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UNIDAD MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Las matrices son uacutetiles para resolver sistemas de ecuaciones investigar problemas de transporte estudiar problemas de transporte etc

Historia

El origen de las matrices es muy antiguo Un cuadrado maacutegico 3 por 3 se registra en la literatura china hacia el 650 a C

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales Un importante texto matemaacutetico chino que proviene del antildeo 300 a C a 200 a C Nueve capiacutetulos sobre el Arte de las matemaacuteticas (Jiu Zhang Suan Shu) es el primer ejemplo conocido de uso del meacutetodo de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultaacuteneas En el capiacutetulo seacuteptimo Ni mucho ni poco el concepto de determinante aparecioacute por primera vez dos mil antildeos antes de su publicacioacuten por el matemaacutetico japoneacutes Seki Kowa en 1683 y el matemaacutetico alemaacuten Gottfried Leibniz en 1693

Los cuadrados maacutegicos eran conocidos por los matemaacuteticos aacuterabes posiblemente desde comienzos del siglo VII quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemaacuteticos y astroacutenomos de la India junto con otros aspectos de las matemaacuteticas combinatorias Todo esto sugiere que la idea provino de China Los primeros cuadrados maacutegicos de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983 en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasail Ihkwan al-Safa)

Despueacutes del desarrollo de la teoriacutea de determinantes por Seki Kowa y Leibniz a finales del siglo XVII Cramer presentoacute en 1750 la ahora denominada regla de Cramer Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminacioacuten de Gauss-Jordan en el siglo XIX

El teacutermino matriz fue acuntildeado en 1848 por J J Sylvester En 1853 Hamilton hizo algunos aportes a la teoriacutea de matrices Cayley introdujo en 1858 la notacioacuten matricial como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas Grassmann Frobenius y von Neumann estaacuten entre los matemaacuteticos famosos que trabajaron sobre la teoriacutea de matrices

Olga Taussky-Todd (1906-1995) durante la II Guerra Mundial usoacute la teoriacutea de matrices para investigar el fenoacutemeno de aeroelasticidad llamado fluttering

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DEFINICION Una matriz A es un arreglo o disposicioacuten rectangular de nuacutemeros Si el arreglo tiene m renglones (horizontales) y n columnas (verticales) entonces se llama matriz mxn Se dice que el tamantildeo o dimensioacuten es m por n

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

A

321

2232221

1131211

Donde los aij i = 1 2 3 4 m y j = 1 2 3 4 n son escalares de k Si los elemento aij son R se llama matriz real sino los aij son en este caso se

llama matriz compleja Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el nuacutemero de filas primero y el nuacutemero de columnas despueacutes Comuacutenmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m times n (orden tiene el significado de tamantildeo) Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos Una matriz se puede denotar por letras mayuacutesculas A B C o por los

elementos aij entre corchete o entre pareacutentesis ( aij ) aij [ aij ]

nordendecuadradallamasenmsi

mxnrrectangulallamasenmsimxnaijA

de ahora en adelante para referirnos a las matrices utilizaremos (aij)mxn en caso de referirnos a un elemento usaremos aij Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayuacutesculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minuacutesculas para denotar a los elementos de las mismas Por ejemplo al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-eacutesima y la columna j-eacutesima se le denota como aij o a[ij] Notaciones alternativas son A[ij] o Aij Ademaacutes de utilizar letras mayuacutesculas para representar matrices numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables Asiacute A es una matriz mientras que A es un escalar A veces se cree que el concepto de matriz es abstracto y no tiene una aplicacioacuten praacutectica veamos un caso real

3

Un encargado de hacer rutas para la distribucioacuten de sus productos necesita tener un mejor modelo que un simple graacutefico (diacutegrafo) que exprese todas las posibilidades de ruteo como se muestra A Distribuidor A C D Consumidores

Definamos como 1 a aquellos puntos en los que hay conexioacuten directa y en los que no como se muestra

11

11

1

111

D

C

B

A

DCBA

De este problema hemos obtenido lo que se conoce como matriz de adyacencia que queda

0101

0011

0001

1110

A

Se observa que el distribuidor tiene rutas directas con todos sus consumidores y a su vez el consumidor B es el que menos conexiones tiene (Unicamente con el distribuidor) - Se llama matriz fila a una matriz que consta de una sola fila o sea de orden 1 x n B = (b1 b2 b3 b4 bn) - Se llama matriz columna a una matriz que consta de una sola columna O sea de orden mx1

1 Uno

Cero

A

D

C

B

4

1mxm

2

1

C

C

C

C

- Se llama matriz uno por uno a la matriz que constan de un solo elemento - Los elementos aij para los cuales i = j son llamados elementos de la diagonal principal

Ejemplo 2896

5731 a11 = 1 a22 = 9

La matriz

0000

0000

0000

E se llama matriz nula o matriz cero

Otros ejemplos de matrices son

Es una matriz 4x3 El elemento A[23] o a23 es 7 La matriz

Es una matriz 1times9 o un vector fila con 9 elementos

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TIPOS DE MATRICES CUADRADAS 1 Matriz Diagonal Es aquella matriz cuadrada en que todos los elementos que no estaacuten en la diagonal principal son iguales a cero

A = (aij)n es una matriz diagonal si aij = 0 para i j

nnn

22

11

100

0a0

00a

A

ejemplos

300

020

001

A

000

020

000

B

10

31

C

Las matrices A y B son diagonales el caso de la B se debe examinar la definicioacuten y aclarar que eacutesta solo estaacute dirigida para los elementos que no estaacuten en la diagonal La matriz C no es una matriz diagonal 2 Matriz Escalar Es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de la

diagonal principal iguales O sea A = (aij)n es una matriz escalar si aij = 0 para i j

aij = ( R)

Para i = j

000

000

000

000

Ejemplo

200

020

002

A

3 Matriz Unitaria o Ideacutentica Es una matriz escalar en que todos los elementos de

la diagonal principal son iguales a 1 O sea A = (aij)n es unitaria Si aij = 0 para i j y aij = 1 para i = j se denota por In

6

n1000

0100

0010

0001

In

Existe un siacutembolo ij llamado delta de Kronecker que se define

jisi0

jisi1ij

que se utiliza para denotar la matriz unitaria In = ( ij)n anaacutelogamente la matriz

escalar puede denotarse por ( aij) oacute ( ij) 4 Matriz Triangular Superior Es una matriz cuadrada que tiene iguales a cero todos los elementos por debajo de la diagonal principal o sea aij = 0 si i gtj

nn

n222

n11211

a00

aa0

aaa

A

Ejemplo

300

540

1698

5 Matriz Triangular Inferior Es una matriz cuadrada en que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son iguales a cero o sea aij = 0 si i lt j

mn3m2m1m

2221

11

aaaa

00aa

000a

A

Ejemplo

211

004

003

A

6 Matriz Simeacutetrica Es aquella matriz cuadrada en que los elementos aij son iguales a los aji

7

Ejemplo

157

530

702

A

7 Matriz Transpuesta Sea A = (aij) una matriz de orden mxn La matriz B= (bij) de orden nxm tal que bji = aij se conoce como matriz transpuesta de A Se denota por At el transponer significa intercambiar filas por columnas y viceversa 8 Una Matriz Cuadrada Es Antisimeacutetrica Si es igual a la opuesta de su transpuesta

A = - At aij = - aij ij o sea -A = At IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices del mismo orden o tamantildeo son iguales si sus elementos correspondientes (aquellos con iguales subindices) son iguales O sea A = (aij)mxn y B = (bij)mx

A = B aij = bij Ejemplo

6y

35A

65

3xA

A = B x = 5 y = 5 PROPIEDADES DE IGUALDAD DE MATRICES 1 Reflexiva o Ideacutentica Toda matriz es igual a si misma O sea A = A 2 Reciproca o Simeacutetrica Si una matriz es igual a otra entonces esta es igual a la

primera o sea A = B B = A 3 Transitiva Si una matriz es igual a la otra y esta igual a una tercera entonces la

primera es igual a la tercera o sea A = B B = C A = C SUMA DE MATRICES Dadas las matrices m-por-n A y B su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (ie (A + B)[i j] = A[i j] + B[i j] ) Es decir sumar cada uno de los elementos homoacutelogos de las matrices a sumar

8

Es decir dadas A = (aij) B = (bij) dos matrices de orden mxn la suma A + B de las dos matrices es la matriz mxn A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

mnmn2m2m1m1m

n2n222222121

n1n112121111

bababa

bababa

bababa

BA

Ejemplo 35

42A 875B

1211

109C

Encontrar (a) A + B (b) A + C a) No esta definido

b) 35

42CA +

1211

109 =

123115

10492 =

1516

1411

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1 Asociativa A + (B+C) = (A+B) + C 2 Conmutativa A + B = B + A 3 Existencia del elemento neutro A+ 0 = 0 + A = A 4 Existencia de un elemento reciacuteproco o simeacutetrico

para todo A mxn - A mxn tal que A + (-A) = (-A) + (A) = 0

nxn Conjunto de matrices de orden mxn para la demostracioacuten de cada una de las propiedades se utilizan fundamentalmente la definicioacuten de suma de matrices y las propiedades de la suma de nuacutemeros reales Por ejemplo Demuestre la propiedad conmutativa A + B = B + A

Sea A = (aij) B(bij) Aplicando la definicioacuten de suma de suma de matrices A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) Puesto que la suma de nuacutemeros reales es conmutativa (aij + bij) = (bij + aij)

9

Usando la definicioacuten de suma nuevamente [bij + aij) = (bij) + (aij) = B + A por tanto A + B = B + A iexclComo tarea demuestra las propiedades restantes usando la definicioacuten de suma de matrices PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A y B matrices de orden mxn y O la matriz nula de orden mxn Sean y escalares arbitrarios y 0 y 1 los escalares identidad de la suma y de la multiplicacioacuten respectivamente entonces

a (A+B) = A + B

b( + )A = A + A

c ( )A = ( A) d 1 A = A e 0A = 0mxn

Demostremos que (A + B) = (A) + (B) los procedimientos utilizados son praacutecticamente los mismos que en la suma Sean A = (aij) y B = (bij) entonces

[(aij) + (bij)] = (aij + bij) Usando la definicioacuten de suma de matrices

(aij + bij) = aij + bij Usando la propiedad distributiva de los nuacutemeros reales

aij + bij = (aij) + (bij) Usando la definicioacuten de suma

(aij) + (bij) = (A) + (B)

(A + B) = A + B iexclDemuestre las propiedades restantes

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PRODUCTO MATRICES Producto

Diagrama esquemaacutetico que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB El producto de dos matrices se puede definir soacutelo si el nuacutemero de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el nuacutemero de filas de la matriz derecha Si A es una matriz mtimesn y B es una matriz ntimesp entonces su producto matricial AB es la matriz mtimesp (m filas p columnas) dada por

para cada par i y j Definicioacuten 1

Sea A (a1 a2 a3 an) un vector fila n-dimensional y sea

n

2

1

b

b

b

B un vector

columna n-dimensiona Entonces el producto AB de A y B esta dada por

AB = (a1 a2 a3 an)

n

2

1

b

b

b

= a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn

4

1mxm

2

1

C

C

C

C

- Se llama matriz uno por uno a la matriz que constan de un solo elemento - Los elementos aij para los cuales i = j son llamados elementos de la diagonal principal

Ejemplo 2896

5731 a11 = 1 a22 = 9

La matriz

0000

0000

0000

E se llama matriz nula o matriz cero

Otros ejemplos de matrices son

Es una matriz 4x3 El elemento A[23] o a23 es 7 La matriz

Es una matriz 1times9 o un vector fila con 9 elementos

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TIPOS DE MATRICES CUADRADAS 1 Matriz Diagonal Es aquella matriz cuadrada en que todos los elementos que no estaacuten en la diagonal principal son iguales a cero

A = (aij)n es una matriz diagonal si aij = 0 para i j

nnn

22

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100

0a0

00a

A

ejemplos

300

020

001

A

000

020

000

B

10

31

C

Las matrices A y B son diagonales el caso de la B se debe examinar la definicioacuten y aclarar que eacutesta solo estaacute dirigida para los elementos que no estaacuten en la diagonal La matriz C no es una matriz diagonal 2 Matriz Escalar Es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de la

diagonal principal iguales O sea A = (aij)n es una matriz escalar si aij = 0 para i j

aij = ( R)

Para i = j

000

000

000

000

Ejemplo

200

020

002

A

3 Matriz Unitaria o Ideacutentica Es una matriz escalar en que todos los elementos de

la diagonal principal son iguales a 1 O sea A = (aij)n es unitaria Si aij = 0 para i j y aij = 1 para i = j se denota por In

6

n1000

0100

0010

0001

In

Existe un siacutembolo ij llamado delta de Kronecker que se define

jisi0

jisi1ij

que se utiliza para denotar la matriz unitaria In = ( ij)n anaacutelogamente la matriz

escalar puede denotarse por ( aij) oacute ( ij) 4 Matriz Triangular Superior Es una matriz cuadrada que tiene iguales a cero todos los elementos por debajo de la diagonal principal o sea aij = 0 si i gtj

nn

n222

n11211

a00

aa0

aaa

A

Ejemplo

300

540

1698

5 Matriz Triangular Inferior Es una matriz cuadrada en que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son iguales a cero o sea aij = 0 si i lt j

mn3m2m1m

2221

11

aaaa

00aa

000a

A

Ejemplo

211

004

003

A

6 Matriz Simeacutetrica Es aquella matriz cuadrada en que los elementos aij son iguales a los aji

7

Ejemplo

157

530

702

A

7 Matriz Transpuesta Sea A = (aij) una matriz de orden mxn La matriz B= (bij) de orden nxm tal que bji = aij se conoce como matriz transpuesta de A Se denota por At el transponer significa intercambiar filas por columnas y viceversa 8 Una Matriz Cuadrada Es Antisimeacutetrica Si es igual a la opuesta de su transpuesta

A = - At aij = - aij ij o sea -A = At IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices del mismo orden o tamantildeo son iguales si sus elementos correspondientes (aquellos con iguales subindices) son iguales O sea A = (aij)mxn y B = (bij)mx

A = B aij = bij Ejemplo

6y

35A

65

3xA

A = B x = 5 y = 5 PROPIEDADES DE IGUALDAD DE MATRICES 1 Reflexiva o Ideacutentica Toda matriz es igual a si misma O sea A = A 2 Reciproca o Simeacutetrica Si una matriz es igual a otra entonces esta es igual a la

primera o sea A = B B = A 3 Transitiva Si una matriz es igual a la otra y esta igual a una tercera entonces la

primera es igual a la tercera o sea A = B B = C A = C SUMA DE MATRICES Dadas las matrices m-por-n A y B su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (ie (A + B)[i j] = A[i j] + B[i j] ) Es decir sumar cada uno de los elementos homoacutelogos de las matrices a sumar

8

Es decir dadas A = (aij) B = (bij) dos matrices de orden mxn la suma A + B de las dos matrices es la matriz mxn A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

mnmn2m2m1m1m

n2n222222121

n1n112121111

bababa

bababa

bababa

BA

Ejemplo 35

42A 875B

1211

109C

Encontrar (a) A + B (b) A + C a) No esta definido

b) 35

42CA +

1211

109 =

123115

10492 =

1516

1411

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1 Asociativa A + (B+C) = (A+B) + C 2 Conmutativa A + B = B + A 3 Existencia del elemento neutro A+ 0 = 0 + A = A 4 Existencia de un elemento reciacuteproco o simeacutetrico

para todo A mxn - A mxn tal que A + (-A) = (-A) + (A) = 0

nxn Conjunto de matrices de orden mxn para la demostracioacuten de cada una de las propiedades se utilizan fundamentalmente la definicioacuten de suma de matrices y las propiedades de la suma de nuacutemeros reales Por ejemplo Demuestre la propiedad conmutativa A + B = B + A

Sea A = (aij) B(bij) Aplicando la definicioacuten de suma de suma de matrices A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) Puesto que la suma de nuacutemeros reales es conmutativa (aij + bij) = (bij + aij)

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Usando la definicioacuten de suma nuevamente [bij + aij) = (bij) + (aij) = B + A por tanto A + B = B + A iexclComo tarea demuestra las propiedades restantes usando la definicioacuten de suma de matrices PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A y B matrices de orden mxn y O la matriz nula de orden mxn Sean y escalares arbitrarios y 0 y 1 los escalares identidad de la suma y de la multiplicacioacuten respectivamente entonces

a (A+B) = A + B

b( + )A = A + A

c ( )A = ( A) d 1 A = A e 0A = 0mxn

Demostremos que (A + B) = (A) + (B) los procedimientos utilizados son praacutecticamente los mismos que en la suma Sean A = (aij) y B = (bij) entonces

[(aij) + (bij)] = (aij + bij) Usando la definicioacuten de suma de matrices

(aij + bij) = aij + bij Usando la propiedad distributiva de los nuacutemeros reales

aij + bij = (aij) + (bij) Usando la definicioacuten de suma

(aij) + (bij) = (A) + (B)

(A + B) = A + B iexclDemuestre las propiedades restantes

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PRODUCTO MATRICES Producto

Diagrama esquemaacutetico que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB El producto de dos matrices se puede definir soacutelo si el nuacutemero de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el nuacutemero de filas de la matriz derecha Si A es una matriz mtimesn y B es una matriz ntimesp entonces su producto matricial AB es la matriz mtimesp (m filas p columnas) dada por

para cada par i y j Definicioacuten 1

Sea A (a1 a2 a3 an) un vector fila n-dimensional y sea

n

2

1

b

b

b

B un vector

columna n-dimensiona Entonces el producto AB de A y B esta dada por

AB = (a1 a2 a3 an)

n

2

1

b

b

b

= a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn

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TIPOS DE MATRICES CUADRADAS 1 Matriz Diagonal Es aquella matriz cuadrada en que todos los elementos que no estaacuten en la diagonal principal son iguales a cero

A = (aij)n es una matriz diagonal si aij = 0 para i j

nnn

22

11

100

0a0

00a

A

ejemplos

300

020

001

A

000

020

000

B

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C

Las matrices A y B son diagonales el caso de la B se debe examinar la definicioacuten y aclarar que eacutesta solo estaacute dirigida para los elementos que no estaacuten en la diagonal La matriz C no es una matriz diagonal 2 Matriz Escalar Es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de la

diagonal principal iguales O sea A = (aij)n es una matriz escalar si aij = 0 para i j

aij = ( R)

Para i = j

000

000

000

000

Ejemplo

200

020

002

A

3 Matriz Unitaria o Ideacutentica Es una matriz escalar en que todos los elementos de

la diagonal principal son iguales a 1 O sea A = (aij)n es unitaria Si aij = 0 para i j y aij = 1 para i = j se denota por In

6

n1000

0100

0010

0001

In

Existe un siacutembolo ij llamado delta de Kronecker que se define

jisi0

jisi1ij

que se utiliza para denotar la matriz unitaria In = ( ij)n anaacutelogamente la matriz

escalar puede denotarse por ( aij) oacute ( ij) 4 Matriz Triangular Superior Es una matriz cuadrada que tiene iguales a cero todos los elementos por debajo de la diagonal principal o sea aij = 0 si i gtj

nn

n222

n11211

a00

aa0

aaa

A

Ejemplo

300

540

1698

5 Matriz Triangular Inferior Es una matriz cuadrada en que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son iguales a cero o sea aij = 0 si i lt j

mn3m2m1m

2221

11

aaaa

00aa

000a

A

Ejemplo

211

004

003

A

6 Matriz Simeacutetrica Es aquella matriz cuadrada en que los elementos aij son iguales a los aji

7

Ejemplo

157

530

702

A

7 Matriz Transpuesta Sea A = (aij) una matriz de orden mxn La matriz B= (bij) de orden nxm tal que bji = aij se conoce como matriz transpuesta de A Se denota por At el transponer significa intercambiar filas por columnas y viceversa 8 Una Matriz Cuadrada Es Antisimeacutetrica Si es igual a la opuesta de su transpuesta

A = - At aij = - aij ij o sea -A = At IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices del mismo orden o tamantildeo son iguales si sus elementos correspondientes (aquellos con iguales subindices) son iguales O sea A = (aij)mxn y B = (bij)mx

A = B aij = bij Ejemplo

6y

35A

65

3xA

A = B x = 5 y = 5 PROPIEDADES DE IGUALDAD DE MATRICES 1 Reflexiva o Ideacutentica Toda matriz es igual a si misma O sea A = A 2 Reciproca o Simeacutetrica Si una matriz es igual a otra entonces esta es igual a la

primera o sea A = B B = A 3 Transitiva Si una matriz es igual a la otra y esta igual a una tercera entonces la

primera es igual a la tercera o sea A = B B = C A = C SUMA DE MATRICES Dadas las matrices m-por-n A y B su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (ie (A + B)[i j] = A[i j] + B[i j] ) Es decir sumar cada uno de los elementos homoacutelogos de las matrices a sumar

8

Es decir dadas A = (aij) B = (bij) dos matrices de orden mxn la suma A + B de las dos matrices es la matriz mxn A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

mnmn2m2m1m1m

n2n222222121

n1n112121111

bababa

bababa

bababa

BA

Ejemplo 35

42A 875B

1211

109C

Encontrar (a) A + B (b) A + C a) No esta definido

b) 35

42CA +

1211

109 =

123115

10492 =

1516

1411

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1 Asociativa A + (B+C) = (A+B) + C 2 Conmutativa A + B = B + A 3 Existencia del elemento neutro A+ 0 = 0 + A = A 4 Existencia de un elemento reciacuteproco o simeacutetrico

para todo A mxn - A mxn tal que A + (-A) = (-A) + (A) = 0

nxn Conjunto de matrices de orden mxn para la demostracioacuten de cada una de las propiedades se utilizan fundamentalmente la definicioacuten de suma de matrices y las propiedades de la suma de nuacutemeros reales Por ejemplo Demuestre la propiedad conmutativa A + B = B + A

Sea A = (aij) B(bij) Aplicando la definicioacuten de suma de suma de matrices A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) Puesto que la suma de nuacutemeros reales es conmutativa (aij + bij) = (bij + aij)

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Usando la definicioacuten de suma nuevamente [bij + aij) = (bij) + (aij) = B + A por tanto A + B = B + A iexclComo tarea demuestra las propiedades restantes usando la definicioacuten de suma de matrices PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A y B matrices de orden mxn y O la matriz nula de orden mxn Sean y escalares arbitrarios y 0 y 1 los escalares identidad de la suma y de la multiplicacioacuten respectivamente entonces

a (A+B) = A + B

b( + )A = A + A

c ( )A = ( A) d 1 A = A e 0A = 0mxn

Demostremos que (A + B) = (A) + (B) los procedimientos utilizados son praacutecticamente los mismos que en la suma Sean A = (aij) y B = (bij) entonces

[(aij) + (bij)] = (aij + bij) Usando la definicioacuten de suma de matrices

(aij + bij) = aij + bij Usando la propiedad distributiva de los nuacutemeros reales

aij + bij = (aij) + (bij) Usando la definicioacuten de suma

(aij) + (bij) = (A) + (B)

(A + B) = A + B iexclDemuestre las propiedades restantes

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PRODUCTO MATRICES Producto

Diagrama esquemaacutetico que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB El producto de dos matrices se puede definir soacutelo si el nuacutemero de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el nuacutemero de filas de la matriz derecha Si A es una matriz mtimesn y B es una matriz ntimesp entonces su producto matricial AB es la matriz mtimesp (m filas p columnas) dada por

para cada par i y j Definicioacuten 1

Sea A (a1 a2 a3 an) un vector fila n-dimensional y sea

n

2

1

b

b

b

B un vector

columna n-dimensiona Entonces el producto AB de A y B esta dada por

AB = (a1 a2 a3 an)

n

2

1

b

b

b

= a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn

6

n1000

0100

0010

0001

In

Existe un siacutembolo ij llamado delta de Kronecker que se define

jisi0

jisi1ij

que se utiliza para denotar la matriz unitaria In = ( ij)n anaacutelogamente la matriz

escalar puede denotarse por ( aij) oacute ( ij) 4 Matriz Triangular Superior Es una matriz cuadrada que tiene iguales a cero todos los elementos por debajo de la diagonal principal o sea aij = 0 si i gtj

nn

n222

n11211

a00

aa0

aaa

A

Ejemplo

300

540

1698

5 Matriz Triangular Inferior Es una matriz cuadrada en que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son iguales a cero o sea aij = 0 si i lt j

mn3m2m1m

2221

11

aaaa

00aa

000a

A

Ejemplo

211

004

003

A

6 Matriz Simeacutetrica Es aquella matriz cuadrada en que los elementos aij son iguales a los aji

7

Ejemplo

157

530

702

A

7 Matriz Transpuesta Sea A = (aij) una matriz de orden mxn La matriz B= (bij) de orden nxm tal que bji = aij se conoce como matriz transpuesta de A Se denota por At el transponer significa intercambiar filas por columnas y viceversa 8 Una Matriz Cuadrada Es Antisimeacutetrica Si es igual a la opuesta de su transpuesta

A = - At aij = - aij ij o sea -A = At IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices del mismo orden o tamantildeo son iguales si sus elementos correspondientes (aquellos con iguales subindices) son iguales O sea A = (aij)mxn y B = (bij)mx

A = B aij = bij Ejemplo

6y

35A

65

3xA

A = B x = 5 y = 5 PROPIEDADES DE IGUALDAD DE MATRICES 1 Reflexiva o Ideacutentica Toda matriz es igual a si misma O sea A = A 2 Reciproca o Simeacutetrica Si una matriz es igual a otra entonces esta es igual a la

primera o sea A = B B = A 3 Transitiva Si una matriz es igual a la otra y esta igual a una tercera entonces la

primera es igual a la tercera o sea A = B B = C A = C SUMA DE MATRICES Dadas las matrices m-por-n A y B su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (ie (A + B)[i j] = A[i j] + B[i j] ) Es decir sumar cada uno de los elementos homoacutelogos de las matrices a sumar

8

Es decir dadas A = (aij) B = (bij) dos matrices de orden mxn la suma A + B de las dos matrices es la matriz mxn A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

mnmn2m2m1m1m

n2n222222121

n1n112121111

bababa

bababa

bababa

BA

Ejemplo 35

42A 875B

1211

109C

Encontrar (a) A + B (b) A + C a) No esta definido

b) 35

42CA +

1211

109 =

123115

10492 =

1516

1411

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1 Asociativa A + (B+C) = (A+B) + C 2 Conmutativa A + B = B + A 3 Existencia del elemento neutro A+ 0 = 0 + A = A 4 Existencia de un elemento reciacuteproco o simeacutetrico

para todo A mxn - A mxn tal que A + (-A) = (-A) + (A) = 0

nxn Conjunto de matrices de orden mxn para la demostracioacuten de cada una de las propiedades se utilizan fundamentalmente la definicioacuten de suma de matrices y las propiedades de la suma de nuacutemeros reales Por ejemplo Demuestre la propiedad conmutativa A + B = B + A

Sea A = (aij) B(bij) Aplicando la definicioacuten de suma de suma de matrices A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) Puesto que la suma de nuacutemeros reales es conmutativa (aij + bij) = (bij + aij)

9

Usando la definicioacuten de suma nuevamente [bij + aij) = (bij) + (aij) = B + A por tanto A + B = B + A iexclComo tarea demuestra las propiedades restantes usando la definicioacuten de suma de matrices PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A y B matrices de orden mxn y O la matriz nula de orden mxn Sean y escalares arbitrarios y 0 y 1 los escalares identidad de la suma y de la multiplicacioacuten respectivamente entonces

a (A+B) = A + B

b( + )A = A + A

c ( )A = ( A) d 1 A = A e 0A = 0mxn

Demostremos que (A + B) = (A) + (B) los procedimientos utilizados son praacutecticamente los mismos que en la suma Sean A = (aij) y B = (bij) entonces

[(aij) + (bij)] = (aij + bij) Usando la definicioacuten de suma de matrices

(aij + bij) = aij + bij Usando la propiedad distributiva de los nuacutemeros reales

aij + bij = (aij) + (bij) Usando la definicioacuten de suma

(aij) + (bij) = (A) + (B)

(A + B) = A + B iexclDemuestre las propiedades restantes

10

PRODUCTO MATRICES Producto

Diagrama esquemaacutetico que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB El producto de dos matrices se puede definir soacutelo si el nuacutemero de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el nuacutemero de filas de la matriz derecha Si A es una matriz mtimesn y B es una matriz ntimesp entonces su producto matricial AB es la matriz mtimesp (m filas p columnas) dada por

para cada par i y j Definicioacuten 1

Sea A (a1 a2 a3 an) un vector fila n-dimensional y sea

n

2

1

b

b

b

B un vector

columna n-dimensiona Entonces el producto AB de A y B esta dada por

AB = (a1 a2 a3 an)

n

2

1

b

b

b

= a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn

7

Ejemplo

157

530

702

A

7 Matriz Transpuesta Sea A = (aij) una matriz de orden mxn La matriz B= (bij) de orden nxm tal que bji = aij se conoce como matriz transpuesta de A Se denota por At el transponer significa intercambiar filas por columnas y viceversa 8 Una Matriz Cuadrada Es Antisimeacutetrica Si es igual a la opuesta de su transpuesta

A = - At aij = - aij ij o sea -A = At IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices del mismo orden o tamantildeo son iguales si sus elementos correspondientes (aquellos con iguales subindices) son iguales O sea A = (aij)mxn y B = (bij)mx

A = B aij = bij Ejemplo

6y

35A

65

3xA

A = B x = 5 y = 5 PROPIEDADES DE IGUALDAD DE MATRICES 1 Reflexiva o Ideacutentica Toda matriz es igual a si misma O sea A = A 2 Reciproca o Simeacutetrica Si una matriz es igual a otra entonces esta es igual a la

primera o sea A = B B = A 3 Transitiva Si una matriz es igual a la otra y esta igual a una tercera entonces la

primera es igual a la tercera o sea A = B B = C A = C SUMA DE MATRICES Dadas las matrices m-por-n A y B su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (ie (A + B)[i j] = A[i j] + B[i j] ) Es decir sumar cada uno de los elementos homoacutelogos de las matrices a sumar

8

Es decir dadas A = (aij) B = (bij) dos matrices de orden mxn la suma A + B de las dos matrices es la matriz mxn A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

mnmn2m2m1m1m

n2n222222121

n1n112121111

bababa

bababa

bababa

BA

Ejemplo 35

42A 875B

1211

109C

Encontrar (a) A + B (b) A + C a) No esta definido

b) 35

42CA +

1211

109 =

123115

10492 =

1516

1411

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1 Asociativa A + (B+C) = (A+B) + C 2 Conmutativa A + B = B + A 3 Existencia del elemento neutro A+ 0 = 0 + A = A 4 Existencia de un elemento reciacuteproco o simeacutetrico

para todo A mxn - A mxn tal que A + (-A) = (-A) + (A) = 0

nxn Conjunto de matrices de orden mxn para la demostracioacuten de cada una de las propiedades se utilizan fundamentalmente la definicioacuten de suma de matrices y las propiedades de la suma de nuacutemeros reales Por ejemplo Demuestre la propiedad conmutativa A + B = B + A

Sea A = (aij) B(bij) Aplicando la definicioacuten de suma de suma de matrices A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) Puesto que la suma de nuacutemeros reales es conmutativa (aij + bij) = (bij + aij)

9

Usando la definicioacuten de suma nuevamente [bij + aij) = (bij) + (aij) = B + A por tanto A + B = B + A iexclComo tarea demuestra las propiedades restantes usando la definicioacuten de suma de matrices PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A y B matrices de orden mxn y O la matriz nula de orden mxn Sean y escalares arbitrarios y 0 y 1 los escalares identidad de la suma y de la multiplicacioacuten respectivamente entonces

a (A+B) = A + B

b( + )A = A + A

c ( )A = ( A) d 1 A = A e 0A = 0mxn

Demostremos que (A + B) = (A) + (B) los procedimientos utilizados son praacutecticamente los mismos que en la suma Sean A = (aij) y B = (bij) entonces

[(aij) + (bij)] = (aij + bij) Usando la definicioacuten de suma de matrices

(aij + bij) = aij + bij Usando la propiedad distributiva de los nuacutemeros reales

aij + bij = (aij) + (bij) Usando la definicioacuten de suma

(aij) + (bij) = (A) + (B)

(A + B) = A + B iexclDemuestre las propiedades restantes

10

PRODUCTO MATRICES Producto

Diagrama esquemaacutetico que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB El producto de dos matrices se puede definir soacutelo si el nuacutemero de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el nuacutemero de filas de la matriz derecha Si A es una matriz mtimesn y B es una matriz ntimesp entonces su producto matricial AB es la matriz mtimesp (m filas p columnas) dada por

para cada par i y j Definicioacuten 1

Sea A (a1 a2 a3 an) un vector fila n-dimensional y sea

n

2

1

b

b

b

B un vector

columna n-dimensiona Entonces el producto AB de A y B esta dada por

AB = (a1 a2 a3 an)

n

2

1

b

b

b

= a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn

8

Es decir dadas A = (aij) B = (bij) dos matrices de orden mxn la suma A + B de las dos matrices es la matriz mxn A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

mnmn2m2m1m1m

n2n222222121

n1n112121111

bababa

bababa

bababa

BA

Ejemplo 35

42A 875B

1211

109C

Encontrar (a) A + B (b) A + C a) No esta definido

b) 35

42CA +

1211

109 =

123115

10492 =

1516

1411

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1 Asociativa A + (B+C) = (A+B) + C 2 Conmutativa A + B = B + A 3 Existencia del elemento neutro A+ 0 = 0 + A = A 4 Existencia de un elemento reciacuteproco o simeacutetrico

para todo A mxn - A mxn tal que A + (-A) = (-A) + (A) = 0

nxn Conjunto de matrices de orden mxn para la demostracioacuten de cada una de las propiedades se utilizan fundamentalmente la definicioacuten de suma de matrices y las propiedades de la suma de nuacutemeros reales Por ejemplo Demuestre la propiedad conmutativa A + B = B + A

Sea A = (aij) B(bij) Aplicando la definicioacuten de suma de suma de matrices A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) Puesto que la suma de nuacutemeros reales es conmutativa (aij + bij) = (bij + aij)

9

Usando la definicioacuten de suma nuevamente [bij + aij) = (bij) + (aij) = B + A por tanto A + B = B + A iexclComo tarea demuestra las propiedades restantes usando la definicioacuten de suma de matrices PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A y B matrices de orden mxn y O la matriz nula de orden mxn Sean y escalares arbitrarios y 0 y 1 los escalares identidad de la suma y de la multiplicacioacuten respectivamente entonces

a (A+B) = A + B

b( + )A = A + A

c ( )A = ( A) d 1 A = A e 0A = 0mxn

Demostremos que (A + B) = (A) + (B) los procedimientos utilizados son praacutecticamente los mismos que en la suma Sean A = (aij) y B = (bij) entonces

[(aij) + (bij)] = (aij + bij) Usando la definicioacuten de suma de matrices

(aij + bij) = aij + bij Usando la propiedad distributiva de los nuacutemeros reales

aij + bij = (aij) + (bij) Usando la definicioacuten de suma

(aij) + (bij) = (A) + (B)

(A + B) = A + B iexclDemuestre las propiedades restantes

10

PRODUCTO MATRICES Producto

Diagrama esquemaacutetico que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB El producto de dos matrices se puede definir soacutelo si el nuacutemero de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el nuacutemero de filas de la matriz derecha Si A es una matriz mtimesn y B es una matriz ntimesp entonces su producto matricial AB es la matriz mtimesp (m filas p columnas) dada por

para cada par i y j Definicioacuten 1

Sea A (a1 a2 a3 an) un vector fila n-dimensional y sea

n

2

1

b

b

b

B un vector

columna n-dimensiona Entonces el producto AB de A y B esta dada por

AB = (a1 a2 a3 an)

n

2

1

b

b

b

= a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn

9

Usando la definicioacuten de suma nuevamente [bij + aij) = (bij) + (aij) = B + A por tanto A + B = B + A iexclComo tarea demuestra las propiedades restantes usando la definicioacuten de suma de matrices PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A y B matrices de orden mxn y O la matriz nula de orden mxn Sean y escalares arbitrarios y 0 y 1 los escalares identidad de la suma y de la multiplicacioacuten respectivamente entonces

a (A+B) = A + B

b( + )A = A + A

c ( )A = ( A) d 1 A = A e 0A = 0mxn

Demostremos que (A + B) = (A) + (B) los procedimientos utilizados son praacutecticamente los mismos que en la suma Sean A = (aij) y B = (bij) entonces

[(aij) + (bij)] = (aij + bij) Usando la definicioacuten de suma de matrices

(aij + bij) = aij + bij Usando la propiedad distributiva de los nuacutemeros reales

aij + bij = (aij) + (bij) Usando la definicioacuten de suma

(aij) + (bij) = (A) + (B)

(A + B) = A + B iexclDemuestre las propiedades restantes

10

PRODUCTO MATRICES Producto

Diagrama esquemaacutetico que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB El producto de dos matrices se puede definir soacutelo si el nuacutemero de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el nuacutemero de filas de la matriz derecha Si A es una matriz mtimesn y B es una matriz ntimesp entonces su producto matricial AB es la matriz mtimesp (m filas p columnas) dada por

para cada par i y j Definicioacuten 1

Sea A (a1 a2 a3 an) un vector fila n-dimensional y sea

n

2

1

b

b

b

B un vector

columna n-dimensiona Entonces el producto AB de A y B esta dada por

AB = (a1 a2 a3 an)

n

2

1

b

b

b

= a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn

10

PRODUCTO MATRICES Producto

Diagrama esquemaacutetico que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB El producto de dos matrices se puede definir soacutelo si el nuacutemero de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el nuacutemero de filas de la matriz derecha Si A es una matriz mtimesn y B es una matriz ntimesp entonces su producto matricial AB es la matriz mtimesp (m filas p columnas) dada por

para cada par i y j Definicioacuten 1

Sea A (a1 a2 a3 an) un vector fila n-dimensional y sea

n

2

1

b

b

b

B un vector

columna n-dimensiona Entonces el producto AB de A y B esta dada por

AB = (a1 a2 a3 an)

n

2

1

b

b

b

= a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn

11

Definicioacuten 2 Sean A una matriz mxr y B una matriz de rxn el producto AB es una matriz mxn cuya componente ij-eacutesima es el producto de la fila i-eacutesima y la columna j-esima de B

Si

mr2m1m

r22221

r11211

aaa

aaa

aaa

A

rn2r1r

n22221

n11211

bbb

bbb

bbb

B

mn2m1m

n22221

n11211

ccc

ccc

ccc

BAC

de donde

r

1k

1rr111 bac es el producto de la primera fila de a y primera columna

de B o sea que estaacuten en el recuadro de forma anaacuteloga

r

1k

2rr112 bac

r

1k

rnr1n1 bac etc este procedimiento finaliza cuando se han multiplicado todas

las filas de la primera con todas las columnas de la segunda Recuerde siempre que para definir el producto de 2 matrices es necesario que el nuacutemero de columnas de la primera sean iguales al nuacutemero de filas de la segunda PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION Si A B y C son matrices que son conforme el producto entonces cumplen lo siguiente 1 (AB)C = A(BC) Propiedad Asociativa 2 A(B+C) = AB + AC Propiedad Distributiva por la izquierda 3 (B+C)A = BA + Cal Propiedad Distributiva por la Derecha

4 (AB) = ( A)B = A( B) r

12

PROPIEDADES DE LOS NUacuteMEROS REALES QUE NO SE CUMPLEN EN LA MULTIPLICACIOacuteN DE MATRICES

1 AB BA No es conmutativa

2 AB = 0 A = 0 Oacute B = 0 El que el producto sea la matriz nula no significa que laguna de ellas lo

sea 3 AB = BC (B 0) A=C No cumple la propiedad cancelativa DETERMINANTES - Es poco comuacuten dar una definicioacuten formal de determinante y en algunos casos lo que se hacen son comentarios al respecto VV Voevodin en el texto Algebra Lineal (Paacuteg No 139) lo define de la siguiente forma DETERMINANTE Se llama determinante de orden n correspondiente a la matriz A la suma algebraica de n teacuterminos compuesto de la siguiente manera como cada teacutermino del determinante intervienen toda una serie de producto n elementos de la matriz uno en cada fila y en cada columna El teacutermino se toma con signo maacutes si los iacutendices de las columnas de sus elementos forman una permutacioacuten par a condicioacuten de los propios elementos estaacuten dispuestos en orden creciente de los nuacutemeros de las filas el signo menos se toma en el caso contrario Los determinantes se denota coacutemo det A = a ( a es cualquier nuacutemero) Es decir si

nn3n2n1n

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

A A es una matriz cuadrada

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1 El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de la

transpuesta detA=detAt 2 Si una de las filas (o columnas) de un determinante estaacuten constituidos por

ceros el determinante es igual a cero 3 Si se permutan dos filas (o dos columnas) el determinante cambia de signo

pero no de valor absoluto 4 Un determinante con dos filas (o dos columnas iguales es igual a cero) 5 Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de un

determinante por un mismo nuacutemero el determinante queda multiplicado por ese nuacutemero

6 Un determinante con 2 filas (o dos columnas) proporcionales es igual a cero)

13

COFACTOR Aij Se llama cofactor Aij de un elemento aij de una matriz cuadrada A al determinante correspondiente a la submatriz obtenida de A al suprimir la fila i y la columna j precedida del signo (-1)i + j Ejemplo

Dada

11109

321

876

B el cofactor A31 correspondiente

a a31 = 9 es A31 = (-1)3+1 32

87

7 (Teorema de Laplace) Todo determinante es igual a la suma algebraica de los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus respectivos cofactores esto es

1 detA =

n

1j

aij Aij Cuando se desarrolla por la fila i

2 det A =

n

11

aij Aij Cuando se desarrolla por la columna j

8 La suma algebraica de los productos de los elementos de una fila (o columna) por los cofactores de otra es igual a cero esto es

n

1j

aij Akj = 0 oacute

n

1i

aij Akj = 0

9 si los elementos de una fila (o columna) de un determinante son la suma algebraica de P teacuterminos el determinante puede expresarse como la suma de los P determinantes

14

3333

2222

1111

cbma

cbma

cbma

=

333

222

111

cba

cba

cba

+

333

222

111

cbm

cbm

cbm

EJEMPLO

24

32 =

23

31 +

21

31 =

22

31 +

22

31

10 Si una fila (o columna) de un determinante es una combinacioacuten lineal de otras el determinante es igual a cero 11 Si a los elementos de una fila (o columna) de un determinante se le suman los elementos de la otra fila (o columna) multiplicado por factores cualesquiera el determinantes no se altera 12 El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los elementos situados en la diagonal principal CALCULO DEL DETERMINANTE El calculo es muy tedioso si se efectuacutea usando la propiedad 7 donde hay que realizar n operaciones aritmeacuteticas (meacutetodo de menores y cofactores) Uno de los meacutetodos maacutes efectivo es suponiendo que en la matriz A existe un elemento aij

distinto de cero llamemos a este elemento rector Si a toda k-eacutesima fila i j

sumamos la i-eacutesima fila multiplicada por un nuacutemero i arbitrario el determinante no

variara aij

aiki

Usando la propiedad 11 entonces en la matriz nueva todos los elementos de la i-eacutesima columna a excepcioacuten del resto seraacuten iguales a cero con lo que se reduce el caacutelculo del determinante de n-eacutesimo orden a un determinante de orden n-1 este algoritmo se llama meacutetodo de Gauss par calcular un determinante de n-eacutesimo orden Ejemplo 1

Calcule detA si

341

235

312

A

1 Usando el meacutetodo de Laplace oacute propiedad 7 desarrollaacutendolo por la segunda columna

15

25

32)1)(4(

31

32)1)(3(

31

25)1)(1(Adet 232221

detA = -(15-2) + 3(6-3) - 4(4-15) = 40 Ejemplo 2

Calcule detA si

641278

16194

1132

1111

A

Si se usa el meacutetodo de Laplace o propiedad 7 tendriacuteamos que calcular 4 determinantes de tercer orden lo maacutes aconsejable es reducirlo a uno de tercer orden para ello hacemos lo siguiente Tomamos como vector 1 y tomamos la primera columna

1 = -21 = -2 2 = -41 = -4 3 = -81 = -8 de donde f2 = -2f1 + f2 f2 = -4f1 + f3 f4 = -8f1 + f4 quedando

56919

1235

131

)1)(1(

569190

12350

1310

1111

det 11A

Esto lo podemos reducir a uno de segundo y repetimos lo mismo en la primera columna

1 = -51 = -5 2 = -191 = -19 f2 = -5f1 + f2 f3 = -19f1 + f3

84)816900(7548

1712)1)(1(

75480

17120

131

det 11A

El procedimiento se puede hacer en cualquier fila o columna

16

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Se llaman transformaciones elementales a cierto cambio que se hacen en una matriz convirtieacutendola en otra del mismo tamantildeo y rango Estos cambios se pueden hacer por filas o por columna y pueden ser de 3 tipos

1 Permutacioacuten de 2 filas (o columnas) fi fj

2 Multiplicacioacuten de una fila (o columna) por un nuacutemero real distinto de cero fi

fi

3 Sumar a una fila (o columna) otra multiplicada por un nuacutemero real distinto de cero

fi fi + fj MATRICES EQUIVALENTES Dos matrices A y B obtenida una de la otra mediante transformaciones elementales y que tienen por lo tanto el mismo tamantildeo y rango se dicen

equivalentes lo que se representa como A B Ejemplo Obtenga 2 matrices equivalentes a la dada

135

278

121511

278

135

121511

11126

278

121511

RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz A es el nuacutemero maacuteximo de columnas linealmente independiente que tiene A TEOREMA El rango de una matriz A es igual al nuacutemero de renglones no nulos de cualquier forma escalonada por renglones correspondiente de A

Ejemplo Obtenga el rango de la matriz

693

462

231

A

693

462

231

A

000

000

231

El nuacutemero de renglones no nulos es 1 entonces r(A)

= 1 f2 = 2f1 + f2 f3 = 3f1 + f3

17

MATRIZ INVERSA Definicioacuten Una matriz B se llama inversa de una matriz cuadrada A si AB= BA = In Decimos que una matriz A es invertible o no singular si tiene inversa Sin embargo una matriz A puede no tener inversa en cuyo caso se llama no invertible o singular Teorema 1 Si Una matriz A de orden nxn es invertible entonces la inversa es uacutenica DEMOSTRACION Supoacutengase que la matriz A de nxn es invertible y que B y C son inversas de A entonces AB = BA = I AC = CA = I Formando el producto CAB y aplicando la propiedad asociativa del producto C(AB) = (CA)B

CI = IB C = B de este modo la inversa es uacutenica Teorema 2 Si dos matrices A y B de orden nxn son invertibles entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1 A-1 Teorema 3 La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa (At)-1 = (A-

1)t CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA (CUADRADA NO SINGULAR) 1 Por transformaciones elementales 2 Por matriz adjunta 3 Por particioacuten 1 Por transformaciones elementales

En la praacutectica se coloca la matriz a que tiene que ser cuadrada no singular | A | 0 y a continuacioacuten la matriz unitaria del mismo orden se hacen en ambas las mismas transformaciones por filas (o columnas) Estas se escogen de manera que conviertan a 2 en I Ejemplo Indique si la matriz dada es singular o no singular en caso de ser no singular calcular su inversa

18

1421

611

1633

A

1 Calculo del determinante

1421

1633

61|

Adet -

810

200

611

=

81

20

1 = (-1)(-2) = 2

Es no singular tiene inversa 2 Calculo de la inversa

1001421

010611

0011633

1001421

010611

003131611

103132610

01313200

003131611

01313200

103132610

003131611

01313200

103132610

103231001

02321100

103132610

003231001

02321100

113312010

151001

de donde A-1 =

02321

1134

151

2 Por matriz adjunta 21 b Por matriz adjunta Calculamos la matriz de Cofactores Matriz de Cofactores Se llama matriz de cofactores de una matriz A a la que resulta de sustituir los elementos aij de A por sus cofactores Aij se denota por Ac

19

2 Se llama transpuesta de la matriz de cofactores (matriz adjunta) Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores de A se denota como A+

nnn2n1

2n2212

1n2111

AAA

AAA

AAA

A

3 1A|

1A 1 A+

Ejemplo Calcular A-1 del mismo ejemplo usando el meacutetodo de matriz adjunta

1421

611

1633

A

1 El determinante de A es 2 calculado con el meacutetodo anterior 2 A11 = -2 A12 = 8 A13 =1 A21 = 10 A22 = -26 A23 = -3 A31 -2 A32 = 2 A33 = 0

022

32610

182

Ac

031

2268

2102

A

3

02321

1134

151

031

2268

2102

2

1A

|A|

1A 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (Tomado de VV Voevodin Paacuteg No 169 179 174) Ecuacioacuten Lineal Una ecuacioacuten lineal sobre el cuerpo R es una expresioacuten de la

forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + anxn = b (1) donde ai b R los ai son los coeficientes b es el teacutermino independiente y xi son las incoacutegnitas o variables Ejemplo 2x1 - 4xx + x3 = 9

20

Solucioacuten de una ecuacioacuten lineal Se llama solucioacuten de una ecuacioacuten lineal a un n-upla de nuacutemeros reales (k1 k2 k3 kn) al hacer x1 = k1 x2 = k2 x3 = k3 xn = kn la expresioacuten 1 se convierte en una identidad al conjunto de todas las soluciones de una ecuacioacuten lineal se llama conjunto solucioacuten Sistema de ecuaciones lineales Un conjunto de ecuaciones lineales constituye un sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

donde aij bi R aij son los coeficientes bi son los teacuterminos independientes xi son incoacutegnitas o variables un sistema de ecuacioacuten para los cuales b1 = b2 0 = bn = 0 se llama homogeacutenea en caso contrario no homogeacutenea Solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales Se llama solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales a una n-uacutepla de nuacutemeros reales (k1 k2 kn) que es solucioacuten de cada ecuacioacuten del sistema Clasificacioacuten de los sistemas Los sistemas se clasifican seguacuten tengan o no solucioacuten los que tienen al menos una solucioacuten se llaman posibles o compatible o incompatibles Los compatibles a su vez se clasifican en determinados si tienen solucioacuten uacutenicas y en indeterminados si tienen infinitas soluciones

Posibles o compatibles

(tiene solucioacuten)

Imposibles o incompatibles

(no tienen solucioacuten

Determinado Solucioacuten uacutenica

Indeterminado Infinitas soluciones

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

12

PROPIEDADES DE LOS NUacuteMEROS REALES QUE NO SE CUMPLEN EN LA MULTIPLICACIOacuteN DE MATRICES

1 AB BA No es conmutativa

2 AB = 0 A = 0 Oacute B = 0 El que el producto sea la matriz nula no significa que laguna de ellas lo

sea 3 AB = BC (B 0) A=C No cumple la propiedad cancelativa DETERMINANTES - Es poco comuacuten dar una definicioacuten formal de determinante y en algunos casos lo que se hacen son comentarios al respecto VV Voevodin en el texto Algebra Lineal (Paacuteg No 139) lo define de la siguiente forma DETERMINANTE Se llama determinante de orden n correspondiente a la matriz A la suma algebraica de n teacuterminos compuesto de la siguiente manera como cada teacutermino del determinante intervienen toda una serie de producto n elementos de la matriz uno en cada fila y en cada columna El teacutermino se toma con signo maacutes si los iacutendices de las columnas de sus elementos forman una permutacioacuten par a condicioacuten de los propios elementos estaacuten dispuestos en orden creciente de los nuacutemeros de las filas el signo menos se toma en el caso contrario Los determinantes se denota coacutemo det A = a ( a es cualquier nuacutemero) Es decir si

nn3n2n1n

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

A A es una matriz cuadrada

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1 El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de la

transpuesta detA=detAt 2 Si una de las filas (o columnas) de un determinante estaacuten constituidos por

ceros el determinante es igual a cero 3 Si se permutan dos filas (o dos columnas) el determinante cambia de signo

pero no de valor absoluto 4 Un determinante con dos filas (o dos columnas iguales es igual a cero) 5 Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de un

determinante por un mismo nuacutemero el determinante queda multiplicado por ese nuacutemero

6 Un determinante con 2 filas (o dos columnas) proporcionales es igual a cero)

13

COFACTOR Aij Se llama cofactor Aij de un elemento aij de una matriz cuadrada A al determinante correspondiente a la submatriz obtenida de A al suprimir la fila i y la columna j precedida del signo (-1)i + j Ejemplo

Dada

11109

321

876

B el cofactor A31 correspondiente

a a31 = 9 es A31 = (-1)3+1 32

87

7 (Teorema de Laplace) Todo determinante es igual a la suma algebraica de los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus respectivos cofactores esto es

1 detA =

n

1j

aij Aij Cuando se desarrolla por la fila i

2 det A =

n

11

aij Aij Cuando se desarrolla por la columna j

8 La suma algebraica de los productos de los elementos de una fila (o columna) por los cofactores de otra es igual a cero esto es

n

1j

aij Akj = 0 oacute

n

1i

aij Akj = 0

9 si los elementos de una fila (o columna) de un determinante son la suma algebraica de P teacuterminos el determinante puede expresarse como la suma de los P determinantes

14

3333

2222

1111

cbma

cbma

cbma

=

333

222

111

cba

cba

cba

+

333

222

111

cbm

cbm

cbm

EJEMPLO

24

32 =

23

31 +

21

31 =

22

31 +

22

31

10 Si una fila (o columna) de un determinante es una combinacioacuten lineal de otras el determinante es igual a cero 11 Si a los elementos de una fila (o columna) de un determinante se le suman los elementos de la otra fila (o columna) multiplicado por factores cualesquiera el determinantes no se altera 12 El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los elementos situados en la diagonal principal CALCULO DEL DETERMINANTE El calculo es muy tedioso si se efectuacutea usando la propiedad 7 donde hay que realizar n operaciones aritmeacuteticas (meacutetodo de menores y cofactores) Uno de los meacutetodos maacutes efectivo es suponiendo que en la matriz A existe un elemento aij

distinto de cero llamemos a este elemento rector Si a toda k-eacutesima fila i j

sumamos la i-eacutesima fila multiplicada por un nuacutemero i arbitrario el determinante no

variara aij

aiki

Usando la propiedad 11 entonces en la matriz nueva todos los elementos de la i-eacutesima columna a excepcioacuten del resto seraacuten iguales a cero con lo que se reduce el caacutelculo del determinante de n-eacutesimo orden a un determinante de orden n-1 este algoritmo se llama meacutetodo de Gauss par calcular un determinante de n-eacutesimo orden Ejemplo 1

Calcule detA si

341

235

312

A

1 Usando el meacutetodo de Laplace oacute propiedad 7 desarrollaacutendolo por la segunda columna

15

25

32)1)(4(

31

32)1)(3(

31

25)1)(1(Adet 232221

detA = -(15-2) + 3(6-3) - 4(4-15) = 40 Ejemplo 2

Calcule detA si

641278

16194

1132

1111

A

Si se usa el meacutetodo de Laplace o propiedad 7 tendriacuteamos que calcular 4 determinantes de tercer orden lo maacutes aconsejable es reducirlo a uno de tercer orden para ello hacemos lo siguiente Tomamos como vector 1 y tomamos la primera columna

1 = -21 = -2 2 = -41 = -4 3 = -81 = -8 de donde f2 = -2f1 + f2 f2 = -4f1 + f3 f4 = -8f1 + f4 quedando

56919

1235

131

)1)(1(

569190

12350

1310

1111

det 11A

Esto lo podemos reducir a uno de segundo y repetimos lo mismo en la primera columna

1 = -51 = -5 2 = -191 = -19 f2 = -5f1 + f2 f3 = -19f1 + f3

84)816900(7548

1712)1)(1(

75480

17120

131

det 11A

El procedimiento se puede hacer en cualquier fila o columna

16

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Se llaman transformaciones elementales a cierto cambio que se hacen en una matriz convirtieacutendola en otra del mismo tamantildeo y rango Estos cambios se pueden hacer por filas o por columna y pueden ser de 3 tipos

1 Permutacioacuten de 2 filas (o columnas) fi fj

2 Multiplicacioacuten de una fila (o columna) por un nuacutemero real distinto de cero fi

fi

3 Sumar a una fila (o columna) otra multiplicada por un nuacutemero real distinto de cero

fi fi + fj MATRICES EQUIVALENTES Dos matrices A y B obtenida una de la otra mediante transformaciones elementales y que tienen por lo tanto el mismo tamantildeo y rango se dicen

equivalentes lo que se representa como A B Ejemplo Obtenga 2 matrices equivalentes a la dada

135

278

121511

278

135

121511

11126

278

121511

RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz A es el nuacutemero maacuteximo de columnas linealmente independiente que tiene A TEOREMA El rango de una matriz A es igual al nuacutemero de renglones no nulos de cualquier forma escalonada por renglones correspondiente de A

Ejemplo Obtenga el rango de la matriz

693

462

231

A

693

462

231

A

000

000

231

El nuacutemero de renglones no nulos es 1 entonces r(A)

= 1 f2 = 2f1 + f2 f3 = 3f1 + f3

17

MATRIZ INVERSA Definicioacuten Una matriz B se llama inversa de una matriz cuadrada A si AB= BA = In Decimos que una matriz A es invertible o no singular si tiene inversa Sin embargo una matriz A puede no tener inversa en cuyo caso se llama no invertible o singular Teorema 1 Si Una matriz A de orden nxn es invertible entonces la inversa es uacutenica DEMOSTRACION Supoacutengase que la matriz A de nxn es invertible y que B y C son inversas de A entonces AB = BA = I AC = CA = I Formando el producto CAB y aplicando la propiedad asociativa del producto C(AB) = (CA)B

CI = IB C = B de este modo la inversa es uacutenica Teorema 2 Si dos matrices A y B de orden nxn son invertibles entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1 A-1 Teorema 3 La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa (At)-1 = (A-

1)t CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA (CUADRADA NO SINGULAR) 1 Por transformaciones elementales 2 Por matriz adjunta 3 Por particioacuten 1 Por transformaciones elementales

En la praacutectica se coloca la matriz a que tiene que ser cuadrada no singular | A | 0 y a continuacioacuten la matriz unitaria del mismo orden se hacen en ambas las mismas transformaciones por filas (o columnas) Estas se escogen de manera que conviertan a 2 en I Ejemplo Indique si la matriz dada es singular o no singular en caso de ser no singular calcular su inversa

18

1421

611

1633

A

1 Calculo del determinante

1421

1633

61|

Adet -

810

200

611

=

81

20

1 = (-1)(-2) = 2

Es no singular tiene inversa 2 Calculo de la inversa

1001421

010611

0011633

1001421

010611

003131611

103132610

01313200

003131611

01313200

103132610

003131611

01313200

103132610

103231001

02321100

103132610

003231001

02321100

113312010

151001

de donde A-1 =

02321

1134

151

2 Por matriz adjunta 21 b Por matriz adjunta Calculamos la matriz de Cofactores Matriz de Cofactores Se llama matriz de cofactores de una matriz A a la que resulta de sustituir los elementos aij de A por sus cofactores Aij se denota por Ac

19

2 Se llama transpuesta de la matriz de cofactores (matriz adjunta) Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores de A se denota como A+

nnn2n1

2n2212

1n2111

AAA

AAA

AAA

A

3 1A|

1A 1 A+

Ejemplo Calcular A-1 del mismo ejemplo usando el meacutetodo de matriz adjunta

1421

611

1633

A

1 El determinante de A es 2 calculado con el meacutetodo anterior 2 A11 = -2 A12 = 8 A13 =1 A21 = 10 A22 = -26 A23 = -3 A31 -2 A32 = 2 A33 = 0

022

32610

182

Ac

031

2268

2102

A

3

02321

1134

151

031

2268

2102

2

1A

|A|

1A 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (Tomado de VV Voevodin Paacuteg No 169 179 174) Ecuacioacuten Lineal Una ecuacioacuten lineal sobre el cuerpo R es una expresioacuten de la

forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + anxn = b (1) donde ai b R los ai son los coeficientes b es el teacutermino independiente y xi son las incoacutegnitas o variables Ejemplo 2x1 - 4xx + x3 = 9

20

Solucioacuten de una ecuacioacuten lineal Se llama solucioacuten de una ecuacioacuten lineal a un n-upla de nuacutemeros reales (k1 k2 k3 kn) al hacer x1 = k1 x2 = k2 x3 = k3 xn = kn la expresioacuten 1 se convierte en una identidad al conjunto de todas las soluciones de una ecuacioacuten lineal se llama conjunto solucioacuten Sistema de ecuaciones lineales Un conjunto de ecuaciones lineales constituye un sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

donde aij bi R aij son los coeficientes bi son los teacuterminos independientes xi son incoacutegnitas o variables un sistema de ecuacioacuten para los cuales b1 = b2 0 = bn = 0 se llama homogeacutenea en caso contrario no homogeacutenea Solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales Se llama solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales a una n-uacutepla de nuacutemeros reales (k1 k2 kn) que es solucioacuten de cada ecuacioacuten del sistema Clasificacioacuten de los sistemas Los sistemas se clasifican seguacuten tengan o no solucioacuten los que tienen al menos una solucioacuten se llaman posibles o compatible o incompatibles Los compatibles a su vez se clasifican en determinados si tienen solucioacuten uacutenicas y en indeterminados si tienen infinitas soluciones

Posibles o compatibles

(tiene solucioacuten)

Imposibles o incompatibles

(no tienen solucioacuten

Determinado Solucioacuten uacutenica

Indeterminado Infinitas soluciones

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

13

COFACTOR Aij Se llama cofactor Aij de un elemento aij de una matriz cuadrada A al determinante correspondiente a la submatriz obtenida de A al suprimir la fila i y la columna j precedida del signo (-1)i + j Ejemplo

Dada

11109

321

876

B el cofactor A31 correspondiente

a a31 = 9 es A31 = (-1)3+1 32

87

7 (Teorema de Laplace) Todo determinante es igual a la suma algebraica de los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus respectivos cofactores esto es

1 detA =

n

1j

aij Aij Cuando se desarrolla por la fila i

2 det A =

n

11

aij Aij Cuando se desarrolla por la columna j

8 La suma algebraica de los productos de los elementos de una fila (o columna) por los cofactores de otra es igual a cero esto es

n

1j

aij Akj = 0 oacute

n

1i

aij Akj = 0

9 si los elementos de una fila (o columna) de un determinante son la suma algebraica de P teacuterminos el determinante puede expresarse como la suma de los P determinantes

14

3333

2222

1111

cbma

cbma

cbma

=

333

222

111

cba

cba

cba

+

333

222

111

cbm

cbm

cbm

EJEMPLO

24

32 =

23

31 +

21

31 =

22

31 +

22

31

10 Si una fila (o columna) de un determinante es una combinacioacuten lineal de otras el determinante es igual a cero 11 Si a los elementos de una fila (o columna) de un determinante se le suman los elementos de la otra fila (o columna) multiplicado por factores cualesquiera el determinantes no se altera 12 El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los elementos situados en la diagonal principal CALCULO DEL DETERMINANTE El calculo es muy tedioso si se efectuacutea usando la propiedad 7 donde hay que realizar n operaciones aritmeacuteticas (meacutetodo de menores y cofactores) Uno de los meacutetodos maacutes efectivo es suponiendo que en la matriz A existe un elemento aij

distinto de cero llamemos a este elemento rector Si a toda k-eacutesima fila i j

sumamos la i-eacutesima fila multiplicada por un nuacutemero i arbitrario el determinante no

variara aij

aiki

Usando la propiedad 11 entonces en la matriz nueva todos los elementos de la i-eacutesima columna a excepcioacuten del resto seraacuten iguales a cero con lo que se reduce el caacutelculo del determinante de n-eacutesimo orden a un determinante de orden n-1 este algoritmo se llama meacutetodo de Gauss par calcular un determinante de n-eacutesimo orden Ejemplo 1

Calcule detA si

341

235

312

A

1 Usando el meacutetodo de Laplace oacute propiedad 7 desarrollaacutendolo por la segunda columna

15

25

32)1)(4(

31

32)1)(3(

31

25)1)(1(Adet 232221

detA = -(15-2) + 3(6-3) - 4(4-15) = 40 Ejemplo 2

Calcule detA si

641278

16194

1132

1111

A

Si se usa el meacutetodo de Laplace o propiedad 7 tendriacuteamos que calcular 4 determinantes de tercer orden lo maacutes aconsejable es reducirlo a uno de tercer orden para ello hacemos lo siguiente Tomamos como vector 1 y tomamos la primera columna

1 = -21 = -2 2 = -41 = -4 3 = -81 = -8 de donde f2 = -2f1 + f2 f2 = -4f1 + f3 f4 = -8f1 + f4 quedando

56919

1235

131

)1)(1(

569190

12350

1310

1111

det 11A

Esto lo podemos reducir a uno de segundo y repetimos lo mismo en la primera columna

1 = -51 = -5 2 = -191 = -19 f2 = -5f1 + f2 f3 = -19f1 + f3

84)816900(7548

1712)1)(1(

75480

17120

131

det 11A

El procedimiento se puede hacer en cualquier fila o columna

16

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Se llaman transformaciones elementales a cierto cambio que se hacen en una matriz convirtieacutendola en otra del mismo tamantildeo y rango Estos cambios se pueden hacer por filas o por columna y pueden ser de 3 tipos

1 Permutacioacuten de 2 filas (o columnas) fi fj

2 Multiplicacioacuten de una fila (o columna) por un nuacutemero real distinto de cero fi

fi

3 Sumar a una fila (o columna) otra multiplicada por un nuacutemero real distinto de cero

fi fi + fj MATRICES EQUIVALENTES Dos matrices A y B obtenida una de la otra mediante transformaciones elementales y que tienen por lo tanto el mismo tamantildeo y rango se dicen

equivalentes lo que se representa como A B Ejemplo Obtenga 2 matrices equivalentes a la dada

135

278

121511

278

135

121511

11126

278

121511

RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz A es el nuacutemero maacuteximo de columnas linealmente independiente que tiene A TEOREMA El rango de una matriz A es igual al nuacutemero de renglones no nulos de cualquier forma escalonada por renglones correspondiente de A

Ejemplo Obtenga el rango de la matriz

693

462

231

A

693

462

231

A

000

000

231

El nuacutemero de renglones no nulos es 1 entonces r(A)

= 1 f2 = 2f1 + f2 f3 = 3f1 + f3

17

MATRIZ INVERSA Definicioacuten Una matriz B se llama inversa de una matriz cuadrada A si AB= BA = In Decimos que una matriz A es invertible o no singular si tiene inversa Sin embargo una matriz A puede no tener inversa en cuyo caso se llama no invertible o singular Teorema 1 Si Una matriz A de orden nxn es invertible entonces la inversa es uacutenica DEMOSTRACION Supoacutengase que la matriz A de nxn es invertible y que B y C son inversas de A entonces AB = BA = I AC = CA = I Formando el producto CAB y aplicando la propiedad asociativa del producto C(AB) = (CA)B

CI = IB C = B de este modo la inversa es uacutenica Teorema 2 Si dos matrices A y B de orden nxn son invertibles entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1 A-1 Teorema 3 La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa (At)-1 = (A-

1)t CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA (CUADRADA NO SINGULAR) 1 Por transformaciones elementales 2 Por matriz adjunta 3 Por particioacuten 1 Por transformaciones elementales

En la praacutectica se coloca la matriz a que tiene que ser cuadrada no singular | A | 0 y a continuacioacuten la matriz unitaria del mismo orden se hacen en ambas las mismas transformaciones por filas (o columnas) Estas se escogen de manera que conviertan a 2 en I Ejemplo Indique si la matriz dada es singular o no singular en caso de ser no singular calcular su inversa

18

1421

611

1633

A

1 Calculo del determinante

1421

1633

61|

Adet -

810

200

611

=

81

20

1 = (-1)(-2) = 2

Es no singular tiene inversa 2 Calculo de la inversa

1001421

010611

0011633

1001421

010611

003131611

103132610

01313200

003131611

01313200

103132610

003131611

01313200

103132610

103231001

02321100

103132610

003231001

02321100

113312010

151001

de donde A-1 =

02321

1134

151

2 Por matriz adjunta 21 b Por matriz adjunta Calculamos la matriz de Cofactores Matriz de Cofactores Se llama matriz de cofactores de una matriz A a la que resulta de sustituir los elementos aij de A por sus cofactores Aij se denota por Ac

19

2 Se llama transpuesta de la matriz de cofactores (matriz adjunta) Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores de A se denota como A+

nnn2n1

2n2212

1n2111

AAA

AAA

AAA

A

3 1A|

1A 1 A+

Ejemplo Calcular A-1 del mismo ejemplo usando el meacutetodo de matriz adjunta

1421

611

1633

A

1 El determinante de A es 2 calculado con el meacutetodo anterior 2 A11 = -2 A12 = 8 A13 =1 A21 = 10 A22 = -26 A23 = -3 A31 -2 A32 = 2 A33 = 0

022

32610

182

Ac

031

2268

2102

A

3

02321

1134

151

031

2268

2102

2

1A

|A|

1A 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (Tomado de VV Voevodin Paacuteg No 169 179 174) Ecuacioacuten Lineal Una ecuacioacuten lineal sobre el cuerpo R es una expresioacuten de la

forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + anxn = b (1) donde ai b R los ai son los coeficientes b es el teacutermino independiente y xi son las incoacutegnitas o variables Ejemplo 2x1 - 4xx + x3 = 9

20

Solucioacuten de una ecuacioacuten lineal Se llama solucioacuten de una ecuacioacuten lineal a un n-upla de nuacutemeros reales (k1 k2 k3 kn) al hacer x1 = k1 x2 = k2 x3 = k3 xn = kn la expresioacuten 1 se convierte en una identidad al conjunto de todas las soluciones de una ecuacioacuten lineal se llama conjunto solucioacuten Sistema de ecuaciones lineales Un conjunto de ecuaciones lineales constituye un sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

donde aij bi R aij son los coeficientes bi son los teacuterminos independientes xi son incoacutegnitas o variables un sistema de ecuacioacuten para los cuales b1 = b2 0 = bn = 0 se llama homogeacutenea en caso contrario no homogeacutenea Solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales Se llama solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales a una n-uacutepla de nuacutemeros reales (k1 k2 kn) que es solucioacuten de cada ecuacioacuten del sistema Clasificacioacuten de los sistemas Los sistemas se clasifican seguacuten tengan o no solucioacuten los que tienen al menos una solucioacuten se llaman posibles o compatible o incompatibles Los compatibles a su vez se clasifican en determinados si tienen solucioacuten uacutenicas y en indeterminados si tienen infinitas soluciones

Posibles o compatibles

(tiene solucioacuten)

Imposibles o incompatibles

(no tienen solucioacuten

Determinado Solucioacuten uacutenica

Indeterminado Infinitas soluciones

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

14

3333

2222

1111

cbma

cbma

cbma

=

333

222

111

cba

cba

cba

+

333

222

111

cbm

cbm

cbm

EJEMPLO

24

32 =

23

31 +

21

31 =

22

31 +

22

31

10 Si una fila (o columna) de un determinante es una combinacioacuten lineal de otras el determinante es igual a cero 11 Si a los elementos de una fila (o columna) de un determinante se le suman los elementos de la otra fila (o columna) multiplicado por factores cualesquiera el determinantes no se altera 12 El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los elementos situados en la diagonal principal CALCULO DEL DETERMINANTE El calculo es muy tedioso si se efectuacutea usando la propiedad 7 donde hay que realizar n operaciones aritmeacuteticas (meacutetodo de menores y cofactores) Uno de los meacutetodos maacutes efectivo es suponiendo que en la matriz A existe un elemento aij

distinto de cero llamemos a este elemento rector Si a toda k-eacutesima fila i j

sumamos la i-eacutesima fila multiplicada por un nuacutemero i arbitrario el determinante no

variara aij

aiki

Usando la propiedad 11 entonces en la matriz nueva todos los elementos de la i-eacutesima columna a excepcioacuten del resto seraacuten iguales a cero con lo que se reduce el caacutelculo del determinante de n-eacutesimo orden a un determinante de orden n-1 este algoritmo se llama meacutetodo de Gauss par calcular un determinante de n-eacutesimo orden Ejemplo 1

Calcule detA si

341

235

312

A

1 Usando el meacutetodo de Laplace oacute propiedad 7 desarrollaacutendolo por la segunda columna

15

25

32)1)(4(

31

32)1)(3(

31

25)1)(1(Adet 232221

detA = -(15-2) + 3(6-3) - 4(4-15) = 40 Ejemplo 2

Calcule detA si

641278

16194

1132

1111

A

Si se usa el meacutetodo de Laplace o propiedad 7 tendriacuteamos que calcular 4 determinantes de tercer orden lo maacutes aconsejable es reducirlo a uno de tercer orden para ello hacemos lo siguiente Tomamos como vector 1 y tomamos la primera columna

1 = -21 = -2 2 = -41 = -4 3 = -81 = -8 de donde f2 = -2f1 + f2 f2 = -4f1 + f3 f4 = -8f1 + f4 quedando

56919

1235

131

)1)(1(

569190

12350

1310

1111

det 11A

Esto lo podemos reducir a uno de segundo y repetimos lo mismo en la primera columna

1 = -51 = -5 2 = -191 = -19 f2 = -5f1 + f2 f3 = -19f1 + f3

84)816900(7548

1712)1)(1(

75480

17120

131

det 11A

El procedimiento se puede hacer en cualquier fila o columna

16

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Se llaman transformaciones elementales a cierto cambio que se hacen en una matriz convirtieacutendola en otra del mismo tamantildeo y rango Estos cambios se pueden hacer por filas o por columna y pueden ser de 3 tipos

1 Permutacioacuten de 2 filas (o columnas) fi fj

2 Multiplicacioacuten de una fila (o columna) por un nuacutemero real distinto de cero fi

fi

3 Sumar a una fila (o columna) otra multiplicada por un nuacutemero real distinto de cero

fi fi + fj MATRICES EQUIVALENTES Dos matrices A y B obtenida una de la otra mediante transformaciones elementales y que tienen por lo tanto el mismo tamantildeo y rango se dicen

equivalentes lo que se representa como A B Ejemplo Obtenga 2 matrices equivalentes a la dada

135

278

121511

278

135

121511

11126

278

121511

RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz A es el nuacutemero maacuteximo de columnas linealmente independiente que tiene A TEOREMA El rango de una matriz A es igual al nuacutemero de renglones no nulos de cualquier forma escalonada por renglones correspondiente de A

Ejemplo Obtenga el rango de la matriz

693

462

231

A

693

462

231

A

000

000

231

El nuacutemero de renglones no nulos es 1 entonces r(A)

= 1 f2 = 2f1 + f2 f3 = 3f1 + f3

17

MATRIZ INVERSA Definicioacuten Una matriz B se llama inversa de una matriz cuadrada A si AB= BA = In Decimos que una matriz A es invertible o no singular si tiene inversa Sin embargo una matriz A puede no tener inversa en cuyo caso se llama no invertible o singular Teorema 1 Si Una matriz A de orden nxn es invertible entonces la inversa es uacutenica DEMOSTRACION Supoacutengase que la matriz A de nxn es invertible y que B y C son inversas de A entonces AB = BA = I AC = CA = I Formando el producto CAB y aplicando la propiedad asociativa del producto C(AB) = (CA)B

CI = IB C = B de este modo la inversa es uacutenica Teorema 2 Si dos matrices A y B de orden nxn son invertibles entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1 A-1 Teorema 3 La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa (At)-1 = (A-

1)t CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA (CUADRADA NO SINGULAR) 1 Por transformaciones elementales 2 Por matriz adjunta 3 Por particioacuten 1 Por transformaciones elementales

En la praacutectica se coloca la matriz a que tiene que ser cuadrada no singular | A | 0 y a continuacioacuten la matriz unitaria del mismo orden se hacen en ambas las mismas transformaciones por filas (o columnas) Estas se escogen de manera que conviertan a 2 en I Ejemplo Indique si la matriz dada es singular o no singular en caso de ser no singular calcular su inversa

18

1421

611

1633

A

1 Calculo del determinante

1421

1633

61|

Adet -

810

200

611

=

81

20

1 = (-1)(-2) = 2

Es no singular tiene inversa 2 Calculo de la inversa

1001421

010611

0011633

1001421

010611

003131611

103132610

01313200

003131611

01313200

103132610

003131611

01313200

103132610

103231001

02321100

103132610

003231001

02321100

113312010

151001

de donde A-1 =

02321

1134

151

2 Por matriz adjunta 21 b Por matriz adjunta Calculamos la matriz de Cofactores Matriz de Cofactores Se llama matriz de cofactores de una matriz A a la que resulta de sustituir los elementos aij de A por sus cofactores Aij se denota por Ac

19

2 Se llama transpuesta de la matriz de cofactores (matriz adjunta) Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores de A se denota como A+

nnn2n1

2n2212

1n2111

AAA

AAA

AAA

A

3 1A|

1A 1 A+

Ejemplo Calcular A-1 del mismo ejemplo usando el meacutetodo de matriz adjunta

1421

611

1633

A

1 El determinante de A es 2 calculado con el meacutetodo anterior 2 A11 = -2 A12 = 8 A13 =1 A21 = 10 A22 = -26 A23 = -3 A31 -2 A32 = 2 A33 = 0

022

32610

182

Ac

031

2268

2102

A

3

02321

1134

151

031

2268

2102

2

1A

|A|

1A 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (Tomado de VV Voevodin Paacuteg No 169 179 174) Ecuacioacuten Lineal Una ecuacioacuten lineal sobre el cuerpo R es una expresioacuten de la

forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + anxn = b (1) donde ai b R los ai son los coeficientes b es el teacutermino independiente y xi son las incoacutegnitas o variables Ejemplo 2x1 - 4xx + x3 = 9

20

Solucioacuten de una ecuacioacuten lineal Se llama solucioacuten de una ecuacioacuten lineal a un n-upla de nuacutemeros reales (k1 k2 k3 kn) al hacer x1 = k1 x2 = k2 x3 = k3 xn = kn la expresioacuten 1 se convierte en una identidad al conjunto de todas las soluciones de una ecuacioacuten lineal se llama conjunto solucioacuten Sistema de ecuaciones lineales Un conjunto de ecuaciones lineales constituye un sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

donde aij bi R aij son los coeficientes bi son los teacuterminos independientes xi son incoacutegnitas o variables un sistema de ecuacioacuten para los cuales b1 = b2 0 = bn = 0 se llama homogeacutenea en caso contrario no homogeacutenea Solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales Se llama solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales a una n-uacutepla de nuacutemeros reales (k1 k2 kn) que es solucioacuten de cada ecuacioacuten del sistema Clasificacioacuten de los sistemas Los sistemas se clasifican seguacuten tengan o no solucioacuten los que tienen al menos una solucioacuten se llaman posibles o compatible o incompatibles Los compatibles a su vez se clasifican en determinados si tienen solucioacuten uacutenicas y en indeterminados si tienen infinitas soluciones

Posibles o compatibles

(tiene solucioacuten)

Imposibles o incompatibles

(no tienen solucioacuten

Determinado Solucioacuten uacutenica

Indeterminado Infinitas soluciones

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

15

25

32)1)(4(

31

32)1)(3(

31

25)1)(1(Adet 232221

detA = -(15-2) + 3(6-3) - 4(4-15) = 40 Ejemplo 2

Calcule detA si

641278

16194

1132

1111

A

Si se usa el meacutetodo de Laplace o propiedad 7 tendriacuteamos que calcular 4 determinantes de tercer orden lo maacutes aconsejable es reducirlo a uno de tercer orden para ello hacemos lo siguiente Tomamos como vector 1 y tomamos la primera columna

1 = -21 = -2 2 = -41 = -4 3 = -81 = -8 de donde f2 = -2f1 + f2 f2 = -4f1 + f3 f4 = -8f1 + f4 quedando

56919

1235

131

)1)(1(

569190

12350

1310

1111

det 11A

Esto lo podemos reducir a uno de segundo y repetimos lo mismo en la primera columna

1 = -51 = -5 2 = -191 = -19 f2 = -5f1 + f2 f3 = -19f1 + f3

84)816900(7548

1712)1)(1(

75480

17120

131

det 11A

El procedimiento se puede hacer en cualquier fila o columna

16

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Se llaman transformaciones elementales a cierto cambio que se hacen en una matriz convirtieacutendola en otra del mismo tamantildeo y rango Estos cambios se pueden hacer por filas o por columna y pueden ser de 3 tipos

1 Permutacioacuten de 2 filas (o columnas) fi fj

2 Multiplicacioacuten de una fila (o columna) por un nuacutemero real distinto de cero fi

fi

3 Sumar a una fila (o columna) otra multiplicada por un nuacutemero real distinto de cero

fi fi + fj MATRICES EQUIVALENTES Dos matrices A y B obtenida una de la otra mediante transformaciones elementales y que tienen por lo tanto el mismo tamantildeo y rango se dicen

equivalentes lo que se representa como A B Ejemplo Obtenga 2 matrices equivalentes a la dada

135

278

121511

278

135

121511

11126

278

121511

RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz A es el nuacutemero maacuteximo de columnas linealmente independiente que tiene A TEOREMA El rango de una matriz A es igual al nuacutemero de renglones no nulos de cualquier forma escalonada por renglones correspondiente de A

Ejemplo Obtenga el rango de la matriz

693

462

231

A

693

462

231

A

000

000

231

El nuacutemero de renglones no nulos es 1 entonces r(A)

= 1 f2 = 2f1 + f2 f3 = 3f1 + f3

17

MATRIZ INVERSA Definicioacuten Una matriz B se llama inversa de una matriz cuadrada A si AB= BA = In Decimos que una matriz A es invertible o no singular si tiene inversa Sin embargo una matriz A puede no tener inversa en cuyo caso se llama no invertible o singular Teorema 1 Si Una matriz A de orden nxn es invertible entonces la inversa es uacutenica DEMOSTRACION Supoacutengase que la matriz A de nxn es invertible y que B y C son inversas de A entonces AB = BA = I AC = CA = I Formando el producto CAB y aplicando la propiedad asociativa del producto C(AB) = (CA)B

CI = IB C = B de este modo la inversa es uacutenica Teorema 2 Si dos matrices A y B de orden nxn son invertibles entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1 A-1 Teorema 3 La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa (At)-1 = (A-

1)t CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA (CUADRADA NO SINGULAR) 1 Por transformaciones elementales 2 Por matriz adjunta 3 Por particioacuten 1 Por transformaciones elementales

En la praacutectica se coloca la matriz a que tiene que ser cuadrada no singular | A | 0 y a continuacioacuten la matriz unitaria del mismo orden se hacen en ambas las mismas transformaciones por filas (o columnas) Estas se escogen de manera que conviertan a 2 en I Ejemplo Indique si la matriz dada es singular o no singular en caso de ser no singular calcular su inversa

18

1421

611

1633

A

1 Calculo del determinante

1421

1633

61|

Adet -

810

200

611

=

81

20

1 = (-1)(-2) = 2

Es no singular tiene inversa 2 Calculo de la inversa

1001421

010611

0011633

1001421

010611

003131611

103132610

01313200

003131611

01313200

103132610

003131611

01313200

103132610

103231001

02321100

103132610

003231001

02321100

113312010

151001

de donde A-1 =

02321

1134

151

2 Por matriz adjunta 21 b Por matriz adjunta Calculamos la matriz de Cofactores Matriz de Cofactores Se llama matriz de cofactores de una matriz A a la que resulta de sustituir los elementos aij de A por sus cofactores Aij se denota por Ac

19

2 Se llama transpuesta de la matriz de cofactores (matriz adjunta) Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores de A se denota como A+

nnn2n1

2n2212

1n2111

AAA

AAA

AAA

A

3 1A|

1A 1 A+

Ejemplo Calcular A-1 del mismo ejemplo usando el meacutetodo de matriz adjunta

1421

611

1633

A

1 El determinante de A es 2 calculado con el meacutetodo anterior 2 A11 = -2 A12 = 8 A13 =1 A21 = 10 A22 = -26 A23 = -3 A31 -2 A32 = 2 A33 = 0

022

32610

182

Ac

031

2268

2102

A

3

02321

1134

151

031

2268

2102

2

1A

|A|

1A 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (Tomado de VV Voevodin Paacuteg No 169 179 174) Ecuacioacuten Lineal Una ecuacioacuten lineal sobre el cuerpo R es una expresioacuten de la

forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + anxn = b (1) donde ai b R los ai son los coeficientes b es el teacutermino independiente y xi son las incoacutegnitas o variables Ejemplo 2x1 - 4xx + x3 = 9

20

Solucioacuten de una ecuacioacuten lineal Se llama solucioacuten de una ecuacioacuten lineal a un n-upla de nuacutemeros reales (k1 k2 k3 kn) al hacer x1 = k1 x2 = k2 x3 = k3 xn = kn la expresioacuten 1 se convierte en una identidad al conjunto de todas las soluciones de una ecuacioacuten lineal se llama conjunto solucioacuten Sistema de ecuaciones lineales Un conjunto de ecuaciones lineales constituye un sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

donde aij bi R aij son los coeficientes bi son los teacuterminos independientes xi son incoacutegnitas o variables un sistema de ecuacioacuten para los cuales b1 = b2 0 = bn = 0 se llama homogeacutenea en caso contrario no homogeacutenea Solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales Se llama solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales a una n-uacutepla de nuacutemeros reales (k1 k2 kn) que es solucioacuten de cada ecuacioacuten del sistema Clasificacioacuten de los sistemas Los sistemas se clasifican seguacuten tengan o no solucioacuten los que tienen al menos una solucioacuten se llaman posibles o compatible o incompatibles Los compatibles a su vez se clasifican en determinados si tienen solucioacuten uacutenicas y en indeterminados si tienen infinitas soluciones

Posibles o compatibles

(tiene solucioacuten)

Imposibles o incompatibles

(no tienen solucioacuten

Determinado Solucioacuten uacutenica

Indeterminado Infinitas soluciones

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

16

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Se llaman transformaciones elementales a cierto cambio que se hacen en una matriz convirtieacutendola en otra del mismo tamantildeo y rango Estos cambios se pueden hacer por filas o por columna y pueden ser de 3 tipos

1 Permutacioacuten de 2 filas (o columnas) fi fj

2 Multiplicacioacuten de una fila (o columna) por un nuacutemero real distinto de cero fi

fi

3 Sumar a una fila (o columna) otra multiplicada por un nuacutemero real distinto de cero

fi fi + fj MATRICES EQUIVALENTES Dos matrices A y B obtenida una de la otra mediante transformaciones elementales y que tienen por lo tanto el mismo tamantildeo y rango se dicen

equivalentes lo que se representa como A B Ejemplo Obtenga 2 matrices equivalentes a la dada

135

278

121511

278

135

121511

11126

278

121511

RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz A es el nuacutemero maacuteximo de columnas linealmente independiente que tiene A TEOREMA El rango de una matriz A es igual al nuacutemero de renglones no nulos de cualquier forma escalonada por renglones correspondiente de A

Ejemplo Obtenga el rango de la matriz

693

462

231

A

693

462

231

A

000

000

231

El nuacutemero de renglones no nulos es 1 entonces r(A)

= 1 f2 = 2f1 + f2 f3 = 3f1 + f3

17

MATRIZ INVERSA Definicioacuten Una matriz B se llama inversa de una matriz cuadrada A si AB= BA = In Decimos que una matriz A es invertible o no singular si tiene inversa Sin embargo una matriz A puede no tener inversa en cuyo caso se llama no invertible o singular Teorema 1 Si Una matriz A de orden nxn es invertible entonces la inversa es uacutenica DEMOSTRACION Supoacutengase que la matriz A de nxn es invertible y que B y C son inversas de A entonces AB = BA = I AC = CA = I Formando el producto CAB y aplicando la propiedad asociativa del producto C(AB) = (CA)B

CI = IB C = B de este modo la inversa es uacutenica Teorema 2 Si dos matrices A y B de orden nxn son invertibles entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1 A-1 Teorema 3 La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa (At)-1 = (A-

1)t CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA (CUADRADA NO SINGULAR) 1 Por transformaciones elementales 2 Por matriz adjunta 3 Por particioacuten 1 Por transformaciones elementales

En la praacutectica se coloca la matriz a que tiene que ser cuadrada no singular | A | 0 y a continuacioacuten la matriz unitaria del mismo orden se hacen en ambas las mismas transformaciones por filas (o columnas) Estas se escogen de manera que conviertan a 2 en I Ejemplo Indique si la matriz dada es singular o no singular en caso de ser no singular calcular su inversa

18

1421

611

1633

A

1 Calculo del determinante

1421

1633

61|

Adet -

810

200

611

=

81

20

1 = (-1)(-2) = 2

Es no singular tiene inversa 2 Calculo de la inversa

1001421

010611

0011633

1001421

010611

003131611

103132610

01313200

003131611

01313200

103132610

003131611

01313200

103132610

103231001

02321100

103132610

003231001

02321100

113312010

151001

de donde A-1 =

02321

1134

151

2 Por matriz adjunta 21 b Por matriz adjunta Calculamos la matriz de Cofactores Matriz de Cofactores Se llama matriz de cofactores de una matriz A a la que resulta de sustituir los elementos aij de A por sus cofactores Aij se denota por Ac

19

2 Se llama transpuesta de la matriz de cofactores (matriz adjunta) Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores de A se denota como A+

nnn2n1

2n2212

1n2111

AAA

AAA

AAA

A

3 1A|

1A 1 A+

Ejemplo Calcular A-1 del mismo ejemplo usando el meacutetodo de matriz adjunta

1421

611

1633

A

1 El determinante de A es 2 calculado con el meacutetodo anterior 2 A11 = -2 A12 = 8 A13 =1 A21 = 10 A22 = -26 A23 = -3 A31 -2 A32 = 2 A33 = 0

022

32610

182

Ac

031

2268

2102

A

3

02321

1134

151

031

2268

2102

2

1A

|A|

1A 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (Tomado de VV Voevodin Paacuteg No 169 179 174) Ecuacioacuten Lineal Una ecuacioacuten lineal sobre el cuerpo R es una expresioacuten de la

forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + anxn = b (1) donde ai b R los ai son los coeficientes b es el teacutermino independiente y xi son las incoacutegnitas o variables Ejemplo 2x1 - 4xx + x3 = 9

20

Solucioacuten de una ecuacioacuten lineal Se llama solucioacuten de una ecuacioacuten lineal a un n-upla de nuacutemeros reales (k1 k2 k3 kn) al hacer x1 = k1 x2 = k2 x3 = k3 xn = kn la expresioacuten 1 se convierte en una identidad al conjunto de todas las soluciones de una ecuacioacuten lineal se llama conjunto solucioacuten Sistema de ecuaciones lineales Un conjunto de ecuaciones lineales constituye un sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

donde aij bi R aij son los coeficientes bi son los teacuterminos independientes xi son incoacutegnitas o variables un sistema de ecuacioacuten para los cuales b1 = b2 0 = bn = 0 se llama homogeacutenea en caso contrario no homogeacutenea Solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales Se llama solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales a una n-uacutepla de nuacutemeros reales (k1 k2 kn) que es solucioacuten de cada ecuacioacuten del sistema Clasificacioacuten de los sistemas Los sistemas se clasifican seguacuten tengan o no solucioacuten los que tienen al menos una solucioacuten se llaman posibles o compatible o incompatibles Los compatibles a su vez se clasifican en determinados si tienen solucioacuten uacutenicas y en indeterminados si tienen infinitas soluciones

Posibles o compatibles

(tiene solucioacuten)

Imposibles o incompatibles

(no tienen solucioacuten

Determinado Solucioacuten uacutenica

Indeterminado Infinitas soluciones

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

17

MATRIZ INVERSA Definicioacuten Una matriz B se llama inversa de una matriz cuadrada A si AB= BA = In Decimos que una matriz A es invertible o no singular si tiene inversa Sin embargo una matriz A puede no tener inversa en cuyo caso se llama no invertible o singular Teorema 1 Si Una matriz A de orden nxn es invertible entonces la inversa es uacutenica DEMOSTRACION Supoacutengase que la matriz A de nxn es invertible y que B y C son inversas de A entonces AB = BA = I AC = CA = I Formando el producto CAB y aplicando la propiedad asociativa del producto C(AB) = (CA)B

CI = IB C = B de este modo la inversa es uacutenica Teorema 2 Si dos matrices A y B de orden nxn son invertibles entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1 A-1 Teorema 3 La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa (At)-1 = (A-

1)t CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA (CUADRADA NO SINGULAR) 1 Por transformaciones elementales 2 Por matriz adjunta 3 Por particioacuten 1 Por transformaciones elementales

En la praacutectica se coloca la matriz a que tiene que ser cuadrada no singular | A | 0 y a continuacioacuten la matriz unitaria del mismo orden se hacen en ambas las mismas transformaciones por filas (o columnas) Estas se escogen de manera que conviertan a 2 en I Ejemplo Indique si la matriz dada es singular o no singular en caso de ser no singular calcular su inversa

18

1421

611

1633

A

1 Calculo del determinante

1421

1633

61|

Adet -

810

200

611

=

81

20

1 = (-1)(-2) = 2

Es no singular tiene inversa 2 Calculo de la inversa

1001421

010611

0011633

1001421

010611

003131611

103132610

01313200

003131611

01313200

103132610

003131611

01313200

103132610

103231001

02321100

103132610

003231001

02321100

113312010

151001

de donde A-1 =

02321

1134

151

2 Por matriz adjunta 21 b Por matriz adjunta Calculamos la matriz de Cofactores Matriz de Cofactores Se llama matriz de cofactores de una matriz A a la que resulta de sustituir los elementos aij de A por sus cofactores Aij se denota por Ac

19

2 Se llama transpuesta de la matriz de cofactores (matriz adjunta) Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores de A se denota como A+

nnn2n1

2n2212

1n2111

AAA

AAA

AAA

A

3 1A|

1A 1 A+

Ejemplo Calcular A-1 del mismo ejemplo usando el meacutetodo de matriz adjunta

1421

611

1633

A

1 El determinante de A es 2 calculado con el meacutetodo anterior 2 A11 = -2 A12 = 8 A13 =1 A21 = 10 A22 = -26 A23 = -3 A31 -2 A32 = 2 A33 = 0

022

32610

182

Ac

031

2268

2102

A

3

02321

1134

151

031

2268

2102

2

1A

|A|

1A 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (Tomado de VV Voevodin Paacuteg No 169 179 174) Ecuacioacuten Lineal Una ecuacioacuten lineal sobre el cuerpo R es una expresioacuten de la

forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + anxn = b (1) donde ai b R los ai son los coeficientes b es el teacutermino independiente y xi son las incoacutegnitas o variables Ejemplo 2x1 - 4xx + x3 = 9

20

Solucioacuten de una ecuacioacuten lineal Se llama solucioacuten de una ecuacioacuten lineal a un n-upla de nuacutemeros reales (k1 k2 k3 kn) al hacer x1 = k1 x2 = k2 x3 = k3 xn = kn la expresioacuten 1 se convierte en una identidad al conjunto de todas las soluciones de una ecuacioacuten lineal se llama conjunto solucioacuten Sistema de ecuaciones lineales Un conjunto de ecuaciones lineales constituye un sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

donde aij bi R aij son los coeficientes bi son los teacuterminos independientes xi son incoacutegnitas o variables un sistema de ecuacioacuten para los cuales b1 = b2 0 = bn = 0 se llama homogeacutenea en caso contrario no homogeacutenea Solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales Se llama solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales a una n-uacutepla de nuacutemeros reales (k1 k2 kn) que es solucioacuten de cada ecuacioacuten del sistema Clasificacioacuten de los sistemas Los sistemas se clasifican seguacuten tengan o no solucioacuten los que tienen al menos una solucioacuten se llaman posibles o compatible o incompatibles Los compatibles a su vez se clasifican en determinados si tienen solucioacuten uacutenicas y en indeterminados si tienen infinitas soluciones

Posibles o compatibles

(tiene solucioacuten)

Imposibles o incompatibles

(no tienen solucioacuten

Determinado Solucioacuten uacutenica

Indeterminado Infinitas soluciones

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

18

1421

611

1633

A

1 Calculo del determinante

1421

1633

61|

Adet -

810

200

611

=

81

20

1 = (-1)(-2) = 2

Es no singular tiene inversa 2 Calculo de la inversa

1001421

010611

0011633

1001421

010611

003131611

103132610

01313200

003131611

01313200

103132610

003131611

01313200

103132610

103231001

02321100

103132610

003231001

02321100

113312010

151001

de donde A-1 =

02321

1134

151

2 Por matriz adjunta 21 b Por matriz adjunta Calculamos la matriz de Cofactores Matriz de Cofactores Se llama matriz de cofactores de una matriz A a la que resulta de sustituir los elementos aij de A por sus cofactores Aij se denota por Ac

19

2 Se llama transpuesta de la matriz de cofactores (matriz adjunta) Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores de A se denota como A+

nnn2n1

2n2212

1n2111

AAA

AAA

AAA

A

3 1A|

1A 1 A+

Ejemplo Calcular A-1 del mismo ejemplo usando el meacutetodo de matriz adjunta

1421

611

1633

A

1 El determinante de A es 2 calculado con el meacutetodo anterior 2 A11 = -2 A12 = 8 A13 =1 A21 = 10 A22 = -26 A23 = -3 A31 -2 A32 = 2 A33 = 0

022

32610

182

Ac

031

2268

2102

A

3

02321

1134

151

031

2268

2102

2

1A

|A|

1A 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (Tomado de VV Voevodin Paacuteg No 169 179 174) Ecuacioacuten Lineal Una ecuacioacuten lineal sobre el cuerpo R es una expresioacuten de la

forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + anxn = b (1) donde ai b R los ai son los coeficientes b es el teacutermino independiente y xi son las incoacutegnitas o variables Ejemplo 2x1 - 4xx + x3 = 9

20

Solucioacuten de una ecuacioacuten lineal Se llama solucioacuten de una ecuacioacuten lineal a un n-upla de nuacutemeros reales (k1 k2 k3 kn) al hacer x1 = k1 x2 = k2 x3 = k3 xn = kn la expresioacuten 1 se convierte en una identidad al conjunto de todas las soluciones de una ecuacioacuten lineal se llama conjunto solucioacuten Sistema de ecuaciones lineales Un conjunto de ecuaciones lineales constituye un sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

donde aij bi R aij son los coeficientes bi son los teacuterminos independientes xi son incoacutegnitas o variables un sistema de ecuacioacuten para los cuales b1 = b2 0 = bn = 0 se llama homogeacutenea en caso contrario no homogeacutenea Solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales Se llama solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales a una n-uacutepla de nuacutemeros reales (k1 k2 kn) que es solucioacuten de cada ecuacioacuten del sistema Clasificacioacuten de los sistemas Los sistemas se clasifican seguacuten tengan o no solucioacuten los que tienen al menos una solucioacuten se llaman posibles o compatible o incompatibles Los compatibles a su vez se clasifican en determinados si tienen solucioacuten uacutenicas y en indeterminados si tienen infinitas soluciones

Posibles o compatibles

(tiene solucioacuten)

Imposibles o incompatibles

(no tienen solucioacuten

Determinado Solucioacuten uacutenica

Indeterminado Infinitas soluciones

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

19

2 Se llama transpuesta de la matriz de cofactores (matriz adjunta) Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz transpuesta de la matriz de los cofactores de A se denota como A+

nnn2n1

2n2212

1n2111

AAA

AAA

AAA

A

3 1A|

1A 1 A+

Ejemplo Calcular A-1 del mismo ejemplo usando el meacutetodo de matriz adjunta

1421

611

1633

A

1 El determinante de A es 2 calculado con el meacutetodo anterior 2 A11 = -2 A12 = 8 A13 =1 A21 = 10 A22 = -26 A23 = -3 A31 -2 A32 = 2 A33 = 0

022

32610

182

Ac

031

2268

2102

A

3

02321

1134

151

031

2268

2102

2

1A

|A|

1A 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (Tomado de VV Voevodin Paacuteg No 169 179 174) Ecuacioacuten Lineal Una ecuacioacuten lineal sobre el cuerpo R es una expresioacuten de la

forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + anxn = b (1) donde ai b R los ai son los coeficientes b es el teacutermino independiente y xi son las incoacutegnitas o variables Ejemplo 2x1 - 4xx + x3 = 9

20

Solucioacuten de una ecuacioacuten lineal Se llama solucioacuten de una ecuacioacuten lineal a un n-upla de nuacutemeros reales (k1 k2 k3 kn) al hacer x1 = k1 x2 = k2 x3 = k3 xn = kn la expresioacuten 1 se convierte en una identidad al conjunto de todas las soluciones de una ecuacioacuten lineal se llama conjunto solucioacuten Sistema de ecuaciones lineales Un conjunto de ecuaciones lineales constituye un sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

donde aij bi R aij son los coeficientes bi son los teacuterminos independientes xi son incoacutegnitas o variables un sistema de ecuacioacuten para los cuales b1 = b2 0 = bn = 0 se llama homogeacutenea en caso contrario no homogeacutenea Solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales Se llama solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales a una n-uacutepla de nuacutemeros reales (k1 k2 kn) que es solucioacuten de cada ecuacioacuten del sistema Clasificacioacuten de los sistemas Los sistemas se clasifican seguacuten tengan o no solucioacuten los que tienen al menos una solucioacuten se llaman posibles o compatible o incompatibles Los compatibles a su vez se clasifican en determinados si tienen solucioacuten uacutenicas y en indeterminados si tienen infinitas soluciones

Posibles o compatibles

(tiene solucioacuten)

Imposibles o incompatibles

(no tienen solucioacuten

Determinado Solucioacuten uacutenica

Indeterminado Infinitas soluciones

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

20

Solucioacuten de una ecuacioacuten lineal Se llama solucioacuten de una ecuacioacuten lineal a un n-upla de nuacutemeros reales (k1 k2 k3 kn) al hacer x1 = k1 x2 = k2 x3 = k3 xn = kn la expresioacuten 1 se convierte en una identidad al conjunto de todas las soluciones de una ecuacioacuten lineal se llama conjunto solucioacuten Sistema de ecuaciones lineales Un conjunto de ecuaciones lineales constituye un sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bn

donde aij bi R aij son los coeficientes bi son los teacuterminos independientes xi son incoacutegnitas o variables un sistema de ecuacioacuten para los cuales b1 = b2 0 = bn = 0 se llama homogeacutenea en caso contrario no homogeacutenea Solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales Se llama solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales a una n-uacutepla de nuacutemeros reales (k1 k2 kn) que es solucioacuten de cada ecuacioacuten del sistema Clasificacioacuten de los sistemas Los sistemas se clasifican seguacuten tengan o no solucioacuten los que tienen al menos una solucioacuten se llaman posibles o compatible o incompatibles Los compatibles a su vez se clasifican en determinados si tienen solucioacuten uacutenicas y en indeterminados si tienen infinitas soluciones

Posibles o compatibles

(tiene solucioacuten)

Imposibles o incompatibles

(no tienen solucioacuten

Determinado Solucioacuten uacutenica

Indeterminado Infinitas soluciones

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

21

UNA MATRIZ ES DE FORMA ESCALONADA REDUCIDA POR RENGLONES SI SATISFACE LAS SIGUIENTES CONDICIONES 1 La componente guiacutea de cualquier rengloacuten que contiene por lo menos un

elementos distinto de cero es igual a 1 2 Todas las componentes que se encuentran debajo de la componente guiacutea de

un rengloacuten son iguales a cero 3 La componente guiacutea de cada rengloacuten se encuentra a la derecha de la

componente guiacutea de cada rengloacuten precedente 4 Todos los renglones que contienen solamente el elemento cero se encuentran

en la parte inferior de la matriz 5 Cada columna (liacutenea vertical) que incluye una componente guiacutea contienen

ceros en las demaacutes posiciones Teorema 1 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene maacutes incoacutegnitas que ecuaciones entonces no hay solucioacuten alguna o hay infinidad de soluciones Teorema 2 Un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas x1 x2 xn tiene una solucioacuten uacutenica si y solo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes de In Teorema 3 Un sistema de ecuaciones homogeacuteneo con maacutes incoacutegnitas que ecuaciones tiene un nuacutemero infinito de soluciones FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incoacutegnitas puede representarse en forma matricial mediante una ecuacioacuten matricial Ax = B donde A es la matriz del sistema Ejemplo Exprese el siguiente sistema en forma matricial

3x1 - 9x2 - 6x3 = 15 6x1 - 11x2 - 5x3 = 86 -3x1 - 5x2 - 8x3 = -127

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

22

En forma matricial

127

86

15

x

x

x

853

5119

693

3

2

1

MATRIZ AMPLIADA Es la que se obtiene antildeadiendo a la matriz del sistema la columna de teacuterminos

independientes se denota por A

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Teorema de Roouch - Frobenius (Kroncker - Capelli) La condicioacuten necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de la matriz del sistema sea igual al rango de la matriz ampliada Si ademaacutes el rango comuacuten coincide con el nuacutemero de incoacutegnitas (r = n) el sistema es determinado y si el rango comuacuten es menor que el nuacutemero de incoacutegnitas el

sistema es indeterminado (r lt n)

Matriz del sistema A

Teacuterminos

independientes

Sistemas

Posibles oacute compatibles

R(A) = r( A )

Imposibles oacute incompatibles

R(A) r( A )

Determinado r = n

Indeterminado r lt n

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

23

Ejemplo Verifique el teorema de Rouche - Frobenius o Kroncerker Capelli (ejercicio No 19 Paacuteg 18 Harvey Gerber)

2x1 + 6x2 - 2x3 = 10 2x1 - 5x2 - 6x3 = 8 14x1 + 2x1 - 30x3 = 62

6230214

8652

10262

816440

24110

5131

0000

11211410

5131

Puede observarse que se ha obtenido un sistema escalonado en el cual se anuloacute

la uacuteltima fila simultaacuteneamente en la matriz ampliada A y en la matriz del sistema a de donde

r ( A ) = r (A) = 2 El sistema es compatible y

r ( A ) = r (A) = r = 2 lt n El sistema es indeterminado En resumen el sistema es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones Meacutetodo de Gausss Este meacutetodo consiste en la eliminacioacuten consecutiva de las incoacutegnitas mediante transformaciones elementales planteadas que no alteran la equivalencia Dado el sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm

Suponiendo que a11 0 se elimina x1 de todas las ecuaciones menos de la primera por transformaciones elementales a la segunda ecuacioacuten le sumamos la

primera multiplicada por 11

21

a

a a la tercera le sumamos la primera multiplicada por

11

31

a

a a la misma ecuacioacuten le sumamos la primera multiplicada por

11

1m

a

a de este

procedimiento obtenemos un sistema equivalente que seraacute

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

24

a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 am2x2 + am3x3 + + am3xn = bm

Eliminemos ahora x2 sin tocar la primera y dejando ideacutentica la segunda ecuacioacuten

a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por 22

32

a

a a la m-eacutesima ecuacioacuten

le sumamos la segunda multiplicada por 22

2m

a

a obteniendo un nuevo sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a33x3 + + a3nxn = b3 am3x3 + + am3xn = bm

Transformemos nuevamente el sistema sin tocar las 2 primeras eliminando x3de todas menos de la tercer y asiacute sucesivamente se llega a un sistema posible triangular r = n como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2

a33x3 + + a3nxn = b3

)1n(mn

)1n(mn bxa

Obtenieacutendose xn primero y luego se sustituye hacia arriba La forma trapezoidal (r ltn) pertenece a un sistema posible indeterminado r nos da el nuacutemero de variables dependientes n-r el nuacutemero de variables independientes n-r se llama grados de libertad del sistema ya que representa el nuacutemero de variables a las que podemos asignarles valores arbitrarios Si en el proceso de transformaciones aparece una ecuacioacuten con todos los coeficientes iguales a cero y con el teacutermino independiente distinto de cero el sistema es incompatible

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

25

Cuadro resumen del meacutetodo de Gauss

Ejemplo (Propuesto Proskuriakon 567) Resolver utilizando el meacutetodo de Guss

3x1 - 2x2 - 5x3 + x4 = 3 2x1 - 3x2 + 5x3 +5x4 = -3 x1 + 2x2 - 4xy = -3 x1 - x2 - 4x3 + 9xy = 32

Tomando la matriz del sistema y escalonaacutendolo tendremos

31523

35132

229411

34021

313580

313170

2513430

34021

316436531700

31663522100

3252133410

34021

3175431377000

311663152100

3253133410

34021

r (A) = r ( A ) = 4 el sistema es compatible r = n = 4 es determinado El sistema es compatible determinado

m = n

Imposible

Posible determinado(no hay ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay ecuaciones redundantes)

m gt n

m lt n

Posible determinado( hay m-n ecuaciones redundantes)

Posible indeterminado (hay maacutes m-n ecuaciones

redundantes)

Imposibles

Posible indeterminado (puede o no haber ecuaciones

redundantes)

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

26

Haciendo una sustitucioacuten hacia atraacutes tenemos

1 31

754x

31

3774 3

3

25

3

)2(13

3

)2(4x2

x4 = 2 x2 = 3

2 31

166

31

)2(52x3 4 x1 + 2(3) - (4) (2) = -3

x3 = -2 x1 = -1

El vector solucioacuten del sistema es

2

2

3

1

x

Meacutetodo de Gauss Jordan El meacutetodo de Gauss Jordan es una modificacioacuten del meacutetodo de Gauss para los sistemas posibles determinados consiste en convertir la matriz del sistema en una matriz unitaria mediante transformaciones elementales por filas igual al que haciacutean para hallar la inversa Ejemplo Resolver el sistema siguiente por el meacutetodo de Gauss Jordan

x1 - x2 - x4 = 3 3x2 + x3 + 4x4 = -2

2x1 - x4 = 3 x1 + x2 + x3 = 0

Se toma la matriz ampliada del sistema y se transforma la matriz del sistema en la identidad como se hace en el calculo de la inversa

00111

31002

24130

31011

31120

31020

24130

31011

55100

55200

24130

71103

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

27

1515000

55200

93060

93006

1515000

00600

6000300

6000030

11100

00100

20010

20001

de donde se puede observar que x4 = 1 x3 = 0 x2 = -2 x1 = 2

1

0

2

2

x

REGLA DE CRAMER Las Reglas de las operaciones con columnas y con renglones de un determinante permiten hacer uso de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones

a11x1 + a12x2 + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + annxn = bn

Este sistema puede expresarse por medio de una ecuacioacuten matricial Ax = y

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

n

2

1

n

2

1

b

b

b

x

x

x

si det(A) 0 la solucioacuten del sistema ecuacioacuten lineal estaacute dado por

Adet

)Ardet(xr para r = 1 2 n

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

28

de donde la matriz Ar se obtiene de A reemplazando la columna r-eacutesima de A por

el valor

n

2

1

b

b

b

o sea el vector de valores del lado derecho de 4

Ejemplo Resolver el sistema por la regla de Cramer

x1 + x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + 2x3 = 2

3x2 - 4x3 = 3

430

212

111

A

433

212

111

A1

430

222

111

A2

330

212

111

A3

det (A) = 12 det (A1) = 21 det (A2) = 0 det (A3) = -9

4

3

12

9x0

12

0x

4

7

4

21x 321

43

0

47

x

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

29

EJERCICIOS PROPUESTOS

I DEFINICION Y CONCEPTO DE MATRIZ 1 Dos jugadores a la vez muestran un dedo a dos Si el nuacutemero total de dedos

mostrados es par R le paga a C un nuacutemero de doacutelares igual al nuacutemero total de dedos mostrados Si es impar C le paga R ese nuacutemero de doacutelares (Plantee la matriz del juego)

2 En un pequentildeo pueblo compiten en negocios dos expendios de comestibles El

A determinoacute que si se aumenta su precio perderaacute el 1 del mercado Si B aumenta sus precios el 3 del mercado si B no cambia su precio y el 11 del mercado si B baja sus precios Si h conserva sus precios anteriores gana el 4 si B aumenta sus precios y pierde el 5 si B disminuye sus precios Finalmente si A disminuye sus precios gane el 9 si B aumenta los suyo gana el 3 si B conserva los suyos y pierde el 1 si B a su vez disminuye los suyos (Plantee la matriz)

3 Un corredor de bolsa vendioacute a un cliente 200 acciones de la empresa A 300

acciones de la B 500 acciones de la C y 300 acciones de la D forme una matriz rengloacuten que proporcione el nuacutemero de acciones que se vendieron de cada empresa Si las acciones se venden en C$20 C$30 C$45 y C$100 por accioacuten respectivamente exprese esta formacioacuten como matriz columna

4 Un contratista de construccioacuten ha aceptado pedidos por 5 casas estilo

ranchero 7 casas estilo campero y 12 casas estilo colonial (expresados en rengloacuten) Supoacutengase que el contratista desea tomar en consideracioacuten los costos de transporte y compra de materia prima para ese pedido cuyos costos estaacuten dados por la matriz

5 Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteriacuteas A B y C En

cada uno de los tamantildeos grande y pequentildeo Produce diariamente 1000 estanteriacuteas grandes y 8000 pequentildeas de tipo A 8000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequentildeas de tipo C Cada estanteriacutea grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estanteriacutea pequentildea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos

Precio de

Compra

1500

800

500

100

1000

Precio de

Transporte

45 Acero

20 Madera

30 Vidrio

5 Pintura

0 Mano de obra

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

30

a) Representar esta informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la produccioacuten diaria de cada uno de los seis modelos-tamantildeo de estanteriacutea

6 Una faacutebrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones

N L y S Produce del modelo A 400 unidades en la terminacioacuten N 200 unidades en la terminacioacuten L y 50 unidades en la terminacioacuten S Produce del modelo B 300 unidades en la terminacioacuten N 100 unidades en la terminacioacuten L y 30 unidades en la terminacioacuten S La terminacioacuten N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracioacuten La terminacioacuten L lleva 30 horas de taller y 12 horas de administracioacuten La terminacioacuten S lleva 33 horas de taller y 13 horas de administracioacuten

a) Representar la informacioacuten en dos matrices

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracioacuten

empleadas para cada uno de los modelos

II OPERACIONES CON MATRICES

7 Dadas las matrices

Calcular A + B A - B A x B B x A At 8 Sean las matrices

Efectuar las siguientes operaciones (A + B) 2 (A - B) 2 (B) 3 A middot B t middot C

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

31

9 Sean las matrices

430

211A

321

304B

3001

2415

1032

C

3

1

2

D

Hallar A + B A +C 3A - 4B AB AC AD BC BD CD Hallar At AtC DtAt BtAt DtD DDt 10 Dadas las matrices

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (A t middot B ) middot C

b) (B middot Ct ) middot At 11 Determinar la dimensioacuten de M para que pueda efectuarse el producto A middot M middot C

12 Determina la dimensioacuten de M para que Ct middot M sea una matriz cuadrada 13 Calcule

a

i001

0100

i0i

064

1000

2100

3210

4321

b

065

413

211

467

9810

203

467

8910

021

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

32

14 Demostrar que A2 - A - 2 I = 0 siendo

15 Sea A la matriz Hallar An para n

16 Por queacute matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la

matriz

17 Sean 13

22A hallar A3 y A2 si f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4 encontrar f(A) si

g(x) = x2 - x - 8 Hallar g(A)

18 Sea 35

31B si f(x) = 2x2 - 4x + 3 hallar f(B) si g(x) = x2 - 4x -12 Encontrar

g(B) Hallar un vector columna y

xu distinto de cero tal que Bu = 64

19 Lleve a cabo la demostracioacuten de que

123 aaa

100

010

A satisface

A3+a1A3 + a1A + a3I = 0

20 Obtenga una matriz a 0 tal que 0

650

333

111

A

21 Demuestre todas las propiedades definidas para la suma de matrices 22 Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamantildeo y suponga que AB = BA

demuestre que a (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

33

b (A + B)(A - B) = A2 - B2 c A que es igual (A + I)(A - I)

23 Dada la matriz 01

11A calcular A2 A3 A4 etc y vincular los elementos

resultantes con los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 donde a partir del tercero cada una es igual a la suma de los 2 anteriores

III DETERMINANTES

24 Calcular

a) Desarrollando por la cuarta fila

b) Desarrollando por la fila o columna para la que sea necesario calcular menos adjuntos

c) Desarrollando por la segunda columna realizando antes operaciones elementales de forma que solamente sea necesario

calcular un adjunto

25 Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A =5 y B =-6 calcular

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t

e) A-1 f) 2B g) A2

25 Mediante calculo directo verifique que

a

2620155

7453

5674

5431

2015105

4123

1234

4321

b

982

652

322

989

656

323

987

654

321

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

34

c Establezca el determinante

444

333

222

cba1

cba1

cba1

cba1

En que caso el determinante es igual a cero 26 evaluar el determinante de las siguientes matrices

4t00

2t1

342t

A

2t66

15t7

113t

B

27 Demostrar que |AB| = |A| |B| 28 Para las matrices del ejercicio No 15 hallar el valor de t para el cual el

determinante es igual a 0

29 Calcule

03001

1212121212

009442

35414

33333

IV NVERSA DE UNA MATRIZ 30 Hallar la inversa de las siguientes matrices por los meacutetodos vistos en la parte

teoacuterica

57

23A

31

32B

524

012

321

C

325

120

112

D

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

35

151

613

431

E

5523

2131

6224

0011

F

42121

01111

21431

13341

12331

G

31 Demostrar que (At)-1 = (A-1)t 32 Demostrar que (A + B)t = At + Bt 33 Sean A y B dos matrices invertible (del mismo orden) demostrar que (AB)-1 = B-

1 A-1 34 Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa calcularla mediante

operaciones elementales

35 Dadas la Matrices A= y B= Comprobar que se verifican los

siguientes resultados

36 Mediante adjuntos calcular la inversa de las siguientes matrices para aquellos valores del paraacutemetro real a que sea posible

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

36

V RANGO DE UNA MATRIZ 37 Calcule el rango de las siguientes matrices

g) 224

313

012

A

h)

1341

1233

0514

B i)

0025

3011

2201

3014

F

j)2531

5824

0311

G k)

540

031

224

511

H

38 Calcular mediante menores el rango de las siguientes matrices seguacuten los

valores reales del paraacutemetro a

VI SISTEMAS DE ECUACIONES

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

37

39 Investigar la compatibilidad del sistema utilizado el Teorema de Ruchiacute-Frobenius Resolverlo por el meacutetodo de Gauss En caso de ser compatible utilizar el meacutetodo Gauss-Jordan

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3

6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2

3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

e 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

f 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 +5x4 = 7

9x1 + 12x2 +3x3 +10x4 = 13

g 2x1 + 5x2 - 8x3 = 8

4x1 + 3x2 - 9x3 = 9

2x1 + 3x2 - 5x3 = 7

x1 + 8x2 - 7x3 = 12

h 2x1 - x2 - 3x3 - 7x4 = 5

6x1 - 3x2 - x3 - 4x4 = 7

4x1 - 2x2 -14x3 -31x4 = 18

e x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4 3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11 2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

f 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

g 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

h 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2 2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

a 3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 + 6x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 =1 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =5

7x1 + x2 + 6x3 - x4 =7

b 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5= 2

6x1 - 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5= 3 6x1 - 3x2 + 4x3 +8x4 + 13x5= 9

6x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1

c x1 + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 3x1 + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2

d 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 2

3x1 + 2x2 - 2x3 + x4 + = 1 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

i 2x1 - 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 - 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 - 3x2 - 11x3 +15x4 =1

j 3x1 - 6x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 = 3

k 3x1 - 2x2 + 5x3 = 2

6x1 - 4x2 + 4x3 = 3

9x1 - 6x2 + 3x3 = 4

l 9x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4

6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7

3x1 - x2 + 3x3 +14x4 = 8

m x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5= 4

3x1 + 6x2 +5x3 - 4x4 + 3x5= 5

x1 + 2x2 +7x3 - 4x4 + x5= 11

2x1 + 4x2 +2x3 - 3x4 + 3x5= 6

n 8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21

3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8

3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15

7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18

o 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 4

4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

2x1 + x2 + 7x3 +3x4 + 2x5 = 1

p 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1

x1 - 7x2 + x3 + 2x4 = 7

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

38

40 Hallar las matrices B que cumplen la ecuacioacuten matricial

41 iquestPara queacute valores reales de a los siguientes sistemas tienen solucioacuten no nula Resolverlos para esos valores de a

42 Estudia seguacuten los valores reales de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solucioacuten

43 Discutir y resolver seguacuten los valores reales de a y b el sistema de ecuaciones lineales siguiente

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

39

UNIDAD II GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL

Sistema Coordenado Rectangular R3

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio R3 se determina por una

unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre si

concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado El punto de interseccioacuten

se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados estos se denotan por OX OY

y OZ Ver figura

Z

III II

IV I

1

O Y -3 -2 -1 1 2 3 4

VII VI

X VIII V

Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados estos

son el plano OXY OYZ y OXZ A su vez los planos coordenados dividen al

espacio en ocho regiones llamadas octantes

Distancia y punto medio en R3

La distancia entre el punto A(xA yA zA) y el punto B(xB yB zB) estaacute dad por

222 )()()( ABABAB zzyyxxd

2

3

4

-1

-2

-3

P(124)

Q(23-2)

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

40

El punto medio de la distancia d esta dada por )( zyx donde 2

AB xxx

2

AB yyy

2

AB zzz

Vectores de Posicioacuten y Trasladados

Vectores fundamentales

Definicioacuten supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas

rectangulares Se define el vector i como el vector unitario cuya direccioacuten es la del

semieje positivo x El vector j es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo y El vector k es el vector unitario cuya direccioacuten es la del semieje

positivo z

Z

k

j

Y

i

X

Los vectores i j y k reciben el nombre de versores fundamentales

Todo vector v en R3 se puede expresar como una combinacioacuten lineal de los vectores

i j y k es decir existen tres nuacutemeros a b y c tales que kcjbiav

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

41

Z

E

k A

O j C Y

i

X B D

Demostracioacuten Elijamos el representante de OA de v con punto inicial en el origen

del sistema de coordenadas De acuerdo con la figura tenemos

iaOB con OBa jbOCBD con OCb y kcOEDA con

OEc entonces seguacuten la ley de suma de vectores tenemos

kcjbiaOEOCOBDABDOBDAODOAv donde a b y c

se llaman componentes de v Tambieacuten se simboliza como v = a b c

Debido a esto los vectores i j k forman una base para el espacio vectorial E3

por ser ademaacutes i j k unitarios y perpendiculares entre si esta base se llama

Ortonormal

Si un representante de AB de v tiene como coordenadas de punto inicial y final

respectivamente (xA yA zA) (xB yB zB) entonces

k)zz(j)yy(i)xx(v ABABAB

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

42

Z

B(xB yB zB)

A(xA yA zA) Y

X

Simboacutelicamente v = a b c

Ejemplo

Un vector a tiene como representante el vector AB con A(3 -2 4) y B(2 1 5)

Hallar las componentes de a

Tenemos que a = (2 ndash 3) i +[1 ndash (-2)] j + (5 ndash 4) k = - i + 3 j + k

Magnitud o Modulo de un Vector

Si kcjbiav entonces su magnitud esta dada por 222 cbav

Ejemplo

Hallar la magnitud del vector del ejemplo anterior

1113)1(cbav 222222

Direccioacuten

La direccioacuten de un vector en R3 es diferente a la del vector definida en R2 estaacute

determinada por tres aacutengulos llamados aacutengulos o cosenos directores del vector

Definicioacuten Los aacutengulos directores de un vector son los tres aacutengulos que tienen la

menor medida en radianes no negativa y medidos a partir de los ejes x y y z

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

43

respectivamente hasta la representacioacuten del vector de posicioacuten Si kcjbiav

entonces

v

ccosy

v

bcos

v

acos

Graacuteficamente

v

k

j

i

Ejemplo

Encontrar los aacutengulos directores de v = - i + 3 j + k

11v

11

1

v

acos

11

3

v

acos y

11

1

v

acos

Operaciones con vectores

Dados 2 vectores v = (a b c) y w = (d e f) y h R entonces

1) v + w = (a + d b + e c + f)

2) hv = h(a b c) = (ha hb hc)

3) v ndash w = (a ndash d b ndash e c ndash f)

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

44

Tambieacuten se definen las mismas operaciones baacutesicas

1) A + a

A a

A + a

2) B ndash A = AB

A B - A

B

Ejemplo

Si u = 3 i - 2 j + 4 k y v = 6 i -4 j - 2 k Hallar i) 3 u + 2 v ii) 5 u - 3 v

i) 3 u + 2 v =3(3 i - 2 j + 4 k ) + 2(6 i -4 j - 2 k ) = 9 i - 6 j + 12 k +12 i -8 j - 4 k

= 21 i - 14 j + 8 k

ii) 5 u - 3 v = 5(3 i -2 j + 4 k )-3(6 i -4 j - 2 k )=15 i -10 j +20 k -18 i +12 j + 6 k

= -3 i +2 j + 26 k

Vectores unitarios

Se llaman vectores unitarios los vectores que tienen una longitud igual a uno El vector

unitario tiene la misma direccioacuten que el vector dado y esta definido por

a

aU a

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

45

Ejemplo

Si v = - i + 3 j + k Encontrar k11

1j

11

3i

11

1

11

kj3i

v

vU v

Producto punto o producto escalar

Definicioacuten el producto punto de dos vectores a y b es un escalar que se denota por a b

dado por a b = | a | | b | cos

Donde es el aacutengulo que forman los vectores a y b y 0

Propiedades

1) i i = j j = k k = 1

2) a b = b a

3) a a = a 2 = | a |

2

2

aa

4) ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) donde R

5) | a b | | a | | b | Desigualdad de Cauchy - Shwartz

6) | a + b | | a | + | b |

El producto punto de dos vectores a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 en funcioacuten de sus

componentes es

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a b

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

46

a b = (2)(-1) + (-3)(1) + (5)(3) = 10

Angulo entre dos vectores

Si a = x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

bacos

Ejemplo

Encontrar el aacutengulo entre los vectores del ejemplo anterior

a b = 10 y 1138

10cosentonces11by38a

Vectores Paralelos y perpendiculares

Paralelos

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son paralelos ( a || b ) si y solo si

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a o bien si

a = b y b = a o sea uno es combinacioacuten lineal del otro

Tambieacuten si el aacutengulo entre ellos es 180deg

Perpendiculares

Dos vectores a = a1 a2 a3 y b = b1 b2 b3 son perpendiculares ( a b ) si a b = 0 Tambieacuten si el

aacutengulo entre ellos es 90deg

Ejemplos

Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos o perpendiculares

i) a = 3 -4 8 y b 34 -1 2

ii) a = -4 5 0 y b 10 8 3

i) Primero analicemos si son paralelos o sea 42

8

1

4

43

3

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 por lo que concluimos

que los vectores son paralelos

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

47

ii) Procedemos igual que (i) y concluimos que los vectores no son paralelos entonces probaremos que son

perpendiculares calculando a b = (-4)(10) + (5)(8) + (0)(3) = 0 por lo que concluimos que los vectores son

perpendiculares

Componente ortogonal de un vector hacia otro

La componente de un vector a a lo largo de un vector b (b 0) se define por

cosaC a

b

oacute b

a

b

Ua

b

baC es un escalar

a a a

b b b

0C a

b

0C a

b

0C a

b

La proyeccioacuten de un vector a sobre un vector b se define por

b

a

b

a

b

UCP es un vector

Ejemplo

Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a

b

C y a

b

P

b

a

b

Ua

b

baC calculemos 113111111

11

311

b

bU

b

y luego

11

10113111111532

b

a

b

UaC

3011011311111111

10UCP

b

a

b

a

b

Producto vectorial o Cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores a y b es un vector denotado por a x b que esta dado por a x

b = | a | | b | sen u donde es el aacutengulo formado por a y b y u es un vector unitario tal que u a

u b y la direccioacuten de u es la del avance de tornillo de rosca derecha cuando a rota hacia b

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

48

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

c = a x b

b h S

a

Es decir la magnitud del vector a x b es igual al aacuterea del paralelogramo con vectores adyacentes a y b y b o

dos aacutereas del triaacutengulo con vectores a x b como lados adyacentes

Propiedades

1 a x b = -( b x a )

2 a x a = o

3 ( a + b ) x c = a x c + b x c

4 a x b = ( a x b )

5 Si a || b a x b = 0 Criterio de caraacutecter colineal de dos vectores

6 i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

7 i x j = k j x k = i k x i = j

8 j x i = - k k x j = - i i x k = - j

Proposicioacuten Si = a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 entonces

222

111

zyx

zyx

kji

bxa

S2Shabxa

entonceshsenbpero

senbausenbabxac

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

49

Ejemplos

1 Si a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 encontrar a x b

311

532

kji

bxa = -14 i ndash 11 j - k

2 Calcular el aacuterea del triaacutengulo con veacutertices P(1 2 3) Q(0 1 -2) y R(3 5 -7)

Sea a = 1032by511PQ entonces

1032

511

kji

bxa = 25 i ndash 20 j - k como se demostroacute en la interpretacioacuten

geomeacutetrica del producto cruz A =frac12 A = 10262

1)1()20(25

2

1bxa

2

1 222

u2

Triple Producto Escalar

Definicioacuten El triple producto escalar de 3 vectores a b y c denotado por a x b c es un

escalar dado por a x b c =( a x b ) c

Interpretacioacuten Geomeacutetrica

El valor absoluto del triple producto escalar a x b c se interpreta como el volumen de un

paralelepiacutepedo con los vectores a b y c como aristas adyacentes

Demostracioacuten

a x b

C

c B D

b

O A

H

V = (aacuterea base)altura = Hbxa

Sea el aacutengulo formado por c y a x

b entonces

H = c cos de aquiacute que

V= a x b c cos = ( a x b ) c

que el volumen del paralelepiacutepedo

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

50

a

En consecuencia v piraacutemide OABC = 13 SOAB H = 16 S H = 16 v paralelepiacutepedo

Propiedades del triple producto escalar

1 a x b c = a b x c

2 a x a b = a b x b = a x b a

3 [ a x b c ] = [ a x b c ]

4 ( a + 1a ) x b c = a x b c + 1a x b c

5 a x b c = b x c a = c x a b

a x b c = - [ b x a c ] = -[ a x c b ] = -[ c x b a ]

El triple producto escalar en la forma coordenada estaacute dado por

Si a x1 y1 z1 y b = x2 y2 z2 y c = x3 y3 z3 entonces

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cbxa

Ejemplos

1 Dados los vectores a = 2 -3 5 y b = -1 1 3 y c = 2 -3 6 encontrar a x b

632

311

532

cbxa -1

2 Encontrar el volumen de la piraacutemide que tiene veacutertices en A(0 0 0) B(3 4 -1)

C(2 3 5) y D(6 0 -3)

A

C

B D

Vpiraacutemide = BA)BDxBC(6

1 tenemos que

143BAy243BD611BC

Entonces

135

143

243

611

BA)BDxBC(

Vpiraacutemide = 6

1-135 =

3u2

45

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

51

Condicioacuten de caraacutecter coplanar de tres vectores

Si a b y c son coplanares a x b c = 0

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 4 a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 y d = 5 4 -3

1 Obtenga

i) ( a + d ) - ( b + c ) ii) 3( a - b ) + (2 d - 6 c ) iii) (-3 a -4 b ) + 3(7 a -8 d )

2 Obtenga

i) a ( b + c ) ii) ( a b )+( d c ) iii) ( a b ) + ( a d )

iv) ( a b ) c + ( b c ) d v) (2 a + 3 b )(4 c - d )

3 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre a y c ii) La componente de c sobre a iii) La proyeccioacuten de c

sobre a

4 Calcule i) cos si es el aacutengulo entre b y d ii) La componente de b sobre d iii) La proyeccioacuten de b

sobre d

5 Demostrar que los a = -4 -12 4 b = 2 6 -2 son paralelos

6 Hallar el valor de m tal que a = 2 m 1 b = 4 -2 -2 sean perpendiculares

7 Demostrar que los vectores a = 3 -2 1 b = 1 -3 5 c = 2 1 -4 forman un triaacutengulo rectaacutengulo

8 Si a = -4 -2 4 b = 2 7 -1 c = 6 -3 0 calcular ( a x b )x c

9 Determinar los valores de m y n tales que 2 m 1 x 1 n 2 = 3 -3 1

10 Calcular el aacuterea del paralelogramo ABCD con veacutertices A(-1 3 2) B(3 -3 4) C(5 0 3) y D(1 6 1)

11 Calcular a x b c donde a = 2 -1 1 b = 3 -1 1 c = 1 2 -3

12 Determinar si los vectores son coplanares o no

a) 1 1 0 0 1 1 1 0 1

b) 1 -6 2 0 2 7 -2 12 -4

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

52

13 Encontrar el volumen del paralelepiacutepedo que tiene aristas PSPRPQ si los puntos P Q R S son

respectivamente (1 3 4) (3 5 3) (2 1 6) y (2 2 5)

Ecuacioacuten vectorial parameacutetrica y simeacutetrica de la recta en el espacio

Una recta L en el espacio queda determinada por un punto A L y un vector a || L (vector director de L)

z

X = A + t a

x y z = x0 y0 z0 + t a1 a2 a3 Ecuacioacuten vectorial a

A x = x0 + ta1

y = y0 + ta2 Ecuaciones parameacutetricas de L y

z = z0 + ta3

x

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx Ecuaciones simeacutetricas de la recta

Nota a1 a2 a3 se llaman nuacutemeros directores de la recta L Ya que cualquier vector director paralelo a a es

un vector director de L entonces ( a1 a2 a3) tambieacuten son nuacutemeros directores de L

Rectas paralelas y Perpendiculares en el espacio

Si 1a y 2a son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces

1) L1 || L2 1a || 2a

2) L1 L2 1a 2a

Interseccioacuten de Rectas en el espacio

Dadas dos rectas L1 y L2 se cumple una y solo una de las siguientes situaciones

1 L1 L2 = P 2 L1 L2 = L1 L2 3 L1 L2 = 4 L1 L2 = L1 = L2

L2 L1 L1 L2 L1

P

L2 L2

L1

Intersecantes Alabeadas Paralelas Coincidentes

A

X X

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

53

Ejemplo

Determinar L1 L2 donde

x = 3 + 4t x = 5 + 3s

L1 y = 2 + 2t L2 y = 3 + 2s

z = 1 + 4t z = 7 ndash 4s

Un vector director de L1 es 1a = 4 2 4 y un vector director de L2 es 2a = 3 2 -4

Como 1a 2a entonces L1 L2 por lo tanto quedan excluidos los casos 3 y 4

Para saber si L1 y L2 son intersecantes o alabeadas suponemos un punto (x0 y0 z0) que pertenece a L1 y L2

Sustituyendo obtenemos

x0 = 3 + 4t x0 = 5 + 3s

y0 = 2 + 2t y0 = 3 + 2s

z0 = 1 + 4t z0 = 7 ndash 4s

o sea

3 + 4t = 5 + 3s 4t ndash 3s = 2

L1 2 + 2t = 3 + 2s 2t ndash 2s = 1

1 + 4t = 7 ndash 4s 4t + 4s = 6

Resolviendo este sistema de ecuaciones por Gauss tenemos

400

010

234

644

122

234

lo que resulta en un sistema que es incompatible o sea L1 y L2 son

alabeadas

Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia de un punto P a la recta L en el espacio esta dada por

d = a

xUPQ donde Q es un punto cualquiera de L y a es un vector director de L

Ejemplo

Calcular la distancia del punto P(1 2 -3) a la recta L X = (t t +1 2t)

Un punto de L es por ejemplo Q(0 1 0) Haga t = 0 y un vector director de L

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

54

a = 1 12 un vector unitario en la direccioacuten de a es )211(6

1U a y PQ = (-1 -1 3)

PQ x Ua = kjix 06

5

6

5

6

2

6

1

6

1)311(

d = 6

50unidades

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial parameacutetricas y simeacutetrica de la recta que pasa por los puntos A(-3 -1 5) y

B(-1 -4 4)

2 Encontrar una representacioacuten parameacutetrica de la recta que pasa por P(2 4 -2) y es paralela a L

7

3z

2

5y

4

1x

3 Determinar si el punto (1 0 1) pertenece o no a la recta 1

1z

8

1y

9

1x

4 Dados los siguientes pares de rectas iquestCuaacuteles son paralelas o cuales son perpendiculares

i) L1 x = 10 + 6t y = -7 ndash 2t z = 7 + 3t L2 x = 3 + 5t y = 5 + 8t z = -t

6

2z

8

7y

4

3xL

3

5z

4

3y

2

1xL)iii

2

2z

8

6y

1

1xL

1

1z

1

1y

1

1xL)ii

21

21

5 Encontrar L1 L2 si

1

1z

1

2y

1

xL

1

1z

3

2y

2

xL)ii

3

8z

5

14y

2

3xL

3

2z

5

4y

2

1xL)ii

2

3z

3

1y

1

2xL

3

1z

2

2y

5

1xL)i

21

21

21

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

55

Ecuacioacuten vectorial y cartesiana del plano

Un plano queda completamente determinado por un punto A y dos vectores a y b tales que a 0

b 0 a b a || b ||

z

b

a

y

x

De la figura tenemos X = A + AX o X = A + s a + t b que es la ecuacioacuten vectorial del plano X es un

punto geneacuterico del plano s y t se llaman paraacutemetros a y b se llaman generadores del plano Sustituyendo

obtenemos

x y z = x0 y0 z0 + s a1 a2 a3 + t b1 b2 b3 igualando componente a componente tenemos

X A

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

56

x = x0 + sa1 + tb1

y = y0 + sa2 + tb2 Ecuaciones parameacutetricas del plano

z = z0 + sa3 + tb3

Un plano tambieacuten queda determinado por un punto A y un vector normal ( n ) a

X = A + s a + t b X - A = s a + t b ( X - A ) n = (s a + t b ) n pero a n = 0 y b n = 0

luego ( X - A ) n = 0

Ecuacioacuten cartesiana del plano

Si hacemos X = x y z A = x0 y0 z0 y n = a b c obtenemos

[ x y z - x0 y0 z0 ] a b c = 0 desarrollando obtenemos

a(x ndash x0) + b(y ndash y0) + c(z ndash z0) = 0 Ecuacioacuten cartesiana del plano o tambieacuten

ax + by + cz + d = 0 Ecuacioacuten general del plano donde d = -ax0 ndash by0 ndash cz0

Ejemplos

1 Determinar la ecuacioacuten vectorial y parameacutetrica del plano que pasa por los puntos A(1 2 -1) B(1 3 3) y

C(-1 4 9)

a = 1022ACby410AB de acuerdo con la ecuacioacuten vectorial tenemos

x y z = 1 2 -1 + s 0 1 4 + t -2 2 10 igualando componente a componente obtenemos las ecuaciones

parameacutetricas del plano x = 1 ndash 2t y = 2 + s + 2t z = 1 + s + 10t

2 Determinar la ecuacioacuten del plano que pasa por el punto A (1 -5 1) y contiene a la recta

1

2

5

3

2

1

zyxL

El punto P(1 3 -2) L AP = 0 8 -3 || a = 2 5 1 || luego AP a luego

n = AP x a = 23 -6 -16 y tomando el punto A tenemos

23(x ndash 1) ndash 6(y + 5) ndash 16(z ndash 1) = 0 oacute 23x ndash 16y ndash 16z ndash 37 = 0

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

1 1 || 2 1n || 2n 2 1 2 1n 2n 3 L || a n 4 L a || n

a

L

1

2

1

2

n L

1n

2n

1n

2n n n

a

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

57

Interseccioacuten de planos y rectas

a) Dos planos 1 y 2 pueden tener las siguientes posiciones

1) 1 2 = L 2) 1 2 = 3) 1 2 = 1 = 2

L

1

2

b) Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones

1) L = P 2) L = 3) L = L

L L n

Ejemplos

1) Hallar 1 2 donde 1 3x ndash 2y ndash z = 0 2 8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0 debemos resolver el sistema

3x ndash 2y ndash z = 0

8x ndash 2y ndash 3z +1 = 0

Aplicando Gauss tenemos

3120

08824

39624

08824

1328

0113 el sistema es compatible e

indeterminado

24x ndash 8y ndash 8z = 0

2y ndash z = -3 z es una variable libre haciendo z = t y despejando x e y obtenemos

22

3 ty

2

tx es decir 1 2 = L

2

tx

22

3 ty z = t

2) Hallar 1 2 donde 1 3x + 2y + z = 2 2 21x + 14y + 3z = 5 debemos resolver el sistema

1

2

1 2

L

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

58

3x + 2y + z = 2

21x + 14y + 3z = 5

Aplicando Gauss tenemos

9000

2123

571421

2123 el sistema es incompatible 1 2 =

3) Hallar L si L x = 2 ndash t y = 5 + t z = 2t x + y ndash z = 0

Sustituyendo x y z de las ecuaciones parameacutetricas de L en la ecuacioacuten del plano tenemos

(2 ndash t ) + (5 + t) ndash 2t = 0 t = 72por lo tanto L es el punto 72

17

2

3

Grafica de planos

Graficar el plano x + 2y + z ndash 6 = 0

Para representar graacuteficamente un plano generalmente se hallan los interceptos con los ejes coordenados y se

determinan las trazas que son las intersecciones del plano con los planos coordenados asiacute

Intercepto con el eje X y = 0 z = 0 x = 6 P1(60 0)

Intercepto con el eje Y x = 0 z = 0 2y = 6 y = 3 P2(03 0)

Intercepto con el eje Z y = 0 x = 0 z = 6 P3(00 6) z

La traza en el plano XY es la recta P1P2

La traza en el plano YZ es la recta P2P3 P3(0 0 6)

La traza en el plano XZ es la recta P1P3

P2(03 0) y

P1(6 0 0)

x

Graficar los planos a) x = 5 b) y = 3 c) z = 2

a) b)

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

59

Problemas Propuestos

1 Encontrar la ecuacioacuten vectorial del plano que pasa por el punto A(2 3 -1) y es generado

por los vectores a = i + j + k y b = i - j + 2 k

2 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por P(3 1 2) y es normal a n = 1

2 -3

3 Encontrar una ecuacioacuten cartesiana del plano que pasa por A(3 4 1) B(1 7 1) C(-1 -2

5)

4 Encontrar la ecuacioacuten cartesiana del plano que es perpendicular a la recta que pasa por

(2 2 -4) y (7 -1 3) y contiene al punto (-5 1 2)

5 En los siguientes ejercicios hallar 1 2 si

a) 1 2x ndash y + 2z ndash 6 = 0 2 4x ndash 4y ndash 2z ndash 9 = 0

b) 1 3x + 7y + 5z ndash 1 = 0 2 18x + 42y + 30z ndash 4 = 0

c) 1 x ndash 2y + 3z + 6 = 0 2 3x ndash 6y + 9z + 18 = 0

6 En los siguientes ejercicios encontrar L

a) L 3

2z

1

3y

4

2x 4x ndash y + 3z + 5 = 0

b) L z2

6y1x 3x + y ndash z = 3

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

60

SUPERFICIES CILINDRICAS

Sea C una curva plana y sea l una liacutenea que intercepta a C y que no esta en el plano de esta

El conjunto de todos los puntos de rectas que interceptan a C se llama cilindro

Los cilindros se representan en forma natural cuando hacemos la graacutefica de una ecuacioacuten que solo incluye dos

variables en el espacio de 3 dimensiones Entonces podemos graficar las siguientes ecuaciones

y = f(x) x = f(y) z = f(x) x = f(z) y = f(z) z = f(y)

Tambieacuten incluimos las graficas de las coacutenicas

Ejemplos

Graficar

1) x2 + y

2 = 1

z

y

Curva generatriz C

Recta l

Cilindro

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

61

x

2) y = x2

x2 + y

2 =1

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

62

3) z = x + 4

4) 194

22 xy

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

63

SUPERFICIES CUADRICAS

Si una superficie es la graacutefica en 3 dimensiones de una ecuacioacuten de segundo grado se llama superficie

cuaacutedrica Las secciones planas de una superficie cuaacutedrica son las coacutenicas

La ecuacioacuten general de segundo grado tiene la forma

Ax2 +By

2 +Cz

2 +Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Se puede demostrar que esta ecuacioacuten puede ser reducida mediante rotaciones y traslaciones de ejes

coordenados a una de las dos formas

Ax2 +By

2 +Cz

2 + J = 0

o

Ax2 +By

2 +Cz

2 + Iz = 0

Las superficies cuaacutedricas representadas por la primera de estas dos ecuaciones son simeacutetricas con respecto a

los planos coordenados y con respecto al origen y se llaman cuaacutedricas centrales

ELIPSIODE Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Si a = b = c tenemos una esfera

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

64

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ecuacioacuten 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

PARABOLOIDE ELIacutePTICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

b

y

a

xz

Graacutefica

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

65

PARABOLOIDE HIPERBOacuteLICO Ecuacioacuten 2

2

2

2

a

x

b

yz

Graacutefica

CONO ELIacutePTICO Ecuacioacuten 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Graacutefica

Ejemplos Analice la ecuacioacuten y bosqueje la graacutefica de

1) 11694

222 zyx

Las trazas en los ejes coordenados se obtienen haciendo z = 0 y = 0 y x = 0 respectivamente

Plano xy 194

22 yx una elipse

Plano xz 1164

22 zx una hipeacuterbola

Plano yz 1169

22 zy una hipeacuterbola

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

66

Tambieacuten se encuentran las trazas en los planos z = 4 y z = -4 Si sustituimos z = plusmn4 en la ecuacioacuten original se

obtiene

116

16

94

22 yx lo que es equivalente a 1

188

22 yx que es una elipse

Su graacutefica es

2) 16x2 + 9y

2 + 36z

2 ndash 144 = 0

Dividiendo toda la ecuacioacuten entre 144 y despejando el teacutermino independiente obtenemos

14169

222 zyx esto es un Elipsoide encontrando las trazas

Plano yz 1416

22 zy elipse

Plano xz 149

22 zx elipse

Plano xy 1169

22 yx elipse

Su graacutefica es

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

67

3) 4x2 + 9y

2 ndash 12z = 0

Dividiendo entre 12 toda la igualdad obtenemos

343

22 yxz paraboloide eliacuteptico

Trazas

Plano zy

34

2yz paraacutebola

Plano xz 3

2xz paraacutebola

Plano xy es en punto el origen

Para z = 3 obtenemos una elipse

343

322 yx

o sea 149

22 yx

Graacutefica

4) x2 - y

2 + z

2 = 0 esto es un cono

Trazas

Plano yz y = z rectas

Plano xy y = x rectas

Para y = 2 se obtiene una

circunferencia x2 + z

2 = 4

5) 11649

222 xyz es un hiperboloide de 2 hojas

Plano zy 149

22 yz hipeacuterbola

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

68

Plano xz 1916

22 zx hipeacuterbola

Para z = 3 tenemos 0164

22 xy para que se cumpla y = 0 x = 0 O sea esto es

un punto (0 0 3) Es donde comienza la graacutefica

Para z = 6 se tiene una elipse 1

316

34

22 xy

Graacutefica

6) 49

22 xyz Paraboloide Hiperboacutelico

Plano zy z9y2 paraacutebola

Plano xz z4x2 paraacutebola

Para z = 0 tenemos 04

x

9

y 22

tenemos 2 rectas xy2

3

Para z = 1 se tiene una hipeacuterbola 19

x

4

y 22

Para z = -1 se tiene una hipeacuterbola 149

22 yx

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

69

Graacutefica

PROBLEMAS PROPUESTOS

Identifique y grafique las siguientes ecuaciones

1) x = y2 2) z = x + y 3) y = senx 4) y = 4 ndash x

2

5) x2 + z

2 = 9 6) 1

4

y

9

x 22

7) y = ex 8) z = lny

6) x2 + y

2 + z

2 = 36 7) x

2 + y

2 ndash z

2 = 4 8) x

2 + z

2 = y

9) 4x2 + 9y

2 + 4z

2 = 36 10) 9x

2 ndash y

2 + 9z

2 = 0 11) z = 4y

2 ndash 9x

2

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

70

Liacutemites y continuidad

LIacuteMITES

El concepto de liacutemite es la base fundamental con la que se construye el caacutelculo infinitesimal

(diferencial e integral) Informalmente hablando se dice que el liacutemite es el valor al que tiende una

funcioacuten cuando la variable independiente tiende a un nuacutemero determinado o al infinito

Definicioacuten de liacutemite

Antes de establecer la definicioacuten formal del liacutemite de una funcioacuten en general vamos a observar queacute

sucede con una funcioacuten particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor

determinado

Ejemplo

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x en el entorno de 2 y

calculamos los valores correspondientes de la funcioacuten f (x)

x f (x) Cuando x se aproxima a 2 tanto por la izquierda como por la derecha

tomando valores menores o mayores que 2 f (x) se aproxima tiende

cada vez maacutes a 3 y cuanto maacutes cerca estaacute x de 2 o lo que es lo mismo

cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es maacutes pequentildea

asimismo la diferencia en valor absoluto entre f (x) y 3 se hace cada

vez maacutes pequentildea (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior

derecha)

O sea la funcioacuten se acerca a un valor constante 3 cuando la variable

independiente se aproxima tambieacuten a un valor constante

19

199

1999

19999

20001

2001

201

21

261

29601

2996001

299960001

300040001

3004001

30401

341

|x 2| | f (x) 3|

|19-2| = 01

|199-2| = 001

|1999-2| = 0001

|19999-2| = 00001

|20001-2| = 00001

|2001-2| = 0001

|201-2| = 001

|21-2| = 01

|261-3| = 039

|29601-3| = 00399

|2996001-3| = 0003999

|299960001-3| = 000039999

|300040001-3| = 000040001

|3004001-3| = 0004001

|30401-3| = 00401

|341-3| = 041

De lo anterior se deduce intuitivamente que el liacutemite de la funcioacuten f (x) cuando x tiende a 2 es 3

Ahora pasamos a dar la definicioacuten formal de liacutemite

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

71

Definicioacuten eacutepsilon-delta

Sea f una funcioacuten definida en alguacuten intervalo abierto que contenga a a El liacutemite de f (x) cuando x

tiende a a es L y se escribe

Nota no es necesario que f este definida en a para que el liacutemite exista

Ejercicios resueltos (aplicando la definicioacuten eacutepsilon-delta)

En los ejercicios 1 a 4 demuestre que el liacutemite es el nuacutemero indicado aplicando la definicioacuten

Eacutepsilon-delta

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

72

2 Solucioacuten

73

3 Solucioacuten

74

4 Solucioacuten

75

Teoremas de liacutemites Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la definicioacuten Eacutepsilon-

Delta se establecen los siguientes teoremas

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia

Nota los teoremas se presentan sin demostracioacuten pero quien quiera verla puede hacer clic en el viacutenculo

correspondiente

Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces

Teorema de liacutemite2 Para cualquier nuacutemero dado a

Teorema de liacutemite3 Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces

Teorema de liacutemite4

73

3 Solucioacuten

74

4 Solucioacuten

75

Teoremas de liacutemites Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la definicioacuten Eacutepsilon-

Delta se establecen los siguientes teoremas

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia

Nota los teoremas se presentan sin demostracioacuten pero quien quiera verla puede hacer clic en el viacutenculo

correspondiente

Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces

Teorema de liacutemite2 Para cualquier nuacutemero dado a

Teorema de liacutemite3 Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces

Teorema de liacutemite4

74

4 Solucioacuten

75

Teoremas de liacutemites Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la definicioacuten Eacutepsilon-

Delta se establecen los siguientes teoremas

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia

Nota los teoremas se presentan sin demostracioacuten pero quien quiera verla puede hacer clic en el viacutenculo

correspondiente

Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces

Teorema de liacutemite2 Para cualquier nuacutemero dado a

Teorema de liacutemite3 Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces

Teorema de liacutemite4

75

Teoremas de liacutemites Para facilitar la obtencioacuten del liacutemite de una funcioacuten sin tener que recurrir cada vez a la definicioacuten Eacutepsilon-

Delta se establecen los siguientes teoremas

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia

Nota los teoremas se presentan sin demostracioacuten pero quien quiera verla puede hacer clic en el viacutenculo

correspondiente

Teorema de liacutemite1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces

Teorema de liacutemite2 Para cualquier nuacutemero dado a

Teorema de liacutemite3 Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces

Teorema de liacutemite4

76

Teorema de liacutemite5

Teorema de liacutemite6

Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces

Teorema de liacutemite7

Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces

Teorema de liacutemite8

Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula directamente Con

respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1 2 3

y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en

particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la

propiedad 7 se aplica a una funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten

Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indeterminada 00 es posible calcular el

liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la funcioacuten de tal modo que una vez hecha la

simplificacioacuten pertinente se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto disponemos de

procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada etc

77

Ejercicios resueltos

Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten

4 Solucioacuten

77

Ejercicios resueltos

Evalueacute los siguientes liacutemites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten

4 Solucioacuten

78

5 Solucioacuten

6 Solucioacuten

No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego

de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite aplicando el TL1

7 Solucioacuten

No es posible aplicar directamente el TL7 pues se obtendriacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego

de factorizar y simplificar la expresioacuten se obtiene faacutecilmente el liacutemite aplicando el TL7 o el TL4(III)

8 Solucioacuten

Si pretendieacuteramos aplicar el liacutemite directamente a partir del TL7 nos dariacutea la forma indeterminada 00

por lo que se debe factorizar y luego simplificar la expresioacuten antes de poder hacer uso del TL6

9 Solucioacuten

No se puede aplicar el liacutemite directamente dariacutea la forma indeterminada 00 no obstante luego de multiplicar

tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresioacuten en el numerador y luego

reduciendo y simplificando se puede aplicar el TL para hallar el liacutemite

79

10 Solucioacuten

Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8

11 Solucioacuten

El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no obstante una vez

factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el liacutemite mediante los TL7 y TL6

12 Solucioacuten

80

Liacutemites unilaterales

Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un

nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a dicho nuacutemero que supone

que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene sentido

Ejemplo

Liacutemite unilateral por la derecha

Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el liacutemite de f (x)

cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe

Liacutemite unilateral por la izquierda

Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x) cuando x se

aproxima a a por la izquierda es L y se escribe

Liacutemite bilateral

Teorema de liacutemite12

81

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no existe deacute la

razoacuten

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

79

10 Solucioacuten

Luego de la transformacioacuten de la expresioacuten se aplican los TL7 y TL8

11 Solucioacuten

El liacutemite no se puede aplicar directamente resultariacutea la forma indeterminada 00 no obstante una vez

factorizando y simplificando la expresioacuten queda expedita para hallar el liacutemite mediante los TL7 y TL6

12 Solucioacuten

80

Liacutemites unilaterales

Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un

nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a dicho nuacutemero que supone

que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene sentido

Ejemplo

Liacutemite unilateral por la derecha

Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el liacutemite de f (x)

cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe

Liacutemite unilateral por la izquierda

Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x) cuando x se

aproxima a a por la izquierda es L y se escribe

Liacutemite bilateral

Teorema de liacutemite12

81

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no existe deacute la

razoacuten

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

80

Liacutemites unilaterales

Hay casos en que las funciones no estaacuten definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un

nuacutemero determinado por lo que el liacutemite de la funcioacuten cuando x tiende a dicho nuacutemero que supone

que existe un intervalo abierto que contiene al nuacutemero no tiene sentido

Ejemplo

Liacutemite unilateral por la derecha

Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros del intervalo abierto (a c) Entonces el liacutemite de f (x)

cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se escribe

Liacutemite unilateral por la izquierda

Sea f una funcioacuten definida en todos los nuacutemeros de (d a) Entonces el liacutemite de f (x) cuando x se

aproxima a a por la izquierda es L y se escribe

Liacutemite bilateral

Teorema de liacutemite12

81

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no existe deacute la

razoacuten

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

81

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no existe deacute la

razoacuten

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

82

3 Solucioacuten

4 Solucioacuten

83

Continuidad de una funcioacuten

Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero

Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se cumplen las tres

condiciones siguientes

Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la

graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un salto o un hueco

precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial

Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en la graacutefica de las

funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto del plano cuyas coordenadas son

(a f (a))

Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de salto se presenta

cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la discontinuidad infinita sucede cuando el

liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito

T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d

84

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica determine los valores

de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel condicioacuten no se cumple de los Criterios de

continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego

determine si la discontinuidad es eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad

desaparezca En los ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada

83

Continuidad de una funcioacuten

Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero

Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se cumplen las tres

condiciones siguientes

Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en dicho nuacutemero En la

graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede observar un salto o un hueco

precisamente donde x = a La discontinuidad puede ser eliminable o esencial

Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en la graacutefica de las

funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto del plano cuyas coordenadas son

(a f (a))

Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de salto se presenta

cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la discontinuidad infinita sucede cuando el

liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito

T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d

84

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica determine los valores

de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel condicioacuten no se cumple de los Criterios de

continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego

determine si la discontinuidad es eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad

desaparezca En los ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada

84

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica determine los valores

de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel condicioacuten no se cumple de los Criterios de

continuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego

determine si la discontinuidad es eliminable o esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad

desaparezca En los ejercicios 15 a 21 determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada

85

S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten

x -4 0 2

f (x) -6 -2 0

f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de

continuidad no se cumple conclusioacuten f es discontinua en -3

2 Solucioacuten

x -6 -1 0 2 3 5 6 9

h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1

f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios de

continuidad no se cumple conclusoacuten

f es discontinua en 4

3 Solucioacuten

86

x -4 -3 -2 -1 0 8

y -05 -1 0 1 05 01

4 Solucioacuten

x -6 -2 -1 0 1 2 6

y 0025 0125 02 025 02 0125 0025

5 Solucioacuten

87

Por lo tanto f es discontinua en 0

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten

88

x

y -2 -1 0 1 2

8 Solucioacuten

9 Solucioacuten

10 Solucioacuten

89

11 Solucioacuten

12 Solucioacuten

90

13 Solucioacuten

14 Solucioacuten

15 Solucioacuten

16 Solucioacuten

91

17 Solucioacuten

18 Solucioacuten

19 Solucioacuten

20 Solucioacuten

92

21 Solucioacuten

Liacutemites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se

acerca a un valor fijo determinado

93

Crecimiento infinito

Decrecimiento infinito

Teorema de liacutemite13

Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

94

Teorema de liacutemite16

Teorema de liacutemite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las asiacutentotas

tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas uacuteltimas) es de gran ayuda

para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical

Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo menos uno de los

siguientes enunciados es verdadero

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s) vertical(es)

de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

87

Por lo tanto f es discontinua en 0

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten

88

x

y -2 -1 0 1 2

8 Solucioacuten

9 Solucioacuten

10 Solucioacuten

89

11 Solucioacuten

12 Solucioacuten

90

13 Solucioacuten

14 Solucioacuten

15 Solucioacuten

16 Solucioacuten

91

17 Solucioacuten

18 Solucioacuten

19 Solucioacuten

20 Solucioacuten

92

21 Solucioacuten

Liacutemites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se

acerca a un valor fijo determinado

93

Crecimiento infinito

Decrecimiento infinito

Teorema de liacutemite13

Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

94

Teorema de liacutemite16

Teorema de liacutemite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las asiacutentotas

tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas uacuteltimas) es de gran ayuda

para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical

Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo menos uno de los

siguientes enunciados es verdadero

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s) vertical(es)

de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

88

x

y -2 -1 0 1 2

8 Solucioacuten

9 Solucioacuten

10 Solucioacuten

89

11 Solucioacuten

12 Solucioacuten

90

13 Solucioacuten

14 Solucioacuten

15 Solucioacuten

16 Solucioacuten

91

17 Solucioacuten

18 Solucioacuten

19 Solucioacuten

20 Solucioacuten

92

21 Solucioacuten

Liacutemites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se

acerca a un valor fijo determinado

93

Crecimiento infinito

Decrecimiento infinito

Teorema de liacutemite13

Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

94

Teorema de liacutemite16

Teorema de liacutemite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las asiacutentotas

tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas uacuteltimas) es de gran ayuda

para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical

Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo menos uno de los

siguientes enunciados es verdadero

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s) vertical(es)

de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

89

11 Solucioacuten

12 Solucioacuten

90

13 Solucioacuten

14 Solucioacuten

15 Solucioacuten

16 Solucioacuten

91

17 Solucioacuten

18 Solucioacuten

19 Solucioacuten

20 Solucioacuten

92

21 Solucioacuten

Liacutemites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se

acerca a un valor fijo determinado

93

Crecimiento infinito

Decrecimiento infinito

Teorema de liacutemite13

Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

94

Teorema de liacutemite16

Teorema de liacutemite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las asiacutentotas

tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas uacuteltimas) es de gran ayuda

para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical

Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo menos uno de los

siguientes enunciados es verdadero

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s) vertical(es)

de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

90

13 Solucioacuten

14 Solucioacuten

15 Solucioacuten

16 Solucioacuten

91

17 Solucioacuten

18 Solucioacuten

19 Solucioacuten

20 Solucioacuten

92

21 Solucioacuten

Liacutemites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se

acerca a un valor fijo determinado

93

Crecimiento infinito

Decrecimiento infinito

Teorema de liacutemite13

Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

94

Teorema de liacutemite16

Teorema de liacutemite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las asiacutentotas

tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas uacuteltimas) es de gran ayuda

para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical

Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo menos uno de los

siguientes enunciados es verdadero

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s) vertical(es)

de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

91

17 Solucioacuten

18 Solucioacuten

19 Solucioacuten

20 Solucioacuten

92

21 Solucioacuten

Liacutemites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se

acerca a un valor fijo determinado

93

Crecimiento infinito

Decrecimiento infinito

Teorema de liacutemite13

Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

94

Teorema de liacutemite16

Teorema de liacutemite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las asiacutentotas

tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas uacuteltimas) es de gran ayuda

para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical

Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo menos uno de los

siguientes enunciados es verdadero

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s) vertical(es)

de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

92

21 Solucioacuten

Liacutemites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin liacutemite a medida que la variable independiente se

acerca a un valor fijo determinado

93

Crecimiento infinito

Decrecimiento infinito

Teorema de liacutemite13

Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

94

Teorema de liacutemite16

Teorema de liacutemite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las asiacutentotas

tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas uacuteltimas) es de gran ayuda

para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical

Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo menos uno de los

siguientes enunciados es verdadero

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s) vertical(es)

de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

93

Crecimiento infinito

Decrecimiento infinito

Teorema de liacutemite13

Teorema de liacutemite14

Teorema de liacutemite15

94

Teorema de liacutemite16

Teorema de liacutemite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las asiacutentotas

tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas uacuteltimas) es de gran ayuda

para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical

Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo menos uno de los

siguientes enunciados es verdadero

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s) vertical(es)

de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

94

Teorema de liacutemite16

Teorema de liacutemite 17

Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las asiacutentotas

tanto verticales como horizontales (maacutes adelante nos ocuparemos de estas uacuteltimas) es de gran ayuda

para dibujar la graacutefica de una funcioacuten

Asiacutentota vertical

Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y

Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo menos uno de los

siguientes enunciados es verdadero

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s) vertical(es)

de la graacutefica de la funcioacuten y traacutecela(s)

95

S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten

96

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten

97

6 Solucioacuten

Liacutemites en el infinito

Teorema de liacutemite18

Asiacutentota horizontal

Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x

98

Teorema de liacutemite19

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

97

6 Solucioacuten

Liacutemites en el infinito

Teorema de liacutemite18

Asiacutentota horizontal

Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x

98

Teorema de liacutemite19

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

98

Teorema de liacutemite19

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

99

100

Miscelaacutenea1

101

S o l u c i o n e s

100

Miscelaacutenea1

101

S o l u c i o n e s

101

S o l u c i o n e s

102

103

104

105

106

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110

111

112

Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

103

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108

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Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

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Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

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Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

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Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

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Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

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Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

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Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

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Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

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Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

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Miscelaacutenea2

S o l u c i o n e s

113

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Miscelaacutenea3

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Miscelaacutenea3

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Miscelaacutenea3

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Miscelaacutenea3

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Miscelaacutenea3

118

Miscelaacutenea3

119

120

120