8/18/2019 Matrices Sistemas
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M xM
M yM
M zM
1
Matrices, determinantes y sistemas deecuaciones
1.1 Problemas PAU
Solución:
Apartado a:Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y nios, respecti!amente, "ue#ueron de excursi$n, tendremos:
x + y + z = 20 x + y = 3 z
y +1 = x
Apartado b:
%ordenamos:
x + y + z = 20 x + y − 3 z = 0
− x + y = −1
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
1 1
M ( 1 1 −1 1
1 1
1
− 3
1
1 1 1
Ma ( 11 − 3
−1 1 0
20
0 −1
)omo M = 1 1
−1 1− 3 = 8 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.
0
esol!emos el sistema utilizando la re/la de )ramer% para ello calculamos los !aloresde:
20 1
M x = 0 1−1 1
1
− 3 = 64 %
0
1 20
M y = 1 0−1 −1
1
− 3 = 56%
0
1 1
M z = 1 1−1 1
20
0 = 40
−1
x = = 64
= 8 % y =8
= 56
= 7 % z =8
= 40
= 58
0ue/o, habrn asistido 2 hombres, 3 mujeres y 4 nios a la excursi$n.
Solución:Apartado a:Si llamamos x, y, z, a la puntuaci$n obtenida en cada pre/unta, respecti!amente,tendremos:
Junio 94:
Un /rupo de personas se reúne para ir de excursi$n, juntndose un total de 56 entrehombres, mujeres y nios. )ontando hombres y mujeres juntos, su número resultaser el triple del número de nios. Adems, si hubiera acudido una mujer ms, sunúmero i/ualar7a al de hombres.a+Plantear un sistema para a!eri/uar cuntos hombres, mujeres y nios han ido de
0
Septiembre 94:)ierto estudiante obtu!o, en un control "ue constaba de pre/untas, unacali&caci$n de 2 puntos. 8n la se/unda pre/unta sac$ dos puntos ms "ue en laprimera y un punto menos "ue en la tercera.
a+Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuaci$n obtenida en
cada una de las pre/untas.
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M xM
M yM
M zM
ptiembre 94 (bis): la matriz A de coe&cientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y 9 la matriz de sus t'rminos independiente
A ( a 5
a a 1 9 (
Plantea al/ebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.-iscute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.
5
x + y + z = 8 y = x + 2
y = z −1
Apartado b:
,ordenamos:
x + y + z = 8− x + y = 2
y − z = −1
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
M (
0 1
1 1
−1
1
0 1
−1 −1
M = −1 1
0 1
0 = −3 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.−1
esol!emos el sistema utilizando la re/la de )ramer% para ello calculamos los !aloresde:
8 1
M x = 2 1−1 1
1
0 = −3 %
−1
1 8
M y = −1 20 −1
1
0 = −9 %
−1
1 1
M z = −1 10 1
8
2 = −12
−1
x = = − 3
= 1 % y =− 3
= − 9
= 3 % z =− 3 =
−12= 4− 3
0ue/o, habr obtenido 1 punto en la primera pre/unta, en la se/unda y en latercera.
Solución:Apartadoa:
a − 2 x
4
8l sistema expresado en #orma matricial,ser:
⋅ =
a a −1 y 4 8#ectuando el producto de matrices, y aplicando la de&nici$n de i/ualdad de dosmatrices,
ax − 2 y = 4obtendremos el sistema pedido: .
ax + (a −1) y = 4Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
aM (
a
− 2
a −
aMa (
a
− 2 4
a −1
Analizamos los !alores cr7ticos haciendo ;M; ( 6a − 2
M =a a −1
= 0 → a 2 + a = 0 → a(a +1) = 0 → a1 = 0 % a2 = −1
< Si a ≠ 0 y a ≠ −1;M; ≠ 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( 5 = S.).-. *soluci$n única+.
1 1 1 1 1 1 8
−1 1 0 Ma ( 1 0 2
1
4
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M yM
M zM
,
< Si a = 0
0 − 2 0 − 2 4
M (
0 −1
Ma
(
0
−1
;M; ( 6 = r*M+ ( 1 y r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en lamatriz Ma un menor
− 2complementario de orden 5 y distinto de cero% porejemplo:
−1< Si a = −1
4. Por tanto, S.>. *?o soluciones+.
4
−1M (
−1
− 2
−
2
−1 − 2 4 Ma (
−1 − 2
;M; ( 6 = r*M+ ( 1 y r*Ma+ ( 1, puesto "ue no es posible encontrar en la matrizMa un menor complementario de orden 5 y distinto de cero. Por tanto, S.).>.*>n&nitas soluciones+.
Solución:
Apartado a:Si llamamos x, y, z, al número de @/. comprados de patatas, manzanas y naranjas,respecti!amente, tendremos:
100 x +120 y +150 z = 1160 x + y + z = 9
y +1 =
z
Apartado b+
simpli&camos:
10 x +12 y +15 z = 116 x + y + z = 9
y − z = −1
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientes
M y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
10 12 15 10 12
15 116
M ( 1 1 1 Ma ( 1 1 1 9 0 110 12
−1 15
0 1 −1 −1
)omo M = 1
0
1 1
1 −1
= 7 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.
esol!emos el sistema utilizando la re/la de )ramer% para ello calculamos los !aloresde:
M x =116 12
9 1
−1 1
15
1 = 14 %
−1
10
M y = 10
116
9
−1
15
1 = 21 %
−1
10
M z = 10
12 116
1 9
1 −1
= 28
x = = 14
= 2 % y =7 =
21= 3 % z =
7
= 28
= 47
Por tanto, habr comprado 5 @/. de patatas, @/. de manzanas y @/. de naranjas.
4
4
Junio 95:
Un ama de casa ad"uiri$ en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas ynaranjas a un precio de 166, 156 y 146 ptas@/., respecti!amente. 8l importe totalde la compra #ueron 1.1B6 ptas. 8l peso total de la misma, C @/. Adems, compr$ 1@/. mas de naranjas "ue de manzanas.a+Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto.
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ptiembre 95:matriz de coe&cientes A, asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales, as7 como la de sus t'rminos independientes 9
A ( 5 4
1
111
1 5
1 9 ( B
15
5
-educe las ecuaciones del sistema indicando las operaciones hechas.Dbt'n, si es posible, la in!ersa de las matrices A y 9. azona las respuestas.
A
:
Solución:Apartadoa:
1 1 1 x
12
8l sistema expresado en #orma matricial, ser: 2 −1 1 ⋅ y = 6
5 1 − 2 z 2
8#ectuando el producto de matrices, y aplicando la de&nici$n de i/ualdad de dosmatrices,
x + y + z = 12
obtendremos el sistema pedido:2 x − y + z = 6
5 x + y − 2 z = 2
Apartadob:
< -eterminaci$n de AE1:
F calculamos eldeterminante:
1
A = 2
5
1 1
−1 1
1 − 2
= 17 ≠ 0
)omo "ue ;A; ≠ 6, la matriz A es in!ersible.F calculamos la matriz adjunta AG , reemplazando cada elemento por el !alor de su menoradjunto:
1 9
A* = 3 − 7
2 1
7
4 − 3 1 3 2
F determinamos la matriz traspuesta de la adjunta: (
A*
)T = 9
7
− 7 1 4 − 3
F la matriz in!ersa ser:
A−1 =
1( A
*)
T 1 31
= ⋅ 9 − 717
7 4
2 1
− 3
< -eterminaci$n de 9E1: no es posible pues 9 no es una matriz cuadrada.
Solución:Apartado a: Henemos"ue:
Junio 96:
8n una con&ter7a en!asan los bombones en cajas de 546 /r., 466 /r. I 1 @/. )iertod7a se en!asaron B6 cajas en total, habiendo 4 cajas ms de tamao pe"ueo *546/r.+ "ue de tamao mediano *466 /r.+. Sabiendo "ue el precio del @/. de bomboneses .666 ptas. y "ue el importe total de los bombones en!asados asciende a
154.666 ptas:a+Plantear un sistema para determinar cuntas cajas se han en!asado de cada tipo.
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M yM
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F precio de la caja de 546 /r. ( 1666 ptas.F precio de la caja de 466 /r. ( 5666 ptas.F precio de la caja de 1 @/. ( 666 ptas.
Si llamamos x, y, z, al número de cajas en!asadas de 546 /r. , 466 /r. y 1 @/.,respecti!amente, tendremos:
x + y + z = 60 x = y + 5
1000 x + 2000 y + 4000 z = 125000
Apartado b:
simpli&camos:
x + y + z = 60 x − y = 5
1 x + 2 y + 4 z = 125
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientes
M y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
1 1 1
1 1
1 60
M ( 1 −1 0 Ma
( 1 −1 0 5 1 2 4 1 1 1
1 2 4 125
)omo M = 1
1
−1 0
2 4
= −5 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.
esol!emos el sistema utilizando la re/la de )ramer% para ello calculamos los !aloresde:
M x =60
5
125
1 1
−1 0
2 4
= −125 % 1 M y = 1
1
60
5
125
1
0 = −100 %
4
1
M z = 11
1 60
−1 5
2 125
= −75
x = = −125
= 25 % y =− 5
= −100
= 20 % z =− 5
= − 75
= 15− 5
Por tanto, se habrn en!asado 54 cajas pe"ueas, 56 medianas y 14 /randes.
Solución:Apartado a:Si llamamos x, y, z, al número de nios, adultos y jubilados, respecti!amente, "ue!isitaron ese d7a la exposici$n, tendremos:
x + y + z = 200 y = x + z
200 x + 500 y + 250 z =
73500
Apartado b:
simpli&camos:
x + y + z = 200 x − y + z = 0
20 x + 50 y + 25 z = 7350
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientes
M y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
Junio 96 (R):
8l precio de entrada a cierta exposici$n es de 566 ptas. para los nios, 466 para losadultos y 546 para los jubilados. 8n una jornada concreta, la exposici$n #ue !isitadapor 566 personas en total, i/ualando el número de !isitantes adultos al de nios y jubilados juntos. 0a recaudaci$n de dicho d7a ascendi$ a 3.466 ptas.
a+Plantear un sistema de ecuaciones para a!eri/uar cuntos nios, adultos y jubilados !isitaron la exposici$n ese d7a.
b+esol!er el problema.
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M yM
M zM
Septiembre 96:-ado el si/uiente sistema de ecuaciones:x y z Bx 5 y 5z 4
5x y z 11Dbt'n su matriz de coe&cientes.)alcula el determinante de la matriz anterior.Sin resol!er el sistema, razonar si tendr soluci$n única.
B
1 1 1
1 1
1 200
M ( 1
−1 1
Ma ( 1
−1 1 0
20 501 1
25 1
20 50 25 7350
M = 1
20
−1 1
50 25
= −10 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.
esol!emos el sistema utilizando la re/la de )ramer% para ello calculamos los !aloresde:
M x =200
0
7350
1 1
−1 1
50 25
= −300%
1
M y = 120
200
0
7350
1
1 = −1000 %
25
1
M z = 120
1 200
−1 0
50 7350
= −700
x = = − 300
= 30 % y =−10 =
−1000= 100 % z =
−10 = − 700
= 70−10
0ue/o, a la exposici$n, habrn acudido 6 nios, 166 adultos y 36 jubilados.
Solución:Apartadoa:
1 1 1
Su matriz de coe&cientes ser: M ( 1
2− 2 2 −1
Apartado b:
1
8l determinante de dicha matriz ser: M = 1
2
Apartado c:
1 1
− 2 2−1 1( E5 E 1 J J J 5 E 1 ( B
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientes
M y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
1
M ( 1
2
1
1 1
− 2 2 −1
1 1
1
Ma ( 1
2
1 1
− 2 2
−1 1
6
5 11
)omo M = 1
2
− 2 2
−1 1
= 6 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.
Por lo "ue el sistema tendr una única soluci$n.
1
1
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Septiembre 97:0a matriz de coe&cientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es:
A ( 51
1 111
15
5
64
Dbtener las ecuaciones del sistema.)alcular el ran/o de la matriz #ormada por los coe&cientes del sistema.Sin resol!er el sistema, deducir razonadamente si admite soluciones y en "u' número.
3
Solución:Apartado a:Si llamamos x e y al número de pa"uetes !endidos de las marcas A y 9,respecti!amente, tendremos:
x + y = 1000500 x + my = 440000
, representando el parmetro m el precio del pa"uete de marca 9.
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
1 1 M (
1Ma (
1 1000
500 m 500 m 440000 Analicemos los !alores cr7ticos haciendo:
;M; ( 6 = m E 466 ( 6 = m ( 466
• si m ≠ 466 = r*M+ ( 5 y r*Ma+ ( 5 = S.).-.*soluci$n única+• si m ( 466 = r*M+ ( 1 y r*Ma+ ( 5, pues es posible encontrar en 'sta, al menos, un menor
complementario de orden 5 distinto de cero. Por
ejemplo: Apartado b:
1
500
1000
440000≠ 0 = S.>. *?o soluci$n+
Se trata de resol!er el sistema para los !alores m ( 66 y m ( 62: x + y = 1000500 x + 400 y = 440000
= Kx ( 66, y ( B66L
x + y = 1000500 x + 408 y = 440000
=Kx(
8000
23
,y(
15000L
23
)omo el número de pa"uetes !endido de cada marca debe ser un número entero, elprecio del pa"uete 9 tiene "ue haber sido 66 pesetas. 8n estas condiciones, sehabr7an !endido 66 pa"uetes de la marca A y B66 pa"uetes de la marca 9.
Solución:Apartado a:
Junio 97:
8n un supermercado !an a poner en o#erta dos marcas de deter/ente *A y 9+. 8lpropietario consulta su libro de cuentas para !er las condiciones de una o#erta
anterior, encontrando la si/uiente in#ormaci$n: el número total de pa"uetes!endidos #ueron 1.666 unidades% el precio del pa"uete A 466 ptas% y el importetotal de la o#erta 6.666 ptas. Pero en sus anotaciones no aparece reejadoclaramente el precio del pa"uete 9.
a+Plantear un sistema para determinar el número de pa"uetes !endidos de cadamarca. -iscutir su compatibilidad.
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2
8l sistema asociado a la matrizdada ser:
x + y + z = 2
2 x − y + 4 z = 0
− x + y + 2 z = 5
1 1 1 x 2
8l mismo sistema, expresado en #orma matricial: 2 −1 4 ⋅ y = 0
Apartadob:
−1 12 z
5
Para calcular el ran/o de la matriz de los coe&cientes del sistema M, calculamos el!alor de su determinante ;M;:
1
M = 2
−1
1 1
−1 4
1 2
( E5 J 5 E E 1 E E ( E1 ≠ 6
)omo "ue ;M| ( 0, sabemos quer(M) = 3 Apartado !
"or e# teorema de $ou%&'rbe+us, sabemos que!
s+ r(M) = r(Ma) = - +./+tas (o#u+. +a)
s+ r(M) = r(Ma) - +./+tas (++tas so#u+oes+
O si r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>. *?o soluciones+)omo "ue ;M; ≠ 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( = S.).-.
Por lo tanto, el sistema admite soluci$n, y 'sta ser única.
Solución:Apartado a:Si llamamos x, y, z, al número de alumnos matriculados en la primera, se/unda ytercera sucursal, respecti!amente, tendremos:
x + y + z = 352
x z = 4
,ordenamos:
x + y + z = 352 x − 4 z = 0
x − y + 2 =
2 z
Apartado b:
x − y − 2 z = −2
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientes
M y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
1 1 1
1 1
1 352
M ( 1 0 − 4 Ma ( 1 0 − 4 0
1 −11 1
− 2 1
1 −1 − 2 − 2
)omo M = 1 0
1 −1
− 4 = −7 ≠ 0 → r*M+ ( r*Ma+ ( → S.).-.
− 2
Junio 98:Una autoescuela tiene abiertas sucursales en la ciudad. 8l número total dematriculados es 45, pero los matriculados en la tercera son s$lo una cuarta partede los matriculados en la primera. Adems, la di#erencia entre los matriculados en laprimera y los matriculados en la se/unda es in#erior en dos unidades al doble de losmatriculados en la tercera.
a+Plantear un sistema de ecuaciones para a!eri/uar el número de alumnosmatriculados en cada sucursal.
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M xM
M yM
M zM
Septiembre 98:
0a matriz de los coe&cientes de un sistema de ecuaciones lineales es: 1a a 1 5
y la de los t'rminos
ndependientes es: . 5
5Plantear las ecuaciones del sistema.8studiar su compatibilidad en #unci$n de los !alores de a. N8n "u' casos tiene soluci$n únicaesol!erlo si a ( 5.
C
esol!emos el sistema utilizando la re/la de )ramer% para ello calculamos los !aloresde:
M x =
352
0
− 2
1 1
0 − 4−1 − 2
= −1400 % 1
M y = 11
352
0
− 2
1
− 4 = −714 %− 2
1
M z = 11
1 352
0 0
−1 − 2
= −350
x = = −1400
= 200 % y =− 7
= − 714
= 102 % z =− 7
= − 350
= 50− 7
0ue/o, habr 566 alumnos matriculados en la primera sucursal, 165 en la se/unda y46 en la tercera.
Solución:Apartado a:
8l sistema asociado a las matricesdadas ser:
x + ay = 2 .
(a +1) x + 2 y = −2
1 a x 2 8l mismo sistema, expresado en #ormamatricial:
⋅ =
Apartadob:
a +1 2 y − 2
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientes
M y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
1 a M (
1Ma (
a 2
a +1 2 a +1 2 − 2 Analizamos los !alores cr7ticos haciendo ;M; ( 6
1 M =
a +1a = 0 = 5 E a5 E a ( 6 = a1 ( 1 y a5 ( E52
< Si a ≠ 1 y a ≠ E5;M; ≠ 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( 5 S.).-. *soluci$n única+.
< Si a ( 1 1 1
M ( 2
1 1Ma (
2 2
2
− 2
;M; ( 6 = r*M+ ( 1 y r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma unmenor
1 2complementario de orden 5 y distinto de cero% por ejemplo: .
2 − 2
Por tanto, S.>. *?o soluciones+.< Si a ( E5
1M (
−1
− 2
1 − 2Ma (
−1 2
2
− 2
;M; ( 6 = r*M+ ( 1 y r*Ma+ ( 1, puesto "ue no es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 5 y distinto de cero.
2
2
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9 ( % ) ( 5z % - ( 6 1
y z 1
Junio 99:
Sean las matrices: A ( 5x x
x
1 %1
1 z 1
donde x, y, z son desconocidos.)alcular las matrices *A9+ J ) y -
Sabiendo "ue *A9+J) ( -, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los !alores de x, y, z.8studiar la compatibilidad del sistema. N)untas soluciones tiene8ncontrar, si es posible, una soluci$n.
16
Por tanto, S.).>. *>n&nitassoluciones+. Apartado c:Si suponemos "ue a ( 5, tendremos "ue:
x + 2 y = 23 x + 2 y = −2
, cuya soluci$n es: Kx ( E5, y ( 5L
Solución:Apartado a:Para multiplicar dos matrices, multiplicamos !ectorialmente las &las de la primerapor cada una de las columnas de la se/unda. Para sumar dos matrices sumamos suselementos correspondientes.As7:
x 1 1 z x + y
z
x + y + z
AO 9 J ) (
2 x−1 ⋅
+ 2 z ( 2 x − y + 2 z ( 2 x − y + 2 z y − x 1 − z
− x + y
− z
− x + y − z
Para multiplicar una matriz por un escalar, multiplicamos cada uno de loselementos de la matriz por dicho escalar. As7:
1 3
- ( 3 0 ( 0 1 1
Apartadob:
3
x + y + z 3
)omo "ue *A9+ J ) ( -, tenemos "ue: 2 x − y + 2 z = 0 ,
x + y + z = 3
lue/o:
2 x − y + 2 z =
0
− x + y − z = 1
Apartado c:
− x + y − z 1
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
1 1
M ( 2 −1 −1 1
1
2 −1
1
Ma ( 2
−1
1 1 3
−1 2 0 1 −1
1
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11/31
11
1 1
)omo M = 2 −1
−1 1
1
2 = 0
−1= r*M+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz M un menor
1 1complementario de orden 5 y distinto de cero% por ejemplo:
2 −1= r*Ma+ ( 5, puesto "ue no es posible encontrar en la matriz Ma un menorcomplementario de orden y distinto de cero:
3 1
0 −1
1 1
1
2 = 0
−1
1 3
2 0
−1 1
1
2 = 0
−1
1 1
2 −1
−1 1
3
0 = 0
1
)omo r*M+ ( r*Ma+ ( 5 = S.).>. *>n&nitas
soluciones+. Apartado d: x + y + z = 3
Una de las ecuaciones es combinaci$n lineal de las otras dos% la eliminamos: − x + y − z = 1
)onsideramos la z como constante y la pasamos, junto a los t'rminosindependientes, al se/undo
x + y = 3 − z miembro:
− x + y = 1+ z Para cada !alor de z, obtendremos una posible soluci$n del sistema.Supon/amos: z ( 6:
x + y = 3tendremos:
− x + y = 1= Kx ( 1, y ( 5L
Septiembre 99:8n el trayecto "ue hay entre su casa y el trabajo, un indi!iduo puede repostar/asolina en tres estaciones de ser!icio *A, 9 y )+. 8l indi!iduo recuerda "ue este mesel precio de la /asolina en A ha sido de 156 ptaslitro y el precio de la /asolina en9 de 112 ptaslitro, pero ha ol!idado el precio en ). *Supon/amos "ue son QmQptaslitro+. Hambi'n recuerda "ue:F la suma del /asto en litros de /asolina en las estaciones A y 9 super$ en B26 ptas.al /asto en ).
F el número de litro de /asolina consumidos en 9 #ue el mismo "ue en ).F el /asto de litros en A super$ al de 9 en 15B6 ptas.
a+Plantea un sistema de ecuaciones *en #unci$n de QmQ+ para determinar los litrosconsumidos en cada /asolinera.
Solución:Apartado a:
Si llamamos x, y, z, al número de litros "ue ha repostado en las /asolineras A, 9y ), respecti!amente, tendremos:
120 x +118 y = mz + 4680 y = z
120 x = 118 y +1260
Apartado b:
120 x +118 y − mz = 4680
, ordenamos: y − z = 0
120 x −118 y = 1260
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientes
M y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma
:
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Junio 00:Sea BA J 5> ( 9 una expresi$n matricial, donde 9 denota una matriz cuadrada de orden 5x5, tal "ue
B1 9 (
1 e >, la matriz unidad de orden correspondiente.
NRu' dimensi$n tiene la matriz A
-etermine los elementos "ue inte/ran la matriz A, esto es, ai, j
Ap,"
.)alcule A J 5>.
1B5
15
120
118 − m
120 118
− m 4680
M ( 0
1 −1
Ma ( 0
1 −1 0
120 −118 0 120 −118 0 1260 Analizamos los !alores cr7ticos haciendo ;M; ( 6
120
M = 0
120
118
1
−118
− m
−1 = 0
0
= E11B6 J 156m E 11B6 ( 6 = m ( 5B
< Si m ≠ 5B;M; ≠ 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( = S.).-. *soluci$n única+.
< Si m ( 5B 120 118 −
236
120
118 − 2364680
M ( 0 1 −1 Ma ( 0 1 −1 0
120 −118 0 120 −118 0 1260 ;M; ( 6 = r*M+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz M un menorcomplementario de
orden 5 y distinto de cero% porejemplo:
120
0
118
1% r*M a+ ( , puesto "ue es posible encontrar en
la matriz Ma un menor complementario de orden y distinto de cero% por ejemplo:
120
0
120
118
1
−118
4680
0
1260
)omo r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>. *?o soluci$n+.Por esta raz$n, resultar7a imposible haber !endido la /asolina a 5B ptas. litro en la/asolinera ).
Solución:Apartado a:Para "ue dos matrices puedan sumarse es necesario "ue ten/an la mismadimensi$n% adems, su suma es otra matriz de la misma dimensi$n "ue las matricessumandos. Por tanto, la matriz A tiene "ue tener dimensi$n 5x5.Apartado b:
)omo BA J 5> ( 9, entonces: BA ( 9 E 5> = A = 1 ( B − 2 I )
6
1 6 1 1 0 1 6 1 2 0 1 4 1 2 1 3 6 A = −
2
(
− (
(
1−1
Apartadoc:
6 3
2
−1 0
1
1
6 3
8
−1 0
2
6 3
− 3 2 2
3 6 1 0 3 A J 5> ( − + 2
0
1 ( 1
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1 1 2 2 2
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14/31
Septiembre 00:1
Sean A (
5 1
y 4 y 9 (
1 x1
zx z dos matrices de orden 5x, en las "ue x, y, z denotan
!alores num'ricos desconocidos.-etermine, razonadamente, los !alores de x, y, z de manera "ue A ( 9.N8s posible el clculo de Ax9 azone la respuesta.
1,
Solución:Apartado a:Para "ue dos matrices sean i/uales es necesario "ue ten/an la misma dimensi$n y,adems, "ue los elementos "ue ocupen la misma posici$n en ambas sean i/uales *
ai, j = bi, j +. Por tanto, si: −1 2 1 −1 x 1
A ( y 9( , entonces:
y 3 5 3 z x + z
A ( 9 =
Apartado b:
2 = x
y = 33 = z Adems, se :er++a que ! 5 = x + z
Para "ue pueda e#ectuarse el producto Ax9 , es necesario "ue el número decolumnas de A sea i/ual al número de &las de 9. )omo "ue la matriz A tiene columnas y la matriz 9 tiene 5 &las, el producto Ax9 ?D puede e#ectuarse.
Solución:Apartado a:0lamamos x, y, z, al número operaciones de cada tipo "ue ha realizado y m a laprima desconocida *en miles de pesetas+:
x ( n !entas de pisosnue!os y ( n !entas depisos usados z ( nal"uileres
)on lo "ue tendremos:
x + y + z = 5120 x + 60 y = mz + 200
120 x = 3mz Apartado
b:
x + y + z = 5
, ordenamos:
x + 60 y − mz = 200
120 x − 3mz = 0
Junio 01:
Un a/ente inmobiliario puede realizar tipos de operaciones: !enta de un pisonue!o, !enta de un piso usado y al"uiler. Por la !enta de cada piso nue!o recibe unaprima de 156.666 ptas. Si la operaci$n es la !enta de un piso usado recibe B6.666ptas. Se desconoce la prima cuando la operaci$n es un al"uiler.8ste mes el número total de operaciones #ue 4. 0a prima total por !enta de pisos #uesuperior en566.666 ptas. a la obtenida por al"uileres, y la prima total por !enta de pisos nue!os#ue el triple "ue por al"uileres.
a+Plantea un sistema de ecuaciones *sin resol!erlo+ para obtener el número deoperaciones de cada tipo realizadas *en #unci$n de la prima de al"uiler de !alordesconocido+.
b+>ndica una prima a la "ue es imposible "ue se hayan podido pa/ar los al"uileres.
120
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M xM
M yM
M zM
1:
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
1 1 1
1 1 1 5
M ( 12060
− m Ma ( 120 60− m
200
120 0 − 3m
120 0 − 3m 0
Analizamos los !alores cr7ticos haciendo ;M; ( 6
1 1
M = 120 60
120 0
1
− m = 0
− 3m
= B6m E 3566 ( 6 = m ( 156
< Si m ≠ 156;M; ≠ 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( = S.).-. *soluci$n única+.
< Si m ( 156 1 1 1 1 1 1 5
M ( 12060
−120 Ma ( 12060
−120 200
120 0 − 360 120 0 − 360 0 ;M; ( 6 = r*M+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz M un menorcomplementario de
orden 5 y distinto de cero% porejemplo:
1 1
120 60
r*Ma+ ( , puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementariode orden y
1 1 5
distinto de cero% por 120 60 200
120 0 0
)omo r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>. *?o soluci$n+.Por esta raz$n, resultar7a imposible "ue las primas por al"uileres #ueran156.666 ptas. Apartado c:
esol!emos el sistema en #unci$n de m:
M =
M x =
1 1
120 60
120 0
5 1
200 60
0 0
1 5
1
− m
− 3m
1
− m
− 3m
1
= 60m − 7200
= −300m → x ==
− 300m 60m − 7200
600m − 24000
M y = 120120
1
200
0
1
− m− 3
m
5
= 600m − 24000 → y = =
−12000
60m − 7200
M z =
Apartado d:
120 60
120 0
200
0
= −12000 → z = =60m − 7200
Si la prima de al"uileres hubiera sido de 56.666 ptas, tendr7amos: m ( 56
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16/31
M xM M y
M
M zM
x = = − 300m
= 1 %
y =60m − 7200
= 600m − 24000
= 2 % z
=60m − 7200
= −12000
= 260m − 7200
)on lo "ue habr7a !endido 1 piso nue!o, 5 pisos usados y realizado 5 al"uileres.
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17/31
Septiembre 01:
Sean las matrices: A ( 1 1
a 1
a 6
1
z
% 9 ( % ) ( 1 x
y % - ( z
6 z
Sabiendo "ue A9 ( 5) E -, plantea un sistema de ecuaciones y inc$/nitas *representadas porx, y, z+ donde a es cierto !alor desconocido.Si se supiera "ue el sistema tiene soluci$n, Npodr7amos descartar al/ún !alor de aSi se supiera "ue el sistema tiene soluci$n única, Npodr7amos descartar al/ún !alor de aNTay al/ún !alor de a para el "ue el sistema ten/a ms de una soluci$n
14
Solución:Apartado a:)omo sabemos "ue A9 ( 5) E -, tendremos:
a 1 1 z
ax + y
2 − z
x 1 a ⋅ = 2 1 − z → x + ay = 2 − z
y 1 0
0 z
x − z
ax + y = 2 − z
0ue/o: x + ay = 2 −
z
x = − z
ax + y + z = 2
→ x + ay + z = 2
x + z = 0
-iscutimos el sistema, analizando el ran/o de la matriz de coe&cientes y de laampliada:
a
M ( 1
1
a
1 1 a 1 0 1 1
aMa ( 1
1
1 1 2 a 1 2 0 1
M = 1
1
a 1 = a 2 − a = 0
0 1
→ Ka ( 6L , Ka ( 1L
< Si a ≠ 6 y a ≠ 1:r*M+ ( r*Ma+ (
< Si a ( 6:
M (
1 0
1 0 1
0 1 r ( M ) = 2 pues ∃ ≠ 0
1 0
0 1 2
→ S. >.
r ( M a
< Si a ( 1:
) = 3 pues ∃ 1 0
1 0
2 ≠ 0
0
1
M ( 1 1
1 1
1 1 0
1 1 1 2
Ma ( 1 1 1 2 1 0 1
1 0
1 0
01
1
01 1 2
1 0 1 Ma ( 0 1 2
1 0
8/18/2019 Matrices Sistemas
18/31
1B
r ( M ) = 2 pues 0 1
∃ ≠ 01 0
→ S. ). >.
r ( Ma
Apartadob:
) = 2 pues ∃ 0 1 ≠ 01 0
Si el sistema tiene soluci$n, es un sistema compatible. Podemos descartar el !alor a( 6 por"ue, entonces:
y + z = 2 x + z = 2
x + z = 0
Apartado c:
la 5a y a ecuaci$n son contradictorias.
Si el sistema tiene soluci$n única, es un sistema compatible determinado. Podemos
descartar, adems del anterior !alor a ( 6, el !alor a ( 1 por"ue, entonces: x + y + z = 2 x + y + z = 2
x + z = 0
Apartado d:
la 1a y 5a ecuaci$n son i/uales y "uedan menos ecuaciones "ue inc$/nitas.
Si el sistema tiene ms de una soluci$n, es un sistema compatible indeterminado. a( 1
Solución:Apartado a:0lamamos x, y, z, al número de unidades de cada tipo "ue ha !endido y m alprecio desconocido del champú anticaspa
x ( n unidades champú normaly ( n unidades champú con!itaminas z ( n unidadeschampú anticaspa
)on lo "ue tendremos:
2 x + 3 y + mz = 1122 x + 56 = 3 y + mz
3 y + mz = 28m
Apartadob:
,ordenamos:
2 x + 3 y + mz = 1122 x − 3 y − mz = −56
3 y + mz = 28m
Junio 02:
8n una #armacia se comercializan tipos de champú de cierta marca: normal, con
!itaminas y anticaspa. Se sabe "ue el precio al "ue se !ende el normal es de 5euros y el de !itaminas es de euros. Se desconoce el precio al "ue se !ende elanticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las !entas de los tipos dechampú el mes pasado #ue de 115 euros y el dinero obtenido en !entas con elchampú normal #ue 4B euros in#erior al dinero total obtenido en !entas con el resto.Adems, el dinero total obtenido en !entas con el champú de !itaminas y elanticaspa #ue el mismo "ue el "ue hubiera obtenido !endiendo 52 unidades delanticaspa y nin/una de los dems.
a+Plantea un sistema de ecuaciones *en #unci$n del precio desconocido del champúanticaspa, "ue puedes llamar por ejemplo m+ donde las inc$/nitas * x, y, z+ sean lasunidades !endidas el mes pasado de cada tipo de champú.
b+NRu' puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de unestudio de la compatibilidad del sistema
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19/31
Septiembre 02:
Sean las matrices A ( 1
1 51
1
5 , a
Sea el sistema de ecuaciones con tres inc$/nitas cuya matriz de coe&cientes es A y de t'rminosindependientes 9. NPuede para al/ún !alor de a no tener soluci$n este sistema NPara "u' !alores de a elSi la matriz de coe&cientes es A pero la de t'rminos independientes es ), Nes posible "ue para al/ún !alor
13
2
M ( 2
0
3 m
− 3 − m 3
2
% Ma ( 2
0
3 m
− 3 − m
3 m
112
− 56 28m
2 3
2 − 3
0 3
2 3
m
− m = 0
m
112
2 3
= r *M+ ( 5, pues ∃ ≠ 00 3
2
0
< Si m (
:
− 3 − 56
3 28m
( EBm J 1662 ( 6 = Km ( L
r*M+ ( r*Ma+ ( 5 n inc$/nitas = S.).>. *>n&nitas soluciones+
< Si m ≠ :r*M+ ( 5 ≠ r*Ma+ ( = S.>. *no hay soluci$n+
Apartado c:)omo "ue m ( y sabemos "ue z ( 56, el sistema se con!ierte en:
2 x + 3 y + mz = 112
2 x + 3 y + 3 z = 112
2 x + 3 y + 60 = 112
2 x + 3 y = 52
2 x − 3 y − mz = −56 → 2 x − 3 y − 3 z = −56 → 2 x − 3 y − 60 = −56 → 2 x − 3 y = 4 = Kx ( 1, y ( 2L
3 y + mz = 28m 3 y + 3 z = 84 3 y + 60 = 84 3 y = 24
Solución:Apartadoa:
− x + 2 y − z = 0
8l sistema ser: x + y + 2 z =
a
3 x − 3 y + az = a
, siendo:
−1 2
M ( 11
3 − 3
−1
2
−1 2
% Ma ( 11
3 − 3
−1 0
2 a a
;M; ( Ea J 15 ( 6 = Ka ( L< Si a ≠ :
r*M+ ( r*Ma+ ( ( no de inc$/nitas = S.).-. *Soluci$n única+
< Si a ( :r*M+ ( r*Ma+ ( 5 n de inc$/nitas = S.).>. *>n&nitas
soluciones+ Apartado b:8l sistema ser homo/'neo:
m
a a
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20/31
Junio 03:
0a matriz de coe&cientes de un sistema es 11
1 5aa
1
1
a y la de t'rminos independientes 1 1 5a
NPara "u' !alor o !alores de a el sistema no tiene soluci$nPara cierto !alor de a un indi!iduo encontr$ 5 soluciones del sistema. N)unto !al7a a NHen7a ms solucion8ncuentra un !alor de a para "ue el sistema ten/a una única soluci$n y, para dicho !alor, resu'l!elo.
15
15
15
15
12
− x + 2 y − z = 0 x + y + 2 z = 0
3 x − 3 y + az = 0
, siendo:
−1 2
M ( 11
3 − 3
−1
2
−1 2
% Ma ( 11
3 − 3
−1 0
2 0 a
Un sistema homo/'neo siempre es compatible y tiene, al menos, la soluci$n tri!ialKx ( 6, y ( 6, z ( 6L.)uando ;M; ( 6 = r*M+ ( r*Ma+ ( 5 n de inc$/nitas = S.).>. *>n&nitassoluciones+
< Si a ( :− x + 2 y − z = 0 x + y + 2 z = 0
3 x − 3 y + 4 z =
0
→ x =
− 5 z
,3 y =
− z 3
, z = z
F si z ( 6 = Kx ( 6, y ( 6, z ( 6L
F si z ( 1 =Kx(
F si VV
−5,y(
3
−1, z(1L
3
Solución:Se trata de analizar la compatibilidad del sistema en #unci$n del !alor del parmetro
a. Para ello escribimos la matriz de los coe&cientes M y la matriz ampliada con lost'rminos independientes Ma:
1 2 1
M ( 1 a a
1 4a
1 2
Ma ( 1a
1 4a
1 1
a 1 1 2a
Analizamos los !alores cr7ticos haciendo ;M; ( 6
1 2
M = 1 a
1 4a
1
a ( Ea5 J Ba E 5 ( 6 = Ka ( 15L , Ka ( 1L
1
< Si a ≠ W y a ≠ 1;M; ≠ 6 = r*M+ ( r *Ma+ ( = S.).-. *soluci$n única+< Si a ( W
1 2 1
M ( 1
1 2
1 2
Ma ( 1
1 2
1 1
1 1
a 0
1
1 1
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21/31
5
15
Septiembre 03:
Sean las matrices: A ( 6 1
1 1 xz 6
x
6 , 9 (
1 6y 6
, ) ( 6
6y6
6
1
6
z , - ( 1 , 8 ( a . 6 6 1 a
Sabiendo "ue *A9 E )+ - ( 58, plantea un sistema de ecuaciones y inc$/nitas *representadaspor x, y, z+ en #unci$n de a.NPara al/ún !alor de a el sistema tiene soluci$n única
Para a ( 6 encuentra una soluci$n del sistema con z 6.
1C
r*M+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz M un menor complementariode orden 5 y
1
distinto de cero% por ejemplo: 1 .
r*Ma+ ( 5, puesto "ue no es posible encontrar en la matriz Ma un menorcomplementario de orden y distinto de cero.Por tanto, S.).>. *in&nitas soluciones+< Si a ( 1
M (
1 4
1 4 1
r*M+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz M un menor complementariode orden 5 y
1 2
distinto de cero% por ejemplo: .1 1
r*Ma+ ( , puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementariode orden y
1 2 1
distinto de cero % por 1 1 1
1 4 2
Por tanto, S.>. *no soluciones+Apartado a:
Para "ue el sistema no ten/a soluci$n, ha de ser incompatible% portanto a ( 1. Apartado b:Para "ue el sistema admita dos soluciones, ha de admitir in&nitas y ser compatible
indeterminado% por tanto a ( 15Apartado c:Para "ue el sistema ten/a soluci$n única ha de ser compatible determinado% portanto a ≠ 1 y a ≠15.Supon/amos a ( 6:
M (
1 0
1 0 1
x + 2 y + z = 1
8l sistema ser: x = 1
x + z = 0
= K x ( 1, y ( W, z ( E1 L
Solución:Apartado a:8#ectuamos las operaciones indicadas para poder plantear el sistema:
1 2
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 Ma ( 1 1 1
1 0
1 2 1 1 2 1 1
1 0 0 Ma ( 0 0 1
8/18/2019 Matrices Sistemas
22/31
56
1 1 x 0
x z
y z
AB = 0 0 ⋅
=
0
0 0
0 1
y 0 x y
x y z x 0
0 0
y z
AB − C = 0 0 0 − 0 − y
− z = 0
y z
x y 0 0
xy 0 y z 1
y + z
( AB − C ) D = 0
y z ⋅1 =
y + z
0 x y 0
z
1
x + y + z
2 E = 2 a = 2a a 2a
Por tanto, para "ue se cumpla *A9 E )+ - ( 58 y + z 0 y + z = 0 y + z = 2a → y + z = 2a x + y + z
Apartado b:
2a
x + y + z = 2a
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientes
M y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
M (
1 1
1 1 1
2a
Analizamos los !alores cr7ticos haciendo ;M; ( 6
0 1 1
M = 0 1 1 = 01 1 1
< Si a ≠ 6
r*M+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz M un menor complementariode orden 5 y
0 1distinto de cero% por ejemplo:
1 1
r*Ma+ ( , puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementariode orden y
0 1
distinto de cero: 0 1
1 1
0
2a = 2a
2a
)omo r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>. *?o soluci$n+.< Si a ( 6
r*M+ ( 5, puesto "ue no !ar7a.r*Ma+ ( 5, puesto "ue no es posible encontrar un menor complementario de orden y distinto de
0 1 1 0
cero en Ma ( 0 1 1 0
1 1 1
1 z
0 z
z
0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 Ma ( 1 1 2a
1
0
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)omo r*M+ ( r*Ma+ n de inc$/nitas = S.).>. *>n&nitas soluciones+.8n nin/ún caso el sistema tiene soluci$n única, puesto "ue para nin/ún !alor de aresulta ser compatible determinado.
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M xM
M yM
51
Apartado c:Si a ( 6,tenemos:
y + z = 0 y + z = 0
x + y + z = 0
y + z = 0→
x + y + z = 0
y = − z →
x + y = − z → Kx ( 6, y ( E@, z ( @L
Una posible soluci$n con z ≠ 6 ser7a: Kx ( 6, y ( E3, z ( 3L
Solución:Apartado a:Si llamamos x, y, al número de #otos realizadas en calidades normal y $ptima,respecti!amente, tendremos:
x + y = 2402 x + Ay = 92
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
1 1 M (
02 1 1
1Ma (
02
1 24
A 92
M =
< Si A ≠ 6.5
02= A − 02 % ;M; ( 6 = A ( 6.5
A
r*M+ ( 5, puesto "ue ;M; ≠ 6r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementariode orden 5 y
distinto decero:
1
02
24
92 = 44
)omo r*M+ ( r*Ma+ = S.).-.esol!emos el sistema utilizando la re/la de )ramer% para ello calculamos los !aloresde:
24 1 1 24 M x = ( 5A FC.5 %
M y = ( .
92 A 02 92
x =
< Si A ( 6.5
= 24 A − 92
% y = A − 02 =44
A − 02
r*M+ ( 1, puesto "ue ;M; ≠ 6r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementariode orden 5 y
distinto decero:
1
02
24
92
( .
)omo r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>.*no hay soluciones+
Junio 04:
Un indi!iduo realiza #oto/ra#7as con una cmara di/ital. Sabe "ue cada #oto/ra#7a decalidad normal ocupa siempre 6X56 me/abytes de memoria. )ada #oto/ra#7a decalidad $ptima ocupa siempre una cantidad A de me/abytes, pero el indi!iduo no laconoce. 8sta semana ha lle!ado a re!elar 5 #oto/ra#7as "ue le han ocupado un totalde CX5 me/abytes de memoria.
a+Plantea un sistema de ecuaciones *en #unci$n de A+ donde las inc$/nitas sean elnúmero de #otos de cada clase "ue ha realizado. 8studia la compatibilidad delsistema.
+NTay al/una cantidad de me/abytes "ue es imposible "ue ocupe cada #oto de
A
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Septiembre 04:
Sean las matrices: A ( 5 % 9 ( % ) ( % - ( 16 x5 4 6 1
6 m y 16x m
cula cada uno de los tres productos A9% -8% 89A9 J ) ( -, plantea un sistema de 5 ecuaciones y 5 inc$/nitas *representadas por x, y+ en #unci$n de m. NPara "u' !alor
5
Apartado b+0ue/o resultar7a imposible "ue cada #oto de calidad $ptima ocupe 6X5 me/abytes dememoria. Apartado c:
S7. 8l sistema presenta in&nitas soluciones posibles% !ienen dadas por todos a"uellos!alores de A ≠6, "ue /eneren soluciones enteras para x, y.
Solución:
Apartadoa:
x 2 5 5 x + 2 y 10 x + 4 y
A9 ( 2 (2 (
0 m y my 3 2mym 30 10m -8 ( 10 (3 m) (10
(
m
3m m 2 30m 10m
2
5
89 ( (3 m)
( (15 + my)
Apartadob:
y
10 x + 4 y
0 1 10 x + 4 y
0 10
A9J) ( -=
J (
10 →
J (
→
2my 10 x m
2my 10 x 10m
10 x + 4 y = 102my +10 x = 10m
10 x + 4 y = 10→
10 x + 2my = 10mPara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coe&cientesM y la matriz ampliada con los t'rminos independientes Ma:
10 4 M ( 10 4Ma ( 10 1010
2m
4
10 2m 10m
M =10
< Si m ≠ 5
= 20m − 402m
% ;M; ( 6 = m ( 5
r*M+ ( 5, puesto "ue ;M; ≠ 6r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menor
complementario de orden 5 y distinto de cero.)omo r*M+ ( r*Ma+ = S.).-. *soluci$n única+
< Si m ( 5
10 4 M ( 10
10Ma (
10
4 10 4 20
r*M+ ( 1, puesto "ue ;M; ≠ 6r*Ma+ ( 5, puesto "ue es posible encontrar en la matriz Ma un menorcomplementario de
10 10 orden 5 y distinto de cero:
1
4
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10 20 ( 166
)omo r*M+ ≠ r*Ma+ = S.>. *no hay soluciones+
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1.5 Problemas propuestos
B1-01:
Una persona dispon7a de B6.666 Y y los reparti$ en tres #ondos de in!ersi$ndi#erentes *A, 9 y )+, obteniendo as7 .466 Y de bene&cios. Sabemos "ue en el#ondo A in!irti$ el doble "ue en los #ondos 9 y ) juntos% sabemos tambi'n "ue elrendimiento de la in!ersi$n realizada en los #ondos A, 9 y ) #ue del 4Z, 16Z y 56Zrespecti!amente.a+Plantear un sistema para determinar las cantidades in!ertidas en cada uno de los #ondos.b+esol!er el sistema anterior.
B1-02:
Parte de los hu'spedes de un pe"ueo hotel se encuentra en el comedor% en elmismo momento otra parte se encuentra en la sala de estar y el resto en labiblioteca. Posteriormente, se desplazan del comedor a la biblioteca, 1 de la sala
de estar al comedor y 5 de la biblioteca a la sala de estar. Ahora, ha "uedado elmismo número de personas en cada una de las tres estancias.
a+Plantear un sistema para determinar cuntas personas se encontrabaninicialmente en cada habitaci$n.
b+esol!erlo para determinar cuntos hu'spedes se alojan en el hotel.
B1-03:
Una tienda de música ha obtenido unos in/resos de 153B2 Y al !ender B66 discoscompactos de tres /rupos musicales. 0os discos se !end7an a 5 Y% sin embar/o, losdel se/undo y tercer /rupo, al ser menos recientes, se !endieron con descuentos del6Z y del 6Z respecti!amente. Sabemos "ue el número de discos !endidos condescuento #ue la mitad "ue el número de discos "ue se !endieron a su precioori/inal.a+Plantear un sistema de ecuaciones para determinar cuantos discos de cada /rupo se !endieron.b+esol!erlo.
B1-04:
8n un pa7s A, existen tres aeropuertos internacionales *A1, A5 y A+% en otro pa7s 9existen * 91, 95, 9 y 9+% y en un tercer pa7s ) existen dos * )1 y )5+.-esde el aeropuerto A1 salen !uelos con destino a 91, 95, )1 y dos !uelos condestino a 9. -esde el aeropuerto A5 salen !uelos con destino a 95, 9 y dos!uelos con destino a 9.-esde el aeropuerto A s$lo sale un !uelo con destino a 9.-esde cada aeropuerto del pa7s 9, salen dos !uelos a cada uno de losaeropuertos del pa7s ). Se pide, expresar mediante matrices:
a+ los !uelos del pa7s A al 9.b+los !uelos del pa7s 9 al ).c+ los !uelos del pa7s A al ), necesiten o no e#ectuar transbordo en el pa7s 9.
B1-05:
8l cruce de carreteras es"uematizado en el dibujo indica el número de cocheshora"ue transita por cada tramo de carretera, de direcci$n y sentido único.
a+Si se suspende el tr&co en el tramo A9 por obras, N"u' número de !eh7culos han detransitar por los tramos A) y 9)
b+NPodr7a cerrarse al tr&co el tramo A) NI el tramo )9 NPor "u'
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B1-06:
Una empresa ha !endido 5666 art7culos de papeler7a, bol7/ra#os, /omas yrotuladores, al precio de 1.5, 1.4 y 5 Y respecti!amente. 8l total de los in/resosproducidos por esas !entas asciende a B666 Y. Se sabe, adems, "ue el número debol7/ra#os "ue se ha !endido es el 6Z del número total del resto de art7culos!endidos.a+Plantear un sistema para determinar el número de cada tipo de art7culos !endidos.b+esol!erlo.
B1-07: 0 1 0
Sea la matriz A ( 0
10 1 0
a+)omprueba"ue: A
T = A −1
b) )alcula el !alor de ( A ⋅ AT )566
B1-08:
2 x − y + z = 2
-iscute el si/uiente sistema en #unci$n de los !alores a.ax − y + z = 1
x + ay + z = 0
B1-09: 1 2
Sea la matriz: A ( 0 Tallar las matrices 9 "ue conmuten con A% es decir: AO 9 ( 9O A
B1-10:
Sea el sistema de dos ecuaciones con dos inc$/nitas y un parmetro n:
n 2 x − ny = 1
n
2 (2n −1) x − y = 4n
a+expr'salo en #orma matricialb+discútelo se/ún los !alores del parmetro n.c+determina su soluci$n para n ( 5.
B1-11:
0
1
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6 x − 9 y + 2 z = 5-adas las si/uientes ecuaciones
2 x − 3 y + z = 4
, se pide:
a+aade una ecuaci$n para "ue el sistema resulte ser incompatible.b+aade una ecuaci$n para "ue el sistema resulte ser compatible
determinado. [usti&ca las respuestas.
B1-12:
Una librer7a ha !endido C66 libros de matemticas, correspondientes a treseditoriales di#erentes, A, 9, y ). Sabemos "ue de la editorial 9 se han !endido eldoble de ejemplares "ue de la editorial A. Sabemos, tambi'n, "ue la raz$n entre elnúmero de ejemplares !endidos de las editoriales 9 y ) es i/ual a 5.Plantear un sistema para determinar el número de libros !endidos de cada editorial.esol!erlo.
B1-13:Una editorial !a a lanzar al mercado tres libros de bolsillo 01, 05 y 0. 8l importetotal de la edici$n es de 12346 Y. 0os costes, en euros, por unidad, son 3, 4 y B,respecti!amente.Se sabe "ue el número de ejemplares de 0 es i/ual a los dos s'ptimos de los deltipo 05 y "ue, si al triple del número de ejemplares de 01 se le suma el número deejemplares de 0 , se obtiene el doble de ejemplares de 05.a+Plantea un sistema de ecuaciones para a!eri/uar cuntos libros de cada tipo se han editado.b+esuel!e dicho sistema.
B1-14: − 3 2 2 2 1 0
Sean las matrices: ) ( 1 0
−1 0 1
, - ( −11
2 0
−1
a+ Tallar: )E1 y -E1
b+)alcular la matriz in!ersa de )O -c+ )omprobar "ue *)O -+E1 ( -E1 O )E1
B1-15:
Un autobús urbano transporta en hora punta C6 !iajeros de tres tipos: !iajeros "uepa/an el billete entero, "ue !ale 1 Y% estudiantes "ue tienen un 54Z de descuento alpresentar el carnet% jubilados de la localidad "ue únicamente pa/an el 46Z delprecio del billete. 0a recaudaci$n del autobús en ese !iaje #ue de B Y. )alcula el
número de !iajeros de cada clase sabiendo "ue el número de jubilados era el mismo"ue el número del resto de !iajeros.
B1-16: 2 1 2
Sea la matriz A ( 2
− 50 −1 .
−1 )alcula, si existen, las si/uientes matrices:
a) Una matriz \ tal "ue \O A
( (1 0 1 0
β)Una matriz I tal "ue AO I (
0 1
−1)1
B1-17:ax − y = 2 − a
)onsidera el si/uiente sistema de ecuaciones lineales: 2 x − (a +1) y = 2
0
1
0
0
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a+8xpr'salo en #orma matricialb+8nuncia el Heorema de ouch'F]r^benius.b+ NPara "u' !alores de a el sistema resulta ser compatible y determinado NPara
"u' !alores es compatible e indeterminado NPara "u' !alores es incompatible
B1-18:
-etermina las matrices A y 9 "ue son soluciones del si/uiente sistema matricial: − 8 7 −1
11 7 4
A F 59 ( 9
−18 1 5A J 9 ( −8 2
17
14 9 −14 14 −1 −14
B1-19:
4 x − 4 z = 0
-iscute y resuel!e, cuando sea posible, el si/uiente sistema de ecuaciones: x − y −
az = 0
− x − ay − z = 0
B1-20:
x − y + z = 6
Sea el sistema de ecuaciones:
− x − y + (a − 4) z = 7
x + y + 2 z = 11
a+8xpr'salo en #orma matricial.b+-iscútelo se/ún los !alores del parmetro real ac+esu'l!elo para a (
B1-21:
Una ebanister7a ha #abricado tres tipos de muebles: ban"uetas, sillas y mesas. Parala #abricaci$n de estos muebles, necesit$ utilizar determinadas unidades de maderasde pino, haya y castao, tal y como se indica en la si/uiente tabla:
Pino Tay )asta
9an"uet 1 1 5
Silla 1 1 ,
Mesa 1 5 4
0a ebanister7a ten7a en existencia 66 unidades de madera de pino, B66 unidades
de haya y 1466 unidades de castao% si utiliz$ todas sus existencias, Ncuntasban"uetas, sillas y mesas #abric$
B1-22:
x − 9 y + 5 z = 33
Se considera el sistema: x + 3 y − z = −9
x − y + z = 5
a+esu'l!elo y clasi#7calo en #unci$n del número de solucionesb+-eterminar si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de #orma "ue el
sistema "ue resulta sea e"ui!alente al anterior. azona la respuesta.
B1-23: 1 2 2 −1 0 1
Sean las matrices: A(
0
% 9( 1
% ) ( −1
3
2 2
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esuel!e la ecuaci$n: \A9 E \) ( 5)
B1-24:
8n un jard7n hay 55 rboles entre naranjos, limoneros y membrillos. 8l doble delnúmero de limoneros ms el triple del número de membrillos, es i/ual al doble delnúmero de naranjos.
a+Plantea un sistema para determinar cuntos rboles de cada tipo hay. N8s posible resol!erlob+Si, adems, sabemos "ue el número de naranjos es el doble del de limoneros,
Ncuntos rboles hay de cada tipo
B1-25:
Una empresa ten7a, en el ao 5661, cierto número de empleados, unos hombres yotros mujeres. 8n el ao 5665 aumentaron en 4 los trabajadores de la empresa y enB el número de trabajadoras, "uedando as7 doble número de mujeres "ue dehombres. 8n el ao 566 aumentaron en 5 las trabajadoras y se redujo en elnúmero de trabajadores, resultando "uedar el triple de mujeres "ue de hombres.Plantea un sistema para determinar el número de hombres y mujeres "ue trabajanen dicha empresa en el ao 566. esu'l!elo si es posible.
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