Ciclo de la tarea, Actividad 1 – Unidad 1

Vectores, matrices y determinantes

Presentado por

Clara Inés Cárdenas Yáñez – Cód. 60255539

José Alexis Domínguez – Cód. 77187699

Nelly Morales Dimarco – Cód. 52346627

Luz Sthella Quiñonez – Cód. 63342537

Sandra M. Rueda Velasco – Cód. 63497339

Grupo

208046-28

Ingeniero

Oscar Iván Valderrama

Tutor

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia (UNAD)

Escuela De Ciencias Básicas Tecnología E Ingeniería

Algebra Lineal

2015

INTRODUCCIÓN

Una parte fundamental del algebra lineal son los vectores, matrices y determinantes. Es importante

tener los conocimientos teóricos básicos de estos temas para poder llegar a desarrollar ejercicios que

pueden ser aplicados en los diferentes campos laborales.

En el presente trabajo, se desarrollan una serie de ejercicios de vectores, matrices y determinantes que

posibilitan la aplicación de esos conocimientos teóricos, permitiéndonos alcanzar las competencias

deseadas para este curso.

Esperamos cumplir con todos los requerimientos exigidos en este trabajo, e ir avanzando en el

conocimiento y aplicabilidad del algebra lineal.

OBJETIVOS

Adquirir los conocimientos necesarios para la comprensión de los temas de algebra lineal, relacionados

con vectores, matrices, y determinantes, a través de la investigación de los mismos.

Aplicar los conocimientos adquiridos en la solución de los problemas planteados, entendiendo su

aplicabilidad en problemas que pueden presentarse en el campo laboral.

Avanzar en el aprendizaje del curso de algebra lineal, para alcanzar las competencias planteadas.

Resolver los siguientes problemas propuestos:

1. Dados los siguientes vectores en forma polar:

a. |u | = 2; ϴ = 315°

b. |v |= 5; ϴ = 60°

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

u – v,

v + u

v -3u

Solución:

Para sumar vectores cuando se trabaja con componentes; basta sumar las dos componentes, la 1ª con la

1ª y la 2ª con la 2ª.

Para: |u | = 2; ϴ = 315°

|u |= 2; ϴ = 315° – 270° = 45° (Tercer cuadrante, uy es Negativo)

ux = 2.sen45° = 1.4

uy = –2.cos45° = – 1.4

u⃗=(1.4 ,−1.4 )

3⃗ u= (4.2 ,−4.2 )

Para: |v | = 5; ϴ = 60°

vx = 5.cos60° = 2.5

vy = 5.sen60° = 4.3

v⃗=(2.5 , 4.3 )

Así:

u⃗−v⃗=¿

u⃗+(−1 ) v

(1.4 ,−1.4 )+(−2.5 ,−4.3)

(1.4−2.5 ,−1.4−4.3 )=(−1.1 ,−5.7)

v⃗+u⃗=¿

(2.5,4 .3 )+ (1.4−1.4 )

¿

5 v⃗−3u⃗=¿

5 (2.5 ,4.3 )+3 (−1.4 ,+1.4 )=¿

(12.5−4.2 , 21.5+4.2 )=(8.3 ,25.7)

2. Dados los vectores v=2 i−3 j−2k y w=−i−3 j−4 k encuentre:

a. El ángulo en v y w

b. El producto escalar entre v y w

c. El producto vectorial entre v y w

Solución:

a. El ángulo en v y w

v⃗⋅w⃗=(2 ,−3 ,−2 )+(−1 ,−3 ,−4 )v⃗⋅w⃗=(2 ) (−1 )+(−3 ) (−3 )+(−2 ) (−4 )v⃗⋅w⃗=−2+9+8v⃗⋅w⃗=15

|⃗v|=√ (2 )2+(−3 )2+ (−2 )2=√4+9+4=√17

|w⃗|=√(−1 )2+(−3 )2+ (−4 )2=√1+9+16=√26

cos ( v⃗ , w⃗ )=15

√17∗√26=

15

√442

cosθ=15√442

≈ θ=cos−1 15√442

θ=44 , 47 °

El ángulo entre v y w es igual a Θ= 44.48°

b. El producto escalar entre v y w

Teniendo

v=2 i−3 j−2k y w=−i−3 j−4 k

v⃗⋅w⃗=(2 ,−3 ,−2 )+(−1 ,−3 ,−4 )v⃗⋅w⃗=(2 ) (−1 )+(−3 ) (−3 )+(−2 ) (−4 )v⃗⋅w⃗=−2+9+8v⃗⋅w⃗=15

El producto escalar entre w y w es = 15

c. El producto vectorial entre v y w

Teniendo

v=2 i−3 j−2k y w=−i−3 j−4 k

En teste caso se halla es el producto cruz de los dos vectores v⃗×w⃗

v⃗×w⃗=|i − j k2 −3 −2−1 −3 −4

|=i|−3 −2−3 −4

|− j|2 −2−1 −4

|+k|2 −3−1 −3

|

v⃗×w⃗= (12−6 ) i−(−8−2 ) j+(−6−3 ) kv⃗×w⃗=6 i−(−10 ) j+(−9 ) kv⃗×w⃗=6 i+10 j−9 k

El producto vectorial entre v y w es igual a 6i+10 j−9k

3. Dadas las matrices

A=(−1 5 0 54 2 −3 6) B=(

5−4−2−3

) C=(−9 2 6 )

Hallar:

a. AB

b. BC

AxB

A=(−1 5 0 54 2 −3 6) B=(

5−4−2−3

)

A2X4 x B4X1 = AB2X1

AB = (( – 1 ) .5+5. ( – 4 )+0. ( – 2 )+5. (– 3 )4.5+2. (– 4 )+( – 3 ) ( – 2 )+6.(–3)) = (– 5 – 20+0 – 15

20 – 8+6 – 18 ) = (– 400 )

AB=(−400 )

BxC

B=(5

−4−2−3

) C=(−9 2 6 )

BC = B4X1 x C1X3 = B.C4X3

BC = (5. ( – 9 ) 5.25.6

( – 4 ) ( – 9 ) ( – 4 ) .2 (– 4 ) .6( –2 ) . ( –9 ) ( – 2 ) .2 ( –2 ) .6( – 3 ) . (−9 ) (– 3 ) .2 ( – 3 ) .6

) = (– 45 10 3036 – 8 –2418 – 4 – 1227 – 6 –18

)

BC=(−45 10 3036 −8 −2418 −4 −1227 −6 −18

)4. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello primero el método de Gauss

Jordan y luego por determinantes aplicando la fórmula: A−1= 1detA

(adjA )

A=(2 −1 0 −23 −6 4 −10 −1 3 −5

−1 2 1 1)

Método Gauss Jordan

f 1=f 1/2

[ A : I ]=(2 −1 0 −2 ⋮ 1 0 0 03 −6 4 −1 ⋮ 0 1 0 00 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0

−1 2 1 1 ⋮ 0 0 0 1)

[ A : I ]=( 1−12

0 −1 ⋮ 12

0 0 0

3 −6 4 −1 ⋮ 0 1 0 00 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0

−1 2 1 1 ⋮ 0 0 0 1)

[ A : I ]=(1

−12

0 −1 ⋮ 12

0 0 0

0−92

4 2 ⋮ −32

1 0 0

0 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0

032

1 0 ⋮ 12

0 0 1)

[ A : I ]=(1

−12

0 −1 ⋮ 12

0 0 0

0 1−89

−49

⋮ 13

−29

0 0

0 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0

032

1 0 ⋮ 12

0 0 1)

[ A : I ]=(1

−12

0 −1 ⋮ 12

0 0 0

0 1−89

−49

⋮ 13

−29

0 0

0 0199

−499

⋮13

−29

1 0

0 073

23

⋮ 013

0 1)

[ A : I ]=(1

−12

0 −1 ⋮ 12

0 0 0

0 1−89

−49

⋮ 13

−29

0 0

0 0 1−4919

⋮3

19−219

919

0

0 073

23

⋮ 013

0 1)

f 2=f 2/−9

2

f 3=f 3−(−1) f 2

f 3=f 3/19

9

f 4=f 4−73

f 3

f 4=f 4−32

f 2

f 2=f 2−3 f 1

f 4=f 4−(−f 1 )

[ A : I ]=(1

−12

0 −1 ⋮ 12

0 0 0

0 1−89

−49

⋮ 13

−29

0 0

0 0 1−4919

⋮3

19−219

919

0

0 0 012719

⋮ −719

1119

−2119

1)

[ A : I ]=(1

−12

0 −1 ⋮ 12

0 0 0

0 1−89

−49

⋮ 13

−29

0 0

0 0 1−4919

⋮3

19−219

919

0

0 0 0 1 ⋮ −7127

11127

−21127

19127

)[ A : I ]=(

1−12

0 0 ⋮ 113254

11127

−21127

19127

0 1−89

0 ⋮ 3531143

−70381

−28381

761143

0 0 1 0 ⋮2

12715

1276

12749

127

0 0 0 1 ⋮ −7127

11127

−21127

19127

)[ A : I ]=(

1 0 0 0 ⋮ 77127

6127

−23127

45127

0 1 0 0 ⋮ 41127

−10127

−4127

52127

0 0 1 0 ⋮2

12715

1276

12749

127

0 0 0 1 ⋮ −7127

11127

−21127

19127

)Programa Maple 13

Matriz inversa método Gauss

f 4=f 4/127

19

f 3=f 3−(−4919 ) f 4

f 2=f 2−(−49 ) f 4

f 1=f 1−(−f 4 )

f 2=f 2−(−89 ) f 3

f 1=f 1−(−12 ) f 2

Digitamos el título de la matriz, damos enter y nos aparece el título en color azul.

Vamos a herramientas / tutoriales / algebra lineal / matriz inversa para empezar a escribir la matriz.

Aparece esta ventana y damos clic en editar matriz.

Escribimos los valores respectivos.

Damos clic en display para cambiar la matriz y luego en close.

Vamos dando clic en next step para ir desarrollando la matriz, en el cuadro superior derecho van apareciendo las operaciones que hay q realizar para llegar a los valores de la matriz inversa.

1. Multiplicar la fila 1 por 1/2

2. Añadir 3 veces la fila 1 a la fila 2

3. Añadir 1 vez la fila 1 a la fila 4

4. Multiplicar fila 2 por -2/9

5. Añadir ½ veces la fila 2 a la fila 1

6. Añadir 1 vez la fila 2 a la fila 3

7. Añadir -3/2 veces la fila 2 a la fila 4

8. Multiplicar la fila 3 por 9/19

9. Añadir 4/9 veces la fila 3 a la fila 1

10. Añadir 8/9 veces la fila 3 a la fila 2

11. Añadir -7/3 veces la fila 3 a la fila 4

12. Multiplicar la fila 4 por 19/127

13. Añadir 45/19 veces la fila 4 a la fila

1

14. Añadir 52/19 veces la fila 4 a la fila 2

15. Añadir 45/19 veces la fila 4 a la fila 3. Y así finalmente obtenemos la matriz inversa.

Si no deseamos ver paso a paso el desarrollo de la matriz, damos clic en all steps, para ver el resultado final.

Seleccionamos la matriz para copiarla en

la plantilla del editor.

Damos clic a “si” para copiarla como texto de matemáticas.

La matriz queda de forma vertical.

Nos paramos al final de la flecha y

damos suprimir para que quede de manera horizontal y sea más fácil apreciarla.

Podemos cambiar el formato de la matriz con los botones de la barra de herramientas.

Determinante aplicando la fórmula: A−1= 1

detA(adjA )

A=(2 −1 0 −23 −6 4 −10 −1 3 −5

−1 2 1 1)

Calcular valor del determinante por método Sarrus

( A )=(2 −1 0 −23 −6 4 −10 −1 3 −5

−1 2 1 1)

|A|=2 A11+3 A21+0 A31+(−1 ) A41=¿

A11=(−1 )1+1(−6 4 −1−1 3 −52 1 1

−6 4 −1−1 3 −5

)=(1 ) (−18+1−40+6−30+4 )(1)(−77)

−77

A21=(−1 )2+1(−1 0 −2−1 3 −52 1 1

−1 0 −2−1 3 −5

)=(−1 ) (−3+2−0+12−5−0 )(−1)(6)

−6

A41= (−1 )4+1(−1 0 −2−6 4 −1−1 3 −5−1 0 −2−6 4 −1

)=(−1 ) (20+36+0−8−3−0 )(−1)(45)

−45

|A|=2 A11+3 A21+0 A31+(−1 ) A41=¿|A|=2 (−77 )+3 (−6 )+ (−1 ) (−45 )−154−18+45

−127

|A|=−127

Hallar matriz cofactor

A=(211 −112 013 −214

321 −622 423 −124

031 −132 333 −534

−141 242 143 144

)B=(

A11 A12 A13 A14

A21 A22 A23 A24

A31 A32 A33 A34

A41 A42 A43 A44

)A11=(−1 )1+1(

−6 4 −1−1 3 −52 1 1

−6 4 −1−1 3 −5

)=(−1 )2 (−18+1−40+6−30+4 )(1)(−77)

−77

A12=(−1 )1+2(3 4 −10 3 −5

−1 1 13 4 −10 3 −5

)=(−1 )3 (9−0+20−3+15−0 )(−1)(41)

−41

A13=(−1 )1+3(3 −6 −10 −1 −5

−1 2 13 −6 −10 −1 −5

)=(−1 )4 (−3−0−30+1+30−0 )(1)(−2)

−2

A14=(−1 )1+4(3 −6 40 −1 3

−1 2 13 −6 40 −1 3

)=(−1 )5 (−3+0+18−4−18+0 )(−1)(−7)

7

A21=(−1 )2+1(−1 0 −2−1 3 −52 1 1

−1 0 −2−1 3 −5

)= (−1 ) (−3+2−0+12−5+0 )(−1)(6)

−6

A22=(−1 )2+2(2 0 −20 3 −5

−1 1 12 0 −20 3 −5

)= (1 ) (6−0+0−6+10−0 )(1)(10)

10

A23= (−1 )2+3(2 −1 −20 −1 −5

−1 2 12 −1 −20 −1 −5

)=(−1 ) (−2−0−5+2+20+0 )(−1)(15)

−15

A24=(−1 )2+4 (2 −1 00 −1 3

−1 2 12 −1 00 −1 3

)=(1 ) (−2+0+3−0−12+0 )(1)(−11)

−11

A31=(−1 )3+1(−1 0 −2−6 4 −12 1 1

−1 0 −2−6 4 −1

)= (1 ) (−4+12−0+16−1+0 )(1)(23)

23

A32=(−1 )3+2(2 0 −23 4 −1

−1 1 12 0 −23 4 −1

)=(−1 ) (8−6+0−8+2−0 )(−1)(−4 )

4

A33=(−1 )3+3(2 −1 −23 −6 −1

−1 2 12 −1 −23 −6 −1

)=(1 ) (−12−12−1+12+4+3 )(1)(−6)

−6

A34=(−1 )3+4 (2 −1 03 −6 4

−1 2 12 −1 03 −6 4

)= (−1 ) (−12+0+4−0−16+3 )(−1)(−21)

21

A41= (−1 )4+1(−1 0 −2−6 4 −1−1 3 −5−1 0 −2−6 4 −1

)=(−1 ) (20+36+0−8−3−0 )(−1)(45)

−45

A42= (−1 )4+2(2 0 −23 4 −10 3 −52 0 −23 4 −1

)=(1 ) (−40−18−0+0+6+0 )(1)(−52)

−52

A43=(−1 )4+3(2 −1 −23 −6 −10 −1 −52 −1 −23 −6 −1

)=(−1 ) (60+6+0−0−2−15 )(−1)(49)

−49

A44=(−1 )4+4(2 −1 03 −6 40 −1 32 −1 03 −6 4

)= (1 ) (−36−0−0+0+8+9 )(1)(−19)

−19

La matriz de cofactores es igual a:

B=(−77 −41 −2 7−6 10 −15 −1123 4 −6 21

−45 −52 −49 −19)

Hallar la transpuesta de B para hallar la adjunta de A

Bt=(−77 −6 23 −45−41 10 4 −52−2 −15 −6 −497 −11 21 −19

)=adjA

Hallar inversa de A:

A−1= 1detA

(adjA )

A−1= 1|−127|(

−77 −6 23 −45−41 10 4 −52−2 −15 −6 −497 −11 21 −19

)Para comprobar el resultado decimos:

A ∙ A−1=I=A−1 ∙ A

A ∙ A−1= 1|−127|(

2 −1 0 −23 −6 4 −10 −1 3 −5

−1 2 1 1)(

−77 −6 23 −45−41 10 4 −52−2 −15 −6 −497 −11 21 −19

)A ∙ A−1= 1

|−127|(−127 0 0 0

0 −127 0 00 0 −127 00 0 0 −127

)

5. Determine empleando determinantes si la matriz es invertible. Debe mostrar todo el procedimiento

no es suficiente con solo identificar la matriz invertible

a=(2 1 14 −1 28 1 4 ) b=(11 6 2

−2 3 57 0 −4 ) c=(

1 −3 0 −25 −2 −2 6

−2 10 2 0−1 6 1 1

)Solución

Se dice que una matriz es invertible si al hallar su determinante este diferente cero. Teniendo este

concepto hallamos el determinante de cada una de las matrices para saber si son o no invertibles

a=(2 1 14 −1 28 1 4 )

A la fila 2 le sumamos la fila 1 multiplicada por (-2)

(2 1 10 −3 08 1 4 )

A la fila 3 le sumamos la fila 1 multiplicada por (-4)

(2 1 10 −3 00 −3 0 )

A 2 veces la fila 3 le sumamos la fila 2 multiplicada por (-2)

(2 1 10 −3 00 0 0 )

(2 1 14 −1 28 1 4 )=(2 1 1

0 −3 00 0 0 )=(2 ) (−3 ) (0 )=0

=

Como el determinante es igual a cero (0) se puede afirmar que esta matriz no es invertible.

b=(11 6 2−2 3 57 0 −4 )

A la fila 2 le restamos la fila multiplicada por (-2/11)

(11 6 2

04511

5911

7 0 −4)

A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por (7/11)

(11 6 2

04511

5911

0−4211

−5811

)A la fila 3 le restamos la fila multiplicada por (-14/15)

(11 6 2

04511

5911

0 0−415

)(11 6 2−2 3 57 0 −4 )=(

11 6 2

04511

5911

0 0−415

)= (11 ) x (4511 ) x(−4

15 )

(45 )×(−415 )=3×(−4 )=−12

Como el determinante es igual a -12 podemos afirmar que esta matriz es invertible.

c=(1 −3 0 −25 −2 −2 6

−2 10 2 0−1 6 1 1

)A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por (-5)

(1 −3 0 −20 13 −2 16

−2 10 2 0−1 6 1 1

)A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por (-2)

(1 −3 0 −20 13 −2 160 4 2 −4

−1 6 1 1)

A la fila 4 le restamos la fila 1 multiplicada por (-1)

(1 −3 0 −20 13 −2 160 4 2 −40 3 1 −1

)A la fila 3 le restamos la fila 2 multiplicada por (4/13)

(1 −3 0 −20 13 −2 16

0 03413

−11613

0 3 1 −1)

A la fila 4 le restamos la fila 2 multiplicada por (3/13)

(1 −3 0 −20 13 −2 16

0 03413

−11613

0 01913

−6113

)

A la fila 4 le restamos la fila 3 multiplicada por (19/34)

(1 −3 0 −20 13 −2 16

0 03413

−11613

0 0 05

17)

(1 −3 0 −25 −2 −2 6

−2 10 2 0−1 6 1 1

)=(1 −3 0 −20 13 −2 16

0 03413

−11613

0 0 05

17)=

(1 )× (13 )×(3413 )×( 5

17 )= (34 )×( 517 )=2×5=10

Como el valor del determinante es igual a 10, se puede afirmar que la matriz es invertible.

CONCLUSIONES

Aunque inicialmente estos temas de vectores, matrices y determinantes, parecen confusos, al ir

estudiando la teoría, vemos que no son tan complicados, lo que si necesitan es dedicación, pues como

puede verse sobre todo en las matrices y determinantes la solución de los ejercicios es extensa y

cualquier equivocación puede variar todo el ejercicio.

El estudio de las matrices, las operaciones que con ellas se realizan, su inversa, tiene mucha

aplicabilidad en casos de agrupación de datos, es la solución de problemas en los diferentes campos

laborales, si logramos llevarlo a la práctica.

Cabe destacar que nos falta mucho por aprender, pero por lo menos ya se manejan conceptos teóricos

que nos han permitido desarrollar lo ejercicios planteados, esperamos seguir avanzando en este curso y

cumplir con las metas trazadas.

Referencias Bibliográficas

[1] Grossman, S. (1992). Álgebra Lineal con aplicaciones (cuarta ed.). México: Mc Graw Hill.

[2] Zuñiga G., C. A., & Rondon D., J. E. (2010). Módulo Álgebra Lineal (primera ed.). Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD.

Webgrafía

[1] Estudio de los vectores en álgebra lineal [video]. (4 de agosto de 2014). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=yBHVDZoqPQs

[2] Ángulo entre dos vectores (producto punto) [video]. (31 de julio de 2013). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=LwPo2Gznk-s

[3] Ángulo formado por dos vectores [video]. (18 de febrero de 2009). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=RtOTGBuQRto

[4] Suma y resta de vectores [video]. (23 de julio de 2013). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=WAgChRfDc9s

[5] Determinante de una matriz 4x4 [video]. (1 de noviembre de 2010). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=ZO0naBrmgj4

[6] Inversa de una matriz 4x4 [video]. (31 de octubre de 2014). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=e-peSMxSlBQ

[7] Operaciones básicas con matrices – Álgebra lineal y matrices [video]. (22 de agosto de 2013). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=l7FGkomNpjg

[8] Operaciones con matrices – calculo matricial [video]. (16 de junio de 2013). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=CMlnTHtf2hc

[9] Cómo calcular la inversa de una matriz [video]. (04 de noviembre de 2011). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=YwlyPBEo5lc

[10] Solución de un sistema de 3x3 de Gauss Jordan [video]. (16 de noviembre de 2012). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=l6fBSH8I1o4