Ejercicios -Matrices Determinantes Sistemas de Ecuaciones

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Ing. Silvana Castillo UNSa. Facultad de Ingeniería ALGA(21-09-12) Segundo Cuatrimestre-Comisión 4 MATRICES-SISTEMAS DE ECUACIONES-DETERMINANTE Ejercicio Nº 1 : Escribe la matriz A ij siendo: a) Aij=2i-j La matriz A es de 4x5: a 11 =2-1=1 a 21 =4-1=3 a 31 =6-1=5 a 41 =8-1=7 a 12 =2-2=0 a 22 =4-2=2 a 32 =6-2=4 a 42 =8-2=6 a 13 =2-3=-1 a 23 =4-3=-1 a 33 =6-3=3 a 43 =8-3=5 a 14 =2-4=-2 a 24 =4-4=0 a 34 =6-4=2 a 44 =8-4=4 a 15 =2-5=-3 a 25 =4-5=-1 a 35 =6-5=1 a 45 =8-5=3 b) Aij=(1+2i) j-1 La matriz A es de 4x3: a 11 =3 0 =1 a 21 =5 0 =1 a 31 = 7 0 =1 a 41 =9 0 =1 a 12 =3 1 =3 a 22 =5 1 =5 a 32 = 7 1 =7 a 42 =9 1 =9 a 13 =3 2 =9 a 23 =5 2 =25 a 33 =7 2 =49 a 43 =9 2 =81 Ejercicio Nº 2 : Dadas las siguientes matrices: Calcula si fuera posible: a) 3B-C T 3B-C T = - = b) AB-2B 1

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ejercicios de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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UNSa

Ing. Silvana Castillo

UNSa. Facultad de Ingeniera

ALGA(21-09-12)Segundo Cuatrimestre-Comisin 4MATRICES-SISTEMAS DE ECUACIONES-DETERMINANTEEjercicio N 1: Escribe la matriz Aij siendo:

a) Aij=2i-j

La matriz A es de 4x5:

a11=2-1=1 a21=4-1=3 a31=6-1=5 a41=8-1=7

a12=2-2=0 a22=4-2=2 a32=6-2=4 a42=8-2=6

a13=2-3=-1 a23=4-3=-1 a33=6-3=3 a43=8-3=5

a14=2-4=-2 a24=4-4=0 a34=6-4=2 a44=8-4=4

a15=2-5=-3 a25=4-5=-1 a35=6-5=1 a45=8-5=3

b) Aij=(1+2i)j-1

La matriz A es de 4x3:

a11=30=1 a21=50=1 a31= 70=1 a41=90=1

a12=31=3 a22=51=5 a32= 71 =7 a42=91=9

a13=32=9 a23=52=25 a33=72=49 a43=92=81

Ejercicio N 2: Dadas las siguientes matrices:

Calcula si fuera posible:

a) 3B-CT

3B-CT=-=

b) AB-2B

AB-2B=-=

c) CBCB=

EMBED Equation.3 =

d)-2A-BC

-2A-BC=-

EMBED Equation.3 =-=

e) Tr(A)

f) A2

g) CTBTCTBT =

=

h) Es cierto que (BC)T=CTBT?

BC=

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 ( (BC)T=

(BC)T= CTBTEjercicio N 3: Justifica porque A.B=A.C no implica necesariamente que B=CEsta afirmacin es falsa ya que es la ley cancelativa de nmeros aplicada a matrices. Esta proposicin no se cumple en todos los casos solo para matrices comutables o permutables. Doy un contraejemplo:Sean:

AB=AC pero B(C; no se cumple la ley cancelativa

Ejercicio N 4: Una matriz cuadrada A es IDEMPOTENTE si, y solo si A2=A. Verifique que la matriz que se da es idempotente y calcule rpidamente A2.346.009

EMBED Equation.3

A2346009=A2(1173004)A1=A.A=A2=AEjercicio N 5: Verifique que (AB)C=A(BC) tomando las matrices siguientes:

BC=

=(AB)C

Luego: (AB)C=A(BC)Ejercicio N 6:Diremos que una matriz P es nilpotente si, y solo si Pn=0.Determine el ndice de nilpotencia de la siguiente matriz, y calcule muy rpidamente P2.346.009

Luego P3=0, donde n=3 es el grado de nilpotencia

Entonces P2.346.009= P3(782003)=0Ejercicio N 7: Si AB=BA diremos que A y B conmutan(o que son conmutables).Ahora Ser cierto en matrices que: A2-B2=(A+B)(A-B)?Y si no se cumple?Partiendo de:

A2-B2=(A+B)(A-B)=A.A-A.B+B.A-BB=A2-AB+BA-B2 Se cumple la igualdad si y solo si AB=BA o sea si A y B son conmutables. En caso contrario no se cumple.

Ejercicio N 8: Dadas las matrices A y B, calcula:

a) A3-7A2+11

A3-7A2+11A =- 7+11

A3-7A2+11A =++A3-7A2+11A ==5IAplicando la definicin de Inversa: AA-1=I

A3-7A2+11A=5I

A (A2-7A+11I)=5I(

A-1==

==

b) (B+3I)2.(B-6I)=(B2+6B+9I)(B-6I)=B3-6B2+6B2-36B+9B-54I= B3-27B-54I

Luego: B3-27B-54I=0( B3-27B=54I Aplicando la definicin de matriz inversa:

Verificacin:

Ejercicio N9: D respuestas razonadas, claras y concisas a las preguntas siguientes:a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incgnitas Puede ser incompatible?Por ejemplo:

b) Un sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas Puede ser compatible determinado?Puede ser compatible indeterminado? Si alguna de las respuestas es negativa, razonarlo; si es afirmativa mostrar un ejemplo.

Un sistema de ecuaciones con tres incgnitas no puede ser determinado pues necesitaramos tres ecuaciones con tres incgnitas Puede ser compatible indeterminado por ejemplo:

c) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incgnitas Puede ser compatible y determinado? En caso afirmativo dar un ejemplo.

Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incgnitas puede ser compatible, por ejemplo:

Cs= {(5/2,-1/2)}Ejercicio N10 : Dado el sistema:

a) Aada una ecuacin de modo que el sistema resultante sea incompatible(Resolver y verificar!!!!)

b) Aada una ecuacin de modo que el sistema resultante sea indeterminado(Resolver y verificar!!!!)

c) Aada una ecuacin de modo que el sistema resultante sea determinado(Resolver y verificar!!!!)

Ejercicio N 11: Aplicando Algoritmo de Gauss, resuelve los sistemas siguientes:

a)

Cs={(4,-1,-1) El sistema es compatible determinadob)

Cs={(0,0,0) Es la solucin trivialc)

d)

Cs=(Ejercicio N 12: Determina los valores (reales) de la constante k para que el sistema dado tenga: a)Solucin nica(darla) b)Infinitas soluciones(hallar la solucin general)c)Ninguna Solucin

1)

a) Solucin nica(k(R; k2( k-5 z (k-2)(k+5)=4(k-2)(

-2y-(3+k)z=-4(

x+2y+zk=1(

b) Infinitas soluciones: k=2

Elijo z variable libre:Cs= {(-7z-3,5/2z+2, z)}

c) Ninguna Solucin: k= -5

2)

a) Solucin nica

(k(R; k17 z (k-17)=9-5k(

7y+(2-3k)z=k-6(

x+2y+z k=1(

b) Infinitas soluciones: ( k que cumpla esta condicinc) Ninguna Solucin: k= 173)

a) Solucin nica

(k(R; k1( k--2

z (1-k)2(k+2) =(1-k)2(

(1-k2)y+(1-k)z=(1-k)(

x+ky+z=1(

b) Infinitas soluciones: k=1

3variables-1ecuacin=2variables libres

Elijo z e y variables libres:

Cs= {(1-y-z ,y, z)}

c) Ninguna Solucin: k=-2 Cs=

Ejercicio N 13: Slo usando propiedades de determinantes y la definicin de matriz singular, concluir que la matriz A dada es singular:

A es singular si y solo si

Ejercicio N14: Enuncie aquellas propiedades de determinante que justifican las igualdades siguientes:a) =

b)

c)

Ejercicio N15: Usando propiedades del determinante, determina todas las races factorizando alguna lnea del primer miembro. Verifica los resultados obtenidos mediante la Regla de Sarrus.a)

Las races son: x1,2=-2(doble) y x3=4Verificacin por Regla de Sarrus:

Para x=-2

Para x=4

b)

Las races son: x1,2=1(doble) y x3=5

Verificacin por Regla de Sarrus:

Para x=1

Para x=5

c)

Las races son: x1=1(doble) y x2,3=2(doble)Verificacin por Regla de Sarrus:

Para x=1

Para x=2

Ejercicio N16: Dada la matriz M calcula su determinante mediante:

a) Desarrollo por la primera fila

b) Desarrollo por la segunda columna

c) Aplicando Regla de Sarrus

d) Aplicando el Algoritmo de Gauss:

Ejercicio N17: Dadas las matrices B y C, calcule sus determinantes usando: a)Propiedad de hacer cerosb)Algoritmo de Gauss

1)

a) Propiedad de hacer ceros

b) Algoritmo de Gauss

2)

a) Propiedad de hacer ceros

b) Algoritmo de Gauss

=28

Ejercicio N18: Dada la matriz que se indica:a) Calcula la matriz de Cofactores de A

(Matriz Cofactor de A)

b) Calcula la matriz adjunta de A.

c) Si existe, calcula la matriz Inversa de A

Determinamos el Determinante de A (Por Sarrus):

(( A-1

d) Si X y B designan vectores columnas genricos, despeje en forma terica la incgnita x de la ecuacin matricial

AX=B

AX=B multiplicando en ambos miembros por A-1A-1AX=A-1B por definicin de matriz inversa A-1 A= A. A-1=IX= A-1Be) Escalone la matriz (A(I), obtenida ampliando A con la matriz unidad I, mediante Algoritmo de Gauss y tambin operaciones elementales sobre las filas hasta llevarla a la forma escalonada Reducida (I(C) y compruebe que C=A-1(Este es el que llamaremos Mtodo de Gauss para hallar la matriz inversa En que momento puede asegurarse que la matriz es inversible o no?).Aplicando el Mtodo de Gauss-Jordan:

Aplicando El Algoritmo de Gauss:

Ejercicio N19: Resuelva los sistemas dados por Regla de Cramer y usando matriz inversa:a)

1) Por la Regla de Cramer

Determinante del Sistema

Determinantes sustitutos

Cs={(1,2,3)}2) Por el Mtodo de la Matriz Inversa

X=A-1.BDeterminamos la inversa de A con el mtodo de Gauss Jordan:

Cs={(1,2,3)}b)

1)Por la Regla de Cramer

Determinante del Sistema

Determinantes sustitutos

Cs={(1,-1,1,-1)}3) Por el Mtodo de la Matriz Inversa

X=A-1.B

Determinamos la inversa de A con el mtodo de Gauss Jordan:

Cs = {(1,-1, 1,-1) }Ing Silvana Castillo EMBED Equation.3

A (BC)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

AB

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

P. P. P

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

A. A

A3

A2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

A-1

EMBED Equation.3

A. A-1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

B. B

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

B3

B2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

B-1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

B. B-1

EMBED Equation.3

( -18z=18(

z=-1

( 3y=-3(

y=-1

( x+y-z=4(

x=-y+z+4(

x=4

x=0

x=-2y-3z (

( x+2y+3z=0(

y=0

z=0

( -3y-3z=0(

( 12z=0(

EMBED Equation.3

( x+2y+2z=1( x=-2(5/2z+2)-2z+1=-5z-4-2z+1=-7z-3

( -2y-5z=-4( y=5/2z+2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

( -4z =0( z=0

( -30z=0 ( Cs={(1/3,-2/3,0)}

( 64z=3( z=3/64

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

( x+y+z=1( x=1-y-z

EMBED Equation.3

(-1)

+

EMBED Equation.3

(-1)

+

EMBED Equation.3

(-1)

(-1)

(-1)

+

EMBED Equation.3

(x2)

(x-2)

EMBED Equation.3

(x2)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

( 0(-2 ( Cs=(

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

X=A-1B

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

X=A-1B

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

( -3y-4z=-2 entonces y=-2/3

( x-y+z=1 entonces x=1/3

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