CAPITULO 2ºFUNCIONES DE VECTORES Y

MATRICES_01

Ing. Diego Alejandro Patiño G. M.Sc, Ph.D.

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Funciones de Vectores y MatricesLos operadores lineales son funciones en un espacio vectorial, que transforman un vector desde un espacio a otro espacio:

nnA ℜ→ℜ:

o posiblemente de un espacio hacia si mismo.

Dentro de este último grupo se encuentran los Operadores Funcionales Lineales, los cuales transforman vectores dentro del campo de los números reales.

Se estudiarán tres tipos especiales de operadores: • El Funcional Multilinear• La Forma Cuadrática• Funciones de Matrices

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Funciones de Vectores y MatricesUn Operador Funcional Lineal (OFL) es una función lineal de un vectorUn OFL f(x) ∈ ℜ transforma un vector x ∈ X al conjunto de los números reales tales que

f(cx) = cf(x)f(x+y) = f(x) + f(y)

donde c es un escalar en el campo de X y y ∈ X.

Si el espacio vectorial X, de dimensión n, tiene definida una base {ej}, entonces

( ) ( )∑∑==

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

n

iii

n

iii fxxff

11eex

Se puede determinar el efecto de un funcional lineal sobre un vector determinando primero su efecto sobre los vectores de la base.

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Funciones de Vectores y MatricesPara determinar el efecto de un funcional lineal sobre la base

o en forma matricial

Base Nueva :ˆ ,ˆ1

i

n

iiijj b eee ∑

=

=

[ ] [ ]Beeeeee nn ˆˆˆ 2121 LL =

respecto a la nueva base:

( ) )(1

∑=

=n

jjj fxf ex

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Funciones de Vectores y Matrices

( ) ∑ ∑= =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

n

j

n

iiijj bfxf

1 1ex

( ) ( )∑ ∑= =

=n

j

n

iiijj fbxf

1 1ex

( ) ( )

( ) ( )∑

∑ ∑

=

= =

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

iii

n

ii

n

jjij

ff

fbf

1

1 1

ˆˆ

ˆ

exx

exx

Respecto a la nueva base

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Funciones de Vectores y Matricesdonde

son los componentes del funcional en la nueva base, o en forma matricial

∑=

=n

jjiji b

1

ˆ xx

Bxx =ˆ

Que corresponde a la misma formula para el cambio de base de vectores en un espacio lineal.

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Funcionales MultilinealesEs un funcional que es lineal en varios vectores diferentes:

A(x1,x2,…,xk).la mas común de las formas es la bilineal.Una forma bilineal B es un funcional que actúa sobre dos vectores del espacio X, de tal forma que si x, y, z ∈ X y α es un escalar en el campo de X:

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Forma Bilineal

Si la última condición se reemplaza por

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )yx,yx,

yx,yxyx,zx,yzx,zy,zx,zy,x

BBBB

BBBBBB

αααα

==

+=++=+

,

( ) ( )yx,yx, BB αα =

se dice que B está en la Forma Sesquilineal

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Forma BilinealEn un espacio lineal las formas bilineales se especifican por medio de un conjunto de n2 componentes, porque cada vector x, y se puede expandir en máximo n componentes independientes.

Estos n2 números se pueden escribir como una matriz de n × n donde el (i,j)–esimo elemento de la matriz es

( )ji e,eB=ijby la forma bilineal se puede escribir como

( ) [ ] Byxyxyx, Tij

T bB ==La forma B es simétrica si

( ) ( )xy,yx, BB =y es hermitiana si

( ) ( )xy,yx, BB =

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Forma BilinealCuando cambia la base del espacio vectorial la matriz que describe la forma bilineal también cambiara. Sea B la matriz que describe la forma bilineal respecto a la base original {ei} y sea la forma respecto a la nueva base {ej}, si la relación entre bases se conoce

B

∑=

=n

kkkii

1ee β

Sustituyendo en la expresión para el elemento (i,j)–esimo de la representación matricial de B:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=→= ∑∑

==

n

mmmi

n

llliijij BbBb

11

ˆ,ˆ eee,e ji ββ

( ) ∑ ∑∑ ∑= == =

=→=n

l

n

mijmiliij

n

l

n

mmmiliij bbBb

1 11 1

ˆˆˆ ββββ e,el

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Forma Bilineal

Si los coeficientes βij se ordenan en una matriz β, entonces en general tenemos que

βBβB T ˆ=

La anterior expresión tiene la forma de transformación similar previamente definida. Si la matriz de cambio de base es ortonormal (βT = β-1), la transformación en la forma bilineal es igual a la transformación similar.

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Forma BilinealLa forma bilineal escrita como

también se puede escribir como

Formas bilineales y productos internos son equivalentes

Pero no es válido para espacios de funciones de dimensión infinita.

( ) Byxyx, T=B

( ) yxyx, BB ,=

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Forma Bilineal

[ ]1,0∈t

( ) ∫ ×=1

0

)()()(),( dtttttB gfgf

Es un productos interno si B(x,x) > 0 para x ≠ 0 y B(x,x) = 0 para x = 0. Si se considera el campo de los complejos el producto interno tiene la forma sesquilineal:

Por ejemplo para el espacio de las funciones de valores reales definidas en el intervalo una forma bilineal válida:

( ) ∫ ×=1

0

)()()(),( dtttttB gfgf

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Formas CuadráticasSe definen las formas cuadráticas en la misma forma que las formas bilineales con la diferencia que se utiliza el mismo vector dos veces.

Dada una matriz A, una forma cuadrática puede escribirse como

( ) Axx,Axxxx,AQ T ===

Es conveniente definir formas simétricas o hermitianas, ya que si está definida sobre los reales, es un escalarAxxT

xAxAxxAxx TTT

TT ==

xAAxxAxAxxAxxTTTT

T

43421OA

T⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

+=

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Formas CuadráticasLa matriz AO cumple la condición

( ) ( )AAAAAAA TTT +=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+= 5.05.05.0

TTTT

O

EntoncesHermitiana Matriz T

OO AA =

Simétrica Matriz TOO AA =

Si A está definida sobre los reales

En general cuando se habla de formas cuadráticas se asume que se está trabajando con matrices simétricas. La forma cuadrática se puede usar en el sentido de “norma” pero se debe tener en cuenta que no siempre cumple con todas las propiedades de una norma. Por ejemplo, el requisito de no negatividad y de cero solo cuando x = 0no siempre se cumple. De hecho se tiene cinco posibilidades:

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Formas Cuadráticas• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se

dice que es positiva definida. 0>AxxT

• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se dice que es positiva semidefinida.

0≥AxxT

• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se dice que es negativa definida.

0<AxxT

• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se dice que es negativa semidefinida.

0≤AxxT

• Si para algunos x ≠ 0 y para otros x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se dice que es indefinida.

0>AxxT 0<AxxT

Existen varias pruebas para determinar si una matriz es positiva, negativa o indefinida:

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Formas Cuadráticas

TEOREMA: Una forma cuadrática o la matriz A simétrica que la define, es positiva (negativa) definida si TODOS los valores propios de A son positivos (negativos) o tienen parte real positiva (negativa). La forma cuadrática es positiva (negativa) semidefinida si TODOS los valores propios de A son no negativos (no positivos) o tienen parte real no negativa (no positiva).

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Sea A una matriz n × n con valores propios λi, se definen los menores principales de A como

Aaaaaaaaaa

aaaa

a n =Δ=Δ=Δ=Δ

333231

232221

131211

32221

12112111

Positiva definida: todos los menores principales son positivos.Positiva semidefinida: todos los menores principales son no negativosNegativa definida: los menores principales se alternan en signo, empezando con un signo negativo para el menor 1x1.Negativa semi definida: los menores principales son alternadamente no positivo, no negativo ….

Formas Cuadráticas

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La tabla resume dos métodos para determinar la “definición” de una matriz A hermitiana

Ninguno de los Anteriores

AlgunosAlgunos

Indefinida

Negativa SemidefinidaNegativa DefinidaPositiva SemidefinidaPositiva Definida

Menores de AValores PropiosClase

0>iλ0≥iλ0<iλ0≤iλ

0>iλ0<iλ

0>Δ i

0≥Δ iL000 321 <Δ>Δ<Δ

L000 321 ≤Δ≥Δ≤Δ

Formas Cuadráticas

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Las formas cuadráticas se pueden emplear para representar las ecuaciones de objetos geométricos conocidos como “quadrics”.

Geometría formas cuadráticas

Por ejemplo, sea x ∈ ℜn y la matriz A (n × n) simétrica positiva definida, entonces

1=AxxT

es la ecuación de un elipsoide en ℜn.

( )

( ) ( ) ( ) 1

1

100

010

001

2

2

2

2

2

2

0

0

0

2

2

2

000

=−

+−

+−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

czz

byy

axx

zzyyxx

c

b

azzyyxx

ooo

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Geometría formas cuadráticas

Cuales son las direcciones de los ejes principales?Que tan lejos se extiende la superficie en cada dirección?

Elipsoide

22

Geometría formas cuadráticas

Maximizar la ecuación del elipsoide sujeta a la restricción establecida por un tamaño normalizado.

Derivando:)1( xxAxx TT −−= γH

01

022

=−=∂∂

=−=∂

∂

xx

xAx

T

γ

γ

HxHT

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Geometría formas cuadráticas

El multiplicador de LaGrange es igual a un valor propio y x es el vector propio correspondiente.Los extremos del elipsoide se presentan en los vectores propios.El valor extremo esta dado por:

γγ

γ

γ

2

=

=

=

=

x

xxxxAxxT

T T

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Geometría formas cuadráticas

El valor extremo a lo largo de los ejes principales está dado por los vectores propios.Este resultado es cierto para una matriz simétrica, positiva definida.Para matrices no simétricas los ejes principales están dados por los vectores singulares izquierdos y las longitudes están dadas por los valores singulares.

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Funciones de Matrices

El resultado de una función de matrices es una matriz.Ejemplos básicos:

AdiciónMultiplicación

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Sea A una matriz cuadrada y k un entero positivo, se define

Funciones de Matrices

( )( )

( )IAAA

AAAAA

AkAAAAA

nn

mnmn

nmmn

k

==

==

==

−−

+

0

1

2

veces)( L

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Si A es diagonal por bloques, A = diag(A1 , A2), es fácil verificar que

Funciones de Matrices

( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

2

1

00

y 0

0A

AA

AA

Af

ffk

kk

Dada la transformación de semejanza Ā = Q-1AQ o A = QĀQ-1, como

121112 −−−− === QAQQAAQQAQQAQA

y en general1−= QAQA kk

se tiene:( ) ( ) ( ) ( )QAfQAfQAQfAf 11 o −− ==

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Funciones de Matrices

Dado un polinomio de orden n mónico:

El polinomio se puede evaluar sobre la matriz A:

( )( )( ) ( ) .....p- 21

011

1

IAIAIAIAAAA

n

nn

n

ppaaap

−−=++++= −

− L

( )( ) ( )n

nn

n

ppaaap

−−=++++= −

−

λλλλλλλ

.....p- ....)(

21

011

1

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El Teorema de Cayley – Hamilton establece que toda matriz satisface su propio polinomio característico.

Funciones de Matrices

Teorema ( Cayley – Hamilton). Sea φ(λ) = det(λI – A) = λn + αn-1 λn-1 +…+ α1A + α0I el polinomio caraterístico de A. Entonces

( ) 0011

1 =++++=Δ −− IAAAA n

nn ααα L

El teorema de Cayley – Hamilton implica que An se puede escribir como una combinación lineal de las potencias de A de 0 a n – 1. Si se multiplica Δ(A) por A se obtiene que An+1 se puede escribir como combinación lineal de {A, A2, . . . , An}, que a su vez se puede escribir en términos de {I, A, . . . , An-1}.

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Funciones de Matrices

Todas las matrices relacionadas por una transformación similar tienen el mismo polinomio característico:

El teorema de Cayley – Hamilton implica que An se puede escribir como una combinación lineal de las potencias de A de 0 a n – 1. Si se multiplica Δ(A) por A se obtiene que An+1 se puede escribir como combinación lineal de {A, A2, . . . , An}, que a su vez se puede escribir en términos de {I, A, . . . , An-1}.

0)ˆ(0)( =Δ↔=Δ AA

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Evaluación de Funciones Matriciales:

Una forma de calcular f(A) conociendo Δ(λ) es empleando la fórmula de división de polinomios:

donde q(λ) es el polinomio cociente y h(λ) el polinomio residuo.

todo se reduce a determinar los coeficientes del polinomio h(λ)

Funciones de Vectores y Matrices

La división de polinomios es útil si el grado de f(λ) no es mucho mayor que el de Δ(λ).

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REFERENCIAS

1. CHEN C.T. Linear Systems Theory and Design. 3rd Edition. New York: Oxford University Press. 1999

2. BAY J.S. Fundamentals of Linear State Space Systems, New York: McGraw Hill International Edition,. 1999.