Planteamiento y resolucin de sistemas. Programacion lineal. El empleo en el sector servicios en el 1987 representaba aproximada-mente el 53% del empleo total, en el sector industrial el 35% y en el sector agrcola el 12%. Si el empleo total del ao fue de 11593900. Calcular los empleos del sector.

Llamamos x a los empleos del sector servicio

Llamamos y a los empleos del sector industrial

Llamamos z a los empleos del sector agricola

Llamamos t a los empleos totales

x = 0,53t x = 6144767 empleos sector servicio

y = 0,35t y = 4057865 empleos industriales

z = 0,12t z = 1391268 empleos agricolas

En una acera se fabrican tres tipos de productos: acero en lminas, en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbn y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por unidad de producto fabricado:

A. en laminas A. en rollos A. especiales

Chatarra 8 6 6

Carbn 6 6 4

Aleaciones 2 1 3

Si se disponen de 34 unidades de chatarra, 28 de carbn y 9 aleaciones, Cuntas unidades de cada tipo de acero se podrn fabricar con estos materiales?

X acero en lminas 8x + 6y + 6z =34 4x + 3y + 3z =17

Y acero en rollos 6x + 6y + 4z =28 3x + 3y + 2z =14

Z aceros especiales 2x + y + 3z = 9 2x + y + 3z = 9

4 3 3 | 17 2f3 f1 4 3 3 | 17 3f3 + f2 4 3 3 | 17 3 3 2 | 14 = 0 3 -1 | 5 = 0 3 -1 | 5

2 1 3 | 9 4f2 3f1 0 -1 3 | 1 0 0 8 | 8

4x + 3y + 3z =17

3y z = 5

8z = 8 8z = 8 ; z =1 unidad de acero especial

3y (1) = 5 ; 3y = 6 ; y = 2 unidades de acero en rollos

4x + 3 (2) + 3 (1) = 17 ; 4x = 8 ; x =2 unidades de acero en laminas

En una granja se venden pollo, pavos y perdices a razn de 2, 1,50 y 4 euros/kg, respectivamente. En una semana, los ingresos totales de la granja ascendieron a 5700 . Si se sabe que la cantidad de pollo vendi-da es superior en 100kg a la de pavo, y que se vendi de perdiz la mitad que de pavo:

a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendi-da de cada tipo de carne. b) Expresa matricialmente el problema.

c) Cuntos kilos se vendieron de cada tipo?

X pollos a 2/kg

Y pavos a 15/kg

Z perdices a 4/kg

2X + 15Y + 4Z = 57004X + 3Y + 8Z = 11400

X = Y + 100X - Y = 100

Z = YY 2Z = 0

4 3 8 11400 1 -1 0 100 F3 - 4F1 1 -1 0 100 1 -1 0 100 = 0 -1 2 0 = 0 -1 2 0

0 -1 2 0 4 3 8 11400 0 7 8 11000

F3 7F2 1 -1 0 100

= 0 -1 2 0

0 0 22 11000

22 Z = 11000 ; Z = 11000 / 22 ; Z= 500kg de perdices. - Y + 2Z = 0 ; Y = 2Z ; Y = 1000kg de pavos.

X = 100 + Y ; X = 1100kg de pollos

Fulano de Tal quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a unas tortillas, as que va de tienda y compra una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite. Dado el xito obtenido, decide repetir la fiesta y vuelve a comprar una docena de huevos y dos botellas de aceite. Cuando llega a casa, se acuerda que no tiene patatas. Vuelve a la tienda para comprar una bolsa de patatas y decide com-prar tambin otra docena de huevos. En la primera ocasin gasto 6 eu-ros; en la segunda ocasin gasto 6,5 euros y en la ultima 3,5 euros. Calcular si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.

x precio de los huevos ; y precio de las patatas ; z precio del aceite

x + y + z = 6

x + 2z = 6,5

y + x = 3,5 y = 3,5 x

x + 3,5 x + z = 6 ( z = 6 3,5 ; z = 2,5

x + 2 2,5 = 6,5 ( x = 6,5 5 ; x = 1,5

y = 3,5 1,5 ; y = 2

Hace tres aos la edad del padre era el triple de la de su hijo. Dentro de nueve aos la edad del hijo ser la mitad de la del padre. Hallar las edades actuales de ambos. Edad actual del padre: x

Edad actual del hijo: y

Hace tres aos ==> x - 3 = 3 (y - 3)

Dentro de nueve aos ==> y + 9 = (x + 9) / 2

Resolvamos el sistema de dos ecuaciones con dos incognitas

x - 3 = 3y - 9 ; x - 3y = - 6

y + 9 = (x + 9) / 2; 2y + 18 = x + 9

x - 3y = - 6 por 1 ==> x - 3y = - 6

x - 2y = 9 por -1 ==> - x + 2y = - 9

ADVANCE \U 6.0 ______________

ADVANCE \U 6.0 sumando - y = - 15 ==> y = 15 aos x = - 6 + 3 15 ==> x = - 6 + 45 ==> x = 42 aos Los alumnos de los tres cursos de un centro suman 260. La relacin entre los de cuarto de ESO y primero es de 19/18, y la relacinn de pri-mero y segundo es de 6/5. Cuantos alumnos hay en cada curso?. Cuantos grupos de cada curso hay, en el supuesto de que cada grupo tenga 35 alumnos como mximo?. x seran los alumnos de 4 ESO

y seran los alumnos de 1

z seran los alumnos de 2

{ x + y + z = 260

{ x / y = 19 / 18

{ y / z = 6 / 5

Despejamos de la 2 y 3 ecuacin, la x y la z en funcin de y.

x = 19y / 18

z = 5y / 6 y lo sustituimos en la 1 ecuacin

19y /18 + y + 5y / 6 = 260

19y + 18y + 15y = 260 18 ==> 52y = 4680 ==> y = 90 alumnos x = 19 (90 / 18) ==> x = 95 alumnos

z = 5 (90 / 6) ==> z = 75 alumnosPara calcular los grupos por curso, dividiremos los alumnos de cada curso por 35 alumnos como mximo.

De 4 sern: 95 / 35 = 2, ==> habr 3 clases.

De 1 sern: 90 / 35 = 2, ==> habr 3 clases.

De 2 sern: 72 / 35 = 2, ==> habr 3 clases. Mikel sale con un montn de cromos y vuelve a casa sin ninguno. Su madre le pregunta que ha hecho con los cromos, a lo que Mikel responde: A cada amigo que encontr le di la mitad de los cromos que tenia en ese momento mas uno. Su madre le pregunta que con cuantos amigos se ha encontrado, a lo que Mikel contesta que con cinco. Cuntos cromos tenia Mikel al salir de casa? Razona la respuesta.

x cromos al salir de casa

Al primer amigo le da x/2 + 1 = (x + 2) / 2 y le queda x (x + 2) / 2 = (x 2) / 2Al segundo amigo le da [(x - 2) / 2] / 2 + 1 = (x 2) / 4 + 1 = (x + 2) / 4 y le

queda (x 2) / 2 - (x + 2) / 4 = (2x 4 x 2) / 4 = (x 6) / 4

Al tercer amigo le da [(x 6) / 4] / 2 + 1 = (x 6) / 8 + 1 = (x + 2) / 8 y le

queda (x 6) / 4 - (x + 2) / 8 = (2x 12 x 2 ) / 8 = (x 14) / 8Al cuarto amigo le da [(x 14) / 8] / 2 + 1 = (x 14) / 16 + 1 = (x + 2) / 16 y le

queda (x 14) / 8 (x + 2) / 16 = (2x 28 x 2) / 16 = (x 30) / 16Por ltimo al quinto amigo le da [(x 30) / 16] / 2 + 1 = (x 30) / 32 + 1 =

= (x + 2) / 32 y le queda (x 30) / 16 (x + 2) / 32 = (2x 60 x 2) / 32 =

= (x 62) / 32 Como al final no le quedan cromos ( x 62 = 0 ( x = 62 cromos Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos: A, B, C. El alimento del tipo A tiene 10cal. por cada 100gr., el de tipo B tiene 30cal. por cada 100gr., y el C tiene 40cal. por cada 100gr. Si la dieta consta de 400gr. de alimento por cada dia, si ducha dieta esta restringi-da a 840cal., y si la cantidad de alimento del tipo A ingerido debe ser el doble en peso que la cantidad de alimento C. Hallar las cantidades que debe ingerir de cada uno de los alimentos.

A = X B = Y C = Z

X + Y + Z = 4000 X + Y +Z = 4000

(10/100) X + (30/100) Y + (40/100) Z = 840 (0,1X + 0,3Y + 0,4Z = 840) 10

X = 2Z X 2Z = 0

(X + Y + Z = 4000) (-3) -3X - 3Y - 3Z = - 1200

X +3Y +4Z = 8400 X + 3Y + 4Z = 8400

-2X + Z = - 3600

(-2X + Z = - 3600) 2 -4X + 2Z = - 7200

X 2Z = 0 X 2Z = 0

-3X = - 7200

X = 2400gr. de alimento de tipo A

X 2Z = 0

2400 2Z = 0

-2Z = -2400 X + Y + Z = 4000

Z= 1200gr. de alimento de tipo C 2400 + Y + 1200 = 4000

Y = 400gr. de alimento de tipo B

Se tienen tres tipos de caf: el de clase A, que cuesta 980 pts/kg; el de clase B, que cuesta 875 pts/kg, y el de clase C, que cuesta 950 pts/kg. Se desea hacer una mezcla para vender 1050 kg a 940 pts/kg. Cuntos kg de cada clase se deben de poner si del tercer tipo debe entrar el do-ble de los otros dos juntos?.

x kg de caf A a 980 pts/kg

y kg de caf B a 875 pts/kg 1050 kg de mezcla a 940 pts/kg

z kg de caf C a 950 pts/kg

x + y + z = 1050 x + y + z = 1050

z = 2 (x + y) =( 2x + 2y z = 0

980x + 875y + 950z = 1050 940 196x + 175y + 190z = 197400

Resolviendo por Gauss

e2 2e1 x + y + z = 1050

======( - 3z = - 2100 ( z = 700 kg de caf C

e3 196e1 - 21y 6z = - 8400

- 21y 6700 = - 8400 ; -21 y = - 4200 ( y = 210 kg de caf B x + 210 + 700 = 1050 ( x = 140 kg de caf A

Segn RENFE, el n de viajeros que utilizaron el tren en Enero as-cendi a 275700, en Febrero descendi en 25200 viajeros.

Las dos categoras que existen son de 1 y 2. Si la relacin para el mes de Enero ha sido de un 30% de 1 mas en Enero que en Febrero y la 2 clase en Enero representa el 60% del total. Cuantos pasajeros de 1 y de 2 han utilizado el servicio?. Llamamos x a los pasajeros de 1

Llamamos y a los pasajeros de 2

Llamamos x1 a los de 1 en Enero y x2 a los de 1 en Febrero

Llamamos y1 a los de 2 en Enero y y2 a los de 2 en Febrero

x1 + y1 = 275700 ==> x1 = 275700 - y1

x2 + y2 = 275700 - 25200 = 250500

x1 = x2 + 0,3x2 y1 = 0,6 (x1 + y1)

x2 + y2 = 250500

275700 - y1 = 1,3x2 y1 = 0,6 (275700 - y1) + 0,6y1 ==> y1 = 165420 viajeros

275700 - 165420 = 1,3 x2 ==> x2 = 110280 / 1,3 ==> x2 = 84831

y2 = 250500 - x2 = 250500 - 84831 = 165669 viajeros

x1 = 275700 - 165420 = 110280 viajeros

Los pasajeros de 1 seran x = x1 + x2 = 110280 + 84831 ;

x = 195111 viajeros. Los pasajeros de 2 seran y = y1 + y2 = 165420 + 165669 ;

y = 331089 viajeros.

Sumando los aos de antigedad de tres empleados A, B y C, se ob-tienen 50 aos. Adems, el doble de las antigedades de B y de C es igual al triple de la antigedad de A, y la diferencia de antigedad en-tre B y C es igual al 30 % de la antigedad de A. Determina los aos de antigedad de cada empleado.

x aos el A, y aos el B, z aos el C

x + y + z = 50 x + y + z = 50 e2 3e1 x + y + z = 50

2(y + z) = 3x ( 3x 2y 2z = 0 ==( - 5y 5z = - 150

y z = 30/100 x 3x 10y + 10z = 0 e3 3e1 - 13y + 7z = - 150

x + y + z = 50 e3 + 13 e2 x + y + z = 50

y + z = 30 ==( y + z = 30

- 13y + 7z = - 150 20 z = 240 z = 240 / 20 ( z = 12

y + 12 = 30 ( y = 18

x + 18 + 12 = 50 ( x = 20

20 aos de antigedad el empleado A, 18 aos de antigedad el empleado B y

12 aos de antigedad el empleado C.

Tres amigos, Marcos, Luisa y Miguel, son aficionados a la msica. Entre los tres poseen un total de CD comprendido entre 16 y 22 unida-des. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luisa presta 1 CD a Marcos y Mi-guel presta 2 CD a Luisa, con lo cual los tres amigos tienen al final el mismo numero de CD. Cuntos CD pueden tener en total?.

Marcos tiene x CD, Luisa tiene y CD y Miguel tiene z CD

16 x + y + z 22

Marcos se queda con x 4 + 1 = x 3 CD

Luisa se queda con y 1 + 2 = y + 1 CD

Miguel se queda con z + 4 2 = z + 2 CD

Como los tres deben de acabar con el mismo numero de CD

x 3 = y + 1 x y = 4 y = x - 4

x 3 = z + 2 x z = 6 z = x 5

Llamando x =

y = 4 Para que x, y ,z sean positivos 6

z = - 5

= 6 x = 6; y = 2; z = 1 x + y + z = 9 no vale

= 7 x = 7; y = 3; z = 2 x + y + z = 12 no vale

= 8 x = 8; y = 4; z = 3 x + y + z = 15 no vale

= 9 x = 9; y = 5; z = 4 x + y + z = 18 si vale

= 10 x = 10; y = 6; z = 5 x + y + z = 21 si vale

= 12 x = 11; y = 7; z = 6 x + y + z = 24 no vale

Marcos 9 CD, Luisa 5 CD y Miguel 4 CD

Las soluciones son dos

Marcos 10 CD, Luisa 6 CD y Miguel 5 CD

Un autobs universitario transporta en hora punta 80 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 cntimos, viajeros con bono de des-cuento del 20% y estudiantes con bono de descuento del 40%. Si la recaudacin del autobs en ese viaje fue de 39,75 euros, calcula el numero de viajeros de cada clase sabiendo que el numero de estudiantes era el triple que el del resto de viajeros.

x es el n de viajeros sin descuento.

y es el n de viajeros con el 20% de descuento.

z es el n de viajeros con el 40% de descuento.

x + y + z = 80

z = 3 (x + y)

75x + 0,8 75 y + 0,6 75 z = 3975

x + y + z = 80 e2 3e1 x + y + z = 80

3x + 3y z = 0 ( - 4z = - 240 ( z = 60

x + 0,8 y + 0,6 z = 53 e3 e1 - 0,2 y - 0,4 z = - 27

- 0,2 y 0,4 60 = - 27 ( - 0,2 y = - 3 ( y = 3 / 0,2 ( y = 15

x+ 15 + 60 = 80 ( x = 5

5 viajeros sin descuento, 15 viajeros con el 20% de descuento y 60 estudiantes.

Un nmero capica tiene cinco cifras. La suma de las cifras es 9. La cifra de las centenas es la suma de las cifras de las unidades y las dece-nas. Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el nmero que resulta disminuye en 9. Hallar el nmero.El numero es xyzyx( Al cambiar el numero xyzxy disminuye en 9 unidades

x + y + z + y + x = 9

z = y + x

10000x + 1000y + 100z + 10x + y = 10000x + 1000y + 100z + 10y + x 9

2x + 2y + z = 9 2x + 2y + z = 9 2 2 1 9 F3-F2 2 2 1 9

x + y z = 0 ( x + y z = 0 ( 1 1 -1 0 = 0 -2 1 -1

9x 9y = - 9

x - y = -1 1 -1 0 -1 F1-2F3 0 4 1 11

F3+F2 2 2 1 9

= 0 -2 1 -1

0 0 3 9

3z = 9 ; z = 3 -2y+z = -1 ; -2y+3 = -1 ; -2y = -4 ; y = 2

2x+2y+z = 9 ; 2x+4+3 = 9 ; 2x = 2 ; x = 1 El nmero es 12321 Una compaa de transportes tiene tres camiones diferentes, P, Q y R, en los que caben exactamente un cierto numero de contenedores de tres tipos A, B y C, de acuerdo con la siguiente tabla:

A B C

P 5 3 4

Q 2 5 5

R 4 3 6

Si se han de transportar 45 contenedores de tipo A, 44 de tipo B y 58 de tipo C, cuntos viajes ha de hacer cada camin si todos los viajes lo hacen totalmente llenos?.

x n de viajes el P ; y n de viajes el Q ; z n de viajes el R

Contenedor A: 5x + 2y + 4z = 45 5e2 3e1 5x + 2y + 4z = 45

Contenedor B: 3x + 5y + 35 = 44 ====( 19y + 3z = 85

Contenedor C: 4x + 5y + 6z = 58 5e3 4e1 17y + 14z = 110

19e3 17e2 5x + 2y + 4z = 45

=======( 19y + 3z = 85

215z = 645 ( z = 3

19y + 33 = 85 ( 19y = 76 ( y = 4

5x + 24 + 43 = 45 ( 5x = 25 ( x = 5

5 viajes realizo el camion P, 4 viajes realizo el camion Q y 3 viajes realizo el camion R

Una compaa fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y so-fas. Para la fabricacin de cada uno de estos muebles se necesitaron unidades de madera, plstico y aluminio tal y como se indica en la ta-bla. Si la compaa tenia en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plstico y 1500 unidades de aluminio, y utilizo todas sus existencias, cuntas sillas, mecedoras y sofs fabric?

Madera plstico Aluminio

Sillas 1 1 2

Mecedoras 1 1 3

Sofs 1 2 5

x sillas y mecedoras z sofas

madera : x + y + z = 400 e2 e1 x + y + z = 400

plastico : x + y + 2z = 600 ==( z = 200

aluminio : 2x + 3y + 5z = 1500 e3 2e1 y + 3z = 700

y + 600 = 700 ( y = 100 ; x + 100 + 200 = 400 ( x = 100

Hay 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofas.

Una empresa produce un bien, cuya funcin de oferta es Qo = - 50 + 30p y su funcin de demanda viene dada por Qd = 100 - 20p. Cuales son el precio y la cantidad en el punto de equilibrio Qo = Qd?. Si Qo = Qd ; - 50 + 30p = 100 - 20p es decir una ecuacin con una sola incgnita.

30p + 20p = 100 + 50 ==> 50p = 150 ==> p = 3

Qo = - 50 + 30.3 = - 50 + 90 ==> Qo = 40 pts sera el precio

En el equilibrio

Qd = 100 - 20.3 = 100 - 60 ==> Qd = 40 bienes demandados Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barce-lona y Valencia. El nmero total de ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 31. Para que el nmero de ejecutivos de la delegacin de Barcelona fuese igual al de Madrid, tendran que trasladarse tres de ellos de Madrid a Barcelona. Adems, el nmero de los ejecutivos de Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciu-dades. Cuntos ejecutivos estn destinados en cada ciudad?

x ejecutivos en Madrid

y ejecutivos en Barcelona

z ejecutivos en Valencia

x + y + z = 31 x + y + z = 31 x + y + z = 31 2x = 32

x = y + z + 1 x y z = 1 x y z = 1

x 3 = y + 3 x y = 6

x = 16 ejecutivos en Madrid.

16 y = 6; y = 10 ejecutivos en Barcelona.

16 10 z = 1; z = 5 ejecutivos en Valencia. Una tienda vende una clase de calcetines a 12 el par. Al llegar las rebajas, realiza durante el primer mes un 30% de descuento sobre el precio inicial y en el segndo mes hace un 40% tambin sobre el pre-cio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por 5976 y que durante las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, a cuntos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%? .X calcetines a 12 .

Y calcetines al 30% de 12 ; 30/100 12 = 36 ; 12 - 36= 84 .

Z calcetines al 40% de 12 ; 40/100 12 =48 ; 12 48= 72 .

X + Y + Z = 600 X + Y + Z = 600

12 X + 8`4 Y + 7`2 Z =5976 Y + Z = 300

Y+ Z = 300 120X + 84 Y + 72 Z = 59760

1 1 1 600 1 1 1 600

0 1 1 300 0 1 1 300

30 21 18 14940 f3/3 10 7 6 4980 f3 - 10f1

1 1 1 600 1 1 1 600

0 1 1 300 0 1 1 300

0 -3 -4 -1020 f3 - 3 f2 0 0 -1 -120 - z = - 120 ;

Z =120 pares al 40%

Y = 300 120 = 180 pares al 30%

X = 300 pares sin rebaja.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dado el sistema ecuaciones, dependiente del parmetro real a:

a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.

b) Resolver el sistema para , c) resolver el sistema para el valor de a que lo haga compatible indeterminado, por el mtodo de Gauss (PAU Septiembre 2007)a) Llamamos M a la matriz de los coeficientes y M* a la matriz ampliada Si ( a = 0 o . Si

EMBED Equation.DSMT4 y

EMBED Equation.DSMT4 Rango (M) = Rango (M*) = 3 El sistema es compatible determinado. Solucion unica.

1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 Si , 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 0 0

1 1 1 1 0 1 0 0 0 2 0 2

1 0 1 1

0 1 0 0 0z = 2 sistema incompatible

0 0 0 2

Si , el sistema es:

y

Si , resolvemos el sistema por el mtodo de Gauss:

El sistema es:

Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parmetro real a:

x - 2y + z = 0

3x + 2y 2z = 3

2x+ 2y+ az = 8

a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.

b) Resolver el sistema para a = 4. (PAU Junio 2007) - 14 - 7

|C| = 8a+ 14 = 0 ( a = ------ = ------ 8 4

a) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes y la matriz

ampliada:

- 7

Si a ----- entonces Rango (C) = 3 = Rango (A) = n de

4 incgnitas ( el sistema es compatible determinado.

- 7

Si a = ----- entonces Rango (C) = 2 Rango (A) (A tiene un

4 menor de orden 3 no nulo) ( El sistema es incompatible

b) x - 2y + z = 0 -2y + x + z = 0 -2y + x + z = 0

3x + 2y 2z = 3 ( 2y + 3x 2z = 3 ( 4x z = 3 (2x + 2y + 4z = 8 2y + 2x +4z = 8 3x + 5z = 8

-2y + x + z = 0

4x z = 3

23x = 23

23

x = ----- = 1 ( 4x - z = 3 ( 4 - z = 3 ( z = 1

23

-2y + x + z = 0 ( -2y +1 + 1 = 0 ( -2y = -2 ( y = 1

MATRICES. Como deben ser las matrices rectangulares M y N para que pue-dan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo.

Si el orden de la matriz M es (m,n) y el de la matriz N es (p,q).

Para poder multiplicar M.N , el numero de columnas de M debe ser igual al numero de filas de N, es decir n = p.

De igual forma, para poder multiplicar N.M, el numero de columnas de N debe ser igual al de filas de M, es decir q = m

Por tanto, para poder multiplicar la M.N y la N.M a la vez, deber verificarse que el orden de M sea (m,n) y el orden de N sea (n,m) respectivamente.

Dada la matriz A, existe una matriz B, tal que el producto A.B, o bien el B.A, sea una matriz de una sola fila?.

3 1 4 -1

Poner un ejemplo con A = 2 0 1 3

1 2 -1 5

Siendo B de dimensiones (p,q) y A de dimensiones (3,4)

Si multiplicamos A.B ser necesario que el n de filas de B sea igual al n de columnas de A, es decir que p = 4

Esto nos indica que no existe ninguna matriz B de una sola fila.

Si multiplicamos B.A ser necesario que el n de columnas de B sea igual al n de filas de A, es decir que q = 3 y para que el resultado de B.A tenga una sola fila, ser necesario que la matriz B posea una sola fila, es decir p = 1

En este caso la matriz B tendr de dimensiones (1,3)

Si tomamos B = (1 0 0) y multiplicamos B.A nos queda:

3 1 4 -1

B.A = (1 0 0) 2 0 1 3 = (3 1 4 -1)

1 2 -1 3

0 1 0

Dada la matriz A = Halla At A y A At 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

At A = 1 0 = 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 1 0

A At = 1 0 =

1 0 1 0 1 0 2

0 1 2

Dada la matriz A = 0 0 3 calcula las matrices

0 0 0

A2, A3, A4 y A5. Obtn razonadamente la matriz An para n > 5 .

0 1 2 0 1 2 0 0 3

A2 = 0 0 3 0 0 3 = 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 3 0 1 2 0 0 0

A3 = 0 0 0 0 0 3 = 0 0 0 = O

0 0 0 0 0 0 0 0 0

A4 = A3 A = O A = O

A5 = A4 A = O A = O

Como consecuencia An = O A = O

Dada una matriz P 2x2 , a)existe una matriz Q tal que el producto PQ, o bien el producto QP sea una matriz de una sola fila?.

b) Calcular la matriz M = P2 3P 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y

-1 3

P =

2 1

a) P2x2 Qnxm = B1xm Nunca ya que si el resultado tiene una fila, el multiplicando tambien y aqu P tiene 2 filas

Qn x m P2x2 = B1 x m Si, siempre que m = 2 y n = 1 ya que asi, si m = 2, el n de columnas de la multiplicando coincidira con el n de filas de la multiplicadora y con el n de columnas del resultado.

Ademas, si n =1 , el n de filas de la multiplicando coincide con el n de filas del resultado.

-1 3 -1 3 -1 3 1 0

b) M = - 3 - 2 =

2 1 2 1 2 1 0 1

7 0 -3 9 2 0 8 -9

= - - =

0 7 6 3 0 2 -6 2

1 2 3 7 x

Dadas las matrices A = 3 2 1 , B = 9 y X = y

1 1 1 4 z

escriba las tres ecuaciones del sistema AX = B y resulvelo encontrando todas sus soluciones.

1 2 3 x 7 x + 2y + 3z = 7 e2-3e1 x + 2y + 3z = 7

3 2 1 y = 9 3x + 2y + z = 9 ( - 4y 8z = - 12 ( 1 1 1 z 4 x + y + z = 4 e3-e1 - y 2z = - 3 e3-e2

x + 2y + 3z = 7 x + 2y + 3z = 7

y + 2z = 3 ( y + 2z = 3 sistema compatible indeterminado

- y 2z = - 3 e3+e2 0z = 0

y = 3 2z

x + 2(3 2z) + 3z = 7 ( x + 6 4z + 3z = 7 ( x = 1 + z

x = 1 +

Las infinitas soluciones y = 3 - 2

z = 2 -3 x y -4 0

Encontrar x, y , u y v que verifican: =

1 0 u v 1 3

2x 3u 2y 3v -4 0 2x 3u = -4

= 2 3u = -4 ( 3u = 6 ( u = 2

x y 1 3 x = 1

2y 3v = 0

6 3v = 0 ( 3v = 6 ( v = 2

y = 3

Hallar todas las matrices simtricas de segundo orden, que verifiquen que A2 = I, siendo I la matriz unidad. Toda matriz A , de segundo orden, debe ser de la forma

a c

A =

c b

a c a c a2 + c2 ac + cb 1 0

A2 = = =

c b c b ac + cb c2 + b2 0 1

a2 + c2 = 1 c = 0

c2 + b2 = 1 ==> c.(a + b) = 0 ==>

ac + bc = 0 a + b = 0

Si c = 0 ==> a2 = 1 ==> a = 1 y b = 1

Si a = b = 0 ==> a = ( 1 - c2 y b = ( 1 - c2 Con todas estas soluciones, las posibles matrices simtricas se segundo orden, sern de la forma:

1 0 1 0 -1 0 -1 0 ( 1-c2 c -( 1-c2 c

, , , , ,

0 1 0 -1 0 1 0 -1 c -( 1-c2 c (1-c2

Estas dos ultimas para todo (c( ( 1

a 1 0

Hallar todas las matrices X de la forma 0 b 1 tales que

0 0 c

1 0 1X2 = 0 b 1 0 0 c

a 1 0 a 1 0 a2 a+b 1

X2 = 0 b 1 0 b 1 = 0 b2 b+c

0 0 c 0 0 c 0 0 c

1 0 1 1 = a2 ( a = 1, -1

X2 = 0 b 1 =( 0 = a + b

0 0 c b2 = b b(b-1) = 0 ( b = 0, 1

1 = b + c

Si a = 1 y b = 0 ( 0 = 1 + 0 No vale

Si a = 1 y b = 1 ( 0 = 1 + 1 No vale

Si a = -1 y b = 0 ( 0 = -1 + 0 No vale

Si a = -1 y b = 1 ( 0 = - 1 + 1 Si vale y la c = 1 b = 1 1 ( c = 0

-1 1 0

A = 0 1 1

0 0 0

Hallar X2 + Y siendo X e Y matrices que verifican :

2 0

5X + 3Y =

-4 15

1 -1

3X + 2Y =

-2 9

5 X + 3 Y = A 15 X + 9 Y = 3 A

( ( - Y = 3A 5B ( Y = -3 A + 5 B

3 X + 2 Y = B - 15 X 10 Y = - 5 B

2 0 1 -1 - 6 + 5 - 5 - 1 - 5

Y = -3 + 5 = =

- 4 15 -2 9 12 10 - 45 + 45 2 0

5 X + 3 Y = A 10 X + 6 Y = 2 A

( ( X = 2A 3B

3 X + 2 Y = B - 9 X 6 Y = - 3 B

2 0 1 -1 4 3 3 1 3

X = 2 - 3 = =

-4 15 -2 9 -8 + 6 30 27 -2 3

1 3 1 3 -1 -5 -5 12 -1 -5

X2 + Y = + = +

-2 3 -2 3 2 0 -8 3 2 0

- 6 7

X2 + Y =

- 6 3

Obtn las matrices A y B que verifican el sistema:

1 2 2

2A + B =

-2 1 0

-4 -3 -2

A 3B =

-1 0 -1

2A + B = X 2A + B = X 1

( ( 7B = X 2Y ( B = --- ( X 2Y)

A 3B = Y - 2A + 6B = - 2Y 7

2A + B = X 6A + 3B = 3X 1

( ( 7A = 3X + Y ( A = --- ( 3X + Y)

A 3B = Y A 3B = Y 7

1 1 2 2 -8 -6 -4 1 10 8 6

B = --- - = ---

7 -2 1 0 -2 0 -2 7 0 1 2

1 3 6 6 -4 -3 -2 1 -1 3 4

A = --- + = ---

7 -6 3 0 -1 0 -1 7 -7 3 -1

Sea A la matriz de una sola fila ( 2 1 5 ) y sea B la matriz de una

3

sola columna 2 . Se pueden multiplicar A.B y B.A?

4

Es A.B = B.A?

A1x3 y B3x1 luego es multiplicable

3

A.B = ( 2 1 5 ) 2 = 2.3 + 1.2 + 5.4 = 28

4

B3x1 y A1x3 luego son multiplicables

3 6 3 15

B.A = 2 ( 2 1 5 ) = 4 2 10

4 8 4 20

A.B ( B.A

10 2

Sea A = . Encuentra una matriz cuadrada triangular

2 4

B tal que B Bt = A. Es nica la matriz B?.

a b

Sea B = una matriz triangular de dimension 2x2

0 c a 0

Su traspuestas sera : Bt = Como B Bt = A

b c

a b a 0 10 2 a2 + b2 = 10

= b c = 2

0 c b c 2 4 c2 = 4 ( c = 2

Si c = 2 ; b = 2 / c = 2 / 2 ( b = 1 ; a2 + 12 = 10 ( a2 = 9 a = 3

Si c = -2 ; b = 2 / -2 ( b = -1 ; a2 + (-1)2 = 10 ( a2 = 9 a = 3

3 1 -3 1 3 -1 -3 -1

Hay 4 soluciones diferentes

0 2 0 2 0 -2 0 -2

1 1

Sea la matriz A = Hallar la ley de formacin

0 2

para las potencias sucesivas de A, calcular An y demostrarlo por induccin.

1 1 1 1 1 3 1 22-1

A2 = A A = = =

0 2 0 2 0 4 0 22

1 3 1 1 1 7 1 23-1

A3 = A2 A = = =

0 4 0 2 0 8 0 23

1 2n-1 1 24-1

An = Comprobacion n = 4 ; A4 =

0 2n 0 24

1 7 1 1 1 15

A4 = A3 A = =

0 8 0 2 0 16

-1 3 1 -5

Sean las matrices A = y B = Calcula: 2 4 -3 1

3A + B ; At ; 2A - 3B ; A B ; (A B)t ; At Bt .

-1 3 1 -5 -3 + 1 9 5 -2 4

3A + B = 3 + = = 2 4 -3 1 6 3 12 + 1 3 13

-1 2

At =

3 4

-2 6 3 -15 -5 21

2A 3B = - =

4 8 -9 3 13 5

-1 3 1 -5 -10 8

A B = =

2 4 -3 1 -10 -6

-10 -10

(A B)t =

8 -6

-1 2 1 -3 -11 5

At Bt = =

3 4 -5 1 -17 -5

1 -2 1 x -x

Sean las matrices A = 0 1 0 , X = y e Y = 2

-1 3 0 -2 z

a) Determine la matriz inversa de A.

b) Halle los valores de x, y, z para los que se cumple A X = Y.

(PAU JUNIO 2007)a)

1 -2 1

| A | = 0 1 0 = 0 + 0 + 0 (-1) 0 0 = 1

-1 3 0

Adj (A) t Como |A | es distinto de 0, la matriz A tiene inversa: A =

|A |

0 0 1 0 0 1 t 0 3 -1 0 3 -1

( = -3 1 1 Ad = 3 1 -1 ( Ad ) = 0 1 0 A-1 = 0 1 0

-1 0 1 -1 0 1 1 -1 1 1 -1 1

b)

Planteamos la ecuacin matricial:

1 -2 1 x -x x 2y - 2 = - x

0 1 0 y = 2 y = 2

-1 3 0 -2 z - x + 3y = z

Sustituimos y = 2 en las otras dos ecuaciones y se resuelve el sistema formado:

x 4 2 = - x 2x = 6 x = 3

z = 6 3 = 3

- x + 6 = z x + z = 6 z = 6 x

La solucin es x = 3, y = 2 y z = 3.

PROGRAMACIN LINEAL. En un taller se fabrican jerseys de lana de dos tipos. El primer tipo consume, por jersey, 4 madejas de 350 pesetas y 2 madejas de 300 pe-setas. El segundo tipo, 3 madejas de 350 pesetas y 3 de 320 pesetas. Los gastos de fabricacin son de 650 pesetas para el primer tipo y de 1900 pesetas para el segundo, siendo sus precios respectivos de venta 5000 y 6600 pesetas. Sabiendo que a la semana no se pueden fabricar ms de 100 jerseys y que por limitaciones de tecnologa, por cada jersey del se-gundo tipo hay que confeccionar por lo menos tres del primero, se pide obtener cual debe ser el nmero de jerseys de cada tipo, fabricados a la semana, para obtener el mximo beneficio.

La funcin z es la del beneficio, que luego haremos mximo.

El beneficio por la venta de 1 jersey de cada tipo ser:

precio venta (gastos fabricacin + n madejas . precio + n madejas . precio)

1er tipo: 5000 - (650 + 4350 + 2300) = 500 - 2650 = 2350

2do tipo: 6600 (1900 + 3350 +3320) = 6600 - 3910 = 2690

Si se fabrican x jerseys del 1er tipo e y jerseys del 2do tipo

Z = 2350 x + 2690 y ( funcin objetivo

Las restricciones sern:

No se pueden fabricar mas de 100 jerseys es decir x + y 100

Por cada jersey del 2do tipo hay que confeccionar al menos 3 del 1er tipo es decir

3y x

x0

Por ltimo como el n de jerseys no puede ser negativo

y0

El problema por tanto ser maximizar la funcin la funcin Z = 2350x + 2690y

x + y 100

3y x

Cumpliendo las restricciones

x 0

y 0

x + y 100 ; x + y = 100 x y

0 100 El punto (0,0) ( 0 100 Es valido

100 0

3y x ; 3y x = 0 0 0 El punto (100,0) ( 0 100 Es valido

300 100

Z = 2350 x + 2690 y ;

A (100,0) ; C(0,0)

3 y = x

B

y + x = 100 y + 3y = 100 ( 4y = 100

y = 25 ; x = 75 B( 75, 25)

La regin factible es el triangulo ABC incluidos sus lados.

Z(A) = 2350 . 100 + 2690 . 0 = 235000

Z(B) = 2350 . 75 + 2690 . 25 = 176250 + 67250 = 243500

Z(C) = 0

B (75,25) es el punto mximo (optimo) , luego se fabricaran 75 jerseys del primer tipo y

25 jerseys del segundo tipo.

En una encuesta realizada por TV, se detecta que un programa A con 20 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad, capta 30000 espectadores, mientras que otro programa B con 10 minutos de varie-dades y 1 minuto de publicidad capta 10000 espectadores. En un deter-minado periodo de tiempo, TV decide dedicar 80 minutos de varieda-des y los anunciantes 6 minutos de publicidad. Cuntas veces deber de aparecer cada programa con objeto de captar el mximo numero de espectadores?.

Si x es el numero de veces que se emite el programa A.

Si y es el numero de veces que se emite el programa B.

La funcion objetivo a maximizar sera Z = 30000 x + 10000 y

En variedades 20 x + 10 y ( 80 x ( 0

y las restricciones:

En publicidad 1 x + 1 y ( 6 y ( 0

20x + 10y ( 80 ( 2x + y = 8 x y Tomo (0,0) ( 0 ( 80 si vale

0 8

4 0

x + y ( 6 ( x + y = 6 x y Tomo (0,0) ( 0 ( 6 si vale

0 6

6 0

A(6,0) C(0,8)

x + y = 6

B: ( - x = - 2 ( x = 2 e y = 4 B(2,4)

2x + y = 8

Evaluemos la funcion objetivo z = 30000 x + 10000 y

Z(A) = 30000 6 + 10000 0 = 180000

Z(B) = 30000 2 + 10000 4 = 100000

Z(C) = 30000 0 + 10000 8 = 80000

Para captar el numero de espectadores maximo que seria de 180000, se necesita que aparezca 6 veces el programa A y ninguna el programa B.

Sea Z = x + 3y con las restricciones x + 6y ( 18 ; 8x + 3y ( 24 ; x ( 0 ; y ( 0 Hallar los valores de x e y para que la Z sea maximo.

La region factible es la misma que antes

C(0,8) B(18,0) A(2,8/3) son los vrtices que sustituiremos en Z

Z(A) = 2 + 3 8/3 = 1 + 8 = 9

Hay 2 puntos con la misma Z , en este caso las so-

Z(B) = 18 + 3 0 = 9

luciones seran todos los puntos de la recta x + 6y = 18

Z(C) = 0 + 3 8 = 24

Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de pltanos y 20 de man-zanas. Dos mayoristas que pueden suministrarle, solo le venden la fru-ta en contenedores completos. El mayorista A enva en cada contene-dor 8 cajas de naranjas, 1 de pltanos y 2 de manzanas. El B enva en cada contenedor 2 cajas de manzanas, 1 de pltanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km. de distancia y el B se encuentra a 300 Km., calcula cuantos contenedores habr que comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, re-duciendo al mnimo la distancia de lo solicitado.

Si tomamos x contenedores de A e y contenedores de B.

La funcin objetivo a minimizar ser la distancia a recorrer: z =150x + 300y

Restricciones:

Naranjas: 8 cajas x contenedores + 2 cajas y contenedores

16 cajas necesarias.

Pltanos: 1 caja x contenedores + 1 caja Y contenedores

5 cajas necesarias.

Manzanas: 2 cajas x contenedores + 7 cajas y contenedores

20 cajas necesarias.

El problema es:

Minimizar la funcin z = 150x + 300y con las restricciones

8x + 2y 16 x 0

x + y 5 y 0

2x + 7y 20

8x + 2y 16; Represento 4x + y = 8 x + y 5; Represento x + y = 5

x y x y

0 8 0 5

2 0 5 0

2x + 7y 20; Represento 2x + 7y = 20 x y

10 0

3 2

La regin factible es el plano abierto con los puntos A, B, C, D, E incluidos sus lados.

x + y = 5 x = 5 - y

B (0,8) E (10,0) C =

8x + 2y =16 8 (5 - y) + 2y = 16; 40 8y + 2y = 16

-6y = -24; y = 4 x = 5 4; x = 1 C (1,4)

x + y = 5 x = 5 - y

D =

2x + 7y = 20 2 (5 - y) + 7y = 20; 10 - 2y + 7y = 20; 5y = 10; y = 2

x = 5 2; x = 3 D (3,2)

Evaluemos la funcin objetivo z = 150x + 300y

Z (B) = 150 0 + 300 8 = 2400

Z (C) = 150 1 + 300 4 = 1350 El mnimo se alcanza en D (3,2).

Z (D) = 150 3 + 300 2 = 1050

Z (E) = 150 10 + 300 0 = 1500

Por tanto, el frutero compra 3 contenedores al mayorista A y 2 contenedores al mayorista B.

Una empresa farmacutica fabrica una vitamina en ampollas, que debe contener, al menos, 10 unidades de vitamina p y 24 unidades de vitamina q en cada ampolla. Dichas vitaminas se pueden obtener de dos compuestos A y B. A contiene 1 unidad de vitamina p y 8 unidades de vitamina q por cada gramo y B contiene 6 unidades de la p y 3 de la q, tambin por cada gramo. Si el producto A cuesta 15 cntimos por gramo y el B cuesta 30 cntimos por gramo, determinar las cantidades de cada producto que se deben de tomar para cada ampolla, a fin de que el coste sea mnimo.

Sea x la cantidad tomada de A e y la cantidad tomada de B.

La funcion objetivo sera Z = 15 x + 30 y

Para la vitamina p 1x + 6y ( 18 al menos

Las restricciones seran:

Para la vitamina q 8x + 3y ( 24 al menos

Ademas x ( 0 e y ( 0 como minimo.

1x + 6y ( 18 x + 6y = 18 x y Tomo (0,0) ( 0 ( 18 no vale

0 3

18 0

8x + 3y ( 24 8x + 3y = 24 x y Tomo (0,0) ( 0 ( 24 no vale

0 8

3 0

C(0,8) B(18,0)

x + 6y = 18 x + 6y = 18

A: - 15 x = - 30 ( x = 2 ; 2 + 6y = 18

8x + 3y = 24 - 16x 6y = - 48 6y = 16 ( y = 8 / 3

A ( 2, 8/3)

Z(A) = 152 + 30 8/3 = 30 + 80 = 110 centimos

Z(B) = 1518 + 300 = 270 centimos

Z(C) = 150 + 308 = 240 centimos

El coste minimo sera de 110 centimos y para ello tomaremos 2 gramos de producto A y 8/3 gr de producto B

Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2.000 y 3.000 euros por tonelada, res-pectivamente. Cada almazara le vende un mnimo de 2 toneladas y un mximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mnimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como mximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. Qu cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mnimo coste? Determnese dicho coste mnimo.

X Tn de aceite al almacen AY Tn de aceite al almacen B

Z = 2000 x + 3000 y

2 x 7

2 y 7 x y x y

x + y 6 x + y = 6 0 6

6 0

x 2y x = 2y x y

0 0

2 1

A (4, 2) Z (A) = 14000

B (7, 7/2) Z (B) = 24500

C (7, 7) Z (C) = 35000

D (2, 7) Z (D) = 25000

E (2, 4) Z (E) = 16000

El coste mnimo es en A, es de 14000 Debe comprar 4 Tn a A y 2 Tn a B. Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kgs de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable tipo B, 1000 euros.

Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio mxi-mo.

x = metros de cable A 100 // y = metros de cable B 100

-Funcin objetivo ( Z = 1500x + 1000y

-Restricciones:

10x + 15y 195 ( (5) 2x + 3y 39

2x + y 20 2x + y 20

x + y 14 x + y 14

x 0 x 0

y 0 y 0

2x + 3y = 39 ( x = 0 y = 13 / x = 39/2 y = 0

2x + y = 20 ( x = 0 y = 20 / x = 10 y = 0

x + y = 14 ( x = 0 y = 14 / x = 14 y = 0

x = 0

20

15

(1) E

10 D

REGIN

C

5 FACTIBLE

A B

y = 0

(2) (3) 5 10 15 20

Rectas:

(1): 2x + 3y = 39

(2): 2x + y = 20

(3): x + y = 14

Puntos:

A (0,0)

B (10,0)

2x + y = 20

C = ( x = 6 ; y = 8 C (6,8)

x + y = 14

2x + 3y = 39

D = ( y = 11 ; x = 3 D (3,11)

x + y = 14

E (0,13)

Bsqueda de beneficio mximo

Z (A) = 0

Z (B) = 1500 10 + 1000 0 = 15000

Z (C) = 1500 6 + 1000 8 = 17000 ( MXIMO

Z (D) = 1500 3 + 1000 11 = 15500

Z (E) = 1500 0 + 1000 13 = 13000

El beneficio mximo es de 17000 por cada 100 metros cuando se usan 600 metros de cable de tipo A ( x = 6 100) y 800 metros de cable de tipo B ( y = 8 100)

Una papelera quiere liquidar hasta 78kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A estn formados por 1 kg del papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El pecio de venta de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. Cuntos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? A cunto ascienden estos ingresos mximos?

Papel reciclado hasta 78 kg

Papel normal hasta 138 kg

A 1 kg papel reciclado cada lote se vende a 0,9

3 kg papel normal

B 2 kg papel reciclado cada lote se vende a 1

2 kg papel normal

x lotes de A , y lotes de B para maximizar ingresos

z = 0,9 x + 1 y

xy

039

780

x + 2y 78 x + 2y = 78 3x + 2y = 138

xy

069

460

3x + 2y 138

x 0

y 0

Los vrtices son:

A (0,0)

B (46,0)

D (0,39)

C x + 2y = 78 2y = 78 30 = 48 ; y = 24 C (30,24)

3x + 2y = 138 2x = 60 ; x = 30

z (A) = 0+0 = 0

z (B) = 0,9 46 + 1 0 = 41,4

z(C) = 0,9 30 + 1 24 = 27 + 24 = 51 24 = 27 + 24 = 51

z (D) = 0,9 0 + 1 39 = 39

Para que los ingresos sean mximos se deben vender 30 lotes A y 24 lotes B.

Los ingresos ascienden a 51 .

EMBED Equation.DSMT4

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_1335178173.unknown

_1335178218.unknown

_1335178407.unknown

_1335176012.unknown

_1335177168.unknown

_1335177836.unknown

_1335175915.unknown

_1335175166.unknown

_1335175210.unknown

_1335175472.unknown

_1335175143.unknown

_1335175009.unknown

_1335175060.unknown

_1335174538.unknown