Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales · 2013-02-08 · Matrices, determinantes...

Matrices, determinantesy sistemas de ecuaciones lineales

David Ariza-Ruiz

10 de octubre de 2012

1. Matrices

Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de lasiguiente forma

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2na31 a32 a33 · · · a3n...

...... . . . ...

am1 am2 am3 · · · amn

= (aij) i=1,...,nj=1,...,m

donde aij es el elemento de la i-ésima fila y j-ésima columna.

A las matrices se les nombran con letras mayúsculas: A, B, C, M , N , etc.

El número de filas y de columnas recibe el nombre de dimensión u orden de la matriz, y sedesigna por n×m.

Al conjunto de matrices de dimensión n×m se denota porMn×m.

Ejemplo 1.1. (2 1 01 2 3

)= A2×3

3√

2 00 −1 1

2

π 8 0

= B3×3.

Definición 1.2. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementosque ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Es decir, dadas dos matrices A y B, se tieneque

A = B ⇐⇒

A,B ∈Mn×m

aij = bij ∀ i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m

Ejemplo 1.3. Las matrices

A =

(3 b ca 1 8

)y B =

(d 7 42 e f

)son iguales si, y sólo si, d = 3, b = 7, c = 4, a = 2, e = 1 y f = 8.

1

Matemáticas I Grado en Química David Ariza-Ruiz

1.1. Tipos de matrices

1.1.1. Según su forma

Matriz fila: su orden es 1× n. (a11 a12 · · · a1n

).

Matriz columna: su orden es m× 1. a11a21...am1

.

Matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de columnas, es cadacontrario se llama rectangular.(

3 20 1

) 2 −1 07 −2 14 3 0

.

• El conjunto formado por los elementos de la forma aii de una matriz cuadrada sellama diagonal principal.• El conjunto de los elementos aij con i+ j = n+ 1 de una matriz cuadrada de ordenn recibe el nombre de diagonal secundaria.(

3 41 5

).

Matriz traspuesta: Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A, y se representapor At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por columnas.

A =

(2 3 57 1 4

)su matriz traspuesta es At =

2 73 15 4

.

Matriz simétrica es aquella que cumple que es igual a su traspuesta. Es decir, A essimétrica si, y sólo si A = At.

A =

1 −2 3−2 5 43 4 6

.

Nota: si una matriz no es cuadrada, entonces nunca será una matriz simétrica.

Matriz antisimétrica. Una matriz A es antisimétrica si At = −A.

A =

0 2 −3−2 0 −43 4 0

.

Nota: En toda matriz antisimétrica su diagonal principal esta formada por ceros.

Dpto. de Análisis Matemático —2— Curso 2012/13


1.1.2. Según sus elementos

Matriz nula: Todos sus elementos son 0. La matriz nula se representa por 0. 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

.

Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos salvo ladiagonal principal. 1 0 0

0 −3 00 0 5

.

Matriz escalar: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales. 3 0 00 3 00 0 3

= 3

1 0 00 1 00 0 1

.

Matriz identidad Id. es una matriz escalar con los elementos de la diagonal igual a 1.

Id2 =

(1 00 1

)Id3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

Matriz triangular superior (inferior): es una matriz cuadrada en la que todos los elementospor encima (por debajo) de la diagonal principal son nulos.

2 1 50 −3 40 0 6

1 0 0 05 2 0 04 −1 −3 03 4 2 0

Matriz triangular superior Matriz triangular inferior

1.2. Operaciones con matrices

1.2.1. Suma y diferencia de matrices

Definición 1.4. La suma de dos matrices A = (aij) y B = (Bij) de la misma dimensión, esotra matriz, representada por A+B, de la misma dimensión que los sumandos, compuesta dea suma de las dos matrices, elemento a elemento. Es decir,

A+B =(aij + bij

).



Ejemplo 1.5. Sea las matrices A =

(2 3 5−1 −7 4

)y B =

(5 −2 3−1 4 0

). Entonces,

A+B =

(7 1 8−2 −3 4

).

La suma de matrices posee las siguientes propiedades:

P1. Propiedad asociativa: (A+B) + C = A+ (B + C).

P2. Propiedad conmutativa: A+B = B + A.

P3. Existencia de elemento neutro: La matriz nula, A+ 0 = A.

P4. existencia de opuesto: La matriz −A, que se obtiene cambiando de signo todos los elemen-tos de A, recibe el nombre de matriz opuesta, ya que

A+ (−A) = 0.

Definición 1.6. La diferencia de las matrices A y B se representa por A−B , y se define delsiguiente modo:

A−B := A+ (−B) =(aij − bij

).

Ejemplo 1.7. En el ejemplo anterior, tenemos que

A−B =

(−3 5 20 −11 −4

).

Notar que la suma y la diferencia de dos matrices no está definida si sus dimensiones sondiferentes.

1.2.2. Producto de matrices por un número

Definición 1.8. El producto de una matriz A = (aij) por un número real α es otra matrizB = (bij) de la misma dimensión que A tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicandoaij por α. Así pues,

αA :=(α aij

).

Ejemplo 1.9.

3 ·

2 51 4−1 8

=

6 153 12−3 24

.

El producto de un número por una matriz verifica las siguientes propiedades:

P1. Primera propiedad distributiva: α (A+B) = αA+ αB.

P2. Segunda propiedad distributiva: (α + β)A = αA+ β A.

P3. Propiedad asociativa mixta: α (β A) = (αβ)A.

P4. Existencia de elemento neutro: 1 · A = A.



Propiedades simplificativas:

P1. A+ C = B + C es equivalente a A = B;

P2. αA = αB es equivalente a A = B si α 6= 0;

P3. αA = β A es equivalente a α = β si A 6= 0.

1.2.3. Producto de dos matrices

Dos matrices se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera coincide con elnúmero de filas de la segunda matriz.

Definición 1.10. El producto de la matriz Am×n = (aij) por la matriz Bn×q = (bjk) es otramatriz Cm×p = (cik) tal que cada elemento cik se obtiene multiplicando escalarmente la fila ide la primera matriz por la columna k de la segunda matriz.

Matemáticamente,

cik :=n∑

h=1

aih · bhk.

Ejemplo 1.11.

a)(

2 31 5

)(2 5 13 7 8

)=

(13 31 2617 40 41

).

b)(

5 −3 14 2 −8

) −2 −3 51 7 04 2 8

=

(−9 −34 17−38 −14 84

).

El producto de matrices verifican las siguientes propiedades:

P1. Propiedad asociativa: Am×n (Bn×pCp×q) = (Am×nBn×p)Cp×q.

P2. El producto de matrices en general no es conmutativo, es decir AB 6= BA.(1 23 4

)(1 15 3

)=

(11 723 15

)∦(

1 15 3

)(1 23 4

)=

(4 614 22

)P3. Existencia de elemento neutro: La matriz identidad Id. Para cualquier matriz cuadrada A

de orden n, se tiene queA · Idn = Idn · A = A.

P4. Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que

AB = BA = Idn.

Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por A−1.(véase la siguiente subsección).



P5. El producto de matrices es distributivo con respecto de la suma de matrices, es decir,

A (B + C) = AB + AC.

Para no equivocarse:

AB = 0 no implica necesariamente que A = 0 o B = 0.

AB = AC no implica necesariamente que B = C.

(A±B)2 no es necesariamente igual a A2 +B2 ± 2AB.

(A+B)(A−B) no es necesariamente igual a A2 −B2.

1.2.4. Matriz inversa

La matriz inversa solo existe para algunas matrices cuadradas, no para todas (véase elteorema 2.10).

Definición 1.12. Dada una matriz A de orden n, si existe otra matriz cuadrada B del mismoorden n tal que

AB = BA = Idn,

se dice que B es la matriz inversa de A, y se designa por A−1.

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es regular o inversible y si no tieneinversa se llama singular.

1.3. Rango de una matriz

Recordemos que el conjunto {~v1, ~v2, . . . , ~vk} es linealmente independiente si

λ1 ~v1 + λ2 ~v2 + · · ·+ λk ~vk = 0

implica que λ1 = λ2 = · · · = λk = 0.

Definición 1.13. Dada una matriz A ∈ Mn×m, se define el rango de A como el número defilas (o de columnas) linealmente independientes. El rango de A se denotará por rg(A).

Proposición 1.14. Si A es una matriz de orden m× n no nula se cumple que:

1 ≤ rg(A) ≤ mı́n{m,n}.

1.3.1. Cálculo del rango por Gauss

En el cálculo del rango de una matriz:

a) Se pueden suprimir sin que varíe el rango:

las filas (o columnas) nulas.

las filas (o columnas) proporcionales a otras.

las filas (o columnas) dependientes de otras.



b) Se pueden realizar las siguientes operaciones sin que varíe el rango:

Regla 1. Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero.

Regla 2. Sumar o restar una fila (o columna) a otra.

Aplicando estos procesos se puede llegar a una matriz escalonada que indica el número de filas(o columnas) linealmente independientes.

Dada la matriz

A =

∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

donde los asteriscos ∗ denotan números cualesquiera, si al aplicar el método de Gauss llegamosa∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 ∗ ∗ ∗0 0 0 ∗ ∗

entonces rg(A) = 4.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 ∗ ∗ ∗

entonces rg(A) = 3.

(∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗

)entonces rg(A) = 2.

(∗ ∗ ∗ ∗ ∗

)entonces rg(A) = 1.

Ejemplo 1.15.

A =

1 2 34 5 67 8 9

F ′2=F2−F1−−−−−−→F ′3=F3−F2

1 2 33 3 33 3 3

F ′3=F3−F2−−−−−−→

1 2 33 3 30 0 0

−→

−→(

1 2 33 3 3

)F ′2=F2−3F1−−−−−−−→

(1 2 30 −3 −6

)Entonces, rg(A) = 2.

Ejemplo 1.16.

B =

2 5 13 7 42 1 00 −2 1

F ′2=F2− 32F1−−−−−−−→

F ′3=F3−F1

2 5 10 −1

252

0 −4 −10 −2 1

F ′3=F3−8F2−−−−−−−→F ′4=F4−4F2

2 5 10 −1

252

0 0 −210 0 9

−→

F ′4=F4− 921

F3−−−−−−−→

2 5 10 −1

252

0 0 −210 0 0

−→ 2 5 1

0 −12

52

0 0 −21

Entonces, rg(B) = 3.



Ejemplo 1.17.

C =

1 0 2 −12 1 0 35 1 6 04 1 4 13 0 6 −3

F ′2=F2−2F1

F ′3=F3−5F1−−−−−−−→F ′4=F4−F1

F ′5=F5−3F1

1 0 2 −10 1 −4 50 1 −4 50 1 −4 50 0 0 0

F ′3=F3−F2−−−−−−→F ′4=F4−F2

1 0 2 −10 1 −4 50 0 0 00 0 0 00 0 0 0

−→

−→(

1 0 2 −10 1 −4 5

)Entonces, rg(B) = 2.

2. Determinantes

Un determinante es un número que está asociado a una matriz cuadrada. El determinantede una matriz A ∈Mn se denota por |A| o por det(A).

2.1. Tipos de determinantes

2.1.1. Determinantes de orden 2

Dada la matriz cuadrada de segundo orden

A =

(a11 a12a21 a22

)se llama determinante de A al número real

det(A) = |A| :=∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11 · a22 − a12 · a21.

2.1.2. Determinantes de orden 3

Dada la matriz cuadrada de tercer orden

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

se llama determinante de A al número real

det(A) = |A| :=

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · a22 · a33 + a23 · a12 · a31 + a21 · a32 · a13

− a31 · a22 · a13 − a21 · a12 · a33 − a23 · a32 · a11.

Es fácil recordar el desarrollo del determinante de orden 3 mediante la regla de Sarrus:



Otra forma, es usando la siguiente regla

Versión vertical Versión horizontal

2.2. Propiedades

P1. det(A) = det(At) para todo A ∈Mn.

P2. Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna) de ceros, entonces su determinante esigual a 0. Por ejemplo,

det(0, F2, F3) = 0.

P3. Si se permuta dos filas (o columnas), el determinante cambia de signo. Por ejemplo,

det(F1, F2, F3) = − det(F2, F1, F3).

P4. Si la matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) iguales, entonces su determinante escero. Por ejemplo,

det(F1, F1, F3) = 0.

P5. Si todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada se descomponenen dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes quetienen en esa fila (o columna) el primero y el segundo sumandos, respectivamente, y enlas demás los mismos elementos que el determinante inicial. Por ejemplo,

det(F1 + F ′1, F2, F3) = det(F1, F2, F3) + det(F ′1, F2, F3).

P6. Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada porun número, el determinante queda multiplicado por dicho número. Por ejemplo,

det(αF1, F2, F3) = α det(F1, F2, F3)



P7. Si dos filas (o columnas) son proporcionales, entonces el determinante es cero. Por ejemplo,

det(F1, α F1, F3) = 0.

P8. det(A ·B) = det(A) · det(B) para todo A,B ∈Mn.

P9. Si a una fila (o columna) le sumamos una combinación lineal de las demás, su determinanteno varía. Por ejemplo,

det(F1 + αF2 + β F3, F2, F3) = det(F1, F2, F3).

P10. Si una fila (o columna) es combinación lineal de las demás, entonces el determinante escero. Por ejemplo,

det(F1, F2, α F1 + β F2) = 0.

Ejemplo 2.1. ∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16

∣∣∣∣∣∣∣∣ =[

HacemosF ′2 = F2 − F1

F ′3 = F3 − F1

]=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 44 4 4 48 8 8 813 14 15 16

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

pues tiene dos filas (la segunda y la tercera) proporcionales.

2.3. Cálculo de determinantes de orden cualquiera

2.3.1. Menor complementario

Dada la matriz A = (aij) ∈Mn×m, el menor complementario de un elemento aij, denotadopor Mij, es el determinante de la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila i y lacolumna j.

Ejemplo 2.2. Sea

A =

2 3 57 1 42 −3 8

.

El menor complementario de a12 es M12 =

∣∣∣∣7 42 8

∣∣∣∣ = 48.

2.3.2. Adjunto

Definición 2.3. Dada la matriz A = (aij) ∈ Mn×m, el adjunto de un elemento aij se definecomo el siguiente número real

∆ij := (−1)i+j ·Mij.

El signo (−1)i+j en la definición anterior se suele recordar mediante la regla:+ − + − · · ·− + − + · · ·+ − + − · · ·− + − + · · ·...

......

... . . .

.



2.3.3. Determinante por recurrencia

Teorema 2.4. El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos deuna fila (o columna) cualquiera multiplicada por sus adjuntos correspondientes.

Por ejemplo, si desarrollamos por la i-ésima fila,

|A| = ai1 ·∆i1 + ai2 ·∆i2 + · · ·+ ain ·∆in.

Se puede demostrar que el valor del determinante es independiente de la fila o columna elegidapara su desarrollo.

Ejemplo 2.5.∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1 2−1 1 2 −11 3 2 22 −1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·

∣∣∣∣∣∣1 2 −13 2 2−1 0 1

∣∣∣∣∣∣− 0 ·

∣∣∣∣∣∣−1 2 −11 2 22 0 1

∣∣∣∣∣∣+ 1 ·

∣∣∣∣∣∣−1 1 −11 3 22 −1 1

∣∣∣∣∣∣− 2 ·

∣∣∣∣∣∣−1 1 21 3 2−1 −1 0

∣∣∣∣∣∣ =

= 1 · (−10) + 1 · 5− 2 · (−12) = 19.

Para que resulte más fácil desarrollar un determinante de orden ≥ 4, podemos usar laspropiedades de los determinantes y hacer ceros en una fila (o columna).

Ejemplo 2.6.∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1 2−1 1 2 −11 3 2 22 −1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =[

HacemosC′

3 = C3 − C1C′

4 = C4 − 2C1

]=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 0−1 1 3 11 3 1 02 −1 2 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = +1 ·

∣∣∣∣∣∣1 3 13 1 0−1 −2 −3

∣∣∣∣∣∣ = 19.

Ejemplo 2.7.∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 0 1−1 2 1 02 1 3 03 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =[

HacemosC′

2 = C2 + C1C′

4 = C4 − C1

]=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 0−1 1 1 12 3 3 −23 3 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = +1 ·

∣∣∣∣∣∣1 1 13 3 −23 0 −2

∣∣∣∣∣∣ = −15.

2.4. Cálculo del rango usando determinantes

Si A es cualquier matriz, entonces una submatriz de A es cualquier matriz S obtenida aleleminar de A algunas de sus filas y columnas. Por ejemplo, la matriz Aij obtenida al suprimir lai-ésima fila y la j-ésima columna es una submatriz de A. Nótese que aunque A no sea cuadradacontiene una gran cantidad de submatrices que sí lo són y a las que tiene por tanto sentidocalcularles su determinante.

Teorema 2.8. El rango de una matriz cualquiera A coincide con el orde más grande que tenganlas submatrices cuadradas de A con determinante no nulo.

Concretamente, el resultado anterior nos dice que rg(A) = k si y sólo si:

(a) Existe una submatriz S de A de orden k con |S| 6= 0,



(b) Si S ′ es cualquier submatriz cuadrada de A de orden mayor que k, entonces |S ′| = 0.

Como consecuencia del resultado anterior, tenemos que una matriz cuadrada de orden n tienerango n si, y sólo si, el determinante de A es distinto de cero. Es decir,

dada A ∈Mn, tenemos que rg(A) = n⇐⇒ |A| 6= 0.

Ejemplo 2.9. Calcular el rango de la siguiente matriz

A =

−1 2 1 34 −5 −1 02 −1 1 0

.

Notar que A ∈M3×4. Luego, 0 ≤ rg(A) ≤ mı́n{3, 4} = 3. Como −1 6= 0, rg(A) ≥ 1. Como∣∣∣∣−1 24 −5

∣∣∣∣ = 5− 8 = −3 6= 0, entonces rg(A) ≥ 2.

Observar que ∣∣∣∣∣∣−1 2 14 −5 −12 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = (5− 4− 4)− (−10− 1 + 8) = 0

y sin embargo ∣∣∣∣∣∣−1 2 34 −5 02 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = −12 + 30 = 18 6= 0.

Por tanto, rg(A) = 3.

2.5. Cálculo de la matriz inversa usando determinantes

Teorema 2.10. Una matriz cuadrada tiene inversa si, y sólo si, su determinante es distinto decero.

A continuación mostraremos un método para hallar la matriz inversa de una matriz regular.Para ello, necesitamos el siguiente concepto.

Definición 2.11. Sea A = (aij) ∈ Mn. Se llama matriz adjunta de A, y se denota porAdj(A), a la matriz que se obtiene de sustituir cada elemento aij por su adjunto ∆ij. (véase ladefinición 2.3)

Ejemplo 2.12. Dada la matriz A =

2 −2 22 1 03 −2 2

, los adjuntos de cada elemento son

∆11 = 2 ∆12 = −4 ∆13 = −7∆21 = 0 ∆22 = −2 ∆23 = −2∆31 = −2 ∆32 = 4 ∆33 = 6

Así pues, su matriz adjunta es

Adj(A) =

∆11 ∆12 ∆13

∆21 ∆22 ∆23

∆31 ∆32 ∆33

=

2 −4 −70 −2 −2−2 4 6

.



Teorema 2.13. La matriz inversa de una matriz regular es igual a la matriz traspuesta de suadjunta dividida por el determinante de la matriz dada. Es decir, si A ∈Mn es una matriz con|A| 6= 0, entonces

A−1 =1

|A|Adj(A)t.

Ejemplo 2.14. Sea A la matriz del ejemplo anterior. Como |A| = −2 y

Adj(A)t =

2 0 −2−4 −2 4−7 −2 6

,

entonces

A−1 = −1

2

2 0 −2−4 −2 4−7 −2 6

=

−1 0 10 1 −272

1 −3

.

Conviene observar que:

El primer paso para hallar la inversa de una matriz es calcular su determinante.

Si el determinante es cero, s termina el proceso: la matriz no tiene inversa.

3. Sistemas de ecuaciones lineales

3.1. Definición

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo:

(S)

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3n xn = b3...

......

......

am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · ·+ amn xn = bm

donde

aij son números reales dados, se llaman coeficientes del sistema.

b1, b2, b3, . . . , bm son números reales, y reciben el nombre de términos independientes.

x1, x2, x3, . . . , xn son las incógnitas del sistema.

Si todos los términos independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo.

Definición 3.1. La solución del sistema (S) es un conjunto ordenado de números reales(s1, s2, s3, . . . , sn) tales que, al sustituir las incógnita x1 por s1, x2 por s2, x3 por s3, . . . ,xn por sn, se satisfacen a la vez las m ecuaciones.

Podemos clasificar los sistemas lineales según la existencia de soluciones:



Sistema compatible (S.C.): tiene al menos una solución.

• S.C. Determinado: tiene una´única solución.• S.C. Indeterminado: tiene infinitas soluciones.

Sistema incompatible (S.I.): no tiene ninguna solución.

Sistema Lineal

Compatible

Determinado.

Indeterminado.

Incompatible.

3.2. Forma matricial de un sistema lineal

El sistema (S) se puede escribir en la siguiente forma matricial

AX = B,

donde

A =

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2na31 a32 a33 · · · a3n...

......

...am1 am2 am3 · · · amn

es la matriz asociada al sistema,

B =

b1b2b3...bm

es la matriz columna de los términos independientes,

X =

x1x2x3...xn

es la matriz columna formada por las incógnitas.

La matriz ampliada A∗ del sistema (S) es de orden m × (n + 1) y se obtiene a partir de lamatriz A, añadiéndole la columna formada por los términos independientes B, es decir,

A∗ :=(A |B

)=

a11 a12 a13 · · · a1n b1a21 a22 a23 · · · a2n b2a31 a32 a33 · · · a3n b3...

......

......

am1 am2 am3 · · · amn bm

.



3.3. Sistemas equivalentes

Definición 3.2. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismassoluciones.

Observar que si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, entonces tienen el mismonúmero de incógnitas, aunque no es necesario que tengan igual número de ecuaciones.

Teorema 3.3 (Transformaciones de Gauss). Las siguientes transformaciones dan lugar a otrosistema equivalente:

Cambiar de orden las ecuaciones o las incógnitas;

Multiplicar los dos miembros de una misma ecuación por un número distinto de cero;

Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otras ecuaciones del sistema;

Sustituir una ecuación por la suma de ella y una combinación lineal de las restantes.

Una regla práctica:

Antes de resolver un sistema conviene eliminar las ecuaciones dependientes, como:

— Ecuaciones nulas.

— Ecuaciones iguales.

— Ecuaciones proporcionales.

3.4. Método de Gauss

Consiste en trasformar un sistema en otro equivalente que sea escalonado usando para ellolas trasformaciones de Gauss.

Dado la matriz ampliada de un sistema∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

pretendemos obtener una matriz equivalente con la siguiente forma

∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 ∗ ∗ ∗0 0 0 ∗ ∗

.

Pueden ocurrir tres casos:



Caso 1. Sistema compatible determinado:∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 ∗ ∗ ∗0 0 0 � �

,

siendo �,� números distintos a cero.

Caso 2. Sistema compatible indeterminado:∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 � � �0 0 0 0 0

,

siendo �,�,� números distintos a cero.

Caso 3. Sistema incompatible: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 ∗ ∗ ∗0 0 0 0 �

,

siendo � un número distinto a cero.

Ejemplo 3.4. Sea

(S)

x− y − 2z = −1

2x− 3y + 4z = 45x− y + 3z = 16

Aplicamos el método de Gauss para resolver dicho sistema. 1 −1 −2 −12 −3 4 45 −1 3 16

F ′2=F2−2F1−−−−−−−→F ′3=F3−5F1

1 −1 −2 −10 −1 8 60 4 13 21

F ′3=F3+4F2−−−−−−−→

1 −1 −2 −10 −1 8 60 0 45 45

Obtenemos el siguiente sistema equivalente a (S):

x− y − 2z = −1 (1)−y + 8z = 6 (2)

45z = 45 (3)

De (3), obtenemos que z = 1. Sustituyendo en (2)

−y + 8 = 6⇐⇒ y = 2.

Finalmente, sustituyendo ambos valores en (1), tenemos que

x− 2− 2 = −1⇐⇒ x = 3.

Por tanto, (S) es un sistema compatible determinado cuya única solución es x = 3, y = 2 yz = 1.



Ejemplo 3.5. Sea

(S)

x− y + 3z = 42x− y − z = 6

3x− 2y + 2z = 10

Aplicamos el método de Gauss para resolver dicho sistema. 1 −1 3 42 −1 −1 63 −2 2 10

F ′2=F2−2F1−−−−−−−→F ′3=F3−3F1

1 −1 3 40 1 −7 −20 1 −7 −2

F ′3=F3−F2−−−−−−→

1 −1 3 40 1 −7 −20 0 0 0

Obtenemos el siguiente sistema equivalente a (S):{

x− y + 3z = 4 (1)−7y − 2z = −2 (2)

el cual es un sistema compatible indeterminado. Calculemos su solución general. Para ello, seaλ ∈ R. Tomando z = λ, de (2), obtenemos que

y − 7λ = −2⇐⇒ y = −2 + 7λ.

Sustituyendo ambos valores en (1), tenemos que

x− (−2 + 7λ) + 3λ = 4⇐⇒ x = 2 + 4λ.

Por tanto, (S) es un sistema compatible indeterminado cuya solución general viene dada porla siguiente expresión

x = 2 + 4λ,y = −2 + 7λ, con λ ∈ Rz = λ.

Ejemplo 3.6. Sea

(S)

2x− y + 3z = 6

4x− 2y + 6z = 9x− y + z = 3

Aplicamos el método de Gauss para resolver dicho sistema. 2 −1 3 64 −2 6 91 −1 1 3

F1↔F3−−−−→

1 −1 1 34 −2 6 92 −1 3 6

F ′2=F2−4F1−−−−−−−→F ′3=F3−2F1

1 −1 1 30 2 2 −30 1 1 3

→F ′3=2F3−F2−−−−−−−→

1 −1 1 30 2 2 −30 0 0 3

Se trata de una matriz ampliada asociada a un sistema incompatible. Por tanto, el sistema (S)es incompatible (no tiene solución).



3.5. Teorema de Rouché-Fröbenius

Teorema 3.7 (Teorema de Rouché-Fröbenius). Un sistema de ecuaciones lineales es compatiblesi, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada conla columna de los términos independientes. Es decir,

(S) es compatible ⇐⇒ rg(A) = rg(A∗).

En un sistema con n incógnitas, se tiene querg(A) = rg(A∗) = r

r = n⇒ Sistema compatible determinado.

r < n⇒ Sistema compatible indeterminado.

rg(A) 6= rg(A∗)⇒ Sistema incompatible.

3.6. Regla de Cramer

Definición 3.8. Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer si cumple lassiguientes dos condiciones:

C1. Tiene n ecuaciones y n incógnitas.

C2. El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Observar que un sistema de Cramer es por definición compatible determinado, ya querg(A) = rg(A∗) = n.

Teorema 3.9. En un sistema de Cramer, el valor de cada incógnita se obtiene dividiendo eldeterminante asociado a dicha incógnita por el determinante del sistema. Es decir,

x1 =det(B,C2, C3, . . . , Cn)

det(C1, C2, C3, . . . , Cn)

x2 =det(C1, B, C3, . . . , Cn)

det(C1, C2, C3, . . . , Cn)

x3 =det(C1, C2, B, . . . , Cn)

det(C1, C2, C3, . . . , Cn)...

xn =det(C1, C2, C3, . . . , B)

det(C1, C2, C3, . . . , Cn)

Ejemplo 3.10. Sea

(S)

2x+ y + 3z = 7

x+ 6z = 43x− 2y + z = 2



Como el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y

|A| =

∣∣∣∣∣∣2 1 31 0 63 −2 1

∣∣∣∣∣∣ = 4 6= 0,

obtenemos que (S) es un sistema de Cramer. Aplicando la regla de Cramer, deducimos que

x =

∣∣∣∣∣∣7 1 34 0 62 −2 1

∣∣∣∣∣∣4

=4

4= 1, y =

∣∣∣∣∣∣2 7 31 4 63 2 1

∣∣∣∣∣∣4

=8

4= 2,

z =

∣∣∣∣∣∣2 1 71 0 43 −2 2

∣∣∣∣∣∣4

=12

4= 3.

Por tanto, la solución del sistema (S) es x = 1, y = 2 y z = 3.


Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales · 2013-02-08 · Matrices, determinantes...

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