Matrices y determinantes

Matrices y Determinantes

2º Bachillerato

Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial S.M.)

Dimensión de la matriz nm

2ª columna

3ª fila

Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij )

Concepto de matriz. Igualdad de matrices

Definición de matríz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n.

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

A = (ai,j)=

Matriz: Ejemplo

Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:

1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.

2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.

3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

Estos datos se pueden agrupar en una matriz

2 1 1

1 1 1

1 1 0

Expresión matricial: ejemplo

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =

2 5 –3

1 –4 1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =

2 5 –3 1

1 –4 1 –2

Tiene la siguiente expresión matricial:

2 5 –3

1 –4 1

x

y z

=

1

– 2

2 z 4y - x

1352 zyxEl sistema

1 2 4

2 3 5

4 5 -1

0 2 -4

-2 0 3

4 -3 0

Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )

Matriz columna: A =

2

4 6

jiij aa

Diagonalsecundaria

Diagonal principal

Matriz cuadrada: A=

1 3 5

2 4 6 1 1 1

• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

• Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

Clasificación de matrices: Forma

jiij -aa

A = AT

A = –AT

Clasificación de matrices: Elementos

• Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.

• Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros.

• Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros.

• Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos.

• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

• Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1.

33

000

000

000

O

23

00

00

00

O

400

320

631

T

100

030

002

D

100

010

001

I3

200

020

002

A

453

023

001

T

Operaciones con matrices

Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un número

Producto de matrices

Matrices inversibles

Propiedades simplificativas

Operaciones con matrices I

1.- Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:

1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. (At)t = A.

Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades

I. Para la matriz A, (At)t = A

II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt

III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At

IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At

V. Si A es una matriz simétrica, At = A

Propiedades:

La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Ejemplo: Si A =

1 2 3

4 5 6 entonces At =

1 4

2 5 3 6

Operaciones con matrices II

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz

S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (a ij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo

2.- Suma y diferencia de matrices

Sin embargo, no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

Suma de matrices: ej de orden 3

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)

A + B = (aij ) + (bij ) =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

+

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34

=

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

= (aij + bij )

Propiedades de la adición de matrices

• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Conmutativa: A + B = B + A

• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.

• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

Operaciones con matrices III

k . A = k . (aij) = k·

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

ka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33

= (kaij)

3.- Producto de un número por una matriz

Propiedades con la suma y el producto por un número

• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB

• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA

• Elemento neutro: 1 · A = A

• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A

Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

Operaciones con matrices IV

4.- Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que

deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p,

no se pueden multiplicar

Ejemplos:

Pij = aik · bkj con k=1,….n

¿Cuándo es posible el producto de matrices?

(aij)m,n . (bij)n,p =

Posible

filas

columnas

(cij)m,p

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

Producto de matrices: Desarrollo

es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1

. b1j + ai2. b2j + ... + ain

. bnj

El producto de la matriz

A = (a ij) =

a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

por la matriz

B = (b ij) =

np3n2n1n

p3333231

p2232221

p1131211

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

......

..........

......

......

......

Ejemplo: producto de matrices

2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

(aij)2,3 . (bij)3,3 =

productoposible

(cij) 2, 3

A · B =

2 1 –1

3 –2 0 .

1 2 0

1 0 –3

0 1 –2

=

3 3 –1

1 6 6

Propiedades del producto de matrices (I)

I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr.

A . (B . C) = (A . B) . C

III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.

A . (B + C) = A . B + A . C

IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp.

(A + B) . C = A . C + B . C

las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:

Im · A = A · In = A

II. Elemento unidad. Si A es una matriz mxn, y

Im =

1......000

..........

0......100

0......010

0......001

e I n =

1 0 0 ...... 0 0 1 0 ...... 0 0 0 1 ...... 0 .. .. .. .. ..

0 0 0 ...... 1

Propiedades del producto de matrices (II)

I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado.

II. Si A . B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0.

III. Si A . C = B . C y C 0, entonces no necesariamente A = B.

IV. (A + B)2 A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

V. (A – B)2 A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

VI. A2 – B2 (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.

Ejemplo: Aunque

0 2

0 0 .

0 –3

0 0 =

0 0

0 0 ninguno de los factores que

forman el producto es la matriz nula.

Producto: Potencia de una matriz

Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma.

An = A . A . ........... . An veces

Ejemplo:

10

11A

10

21

10

11

10

11AAA2

10

31

10

21

10

11AAA 23

10

41

10

31

10

11AAAAAAA 34

10

1

10

11

10

11AAAAA 1-

veces-

nnn

n

n

Propiedades de la matriz inversa

I. Si las matrices A y B son inversibles (A . B)–1 = B–1 . A–1

II. Si A es una matriz inversible y k 0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1

III. Si A es una matriz inversible, (A–1)–1 = A

IV. La matriz unidad es inversible y además I–1 = I

V. Si A es una matriz inversible, (A–1)t = (At)–1

Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A-1

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en

caso contrario recibe el nombre de singular.

Inversa de una matriz, Matrices inversibles

Operaciones con matrices V

Métodos de cálculo de la matriz inversa

Directamente

Por el método de Gauss-Jordan

Usando determinantes

Observación:

Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".

Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:

Inversa de una matriz (directamente)

Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1.

Y de aquí se deduce que:

Ejemplo: Dada A =

2 –1

1 1 para obtener A-1 =

x y

z t se ha de cumplir

2 –1

1 1 .

x y

z t =

1 0

0 1

2x – z 2y – t

x + z y + t =

1 0

0 1

2x – z = 1 x + z = 0 2y – t = 0 y + t = 1

x = 1/3 y = 1/3 z = –1/3 t = 2/3

Por tanto A-1 =

13

13

– 13

23

Combinación lineal entre filas y columnas

En una matriz A, las filas pueden representarse por F1, F2, ... , Fm y las columnas por C1, C2, ... , Cn.

Se llama combinación lineal de las filas F1, F2, F3 ... , Fm a una expresión de la forma: k1

. F1 + k2 . F2 + k3 . F3 + ... + km . Fm siendo k1, k2, ... , km números reales.

Se llama combinación lineal de las columnas C1, C2, C3 ... , Cn a una expresión de la forma: k1

. C1 + k2 . C2 + k3 . C3 + ... + kn . Cn siendo k1, k2, ... , kn números reales.

A =


.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (C1, C2, C3, ... , Cn) =

F1 F2 F3 ...... Fm

Dependencia lineal entre filas y columnas

• Una fila (o columna) de una matriz depende linealmente de otras si es combinación lineal de ellas.

• Si entre las filas (o columnas) de una matriz, alguna depende linealmente de otras, se dice que son linealmente dependientes; en caso contrario, son linealmente independientes.

F3 = F1 + 2F2

Ejemplo: En la matriz A =

2 0 –1 1

1 3 1 0 4 6 1 1

la tercera fila es combinación lineal de la primera y la

segunda ya que:

En cambio: En la matriz B =

1 2 4

3 –1 5 las dos filas son linealmente independientes porque ninguna

de ellas es igual a una constante por la otra.

Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B). La matriz B será la inversa de A.

Las transformaciones elementales son las siguientes:Permutar 2 filas ó 2 columnas.Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.

Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

Suprimir las filas o columnas que sean nulas,

En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que estamos haciendo son las siguientes multiplicaciones:

A-1·A= In y A-1 · In = A-1=B

Si hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:

211

112

011

220

110

011F2 – 2F1 F2

F1 + F3 F3

220

110

011

211

112

011

101

012

001

Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación:

Cálculo de la Matriz Inversa por el método

de Gauss – Jordan I

Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz

•En primer lugar triangulamos inferiormente:

•Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente:

Por último, habrá que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad:

De donde, la matriz inversa de A es


de Gauss – Jordan II: Ejemplo

Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz se tiene:

Como hay una fila completa de ceros, la matriz A no tiene rango máximo, en este caso 2, por tanto no tiene inversa pues es una matriz singular


de Gauss – Jordan III : Ejemplo


de Gauss – Jordan IV: Ejemplo

2º.- Triangulamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la matriz de la derecha.

Queremos calcular la inversa de

1º.- Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad,

Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa.


de Gauss – Jordan V: continuación

3º.- Triangulamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de la derecha.

4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente.

Rango de una matriz

• El rango por filas de una matriz es el número de filas linealmente independientes.

• El rango por columnas de una matriz es el número de columnas linealmente independientes.

• Se puede demostrar que el rango por filas coincide con el rango por columnas en cualquier matriz. A este valor común se le llama rango de la matriz y se representa rg A.

Operaciones que no modifican el rango de una matriz

• Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí.

• Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero.

• Sumar a una fila (o columna) una combinación lineal de otras filas (o columnas).

Dependencia e independencia lineal : filas

Vectores fila de una matriz:

Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan linealmente de otros. Por ejemplo:

Sus dos filas son linealmente independientes

2431

5232A

Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen linealmente de las primeras

43

50

12

31

B

2123 FFF 214 FFF

Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de las dos primeras

158

209

351

C

312 FFF

Se llama rango de una matriz al número de filas Linealmente Independientes

Teorema

En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I.

Dependencia e independencia lineal: columnas

Vectores columna de una matriz:

También las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Podríamos definir rango de la matriz como el número de columnas linealmente independientes, pero aparece la duda de si esa definición puede contradecir en algún caso la anterior.

¿Es posible que en una matriz el número de filas linealmente independientes sea distinto del número de columnas linealmente independiente?. El siguiente teorema nos asegura que no.

Por esto podemos dar una nueva definición de Rango:

Rango de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente independientes.

Ejemplos rango de una matriz escalonada

2 0 –1 1

0 1 1 0 0 0 1 1

La matriz A = tiene rango 3.

0000

0110

1102


1000

0100

1102


0000

0200

1120


0000

0000

1000


El rango de una matriz lo podemos calcular por dos métodos diferentes:

Métodos de cálculo del rango de una matriz

Por el método de Gauss

Usando Determinantes

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Transformaciones elementales:

Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango varíe.

Las transformaciones elementales son las siguientes:

Permutar 2 filas ó 2 columnas.

Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.

Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

Suprimir las filas o columnas que sean nulas,

Suprimir las filas o columnas que sean proporcionales a otras.

Proceso para el cálculo del rango de una matriz:Método de Gauss

a) Si es necesario, reordenar filas para que a11 0 (si esto no fuera posible, aplicar todo el razonamiento a a12).

b) Anular todos los elementos por debajo de a11: para ello multiplicar la primera fila por –a21/a11 y sumar a la segunda, multiplicar la primera fila por –a31/a11 y sumar a la tercera, .... multiplicar la primera fila por –am1/a11 y sumar a la m-ésima.

c) Repetir los pasos anteriores basados en a22 y, después, en cada aii.

d) El proceso termina cuando no quedan más filas o están formadas por ceros.

A =


.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

Cálculo del rango de una matriz

Aplicando los procesos anteriores se puede llegar a una matriz escalonada que indica el número de filas o columnas independientes y por tanto el rango de la matriz.

* * * * *

* * * * * * * * * * * * * * *

Rango 4

* * * * *

0 * * * * 0 0 * * * 0 0 0 * *

Rango 3

* * * * *

0 * * * * 0 0 * * *

Rango 2

* * * * *

0 * * * *

Rango 1

* * * * *

Ejemplos del cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss I

Ejemplos del cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss II

A no es inversible

Restando a la segunda fila la primera por 4:

1 – 12

12 0

0 0 –2 1

Condición para que una matriz sea inversible

Ampliamos la matriz A con la matriz identidad:

2 –1 1 0

4 –2 0 1

Dividiendo la primera fila por 2:

1 – 12

12 0

4 –2 0 1

• Al operar con las filas de A se ha llegado a una matriz de rango distinto a la dimensión de la matriz A.

• Por tanto: una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si rg A = n.

• De otra forma: A es inversible si y sólo si sus filas (o sus columnas) son linealmente independientes.

Vamos a estudiar si A =

2 –1

4 –2 es inversible:

Dada una matriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:

con

(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la signatura de la permutación)

Determinantes

Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la paridad de la permutación que indican sus filas y columnas.

Determinantes de orden 2 y 3

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33.

a11 a12 a13 a 21 a22 a23

a31 a32 a33

Dada una matriz cuadrada de orden 3 A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

det (A) o |A|, al número real siguiente: Se llama determinante de A,

Dada una matriz cuadrada de segundo orden: a a

a A =

11 12

a21 22

se llama determinante de A al número real:

Det( A) = |A| = a a 11 12

a 21 a 22= a11 · a22 – a12 · a21

Ejemplo: 3 2 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas cambiadas de signo.

Aplicaciones a la regla de Sarrus

24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77

det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =

El determinante de la matriz A =

3 5 1

4 –2 –1 2 –3 –4

es

Cálculo de determinantes usando desarrollo por los elementos

de una fila o columna

• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.

• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.

El determinante de una matriz A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

es igual a la suma de los elementos

de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos:

det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima columna

Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3

Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3

Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11.(-1)1+1

a22 a23

a32 a33 + a21

.(-1)2+1 a12 a13

a32 a33 + a31

.(-1)3+1 a12 a13

a22 a23

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a31.(-1)3+1

a12 a13

a22 a23 + a32

.(-1)3+2 a11 a13

a21 a23 + a33

.(-1)3+3 a11 a12

a21 a22

Determinante de cualquier orden

–3 5

–1 –1

= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34

El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:

det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila

det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna

Por ejemplo:

2 –1 1 2 1 6 1 0

3 –1 –1 3 2 –1 0 1

= 1 · (–1)2+1 –1 1 2 –1 –1 3 –1 0 1

+ 6 · (–1)2+2 2 1 2

3 –1 3 2 0 1

+

+ 1 · (–1)2+3 2 –1 2

3 –1 3 2 –1 1

+ 0 · (–1)2+4 2 –1 1

3 –1 –1 2 –1 0

=

I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.

II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.

Cálculo inmediato de determinantes (I)

Ejemplos:


–1 4 –1

3 2 3 2 5 2

es igual a cero porque la tercera y

primera columnas son iguales.


2 4 –1

1 –2 3 3 –6 9

es igual a cero porque la tercera fila

es igual a la segunda multiplicada por 3.

Ejemplo:


–1 0 –1

3 0 3 2 0 2

es igual a cero porque la segunda columna

es nula.

III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de otras filas o columnas es cero.

IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Cálculo inmediato de determinantes (II)

Ejemplo:


2 4 0

1 3 –1 3 1 5

es igual a cero porque la tercera columna es

igual al doble de la primera menos la segunda.

Ejemplo:

El determinante de la matriz A =

–1 0 –1

0 2 3 0 0 2

es igual –4.

V. El determinante de la matriz unidad es 1

Cálculo inmediato de determinantes (III)

Ejemplos:

El determinante de la matriz I3 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

es igual a 1.

El determinante de la matriz I5 =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

es igual a 1.

I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el determinante de la matriz se multiplica por ese número.

II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.

Propiedades: operaciones con filas y columnas (I)

Ejemplo:

2 3 4 20

= 2 3

4 . 1 4 . 5 = 4

2 3 1 5

Ejemplo:

1 – 4 2 5 = –

– 4 1 5 2

III. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas, respectivamente, el valor del determinante no varía.

Propiedades: operaciones con filas y columnas (II)

Ejemplo: Si en A = 2 3 – 1 1 5 2 4 13 4

sumamos a la tercera fila la primera mult iplicada por – 1 más

la segunda multiplicada por – 2, obtenemos:

B = 2 3 – 1 1 5 2

4 + 2 (–1) + 1(–2) 13 + 3 (–1) + 5(–2) 4 + (–1) (–1) + 2(–2)

y se cumple que ambos determinantes son iguales: BA

I. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al producto de los determinantes de cada una de ellas.

II. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1.

Determinantes de operaciones con matrices (I)

Ejemplo:

Sean A =

2 0

1 –1 y B =

4 1

3 2 . Se tiene que |A| = –2 y |B| = 5.

Como A . B =

8 2

1 –1 y | A . B | = – 10 se observa que | A

. B | = |A|

. |B|

Ejemplo:

Sea A =

3 0

1 1 ; entonces A –1 =

1/3 0

–1/3 1

Como | A | = 3 y | A –1 | = 1/3, se observa que | A | . | A–1 | = 1

III. Al trasponer una matriz su determinante no varía.

VI. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.

Operaciones con matrices (II)

Ejemplo:

Sea A =

2 0 –2

1 1 3 3 0 2

. Entonces At =

2 1 3

0 1 0 –2 3 2

Se cumple que | A | = | At |

Ejemplo:

Se cumple que: 2

2 0 – 2

1 1 3 3 0 2

=

4 0 – 4

2 2 6 6 0 4

= 23

2 0 – 2

1 1 3 3 0 2

Operaciones con matrices (III)

Ejemplo:

Sea A =

2 3 –1

1 5 2 4 13 4

. Entonces se cumple que | A | = 7

Y se tiene que:

2 3 –1

1 5 2 4 13 4

=

1 + 1 3 –1

3 – 2 5 2 1 + 3 13 4

=

1 3 –1

3 5 2 1 13 4

+

1 3 –1

– 2 5 2 3 13 4

= (-70) + 77

Si A =

a11 a12 + b12 a13

a21 a22 + b22 a23

a31 a32 + b32 a33

se cumple que:

a11 a12 + b12 a13 a21 a22 + b22 a23

a31 a32 + b32 a33 =

a11 a12 a13 a21 a22 a23

a31 a32 a33 +

a11 b12 a13 a21 b22 a23

a31 b32 a33

V.- Si una fila o columna es suma de varios sumandos, se descompone en tantos determinantes como sumandos haya

El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.

Rango de una matriz por determinantes I

Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).

En una matriz cualquiera A m×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado.

Definición:

El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A).

Consecuencias

Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su determinante es cero.

• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4.




• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A) 3.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A) 3.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(A) 2.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(A) 2. En caso contrario rang(A) = 1

En caso contrario rang(A) = 1

En caso contrario rang(A) = 2En caso contrario rang(A) = 2

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden cuatro es distinto de cero rang(A) 4.• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de

orden cuatro es distinto de cero rang(A) 4.En caso contrario rang(A) = 3

En caso contrario rang(A) = 3

Y así hasta que no sea posible continuarY así hasta que no sea posible continuar

• El rango de la matriz nula es 0.• Si la matriz A no es nula rang(A) 1.• El rango de la matriz nula es 0.• Si la matriz A no es nula rang(A) 1.

Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz

• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0.

• Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento a ij por su adjunto Aij.

Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I)

Ejemplo: Dada la matriz (A) =

2 -2 2

2 1 0 3 -2 2

, su adjunta sería:

adj (A)=

1 0 –2 2 –

2 0 3 2

2 1 3 –2

––2 2 –2 2

2 2 3 2 –

2 –2 3 –2

–2 2 1 0 –

2 2 2 0

2 –2 2 1

=

2 –4 –7 0 –2 –2 –2 4 6

• Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado por (-1)i+j

La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2 0

Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II)

Ejemplo: Dada la matriz A =

2 –2 2

2 1 0 3 –2 2

, pretendemos encontrar su inversa:

Ya hemos visto que: adj (A) =

2 –4 –7

0 –2 –2 –2 4 6

Entonces: [adj (A)]t =

2 0 –2

–4 –2 4 –7 –2 6

Por lo tanto: A–1 = 1

| A | [adj (A)]t = 1 –2

2 0 –2

–4 –2 4 –7 –2 6

=

–1 0 1

2 1 –2 7/2 1 –3

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0

Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos I

Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos II

• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos.

• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos.

• 2ª fila por (–3) + 1ª fila• 2ª fila por (–2) + 3ª fila• 2ª fila por (–3) + 4ª fila

desarrollo por 1ª columna

• 1ª fila por 1 + 3ª fila

desarrollo por 1ª columna

–18

Cálculo de determinantes por el método de Gaus

Ejemplo:

3 5 – 2 6 1 2 – 1 1 2 4 1 5 3 7 5 3

=

0 – 1 1 3 1 2 –1 1 0 0 3 3 0 1 8 0

= –1 . – 1 1 3 0 3 3 1 8 0

= –1 . – 1 1 3 0 3 3 0 9 3

=

= (–1) . (–1) 3 3 9 3 =

Matrices y determinantes

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