GUIA DE MATRICES Y VECTORES (3).docx

Recuerda la fórmula:

Guía de ejercicios

Ingeniería

Matrices y vectoresAprendizaje esperadoEscribe un arreglo matricial como resultado de la aplicación de la operatoria y propiedades de matrices.

Criterios de evaluación: Calcula operatoria con matrices utilizando definición y propiedades

Sean las matrices con n filas y m columnas

Suma de matrices

Matriz traspuesta de A Multiplicación escalar

Multiplicación de matricesPara que esté definida la multiplicación de matrices, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B.

Donde

1

Guía de ejercicios

Ingeniería

EJERCICIO RESUELTO

Sean las matrices ; ; ;

De ser posible, calcular:

DESARROLLO

Para resolver este ejercicio se trabaja por partes analizando si es posible realizar las operaciones que se piden.

1) Para que esté definida la multiplicación el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B.

Como la multiplicación AB está definida se realiza la operación. La dimensión de la matriz

resultante es .

2) Para que esté definida la multiplicación el número de columnas de C debe ser igual al número de filas de D.

Como la multiplicación CD está definida se realiza la operación. La dimensión de la matriz

resultante es .

2

=

=

========================================

========================================

Guía de ejercicios

Ingeniería

3)

Ahora se realiza la suma de las matrices, para que esté definida esta debe realizarse en matrices

de iguales dimensiones, en este caso las dos matrices son de .

La suma de matrices se realiza componente a componente y se obtiene una matriz de iguales dimensiones.

4)

Ahora se realiza la matriz traspuesta de la suma de matrices, se intercambian filas por columnas y se obtiene una nueva matriz.

5)

Ahora se realiza la multiplicación escalar

El número 2 multiplica a cada componente de la matriz.

Por lo tanto

3

Guía de ejercicios

Ingeniería

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Sean las matrices De ser posible, calcular:

a) (2 A )t b)(3 Bt−2 A )t c) ( A−B )t d)(3 At−5 Bt )t

2.

Sean las matrices

De ser posible, calcular:

a) ( Bt+ A ) C b) Bt C+ A

3. Determinar el valor de r de modo que ABt=0 , donde:

y

4. Sean muestre que AB BA

RESPUESTAS

1. a) b) c) no es posible d) no es posible

2. a) b) 3.

4

Guía de ejercicios

Ingeniería

Criterios de evaluación: Calcula determinante de una matriz mediante el método de los cofactores y reducción Gaussiana.

EJERCICIO RESUELTO

Calcular el determinante de la matriz mediante el método de los cofactores y reducción Gaussiana.

DESARROLLO

i) Método de los cofactores

5

Recuerda el método de los cofactores para calcular determinantes

Dada una matriz A, se pueden extraer sus cofactores de la siguiente manera

El signo del cofactor tendrá signo positivo o negativo de acuerdo a su ubicación en la siguiente tabla

Recuerda las reglas de los determinantes por el método de reducción Gaussiana:

1. Si todos los elementos de una fila (o columna) son cero, el valor del determinante es cero. 2. Si dos filas (o columnas) de un determinante se intercambian, el valor del determinante cambia

de signo pero conserva su valor absoluto. 3. Si los elementos de una fila (o columna) de un determinante se multiplican por un valor k,

entonces el nuevo determinante tiene un valor igual a k veces el determinante original. 4. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por el mismo

número k y al resultado se le suma el mismo elemento correspondiente de otra fila, no hay cambio en el valor del determinante.

Guía de ejercicios

Ingeniería

ii) Método de reducción Gaussiana.

Utilizando el método de Gauss se debe obtener una matriz triangular superior o inferior a la matriz inicial obteniendo ceros arriba o debajo de la diagonal principal. Esto se logra al operar con las reglas de determinantes.

El determinante de la matriz corresponde al producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz triangular obtenida.


1. Encuentre el valor del determinante dado

a) b) c) d) e) 2. Determinar el valor de x

RESULTADOS

6

TIPS:

Para indicar que operación que se está ejecutando se utiliza esta nomenclatura. En este caso quiere decir a los valores de la columna 2 le sumo los de la columna 1.

Recuerda

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Ingeniería

1. a) -14 b) -28 c)-3ax d)6 e)02. Criterios de evaluación: Calcula la matriz inversa mediante el método del determinante o eliminación Gaussiana.

Dada la matriz cuadrada , se tiene que:

Teorema

Matriz de los cofactores Inversa de la matriz

EJERCICIOS RESUELTOS

i) Calcular la matriz inversa de

DESARROLLO

Primero, se analiza si la matriz tiene inversa, para esto se verifica que (teorema)

Calculamos el determinante de A

Como , entonces existe matriz la inversa de A. Para calcular la matriz inversa

se utiliza la fórmula

7

Guía de ejercicios

Ingeniería

La matriz de los cofactores es

Ahora se expresa esta matriz en su forma traspuesta

Luego, se aplica la fórmula

Por lo tanto la matriz inversa es:

ii)

Calcular la matriz inversa de

DESARROLLO

Primero veamos si la matriz tiene inversa, analizando su determinante

, por lo tanto sí existe la matriz inversa de A

8

Guía de ejercicios

Ingeniería

Como esta es una matriz de vamos a calcular su inversa por medio de eliminación Gaussiana.Vamos a ampliar la matriz A uniéndola con la matriz identidad al costado derecho, la idea es “llevar” la matriz identidad al costado izquierdo por medio de las propiedades de eliminación Gaussiana.

Por lo tanto


Calcular la inversa, si es posible, de las siguientes matrices.

a) b) c) d)

e) f) g) RESPUESTAS

9

La matriz identidad queda finalmente al costado izquierdo de la matriz.

La Matriz inversa queda al costado derecho de la matriz.

Guía de ejercicios

Ingeniería

a) b) No tiene inversa c)

d) e) f) g) No tiene inversa

Aprendizaje esperadoResuelve problemas generales y orientados a la especialidad que involucren operaciones con matrices y solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante Gauss, analizando y comprobando la pertinencia de las situaciones.

Criterios de evaluación: Organiza matricialmente la respuesta a una situación problemática planteada.

EJERCICIO RESUELTO

Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.

En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2 En F1, las peras cuestan $500 el kilo, las manzanas $250 y las naranjas $300 En F2, las peras cuestan $600 el kilo, las manzanas $150 y las naranjas $450

i. Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C).

ii. Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterías.iii. Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que gastaría

cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías.

DESARROLLO

i. Si llevamos a una tabla la cantidad de fruta que quiere comprar cada persona se obtiene lo siguiente.

Persona Peras (kg) Manzanas (kg) Naranjas (kg)A 2 1 6

10

Guía de ejercicios

Ingeniería

B 2 2 4C 1 2 3

Esta tabla la podemos ordenar en una matriz M, la cual indica la cantidad de frutas en kilogramos que quieren comprar las personas A, B y C.

ii. Al igual que el punto anterior podemos realizar una tabla con los precios de cada fruta en las distintas fruterías.

Frutas F1 F2Peras $500 $600

Manzanas $250 $150Naranjas $300 $450

Al ordenar la tabla matricialmente se obtiene la matriz F

iii. Lo que gastaría cada persona queda determinado por el producto de las matrices M y F.

Y esta matriz que resulta la podemos llevar a una tabla que indica cuánto gastaría cada persona.

Persona Gasto en F1 Gasto en F2A $3.050 $4.050B $2.700 $3.300C $1.900 $2.250

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Guía de ejercicios

Ingeniería


1. Se quiere comparar el costo total de una compra de comestibles en tres supermercados. Se desea comparar 5 kg de carne, 3 kg de pan, 10 kg de papas, 4 kg de manzanas y 2 kg de café.

El precio por kilogramo de cada producto se detalla en la siguiente tabla.

Carne Pan Papas Manzanas CaféSupermercado 1 7000 850 300 300 7500Supermercado 2 8500 900 250 200 6800Supermercado 3 7500 600 450 350 8350

a) Representar matricialmente el precio por kilogramo de cada producto y las cantidades compradas en cada supermercado.b) Representar matricialmente el costo total de la compra en cada uno de los supermercadosc) ¿Cuál es el supermercado más conveniente para hacer la compra?

2. Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres hoteles, H1, H2 y H3. La familia A necesita 2 habitaciones dobles y 1 sencilla, la familia B necesita 3 habitaciones dobles y 1 sencilla, y la familia C necesita 1 habitación doble y 2 sencillas. En el hotel H1, el precio de la habitación doble es de $40.000 al día, y el de la habitación sencilla es de $15.000 al día. En H2, la habitación doble cuesta $42.000 al día, y la sencilla cuesta $12.000 al día. En H3, la doble cuesta $45.000 al día, y la habitación sencilla $16.000 al día.

a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles y sencillas) que necesita cada una de las tres familias.

b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres hoteles.

c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el gasto diario que tendría cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles.

12

Guía de ejercicios

Ingeniería

RESPUESTAS

1. a) Precio ; Cantidades

1. b) Costo 1. c) El supermercado 1 es el más conveniente siendo el costo de $56.750.

2. a)

2. b)

2. c)

Criterios de evaluación: Resuelve un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.

EJERCICIO RESUELTO

Resolver mediante el método de Gauss el sistema de ecuaciones lineales

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Recuerda

Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede reducirse a un sistema equivalente de la forma triangular o escalonada.

Guía de ejercicios

Ingeniería

DESARROLLO

El método de Gauss pretende resolver sistemas de ecuaciones mediante transformaciones del sistema principal a otros equivalentes, hasta llegar a un sistema de la forma triangular o escalonada.

Dado el sistema de ecuaciones de tres ecuaciones y tres incógnitas

Multiplicando la primera ecuación por , se obtiene el sistema equivalente

Al multiplicar la primera ecuación por -5 y se suma a la ecuación 2, se obtiene:

Al dividir esta ecuación por 13, resulta la ecuación

Al multiplicar la primera ecuación por -3 y se suma a la ecuación 3, se obtiene:

Resulta la ecuación

Luego, se obtiene el sistema equivalente al primer sistema

14

1.2.3.

En la forma de matriz ampliada


Guía de ejercicios

Ingeniería

De este sistema equivalente se multiplica la segunda ecuación por -8 y se suma a la tercera ecuación.

El sistema anterior se transforma en un nuevo sistema equivalente de la forma triangular o escalonada.

De este sistema se desprende que

Reemplazando en

Se desprende que

Reemplazando e en la primera ecuación se tiene que:

Luego, la solución del sistema es ; ;

Verificación

Se realiza la verificación de cada una de las ecuaciones en el primer sistema

15



Guía de ejercicios

Ingeniería

De este modo, es posible percibir que la solución satisface a las ecuaciones planteadas

Por lo tanto, Los valores son solución al sistema de ecuaciones


Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss

a) b) c)

d) e) f)

RESPUESTAS

a) b) c)

d) e) f)

Criterios de evaluación: Determina condiciones necesarias y suficientes para que un sistema tenga, única, infinitas o no tenga solución, explicando su razonamiento mediante el uso de un lenguaje pertinente.

EJERCICIO RESUELTO

Determinar el valor de a para que el sistema tenga solución, i) única, ii) infinita o iii) no tenga.

16

Guía de ejercicios

Ingeniería

Utilizando la matriz ampliada del sistema se tiene que:

Finalmente el sistema equivalente que se obtiene es:

A partir de este sistema analizaremos cuáles son los valores de a para que el sistema tenga, única, infinitas o no tenga solución.

En el sistema, si , Por lo tanto el sistema tiene solución única si y

Si en el sistema se obtiene:

Que es un sistema que tiene infinitas soluciones

Si en el sistema se obtiene:

17

Guía de ejercicios

Ingeniería

En este caso tenemos que lo que produce una contradicciónPor lo tanto, este es un sistema que no tiene solución.

En conclusión

i) Si y , el sistema tiene solución única ii) Si , el sistema tiene infinitas soluciones iii) Si , el sistema no tiene solución


En cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, obtener los valores de para que el sistema tenga solución única, infinidad de soluciones, o no tenga solución.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

RESPUESTAS

1. Si y el sistema tiene solución única. Si el sistema tiene infinitas soluciones. Si el sistema no tiene solución.

2. Solución única si . Para ningún valor de tiene infinitas soluciones. No tiene

solución si 3. Solución única si y . Tiene infinitas soluciones sí . No tiene solución si

4. Solución única si y . Para ningún valor de tiene infinitas soluciones. No

tiene solución si y .

18

Guía de ejercicios

Ingeniería

5. Solución única si . Tiene infinitas soluciones sí . Para ningún valor de no tiene solución.

6. Solución única si . Tiene infinitas soluciones sí . Para ningún valor de no tiene solución.

Criterios de evaluación: Resuelve problemas aplicados a variadas disciplinas, mediante la solución de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss a través de pivotes, analizando y comprobando la pertinencia de las soluciones.

EJERCICIO RESUELTO

En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2, 3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 40 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes de camisas se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

DESARROLLO

Para resolver este problema primero se identifica qué es lo que se pide, en este caso se quiere conocer cuántos lotes de cada tipo de camisa se producen.

Se identifican las variables

Cantidad de lotes de la camisa de tipo 1 Cantidad de lotes de la camisa de tipo 2 Cantidad de lotes de la camisa de tipo 3

Se plantean las ecuaciones

1. Cortado:

2. Cosido:

3. Planchado y empaquetado:

Si el problema tiene solución debemos resolver el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas

19

Son 480 min porque son 8 horas en cada proceso.

Guía de ejercicios

Ingeniería

Lo resolveremos por el método de matrices

Primero, organizamos el sistema de ecuaciones en una matriz

Sea A la matriz asociada al sistema

Calculando el determinante de la matriz

Como el determinante no es cero este sistema tiene una única solución.

Utilizando la matriz ampliada del sistema y por medio del método de Gauss se obtendrá un sistema equivalente de la forma triangular.

Finalmente el sistema equivalente que se obtiene es:

20

; ;

Guía de ejercicios

Ingeniería

De este sistema se desprende de manera inmediata que e . Reemplazando en la primera ecuación, tenemos que:

Por lo tanto la solución del sistema es , ,

Entonces, la respuesta a la pregunta del problema ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar? es:

Trabajando esta cantidad de horas, en cada proceso, se pueden producir aproximadamente 10 lotes de la camisa de tipo2 y ningún lote de la camisa de tipo 1 y 3.


1. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible?

2. Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones de pesos. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente, con lo que su beneficio total sería de 600.000 pesos. Pero consigue más, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del 85%, respectivamente, lo que le da un beneficio total de 1,7 millones de pesos. ¿Cuánto le costó cada objeto?

3. Un joyero tiene tres clases de monedas A, B y C. Las monedas de tipo A tienen 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las de tipo B tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre, y las de tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre. ¿Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y 112 gramos de cobre?

RESPUESTAS

21

Guía de ejercicios

Ingeniería

1. El número de unidades de fertilizante del tipo I es 20, del tipo II es 20, del tipo III es 20.

2. El primer objeto le costó 0,5 millones de pesos ($500.000), el segundo le costó 0,5 millones de pesos ($500.000) y el tercero le costó 1 millón de pesos ($1.000.000).

3. Debe fundir 5 monedas de tipo A, 3 de tipo B y 2 de tipo C.

Aprendizaje esperadoResuelve ejercicios y problemas que requieran el uso del concepto y propiedades de vectores, explicando estrategias de resolución y verificando la pertinencia de las soluciones.

Criterios de evaluación: Representa gráficamente vectores en el plano y en el espacio, con precisión.

22

Recuerda la fórmula:Para vectores en el plano (𝙍2)

Norma o magnitud de un vector

Si entonces su norma es

Dirección de un vector

Si , tenemos que , por lo tanto, es el ángulo que indica la dirección del vector

En la calculadora utilizamos la función , si tenemos el vector consideramos lo siguiente:

I. Si x e y son positivos, entonces

II. Si x es negativo e y positivo, entonces

III. Si x e y son negativos, entonces

IV. Si x es positivo e y negativo, entonces

1

Guía de ejercicios

Ingeniería

EJERCICIO RESUELTO:

Determine la magnitud y dirección de los siguientes vectores. Representelos graficamente.

i) ii)DESARROLLO:

i)

Magnitud del vector

Calculamos la magnitud o norma del vector , para ello utilizamos la fórmula del recuadro 1.

23

Recuerda la fórmula:Para vectores en el espacio (𝙍3)

Norma o magnitud de un vector

Si entonces su norma es

Cosenos directores

Si , tenemos que

, es la medida del ángulo que forma el eje x con el vector

, es la medida del ángulo que forma el eje y con el vector

, es la medida del ángulo que forma el eje z con el vector

2

Guía de ejercicios

Ingeniería

Esto significa que la magnitud del vector cuyo origen está en el punto (0,0) es

Dirección del vector

Utilizamos la fórmula del recuadro 1, donde se obtiene la medida del ángulo que indica la dirección del vector.

, de esto se desprende que

La dirección del vector es 21,801°

Representación gráfica

Ahora realizamos su representación gráfica en el plano cartesiano

ii)

Magnitud del vector

Calculamos la magnitud o norma del vector , para ello utilizamos la fórmula del recuadro 2.

Esto significa que la magnitud del vector , cuyo origen está en el punto (0,0,0) es

Dirección del vector

Como es un vector en el espacio tiene tres ángulos que determinan su dirección y lo calculamos con la formula de los cosenos (recuadro 2).

Como

24

TIPS:

En la calculadora

TIPS:

En la calculadora

Guía de ejercicios

Ingeniería


Por lo tanto el ángulo que forma el eje x con el vector mide 80,26°


Por lo tanto el ángulo que forma el eje y con el vector mide 59,52°

,de esto se desprende que

Por lo tanto el ángulo que forma el eje z con el vector mide 32,31°


Ahora realizamos su representación gráfica en el espacio.

EJERCICIOS PROPUESTOS:

Determine la dirección y la norma de los siguientes vectores. Grafíquelos en el plano o en el espacio según corresponda.

25

Guía de ejercicios

Ingeniería

1. 2. 3.

4. 5. 6. RESPUESTAS:

1.

Dirección , Norma

2.

Dirección , Norma

3.

Dirección , Norma

4. Dirección

Norma

5.

Dirección

Norma

6.

Dirección

Norma

Criterios de evaluación: Reduce expresiones vectoriales aplicando la operatoria básica de vectores en el plano y en el espacio.

26

Recuerda las fórmulas:

Adición de vectores

Producto de un vector por un número real

Producto punto o escalar

Guía de ejercicios

Ingeniería

EJERCICIO RESUELTO:

Dados los vectores y Calcular:i)ii)iii) El ángulo formado por ellos

iv) v)

DESARROLLO:

i) Para sumar vectores se realiza componente a componente y se obtiene un nuevo vector

ii) Primero, realizamos el producto del número -4 por el vector

Luego, realizamos el producto escalar entre los vectores y obteniendo un número real

27


Adición de vectores

Producto de un vector por un número real

Producto punto o escalar

Guía de ejercicios

Ingeniería

iii) Para obtener el ángulo reemplazamos los vectores en la formula

Desarrollamos los productos escalares y las normas correspondientes

Luego, se obtiene para obtener la medida del ángulo utilizando la función

Luego la medida del ángulo comprendido entre los vectores es 91,79°

iv) Para obtener este producto reemplazamos los vectores donde corresponda y el ángulo obtenido en el punto anterior que es el ángulo comprendido entre los dos vectores.

Desarrollamos y obtenemos

Nota: Este resultado es la magnitud del vector resultante al hacer el producto vectorial

v) Para realizar el producto cruz o vectorial utilizamos la formula de determinantes

Desarrollamos cada determinante y obtenemos el vector que resulta del producto cruz.

28

TIPS:

En la calculadora

Guía de ejercicios

Ingeniería


1. Dado los vectores 𝑢 = (1, 2, −3) y v= (−2, 4, 1). Calcular y

2.

a) b) c) d)

e)

3. Dados los vectores , v→=(3,3√3) y w→=(−3,3√3 ). Determine el ángulo formado por los vectores

a)u y { v ¿ b) u y { w ¿ c) v y { w ¿

RESPUESTAS

1. 3 y (14,5,8)

2. a )2√3 b )√14+√2

3. a) 30° b) 90° c) 60°

Criterios de evaluación: Soluciona problemas geométricos generales y contextualizados a la especialidad mediante la operatoria de vectores, explicando estrategias de resolución y verificando la pertinencia de las soluciones.

29


Área del paralelogramo

Volumen del paralelepípedo

Guía de ejercicios

Ingeniería

EJERCICIOS RESUELTOS:

i) Encuentre el área del paralelogramo que tiene a y como lados adyacentes.

ii) Determine el volumen del paralelepípedo cuyas aristas adyacentes son

u=2 j+ k v=3 i+ j w= i +2 j

DESARROLLO:

i) Área del paralelogramo

La forma estándar de los vectores son y

Luego

Por lo tanto, el área del paralelogramo es aproximadamente

ii) Volumen del paralelepípedo

Los vectores en su forma estándar son

Luego, calculamos el producto vectorial

30


Área del paralelogramo

Volumen del paralelepípedo

Guía de ejercicios

Ingeniería

Ahora calculamos el volumen del paralelepípedo realizando el producto escalar

Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo es


1. Calcula el área del paralelogramo que tiene por lados adyacentes los vectores

2. Calcula el área del triangulo donde dos de sus lados son los vectores

3. Calcula el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes los vectores

; ; .

RESPUESTAS

1. 2. 3.

Aprendizaje esperadoResuelve problemas contextualizados a la especialidad que requiere la aplicación de formas y propiedades de un número complejo, explicando estrategias de resolución y verificando la pertinencia de las soluciones.

Criterios de evaluación: Representa un número complejo en sus distintas formas, pudiendo transitar de un sistema a otro sin dificultad.

31

Recuerda las distintas formas de expresar un número complejo Sea un número complejo Forma binomial

Forma polar

con y

Forma trigonométrica

Guía de ejercicios

Ingeniería

EJERCICIO RESUELTO:

Expresar el número complejo de la forma binomial, par ordenado, polar, exponencial y trigonométrica.

DESARROLLO:

Forma binomial

Por lo tanto expresado en su forma binomial es .

Forma de par ordenado

Como par ordenado el número complejo es

Forma polar

Como entonces

Por lo tanto el número complejo en su forma polar es

32

TIPS:


Recuerda las distintas formas de expresar un número complejo Sea un número complejo Forma binomial

Forma polar

con y


Guía de ejercicios

Ingeniería

Forma exponencial

Como y

Entonces el número complejo en su forma exponencial es


Como y

Entonces el número complejo en su forma trigonométrica es


1. Expresar en la forma los siguientes números complejos

a)

b)

c)

d)

2. Expresar en la forma trigonométrica los siguientes números complejos

a)

b)

c)

d)

Respuestas

1.

a)

b)c)

33

Guía de ejercicios

Ingeniería

d)

2.

a)

b)

c)

d)

Criterios de evaluación: Realiza operaciones con números complejos en distintas representaciones.

EJERCICIO RESUELTO:

i) Si y , entonces en su forma binomial es:

DESARROLLO

Utilizando la forma exponencial de los números complejos tenemos que:

y

Luego,

Por lo tanto

En su forma trigonométrica

Desarrollando para encontrar su forma binomial, tenemos

Luego, en su forma binomial es


34

Guía de ejercicios

Ingeniería

1. Calcular (1−i)16+(1+ i) y dejar expresado en la forma binomial

2. Sea y entonces

Z1

Z2

RESPUESTAS

1.

2.

Criterios de evaluación: Resuelve problemas contextualizados a la especialidad, mediante el uso de la operatoria y las distintas formas en que los números complejos se pueden expresar.


i) Verificar si se cumple la siguiente igualdad

ii) Calcular el conjugado en la siguiente expresión de operatoria de números complejos

DESARROLLO

35

Recuerda las fórmulas

Si entonces tenemos que:Módulo de un número complejo

Números complejos conjugados

Si y entonces tenemos que:Igualdad de complejos

Adición de complejos

Multiplicación de complejos

Guía de ejercicios

Ingeniería

i) Verificamos si se cumple la igualdad tomando la expresión de la izquierda y efectuando las

operaciones correspondientes

Como , entonces si se cumple la igualdad.

ii) Para realizar el ejercicio aplicamos las propiedades de operatoria en números complejos


36

TIPS:

Guía de ejercicios

Ingeniería

1. Verificar si se cumple la siguiente igualdad (−1

2+ i √3

2 )4

=12+ √3

2i

2. Expresar en la forma binomial ( ) el siguiente complejo Z=

(3+5 i)(2−i)3

(−1+4 i)

3. Calcular

4. Si , , y , calcular:

a)

b)

RESPUESTAS:

1. Al realizar la operatoria se verifica la igualdad. 2.

3.

4. a) b)

Criterios de evaluación: Explica las estrategias de resolución de problemas utilizadas.

37

Recuerda las fórmulas

Fórmula de De Moivre

Radicación de complejos en forma polar

Guía de ejercicios

Ingeniería


i) ¿Cuál es el valor de a para que el cociente sea un valor real? Calcule el valor del cociente.

ii) Dado el número complejo obtenga y los radicales de

DESARROLLO

i) Primero expresamos el cociente de estos números complejos en su forma binomial

multiplicando numerador y denominador por el conjugado de y luego desarrollamos de la siguiente manera:

Luego, el cociente de la forma es

Como el cociente debe ser un valor real por igualdad de números complejos tenemos que:

, esto implica que , luego , por lo tanto

El valor del cociente lo obtenemos reemplazando en la parte real , es decir

. Luego el valor del cociente es

ii) Para calcular utilizamos la fórmula de De Moivre, para ello debemos identificar y

Ahora calculamos el ángulo

38

Guía de ejercicios

Ingeniería

, como a es positivo y b negativo, entonces con la calculadora obtenemos que:

Al expresarlo en su forma polar resulta

Aplicando la fórmula de De Moivre

=

Para obtener los radicales de utilizamos la fórmula de radicación de complejos

Como y tenemos que:

El primer radical lo obtenemos con

39

Guía de ejercicios

Ingeniería

El segundo radical lo obtenemos con

El tercer radical lo obtenemos con

El cuarto radical lo obtenemos con

Si graficamos los radicales obtenidos en el plano cartesiano

se tiene lo

40

Guía de ejercicios

Ingeniería

siguiente:


1. Determine los números reales x e y tal que

2. Si y entonces es

3. Calcular 3√1−i

4. Si calcular los radicales de

RESPUESTAS

1. x=−8

11; y=29

112.

3. ; ;

4. ; ;

;

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