Matrices Sistemas

8/18/2019 Matrices Sistemas

1/31

M xM

M yM

M zM

1

Matrices, determinantes y sistemas deecuaciones

1.1 Problemas PAU

Solución:

Apartado a:Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y nios, respecti!amente, "ue#ueron de excursi$n, tendremos:

x + y + z = 20 x + y = 3 z

y +1 = x

Apartado b:

%ordenamos:

x + y + z = 20 x + y − 3 z = 0

− x + y = −1

Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:

1 1

M ( 1 1 −1 1

1 1

1

− 3

1

1 1 1

Ma ( 11 − 3

−1 1 0

20

0 −1

)omo M = 1 1

−1 1− 3 = 8 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.

0

esol!emos el sistema utilizando la re/la de )ramer% para ello calculamos los !aloresde:

20 1

M x = 0 1−1 1

1

− 3 = 64 %

0

1 20

M y = 1 0−1 −1

1

− 3 = 56%

0

1 1

M z = 1 1−1 1

20

0 = 40

−1

x = = 64

= 8 % y =8

= 56

= 7 % z =8

= 40

= 58

0ue/o, habrn asistido 2 hombres, 3 mujeres y 4 nios a la excursi$n.

Solución:Apartado a:Si llamamos x, y, z, a la puntuaci$n obtenida en cada pre/unta, respecti!amente,tendremos:

Junio 94:

Un /rupo de personas se reúne para ir de excursi$n, juntndose un total de 56 entrehombres, mujeres y nios. )ontando hombres y mujeres juntos, su número resultaser el triple del número de nios. Adems, si hubiera acudido una mujer ms, sunúmero i/ualar7a al de hombres.a+Plantear un sistema para a!eri/uar cuntos hombres, mujeres y nios han ido de

0

Septiembre 94:)ierto estudiante obtu!o, en un control "ue constaba de pre/untas, unacali&caci$n de 2 puntos. 8n la se/unda pre/unta sac$ dos puntos ms "ue en laprimera y un punto menos "ue en la tercera.

a+Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuaci$n obtenida en

cada una de las pre/untas.


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M xM

M yM

M zM

ptiembre 94 (bis): la matriz A de coe&cientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y 9 la matriz de sus t'rminos independiente

A ( a 5

a a 1 9 (

Plantea al/ebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.-iscute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.

5

x + y + z = 8 y = x + 2

y = z −1

Apartado b:

,ordenamos:

x + y + z = 8− x + y = 2

y − z = −1


M (

0 1

1 1

−1

1

0 1

−1 −1

M = −1 1

0 1

0 = −3 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.−1


8 1

M x = 2 1−1 1

1

0 = −3 %

−1

1 8

M y = −1 20 −1

1

0 = −9 %

−1

1 1

M z = −1 10 1

8

2 = −12

−1

x = = − 3

= 1 % y =− 3

= − 9

= 3 % z =− 3 =

−12= 4− 3

0ue/o, habr obtenido 1 punto en la primera pre/unta, en la se/unda y en latercera.

Solución:Apartadoa:

a − 2 x

4

8l sistema expresado en #orma matricial,ser:

⋅ =

a a −1 y 4 8#ectuando el producto de matrices, y aplicando la de&nici$n de i/ualdad de dosmatrices,

ax − 2 y = 4obtendremos el sistema pedido: .

ax + (a −1) y = 4Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:

aM (

a

− 2

a −

aMa (

a

− 2 4

a −1

Analizamos los !alores cr7ticos haciendo ;M; ( 6a − 2

M =a a −1

= 0 → a 2 + a = 0 → a(a +1) = 0 → a1 = 0 % a2 = −1

< Si a ≠ 0 y a ≠ −1;M; ≠ 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( 5 = S.).-. *soluci$n única+.

1 1 1 1 1 1 8

−1 1 0 Ma ( 1 0 2

1

4


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M xM

M yM

M zM

,

< Si a = 0

0 − 2 0 − 2 4

M (

0 −1

Ma

(

0

−1

;M; ( 6 = r*M+ ( 1 y r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en lamatriz Ma un menor

− 2complementario de orden 5 y distinto de cero% porejemplo:

−1< Si a = −1

4. Por tanto, S.>. *?o soluciones+.

4

−1M (

−1

− 2

−

2

−1 − 2 4 Ma (

−1 − 2

;M; ( 6 = r*M+ ( 1 y r*Ma+ ( 1, puesto "ue no es posible encontrar en la matrizMa un menor complementario de orden 5 y distinto de cero. Por tanto, S.).>.*>n&nitas soluciones+.

Solución:

Apartado a:Si llamamos x, y, z, al número de @/. comprados de patatas, manzanas y naranjas,respecti!amente, tendremos:

100 x +120 y +150 z = 1160 x + y + z = 9

y +1 =

z

Apartado b+

simpli&camos:

10 x +12 y +15 z = 116 x + y + z = 9

y − z = −1

Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientes

M y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:

10 12 15 10 12

15 116

M ( 1 1 1 Ma ( 1 1 1 9 0 110 12

−1 15

0 1 −1 −1

)omo M = 1

0

1 1

1 −1

= 7 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.


M x =116 12

9 1

−1 1

15

1 = 14 %

−1

10

M y = 10

116

9

−1

15

1 = 21 %

−1

10

M z = 10

12 116

1 9

1 −1

= 28

x = = 14

= 2 % y =7 =

21= 3 % z =

7

= 28

= 47

Por tanto, habr comprado 5 @/. de patatas, @/. de manzanas y @/. de naranjas.

4

4

Junio 95:

Un ama de casa ad"uiri$ en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas ynaranjas a un precio de 166, 156 y 146 ptas@/., respecti!amente. 8l importe totalde la compra #ueron 1.1B6 ptas. 8l peso total de la misma, C @/. Adems, compr$ 1@/. mas de naranjas "ue de manzanas.a+Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto.


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ptiembre 95:matriz de coe&cientes A, asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales, as7 como la de sus t'rminos independientes 9

A ( 5 4

1

111

1 5

1 9 ( B

15

5

-educe las ecuaciones del sistema indicando las operaciones hechas.Dbt'n, si es posible, la in!ersa de las matrices A y 9. azona las respuestas.

A

:


1 1 1 x

12

8l sistema expresado en #orma matricial, ser: 2 −1 1 ⋅ y = 6

5 1 − 2 z 2

8#ectuando el producto de matrices, y aplicando la de&nici$n de i/ualdad de dosmatrices,

x + y + z = 12

obtendremos el sistema pedido:2 x − y + z = 6

5 x + y − 2 z = 2

Apartadob:

< -eterminaci$n de AE1:

F calculamos eldeterminante:

1

A = 2

5

1 1

−1 1

1 − 2

= 17 ≠ 0

)omo "ue ;A; ≠ 6, la matriz A es in!ersible.F calculamos la matriz adjunta AG , reemplazando cada elemento por el !alor de su menoradjunto:

1 9

A* = 3 − 7

2 1

7

4 − 3 1 3 2

F determinamos la matriz traspuesta de la adjunta: (

A*

)T = 9

7

− 7 1 4 − 3

F la matriz in!ersa ser:

A−1 =

1( A

*)

T 1 31

= ⋅ 9 − 717

7 4

2 1

− 3

< -eterminaci$n de 9E1: no es posible pues 9 no es una matriz cuadrada.

Solución:Apartado a: Henemos"ue:

Junio 96:

8n una con&ter7a en!asan los bombones en cajas de 546 /r., 466 /r. I 1 @/. )iertod7a se en!asaron B6 cajas en total, habiendo 4 cajas ms de tamao pe"ueo *546/r.+ "ue de tamao mediano *466 /r.+. Sabiendo "ue el precio del @/. de bomboneses .666 ptas. y "ue el importe total de los bombones en!asados asciende a

154.666 ptas:a+Plantear un sistema para determinar cuntas cajas se han en!asado de cada tipo.


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M xM

M yM

M zM

4

F precio de la caja de 546 /r. ( 1666 ptas.F precio de la caja de 466 /r. ( 5666 ptas.F precio de la caja de 1 @/. ( 666 ptas.

Si llamamos x, y, z, al número de cajas en!asadas de 546 /r. , 466 /r. y 1 @/.,respecti!amente, tendremos:

x + y + z = 60 x = y + 5

1000 x + 2000 y + 4000 z = 125000

Apartado b:

simpli&camos:

x + y + z = 60 x − y = 5

1 x + 2 y + 4 z = 125



1 1 1

1 1

1 60

M ( 1 −1 0 Ma

( 1 −1 0 5 1 2 4 1 1 1

1 2 4 125

)omo M = 1

1

−1 0

2 4

= −5 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.


M x =60

5

125

1 1

−1 0

2 4

= −125 % 1 M y = 1

1

60

5

125

1

0 = −100 %

4

1

M z = 11

1 60

−1 5

2 125

= −75

x = = −125

= 25 % y =− 5

= −100

= 20 % z =− 5

= − 75

= 15− 5

Por tanto, se habrn en!asado 54 cajas pe"ueas, 56 medianas y 14 /randes.

Solución:Apartado a:Si llamamos x, y, z, al número de nios, adultos y jubilados, respecti!amente, "ue!isitaron ese d7a la exposici$n, tendremos:

x + y + z = 200 y = x + z

200 x + 500 y + 250 z =

73500

Apartado b:

simpli&camos:

x + y + z = 200 x − y + z = 0

20 x + 50 y + 25 z = 7350



Junio 96 (R):

8l precio de entrada a cierta exposici$n es de 566 ptas. para los nios, 466 para losadultos y 546 para los jubilados. 8n una jornada concreta, la exposici$n #ue !isitadapor 566 personas en total, i/ualando el número de !isitantes adultos al de nios y jubilados juntos. 0a recaudaci$n de dicho d7a ascendi$ a 3.466 ptas.

a+Plantear un sistema de ecuaciones para a!eri/uar cuntos nios, adultos y jubilados !isitaron la exposici$n ese d7a.

b+esol!er el problema.


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M xM

M yM

M zM

Septiembre 96:-ado el si/uiente sistema de ecuaciones:x y z Bx 5 y 5z 4

5x y z 11Dbt'n su matriz de coe&cientes.)alcula el determinante de la matriz anterior.Sin resol!er el sistema, razonar si tendr soluci$n única.

B

1 1 1

1 1

1 200

M ( 1

−1 1

Ma ( 1

−1 1 0

20 501 1

25 1

20 50 25 7350

M = 1

20

−1 1

50 25

= −10 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.


M x =200

0

7350

1 1

−1 1

50 25

= −300%

1

M y = 120

200

0

7350

1

1 = −1000 %

25

1

M z = 120

1 200

−1 0

50 7350

= −700

x = = − 300

= 30 % y =−10 =

−1000= 100 % z =

−10 = − 700

= 70−10

0ue/o, a la exposici$n, habrn acudido 6 nios, 166 adultos y 36 jubilados.


1 1 1

Su matriz de coe&cientes ser: M ( 1

2− 2 2 −1

Apartado b:

1

8l determinante de dicha matriz ser: M = 1

2

Apartado c:

1 1

− 2 2−1 1( E5 E 1 J J J 5 E 1 ( B



1

M ( 1

2

1

1 1

− 2 2 −1

1 1

1

Ma ( 1

2

1 1

− 2 2

−1 1

6

5 11

)omo M = 1

2

− 2 2

−1 1

= 6 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.

Por lo "ue el sistema tendr una única soluci$n.

1

1


7/31

Septiembre 97:0a matriz de coe&cientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es:

A ( 51

1 111

15

5

64

Dbtener las ecuaciones del sistema.)alcular el ran/o de la matriz #ormada por los coe&cientes del sistema.Sin resol!er el sistema, deducir razonadamente si admite soluciones y en "u' número.

3

Solución:Apartado a:Si llamamos x e y al número de pa"uetes !endidos de las marcas A y 9,respecti!amente, tendremos:

x + y = 1000500 x + my = 440000

, representando el parmetro m el precio del pa"uete de marca 9.


1 1 M (

1Ma (

1 1000

500 m 500 m 440000 Analicemos los !alores cr7ticos haciendo:

;M; ( 6 = m E 466 ( 6 = m ( 466

• si m ≠ 466 = r*M+ ( 5 y r*Ma+ ( 5 = S.).-.*soluci$n única+• si m ( 466 = r*M+ ( 1 y r*Ma+ ( 5, pues es posible encontrar en 'sta, al menos, un menor

complementario de orden 5 distinto de cero. Por

ejemplo: Apartado b:

1

500

1000

440000≠ 0 = S.>. *?o soluci$n+

Se trata de resol!er el sistema para los !alores m ( 66 y m ( 62: x + y = 1000500 x + 400 y = 440000

= Kx ( 66, y ( B66L

x + y = 1000500 x + 408 y = 440000

=Kx(

8000

23

,y(

15000L

23

)omo el número de pa"uetes !endido de cada marca debe ser un número entero, elprecio del pa"uete 9 tiene "ue haber sido 66 pesetas. 8n estas condiciones, sehabr7an !endido 66 pa"uetes de la marca A y B66 pa"uetes de la marca 9.

Solución:Apartado a:

Junio 97:

8n un supermercado !an a poner en o#erta dos marcas de deter/ente *A y 9+. 8lpropietario consulta su libro de cuentas para !er las condiciones de una o#erta

anterior, encontrando la si/uiente in#ormaci$n: el número total de pa"uetes!endidos #ueron 1.666 unidades% el precio del pa"uete A 466 ptas% y el importetotal de la o#erta 6.666 ptas. Pero en sus anotaciones no aparece reejadoclaramente el precio del pa"uete 9.

a+Plantear un sistema para determinar el número de pa"uetes !endidos de cadamarca. -iscutir su compatibilidad.


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2

8l sistema asociado a la matrizdada ser:

x + y + z = 2

2 x − y + 4 z = 0

− x + y + 2 z = 5

1 1 1 x 2

8l mismo sistema, expresado en #orma matricial: 2 −1 4 ⋅ y = 0

Apartadob:

−1 12 z

5

Para calcular el ran/o de la matriz de los coe&cientes del sistema M, calculamos el!alor de su determinante ;M;:

1

M = 2

−1

1 1

−1 4

1 2

( E5 J 5 E E 1 E E ( E1 ≠ 6

)omo "ue ;M| ( 0, sabemos quer(M) = 3 Apartado !

"or e# teorema de $ou%&'rbe+us, sabemos que!

s+ r(M) = r(Ma) = - +./+tas (o#u+. +a)

s+ r(M) = r(Ma) - +./+tas (++tas so#u+oes+

O si r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>. *?o soluciones+)omo "ue ;M; ≠ 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( = S.).-.

Por lo tanto, el sistema admite soluci$n, y 'sta ser única.

Solución:Apartado a:Si llamamos x, y, z, al número de alumnos matriculados en la primera, se/unda ytercera sucursal, respecti!amente, tendremos:

x + y + z = 352

x z = 4

,ordenamos:

x + y + z = 352 x − 4 z = 0

x − y + 2 =

2 z

Apartado b:

x − y − 2 z = −2



1 1 1

1 1

1 352

M ( 1 0 − 4 Ma ( 1 0 − 4 0

1 −11 1

− 2 1

1 −1 − 2 − 2

)omo M = 1 0

1 −1

− 4 = −7 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.

− 2

Junio 98:Una autoescuela tiene abiertas sucursales en la ciudad. 8l número total dematriculados es 45, pero los matriculados en la tercera son s$lo una cuarta partede los matriculados en la primera. Adems, la di#erencia entre los matriculados en laprimera y los matriculados en la se/unda es in#erior en dos unidades al doble de losmatriculados en la tercera.

a+Plantear un sistema de ecuaciones para a!eri/uar el número de alumnosmatriculados en cada sucursal.


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M xM

M yM

M zM

Septiembre 98:

0a matriz de los coe&cientes de un sistema de ecuaciones lineales es: 1a a 1 5

y la de los t'rminos

ndependientes es: . 5

5Plantear las ecuaciones del sistema.8studiar su compatibilidad en #unci$n de los !alores de a. N8n "u' casos tiene soluci$n únicaesol!erlo si a ( 5.

C


M x =

352

0

− 2

1 1

0 − 4−1 − 2

= −1400 % 1

M y = 11

352

0

− 2

1

− 4 = −714 %− 2

1

M z = 11

1 352

0 0

−1 − 2

= −350

x = = −1400

= 200 % y =− 7

= − 714

= 102 % z =− 7

= − 350

= 50− 7

0ue/o, habr 566 alumnos matriculados en la primera sucursal, 165 en la se/unda y46 en la tercera.


8l sistema asociado a las matricesdadas ser:

x + ay = 2 .

(a +1) x + 2 y = −2

1 a x 2 8l mismo sistema, expresado en #ormamatricial:

⋅ =

Apartadob:

a +1 2 y − 2



1 a M (

1Ma (

a 2

a +1 2 a +1 2 − 2 Analizamos los !alores cr7ticos haciendo ;M; ( 6

1 M =

a +1a = 0 = 5 E a5 E a ( 6 = a1 ( 1 y a5 ( E52

< Si a ≠ 1 y a ≠ E5;M; ≠ 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( 5 S.).-. *soluci$n única+.

< Si a ( 1 1 1

M ( 2

1 1Ma (

2 2

2

− 2

;M; ( 6 = r*M+ ( 1 y r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma unmenor

1 2complementario de orden 5 y distinto de cero% por ejemplo: .

2 − 2

Por tanto, S.>. *?o soluciones+.< Si a ( E5

1M (

−1

− 2

1 − 2Ma (

−1 2

2

− 2

;M; ( 6 = r*M+ ( 1 y r*Ma+ ( 1, puesto "ue no es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 5 y distinto de cero.

2

2


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9 ( % ) ( 5z % - ( 6 1

y z 1

Junio 99:

Sean las matrices: A ( 5x x

x

1 %1

1 z 1

donde x, y, z son desconocidos.)alcular las matrices *A9+ J ) y -

Sabiendo "ue *A9+J) ( -, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los !alores de x, y, z.8studiar la compatibilidad del sistema. N)untas soluciones tiene8ncontrar, si es posible, una soluci$n.

16

Por tanto, S.).>. *>n&nitassoluciones+. Apartado c:Si suponemos "ue a ( 5, tendremos "ue:

x + 2 y = 23 x + 2 y = −2

, cuya soluci$n es: Kx ( E5, y ( 5L

Solución:Apartado a:Para multiplicar dos matrices, multiplicamos !ectorialmente las &las de la primerapor cada una de las columnas de la se/unda. Para sumar dos matrices sumamos suselementos correspondientes.As7:

x 1 1 z x + y

z

x + y + z

AO 9 J ) (

2 x−1 ⋅

+ 2 z ( 2 x − y + 2 z ( 2 x − y + 2 z y − x 1 − z

− x + y

− z

− x + y − z

Para multiplicar una matriz por un escalar, multiplicamos cada uno de loselementos de la matriz por dicho escalar. As7:

1 3

- ( 3 0 ( 0 1 1

Apartadob:

3

x + y + z 3

)omo "ue *A9+ J ) ( -, tenemos "ue: 2 x − y + 2 z = 0 ,

x + y + z = 3

lue/o:

2 x − y + 2 z =

0

− x + y − z = 1

Apartado c:

− x + y − z 1


1 1

M ( 2 −1 −1 1

1

2 −1

1

Ma ( 2

−1

1 1 3

−1 2 0 1 −1

1


11/31

11

1 1

)omo M = 2 −1

−1 1

1

2 = 0

−1= r*M+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz M un menor

1 1complementario de orden 5 y distinto de cero% por ejemplo:

2 −1= r*Ma+ ( 5, puesto "ue no es posible encontrar en la matriz Ma un menorcomplementario de orden y distinto de cero:

3 1

0 −1

1 1

1

2 = 0

−1

1 3

2 0

−1 1

1

2 = 0

−1

1 1

2 −1

−1 1

3

0 = 0

1

)omo r*M+ ( r*Ma+ ( 5 = S.).>. *>n&nitas

soluciones+. Apartado d: x + y + z = 3

Una de las ecuaciones es combinaci$n lineal de las otras dos% la eliminamos: − x + y − z = 1

)onsideramos la z como constante y la pasamos, junto a los t'rminosindependientes, al se/undo

x + y = 3 − z miembro:

− x + y = 1+ z Para cada !alor de z, obtendremos una posible soluci$n del sistema.Supon/amos: z ( 6:

x + y = 3tendremos:

− x + y = 1= Kx ( 1, y ( 5L

Septiembre 99:8n el trayecto "ue hay entre su casa y el trabajo, un indi!iduo puede repostar/asolina en tres estaciones de ser!icio *A, 9 y )+. 8l indi!iduo recuerda "ue este mesel precio de la /asolina en A ha sido de 156 ptaslitro y el precio de la /asolina en9 de 112 ptaslitro, pero ha ol!idado el precio en ). *Supon/amos "ue son QmQptaslitro+. Hambi'n recuerda "ue:F la suma del /asto en litros de /asolina en las estaciones A y 9 super$ en B26 ptas.al /asto en ).

F el número de litro de /asolina consumidos en 9 #ue el mismo "ue en ).F el /asto de litros en A super$ al de 9 en 15B6 ptas.

a+Plantea un sistema de ecuaciones *en #unci$n de QmQ+ para determinar los litrosconsumidos en cada /asolinera.


Si llamamos x, y, z, al número de litros "ue ha repostado en las /asolineras A, 9y ), respecti!amente, tendremos:

120 x +118 y = mz + 4680 y = z

120 x = 118 y +1260

Apartado b:

120 x +118 y − mz = 4680

, ordenamos: y − z = 0

120 x −118 y = 1260


M y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma

:


12/31

Junio 00:Sea BA J 5> ( 9 una expresi$n matricial, donde 9 denota una matriz cuadrada de orden 5x5, tal "ue

B1 9 (

1 e >, la matriz unidad de orden correspondiente.

NRu' dimensi$n tiene la matriz A

-etermine los elementos "ue inte/ran la matriz A, esto es, ai, j

Ap,"

.)alcule A J 5>.

1B5

15

120

118 − m

120 118

− m 4680

M ( 0

1 −1

Ma ( 0

1 −1 0

120 −118 0 120 −118 0 1260 Analizamos los !alores cr7ticos haciendo ;M; ( 6

120

M = 0

120

118

1

−118

− m

−1 = 0

0

= E11B6 J 156m E 11B6 ( 6 = m ( 5B

< Si m ≠ 5B;M; ≠ 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( = S.).-. *soluci$n única+.

< Si m ( 5B 120 118 −

236

120

118 − 2364680

M ( 0 1 −1 Ma ( 0 1 −1 0

120 −118 0 120 −118 0 1260 ;M; ( 6 = r*M+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz M un menorcomplementario de

orden 5 y distinto de cero% porejemplo:

120

0

118

1% r*M a+ ( , puesto "ue es posible encontrar en

la matriz Ma un menor complementario de orden y distinto de cero% por ejemplo:

120

0

120

118

1

−118

4680

0

1260

)omo r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>. *?o soluci$n+.Por esta raz$n, resultar7a imposible haber !endido la /asolina a 5B ptas. litro en la/asolinera ).

Solución:Apartado a:Para "ue dos matrices puedan sumarse es necesario "ue ten/an la mismadimensi$n% adems, su suma es otra matriz de la misma dimensi$n "ue las matricessumandos. Por tanto, la matriz A tiene "ue tener dimensi$n 5x5.Apartado b:

)omo BA J 5> ( 9, entonces: BA ( 9 E 5> = A = 1 ( B − 2 I )

6

1 6 1 1 0 1 6 1 2 0 1 4 1 2 1 3 6 A = −

2

(

− (

(

1−1

Apartadoc:

6 3

2

−1 0

1

1

6 3

8

−1 0

2

6 3

− 3 2 2

3 6 1 0 3 A J 5> ( − + 2

0

1 ( 1


13/31

1 1 2 2 2


14/31

Septiembre 00:1

Sean A (

5 1

y 4 y 9 (

1 x1

zx z dos matrices de orden 5x, en las "ue x, y, z denotan

!alores num'ricos desconocidos.-etermine, razonadamente, los !alores de x, y, z de manera "ue A ( 9.N8s posible el clculo de Ax9 azone la respuesta.

1,

Solución:Apartado a:Para "ue dos matrices sean i/uales es necesario "ue ten/an la misma dimensi$n y,adems, "ue los elementos "ue ocupen la misma posici$n en ambas sean i/uales *

ai, j = bi, j +. Por tanto, si: −1 2 1 −1 x 1

A ( y 9( , entonces:

y 3 5 3 z x + z

A ( 9 =

Apartado b:

2 = x

y = 33 = z Adems, se :er++a que ! 5 = x + z

Para "ue pueda e#ectuarse el producto Ax9 , es necesario "ue el número decolumnas de A sea i/ual al número de &las de 9. )omo "ue la matriz A tiene columnas y la matriz 9 tiene 5 &las, el producto Ax9 ?D puede e#ectuarse.

Solución:Apartado a:0lamamos x, y, z, al número operaciones de cada tipo "ue ha realizado y m a laprima desconocida *en miles de pesetas+:

x ( n !entas de pisosnue!os y ( n !entas depisos usados z ( nal"uileres

)on lo "ue tendremos:

x + y + z = 5120 x + 60 y = mz + 200

120 x = 3mz Apartado

b:

x + y + z = 5

, ordenamos:

x + 60 y − mz = 200

120 x − 3mz = 0

Junio 01:

Un a/ente inmobiliario puede realizar tipos de operaciones: !enta de un pisonue!o, !enta de un piso usado y al"uiler. Por la !enta de cada piso nue!o recibe unaprima de 156.666 ptas. Si la operaci$n es la !enta de un piso usado recibe B6.666ptas. Se desconoce la prima cuando la operaci$n es un al"uiler.8ste mes el número total de operaciones #ue 4. 0a prima total por !enta de pisos #uesuperior en566.666 ptas. a la obtenida por al"uileres, y la prima total por !enta de pisos nue!os#ue el triple "ue por al"uileres.

a+Plantea un sistema de ecuaciones *sin resol!erlo+ para obtener el número deoperaciones de cada tipo realizadas *en #unci$n de la prima de al"uiler de !alordesconocido+.

b+>ndica una prima a la "ue es imposible "ue se hayan podido pa/ar los al"uileres.

120


15/31

M xM

M yM

M zM

1:


1 1 1

1 1 1 5

M ( 12060

− m Ma ( 120 60− m

200

120 0 − 3m

120 0 − 3m 0

Analizamos los !alores cr7ticos haciendo ;M; ( 6

1 1

M = 120 60

120 0

1

− m = 0

− 3m

= B6m E 3566 ( 6 = m ( 156

< Si m ≠ 156;M; ≠ 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( = S.).-. *soluci$n única+.

< Si m ( 156 1 1 1 1 1 1 5

M ( 12060

−120 Ma ( 12060

−120 200

120 0 − 360 120 0 − 360 0 ;M; ( 6 = r*M+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz M un menorcomplementario de

orden 5 y distinto de cero% porejemplo:

1 1

120 60

r*Ma+ ( , puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementariode orden y

1 1 5

distinto de cero% por 120 60 200

120 0 0

)omo r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>. *?o soluci$n+.Por esta raz$n, resultar7a imposible "ue las primas por al"uileres #ueran156.666 ptas. Apartado c:

esol!emos el sistema en #unci$n de m:

M =

M x =

1 1

120 60

120 0

5 1

200 60

0 0

1 5

1

− m

− 3m

1

− m

− 3m

1

= 60m − 7200

= −300m → x ==

− 300m 60m − 7200

600m − 24000

M y = 120120

1

200

0

1

− m− 3

m

5

= 600m − 24000 → y = =

−12000

60m − 7200

M z =

Apartado d:

120 60

120 0

200

0

= −12000 → z = =60m − 7200

Si la prima de al"uileres hubiera sido de 56.666 ptas, tendr7amos: m ( 56


16/31

M xM M y

M

M zM

x = = − 300m

= 1 %

y =60m − 7200

= 600m − 24000

= 2 % z

=60m − 7200

= −12000

= 260m − 7200

)on lo "ue habr7a !endido 1 piso nue!o, 5 pisos usados y realizado 5 al"uileres.


17/31

Septiembre 01:

Sean las matrices: A ( 1 1

a 1

a 6

1

z

% 9 ( % ) ( 1 x

y % - ( z

6 z

Sabiendo "ue A9 ( 5) E -, plantea un sistema de ecuaciones y inc$/nitas *representadas porx, y, z+ donde a es cierto !alor desconocido.Si se supiera "ue el sistema tiene soluci$n, Npodr7amos descartar al/ún !alor de aSi se supiera "ue el sistema tiene soluci$n única, Npodr7amos descartar al/ún !alor de aNTay al/ún !alor de a para el "ue el sistema ten/a ms de una soluci$n

14

Solución:Apartado a:)omo sabemos "ue A9 ( 5) E -, tendremos:

a 1 1 z

ax + y

2 − z

x 1 a ⋅ = 2 1 − z → x + ay = 2 − z

y 1 0

0 z

x − z

ax + y = 2 − z

0ue/o: x + ay = 2 −

z

x = − z

ax + y + z = 2

→ x + ay + z = 2

x + z = 0

-iscutimos el sistema, analizando el ran/o de la matriz de coe&cientes y de laampliada:

a

M ( 1

1

a

1 1 a 1 0 1 1

aMa ( 1

1

1 1 2 a 1 2 0 1

M = 1

1

a 1 = a 2 − a = 0

0 1

→ Ka ( 6L , Ka ( 1L

< Si a ≠ 6 y a ≠ 1:r*M+ ( r*Ma+ (

< Si a ( 6:

M (

1 0

1 0 1

0 1 r ( M ) = 2 pues ∃ ≠ 0

1 0

0 1 2

→ S. >.

r ( M a

< Si a ( 1:

) = 3 pues ∃ 1 0

1 0

2 ≠ 0

0

1

M ( 1 1

1 1

1 1 0

1 1 1 2

Ma ( 1 1 1 2 1 0 1

1 0

1 0

01

1

01 1 2

1 0 1 Ma ( 0 1 2

1 0


18/31

1B

r ( M ) = 2 pues 0 1

∃ ≠ 01 0

→ S. ). >.

r ( Ma

Apartadob:

) = 2 pues ∃ 0 1 ≠ 01 0

Si el sistema tiene soluci$n, es un sistema compatible. Podemos descartar el !alor a( 6 por"ue, entonces:

y + z = 2 x + z = 2

x + z = 0

Apartado c:

la 5a y a ecuaci$n son contradictorias.

Si el sistema tiene soluci$n única, es un sistema compatible determinado. Podemos

descartar, adems del anterior !alor a ( 6, el !alor a ( 1 por"ue, entonces: x + y + z = 2 x + y + z = 2

x + z = 0

Apartado d:

la 1a y 5a ecuaci$n son i/uales y "uedan menos ecuaciones "ue inc$/nitas.

Si el sistema tiene ms de una soluci$n, es un sistema compatible indeterminado. a( 1

Solución:Apartado a:0lamamos x, y, z, al número de unidades de cada tipo "ue ha !endido y m alprecio desconocido del champú anticaspa

x ( n unidades champú normaly ( n unidades champú con!itaminas z ( n unidadeschampú anticaspa

)on lo "ue tendremos:

2 x + 3 y + mz = 1122 x + 56 = 3 y + mz

3 y + mz = 28m

Apartadob:

,ordenamos:

2 x + 3 y + mz = 1122 x − 3 y − mz = −56

3 y + mz = 28m

Junio 02:

8n una #armacia se comercializan tipos de champú de cierta marca: normal, con

!itaminas y anticaspa. Se sabe "ue el precio al "ue se !ende el normal es de 5euros y el de !itaminas es de euros. Se desconoce el precio al "ue se !ende elanticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las !entas de los tipos dechampú el mes pasado #ue de 115 euros y el dinero obtenido en !entas con elchampú normal #ue 4B euros in#erior al dinero total obtenido en !entas con el resto.Adems, el dinero total obtenido en !entas con el champú de !itaminas y elanticaspa #ue el mismo "ue el "ue hubiera obtenido !endiendo 52 unidades delanticaspa y nin/una de los dems.

a+Plantea un sistema de ecuaciones *en #unci$n del precio desconocido del champúanticaspa, "ue puedes llamar por ejemplo m+ donde las inc$/nitas * x, y, z+ sean lasunidades !endidas el mes pasado de cada tipo de champú.

b+NRu' puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de unestudio de la compatibilidad del sistema


19/31

Septiembre 02:

Sean las matrices A ( 1

1 51

1

5 , a

Sea el sistema de ecuaciones con tres inc$/nitas cuya matriz de coe&cientes es A y de t'rminosindependientes 9. NPuede para al/ún !alor de a no tener soluci$n este sistema NPara "u' !alores de a elSi la matriz de coe&cientes es A pero la de t'rminos independientes es ), Nes posible "ue para al/ún !alor

13

2

M ( 2

0

3 m

− 3 − m 3

2

% Ma ( 2

0

3 m

− 3 − m

3 m

112

− 56 28m

2 3

2 − 3

0 3

2 3

m

− m = 0

m

112

2 3

= r *M+ ( 5, pues ∃ ≠ 00 3

2

0

< Si m (

:

− 3 − 56

3 28m

( EBm J 1662 ( 6 = Km ( L

r*M+ ( r*Ma+ ( 5 n inc$/nitas = S.).>. *>n&nitas soluciones+

< Si m ≠ :r*M+ ( 5 ≠ r*Ma+ ( = S.>. *no hay soluci$n+

Apartado c:)omo "ue m ( y sabemos "ue z ( 56, el sistema se con!ierte en:

2 x + 3 y + mz = 112

2 x + 3 y + 3 z = 112

2 x + 3 y + 60 = 112

2 x + 3 y = 52

2 x − 3 y − mz = −56 → 2 x − 3 y − 3 z = −56 → 2 x − 3 y − 60 = −56 → 2 x − 3 y = 4 = Kx ( 1, y ( 2L

3 y + mz = 28m 3 y + 3 z = 84 3 y + 60 = 84 3 y = 24


− x + 2 y − z = 0

8l sistema ser: x + y + 2 z =

a

3 x − 3 y + az = a

, siendo:

−1 2

M ( 11

3 − 3

−1

2

−1 2

% Ma ( 11

3 − 3

−1 0

2 a a

;M; ( Ea J 15 ( 6 = Ka ( L< Si a ≠ :

r*M+ ( r*Ma+ ( ( no de inc$/nitas = S.).-. *Soluci$n única+

< Si a ( :r*M+ ( r*Ma+ ( 5 n de inc$/nitas = S.).>. *>n&nitas

soluciones+ Apartado b:8l sistema ser homo/'neo:

m

a a


20/31

Junio 03:

0a matriz de coe&cientes de un sistema es 11

1 5aa

1

1

a y la de t'rminos independientes 1 1 5a

NPara "u' !alor o !alores de a el sistema no tiene soluci$nPara cierto !alor de a un indi!iduo encontr$ 5 soluciones del sistema. N)unto !al7a a NHen7a ms solucion8ncuentra un !alor de a para "ue el sistema ten/a una única soluci$n y, para dicho !alor, resu'l!elo.

15

15

15

15

12

− x + 2 y − z = 0 x + y + 2 z = 0

3 x − 3 y + az = 0

, siendo:

−1 2

M ( 11

3 − 3

−1

2

−1 2

% Ma ( 11

3 − 3

−1 0

2 0 a

Un sistema homo/'neo siempre es compatible y tiene, al menos, la soluci$n tri!ialKx ( 6, y ( 6, z ( 6L.)uando ;M; ( 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( 5 n de inc$/nitas = S.).>. *>n&nitassoluciones+

< Si a ( :− x + 2 y − z = 0 x + y + 2 z = 0

3 x − 3 y + 4 z =

0

→ x =

− 5 z

,3 y =

− z 3

, z = z

F si z ( 6 = Kx ( 6, y ( 6, z ( 6L

F si z ( 1 =Kx(

F si VV

−5,y(

3

−1, z(1L

3

Solución:Se trata de analizar la compatibilidad del sistema en #unci$n del !alor del parmetro

a. Para ello escribimos la matriz de los coe&cientes M y la matriz ampliada con lost'rminos independientes Ma:

1 2 1

M ( 1 a a

1 4a

1 2

Ma ( 1a

1 4a

1 1

a 1 1 2a


1 2

M = 1 a

1 4a

1

a ( Ea5 J Ba E 5 ( 6 = Ka ( 15L , Ka ( 1L

1

< Si a ≠ W y a ≠ 1;M; ≠ 6 = r*M+ ( r *Ma+ ( = S.).-. *soluci$n única+< Si a ( W

1 2 1

M ( 1

1 2

1 2

Ma ( 1

1 2

1 1

1 1

a 0

1

1 1


21/31

5

15

Septiembre 03:

Sean las matrices: A ( 6 1

1 1 xz 6

x

6 , 9 (

1 6y 6

, ) ( 6

6y6

6

1

6

z , - ( 1 , 8 ( a . 6 6 1 a

Sabiendo "ue *A9 E )+ - ( 58, plantea un sistema de ecuaciones y inc$/nitas *representadaspor x, y, z+ en #unci$n de a.NPara al/ún !alor de a el sistema tiene soluci$n única

Para a ( 6 encuentra una soluci$n del sistema con z 6.

1C

r*M+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz M un menor complementariode orden 5 y

1

distinto de cero% por ejemplo: 1 .

r*Ma+ ( 5, puesto "ue no es posible encontrar en la matriz Ma un menorcomplementario de orden y distinto de cero.Por tanto, S.).>. *in&nitas soluciones+< Si a ( 1

M (

1 4

1 4 1


1 2

distinto de cero% por ejemplo: .1 1


1 2 1

distinto de cero % por 1 1 1

1 4 2

Por tanto, S.>. *no soluciones+Apartado a:

Para "ue el sistema no ten/a soluci$n, ha de ser incompatible% portanto a ( 1. Apartado b:Para "ue el sistema admita dos soluciones, ha de admitir in&nitas y ser compatible

indeterminado% por tanto a ( 15Apartado c:Para "ue el sistema ten/a soluci$n única ha de ser compatible determinado% portanto a ≠ 1 y a ≠15.Supon/amos a ( 6:

M (

1 0

1 0 1

x + 2 y + z = 1

8l sistema ser: x = 1

x + z = 0

= K x ( 1, y ( W, z ( E1 L

Solución:Apartado a:8#ectuamos las operaciones indicadas para poder plantear el sistema:

1 2

1 2 1 1 2 1 1

1 1 1 Ma ( 1 1 1

1 0

1 2 1 1 2 1 1

1 0 0 Ma ( 0 0 1


22/31

56

1 1 x 0

x z

y z

AB = 0 0 ⋅

=

0

0 0

0 1

y 0 x y

x y z x 0

0 0

y z

AB − C = 0 0 0 − 0 − y

− z = 0

y z

x y 0 0

xy 0 y z 1

y + z

( AB − C ) D = 0

y z ⋅1 =

y + z

0 x y 0

z

1

x + y + z

2 E = 2 a = 2a a 2a

Por tanto, para "ue se cumpla *A9 E )+ - ( 58 y + z 0 y + z = 0 y + z = 2a → y + z = 2a x + y + z

Apartado b:

2a

x + y + z = 2a



M (

1 1

1 1 1

2a


0 1 1

M = 0 1 1 = 01 1 1

< Si a ≠ 6


0 1distinto de cero% por ejemplo:

1 1


0 1

distinto de cero: 0 1

1 1

0

2a = 2a

2a

)omo r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>. *?o soluci$n+.< Si a ( 6

r*M+ ( 5, puesto "ue no !ar7a.r*Ma+ ( 5, puesto "ue no es posible encontrar un menor complementario de orden y distinto de

0 1 1 0

cero en Ma ( 0 1 1 0

1 1 1

1 z

0 z

z

0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 Ma ( 1 1 2a

1

0


23/31

)omo r*M+ ( r*Ma+ n de inc$/nitas = S.).>. *>n&nitas soluciones+.8n nin/ún caso el sistema tiene soluci$n única, puesto "ue para nin/ún !alor de aresulta ser compatible determinado.


24/31

M xM

M yM

51

Apartado c:Si a ( 6,tenemos:

y + z = 0 y + z = 0

x + y + z = 0

y + z = 0→

x + y + z = 0

y = − z →

x + y = − z → Kx ( 6, y ( E@, z ( @L

Una posible soluci$n con z ≠ 6 ser7a: Kx ( 6, y ( E3, z ( 3L

Solución:Apartado a:Si llamamos x, y, al número de #otos realizadas en calidades normal y $ptima,respecti!amente, tendremos:

x + y = 2402 x + Ay = 92


1 1 M (

02 1 1

1Ma (

02

1 24

A 92

M =

< Si A ≠ 6.5

02= A − 02 % ;M; ( 6 = A ( 6.5

A

r*M+ ( 5, puesto "ue ;M; ≠ 6r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementariode orden 5 y

distinto decero:

1

02

24

92 = 44

)omo r*M+ ( r*Ma+ = S.).-.esol!emos el sistema utilizando la re/la de )ramer% para ello calculamos los !aloresde:

24 1 1 24 M x = ( 5A FC.5 %

M y = ( .

92 A 02 92

x =

< Si A ( 6.5

= 24 A − 92

% y = A − 02 =44

A − 02

r*M+ ( 1, puesto "ue ;M; ≠ 6r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementariode orden 5 y

distinto decero:

1

02

24

92

( .

)omo r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>.*no hay soluciones+

Junio 04:

Un indi!iduo realiza #oto/ra#7as con una cmara di/ital. Sabe "ue cada #oto/ra#7a decalidad normal ocupa siempre 6X56 me/abytes de memoria. )ada #oto/ra#7a decalidad $ptima ocupa siempre una cantidad A de me/abytes, pero el indi!iduo no laconoce. 8sta semana ha lle!ado a re!elar 5 #oto/ra#7as "ue le han ocupado un totalde CX5 me/abytes de memoria.

a+Plantea un sistema de ecuaciones *en #unci$n de A+ donde las inc$/nitas sean elnúmero de #otos de cada clase "ue ha realizado. 8studia la compatibilidad delsistema.

+NTay al/una cantidad de me/abytes "ue es imposible "ue ocupe cada #oto de

A


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Septiembre 04:

Sean las matrices: A ( 5 % 9 ( % ) ( % - ( 16 x5 4 6 1

6 m y 16x m

cula cada uno de los tres productos A9% -8% 89A9 J ) ( -, plantea un sistema de 5 ecuaciones y 5 inc$/nitas *representadas por x, y+ en #unci$n de m. NPara "u' !alor

5

Apartado b+0ue/o resultar7a imposible "ue cada #oto de calidad $ptima ocupe 6X5 me/abytes dememoria. Apartado c:

S7. 8l sistema presenta in&nitas soluciones posibles% !ienen dadas por todos a"uellos!alores de A ≠6, "ue /eneren soluciones enteras para x, y.

Solución:

Apartadoa:

x 2 5 5 x + 2 y 10 x + 4 y

A9 ( 2 (2 (

0 m y my 3 2mym 30 10m -8 ( 10 (3 m) (10

(

m

3m m 2 30m 10m

2

5

89 ( (3 m)

( (15 + my)

Apartadob:

y

10 x + 4 y

0 1 10 x + 4 y

0 10

A9J) ( -=

J (

10 →

J (

→

2my 10 x m

2my 10 x 10m

10 x + 4 y = 102my +10 x = 10m

10 x + 4 y = 10→

10 x + 2my = 10mPara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:

10 4 M ( 10 4Ma ( 10 1010

2m

4

10 2m 10m

M =10

< Si m ≠ 5

= 20m − 402m

% ;M; ( 6 = m ( 5

r*M+ ( 5, puesto "ue ;M; ≠ 6r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menor

complementario de orden 5 y distinto de cero.)omo r*M+ ( r*Ma+ = S.).-. *soluci$n única+

< Si m ( 5

10 4 M ( 10

10Ma (

10

4 10 4 20

r*M+ ( 1, puesto "ue ;M; ≠ 6r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menorcomplementario de

10 10 orden 5 y distinto de cero:

1

4


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5

10 20 ( 166

)omo r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>. *no hay soluciones+


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5

1.5 Problemas propuestos

B1-01:

Una persona dispon7a de B6.666 Y y los reparti$ en tres #ondos de in!ersi$ndi#erentes *A, 9 y )+, obteniendo as7 .466 Y de bene&cios. Sabemos "ue en el#ondo A in!irti$ el doble "ue en los #ondos 9 y ) juntos% sabemos tambi'n "ue elrendimiento de la in!ersi$n realizada en los #ondos A, 9 y ) #ue del 4Z, 16Z y 56Zrespecti!amente.a+Plantear un sistema para determinar las cantidades in!ertidas en cada uno de los #ondos.b+esol!er el sistema anterior.

B1-02:

Parte de los hu'spedes de un pe"ueo hotel se encuentra en el comedor% en elmismo momento otra parte se encuentra en la sala de estar y el resto en labiblioteca. Posteriormente, se desplazan del comedor a la biblioteca, 1 de la sala

de estar al comedor y 5 de la biblioteca a la sala de estar. Ahora, ha "uedado elmismo número de personas en cada una de las tres estancias.

a+Plantear un sistema para determinar cuntas personas se encontrabaninicialmente en cada habitaci$n.

b+esol!erlo para determinar cuntos hu'spedes se alojan en el hotel.

B1-03:

Una tienda de música ha obtenido unos in/resos de 153B2 Y al !ender B66 discoscompactos de tres /rupos musicales. 0os discos se !end7an a 5 Y% sin embar/o, losdel se/undo y tercer /rupo, al ser menos recientes, se !endieron con descuentos del6Z y del 6Z respecti!amente. Sabemos "ue el número de discos !endidos condescuento #ue la mitad "ue el número de discos "ue se !endieron a su precioori/inal.a+Plantear un sistema de ecuaciones para determinar cuantos discos de cada /rupo se !endieron.b+esol!erlo.

B1-04:

8n un pa7s A, existen tres aeropuertos internacionales *A1, A5 y A+% en otro pa7s 9existen * 91, 95, 9 y 9+% y en un tercer pa7s ) existen dos * )1 y )5+.-esde el aeropuerto A1 salen !uelos con destino a 91, 95, )1 y dos !uelos condestino a 9. -esde el aeropuerto A5 salen !uelos con destino a 95, 9 y dos!uelos con destino a 9.-esde el aeropuerto A s$lo sale un !uelo con destino a 9.-esde cada aeropuerto del pa7s 9, salen dos !uelos a cada uno de losaeropuertos del pa7s ). Se pide, expresar mediante matrices:

a+ los !uelos del pa7s A al 9.b+los !uelos del pa7s 9 al ).c+ los !uelos del pa7s A al ), necesiten o no e#ectuar transbordo en el pa7s 9.

B1-05:

8l cruce de carreteras es"uematizado en el dibujo indica el número de cocheshora"ue transita por cada tramo de carretera, de direcci$n y sentido único.

a+Si se suspende el tr&co en el tramo A9 por obras, N"u' número de !eh7culos han detransitar por los tramos A) y 9)

b+NPodr7a cerrarse al tr&co el tramo A) NI el tramo )9 NPor "u'


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B1-06:

Una empresa ha !endido 5666 art7culos de papeler7a, bol7/ra#os, /omas yrotuladores, al precio de 1.5, 1.4 y 5 Y respecti!amente. 8l total de los in/resosproducidos por esas !entas asciende a B666 Y. Se sabe, adems, "ue el número debol7/ra#os "ue se ha !endido es el 6Z del número total del resto de art7culos!endidos.a+Plantear un sistema para determinar el número de cada tipo de art7culos !endidos.b+esol!erlo.

B1-07: 0 1 0

Sea la matriz A ( 0

10 1 0

a+)omprueba"ue: A

T = A −1

b) )alcula el !alor de ( A ⋅ AT )566

B1-08:

2 x − y + z = 2

-iscute el si/uiente sistema en #unci$n de los !alores a.ax − y + z = 1

x + ay + z = 0

B1-09: 1 2

Sea la matriz: A ( 0 Tallar las matrices 9 "ue conmuten con A% es decir: AO 9 ( 9O A

B1-10:

Sea el sistema de dos ecuaciones con dos inc$/nitas y un parmetro n:

n 2 x − ny = 1

n

2 (2n −1) x − y = 4n

a+expr'salo en #orma matricialb+discútelo se/ún los !alores del parmetro n.c+determina su soluci$n para n ( 5.

B1-11:

0

1


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6 x − 9 y + 2 z = 5-adas las si/uientes ecuaciones

2 x − 3 y + z = 4

, se pide:

a+aade una ecuaci$n para "ue el sistema resulte ser incompatible.b+aade una ecuaci$n para "ue el sistema resulte ser compatible

determinado. [usti&ca las respuestas.

B1-12:

Una librer7a ha !endido C66 libros de matemticas, correspondientes a treseditoriales di#erentes, A, 9, y ). Sabemos "ue de la editorial 9 se han !endido eldoble de ejemplares "ue de la editorial A. Sabemos, tambi'n, "ue la raz$n entre elnúmero de ejemplares !endidos de las editoriales 9 y ) es i/ual a 5.Plantear un sistema para determinar el número de libros !endidos de cada editorial.esol!erlo.

B1-13:Una editorial !a a lanzar al mercado tres libros de bolsillo 01, 05 y 0. 8l importetotal de la edici$n es de 12346 Y. 0os costes, en euros, por unidad, son 3, 4 y B,respecti!amente.Se sabe "ue el número de ejemplares de 0 es i/ual a los dos s'ptimos de los deltipo 05 y "ue, si al triple del número de ejemplares de 01 se le suma el número deejemplares de 0 , se obtiene el doble de ejemplares de 05.a+Plantea un sistema de ecuaciones para a!eri/uar cuntos libros de cada tipo se han editado.b+esuel!e dicho sistema.

B1-14: − 3 2 2 2 1 0

Sean las matrices: ) ( 1 0

−1 0 1

, - ( −11

2 0

−1

a+ Tallar: )E1 y -E1

b+)alcular la matriz in!ersa de )O -c+ )omprobar "ue *)O -+E1 ( -E1 O )E1

B1-15:

Un autobús urbano transporta en hora punta C6 !iajeros de tres tipos: !iajeros "uepa/an el billete entero, "ue !ale 1 Y% estudiantes "ue tienen un 54Z de descuento alpresentar el carnet% jubilados de la localidad "ue únicamente pa/an el 46Z delprecio del billete. 0a recaudaci$n del autobús en ese !iaje #ue de B Y. )alcula el

número de !iajeros de cada clase sabiendo "ue el número de jubilados era el mismo"ue el número del resto de !iajeros.

B1-16: 2 1 2

Sea la matriz A ( 2

− 50 −1 .

−1 )alcula, si existen, las si/uientes matrices:

a) Una matriz \ tal "ue \O A

( (1 0 1 0

β)Una matriz I tal "ue AO I (

0 1

−1)1

B1-17:ax − y = 2 − a

)onsidera el si/uiente sistema de ecuaciones lineales: 2 x − (a +1) y = 2

0

1

0

0


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a+8xpr'salo en #orma matricialb+8nuncia el Heorema de ouch'F]r^benius.b+ NPara "u' !alores de a el sistema resulta ser compatible y determinado NPara

"u' !alores es compatible e indeterminado NPara "u' !alores es incompatible

B1-18:

-etermina las matrices A y 9 "ue son soluciones del si/uiente sistema matricial: − 8 7 −1

11 7 4

A F 59 ( 9

−18 1 5A J 9 ( −8 2

17

14 9 −14 14 −1 −14

B1-19:

4 x − 4 z = 0

-iscute y resuel!e, cuando sea posible, el si/uiente sistema de ecuaciones: x − y −

az = 0

− x − ay − z = 0

B1-20:

x − y + z = 6

Sea el sistema de ecuaciones:

− x − y + (a − 4) z = 7

x + y + 2 z = 11

a+8xpr'salo en #orma matricial.b+-iscútelo se/ún los !alores del parmetro real ac+esu'l!elo para a (

B1-21:

Una ebanister7a ha #abricado tres tipos de muebles: ban"uetas, sillas y mesas. Parala #abricaci$n de estos muebles, necesit$ utilizar determinadas unidades de maderasde pino, haya y castao, tal y como se indica en la si/uiente tabla:

Pino Tay )asta

9an"uet 1 1 5

Silla 1 1 ,

Mesa 1 5 4

0a ebanister7a ten7a en existencia 66 unidades de madera de pino, B66 unidades

de haya y 1466 unidades de castao% si utiliz$ todas sus existencias, Ncuntasban"uetas, sillas y mesas #abric$

B1-22:

x − 9 y + 5 z = 33

Se considera el sistema: x + 3 y − z = −9

x − y + z = 5

a+esu'l!elo y clasi#7calo en #unci$n del número de solucionesb+-eterminar si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de #orma "ue el

sistema "ue resulta sea e"ui!alente al anterior. azona la respuesta.

B1-23: 1 2 2 −1 0 1

Sean las matrices: A(

0

% 9( 1

% ) ( −1

3

2 2


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esuel!e la ecuaci$n: \A9 E \) ( 5)

B1-24:

8n un jard7n hay 55 rboles entre naranjos, limoneros y membrillos. 8l doble delnúmero de limoneros ms el triple del número de membrillos, es i/ual al doble delnúmero de naranjos.

a+Plantea un sistema para determinar cuntos rboles de cada tipo hay. N8s posible resol!erlob+Si, adems, sabemos "ue el número de naranjos es el doble del de limoneros,

Ncuntos rboles hay de cada tipo

B1-25:

Una empresa ten7a, en el ao 5661, cierto número de empleados, unos hombres yotros mujeres. 8n el ao 5665 aumentaron en 4 los trabajadores de la empresa y enB el número de trabajadoras, "uedando as7 doble número de mujeres "ue dehombres. 8n el ao 566 aumentaron en 5 las trabajadoras y se redujo en elnúmero de trabajadores, resultando "uedar el triple de mujeres "ue de hombres.Plantea un sistema para determinar el número de hombres y mujeres "ue trabajanen dicha empresa en el ao 566. esu'l!elo si es posible.

Matrices Sistemas

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