Clase 1. Vectores y Matrices

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martes, 21 de abril de 2009 Hecho por M. Sc. Jorge Hernández Investigación de Operaciones 1. Vectores. 2. Matrices. 1

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Investigacin de Operaciones1. Vectores. 2. Matrices.

martes, 21 de abril de 2009

Hecho por M. Sc. Jorge Hernndez

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Investigacin de Operaciones.Vectores.Un vector es un arreglo ordenado de nmeros en forma lineal. Los nmeros que forman este arreglo se denominan componentes. Generalmente se denota con una letra minscula de esta manera:

v = ( v1 , v2 , v3 ,..., vn )

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Investigacin de Operaciones.Los hay lineales horizontales y lineales verticales. Los primeros se denominan vectores fila y los segundos vectores columna.

v = ( 2,3,5, 1, 0 ) vector fila

Ejemplos:

1 0 vetor columna v= 1 3Hecho por M. Sc. Jorge Hernndez 3

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Investigacin de OperacionesSuma de vectores:La suma de dos vectores v y w con el mismo nmero de componentes est definida por medio de

v + w = (v1 , v2 ,..., vn ) + ( w1 , w2 ,..., wn ) = (v1 + w1 , v2 + w2 ,...., vn + wn )

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Investigacion de Operaciones.Como se observ en la anterior lmina el resultado de la suma de vectores es un vector que contiene el mismo nmero de componentes de los vectores que se suman. Tambin, a manera de resumen la suma de vectores se realiza sumando las componentes en forma ordenada.

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Investigacin de Operaciones.Multiplicacin de un escalar por un vector.En adelante, un nmero cualquiera se denominar escalar. Entonces la multiplicacin de un escalar por un vector v est definida por medio de

v = (v1 , v2 ,..., vn ) = ( v1 , v2 ,..., vn )

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Investigacin de Operaciones.Producto escalar de vectores:Vamos a definir el producto escalar de dos vectores, uno fila v y otro columna w, con el mismo nmero de componentes, por medio de

w1 w2 v.w = ( v1 , v2 ,..., vn ) = v1.w1 + v2 .w2 + .. + vn .wn w nmartes, 21 de abril de 2009 Hecho por M. Sc. Jorge Hernndez 7

Investigacin de Operaciones.La ltima expresin usualmente se escribe como

v.w = vi wii =1

n

En esta expresin el smbolo denota la suma de las multiplicaciones de las componentes, el ndice i denota las componentes que se multiplican y n denota el total de componentes que se multiplican.martes, 21 de abril de 2009 Hecho por M. Sc. Jorge Hernndez 8

Investigacin de Operaciones.Algunos vectores de inters:Vector nulo

( 0, 0, 0,,, 0 ) (1 , 0 , . . . , 0 ) ( 0 ,1, ..., 0 ) ..... ...... ( 0 , 0 , ...,1) 9

Vectores cannicos o base cannica

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Investigacin de OperacionesMatrices.Una matriz es un arreglo tabular (rectangular o cuadrado) de nmeros . Cada uno de los elementos que la conforman se denominan componentes de l matriz. Se denotan con una letra mayscula de la siguiente manera a11 a12 . . a1n a21 a22 . . a2 n A= . . . . . . . . . . a m1 am 2 . . amn martes, 21 de abril de 2009 Hecho por M. Sc. Jorge Hernndez 10

Investigacin de Operaciones.En esta representacin tabular los elementos de la matriz ocupan una posicin determinada por una fila y una columna, esto es lo que significan los subndices, es decir el elemento

aijocupa la fila i y la columna j. En ocasiones una matriz se escribe como

A = ( aij )martes, 21 de abril de 2009

m,n i , j =111

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Investigacin de Operaciones.Suma de Matrices:Al igual que los vectores, la suma de matrices se realiza componente a componente, con el cuidado de que cada matriz debe tener el mismo nmero de componentes.

A + B = ( aij )

m,n i , j =1

+ ( bij )

m,n i , j =1

= ( aij + bij )

m,n i , j =1

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Investigacin de Operaciones.Multiplicacin de un escalar por una matriz:Al igual que en el caso de vectores, multiplicamos el escalar por cada componente de la matriz, de la siguiente manera:

A = ( aij )i , j =1 = ( aij )i , j =1m,n m,n

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Investigacin de Operaciones.Multiplicacin de Matrices:Dos matrices A y B se pueden multiplicar solo si el nmero de columnas de la primera es igual al nmero de filas de la segunda.

A B = ( aij )

m,n i , j =1

( bij )

n, p i , j =1

= ( cij )

m, p i , j =1

Cada elemento de la matriz C es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B:

cij = Fila i de A Columna j de Bmartes, 21 de abril de 2009 Hecho por M. Sc. Jorge Hernndez 14

Investigacin de Operaciones.Matrices de inters:0 0 . . 0 0 0 . . 0 0=. . . . . . . . . . 0 0 . . 0

Matriz Nula

Matriz identidad

1 0 . . 0 0 1 . . 0 Id = . . . . . . . . . . 0 0 . . 1 Hecho por M. Sc. Jorge Hernndez 15

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Investigacin de Operaciones.Representacin matricial de un sistema de ecuaciones:Un sistema de ecuaciones puede representarse por medio de una matriz de coeficientes, un vector de incgnitas y un vector de constantes.

A X = B

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Investigacin de Operaciones.La matriz A es del tipo a11 a21 A= . . a m1 a12 a22 . . am 2 . . . . . . a1n . a2 n . . . . . amn

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Investigacin de Operaciones. x1 x2 X = . . x n

El vector X es un vector del tipo

Y el vector B es del tipo

b1 b2 B= . . b n18

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Investigacin de Operaciones.De tal manera que significa

A X = Ba12 a22 . . am 2 . . a1n x1 b1 . . a2 n x2 b2 . . . . = . . . . . . . . amn xn bn 19

a11 a21 . . a m1martes, 21 de abril de 2009

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Investigacin de Operaciones.Esta representacin es equivalente a

a11 x1 + .... + a1n xn = b1 a x + .... + a x = b 2n n 2 21 1 . . am1 x1 + .... + amn xn = bn

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Investigacin de Operaciones.Fin de la clase. Gracias por su atencin. Jorge E. Hernndez H.

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