + 2 i S e n ( 5 - | ) S e n ( f + « )

= 2 S e n ( £ + § ) [ C o s ( J - 1 ) + ¡ S e n ( i - 1 ) ] = 2 S e n ( j ♦ | ) [ » * » • « ]

Por un razonam iento similar se dem uestra que

w = 2 Se n ( | + | ) [ e o s - | ) - i S e n ( | - | ) J = 2 Se n [««*"•«»]

Por lo que : = e,n(lt/2’e) = C o s n - e j + i S e n n ^ - e) ■

E je m p lo 9 ) D ado e e R , demostrar que si z + y = 2 C ose , entonces

a) z m + y ^ = 2 C o s me , m € Z*

b) z m ' = 2 i S e n me , m e Z *

Demostración. S e a z = r(Cos6 + i Sene) <=> z l = -j- (C ose - i Sene)

Luego : z + j = (r + -j- )C o se + i (r - 1 )Sene1

1 e s real *=> Im (z + i

1 ^ 1

Dado que z + ^ e s real ■=> Im (z + 1 ) = o

Esto e s , s i : ( r - j )S e n e = 0 <=> (r - j- = 0) v (Se n e = 0)

<=> r = 1 v e = 2k7t

Para r = 1 se tiene : z = C o se + i Se n e y z x = C o se - i Se n e

=> z m = C o s me + i Se n me y z m = C o s me - i S e n me Por lo tanto , sum ando y luego restando los extremos de am bas ecuaciones obte­

n e m o s

a) zm + y r = 2 C o s me b) z m - —¡ = 2 i S e n me ■

E je m p lo 1 0 J S i Se n a + S e n ¿ + Sene = 0 y C o sa + C o sb + C o s c = 0 ,

demostrar que Sen3a + Sen36 + Sen3e = 3 Sen(a + b + c)

Solución. S e a n : A = C o sa + i Se n a , B = C o s b + i Sen¿> , C = Cose + i Sene

<=* A + B + C = C o sa + C o sb + C osc + i (Sena + S e n ¿ + Sene)

Luego, si A + B + C = 0 ^ [ (A + B ) + C ]? = 0 => (A + B)3 + 3(A + B)2C + 3(A + B )C 2 + C 3 = 0

368 Capitulo 7: Números complejos

de donde : (A + B )’ + C ’ + 3C (A + B) (A + B + C) = 0 r=> (A + B ) ' + C ' + 3C (A + B) (0) = 0

De m odo que : (A + B)* + C- = 0 => A ? + B ; + C- + 3 A B (A + B) = 0 (A + B = - C)

==> A , + B ' + C , = 3 A B C

Del Teorema de De Moivre y del producto de complejos si sigue que

(Cos3a + Cos36 + Cos3c) + i (Sen3a + Sen3¿ + Sen3c) = 3[Cos(a +b+c) + i Sen(a + b+c)] Por igualdad de complejos , lom ando la parte imaginaria obtenem os

Se n 3a + Se n 3 ¿ + Sen3c = 3 Sen (a + b + c) ■

C jem p lo 1 1 ^ Para z = Cis(7t/4), hallar: a) El módulo y el argumento de (1 + i z)6

b) lm(1 + iz)6 en sum as, usando el Teorema del binomio de

Newton.

Solución, a) S e a 9 = 71/4 <=> i z = i (C o s0 + i SenG ) = - Se n e + i C o se

<=> I + i z = (1 - SenG) + i C osG = (Senrc/2 - SenG ) + i Sen(rc/2 - Q)

= 2Cos(3 + Í ) S e n ( i - f ) +2 ¡ S e n ( | . | ) c o s ( | . f )

Por ser complementarios : C o s ( y - ®) = Se n ^

« 1 + ¡ z = 2 Sen ( f - f ) [ c o s ( f + | ) + iSen(f ♦§) ]

Para G = k/4 se tiene : l + i z = 2 Sen(7ü/8) [ Cos(3rc/8 + i S e n (3rc/8)j

<=> (l + iz)6 = T S e n h(7t/8) [Cis(97i/4)]

Por lo que : M od( I + i z)ft = 26 [ '\j 2 ) = (2 - V2)- = 20 - I4 \ 2

A rg(l + i z)6 = 971/4 = 225°

b) ( l + i z ) A= X ( k ) ( l)k (iz)hk = ¿ ( k ) (et*a ei*Y,’k k = 0 k = 0

= X (k ) (gi(w:t0))ft' k = Xk s O k =0

lm ( r+ iz )A= X (k ) S e n (6 -k ) (ti/2 + G) = ¿ ( k ) c o s ( 6 - k)G

E je m p lo 1 2 j Demostrar que si (o19 = 1 y oj * 1 , entonces

1 + 2co + 3o)2 + .......... + 19(o18 = 19CD - 1

Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 369

Demostración. S i (0IV = 1 => (O19 - 1 = 0

t=> (co -1 )(ü)ls + (O17 + ........... + (0 + 1) = 0

Por hipótesis w * 1 = * co - 1 * 0 , luego : o)'* + co'7 + ....+ (o + 1 = 0 (1)

Representem os p o r : S = 1 + 2(0 + 30^ + .......... f9<olli

t=> (OS = (o + 2Í02 + ......... 18(018 + 19(019

Restando se tiene : S - coS = (1 + <o + co: + . . . .+ co17 + co,s) - 19(0W

Por (1) , la expresión entre paréntesis e s igual a cero , por lo que :

19 (O19 19 mS(1 -0)) = - 19(0,g <=> S =

c o - 1 ( 0 - 1

Ejemplo 13 Sim p lifica r : 2 + 3 (2 )C o sG + (4 )(3 )C o s2G + . . . . +

(20)(19 )Cos186 sabiendo que<?19i0 = 1 y e '" / 1

Solución. Se an : A = 2 + (3)(2)CosQ + (4)(3)Cos2G + .......... + (20)(19)CosI 80

B = (3)(2)Sen0 + (4)(3)Sen2G + ...........+ (20)(I9 )Sen l8G

=> A + Bi = 2 + (3)(2) (C o s0 + i Sen0) + (4)(3) (Cos20 + i Sen20) + .......... +

(20)( 19 )(C o s 180 + i Se n 180)

Tomando el complejo unitario (0 = C o s0 + i S e n 0 , podem os escribir

A + B i = 2 + (3)(3)(0 + (4)(3) (O2 + .......... + (20)( 19) (Ol 8

Llam ando z = A + B i , debem os simplificar la parte Re (z) = A

Esto e s , si z = 2 + (3)(2)<o + (co + (4)(3)co2 + . . . . + (20)(19)(o,s

c=>ü )z= 2(0 + (3)(2)(02 + . . . . + (19)(18)(0IS + (20)(19)(O|y

<=> z - (O Z = 2 + 2 (2) (O + 3 (2) (O’ + ............ + 19(2)(OIK - (20)( 19)Cü,,í

= 2 (1 + 2 (0+ 3(0-’ + ...........+ 19(0,s) - (20)( 19)0)19

1 QPor el Ejemplo 12 , la sum a entre paréntesis e s S = , y (o|y = e19,0 = 1

=> (1 -(ú)z = 2 Í - ^ - ) - (20)(19) = - 38 ( \ ^ 2 = J 8 0 , 38 (1)\ (O - 1 / \ (0-1 I ( 0 -1 ((O -1)- '

(O - 1 = C o s0 - I + iSe n 0 = - 2 Se n 2 ^ + 2 i Sen C o s^ - = 2 i Se n ® (C o s^ - + i Sen

(0 -1 2 Se n (0/2)

380e-Kwi+«w) 38 g'«**»)

= 2e'm S e n | (eM2) = 2 ( se n e W ' 0™

Luego , en (1 ): z =2 Sen(0/2) 4 S e n 2(0/2)

Por lo que :

A _ Re (z) _ 380 Cos(7t/2 + 0/2) _ 38C o s (ti + 0) = _ 380 S e n (6/2) + 38Cos0

2 Sen(0/2) 4 S e n :(0/2) 2 Sen(0/2) 2(1 - C o s0 )

de donde obtenem os A = 19 ( 1 ■ - -Q-s9 - 1) ■v i - CosB /

370 Capítulo 7: Números complejos

C jcm p lo 1 4 ] D ado n e Z’ , convertir a producto las su m as

a) (q ) C o sn G + ( ^ C o s (n - 1)6 + ( 2 ) c o s (n - 2)0 + ____+ ( p )

b) (o ) S e n n 0 + ( i ) S e n (n -1 )0 + (£ ) S e n (n - 2)0 + . . . + ( " )

Solución. Se a n : A = (q ) C o sn 0 + Cos(n - 2)0 + ( " ) C o s(n - 2)0 + . . . + ( " )

iB = i(| ])se n n 0 + i ( 'i ') c o s (n - 1)0 + i(^ !)Sen (n - 2)0 + . . . i(^ )

=> A + iB = ( (nJ (C o sn 0 + iS e n n 0 ) + ( " ) [Cos(n - 1)0 + i Sen (n - 1)0] +

( " ) [Cos(n - 2)0 + i Sen (n - 2)0] + . . . . + (J¡) (1 + i)

= X (k) [Cos(n - k)0 + i Sen (n - k)0]k = 0

Tom ando el complejo unitario z = C o s0 + i Se n 0 <=> z " ' k = C o s(n - k) + i Sen(n - k)

En tonce s: A + i B = £ (£ ) z " 'kK a 0

Por el binomio de Newton : ( z + l ) n = X ( k ) z n' k ( l )k = X (£ ) z n-kk = ü k = 0

Esto e s : A + iB = (z + 1)" = ((1 + C os0 ) + i S e n 0 ]n

= | 2 C o s : ® + 2 i Se n C o s ® J n = j 2 C o s ® ^Cos ^ + i S e n J 0

= 2nC o sn(0/2) [Cos(n0/2) + i Sen(n0/2)]

Por lo tanto: a) A = R e ( z + l ) " = 2" C o s " ( ® j C o s (A p j

b) B = Im (z + 1)" = 2n C o s " ( ^ ) S e n ( A p ) , ■

E je m p lo 15 j Convertir a producto la sum a

C o s x + ( ^ C o s 2 x + ( 2 ) C o s 3 x + . . . . + C os(n + 1)x

Solución. S e a n : A = X ( £ ) c o s ( k - l ) x y B = X ( k ) s e n ( k + l ) xk = 0 k = o

o A + B i = £ ( k ) [C o s ( k + l)x + iS e n ( k + l)x] (1)

Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 371

Considerem os el complejo z = C o s x + i S e n x <=> z* * 1 = C o s(k + 1 )x + i Sen (k + 1 )x

Luego , en (1): A + B i = I ( J ) z k- ' = z Z ( k ) ( l)n' k z kk = 0 k = 0

Por el binomio de Newton : A + B i = z (1 + z)"

En el Ejemplo 14 obtuvimos :

(1 + z)" = 2" C o s " ( 4 ) [ e o s p 2 L ) + i S e n ( ^ - ) ] = 2” C o s " (e'nxp-)

<=> Z(1 + z)n = (e")2n C o sn ( y ) (<,’•"v-) = 2n C o s " (4 ) ie ,{n*')%n)

A = R e [z ( 1 + z)"] = 2" C o s 11 C o s x ■

E je m p lo 1 6 J Dado n e Z* , convertir a producto la sum a

C o s2x + C o s 23x + C o s 25x + . . . . + C o s 2(2n - 1)x - ^

Solución. B a sándono s en la identidad : C o s x = - (1 + C o s 2 x) , la sum a dada se

puede escribir

n • n

I C o s :(2k - l ) x - H = i ¿ [1 + C os(2k - l)2x]- J1 = *1 + 1 X C o s (2 k - l )2 x - ^k = 1 / 2 2 k = i ¿

=> X C o s -(2 k - l)x - = A X C o s(2 k - l)2x (1)k = I ¿ L k = I

C onsiderem os el complejo unitario z = C o s 2 x + i Sen 2 x =

n ny se a n : A = X C o s ( 2 k - l ) 2 x y B = X S e n ( 2 k - I ) 2 x

k = l k =1

n n n■=> A + iB = X [C o s(2k - l)2x + i Sen (2k - l)2x] = X z :k, = z X z 2(k,>

k = I k = I k = I

Tenem os una serie geométrica de razón z- , luego :

A o / l - z - " \ r I * C o s2 n (2 x ) - i Sen2n (2 x)"|A + [ j T ^ l ~ ZL I - Cos2 (2 x) - i Sen2(2 x) J

T 2 Se n (2 n x) - 2 i Sen(2 n x) C o s(2 n x) "I

“ Z L 2 S e n : 2 x - 2 i S e n 2 x C o s 2 x J

T - 2i S e n 2 n x (C o s2 n x + i Se n 2 n x ) ~| = ( S e n 2 n x ) (C D s2nx + iS e n 2 n x )L - 2i Se n 2x (C os2x + i Sen2x ) J \ Se n 2 x /

Entonces: A = Re(A + i B) = ( f S g a ) Cos2nx =

372 Capítulo 7: Números complejos

L u e go , en (1): X C o s :(2k - 1) - H = S ®n4x a ' k . i ' ’ 2 4 Se n 2 x

Ejemplo 17 j Convertir a productos

1 - ( '11)C o s2 x + ( 2 ) C o s 4 x - ( 3 ) C o s 6 x + . . + (-1)" ( " ) C os2nx

Solución. Sean: A = X (-l)k (£ ) Cos2kx, la sum a dada, y B = X ( - l)k ( k ) Sen2kxk = <> k = o

d e m o d o q u e A + iB = X (-l)k ( k ) (C o s 2kx + i Sen 2kx) (1)k = 0

C onside rando el complejo

z = C o s 2x + i Sen 2x , se tiene que : z k = C o s 2kx + i S e n 2kx

Luego , en (1): A + i B = X (-l)k (k) zk = X (¡J) (-z)k( 1 )n kk = o k =« o

y por el binomio de Newton : A + iB = ( - z + l ) n (2)

Ahora , 1 - z = 1 - C o s2 x - iSe n 2x = 2 S e n 2x - 2 ¡Senx C o sx = - 2 iS e n x (C o sx + i S e n x )

=> I - z = 2(e M1) Se n x (<?»*) = 2 Se n x (<?'<x■ w:>)

Por lo que , en (2 ): A + i B = 2n S e n nx (eA = Re (l - z)n = 2n Se n "x C o s n(x - n/2) ■

E je m p lo 1 8 Demostrar que si (n + 1)x = n , con n entero m ayor que uno ,

entonces S e n 2x + S e n 22x + S e n 23x + . . . + S e n 2nx = n * 12

Demostración. Se gún la identidad , Sen-’x = ( I - C o s 2 x ) , la sum a dada se puede

escribir

n n n

X Sen-’kx = X 1 (I - C o s 2kx) = -£ - Jr X C o s 2kx (1)k=i k=i 2 2 2 k = i x 7

n n

Se an : A = X C o s2 k x , B = X Se n 2 kx y el complejo unitario z = C o s 2 x + i Se n 2 xk = l k= l

n n n

=> A + ¡B = X (C os2k i + i S e n 2 k x ) = X (z)k = z X z “’1 = z ( * , * zn )k = I k = ! k = I \ 1 -Z /

_ 2 / 1 - C o s 2nx - i S e n 2nx \ _ z / 2 Se n nx - 2 i S e n nx C o s nx \\ I - C o s 2x * i S e n 2x / V 2 Sen-'x - 2 i S e n x C o s x /

Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos 373

f - 2 i S e n nx (C o s nx + i S e n nx) ~1 _ M>r Se n nx (en‘x) "l

~ Z L - 2i S e n x (C o s x + i S e n x) J L L Se n x (e1*) J

= ( e n x ~ ) gKn<l>> ^ A = R e (A + i B ) = ( ^ e n x * ) C o s (n + O x (2)

Por hipótesis : (n + l)x = n <=> nx = 7i - x ■=> Se n nx = Sen(7i - x) = Se n x

Luego , en (2 ): A = ( ^ f -n-n— ) C o s n = -1* oGn x •

n i i Por lo tanto , en (1): X Sen-’ kx = -y - — (-1) = ■

k = I ¿ -

Ejemplo 19 Calcular: Cos ( l ? ) + 2 Cos (t ) + ............ * (n' 1) Cos

Solución. S e a el complejo unitario z = C o s x + i Se n x , donde x = 27t/n

Form em os el complejo A + i B en función del complejo z , de modo tal

que s i :

A = C o s x + 2 C o s 2x + 3 C o s 3x + ........+ (n - l )Cos(n - l )x

B = Se n x + 2 Se n 2x + 3 Se n 3x + ........... + (n - I ) Sen(n - l )x

<=> A + i B = z + 2 z ! + 3 z -’ + ........ + (n - I )z" ‘1

z(A + i B) = z2 + 2 z- + ..........+ (n - 2) z n ’1 + (n - 1 )zn

Restando am bos extremos de las dos igua ldades obtenem os

(1 - z) (A + i B) = z + z2 + z- + .... + z n' 1 - (n - 1 )zn

= z(l + z + z 2 + . . . . + z n 2) - ( n - l)zn = z ' Zz ~ ) • (n - l)zn

de donde : A + i B = -r.:- Zy - .~ ^ Z 0 )(1 - z ) 2 1- z

Para x = 2n/n se tiene que , z n = 1 . Luego , en (1): A + i B = (2)

z - 1 = C o sx - I + i S e n x = - 2 S e n :(x/2) + z i Sen(x/2) Cos(x/2) =

2 i S e n C o s + i Sen J

= 2 (e,K/2) Se n | [í?ix/2] = 2 (S e n A ) <?'<"2 • x/2>

Luego , en (2 ): A + i B = ( — n / ) e 'm l * v2)a w \ 2 Sen(x/2) I

■■■ A ■ Re(A + ' B> = ( 2 l f e ) Cos ( f + ! ) = ( i s i f e ) (•Sen f ) “ - f ■

374 Capitulo 7: Números complejos

E jem p lo 2 0 J Hallar las su m as : a) 1 - (^ ) + (^ ) - (g ) + ..........

b> ( í ) - ( n3) - ( n5) - ( n7) - - - -

Solución. S e a el número complejo : z = I + i = V2 C is (7t/4)

Por el teorema del binomio : ( l + i ) n = X ( k ) ( l ) " ‘k (i)nk = 0

« o ♦ ir - (S)i-♦ (?) ¡ ♦ (n2) ¡! ♦ (",) i’ ♦ (") * (?) i* ♦ (n6) i- ♦ (?) ¡’ ♦ . . .

■ ..........

=> Re(, + ¡)» - 0 - { » ) ♦ (1) - ( " J ♦ . . .; Im (1 + ¡)"- ( ? ) - (",) ♦ (",) - (<]) +

Pero: Re( 1 + i) = V2 Cos(rc/4) ^ Re( I + i)n = 2 nQ C o s (nn /4)

Im (l + i) = V2 Sen(n/4) => lm(l + i)n = 2n/: Sen(n7t/4)

Por lo tanto : a) 1 * ) + ( " ) - ( " ) + ............= 2n/: C o s (n7ü/4 )

b> ( 7 ) ' ( 3) + ( 5) ~ ( 7) + • • • • = í 1"1* Sen (nn/4)

E JE R C IC IO S : Grupo 42

1. Escribir en forma exponenc ia l: z = ^ +(-1 + i\3 ) (4 - 4i)

2. Calcular y expresar el resultado en la forma a + bi de z

3. Expresar C o s 4x en términos de C o s4 x y C o s2 x

4. Expresar - -n-5 - en términos só lo de potencias de C o s xSen x

5. Resolver las ecuaciones :

a) z 3 - —J -' 1 = 0i \ 3 - 1

b) (z + 1 - i)3 = 1

c) (- 4V 3 - 4) + i (4^3 - 4) = ^ _ ¡

d) (i z - 1 )2 - z2 = 0

EJERCICIOS : Gmpo-42 375

6. S i z = re'*’ , dem ostrar que la parte real de \ z + \ z e s 2 a/r C o s ^ .

k = 0 ,1 , 2 ...........n -1 . Adem ás , hallar la parte real de \ 1 + h 3 + >/1 - i \ 3

7. Dem ostrar que cualquiera que se a el complejo unitario z , entonces

l z * 22 l = 2 | S e n ( — )|

8. Dem ostrar que : e‘8(1 -e 'u) = ¿ " "(1 -e ,a)

9. S i \|/ e s el ángu lo com prendido entre d o s vectores que representan a los

complejos z y w , dem ostrar que : z w + z w = 2 | z w | C o s \\i

10. S e a z = x + y i un número complejo

a) S i z = -1 , dem ostrar que no existe un número real t tal que z = \ * *!1 - 11

b) S i z * -1 y I z I = 1 , hallar el número real t tal que z = \1 - 11

11. S i z = 3 + 4i y w = 2 + 6i, hallar el coseno del ángulo comprendido entre (z - w) y z

12. Se a n n e V y a e R ; demostrar que

(1 + C o s a + i S e n a ) " = 2 n C o s " |Cos + i Se n ( ^ ) J

13. Analizar la verdad o falsedad de

a) S i (o3 = 1 , ü) * 1 , n e Z <=> o)3n + w 3n * 1 + co3n ♦2 = 0

b) S i a) * 1 , co5 = -1 ■=> o)4 - ü)3 + o)2 - ü) + 1 = 0

14. S i z = 1 + i \3 , hallar R e (z20)

15. S i A = {z e C I I z + 2 - 2 \ 3 i I < \ 2 } ; hallar z, e A de módulo máximo , z2 e A de

argum ento máximo.

16. S e a A = { z e C 11/5< I z I < 1 ,71/8 < Arg(z) < tc/3 } , B = { z € C I z e A }. Graficar

D = { i z e C I z e B } , y determinar la forma polar de z e D de módulo máximo y

argum ento mínimo.

17. Hallar Re (z) , lm (z) , tal que : (z + i)n = i z n , n eZ*

18. Simplificar: (1 + i T gx )n + (1 - i T gx )n

19. Dem ostrar que todas las raíces de la ecuación ( ^ Z ) ' = , n e Z*

son reales y distintas.

20. S i z + 1 = 2 C o s , ca lcu la r: z 9 +

376 Capitulo 7: Números complejos

21. En base a las expresiones de (1 + ¡)n

a) Dem ostrar que

(S)'+1 (?) • ( 2 ) - ¡ (S) ■♦ O * ■■ • • ' - 2“ ’ [ Cos ( x ) +¡ Sen ( t ) ]b) U sando lo anterio r, ca lcu la r: - ( 1y ) + ( 1g )

22. Dem ostrar que : •

•> ( ? : K " )+ 1(S) + . . . . = 1 |^2n' 1 + 2 n'2 S e n ( ™ ) ]

cr

ro d

( ♦ ( i ) 1 +( "o

) ♦ . . . . = 1 ^2 " . 2n'2 C o s (— ■)]

<=> ( 3n : 1 + ( i 1, ) + . . . . = 1 | 2n-1 - 2 n/2Se n ( M ) ]

23. Hallar la sum a : (r!) • K 3 ) + ^ ( 5 ) * 27 + ( 7 ) + • • • • •

24. Dem ostrar que

a) 1 +( ! ! ) ♦ (S) *[ :n9 ) - - . . = 1 [2 - + 2 C o s ( M ) j

*> ( " ! l + G)l + l[ ? ) + (io) + . . . . - ; [ 2 » + 2 C o s ( n 3 2 ) * ]

«> ( S K ) 1 + (S) --------= 1 [ 2 " + 2 C o s (ü ^ ) j i ]

25. Dem ostrar que :

Se n ( S ± ! ) x S e n (— )S e n x + S e n 2 x + S e n 3 x + ..........+ S e n n x = ------------------------------- —

Sen(x/2)

26. Dem ostrar q u e :1 S e n ( ) x

+ C o sx + C o s2 x + C o s3 x + .......... + C o sn x = — - — -= ---------2 Sen(x/2)

27. Hallar la sum a

Se n a - Sen(a + x) + Sen(u + 2x) - ..........+(-1)n' ’ Sen [a + (n - 1)x]

28. Hallar la sum a

S e n x + ('j’) S e n 2 x + ( 2 ) S e n 3 x + .......... + (n ) ^en(n + 1)x

29. Hallar las su m as :

EJERCICIOS . Grupo 42 377

a) C o s x - ( y ) c o s 2 x + (£ ) C o s 3 x - ............. +(*1)n (p ) C o s(n + 1)x

b) S e n x - ( " ) S e n 2 x + ( 5 ) S e n 3 x - .......... +(-1)n ( ¡})se n (n + 1)x

3 0 . Hallar la sum a : S e n 2x + S e n 23x + S e n 25x + .+ S e n 2(2n - 1)x

3 1 . Dem ostrar que :

. ~ ~ . o n . C o s ( n + l ) x S e n n xa) C o s 2x + C o s 22x + .......... + C o s2nx = — + ------------— «---------------

c. bGn X

0 , o o __2r*v n C o s ( n + l) x S e n n xb) S e n 2x + S e n 22x + .........+ S e n 2nx = — ------------ — ----------------

¿L c o 6 l*l X

3 2 . Dem ostrar que :

a) C o s 3x + C o s 32 x + ........... + C o s 3nx =

3 C o s ( ü f - ! ) x S e n ( ^ ) C o s ( [ * ¡ ± 1 ) x S e n ( * 2 )

4 Se n (x/2) + 4 S e n (3x/2)

b) S e n 3x + S e n 32 x + ..........+ S e n 3nx =

3 C o s ( ^ ) x S e n ( ^ - ) C o s x S e n ( ¿ M )

4 Se n (x/2) * 4 S e n (3 x / 2 )

3 3 . Dem ostrar que :

a) C o sx + 2 C o s 2 x + 3 C o s3 x + .......... + n C o sn x =

(n + 1) C o s n x - n C o s (n + 1) x -1 4 S e n 2(x/2)

b) S e n x + 2 S e n 2 x + 3 S e n 3 x + .......... + n S e n n x =

(n + 1) C o s n x - n S e n (n + 1)4 S e n 2(x/2)

3 4 . Hallar la sum a : S e n x - Se n 2x + . . . . + ( - 1 ) " * 1 S e n n x

3 5 . Dem ostrar que :

S e n ( í^ - ^ h b ,a) C o s a + Cos(d +& ) + . . . . + C os(a + ní>) = — - — -f=— — C o s (a +

Sen(o/2) ' ¿ '

S e n í ^ - ^ ) b ,

b) S e n a + Sen (a +b) + . . . . + Sen(a + n¿) = — sen(fe/2)— ^ e n (a +

3 6 . D ado n e Z , demostrar que : 1 + Z (k) (^ os-^ x ) = X (k ) 2 " - ,t C o s f ^ W xk = l ' C o s kx / k = 0 ' 2 '

378 Capítulo 7; Números complejos

I e ‘° \ n[ Sugerenc ia : Desarrollar 11 + — — - 1 ]

' u o s 0 •

37. Hallar el valor de la sum a : S = X p (~1)* (k ) ( C o s^x *)

[ Sugerencia : eis = Cosx(1 + i Tgx ) ]

n

38. U sando núm eros complejos , convertir a producto : Xk = 1

n

39. Calcu lar: X C o s ( 2k7t ] x . ( su g e re n c ia : Hacer u =k = i \ 2 n + 1 / '

40. Reso lver la ecuación en C : ( “ 7 j) + ( * = 2 C o s a , y m ostrar que

todas las raíces son imaginarias puras. ( Sugerenc ia : Hacer u= ( ^ 7^) )

41. Resolver la ecuación : (1 + z)5 = (1 - z)5

42. Desarrollar en sum as y productos : Rt’(6,ie - i)n

43. Hallar el valor de la sum a : X (-1 ) * C o s 3( ^ ^ - )k =1 ' 51 /

44. Hallar el valor exacto de

<f3)” (1° ° ) - (^3)” (1° ° ) + (V3)“ (1° ° ) - ^Í3)” (1° 0 ) + ______ 1

[Sugerencia : Desarrollar (v 3 + i)100]

45. Dem ostrar que :

2 " C o s ( ¡ 3 ) = ( g ) . ( " ) (3) + ( J ) (3)= - ( g ) (3)’ + --------+ ( " ) (3r I

s iendo n un número entero positivo múltiplo de 4. [Sug. Desarrollar (1 + i\3 )n]

46. S e a P (z) = z n - z n 1 + z n' 2 - z n 3 + . . . . - 1 , n im p a r, z = C isG , z * -1

Hallar la forma polar de P(z). (Sugerencia : U sa r cocientes notables)

47. Transform ar a producto : a) X ( k ) (_ 1) C o s k 0 b) X ( k ) H )k Se n k 0k = 0 k = 0

0 í \48. Dem ostrar que : X Tg(kx ) S e c (2 kx ) = Se n 2n ~J

M k=i C o s 2 n x C o s x

49. S in usar inducción matemática , demostrar que : ^X k C o s ( ^ - ^ ) = ^

Sen O r T T )x

2 tí2n + 1 I

1

É ^ 7

379

r \

MOTRICESA

8.1 J IN T R O D U C C IO N

La resolución de sistem as de ecuaciones lineales mediante las técnicas

u suales de sustitución y de multiplicación y sum a, se dificulta en la medida en que

aumenta el número de variables y se complica aún más, si e s el ca so que el número

de variables difiere del número de ecuaciones que conforman el sistema. Dado que

el conjunto solución de un sistem a se obtiene operando los coeficientes y las con s­

tantes numéricas, sin necesidad de reiterar la escritura de las variables, podem os

señalar que el establecimiento de ciertas relaciones aplicables a conjuntos numéri­

cos facilitará considerablemente el proceso. En tal sentido el estudio de las matri­

ces, com o un concepto del álgebra lineal, no s ofrece la alternativa de resolver los

sistem as lineales aplicando las técnicas que se describen en este capitulo.

8.2 ) D E F IN IC IO N

Una matriz e s un arreglo rectangular de núm eros reales ordenados en filas

o columnas.

Son ejemplos de matrices los siguientes arreglos

" 2 -3 V T "s \

2 a0 I -4 , | S e n a C o s(i T g a ] , -bI 10 5 3c

380 Capítulo 8: Matrices

La s matrices se denotan, con letras m ayúsculas, tal com o A , B , C , etc. El conjunto

de elementos o com ponentes de una matriz se encierra entre paréntesis o corche­

tes y en los c a so s en que no se use núm eros reales específicos, se denotan con

letras m inúsculas subind icadas : a ,b ,c , e s decirij 5 11 * 11 ’

f .

a = (<g

a.,

a «2a ,,

a u

Los sub índ ices de un elemento indican . el primero la fila en la que está la

componente y el segundo la columna correspondiente ; a s í , el elemento a32 ocupa

la tercera fija y la segunda columna. En general , el elemento a,( ocupa la intersec­

ción de la i-ésima fila y la j-ésima columna.

I Nota. S e debe destacar que una matriz e s un arreglo y com o tal no tiene un valor numérico.

8 .3 ) O R D E N DE U NA M A T R IZ

El orden o dimensión de una matriz está dado por el producto indicado m x

n, donde m indica el número de filas y n el número de colum nas. Por ejemplo:

rA =

B =

1 2 5

1 2 - I 3 )

f 1 *8

4 10

e s una matriz de orden 2 x 3

e s una matriz de orden 2 x 2

El conjunto de matrices de orden m x n, con coeficientes en K (K puede se r R o C),

se denotará K :nitn, e s decir

K " - " = ( A | A

Así, en los ejemplos anteriores : A e K ' 1-’ y B e K !,:

Sección 8.4: Igualdad de matrices 381

Ejemplo 1 j Escribir explícitamente la matriz

a) A=[<geb) B = [b.j] e K 3*3 |¿t| = m in (i, j)

c) C = [ c j € K 2«4 |c„-=i8 + j

Solución. Escrib irem os las com ponentes de cada matriz según el orden que tie­

nen y su correspondiente definición dada.

a) a u = 2(1) -1 = 1

a n = 2(2) - 1 = 3

b) bu = min(] , I) = I

= min(2 , 1) = 1

6?| = min(3 , 1) = 1

fl,, = 2 (1 ) - 2 = 0

a,, = 2 (2 ) - 2 = 2

A =I 0 -I

3 2 1

br = m in(l , 2) = I

b:: = min(2 , 2) = 2

bn = min(3 , 2) = 2

1 1 1

fl„ = 2(1) - 3 = -1

fl„ = 2 ( 2 ) - 3 = 1

= m in(l , 3) = 1

= min(2 , 3) = 2

b}} = min(3 , 3) = 3

.-. B =

c) c M = 12 + I = 2 , c¡2 = I 2 + 2 = 3

c :, = 2- + 1 = 5 , c22 = 2: + 2 = 6

.-. C =

1 2 2

1 2 3

Cn = l 2 + 3 = 4 , cr = l 2 + 4 = 5

C,, = 2‘ + 3 = 7 , c,4 = 2~ + 4 = 8

2 3 4 5

4 6 7 8

8.4 ) IG U A LD A D DE M A T R IC E S

S e dice que dos matrices A y B son iguales si so n del m ism o orden y su s

com ponentes correspondientes son ¡guales, e s decir, si las matrices son idénticas.

Formalmente

(1)

Si A no e s igual a B se nota : A * B

382 Capitulo 8: Matrices

Ejem plo 2 J Se a n las matrices A = (atJ e K J x í I ü i| = 2 ’- ( - 1 ) 1 y

; hallar los valores de x e.y de modo que A = BB =x - y 1

3x - y 3V. J y

Solución. Determ inem os los elementos de la matriz A

a I1 = 2 '- ( - l ) l = 2 + 1 = 3 ; ar = 2 ' - (-1): = 2 - 1 = I

a,, = 22- ( - l ) l = 4 + I = 5 ; a:: - 22 - (- I)1 = 4 - I = 3

Luego , s i : A ='3 1 ’ f t "vx - y 1

5 3 3x - v 3<=> (x - y = 3) a (3x - y = 5)

Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x = 1 , y = -2 ■

8 .5 ^ ) T I P O S D E M A T R I C E S

1. Matriz Rectangu la r. La matriz de orden m x n, con m ^ n , recibe el nombre de

matriz rectangular.

Por ejemplo, A =1 1 5

2 0 4, es una matriz rectangular de orden 2 x 3

2. M atriz Fila. La matriz de orden I x n se denom ina matriz fila o vector fila. Por

e jem p lo:

A = (2 -3 I 4) e s una matriz o vector fila de orden 1 x 4

3. Matriz C o lum na . La matriz de m filas y una colum na recibe el nombre de matrizcolumna de orden m x 1.

Por ejemplo , A = e s una matriz colum na de orden 3 x 1

4. Matriz Cero. Una matriz cuyos elementos son todos nulos , e s d e c ir , a ¡f = 0 ,

V i , j , recibe el nombre de matriz cero o nula.

Por ejemplo A =í o 0 o l

0 0 0e s una cero de orden 2 x 3

5. Matriz Cuad rada . La matriz que tiene el m ism o número de filas y co lum nas se

llama matriz cuadrada. Esto e s ,

Sección 8.6: Suma de matrices 383

A , e s cuadrada <=> m = nm x n

En este ca so se dice que A e s una matriz de orden n x n y se le representa por

A n> y al conjunto de matrices cuadradas se le denota por K n.

Por ejemplo , A =

O B S E R V A C IO N 8.1 En una matriz cuadrada, la diagonal principal e s una línea

formada por los elementos

a w * a n > a n .................... a nn

a u «.2

a n a 23 e s una matriz de orden 3 (A e K ’)

a n «33 ,

O B S E R V A C IO N 8.2 Traza de una matriz

La sum a de los elementos de la diagonal principal de una

matriz cuadrada A se llama traza. y se denota por Tr(A). Esto es, si

A = [ a J n => T r(A ) = ¿ a tu i

8.6 ) S U M A DE M A T R IC E S

D a d a s dos matrices A = [a ij]mxn y B = [ b jmxn, se llama sum a de A y B a

otra matriz C = Kn tal que

cij = aU +V Vi • j e {1 *2« 3...........n>Esto e s ________________________________________

(2)A + B = [ f l j + [ bti] = [ + &„]

E je m p lo 3 J Se a n las matrices

A =2x -1 y

, B = 5 - y 2 - x

< O II

-2 5 '

co■co x + 1 2 4 -1 ,

Hallar A + C , sabiendo que A = B

Solución. S i A = B <=> {2x - 1 = 5 - y => 2x + y =

3 - y = x + I = * x + y =

= 62

384 Capítulo 8: Matrices

Resolviendo el sistem a de ecuaciones obtenem os : x = 4 , y = -2

A + C =7 -2

-i 2

-2 5

4 -I

' 7 + (-2) -2 + 5 ’ 5 3 '

-1 + 4 2 + ( - l ) , 3 1

I Nota. La adición de matrices e s la ley de com posición interna que hace corres­ponder a d os matrices, del m ism o orden, su suma. S e denota

( A . B ) A + B

P R O P IE D A D E S D E L A A D IC IO N D E M A T R IC E S

S i A , B y C son matrices del m ism o orden, entonces se cumplen las si­

guientes propiedades.

A, : A , B e K r’«n , (A + B) e kmxn C lausura

A 2 : A + B = B + A ' Conm utatividad

A 3 : A + (B + C ) = (A + B) + C Asociatividad

A 4 : A e K ,n<n, 3 0mxn | A + 0 = 0 + A = A Elem ento neutro aditivo

A 5 : A e K m ,n, 3 (-A)e K m x n | A + (-A) = (-A) + A = 0 Elem ento inverso aditivo

I O B S E R V A C IO N 8.3 D o s matrices del m ism o orden se llaman conformables res­

pecto a la sum a algebraica.

I O B S E R V A C IÓ N 8.4 La s matrices del m ism o orden o conform ables respecto de

la sum a algebraica, siguen las m ism as leyes de la adición

que sujetan a los elementos que las componen. (Esta característica permite dem os­

trar las propiedades de la adición de matrices).

I O B S E R V A C IO N 8.5 Diferencia de Matrices

D ada s las matrices A y B del m ism o orden m x n , la dife­

rencia entre A y B e s otra matriz C, del m ism o orden, tal que

c = ^ nxn-[b ti]mtn = [ai r b ,fmxn

Por ejemplo, si A =7 - 2 5

3 0 1y b =

-1 4 -2

1 3 3, entonces

Sección 8.7: Producto de un escalar por una matriz 385

A - B =7 - ( - l ) - 2 - 4 5 - ( - 2 ) '

r \8 - 6 7

3 - 1 0 - 3 1 - 3

ii

2 -3 -2

8.7 ) PRO D U C T O DE UN E S C A L A R PO R U N A M A T R IZ

D ado s una matriz A y un número k e K , el producto de k por A se define por

(3)k A = k [ a u] = [k a (J]

C ada com ponente de A se multiplica por el escalar k

Por ejemplo , si k = -2 y A =-2 2

-I -5entonces

k A =' -2 (-2) -2(2) ' A -A, -2 (-1) -2(-5), , 2 10,

E je m p lo 4 j Calcular la com binación lineal de las matrices

, si X = (1 + i) A + (1 - i) B1 i i 1

A =1 -i

y b =-i 1

Solución. O b sé rve se que los coeficientes de A y B son núm eros complejos, en­

tonces, por (3), se tiene :

X = (1 + i)1 i

+ (1 - i)i 1 ' i + i ¡(1 + i f + i (1 - i) 1 - ¡ '

1 -i -i 1 1 + i -i(1 + ¡ ) , k -i(1 - i) 1 - i ,

X =1+i i-1

+i + 1 1-i ' ' 2 + 2i 0

, 1+i -i+1 , . - i - 1 1 -i j „ 0 2 - 2i >

E je m p lo 5 J Se an las matrices : A =8 -1

3 4, B =

2 3

-1 -2y c =

-1 2

4 -3

resolver la ecuación 3/2 (X + A) = 2 [X + (2B - C)] + A

S o lu c ió n . Multiplicando por 2 ambos extremos de la ecuación dada se tiene:

3X6 Capítulo 8: Motrices

3 (X + A) = 4[X + (2B - C)] + 2A => X = A - 8B + 4C

Luego , por (3) y (2) se tiene:

X =8 -1 -16 -24 -4 8 -12

\-17

+ + => X =, 3 4 8 16 . 16 -12

r--C\J 8,

E je m p lo 1T| Resolver el sistem a de ecuaciones : X - 2 Y = A, 2 X + 3 Y = B,

X , Y e K 2x2t donde. A =6 -3

y B =12 8

7 4 -7 8

Solución. Multiplicando por 3 la primera ecuación y por 2 la segunda, se tiene:

3 X - 6Y = 3A

4 X + 6 Y = 2B

de donde obtenem os : X = 1/7 (3A + 2B) y Y = 1/7 (B - 2A)

3A + 2B =

B - 2A =

18 -9 24 16 42 7 ' __K Y — 6 1

2 1 1 24*

-14 16 7 28w A. —

1 4

1 2 8 - 1 2 6 0 14 Y - 0 2

-7 8+

-14 -8 - 2 1 0—/ i —

-3 0

P R O P IE D A D E S D E L P R O D U C T O D E UN E S C A L A R P O R U N A M A T R IZ

S i A y B € K mxn, y /> y q son núm eros reales, entonces

E, : p(q A) = (p q)A

E 2 : (p + q)A = pA + qA

E 3 : p(A + B) = pA + pB

Asociatividad escalar

Distributividad respecto a la sum a de esca lares

Distributividad respecto a la sum a de matrices

EJERCICIO S. Grupo 43

1. Escribir explícitamente las siguientes matrices

a) A = [«,,]€ K 3x21 a¡j = i + 2 j

b) B = [&M] 6 K 3*3 1 6,, = 2 1 - j

c) C = [ci|] e K 3*4 1 c (j = m ax (i, j)

d) D = [</„] e K « U , i = 2‘-(-1>

Sección 8.8: Multiplicación de matrices 387

2. Se a n las matrices: A =í ~ >

x-2y x, B =

' 2 y+4y c =

' -2/3 -2 '

3 x-y 3 4 -1 0“s. yS i A = B, hallar A + 3C.

" 2x+1 2 z-1 3-2y 2 x+y

3. Se a n las matrices A = x+2 -1 2y y b = z+3 -1 z-2x

. y *1 8 x-2z z-5 6 -1 Jhallar el valor .v y z.

4. S i A =’ 3 5

, B =-2 7 n 1 '

y c =-2 1 4 -1 10 5

, resolver la ecuación

2 (X - 2B ) = 3 [A + 2 (X - 2B)J + C

5. Si A =

ecuaciones:

-3 5

2 2B =

2 3

4 5y c =

-7 3

2 -1, resolver las siguientes

a) 3 (X - 2A) = 5 (B - C ) + 2 (X - A - B)

b) 3 (X - A + B) = 2[X - 2 (B + C)] - (X + C)

' 3 1 -2 ' ' 6 7 -5 '/

6 3 -7 '

6. S i A = -7 1 4 , B = 8 4 -2 y c = 12 5 -6

_ 8 3 6 . -1 9 1 . k -1 14 10 .

resolver la

ecuación:

2 (X - 2C ) = 3 X - C - 2 (A + 2 B - X)

7. Reso lve r el sistema: 2 X + 3 Y = A, 5 X - 2 Y = B , X , Y s K 2*2

donde, A =-5 3

y B =16 -4 0 '

16 -6 21 23

8.8 ) M U L T IP L IC A C IO N DE M A T R IC E S

C on el objeto de comprender mejor el proceso de la multiplicación de dos

matrices, veam os el siguiente ejemplo.

Un fabricante de m uebles produce tres m odelos de escritorios que llevan

tiradores de metal y chapas especificadas por la siguiente tabla:

3X8 Capítulo 8: Matrices

p ite s— M a S í í A B CNu de tiradores 8 6 4

Nrj de chapas 3 2 1

Llam arem os a este arreglo, matriz de partes x modelos.

S i el fabricante recibe ped idos en el m es de Agosto, 15 del modelo A, 24 del

modelo B y 17 del modelo C; y en el m es de Setiembre, 25 del m odelo A, 32 del

modelo B y 27 del modelo C.

Llam arem os a este arreglo, matriz de modelo x mes.

S i el fabricante desea sabe r de cuántos tiradores y chap as debe disponer

cada m es para poder atender los pedidos, debe encarar el problema del siguiente

modo:

Para determinar el número de tiradores requeridos en el m es de Agosto se

sum aría el producto de cada elemento de la primera fila de la matriz partes x modelos por el correspondiente elemento de la primera colum na de la matriz modelo x mes, esto es

8 (1 5 )+ 6 (2 4 )+ 4(17) = 332

Para establecer el núm ero de chap as requeridas en el m es de A gosto se

sum arían el producto de cada elemento de la se gu n da fila de la matriz partes x modelo por el correspondiente elemento de la primera colum na de la matriz mode­lo x mes, esto e s

3 (1 5 )+ 2 (2 4 )+ 1(17) = 110

En el m es de Setiembre el número de tiradores se obtendría sum ando el

producto de cada elemento de la primera fila de la matriz partes x modelos por el corres­

pondiente elemento de la segunda columna de la matriz modelo x mes, esto es

8(25) + 6(32) + 4(27) = 500

Y para el número de chapas se sum arían el producto de cada elemento de

la segunda fila de ¡a matriz partes x modelos por el correspondiente elemento de la

segunda columna de la matriz modelo x mes, esto es

3 (2 5 )+ 2(32) + 1 (2 7 )= 166

Con los resultados obtenidos podem os hacer el siguiente arreglo:

Parles'----- Mcs,__. Agosto SetiembreN- de tiradores 332 500N? de chapas 110 166

Sección 8.8: Multiplicación de matrices 389

Haciendo u so de la notación matricial, los datos y resultado obtenido nos expresará

la multiplicación de matrices del siguiente modo:

15

LOC\J ✓ \8 5 6 332 500

1X 24 32 =

1 1 0 1663 2 / 17 27 >

O b se rvam os de inmediato que el número de colum nas de la primera matriz

es igual al número de filas de la segunda, y cuando esto ocurre se dice que las

matrices son conformables para la multiplicación.Mediante rectángulos que satisfagan la condición de que el largo del prime­

ro sea igual al ancho del segundo podem os representar el producto efectuado en la

forma siguiente:

\<— /.

Para facilitar la comprensión del producto realizado delinearemos el siguiente

diagrama

0j-ésima

1 columna de ¡i ii

o -----------------------------

i-ésima fila de A-ó c.. elementoh

de A x li

En consecuencia, una forma práctica para efectuar la multiplicación de

matrices se presenta en el e squem a siguiente:

25

32

27 J

--------- 500'

3 2 i 11° 166/

Capitulo 8: Matrices

DEFINICION 8.1 Multiplicación de matrices

S i A = Kjlmxp y B = [¿ ¡j]pxn* el producto de A X B, en

este orden, e s la matriz C = [ct|]mxn cuyos elementos se obtienen de los elem en­

tos A y B siguiendo el desarrollo:

cn = «n*i, + a¿2 i + - + üiP brt (4 )

Por esta definición cada elemento de ij de C e s la sum a de los productos

form ados al multiplicar cada elemento de la i-ésim a fila de A por los elementos

correspondientes de B, esto esj-ésima columna de B

iK

i-ésima fila de A - * ( a...... a» )

o bien

n

ij ■*— u’ip pjp= 1v

1 = 1 , 2 , 3 , . .. m ; y = 1 , 2 , 3 , ... , ny

(5)

I O B S E R V A C IO N 8.6 S i A e K mxp y B e K ,,n, las co lum nas de A y las filas de B

son vectores de R p; entonces el elemento ci( de la matriz C

e s el producto esca lar de la i-ésima fila de A por la j-ésima colum na de B.

I O B S E R V A C IO N 8.7 E! producto de A B está definido si el número de colum nas de

A e s igual al número de filas de B. S i el producto A B está

definido se dice que A e s conformable con B para la multiplicación. No significa esto

que B sea necesariam ente conformable con A respecto de la multiplicación, toda

vez que B A puede o no estar definido.

E je m p lo 1 J S i A = i 2 Y 8 = 4 1 2 ’ hallaF: ^ A B ’ b) B A

Sección 8.8: Multiplicación de matrices 391

Solución. Dado que A tiene dos colum nas y B dos filas, entonces A e s conformable

con B y el producto A B está definido.

Em pleando el método del producto escalar se tiene:

a) A B =

( 2 . 3 )

( 1 . 2 )

2 (1 )+3 (4 )

1 (1 )+2(4 )

2 (-2 )+3 (1 )

1(-2)+2(1)

i( 2 . 3 ) *

-2

> 4 . 1 -

i( 1 , 2 ) .

-2

4 1

( 2 . 3 )

( 1 . 2 )

2 (3) + 3(2)

1 (3 )+ 2(2)

-1 12 '

y9 0 7 s

b) En este caso, B tiene tres co lum nas y A dos filas, luego B no e s conformable

con A respecto de la multiplicación y por tanto B A no está definido. ■

Recordando el desarrollo inicial para establecer la multiplicación de matrices, es

evidente que el último esquem a constituye un procedimiento muy eficaz para calcu­

lar el producto de dos o m ás matrices.

if-1

>3

r

3’N

-9 s \

E jem p lo 2 J S i A = 4 3 B = 6 12 y c =4 - 1 5 2 1 1

1Si.

0J

0 15

hallar la matriz D =

Solución. S e a E = 2A - — - B =3

2A - — B 3

r- 2 6

fCO

V

enco

V

8 4 + - 2 -4 = 6 0

I\5 O 0 -5 2 -5^ J

392 Capítulo 8: Matrices

i 8.9 ) P R O P IE D A D E S DE LA M U LT IP L IC A C IO N DE M A T R IC E S

S i A, B y C son matrices de d im ensiones conform ables respecto de la sum a

y producto, entonces se tiene:

M.1: A (BC ) = (AB) C Asociatividad

M.2:f A (B+ C) = A B + A C

\ (A + B) C = A C + B CDistributividad

M.3: A B * B A

M.4: A B = 0 ^ A = 0 ó B = 0

M.5: A B = A C ¿ B = C

M.6: 3 I € K n con la propiedad de que para cualquier A e K n se cum ple que:

<IIH-«<

(I e s la matriz identidad)

Demostración. M .1 : A (BC ) = (AB) C

En efecto, sean A e K pxm, B e K mxn y C e K nxf, definidas por

A = [« J . B = (¿g y C = [ c j

n

S i B C = [ ¿ J => d„ = I ( ¡ y ) (c„)

my A B = [eik] => e lit = £ (a„) (¿>,k)

¡= i

En consecuencia, si A (B C ) = (/.,] y (A B )C = [f.,]. entonces para cada par de

índices i, t se tiene:

m m n

/« = X K) («y = X (a.¡) X (6(0 (Oi = 1 J = 1 k = I

= X X («,) (*,k) (cjj a l k s I

n m

= 1 1 H«,) (*,«)] (C„) k = 1 j c |

m n n

= 1 1 K ",) M K ) = I (««) (<••»,)j a l k = I k = I

. • • / , = * „ » A (BC) = ( A B ) C -

Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices 393

Ejemplo _ 3 ^ S i A, B y C son m atrices con fo rm ab le s para la adición y

multiplicación, dem ostrar que A B + A C = A (B+C)

Demostración. L a d em ostrac ión requ iere que la s m atrice s B y C se an

conformables respecto de la adición y las matrices A, B y A, C

respecto a la multiplicación. Entonces, sean: A = [ a j , B = [6k(] y C = [ckj]

De la hipótesis se sigue que:

v nA B + A C = 2. (i, ) + S (aj (ckl)

k - 1 ^ k = I

n

= X (alk) (b + ck|) k = 1

= ( K J ) (í K + ])

A B + A C = A (B + C ) ■

Ejemplo 4 J S e a la matriz B =' C o s x - S e n x

S e n x C o s xS i A = B 2,

hallar el valor de a n a 22, para x = 2 k/3

Solución. A = B 2 =C o s x - S e n x

S e n x C o s x

NC o s x -Sen x

/ S e n x C o s x

C o s 2x - S e n 2x

2 Se n x C o s x

C o s 2x -Sen 2x 1

Se n 2x C o s 2x

-2 S e n x C o s x

C o s 2 x - S e n 2 x

Luego: a u ü22 = (C o s 2x) (C o s 2x) = C o s 2 (4n/3) = (-1/2)2 = 1/4

Ejemplo 5 J D ada s las matrices: A de orden mxn, B de orden nxp y C de

orden rxq. Q ué condiciones satisfacen p, q y r para que las

matrices sean conformables respecto de los productos que se indican y cuál es el

orden de cada una de las matrices siguientes:

a) A B C b) A C B c) A (B+C )

394 Capítulo 8: Matrices

Solución. a) S e a A B C = D => A

b)

c)

t inxp

_ít_

El producto A B está definido puesto que el número de co lum nas de A e s igual

al número de filas de B. Luego, para que D esté definida se debe cumplir que,

p = r, entonces:

Núm ero de filas de D = número de filas de A

Núm ero de colum nas de D = número de co lum nas de C

Por tanto, D e s una matriz de orden mxq.

S e a A C B = E, entonces: A mxn

V z>*q

J tB nxp = E

El producto de A C B es conformable <=>n = r y q = n

y el orden de la matriz A C B e s E mxp.

S e a A (B + C) = F, entonces: A mxn ( B ^ + C raq) = F „

Para que sea posible la sum a B + C se debe cumplir que: n = r y p = q

Luego, si B + C = G => A ^ (G nxq) = F „

Por tanto, el orden de la matriz F es: mxq

Ejemplo 6 ^ D ada s las matrices

’ 2 1 'f 1

3

o -1-4

' 3 6 1 'A = -1 3 , B = 2 y c = -1 4 5

5 -2 2 1 2/

2 1 ' 3 6 1 '1 2 -1

-1 3 = - 1 4 53 2 - 4

. 5 -2 , 2 1 2 y

S i E = AB C , hallar la sum a S = eu + e23 + e3

Solución. S e a D = A B => D =

S i E = DC, entonces cada elemento e de la matriz E e s el producto interno de la fila

i de la matriz D por la columna j de la matriz C, esto es

= d l( c„ = (5, 6, -6) «(3, - 1 , 2 ) = 1 5 - 6 - 12 =-3 en = d 2(c ,3= (8, 4 , - 1 1 ) « (1 , 5 , 2 ) = 8 + 2 0 - 22 = 6

¿32 = cH = (-1, 6, 3) • (6, 4. 1) = -6 + 24 + 3 = 21

S = - 3 + 6 + 21 = 2 4

Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices 395

Ejemplo 7 j Hallar la matriz A e K2*2 tal que, = 5 y A 2 =7 7

21 28

Solución. S e a la matriz A =a b

c 5

a b

c 5=> A 2 =

Por igualdad de matrices : a2 + be = 7

a b a2 + be ab + 5b - í 7 7 ’

c 5 ac + 5c be + 25Si J l 21 28

ab + 5b = 7 =* b =

ac + 5c = 21 => c =

7

a + 5

21

a + 5

(1)

(2)

(3)

(4)be + 25 = 28 => be = 3

Sustituyendo (4) en (1) obtenemos: a2 + 3 = 7 => a ! = 4 « a = 2 ó a = -2

En (2) y (3): Para a = 2 = > b = 1 , c = 3 ; si a = -2 => b = 7/3 , c = 7

La se gunda alternativa no satisface be = 3, por lo que

A = | 2 13 5

Ejemplo 8^ Hallar la matriz P = A B C D , donde

1 0 ' /A = 1 -1 , B =

2 -1 \ 1 0 - 1 2 0 . C =

2 1 0 '1 -1 3 r i 0 1 -1 'l1 4 -1 ,D = 2 1 -2 20 0 2 1 0 1 03 1 0 y

Solución. S e tiene A 3x2 • B 2x5 • C 5x3 • D 3x4 = P 3x4

t_ ‘

S ie n d o el producto conform able, e fectuam os prim ero el producto C D = E, luego

B E = F y finalm ente A F = P.

Capítulo 8: Matrices

' 1 0 1 -1 'D = 2 1 -2 2

l 1 0 1 0 ,

í 2 1 0 r 4 1 0 0 '1 -1 3 2 -1 6 -3

C = 1 4 -1 8 4 -8 70 0 2 2 0 2 0

k 3 1 0 , , 5 1 1 -1 J

1 0 10 1 í 4

-1 8 -3 }0 -1 2 o , . 0 -3 12 -7 i

f 1 0 ' f 4 -1 8 -3 'A = 1 -1 4 2 -4 4

2 -1 8 1 4 1

= E

= F

= P

i¡ Se a n las matrices A =2 -1

, B =

/3 -2 10 1 '

J 3 4 k 8 6 -4 2 ✓

C =

f 30

-12

0 1 4

y D =

r2 -1

■N0

1 6 -2 2 3 3

4 1 1 1 4 -2

S i P = A B C D , hallar S = 2p12 + p )3 - 2p23

Solución. Se a n los productos A B = E y C D = F

A =

B =

-1

4

-2 10 1 6 - 4 2

-1 -10 24 0

26 18 14 11= E C =

Luego, si P = EF, entonces:

2 - 1 0

D = 2 3 3

1 4 -2

3 -1 0 4 -6 -3

1 2 4 10 21 -2

0 6 -2 10 10 22

4 1 1 11 3 1

21, 10, 3) _ 36

-2 22, 1) = 551

-2, 22, 1) = 2 0 5

= F

S = 2(36) + (551) - 2(205) = 213

Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices 397

E jem p lo 1 0 J Hallar todas las matrices, conmutativas con la matriz

' 3 1 0A = 0 3 1

0 0 3

Solución. S e a n las matrices B € K 3*3 tales que B =

A B =

ad

9

3 i 00 3 1

0 0 3 \

a b c/

d e f

k g h iV

a b c 3a + d 3b + e 3c •+ f

d e f = 3d + g 3e + h 3f + i

g h i y 3g 3h 3i

3 1N

0 3a a + 3b b + 3c

0 3 1 = 3d d + 3e e + 3f

0 0 3 3g g +. 3h h + 3i

B A =

Com o A y B son conmutativas, entonces AB = BA, luego:

3a + d = 3 a = * d = 0 , 3b + e = a + 3 b = > e = a , 3c + f = b + 3 c = > f = b

3e + h = d + 3 e = > h = d = 0 , 3f + i = e + 3 f = > i = e = a

3h = g + 3 h = > g = 0 , 3 ¡ = h + 3 i = > h = 0

3d + g = 3 d = * g = 0

3g = 3g

B =

a b c

0 a b , donde a, b, c e R

0 0 a

E je m p lo 1 Hal l ar todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadrados

son iguales a la matriz nula 0.

Solución. Se a n las matrices A e K 2*2 tales que. A =

S i A 2 = 0a

c

a2 + be

ac + de

ab + bd '

be + d2

a b

c d

0 0

0 0

0 0

0 0

398 Capítulo 8: Matrices

de donde: a2 + be = 0

ab + bd = 0

ac + de = 0

be + d2 = 0

b (a + d) = 0 « b = 0 ó d = -a

c ( a + d) = 0 » c = 0 ó d = -a

S i en la segunda y tercera ecuación, b = 0 y c = 0 tendríam os nuevam ente la

matriz nula, por lo que d = -a.

A = a b

c -a

donde a, b y c son núm eros arbitrarios que 'satisfacen la relación a2 + b c = 0

[ ejemplo 12 ^ Dem ostrar la propiedad: £f n n ' m '

X “ , = 1U - » i = l k Í= I

Demostración. En efecto, desarrollando la primera sum atoria desde i = 1

hasta i = m, se tiene:

I¡= i

’ m ' ” n ’ ' n ' n ’ n '

( í , ‘ J = . 3 a " .+

. i a

+ I a 3¡j = *

+ ... + i «mi . i =1

= K , + «12 + f l 13 + - + a J + K + a 2 2 + <*23 + - + a J +

(«3, + a 3 2 + C l 3 3 + - + a J + ~ + (flm, + «m2 + «m3 + - + O

m m m m

= + Í X + + 5 Xi a| i = | i = 1 i a |

= Ii= I

I a.ia 1

Ejemplo 13 j Dem ostrar la propiedad: Tr (AB) = Tr (BA)

Demostración. En efecto, se an las m atrices conform ab les respecto de la

multiplicación A nxm = [ a, ] y Bmxn = [ b j , de modo que si:

An*n,B m*n = C n*n = > ^ = I ( « * ) ( & « ) = > C M = I <*ik & k,k = I k = I

n n

B mxn \ x m = ^mxm ^ ^¡j = ^ ^ ¡k ) ^ k j ) ^ ^kk = ^ ^ k ¡ f l ik1=1

Sección 8.9: Propiedades de la multiplicación de matrices 399

i (O= I

n

= Ii = 1

' n

£ <*,k ¿ ,k k = 1

n

= Ii« i

¿ hAk a 1

Haciendo u so de la propiedad del Ejemplo 12 se tiene:

T r ( A B ) = I ( I bu auk = I j a l

= I (</») = Tr (D)k = I

Tr (AB) = Tr (BA)

ejemplo 14 J Se a n las matrices A =-1 i

y B =1 2i

2 4 i 1+i; hallar:

a) Tr (A + B ) , b) Tr ( A B ) , c) Tr (BA)

Solución, a) A + B =’ -1 i

+1 2i _ 0 3i

(M i 1+i 2+i 5+i=>Tr ( A +B ) = 5+i

b) A B ='-1 i ' ' 1 2i ' r -2 -1-i '

2 4v. > i 1+i 2+4i 4+8iv y

Tr (A +B ) = -2 + 4 + 8¡ = 2+8i

c) B A ='1 2i ' '-1 i ' "-1+4i 9i '

i 1+i 2 4 2+i 3+4ik. y

Tr(BA) =(-1+4i) + (3+4i) = 2+8i

O b sé rve se que: T r(A+B) = Tr(A) + Tr(B) y Tr(AB) = Tr(BA)

ejemplo 1 5 ) S i A = [ a . ]4x4 y B = [ b% ]4x4, d o n d e

a =

1, si i = j

-1, si i > j , b. = i 0, si i < j

-1, si i = j

1, si i < j

0, si i > j

. Hallar Tr (AB)

Solución. Escrib iendo explícitamente cada matriz se tiene

400 Capítulo 8: Matrices

' 1 0 0 0 ' ' -1 1 1 1 >

-1 1 0 0. B =

0 -1 1 1

-1 -1 1 0 0 0 -1 1-1

V-1 -1 1

>0

N.0 0 -1

A =

S i A B = C => Tr(AB) = T r (C ) = c n + c22 + C33 + c44

c lt = « , / „ = ( i , o , o, O ) - (- 1 . 0 , 0, 0) = - 1

c» = « w * * = (-1. 1,0, 0 ) . (1,-1. O, 0) = -1 -1 = - 2

c33 = a3 A = (-1’ *1. 1.0) *(1. 1.-1.0) = -1 - 1 -1 =-3

c44 = a4J 6(4 = (-1 ,-1 ,-1, 1) • (1. 1, 1 ,-1) = -1 -1 - 1 -1 = - 4

Tr (AB) = -10

e jem p lo 16 J S i A = ^ 1 j , a € R. hállese una formula para A n

y luego dem ostrar su validez por inducción.

Solución. A 2 =' a 1 '

C0

/—

o w 0 a\ y

A 3 = A A 2 =a 1 0 a

a2 2a "

0 a2 >

a 2 2 a ' ' a3 3a20 a2 0 a3

An =an n an‘

0 a"

Para probar que la fórmula e s verdadera, supongam os que: P(n) = A n. Luego

a 1si n = 1 =* P(1) = A , en efecto: A 1 =

Para n = h, supongam os que P(h) = A h =

0e s verdadera

ah h ah' ’

0 ah

Entonces debemos probar que para n = h + 1, también

es verdadera

EJERCICIOS : Gn<p<> 44 401

P(h+1) = A *-’ =ah*’ (h + 1 ) a h

h+1e s verdadera.

k 0 -a '

En efecto, valiéndonos de la hipótesis inductiva

A h A = A h*’=

En consecuencia, hem os dem ostrado que:

P(1) e s V a P(h) e s V => P ( h + 1 ) e s V

ah h aM a 1 ah*’ (h + 1 )ah

0 a h 0 a 0 a h*’

EJERCICIO S. Grupo 44

1. Calcular los productos:

a) 4 37 5

0 0 01 1 22 2 3

3 3 4

-28 9338 -126

7 3 2 1

-1 -1 r \4

2 2 1, 1 1

b)

2. Hallar a, b, c y d para que satisfagan la ecuación

c d 9 2

1 0 2 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0

0 6 69 8 4

0 2 -1f *N

X ' 1 '

3. S i 2 0 1 y = 5 , calcular x + y + z

-3jk

-1 0 z -3

4. S i2 b 1 d 3 0 1 2 11 5 a 0a -2 c 1\. > 0 3 0 0 -5 7 1 -b /0 0 1 1

Hallar el valor de la sum a S = a + b + c + d

5. Hallar una matriz X de orden 2x1 tal que A X = 3X, donde A =1

-2i

402 Capítulo 8: Matrices

6. Dada la matriz A =2 3

3 2, hallar el valor de A 2 - 4 A

7. C om prob ar que la s identidades a lge b ra ica s (A + B )2 = A 2 + 2 A B + B 2 y

(A + B) (A - B) = A 2 - B 2 no son ciertas para las matrices:

A =

f \ 1 -1 IICO> 1

rO

CMO

1 2

8. S i A 2 = B 2 =1 0

, A B =

*0

>-1

y B A =2 1

0 1 1 2 ^ -1 0's. y

; hallar:

9. Se a n A =

a) (A + B)2

•\-3 2

■15 8i B =

-4 2

-15 7

b) (A +B ) (A - B)

y /(x,y) = x2 - xy + y2

• a) Verificar que A y B comutan b) Eva lua r/ (A,B)

10. S i/ (x ) = 3x2 - 2x + 5, hállese el valor del polinom io/(A ) para la matriz

A =

1 -2 3

2 -4 1

3 - 5 2

1 1 1

11. S i A = 0 1 1 , hallar la sum a de los elem entos de A 5

0 0 1

s1 1

*1

12. Si A = 1 2 1 , hallar A 2

-1 -1 0

0 1 0r

0 0 1

13. Se an A = 0 0 1 nCQ>* 1 0 0

1 0 0 0 1 0

hallar A B 2

1 4 . S i A =

0 2

-2 -20 0

0

-2

2

, hallar A '°

EJLRCICIOS Grupo 44 403

15. Para la matriz de A =

1 1 3

5 2 6- , hallar (-A)3

-2 -1 -3

r2 1 3

16. S i A = 1 -1 2 , hallar la matriz M = A 3 - 2 A 2

1 2 1

1 -2 1r

2 5 1 -7S’

3 6 0*N

-6

17. S i A = 2 1 -3 i B = -2 1 3 4 , c = -1 2 4 5

-5 2 3 3 2 . 1 2 J 4 3 2 3

dem ostrar que A B = A C (aunque B ^ C )

' 2 1, B =

'O 3 7 '

3V. 4 1 8 9 /18. Se a n las matrices A =

S i P = A B C , hallar la suma: S - p u + p ,2 + p 23

19. Hallar todas las matrices conm utables con la dada

y c =

3 7 1

2 6 1

1 4 0

a) A =

2 0 . S e a A =

1 2

3 4

3 2

-1 0

0 -1

b) A =-3

-2

B =-1

2

-1

0

“N 1 0

. c = 2 1 0

3 0 1

y P = A B C , hallar el valor de la sum a S =/>,,+ />22 + p ^

2 1 . Hállese todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a la

matriz identidad I2.

2 2 . Determ inar una fórmula para cada una de las s igu ientes potencias, y luego

demostrarlo por inducción.

a)

b)C o s a -Sen aSe n a C o s a , n e Z-

' 1 1 1 ' n

c) 0 1 1 , n € Z*k 0 0 1

' 1 -1 -1 'n

d.) 0 1 -1 , n g Z-L o o 1 J

404 Capítulo 8: Matrices

e) S i A =

f 1 0 1 0 '0 1 0 11 0 1 00 1 0 1

, hallar A n

23. U na com pañía tiene 4 fábricas, cada una emplea adm inistradores, supervisores

trabajadores calificados en la forma siguiente:

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4

Adm inistradores 1 2 1 1

Superv iso re s 4 6 3 4

T rabajadores . 80 96 67 75

S i los adm inistradores ganan $ 350 a la sem ana, los superv iso re s $275 y los

trabajadores $ 200, cuál e s la nóm ina de cada fábrica.

8.10 ) M A T R IC E S C U A D R A D A S E S P E C IA L E S

C onsiderarem os en las secc iones siguientes las matrices cuadradas

que presentan ciertas características que las tipifican, entre otras, destacarem os las

siguientes:

8.10.1 ) M A T R IC E S S IM E T R IC A S

D ada una matriz A = [ a j e K n, si ocurre que [a,t] = [ a M], V i, j

d irem os que A e s una matriz simétrica. S i d e signam os con A ’ a la matriz [a(l] y si es

el ca so que A = A ’, la matriz A e s simétrica y también, para una constante Á cual­

quiera, XA e s simétrica:

' 2 2 4 ' f 2 2 4 'Por ejemplo, si A = 2 -6 0 , se tiene : A ’ = 2 -6 0

. 4 0 8 - v 4 0 8 -Com o A = A ’, entonces A e s una matriz simétrica y también

XA = (1/2) A =1-30

e s simétrica

Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 405

-------- - - - - --------

T E O R E M A 8.1 S i A e s una matriz cuadrada de orden n la matriz A + A 1

e s simétrica.

Demostrador!. S e a la matriz A = [ai; ], entonces A ’ = [a ]. S i llam am os B = [¿>i(] a la

matriz A + A ’ probarem os que B e s simétrica.

En efecto, el elemento de la fila i y la colum na j de A e s a y el correspondiente de A ’

es a , por lo tanto:

h - a* + a* * 1>

El elemento de la fila j y colum na i de A e s a y el correspondiente de A ' e s at¡, de

modo que:

(2)

De (1) y (2) se sigue que : ¿>,, = 6,

En consecuencia, B = A + A ’ e s una matriz simétrica

8.10.2 ) M A T R IZ A N T IS IM E T R IC A

Una matriz cuadrada A = [ a. ] para la cual A ’= [ av ] = -A recibe el

nombre de matriz antisimétrica o hemisimétrica.

En una matriz cuadrada A antisimétrica se verifica que

K j ] = [ -« „ ) . V i j

( 0 2Por ejemplo, si A =

Com o A ’ = -A , entonces A e s una matriz antisimétrica

I O B S E R V A C IO N 8.8 En una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal

principal deben se r cero.

r 0 2 -3 ' í 0 -2 3 "I-2 0 -1 ocurre que : A' = 2 0 13X

1 0>

-3 -1 0

^ T E O R E M A 8.2 S i A e s una matriz cuadrada de orden n, la matriz A -A ’ es

antisimétrica.__________________________________________________________________________________

Demostración. En efecto, considerando que ( A + B )’= A ’ + B ’ se sigue que

( A - A ’ )’ = A ’- ( A ' )’ = A ’- A = - ( A - A ' )

Por lo tanto. A - A ’ e s antisimétrica

' 0 1 -2 ' f 0 -1 2 1Por ejemplo, si A = -1 0 -3 => A ’ = 1 0 3

2 3 0 -2 -3 0

406 Capítulo 8: Matrices

CMO

0 - 2 4 0 2 - 4

-2 0 -6 y ( A - A ’ )* = 2 0 6 = - -2 0 -6

4 6 0

oco 4 6 0

de donde, ( A - A’ )’ = - ( A - A’ ) , por lo que, A - A’ e s antisimétrica

T E O R E M A 8.3 Toda matriz cuadrada A se puede descom poner en la

sum a de una matriz simétrica A. = 1/2 ( A + A ’ ) y otra

antisimétrica A = 1/2 ( A - A ’ ).

Demostración . Una matriz A se puede escribir com o

A = A + — A’ - ~ A’ - ( A + A’) +' “ (A - A’) (1)

Dado que : 1/2 ( A + A ’ )’ = 1/2 ( A + A’) y 1/2 ( A - A’ - 1/2( A - A ’ )

escribiendo, A, = 1/2 ( A + A’ ) y Aa = 1/2 ( A - A’), entonces A s e s una matriz

simétrica y A a e s antisimétrica. En consecuencia, hem os expresado a s í la matriz

cuadrada A com o la sum a de matriz simétrica y una antisimétrica, esto es, en (1)

A = A s + A a

1 -2 3 1 1 2 0 -3 1

Por ejemplo : 4 -3 -2 = 1 -3 0 + 3 0 -2

. 1 2 4 k 2 0 4 ( -1 2 0 .1 i i

A = A s + A a

8.10.3 ) M A T R IZ ID EN T ID A D _____________________________ _

Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son todos

uno y los otros elementos son todos ceros, recibe el nombre de matriz identidad o matriz unidad. S e denota generalmente con I n, esto es

I„ = l 5„ ] (6)

A d e m á s : T r ( I n) = n , ( I n)’ = I„ , A I = IA = A

Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 407

Ejemplo 1 ^ S i A, B, C y D so n m atrices del m ism o orden tales que

B C = C B = I , A D = D A = I ; hallar usando propiedades

a) (AB) (CD ) b) (A +B )2

Solución, a) (AB) (CD ) = A [ B (CD ) ]

= A [ (BC ) D ]

= A [ ID ]

= A D

.-. (A B )(CD ) = I

c) (A+D ) (A-D)

(M.1)

(M.1)

(Dato)

(M.6)

b) (A + B )2 = ( A + B ) ( A + B ) = (A+B) A + ( A +B ) B

= A 2 + B A + A B + B 2

c) (A+D ) (A-D) = ( A + D ) A - ( A + D ) D

= A 2 + D A - A D - D 2

= A 2 + I - 1 - D 2

= A 2 - D 2

Ejemplo 2 J

(M.2)

(M.2)

(M.2)

(M.2)

(Dato)

S i A y B = a A + p i son matrices del m ism o orden, donde

a y p son escalares, demostrar que A y B conmutan.

Demostración. D ebem os probar que A B = B A

En efecto, A B = A (a A + p I )

= a A A + p A I

= ( a A + p I ) A = B A

ejemplo 3 ^ Hallar el valor del polinom io/(A) de la matriz A =

si / (x) = 3x2 - 4

Solución. S i / (x) = 3x2 - 4 => / (A) = 3 A 2 - 41

408 Capítulo 8: Matrices

Ejemplo 4 I D ada la fòrmula e* = X* k = 1

Znk!

, V z e C, se define

eA = Xk = il

A"

k!, V A

' 0 1 1

a) Demostrar que el = e I = e b) H a lla rá , si A = 0 0 1

0 0 0

Solución, a) En la definición dada, para A = I se tiene

e‘ = X

/ \ I n

ii M*

' \

I= I ¿

✓ V

1

k = (i k!\ ^ k = o l k! J k = 0 i k!Ahora, en la fórmula dada, para z = 1 obtenem os : e' = X

k = 0

Por lo tanto, en (1): e1 = I e = e

b) Desarrollando el segundo miembro de la definición se tiene :

k!

e A =_A°

0! 1!

A 2 =

A 3= A A 2 =

2!

0

0

0

A 3+ ----

3!

1 1

0 1

0 0

1 1

0 1

0 0

A " A 2 A 3+...+ ----- = I + A + ----- + ---- +

oo ! 5 6

0 1 1

0 0 1

0 0 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

Luego, en (2) : eA = I + A + — A 2

(1)

(2)

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

= e

1 0 0 0 1 1s

0 0 1/2 1 1 3/2

(?A = 0 1 0 + 0 0 1 + 0 0 0 = 0 0 1

, 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 /

Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 409

J .8.10.4 | M A T R IZ D IA G O N A L

Una matriz cuadrada de la forma D = [ k d.] en la que k puede variar

según /', se llama matriz diagonal. S e representa usualmente por

D = diag {du, d22, d33........d j

y tiene la propiedad de que

D n = diag (dau, dn22,dnyi........dnJ

Por ejemplo, si D =' 3 0 0 '

0 - 2 0

. 0 0 4 ,

D = diag (3, -2, 4)

=> D 2 = diag (9, 4, 16) , D 5 = diag (27, -8, 64)

8.10.5 ] M A T R IZ E S C A L A R _________________

Una matriz cuadrada E = [ k 8 ] = k I n, para cualquier constante k,

recibe el nombre de matriz escalar.

Asi, la matriz E = en la que E = 4 I, e s una matriz escalar

Ejemplo 5 ^ S e a D = [di(] tal que : dt| = i, si i = j y dl() = 0, si i * j y A = [ aJ

tal que : = i, si i = k y a k = a, si i * k donde A, D e K n. Hallar

A D n, n e Z \

Solución . D e s una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal princi­

pal varían según i, esto es: D = diag ( 1. 2, 3, n )

=> D " = diag (1 , 2", 3n, n n )

A e s una matriz cu yo s e lem entos de la d iagona l principal varian se gú n i y

los dem ás elementos son todos a , esto e s

í 1 a a • • • • • a

a 2 a • • • • • a

a a 3 • •• •• aA =

410 Capítulo 8: Matrices

A D " =

1 a2n a3na 2 "* ' a3na a2n 3nn’’

a a2n a3n

a nn an"

an"

n"

8.10.6 ) M A T R IZ T R IA N G U L A R S U P E R IO R

La matriz cuadrada A cuyos elementos situados debajo de la diagonal

principal son todos ceros, se llama matriz triangular superior. Esto es, íí =0, si i > j

f 1 3 3 2 10 2 2 10 0 6 2

l 0 0 0 3 )

Por ejemplo : A = e s una matriz triangular superior

8.10 / O M A T R IZ T R IA N G U L A R IN F E R IO R

Una matriz cuadrada A cuyos elementos situados por encima de la

diagonal principal son todos cero, se llama matriz triangular inferior.Esto es, at¡ = 0 , si i < j

Por ejemplo : A =

' 1 0 0 0 '3 2 0 02 5 1 0

. 1 3 2 1 ,

e s una matriz triangular inferior

8.10.8 ) M A T R IZ P E R IO D IC A

D ada la matriz cuadrada A, si para un número entero y positivo p, ocu­

rre que:

A p+1 = A (7)se dice que A e s una matriz periódica, de período p.

Ejemplo 6 J S i A es una matriz cuadrada y periódica tal que A5 = A, hallar

el período y calcular A".

S o lu c ió n . De la relación (7), si Ap*' = A5 => p + 1 = 5 o p = 4 e s el

período de la matriz.

Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 411

Multiplicando sucesivamente, por si mismo, la matriz A obtenem os

A 5 = A . A 9 = A

A x A x A x A x A x A x A x A x A . . .

Se observa que : A 9 = a 4*2*’ = AA i3 _ A 4*3*1 = A

Ahora bien :

Ap<1 = A4m*' = A

A99 = A2 A97 = A2 ( A4*24*1 ) = A2 (A)

Ejemplo 7 j S i A =

•. A 99 = A 3

-1 -1 -10 0 0

0 0 1

, hallar A 25

' -1 -1 -1 -1 -1 -1 ' 1 0 0

Solución. A 2 = A x A = 0 0 0 0 0 0 = 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

= I

Luego, A 3 = A 2 A = I A = A = > p + 1 = 3 < = > p = 2 e s el período de la matriz A.

A 25 = A 2*12*1 = A

Solución . A 2 = A x A =

A 2 = A 2 A =

' 0 -1 0 'A = 1 1 1 , calcular A ’00

0 0 -1 ;

' 0 -1 0 ' 0 -1 0 ' -1 -1 -1 '

1 1 1 1 1 1 = 0 0 0

k 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 ,

-1 -1 -1 ' 0 -1 0 ’-1 0 0 '

0 0 0 1 1 1 = 0 -1 0

k 0 0 1 . 0 0 -1 k 0 0 - 1 ,

Entonces : A 4 = A 3 A = (-1 ) A = -A

A 5 = A 4 A = (-A) A = -A2

A 6 = A 5 A = (-A2)A = -A3 = - (-1) = I => A 7 = A 6 A = IA = A

= -I

412 Capítulo 8: Matrices

Luego, /> + 1 = 7 <=>p = 6 e s el período de la matriz A

A 100 = A 3 ( A 97 ) = A3 ( A6*’6”1 ) = A3 (A) = A4 = - A

I O B S E R V A C IO N 8.9 Matriz ídempotente

S i en la fórmula (7)p = 1, esto es, A U1 = A 2 = A, entonces la

matriz A se llama ídempotente.

-1 2 4 1

ejemplo 9 | Establecer si la matriz A = 1 -2 -4 e s idempote

-1 2 4

' -1 2 4 ' -1 2 4 ’ ' -1 2 4 '

S o lic ión . A 2 = A x A = 1 -2 -4 1 -2 -4 = 1 -2 -4

k -1 2 4 . -1 2 4 k -1 2 4 ,

= A

Por lo tanto, la matriz A e s Ídempotente.

Ejemplo 10J

2 -3 -5 ’ -1 3 5 '

S i A = -1 4 5 y b = 1 -3 -5

1 -3 -4 -1 3 5

hallar A 5B 7

2 -3 -5 2 -3 -5’

2 -3 -5

Solución. A 2 = 1 4 5 -1 4 5 = -1 4 5 = A

t 1 -3 -4 1 -3 -4 1 -3 -4

Entonces : A 5 = (A2>*A = (A)2 A = (A) A = A 2 = A

-1 3 5 -1 3 5 -1 3 5

B 2 = 1 -3 -5 ‘ 1 -3 -5 = 1 -3 -5 = B

.-1 3 5 .-1 3 5 .-1 3 5

Luego : B 7 = B (B2) 3 = B (B)3 = B 2 B 2 = B x B = B 2 =: B

2 -3 -5 ' -1 3 5 0 0 0 '

A 5 B 7 = -1 4 5 1 -3 -5 = 0 0 0 = 0

1 -3 -4 , -1 3 5 , 0 0 0 ,

= A (A es Idempotente)

= B (B e s Idempotente)

I O B S E R V A C IO N 8.10 Matriz Nilpotente

U na matriz A, para el cual Ar = 0, siendo p un número

entero y positivo, se llama nilpotente de indice p.

Sección'8.10: Matrices cuadradas especiales 413

Ejemplo 11 J Determinar si la matriz A =

1 1

5 2

-2 -1es nilpotente

1 1 3

A 2 = A x A = 5 2 6

. -2 -1 -3 ,

0 0 0 '

A 3 = A 2 x A = 3 3 9

. -1 -1 -3 ,

1 1 3

5 2 6

-2 -1 -3

1 1 3

5 2 6

-2 -1 -3

Por lo tanto, A e s una mattriz nilpotente de indice p = 3

I O B S E R V A C IO N 8.11 Matriz Involutiva

0 0 0

3 3 9

. -1 -1 -3

0 0 0

0 0 0

. 0 0 0

= 0

Una matriz A tal que A 2 = I, se llama involutiva.

ejemplo 12 Determinar si la matriz A =

-3 -6 2

2 4 - 1

2 3 0

- 3 - 6 2 - 3 - 6 2 1 0 0

2 4 - 1 2 4 - 1 = 0 1 0

ococo > 2 3 0 . . 0 0 1 ,

e s involutiva.

= ISolución. A 2 = A x A =

Por lo tanto, la matriz A e s involutiva.

ejemplo 13 J S i A es una matriz involutiva

a) Demostrar que 1/2 (I + A) y 1/2( I - A) son idempotentes

b) Calcular la matriz P = 1/2 ( I + A) ( I - A)

Solución.

a) S e a B = 1/2 (I+A ) => B2 = 1/4 (I+A ) (I + A) = 1/4 (I* + IA + A I + A 2)

= 1/4(1 + A + A + I ) = 1/2 (I+A)

Com o B2= B entonces 1/2 (I+A ) e s idempotente

S e a C = 1/2 (I -A ) => C 2 = 1/4 (I - A) (I - A) = 1/4 ( I2- IA - A I + A 2)

= 1/4 (I - A - A + I) = 1/2 (I - A)

Luego, C 2 = C => 1/2 (1 -A ) es idempotente

b) P = 1/2 (I - A) (I + A) = 1/2 (I2+ IA - A I - A 2) = 1/2 (I + A - A - 1) = 0 |

414 Capitulo 8: Matrices

| E je m p lo 1 4 ^ S i A y B son matrices involutivas y A B = B A =

hallar la traza de la matriz X = ( A + B )2 .

Solución . X = (A + B) (A + B) = A 2 + A B + B A + B 2 = A 2 + 2 A B + B 2

Com o A y B son matrices involutivas => A 2 = B 2 = I

' 2 0 0 6 12 0. ' 8 12 0 ’

Luego : X = 2 I + 2 A B = 0 2 0 + -4 2 4 = -4 4 4

. 0 0 2 8 6 -10 , , 8 6 -8 ,

T r(X ) = 8 + 4 - 8 = 4

8 . 1 0 . 9 ) M A T R I Z T R A N S P U E S T A

D ada una matriz A de orden m x n, se llama matriz transpuesta de A, se

denota A', a la matriz de orden n x m cuyos elementos se obtienen intercambiando

las filas por las columnas.

2 3

, la transpuesta es A ’ =Por ejemplo, A =2 1 -4

3 2 51 2

-4 5

P rop ie d a d e s . S i A ' y B ! son , re spectivam ente, la s t ra n sp u e sta s de las

m atrice s A y B, c o n fo rm a b le s re sp e c to de la ad ic ió n y

multiplicación, y X un esca lar cualquiera, entonces se cum plen las sigu ientes pro­

piedades.

T.1: (A ') ' = A

T.2: (X A ) 1 = X A 1

T.3: ( A + B ) ' = A ’ + B'

T.4: (A B ) 1 = B ' A 1

T-5: ( In) ' = In

E je m p lo 1 5 J Demostrar la propiedad T.4 : (AB)' = B'A'

Demostración. Se a n A = [a ] una matriz de orden m x n

B = [b¡t ] una matriz de orden n x p

S i hacem os AB = C, entonces C = [cj e s una matriz de orden m x p.

El elemento de la fila i y la columna j de AB es

Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 415

V I ( o * ) « '’,) k = 1

que también pertenece a la fila j y columna i de (AB) '

Luego, si (AB) ' = C ' => cv = £ {a¿ (bk)k = I

Sup ongam os que B ' = [ x j tal que [ x j = [bJ

y A ' = [ y j tal que [y j = [aJ

En tonce s: B ' A ! = ¿ ( x j íy ^ ) = I ( U (**) = I (<**) (K)k = 1 k = 1 • k = I

com parando (2) con (1) se concluye que

(AB) ' = B ' A '

(1)

(2)

1 2 1 1/2 0 0S e sn las matrices A = 4 0 5 y b = 3 1/5 0

,-3 1 -3 , 0 0 1 ,

S i (A B ) ' + X = 2 (B ' + A), hallar la traza de la matriz X

Solución. D e la ecuación dada se tiene: X = 2A + 2 B 1 - B 1 A '

Un elemento cualquiera de la matriz X e s

x.,= 2 a H + 2 b , - ( b |k ) ( a^ )

=> x„ = 2a„ + 2b„ - (b1k) ( a J = 2 (1) + 2 (1/2) - (1/2, 0, 0) (1, 4, -3) = 2.5

X?2 = 2 3^ + 2b22 - (b2k) ( a J = 2 (0) + 2 (1/5) - (3, 1/5, 0) (2, 0, 1) = -5.6

X33 = 2333 + 2b22 - (b3k) (ak3) = 2 (-2) + 2 (1) - (0, 0, 1) (1. 5. -2) = 0

.*. Tr (X) = 2.5 - 5 . 6 + 0 = -3.1

E je m p lo 1 7 Se an las matrices A =' 5 1 5 1 3 1-3 6 3 y b = -6 -2 0

2 -4 2 . 5 6 -8

S i (A ' + B)' = 2 ( X - A 1) + 3B, hallar la sum a de las com po­

nentes de la tercera fila de la matriz X.

Solución . Haciendo u so e las propiedades T.3 y T.1 , se tiene :

(A ')' + B ' = 2x - 2A ' + 3 B =* X = 1/2 (A + B ' + 2 A ' - 3B )

Luego: x31 = 1/2 (a31 + b 13 + 2 a 13 - 3b3I) = 1/2 [ 2 + 1 + 2 (5) - 3 (5) ] = -1

X32 — 1 /2 (a32 + b23 + 2a23 - 3b32) = 1/2 [ -4 + 0 + 2 (3) - 3 (6) ] = -8

X3, = 1/2 ( a * + bM + 2 3 ^ - 3b„) = 1/2 [ 2 - 8 + 2 (2) - 3 (-8) ] = 11

" X3, + X32 + X 33 = 2 ■

416 Capítulo 8: Matrices

’ 0 -1 3 ' i 3 0 '

Ejemplo 18 J S i A = 2 1 0 y b = -2 1 -2

3 2 1 0 -1 4

y C = (A B ) ' - B,

hallar el valor de la sum a S = c21 + c31 + c23

Solución . S i C = ( A B ) '- B => C . = (b J (aik) - b

c2, = ( b j • (a lk) - b2, = (3, 1, -1) • (0, - 1 , 3 ) - (-2) = -2

c31 = (bk3) • (a lk) - b31 = (0,-2, 4 ) . (0,-1, 3) - (0 ) = 14

c23 = ( b j * ( a j - b * = (3, 1. -1) • (3, 2 , 1 ) - (-2) = 12

S = -2 + 1 4 + 12 = 24

4 2 4

Ejemplo 19 | Dada la matriz A = 2 10 5 , hallar la matriz

. 4 5 21

triangular inferior B, tal que : B B 1= A.

a 0 0 a b d

So lu c ió n . S e a B = b c 0 => B ' = 0 c e

k d e f • > 0 0 f ,

a 0 0 a b d a* ab ad>

4 2 4

S i b c 0 0 c e = ab b2+c2 bd + ce = 2 10 5

, d e f , 0 0 f . V ad bd + ce d2 + e2 + f2 , . 4 5 21 .

entonces, por la igualdad de matrices se tiene

a2 = 4 , ab = 2 , ad = 4

ab = 2 , b2 + c2 = 10 , bd + ce = 5

ad = 4 , bd + ce = 5 , d2 + e2 + / 2 = 21

de donde obtenem os : a = 2, b = 1, c = 3, d = 2, e = 1, / = 4

2 0 0B = 1 3 0

2 1 4

8.10.10) M A T R IZ H E R M IT IA N IA

Una matriz cuadrada y compleja A se denom ina hemiitiana si e s igual

a la transpuesta de su conjugada.

Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 417

Una matriz compleja e s aquella que tiene com o elementos a los números complejos

por ejemplo, una matriz compleja es

A =1

3 - i3 + i

3

1 + i

i1 - i

2

y su conjugada, denotada por A , e s :

1 3-i -i 1 3+i i

A = 3+i 3 1+i => ( A )' = 3-i 3 1-i

. i 1-i 2 - • -i 1+i 2 -

= A

vem os que A = ( A ) ', luego, A e s una matriz hermitiana.

I O B S E R V A C IO N 8.12 En una matriz hermitiana los elementos de la d iagonal prin­

cipal son núm eros reales.

8.10.11 ) M A T R IZ IN V E R S A

S i A e K n, se dice que A e s inversible si existe una matriz B tal que

A B = I ó B A = I, para los que B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota,

B = A D e l m ism o modo, la matriz A e s la inversa de B y se escribe, A = B ’.

P R O P IE D A D E S . S i A y B son matrices cuadradas de orden n, inversibles,

entonces se cumplen las siguientes propiedades

PI.1 : A A ' = A 'A = I

PI.2 : (A ’)•’ = A

PI.3 : S i A B = B A = I => B = A 1

P I.4 : (AB)*1 = B ’A-1

P I.5 : (A*)'1 = ( A ’)'

Ejemplo 2 0 J Dem ostrar la propiedad P I.4 : (A B ) '1 = B -’ A -1

Demostración. Por la definición de matriz inversa debem os probar que

a) (AB) ( B ’A 1) = I y b) (B ' A 1) (A B ) = I

En efecto :

a) (AB) (B ’A ') = A (B B 1) A 1

= A ( I ) A ’1

= A A '

= I

_________________________________________________________________________________

(M.1)

(P ii)(M.6)

(PM)

418 Capítulo 8: Matrices

b) (B-'A-') (AB) = B-’ (A-’ A) B (M.1)'

= B 1 ( I ) B (PI.1)

= B-’B (M.6)

= 1 (PI.1)

En consecuencia, de a) y b) se concluye que :

(A B)-’ = B-’ A '1 ■

E jem p lo 2 1 J Dem ostrar la propiedad P I.5 : (A ’)* = (A*)’1

Demostración . En efecto, por la propiedad PI.1 : A A ’ = I y por T.5 : 11 = I

=> (AA ’)• = I ' = I

=> (A ’)' A ' = I

Multiplicando am bos extremos por (A ') '1 se tiene

(A ’)' A ' (A1)’1 = I (A1)’1

Ejemplo 22 ^ Dem ostrar que la inversa de una matriz, si existe, e s única.

D emostración . En efecto, su p o n g a m o s que existe d o s m atrices B y C,

tales que:

A ’ = B y A -’ = C, siendo B * C

Entonces por definición : A B = I = B A

A C = I = C A

D e estas dos igualdades se deduce que : A B = A C

esto es, A B - A C = 0 =* A (B • C ) = 0

D ado que existe A ’, entonces A * 0 , por lo que : B - C = 0 = > B = C

Lo que contradice la hipótesis. En consecuencia :

La inversa de una matriz es única. ■

Ejemplo 23 ^ S i M = I - X ( X 'X ) - ’X ' con X = [ x j nx1 , simplificar al máximo

la sum a : S = I + M + M 2 + M 3 + .........+ M p, donde p e Z *

Solución. M 2 = [ I - X ( X ' X ) '1 X 1] [ I - X ( X* X)-’ X 1 ]

= I - X ( X ’ X )•’ X ' - X ( X 1 X) 'X ' + [ X (X ' X)-’ X '] [X (X ' X ) 1 X']

M -X (X 'X )-1X ' + X [(X 'XV 'X '] [ X(X* X ) ’X ’]

Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 419

= M - X (X 'XJ-’X 1 + X [(X 'XJ M X’XJKX 'XJ-’X 1

= M - X (X ' X ) '1 X 1 + X [ 1 1 (X1 X ) '1X*

= m - X(X ' xj-’x '+ x ( x 'x y ’ x '

Luego : M 2 = M => M 3 = M M 2 = M (M ) = M 2 = M

W = M ?M 2 = (M) (M) = M 2 = M M p = M

.*. S = I + M + M + M + ..+ M = I + pM ■

f 8 . 1 0 . 1 IN V E R S A DE U N A M A T R IZ T R IA N G U L A R

S i A e s una matriz triangular inferior y X su inversa, com o por

definición A X = I, entonces

0 0 a _ 021 22

a,. a,„ a.

• • • 0 • • • 0

0• • • •

• a

• • •• • •• • •

1 0 0 • • • o0 1 0 • • • o0 0 1 • • • 0

0 0 1

Por la multiplicación e igualdad de matrices, el producto de la primera fila de A por la

primera columna de X e s 1, esto es

(a „ . 0. 0, 0 .............0) • (x „ , x21, X3, ..................xnl) = 1 =* xn = a „ ’

Ahora efectuando el producto interno de la primera fila A con las co lum nas restantes

de X y aplicando la igualdad, resulta que

x ,2 = x ,3 = x h = .................= X ,n = 0

Al multiplicar la segunda fila de A con la segunda columna de X, esto es

( a21, 322’ 23’ .......... 0 ) * ( 0' X22' X32’ ........... • Xn2 — 1 22 — 3^De igual manera, del producto interno de la se gunda fila de A por las otras colum nas

de X se concluye que

X21 = ><23 = ................. = X2n = 0

Reiterando el proceso hasta la n-ésim a fila de A podem os concluir que si una matriz

triangular inferior A e s inversible, entonces :

1. T odo s los elementos de la diagonal principal deben se r diferente de cero.

420 Capítulo 8: Matrices

2. La inversa A-1 e s también una matriz triangular inferior.

3. Lo s elementos de la diagonal principal de A ' son los núm eros

(a„) \ (a *)-’, (a *)-’, ..............( a J - 1

Por lo tanto, la ecuación matricial anterior se convierte en

0 • • • • • •

(a,,)-1 0 ••• 0

x21 (a22r ••• 0•• 0 •• 0

0 o • 1

(8)

Por analogía establecemos que si A e s una motriz triangular superior, entonces A

tiene una inversa si y sólo si no existe ceros en la diagonal principal; A ’ e s una

matriz triangular superior y para calcular A '1 se debe resolver la ecuación matricial.

0 0

(a,,)'1 x ,2

0 0 ( a J ’J 0 0

• • • •

1

(9)

Las ecuaciones (8) y (9) nos permite deducir la inversa de una matriz diagonal (Trian-

gular superior e inferior), esto e s :

S i D = diag ( a n , a^, a ^ ............. a nn), entonces

D 1 = d iag ( a„ \ a22\ a 33\ ......... . a nn ’) (10)

Ejemplo 24 J Determinar, si existe, la inversa de la matriz

1 0 0A = -1 2 0

1 2 3

Solución . La matriz A es inversible, puesto que no hay ceros en la diagonal prin­

cipal. Por la ecuación matricial (8) resolvem os la ecuación :

Sección 8.10: Matrices cuadradas especiales 421

A A 1 = I

0 0

1/2 0

' 1 0 0 '

= 0 1 0

0 0 1

Para calcular x2! se efetúa el producto escalar de la segunda fila de A por la primera

columna de A \ esto e s

(-1, 2, 0 ) • (1, x21, x31) = 0 => x21 = 1/2

A continuación se efectúa el producto escalar de la tercera fila de A por la primera

columna de A \ e s d e c ir :

( 1, 2, 3 ) • ( 1, 1/2 ,x 31) = 0 = > x3) = -2/3

Finalmente se calcula el producto escalar de la tercera fila de A por la segunda

columna de A \ esto es

( 1, 2, 3 ) • ( 0, 1/2, x , , ) = 0 => x^ = -1/3

1 0 01/2 1/2 0-2/3 -1/3 1/3

3 0 0 0 -4 -1

S i A = 1 2 0 y b = 0 5 5

, 5 -3 5 0 0 -2

hallar la sum a de los elementos de la diagonal principal de la

matriz M = 3 A '1 - 2 B '1

Solución . C om o las matrices A y B son triangulares se tiene :

m „ = 3(a„) ’ - 2(b„) ’ = 3(1/3) - 2(1/2) = 0

m22 = 3(a22)-1-2 (b 22r = 3(1/2) - 2(1/5) = 11/10m33 = 3(a33) ’ -2 (b 33r = 3(1/5) - 2 (-1/2) = 8/5

T r ( M ) = 11/10 + 8/5 = 2.7

ejemplo 2 6 ^ S i B e s la inversa de la matriz A =

2 0 0 '0

4 •-1 0 0

3 4 5 0

2 3 4 -6

’ b33

422■

Capítulo 8: Matrices

Solución A e s una matriz triangular inferior, luego, por la ecuación matricial (8)

se tiene

2 0

4 -1

3 4

2 3

1/2 0 0S

0f

1 0 0 0

b ?1 -1 0 0 0 1 0 021

b 3, b 32 1/2 0 = 0 0 1 0

b „ b « b «3 -1 / 6 , > 0 0 0 1 .4 -6

Efectuando el producto escalar de la segunda fila de A por la primera colum na de B

se t ie ne :

(4 , -1 , 0 , 0 ) •( 1/2, b2), b 31l b41) = 0 => b21 = 2

Del producto escalar de la tercera fila A por la se gunda colum na de B se tiene :

(3 , 4, 5, 0 ) • (0, -1, b32, b42) = 0 *32 = 4/5

De la matriz B obtenem os : b33 = 1/5

S = 2 + 4/5 + 1/5 = 3

Ejemplo 2 7 J Se a A = [ai(] una matriz triangular superior de orden n, tal que

a = 1 si i < j . De la matriz B = A 3, hallar la sum a de los

elementos b para los cuales:n

a) i = 2, j = n b) i = 3, j = n-3 c) i = j

Solución . Se gú n la definición construimos la matriz triangular superior

1 1 1 • • • \

0 1 1 • • • 1

0 0 1 • • • 1

A = •

•

•

•

•

•

•

•

•

0k.

•

0 • • •

•

•

•

1>

Al efectuar el producto A A = A 2, obtenem os :r

1 2 3 4 • • n-1 1

0 1 2 3 • • n-2 n-1

0 0 1 2 • • n-3 n-2

A 2 = •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

. 0

•

0

•

0

•

0 • •

•

0

•

1

EJERCICIOS : Grupo 45 423

A 3 = A A 2 =

1 3 6 10

0 1 3 6

0 0 1 3

• • •

1/2 (n-1)n 1/2n(n+1)

1/2 (n-2)(n-1) 1/2(n-1)n

1/2 (n-3)(n-2) 1/2(n-2)(n-1)

Luego, para : b = 1 / 2 ( n - 1 ) n

* 3(0-3) = 1/2 (n - 4) ( n - 3 )

2, j = n

3, j = n-3

) = * b,, = 1S = 1/2 (n - 1) n + 1/2 (n - 4) (n - 3) + 1 = n2 - 4n + 7

EJERCICIO S : Grupo 45

1. Para la matriz A =1 3

2 1, verificar que A 2 - 2A - 5 I =6

2. Com probar que la matriz A = e s una solución de la ecuación3 1

v '1 2A* - 5A + 71 = 0

3. S e dice que una matriz A es ortogonal, si su inversa e s igual a su transpuesta, es

decir, A-' = A ' . Com probar que la matriz

C o s x -Sen xA =

Se n x C o s x

4. S e a A = 1 0■1 1

es ortogonal. (Sugerencia : Probar que A A ‘ = A 'A = I )

, demostrar que A 2 = 2A - 1 y hallar A n

, hallar X en:5. D a d a s las matrices A =

/• *\ 1 -3

y B =

f N4 -1

2 5 2 6

(AB) ' + X = 2 (B ' + A).

6. Hallar el valor del polinom io/ (A) de la matriz A

f 1 2a) / (x) = x2 - 3x + 1, A =- 1 3

424 Capítulo 8: Matrices

b) /(x) = 8x3 + 2x2 + x - 3, A =

c) /(x) = x3- 3 x2 - 2x + 4, A =

7. Se an : / (x) = x2 - x + 3, A =

Í-1 1 1 2 4

2 3

3 -1

' 3 1 '

< CO II

1\

-2

oC\l

co 4 y. E va lu a r/ (A +B )

8. D ada s las matrices A =

despejar X de la ecuación (A + B + X ) ' =2 (A1 - B)

" 1 5 -3 'l r i -4 2 13 0 6 nm>

-3 1 -5-2 1 2 5 2 1

r-2 1 0 ] 5 0 2 1

9. D ada s las matrices A = 1 2 3 < œ ii 3 4 24 -3 1 1 -1 0

J

hallar la matriz X, si (A + 4 B - 2 X )' = 3 (A '- 2B)

f 1 2 -3 " r 0 -1 1 'I10. Se an las matrices A = 2 0 4 y B = 3 2 2

-1 3 -2>

1 5 -4-/

hallar la matriz X de la ecuación matricial : (A B + 2X ) ' = 3 A - 2 B '

11. D ada s las matrices A =

4 1 2 0r

i -1 3N

-20 -3 1 2 iiCO> 4 2 1 21 0 3 -1 5 6 2 02 -2 -1 4

y0 2 1 3

hallar la matriz X, si ( 2A - 3 B )' - 2 X = B - A

" 2 3 n f 8 3 *2 112. D ada s las matrices A = -1 6 3 "< CD II 6 1 3

4 -2 5 -2 9 2

y la ecuación 1/2(X - 3A) = (A1 - 2 B )' + A ' ; hallar la sum a de las com ponentes de

la segunda fila y la sum a de las componentes de la tercera columna de la matriz X.

y C = (1, -2, 3)f 3 2 -1 i r X

13. Se a n las matrices A = 2 5 -3 , B = y-1 0 1

>z

Si B' A = C, hallar el valor de la suma S = x + y + z.

EJERCICIOS : Grupo 45 425

14. Dem ostrar que las matrices A =

son idempotentes y permutables.

/*2 -2 -4

/**-1 2 4

-1 3 4 CD II 1 -2 -4

, 1 -2 -3 . .-1 2 4 ^

-1 -2N

‘2 I -3 -6 2 " f * 5 -8 0 'Se an A = 1 2 1 , B = 2 4 -1 y c = 3 5 0

-1 -1 0^ v 2 3 0 ^ 1V. 2 -1 ✓

Dem ostrar que las matrices dadas son idempotentes y adem ás permutables dos

a dos, dando en cada ca so la tercera.

16. Mostrar que A =

1 -3 - r

-1 3 4 e s una matriz nilpotente de índice 2.

1 3 4 y

0 -1 - r ' 4 3 3 '

4 -3 4 y B = -1 0 -1 son matrices involutivas.

3 -3 4 . -4 -4 - 3 .

17. Mostrar que A =

18. S i A y B son matrices involutivas y AB = BA =

hallar la traza de la matriz M = (A + B)2.

19. S i A =

hallar la matriz M = (AB)' - 2C.

-5 -8 0

3 5 0

1 2 -1

2 3 -2 6 2Si

4 2 1.5 1.5 "-1 4 3 . B = 0 2 -2 y c = 5 2 2

0 2 1 ^ 3 0 -1 2 7.5 -3.5

3 0 1 ' 6 3\

2 1S i A = -1 4 1 , B = -2 4 0

2 2 1 1 -5 -2 ,

y C = ( B A )' + 2A;

hallar la sum a de los elementos de la segunda fila de la matriz C.

21. S e dice que una matriz A e s ortogonal si A-’ = A'. C om probar si la matriz

' 1 -2 2 ',e s ortogonal (Sugerencia : A A 1 = A* A = I).A =

1-2 1 -2 -2

22. En una página deteriorada de un antiguo texto se encuentra que la matriz

y del producto A 2A ' so lo se puede leer la última columna’ 1 X 0

A = 0 0 y0 0 z

426 Capítulo 8: Matrices

• -6• 2 . Hallar x + y + z• -1

23. Dem ostrar que la matriz A = ^ b j satisface la ecuación:

x2 - ( a + d ) x + ad - be = 0

24. Dem ostrar que s i/ (X , A) = X ’A X, X, p e C , entonces :

/ (X X + pY , A) = X / ( X , A ) + P / (Y , A)

25. S i A y B son matrices cuadradas de orden n y A posee inversa, dem ostrar que :

(A + B)A-i (A - B) = (A - B )A '(A + B).

26. S i A = B C y A + B = I. hallar A C - C.

-2 -627. Dem ostrar que la matriz A = -3 2 9 es periódica y hallar su período

28. S i B e s la inversa de A =

29. Se a n las matrices A =

1 -2 -6

-3 2 9

2 0 -3

1 3 5 40 2 4 20 0 3 3

0 0 0 2

1 2 -1 10 1 1 2

-1 3 1 0

0 -1 1 2

, hallar (b13) (b23) ( b j

y B =1 1 1 0

-1 0 1 02 1 1 -1

-1 0 1 0

S i C = (AB )1 + A. hallar la sum a S = c21 + c ^ + c^.

30. S e a A =

4 3 - 2 60 3 - 2 60 0 - 2 6

0 0 0 6 diagonal principal de la matriz A '.

Hallar la sum a de los com ponentes de la

3 1 .S i A =

1 a-b -1

2 3 b

b-x a-x 4

e s una matriz simétrica, hallar A 2

32. Dada la matriz A =

a 1 0

0 a 1 hallar A n.

0 0 a ,

Com probar la fórmula obtenida por inducción.

Sección 8 .11: Transformaciones elementales 427

En los ejercicios 33 a 36 determinar, si existen, las inversas de las matrices dadas

/■1 0 0

N0

f

1 -1 1\

-12 1 0 0 0 1 -1 1

4 2 1 035. B = 0 0 -1 1

.-2 3 1 1 0 0 0 -1 /

3 N

2 0 0 0 2 4 -2 60 -1 0 0 0 1 3 2

0 0 1 036. B = 0 0 2 1

, 1 0 0 2> 0 0 0 3 .

8-lT) t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s _______________

Dada una matriz de cualquier orden, se pueden desarrollar a lgunas ope­

raciones sim ples con las filas y colum nas sin cam biar el orden de la matriz. El propó­

sito fundamental e s el desarrollo de matrices para simplificar a lgunos cálculos y

también alcanzar resultados teóricos significativos para un mejor estudio de las

matrices. Destacarem os las transform aciones siguientes.

F Ai

8.11.1 ) TRANSFORMACIONES ELEMENTALES FILA O COLUMNA

S e a A e K m*n una matriz cuyas filas son F„ F 2, F 3,........Fn y cuyas

co lum nas son C „ C 2, C 3; ...... C n. S e llama transformación elemental fila a tres tipos

de operaciones que denotarem os p o r : F 1|t Ft( j ) y F>(X) para significar

Intercambio de dos filas de A

Multiplicación de la fila i de A por un e sca lar X * 0

Multiplicación de la fila j de A por un esca lar X * 0, y sum ando la fila F.

Esta operación se representa por el vector de la fila : XF| + Ft

La s transform aciones elementales colum na son aná logas a las transformaciones

elementales fila y los tres tipos de operaciones se denota por

Intercambio de dos co lum nas de A

Multiplicación de una colum na i de A por un escalar X * 0

Multiplicación de la columna j de A por un escalar X * 0 y sum ando

luego la colum na C . E sta operación se representa por el vector

2. F (X )A

3. F;(X)A

1. C A

2. C (X) A

3. C '(X ) A

colum na XC + C,.

Por ejemplo, para la matriz A =0

-4

1

2 'i -1

3se tiene :

428 Capítulo 8: Matrices

1. Intercambio de la primera y segunda filas

3 0 -4 -1

IIf\íu_~ 1 1 0 2

, 2 5 1 3 ,

2. Multiplicación por -2 la segunda fila

3.

1 1 0 2 1 1 0 2F2 ( -2 ) = -2(3) -2(0) -2(-4) -2(-1) = -6 0 8 2

l 2 5 1 3 , 2 5 1 3 .

Multiplicando por 2 la segunda fila y luego sum ando la primera fila

2(3)+1 2(0)+1 2 (-4)+0 2(-1)+2 7 1 -8 0

F 2’( 2 ) = 3 0 -4 1 = 3 0 -4 -1

. 2 5 1 3 , 2 5 1 3 ,

8.11.2) M A T R IZ E SC A L O N A D A

Una A e K mxn, cuya estructura e s de la forma

A =

1 a b c d • • • X 10 0 1 e f • • • y0 0 0 0 1 • • • z J0 0 0 0 0 • • • 0 ’• • • • • •• • • • • • >• • • • • •

0V*

0 0 0 0 • • • 0 é -

r filas no nulas

> s filas nulas

se dice que e s escalonada reducida si las condiciones siguientes se satisfacen.

1. El primer elemento no nulo de cada una de las r filas no nulas e s la unidad

2. S i existen s filas cuyos elementos son ceros, e stas se encuentran en la parte

inferior de la matriz

3. En cada una de las r filas no nulas, el número de ceros que preceden a la

unidad crece aritméticamente de fila a fila .

4. T oda s las co lum nas que tiene el primer elemento diferente de cero, de alguna

fila, tienen ceros en todas las posiciones restantes.

S i una matriz cum ple las p rop iedades 1, 2, y 3, se dice que e stá en forma

escalonada.

Sección 8.11: Transformaciones elementales 429

Ejem plos de matrices e sca lonadas reducidas

1 0 0 2 1 0 00 1 0 3 0 1 00 0 1 -2 J 0 0 1

Ejemplo de matrices esca lonadas

1 5 10 1 3

0 0 , 1

24

5 J

000 J

0 1 4 1 20 0 0 1 50 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 -1 3 00 0 1 3 00 0 0 0 1

8.11.3 ) M A T R IC E S E Q U IV A L E N T E S

D o s matrices A y B se denom inan equivalentes si una de ellas se

deduce de la otra mediante una sucesión finita de transform aciones elementales de línea (fila o columna).

El siguiente ejemplo nos muestra que toda matriz de orden m x n puede ser reducida

mediante operaciones elementales fila a una matriz en forma escalonada por filas.

^ j e m p l o ^ j T j Reducir a la forma esca lonada por filas la matriz

Solución

A =

A :

F,<(-2)

F3(-1/7)

1 2 22 5 33 4 12 3 2

1 2 20 1 -10 -2 -50 -1 -2

1 2 20 1 -20 0 1

0 0 -3

1 2 20 1 -13 4 12 3 2

1 2 20 1 -10 -2 -50 0 -3

1 2 20 1 -10 0 1

0 0 0

1 2 20 1 -10 -2 -52 3 2

1 2 20 1 -20 0 -70 0 -3

= B

430 Capítulo 8: Matrices

Exp licac ión . En la primera iteración F 12 se intercambió la segunda fila por la

primera con el objeto de que aparezca el 1 en la nueva primera fila

y que servirá de pivot, para que en las su ce siva s iteraciones aparezcan ceros deba­

jo del 1. A s í en la segunda iteración F,2(-2) se multiplicacó la primera fila por -2 y

luego se sum o la segunda fila. En la cuarta iteración F 14(-2) ya tenem os tres ceros

debajo del 1 de la primera fila y aparece en la se gunda fila (0, 1, *1) el elemento 1

que servirá de nuevo pivot para transformar en ceros los elementos que están deba­

jo de él. La quinta y sexta iteración m uestran este proceso. En la sétima iteración se

multiplicó por -1R la tercera fila para obtener (0, 0,1). Finalmente, mediante esta fila

pivot y la octava iteración se logra ceros en la última fila.

En este ejemplo se a logrado una forma escalonada, sin embargo, la matriz

equivalente B obtenida, de este modo, no e s única, toda vez que e s posible efectuar

operaciones elementales columna y obtener otra forma escalonada.

I Nota. Una matriz cuadrada A e Kn escalonada es una matriz triangular superior, pero no todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas.

Anteriormente hem os visto que una matriz triangular era inversible si sólo si

no existen ceros en la diagonal principal; esta característica e s también válida para

las matrices e sca lonadas cuadradas.

Verem os a continuación las ventajas que ofrece la reducción de una matriz en otra

que tenga forma escalonada.

8.11.4 ) R A N G O DE U N A M A T R IZ

El rango de una matriz e s igual al número de filas no nulas que quedan

en la última iteración de las su ce siva s transform aciones elementales que se hacen

con la matriz.

S e deduce que para hallar el rango de una matriz e s suficiente transform arla a

su form a e sca lonada. C o m o d o s m atrices equ iva lentes tienen el m ism o rango,

el rango de d icha matriz se rá igual rango de la matriz e sca lonada. S i d e s ign a ­

m os por r el núm ero de filas no nu la s de la matriz e sca lonada, en tonce s el

rango de la matriz se denota

p (A) = r

| Ejem plo 2 J Hallar el rango de la matriz A =

0 2 -41 4 -53 1 70 1 -22 3 0

Sección 8 .11: Transformaciones elementales 431

S o lu c ió n . R e a liz a n d o su c e s iv a m e n te la s t ra n sfo rm a c io n e s e le m e n ta le s

tendremos:

A : F,

FJ1/2)

1 4 -5 ' 1 4 -5 1 4 -30 2 -4 0 2 -4 0 2 -43 1 7 F,3(-3) 0 -11 22 F ,5(-2) 0 -11 220 1 -2 0 1 -2 0 1 -22 3 0 2 3 0 0 -5 10

' 1 4 -3 1 4 -3 1 4 -3]0 1 -2 F23(11) 0 1 -2 0 1 -20 -11 22 0 0 0 f24(-D 0 0 00 1 -2 F2s(5) 0 1 -2 0 0 00 -5 10 0 0 0 0 0 0

=B

La última matriz esca lonada B tiene dos filas no nulas, por lo que:

P ( B ) = p ( A ) = 2

Ejemplo 3 J Hallar el rango de la matriz A =

Solución . Por el método de las transformaciones elementales se tiene:

25 31 17 4375 94 53 13275 94 54 13425 32 20 48

A :F4,(-1)F,3(-1)

^ ( - 6 )

F?3(-1)

La última matriz esca lonada tiene tres filas no nulas, por tanto

p (B) = p (A) = 3

2575

3194

1753

43 ' 132 F,2(-3) 25

0311_

172

433

0 0 1 2 0 1 3 5l o 1 3 5 J *34 l o 0 1 2 J

í 25 25 5 25 F ,(1/25) í 1 1 1/5 10 1 2 3 0 1 2 30 0 1 2

f34(-i) 0 0 1 ?w 0 0 1 2 , l 0 0 0 0 ,

= B

8.11.5) M A T R IC E S E L E M E N T A L E S

La matriz que resulta de aplicar una transform ación elemental de

línea (fila o co lum na) a la matriz identidad I (i recibe el nom bre de matriz ele­mental ele línea. L o s s ím b o lo s que se em plean para una transform ación ele-

432 Capítulo 8: Motrices

mental de línea que origina una matriz identidad se m uestra en el siguiente

ejemplo.

1 0 0 'Ejemplo 4 j D ada la matriz I 3 = 0 1 0

0 0 1 ,

, las matrices elementales

que podem os obtener, entre otras, son:

E,(«) =

0 1 0 ’= 1 0 0 Intercambio de la primera y segunda filas.

0 0 1

’ 1 0 0= 0 1 0 Multiplición de la tercera fila de la matriz diagonal por a.

0 0 a

' 1 0 o '= 0 1 a Multiplicación de la tercera fila p o ra y sum ando a la

0 0 1 segunda fila.

S e establece la posibilidad de ejecutar, de m anera indirecta, una operación elemen­

tal en las filas de una matriz de m x n si, primero, se ejecuta la m ism a operación en

las filas de la matriz identidad I n y, después, se premultiplica la matriz A (se multipli­

ca a la izquierda de A) por la matriz elemental resultante. Una ilustración del enun­

ciado anterior e s el siguiente ejemplo.

r 'v 1 -1 2Ejemplo 5 I S e a la matriz A = 3 1 3

. 2 0 -1 ,

S i la primera fila de A se sum a dos vecés a la tercera fila se obtiene la matriz

F,3 (2) A = B =1 -13 1

4 -2

Al efectuar la m ism a operación en las correspondientes filas de la matriz identidad

I3, la matriz elemental resultante es:

1 0 0E,3(2) = 0 1 0

2 0 1 ,

1 0 0 1 -1 2 1 -1 2Por lo que: E ,3(2) A = 0 1 0 3 1 3 = 3 1 3 = B

1 -1 2 1 -1 23 1 3 = 3 1 3

, 2 0 -1 , . 4 -2 3 .

Sección 8 .11: Transformaciones elementales 433

El resultando anterior nos sugiere la siguiente definición

D E F I N I C I O N 8 . 2 S i existe una secuencia de matrices elementales

E ?> E 3................. E m, tales que

E Em m • i E...E..A = B

se dice entonces que A e s equivalente por filas a B, y se escribe

A s B

Ejemplo 6J Hallar una matriz e sca lonada equivalente por filas a la matriz

0 1 2A = 1 -1 1

k 1 1 1

Solución . L a s operaciones elementales con filas que deben efectuarse son:

1. Intercambiar la primera y segunda fila

2. Restar la primera fila de la tercera

F,3 (-1):

3. Multiplicar la segunda fila por -2 y sum ar la tercera fila

F,3 (-2):

1 -1 10 1 21 1 1

1 -1 10 1 20 2 0 ,

1 -1 10 1 2

1 0 0 - 4= B

S e tiene una matriz escalonada equivalente por filas a A.

La s matrices elementales, obtenidas de I 3, para las operaciones con filas son, res­

pectivamente:

0 1 0 1 0 0 1 0 0

e 12 = 1 0 0 , E,3(-1) = 0 1 0 . E 23(-2) = 0 1 0

0 0 1 -1 0 1 0 -2 1

Ahora bien, las operaciones para encontrar B por medio de estas matrices elemen­

tales son :

e ,2 - a = f ,2 =’ 0 1 0 ’ ’ 0 1 2 ' 1 -1 1 '

1 0 0 1 -1 1 — 0 1 20 0 1 1 1 1 1 1 1

434 Capítulo 8: Matrices

' 1 0 0 ' 1 -1 1 ' 1 -1 1 ’

E ,3( - 1 ) - F l2 = F,3(-1) = 0 1 0 0 1 2 = 0 1 2-1 0 1 1 1 1 0 2 0

: 1 0 o : ■ 1 -1 1 ' : 1 -1 1 :E 23(-2) . F ,3(-1) = F23(-2) = 0 1 0 0 1 2 = 0 1 2

0 -2 1 0 2 0 0 0 -4

Com o resulta laborioso escribir el producto de matrices correspondientes a cada

operación fila, e s conveniente utilizar una notación abreviada em pleando una fle­

cha, sobre el cual se indica la matriz elemental adecuada, en base a la cual, las

operaciones se representan com o sigue

í 01 2 ] r i -i 1 r i -1 1 r i -1 1

A = 1 -1 1 F „ 0 1 2 F ,3(-1) 0 1 2 F23(-2) 0 1 2

1 1 1 1 iV. 1 / 0V. 2 0 0V 0 -4

8.11.6 ) INVERSA DE UNA MATRIZ POR E L METODO DE LAS M ATRICES ELEM EN T A LES (Método de G a u ss - Jordán)

El método de G a u ss - Jordan consiste en lo siguiente:

Para la matriz dada A de orden n, se construye una matriz rectangular r A = (A 11)

de orden n x 2n, añadiendo a la derecha de A una matriz unidad. Luego, haciendo

uso de las transform aciones elementales sobre las filas, se reduce la matriz r A a la

forma (l I B), lo que e s siempre posible, si A es inversible. En este ca so B = A No

e s preciso conocer de antem ano si A e s inversible. S e puede deducir fácilmente si A

e s inversible durante las suce siva s transform aciones elementales para hallar la m a­

triz ( I I B). S i uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada

E en (E I B) e s cero, entonces A no e s inversible.

' 1 -1 1 ’ %

Ejemplo 7 Determinar si A = 0 0 1 e s inversible.

1 1 -1

S i a s í lo fuera, calcular su inversa.

S o lu c ió n . Primero efectuamos las operaciones con filas para reducir A a una

matriz escalonada E. Em pezam os form ando la matriz r A = (A 11)

' 1 -1 1 1 0 o' " 1 -1 1 1 0 o '

(A 11) = 0 0 1 0 1 0 F ,3(-1) 0 0 1 0 1 0

1 1 -1 0 0 1 0 2 -2 -1 0 1% V. y ^

Sección 8.11: Transformaciones elementales 435

f1 -1 1 1 0 0 ]0 2 -2 -1 0 1

0 0 1 0 1 0

Com o A ha sido reducida a la matriz escalonada E =

-12

0

1

-21

que no tiene

cero en la diagonal principal, la matriz A es inversible.

Continuando con las operaciones elementales con filas, necesarias para reducir la

matriz A a la identidad, se tiene :

f23 =

F?(1/2)

A ’ =

\r

i 0 1-1 2 1

. 0 2 0

r

1 - 1 1 1 0X

0 1 0 0 1 / 2 0 1 / 2 '

0 2 - 2 - 1 0 1 TI

to 0 2 - 2 -1 0 1

0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0Vy

1 0 0 1 / 2 0 1 / 2 '

s.f

1 0 0 1 / 2 0

y

1 /2 '

0 1 -1 - 1 / 2 0 1 / 2 f32(1) 0 1 0 - 1 / 2 1 1 / 2

0 0 1 0 1 0 ^ 0 0 1 0 1 0y

= (HB)

Ejemplo 8 j Hallar A ’ para la matriz A =f 3

4

2

Solución.

(A 11) =

F,2H )

F3,(-2)

F ’(-2/3)

Form am os la matriz r A = (A I I) y empleando el método de G a u ss

Jordán tendrem os :

t

3 2 1 1 0\

0 '1 2/3 1/3 1/3 0 0 '

4 5 2 0 1 0 F ,(1/3) 4 5 2 0 1 0

2 1 4 0 0 1 2 1 4 0 0 1Xr

1 2/3 1/3 1/3 0 O '/

1 2/3 1/3 1/3 0

yX

00 7/3 2/3 -4/3 1 0 F j(3/7) 0 1 2/7 -4/7 3/7 0

X0 -1/3 10/3 -2/3 0 1 0 -1/3 10/3 -2/3 0 1

yf.

1 0 1/7 5/7 -2/7 0 ' '1 0 1/7 5/7 -2/7 0 '

0 1 2/7 -4/7 3/7 0 F 3(7/24) 0 1 2/7 -4/7 3/7 00 0 24/7 6/7 1/7 1 0 0 1 -1/4 1/24 7/24

X 4

436 Capítulo 8: Matrices

F3’(-1/7)

F 3j(-2/7)

r1 0 0 3/4 -7/24 -1/24 '

0 1 0 -1/2 5/12 -1/12

1 0 1 -1/4 1/24 7/24

A ’ =

= (I I B)

1

24

18-12

-6-710

1

-1-27

1 6 4Ejemplo 9 I Determinar, si existe, la inversa de A = 2 4 -1

1 2 5

r1 6 4 1 0 0

Solución . S e a la matriz : F A = (A 11) => (A 11) = 2 4 -1 0 1 0

-1 2 5 0 0 1 4

F,2(-2)

F,3(1)

U sando el método de G a u s s - Jordan se tiene :

1 6 4 1 0 0 ” 1 6 4 1 0N

0

0 -8 -9 -2 1 0 F23(1) 0 -8 -9 -2 1 0

. 0 8 9 1 0 1 . 0 0 0 -1 1 1 ,

Com o la matriz e scalonada E tiene un cero en su diagonal principal, la matriz A no

e s inversible. ■

22 -6 -26 17-17 5 20 -13

-1 0 2 -1

4 -1 -5 3

! E je m p lo 1 0 ^ S e sabe que la matriz X = [xi(] satisface la ecuación A X = B,

en donde:

A = 2 B - 1 =

Mostrando en primer lugar que A es inversible, determinar los elementos x24 y x43

de la matriz X.

S o lu c ió n . Para determinar si A e s inversible form amos la matriz F A = (A I I) y

mediante las operaciones elementales tendremos que :

(All) =

C\JCM

- 6 -26 17 1 0 0 0 ' ' 1 0 -2 1 0 0 -1 o '-17 5 20 -13 0 1 0 0 F3(-1) -17 5 20 -13 0 1 0 0

-1 0 2 -1 0 0 1 0 F,, 22 -6 -26 17 1 0 0 0k 4 -1 -5 3 0 0 0 1 ,

13, 4 -1 -5 3 0 0 0 1 ,

Sección 8.11: Transformaciones elementales 437

F42(4)

F43(-5)

F 3(1)

F/(1)

r i 0 -2 1 0 0 -1 0* 7 0 !

1 0 -2 1 0 0 -1 0

-1 1 0 -1 0 1 0 4 0 1 -2 0 0 1 -1 4

2 -1 -1 2 1 0 0 -5 F,3(-3) 0 -1 3 0 1 0 2 -5

4 -1 -5 3 0 0 0 1 F ,4(*4) 0 -1 3 -1 0 0 4 1

t 1 0 -2 1 0 0 -1 0F 3’(2)

f 1 0 0 1 2 2 1*2 1

0 1 -2 0 0 1 -1 4 0 1 0 0 2 3 1 2

0 0 1 0 1 1 1 -1 F32(2) 0 0 1 0 1 1 1 -1

0\

0 1 -1 0 1 3 5 F34(-1) 0

\

0 0 -1

—y-1 0 2 6

La matriz escalonada E no tiene cero en la diagonal principal, luego, la matriz A

es inversible. Por lo que :

F/(1)

F4(-1)

' 1 0 0 0 1 2 3 4 '

0 1 0 0 2 3 1 2

0 0 1 0 1 1 1 -1

, o 0 0 1 1 0 -2 -6 .

= A ’1

Multiplicando por A •’ am bos m iem bros de la ecuación dada se tiene :

A 1 A X = A 1 B <=> X = A 1 B

S i A = 2B - 1 => B = 1/^(A + I) = 1/2

23

-17

-14

-6 -26

6 20

0 3

-1 -5

1 7 1

•13

-14

Por tanto: X ?t = (a2i) ’ bi4 = 1/2 (2, 3, 1, 2) • (17, -13, -1, 4 ) = 1

x 43 = K ) ' ’ b,3 = 1/2 0 - °- *2 - ' 6 ) • (*2 6 - 2 0 - 3 - *5 ) = - 1

Resolver la ecuación matricial A X B = C, sabiendo queEjemplo 11j

' 3 -1 ' ' 5 6 ' '1 4 1 6 'A =

5 -2t J

, B =7 8

hO>s

9 10

Solución . Multiplicando por A '1 (izquierda de X) am bos m iembros de la ecuación

matricial se tiene :

A '1 A X B = A ’ C => X B = A ’C (1)

Multiplicando por B ' (derecha de X ) am bos extremos de (1) obtenemos:

438 Capítulo 8: Matrices

X B B ’ = A ' C B ' 1 => X = A ’C B ’ (2)

Para hallar las inversas de A y B por el método de G a u s s - Jordán, construim os las

matrices rectangulares r A = ( A 1 1 ) y r B = ( B 11 )

F ,(1/3)( A 11 ) =

F , 2( - 1 ) ,

F ;(1/3)[

( B 11 ) =

F,(-1) [

F.H-S/S)

Por lo que, en (2):

3 -1 1 0

5 -2 0 1

1 -1/3 1/3 0

0 -1/15 -1/3 1/5

1 0 2 -1

0 1 5 -3

5 6 1 0

7 8 0 1

1 6/5 1/5 0

0 -2/35 -1/5 1/7

1 0 -4 3

0 1 7/2 -5/2

F „(1/5)

F,(-15)

=> A '1 =

F,(1/5)

F2(1/7)

F (-35/2)

-1/3

-2/5

1/3 0

0 1/5 )

1 -1/3 1/3

5

-1-3

6/5

8/7

6/5

1

=> B 1 = —-8 6

J 2 7 -5 ,

de donde obtenem os X =2

4

0

-3 J

1/5 0

0 1/7 )

1/5 0

7/2 -5/2 )

X = J -2 - i ' 14 16

tCD00 1 19 22 -8 6 '

2 . 5 -3 , 9 10, 7 -3 J 2 .4 3 5 0 , . 7 -3 ,

EJERCICIO S. Grupo 46

En los ejercicios 1 a 4, reducir cada una de las matrices a una matriz esca lonada

mediante una sucesión finita de operaciones elementales con filas. (La s so luc iones

que se dan no son únicas ).

r i i - i " 1 -1 2 0 '

1. A = 0 1 0 CJ > II 5 -5 10 0-1 1 0 6 -6 12 3

l 2 1 1 J .-1 1 *2 1 ,

EJERCICIOS : Grupo 46 439

f 23 -1 °1 f 2

1 11 2 11 2 4 3 II< 1 0 4 -1

-2 1 3 2 11 4 56 5

-1 -2 -3 0 42 -1 5 -6 y

2. A =

5. Mediante una sucesión finita de operaciones elementales con filas, demostrar

que:s

a a2 a3 a4 ' r 1 0 0 abe

b b2 b3 b4 = 0 1 0 -(ab + be + ca)

c c2 c3 c4 0 0 1 a + b + c> ✓

r 1 2 -1 2 1 3

trices A = 3 -1 2 y B = 1 3 2

4 -2 5 3 2 1

probar que A s B

En los ejercicios 7 a 12, hallar el rango de la matriz dada empleando el método de

las transform aciones elementales.

7.f

2 -1 3 -2 4 10. 47 -67 35 201 155

4 -2 5 1 7 26 98 23 -294 86

2 -1 1 8 2 16V.

-428 1 1284 52y

8. ' 3 -1 3 2 51 11. ' 24 19 36 72 -38 "

5 -3 2 3 \ 4 49 40 * 73 147 -80

1 -3 -5 0 -7 73 59 98 219 -118

7 -5 1 4 1 47 36 71 141 -72

9. ' 1 3 5 -1 ' 12. í 17-28 45 11 39 "

2 -1 -3 4 24 -37 61 13 50

5 1 -1 7 25 -7 32 -18 -11

7 7 9 1 31 12 19 -43 -55

42 13 29 -55 -68

En los ejercicios 13 a 16, resolver las ecuaciones matriciales

13. A X = B, si A =

14. X A = B, si A =

f1

, 3

2

4 ^y B =

' 3 5

9 -/

3

5

>-2

-4y B =

-1

-5V.

\2

6 y

440 Capitulo 8: Matrices

1 2 -3 1 -3 015. A X = B, si A = 3 2 -4 y b = 10 2 7

. 2 -1 0 . . 10 7 8

5 3 1 -8 3 016. X B = B. si A = 1 -3 -2 y b = -5 9 0

>-5 2 1 , . -2 15 0.

17. Hallar la matriz X que cumple la ecuación: ( X - 2 I ) B + 3 C = D

2 1 5 1 2 1 4 8 3donde, B = -3 3 0 , c = 3 -1 -4 , D = -1 2 10

. 4 -2 4. . 5 3 1 . , 12 7 5 ,

1 3'

-1 -2 0 0S i A = 0 4 1 , B = 3 1 0 , hallar (si existe)X tal que A X B

. 0 0 2 , . 2 1 -1 ,

En los ejercicios 19 a 34, hallar las inversas de las siguientes matrices, empleando

el método de las transformaciones elementales.

19.

22.

25. La matriz X = [x(¡ ] satisface la ecuación X A = B, en donde :

. Mostrar que A e s inversible y hallar x23 + x31.

1 a x -z 20. ' 3 3 -4 -3^ 21./

0 0 1 -1 '0 1 b y 0 6 1 1 0 3 1 40 0 -1 c 5 4 2 1 2 7 6 -10 0 0 1 2 3 3 2 1 2 2 -1

é . ;

' 0 1 2 2 ' 23. ' 2 4 3 2 24. '1 1 1 1 '1 1 2 3 3 6 5 2 1 1 -1 -12 2 2 3 2 5 2 -3 1 -1 1 -12

V.3 3 3

44 5 14 14 1

í-1 -1 1

A = 7B + I =2 5 76 3 4

5 -2 -3

8.12^ S IS T E M A S DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S

Recordando que la resolución de una ecuación implica la búsqueda de

ecuaciones equivalentes m ás sim ples en los que resulta fácil determinar la raíz o

raíces, la aplicación de este criterio a la resolución de sistem as de ecuaciones linea­

les sugiere que, el método para hallar el conjunto solución de un sistem a lineal

Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales 441

consiste básicamente en reemplazar el sistem a dado por otro equivalente en el que

se pueda calcular fácilmente las raíces. En tal sentido las transform aciones elemen­

tales aplicadas a las matrices simplifican el desarrollo de e stas y com o tal, nos

ofrecen la posibilidad de una ventajosa aplicación para resolver un sistem a de

ecuaciones lineales.

En un sistem a de la forma :

a „ x , + a„x„ ++ a,„x„ = b,+ a„_ x„ = b„

(1)

am,X,+ am2 X2 + + a x = bmn n n

con las constantes reales de estas ecuaciones se puede establecer el siguiente

arreglo de m x n.

A = (2)

al que llam aremos matriz de coeficientes del sistem a (1).

A los vectores

í X> l í b ’b2

X = • < 03 II ••

Xn . . bn ^

llamaremos, respectivamente, vector columna de las incógnitas o vector solución y vector columna de los términos independientes. Por lo que el sistem a (1) se puede

representar del siguiente modo:

A X = B

Al adjuntar el vector columna B a la matriz A. se determina una matriz de m x (n+1),

que designarem os por A', a la cual llam aremos matriz aumentada o ampliada del

sistem a (1) y se escribirá del siguiente modo:

442 Capitulo 8: Matrices

" a „ a i2 • • •a m b ’ 1

a21 a22 • • • 32n b2

A ' =• • • • •

• • • • •• • • • •

a ,mi a „m2• • • amn bm J

smplo, la matriz aumentada del sistem a de ecuaciones:\

x, - x2 + *3 = 4 1 -1 1 4

2x, + x2 - 3x3 = 0 es: A * = 2 1 3 0

x, + x2 + x3 = 2 1£

1 1 2✓

Teniendo en consideración que las filas de una matriz aum entada corres­

ponde a las ecuaciones del sistem a asociado, el método para resolver el sistema,

empleando matrices, se sustenta en la idea básica de reducir la matriz aum entada a

la forma que se a suficiéntemente sencilla (forma esca lonada reducida) com o para

poder a lcanzar la solución del sistem a por simple inspección o, en su defecto, luego

de posteriores etapas que simplifiquen el problema.

Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento a seguir en la solución de

sistem as de ecuaciones lineales.

e jem p lo 1 J Supon iendo en cada uno de los c a so s siguientes que la matriz

aum entada de un sistem a de ecuaciones lineales de la forma

(1 ) se ha llevado, mediante operaciones en las filas, a la forma e sca lonada reducida

que se muestra a continuación, hallar la solución de los sistem as:

1 0 1 7/

1 0 0 2 3

a ) 0 1 0 3 b) 0 1 0 -1 -40 0 1 -2 0 0 1 5 2

S o lu c ió n .

a) El sistem a de ecuaciones correspondiente es

x, + x3 = 7

x2 = 3

X3 = -2

Por simple inspección : X3 = -2, x2 = 3 y en x, + x3 = 7, resulta x, = 9

.-. C . S = { x,, x2, x3 } = { 9, 3, -2 }, o bien : X = (9, 3, -2)’

Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales 443

b) El sistem a de ecuaciones correspondiente es

x, + . 2x4 = 3

x2 - x4 = - 4

x3 + 5x4 = 2

Cuando e s el ca so que cada una de las incógnitas x,, x2 y x3 inician una ecua­

ción, se les llama variables principales. Dejando estas variables principales, en

términos de x4, se obtiene

x, = 3 - 2x4 , x2 = -4 + x4 , x3 = 2 - 5x4

A signando a x4 un valor arbitrario t, se tiene un número infinito de soluciones. El

conjunto solución queda definido por las fórmulas:

x, = 3 - 2 t , x2 = -4 + t , x3 = 2 + 5 t <=> X = (3 - 2 t , -4 + t , 2 - 5 t , t)' ■

¡ e je m p lo 2 ^ Resolver por transform aciones elementales el sistem a

2x, en + 2x, = -24x, + 6 x 2 X3 = 23

2x, + 7 x2 + 4x3 = 24

r2 -5 2 -2

Matriz aumentada del sistema: A ' = 4 6 -1 23

. 2 7 4 24,

P a so 1.

Para transformar esta matriz a la forma esca lonada reducida se proce­

de del modo siguiente:

Localizar en el extremo izquierdo la columna que no consta exclusiva­

mente de ceros (señalando con asterisco).

P a so 2.

P a s o 3.

' 2 -5 2 -2 '4 6 -1 23

> 2 7 4 24 ,

Intercambiar, si e s necesario, la primera fila con otra fila, de tal manera

que el elemento que está al com ienzo de la colum na señala con aste­

risco sea diferente de cero. (En este ca so com o 2 * 0 no e s necesario

intercambiar filas).

S i el primer elemento de la columa señala con asterisco e s a, enton­

ces, multiplicar la primera fila por Ma, de m odo que el primer elemento

sea 1 , esto es:

444 Capitulo 8: Matrices

' 1 -5/2 1 -1 ’

4 6 -1 23

k 2 7* 4 24 ,

P a so 4. Sum ar múltiplos adecuados de la primera fila a las filas que le requie­

ren, de tal forma que la columna seña la con asterisco, todos los ele­

m entos a excepción del primero sean cero.

1 -5/2 1s

-1 1 -5/2 1\

-10 16 -5 27 F23 (-1), 0 4 -7 10V. 12 2 26 s . 0 12 2 26 /

P a so 5. Destacar la primera fila de la matriz con una línea de puntos y reiterar

el proceso a la submatriz resultante, desde el paso 1.

Proseguir del m ism o m odo hasta conseguir que la matriz completa se

presente en forma escalonada. Esto es:

Ft(1/4)f

1 -5/2 1 -1 1 -5/2 1\

-1

0 1 -7/4 1/4 F23(-6) 0 1 -7/4 1/4

F3(1/2) l o 6 1 13 J l o 0 23/2 23/2,

f1 -5/2 1

N-1 1 -5/2 1 -1

F3(2/23) 0 1 -7/4 1/4 F32(7/4) 0 1 0 2

l o 0 1 1 / l 0 0 1 1

O bsé rve se que la matriz completa a tomado la forma escalonada

P a so 6. Em pezam os por la primera fila, y a va n za m os hacia arriba, sum ar

múltiplos adecuados de esta fila a las filas que están encima de ella,

hasta conseguir que la matriz completa se transforme a la forma e sca ­

lonada adecuada.

_1_ _-5/2 0\

-2 1 0 0\

3f3’(-D 0 1 0 2 F2’(5/2) 0 1 0 2

l o 0 1 i j l 0 0 - 1 1J

Com o la última matriz tiene la forma e sca lonada reducida, la solución

del sistem a es:

x, = 3 , x2 = 2 . x3 = 1 => X = (3,2, 1)*

Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales 445

I Nota. El procedimiento esquemático empleado para resolver un sistema de ecuaciones lineales, se conoce con el nombre de eliminación de Gauss-Jordan.

Ejemplo J j Resolver mediante la eliminación de G au ss, el sistema:

x, + 2 x 2 - 3 x 3

x. + 3x„

2x, + 5 x 2 - 2 x 3

4 x ; = 6

x3 - 2 x 4 = 4

5x, = 10

1 2 -3 -4 6 '

1 3 1 -2 4

2V 5 -2 -5 1 0 .

Solución. La matriz aumentada del sistem a es, A ' =

Sigu iendo los p a so s descritos en el Ejemplo 2 para transformar la m a­

triz aum entada a la forma escalonada, se tiene:

F,z(-2) (

f

1 2 -3 -4 6f

1 2 -3 -4 6

0 1 4 2 -2 f 23(-D 0 1 4 2 -2

F,3(-2) r 0 1 4 3 -2 0 0 0 1 0'y. /

f y s \

F3’(4) 1 2 -3 0 6 1 0 -11 0 10

0 1 4 0 -2 f 2,(*2) _ 0 1 4 0 -2

F32(-2) ( 0V 0 0 1 0 0 0 0 1 0 y

El sistem a de ecuaciones correspondiente a esta última matriz esca lonada es:

x, - 11 X , = 1 0

X2 + 4 x 3 = *2

x4 = 0

Resolviendo estas ecuaciones para las variables principales se tiene:

x, = 10 + 11 x3 , x2 = -2 - 4x3 , x4 = 0

Finalmente asignando un valor arbitrario t para la variable no principal x3, esto es,

x3 = t, obtenemos:

x, = 10 + 1 1t , x2 = - 2 - 4 t , x3 = t , x4 = 0

Decim os entonces que el sistem a tiene un número infinito de soluciones. Por lo

tanto, la notación vertical de la solución del sistem a es:

X = (1 0 + 1 1 t , -2 - 4t , t , 0 ) '

446 Capítulo 8: Matrices

: Ejemplo 4 Ì Resolver el sistema:

* 2 x2 + X 3 * 4X4 = 1+ 3x2 + 7X3 + 2x4 = 2- 12 x2 - I I X 3 nXCD = 5

' 1 -2 1 -4N

1Solución . La matriz aum enm tada del sistem a A ' = 1 3 7 2 2

-12 -11 -16 5 y

Reduciendo Á ' a su forma escalonada se tiene:

F V H ) .

r1 -2 1 -4 1 1 -2 1 -4 0

0 5 6 6 1 fV (2 )r 0 5 6 6 1

. 0 -10 -12 -12 4 „ „ 0 0 0 0 6,

La última fila corresponde a la ecuación

Ox, + 0x2 + 0X3 + 0x4 = 6 <=> 0 = 6

Lo que e s absurdo, por lo que, el sistem a e s incompatible y carece de solución. ■

I O B S E R V A C IO N 8.13 S i un sistem a de ecuaciones lineales no tiene soluciones

se dice que el sistem a e s inconsistente. S i por lo m enos

hay una solución, entonces se dice que es consistente.

Ejemplo Suponer que la dieta m ínima vital e s 72 unidades de proteínas,

104 unidades de carbohidratos y 88 unidades de minerales.

Un nutricionista d ispone em paquetados tres tipos de alimentos A. B, y C, que por

paquete contienen:

Proteínas Carbohidratos M inerales

A 1 2 4

B 4 4 2

C 2 4 3

E s decir, un paquete del alimento A contiene 1 unidad de proteínas, 2 de carbohidratos

y 4 de minerales. S e debe entregar a cada comenzal una dieta mínima en un número

entero de paquetes. ¿Cuántos paquetes de alimentos constituye la dieta m ínim a?

Solución . Se a n x, y, z el número de paquetes de los tres tipos de alimentos A. B,

y C respectivamente. Entonces, x paquetes del alimento A, 4y paque­

Sección 8.12: Sistemas de ecuaciones lineales 447

tes del alimento B y 2z paquetes del alimento C constituyen 72 unidades de proteínas,

que se rige por la ecuación:

x + 4y + 2z = 72

Aná logam ente , se g ú n la tabla, p lan te am os el s is te m a de e cu a c io n e s para

carbohidratos y minerales:

2x + 4y + 4z = 104

4x + 2y + 3z = 88

r 1 4 2 72 '

La matriz aumentada del sistem a e s A 1 = 2 4 4 104

, 4 2 3

co00

Efectuando las transformaciones elementales por filas se tiene :

F 12(-2 )> 1 4 2 72 ' F2’( D r 1 0 2 32

0 -4 0 -40 0 -4 0 -40

F,3(-4 )( , 0 -14 -5 -200 , F,3(-7/2) k 0 0 -5 -60 ;

1 0 2 82 ' 1 0 0 8

0 1 0 10 F,'(-2), 0 1 0 10

> 0 0 1 1 2 , , 0 0 1 12 .

Por lo tanto, la dieta m ínima está constituida por 8 paquetes del tipo A, 10 paquetes

del tipo B y 12 paquetes del tipo C. ■

Ejemplo 6 J Una fábrica posee 5 m áquinas que se utilizan en la producción

de cuatro artículos diferentes A, B, C y D. El número de horas

de cada máquina es u sada en la producción de una unidad de cada uno de los

cuatro productos es dada por la siguiente tabla:

^ ‘""■ '■ -^ P ro d u c toM á q u in a '" ^ - - ^

A B C D

1ra 7 2 4 3

2da 4 4 4 5

3 ra 10 0 4 7

4ta 9 4 2 11

5ta 10 5 . 1 13

Hallar el número de unidades que se deben producir de cada uno de los productos

en una sem ana de 5 días, sabiendo que cada m áquina se u sa 8 horas diarias.

448 Capítulo 8: Matrices

Solución . D e signem os por x , , x2 , x3 y x4 el número de unidades de cada

artículo A, B, C y D respectivamente, que se producen durante una

sem ana de 5 días.

Se gú n la tabla, la 1ra m áquina dedica 7 horas en la producción de una unidad del

producto A, 2 horas en la producción de una unidad del artículo B, etc. C om o en una

sem ana cada m áquina trabaja 5 x 8 = 40 horas, entonces la producción sem anal de

la primera m áquina se rige por la ecuación:

7x, + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 40

D ado que las m áquinas deben trabajar simultáneamente, entonces la producción

sem anal estará dada por la solución de las 5 ecuaciones lineales

7 x t + 2 x2 + 4 X 3 + 3x4 = 40

4 x 1 + 4 X 2 + 4 X 3 + Sx4 = 40

10x, +

Xo

+ 4 X 3 + 7X4 = 40

9x, + 4 X 2 + 2 x3 + 11x4 = 40

10x, + 5 X 2 + X 3 + 1 3 x4 = 40

' 7 2 4 3 4 0 '

4 4 4 5 40La matriz aumentada del sistem a e s A ' = 10 0 4 7 40

9 4 2 11 40

J O 5 1 13 40,

D e spu é s de aplicar las transform aciones suce siva s f 35(- i ) , F43(-1) > F,4(-1)

F 3( -2 ) , la matriz aumentada se reduce a:

F4s(3/4) ^

F43(-1/4)'

F4( 1/4)

1 -4 2 -4 0 1 -4 2 -4 0

4 4 4 5 40 F,2H ) ( 0 20 -4 21 40

-1 -6 -4 -7 -40 F,3(D , 0 -10 -2 -11 -40

2 2 -2 8 0 F 4(-2) 0 10 -6 16 0

l o 5 -3 6 0 J 1 > ' *r l o 5 -3 6 0 J

1 -4 2 -4 0 F,3(2) ( 1 1 -1 2\

0

0 5 -3 6 0 Fo4(-2) , 0 5 -3 6 0

0 -10 -2 -11 -40 F?5H ) r 0 0 -8 1 -40

0 10 -6 16 0 F ?’(1) r 0 0 0 4 0

l 0 20 -4 21 40 J l 0 0 8 -3 40 J

r 1 1 -1 2 0 ] F?4(*6) , r 1 1 -1 0 0 ]0 5 -3 6 0 F ,4(*2) 0 5 -3 0 0

0 0 -8 0 -40 F3(-1/8) 0 0 1 0 5

0 0 0 1 0 ■ - » 0 0 0 1 0F s(1/8) i

l ü 0 tí 0 40 J 1 0 0 1 0 *> J

Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales 449

f 35 (-1)

F,1 (1)

1 1 0 0 5 1 0 0 0 2 10 5 0 0 15 F ¡,(1/5) ( 0 1 0 0 3

0 0 1 0 5 0 0 1 0 5

0 0 0 1 0 F21(-1) ( 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0✓

De la última matriz obtenem os : x, = 2, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 0

En consecuencia, la producción óptima sem anal de la fábrica necesita que se fabri­

que 2 unidades del producto A, 3 del producto B, 5 del producto C y ninguno del

producto D. ■

8.13 j R A N G O DE UN S IS T E M A DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S

S e a dado un sistem a de m ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo

general :

a t1 x, + a 12 x2 + .................. + a,n = b,

a 21 X, + a 22 X2 + .................. + a 2n = b2 W

x , + am2x2 + ............... + 3 ^ xn = bn

o bien, en la forma matricial

A X = B (2)

donde A = [ a J de orden m x n, X = [ x ] de orden n x 1 y B = [ b ] de orden m x 1. S e

denom ina solución del sistem a (1) todo vector colum na de n com ponentes de X que

convierte la ecuación matricial (2) e s una igualdad. Anteriormente hem os visto que

un sistem a se denom ina consistente o compatible, si tiene por lo m enos una so lu ­

ción, de lo contrario se denomina inconsistente o incompatible.Para que el sistem a (1) sea consistente es necesario y suficiente que se

verifique :

P (A) = p (A1)

donde A ' = (A IB) e s la matriz aumnetada o ampliada del sistem a (1).

Suponiendo que p (A) = p (A ‘) = r , e s decir, el sistem a e s consistente, entonces

puede ocurrir.

1. Q ue el sistem a (1) tenga una solución única. Esto sucede cuando el número

de incógnitas n del sistem a e s igual al rango de la matriz aumentada. Esto es,

si el sistem a tiene n incógnitas, tendrá solución única si y sólo si

p (A) = p (A ) = r = n

450 Capitulo 8: Matrices

2. Q ue el sistem a (1) tenga m ás de una solución. En este ca so el número de

incógnitas del sistem a e s m ayor que el rango de la matriz aumentada. E s

decir, el sistem a (1) tendrá m ás de una solución, si y só lo si

p (A) = p (A') = r < n

C om o r < n, entonces las n - r incógnitas toman valores arbitrarios, y a los que

se las denom ina valores libres o parámetros.S i ocurre que p(A) * p(A'), entonces el sistem a (1) e s inconsistente.

Ejemplo 7 Investigar la consistencia y hallar la solución del sistem a

2x„x ,

2x,

3x.

3x„

3 x3 = 2= 1

x2 + 2x3 = 9

Solución . Reduciendo la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se tiene:

(A I B ) =

F,'(2)

F,3(-5)

1 -2 3>

2 F ,2(-2) ' i -2 3 22 -3 1 1 0 1 -5 -3

.3 -1 2 9 .F,3(-3) o 5 -7 3 .

1 0 -7 -4f1 0 -7 -4

0 1 -5 -3 F»(1/18)i 0 1 -5 -3,0 0 18 18 , .0 0 1 1 ,

= E

O bsé rve se que las matrices e sca lonadas E y E ' tienen 3 filas no nulas (r = 3), enton­

ces p (E) = p (E ‘) = 3, y com o A = E, A s E', se tiene que p (A) = p (A’) = 3, adem ás

el número de incógnitas del sistem a e s n = 3, por tanto, el sistem a dado tiene so lu ­

ción única.

Para determinar esta solución transform amos la última matriz a su forma e sca lona­

da reducida

F3,(7)Fa2(5)

1 0 0

\3

0 1 0 2

. 0 0 1 1 ,

x, = 3 , x2 = 2 , x3 = 1

Luego, el vector columna solución es : X = ( 3, 2, 1 )'

Ejemplo 8 J Resolver el sistem a

x + 2y + 3 z = -1

x - 3y - 2z = 3

2x - y + z = -2

Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales 451

Solución . Investiguem os la consistencia del sistem a reduciendo la matriz aum en­

tada ( A I B ) a su forma escalonada, esto e s :

( A I B ) =

F ?(-1/5)

F „(-1/5)

r1 2 3

N

-1 F,2(-1) r

f1 2 3 -1 '

1 -3 -2 3 0 -5 -5 4

, 2 -1 1 % F ,3(*2), 0 -5 -5 0 .

' 1 2 3 - r ' 1 2 3 -1 '

0 1 1 -4/5 F23(*1) 0 1 1 -4/5

0 1 1 0'u

0V.

0 0 4/5✓

= E 1

Dado que p (E) = 2 y p (E ‘) = 3, entonces p (E) * p (E 1). Por lo tanto, el sistem a es

inconsistente.

1 Ejemplo 9 J Reso lver el sistema:

2 x, - x2 + x3 + 2 x4 + 3Xj = 2

6x, - 3x2 + 2x3 + 4x4 + 5xs = 3

6x, - 3x2 + 4Xg + 8 x 4 + 3x5 = 9

4x, - 2x2 + x3 + x4 + 2x. = 1

So lución . Reduciendo la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se tiene:

( A IB ) =

F?(-1)F4(-1)

í 2-1 1 2 3 \2 F ,2(*3) 2 -1 1 2 3 2

66

-3-3

24

48

53

39

F,3(-3) 00

00

-11

-22

-4-6

-33

1 4 -2 1 1 2 1 F/(-2) < 0 0 -1 -3 -4 -3 )2 -1 1 2 3 2 F,’(*1)

/ 2 -1 0 0 -1\-1

000

000

111

22

4-6

33 F?3(-1) 0

n0n

10

2n

4-m

3n

3 4 3 f24(*i), l 0 0 0 1 0 0 J= E 1

■ vE

Com o p (E) = p (A I B ) => p ( A ) = p ( A I B ) = 4. por tanto el sistem a e s consistente.

Adem ás p (A) < n, entonces hay m ás de una solución y el número de variables

libres o parámetros e s p = n - r => p = 5 - 4 = 1. Transform ando la última matriz

a su forma esca lonada reducida se tiene :

FJ-1/10)

F42(-2)

2 -1 0 0 -1 -1 ] í 2 -1 0 0 0 -1)0 0 1 0 4 3 F32(-4) 0 0 1 0 0 30 0 0 0 1 0 F3’(Dr 0 0 0 0 1 0

l 0 0 0 1 0 o j l 0 0 0 1 0 0 J

452 Capítulo 8: Motrices

x5 = 0

Si designam os a x. = s com o la variable libre, entonces

2 s - x2 = -1 , x3 = 3 , x4 = 0

Luego, el vector columna solución e s X = (s, 2 s + 1 , 3, 0, 0)' ■

E jem p lo 10 j S i el sistem a dado : 2x + 3y - z + w = b,

“ . x + 5y - z - 2w = b?

-x + 2y + 2z - 3w = b3

3x + y - 3z + 4w = b4

e s consistente, hallar b = ( b,, b2, b3, b4 )’ = rU + sV. donde r y s son parámetros libres

y U y V son matrices co lum nas fijas. S i e legim os b = (1, -1, -2, 3)' s igue siendo el

sistem a consistente?

So lu c ió n . Transform ando la matriz aum entada (A IB) a su forma escalonada se

( A I B ) *

F,2(-1)

F ,3(-2)

F,4(-3)

tiene:

2 3 -1 11 5 -1 -2

-1 2 2 -33 1 -3 4

1 -2 -2 30 7 1 -50 7 3 .-50 7 3 -5

-b 3b2 + b3

b, +2b3b. +3b.

Fg3(-1)

F,4(-1)

1 - 2 - 2 31 5 - 1 - 22 3 - 1 13 1 - 3 4

1 - 2 - 2 30 7 1 - 50 0 2 00 0 2 0

-b3b2b,b.

*b 3 b2+ b3

b r b2+b32 b 3*b 2+ b 4 J

F 34(-1)

' 1 -2 -2 3 -b3 10 7 1 -5 b2 + b30 0 2 0 b , ' b2 + b30 0 0 0 -b , + b3 + bJ

= E ‘

Vem os que p (A) = p (E) = 3 y p(E ') = 4. luego, para que el sistem a se a consistente

se debe tener que p (A) = p (AIB), esto es:

-b, + b3 + b4 = 0 => b, = b3 + b4

Por lo que: b = (b3 + b4, b2, b3, b4)'

= b2 ( 0, 1 ,0 ,0 ) ' + b3 ( 1,0, 1 ,0 ) ' + b 4 ( 1,0,0, 1 )' (1 )

donde b2, b3 y b4 son los parámetros libres y los vectores colum na (0, 1, 0, 0)' , (1,0,

1 .0 ) ' y (1, 0, 0, 1)' forman una base de b.

Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales 453

Dado que b se debe expresar com o una combinación de U y V, verem os las posibi­

lidades correctas que existe en (1) haciendo b2= 0, b3= 0 y b4 = 0.

S i hacem os b2= 0, entonces : r = b3 y s = b4 ó r = b4 y s = b3.

Por lo que : b = rU + sV = r (1, 0, 1, 0)' + s (1, 0, 0, 1)1 ó

= s (1, 0, 1, 0)' + r (1, 0, 0, 1)*

S i b3 = 0 = > r = b 2 y s = b 4 ó r = b4 y s = b2

=> b = rU + sV = r(0 , 1 ,0 ,0 ) ' + s ( 1,0,0, 1)' ó

= s (0, 1 , 0 ,0 ) ' + r ( 1 ,0,0 , 1)'

S i b. = 0 => r = b2 y s = b3 ó r = b3 y s = b2

=* b = r (0, 1, 0, 0 ) '+ s (1, 0, 1 ,0 ) ' = s (0, 1 ,0 ,0 ) ' + r ( 1,0,0, 1)'

Cualquiera de las se is posibilidades e s correcta, pues en cada una de ellas se

cumple la relación b, = b3 + b4. S i e legim os b = (1, -1, -2, 3)', en donde b,=1, b3= -2 y

b4 = 3, vem os que también satisface dicha relación. Por lo tanto, el sistem a sigue

siendo consistente. ®

¡ Ejemplo 1 1 J Investigar la consistencia y hallar la solución general del sistema

2x , - x 2 + x3 + 2x4 + 3 x 5 = 2

6x, - 3 x 2 + 2 X3 + 4x4 + 5xs = 3

6x, - 3 x 2 + 4x3 + 8 x 4 + 13 X5 = 9

4x, - 2x2 + x 3 + x4 + 2 x s = 1

So lu c ió n . Reduciendo la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se tiene:

(A IB) =

F 32( 'l ) [

F4(-1)

F 3(-1)

2 -1 1 2 3 2 F,2(-3)r

2 -1 1 2 3 N2

6 -3 2 4 5 3 F,3(-3) 0 0 -1 -2 -4 -36 -3 4 8 13 9 0 0 1 2 4 3

, 4 -2 1 1 2

>

F ,4(-2) . 0f

0 -1 -3 -4 -3 J

2 -1 1 2 3 2 p 2 -1 0 0 -1 -10 0 0 0 0 0 *24 0 0 1 3 4 30 0 1 2 4 3 F3H-I) 0 0 1 2 4 3

l 0 0 1* 3 4 3> l o 0 0 0 0 o j

f 2 -1 0 0 -1 - r F32(3) " 2 -1 0 0 -1 -1 '0 0 1 3 4 3 0 0 1 0 4 30 0 0 -1 0 0 f3(-D 0 0 0 1 0 0

, 0 0 0 0 0 0 . , 0 0 0 0 0 0,= E ‘

O b sé rve se que p (E) = p (E 1) = 3 =» p (A IB) = 3, luego el sistem a e s consistente,

Adem ás com o n > r, hay m ás de una solución y el número de variables libres o

parámetros e s p = n - r = 5 - 3 = 2.

454 Capítulo 8: Matrices

De la última matriz obtenem os :

2x, - x2 - x5 = -1 , x3 + 4x5 = 3 , x4 = 0

S i designam os por x, = r , x2 = s a las variables libres, entonces

2r - s - x5 = -1 = * x5 = 1 + 2r - s ; x3 = 3 - 4 ( 1 + 2r - s ) = -1 -8r + 4 s

Por lo tanto, la solución general del sistem a está dada por le vector columna

X = ( r, s, -1 - 8r + 4s, 0 , 1 + 2r - s )' g

E jem p lo 1 2 ^ Dado el s is te m a : x, + + 2x3 = 1

~ ” x, + x2 + (4a + 2) x3 = 1

2x, + ax2 + 5x3 = 2

3x, + ax2 + 7x3 = b

Hallar los valores de a y b, para que el sistem a tenga solución única.

Solución . Reduciendo la matriz aumentada (AIB) a su forma escalonada se tiene:

f 1 0 2 1 'i F *(*1 ) f 1 0 2 1 'j1 1 4a+2 1 0 1 4a 0

(AIB) =2 a 5 2 F ,3(-2)

0 a 1 03

Va 7 b F ,4(*3) 0

V.a 1 b-3

F 23(-a) f 1 0 2 1 'i f 1 0 2 1 ^0 1 4a 0 0 1 4a 0

F 24(-a) 0 0 1-4a2 0 f 34(- i ) 0 0 1-4a2 00 0 1-4a2 b-3 0 0 0 b-3

\ ✓

E

El sistem a tendrá solución única si y só lo si p (E) = p (E ‘) = n = 3.

Luego, para que p (E) = 3 se debe cumplir que 1 - 4 a2 * 0 <=> a * ± 1/2 y para

que p (E ‘) = 3 e s necesario que b - 3 = 0 = ^ b = 3. En consecuencia, el sistem a

tiene solución única

<=> b = 3 y a e R - {-1/2, 1/2} -

E jem p lo 13 J Determinar para que valores d e a y b, el sistem a de ecuaciones

2x + 3y - z = 1

x - y + 2z = -b

x - 6y + az = -10

según sea el caso, tiene solución única, tiene infinitas soluciones o no tiene soluciones.

Solución . E scribam os la matriz ampliada ( A I B ) y transformémosla a la forma

escalonada.

Sección 8.13: Sistemas de ecuaciones lineales 455

2 3 -1 1 1 -1 2 -b '

(A IB) = 1 -1 2 -b 2 3 -1 1

[ 1 -6 a -10 J 1 -6 a -10 J

F 2(-2) 1 -1 2 -b 1 -1 2\

-b

0 5 -5 1+2b F23(1) 0 5 -5 1+2bF,3(-1) 0 -5 a-2 b-10 0 0 a-7 3b-9 J

F„(1/5)

1 -1 20 1 -10 0 a-7 v ------- '

E

(1+2b) / 5

3b-9

= E ’

a) S i a * 7 y b * 3, entonces : p (E) = p (E ‘) = n = 3, el sistem a tiene solución

única.

b) S i a * 7 y b = 3, entonces p (E) = 3 y p (E 1) = 2. com o p (E) * p (E 1), el sistem a

no tiene solución (inconsistente).

c) S i a = 7 y b = 3. entonces p (E) = p (E ’) = 2 < n, luego, el sistem a tiene infinitas

soluciones. ■

Ejemplo 14 J Una Agencia de Turism o está organizando una excursión y ha

cursado una invitación a los alum nos del curso de M B 2 (Mate­

mática Bá sica 2), mediante las especificaciones siguientes

1. S e tienen cupos para alumnos matriculados en M B 2 por primera vez (grupo A),

segunda vez (grupo B). tercera vez (grupo C) y cachim bos invitados (grupo D).

2. S i participan de la excursión los cuatro podrían asistir 70 personas.

3. S i dejan de asistir los alumnos del grupo A, se podría duplicar el cupo para los del

grupo B mantenimiento el resto de los cupos y podrían participar 90 personas.

4. S i dejan de asistir los a lum nos del grupo C, se podría duplicar el cupo para los

del grupo A, triplicar el cupo para los del grupo B, manteniendo el cupo del

grupo D y en este ca so podrían participar 90 personas. S e pide :

a) Analizar la compatibilidad del sistem a

b) Calcular el m ayor número de cachim bos que se pueden invitar.

S o lu c ió n . Se gú n las especificaciones de la invitación, planteamos el siguiente

sistema:

A + B + C + D = 70

0 + 2 B + C + D = 90

2 A + 3 B + 0 + D = 90

456 Capítulo 8: Matrices

a) Para analizar la compatibilidad del sistema debemos reducir la matriz amplia­da (AIB) a su forma escalonada, esto es:

(AIB) =

F32(-2)|

FV(-1)

F-(1/5)

S’1 1 1 1 70 '

r1 1 1 1 70 "

0 2 1 1 90 F ,3(-2) 0 2 1 1 90w 2 3 0 1 9 0 , l 0 1 -2 -1 -50 „

f 1 0 3 2 1 2 0 ' r 1 0 3 2 1 20"0 0 5 3 190 0 1 -2 -1 -50

k 0 1 -2 -1 -50 j w 0 0 5 3 1 9 0 ,

r 1 0 3 2 120 ' F 2(2) r 1 0 0 1/5 6 '0 -1 -2 -1 -50

3 ' 9 0 1 0 1/5 26. 0 0 1 3/5 3 8 , f 3’ (-3) 1 0 0 1 3/5 3 8 ,

= E'

b)

Vemos que p (E) = p(E') = 3 =* p (A) = p (AIB) = 3; por lo que, el sitema es

compatible o consistente, además como el número de incógnitas (n = 4) es

mayor que el rango, entonces existe más de una solución y el número de variables libres e sp = n - r = 4 - 3 = 1 .

De la última matriz : A + 1/5 D = 6 => D = 5 (6 - A)

B + 1/5 D = 26 => D = 5 (26 - B)

C + 3/5 D = 38 =* D = 5/3(38-C)

La designación de D como la variable libre permite ver claramente que

A < 6 , B < 26 , C < 38

El mayor número de cachimbos que se puede invitar ocurre cuando el grupo B

deja de asistir, esto es, si B = O, entonces : D = 5 ( 26 - O ) = 130 ■

8.14 ) S IS T E M A S H O M O G EN EO S DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos constantes son cero, es decir, si el sistema tiene la forma

Sección 8.14: Sistemas liomogeneos de ecuaciones lineales 457

Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, dado que x, = O,

x2 = O, ........ xn = O es siempre una solución. Esta solución se conoce como

solución trivial, si existe otras soluciones, a estas se llaman soluciones no triviales.

A simple vista es posible asegurar que un sistema homogéneo tiene soluciones no

triviales, si es el caso que el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones.

Ejemplo 15j Resolver el sistema homogéneo

Solución

(AIO)

x, - 2xz + 3x3 + x4 = O

3x, - 5x2 + 4x3 + 2x4 = O

4x, - 9x2 + 1 7 x 3 + 5x4 = O

Transformando la matriz ampliada (AIO) a la forma escalonada se

tiene:

1 -2 3 1° 1

F ,2(-3) f l -2 3 1° 1

3 -5 4 ? 0 0 1 -5 -1 04 -9 17 5 0^

F ,3(-4)p 1 ° -1 5 1 0 y

1 -2 3 1 O'] r 1 0 -7 -1° 1

0 1 -5 -1 0 F 2’ (2) 0 1 -5 -1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

= E'

Como p(E) =p (E1) =2 y el número de incógnitas (n = 4) es mayor que el rango, enton­

ces existe infinitas soluciones. El número de variables libres e sp = n- r = 4 - 2 = 2.

El sistema de ecuaciones correspondientes a la matriz E ‘ esx, - 7x3 - x4 = O

Xj, - 5x3 - x4 = O

Si desiganmos a las variables libres por x3 = t, y x4 = t2 , el conjunto solución del

sistema esx, = 7t, + t2 , x2 = 5t, + t2 , x3 = t, , x4 = t2

y la notación vectorial, solución general del sistema, está representado por el vector

columnaX = (7t, + 12 , 5t, + t2 , t1( y *

= t,(7,5, 1,0)« + t2 (1,1,0, 1)‘ B

I O B S E R V A C IO N 8 .14 Sea S c K" un conjunto de todas las soluciones de un

sistema homogéneo. Cualquier base en el conjunto S con­

siste de n - r vectores e , , e ; .e n . f . Un sistema de vectores columna E 1. E 2,

458 Capitulo 8: Motrices

........ , E n r , correspondiente al conjunto citado en la base canónica, se denimina

sistema fundamnetal de soluciones. La solución general del sistema homogéneo tiene

por expresión

^ = *1 + *2 ^2 + ........ + V r ^n-r

donde t,, t2, .......... t n t son constantes arbitrarios o parámetros.

Así, de la solución general del ejemplo anterior podemos hallar el sistema funda­

mental de las soluciones básicas :

E.=

Con la utilización del sistema fundamental, la solución general del ejemplo puede

ser escrita en la forma

7 1

5 1, E =

1 • 2 0

, 0 . . 1 -

X = t, E , + t2 E2

! Ejemplo 16^ Resolver la ecuación matricial AX = X, donde X es una matriz

columna y

Solución . Si AX = X

' 2 2 4 -3

A 3 6 6 -4M

4 5 -1 33 8 24 -18

( A - I ) x = 0

’ 1 2 4 -3 ' r

3 5 6 -44 5 - 2 33 8 24 -19

Se trata de resolver un sistema homogéneo. En este caso bastará hallar el rango de la matriz (A - 1) reduciéndola a su forma escalonada, esto es

F,(-1) ,F3(-1/3)

F4(1/2) f

f 1 2 4 -3 F,2(-3) r 1 2 4 -33 5 6 -4 F,3(-4) 0 -1 -6 54 5 -2 3

F ,4(-3)0 -3 -18 15

3\ 8 24 -19 l 0 2 12 -10

1 2 4 -3 F23(-1) 1 0 -8 70 1 6 -5 F24(-1) 0 1 6 -5U 1 6 -5

F ’,(-1)o o ü 0

( 0 1 6 -5 J l 0 0 0 0 J

= E ‘

Sección 8.14: Sistemas Iwmogeneos de ecuaciones lineales 459

Vemos que p (E1) = p (A - 1) = 2 < 4 (número de incógnitas), por lo que el sítema tiene

infinitas soluciones y existe p = n - r = 4 - 2 = 2 variables libres. De la última matriz

formamos el sistemax, - 8X3 + 7x4 = 0

x2 + 6X3 - 5x4 = 0

Designando por x3 = t, y x4 = t2 a las variables libres, entonces

x, = 8t, - 7t2 , x2 = 6t, + 5t2

Por lo tanto, la solución general de la ecuación matricial está dada por el vector

columna :X = ( 8t„ -7t2, -6t, + 5t2, t,, g *

= t, (8, -6, 1,0)' + t2 (-7, 5, 0, 1)>

= ' , E, + *aE,. "Determinar el valor del parámetro«, para los cuales el sistema

dado tiene soluciones no triviales y hállese estas soluciones

+ a x2 + 2x3 = 0

4x, - x, + 7x3 = 0

2x, + Xj ■+* 3x 3 = 0 Solución. Reduciendo la matriz de los coeficientes a su forma escalonada, se tiene:

A =

F „(-1/3)

a-11

F ,2(*4)

F,3(-2)

1 a 2 1 a 2 '0 -1 -4<i -1 F32(*2) 0 -3 10 -1 -2 a -1 0 1 -2a -1

1 a 2 * 1 a■N. 2

0 1 -1/3 F 23(2a-1) 0 1 -1/3_ 0 <[-2« 1 0V 0 -2/3(«+1) y

= E'

Para que el sistema tenga soluciones no triviales es necesario que p (E1) = 2, ya que

el número de incógnitas del sistema es n = 3. Luego, sip (A) = 2 -> - 2/3 (a + 1) = 0 c* a = -1

1 -1 2 1 0 5/3

11UJ1í 0 1 -1/3 F/(1) 0 1 -1/3.0 0 0 , k 0 0 0 .

De la última matriz obtenemos : x, + 5/3 X3 = 0 , x2 -1/3 x3 = 0

Si designamos x3 = t, como la variable libre, entonces:x, = (-5/3)1, , x2 = (1/3)t,

X = t, (-5/3, 1/3, 1)' = t,E,

460 Capítulo 8: Matrices

Ejemplo 18 J Resolver el sistema : X 'A = X ', donde

A =

2 2 1 3 "2 5 2 6

-1 -3 -1 -53 8 5 14 ,

y X es una matriz columna.

Solución . Tomando la transpuesta a cada miembro del sistema dado, se tiene(X ’ A)' = (X-)« « ( A1 1 ) x = 0

r 1 2 -1 3 ' x, ' 0 )2 4 -3 8 x2 0—>1 2 -2 5 X3 0

v 3 6 -5 13 J x4 J . 0 JComo se trata de un sistema homogéneo calculamos el rango de la matriz

' 1 2 -1 3 l F12(-2)> ' 1 2 -1 3 '2 4 -3 8 F,3(-1)( 0 0 -1 2

A '- I = 1 2 - 2 5 0 0 -1 2< 3 6 -5 13 . F/(-3)f , 0 0 -2 4 ,

f 23(-D ' 1 2 -1 3 ' ' 1 2 0 1 '0 0 -1 2 0 0 -1 2

F24(-2) 0 0 0 0 F2’(*1) 0 0 0 0l 0 0 0 0 , k 0 0 0 0 J

= E'

Vemos que p (E‘) = 2 < 4 ( número de incógnitas), entonces hay infinitas soluciones y el número de variables libres e sp = n - r = 4 - 2 = 2.

De la matriz E ‘ formamos el sistema : x, + 2x, + x = 0 : -x, +2x = 0i 2 4 ' j 4

Haciendo x2 = t, y x4 = t2 => x, = -2t, - 12 y x3 = 2t2

Por lo que : X = ( -2t,-1,, t, , 2t2 , t2 )'

= t,(-2, 1 ,0 ,0 ) ' + |2 ( -1,0, 2 ,1 ) ' = t,E, + t2E2 ■

EJERCICIO S . Grupo 47

En los ejercicios 1 al 3, suponiendo que la matriz ampliada del sistema de ecuaciones

lineales se ha llevado, mediante transformaciones por filas, a la forma escalonada que se indica; resolver el sistema.

✓1 2 -4 2 2.

f

1 0 4 7 10 ' 3.f .

1 1 3 5 -2 '0 1 -2 -1 0 1 -3 -4 -2 0 1 2 -1 3

,0 0 1 2 . . 0 0 1 1 2 . , 0 0 1 2 -1 >

EJERCICIOS: Grupo 47 4 61

En los ejercicios 4 al 9, resolver los sistemas de ecuaciones dados mediante trans­

formaciones elementales

4. x, - x2 + X3 = 4

2x, + x2 - 3 x3 = 0

x,+ x2

5. 2x. + 3x.

+ x3 = 2

*3 = 93x, + 4 x2 + 2 x3 = 0

x, - 6 x2 - 5 x3 = -9

7.

8.

2x. + x

8x

4x

5x

6x

x

x3 = 8

- x2 - 3 x3 = 26

+ x2 + 4 x3 = 8

- 2x2 + x3 = 3

+ x2 - 4 x3 = 62

+ 2x2 + x3 = 1 5

6. 2x, + x2 - x., = 5

x? + 2 x3 = -10

x, - 2Xj - 4 x3 = -3

9. x, - 3 x2 + 12x3 = 62x, + 10x2 - 4 0 x 3 = -4

-4x, - 7 x2 + 4 ^ = -31

En los ejercicios 10 al 16, investigar la compatibilidad y hallar, si es posible, la solu­

ción general de los sistemas dados:

10. 3x, - 2 x2 - 5 x3 + x4 = 3

2x, - 3x 2 +

x. + x„

x3 + 5 x4 = -3

- 4x ,= -3

x, - x2 - 4 x3 + 9x4 = 22

14. x, - 2xz + 2x3 3x, + 2 x 2 - x32x. + 3 x 2 -

- x =-144

+ 2 x4 = 17

- x. = 182 x t - 5 x2 + 3x3 + 3 x4 = -26

11. 9 x1 - 3 x 2 + 5x3 + 6 x4 = 4

6x, - 2 x 2 + 3X3 + 4 x4 = 5

3x, - x2 + 3 x3 + 14x4 = -8

15. x, + Xj + x3 + x4 = 2 2x, + x - x3 - 3x4 = 14

x, - 3x2 - 2x3

3x.

x4- 3 5x. + 2x_ + 2x, = -15

12.

13.

x, - 2x2 + x3 - 4x4 = 1

x, + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2

x, - 12x2 - 11x2 - 16x4 = 5

3x, - 5 x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x, 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x, + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

16. -x, + X2 + 2x3 + x. = 4

2x, - 2x2 + x3 + 3x4 = 2

3x, - 3x„ + x, + 3x = 3

x, - x, + x, - x, = 5

En los ejercicios 17 al 20, investigar la compatibilidad y hallar la solución general de

los sistemas dados.

17. 3x, 2x2 - 5 xa + x4 = 3

2x, - 3 x2 + x3 + 5 x4 = -3

x, + x. - 4x = - 3

x , - x 2 - 4 x 3 + 0 x 4 = 2 2

19. x. + x„ - x, + x„ - xs = 5

2x, + 2 x r - 2 x3 + x4 + 3 x5 = 2

-x. + x3 + 2x4 + x5 = 4

3x, + 3 x2 - 3x3 + x. + 3x. = 3

462 Capítulo 8: Matrices

18. 4x, + 2x2 - 3x3 = 4 20. x, + x2 - 2x3 + x4 + 3x5 = 1

x, - x3 - 2 x 4 =1 2x, - x2 + 2x3 + 2x4 + 6X5 = 23x, + 4x2 - 4x, + x4 = 0 3x, + 2x2 - 4X3 - 3x4 - 9x5 = 3

2x, - 3x2 + x3 + 3x4 = 1 4x, + x2 - 2x3 + 4x4 + 12x5 = 4

En los ejercicios 21 al 24, investigar la consistencia y hallar la solución general en función del valor del parámetro X.

21. Xx,+ Xj+ x3+ x4 = 1 23, (1+X)x,+ x2 + x3 =1

x, + Xx2 + x3+ x4 = 1 x, + (1 + X )x 2 + x3=1

x, + x2 + Xx3 + x4 = 1 x, + x2 + (1+ X)Xg = 1x, + x, + x_ + X x, = 1

22. 2x, - x2 + 3x3 + 4x4 = 5 24. 5x, - 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3

4x, - 2Xj + 5x3 + 6x4 = 7 4x, - 2x2 + 3x3 + 7x4 = 1

6x, - 3x2 + 7x3 + 8x4 = 9 8x, - 6x2 * x3 - 5x4 = 9

Xx, - 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11 7x, - 3x2 + 7x3 + 17x4 = X

En los ejercicios 25 al 28, hállese el sistema fundamental de soluciones y la solución general de los sistemas dados

25. 2x, - 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0 27. 3x, + 4x2 + x3 + 2x4 + 3xs = 0

3x, - 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0 5x, + 7x2 + x3 + 3x4 + 4xs = 0

4x, - 8x2 + 17X3 + 11 x4 = 0 4x, + 5x2 + 2x3 + x4 + 5xs = 0

7x, + 10x2 + x3 + 6x4 + 5xr = 0

26. 3x, + 2x2 + x3 + 3x4 + 5x. = 0

6x, + 4x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 = 0

9x, + 6x2 + 5x3 + 7x4 + 9 x5 = 0

3x, + 2 x ? + 4x3 + 8x5 = 0

28. x, + x2 - 3x4 - 2x5 = 0

x, - x2 + 2x3 - x4 + 2x5 = 0

4x, - 2x? + 6x3 + 3x4 + xs = 0

2xl + 4x2 - 2x3 + 4x4 + x5 = 0

29 . Determinar los valores del parámetro a, para los cuales los sistemas dados tiene

soluciones no triviales y hállese estas soluciones

a) a2x, + 3x. + 2x3 = 0

ax, - x2 + x3 = 0

8x, + x2 + 4x3 = 0

b) 2x, + x2 + 3x3 = 0

4x, - x2 + 7x3 = 0

x, + ax2 + 2x3 = 0

EJERCICIOS : Grupo 47 463

30. Aclárese si las filas de cada una de las matrices:

30 -2 4 4 3 50N

-5 ' 4 2 9 -20\

-3

A = 9 -1 5 8 5 2 , B = 1 -11 2 13 4

k 4 2 9 -20 - 3 0 . , 9 -15 8 5 2,

forman un sistema fundamental de soluciones para el sistema de ecuaciones

3x, + 4x, + 2X3 + x4 + 6xs = 05x, + 9 x r + 7x3 + 4x4 + 7x5 = 0

4x. + 3x, x4 + 11 x5 =0x, + 6x2 + 8x3 + 5 x4 4x5 = 0

I Nota . Dado un sistema no homogéneo AX = B, la solución general de este sistema puede obtenerse como una suma de la solución general del correpondiente

sistema homogéneo AX = 0 y una solución particular arbitraria del sistema no homogéneo. Esto es

X = X0 + t,E, + tjEj + t3Ej + ...........

En los ejercicios 31 al 34, hállense las soluciones generales de los sistemas no

homogéneos, haciendo uso del sistema fundamental de soluciones de los sistemas

homogéneos correspondientes.

x3 - x4 + x5=131. . 2x, + x.

x, - Xj + x3 + x4 - 2xs = 0 3x, + 3x2 - 3X3 - 3 x4 + 4 x5 = 2

4x2 + 5 x2 - 5 x3 - 5 x4 + 7 x5 = 3

33. 2x, - 2x2 + x3 - x4 +

x, + 2x2 - x, + x -

Xs=1

2xs = 14x, - 10x2 + 5 x3 - 5 x4 + 7x5 = 1

2x, - 14 x2 + 7 x3 - 7 x4 + 1 1x5 = 1

32. X 4 + X 5 - X 6 = 1

2x, - 2x2 + 2X3 + x4 - x s + x6 = 134. x, + 2x2 + 3 x3 + 4x4 + 5x5 = 0

x, - 2x2 - 3x3 - 4x4 - 5xs = 2

2x2 + 3x3 + 4x4 + 5xs = -1

35. Una fábrica posee tres máquinas A, B y C, las cuales trabajan en un día, duran­

te 15, 22 y 23 horas, respectivamente. Se producen tres artículos X, Y y Z en

estas maquinas, en un día, como sigue : una unidad de X está en A durante 1

hora, en B durante 2 horas, en C durante 1 hora; una unidad de Y está en A

durante 2 horas, en B durante 2 horas, en C durante 3 horas; una unidad Z está

en A durante 1 hora, en B durante 2 horas; en C durante 2 horas. Si las máqui­

nas se usan a máxima capacidad, durante un día, hallar el número de unidades

de cada artículo que es posible producir.

465

D€T€ftMINftNT€S

9.1 ) DEFINICION

Determinante es un número real o escalar asociado a una matriz cuadrada

A, que se denota por:

I A I , det ( A ) , D ( A )

El determinante de una matriz es un sólo número real y su cálculo depende

del orden de la matriz cuadrada en particular. Así, para una matriz cuadrada A de

orden 2, este número se define como

D ( A ) =

Por ejemplo, el determinante de la matriz A =

a I K - a l2

a , X a ¡:— a,, a,, - a,, a,,

4 -3 l 2

(!)

es

D(A) = 4 -3l 2

= 4 (2 ) - l (3) = 8 + 3 = ll

El cálculo del determinante de una matriz de orden 3 es un tanto más complicada,

pues su valor se define como

D(A) =»ua».

3|2a 22

a,<

3:? = au a:. a}} + ai2 a2J a„ + a« a?.’ aU *

3ji a o a i) aM a a„ - a«2 a,, a,, - a.i au a»

466 Capitulo 9: Determinantes

FIGURA 9.1 FIGURA 9.2

Por ejemplo, si A = su determinante es

D (A) = (2) (4) (-2) + (1) (-4) (3) + (-1) (-3) (5) - (3) (4) (5) - (-3) (-4) (2) - (-1) (1) (-2)

= - 16 -12 + 15 - 60 - 24 - 2 = -91

Hemos visto que el cálculo del determinante de una matriz de orden 3 se hace un

tanto laborioso y podemos pensar que la obtención del determinante de una matriz

de orden n ofrece ciertas dificultades; por lo que es conveniente estudiar previa­

mente algunas propiedades del determinante considerado como una función sobre el conjunto de matrices de orden 2.

Se calcula a s í: Uno de los tres sumandos que figuran en el segundo miembro con el

signo más es un producto de elementos de la diagonal principal de la matriz A, cada

uno de los otros sumandos es un producto de elementos situados en la paralela a

dicha diagonal y un elemento opuesto del rincón de la matriz ( Figura 9.1 ) y los

sumandos que figuran en el segundo miembro con el signo menos se construye de

modo igual, pero esta vez respecto a la segunda diagonal ( Figura 9.2 )

(9.2 ) P R O P IE D A D E S DE LO S D E T E R M IN A N T E S

PROPIEDAD 1 j Si A es una matriz cuadrada que tiene una linea ( fila o

columna ) compuesto exclusivamente de ceros, entonces el determinante de la matriz es cero.

En efecto, si A = D ( A ) = (a,, ) ( 0 ) * ( 0 ) ( a I2 ) = 0

Sección 9.2: Propiedades de los determinantes 467

| P R O P IE D A D 2 j Paridad de las fila s y columnas de un determinante.

El valor de un determinante no varía si este se transpone, es decir, si se cambia cada una de sus filas por la columna del mismo número.

En efecto, sea A una matriz cuadrada y A’ su transpuesta:

Si A = a ,2 => D(A) — a,, a22 - a21 a12 "1a2, a22

✓ \

y A' = r a„ a2,' => D(A’) = a,, a22 - a ,2 â21 !

CMaj" a22 J

.*. D(A) = D(A')

PRO P IED AD 3 ] Si dos líneas (filas o columnas) de una matriz A son idénticas, entonces el determinante de la matriz es cero.

En efecto, si A =a a

b bD(A) = (a)(b) - (b)(a) = 0

PRO P IED AD 4 J Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, entonces

se cumple :

a) Si B es la matriz que resulta de multiplicar una línea de A por un escalar k,

entonces :D(B) = kD(A)

En efecto, si A =a,, a,2

a2i a22y b =

rka„ a12ka22 a22

II ' a„a21

, entonces :

D(B) = kan a22 - ka21 a12 = k (a,, a22 - a21 a12) = k

Según esta propiedad, un factor común de todos los elementos de una línea

de un determinante puede ser separado como factor del determinante.

b) Si B es la matriz que resulta de intercambiar dos líneas de A, entonces

D(B) = -D(A)

En efecto, si A = ' a„ a,2y B = a ,2 a,,' , entonces

a21 a22 a 2 2V.

a21

= a ,2a2, - a22 a M — -(a,, a^ - a21 a,2)

.-. D(B) = -D(A)

468 Capítulo 9: Determinantes

c) Si B es la matriz que se obtiene de A al trasladar una de sus líneas p lugares,

entonces :

D(B) = (-1 )p D(A)

d) Si B es la matriz que resulta cuando un múltiplo de una línea de A se le suma

a otra línea, entonces :

D(B) = D(A)

En efecto, si A =

r > an a !2 IICQ><

v a2t a22 „ \

a,, + ka12 a12

a21 + kajj a22, entonces:

D(B) — a,, a22 + k3,2 a ^ - 32, 3,2 ■ ks,2 322 — 3,, ^22 ~ 21 12

a„ + ka12 3,2 3,1 312a¿, + ka22 322 32, a22

Esta propiedad es útil para calcular determinantes de matrices de cualquier orden.

e) • Si los elementos de una línea de un determinante son iguales a la suma de p términos, el determinante se puede expresar como la suma de p determinan­

tes.

En efectoa,, + c,

a2, + c2112

a22— (a,, + c,,) a22 - (a2, + c21) a12

= a,, a22 + c,, a22 - a21 a12 - c21 a,2

= ( a,, 822 * a2i ai2 ) + ( c,, a22 * 21 a,2 )

ai1 + c„ 3,2 a i t 3,2+ c„ a,2

32, + C21 a22 321 322 c21 322

rEJEM PLO S ILUSTRATIVOS

ejemplo 1 ^ Resolver la ecuaciónCos 8x Sen 5x

Sen 5x -Cos 8x= 0

i

S o luc ión . Por el desarrollo de un determinsnte de segundo orden se tiene :

Cos 8x Sen 5x

Sen 8x -Cos 5x= -Cos 8x Cos5x - Sen 8x Sen 5x = 0

Sección 9.2: Propiedades de los determinantes 469

de donde obtenemos : Cos ( 8x - 5x ) = 0 <=> 3x = k 71 + 71/2

« X

COii + 7t/3k,

3 -2 11 X -2 < 0

-1 2 -1: Ejemplo 2 j Resolver Is desigusldsd :

Solución . Por dessrrollo del determinsnte de tercer orden se tiene :

(-3x + 2 - 4 ) - ( -x + 2 - 12 ) < 0 <=> -3x-2 + x + 1 0 < 0

<=> -2x + 8 < 0<=> x > 4 = > x e < 4 , + <»>

' 1 1 £ 'Ejemplo 3 j Cslcular el determinsnte de 13 mstriz A = 1 1 £2

, £2 £ 1 ,

donde e = Cos ( 2td 3 ) + i Sen ( 2:d 3 )

S o luc ión . D(A) =1 1 e1 1 e2e2 e 1

= (1 + £2 + £4) - (e3 + 1 + £3)

= e4 - 2 e3 + e2 = (e2 - e)2

e2 = (Cos 2/3 ti + i Sen 2/3 n )2 = Cos 4/3 n + i Sen 4/3 n = -1/2 - i V3 / 2

e = Cos 2/3 k + i Sen 2/3 rc = -1/2 + i (\ 3 / 2 ) =* e2 - e = -V~3 i

D(A) = (->/! i )2 = 3 i2 = -3

f 1 2 3ejemplo 4 j Hsllsr el determinsnte de l3 mstriz A = 4 5 6

, 7 8 9>

Solución . Hsciendo uso de Iss propiedades 4e y 3 se tiene

1 2 2+1 1 2 2 1 2 1D(A) = 4 5 5+1 = 4 5 5 + 4 5 1

7 8 8+1 7 8 8 7 8 1

= 0 +1 1+1 14 4+1 17 7+1 1

1 1 4 47 7

1 11 11 1

D (A) = 0

470 Capitulo 9: Determinantes

Ejemplo 5 Demostrar la identidad

a, + b,x a, - b,x c, a, b, c,a2 + b2x a2 - b2x c2 = -2x a2 b2 c2a3 + b3x a3 - b3x c3 a3 b3 c3

Demostración . Sumando la segunda columna a la primera se tiene :

2a, a, - b,x c, 2a, a, c, 2a, - b,x c,2a2 a2 - b2x c2 = 2a2 a2 c2 + 2a2 - b2x c22a3 a3- b3x c3 2a3 a3 c3 2a3 - b3x c3

Por la propiedad 3, el primer determinante es cero. Del segundo determinante ex­

traemos los factores 2 y -x de la primera y segunda columnas respectivamente, y

obtenemos :

a, + b,x a, - b,x c, a, b, Cia2 + b2x a2 - b2x c2 = -2x a. b2 c2aa + b3x a3 - b3x c3 a. b3 c3

Ejemplo 6 j Demostrar que el determinante de la matriz A =

se divide por x - y , x - z , z - y.

1 1 1x y z

x2 y2 z2

Demostración. Bastará probar que el D(A) tiene como factores a x-y, x-z y z-y.

En efecto, efectuando las operaciones C, - C2 y C2 - C3, obtenemos:

D ( A ) =0

x-y x2 - y2

0y-z

y2 - z2= (x - y) (y2 - z2) - (x2 - y2) (y - z)

= (x - y) (y - Z) (y + z) - (x + y) (x - y) (y - z)

= (x -y) (y -z ) [(y + z) - (x + y) ]

= (x - y) (y - z) (z - x)

Ejemplo 7 ] Hallar el determinante de la matriz A =28 25 38

42 38 65

56 47 83

Solución . La primera columna ( C, ) admite el factor 14, luego, por la propiedad

4a, se tiene :

EJERCICIOS: G rupo48 471

2 25 38D(A) = 14 3 38 65

4 47 83

Haciendo uso de la propiedad 4d realizamos las siguientes operaciones con las

columnas: -1 2 C ,+ C2 y -14C, + C3

2 1 0 0 1 0

D (A )= 14 3 2 8 -2C2 + C, D(A) = 14 -1 2 8

4 -1 7 6 -1 7

Finalmente, por el desarrollo del determinante de tercer orden obtenemos :

D(A) = 1 4 (0 + 0 + 4 8 - 0 - 0 + 7 ) = 770

EJERCICIO S . Grupo 48

En los ejercicios 1 al 6, calcular el determinante de tercer orden

1. 3 4 -5

8 7 -2

2 -1 8

2. 1 i 1 + i

-i 1 0

1 -i 0 1

3.

4.

Sen a Cos a

Sen p Cos P

Sen y Cos y

5. a2+1 a P a 8

a p p2+1 p 5 a 8 p 8 82+1

a + x X X 6. Sen2a 1 Cos2a

X b + x X Sen2P 1 Cos2p

X X C + X Sen28 1 Cos2 8

7. Calcular el determinante de la matriz A =

si e = Cos ( 4 n / 3 ) + i Sen (4;t/3).

8. Resolver las ecuaciones:

a)

1 1 11 e e21 e2 e

3 X -X b) X x + 1 x + 22 -1 3 = 0 x + 3 x + 4 x + 5

x + 10 • 1 1 x + 6 x + 7 x + 8= 0

9. Resolver la desigualdad :

2 x + 2 -1

1 1 -2

5 - 3 x

472 Capítulo 9: Determinantes

a, + b,x a,x + b, c, a, b, c,10. Demostrar que : a2 + b2x a2x + b2 c2 = (1 * x2) a2 b2 c2

a3 + b3x a3x + b3 c3 a3 b3 c3

1 a a3 1 a a211. Demostrar que : 1 b b3 = ( a + b + c ) 1 b b2

1 c c3 1 c c2(Sugerencia : Muéstrese que la última columna del determinante de partida puede ser representada en la forma

/ > a3

f Na2

/ > a

✓ \ 1

b3 = ( a + b + c ) b2 - ( ab + ac + be ) b + abe 1, c3 > > c2. . c > . 1 ,

y hágase uso de esta representación)

12. Demostrar que el determinante

x + y y x2 - xy + y2

13. Constrúyase la gráfica de la función : y =

X y x + y

y x +y X se divide porx + y X y

b - a

X X2 1a a2 1 , a * bb b2 1

En los ejercicios 14 al 19. usando propiedades, calcular el valor de cada deter­minante.

14.

15.

24 8 32 16. 67 19 21 18. 108 142 4247 15 59 39 13 14 128 153 5353 17 65 81 24 26 138 164 64

3 6 12 17. 66 18 21 19. 245 427 32735 37 34 42 14 16 1014 543 44323 26 25 75 23 25 -342 721 621

En los ejercicios 20 al 25, utilizando propiedades, demuéstrece las identidades dadas.

20. X a 1 21. 1 a a2a X 1 = (x - a) (x - b) 1 b b2a b 1 1 c c2

= (a - b)(b - c)(c-a)

Sección 9.3: Existencia de los determinantes 473

22. 1 1 1a b c =a3 b3 c3

23. 1 1 1a2 b2 c2 =a3 b3 c3

24. 1 a2 a31 b2 b3 =1 c2 c3

25. an + b np + qbn + c nq + ren + a nr + p

= (a + b + c ) ( a - b ) ( b - c ) ( c - a )

= (ab + ac + b c ) ( a - b ) ( b - c ) ( c - a )

= ( ab + be + ca )1 a a21 b b21 c c2

nx + y ny + z nz + x

= ( 1 + n3 )a p xb q yc r z

E X IS T E N C IA DE LO S D E T E R M IN A N T E S

Para demostrar la existencia de los determinantes definidos sobre el con­

junto de matrices cuadradas de orden n, K " , introduciremos la idea de sub matriz, que anotaremos del siguiente modo : Si A = [ aJ es una matriz de orden n x m, sea

A,, la sub matriz de orden (n -1) x (n -1) que se obtiené de A al eliminar la i-ésima fila

y la j-ésima columna.

Veremos inicialmente el caso de los determinantes de las matrices de tercer orden.

Sea la matriz : A = [ a,, ] =aua2j31

a22a32

a,3a23a33

Las sub matrices correspondientes a la primera columna vienen dadas por

A,, =

Ao, —

A.., —

a22 a¡

a32 a:

a )2 a

a32 a-

a12 a

a22 a¡

(Matriz obtenida al eliminar la primera fila y la primera columna)

(Matriz obtenida al eliminar la segunda fila y la primera columna)

(Matriz obtenida al eliminar la tercera fila y la primera columna)

Ahora bien, definimos el determinante de la matriz A mediante la fórmula:

474 Capitulo 9: Determinantes

D (A )= a„ - a,a t2

a32+ 3-i

a,2 a«

a,3(2)

Donde cada término de la suma es el producto de un elemento de la primera co­

lumna de la matriz por el determinante de la matriz de segundo orden que se

obtiene al eliminar la fila i y la primera columna, anotando el signo correspondiente a este término.

La suma que define una función determinante sobre el conjunto de las matrices cuadradas de tercer orden se puede escribir como :

D(A) — a1t D (A,,) - a21 D(A21) + a31 D(A31) (3)

Ejemplo 1 Calcular el determinante de la matriz A =

S o luc ión . Haciendo uso de la fórmula (3) se tiene :

D(A) = 2 D (A„) - 1 D (A21) + 5 D (A31)

1 2 1 -3 1 -3= 2

4 5 4 5+ 5

1 2

= 2 ( 5 - 8 )

2 1 -31 1 2

5 4 5

(5 + 12) + 5 (2 + 3 ) = 2

La fórmula (3) tiene múltiples generalizaciones, por lo que su discusión requiere el

establecimiento de nuevos conceptos y la introducción de una terminología apropiada.

í 9.3.1 ) M E N O R DE U N A C O M P O N E N T E

Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces el menor del ele­mento atl se denota por M,, y se define como el determinante de la sub matriz (n-1) x

(n-1) de A que se forma supriminedo todos los elementos de la fila i y todos los elementos de la columna j.

I O BSERVA C IO N 9.1 De una matriz de orden m x n se puede formar Ckm • Ck„

menores de orden k, y de las matrices cuadradas de orden n se puede formar Ckn • Ckn menores que k.

Ckn es el número de combinaciones de n objetos tomados de k en k, y se calcula por la fórmula :

Sección 9.3: Existencia de los determinantes 475

k! ( n-k )!

Asi, para la matriz del ejemplo 1, se puede formar C23 • C23 = 3 x 3 = 9 menores de

segundo orden

2 1 2 -3 1 -3

1 1 1 2 1 2

2 1 - 2 -3 1 -3

5 4 5 5 4 5

1 1 1 2 1 2

5 4 5 5 4 5

9.3.2 ) CO FACTO R DE U N A C O M P O N E N T E

El cofactor de una componente a ,,, denota por A jjf está definido por

A IJ = (-1 ) '* i(M „ )

Es decir, el cofactor de la componente a,, es el menor M,, con el signo prefijado (-1)**'

Por ejemplo, para la matriz de tercer orden, A =2 - 1 5 1 3 1

1 3 4 7 ), los menores y

cofactores correspondientes a las componentes de la primera fila son, respectiva­

mente:

M„ =

M 12 =

M., =

3 14 7

1 13 7

1 33 4

A,,= (-1 )'+'

a ,2 = ( -i r 2

a í3 = (-1 r 3

3 1= +

3 14 7 4 7

1 1 1 13 7 3 7

1 3= +

1 33 4 3 4

Como se puede observar, los signos de cada cofactor está configurado de la si­

guiente manera :+ - +— + —

+ - +

476 Capítulo 9: Determinantes

Ahora bien, la fórmula ( 3 ):

D(A) = a n D(A,,) - a2, D (A^) + a31 D(A31)

establece que el determinante de la matriz A es el producto interno de los vectores

( a „ , a , , ) • [ ( - 1 )'*’ D (A „ ), ( - 1 )**' D(AS1) , ( - 1 )’ •' D(A„) ]

donde los elementos del primer vector, son los elementos de la primera columna de

A y los elementos del segundo vector son los cofactores de los elementos corres­

pondientes a la primera columna de A. Es evidente que este resultando es cierto

para cualquier fila o columna de A. Podemos afirmar entonces que, el determinante

de una matriz 3 x 3 se puede obtener de 6 maneras diferentes, al tomar las compo­

nentes de cualquier fila o columna de la matriz y multiplicar cada una de estas

componentes por su cofactor y sumando los resultados.Enseguida una generalización para determinantes de matrices de n x n en términos

de determinantes de matrices (n - 1) x (n - 1).

Para cada 1< i < n y cada 1< j < n , se define:

D(A) = (-1)1*1 a„ D(A„) + (-1)2*1 a2| D(A2|) + .... + (-1)"** an| D(An|)

(Desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna )

Haciendo uso de la anotación correspondiente a las sumatorias para los que i varía

de 1 a n, se tiene

D (A)= 2 (-1 )‘*'aH D(A„)i = I

(4)

Del mismo modo, se tiene que :

D(A) = (-1 y a * D(Aj,) + (-1 )U2 al2D(A¡2) + .... + (-1 )■♦" a,n D(Aln)------------------------------------ -------- -------- ---------------- ■ ■ - -s

( Desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila )

Expresando en forma de sumatoria, en las que j varía de 1 a n, se tiene :

D ( A ) = ¿ (-1)M afl D(Aq) ¡ = i

( 5 )

Cada una de las sumas (4) es el producto escalar de una columna de A con el vector

cuyos elementos son los cofactores asociados.Cada una de las sumas (5) es el producto escalar de una fila de A con el correspon­

diente vector cofactor.

Sección 9.3: Existencia de los determinantes 477

Las fórmulas ( 4 ) y ( 5 ) reciben el nombre de expansión o desarrollo de un determi­nante por menores.

/■/

2 -1\

5Ejemplo 2 Hallar el determinante de la matriz A = 1 3 1

3V. 4 7 /

3 1 -1 5 -1 54 7

- 14 7 + 3

3 1

de dos formas distintas.

Solución . Aplicando la expansión por la primera columna, para j = 1, en la fórmu­la (4), se tiene :

D ( A ) = ¿ (-1)'” a„ D(A„)i= I

=> D(A) = (-1 )U1 a,, D(A„) + ( -1 )2*1 a2, D(A21) + (-1)3*1 a3, D(A31)

= 2

= 2 ( 21 - 4 ) - ( -7-20 ) + 3 ( -1 -15 ) = 13

Aplicando la expansión por la primera fila, para i = 1 en la fórmula (5), se tiene:

D ( A ) = ¿ (-1)'*'a,D(A„)i= •

=>D(A) = ( - i r an D(An) + (-1)1*2 a12 D(AI2) + (-1)1*3 a,3 D(A,3)

= 2

= 2 (21 -4) + (7 -3 ) + 5 ( 4 -9 ) = 13

3 1 1 1 1 34 7 -( -1)

3 7 + 53 4

Ejemplo 3 j Calcular el determinante de A =

1 -1 1 3-1 0 2 01 1 1 22 0 0 2

S o luc ión . Para aprovechar los ceros en la cuarta fila, debemos usar el desarrollo por filas (5), para i = 4, esto es :

D(A)= £ (-1)*’’ a4, D(A«j)i=i

Como a42 = a43 = 0 => D(A) = ( -1 )4-’ a4, D( A 41) + (-1)4-4 a44 D(A44)

r

478 Capitulo 9: Determinantes

-1 1 3 1 -1 1= -2 0 2 0 + 2 -1 0 2

1 1 2 1 1 1

Desarrollando el D(A41) por los cofactores de su segunda fila y el D(A44), por los

cofactores de su segunda columna, obtenemos

D(A41) = 2 (-1)**

D(Am) =

= 2 (-2-3 ) = -10

-1 21 1

+ 1 (-1)3

Por lo que, en (1) se tiene : D(A) = -2 (-10 ) + 2 ( -6 ) = 8

= -6

EJE R C IC IO S . Grupo 49

En los ejercicios 1 al 12, empleando desarrollos adecuados por filas o columnas,

calcular el determinante de cada una de las matrices dadas.

'1 2 1]r

1 2) 2 1 -111. A = 2 1 -1 2. A = 1 1 3. A = 1 0 2

-1< 1 0 < 0 1 0 -1 4/

' 1 -1 1 ' 1 -1S

0f

2 1N

2

ii<

2 0 1 5. A = 1 2 6. A = 0 3 -1

U -1 2, V -1 2> . 4 1 1Jf-

1 -2 1 0f

1 2 0\

0r-1 1 2 0

7. A =20

02

-31

01

8. A =0

00

0-4

-12

9. A =00

34

21

12

1V

0 0 1^ 0V

-2 1 0 l 3 1 5 7

z '2 3 -3 4^

/ •3 -1 4 2 1 0 0 0

10. A =26

• 12

-11

20

11 A =50

22

01

1-3

12 A =00

20

-13

0-2

2V.

3 0 -5 l 6 2 9 8>

10

01

00

20

En los ejercicios 13 al 15, para las matrices A, formar la matriz A - x l, luego,

determinar los valores de x que satisfacen la condición D(A - x I ) = 0

f1 0 0' ' 2 2 1 ’ r 1 2 1'

n<co 1 1 0 ii<"3-Y— 2 2 1 15. A = -i 1 10

N0 2 0

X0 1 0

V3 2

_

Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 479

En los ejerciciosn16 y 17, calcular las determinantes, desarrollándolos por la tercera

fila y segunda columna, respectivamente.

16. 2 -3 4 1 17. 5 a 2 -14 -2 3 2 4 b 4 -3a b c d 2 c 3 -23 -1 4 3 4 d 5 -4

En los ejercicios 18 al 20, evalúese los determinantes

18. a 3 0 5 19. 1 0 2 a 20. X a b 0 c0 b 0 2 2 0 b 0 0 y 0 0 d1 2 c 3 3 c 4 5 0 e z 0 f0 0 0 d d 0 0 0 g h k u I

0 0 0 0 V

9.4 ) C A LCU LO DE D E T E R M IN A N T E S DE C U A LQ U IER O RDEN

El cálculo del determinante de una matriz de orden n se basa en el método de reducción del orden del determinante mediante el uso de la propiedad 4d. Los pasos a seguir son los siguientes:

Paso 1 . Elegir como línea pivot una fila o columna y destacar con un asterisco.

Paso 2 . Haciendo uso de la propiedad 4d, se multiplica cada elemento de la

línea pivot por un número tal que al sumar el resultado con el elemento

correspondiente de otra línea, se obtenga por lo menos un elemento igual a cero.

Las anotaciones que se destacan en este paso son, por ejemplo :

a F, + F2 o a C, + C2

que indican lo siguiente : Los elementos de la fila o columna 1 se multiplicó

por el factor a y el resultado se sumó a los elementos de la fila o columna 2.

Paso 3 . Se repite el paso 2 tantas veces como sea necesario hasta tener un de­

terminante equivalente en que todos los elementos de una misma línea, excepto uno, sean cero.

Paso 4 . Se desarrolla el determinante obtenido en el paso 3 con respecto de la

línea que tiene sus elementos igual a cero, con excepción de uno de

ellos, obteniendo asi un solo determinante de orden n -1.

Paso 5 . Se repite el procedimiento hasta obtener un determinante de orden 2

T480 Capítulo 9: Determinantes

Ejemplo 1 J Calcular el determinante de la matriz A =

Solución . Factorizando 2 de la primera y tercera filas se tiene

-4 6

1 7

-2 4

1 2 - 3 8

2

3

6

4 )

D(A) = (2)(2)

1 -2 3 1 2C, + C2 1 0 0 03 1 7 3 cO+6co

D(A) = 43 7 -2 0

2 -1 2 3 -1C ,+ C< 2 3 -4 12 -3 8 4 2 1 2 2

Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene

7 - 2 0 7 - 2 0D( A ) = 4 3 -4 1 -2F2+ F3 ( 4 3 -4 1

1 2 2 -5 10 3

Desarrollando por los cofactores de la tercera columna obtenemos :

7 -24 ( - 1 ) 2 . 3

-5 ' 10 = -4 (70-10) => D(A) = -240

' k-1 3 -3Si A = -3 k+5 -3 , hallar los valores de k de

coco k -4 j

modo que D(A) = 0.

S o luc ión . D(A)=k-1 3 -3

C2 + C,k+2 3 0

-3 k+5 -3C2 + C3

k+2 k+5 k+2-6 6 k-4 0 6 k+2

Factorizamos k + 2 de la primera y tercera columnas y obtenemos

1 3 0 1 0 0D(A) = (k+2)2 1 k+5 1 -3 C, + C2 = (k + 2)2 1 k+2 1

0 6 1 0 6 1

Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene

k+2 1D (A) = (k + 2)2 (-1)U1

1= (k + 2)2 (k - 4)

Luego, si D(A) = 0 => (k + 2)2 (k - 4) = 0 « k = -2 ó k = 4

Sección 9.4: Calculo Je determinantes de cualquier orden 481

Ejemplo 3 J Resolver la ecuación

Solución . De la propiedad 4e, se sigue que:

15 - 2x 11 10

11 - 3x 17 16

7 - x 14 13= 0

15 11 10 2 11 1011 17 16 - X 3 17 167 14 13 1 14 13

= 0

Efectuando las operaciones, en el primer determinante : -C3 + C„ -C3 +C2 y en el segundo determinante :-C3 + C2; resulta que

5 1 10 2 1 10 -5C2 + C, 0 1 0 0 1 0-5 1 16 - X 3 1 16 = 0 -10 1 6 - X 1 1 6-6 1 13 1 1 13 -10C2 +c^ -11 1 3 -1 1 3

= 0

Desarrollando ambos determinantes por los cofactores de la primera fila se tiene

-10 6 1 6-11 3

- x ( - 1)u2-1 3

1(-1)U2

=> -( -30 + 6 6 ) + x(3 + 6 ) = 0 o x = 4

( ejemplo 4 ^ Hallar el determinante de la matriz

x - 4a 2a - 18x 4x - 4a

A = x - 4b 2b - 18y 4y - 4b

x - 4c 2c - 18z 4z - 4c

= 0

Solución . Factorizando 2 y 4 de la segunda y tercera columnas respectivamente, se tiene:

x - 4a a -9x*

x - a - C3 + c, -3a -8x x - a00II<Q

x - 4b b - 9y < i cr

- c 3 + c 2 = 8 -3b -8y *< cr

X -U o c - 9z z - c -3c -8z z - c

Factorizamos -3 y -8 de la primera y tercera columnas respectivamente, y obtene­mos:

482 Capítulo 9: Determinantes

a x x -a a X X

D(A) = 8 (-3) (-8) b y y -b c, + c 3r = 192 b y yc z z - c c z z

Luego, por la Propiedad 3: D(A) = 192 (0) = 0

Ejemplo 5 j Descomponer en factores el determinante deA =a b c 'Ia2 b2 c2a3 b3 c3

Solución . Factorizando a, b y c de la primera, segunda y tercera columnas res­

pectivamente, obtenemos:

D(A) = abe1 1 1 -C3 + C,

= abe0 0 1

a b c -c3 + c2(a - c b - c c

a2 b2 c2 a2 - c2 b2 - c2 c2

Desarrollando por los cofactores de la primera fila resulta :

a - c b - c

(a+c) (a-c) (b+c) (b-c)D(A)= abe (-1)’

D(A) = abe (a - c) (b - c)1 1

a + c b + c= abe (a - c) (b - c) (b - a)

a b c b+c c+a a+bEjemplo 6 ] Si b q r = 5 y A = q+r r+p p+q

X y z .y+z z+x x+y, hallar D(A)

Solución . En el determinante de A efectuamos la operación: -C2 + C,

D (A) =b-a c+a a+b C, + C 2 b-a b+c 2b

= q-p r+p p+q 0 , + Co q-p q-r 2qy-x z+x x+y w i 1 y-x y+z 2y

b-a b+c b -c3 + c, -a c b= 2 q-p q+r q ---------- * = 2 -P r q

y-x y+z y -C3 + C2( -X z y

Factorizando -1 de la primera columna y por la propiedad 4b, se tiene:

Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 483

D(A) = 2 (-1) (-1)a b e

P q rx y z

= 2(5) = 10

Ejemplo 7 j" x-y-z 2x 2x '

Si A = ’2y y-x-z 2y2z 2z z-x-y >

, calcular D(A).

Solución . En el determinante de A efectuamos las operaciones: -C, + C2, -C, +C3

=> D (A) =

Factorizando x + y + z de la segunda y tercera columna se tiene :

x-y-z x+y+z x+y+z

2y -x-y-z 0

2z 0 -x-y-z

x-y-z 1 1 • x-y-z 1 1D(A) = (x + y + z)2 2y -1 0 F, + F3 = (x + y + z)2 >C\J 0

2z 0 -1 x-y+z 1 0

Desarrollando por los cofactores de la tercera columna obtenemos

D(A) = (x+y+z)2 (-1)u32y -1

x-y+z 1 = (x+y+z)3

Ejemplo 8 J Calcular el determinante de la matriz A =b+cb

aa+c

\ab

. c c a+b .

Solución . Sumando la segunda y tercera filas a la primera fila se tiene :

D(A) =2(b+c) 2(a+c) 2(a+b)

b a+c bc c a+b

Factorizando 2 de la primera fila y luego efectuando las operaciones elementales fila: -F2 + F, y -F2 + F3 , obtenemos

c 0 a * c 0 aD(A) = 2 b a+c b - F, + F2 = 2 b a+c b

» c-b -a a ► -b -a 0

Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene :

4S4 Capítulo 9: Determinantes

a+c b+ 2 a

b a+c

0-a -b -aD(A) = 2c

= 2c (O + ab) + 2a (-ab + ab + be) = 4abc

Ejemplo 9 ^ Factorizar el determinante de la matriz A =

Solución . Efectuando las operaciones C, - C2 y C2 - C 3, se tiene

D(A) =

X y z

X2 y2 z2

yz xz xy

x - y y - z zx2 - y2 y2 - z2 z2yz - xz xz - xy xy

Factorizando x - y e y - z de la primera y segunda columnas respectivamente,

resulta

D( A ) = (x-y) (y-z)

1

x+y

-z

1

y+z

1 0

x + y z - x

-z= (x-y)(y-z)

= (x -y ) (y -z) (z-x)

xy

0

-yz

-C, + C2

-z Cj + C,

z - x xy+xz

z - x -yz

z - x xy+xz

-yzxy+xz

= (x - y) (y z)

= (x-y) (y-z) (z-x) (xy+xz+yz)

l Ejemplo 10^ Sea la matriz A =

Sen x Cos y Cos x Cos y Sen y

-Cos x Cos y Sen x Cos y Sen y

-Cos y -Cos y 1

calcular el determinante de A para x = y = k / 6

Solución . Factorizando Cosy de la primera y segunda columnas se tiene

D(A) = Cos2 y

= C o s2 y

Sen x

-Cos x

-1

Cos x

Sen x

-1

Sen y

Sen y

1

C 3 + C,

Co+ Co

Sen x+Sen y Cos x+Sen y Sen y

-Cos x+Sen y Sen x+Sen y Seny

0 0 1

Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier ordenV

485

= Cos2y Sen x+Sen y Cos x+Sen y

-Cos x+Sen y Sen x+Sen y= Cos2y (1+2 Sen x Sen y)

Luego, parax = y = 7t/6 => D(A) = (V3 / 2)2 [1+2 (1/2) (1/2)] = 9/8

EjemploT T j Si A =(b+c)2 a2

b2 (c+a)c2 c2 (a+b)2

, factorizar el D(A).

Solución . Efectuando las operaciones C2- C, y C3- C, , se tiene:

D(A) =(b+c)2 a2 - (b+c)2 a2 - (b+c)2

b2 (c+a)2- b2 0s2C* 0 (a+b)2 - c2

Factorizando a + b + c de la segunda y tercera columnas resulta :

F, - (F2 + F3)

(b+c)2 a-b-c a-b-cD(A) = (a + b + c)2 b2 c+a-b 0

c2 0 a+b-c

2bc -2c -2b= (a + b + c)2 b2 c+a-b 0

•c2 0 a+b-c

1 -c -b= 2bc(a+b+c)2 b/c c+a-b 0

c/b 0 a+b-c

1 0 0= 2bc(a+b+c)2 b/c a+c b2/c

c/b c2/b a+b

(Factorizamos 2 de la primera fila y be de la de la primera columna)

c C, + C2

bC, + C3

= 2bc (a+b+c)

D(A) = 2bc (a + b + c)2 [(a + c) (a + b) - be] = 2abc (a + b + c)3

a+c b2/cc2/b a+b

! E jem p lo 1 2 Calcular el determinante de la matriz A =0 1-i 2+i

1+i 0 3+2i

2+i 3-2i 0

486 Capítulo 9: Determinantes

Solución . Multiplicando la segunda fila por 1-i y la tercera fila por 2-i, se tiene:

0 1 -i 2 + i 0 1 -i 2 + i(1 -i) (2 -i) D(A) = 2 0 5 - i -2 F2+ F 3| 2 0 5 - i

5 4 - 7i 0 1 4 - 7i -10 +2i

Efectuando la operación -2F3 + F2f obtenemos.

0 1 -i 2 + i(1 - i) (2 - i) D(A) = 0 -8 + 14i 25 - 5i

1 4 - 7i -10 + 2 Í

Fiinalmente, desarrollando por los cofactores de la primera columna resulta :

(1-i) (2-i) D(A) =1 -i 2 + i

-8 +14 Í 25 - 5i

= (1-i) (25-5Í) - (-8+14i) (2+i) = 50 (1-i)

D(A) =502 -i

50(2+i) 4 - i2

= 10(2+i)

f Ejemplo 13 ^ Si A =

0 x y 0

x 1 0 y

y 0 1 x

0 x y 1 J

, calcular D(A)

Solución . Tomando la cuarta columna como línea pivot, efectuamos las opera­ciones elementales : -x C4 + C2 y -y C4 + C 3

D(A) =

Desarrollando por los cofactores de la primera fila obtenemos

0 X y 0 0 X yX 1-xy -y2 X

= ( - i r 4X 1-xy -y2

y -X2 1-xy X y -X2 1-xy0 0 0 1

D(A) = -xx -y2 x 1-xy

y 1-xy + y y -x2= -x (x - x2y + y3) + y (-x3 - y + xy2)

D(A) = -(x2 + y2)

Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 4^7

Ejemplo 14 Evaluar el determinante de A =

0 1 1 1 1 b+c a a 1 b c+a b 1 c c a+b

Solución . Tomando la cuarta columna como línea pivot, realizamos las operacio­nes : -C4 + C2 y -C4 + C3

D(A) =

0 0 0 11 b+c-a 0 a1 0 a+c-b b1 c-a-b c-a-b a+b

Desarrollando por los cofactores de la primera fila obtenemos

D(A) = (-1)’-«b+c-a 0

0 a+c-b c-a-b 0

= - (-1)2*3(a+c-b)b+c-ac-a-b

D(A) = (a -b + c ) [ ( c -a -b ) - (b + c -a )] = -2b (a - b + c)

Ejemplo j D S iA =

1 1 1a 1 11 a 11 1 a

, descomponer en factores el D(A).

S o luc ión . Tomando la cuarta columna como línea pivot, efectuamos las opera­ciones : -a C4 + C , , -C4 + C2 , -C4 + C3

D(A) =

Factorizando (1 -a) de la primera, segunda y tercera columnas, se tiene :

0 0 0 11-a a-1 0 1 1-a a-1 0

= 1-a 0 a-1 1 = (-1)U4 1-a 0 a-1

1-a2 1-a 1-a a 1-a2 1-a 1-a

1 -1 0 1 -1 0D(A) = -(1-a)3 1 0 -1 F3+ F 2 D(A) = (a-1)3 2+a 1 0

1+a 1 1 1+a 1 1

D(A) = (-1)3*3 (a-1)3 1 -1

2 +a 1= (a - 1)3 (1+2+a) = (a+3) (a-1):

488 Capítulo 9: Determinantes

Ejemplo _ n r ) s i A =

a3 3a2 3a 1 ^a2 a2+2a 2a+1 1a 2a+1 a+2 11 3 3 1

, calcular el determinante de A.

Solución . Tomando la cuarta fila como línea pivot efectuamos las operaciones

elementales : - F4 + F„ -F4 + F2, -F4 + F3

D(A) =

a3-1 3a2-3 3a-3 0

a2-1 a2+2a-3 2a-2 0

a-1 2a-2 a-1 0

1 3 3 1

a3-1 3(a2-1) 3(a-1)

a2-1 (a-1)(a+3) 2(a-1)

a-1 2(a-1) a-1

Factorzando (a-1) de la primera, segunda y tercera columnas obtenemos

-3 F3+F,_D(A) = (a - 1 )3

a2+a+1 3(a+1) 3

a+1 a+3 21 2 1

~2 p3 + F2,

= (a - 1 )3

= (a-1)3 (a-1)

a2+a-2 3(a-1) 0

a-1 a-1 0

1 2 1

a+2 3

1 1

= (a -1 )3

= (a-1 )s (a-1) = (a-1)6

(a-1 )(a+2) 3(a-1)

a-1 a-1

[ Cjemplo 17 Si A =

1 1 1 1 11 C2, C3, C4, C 5,1 C32 c 42 c s2 c 621 C43 CS3 C63 C 731 c s4 c 64 c 74 c 84

, calcular el D(A)

Solución . Calculamos las combinaciones mediante la fórmula

n !C"f =

r ! (n - r) !

D (A) =

1 1 1 1 1 - F, + p 2 .1 1 1 1 1 '

1 2 3 4 5- f 2 + f 3 ,

0 1 2 3 4

1 3 6 10 15 r r- 0 1 3 6 101 4 10 20 35 * f 3 + f 4 , 0 1 4 10 20

1 5 15 35 70 - F4 + Fs , 0 1 5 15 35

Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 489

Desarrollando por los cofactores de la primera columna se tiene:

D (A) = ( -1 )'+'

= ( -i y

2 3 43 6 104 10 205 15 35

3 64 105 15

-f, + f 2

-p2+ F3|

- f 3 + f 4'

3 43 64 105 15

-F, + F2 1 3 60 1 4

- f2 + f 3 0 1 5

••• D(A) =1 4 1 5

= 5 - 4 = 1

a+x x x x b+x x x x c+x x x x

, resolver D(A) = 0í ejemplo 18 ^ Si A =

Solución . Tomando la cuarta columna como línea pivot, realizamos las operacio-

xxx

d+x

nes : -C4 + C, , -C4 + C2» *C4 + C3

a 0 0 X

0 b 0 X=> D(A) =

0 0 c X

-d -d -d d+x

Desarrollando por los cofactores de la primera fi

b 0 x 0D(A) = a 0 c X - X 0

-d •d d+x -d

b0

-d

Luego, si D (A) = 0

+ d x

= ab (cd + ex + dx) + ax (0 + cd) + bedx

= abed + (abe + abd + acd + bed ) x

abed

= abc X 0 c

d+x+ a x

-d -d -d

x = -ab(c+d)+ cd(a+b)

490 Capítulo 9: Determinantes

Ejemplo 1 9 ] Si A =

r a b c d i -b a -d c -c d a -b -d -c b a

, probar que D(A)= (a2+b2+c2+d2)2

Demostración . Multiplicando por -a, -b, -c y -d, la primera, segunda, tercera y

cuarta filas respectivamente, se tiene :

a2 ab ac ad

D(A) = - - iabcd

b2 -ab bd -be

c2 -cd -ac be

d2 cd -bd -ad

Fi + (F 2+ F3+ F4)

a2+b2+c2+d2 0 0 01 b2 -ab bd -be

abcd c2 -cd -ac bed2 cd -bd -ad

Desarrollando por los cofactores de la primera fila y factorizando b, c y d del determi­nante resultante obtenemos :

n .A. a2+ b 2+ c 2+ d 2 -a d -c*1 -d/a c/a

D ( A ) - -d -a b = (a2 + b2 + c2 + d2) -d -a bc -b -a c -b -a

Tomando la primera columna como línea pivot, efectuamos las operaciones ele­mentales : (d/a) C, + C2 y (-c/a) C, + C3

D(A) = (a2 + b2 + c2 + d2)

= (a2 + b2 + c2 + d2)

1

-d

0

a2+d2a

cd-ab

0

cd+aba

a2+b2a

(a2 + d2)(a2 + b2) (cd - ab)(cd + ab)

D(A) = (a2 + b2 + c2 + d2)2

Ejemplo 20 ^ Calcular el determinante D5=

' 1 1 1 1 1 '1 a a2 a3 a41 a2 a4 a6 a81 a3 a6 a9 a12

l 1 a4 a8 a '2 a16 >

Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 491

S o luc ión . Efectuando las operaciones F, - F2, F2 - F3, F3 - F4, F4 - Fs, se tiene:

De =

0 1-a 1-a2 1-a3 1-a40 a-a2 a2-a4 a3-a6 a4-a80 a2-a3 a4-a6 a6-a9 a8-a120 a3-a4 a6-a8 a9-a’2 a12-a’61 a4 a8 a12 a16

1-a 1-a2 1-a3

= (-1)5a(1-a) a2( 1 -a2)

1-a4a3(1-a3) a4(1-a4)

a2(1-a) a4(1-a2) a6(1-a3) a8(1-a4)a3(1-a) a6(1-a2) a9(1-a3) a12(1-a4)

= a.a2.a3(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4)

Ds = a6 (1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4)

1 1 1 1 f , - f 21 a a2 a3 f 2- f 31 a2 a4 a61 a3 a6 a9

LLOLL

0 1-a 1-a2 1-a30 a-a2 a2-a4 a3-a60 a2-a3 a4-cl6 a6-a91 a3 a6 a9

Desarrollando por los cofactores de la primera columna se tiene :

D5 = a6(1-a) (1-a2) (1-a3) (1-a4) (-1)4*'1-a 1-a2 1-a3

a(1-a) a2(1-a2) a3(1-a3)

a2(1-a) a4(1-a2) a6(1-a3)

= - a • a2 • a6( 1 -a)2 ( 1 -a2)2 ( 1 -a3)2 ( 1 -a4)

= -a9 ( 1 -a)2 ( 1 -a2)2 ( 1 -a3)2 (1-a4)

1 1 11 a a21 a4

F, • F2

f ? - f '

0 1-a 1-a2

0 a-a2 a2-a4

a2 a"1 =>2

= -a9( 1 -a)2 ( 1 -a2)2 ( 1 -a3)2 ( 1 -a4) (-1 )*♦ '' 1-a 1-a2

a(1-a) a2(1-a2)

= -a10(1-a)3 (1-a2)2 (1-a3)2 (1-a4)

•*• D5 = a 10(1-a)4 (1-a2)3 (1-a3)2(1-a4)

1 1

1 a

492 Capítulo 9: Determinantes

P Cjcmplo 21 ^ Calcular el determinante de Vandermonde

1 1 1 1a, a2 a3 ...... ..... aa,2 a22 a23 ..... a2• • • •• • • •• • • •

a,"*1 a2" 2 a3n‘3 o n*1

Solución . Mostraremos que el determinante de Vandermonde es igual al

producto de toda clase de diferencias a, - a,, para 1 < j < i < n, cualquiera que sea n (n > 2). Realicemos la demostración por inducción.

En efecto, para n=2 tenemos

D, =1

a2= a2-a,

Supongamos que nuestra afirmación se ha demostrado para los determinantes de Vandermonde de orden (n-1), es decir

Dn, = (a,-a,)1< j < i < n ■ 1

Ahora bien, mediante las operaciones elementales transformamos el determinate

Dn del modo siguiente : De la última n-ésima fila sustraemos la (n - 1) -ésima fila, multiplicada por a, y, en general, sustraemos sucesivamente de la k-ésima fila la

( k - 1) -ésima multiplicada, por a,. Obtenemos :

D„ =

1aj- a,

a*2 - a,a2

' - a,a2n2

1 1aa- a, ......... an- a,

a23-a,a3 ......... a2n-a,an

i n*1 . o o n-2 o n-1 _ o o n*l3 «1^3 .................................... «1tín

Desarrollemos el determinante por los cofactores de la primera columna y sa ­

quemos de todas las columnas los factores comunes. El determinante adquiere

la forma :

Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 493

— (a2- a,) (a3- a ,)... (an- a,)

1 1 1 .................. 1■ a2 a 3 a4 ............. a„a i a 32 a42 ............. a„2• • • •• • • •• • • •

a2n'2 a3n2 a4n2 .......... a„n2

= (a2 - a,) (a3- a ,).... (an- a,) Dn.,

Utilizando la hipótesis inductiva, obtenemos en definitiva

Dn = (a2- a,) (a3- a ,).....(a*-a,) | | (a, - a,)2 S j < ¡ S n

Dn = I I (a,-a} )1 £ j £ i S n

(6)

Nota . El proceso que permite expresar un determinante dado, transformándolo mediante operaciones elementales por filas o columnas a un determi­

nante del mismo tipo, pero de orden más inferior, se conoce con el nombre decorrelación recurrente.

Ejemplo 22 ) Descomponer en factores el determinante

1 1 1 1 1a b c d ea2 b2 c2 d2 e2a3 b3 c3 d3 e3a4 b4 c4 d4 e4

Solución . Según la fórmula del determinante de Vandermonde

Ds = I I (a,-a,)1 S j < i S 5

Para determinar el desarrollo de los factores (a, - a,) observemos que cuando j = 1 => i = 2, 3, 4, 5 ; j = 2 => i = 3, 4, 5; j = 3 => i = 4, 5; j = 4 => i = 5

Luego: D5 = (a2-a,)(a3-a,)(a4-al)(a5-a,)(a5-a,)(a3-a2)(a4-a2)(a5-a2)(a4-a3)(a5-a3)(a5 - a4)

Si en este desarrollo hacemos : a, = a , a2 = b, a3 = c, a4 = d y a5 = e, obtenemos:

Ds = (b-a) (c-a) (d-a) (e-a) (c-b) (d-b) (e-b) (d-c) (e-c) (e-d) ■

494 Capítulo 9: Determinantes

tjcmpïo 23 j Sea la matriz A e k", a * b, calcular el D(A), si

A =

a+b ab 0 00 1

1 a+b ab 0 00 1 a+b ab ... 0• • • • •• • • • •• • • • •

0 0 0 0 ab0 0 0 0 1 a+b^

Solución . Por el método de las correlaciones recurrentes se tiene :

Para n = 2 => D? =a+b ab

1 a+b= (a+b)2 - ab = a2 + ab + b2 =

a3 - b3

a - b

Supongamos que para los determinantes del orden (n-1), esta afirmación es verda­

dera, esto es:

an - bn

a - b(Hipótesis inductiva)

Entonces, desarrollando el determinante de la matriz A por los cofactores de la

primera columna se tiene :

D(A) =(a+b)

a+b ab 0 0 ab 0 0 01 a+b ab 0 1 a+b ab 0• • • •• • - • •• • • •

0 0 0 ab 0 0 ab

0 0 0 ....1 a+b n-1 0 0 0 a+b n-1

Teniendo en cuenta la hipótesis inductiva para el primer determinante y desarrollan­

do el segundo determinante por los cofactores de la primera fila resulta:

_. A. , ( a" - bn )D(A) = (a + b) a - b ~ - - ab

a+b ab 0 01 a+b ab 00 1 a+b . 0• •

• •• •

0 0 0 ab0 0 0 1 a+b n-2

Sección 9.4: Calculo de determinantes de cualquier orden 495

Nuevamente, haciendo uso de la hipótesis inductiva obtenemos :

D(A) = (a+b)an - bn

, a - b ,- ab

a"'1 - bn

l a - b J

gn»1 _

a - b

Ejemplo 24 j Calcular el determinante de la matriz

A =

Dosx 1 0 ....... 01 2Cosx 1 00 1 2Cosx 0• • •• • •• • •0 0 0 .... 1 2Cosx

Solución . Por el método de las correlaciones recurrentes, para n = 2 :

2 Cos x 1

1 2 Cos xd 2= = 4 Cos2 x - 1

De la identidad, Sen 3x = Sen x (4 Cos2 x-1), se tiene : 4 Cos2x - 1 =Sen 3x

Sen x

••• d 2=Sen 3x Sen x

Supongamos que para un determinante de orden n -1, esta afirmación es verdade­ra, esto es :

^ en nx (Hipótesis inductiva)D»-i Sen x

Desarollando el D(A) por los cofactores de la primera columna obtenemos :

D(A) = 2 Cos x

2 Cos x10

12Cos x

1

.1 2 Cos x n-1

1 0 01 2Cosx 10 1 2Cosx• • •• • •

0 0 0 .1 2Cosx n-1

496 Capitulo 9: Determinantes

Haciendo uso de la hipótesis inductiva en el primer determinante y desarrollando el

segundo determinante por los cofactores de la primera fila, resulta :

D(A) = 2 Cos xSen n x

. Sen x ,

= 2 Cos x' Sen n x '

Sen x

2Cosx 1 0

1 2Cosx 1

0 1 2Cosx

0 • .1 2Cos x n-2

Sen (n-1)x _ 2 Sen nx Cos x - Sen(n-1)x

Sen x Sen x

De la identidad Sen (a+b) + Sen (a-b) = 2Sen a Cos b, se sigue que:

D(A) = Sen (n+1)x + Sen (n-1)x - Sen (n-1)x _ Sen (n -1)xSen x Sen x

EJERCICIO S . Grupo 50

En los ejercicios 1 al 6, resolver la ecuación dada.

1. 1 -2 7 2. -2 x-3 -X 3. X 3 4x x+2 x-2 = 0 1 1 2 = 0 4 6 2x+34 x 8 x-1 1 x+2 x-3 2 5

4. 17-3x 26 25 5. 1 2 3 x 6. 2 1 5 111-4x 34 33 = 24 2 3 4 5 1 1 -1 -48-2x 22 21 3 x 5 6 = 0

-X 6 8 1-2 3 x -5 2 2 2 x

En los ejercicios 7 al 16, calcúlese los determinantes

7.

10.

= 7

= 0

7 13 10 6 8. 3 2 1 4 9. 4 3 1 55 9 7 4 15 29 2 14 12 27 3 168 12 11 7 16 19 3 17 24 23 2 124 10 6 3 33 39 8 38 48 36 4 21

5 6 0 0 0 11. 2 1 1 1 1 12. 3 6 5 6 41 5 6 0 0 1 3 1 1 1 5 9 7 8 60 1 5 6 0 1 1 4 1 1 6 12 13 9 70 0 1 5 6 1 1 1 5 1 4 6 6 5 40 0 0 1 5 1 1 1 1 6 2 5 4 5 3

EJERCICIOS : Grupo 50 497

13.

15.

3/2 -9/2 -3/2 -3 14. 3/4 2 -1/2 -65/3 -8/3 -2/3 -7/3 1 -2 3/2 84/3 -5/3 -1 -2/3 5/6 -4/3 4/3 14/37 -8 -4 -5 2/5 -4/5 1/2 12/5

1/3 -5/2 2/5 3/2 16. 24 11 13 17 193 -12 21/5 15 51 13 32 40 46

2/3 -9/2 4/5 5/2 61 11 14 50 56-1/7 2/7 -1/7 3/7 62 20 7 13 52

80 24 45 57 70

En los ejercicios 17 al 19, cálcular los determinantes. ( i = \ -1 )

17. 11-i1

-1-i0

-1-i

-11+i-1

18. 01-i

1-2i

1+i 1+2¡0 2-3i1 6i

En los ejercicios 20 al 25, calcúlese los determinantes :

20.

22.

24.

Cosx Senx Cosy-Senx Cosx Cosy

0 -Senx

Cos(a-b) Cos(b-c)Cos(a+b) Cos(b+c)Sen(a+b) Sen(b+c)

bc-a2 ca-b2-bc+ca+ab bc-ca+ab(a+b)(a+c) (b+c)(b+a)

Senx Seny Cosx Seny

Cosy

Cos(c-a)Cos(c+a)Sen(c+a)

ab-c2bc+ca-ab(c+a)(c+b)

21.

23.

25.

<¡ = V -1 )

19. i -1 -1+i1 0 1+2i

C *

1+i -1+2i 2 i

a •

Sen2 a Cos 2a Cos2 aSen2b Cos 2b Cos2 bSen2c Cos 2c Cos2 c

Sen a Cos a Sen(a+d)Sen b Cos b Sen(b+d)Sen c Cos c Sen(c+d)

a + x X XX b + x X

X X c + X

En los ejercicios 26 al 37, calcular los determinantes :

26. 1 1 1 27. X y x+y 28. a2+1 ab aca b c y x+y x ab b2+1 bea3 b3 c3 x+y X y ac be c2+1

29. -2a a+b a+c 30. y2+z2 xy xz 31. a2 a2-(b-c)2 beb+a -2b b+c xy x2+z2 yz b2 b2-(c-a)2 cac+a c+b -2c xz yz x2+y2 c2 c2-(a-b)2 ab

32. 1+x 1 1 1 33. 1 1 1 1 34. 0 a b c1 1-x 1 1 1 1+a 1 1 -a 0 d e1 1 1+Z 1 1 1 1+b 1 -b -d 0 f1 1 1 1-z 1 1 1 1+c -c -e -f 0

498 Capítulo 9: Determinantes

35. 1 1 2 3 36. a b b b 37. 1 0 2 a1 2-x2 2 3 a b a a 2 0 b 02 3 1 5 a b b a 3 c 4 52 3 1 9-x2 b a a a d 0 0 0

38. Sea la matriz A =Sen x Cos y -a Sen x Sen y Sen x Sen y a Sen x Cos y

Cos y 0

a Cos x Cos y a Cos x Sen y

-a Sen x

Si D(A) = k Sen x, hallar el valor de k.

39. Sea f(x) =

X 1 0 X

0 X X 1

1 X X 0

X 0 1 X

, hallar a e R tal que f(a) = 0

En los ejercicios 40 al 52, usando propiedades de los determinantes, incluyendo

desarrollos por líneas, demostrar las identidades :

40. Cos((a-b)/2) Sen((a+b)/2) Cos((a+b)/2)Cos((b-c)/2) Sen((b+c)/2) Cos((b+c)/2)

Cos((c-a)/2) Sen((c+a)/2) Cos((c+a)/2)

(Sugerencia : Expandir con respecto a la primera columna)

= 1/2 [Sen(b-a)+Sen(c-b)+Sen(a-c)]

41.

42.

Sen2a Sena Cosa Cos2a

Sen2b Senb Cosb Cos2b

Sen2c Sene Cose Cos2c

= Sen(a-b) Cosa Cosb + Sen(b-c) Cosb Cose

+ Sen(c-a) Cose Cosa

a2+(1-a2Cos <p) ab(1-Cos<p) ac(1-Cos<p)

ab(1-Cos<p) b2+(1-b2)Cos <p bc(1-Cos(p)

ac(1-Cos<p) bc(1-Cos<p) c2+(1-c2)Cos <p

donde a2 + b2 + c2 = 1

= Cos2 <p

43. CosaCosp - SenaSenpCos0 -SenaCosp - CosaSenpCos© SenpSenÓ

CosaSenp+SenaCospCosG -Sena.SenP + CosaCospCosG -CospSenB

Sena Sen6 Cosa Cos0 Cos0

= 1

(Sugerencia: Expandir en términos de la primera fila)

44. a b c d

a a+b a+b+c a+b+c+d - a4a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d

— ex

a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 499

En los ejercicios 45 al 52, calcúlense los determinantes de orden n por el método de

correlaciones recurrentes.

45.

47.

49.

51.

0 1 1 1 46. 2 1 0 01 a 0 0 1 2 1 01

i0 a n 0 1 ? 0

• •2• • • • • •

• • • • • • • •

1 0 0 3n 0 0 0 2

Cosx 1 0 0 48. 1+a, 1 1 11 . 2Cosx 1 0 1 1 +a2 1 10 1 2Cosx ... 0 0 1 2 0• • • • • • • •• • • • • • • •

1 0 0 . .. 2Cosx 1 1 1 ... 1 +an

3 2 0 0 50. 7 5 0 01 3 2 0 2 7 5 00 1 3 n 0 2 7 0• • • • • • • •• • • • • • • •

0 0 0 3 1 1 1 7

5 6 0 0 0 ..... 0 0 52. 1 2 0 0 0 .... 0 04 5 2 0 0 ..... 0 0 3 4 3 0 0 ... 0 00 1 3 2 0 ..... 0 0 0 2 5 3 0 ... 0 00 0 1 3 2 ..... 0 0 0 0 2 5 3 ... 0 0• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •

0 0 0 0 0 ..... 3 2 0 0 0 0 0 ... 5 30 0 0 0 0 ..... 1 3 0 0 0 0 0 ... 2 5

9.5 ) O T R A S A P L IC A C IO N E S Y P R O P IE D A D E S DE LO S D E T E R M IN A N T E S

9.5.1 REG LA DE SARRU S.

Un método práctico para calcular determinantes de tercer orden, es la Regla de Sarrus, que consiste en repetir las dos primeras columnas y escribirlas en el mis­

mo orden a continuación de la tercera columna. El determinante se calcula suman­

do todos los productos de las componentes que están en las flechas que apuntan

50» Capítulo 9: Determinantes

hacia la derecha y restándolos todos los productos de los componentes que están

en las flechas que apuntan hacia la izquierda.i

a.. _a.„

D(A)

'•i

**21

■ ®31

> ' * a22 3

V,a„r ?a

*23

32 '3^A ' * *

(-) i*) i*)

a21 a22

' a3V. a32 ^

* ( + ) (+) '* ( + >

(7)

D(A) = a„ a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a„ a23 a 32 a i2 3 21 a 33

' 1 2 10 '

ejemplo 1 Hallar el determinante de la matriz A = 2 3 ,4 5

9

11,

Solución . Disponemos el D(A) como indica el esquema (7):

.2

2

2. „10.V

✓ X3 .9

5; S i ;

D(A) = (1 )(3)(11 ) + (2)(9)(4) + (10)(2)(5) - (10)(3)(4) - (1)(9)(5) - (2)(2)(11)

= 33 + 7 2 + 100- 1 2 0 -4 5 -4 4 = -4

ejemplo 2 J Calcular el determinante de la matriz A =

X y x+y

y x+y X

x+y X y

S o luc ión . D(A) =

x „ vl ^ X

y " x+y " ^xc " * V v " " x+y"• s N

x+y x * ' ^ y * ' "*x+y X

=> D(A) = xy(x+y) + xy(x+y) + xy(x+y) - (x+y)3 - x3 - y3

= 3xy(x+y) - [x3+3xy(x+y)+y3] - x3 - y3

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 501

f 9.5.2 ) C A LC U LO DE D E T E R M IN A N T E S M E D IA N T E LA R E D U C C IO N A LA FO R M A E SC A L O N A D A

El cálculo de determinantes de ciertas matrices se puede efectuar

haciendo uso de la matriz escalonada, para lo cual se tiene en consideración la siguiente propiedad.

PRO P IED AD 5^J Si A es matriz triangular (superior o inferior) de orden n,

entonces el D(A) es igual al producto de las componentes que pertenecen a la diagonal principal, esto es, si

r a

A =

12 13

0 ^ a23o 0 a„„

a,na2na3*

D(A) = an a^ a33... ann = (8)

La idea básica de este método consiste en aplicar operaciones elementa­les en las filas de la matriz original A y transformarla a una matriz B que tenga la forma escalonada.

Puesto que la forma escalonada de una matriz cuadrada es triangular superior o inferior, el D(A) = D(B) se puede calcular aplicando la propiedad establecida ante­riormente.

! Ejemplo 3 ^ Calcular el determinante de A =

f 1/2 1/2 1 1/2-1/2 1/2 0 1/22/3 1/3 1/3 0

1/3 1 1/3 0

S o luc ión . Factorizando 1/2 de la primera y segunda filas y 1/3 de la tercera y cuarta filas, obtenemos:

502 Capítulo 9: Determinantes

D(A) = (1/2) (1/2) (1/3) (1/3)

Aplicando la Propiedad 4c intercambiamos la primera y cuarta columnas:

1 1 2 1

-1 1 0 1

2 1 1 0

1 3 1 0

1 1 2 1 1 1 2 11 1 0 -1

Fj-F, = -(1/36)0 0 -2 -2

D(A) = (1/36) (-1)30 1 1 2 0 1 1 2

0 3 1 1 0 3 1 1

Intercambiando la segunda y tercera filas se tiene

.1 1 2 1 1 1 2 1

0 1 1 2 0 1 1 2D (A) = -1/36 (-1)

0 0 -2 -2-3F2+F4= (1/36)

0 0 -2 -2

0 3 1 1 0 0 -2 -5

ente, aplicando la operación f 3+ f 4 resulta :

1 1 2 10 1 1 2

D(A) = 1/360 0 -2 -20 0 0 -3

Como el determinante de la matriz A tiene la forma escalonada, aplicamos la

Propiedad 5 :D(A) = (1/36) (1) (1) (-2) (-3) = 1/6 ■

Ejemplo 4 j Hallar el determinante de A =

1 2 3 n-1 0 3 n-1 -2 0 n• • • •• • • •

-1 -2 -3 0

Solución . Tomando la primera fila como línea pivot, sumamos ésta a todas las

demás filas, y obtenemos

D(A) =

1 2 3 n0 2 6 2n0 0 3 2n• • • •• • • •

0 0 0 n

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 503

que resulta ser el determinante de una matriz triangular, por lo que :

D(A) = 1 . 2 . 3 n = n!

! Ejemplo 5 ] Sea A = [a ] una matriz tal que a = { 0 si '* L 1 si i

Demostrar que D(A) = (n-1) (-1) "-1

Demostración . En efecto, construyamos la matriz según la definición dada

A =

/”0 1 1

N1

1 0 1 11 1 0 1• • • •• • • •• • • •

1 1 1 0

Si tomamos la última fila como línea pivot y le restamos las otras n-1 filas, resulta

D(A) =

••• D(A) = (-1) (-1) (-1)... (-1) (n-1) = (n-1) (-1 y

-1 0 0 . . . .... 1 -1 0 0 .... 10 -1 0 . . . .... 1

F ’+F" ,0 -1 0 .... 1

0 0 -1 .... 1 F2+Fn 0 0 -1 .... 1• • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • •1 1 1 0 F„,+F, 0 0 0 .... n-1

¡ Ejemplo 6 ^ Calcular el determinante D,

1 2 3

1 3 3

1 '2 5• • •

• • •

2 3

2 3

n-1n-1

n-1

2n-3 n

n-1 2n-1

Solución . Tomando como línea pivot la primera columna efectuamos:

- 2C, + C2, - 3C,+ C3..........- ( n -1 )C ,+ CM ,-nC„

504 Capítulo 9: Determinantes

1 0 0 0 01 1 0 0 01 0 2 0 0

D = • • • • •• • • • •• • • • •

1 0 0 n-2 01 0 0 0 n-1

.-. D =n 1 . 1 . 2 . 3 (n-3) (n-1) = (n-1)!

X a a aa X a aa a X a

Calcular: Dn = • • • •

Solución . Sumando a la primera columna las otras n-1 columnas, se tiene:

x+(n-1)a a a .... a 1 a a ax+(n-1)a X a .... a 1 X a ax+(n-1)a a x .... a 1 a X a

• • • • = [x + (n - 1) a] • • • •• • • • • • • •• • • • • • • •

x+(n-1)a a a X 1 a a X

D =

Restando la primera fila a todas las demás filas, resulta:

Dn= [x + (n-1) a]

i ejemplo 8 j Calcular : D8 =

1 a a a0 x-a 0 00 0 x-a 0• • • •• • • •• • • •

0 0 0 x-a

= [x + (n-1) a] (x - a)n°

a a+h a+2h a+7h-a a 0 00 -a a 0

8 = • • • •• • • •• • • •

0 0 0 -a a

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 505

Solución . Sumando a la primera columna las otras 7 columnas se tiene

D =

+28h a+h a+2h a+7h0 a 0 00 -a a 0• • • •• • • •• • • •

0 0 0 -a a

Desarrollando por los cofactores de la primera columna obtenemos:

D8= 4(2a + 7h)

a 0 0-a a 00 -a a0 0 -a

0 0 0 0 ....-a a

Efectuando las operaciones : F, + F2, F2+ F3, ...... . F6+ F7, resulta:

a 0 0 0 • 00 a 0 0 00 0 a 0 0

Dh = 4(2a + 7h) • • • • • —

•0

•0

• •0 0 - 2

•a 7

h 1 0 0 ...hx h -1 0hx2 hx h 1

Ejemplo 9 ^ Calcular: Dn<1= • • • •

••

••

hx" hxn-1 hx" 2 hxn3

Solución . Efectuando las operaciones con las columnnas

■xCj+C,, -xC3+C2, ..... * ÍWl n, se tiene :

h+x -1 0 0 00 h+x -1 0 00 0 h+x 0 0

Dn.,= • • • • •

• • • h+x •0 0 0 0 h

Luego, por la Propiedad 5, se sigue : Dn<1 = h (h+x)n

= 4 (2a + 7h) a7

506 Capítulo 9: Determinantes

( Cjemplo 10) Calcular Dn =

Solución . Efectuando las operaciones con las filas

1 a a2 a3 anx„ 1 a a2 an-ix2, 22 1 a a"-2• • • • •• • • • •

XM Xn2 Xo3 X .r>4 1

-aF2+ F 1t -aF3+ F 2......... -aFn+ Fn,, obtenemos :

1-ax,, 0 0 0

x, rax2, 1*ax22 0 0D =n X2l"aX3i X22"aX33 1-ax„ .. 0

• • • •• • • •

Xnl Xn2 Xn3 ” 1

••• D n = (1 - axn) (1 - ax22) (1 - a x j ...

+=

5ii (1- a x „)

0 1 1 1 11 0 X X X1 X 0 X X

Ejemplo 11 Ì Calcular : Dn = • • • • •• • • • •1 X X 0 X1 X X X 0

Solución . Multiplicando por x la primera fila y la primera columna se tiene :

0 X X X X 0 1 1 1 1

X 0 X X X 1 0 1 1 1

X X 0 X X X" 1 1 0• • • • • X2 • • • • •

• • • • • • • * • • •

• • • • • • • • • •

X X X 0 X 1 1 1 0 1

X X X X 0 1 1 1 1 0

sumando las n-1 filas a la primera fila resulta :

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 507

n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 1 1 1 ... 1 11 0 1 1 1 1 0 1 .... 1 11 1 . 0 1 1 1 1 0 .... 1 1

Dn = xn'2• • • • • •

• • • • = (n-1)x " 2

• • • • • • • • • •

• • • • • • • • • •1 1 1 0 1 1 1 1 .... 0 11 1 1 1 0 1 1 1 1 0

Efectuando las operaciones : F2 'FV F3- cLLu

f F,, obtenemos finalmente:

1 1 1 ...... 1 10 -1 0 ...... 0 00 0 1 ...... 0 0

Dn = (n-1) xn2 • • • •

• • • •

••

= (n-1) xn'2(-1)'v1 ■

• •0 0

• •0 ...... -1

•

00 0 0 0 -1

Ejemplo 1 2 ) Sean z = Cos a + i Sen a, 10 = Cos(2ji/n) + i Sen(27t/n).Hallar Re(l A I), donde A e Kn, n = 4k+ 1 y

1 of a/"1 .... (O2 0)z 1 00" .... co3 co2z2 x 1 .... (O4 (ú3

A = ••

• • • •

• • • •

•

z"

• •z n-1 z n-2

• •

.... z 1

Solución . Efectuando las operaciones con las filasF, + F?, -z F2 + F3>......, -z F^, + Fn, se tiene:

D(A) =

1 tíf co"-1 O)3 O)2 ÍO0 1 -Zíün o f-zo f' (03-Z(02 (ü2-Z(ü• • • • • •• • • • • •• • • • • •0 0 0 1 -Z(0n otf-zof' ay1'1 za)n0 0 0 0 1-zoy (ún-Z(On0 0 0 0 0 1-zcon

508 Capítulo 9: Determinantes

Por la propiedad (5): D(A) = (1 - zco")"*1 (1)

Dado que, ton= [Cos(2rc/n) + i Sen(2n/n)]n = Cos 2n + i Sen 2n = 1 y 4k = n-1,

entonces en (1): D(A) = (1-z)4k = (1 - Cos a - i Sen a)4k

= [2 Sen2(a/2) - 2i Sen (a/2) Cos (a/2)]4k

= [-2¡ Sen a/2 (Cos a/2 + i Sen a/2)]4k

= (-2)4k i4k Sen4k a/2 (Cos 2k a + i Sen 2k a)

Siendo i4k = 1 => Re( IA I) = 16KSen4k (a/2) Cos 2k a .

EJERCICIO S . Grupo 51

En los ejercicos 1 al 6, calcular los determinantes aplicando la Regla de Sarrus

1. 8 2 -1 2. 4 2 -1 3. 1 1 1-3 4 -6 5 3 -2 4 5 91 7 2 3 2 -1 16 25 81

4. 4 -3 5 5. 1 5 25 6. 3 4 -53 -2 8 1 7 49 8 7 -21 -7 -5 1 8 64 2 -1 8

En los ejercicios 7 al 12, calcúlese los determinantes de las matrices, reduciendo

primero cada matriz a una matriz triangular superior.

7.f

2 0 -13l

1 8.f-1 2 1

s2 9.

t4 6 8

"N-6

0 1 0 1 1 2 4 1 0 -3 0 -10 1 1 0 2 0 -1 3 3 3 -4 -2

k 1 0 1 - 0 [ 3 2 -1 0 -2 3 4 -2 J

10./*

1 4 -3 1 11.s

1 1 1 1 12.f

2 3 -3N

42 0 6 3 1 -1 2 2 2 1 -1 24 -1 2 5 1 1 -1 3 6 2 1 01 0 2 4 1 1 1 -1 J 2 3 0 -5 J

En los ejercicios 13 al 36; calcular los determinantes de n-ésimo orden por reduc­

ción a la forma triangular.

EJERCICIOS: Grupo 51 509

3 2 2 ..... 2 14. 1 2 2 .... ... 22 3 2 ..... 2 2 2 2 ........ 22 2 3 ..... 2 - ' 2 2 3 ........ 2• • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • •

2 2 2 3 2 2 2 .... n

X a a ..... a a 16. 0 1 1 ... ... 1-a X a .... a a 1 a , 0 ... ... 0-a -a z .... a a 1 0 a2 ... . . . 0• • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • •

-a -a -a -a X 1 0 0 an

1 a, a2 .. an 18. 1 x, x2 ... -• Xn-1 Xn1 a,+b, a2 .. an 1 X x2 ...» ” Xn-1 Xn1 a , a 2+ b 2 " an 1 x , X x ,n-1 Xn• • • • • • • • •• • • • • • • • •

• • • • 1 x . x2 ... X Xn1 a , a 2 • a +bn n 1 x, X, .. xn-1 X

a a+h a+2h a+(n-1)h 20. 1 2 3 4 n-a a 0 0 2 1 2 3 n-10 -a a 0 3 2 1 2 n-2• • • • 4 3 2 1 n-3• • • • • • • •• • • • • • • •

0 0 0 a n n-1 n-2 n-3 1

n n-1 n -2 3 2 1 22 . 0 1 1 1 1

-1 X 0 0 0 0 1 0 X X X

0 -1 X .... 0 0 0 1 X 0 .. X X

• • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • •

0 0 0 -1 0 0 1 X X 0 X

0 0 0 0 -1 X 1 X X X 0

510 Capítulo 9: Determinantes

a, •a, 0 0 0 24. 1 2 3 4 . n-1 n

0 a7 0 0 -1 X 0 0 . 0 0• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •

0 0 0 3n-, -a„ 0 0 0 0 . x 01 1 1 1 1+an 0 0 0 ü -1 X

1 2 3 4 5 n 26. 1 2 3 4 ... n

1 1 2 3 4 n-1 X 1 2 3 ... n-11 X 1 2 3 n-2 X X 1 2 ... n-21 X X 1 2 n-3 X X X 1 ... n-3• • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • •

1 X X X X 1 X X X X ... 1

0 1 1 1 28. 1 2 3 ....... n

1 0 a,+a2 ...... a,+an 2 3 4 .. .... 1

1 3,+a, 0 ... a,+an 3 4 5 .. . . . . 2• • • • • • • •• • • • • • • •

• • • • • • • •

1 an+a, an+a2 ... 0 n 1 2 .. n-1

1 X X2 xn-1 30. 1 0 0 0 1xn-1 1 X X"-2 1 <V 0 0 Xxn-2 Xn-1 1 Xn3 1 <V C 22 ... 0 X2• • • • • • • • •

• • • • • • • • •

• • • • • • • • •

X2X

X3X2

X4X3

X1

1 < V C ,2 ... c "-1 fl xn

X a a a ... a 32. 1 2 3 ... n-2 n-1 n

b a P P - ... p 2 3 4 .. ... n-1 n n

b P a P - - P 3 4 5 ... n n n

b P P a ... p • • • • • •

• • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • •

b P P P - .... a n n n .. n n n

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 511

a a+h a+2h a+(n-1)ha+h a+2h a+3h aa+2h a+3h a+4h a+h

• • • •• • • •• • • •

a+(n-1)h a a+h a+(n-2)h

1 b, 0 0 0 0-1 1-b, b2 0 0 00 -1 1-b2 b3 .. 0 0• • • • • •• • • • • •• • • • • •

0 0 0 0 • - 1A , bn0 0 0 0 -1 1-b

9.5.3 ) P R O P IE D A D E S MUL1

| P R O P IE D A D 6 ) D E T E R M IN A N T E DI

Si A y B son matrice

D (A B ) = D (A ) . D (B )

Esto es, el determinante de un producto e

En efecto, la Definición 8.2 establece que i

se por

A = E, E2 E3 .

donde Et, i = 1, 2, 3...... m, son matricessuperior. También sabemos que si A es

matrices elementales E, E2 E3 .....Etn

Por lo que : AB = E, E2 E 3.......

=> D(AB) = D(E, E2 E3 ...

= D (E ,).D (E2 E

= D (E ,).D (E2)

a 0 a, a2 .. a-X x . 0 00 -X X . . . 0• • • •• • • •• • • •

0 0 0 X

1 X X2 X3 X41 2x 3x2 4x3 5x41 4x 9x2 16x3 25x4

1 y f y3 y41 2y

co 4y3 •5y*

E UN P R O D U C T O

s de orden n, y A es inversible, entonces:

s igual al producto de los determinantes,

jna matriz arbitraria A puede representar-

.........Em B

elementales y B es una matriz triangular

inversible entonces A es el producto de

E,nB)

V E . B )

•D(E3 ....Em B)

512 Capítulo 9: Déterminâmes

Por inducción se sigue que :

D(AB) = D(E,) • D(E2) • D(E3) ....D (E J • D(B)

Dado que: D(E,) • D(E2) • D(E3) ....D (E J = D(E, E2 E3 ..... E J = D(A)

combinando estas dos afirmaciones se tiene

D(AB) = D(A) • D(B)

siempre que A sea inversible.

í Ejemplo 1 ) Verificar D(AB) = D(A) . D(B), cuando

2 1 0r

1 -1\

3A = 3 4 0 *< CD II 7 1 2

lo 0 2j w 5 0 1,

'2 1 0 ' ' 1 - 1 3' 9 - 1 8Solución . Si AB = 3 4 0 7 1 2 = 31 1 17

0 0 2 5 0 1 10 0 2v y

D (AB) =

Ahora : D(A) =

y D (B) =

9 -1 8 40 0 2540 25

= -17031 1 17 F-+F. 31 1 17 =

10 0 22

10 0 2 10 2(1)

2 1 02 1

3 4 0 = 20 0 2 3 4

= 2(8-3) = 10

1 -1 3 8 0 5= 7 1 2 F,+F, 7 1 2 — O O

= 8 - 2 5 =-17

5 0 1- i — V

5 0 1 5 1

Luego: D(A) • D(B) = (10)(-17) = -170

Por lo tanto, de(1) y (2) se concluye que : D(AB) = D(A) • D(B)

(2)

( PROP IEDAD 7 ) Si A e K", tal que A =

submatrices cudradas de A, entonces:

D(A) = D(X) • D(Z)

y donde X, Y, Z son

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 513

Ejemplo 2 j Calcular el determinante de A =

r 1 1 12 3 43 6 104 9 145 15 24 9 24 38

0 0 0

0 Ï0 0

0 0 01 1 11 5 91 25 81

Solución . Por simple inspección, dos submatrices de A que satisfacen la Propie­dad 7 son :

' 1 1\

1 Í1 1 1X = 2 3 4 y Z = 1 5 9

13 6 10, > 1 25 81 J

D(X) =

D (Z) =

1c ,-c

1 0 04 9 v 2 1 2

10 C -Ca v 3 3 7

1c„-c,

1 0 0

9 2 v 1 4 881 C:fC l 1 24 80

1 2

= 3 7

4 8

24 80

= 1

= 128

En consecuencia, por la Propiedad 7 : D(A) = (1) (128) = 128

Ejemplo 3 J Calcular el determinante de A =

1 1 0 0 0 1

x , X 2 0 0 0 X3

a , b, 1 1 1 C,

a 2 b 3 x , x 2 X 3 ° 2

a 3 b 3 x,2 X 22 x 23 C3

x,2 x22 0 0 0 X 2 3 ^

S o luc ión . Haciendo uso de la Propiedad 4c, intercambiamos la tercera y sexta

columnas y luego la tercera y sexta filas, y obtenemos:

A =

1 1 1 0 0 0

x , x2 X3 0 0 0

x ,2 x22 X 2 3 0 0 0

a 2 b2 °2 x2 X3 x ,

a 3 b 3 C 3 x 2a2 X32

a, b < c, 1 1 1

r-

514 Capítulo 9: Determinantes

Por simple inspección, dos submatrices cuadradas de A son

1 1N

1 X2 X3 X ,

X = x, X2 X3 , Z = x 22 X 2 X 2 * 3 * ,

x 2L i V X 23 > 1s

1 1

D(X) =

0 0

x2-x, x3-x,

Xa2-* ,2 x 32- x , 2

= ( V xi) ( v x,)

= (x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)

Si intercambiamos filas en el determinante de Z, obtenemos el determinante de X, por lo que:

D(A) = D(X) • D(Z) = (Xg - x,)2 (x3 - x ,)2 (x3 - x2)2 ■

'1 + a 1 1 1 '

C M \ 1 1-a 1 1Ejemplo 4 J Calcular el determinante de A =

1 1 1+b 11 1 1 1-b

ySolución . Efectuando las operaciones F, - F2 y F3- F4, se tiene:

a a 0 0 1 1 0 01 1-a 1 1 1 1-a 1 1

D(A) =0 0 b b

= a b0 0 1 1

1 1 1 1-b 1 1 1 1-b

F4-F, D(A) = ab

1 1 0 0 1 1-a 1 10 0 1 10 0 1 1-b

Por la Propiedad 7, se sigue que :

D(A) = ab 1 1 1 1-a

1 11 1-b

= ab(1 - a - 1) (1 - b -1 ) = a2 b2

P R O P I E D A D 8 ] D E T E R M IN A N T E D E UN A T R A N S P U E S T A

entonces:

Si A es una matriz cuadrada de orden n y A' es su transpuesta,

D(A) = D(A')

EJERCICIOS: Grupo 52 515

En efecto, escribiendo la matriz A como producto de matrices elementales E(, se

tiene:

Por la Propoiedad 6 :

E' E' E'3 *—2 *—1

A = E ,E 2 E3

A' = E’m.......

D(A) = D (E ,).D (E2) ....... D (E J y

D(A') = D (E>J....... D(E2‘) . D(E,<)

= D (E ,).D (E2) ............D (E J

D(A') = D(A)

Ejemplo 5 ] Si A =

a b c d -b a d -c-c -d a b-d c -b a

, calcular el determinante de A.

Solución . Efectuando el producto A1 A se tiene:

A’A =

a -b -c -d b a -d c c d a -b

I, d -c b a ,

a b c d -b a d -c-c -d a b

, -d c -b a )

donde X = a2+ b 2+ c 2+ d 2

=> D (A1 A) = D(A') • D(A) = X 4

Pero, por la Propiedad 8 : D(A') = D(A) => [D(A)]2 = X*

D(A) = ( a2 + b2 + c2 + d2) 2

EJERCICIO S. Grupo 52

X 0 0 00 X 0 00 0 X 00 0 0 X

En los ejercicios 1 al 3, para las matrices A y B, compruébese Propiedad 6 : D(AB) = D(A) . D(B)

1. A =

1 2 3 4 -1 -9 -2 3 a b c d-1 0 -3 -8 -5 5 3 -2 b a d c

2. A = 3. A =-1 1 0 -13 -12 -6 1 1 c d a b2 3 5 15 9 0 -2 1 d c b a

516 Capítulo 9: Determinantes

' 1 -2 -3 -1 1 ' ' 1 0 0 0 ' ' 1 1 1 r

0 1 0 2B =

-2 1. 0 0B =

1 1 -1 -i

0 0 1 1 3 2 1 0 1 -1 1 -i

0V 0 0 1 4 2 1 > 1V. -1 -1 1 ✓

En los ejercicios 4 al 6, calcúlese el cuadrado del determinante

4. 1 1 1 1 5. 1 - 1 1 - 1 6. 1 1 1 1

1 1 - 1 - 1 2 2 1 1 1 - 1 2 2

1 - 1 1 - 1 2 0 - 3 - 1 1 1 - 1 3

1 - 1 - 1 1 3 - 7 - 1 9 1 1 1 - 1

En los ejerciccios 7 al 10, cálculese el determinante de la matriz A.

r 3 2 5 0 0 'f

6 1 12 16 -2 '

-1 3 6 0 0 3 1 17 18 -5

1 -1 2 0 0 8. A = 3 2 -4 0 0

10 6 7 8 9 4 1 -2 0 0

l 8 5 9 3 4 s. 5 2 -3 0 0

s , . /■ >0 -a -b -d a, 0 b, 0

a 0 -c -e 0 c, 0 d,10. A =

b c 0 0 b2 0 a2 0

, d e 0 0. V* 0 d2 0 C2 -

9.5.4 ) R A N G O DE UN M A T R IZ___________________________

Supongamos que en la matriz A de orden m x n se han elegido arbi­

trariamente k filas y k columnas, esto es, k min {m,n}. Sabemos que los elementos

que se hallan en la intersección de las filas y columnas elegidas forman una sub

matriz cuadrada de orden k, cuyo determinante se denomina menor de orden k de la

matriz A. El orden máximo r de los menores distintos de cero de la matriz A se llama

rango de ésta, y cualquier menor de orden r, distinto de cero, menor básico.

Para determinar el rango de una matriz A de orden m x n, supongamos que en

esta matriz fué hallado un menor M v * 0. Vamos a considerar sólo aquellos

menores , que contienen en si (orlan) el menor M k; si todos los menores

citados son nulos, el rango de la matriz es igual a k. De lo contrario entre los

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 517

menores que orlan a se encontrará un menor no nulo de orden k+1 y todo el

procedimiento se repite.

Ejemplo 1 j Determinar el rango de la matriz A =

2 i -4 3 ' 1*\

01 1 -2i____

11 . -4 2

0 1 -1 ' j

3 14 -7 4 -4 5

Solución . Dado que el orden de matriz es de 4 x 5, entonces:

p (A) < min {4, 5}, es decir, p(A) < 4

Fijemos un menor de segundo orden

M2 =-4

-2 = - 4 + 6 = 2 * 0

y el menor de tercer orden

M3 =-4-2

1

31

-1

-2 1 -4 3= 2

1 -1 1 -1= 2 - 1 = 1 * 0

Vemos que M3, que orla a M2, es también diferente de cero, sin embargo, los meno­res de cuarto orden que orlan a M son nulos, esto es

= 0

2 -4 3 i 1 2 -4 3 i 01 -2 1 1 -4

= 0 , y1 -2 1 ' 2

0 1 - i j 3 0 1 - I j 14 -7 4 -4 4 -7 4 5

En consecuencia, el rango de la matriz es 3, y M, es el menor básico.

O B SER V A C IO N ES

1. Si A es una matriz, no nula, de orden m x n, entonces

0 < p (A) < min {m, n}

2. Si A es una matriz cuadrada, no nula, de orden n, entonces

0 < p (A) < n

3. Si A y B son matrices conformables respecto de la suma A+B, entonces

p (A+B) < p (A) + p (B)

4. Si A y B son matrices conformables respecto del producto AB, entonces

p (AB) < min (p(A), p(B)}

518 Capítulo 9: Determinantes

Ejemplo 2 ] Hallar x de modo que el rango de la matriz A =

sea menor que 4.

r 1 2 3 x"i2 3 4 53 x 5 6

-2 3 x -5

Solución. Por definición, si p(A) < 4 => D(A) = 0, luego, calculamos el determi­

nante de A efectuando las operaciones: -2C, + C 2, -3C, + C3.

D(A) =

1 0 0 x2 - 1 - 2 53 x-6 -4 6-2 7 x+6 -5

*

-1 -2 5 2 -1 -2

= x -6 -4 6 - X 3 x -6 -47 x + 6 -5 -2 7 x + 6

-1 0 0 0 -1 0

= x-6 8-2x 5x-24 - X 2x-9 x-6 8-2x

7 x-8 30 12 7 x-8

8-2x 5x-24 2x-9 8-2x

x-8 30- X

12 x-8

de donde obtenemos: D(A) = -2x3 + 6x2 + 20x - 48

Si D(A) = 0 => x3 - 3x2 - 10x + 24 = 0 *=> (x+3) (x-2) (x-4) = 0

« x = -3, x = 2, x = 4

í Ejemplo 3 ) Hallar para qué valores de t el rango de la matriz

3t 1 2 t+1 a) Es igual a 3

A = 5t 5 5 2t b) No es igual a 3

. 7t 2 3 3t ,

S o luc ión . Como la matriz A es de orden 3 x 4 , existe C 34 C33 = 4 menores de

orden 3 que se pueden obtener de dicha matriz. Estos son:

3t 1 2 3t 2 t+1

5t 5 5 = -15t 5t 5 2t

7t 2 3 7t 3 3t

3t 1 t+1 1 2 t+1

5t 5 2t = t (7t-25) 5 5 2t

7t 2 3t 2 3 3t

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 519

Podemos observar que para t = 0, los tres primeros determinantes son nulos, pero el

cuarto determinante tiene un valor M3 = 5 * 0. Por lo que:

a) p (A) = 3, V t e R , b) f¡ t e R, tal que p (A) < 3

Sea la matriz A =[a 1 de orden n, donde a = {"■ 11 1 x si i = j

Hallar los valores de x de modo que 1 < p(A) < n

Solución . Según definición dada, construimos la matriz

r X 1 1 1 1 '

1 X 1 1 1

1 1 X 1 1• • • • •• • • • •• • • • •

1 1 1 .... X 1

1V

1 1 1 X

Calculemos el determinante de A sumando las n-1 filas a la primera para obtener

x+(n-1) x+(n-1) x+(n-1) .... x+(n-1)1 X 1 1 11 1 X 1 1

• • • •

1 1 1 X 11 1 1 1 X

1 1 1 .... 1 1 1 0 0 . . . . 0 01 X 1 .... 1 1 1 x-1 0 . . . . 0 01 1 X .... 1 1 1 0 x-1 . . . . 0 0

1)• • •

•••

••

= (x+n-1) ••

••

••

••

••

• •1 1

•1

•.... X

•1

•1

•

0

•0

•.... x-1

•0

1 1 1 .... 1 X 1 0 0 . . . . 0 x-1

Ejemplo 4 j

=> D(A) = (x + n - 1) (x - I ) " - 1

520 Capítulo 9: Determinantes

Por consiguiente, si p (A) < n => D(A) = 0 <=> x = 1 ó x = 1 - n

si x = 1 => 1 = p (A) < n

si x = 1 - n => 1 < p (A) < n

( Ejemplo 5 ^ Sea la matriz A =

2 1 5 11 1 -1 -4

-X 6 8 12 2 2 X

Para qué valores de x el rango de la matriz toma un valor máxi­

mo, y para qué valores de x el rango de la matriz toma un valor mínimo. Hallar los

valores de dichos rangos.

Solución . La matriz cuadrada A es orden 4, por lo que 1 < p (A) < 4.

El rango de A tendrá un valor máximo, p(A) = 4, si el D(A) * 0.

Hallemos el determinante de A efectuando las operaciones:

-2F2 + F, xF, + F,2 3

0 -1 7 91 1 -1 -40 x+6 8-x 1-4x0 0 4 x+8

D(A) =

Desarrollando por los cofactores de la primera columna obtenemos

-2F2+ f 4

-1 7 9x+6 8-x 1-4x0 4 x+8

D(A) =8-x 1-4x 7 94 x+8

+ (x+6)4 x+8

= 6(x+3) (x+10)

Si D(A) * 0 => (x+3) (x+10) * 0 <=> x * - 3 ó x # -1 0

Esto es, el rango de A tendrá un valor máximo si x € R -{-3, -10}. Cuando el D(A) = 0,

entonces p(A) < 4, es decir, si x = -3 y x = -10 el rango de A es menor que 4.

Hallemos el rango de A por transformaciones elementales para x = -3

-2F.+F,

A =

r 2 1 5 1 '1 1 -1 -43 6 8 1

l 2 2 2 -3 .

12 3

l 2

-1582

-4 Ï11

-3

-3F,+F,

-2F,+F4

1-130

-17

114

3 F 2 + F 3

'1 1 -1 -4 ' r 1 1 -1 -4 '0 -1 7 9 F 3(1/8) 0 -1 7 40 0 32 40 -F, + F. 0 0 4 5

l o 0 4 5 ,3 4 l o 0 0 0 ,

-419

135)

= E

EJERCICIOS: Grupo 53 521

Luego, si x = -3 , entonces, p (E) = p (A) = 3

De igual manera, para x = -10, p(A) = 3. Por lo tanto, el rango mínimo es 3 cuando x = -3 y x = -10. _

EJERCICIO S . Grupo 53

En los ejercicios 1 al 6, hallar el rango de la matriz A

1.

3.

5.

A=

A =

A =

2 -1 3 -2\

44 -2 5 1 72 -1 1 8 2 J1 3 5 -1 '2 -1 -3 45 1 -1 77 7 9 1 v

3 -3 3 2 5 )5 -3 2 3 41 -3 -5 0 -77 -5 1 4 1 ,

2.

4.

6.

A =

A =

A =

2 1 4 52 0 -1 23 -1 0 1 J

2 0 2 2 '0 1 0 02 1 0 10 1 * 0 0 ,

1 0 2 0 2 '0 1 0 1 02 1 0 2 10 1 0 1 0 .

En los ejercicios 7 y 8, decir a qué es igual el rango de la matriz A para diferentes valores de K.

3 1 1\

4 f 1 k -1 27. A = k 4 10 1 8. A = 2 -1 k 5

1 7 17 3 1 10 -6 k2 2 4 3

's.

9. Dada la matriz A = [al de orden n, tal que a = J n' 1’ s ii J'' l 1, si ¡ ^ j

Qué valor debe tener n para que el rango de A sea igual a su orden.

En los ejercicios 10 y 11, hallar x para que el rango de la matriz A sea menor que 4.

10. A =

r 1 X X\

Xf

X 1 0 X

X 1 X X 0 X X 111. A =

X X 1 X 1 X X 0S. X X X 1 . >. X 0 1 x ,

522 Capítulo 9: Determinantes

12. Sea la matriz A =

( 2 x x xx 3 x xx x 4 xx x x x

Hallar x de modo que el rango de la matriz sea : a) máximo , b) mínimo

3 0 6 3x13. Hallar el rango de la matriz A, V x e R, si A = X 2 2(x+1) 0

k -2 4 0 2x-2x2,

f1 X 0 -1 2 3 '

14. Determine el rango de la matriz A = 2 *1 0 X 5 7 paral 1 0 0 -6 1 2 „

diferentes valores de x.

15. Para qué valores de x el rango de la matriz a toma un valor

a) máximo, b) mínimo, s i :

A =

1 X -1 22 -1 X 51 1 0 -6 1

1 0 0 0

TEO REM A 9.1 Una matriz cuadrada es inversible si y sólo si su deter­

minante es diferente de cero

Demostración.

(=>) Primero demostraremos que si una matriz A es inversible => D(A) * 0

En efecto, supongamos que A es inversible, esto es : A A ' = I

=> D(AA ’) = D (I)

=> D (A ). D(A ') = 1 (Propiedad 6)

Por lo tanto, D(A) * 0

(<=) Demostraremos que si D(A) * o, entonces A es inversible.

En efecto, supongamos que D(A) * 0

Probaremos que A es equivalente por filas a I (es inversible).

Recordemos que si B = A, existe una sucesión finita E,, E2, E3, ....... Em de

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 523

matrices elementales tales que:

A = E, E2 E3 ......... E m B

Por lo que : D(A) = D (E ,). D(E2) . D (E J ...........D (E J . D(B)

De la hipótesis, D(A) * 0, se sigue que D(B) * 0 y si D(B) * 0 si y sólo

si B es inversible. Puesto que A es inversible si y sólo si B lo es, por tanto,

se ha demostrado el teorema.

Corolario Si A es inversible, entonces : D(A'1) = — -—D(A)

9.5.5 ) DA JU N T A DE U N A M A T R IZ

Si A= [ai(] es una matriz de orden n, sea

c,= W D(A)

el cofactor i, j de A, entonces la matriz C = [c] se llama matriz de cofactores de A. Es

decir

c = [<g =

c C „ crr A A , A I11 12 in 11 12 1n

c n c A A , A21 22 2n 21 22 2n• • • • • •• • • • • •• • • • • •

c c „ c A A Av. n i n2 nn ^ ni n2 nn J

La transpuesta C ’ de la matriz de cofactores de A se llama Adjunta de A.

Esta matriz se denota por adj(A), y si A = [cj, entonces

adj(A) = (-1 )u| D(A„) (9)

Propiedades . Si A, B, I son matrices no nulas, de orden n, y r es un escalar,

entonces

AD.1 : adj (In) = !n

AD.2 : adj(A') = (adj(A)]’

AD.3 : adj(A") = (adj(A)]"

AD.4 : adj(AB) = [adj(B)] [adj(A)]

A D .5 : adj (rA) = r"’1 adj (A)

A D .6 : 1 adj (A) I = I A I - 1

A D .7 : adj(A ') = [adj(A)]1 =_A _

IAI

524 Capítulo 9: Determinantes

rEjem plo~1 ^ Demostrar que si A e 1 son matrices de orden n, entonces

A • adj (A) = I A 11

Demostración . En efecto, consideremos el producto

A.adj(A) =

í a" 12 .... 31n I r a ,, A., ... .. 1 A. 1 ... i i1 i C<

a21 a22 .... 320 a ,2 . . . , A2 , ...- An,• • • • • 1 • 1 •• • • • • 1 • • •• • • • • • •a,i a,2 .... ain A,k A,, ...... 1 A|k 1 ... C<

“ •“ --------^ --- • • • 1 • 1 •• • • • • •1 1 •• • • • • 1 * 1 •

a a a A A ... ' A 1 .. ... AV. ni n2 nn .> V. In 2n i p1 iEl elemento que se encuentra en la i-ésima fila y la j-ésima columna de A.adj(A) es:

(1)a„ A,i + a,2 a ,2 + + am A)n

Si i = j, entonces (1) es el desarrollo por cofactores del D(A) a lo largo de la i-ésima

fila de A (ver ecuación 5). Por tanto, si i * j, entonces los elementos y los cofactores

provienen de diferentes filas de A, de donde, el valor de (1) es cero.

En consecuencia:

A. adj(A) =

A 1 0 0 00 1 A l 0 0• • • •• • • •• • • •

0 0 0 1 A l

= I A I I

Si en esta igualdad efectuamos el producto indicado en el segundo miembro, obte­

nemos

A. adj (A) = I A I"

Tomando determinantes en ambos extremos resulta

I A.adj (A) I = I A I" => I A I • I adj(A) I = I A I"

I adj (A) I = I A I"-' (AD.6)

Sección 9.5: Otras aplicaciones v propiedades de los determinantes 525

---------------f

2 3 4 '1 Ejemplo 2 J Dada la matriz A = 2 1 1

. 1 1 2>, calcular la adj(A).

Solución . Primero calculemos la matriz de cofactores

C =

1 1 2 1 2 1N

1 2 1 2+

1 13 4 2 4 2 3 ' 1 -3 11 2

+1 2 1 1 = -2 0 1

3 4 2 4 2 3 .-1 6 -41 1 2 1 +

2 1

Por lo tanto, la matriz adjunta de A es : adj(A) = C ' =

Examinemos el producto A • adj(A) de este ejemplo

1 -2 -1-3 0 61 1 - 4 J

2 3 4 1 -2 -1 -3 0 0A • adj(A) = 2 1 1 -3 0 6 = 0 - 3 0

. 1 1 2 , . 1 1 - 4 , . o 0 - 3 ,= -3 I

Hallemos ahora el determinante de A

D(A) =2 3 42 1 11 1 2

= 2(2-1)-3(4-1)+ 4(2-1) = -3

De estos dos resultados podemos escribir

A • adj (A) = I A I I

Por lo que, es posible establecer una fórmula para calcular la inversa de una matriz inversible.

I 9 .5 .6 ) IN V E R S A DE U N A M A T R IZ

Consideremos primero el caso siguiente.

Sea una matriz de segundo orden A =321 322

, cuyo D(A) * 0

Se desea hallar una inversa para A, esto es, una matriz tal como:

526 Capítulo 9: Determinantes

de manera que:

A '1 = X 2

A • A° = A 1 • A = I

(1)

o sea:an O X y i 0 '

>. a2i a j z w _ 0 1

Los productos escalares de los vectores fila por los vectores columna nos permite establecer las ecuaciones siguientes:

a„ x + a12 z = 1 (2)

a2, x + a^ z = 0 (3)

Resolviendo (2) y (3) obtenemos:

a,, y + a,2w = 0 (4)

a2, y + a22 w = 1 (5)

x =D(A)

La resolución de (4) y (5) da por resultado:

a.„y = -

D(A)

z = -

w =

D(A)

D(A)

Sustituyendo en (1) se tiene que : A '1 =D(A) -a.

lo que nos permite enunciar el siguiente teorema

TEO REM A 9.2 La matriz A = a -'{ a2i

\a

12 tiene una inversa A '1 si y sóloaz2,

si el D(A) * o. Además, si D(A) * 0, entonces

1(1 0 )A 1 =

D(A) , _a21 311 4__ A

Obsérvese que para calcular la inversa de una matriz de segundo orden, basta hallar el D(A), luego intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar

de signo a los elementos de la otra diagonal.

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 527

[ Ejemplo 3 ^ Determinar la inversa de la matriz A =

Solución . Primero calculemos: D(A) =

2 3

6 10

2 3

6 10= 20 - 18 = 2

Como el D(A) * 0, por la fórmula (10), se tiene:

A '1 = —10 -3

x =

f5 -2,12

2 . -6 2 . . *3 1 ,

) Resolver la ecuación: 3 -1x =

' 1 2 'J [ 5 -2 3 4

Solución . Sea A =3 -1

5 -2D(A) = 3(-2) - 5(-1) = -1

Por la fórmula (10):

Multiplicando cada miembro de la ecuación por A -1 se tiene:

X =

A 1 = -’ -2 T ’ 2 -1 '

co"

LO 5 -3

2 -1

5 -33 -15 -2

2 -1

5 -31 2 3 4

( A ’A = I )

I X =' -1 0 ' ' -1 0 '

-4 -2« X =

-4 -2

) Si A =2 -1 ' ’ 7 6 '

y B =J , -2 3, . 9 8 ,

hallar las matrices C y D tales que AC = B y DA = B.

S o luc ión . Si AC = B =>2 -1

C =7 6 '

k-2 3 , , 9 8 ,(1)

2 -1= 6 - 2 = 4 => A ’ = 4 -

’ 3 1 '-2 3 4 2 2

D(A) =

Multiplicando (2) por A -' (izquierda de B), la ecuación (1) se tiene:

3 1 2 - 1C - —

3 1 7 6=, C - 1 15 13

4 . 2 2. . -2 3, 4

C\J

CVJ co CD

=> c - 216 14.

528 Capitulo 9: Determinantes

1C\J 7 6~

co<\l O) oo

D(A) = B => D

Multiplicando (2) por A° (derecha de B), obtenemos:

D2 - 1 1 3 1 7 6 1_ 3 1coCVJ1 4

c\iCVJ co 00 4

OJCVJ , de donde : D = — 4

! Ejemplo 6 ^ Resolver el sistema: X +

Solución

X +

Restando (1) - (2) obtenemos :

2 -1Y =

3 23 4 5 -1

1 -4Y =

2 -1 ', 2 3 4 4

' 1 3 'Y =

’ 1 3 ’1 1 1 -5

Sea A =

(2)

11 1943 25.

(1)

(2)

(3)

Multiplicando la ecuación (3) por A 1 (izquierda de A), se tiene:

IY = — — 2 í 1 ' 1

' 1 3=> Y =

1 -9 '

.-1 1 J , 1 -5, .0 4 ,, en (1): X =

1 24

2 10 J

ejemplo 7 Dada la matriz A =

a) Determinar X tal que D(A - X I) = 0

b) Hallar la matriz X de orden 2 x 1 tal que AX = XX

c) Hallar B \ siendo B = [X, X2] y X es la matriz de la parte (b).

S o lución .

1 ? í > n 1.1 9D(A - X I) = X2 - 3X> II ’ 1 2 X 0 ii ' 1-X 2 '

CVJ . 0 X, . 1 2-X,

Si D(A) = 0

b) A X = X, X

X (X - 3) = 0 ^ X, = 0 ó X2= 3

= 0

de donde: x = -2y => X, =

xy ,

*2y

y

x + 2y x + 2y

= y-2

1

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 529

AX = X2 X' 1 2 ' X X x + 2 y '

í 3 x l= > 1 2 y= 3

y=>

x + 2 yl 3 * )

de donde obtenemos : x + 2y = 3 x = *x = y = > X : = = y

c) B = [X, X2] = y-2 11 1

B 1 =

D(B) = y(-2 -1) = *3y

y3y

1 -1' 1 ’ -1 1 '

-1 -2 t 3 1 2

Ejemplo Sea P = Sen ° C°S 9 ] . Considerar que P = NAN \ donde1 J Cos20 Sen20 J

í 0, si ii) A = [aj, de segundo orden, tal que: ait = j . g. . _ .

con Xt, X2 raíces de la ecuación D (X I - P) = 0

¡i) N es una matriz de segundo orden, cuyas columnas llamadas Cj *

cumplen la ecuaión matricial: PC , = X ( C j = 1, 2

a) Hallar Pk, K e Z *

b) Demostrar que Tr (P2k) = 1 + Cos2k 20

c) Hallar P6(n/8)

Solución .

i) Por la definición dada: A =

X I - P =

X, 0 0 X,

r X 0 ' ’ Sen20 Cos20 r X-Sen20 -Cos20 '

0 X Cos20 Sen20 -Cos20 X-Sen20y

Si D (X I * P) = 0 => (X - Sen20)2 - Cos40 = 0

de donde:

X2 -2 X Sen20 + Sen40 - Cos40 = 0=>X = Sen20 ±V Sen40 + Cos40 - Sen40

1 0=> X = Sen20 ± Cos20 <=> X. = 1 ó X = -Cos20 => A =

2 0 -Cos20

530 Capítulo 9: Determinantes

ii) Sea N =a c b d

Si PC, = X, C, =>

cuyas columnas C *

Sen20 Cos20 1 a

Cos20 Sen20 b= 1

a= a

1 '

, a k 1 ,

de donde : a Sen2 0 + b Cos2 0 = a => bCos2 0 = a (1 - Sen2 0) <=> b = a

a Cos2 0 + b Sen2 0 = b => aCos2 0 = b (1 - Sen2 0) «=> a = b

Luego, C, =

Si PC2 = \ C2

c Sen2 0 + d Cos2 0 = -c Cos2 0 = c Sen2 0 - c Cos2 0 => d = -c <=> c = -d

c Cos2 0 + d Sen2 0 = -d Cos2 0 = d Sen2 0 - d Cos2 0 =* c = -d

Sen20 Cos2 0 c= -Cos2 0

c

k Cos2 0 Sen2 0 y . b , . d,

-d' -1f \

1 -1 K,1 1✓ \

1 1Luego, C2 =

, d= d

1. Por lo que: N =

1 1=> N '1 = —-

2 -1 1 ,

a) Si P = N A N '1 P2 = (N A N ’) (N A N°) = (N A) (N '1 N) (A N 1)

= N A(I) AN -’ = N A2 N-1

P3 = P P2 = (N A N-’)(N A 2 N ’) = N A ÍN '1 N) A2 N’1

= NA (I) A2 N’1 = N A 3 N '1

Por simple inspección : Pk = N Ak N°

Ahora: A2 = A A =

A3 = A A2 =

(1)

1 0f >

1 0 1 00 -Cos20 _ 0 -Cos20, k 0 Cos220 y

' 1 0 ' 1 0 ' 1 0 '0 -Cos20\

0 Cos220k 4 0 -Cos320

Por simple inspección: Ak =1 0

0 (-1)kCosk20

Luego, en (1): P k = —1 1

' 1 0 ' 1 r

0 (-1)k Cosk20 -1 1

(-1)k*' Cosk20

(-I)“*1 Cosk20

1 1

-1 1

EJERCICIOS: Grupo 54 531

de donde obtenemos : Pk = —2

1+(-1)k Cosk20 1-(-1)k Cosk20

1-(-1)k Cosk20 1+(-1)k Cosk20

b) P2k =1 +(-1 )2k Cos2k20 1 -(-1 p C o s 2

Cos2k20 l + í - l p Cos2k20

Tr (P2k) = 1/2 [1 +(-1 ) * Cos2k 20 + 1 +(-1 )a Cos2k 20] = 1 +(-1 )2k Cos2k 20

Tr (P2k) = 1 + Cos2k 20

c) P6 (rt/8) =1 1 +Cos6 (n/4) 1 -Cos6(ti/4) ' 9/8 7/8 '

2 1-Cos6 (ti/4) 1 +Cos6 (n/4) 2 7/8 9/8

P6(rc/8) = — 16

9 7

7 9

EJERCICIO S. Grupo 54

1. Si B es el adjunto clásico de la matriz A =

hallar el valor de la suma S = B^ + B23 + B

2. Si B es el adjunto clásico de la matriz A =

B„ + B„,

2 2 30 -2 0

-1 1 -2-3 0 2

1 3 20 1 -2

-1 4 32 -1 1

hallar el valor de E =* B31

3. Sea A =[a1(] una matriz de orden n, tal que D(A) = 0. Demostrar que A • adj(A) = 0.

4. Dada la matriz A =1 -2

-2 -2

5. Sea la matriz A =1 12 3

, hallar A

, si AX = A', hallar 2/3 X*

6. Hallar la suma de los menores valores que pueda tomar x, si se sabe que la ~ 2Cotg x -Cosx ~

Cosec x Senxmatriz A = no es inversible.

7. Si ABXC = D, donde A, B, C, D, y X son matrices cuadradas del mismo orden,

despejar la matriz X.

532 Capitulo 9: Determinantes

8. Dadas las matrices A =

resolver las ecuaciones :

3 Ì R - l j ’ B -

a) A X B = C

01 2 '

< G II

1

C\J

b) B X C = A

1 2 -1 3 3 5 '9. Resolver el sistema : , 3 4

X +-2 1 .

Y = 5 9

1 0 3 - 4 Y = 0 - 2

0 1X + 2 9 6 4

2 1 6 310. Resolver el sistema : 2 X +

3 -1Y = k 2 7,

5 11 -3

X + 3 Y =

En los ejercicios del 11 al 18

11. X =3

15

resolver las ecuaciones matriciales

12.3 -2 -1 25 -4. . *5 6,

3 4 ' 2 4 -1 4 3 -1 15 6 14 16

13. X,-2 -4 > — -1 0 k 2 -1 ,

14.5 -2,

yX t 7 8 9 1 0 ,

4 -7 4 2 -12 10 2 1 v -3 2 -2 415.

. 3 -6.X

, 2 -1 = -18 9,16.

3 2X

. 5 -3 , 3 -1,

2 5 9 2 -3 -1 3 3 1 v -5 417.

1 3X —

, 4 -3 2 -318.

. 2 1. 2 3A

, 3 -22.

2 5 3 1 0 2 4 5 1

3 1 2 . B = 2 - 1 3 y c = -3 -6 3

, 1 2 1 J , 0 2 3 , . 5 4-14 ,19. Si A =

E = adj (A) - adj (B) -C‘.

20. Sea la matriz A =

; hallar la matriz

a) Hallar el polinomio P(x) = IA - x II, x e R , I: matriz identidad

b) Resolver la ecuación P(x) = 0

c) Con las raices x,, x, hallados en b), determinar las matrices B y C de orden

2x1 , tales que: AB = x, B , AC = x2 C

21. Determinar la matriz A, triangular superior que satisface:

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 533

A' BA =1/4 3/2

3/2 13B'

siendo B una matriz simétrica, inversible, tal que AB = BA

f 1 2 l22. Si A = ^ J , determinar la matriz X en la ecuación (AX! + A ’)’ = 3 A - 1

r ‘ 1 ‘ ------------------------- — ---------

TEO REM A 9.3 Inversa de una matriz cuadrada de orden n

Si A ese uan matriz inversible. entonces

A ’ = — —-• adj(A)

Demostración . En efecto, en el Ejemplo 1 de la Sección 9.5.5 , habíamos demos­trado que

A • adj(A) = IAI • I

Dado que A es inversible, IAI * 0, entonces esta ecuación se puede escribir

IAIadj (A) = I

Si multiplicamos ambos mienbros de esta igualdad por A -1 obtenemos

/ \A ’A

IAI adj(A) = A 1 I => I adj (A) = A-1 I

A 1 = ' 1 'IAI\ /

adj(A) (11)

TEO REM A 9.4 Propiedades de la inversa de una matriz cuadrada

Sean A, B e K n, matrices inversibles, esto es, D(A) * 0,D (B ) * 0 y re R. un escalar, entonces se cumple:

1.1: AA-’ = A ’A = I 1.5: (rA)-’ = r 1 A 1

1.2: > 11 > 1.6: (In)’1 = In

1.3: (A B )1 = B ' A ’1 1.7: (A")-1 = (A ’)"

1.4: (A-)> = (A*’)' 1.8: adj(A ’) = [adj(A)] •

534 Capítulo 9: Determinantes

La demostración del teorema queda a cargo del lector

IN ota. Si B = [tg = A ’’ => b = _^i_ .siendo A, = (-1)^' M,,

r \ 3 4 5Ejemplo 1 Calcular la inversa de la matriz A = 2 3 1

l 3 5 -1 .

Solución . En primer lugar calculamos el determinante de A, desarrollando por los

cofactores de la primera fila:

D(A) = 3 (-3 -5) - 4 (-2-3) + 5 (10 -9) = 1 * 0 => BA'1

Enseguida, calculamos la adjunta de A

adj(A) =

1-1

5-1

51

-8 5 1

29 -18 -3

-11 7 1

Luego, haciendo uso de la fórmula (11): A-’ =-85

V. 1

29 -11 -18 7

-3 1 J

f _ ' 1 2X

3Ejemplo 2 Sea la matriz A = 1 3 4 . Si AX = A', hallar 2X'

'1 4 3

So lución . El determinante de A, por los cofactores de la primera fila, es:

D(A) = 1 (9 - 16) - 2 (3 - 4) + 3 (4 - 3) = -2

adj(A) =

3 4 1 4 1 3 I+

4 3 1 3+

1 4-7 1 1 '

2 3 +1 3 1 2 = 6 0 -2

4 3 1 3 1 4 -1 -1 1 /2 3 1 3 1 2

+3 4 1 4

+1 3

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 535

Ahora, por la fórmula (11), se tiene que : A;1 = - —

Si AX = A' => X = A 1 A’ => X = -

6 -11 0 -1

-2 1

-7 6 - r 1 1 r

o

' 2 7 14'1 0 -1 2 3 4 -2 -3 -2

, 1 -2 1 , ,3 4 3. , 0 -1 -4.

2 X ’ =-2 2 -7 3

■14 2

r1 a+b 0

Ejemplo 3 ] Si A = 2 5 aw b X 3 ,

es una matriz simétrica, hallar A '1.

Solución. Dado que A = A'1 a+b 02 5 a b x 3

1 2 ba+b 5 x0 a 3

f b = 0<=> < a+b = 2 = *a = 2

I x = a=>x = 2

D(A) =1 2 2 5 0 2

= 1 (15 - 4) - 2 (6 - 0) = -1

adj(A) =

11

-64

-63

-2

4-2

1

' 11 -6>

4 -11 6\

-4A-’ = -1 -6 3 -2 = 6 -3 2

l 4 -2 1 l -4 2 -1 J

[ Ejemplo 4 j Hallar, si existe, la inversa de A =

2 1 0 03 2 0 01 1 3 42 -1 2 3

Solución . La matriz tiene la forma : A =X 0

Y Z

536 Capítulo 9: Determinantes

=> D(A) = D(X) • D(Z) =

Los elementos de la matriz de cofactores son:

2 1 3 4

3 2 2 3= (1) (1) =1

A„ = 2

A * = -1

a 31 = o

a 41 = o

A ’ =

A ,2 = -3

A22 = 2

a 32 = o

A,3 = 31

A23 = -19

A 33 = 3

A. =-23

A24= 1 4

A34 = '2

A« s= 0 1

■'íII5<

- A ._

. A I 3dj(A) =

r2 -3 31 -23 ' i /■

2 -1 0''v

0-10

20

-193

14-2 =

-331

2-19

03

0-4

l o 0 -4 3 . l -23 14 -2 3 >

i Ejemplo 5 ) Dadas las matrices A. B € K", tales que IAI * 0 y IBI * 0, demostrar que :

a) adj (AB) = adj (B) • adj(A)

b) adj (A 1) = [adj (A)]-'

c) ladj [adj(A)] I = IAI<"-’>2

D em ostración.

a) En efecto, por definición de matriz inversa : adj (A) = IAI A '1

=> adj(AB) = IABI (AB)-1

= IAI IBI (B 1 A-’) (Teor.9.4: 1.3)

Como IAI y IBI son escalares, podemos escribir

adj (AB) = (IBI B 1) (IAI A 1) = adj (B) • adj (A)

b) En efecto, por definición : adj (A 1) = IA M (A 1) 1

= IAI'1 (A 1)“1

= [ IAI (A 1) ]•’ (Teor. 9.4: 1.5)

= [ adj (A) ] ’

c) Efectivamente, si adj(A) = IAI A -1 => adj [adj (A)] = ladj (A)l [adj (A) ]1

y por las propiedades AD .6 y AD.7 de la matriz adjunta se tiene :

adj [adj (A)] = IAI"0 adj (A 1) = IAI"-1IAI

= IAI"* A

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 537

Luego, tomando determinantes en ambos mienbros se tiene:

I adj [adj (A)] I = I IAI" 2 A I

= (IAIn'2)n IAI = IAIn(n2) IAI = IAI(f"1)2

Ejemplo 6 ) Si A es una matriz de orden n tal que IAI * 0, A3 = -A, X g { 0 }, demostrar que: X"-1 adj (X A4) = I

Demostración . Si A3 = -A => A3 A = -A A

=> A4 = -A2

Como IAI * 0, la matriz A es inversible, por lo que:

A 3 A '1 = -A A-’ => A2 A A’1 = -I

=* A2 = -I

De (1) y (2), se sigue que: A4 = I

=> adj (X A4) = adj(X I) = IX II (X I) 1

= Xn(X-’ I*1) = X"-’ I

/. X1"1 adj(X A 4) = X1-" (X"-1!) = I

(1)

(2)

\ Ejemplo J J Si A -2 3 111 5 15 1 1

, hallar la suma de los elementos de

la tercera fila de su inversa.

Solución . El determinante de A por los cofactores de la primera fila es

D(A) = 2(5 - 1) - 3(1 - 5) + 1(1 - 25) = -4

Si B es la inversa de A, entonces

S - b 31 + b 32 + b 33 =A,3 — 13 +IAI

A«IAI

+ A33IAI

-24 -13 7-4

1

4

r 1 3 31

k 143

34

-24+ 13 + 7

-4= 1

a) La traza de A 1

, hallar :

b) La matriz A. E s A ún ica?

Solución . a) Por definición : adj (A) = IAI A 1

538 Capítulo 9: Determinantes

Tomando determinantes a ambos extremos se tiene

ladj (A)l = IIAl A 'l = lAP IAM = IAI2 (i)

4 33 4

= ( 4 t ) i1 (i6 -g) - 3 <4-3) + 3 <3-4)i =64

Luego, en (1): IAI2 = 1/64 => IAI = ± 1/8 => A 1 = ± 21 3 31 4 31 3 4

.-. Tr(A’) = ± 2 (1 + 4 +4 ) = ±18

b) Para determinar la matriz A, aplicamos la propiedad

1 N(A 1)-1 = A A =

lA ’lJadj(A ') = I A I adj (A 1)

Calculando la adj(A ') obtenemos finalmente

A - * F <4)

Existe dos soluciones, por tanto A no es única

f 9.5.7 ) M A T R IC E S NO S IN G U L A R E S

' 7 -3* N

-3 1= ± o

7 -3 -3 "-1 1 0 -1 1 0

1-1 0 1d.

I 1 0 1 ✓

Se dice que una matriz A es no singular si y sólo si el D(A) * 0, es

decir, si admite una inversa.

Se dice que una matriz cuadrada A es singular si y sólo si el D(A) = 0, o en su

defecto, si no admite una inversa.

Ejemplo 9 ^ Si A = , hallar los valores de x de2 Sen 2x 3 Cos 2x Sen 2x------------------- V

modo que A sea singular.

Solución . Para que A sea una matriz singular se debe cumplir que D(A) = 0

=* D (A) = 2 Sen 2x 3 = 2 Sen22x - 3 Cos 2x = 0y ' Cos 2x Sen 2x

de donde obtenemos: 2 Cos22x - Cos 2x - 2 = 0 <=> Cos 2x = 1/2 ó Cos 2x = -2

Para la segunda alternativa no existe solución, luego, si

Cos 2x = 1/2 » 2x = 2 k n ± n/3 <=> x = k n ± n/6. k e N

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 539

' 7 23 25 ' 1 3 3 'Ejemplo 10 j Sesn las matrices AB = 5 16 16 y b = i 4 3

V J a-1 4a-3 3a-6 . i 3 4,

Si A es una matriz singular, hallar el valor de a

Solución . Sea A =[a ] una matriz singular de tercer orden, tal que D(A) = 0

a,, a2

331 33

3 3 7 23 254 3 = 5 16 163 4j * fl-1 4a-3 3a-6,

Del producto escalar de la primera fila de A por las columnas de B, obtenemos:

a ,33,33,

Efectuando transformaciones elementales en la matriz aumentada del sistema, se

tiene :

+ ai2 + ai3 = 7+ 4a,2 + 3ai3 = 23+ 3a,2 + 4ai3 = 25

1 1 1N

7 *3F +F r 1 1 1N

7 " 1 0 1\

5

3 4 3 23i ¿

-3F.+F,0 1 0 2 *F 2+ F , 0 1 0 2

.3 3 4 25. , 3 . 0 0 1 4,

oo

4 ,

✓1 0 0

>1 an = 1

-f 3+f . 0 1 0 2 = > a i2 = 2, 0 0 1 4 > • a,3 = 4

Del producto escalar de la segunda fila de A por las columnas de B, resulta:

3a„ + 4a,3a„. + 3a,

+ *>3 = 5+ 33,3 = 16- 43,3 = 16

Efectuando opersciones elementsles en Is mstriz sumentsds del sistems, se tienes

1 1 1 5 -3F,+F2f

1 1 1N

5 ' 1 1 0\

4

3 4 3 161 ¿

-3F,+F,0 1 0 1 -F3+F , 0 1 0 1

< 3 3 4 16. 1 3 .0 0 1 1,

oo

1 >

s1 0 0

>3 a2 ,= 3

-F2+F1, 0 1 0 1 a22=1,0 0 1 1> L a23=1

Finslmente, del producto escslsr de Is tercers fils A por Iss columnss de B, obte­

nemos:

540 Capitulo 9: Determinantes

®31 + 323a„ + 4a,,3a, 3a,

+ a3 + 3a3 + 4a,

a - 1 Aa - 3 3a - 6

La matriz aumentada del sistema es

' 1 1 1 a-1 -3 F ,+ F , 1 1 1 a-1/*

1 0 1\

-1

3 4 3 4a-3 ---- !— i-3F +F_

0 1 0 a -■ V F , . 0 1 0 a

. 3 3 4 3a-6 , 1 3 ,0 0 1 -3 . , 0 0 1 -3 ,

1 0 0 2 ' [0 1 0 a => \

.0 0 1 ■3 , !

a3, = 2

= -3

r1 2 4

Luego, A = 3 1 1 => D (A ) = 1 (-3-a) -2 (-9-2) + 4(3a-2) = 11a + 11

1 2 a -3 ,

= 0 = > 1 1 a + 1 1 = 0 <=> a = -1

X b 1 1 Ì

b X 1 1Dada la matriz A =

1 1 X b, 1 1 b x -

, determinar los valores

de x tales que la matriz A sea no singular.

Solución . Para que A sea una matriz no singular es necesario que el D(A) * 0.

Calculamos el D(A) sumando las últimas filas a la primera

x+b+2 x+b+2 x+b+2 x+b+2

D(A) =b X 1 11 1 X b

1 1 b X

1 0 0 0

(x+b+2)b x-b 1-b 1-b

= 1 0 x-1 1-b1 0 b-1 x-1

= (x+b+2) (x-b)

CT X

x cr

11 (x +

1 1 1 1b x 1 1

= (x+b+2)1 1 X b

1 1 b X

x-b 1-b 1-b= (x+b+2) 0 x-1 b-1

0 b-1 x-1

-c ,+c2

-c ,+c3-c,+c.

1 ) [(X -1 )2 - (b - 1 )2]

= (x + b + 2) (x - b) (x - b) (x + b - 2)

En consecuencia, si D(A) * 0 => x * - ( b + 2), x * b , x * 2 - b

EJERCICIOS: Grupo 55 541

EJERCICIO S . Grupo 55

En los ejercicios del 1 al 12, por el método de la adjunta, hallar la inversa, si existe, para la matriz A. Comprobar en cada caso que A A 1 = I

1. A =

4. A =

7. A =

10. A =

1 -2 1-2 5 -41 -4 6

6 -6 2-6 8 -31 -2 1

-2 3 41 1 -22 -1 1

1 3 -50 1 20 0 10 0 0

7-321

2. A =

5. A =

8. A =

11. A =

-1 2 -32 1 04 -2 5

1 2 22 -1 11 3 2

1 2 -30 1 20 0 1

1 1 11 1 -11 -1 11 -1 -1

3. A =

6. A =

1 -1 2 1 2 -3

2 1

1-1 -1

-1 0 2 -1

A =

12. A =

2 2 1 -1

k-1 2

0 0 0 o3 42 3 )

En los ejercicios del 13 al 16, resolver las ecuaciones matriciales

f5 3 1 '

f-8 3 0 ' ' 1 2 -3 '

f1 -3 0 '

13. X 1 -3 -2 = -5 9 0 14. 3 2 -4 X = 10 2 7k -5 2 1 , k -2 15 0 . k 2 -1 0. J O 7 8 „

1 1\

-1 1 -1 3' ' 2 -3 1 9 7 6 ' 2 0 -215. X 2 1 0 = 4 3 2 16. 4 -5 2 X 1 1 2 = 18 12 9

1 -1f

2

1,

3 4

1 -2 5,f

2 1

. 5>

1

-7 3, . 1 1 1 , .23 15 11,

17. Si A -1 1 -4 y b = 2 1 2 son dos matrices.w 0 -1 2 . 3 2 -1 ,

Hallar la matriz X tal que: A B X + B' = A.

18. Halle la matriz X que satisface la ecuación matricial 3A + AX = B + C, en donde:f

1 3N

-2f

1 -2\

1f

3 12 -5A = 2 5 -3 , B = 0 1 1 , c = 6 15 -9

1 -3 2 -4 -2 0 o j -7 6 -11 y

19. S i A 3 = l , hallar adj (a A 5), a * 0.

542 Capítulo 9: Determinantes

20. Si B es la inversa de la matriz A =

la suma S = b,2 - 6 b23 + b3).

21. Si B es la inversa de la matriz A =

suma S = 2b23 + 3b,, + b31

f 1 2 101A = 2 3 9 , calcular el valor de

4 5 11

f2 1 -1

>2

A =1

-132

21

-3-1

, hallar el valor de

. 2 -3 -1 4 .

22. Si A =

1 1 1 12 4 5 63 9 2 3

14 6 5 6

y B su inversa, hallar S = 2b33 + b31 + b3

2 1 3 i 0 23 5 1 y b = 0 4 -31 -2 4 z 2 2 j

23. Dadas las matrices A =

Si M = A + A ' + B \ calcular el valor de la suma S = m12 + m,3 + ma

24. Si A =x+1 -2 -2-2 x-2 -23 6 x+6

25. Si la matriz A =1 x 1

x-3 0 x-1 1 x+2 3

, hallar los valores de x para los cuales 3 A*1,

es singular, hallar x.

26. Si A =Cotg x Cos(90+x)

Cosec x Sen(90+x)/Senx 0 0

, hallar los valores de x para

los cuales la matriz A no es inversible.

27. Si A =

1 1 1 1 X

1 1 1 X 1

1 1 X 1 1

1 X 1 1 1

X 1 1 1 1

, hallar los valores de x para los cuales /i A

28. Para qué valores de x, 3 A \ si A =x 3 -x1 0 5

Iv 2 -x 3 ). Además hallar A*1.

f

1 1 129. Para la matriz A = a b c

cr o ac a b .

, a) Hallar D(A), b) Calcular A 1.

Sección 9.5: Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 543

' a 2 3 ' ' i i r ' 1 1 2 '5 0 6 , B = 4 -b 4 . c = 1 2 e6 7 d\ y 6 7 -dy 0 0 - 2v /

30. Dadas las matrices : A =

hallar a, b, d, e y la matriz X sabiendo que AX = BX -1 y XC = I

9.5.8 J R E S O L U C IO N DE S IS T E M A S DE E C U A C IO N E S EN D O S V A R IA B L E S

Sea el sistema :

a,x + b,y = c,

a2x + b2y = c2

La ecuación matricial equivalente al sistema es

2 b2

x

i y j

que representamos po r: A X = C

donde :A = Matriz de los coeficientesX = Matriz de las incógnitasC = Matriz de los términos independientes

Para despejar la matriz X operamos de la siguiente manera :

AX = C => A-’A X = A ’C

=> (A ,A )X = A-1 C

=> ( I ) X = A 1 C

X = A 1 C

(Propiedad asociativa)

(Definición de A ’)

(12)

I Nota . Para hacer uso de la ecuación (12) y obtener la matriz X, se debe multiplicar A 1 por la izquierda de C.

Ejemplo 1 J Resolver el sistema : 3x + 4y = 65x + 3y = -1

Solución . Sea la matriz A =4

3 )D(A) = 9 - 20 = -11

544 Capítulo 9: Determinantes

Por la fórmula (10), la inversa ded A es : A 1 = - ----11

3

-5

Xr s

3 -4 6 2 2 -2

k y . 11 5 3 -1 11 -33 3y por la fórmula (12):

Por lo que, el conjunto solución del sistema es

S = {(-2,3)}

R E SO L U C IO N DE S IS T E M A S DE E C U A C IO N E S EN T R E S V A R IA B L E S

Sea el sistema

a,x + b,y + c,z = dt

a2x + b2y + c2z = d2

83 x + b3y + c3z = d3

La ecuación matricial equivalente al sistema es :

que representaremos por:

b, c, b2 C2b 3 C 3.

A X = D

donde A, X y D tienen el mismo significado que el dado en la Sección 9.5.8. Enton­

ces, si existe A 1 y si AX = D, si y sólo si

X = A-’ D (13)

x + 2y - z = 2

Cjcmplo 2 ] Resolver el sistema : 2x - y + 3z = 9

2x - y + z = 3

' 1 2 - rSolución. Sea la matriz A = 2 - 1 3 => D(A) =1 (-1+3) - 2(2-6) - 1(2+2) = 10

. 2 - 1 1,

545

adj(A) =

' -1 3 2 3 2 -1 X+

-1 1 2 1+

2 -1

2 -1 1 -1 1 2-1 1

+2 1 2 -1

2 -1 1 -1 1 2+-1 3 2 3

+2 -1 y

' 2 4 0 1 2 -1 5-1 3 5 = 4 3 -5

, 5 -5 - 5 , .0 5 -5 ,

Luego, la inversa de la matriz A es : A '1 = — 1—10

/ XX

1" 10

2 -1 5/

Según la ecuación (13) : y 4 3 -5k z . . 0 5 -5,

5-5

■5J

293

10

102030

Por tanto, el conjunto solución del sistema es :

S = {(1,2, 3)}

El siguiente teorema establece una fórmula para resolver un sistema de n ecuaciones en n cógnitas. La fórmula en cuestión se conoce con el nombre de Regla de Cramer.

T EO R EM A 9.4 REG LA DE C R A M ER

Si AX = B es un sistema de n ecuaciones en n incógnitas tal que D(A) * 0, entonces el sistema tiene solución única y esta dada por

x, = B ! D(A)

. x = D(AJD(A)

x -" D(A)

donde Aj es la matriz que se obtiene al reemplazar los elementos de la j-ésima columna de A por los elementos de la matriz.

b,b..

B =

D e m o s tr a c ió n . Sea el sistema :

546 Capítulo 9: Determinantes

a,, X, + a^ Xg+ amXn = bt

+ a2nXn = b2

a_, x. + ann xn = bnn n n

Si D(A) * O, entonces A es inversible y, por la ecuación (12), X = A*1 B es la solución

única de AX = B. Luego :

X = A 1 B =| — I adj (A) . B =1

UAI

Í A „ a 21 ....- A„i ] b’ 1K A * ...- An2 b2• • • •• • • •• • • •

a 2„ Ann

multiplicando las matrices obtenemos

X = IAI

bi An + b2 Aj, + bi A 12 + b2 A^ +

+ bn A n,

+ bn A„2

U , A,n + b2 A2n + .... + bnA nn

Por tanto, el elemento de la fila j-ésima de X es

bi A „ + b2 A2i + ........ + bn An,X , = D(A)

donde el numerador es el desarrollo del determinante de la matriz A obtenida a

partir de A, sutituyendo la j-ésima columna.

' a >, ’/ \

bi• •

• por el vector •

• •

. 3n, . , bn >

En consecuencia, para j = 1, 2, 3 ,...... . n

_____QIA1_(14)

547

ejemplo 3 ^ Aplicando la regla de Cramer, resolver el sistema :

x, - 2 x2 + 3x3 = 2

2x, - 3x2 + x3 = 1

x2 + 2 x3 = 93x,

Solución . La matriz de los coeficientes es

A =1 -2 32 -3 1

3 - 1 2D(A) = 1(-6 + 1) + 2 (4 - 3) + 3 (-2 + 9) = 1 8

2 - 2 3 1 2 3 1 -2 2D(A.) = 1 -3 1 = 54 ; D(A2) = 2 1 1 = 36 ; D(A3) = 2 -3 1

9 - 1 2 3 9 2 3 - 1 9

Por lo tanto, haciendo uso de la fórmula (14) obtenemos :

- B > = 3D(A)

= m > = 2 .D(A)

x3= m ! =13 D(A)

= 18

Obsérvese que la columna

••• S = {(3, 2, 1)}

se desplaza de la primera a la segunda y

después a la tercera columna al resolver para x,, x2 y x3, respectivamente.

I Nota . La resolución de un sistema de n ecuaciones en n incógnitas mediante la

regla de Cramer, implica calcular n+1 determinantes de matrices de or­den n. Debido al gran número de operaciones aritméticas que deben efectuarse, la

regla de Cramer sólo es prática para el cálculo de x,, x2............ xn, cuando n espequeño. Cuando n > 4 se prefiere usar la ténica de la eliminación de Gauss.

Ejemplo 4 J Dado el sistema : Xx + y + z = 1

x + Xy + z = X

x + y + Xz = X2

Determinar los valores de X de modo que el sistema tenga solución única .

S o lu c ió n . El determinante de la matriz de coeficientes es :

548 Capítulo 9: Determinantes

• X 1 1 X+2 X+2 X+2 1 1 1D(A) = 1 X 1 = 1 X 1 II + 1 X 1

1 1 X 1 1 X 1 1 X

1 0 0= (X+2) 1 X-1 0 = (X+2) X-1 0 (X + 2) (X -

1 0 X-1 0 X-1

Según la regla de Carmer, e! sistema tendrá solución única si el D(A) * 0, esto es, si

X * -2 ó X * 1, o bien si X e R -{-2,1}

Veamos que sucede cuando X = -2 y X = 1

Para X = -2, la matriz aumentada del sistema es

-2 1 1 1 1 -2 1 -22F, + F2

1 -2 1 -21 -2 1 -2 F„ -2 1 1 1 0 -3 3 -3

, 1 1 -2 4.12

> 1 1 -2 4 , -F, + F3* 0 3 -3 6,

[ ^ -2 1 -2 'f 2 + f 3 0 -3 3 -3

, 0 0 0 3,= E

Como p(A) = 2 < p(E) = 3, el sistema es inconsistente, es decir, no existe solución.

Para X = 1, la matriz aumentada del sistema es

= E

En este caso, p(A) = p(E) = 1 < 3 (número de incógnitas), el sistema tiene infinitas

soluciones. El número de variables libres es 3 - 1 = 2, es decir, la solución del

sistema depende de dos parámetros. Si designamos a y=r, z=s =* x = 1-r-s, y el conjunto solución para X = 1 es :

' 1 1 1 1 ' ^ 1 1 1N

1

1 1 1 1 = 0 0 0 0

> 1 1 1 1 - 0 0 0 0'

S = {(1-r-s, r, s)}

[ Ejemplo 5 j Dado el sistema :

(2m+1)x my + (m+1)z = m-1

(m-2)x + (m-1)y + (m-2)z = m(2m-1)x + (m-1)y + (2m-1)z = m

Determinar para qué valores de m.

Stciión 9.5. Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 549

a) El sistema tiene solución única.

b) La solución del sistema depende de un parámetro.c) El sistema es inconsistente.

Solución . El determinante de la matriz de coeficiente es

2m+1 -m m+1 m -m m+1D(A) = m-2 m-1 m-2 = 0 m-1 m-2

2m-1 m-1 2m-1 0 m-1 2m-1

= m m-1 m-2

m-1 2m-1= m (m-1) 1 m-2

1 2m-1= m(m-1)(m+1)

a) Por la Regla de Cramer, el sistema tiene solución única si D(A) * 0, esto es, si m * 0, m *-1 , o bien si m € R - {0, -1,1}

Para m = 0, la matriz aumentada del sistema es

1 0 1 -2 -1 -2

1-1 -1 -1

-100 J

2F,+F.

F.+F„

'1 0 1 -1 ' 1 0 1 -10 -1 0 -2 -F +F, 0 -1 0 -2 = E

,0 -1 0 -1> . 0 0 0 1>

Como p(A) = 2 < p(E) = 3, el sistema es inconsistente

Para m=1, la matriz aumentada del sistema es

F.+F„3 -1 2 0 f

1 0 1 1-1 0 -1 1 -1 0 -1 1

> 1 0 1 1> . 3 -1 2 0 , 3F.+F.

Como p(A) = 2 < p(E) = 3, el sistema es inconsistente

Para m=-1, la matriz aumentada del sistema es

' 1 0 1 1'0 0 0 2

k 0 -1 -1 -3,

' 1 0 1 1 '0 -1 -1 -3

.0 0 0 2 j= E

-1 1 -3 -2

1-3 -2

-2-1-1J

-3F,+F'3F ,+F3

f -1 1 0 -2 ' -1 1 0 -20 -5 -3 5 f2-f3 0 -5 -3 50 -5 -3 5j l 0 0 0 0 J

= E

Como p(A) = p (E) = 2 < 3 (número de incógnitas), el sistema tiene infinitas soluciones. Numero de variables libres: 3 - 2 = 1

550 Capítulo 9: Determinantes

En consecuencia

b) El sistema depende de un parámetro si m = -1

c) El sistema es inconsistente para m = 0 y m = 1

EJE R C IC IO S . Grupo 56

En los ejercicos del 1 al 15, resolver el sistema dado por dos métodos :

a) Estableciendo la ecuación matricial AX = B.

b) Utilizando la regla de Cramer.

1. 5x - 9y = 17

3x - 8y = 5

4. 3x - 5y = 13 2x - 7y = 81

7. 2x + y - 3z = -2

x - 2y - 4z = 4

3x + 4y - 5z = -1

10. 3x - 4y - 6z = -16

4x - y - z = 5 x - 3y - 2z = -2

2. 3x + 7y = 25

4x + 5 y= 13

5. 2ax - 3by = 0 3ax - 6by = ab

8. 3x - y - 2z = 4

2x + y + 4z = 2

7x - 2y - z = 4

11. 3x + 4y- z = 1 4x + 6y + 2z = -3

2x - 2y - 5z = -2

13. 7x + 2y + 3z = 15 14. x + y - 2z = 65x - 3y + 2z = 15 2x + 3y - 7z = 16

10x - 11y + 5z = 36 5x + 2 y + z = 16

3. xCosb - ySenb = Cose xSenb + yCosb = Sene

6. xTgb + y = Sen(b+c) x - yTgb = Cos(b+c)

9. 2x - 5y + 2z = -2

4x + 6y - z = 23

2x + 7y + 4z = 24

12. 2x + 3y - z = 9 3x + 4y + 2z = 5

x - 6y - 5z = -9

15. 2ax - 3by + cz = 0 3ax - 6by + 5cz = 2abc

5ax - 4by + 2cz = 3abc

En los ejercicios del 16 al 24, investigúese la consistencia y hállese la solución

general de los siguientes sistemas :

16. x + ay + a2z = a3

x + by + b2z = b3

x + cy + c2z = c3

18. ax + by + z = 1

x + aby + z = b

x + by + az = 1

17. ax+ y + z = 4

x + by + z = 3

x + 2by + z = 4

19. x + ay + a2z = 1

x + ay + abz = a bx + a2y + a2bz = a2b

EJERCICIOS: Grupo 56 551

20. (a+3)x + y + 2z = a

ax + (a-1)y + z = 2a

3(a+1 )x + ay + (a+3)z = 3

22. 3ax + (2a+1)y + (a+1)z = a (2a-1)x + (2a-1)y + (a-2)z = a+1

(4a-1)x+ 3ay + 2az = 1

24. (5a+1)x+ 2ay + (4a+1)z = 1+a(4a-1)x + (a-1)y + (4a-1)z = -1

2(3a+1)x + 2ay + (5a+2)z = 2-a

26. 2(a+1)x + 3 y+ az = a+4

(4a-1)x + (a+1)y + (2a-1)z = 2a+2 (5a-4)x + (a+1)y + (3a-4)z = a-1

28. (3a-1 )x + 2ay + (3a+1 )z = 1

2ax+ 2ay + (3a+1)z = 1 (a+1)x + (a+1)y + 2(a+1)z = a2

21. ax + ay + (a+1)z = a

ax + ay + (a-1)z = a (a+1)x + ay + (2a+3)z = 1

23. 3mx + (3m-7)y+ (m-5)z = m-1 (2m-1 )x + (4m-1 )y + 2mz = m+1

4mx + (5m-7)y + (2m-5)z = 0

25. (2a+1 )x - ay - (a+1 )z = 2a

3ax - (2a-1)y - (3a-1)z = a + 1 (a+2)x - y - 2az = 2

27. mx + (2m-1)y + (m+2)z = 1

(m-1)y + (m-3)z = 1+m mx + (3m-2)y + (3m-1)z = 2-m

552

Re/puesta/ o Ejercicio/ Propue/to/

Grupo 1 J Coordenadas Rectangulares

1. x = 1 , y = 1 6. x = ± 4 , y = i 9. S = 7 , 10.

, 2. x = 3, y = -1 , 3. x = 3 , 4. x = -1 , 5. x = ± 4 , y = ±2 : 1 , 7 . S = {(2 , 3), (-2 , -3)} , 8. S = {(-2 ,-3), (3 , 2)}

l(-5/2, 9/2) , 11. x = -2 ó x = 6

R- como espacio vectorialGrupo 2 j

1. a) <-9,-5)2. a) (1 , -8} ,

s = 3/2 , c)6. m = 1 , n =

8. V = {<-2 , -5)

b) (17,-19) , c) (-16,9) , d) <6,-5/3) b) <1/2,-2) , c) (-2/3,3); 3. a) r = 4 , s = -3 , b) r = 1/2,

f lr . s , d) r = -2 , s = -10 ; 4. r = -2 , t = 3/2 ; 5. -2

1/2 ó m = -1 , n = 1/4 ; 7. X = (11/5,3),<-2, 4), (3,-5) , <3 ,4» ; 9. x = 5 , y =-9/2 ; 10. m = -1 ,n = -4

Representación geométrica de un vector en el planoGrupo 3 l

1. (3 ,9 ); 2. (-6,-2); 3. (-8,3); 4. (3 ,3 ); 5. (-4,3); 6. (2,-9)7. (12,-5); 8. (3,-2); 9. A(3/2 , 0), B(9/2 , 2); 10. -21; 11. A (-3, 7), B(4; 1)

12. (8 ,4 ) ó (64 ,2 ); 13. 8.

r vGrupo 4 J M agnitud y dirección de un vector en R :

1. V = 2\Í2<Cos 135°, Sen 135°); 2. V = 2(Cos 330°, Sen 330°)

3. V = 2(Cos 150°, Sen 150°); 4 . V = 2V5<Cos 240°, Sen 240°)

5. V = < 5/2, 5% 3/2); 6. V = < 8 ,±6 ); 7 . V = <-12,9); 8. V = V2<-1 f 2)

9. V = < 9 , ± 3 V 3 ) ; 10. V = < ± 3 , ± 3 \ 3 ) ; 11.

Respuestas a ejercicios propuestos 553

v Grupo 5 I Operaciones vectoriales

8. <-3, 9); 9

13. <-8/17,15/

18. 1 nT85;

. -2; 10. <-1/3,5/3); 11. P(-2,17/2); 12. P(-9,9)

'17); 14. <-4,3); 15. 5/3; 16. <7 a l3; 17. -7

19. 2<2\ 20. <14,0>

| Vectores paralelosGrupo 6

1. a) A I I B y sentido op

8. 2V 7 ; 9.

13. R(-3 , 2) ó

17. <1/2,-3/2);

20. A(14 , 22)

de sentido opuesto , b) A B y del mismo sentido , c) A11 B y de

jesto , d) A > fB ; 5. m = -1 ó m = 7/2 ; 6. m = 2 ; 7. a + b = 5 A = <±1 , ±2) ; 10. <-4,3); 11. VTÓ/ 5; 12. 1

R(7,-8 ); 14. 5/3; 15. -1 (4 8 ,3 1 ) ; 16. D(5 , 3), 2nT7

18. A(1 , -4) , B (8, -2) , C (-4,16), D(-3 , 2); 19. B P = (a/3, - aJ3) B(-12 , -4) , C(24 , 8); 21. 24

Producto escalar de vectoresGrupo 7 ]

11. u = <24/25,

17. 5Ó2VTÓ;

23. 5; 24. <5

28. B(7 , 3) , D

7/25); 12. m = 1 ó m = -9 ; 13. \2 ; 14. \3 ; 15. 2/3

18. 5; 19. 4 \2 ; 20. \4 1 y \3 8 ; 21. <19,22); 22. x = <5,4)

,1); 25. m = 5±2>/6; 26. | | < -3 ,4 > ; 27. C(8 , 7), D(4 , 11)

(6 ,5 ); 29. -7.5; 30. a) 7 5 , b) 27/2; 32. AM=<9/2,1>

Angulo entre dos vectoresGrupo 8 ]

1. 135°; 2.

9. V l29 y 7;

13. A = (2\'3-1

20. 3; 21. 0 =

v5/5; 3. 45°; 4. 120°; 5. 90°; 6. 135°; 7. -48; 8. 2V3

10. t = - 11A 11 ; 11. V Í9 y 7; 12. ||A|| =||B||

, 2 + \ '3 ); 15. m = 1 ; 16. InJQ ; 17. V8 + 2V3; 18. 13/2\133

are Cos(2/7); 22. B(14,22) , C(1/2 , 85/4) , D(-7/2 , 53/4).

Descomposición de vectoresGrupo 9 )

4. 1 /2 ; 5 l ( 3 + \ /3 ) ; 6 . 8 V 3 ; 7 . V 3 /3 ; 8 . 1 (3 - V3)O 2

9. s = l ( 3 - V 3 ) , t = - 4 - (3 + V3) , I I A - B II = 3 + V 3 ; 10. -1/36 o

11. m = 3/7 , n = 4/21 ; 12. 4/5; 13. 1; 14. 2/3; 15. Á E = 2 v + u . B E = 2 v - 2 u

554 Respuestas a ejercicios propuestos

Grupo 1 0 J Proyección ortogonal________________________________ '

2. V V F F ; 3. 5; 4. <3 + V 3 , 1 - V3>; 5. -2V29; 6. -40; 7. 5/2; 8. 14

9. 90/2-1); 10. V 69 ; 11. p + q + r; 12. J r (c2 - a2 - fe2) ; 13. 5V2; 14. 12/52b f

15. F F V V ; 16. VTO; 17. 45°; 18. 12 Cosa + 3 C o sp ; 19. 10; 20. (-2,-2)

21. r =-21/5, s = 14/5; 22. b) ProyBA = <-12/5 , 9/5) , CompAÍB = -2V5

23. A(-3 , 5) , B(5 , 13) , C(7 , -9); 24. (-8/5 , 4/5); 25. | ÁC y - ^ ÁCX

26. 0 0 = ^ u - | v ; 27. 25; 28. 10a; 29. <312 \ 30. 9a/2; 31. 2Sa/2

32. (2 6 \5 + 53)a ; 33. 8\5 ; 34. 32 ; 35. A = (-6 , -3); 36. 4\'3/3

37. a) <3,W3) , b) 6<1 , <3) ; 39. a) B(6 , 2) , b) M(-3 , 1), N(-1 , -5), R(5 , 3)

! Grupo 11 J Area del paralelogramo y del triángulo

1. 9 u2 ; 2. 24.5 u2 ; 3. 18.5 u2 ; 4. 11 u2 ; 5. D(5 , -3), 20 u26. D(-4 , -1) , 10 uz ; 7. D(-2 , -1) , 18 u2 ; 8. D(4 , 8) , 20 u2 ; 9. 8 u2

10. 22 u2; 11. 21 u2 ; 12. 26 u2 ; 13. 39.5 u2 ; 14. 40 u2 ; 15. 66 u2

16. k = -1 ó k = 10 ; 17. 12 u2 ; 18. 10u2 ; 19. C(4 , -8) ó C(9/4 , -9/2)20. A(10 , 3) ó A (4 , 0) ; 21. 14 u2; 22. 0; 23. -36; 24. P(23/3 , 31/3), B (5 , 15)

25. D(-5 , 0) ; 26. <3/2 , 3/2) , 20 u2

Grupo 1 2 J Dependencia e Independencia lineal de vectores

1. m = 0 , m = 1 ; 2. m = -6 ; 3. m = 1 , m = -3 ; 4. m = 7/2

6. a) m e R - {5/9} , b) m e R -{-1 ,7/2}; 7. F F F V ; 8. 7; 9. <3,5)

10. <1/5,7/5); 11. F V F ; 12. r = 5/11 , s = 30/11; 14. F V F ; 15. (1,9)16. 1; 17. 1; 18. 3/2; 19. -4; 20. 5/4; 21. 9/8; 22. 1; 23. a) 10/11

y 4/11 , b) a(AAPD) = 40 u2; 24. m =-2 , n = 1/3 ; 25. b) r = -2 , s = 2

26. (n + 1); 27. m = -1/4 , n = 1 ; 28. M = ^ ÁD + -| ÁB

29. m = -2 , n = 2/3.

Grupo 1 4 J Los vectores y la física

1. 304.1 km , Oeste 25°17’ Norte ; 2. 20.9 m , Oeste 21°30’ Sur3. 18 km/h , Oeste 56° 10’ Norte ; 4. Debe seguir una trayectoria rectilínea

Respuestas a ejercicios propuestos 555

formando un ángulo de 34°28’ con la dirección de la corriente , t = 1 h 25m.

5. (2000/3)m , 36°52'; 6. 20.6m , Este 60°15 S u r ; 7. 10°51’ , 16.6 kg

8. R = 7(-18 ,37) , w = 14 unidades ; 9. F, = 50<2/V21 ,1) , F2 = 50<-2A21 , 1)

10. F2= 148 (0 ,1 ), F, = 63(-1 , 0); 11. 150 kg. , 150V3kg.

12. 360 \3 kg , 180\3kg. ; 13. 245(1 +V3)kg , 200(1 + V3)kg.

Grupo 1 5 J Recta que pasa por dos puntos. Segmentos de recta. División de un segmento en una razón dada.

1. a) i ? : P = <4 , -2) + 1<0 , 5) ; x = 4 , y = - 2 + 5tb) <£ : P = <-7, 2) + 1<4 , -3) ; x = -7 + 4t , y = 2 - 3t

2. a) S(2 , -1) y T(7 , -8) ; b) S(-2/3 , 5) y T(5/3 , 3)

3. P = <2 , 5) + r<4 , -6) , r e [0 , 1]; 4. P = <-2,4) + r<1 ,3) ,r e [0, 1]5. P = <4,4) + r<-1 ,3) , re [0, 1); 7. (0 , 0) , (3 , -8) , (6 ,-16) y (9 , -24)8. P(-3 , 4); 9. P(9 , 4); 10. P(-7 , 9); 11. 25; 12. D(3/2 , 2); 13. 3/5

14. P(13 , -30); 15. A(-2 , 3) , B(5 , 8) , C (6,-1); 16. C(2 , 8)

Grupo 1 6 J Puntos que están sobre una recta

1. S e i?"; 2. S í S"; 3. S e ü?; 4. Recta que pasa por P,(1 , 4), paralela al

vector a = <2 , -3); 5. Segmento de recta de extremos A(1 , 2) y B(2 , 3)6. Recta que pasa por P,(-3 , 4), paralela al vector a = <-1 , -2)

7. Recta que pasa por P,(2 , 0), paralela al vector a = <5 , -1)

8. a) J2?: (-5, 3) • <x, y -1) = 0 , b) J2?: <3 ,2) • <x + 1 , y) = 0

9. S i; 10. No; 11. Si; 12. k = 1 , k = -8; 13. k = ±4V3/3

14. P,(7, 1) , P2(1,-5); 15. P,(5 , -2) , P2(-3 , 2)

Grupo 1 7 J Pendiente de una recta

1. Coincidentes ; 2. Paralelas ; 3. Oblicuas ; 4. Perpendiculares ; 5. m = 3

6. -4; 7. ¿2?: <2 ,1 ) • (P- (2 , -2» = 0 ; 8. Tres; 9. 3) : P = <1 ,1) + 1<2 , 3), t e R 10. 2 ?:P = <8, 1) + t<-1 ,3), te R ; 11. 3.8; 12. m =-1/5 ; 13. a =2 14. <2?:P = <-3,1) + t<1 ,1 )te R ; 15. a) 3 = {<3 , 10) + 1<2 , 1)|te R} , b) <6,3)

16. a) ÁB = {<2 , -2) + 1<4 , 3 )11 e R} , b) CD = {<-2 , 0) + s<-3 , 4)| s e R} , h = 4

c) Cos0 = 1/VTÔ , d) J2?, = {<2,-2) + t< 4 -2V 5,3 + V5)> ,

3 \ = {<2 , -2) + s<4 + 2V5 , 3 - <5)}

556 Respuestas a ejercicios propuestos

Grupo 1 8 Miscelánea de Ejemplos Ilustrativos

1. k = -3 ó k =

5. 2x - 3y -18

7. C(-1 , 4) óir*

9. a) AC : x 11. 3?: P = (-1

5; 2. A(-5 , -1) , B(5 , 11) , C(-1 , -5); 3. S = 8/3 u2; 4. 7 u2

= 0 , 5x + y - 28 = 0 , 7x - 2y -12 = 0 ; 6. A (-5, 1), B(2 , 2), C(4 , -2)

C(27/5 , -12/5); 8. 3>: P = <1 , -1) + 1<-1 , 4), t e R

- 2y + 6 = 0 , b) C(6 , -6); 10. X : <-1 , 7)* [P - <5 , 0)] = 0

4) +t<2 , 1), te R ; 12. j?*:P = <4,1) + t(1 ,2 ) , te R

Distancia de un punto a una recta dadaGrupo 1 9 J

1. 4\3Ó/5; 2

6. P i(64,-44)

8. P(6 , 6); S

13. T \ P =<-2

15. B(-1 , 6), C

. 8/7; 3. k = 19/2 ó k = 8/9 ; 4. m = 1/2 ; 5. 12.8

, P2(4 , -4); 7. : 3x + 4y + 5 = 0 , 2 '2 : 3x + 4v -15 = 0

. 10^5; 10. 8; 12. k = -16 ó k = 88

3) + t< 1 ,2), te R ; 14. A(3 , 5) , B(9 , -1) , S = 18\/3 u2

(-5,1) , D(-2 , -1); 16. T(4 , 3); 17. 24

Intersección de rectasGrupo 2 0 j

1. P(16/5 , 7/5) ; 2. a = -1/8 ; 3. .2? = {<0 , 1>* (P - <14/11 ,1/11)) = 0}

4. .5? ; i • [ P - <-3 , 2)] = 0 ; 5. 1(1,3); 6. $ : P = <2/5 , 4/5) + s<4 , -3), s e R

7. <2?, : P = <7 , 0) + 1<9, -10) , t e R ; 8. 12; 9. (18/5,21/5)

10. #2 : <3 , 1). [P - <12 , 1)] = 0 ; 11. x + — - L =1 ; 12. a) 2 u 2 , 2 -6 ± 6V2 2 ± 2 \2

b) 23/41 y 29/37; 13. r/ '2 : P = <3 , -3) + s<5 , -3) ; 14. .^ = {<13,8) +

t<4 , 3 )11 e R} ó r£' = {<13 , 8) + s<1 , 0 ) l s e R}

Grupo 21 J Angulo entre dos rectas

1. a) 14/5, b) 11/2; 2. a) (8 , 32/3) , b) T : (-1 , 1) • [P - <8 , 32/3)] = 0

3. 2? = {<-1/5 , 7/5) • P = 0} ; 4. 90°; 5. <B : P = <4 ,8) + t<1 - <2, -3 - 2<2)

6. áf?:P = A + t(C + 2 B -3 A ) ; 7. Q(20/3 , 6) ; 8. a) A(-5 , -9), C(5 , 1), D(1 , 9)

b) <12,6); 9. í 5 = {<4 , 20) + r<1/\2 + 1/V37 , -1/V2 - 6\37)}

10. SP: P = <0,-2) + t< 2 ,1 ),te R ; 11. 2 ': P = t<-1 , 1), t e R ; 12. Q(18,4)

14. -35/3; 15. V : P = <4 , -8> + t<1 + <2 , W2 - \ 5 ) , t e R ; 16. ¿ ? : P = <5,-2) +

t<1 ,2). te R ; 17. b) Si P e C , W \ P = <1 ,1) + t< -2 V ÏQ + 3 \ 'Ï3 , 3V Ï3 + V Ï3)

t € R ; 18. 5? : P = (4 , -20) + t<V2 + \ 37 , -6^2 - \37) , t e R ; 19. 2/VÏ3

Respuestas a ejercicios propuestos 557

Grupo 2 2 J Vectores en el espacio

1. A = (6, 3 ,-3 ); 2. A(-3 ,2 ,-2 ) . B(-5 ,4 ,4 ) ; 3. A(5 , 1 . 1) , B(8 , -5 , 2)

4. V = (6 , -1 , -4); 7. X = <5 ,-12 , 10); 9. u = <4/5 , 0 , 3/5); 10. 7

11. (-1 .2 ,4 ) , (8 ,-4 ,-2 ); 12. ^ (AA + BB ’ + C C ’) ; 13. MA = -MC = - ± (a + 6)

MB = - MD = ^ (a - 6); 14. ÁC = < 3 ,6 ,9 ); 15. C(1 , 5 , 2) , D(3 , 2 , 1),

E(5,-1 ,0), F (7,-4,-1)

Grupo 2 3 J Dirección de un vector en el espacio

1. a) u = 1 (6 , 3 ,2 ), b) u = ^ < -1 2 , 3 ,-4); 2. a = 30° ó a = 150° ; 3. ±9/11

4. V = <3/14 , 3/7 , 1/7); 5. V = <21/5 , -7 , 28/5); 6. X = <± 5 , 5/V2 , -5h¡2)

7. X = <-5 , 10, 10); 8. X = < 9 ,18,-6); 9. V = <1 , -1 . V2) ó V = <1 , -1 , -V2)

10. P(± V3 , ± \ 3 , ± \ 3 ) ; 11. a) puede , b) no puede , c) puede12. a) no puede , b) puede , c) no puede.

Grupo 2 4 i E l producto escalar de dos vectores en el espacio

1. -240; 2. Un ejemplo : C = <10, -11 , -3); 3. 2 ; 4. -13; 5. 20; 6. 13

7. V = n<1 ,1 , 2), n e R- {0 } ; 8. u = ±<6 , 3 , 5)/V7Ó; 9. C = 1<-1 , -1 , 4),O

D = § <5 , -1 , 1); 10. A = <12 ,-10, 15); 11. m = - 1 ó m = 2

12. X = <-3 , 3 , 3); 13. 150°; 14. 15/7V85; 15. u = ± i <3 , 4 . 0)

16. B = <-6 , 0 , -8); 17. 3(\2 + \6) ; 19. V = <8 , 4 , 2); 20. X = <-4 , -6 , -12)

21 • C = ¿ < 2 4 . 0,-18) , D = ^L<51 ,5 ,6 8 ); 22. 5/2; 23. </= ± <o , 1 ,1)

24. V91/14; 25. 135°; 26. V6/6; 27. A = < 2 ,7 ,1 ) ; 28. m = 1 ó m = 5, m < f^ó m > 5 , 1 < m < 5 , A = <1 ,3 ,5 ) , B =<-18, 3 ,1 )

30. C=<1 ,0 , 1) ó C = <-1/3, 4/3,-1/3)

Grupo 2 5 ^ Proyección ortogonal y componentes

1. 3; 2. 10/3; 3. <16/5,32/5,0); 4. V3; 5. -3; 6. -5; 7. \ 4422/11

8- ± ^ < -7 ,-2 , 15); 9. 1/9; 10. V = <-2 , 4 , -4); 11. D(-7 , 6 ,-2)

558 Respuestas a ejercicios propuestos

12. a) H(2/29 , 119/29 , 112/29), b) D(83/29 , 110/29 . -50/29) , c) S = u2

Grupo 2 6 J Combinación lineal de vectores en R '

2. X = 0 ,1 , 2 ; 4. D = 2A - 3B + C ; 5. D = 2 A - 3 B + C , C = - 2 A + 3 B + D.

B = | a + 1 c - 1 d . A = | b - 1 c + 1 d ; 6. a) <1/2.0, 1/2),

b) <1 ,-1/2 , 1/2) ; 7. < 2 ,0 ,2 ); 8. E(-19 , 10 , -17) ; 9. A = -2 A 1+ A 2- A 3

10. <-2 ,-3/5 , 6/5) ; 12. <3/2 , -1 , -1/2)

Grupo 2 7 j E l producto vectorial

1. a) 2 A x B , b) A x C , c) 3 ; 2. a) 5 \3 u 2 , b) | V 3 5 u 2; 3. a) 5\^3 u2

b) 15 u2 ; 4. a) <17, -37 ,25) , b) < 3 ,14 ,5 ); 5. 3\2/2 ; 6. 50\2

7. 5; 8. <-6 , -24 , 8} ; 9. < 7 ,5 ,1>; 10. ± 1 (3 ,4 ,0 ) ; 11. <1,1,1)

12. m = 3 ; 13. m = 5 / 3 ,n = 1/3; 14. m = -2 ; 15. < 1 , -1 , -1 ) ; 16. 66

17. ± 3 0 ; 18. 12; 19. <8. -2 ,4 ) ; 20. <-2,12,10); 21. <0 ,9 ,6 )

22. n = A x B + B x C + C x A ; 29. a) 3 , b) V34/7 ; 30. 12/5

32. \66 , 1/V66 , -4/V66 , -7/\66

Grupo 2 8 ) E l producto mixto de vectores J ----- -----------------------------------

1. a) N o , b) S i; 3. k = 2 ; 6. r = R - {-V2, V2} ; 7. L. I. <=> ke R - {-2 ,1 , 3}

L. D. <=> k e {-2 , 1 , 3} ; 8. a) 6 , b) 3; 9. 80u 3;10. 4 u3 ; 11. h = 3\'2

12. h = 11 ; 13. m = 3 ó m = 5/2 ; 14. m = 17/11 ó m = -23/11; 15. 288 u3

16 3V2 ' 17 V = m(A-~-gl16. dS¿, l f. v (ABC)

Grupo 2 9 j Rectas en el espacio

1. i ? = {<1 , -2 , -3) + 1<1 , -1 , 5) 11 € R } ; 2. (9 ,-4 , 0) , (3 , 0 ,-2) , (0 , 2 ,-3)

3. A(2 , 3 , -6) , B(-2 ,6 ,-9 ); 4. (1 , 3 , -2) , (3 , 4 , -5) , (5 , 5, -8)

5. 2? = {<3 ,0 ,-1 ) + r<1 ,2,3)1 re R } ; 6. W : P =<-1 , 2, 4) + r<1 ,1 , 1>, re R

7. : P = <2 ,1 , -1) + 1<13,8, -8), t e R ; 8. : P = <2 ,-1 ,1) + 1<-1 , 11 ,16), t e R

10. m = 3 ; 11. 6 = are Cos í 3 8 ' ^ 2 ) =57°18’ ; 12. a = <V2/2 , 1/2 ,1/2),' 6 V9Ì 1

Respuestas a ejercicios propuestos 559

x = 2 + V 2 t , y = 1 + t , z = 1 + t ; 13. $ = {<4 , 2 , -7) + 1<22 , 56 , 1)}

14. ^ = {<0, 1 , 1) + t<1 ,0 , 1)1 te R } o # = {<0 ,1 , 1) + t(3 , -4 , -1)11 e R}

15. X - {<-1 ,-2,0 ) + t<-1 . 6 , 4)|te R} ; 16. 31 = {<3 , -1 , 1) + 1<0 , 13 , 3) 11 e R)

17. S? = {<2 , -1 , -3) + t<6 , -1 , -7)I te R} ; 18. X : * ± 1 - 'L 2 l = 1 ± 32 - 3 6

19. 31 \ * ± 1 = y + 5 _ z_^3 . 20 y :x = 2 t -5 , y = -3t-t-1 , z = 4tU ¿. - I

21. Q = (-9 , 74 , 25 + 16 V§) ; 22. a) = {<3, 3 ,1 )+ r<1 , -7, 8)> .

5f'2= {< 3 ,3 , 1)+r<-3, 1 ,0)} , b) 2?3= {<3 ,3 , 1) + 1<2 , 6 , 5)| t e R}

Aplicaciones de la recta en el espacio

7; 3. 5; 4. 4V2; 5. V l3 ; 6. V i l ; 7. d {% . , X ,) = -á =V21

c£ = {<-3/7 ,1 , -2/7) + 1<2 ,1 ,4)} ; 8. b) A(-1 ,4, -7), B (3 , 7,5) ,d(SBy, 2Q= 13

c) SB - {<-1 , 4 , -7) + 1<4 , 3 , 12)11 e R } ; 9. 25; 10. X = {<-2 , 1 , -3) +

t<2, 6,3)1 te R} ; 11. a) 13 , b) 3 , c) 7; 12. P(43/12 , 31/6 , 15/4)

13. SBy = {<3 , 4 , 0) + t<9 , 12 . 20)} , = {<3 , 4 , 0) + s<9 , 12 , -20)}

14. Q0(1 ,1 ,1 ) , P0(3/2, 1 , 1/2) , Sf = {<3/2 , 1 , 1/2) + t<1 ,0 ,-1 )}

Grupo 31 J Planos en el espacio

1. x - y - 3z + 2 = 0; 2. x + 4y + 7 z + 1 6 = 0; 3. 3x + 3y + z - 8 = 0

4. 43x + 3y - 14z - 34 = 0 ; 5. m = 6; 6. x + 2 z -4 = 0; 8. 7 x - y -5 z = 0

9. a = 3 , ¿> = -23; 10. A = -3 ,B = 9/2; 11. 4 x - y -2 z -9 = 0; 12. x + y - z + 3 = 0

13. x -1 0 y - 17z-43 = 0; 14. 3 x - 2 y - 5 = 0; 15. a = -6 , ¿» = 3/2

17. x + 2 y + z - 1 8 = 0; 18. x -11y + 7 z - 1 = 0 /

Grupo 3 2 J Distancia de un punto a un plano

1. a) 2 , b) 6 , c) 6; 2. a) 6.5 , b) 5/6 , c) 1/2; 3. 8 u2 ; 4. 6

5. x - 3y + 5z ± 3 \'35 = 0 ; 6. 2x - 2y - z ± 18 = 0 ; 7. 20x - 12y + 4z + 13 = 0

8. 3x - 6y + 7z + 2 = 0 , x + 4y + 3z + 4 = 0 ; 9. 4; 10. Q(-28 ,-16 , 31)

Grupo 3 0 j

1. V34/7 ; 2.

560 Respuestas a ejercicios propuestos

Grupo 33 J Intersecciones de planos

1. a) P = <1 ,0.4/3) + t<-9, 6,2), b) P = (1 ,3,0) + 1(-1 , 1 , -2), c) P = <2,-1,0)+

t<2 .1 , -1 ) ; 2. x - 4 y - 1 3 z -12 = 0; 3. m = -2; 4. 15x - 5y - 3z + 2 = 05. V = 1/6 la = 8 u 3 ; 6. 2x - y - 3z - 15 = 0 ; 7. x - 3 y - 2 z + 2 = 0

8. a) - 4 , b ) 9 , c ) 3; 9. x + y + z + 5 = 0; 10. x + y + z + 1 = 0 , x - y + z - 3 = 0

x + y - z - 5 = 0 ; 11. 25; 12. 240 u2

Grupo 3 4 J Fam ilia de planos que pasan por la intersección de dos planos

1. x -2y + z - 2 = 0 , x - 5y + 4z - 20 = 0; 2. 2 x - 3 y - 6 z + 19 = 0; 3. m = -5,n = -11

4. No pertenece ; 5. La recta de intersección de los planos I*, y I»2 es paralela

al vector V = (7 , 9 , 17); por lo tanto , a la condición del problema satisfacen

todos los planos del haz de planos que pasan por esta recta.

6. 11 x - 2y -1 5z - 3 = 0; 7. 9x + 7y + 8z + 7 = 0; 8. x - 2y + z - 2 = 0, x - 5y + 4z = 20

9. 4x -3 y+ 6 z - 12 = 0 , 12x-49y + 6z + 21 = 0 ; 10. M está situado dentro del ángulo

obtuso; 11. 23x - y - 4z - 24 = 0 ; 12. a) 9y + 3z + 5 = 0,b) 3 x - 9 y - 7 = 0

J x-8y + 5z-3 = 0 . 1 4 / 7x*y + 1 = 0 . r 5x - z -1 = 0 01 v: N

t x + 2y + 3z-5 = 0 ’ ' L z = 0 ' t y = 0 ’

15. a) Sena = 1/VT5, M(1 ,-6 ,-4), b) 3x - y + 2z - 1 = 0 , c) { x + > ' z + 1 °L 3x - y + 2z -1 = 0

Grupo 3 5 J Miscelánea de ejemplos ilustrativos

1. 4x + 3y - 5z - 2 = 0 ; 2. Q(4 . 1 ,-3); 3. 9x + 13y - 7z -14 = 0

4. (0 ,-1 .2 ); 5. x + y + z + 8 = 0 ; 6. (2 ,1 ,1 ); 7. Q(-5,1 ,0 ); 8. Q (-5,1 ,0)

9. P(3 ,-4 ,0 ); 10. P(-1 ,3 ,-2 ); 11. A = -3 , B = 9/2 ; 12. a = -6 ,C = 3/2

13. x - 8y - 13z + 9 = 0; 15. 9x + 11y + 5z -16 = 0 ; 17. x = 28 - 7.5t , y =-30 +

8t , z = -27 + 6t , a) P(-2 ,2 ,-3 ) , b) desde t, = 0 hasta t2 = 4 , c) M0P = 50

19. V6/3; 20. x - 1 = 0 , x - 4>/3 y - (1 + 12 \3) = 0 ; 21. x ± \3 y - (2 ± \3) = 0

22. 5x + 5y + (8±3V6)z-20 = 0; 23. # : ^ ; 24. (2 ,-3 ,-5)b -o y25. Q(1 , 2 , - 2 ) ; 26. Q(1 , - 6 ,3 )

Respuestas a ejercicios propuestos 561

Grupo 3 6 J E l conjunto de los números complejos

1. a)

COII>>C\JIIX b) x = 3, y 11 ro x = -4/11 , y = 5/11 ; d) x = 2/5,y = -1/5

e) x = -13/7 , y = 5/7 ; t) x = 1/3 , y = 1/4 ; g) x = 2 , y = -3

2. a) z = (1 , -12), CT N II O , c) z = (1 , 1). d) z = (1/2, 3/2), e) z = (-1/2, 3/2)

3. a) z = 2 + i , b) z = 5 - 4i , c) z = -1 + 0i , d) z =- f f +0i

7. V = (2 ,-2) , Z31= (1/4, 1/4); 8. a) -3/25 , b) -9/17; 9. Im(z) = -3; 10. 1

11. V = (-2/17,-9/17); 12. z == (17/100 , -6/100); 13. z = - — + — ¡ 16 16

14. a)

C\J+coIIN b) z = 672(-1 + i) , c) z = 8 - 2i.d ) ;z = 0 + ín 6 ; 15. x2 + y2 = 1

16. W := 2 + (1 + V3)i , z = 1 + (1 - >/3)i; 17. a) z = (-1 , 6) , b) z, = (-4 , 8)

18. 1 ; ÍO 0 cn

ii S = i ; 21. a) 1 , b) -1 ; 22. z = 1 + i , w = i

23. z =3 5 (3 7 ’73)

. w = £ < 8 .-15); 24. z == 2 + 3i , w = 1 - i ; 25. z = ± \y¡2 ,

W := i( -1 ± ii/ 3 ) , v = -1 ± i ; 26. z = 1 , w = i , v = 2i ; 27. z = 3 + 2 i, w = 4 - i

28. Z = 2 + i , w = 1 - 2 i; 29. z = 1 , w = i ; 30. z = 2 + i , w = 2 - i ; 31. z = 1 - i ,

W == -1 -i, v = 3; 32. z = 2 - i , w = -2 + i , v = -1 + i ; 33. z = i,w = 2 i,v = 2 -3 i

Grupo 3 7 J Módulo y raíz cuadrada de un número complejo

1. V2/2 ; 2. V2; 3. 4 ¡; 4. V370/5 ; 5. 3/5; 6. w = (1 , 2) , z = (3 ,-1)

7. z = (3/4,1); 8. z3 = (7 + 2\3 , 4 + 3^3) ó z3 = (7 - 2V3 , 4 - 3V3)

9. (3,2) ó (3 .8); 10. (7/8 , 7/8); 11. z = (2,-2); 12. z3 = (6 , 5) ó z3 = (-4, 1)

26. a) w = ± (1 - 4i) , b) w = ± (2 - i) , c) w = ± (5 + 6i) , d) w = ± (1 + 3 i) ,

e) w = ± (4 + 3i) , f) w = ± (1 - 3i) , g) w = ± ( \ 2 - \ 3 + i \2 + \3) ,

h) w = ± (4 + 3i) , i) w = ± (\3 + 2i) ; 27. a) z, = 1 + 2i , z2 = 1 - i ;

b) z, = 3 - i , z2 = -1 + 2 i ; c) z, = 2 + i , z2 = 1 - 3 i ; d) z, = 1 - i , z2 = | (2 - i)

Grupo 3 8 J Lugares geométricos en C

1. Eje imaginario para y < 0 ; 2. Parábola y2 = 4(x + 1); 3. Circunferencia de

centro Q(-1 ,0) y r =1 ; 4. Circunferencia de centro Q(-2 , 0) y r = 2

5. Circunferencia de centro Q(2 , -1) y r = 2 ; 6. Mediatriz del segmento z,z2

7. Una recta : 4x + 2y + 3 = 0 ; 8. Hipérbola equilátera : xy = 2 ; 9. Parábola:

x2 = 2y + 1; 10. Elipse con focos en F,(1 ,2) y F2(-1 ,2), semiejes, a = 4, b = 2\3

562 Respuestas a ejercicios propuestos

11. Circunferencia de centro Q(-1 , 1/2) y r = 3/2 ; 12. Elipse: 4 x2 + 3y2 = 12

■j . x2 * y2 2y13. a) Re(w)= —— ^ 2 , Im(w)= —— ; b) Circunferencia de centro Q(1/2,0)

14. Mediatriz :2 x -3 y + 5 = 0 ;1 5 . El interior y el borde de la circunferencia de radio

1 y centro Q (0 ,1); 16. El interior de la circunferencia de radio 1 y centro Q(1 ,1)

17. El interior y el borde de la elipse con focos en F,(2 , 0) y F2(-4 , 0), semiejes :

a = 5 y b = 4; 18. La franja-1 < y < 0 ; 19. Interior de la rama izquierda de

la hipérbola de focos F,(2 , 0) y F2(-2 , 0), semieje real a = 3/2

20. Interior de I z - i I = \2 y I z + i I = \2 , excepto la región común

21. Anillo encerrado entre las circunferencias : (x + 2)2 + y2 = 1 y /í?2: (x + 2)2 +

y 2 = 4 , f t no pertenece al anillo ; 22. La parábola D = {(x , y) I y2 > 1 - 2x}

23. El interior y el borde de las dos ramas de la hipérbola de centro Q(0 , 0) y

semiejes : a = 2 y b = \'5 , focos : F,(0 , 4) y F2(0 , -2) ; 24. El interior de

las dos ramas de la hipérbola con centro en Q(1 , 2) y focos en F,(-3 , 5) y

F2(5 , -1), semiejes : a = 4 , b = 3 ; 25. El semiplano superior y el borde de

la recta x + 4y = -4 ; 26. Región comprendida en el interior y borde de la

circunferencia V ,: (x - 2)2 + (y + 2)2 = 8 y la parte exterior a la circunferencia,

: (x - 1 )2 + (y + 1 )2 = 2 , excepto el origen y el borde de

31. En el interior de la circunferencia de centro (0 , 0) y radio r = 5

32. Parábola : y 2 = 4(1 - x)

Grupo 3 9 j Forma polar de un número complejo

1. z = 12 Cis 30°; 2. z = 6 Cis 300°; 3. z = Cis 150°; 4. z = 10 Cis 210°

5. z = 8 Cis 120° ; 6. z = 4 Cis 315°; 7. -1 - i ; 8. 1(1 + ¡V3); 9. 1 {-<2 + i <2)

10. l ( V 3 - i ) ; 11. 2(1 + i V 3 ); 12. a) z = \2 - \3 Cis 75° , b) z = IC osec0 l

Cis (270°-6); 13. .672 V2 Cis(37t/4); 14. i Cosec 0 ; 15. z = 4 Cis(1l7i/12)

Grupo 4 0 j Potenciación de números complejos

1. 1(-1 - i V3); 2. 1 ( - 1 + H 3 ) ; 3. 29(1 -¡V3); 4. (2 - V3)12 + O i; 5. 0 - 2 ,6i

6. 1 + 0 i ; 7. 0 + 64¡ ; 8. -64 + Oi ; 9. - 1 + 0 i ; 10. 1 + Oi ; 11. -e^ + Oi

12. 840 + 0i; 13. -V3 + i ; 14. - 1 +0 i ; 15. 1 - ¡V 3 ; 16. 1 + i ; 17. 2 ’9

18. Cis(n tc/3) ; 19. -Cos 6x + i Sen 6x ; 20. a) 1 (Cos 4x - 4 Cos 2x + 3),O

Respuestas a ejercicios propuestos 563

b) ^ (Cos 6x + 6 Cos 4x + 15 Cos 2x +10) , c) (- Sen 7x + 7 Sen 5x -

21 Sen 3x + 35 Sen x) , d) — (Cos 7x + 7 Cos 5x + 21 Cos 3x + 35 Cos x)64

21. a) Cos5x - 10 Cos3x Sen2x + 5 Cos x Sen4x

b) Cos8x - 28 Cos6x Sen2x + 70 Cos4x Sen4x - 28 Cos2x Sen6x + Sen8x

c) 5 Senx Cos4x -10 Sen3x C o s2x + Sen5x

d) 7 C os6x Senx - 35 Cos4x Sen3x + 21 C os2x Sensx - Sen7x

23. 0 = krc ó 0 = k7t - 7t/2 ; 24. {(o , 0) , - L (1 , V3)} ; 25. a) —j- (-1 +- V3) ,64 32

b> b - * - *

Grupo 41 J Radicación de números complejos

1. ± (V3 + i), ± (-1 + i\ 3); 2. 2 i ,W3- i , V3-i ; 3. 2 C ís^ - 71) , k = 0, 1,2,3,4

4. 2 Cís(5jc/9), 2 Cis(11 ti/9), 2 Cis(17nJ9) ;5. ^ + l ¡ . - ^ + l ¡ . - ^ - l i , ^ - l i

6. 2 Cis(77i/30) , 2 C ís(19tc/30) , 2 Cis(3l7t/30) , 2 Cis(43n/30) , "3 - i

7. (1/'\2) C is|— i 5 k71) , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; 8. ( 1 / ^ ) Cis ( 1- ^ L ^ 24k7t)

k = 0, 1 , 2 , 3 , 4 . 5 , 6 , 7 ; 9. (1/^2) Cis ( 1 ^ L ± J ^ M ) k = 0 i i i 2 t3 , 4 , 5

10. "‘2 Cis (7I-t 4284kK ) , k = 0 , 1 , 2 , 3 ; 11. a) 0 , b) 0; 13. {2 + 3 i,-3 + 2i}

14. { 1 + i , 2 + i}; 15. {0, 1 + i , 1 + i } ; 16. {-1 + i , -3 - 4i>

17. { ± (1 + V3) , ±(-V3 + i)} ; 18. wk = 2 Cis|240_±_2k7i j k = 0 , 1 , 2

19. {1 ,-2, 1(-1 ± \ 3 i ) , 1 ± i \ 3 } ; 20. wk = \~12 Cis -Q + , k = 0 , 1 ,2

21• { * O í r ) ■ ; 22- « 1 ± w 5 » • (-i ±>^3)>

23. ± ( V ^

24. {1 ,-1 / 3 ,-1 (1 ± 2 i) } ; 25. wk= V6 Cis(kn/2) ó wk = Cis ( - ± - ^ 7í),

k = 0 , 1, 2 ,3 ; 26. wk = 2 Cis 2 + 2k7t) - 3 , k = 0 , 1 , 2 , 3

564 Respuestas a ejercicios propuestos

27. {3, I (-1 ± 7¡)>; 28. {¡,-7 ¡/2}; 30. a) S ic o = 1 => S = | ( n + 1),

si co 5* 1 <=> S = , b) Si co = 1 c=> S = ^ (n + 1) (2n + 1), si co * 1

s n2co2 - 2 n(n + 1)co + n(n + 2 )" (co - 1)3

Grupo 42 j Miscelánea de Ejemplos Ilustra íh

1. ^ (e“*'3) ; 2. z = 2 '21(-1 + i V 3 ) ; 3. ~ (Cos 4x + 4 Cos 2x + 3);

4. 16 Cos4x -12 Cos2x + 1 ; 5. a) w0 = Cis 70° , w, = Cis 190° , w? = Cis 310C

b) w0 = i,w, = | + (1 + ^ ) i , w2 = - | +(1 - ^ ) i ; c) w0 = 2 Cis 100°

w, = 2 Cis 220° , w2 = 2 Cis 340°, d) ^ (1 ± i) ; 6. \2 , -2 >Í2 , V2

10. b) t = Tg(|) = a /-1 ‘ Cose . t1 >/5/5 ; 13. a) v , b) v; 14. -2’9v 1 + Cos 0

17. Re (z) = 1 Cotg ( J L + , im(Z) = - 1 ; 18. 2/p osnx ; 20. -2w 2 a V 4n n / v ' 2 Cos"x

f nn) , • 27 C0S I[a + | IX ] Sen |

( ■ ? )1 6 J Cos (x/2)

21. b) 32 ; 23. 2n s ( n n \ ; 27. __ t \ 2 / J_V 2 / s ¡ n es par3 <n - 1V2 * “ “ ‘

Sen [a + x l Cosf-^-)------------- — ----------------- , s in es impar; 28. 2n CosnfM Sen ) x

Cos (x/2) \ 2 l \ 2 I

29. a) 2 "Sen"(|) Cos [ nTt' * 2) * ] . b) 2 "Sen "(| ) Sen [ ( n 2 ) gX ~n,t]

S e n (ü ± ^ )x C o s ( ! f )30 H . Sen 4x_ . 34 ------ 2 ----------- \_2_/ n ¡mpa r .

2 4 Sen 2 x Cos (x/2)

Cos ( 0 | J ) x S e n ( M ), npar; 37. S = Tg"xCos(3rcn/2); 38. S e n | ^ - j

Cos (x/2)

39. 1/2; 41. 0, ^ , 4 ^ 4 ,co = ei2n/5; 42. X (¡J)Sen(n- k)ü =(0+1 (O2 + 1 ID-+1 (0+1 k = 0

- ) Cos n f — - i )W 2 / \4 2 /

Sen46. P(z) = — c (e/2) ~ Cis( ~2~ ) ’ 47* a) 2nSenn(0/2) Cos (n8/2), n par,

Respuestas a ejercicios propuestos 565

2n Senn (0/2) Sen(n0/2) , n impar; b) -2n Senn(0/2) Cos(n0/2) , n par ,

2nSenn(0/2) Cos(n0/2) , n impar.-

Grupo 4 3 J Matrices

3 5] ri 0 -1] ri 2 3 4]/

1. a) A = 4 6 , b) B = 3 2 1 , c) C = 2 2 3 4 , d) D =

15 7J [7 6 5J [3 3 3 4,

f-9 101 ’29 -4 'l[7 -4 J

5. a) X = >-6 28 J, b) X =

3 1 3)5 3 5 9 7 9

U 7 15 17J

6 10.5'' 3

6. X =4 7 - 1 ' 6 1 6

1 5 0 4 , : i ) ■ v ' ( i . : )

Grupo 4 4 J Propiedades de ¡a multiplicación de matrices

' 5 '

1. a) ^ ° j , b) ^5 í 2- fl = 1 , ¿ = -6 , c = 0 , á = -2; 3. 6; 4. 0

,35.

y. * i¿ ;m ,i ¡ a >»21 -23 15'

-13 34 10 -9 22 25

11. 28; 12. I3 ; 13. B: 14. 512A; 15. 0; 16. 9 A ; 18. 282

a 2b19. a) B =

-3b a + 3bye R , b) B = í a ^ l . a . k R ; 20. -3

J 1-5 b a + 9b)

{ a b 1 , „ , . , l h 00 x f1 n<0 m fCosna -Senna-]21. , a , b e R . donde a 2 + be = 1 ; 22. a) , b)Le -a) l o 1 J LSenna CosnaJ

1 n | (n + 1) ' ’1 -n a (n -3 ) l

c) 0 1 • -n . d) 0 1 -n

.0 0 1 . .0 0 1 ,

, e) 2 A " ' 1

23. [ $ 17,450 $21 ,5 5 0 $ 14,575 $ 16,450]

566Respuestas a ejercicios propuestos

Grupo 45^1 Matrices cuadras especiales

4 . Í 1 ° j ; 5 . Í12 ' 2° Ì ; 6. a) í ’3 2 1. b) f 26 127l, c ) f*4 8 ]; 7 .f1° *7]l-n 1J 121 -6 J 1-1 -lJ 1254 661J ll2 -16J L 35 1 oJ

8.-2 15 -131

14 -3 7

.-8 9 -1

9.

21 8 7' 0 10 1 ' ' 4 -5 -7 3 '

5 18 -2 ; 10. -2 -11 9.5 ; 11. 0.5 -8.5 -9 -5

. 4 7 -1 .-9 2.5 -5.5- -4.5

. 4

-3.5

-3

0.5

-2

-3

0,

12. 2 y 23; 13. S = 2; 18. 4; 19. 21,; 20. 16; 22. 4; 26. -A; 27. 2

6 7 -3 ' a" n a n-' f (n -1 ) t f " - 2'

11; 30. 1/4 ; 31. 7 14 5 ; 32. 0 an na"*1

.-3 5 10, .0 0 a n .

'1-20

0 0 0 ' ' 1/2 0 0 0 ' 1 0 0' 'l/2 -2 7/2 -5/6

33.1-2

01

00 ; 34.

00

-10

01

00

; 35.00

10

-1-1

00

; 36.00

10

-3/21/2

-1/6-1/6

6 -1 -1 v-1/4 0 0 1/2, s0 0 0 -1y 0 0 ■ 0 1/3

Cfupo 4 6 ) Transformaciones elementales

1. < 1 1 -1Ì 2. '1 2 43 l

3. '1 -1 2 0 Ì 4. '1 0 4 -V

0 1 0 0 1 9 6 0 0 0 1 0 1 3 4

0 0 -1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0

.0 0 0 , .0 0 0 1 lo 0 0 0, lo 0 0 0 Jv ^ ,

7. 2 ; 8. 3 ; 9. 3; 10. 2; 11. 3; 12. 2 ; 13. f -1 -1 Ì; 14. Í3 -212 3J 15 -4,

'6 4 5 ' '1 2 3 '

; 17. 115. 2 1 2 ; 16. 4 5 6

.3 3 3 j 8 9

19.

22.

-1 x-ab a&c + a y -ex + 2Ì

0 1 b0 0 - 1

Lo 0 0

-3 3 - 3 2

3 - 4 4 - 2 -3 4 - 5 3

12 -2 3 - 2

-be - y

c 1

20 .

48 -38 75 Ì

72 108 423

-72 82 -75 J

r -7 5 12 1913 - 2 - 5 8

41 -30 -69 111

1-59 43 99 -159 )

18- 16

21.

23. '-115 110 -64 -18' 24. '1 1 1 1 '

1 50 -60 26 7 1 1 1 -1 -1

5 5 -10 6 2 4 1 -1 1 -1

■ . 10 -10 3 1 J ■1 -1 1.

9 2 -14

1 2 2 20 8 -8

r-1 3 -7 20' -7 -3 5-10 9 3 - 3 3

13 3 - 3 6

25. 1

Respuestas a ejercicios propuestos 567

Grupo 4 7 J Sistemas de ecuaciones lineales

1. X = (4 ,3 ,2 ) '; 2. X = (2 - 3 r , 4 + r , 2 - r , r)‘; 3. X = (-4 - 4 r , 5 + 5 r ,-1 - 2 r , r)'

4. X = (2 , -1 , 1)*; 5. X = (-1 ,3 ,-2 ) '; 6. X = (-1 , 5 ,-2)'; 7. X = (3 , 4 ,-2)'

8. X = ( -1 ,2 ,3 ) '; 9. X = (-12 , -18 , -5)'; 10. X = (-1 , 3 ,-2 , 2)‘

11. X = ( r , -13 + 3 r , -7 , 0)'; 12. Inconsistente; 13. Inconsistente

14. X = (2 - s , 3 + 2 s , -5 + 2s , s ) '; 15. X = (2 , 3,-1 ,-2)’ ; 16. X = (1 + s , s ,3 , -1 ) '

17. X = (-1 , 3 , - 2 , 2)'; 18. X = (3 , 2 , 4 ,-1)'; 19. X = ( r , s , r + s -1 , 3 ,-1)'

20. X = (1 , 2 r , r ,-3 s , s ) '; 21. Si ( X - 1) (X + 3 ) * 0 => X = (1 ,1 , 1 ,1)'A + o

f Si X = 3 , inconsistente. Si X = 1 <=> X = (1 - 1, - 12 , - 13 , t,, t2 , t3)'

22. Si X = 8 «=> X = (t,, 4 + 2 t, - 2 t2 , 3 - 2 12 , t2) ' . Si X * 8 ^ X = (0 , 4 - 2 1,,

3 - 2 t2 , t2) ' ; 23. Si X = -3 , inconsistente , si X = 0 => X = (1 - 1, - 12 , t,, t2)'

24. Si X * 0 , el sistema es inconsistente. Si X = 0 <=* X = (-3/2 , -5/2)'

25. X=t,(1 ,0,-5/2, 7/2)' + 12(0, 1 ,5,-7) ' ; 26. X = t,(1 , 0 , 0 , -9/4 , 3/4)1 +

t^O, 1, 0, -3/2 ,1 /2)' + 13(0,0.1,-2,1)'; 27. X = t,(-3,2,1, 0, 0 ) '+ t2(-5, 3, 0, 0,1)'

28. X = t,(-1 , 1 , 0 , 0 , 0)' + t2(6 , 0 , -5/2 ,1,3)»; 29. a) a = 2 , X = t,(1 , 0 , -2)‘

a = -4, X = t2(1 , -24/5 , 4/5)* , b) a = -1 , X = t,(-5 , 3 , 1/3 , 1)1

30. Las filas de la matriz A no lo forman , mientras que las filas de la matriz B sí. Si

el rango de la matriz de coeficientes de las incógnitas es igual a r , se debe

averiguar que : a) el rango de A (de B , respetivamente) es igual a 5 - r , b) las

filas de la matriz A (de B respectivamente) constituyen las soluciones del

sistema de partida.

31. X = (1/3,1/3,0,0,0)' + 1,(0, 1 ,1 ,0, 0)' + 12(0 ,1 ,0,1 ,0)' + y i/3 ,-5/3,0,0,1 )'

32. X = (1/3 , -1/3 , 0 , 0 , 0 , 0)' + t,(1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0)' + t2(-1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0)' +

y o , 0 ,0 . 1,1 ,o)' + t4(o, o, 0 , -1 , 0 , 1)'

33. X = (2/3 , 1/6 , 0 , 0 , 0)' + t,(0 , 1/2 , 1 , 0 , 0)' + t2(0 , -1/2 , 0 , 1 , 0 ) ' +

t3(1/3 , 5/6 , 0 , 0 , 1)'

34. X = (1, -1/2, 0, 0, 0)' + t,(0. -3/2, 1, 0, 0)' + t2(0, -2, 0, 1,0)' + 13(0, -5/2, 0, 0, 1)'

35. x = 3 , y = 4 , z = 4

Grupo 4 8 j Propiedades de los determinantes

1. 0; 2. -2; 3. Sen(a - p) + Sen(P - y) + Sen(y- a ) ; 4. abe + \(ab + be + ea)

5. a2 + P2 + / + 1 ; 6 . 0 ; 7. 3V3i; 8. a) x = -4±V22,b ) x eR ; 9. x 6 (-6 , -4)

13. Una parábola y = (x - a) (x- b)\ 14. 32; 15. 273; 16. -43; 17. -25218. -11,000; 19. -29 x1o5

56« Respuestas a ejercicios propuestos

i Grupo 4 9 j Existencia de los determinantes

1. 6; 2. 2; 3. 1; 4. 2; 5. -5; 6. -20; 7. 8; 8. 4; 9. 45; 10. 48

11. 223; 12. -38; 13. { 1 , 2 } ; 14. { 1 , 0 , 4 } ; 15. { 0 , 2 } ; 16. 8a + 156 + 12c - 19c/

17. 2 a - 8b + c + 5d] 18. a b e d ; 19. a b c d \ 20. x y z u v

! Grupo 5 0 ] Cálculo de determinantes de cualquier orden

1. {-4/3,3}; 2. {3/2,4}; 3. {2,5/2}; 4. {18}; 5. { - 3 ,2 ,4 } ; 6. {-10,-3}7. 0; 8. 6; 9. 704; 10. 665; 11. 394; 12. 5; 13. 1; 14. 1; 15. 1/3

16. 100; 17. 2 - 2 i ; 18. 6; 19. i; 20. 1; 21. 0; 22. Sen(c - a) Sen (c - b)Sen ( a - b ) ] 23. 0; 24. 3(a - b) (b - c) ( c -a) (a + b+c) (ab + ac+bc)

25. (ab + bc +ca ) \ +abc ; 26. (a -b) (b -c) (c -a) (a +b +c ) ; 27. -2(x3 + y 3)

28. 1 + a2 + b2+ c 2 ; 29. 4 ( a+b) (a + c) (b + c) \ 30. 4x2 y2 z231. (a2+ b2 + c2) (b - a) (c - a) (c-b) (a + b + c ) 32. x2 z2 ; 33. abed 34. ( a f - b e+ c d ) 2 \ 35. -3(x2 -1) (x2 - 4); 36. (a+b) ( a-b)3; 37. abed

38. k = -a2 ; 39. a = 1/2 ; 45. -a, a2 -----an (^- + + . . . . + J-J ; 46. n + 1

47. Cosn x ; 48. a, a , -an (-1 + + . . . . + 1 - ) ; 49. 2 " +1 -1i 2 " \ a t a2 anj

50. 1 ( 5 " * 1- 2 n + 1) ; 51. 9 - 2 n + 1 ; 52. 5(2n' ’) - 4(3n 1 )O

Grupo 51 ] Cálculo de determinantes mediante la reducción a la fo rm a

escalonada

1. 425; 2. 1; 3. 20; 4. 100; 5. 6; 6. 0; 7. 2; 8. -128; 9. -72

10. 275; 11. -8; 12. 48; 13. 2n + 1 ; 14. -2 (n-2)!;15. 1 [(x +a )n + (x-a)"]

16. .a i V . . . a n( ; l + 3 U -------- - i ) ; 17. b X K - - K

18. (x - x,) ( x - x 2) --- (x - xn) ; 19. £ [ 2a + (n - 1)h] a " ' 1; 20. (-1)n 1 (n + 1)2n 2

21- i r r ( T i ? 1 22- ( n - i ) ( - i r v - * ; 23. .a, ( J . + A + . . . . + ± )(x -1 )2

24. ÍL±1 + 4 ^ 1 ; 25. (-1)n-’x " -2 ; 26. (-1)n [ (x - 1)n- xn]1 - x (1 - x)2

27. (i, 2 8 . ¡ 29. o - x ^ -

30. (x - 1)n ; 31. (a - (3)n‘2 [Xa + (n -2) X(3- (n - 1)ab] ; 32. n(-1)«<n-’V2

Respuestas a ejercicios propuestos 569

33. (-1)ní"*1»«(nh)"-, I a + i ( n - 1 ) ] ; 34. (a0 + a, + a 2 + .... + a n)xn ; 35. 1

36. 2x3 y (x - y )6

Grupo 5 2 J Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes

1. 24; 2. 18; 3. (a + b + c + d) (a + b - c - d ) ( a - b+ c - d) ( a - b - c + d) \ 4. 256

5. 78,400; 6. 64; 7. 210; 8. 220; 9. ( be-cd)2 10. (a,a2- b, b2) (c , c2- d yd2)

Grupo 5 3 ) Rango de una matriz

1. 2; 2. 3; 3. 3; 4. 3; 5. 3; 6. 3; 7. P(A) = 2 si k = 0 y P(A) = 3 si k * 0

8. P(A) = 3 , V ke R ; 9. D(A) = 2 ( n - 1 ) ( n - 2 ) n' 1* 0 <=> n > 3

10. D(A) = (3x + 1) (1 - x)3 «=> D(A) = 0 <=> x = -1/3 , x = 1 ; 11. D(A) = (4x2 -1) «=>

D(A) = 0 <=> x = ± 1/2; 12. a) x e R - {0 , 2 , 3} , b) x = 0 ,x = 2 , x = 3

13. Si x * 0 , P(A) = 3 ; si x = 0 , P(A) = 2 ; 14. Si x = 3 , P(A) = 2 ; si x * 3 , P(A) = 3

15. P(A) = 4 , Vx e R - {-13 , 3} ; P(A) = 3 , para x = -13 , x = 3

v Grupo 5 4 J Inversa de una matriz de segundo orden

J; 6. 5ti/3; 7. B ’ A*1 D C11. S = 4 ; 2.

rtinIILU ± \’ 36 [

8. a) X = i ( 3 4 ] 37 -51J ’b) X

10.x = ( s e ) • - t í 3 =

14.X = ( s 4

]; 15. X" ( í

18. X II 1 _A. r>o ¿

] ; 19. E = 2 ' s

o) B = i [ '2) ' M i v

); 21.

4/3 -2/3'

> 2 -2/3.

; b) x, = 1, x 2 = 4 ;

a— « a

570 Respuestas a ejercicios propuestos

í Grupo 5 5 Inversa de una matriz (Método de la adjunta)

1.14 8 3 '

8 5 2 3 2 1.

-5 2 1

-1 0 1

7 - 1 - 5

1 -4 -3]

1 -5 -3

■1 6

2.

410.

'-5 4 -3 '

10 -7 6

.8 -6 5.

r 3 2 1- 1 4 2

U 3 5J

f 1 -3 11 -381

0 1 - 2 7

0 0 1 - 2 0 0 0 1 J

6- 7

8 -1 -3-5 1 2

110 -1 -4 J

1 7 10

5 10 03 - 4 5

n 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 -

11 -1 -1

8 .

12.

1 2 3' ’6 4 3' -3 2 0 '

W X II 4 5 6 nX

2 1 2 15. X = -4 5 -2 16. X =.7 8 9. .3 3 3, .-5 3 0 .

> 2 2 1 l 4 8! 6 18 J

r i -2 7

0 1 -210 0 1

2 -1 0 01-3 2 0 031 -19 3 -4

1-23 14 -2 3 J

1 1 1'

1 2 3

2 3 1

X - . 16

-225 -274 -76 ’ 14 -8 -1 '17. 366 446 122 —L OO X II -17 10 1 19. an' 1(l4| ) 20. S = 10

48 56 20. .-19 11 1.\ I A /

21. S = 2 ; 22. S = 5; 23. S = 5.1 ; 24. x X9n = -2, x = 0 ; 25.

C\JIIXIIX

26. x = k7T + 5 ; 27. x = 1 ,x = 4; 28. 3 A 1 V x e R , A 1 = — 16x? + 21

5x x2 - 9 15'

7 5x -6x

-x x2 + 6 -3,

29. D(A) = (a -b)(a -c)(c -b) , A ■’ =' a(b +c) -a -1 ' b(a + c) -b -1

c(a +6) -c -1.30. fl = 1 I 6 = 2 I d = 1 , í = 2

Grupo 56 J Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

1* { (7,2)} ; 2. {(-3,5)}; 3. {(Cos (c - b ) , Sen (c -6)} ; 4. {(16,7)}

5. {(-6 , -2¿í/3)} ; 6. {(Cosò Cose , Cos¿ Sene')} ; 7. {(2,-3, 1)}; 8. {(2, 6,-2)}

9. { ( 3 , 2 , 1 ) } ; 10. {(2 ,-2 ,5)}; 11. {(-2 , 3/2 .-1)} ; 12. {(-1 , 3 ,-2)}

13. { (2, - 1,1) } ; 14. {(3. 1,-1)}; 15. {(be ,ac ,ab)}

16. D(A) = (a - b ) (a - c) (c - b). Si a , b y c son todos distintos , x = a b c , z = a +b +c y = -(ab + be + ac). Si entre a , b y c hay dos iguales las soluciones dependen

de un parámetro. Si a = b = c las soluciones dependen de dos parámetros.

17. S(A)=¿>(1 -a). Siè(1 - a ) * 0 , x = ^ ± y = 1 z = 2ab jiA t±Ab(a -1) b ' b(a -1)

Respuestas a ejercicios propuestos 571

Si a = 1 , b = 1/2 , las soluciones dependen de un parámetro. Si b = 0 el sistema es inconsistente.

18. D(A) = f>(a-1)(a + 2 ) . S i D ( A ) * 0 , x = z = , , y = , , ah + * ' *(a-1)(a + 2) o(a - 1)(a + 2)

Si a = 1 , b = 1/2 , las soluciones dependen de un parámetro.Si b = 0 y a = -2 , el sistema es inconsistente.

19. D(A) = a(a - í>). Si D(A) * 0, x = 5 ^ - U , y = , 2 =b - a a(a-b) a(b-a)

Si a = b = 1 J a s soluciones dependen de dos parámetros.Si a = 0 , el sistema es inconsistente

20. D(A) = a2(a - 1). Para a = 0 y a = 1 el sistema es inconsistente21. D(A) = -2a. S i a * 0 , x = 1 - a , y = a , z = 0. S i a = 0 , x = 1 ,z = 0 , y = arbitrario.

22. D(A) = (a - 1 )2 (a + 1). Si a = 1 , la solución dependen de un parámetro. Si a = -1 el sistema es inconsistente.

23. D(A) = -m(m + 2). Para m = -2 y m = 0 el sistema es inconsistente.

24. D(A) = a(a - 1 )(a + 1). Si a = -1 y a = 1 , el sistema es inconsistente. Si a = 0, la solución depende de un parámetro.

25. D(A) = 3(a + 1)(a - 1)2 . Si a = -1 el sistema es inconsistente. Si a = 1 lasolución depende de dos parámetros.

26. D(A) = (a -1 )(a - 2)(a - 3). Si a = 2 y a = 3 el sistema es inconsistente. Si a = 1, la solución depende de un parámetro.

27. D(A) = m(m - 1) (m + 2). Si m = 1 , m = -2 , el sistema es inconsistente. Sim = 0 , la solución depende de un parámetro.

28. D(A) = (a - 1)2(a + 1). Si a = -1 , el sistema es inconsistente. Si a = 1 , lasolución depende de dos parámetros.

BIBLIOGRAFÍA

1. GEOMETRIA ANALÍTICA MODERNA (Wotton - Beckenbach - Fleming. Publicaciones Cultural

2. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA D. Klétenik. Editorial Latinoamericana

3. ANÁLISIS MATEMÁTICO Haaser - La Salle - Sullivan. Editorial Trillas

4. CÁLCULO Y ÁLGEBRA LINEAL Kaplan - Lewis. Editorial Limusa

5. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICAEdward - Penney. Editorial Prentice - Hall - Hispanoamericana

6. EL CÁLCULOLouis Leithold. Editorial Oxford

7. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Larson - Hosteteler. Editorial Me. Graw - Hill

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8. CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES CON ÁLGEBRA LINEAL Philip C. Curtis. Editorial Limusa

9. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA SUPERIORD. Fadcliéer y I. Sominski. Editorial Mir - Moscú

10. PROBLEMAS DE LAS MATEMÁTICAS SUPER IORES V. Bolgov - B. Deminovich. Editorial Mir - Moscú

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