MATRICES: TEORÍA COMPLEMEMENTARIA - Blog de … · Una de las aplicaciones más interesantes...

MATRICES:

Existe otro método para calcular la cuadradas de orden 2 o de orden 3. Paraconceptos:

CÁLCULO DE LA INVERSA MEDIANTE EL DETERMINANTE Y LA ADJUNTA:

TEORÍA COMPLEMEMENTARIA

para calcular la inversa y que sólo usaremos para matrices cuadradas de orden 2 o de orden 3. Para ello es necesario conocer estos dos


1

TEORÍA COMPLEMEMENTARIA

inversa y que sólo usaremos para matrices ello es necesario conocer estos dos


Conocido el concepto de determinante, necesitamos conocer el concepto de Matriz Adjunta para poder calcular la inversa:

No debemos olvidar la paridad, a la hora de calcular el adjunto de cada elemento, teniendo en cuenta la siguiente tabla:

Conocida la Adjunta sólo falta aplicar la siguiente fórmula:

el concepto de determinante, necesitamos conocer el concepto de Matriz Adjunta para poder calcular la inversa:

r la paridad, a la hora de calcular el adjunto de cada elemento, teniendo en cuenta la siguiente tabla:

Conocida la Adjunta sólo falta aplicar la siguiente fórmula:

2

el concepto de determinante, necesitamos conocer el concepto de Matriz

r la paridad, a la hora de calcular el adjunto de cada elemento,

Una de las aplicaciones más interesantes

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS

s interesantes de las matrices es la resolución de sistemas

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES MEDIANTE MATRICES

3

de las matrices es la resolución de sistemas

DE ECUACIONES MEDIANTE MATRICES

MATRICES: ACTIVIDADES

1. Sean las matrices

4 3 3 2A = y B =

5 -2 6 7a) Calcula el resultado de las siguientes operaciones.

• A · B • B · A • A + B • B + A

b) ¿Qué conclusión obtienes?c) ¿Qué condición tiene que cumplir una matriz C para poder efectuar el producto A·C? Pon

un ejemplo de una matriz que no sea cuadrada.d) ¿Qué condición tiene que cum

un ejemplo de una matriz que no sea cuadrada.

2. Sean las matrices :

4 7 0 -1 2 -1 0 -1A = , B = , C = 4 1 6 y D =

1 -2 5 -3 0 3 1 -2

a) Averigua que dos matrices se pueden sumar y calcula el resultado.b) Averigua que dos matrices se c) Realiza las siguientes operaciones:

2A A2 A3 d) Realiza las siguientes operaciones si es posible y en caso contrario indica por qué:

A-1 B-1 C-1

3. Halla la inversa de las matrices:

4. Sean A, B y C matrices con 2, 3 y 2 filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices A · B · C es posible y que el resultado es una matriz con 4 dimensiones de dichas matrices.


a 1 1 b 1 3A = , B = y C =

0 2 0 3 2 5a) Halle los valores de a y b para que se verifique A b) ¿Existe algún valor de b para que el producto B · B

6. ¿Cuánto deben valer a, b, c y d para que P ·2Q = R

1 2 1 1 5 c d 6P = , Q = y R =

a 0 8 4 b 10 10 50a) Calcule, si es posible, P · Q y Q · P, razonando la respuesta.b) ¿Cuánto deben valer a, b, c y d para que P ·2Q = R?


4 3 3 2A = y B =

5 -2 6 7

resultado de las siguientes operaciones.

¿Qué conclusión obtienes? ¿Qué condición tiene que cumplir una matriz C para poder efectuar el producto A·C? Pon un ejemplo de una matriz que no sea cuadrada. ¿Qué condición tiene que cumplir una matriz D para poder efectuar el producto D·A? Pon un ejemplo de una matriz que no sea cuadrada.

3 7 -14 7 0 -1 2 -1 0 -1

A = , B = , C = 4 1 6 y D = 1 -2 5 -3 0 3 1 -2

2 0 3Averigua que dos matrices se pueden sumar y calcula el resultado. Averigua que dos matrices se pueden multiplicar y calcula el resultado.Realiza las siguientes operaciones:

C2 Bt Ct 3C + 2I3 Bt · A A · BRealiza las siguientes operaciones si es posible y en caso contrario indica por qué:

1 D-1

Halla la inversa de las matrices: 2 1 0 1 1 -2

A = -3 4 -1 y B = -3 4 01 -5 -1 -1 6 1

Sean A, B y C matrices con 2, 3 y 2 filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices A · B · C es posible y que el resultado es una matriz con 4 dimensiones de dichas matrices.

a 1 1 b 1 3A = , B = y C =

0 2 0 3 2 5

Halle los valores de a y b para que se verifique A - B + A·Bt = C. ¿Existe algún valor de b para que el producto B · Bt se igual a la matriz nula?

deben valer a, b, c y d para que P ·2Q = R Sean las matrices:

1 2 1 1 5 c d 6P = , Q = y R =

a 0 8 4 b 10 10 50 , si es posible, P · Q y Q · P, razonando la respuesta.

¿Cuánto deben valer a, b, c y d para que P ·2Q = R?

5


¿Qué condición tiene que cumplir una matriz C para poder efectuar el producto A·C? Pon

plir una matriz D para poder efectuar el producto D·A? Pon

4 7 0 -1 2 -1 0 -11 -2 5 -3 0 3 1 -2

pueden multiplicar y calcula el resultado.

· A A · Bt

Realiza las siguientes operaciones si es posible y en caso contrario indica por qué:

Sean A, B y C matrices con 2, 3 y 2 filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices A · B · C es posible y que el resultado es una matriz con 4 columnas, halle las

se igual a la matriz nula?

7. Halla todas las matrices cuadradas A de orden 2 q


−=

11

A

a) Calcule (A – I2) · B b) Obtenga la matriz Bt y calcule, si es posible, Bc) Calcule la matriz X que verifica A · X + d) Calcule la matriz X que verifica


−=02

A

a) Calcule la matriz P que verifica B · P b) Determine las dimensiones de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A · M · Cc) Determine las dimensiones de la matriz N para que C

10. De una matriz A se sabe que su segunda fila es

− 321

. Halle los restantes elementos de A sabiendo que

11. (Junio 05) Sean las matrices

a) Calcule la matriz C = B · A

b) Halle la matriz X que verifique

12. Resuelva la ecuación matricial 2X

matrices:

0 1 0 0 1 1C = 1 0 1 y D = 1 0 1

0 1 0 1 1 0


−=A

a) Calcule B · Bt – A · At b) Halle la matriz X que verifica (A · A

14. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

a) Dadas las matrices A =

donde X es una matriz cuadrada de orden 2.

b) Sea la matriz b101

B

=

Halla todas las matrices cuadradas A de orden 2 que verifiquen:

1 0 1 0A· = ·A

1 1 1 1

−−−

=

−−

=

110121

Cy011210

B,20

y calcule, si es posible, Bt · A Calcule la matriz X que verifica A · X + B = C

e la matriz X que verifica X· A + B = C

−

−=

=

−−

022021

Cy2212

B,1201

Calcule la matriz P que verifica B · P – A = Ct Determine las dimensiones de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A · M · CDetermine las dimensiones de la matriz N para que Ct · N sea una matriz cuadrada.

De una matriz A se sabe que su segunda fila es (-1 2) y su segunda columna es

. Halle los restantes elementos de A sabiendo que 1 1 1 0 0

A2 0 1 0 1

⋅ =

Sean las matrices

−

−=

−−−

=120211

By101112

A

= B · A – At · Bt

Halle la matriz X que verifique 4

A B X2

⋅ ⋅ =

Resuelva la ecuación matricial 2X – C · D = (I + D) · C siendo

0 1 0 0 1 1C = 1 0 1 y D = 1 0 1

0 1 0 1 1 0

−=

− 52

B,012201

Halle la matriz X que verifica (A · At) · X = B

Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

,1352

By4223

−=

= resuelva la ecuación matricial A · X + B

donde X es una matriz cuadrada de orden 2.

.b0

Calcule el valor de b para que B2 = I2

6

1 0 1 0A· = ·A

1 1 1 1

Determine las dimensiones de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A · M · C N sea una matriz cuadrada.

y su segunda columna es

1 1 1 0 0A

2 0 1 0 1

⋅ = −

siendo C y D las siguientes

resuelva la ecuación matricial A · X + Bt = B,

15. (Junio07) Sean las matrices

a) Encuentre el valor o valores de x de forma que Bb) Igualmente para que B + C = Ac) Determine x para que A + B + C = 3 · I


a) Encuentre el valor o valores de x de forma que b) Igualmente para que A · B

17. Despeja la X en las siguientes ecuacionesa) A·X - B·X + C = I b) A·X·B - D·C = C c) A·X + X = D d) A·X·A = D

18. Sean los grafos siguientes:

a) Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos A y B de la figura anterior. b) Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas los grafos asociados a dichas matrices de adyacencia.

c) Realice la siguiente operación matricial: D · C

19. En un instituto “I” hay alumnos de tres pueblos, A, B y C. km la de B a C es 7 km, latransporte escolar hace dos rutas: la ruta 1 parte de B la ruta 2 parte de C y recorre sucesivamente B, A e I

a) Determine la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada ruta.

Sean las matrices

−=

=

=

10

Cy0xx1

B,1112

A

Encuentre el valor o valores de x de forma que B2 = A que B + C = A-1

Determine x para que A + B + C = 3 · I2

Sean las matrices x 1 0 1

A y B1 x 1 1 1

= = +

Encuentre el valor o valores de x de forma que A – I2 = B-1 Igualmente para que A · B = I2

Despeja la X en las siguientes ecuaciones matriciales:

Sean los grafos siguientes:

Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos A y B de la figura anterior. Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas los grafos asociados a dichas matrices de adyacencia.

=

=011101110

Dy010101010

C

Realice la siguiente operación matricial: D · C — C · D

hay alumnos de tres pueblos, A, B y C. La distancia entre A y B es 6 la de A a C es 10 km y la de A a I es 8km.

transporte escolar hace dos rutas: la ruta 1 parte de B y recorre sucesivamente C, A e Iy recorre sucesivamente B, A e I.

Determine la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada ruta.

7

−21

Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos A y B de la figura anterior. Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas 1, 2, 3, represente

La distancia entre A y B es 6 8km. Una empresa de

y recorre sucesivamente C, A e I;

Determine la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de

b) El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es:

o Pueblo A: 10 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2. o Pueblo B: 15 alumnos la o Pueblo C: 5 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2.

Determine la matriz N 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo.

c) Si la empresa cobra 12 céntimos por Km a cada persona, determina la matriz F = 0.12 M·N, e interpreta cada uno de sus elementos.

=2Ruta1Ruta

M

20. En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles del tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 5 del tipo Pdel tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan fabricar cada móvil del tipo P

a) Escriba una matriz X, 3x2,de orden 2, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móv

b) Realice el producto de matrices X Ye indique qué expresa dicho producto.

21. Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en lamatriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte.

T

=

Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 180 € por tren, como indica la matriz C = (200, 180).

Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica

22. Una persona tiene que comprar 2 kgy otra necesita 0,5 kg de manzanas, 2,los precios de las manzanas son 1.8 1,9 €/kg y en la frutería B son 1,

Se escriben las matrices

M y N 2,1 2,30,5 2,5 3

= == == == =

a) Determine M · N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. b) ¿En qué frutería le conviene a cada persona hacer

El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es:

Pueblo A: 10 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2. Pueblo B: 15 alumnos la ruta 1 y 8 alumnos la ruta 2. Pueblo C: 5 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2.

Determine la matriz N 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada

Si la empresa cobra 12 céntimos por Km a cada persona, determina la matriz F = M·N, e interpreta cada uno de sus elementos.

=

CAlumnosBAlumnosAAlumnos

Ny

2RutaRuta1CBA

En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica

l tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 5 del tipo P y los de la categoría C fabrican 6 móviles del tipo M y del tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan 2 chips yfabricar cada móvil del tipo P se necesitan 4 chips y 6 conexiones.

Escriba una matriz X, 3x2, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y. de orden 2, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvRealice el producto de matrices X Ye indique qué expresa dicho producto.

Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en lamatriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por

TrenCarretera

200250400150200300HGF

Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 por tren, como indica la matriz C = (200, 180).

Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica

Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, 1 kg de ciruelas y 1,de manzanas, 2,5 kg de ciruelas y 3 kg de plátanos. En la frutería A,

los precios de las manzanas son 1.8 €/kg, los de las ciruelas 2,1 €/kg y los de los plátanos rutería B son 1,7 €/kg, 2,3 €/kg y 1,75 €/kg respectivamente.

1,8 1, 72 1 1,5

M y N 2,1 2,30,5 2,5 3

1, 9 1, 75

= == == == =

e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. ¿En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra?

8

Determine la matriz N 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada

Si la empresa cobra 12 céntimos por Km a cada persona, determina la matriz F =

En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica

l tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 4

chips y 4 conexiones y para

es de cada tipo y otra matriz Y. de orden 2, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil. Realice el producto de matrices X Ye indique qué expresa dicho producto.

Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por

Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 € por carretera y

Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica.

de ciruelas y 1,5 kg de plátanos de plátanos. En la frutería A, €/kg y los de los plátanos

respectivamente.

e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto.

23. Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y nata, a dos supermercados, S y Hproducto que vende a cada supermercado ycada supermercado por cada kg de esos productos

Efectúe el producto A · Belementos de la diagonal principal de la matriz resultante.

24. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminaciónterminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de adminihoras de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

a) Representar la información en dos matrices. b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas

para cada uno de los modelos.

25. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

clasificándolo previamente antes mediante el teorema de Rouchè.

leche queso nata leche queso nata500 300 250 S 0,20 4 1 S

A B460 300 200 H 0,25 3,60 1,20 H

= == == == =

Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y ata, a dos supermercados, S y H, ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada

que vende a cada supermercado y, en la matriz B, las ganancias que cada supermercado por cada kg de esos productos.

Efectúe el producto A · Bt y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

Representar la información en dos matrices. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, por el método de Gaussclasificándolo previamente antes mediante el teorema de Rouchè.

leche queso nata leche queso nata500 300 250 S 0,20 4 1 S

A B460 300 200 H 0,25 3,60 1,20 H

= == == == =

9

Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y , ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada

, en la matriz B, las ganancias que obtiene en

y explique el significado económico de cada uno de los

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y N, 200 unidades en la

terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La

stración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y

Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas

, por el método de Gauss y Cramer,

leche queso nata leche queso nata500 300 250 S 0,20 4 1 S460 300 200 H 0,25 3,60 1,20 H

MATRICES:_______ _______________________ACTIVIDADES RESUELTAS

26. Sean las matrices A = , B = y C =

Encuentre el valor o valores de x de forma que C

2

2

2

2

1 x 1 x 3 2 13 1·

x 0 x 0 3 0 0 9

3 2 13 1 x 2 1 x 31 x x3 0 0 9 x 3 0 x 3x x

13 14 x x 20 9x 3 x

+ =

− + = − → = −++ = → = −

−+ += +

27. Dadas las matrices A = y B =

Resuelve la ecuación matricial siguiente

A · X + Bt = B

A · X = B - Bt

Cálculos:

1

1

2

3 2 1 0 3 2 1 0 12 0 6 3A

2 4 0 1 0 8 2 3 0 8 2 3

6 3 1 1F / 12 1 0 2 312 12F / 8 0 1 5 12 1

8 8 4 8

1 12 4X ·

314 8

− = → →

− −

− = − −


a) Calcule los valores de a y b para que A · B = B · A

0 2 a b a b 0 2 12 2 3b 2a 2=2a a=1 a=1· = · =

3 0 6 1 6 1 3 0 3a 3b 3 12 3a=3 a=1

b) Para los valores a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X · B

X · B – A = I2

X · B = I2 + A


13 -1 3 2 1 xA = , B = y C =

0 9 3 0 x 0

Encuentre el valor o valores de x de forma que C2 + B = A

2

2

1 x 1 x 3 2 13 1x 0 x 0 3 0 0 9 4 x 13 x 3

3 2 13 1 x 2 1 x 3Solución : x 3

3 0 0 9 x 3 0 x 3x 9 x 313 1

−

+ = → = ±

− + = − → = −+ = → = − + = → = − = → = ±

3 2 2 5A = y B =

2 4 -3 1

Resuelve la ecuación matricial siguiente A · X + Bt = B

A-1 · A · X = A-1 · (B - Bt) Solución:

I2 · X = A-1 · (B - Bt)

1 2 1 2

1 t

3 2 1 0 3 2 1 0 12 0 6 32F 3·F 4F F2 4 0 1 0 8 2 3 0 8 2 3

6 3 1 11 0 2 32 412 12 A B =3 30 1 5 12 1

8 8 4 8

2 5 2 3X ·

3 1 5 1

−

= → → − + −− −

− − ⇒ = − −

−= − −

1 1 0 8 2 42 4 ·3 8 0 3 21

4 8

− = = − − −−

Sean las matrices 0 2 a b

A = y B = 3 0 6 1

Calcule los valores de a y b para que A · B = B · A 12=3b b=4

0 2 a b a b 0 2 12 2 3b 2a 2=2a a=1 a=1· = · =

3 0 6 1 6 1 3 0 3a 3b 3 12 3a=3 a=13b=12 b=4

⇒ ⇒ ⇒

Para los valores a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X · B X · B · B-1 = ( I2 + A) · B-1

X · I = (I2 + A) · B-1 X = ( 2 · B

10


Solución : x 3+ = → = −

Solución: X = A-1·(B - Bt)

1 t

3 2 1 0 3 2 1 0 12 0 6 32 4 0 1 0 8 2 3 0 8 2 3

1 0 2 3A B =

0 1 5 1

− − −

−

0 8 2 48 0 3 2

− − −

12=3b b=40 2 a b a b 0 2 12 2 3b 2a 2=2a a=1 a=13 0 6 1 6 1 3 0 3a 3b 3 12 3a=3 a=1 b=4

3b=12 b=4

→

→ ⇒ ⇒ ⇒ →

→

Para los valores a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X · B – A = I2

X = ( 2 · B2 + I2) · B-1

+

=

→

=−

·0320

1001

·X

F1001

1601

B 1

29. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

a) Representar esta información en dos matrices.

b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelosInterpreta cada uno de los resultados.

Interpretación:

112000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo A 20000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B 136000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C 38000 son los soportes que se utilizan en total para fabric 72000 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B 48000 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C

30. (Junio09) Sea la igualdad

misma dimensión. a) (1 punto) Despeje la matriz b) (2 puntos) Obtenga la matriz

=

31

52A y

21

30

−−

=B

a) ABXA =+· ⇒ AXA =·

b) Si

=−

dc

baA 1 ⇒

c

a

Igualando elementos correspondientes:

A 1000 8000B 8000 6000C 4000 6000

G PA 1000 8000B 8000 6000C 4000 6000

−−

=

−

=

−

−=→

−−−

13211

1601

·1321

1601

·

1601

B1601

1001

F·6F1

12

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000

as de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

Representar esta información en dos matrices.

Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño deInterpreta cada uno de los resultados.

112000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo A20000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B136000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C38000 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo A72000 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B48000 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C

(Junio09) Sea la igualdad ABXA =+· , donde A, X y B son matrices cuadradas de la

a) (1 punto) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que Ab) (2 puntos) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo

.

BA − ⇒ BAAAXAA ···· 111 −−− −= ⇒ IX =

=

10

01

31

52·

d

b ⇒ =

++++

352

352

dcdc

baba

elementos correspondientes:

G PA 1000 8000B 8000 6000C 4000 6000

T SG 16 6P 12 4

T SG 16 6

·P 12 4

T SA 112000 38000B 20000 72000C 136000 48000

=

11

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000

as de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios tamaño de estantería.

112000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo A 20000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B 136000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C

ar todas las estanterías del tipo A 72000 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B 48000 son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C

son matrices cuadradas de la

A tiene inversa.

BA ·1−−

=

10

01.

=+=+

035

12

ba

ba ⇒

−==

5

3

b

a;

Por tanto,

−−

=−

21

531A .

Luego,

BAIX ·1−−= ⇒

=

0

1X

⇒

−−

−

=

2

5

10

01X


a) (1 punto) Calcule 2 tA B C− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅ .

b) (1,5 puntos) Resuelva la ecuación matricial

a) 2 tA B C− ⋅ = ( ) ( )2 5 2 5 3 1 2· 2 51 3 1 3 0 1 1− − −−− −

b) En caso de existir 1A− será

A X B C⋅ + = ⋅

La matriz inversa existe, pues

De este modo

A

y por tanto

X = ( )1 2A C B− − = ( )3 5 1 2 3 3 1 21 2 1 5 3 0 1 1

− −− −

32. (Septiembre08) Contesta de forma razonadaa) (1.5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por:

b) (1.5 puntos) Calcule la matriz inversa de

a) ⇔

=

⋅

−+

4

5

y

3

1x

2x31

Resolvemos el sistema de ecuaciones

;

=+=+

135

02

dc

dc ⇒

=−=2

1

b

c.

−−

−−

−

21

30·

21

53

10

01 ⇒

−−

=

−62

194

7

19

Sean las matrices (((( ))))2 51 3A −−−−==== −−−− , (((( ))))3 1 2

0 1 1B −−−−==== , (((( 1 2 31 5 3C ==== −−−−

t .

(1,5 puntos) Resuelva la ecuación matricial 2A X B C⋅ + = ⋅⋅ + = ⋅⋅ + = ⋅⋅ + = ⋅ .

( ) 1 12 5 2 5 3 1 2· 2 51 3 1 3 0 1 1 3 3

− − − − −

= ( ) ( )1 5 7 21 4 5 8

− −−− = ( 8 76 4

−− −

será

2A X B C⋅ + = ⋅ ⇒ 2A X C B⋅ = ⋅ − ⇒ ( )1 2X A C B−= −

La matriz inversa existe, pues 6 5 1A = − + = − .

1A− = ( )1Adj( ) tA

A =

( )3 15 2

1

t− −

− = ( )3 5

1 2−−

) ( ) ( )3 5 1 2 3 3 1 2· 2·1 2 1 5 3 0 1 1− − −− −

= ( ) (3 5 1 5 4·1 2 2 9 5− −− −

Contesta de forma razonada: a) (1.5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por:

.4

5

y

3

1x

2x31

=

⋅

−+

b) (1.5 puntos) Calcule la matriz inversa de .

021

010

101

=

−++

⇔4

5

yx3

y2x93

Resolvemos el sistema de ecuaciones

−==⇔=−=+

2y,32x

4yx3

2y2x9

12

))))1 2 31 5 3 .

)8 76 4− − .

)X A C B .

)3 5 1 5 41 2 2 9 5 = ( )7 30 13

3 13 6− −− − .

b) Sea .

021

010

101

A

= Hallamos

Como 1A −= y

−=

1

2

0

)A( ij

EJERCICIOS SELECTIVIDAD ÚLTIMAS CONVOCATORIAS

Hallamos tijA

AA )(

11 =− , siendo (Aij) la matriz de los adjuntos.

−−−

101

21

10

⇒

−

−=−

121

010

120

A 1

SELECTIVIDAD ÚLTIMAS CONVOCATORIAS

JUNIO 2013

13

) la matriz de los adjuntos.

SELECTIVIDAD ÚLTIMAS CONVOCATORIAS RESUELTOS

JUNIO 2012

14

ACTIVIDADES RESUELTAS DE SELECTIVIDAD OTRAS CONVOCA TORIASACTIVIDADES RESUELTAS DE SELECTIVIDAD OTRAS CONVOCA TORIAS

15

ACTIVIDADES RESUELTAS DE SELECTIVIDAD OTRAS CONVOCA TORIAS

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