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51197

1181621

2312915

Algebra Lineal TEMA 1

Introducción a Matrices.

o Vector Un Vector es un conjunto ordenado de datos (o números); que pueden ser enteros, fracciones reales o aun complejos. Es decir, se puede tener conjuntos de números de cualquier clase, pero lo que los hace Vectores es el orden correlativo entre ellos. Ej.; Si tenemos el conjunto de números: A = 5, 69, 2/3, 2 desde el punto de vista simple de un conjunto más, es el mismo si lo expresamos así: E = 69, 2 5, 2/3, 5 pero no es el mismo vector. Se suele indicar un vector con una flechita encima Ā o con letra negrita A De tal manera que aunque los conjuntos A = E resulta que como vectores Ā Ē por no llevar el mismo orden. El concepto de vectores se usa mucho en diferentes ramas de las Ciencias Físicas, en Estadística, Análisis Financiero, en Estudios de opinión pública, en Mercadeo, en Publicidad etc.

o EscalarEn oposición al concepto de vector, un escalar es una cantidad sin consideraciones de orden respecto a otras cantidades. Ej. 7 (número entero) ó 2 (número real, irracional) ó 3+2i (número complejo)

o Dimensión de un vector: Es el número de términos ordenados como vector. Ej.: el vector (0, 0, 3,-5, 0, -1) tiene una dimensión de 6.La dimensión mínima de un vector es 2. No tiene un Máximo: n puede tender a . Ej: El vector de la función polinómica: Si P(x)=anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … ….+ a2x2 + a1x1 + a0

P⃗ = (an, an-1 , an-2 … ….+ a2 , a1 , a0)

o MatrizResulta que si un Vector es un conjunto de números con un orden, resulta ahora que una Matriz es un conjunto doblemente ordenado de números. O sea que está formado por dos tipos de vectores que, a su vez están ordenados. En lenguaje común y corriente, una matriz es llamada una “tabla” de valores. Supongamos que tenemos una de estas ‘tablas’ así Se puede abstraer como una matriz (con los corchetes)

Como se ve, es una matriz de (4 –renglones- x 4 –columnas) En primer lugar se aprecia cómo es de importante que se conserven las posiciones, pues un solo número diferente (o en diferente sitio), pues vemos muy claro que desordenaría los vectores. Si tenemos los vectores ‘color’ (columnas) o los vectores ‘flor’ (renglones) sólo se mantienen bajo la presunción mantener su orden.

Matrices según el Tema de origenEn la actualidad, el empleo de Matrices se está ampliando a innumerables campos tanto en los campos de la matemática teórica, como en los campos de la matemática aplicada a otras ciencias, tanto naturales (como la Física, la Química, etc. como en las llamadas “ciencias de lo artificial” que tiene que ver con todas esas que provienen de la actividad propiamente humana, creadas por las costumbres, normas, leyes, impuestos, actividad económica, comercio etc.

o Matriz de un sistema de Ecuaciones Lineales Simultáneas

1

ColorFlor

Rojos

rosados blancos

veteado

claveles 15 9 12 23

pompones 21 16 8 11

rosas 7 9 11 5

orquídeas 21 43 29 34

3

2

1

a

a

a

33

2322

131211

00

0

a

aa

aaa

333231

2221

11

0

00

aaa

aa

a

2

Es la de mayor uso en Matemáticas, tiene que ver con un sistema de ecuaciones lineales simultáneas, como el que sigue: Se suele representar : a) Como la llamada “Matriz Aumentada” y

b) Por una operación de tres matrices:

Sistema Matriz Aumentada: ó Mat coeficientes * Mat Variables = Mat. Térm Ind

3x +2y –5z = –10 2x –4y +3z = –105x –3y –2z = –23 [3 2 −5

2 −4 35 −3 −2‖−10

−10−23] ⌈

3 2 −52 −4 35 −3 −2

⌉∗[ xyz ]=[−10−10−23]

Tanto los vectores, como las matrices, se distinguen por el número de elementos. Se llama dimensión de un vector el número de elementos que lo conforman, así: El vector (3,5,-1,0) es de 4a dimensión. En una matriz, a sus dimensiones se les llama el tamaño de la matriz y depende de las dimensiones de sus vectores relacionados. En las matrices su tamaño está indicado por una convención: Siendo tan importante en este ámbito el orden, se ha establecido que el orden en que se nombran es el siguiente, que se mantiene en varias operaciones de matriz.:

[Número de renglones (m) X Número de columnas (n)] = (m X n)

–1 2 0 Ej.: La Matriz 3 –7 4 es de (4 x 3) 0 4 6 3 –2 –1

Hay que anotar que las matrices pueden ser de cualquier tamaño , incluso solo un renglón (o fila), conformado de un vector de mínima dimensión (2) Menos, vendría a ser de 1x1 y pasaría a ser un escalar

Matrices ‘Renglón’ o ‘Columna’: Que son las formadas por un solo vector según su nombre indica:

Ej: Renglón= [ a1, a2, a3, a4] ; Columna

Nomenclatura: En este trabajo:Los escalares se diferenciarán porque para nombrarlas utilizaremos minúsculas Ej.: a, b, x, Los vectores se diferenciarán porque para nombrarlas utilizaremos minúsculas en negrita Ej.: a, b, x, Las matrices se diferenciarán porque para nombrarlas utilizaremos MAYÚSCULAS Ej.: A, B, X

Tipos de matrices según su presentación interna:

1. Triangular superior

2. Triangular superior NO [a11 a12 a13

a21 a22 0a31 0 0 ] (poco usual)

3. Triangular inferior

3

4. Triangular inferior SE [ 0 0 a13

0 a22 a23

a31 a32 a33] (poco usual)

a11 a12 a13 b11

5. Aumentada a21 a22 a23 b21

a31 a32 a33 b31

La cual está conformada en su lado izquierdo, por la Matriz de coeficientes [A(mxn)] y su lado derecho por la Matriz de términos independientes [B(mx1)] divididas por una línea vertical que las separa.

1 a12 a13 b11

6. Escalonada 0 1 a23 b21

0 0 1 b31

1 0 0 b11

7. Escalonada reducida 0 1 0 b21

0 0 1 b31

Tipos de matrices cuadradas según su presentación formal:

–3 –5 3 Cuando los elementos se reflejan alrededor

1. Simétricas : –5 4 8 de la diagonal principal idénticos uno a uno

3 8 1

2. Antisimétrica [−3 5 −4−5 7 −64 6 2 ] Acá, la simetría es es con los inversos aditivos,

3. Matriz Nula [0 0 00 0 00 0 0 ]

1 0 0

4. Identidad 0 1 0 0 0 1

Según la posición de los datos

3 –1 4 3 – 5 6 –-2 T –5 0 1

Transpuesta de –1 0 –2 3 es: 6 –2 7 4 1 7 –1 –2 3 –1

(Cuando los renglones de una son las columnas de la otra)

o EscalarEn oposición al concepto de vector, un escalar es una cantidad sin consideraciones de orden respecto a otras cantidades. Ej. 7 (número entero) ó 2 (número real, irracional), etc .

flechas en un plano cualquiera, sin ejes de referencia. Si en un plano los vectores u y v actúan , siempre y cuando mantengan sus dos dimensiones gráficas (magnitud y dirección) pueden colocarse en cualquier sitio de dicho plano. En la gráfica, el vector v, inicialmente separado de u (trazo grueso) se ha colocado en dos sitios más (punteados) y sigue siendo el vector v. Esto es semejante al tratamiento dado a las figuras geométricas en geometría Euclidiana.

4

Hasta el momento, un vector se ha definido como “un conjunto ordenado de datos, cuyo número de datos determina su dimensión y que se expresan entre paréntesis: a= (a1, a2, a3, ... an)”. Ahora, como mediante el uso de los ejes coordenados cartesiano se graficó visualmente el álgebra elemental y se desarrolló la Geometría Analítica, también mediante el uso del plano cartesiano se visualizan los vectores y se desarrolla que podría llamarse geometría de vectores, con la consabida limitación de estar limitados mentalmente a no visualizar vectores de más de 3 dimensiones. Como es natural, iniciaremos con el análisis de los vectores de dos dimensiones o “en R2 ” .Un ejemplo de números que se expresan como vectores son los números complejos: a1+b1i

En primer lugar, dado el caso de que (como sabemos) todo vector tiene magnitud y dirección, también como en la geometría euclidiana, estas dos condiciones podrían graficarse con

u

v

(a1, b1)1. Cartesianos; un punto se representa como p1 : (a1, b1)

(r1, 1)r1 2. Polares; un punto se representa como p1 : (r1, 1)

1

Estos dos sistemas se relacionan entre sí por las fórmulas:

De polar a rectangular: x = r cos y = r sen

De rectangular a polar: = arc Tg (y/x) r = x2 + y2

= arc sen (y/r), = arc cos (x/r)

Sin embargo, como la Tg tiene signos Positivos (+) en los cuadrantes 1° y 3° y signos negativos (–) en los cuadrantes 2° y 4°, en cada Arctg(n), se puede tratar de dos ángulos con una diferencia de 180° ó radianes. Es conveniente tener en cuenta lo siguiente:

Arctg (+/+) 1er Cuadrante Arctg (+/–) 2° CuadranteArctg (–/–) 3er Cuadrante Arctg (–/+) 4° Cuadrante

Por lo anterior, es mas preciso, utilizar una cualquiera de las otras dos fórmulas para determinar .Ejemplo 1: Dado el vector (3, 5) Halle su magnitud y dirección. r = x2 + y2 r = 32 + 52 r = 34

= arc Tg (y/x) = arc Tg (5/3) = 59°Ejemplo 2: Dado el vector ( 5, 30°) Halle sus coordenadas rectangulares, analítico y combinatorio

x = r cos x = 5 cos 30° x = 5 3/2 4.33 analítico ( 4.33, 2.5 )y = r sen y = 5 sen 30° y = 5 (1/2) 2.50 combinatorio 4.33i + 2.5j

Ejemplo 3 : Dado el vector (30, /2) Halle sus coordenadas rectangulares, analítico y combinatorio x = r cos x = 30 cos /2 x = 30(0) 0.0 analítico ( 0, 30.0)y = r sen y = 30 sen /2 y = 30(1) 30.0 combinatorio 0i + 30j

De esta manera, lo que antes representaban simplemente un orden de colocación en una pareja, se transforma en una suma y se logra trabajar simultáneamente con las dos dimensiones. Hay otras ventajas que irán evidenciándose posteriormente. Por el momento, se define el producto escalar de los vectores P1: ( a1i + b1 j ) y P2: ( a2i + b2 j )así: a1*a2 + b1*b2 Luego, podremos hacer una demostración de esto.

5

Vectores elementalesEl sistema polar es especialmente útil para representar los vectores en función de magnitud y dirección, mientras el sistema rectangular lo es para expresarlos en sus componentes rectangulares. En este último caso, un par, desde el punto de vista gráfico es muy conveniente representarlo como una combinación1 en función de lo que se llama vectores unitarios simples (i, j):

( a1i + b1 j )

j

i

Las principales operaciones de vector en el sistema rectangular, ya se han definido antes.

Vectores Unitarios(r1, 1) (r1, 1)

r1 _r1

| r1| sen 1

1 1

cos 1

Vector en R2 en sistema polar Círculo de vectores unitarios

Fig.3 Fig. 4Todo vector (r1 1) tiene su vector unitario asociado, que tiene su misma dirección, pero su magnitud es 1, como se aprecia en la fig, 4 Asi se puede apreciar que los vectores unitarios son

Polares Rectangulares

(

r1

|r1| , 1) (cos 1 i + sen 1 j)Ejemplo 4: Halle el vector unitario del vector v= 3i + 4j Magnitud = 25 = 5; 1= arctg (4/3) 1 = 53.13° 1 =.92 radianes (1, 53.13°), (1,0.92 rad) “polar”

Cos 1 = 4/5: Sen 1 = 3/5 ( 4/5 i + 3/5 j) “rectangular”

Producto escalar Ahora vamos a tratar el Producto Escalar en el sistema Polar, o sea en función de sus magnitudes y el ángulo entre ellos. Se define que:

u v donde es el ángulo entre ellos

Si tenemos que u : (au , bu) v: (av , bv) en cartesianas

Mientras en polares, tendríamos: u = (ru , u) v = (rv , v)

|u|= ; |v|= ;

1 Se ampliará el concepto en el Tema 8.

u.v= |u||v|cos

v

vuu

cos

v

vuuv

)(Pr

v

v

6

Reemplazando:

Que coincide con lo que se esperaba2

Ej. 4:Halle el producto escalar de u*v donde v = (5, 6) u = (-5, 8) Sol : Ya está demostrado u . v = au.av + bu.bv u*v = 5.(–5) + 6(8) u*v = 48–25 u*v = 23

Proyecciones: El tema se trata de lo siguiente: Se tienen dos vectores: u y v como se ve en la Fig 1

wu u v Pr

v

Fig 1 Fig 2 Se desea descomponer el vector u en dos componentes ortogonales3 como se ve en la figura 2 que llamaremos de acuerdo a la siguiente nomenclatura

1) Prv(u): Proyección en la dirección de v, del vector u. Se lee “Proyección en v de u” Se halla:

(1) Obsevando la Fig. 2, por trigonometría la magnitud de | Prv(u)| = |u | cos (2) Por definición sabemos que u.v = |u||v| cos

(3) De (2) despejamos

(4) De aquí que la magnitud del vector proyección sea:

(5) El vector unitario en dirección de v es

(6) Entonces el vector proyección de u en la dirección de v es:

Prv(u) = (u.v) v |v|2

2 Que se puede efectuar en sentido inverso, de: de Rectangulares a Polares y dejamos como una inquietud.3 Que son perpendiculares entre sí, formando un éngulo de 90°

u . v = au . av + bu. bv

7

2) wv(u) : Proyección ortogonal a v, del vector (u) . Se halla así:

(1). Si vemos en la Fig. 2 podenis ver que Prv(u) + wv (u) = u(2). Entonces despejando: wv (u) = u – Prv(u)(3). Entonces

wv (u) = u – (u.v) v |v|2

Ej. 5 Cuál es la proyección paralela a v (7, -3) de u (-3, 5). Cuál su proyección Perpendicular Siendo la fórmula, entonces se requeriría 1) Hallar u.v = 7*(-3) + (-3)*5 u.v = –21–15 u.v = –36Prv(u) = (u.v) v 2) “ |v|2 = x2 + y2 |v|2 = 72 + (-3)2 |v|2 = 58 |v|2

3) Se reemplaza: Pr v(u) = –36 *(7, -3) Pr v(u) = –126, 54 58 29 29

wv (u) = u – Prv(u) 4) Se reemplaza wv (u) = (-3, 5).– – 126, 54 wv (u) = 39, 91 29 29 29 29Ej. 6: Dados los vectores u: 8i – 3j ; Pv(u) : 5i +2j Hallar v

Ej. 7: Dados los vectores u: (3, 3/4) ; Wv(u) : (5, /6) Hallar v

AplicacionesLa utilidad de los vectores es enorme. Toda entidad que requiera para ser debidamente referenciada por lo menos dos (2) dimensiones ordenadas, constituyen un vector., y en las ciencias naturales (Física, Química, etc. o en las ciencias “artificiales” como la economía y finanzas, etc. se constituye en un vector y al trabajar con base en ellos facilita su tratamiento.Los conceptos mas conocidos que puedes ser descritos como vectores son: La Posición. El movimiento. La Velocidad. La Aceleración. La Fuerza.

OperacionesComo casi todos las unidades conceptuales en las matemáticas, las matrices son susceptibles a efectuar operaciones entre ellas, siempre y cuando se cumplan ciertas condiciones, especialmente relativas a las dimensiones y al sentido en que se ejecuten. Ya habiendo tratado el caso del uso de la transformación interna de las matrices a fin de hallar las soluciones a un sistema de ecuaciones simultáneas, ahora veamos las operaciones que pueden llevarse a cabo entre vectores y entre matrices

Operaciones de vector: Entre vectores de una misma dimensión, se pueden efectuar varias operaciones entre las cuales definiremos ahora las siguientes: 1. Suma (o resta) Se efectúan de elemento a elemento. Ej: (3,–1,7) + (4, 5, –9) = (7, 4, –2)2. Multiplicación de un escalar por un vector. Se multiplica el escalar por cada elemento del vector. Ej: 5(–3, 8, 36) = (–15, 40, 180)3. Producto Escalar entre dos vectores: Se multiplica cada elemento de un vector por cada elemento del

otro y se suman algebraicamente. El resultado es un escalar Ej: (3,–1,7) . (4, 5, –9) = 12–5–63 = –56

8

Operaciones de Matriz: Suma o resta Se suman (o resta n) tanto los vectores como las matrices, término a término correspondiente, siempre y cuando sus dimensiones (para los vectores) o su tamaño (para las matrices) sean iguales. Ej. : Si el tamaño de A: (3x4) ; de B: (4x3) y de C: (4x3) sólo se pueden sumar (o restar) B y C porque el tamaño de A está invertido del de los demás.

Ej. 3: Sea A: –2 5 B : 5 –2 C: –1 3 0 3 –8 1 3 4 –2 0

4 –1 0 –7 7 –7 0

Sólo se puede sumar (o restar) A y B, porque C tiene distinto tamaño, a pesar de que su tercera columna es 0,0,0 Veamos como sería A – B: Se lleva a cabo sumando ( o restando) las posiciones, respectivamente.

–2 –5 5– (–2) –7 73–1 –8 –3 quedando: A–B 2 –114 –0 –1–(–7) 4 6

–1 2 0 4 5 2 3 7 0Ej. 4: Sea [A] = 3 –7 4 y [B] = 3 –2 4 [A]+ [B] = 6 –9 8 0 4 6 0 4 –3 0 8 3 3 –2 –1 1 13 7 4 11 6

Multiplicación de una matriz por una constantePara multiplicar una matriz por una constante, se multiplica dicha constante por cada uno de los elementos de dicha matrizEj.: Hallar 3[B] 4 5 2 12 15 63 x 3 –2 4 = 9 –6 12 0 4 –3 0 12 –9 1 13 7 3 39 21

Multiplicación de una matriz por otra.La multiplicación entre matrices es posible si, y sólo si la dimensión de las columnas de la primera (n 1a) es igual a la dimensión de los renglones de la segunda (m 2a). : Sea [A] de dimensiones (mA x nA) y [B ] de dimensiones (mB x nB) entonces, esto solo se puede efectuar si y sólo si nA = mB La matriz resultante tendrá los renglones de la 1a y las columnas de la segunda (mA x nB)

Ej. [A] (4x3) por [B] (3x2) = [C] (4 x 2).

Cada posición es el resultado de multiplicar escalarmente el vector renglón de la la por el vector columna de la segunda: R1= (1, –1, 2 )) C1= (–3,–1, 3) ; (R1)(C1) => 1(–3) + (–1)(–1) + (2)(3) =4 lo que da:

1 –1 2 –3 2 [1(-3)+((-1)(-1)+2(3) = 4 ] [ (1) 2+(-1)(0)+2(-4) = – 6 ][A]; -3 2 0 * [B]; –1 0 = [C] [(-3)(-3)+2(-1) +0(-3) = 7 ] [ (-3)2 +(2)(0)+0(-4) = – 6 ] -1 3 2 3 –4 [(-1)(-3)+3(-1) +2(3) = 6 ] [ (-1)2+(3)(0)+2(-4) = –10 ] -2 3 -1 [(-2)(-3)+3(-1) +(-1)(3)= 0 ] [ (-2)2 +(3)(0)+(-1)(-4)=0 ]

¡OJO! La multiplicación de matrices tiene un sentido. De manera que [A]* [B] [B] * [A]

9

Razón de ser de algunos Tipos de Matrices. La matriz ‘Identidad’ que se caracteriza por ser cuadrada ‘(mxm)’ y tener en su diagonal

‘descendente’ o principal elementos con ‘1’ y el resto solo ‘0’s, así: 1 0 0 I= 0 1 0

0 0 1Se caracteriza, porque cumple que [A]*[I]=[A]

3 -2 1 0 3 -2 1 0 3 -2 Ej.: sea [A]= 4 1 [I]= 0 1 ; [A]*[I] = 4 1 * 0 1 = 4 1 como se ve.

La llamada ‘Matriz aumentada’ que hemos utilizado para resolver ecuaciones simultáneas equivale, en realidad, a expresar una multiplicación de matrices: Sea [A] la matriz de coeficientes, [X] la matriz de incógnitas y [B] la matriz de Términos independientes, entonces,

[A]* [X]= [B] como vemos:

[A] = [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] [X]= [ x1

x2

x3] [B]= [b1

b2

b3] [A][B] ¿

Que es la expresión habitual de una matriz aumentada.

Matrices elementalesUna Matriz elemental, es aquella que difiere de la matriz Identidad en SOLO UN ELEMENTO diferente de CERO. Cuando una Matriz Elemental [E] multiplica una matriz cuadrada [A] (en ese orden) , el elemento modificado tiene la propiedad de multiplicar el respectivo RENGLÓN 1 de [A] y sumársele a su propio Renglón.

Ej: [1 0 0a 1 00 0 1][

1 2 34 5 67 8 9]=[

1 2 31a+4 2 a+5 3a+6

7 8 9 ] [1 2 3¿ 7 ¿

9¿] Matriz de Permutación:

Ya sabemos que la matriz [I] nos permite replicar una Matriz así: [A][I]=[I][A]=[A]: Ahora, si se permutan los renglones de [I] y se multiplica por una matriz [A], entonces se permutan los renglones respectivos en [A].

Ej: [1 0 00 1 00 0 1 ] R2 R3 [1 0 0

0 0 10 1 0 ] Si [A]= [1 2 3

6 5 47 8 9], efectuemos [1 0 0

0 0 10 1 0 ][

1 2 36 5 47 8 9] = [1 2 3

7 8 96 5 4]

o sea, que una una Matriz de identidad con los respectivos renglones permutados, al multiplicarse por una matriz, le permuta los mismos renglones por lo que a ésta se llama Matriz de Permutación [P].

Determinantes A diferencia de las matrices, cuya principal característica es ser un arreglo, en éste la característica es la de ser un operador4 y por tanto, tiene un valor. Los determinantes fueron usados y definidos antes de que surgiera el concepto de matriz y de hecho la palabra matriz se refiere a ellos: se las tomó como “La matriz de los determinantes” Los determinantes siempre deben ser cuadrados En el caso de los determinantes sí TIENEN QUE SER CUADRADOS. su tamaño se indica como (n x n) siendo n 2 Pueden ser de 2x2, 3x3, ... nxn

4 Operador: Una expresión matemática que indica una operación a efectuar. Por tanto, representa un valor: el que resulta de efectuar dichas operaciones.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

2

1

b

b

222121

212111

xaxa

xaxa

2

1

x

x

2

1

b

b

22221

11211

baa

baa

2221

1211

aa

aa

52352

31431

32132

52352

31431

32132

352

431

132

10

a11 a12

Determinantes de 2x2: se expresan así: = a11 a22 – a12 a21

a21 a22

Se resuelven en el orden que indican las flechas + –

Determinantes de n > 2Los determinantes de n>3 sólo se resuelven partiendo del concepto de descomposición en sus determinantes ... “menores”

a11 a12 ... ... a1n

Si tenemos un determinante de nxn que se generaliza así: a21 a22... ⋮ Debemos tener en cuenta: ⋮ ⋮

an1 ... ... an n

Hay un signo que depende solamente de la posición. Este signo, para una posición que llamaremos i, j

tiene como signo de la posición (-1) ( i+j ) signo que se antepone al del elemento aij.

Tal como vimos en los determinantes de 3x3) se define un menor de una posición Mijcomo el determinante que resulta de eliminar el renglón y la fila respectiva a dicha posición.

De tal manera que, si nos vamos por el renglón i tenemos |A| = (-1) ( i+1) ai1|M i1| + (-1) ( i+2) ai2|M i2| + … + (-1) ( i+j) aij|M ij+… + (-1) ( i+n) ai1|M in

que es la representación teórica de la solución de un determinante de (n x n)

Determinantes de 3x3 Se representan así y se resuelven por dos métodos:

1° Colocándole dos columnas mas (o dos filas más) y siguiendo el orden + –

Sentido positivo Sentido negativo

Ej.: se hace

(-2)(-3)(3)+(3)(4)(-2)+(1)(1)(5) – (1)(-3)(-2) – (-2)(4)(5) – (3)(1)(3) 18 + (-24) + 5 – 6 – (–40) – 9 –1 +25 = +24 Ojo: Este sistema es de uso limitado. Sólo se utiliza para resolver determinantes de (3x3)

2° Descomponiéndolo en determinantes menores así:

3142

10

71

31

71

1001

zy

xw

aa

aa

10

01

10

01

2221

1211

11

– 2 3 1 Ej.: det 1 –3 4 se hace así:

–2 5 3

1. Se escoge una columna ( o un renglón) que va ser el eje de los menores: En el Ej. tomemos la primera columna

2. Se coloca un símbolo previo al del número de acuerdo a su posición: + – + – + ... – + – + ... + – ... ⋮

3. Se va tomando cada elemento de la columna escogida y se multiplica por el determinante menor correspondiente (para tomar el determinante menor respectivo se eliminan los elementos restantes de sus vectores asociados, sombreados en el primer Menor del ejemplo)

– 2 3 1 –3 4 3 1 3 1 1 –3 4 +(-2) –(1) +(-2) (–2)(–9–20)–(9–5)+(-2)(12+3) –2 5 3 5 3 5 3 –3 4 (–2)(-29)–(4)–(2)(15)

58 – 4 – 30 24

Ojo: Este sistema es de mayor trascendencia, ya que no solo se utiliza para resolver determinantes de 3x3, sino que es el único que se puede utilizar para resolver determinantes de dimensiones mayores (de 4x4 en adelante)

Inversa de una Matriz cuadrada.Se tiene una matriz cuadrada de nXn, [A] con matriz inversa, si cumple que [A][A-1]=[I] = [A-1][A]

Ojo: Toda matriz invertible es cuadrada, pero no toda matriz cuadrada es invertible. Toda matriz invertible cumple que:

Su forma reducida por renglones, es la matriz Identidad. Su determinante es 0

Ej. 1: Matriz invertible: Sea [A] = a) Se puede llevar a su forma reducida por renglones:

R1=R1–R2(2, –4)– (1, 3)= (1, –7) R2= R2–R1 (1, 3)–(1, –7) = (0, 10);R2 =R2/10

R1= R1+7R2(1,–7)+ (0, 7) = (1, 0), o sea que sí es invertible.

b) Por el determinante: 2 -4 = (2)(3)–(1)(–4)= 6+4 = 10 Siendo 0 es invertible.1 3

Ej. 2: Matriz no invertible: Sea [A] 3 –6

–2 4a) Llevarla a su forma reducida por renglones: R1=2R1+3R2 (6, –8)+(–6, 8) = (0, 0) lo que hace imposible

llevarla a dicha forma no es invertible.b) Hallando el valor del Determinante: (3)(4) –(–2)(–6)) = 12–12= 0 Por tanto, no es invertible.

Métodos para hallar la Inversa de una matriz invertible.

Sea [A] = 2 –4 , hallar [A-1]1 3

12) Usando incógnitas. Sabiendo que [A] es invertible, si [A-1] = w x , entonces se cumplirá que: 2 –4 w x 1 0

y z 1 3 * y z = 0 1 2w–4y 2x–4z 1 0 Por tanto (1) 2w – 4y = 1 (2) 2x – 4z = 0 w +3y x+3z = 0 1 (3) w + 3y = 0 (4) x + 3z = 1

resolviéndolas dan: w = 3/10; x = 4/10, y = –1/10; z = 2/10

3/10 4/10

12

Por tanto, la inversa [A-1] = -1/10 2/10

13) Reduciendo Renglones:Si [A] invertible, se puede llevar a11 a12 1 0 1 0 w x donde [A-1] = w x por reducción de renglones. a21 a22 0 1 0 1 y z y z

Ej.: Hallar la inversa de 2 -3 -4 5

2 -3 1 0 R2=R2+2R1=>(-4, 5, 0, 1)+(4, -6, 2, 0) = (0, -1, 2, 1) 2 0 - 5 -3

-4 5 0 1 R1=R1+3R2=>(2, –3, 1, 0) – (0, –3, 6, 3) = (2, 0, –5, –3) 0 -1 2 1

Solo basta hacer R1 = R1/2; R2= –R2 = 1 0 -5/2 - 3/2 donde [A-1] = - 5/2 - 3/2 lo cual es comprobable. 0 1 - 2 - 1 -2 - 1

2 4 6Ej. 2: Hallar la inversa de A= si la tiene. 4 5 6

3 1 -2

Para hallar Det. A: Aprovechemos para poner en práctica las propiedades de los determinantes: 1) Se halla un 0 en R2=R2–R1: (4, 5, 6) – (2, 4, 6) = ( 2, 1, 0) 2) Se halla otro en R1=R1+3R3: (2, 4, 6) + (9, 3, –6) = (11, 7, 0)

3) Det A= es diferente de 0 por tanto, es invertible

2 4 6 1 0 0Para hallar la inversa, se procede: . 4 5 6 0 1 0

3 1 -2 0 0 1

R1= R3–R1 (3, 1, –2, 0, 0, 1) – (2, 4, 6, 1, 0, 0) = ( 1, –3, –8, –1, 0, 1) 1 -3 -8 -1 0 1R3=R3–3R1 (3, 1, –2, 0, 0, 1) – ( 3, –9, –24, –3, 0, 3) = (0, 10, 22, 3, 0, –2) 0 1 3 4 1 -4R2= R2 – 4R1 (4, 5, 6, 0, 1, 0) – (4, –12, –32, –4, 0, 4) = (0, 17, 38, 4, 1, –4) 0 1 2 3 0 -2

De aquí se sigue:R3= 17R3 – 10 R2: (0, 170, 374, 51, 0, –34) – (0, 170, 380, 40, 10, –40) = (0, 0, –6, 11, –10, 6)R2=6R2+38R3:(0, 102, 228,24, 6, –24) + (0, 0, –228, 418, –380, 228)= (0, 102, 0, 442, –374, 204) R2=R2/2 = (0, 51, 0, 221, –187, 102)R1= 6R1 – 8R3: (6, –18, –48, –6, 0, 6) – (0, .0, 48, 88, –80, 48) = (6, –18, 0, –94, –80, 42)R1 = 3R1+R2: (18, –54, 0, –246, 162) + (0, 51, 0, 221, –187, 102) = (18, –3, 0, –61, 53, –24)R1=17R1+R2 (306,–51,0,–3757,7361,4488) + (0,51,0,221,–187,102)=(306, 0, 0, 3536, –7548, 4590)

Quedando:306 0 0 3536 – 7548 4590

. 0 51 0 221 – 187 102 0 0 –6 11 – 10 6

Ahora, si se hace R1= R1/306 ; R2= R2/51; R3 = R3/(–6 )

1 0 0 104/9 - 74/3 15 0 1 0 13/3 - 11/3 2

|11 7 02 1 03 1 −2

|⇒−2|11 72 1

|=−2(11 (1 )−2(7 ))=6

13

0 0 1 - 11/6 5/3 – 1

Por tanto: la Matriz Inversa buscada es 104/9 - 74/3 15

13/3 - 11/3 2 - 11/6 5/3 – 1

Lo anterior puede probarse así::

2 4 6 104/9 - 74/3 15 1 0 04 5 6 * 13/3 - 11/3 2 = 0 1 0 3 1 -2 - 11/6 5/3 - 1 0 0 1

Factorización “L” y “U” de una matriz: (para otro método de resolución de Sistemas de Ecuaciones)

Cuando se tiene una matriz cuadrada[A], cuya reducción a una escalonada NO REQUIERE una permutación de renglones, ésta se puede ‘Factorizar’ en dos matrices: Una triangular ‘SurOeste’ llamada ‘[L]’ que SI tiene ‘unos’ en la diagonal y otra triangular ‘NorEste’ (que se desarrolla sobre la diagonal principal tirando hacia la derecha y NO tiene ‘unos’ en la diagonal, por tanto no es escalonada reducida) llamada ‘[U]’ que además nos va a proporcionar otro método para la solución de sistemas de ecuaciones simultáneas, de muy fácil obtención:

[A] = [L] * [U]#11 #12 #13 #14 1 0 0 0 #11 #12 #13 #14

#21 #22 #23 #24 #21 1 0 0 0 #22 #23 #24

#31 #32 #33 #34 = #31 #32 1 0 * 0 0 #33 #34

#41 #42 #43 #44 #41 #42 #43 1 0 0 0 #44

Hay dos maneras de hallar estas dos matrices, que vamos a proceder a ejemplificar paso a paso: 1) Por reducción de renglones en un solo caso.Vamos a hallar ‘[u]’: R2=R2+(3/2)R1 R3=R3–(2)R1 R4=R4+ R1

-3 5 2 -3 4 -4 -1 6 -2 1 3 4 3 -3 6 3/2 -4 4 -8 -2 2 -2 4 1 0 2 8 -3/2 0 0 -9 4 0 -1 7 5

R4=R4+R2/2 R4=R4+ 11/9R3 0 -1 7 5 0 0 11 17/40 1 4 -3/4 0 0 -11 44/9 0 0 11 17/4 0 0 0 329/36

A partir de la propiedad de las matrices elementales de multiplicar el R1 por el elemento modificado y sumarle su propio renglón, podemos ir hacia atrás de Matriz elemental en Matriz elemental y construir ‘L’ con los factores que se utilizaron de [A] [U] para hallar los ceros en cada renglón de ‘U’ (cambiándoles el signo para ir de [U][A])Entonces, el elemento #43 = -11/9 ; el elemento #42=-1/2; el elemento #41=-1; el elemento #31=2; el elemento #32=0 pues no necesitó ningún factor, el elemento #21=-3/2 y siendo la diagonal principal la misma que en [I], formada solo por ‘unos’, queda:

‘L’ * ‘U’ = [A]

2) Por multiplicación de matrices.a)Si nos damos cuenta, el renglón R1 no cambia. Por tanto, de una vez podemos colocarlo igual en ‘U’

2 -2 4 10 2 8 -3/20 0 -9 40 -1 7 5

2 -2 4 1-3 5 2 -34 -4 -1 6-2 1 3 4

2 -2 4 10 2 8 -3/20 0 -9 40 0 0 329/36

1 0 0 0-3/2 1 0 02 0 1 0-1 -1/2

-11/9 1

2 -2 4 10 2 8 -3/2

0 0 -9 40 0 0 329/36

2 -2 4 1-3 5 2 -34 -4 -1 6-2 1 3 4

14

b) Los demás elementos, tanto de ‘U’ como de ‘L’ los podemos asumir como parámetros a hallar, así: Multiplicando:

R2*C1 2a =-3; a=-3/2 R3*C1 2b = 4; b=2 R4*C1 2d = -2; d=-1 R2*C2 -2ª+u=5 ; -2(-3/2)+u = 5; u=2R2*C3 4a + v = 2; 4(-3/2)+v = 2; v=8 R2*C4 1a + w = -3; (-3/2)+w = -3; w= -3/2 R3*C2 -2b+ uc = -4; -2(2)+2c = -4; c= 0

R3*C3 4b+cv+x=-1; 4(2) + 0 + x = -1; x= -9 R3*C4 1b+w +y= 6; 2 + 0 + y = 6; y= 4R4*C2 -2d+eu=1; -2(-1)+ 2e =1; e=-1/2 L=R4*C3 4d+ev+fx= 3; 4(-1) + 8(-1/2)+(-9)f= 3; f= -11/9 R4*C4d+ew+fy+z=4;(-1)+(-1/2)(-3/2)+(-11/9)(4)+z=4; z=329/36Que son exactamente los mismos valores hallados anteriormente.

Asumamos ahora, que tenemos el sistema de ecuaciones: donde x1, x2, x3, x4, son las incógnitas:Si aplicamos la factorización LU, Podemos decir que si [A][x]=[B] donde [A] es invertible, entonces tanto [L] como [U] lo son, por tanto existe una matriz columna [Y] tal que [U][x]=[Y], que cumple que [L]([Y])=[B] , y por tanto [L]([U][x])=[B]: despejando en primer lugar [Y], se puede luego despejar [X]. Veamos un ejemplo:

[A] [B] [L] [U] [B]2x1–2x2+4x3+ x4= 9-3x1+5x2+2x3–3x4=54x1–4x2–x3+ 6x4= -12-2x1+x2+3x3+ 4x4= -9

2 -2 4 1-3 5 2 -3 4 -4 -1 6 -2 1 3 4

95-12-9

1 0 0 0-3/2 1 0 0 2 0 1 0-1 -1/2 -11/9 1

2 -2 4 10 2 8 -3/2

0 0 -9 40 0 0 329/36

95-12-9

[L][y]=[B] 1 0 0 0-3/2 1 0 0 2 0 1 0-1 -1/2 -11/9 1

Y1

Y2

Y3

Y4

95-12-9

Y1 = 9 Y2 = 5+3/2(9) Y2 = 37/2Y3 = -12 -2(9) Y3= -30Y4 = -9 + 9 +1/2(37/2) +(11/9)(-30) Y4= -329/12

[U][x]=[y]2 -2 4 10 2 8 -3/2

0 0 -9 40 0 0 329/36

x1

x2

x3

x4

937/2-30-329/12

2x1 -2(-1)+4(2)-3=9 x1 = (9 – 2 – 8 + 3)/2 x1 = 1 2x2 + 8(2) – (3/2)(-3) = 37/2 x2 = (37/2 -16 - 9/2)/2 x2 = –1-9x3 + 4(-3) = -30 x3 = (-30+12)/(-9) x3 = 2(329/36)x4 = -329/12 x4 = (–329/12)( 36/329) x4 = – 3

Este sistema no es tan apetecible cuando se está trabajando manualmente, sin embargo, es el que garantiza una sistematización de mayor economía en operaciones: (se pasa de n3/3 con otros procedimientos, a n2/2 en ésta, donde n= # de ecuaciones)No siempre se puede trabajar directamente una Matriz para hallar sus Matrices Factoriales [L][U]. Cuando es así, se multiplica por una matriz de permutación [P] quedando: [P][A]=[L][U]Ej: Dados: 2x–3y+z= –14 –x +2y –3z= 11 4x–2y+ 3z= –17 Reflexión: En matemática, se crean (¿o se descubren?) nuevas unidades, que vienen a ser parte de nuevos mundos. Una vez creados, al interactuar con ellos se descubren (¿o crean?) operaciones entre ellos. Con leyes particulares en cada caso. En el diario vivir, cada uno de nosotros es elemento de “mundos” que se interrelacionan:¿ sí son armónicos entre si? ¿Sabemos cuáles son sus principales operaciones? ¿las dominamos? O nos dominan ellas?.

CuestionarioCada quien tiene su propia manera de grabar los conocimientos. Puede ser visual que esté basada en gráficos o esquemas. Puede ser auditiva, en la cual la persona recuerda las frases. Puede ser cinestésica, en la cual es bueno escribir, trabajar. Lo importante es que cada cual sepa cuando en verdad SABE. Es lo que se quiere, que en cada pregunta puedas decir: ¡Ajá!.Este cuestionario (siempre encontrarás uno al final de cada Tema). NO ES para que te lo respondas enseguida que has leído el tema. Ha sido elaborado para que te lo apliques cuando vayas a releerlo, para chequear lo realmente aprehendido. Con el objetivo de

1 0 0 0a 1 0 0b c 1 0d e f 1

2 -2 4 10 u v w0 0 x y0 0 0 z

1 0 0 0-3/2 1 0 02 0 1 0

-1 -1/2-11/9 1

2 -2 4 10 2 8 -3/2

0 0 -9 40 0 0 329/36

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ver que conceptos ya han pasado ya a la memoria permanente. Y no se trata de memorizar nada, sino solamente recordar el sentido de las ideas, el cómo y el porqué de los procesos, en fin el dominio que ya tienes del tema.

Autocuestionario1. Empecemos: Tienes una idea clara acerca de...2. ¿Qué es un vector? ¿Puedes darte 3 ejemplos de tipos vectores en la vida real? Puedes darte 3

ejemplos de vectores desde el punto de vista matemático?3. ¿Qué determina la dimensión de un vector? Cite un tipo de vector de 2 dimensiones que se presente

en el mundo real.4. ¿Que es un escalar? Date varios ejemplos generales. Cite un ejemplo de una constante o escalar en el

mundo real.5. ¿Que es una matriz? ¿En que se diferencia de un vector? ¿Puede una matriz ser un vector? ¿Puede un

vector ser una matriz? ¿Puede cualquier matriz ser un vector? ¿Puede cualquier vector ser una matriz? Cree una tabla de un caso concreto del mundo real y abstraiga su matriz.

6. ¿Se puede hablar de la dimensión de una matriz? ¿Se puede hablar de la dimensión de un vector?¿Se puede hablar del tamaño de una matriz? ¿O del tamaño de un vector?

7. ¿Cuál es la convención para describir el tamaño de una matriz?¿Cuáles son los tamaños mínimos de una matriz? Date un ejemplo.

8. ¿Cuáles tipos de matriz se mencionaron acerca de su presentación Interna?9. ¿Cuáles acerca de su presentación formal?10. ¿Cuál es la llamada matriz IDENTIDAD? ¿Puede ser rectangular?11. Qué es una Matriz Transpuesta?12. Qué es una Matriz Cuadrada?13. Qué es una Matriz Simétrica?14. Qué es una Matriz Aumentada?15. Qué es una Matriz de Coeficientes?16. ¿Cuál condición debe llenarse para sumar (restar) Matrices?17. ¿Cuál, para multiplicar una Matriz por una constante?18. ¿Cuál (o cuáles) para multiplicar una Matriz por otra?19. ¿Por qué se llama así a la matriz Identidad?20. ¿A qué operación equivale una Matriz Aumentada?21. Entre una Matriz y un Determinante, ¿cuáles son las semejanzas? ¿cuáles las diferencias?22. Una Matriz, es un operador?23. Un Determinante, es un operador?24. ¿Qué condiciones debe tener una Matriz para ser invertible?25. ¿Puedes describir el método de las incógnitas para hallar la inversa?26. ¿Y el método de la reducción de renglones?27. ¿Cuál es la principal propiedad de una Matriz Elemental?28. ¿Cómo se hallan las Matrices Factoriales [L] y [U]?29. ¿Para qué se usan?30. ¿Cómo se ha definido un vector hasta el momento?31. ¿Cómo se podría graficar desde el punto de vista analítico?32. ¿Cómo desde el punto de vista combinatorio?33. ¿Geométricamente, como se conceptualiza un vector?34. ¿Qué sistemas de coordenadas se utilizan para representas un vector?35. ¿Puedes recordar las fórmulas que relacionan uno u otro?36. ¿Qué son los vectores unitarios simples?37. ¿Cómo se representa un vector de R2 en coordenadas rectangulares?38. ¿Cómo se representa un vector de R2 en coordenadas polares?39. ¿Qué es un vector unitario en cualquier dirección?40. ¿En que se diferencia un vector unitario de un vector unitario simple?41. ¿Cómo se expresa un vector unitario en polares?42. ¿Cómo en rectangulares?43. ¿Cuál el concepto de producto escalar ya visto (Tema 1)?44. Desde el punto de vista de vectores expresados con base en el sistema Polar de Magnitud y dirección,

¿cuál es la fórmula de producto escalar?

16

45. Cuál es la fórmula de la Proyección de u paralela (Pr) al vector v?46. Cuál es la fórmula de la Proyección de u perpendicular (w) al vector v?

Ejercicios1) Trace dos Vectores cualesquiera en un plano (sin coordenadas) y halle el vector suma

resultante.2) Trace tres Vectores cualesquiera en un plano (sin ejes coordenados) y halle su vector

suma resultante. 3) Trace dos vectores cualesquiera en un plano (sin ejes coordenados) y halle sus vectores

diferencia.4) Dados los vectores abajo detallados, halle: 1) el Vector suma entre ellos, 2) el vector

diferencia en el sentido en que están dados para cada caso, 3) el producto escalar y 4) el ángulo que forman.

a) u=(2, 1), v=(1,2) b) u= i –3j v = 4i+2j c) u = (–5, 7) v = 2i – 3j5) Dados los vectores abajo detallados, halle los vectores unitarios de c/u de ellos.

a) u=(2, 5), v=(-3,2) b) u= 2i –3j v = 3i+2j c) u = (–3, 5) v = -4i – j6) Determine de tal manera que el ángulo entre los ángulos descritos abajo sea /2

a) u=(2, ), v=(-1,3) b) u= i –3j v = i+4j c) u = (–5, ) v = 3i – 5j7) Determine de tal manera que el ángulo entre los ángulos descritos abajo sea /4

a) u=(2, –3), v=(,2) b) u= i –3j v = 3i+j c) u = (–5, 7) v = i – 3j8) Entre los ángulos descritos abajo, halle Proyv (u)

a) u=(2, 1), v=(1,2) b) u= i –3j v = 4i+5j c) u = (–5, 7) v = 2i – 3j9) Entre los ángulos descritos abajo, halle Proyu (v)

a) u=(2, 1), v=(1,2) b) u= 4i –3j v = –3i+2j c) u = (–5, 7) v =–6i – 2jEntre los ángulos descritos abajo, halle wv (u) , wu (v) a) u=(2, -7), v=(–3,2) b) u= i –3j v = 5i+2j c) u = (–5, -1) v = 2i – 3j

10) Entre los ángulos descritos abajo, halle wv (u) , wu (v) a) u=(2, -7), v=(–3,2) b) u= i –3j v = 5i+2j c) u = (–5, -1) v = 2i – 3j11) Dados los Vectores en el sistema polar remarcados,

a: (5, 5p/6 rad) b: (6, 4p/3rad ) c: (6, 2p/3rad ) d: (6, 3p/4rad ).

Hallar:

1) Su vector suma 2) Coordenadas rectangulares 3) Vector unitario de c/u 4) Producto escalar

12) Dados los Vectores en el sistema rectangular: a: (3,), b: -6i+5j, c: (3,-4)

Halle el valor de que hace que: 1) El producto ab = bc; 2) El angulo entre a y (b+c)

sea = /2 3) El ángulo entre a y (b-c) sea =

EjerciciosDadas: [A] = 3 -2 4 [B] = - 5 8 -2 [C] = -7 -1 6 [D] = 1 -6 5 7 1 7 -3 6 3 -6 5 8 3 -2 7 -1 -5 7

1) Sumar: a) [A] + [B]; b) [A] + [C]; c) [C] + [D]; d) [B]*[D]2) Restar a) [A] – [B]; b) [A] – [C]; c) [C] – [D]; d) [B]*[D]

17

3) Multiplicar a) 3[A] b) 2[A] + 3[B] c) 3[C] d) 2[B]+3[CT]4) Multiplicar a) [A] * [B]; b) [A] * [C]; c) [C] * [D]; d) [B]*[D]5) Cree una Matriz de 3x3 y elévela al cuadrado6) Cree una Matriz de 3x2 y elévela al cuadrado.

Dadas: [E] = -1 -3 [F] = - 2 5 [G] = 0 -3 1 [H] = -1 -2 -1 4 1 4 -10 1 0 -7 -2 1 1 0 -7 -1 -1 2 -1

Dadas: [I] = -1 -3 [J] = - 6 5 [K] = 4 -3 9 [L] = -1 -4 -3 3 1 -10 -3 1 6 -18 -8 7 4 -2 2 -6 -5 1 -3

7) Halle su inversa, por el método de incógnitas8) Halle su inversa, por el método de transformación de renglones9) Halle [D]*[E] 10) Hallar: [A]*[C–1] 11) Problemas: Un profesor, necesita presentar a sus alumnos varias matrices de 3x3 cuyo

determinante de cero. Para eso, se planteó los siguientes datos. a) ¿Qué valor debe tener x para lograrlo?

a) 4 -3 9 b) -1 2 3 c) 2 -3 x d) -5 1 -3 1 6 -18 x 5 -1 -1 2 -3 4 x 2 -2 x 1 2 1 4 3 2 -1 -1 5 6

12) Cree una Matriz de 2x2 y halle su inversa.13) Cree una matriz de 2x2 que sea NO invertible.14) Cree una matriz de 3x3 y halle su inversa15) Cree una matriz de 3x3 que sea NO invertible

Problemas1) Un aeroplano despega de una pista a una velocidad de 350 Km/h a un ángulo de 25°

respecto a la horizontal, al mismo tiempo que un pequeño cohete sube en vertical a una velocidad constante de 150 km/h. Cuál es la velocidad a la que se movería la proyección del movimiento del cohete sobre la ruta del aeroplano?.

PACH/2002 Revisado 2009