1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

download 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

of 27

Transcript of 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    1/27

    1

    Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

    1.1 Problemas PAU

    Junio 94:Un grupo de personas se rene para ir de excursin, juntndose un total de 20 entre hombres,mujeres y nios. Contando hombres y mujeres juntos, su nmero resulta ser el triple del nmero denios. Adems, si hubiera acudido una mujer ms, su nmero igualara al de hombres.a) Plantear un sistema para averiguar cuntos hombres, mujeres y nios han ido de excursin.b) Resolver el problema.

    Solucin:Apartado a:

    Si llamamos x, y, z, al nmero de hombres, mujeres y nios, respectivamente, que fueron deexcursin, tendremos:

    =+

    =+

    =++

    xy

    zyx

    zyx

    1

    3

    20

    ; ordenamos:

    =+

    =+

    =++

    1

    03

    20

    yx

    zyx

    zyx

    Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    011

    311

    111

    Ma=

    1011

    0311

    20111

    Como 08

    011

    311

    111

    =

    =M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.

    Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

    64

    011

    310

    1120

    =

    =xM ; 56

    011

    301

    1201

    =

    =yM ; 40

    111

    011

    2011

    =

    =zM

    88

    64===

    M

    Mx

    x; 7

    8

    56===

    M

    My

    y; 5

    8

    40===

    M

    Mz

    z

    Luego, habrn asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 nios a la excursin.

    Septiembre 94:Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificacin de 8 puntos.En la segunda pregunta sac dos puntos ms que en la primera y un punto menos que en la tercera.a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuacin obtenida en cada una de laspreguntas.b) Resolver el sistema.

    Solucin:Apartado a:Si llamamos x, y, z, a la puntuacin obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos:

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    2/27

    2

    =

    +=

    =++

    1

    2

    8

    zy

    xy

    zyx

    , ordenamos:

    =

    =+

    =++

    1

    2

    8

    zy

    yx

    zyx

    Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    110

    011

    111

    Ma=

    1110

    2011

    8111

    03

    110

    011

    111

    =

    =M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.

    Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

    3

    111

    012

    118

    =

    =xM ; 9

    110

    021

    181

    =

    =yM ; 12

    110

    211

    811

    =

    =zM

    13

    3=

    ==

    M

    Mx

    x; 3

    3

    9=

    ==

    M

    My

    y; 4

    3

    12=

    ==

    M

    Mz

    z

    Luego, habr obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera.

    Septiembre 94 (bis):Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sustrminos independientes:

    A =

    1

    2

    aa

    a B =

    4

    4

    a) Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.b) Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.

    Solucin:Apartado a:

    El sistema expresado en forma matricial, ser:

    =

    4

    4

    1

    2

    y

    x

    aa

    a

    Efectuando el producto de matrices, y aplicando la definicin de igualdad de dos matrices,

    obtendremos el sistema pedido:

    =+

    =

    4)1(

    42

    yaax

    yax.

    Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    1

    2

    aa

    a Ma=

    41

    42

    aa

    a

    Analizamos los valores crticos haciendo |M| = 0

    01

    2 =

    =

    aa

    aM 02 =+ aa ( ) 01 =+aa 01 =a ; 12 =a

    Si 0a y 1a

    |M| 0r(M) = r(Ma) = 2S.C.D. (solucin nica).

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    3/27

    3

    Si 0=a

    M =

    10

    20 Ma=

    410

    420

    |M| = 0r(M) = 1 y r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor

    complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:41

    42

    . Por tanto, S.I. (No soluciones).

    Si 1=a

    M =

    21

    21 Ma=

    421

    421

    |M| = 0 r(M) = 1 y r(Ma) = 1, puesto que no es posible encontrar en la matriz Maun menorcomplementario de orden 2 y distinto de cero. Por tanto, S.C.I. (Infinitas soluciones).

    Junio 95:

    Un ama de casa adquiri en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a unprecio de 100, 120 y 150 ptas/kg., respectivamente. El importe total de la compra fueron 1.160 ptas.El peso total de la misma, 9 kg. Adems, compr 1 kg. mas de naranjas que de manzanas.a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto.b) Resolver el problema.

    Solucin:Apartado a:Si llamamos x, y, z, al nmero de kg. comprados de patatas, manzanas y naranjas, respectivamente,tendremos:

    =+

    =++

    =++

    zy

    zyx

    zyx

    1

    9

    1160150120100

    simplificamos:

    =

    =++

    =++

    1

    9

    116151210

    zy

    zyx

    zyx

    Apartado b)Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    110

    111

    151210

    Ma=

    1110

    9111

    116151210

    Como 07

    110

    111

    151210

    =

    =M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.

    Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

    14

    111

    119

    1512116

    =

    =xM ; 21

    110

    191

    1511610

    =

    =yM ; 28

    110

    911

    1161210

    =

    =zM

    27

    14===

    M

    Mx

    x; 3

    7

    21===

    M

    My

    y; 4

    7

    28===

    M

    Mz

    z

    Por tanto, habr comprado 2 kg. de patatas, 3 kg. de manzanas y 4 kg. de naranjas.

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    4/27

    4

    Septiembre 95:La matriz de coeficientes A, asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales, as como la de sustrminos independientes B son las siguientes:

    A =

    215

    112

    111

    B =

    2

    6

    12

    a) Deduce las ecuaciones del sistema indicando las operaciones hechas.b) Obtn, si es posible, la inversa de las matrices A y B. Razona las respuestas.

    Solucin:Apartado a:

    El sistema expresado en forma matricial, ser:

    =

    2

    6

    12

    215

    112

    111

    z

    y

    x

    Efectuando el producto de matrices, y aplicando la definicin de igualdad de dos matrices,

    obtendremos el sistema pedido:

    =+

    =+

    =++

    225

    62

    12

    zyx

    zyx

    zyx

    Apartado b: Determinacin de A1:

    - calculamos el determinante: 017

    215

    112

    111

    =

    =A

    Como que |A| 0, la matriz A es inversible.- calculamos la matriz adjunta A*, reemplazando cada elemento por el valor de su menor adjunto:

    =

    312

    473791

    *A

    - determinamos la matriz traspuesta de la adjunta:

    =

    347

    179

    231

    )( * TA

    - la matriz inversa ser:

    ==

    347

    179

    231

    17

    1)(

    1 *1 TAA

    A

    Determinacin de B1: no es posible pues B no es una matriz cuadrada.

    Junio 96:En una confitera envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. Y 1 kg. Cierto da se envasaron60 cajas en total, habiendo 5 cajas ms de tamao pequeo (250 gr.) que de tamao mediano (500gr.). Sabiendo que el precio del kg. de bombones es 4.000 ptas. y que el importe total de losbombones envasados asciende a 125.000 ptas:a) Plantear un sistema para determinar cuntas cajas se han envasado de cada tipo.b) Resolver el problema.

    Solucin:Apartado a:Tenemos que:

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    5/27

    5

    - precio de la caja de 250 gr. = 1000 ptas.- precio de la caja de 500 gr. = 2000 ptas.- precio de la caja de 1 kg. = 4000 ptas.

    Si llamamos x, y, z, al nmero de cajas envasadas de 250 gr. , 500 gr. y 1 kg., respectivamente,tendremos:

    =++

    +=

    =++

    125000400020001000

    5

    60

    zyx

    yx

    zyx

    simplificamos:

    =++

    =

    =++

    125421

    5

    60

    zyx

    yx

    zyx

    Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    421

    011

    111

    Ma=

    125421

    5011

    60111

    Como 05

    421

    011

    111

    ==M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.

    Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

    125

    42125

    015

    1160

    ==xM ; 100

    41251

    051

    1601

    ==yM ; 75

    12521

    511

    6011

    ==zM

    255

    125=

    ==

    M

    Mx

    x; 20

    5

    100=

    ==

    M

    My

    y; 15

    5

    75=

    ==

    M

    Mz

    z

    Por tanto, se habrn envasado 25 cajas pequeas, 20 medianas y 15 grandes.

    Junio 96 (R):El precio de entrada a cierta exposicin es de 200 ptas. para los nios, 500 para los adultos y 250para los jubilados. En una jornada concreta, la exposicin fue visitada por 200 personas en total,igualando el nmero de visitantes adultos al de nios y jubilados juntos. La recaudacin de dichoda ascendi a 73.500 ptas.a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuntos nios, adultos y jubilados visitaron laexposicin ese da.b) Resolver el problema.

    Solucin:Apartado a:

    Si llamamos x, y, z, al nmero de nios, adultos y jubilados, respectivamente, que visitaron ese dala exposicin, tendremos:

    =++

    +=

    =++

    73500250500200

    200

    zyx

    zxy

    zyx

    simplificamos:

    =++

    =+

    =++

    7350255020

    0

    200

    zyx

    zyx

    zyx

    Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    6/27

    6

    M =

    255020

    111

    111

    Ma=

    7350255020

    0111

    200111

    010

    255020

    111

    111

    ==M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.

    Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

    300

    25507350

    110

    11200

    ==xM ; 1000

    25735020

    101

    12001

    ==yM ; 700

    73505020

    011

    20011

    ==zM

    3010

    300=

    ==

    M

    Mx

    x; 100

    10

    1000=

    ==

    M

    My

    y; 70

    10

    700=

    ==

    M

    Mz

    z

    Luego, a la exposicin, habrn acudido 30 nios, 100 adultos y 70 jubilados.

    Septiembre 96:Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

    =+

    =+

    =++

    112

    522

    6

    zyx

    zyx

    zyx

    a) Obtn su matriz de coeficientes.b) Calcula el determinante de la matriz anterior.c) Sin resolver el sistema, razonar si tendr solucin nica.

    Solucin:Apartado a:

    Su matriz de coeficientes ser: M =

    112

    221

    111

    Apartado b:

    El determinante de dicha matriz ser:

    112

    221

    111

    =M = 2 1 + 4 + 4 + 2 1 = 6

    Apartado c:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz

    ampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    112

    221

    111

    Ma=

    11112

    5221

    6111

    Como 06

    112

    221

    111

    =

    =M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.

    Por lo que el sistema tendr una nica solucin.

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    7/27

    7

    Junio 97:En un supermercado van a poner en oferta dos marcas de detergente (A y B). El propietarioconsulta su libro de cuentas para ver las condiciones de una oferta anterior, encontrando la

    siguiente informacin: el nmero total de paquetes vendidos fueron 1.000 unidades; el precio delpaquete A 500 ptas; y el importe total de la oferta 440.000 ptas. Pero en sus anotaciones no aparecereflejado claramente el precio del paquete B.a) Plantear un sistema para determinar el nmero de paquetes vendidos de cada marca. Discutir sucompatibilidad.b) Averiguar si el precio del paquete B fue 400 o 408 ptas. cuntos paquetes se vendieron?

    Solucin:Apartado a:Si llamamos x e y al nmero de paquetes vendidos de las marcas A y B, respectivamente,tendremos:

    =+

    =+

    440000500

    1000

    myx

    yx , representando el parmetro m el precio del paquete de marca B.

    Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    m500

    11 Ma=

    440000500

    100011

    m

    Analicemos los valores crticos haciendo:|M| = 0m 500 = 0m = 500

    si m 500r(M) = 2 y r(Ma) = 2S.C.D.(solucin nica)

    si m = 500r(M) = 1 y r(Ma) = 2, pues es posible encontrar en sta, al menos, un menor

    complementario de orden 2 distinto de cero. Por ejemplo: 0440000500

    10001 S.I. (No solucin)

    Apartado b:

    Se trata de resolver el sistema para los valores m = 400 y m = 408:

    =+

    =+

    440000400500

    1000

    yx

    yx{x = 400, y = 600}

    =+

    =+

    440000408500

    1000

    yx

    yx {x=

    23

    8000, y=

    23

    15000}

    Como el nmero de paquetes vendido de cada marca debe ser un nmero entero, el precio delpaquete B tiene que haber sido 400 pesetas. En estas condiciones, se habran vendido 400 paquetesde la marca A y 600 paquetes de la marca B.

    Septiembre 97:

    La matriz de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es:

    A =

    5211

    0412

    2111

    a) Obtener las ecuaciones del sistema.b) Calcular el rango de la matriz formada por los coeficientes del sistema.c) Sin resolver el sistema, deducir razonadamente si admite soluciones y en qu nmero.

    Solucin:Apartado a:

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    8/27

    8

    El sistema asociado a la matriz dada ser:

    =++

    =+

    =++

    52

    042

    2

    zyx

    zyx

    zyx

    El mismo sistema, expresado en forma matricial:

    =

    5

    0

    2

    211

    412

    111

    z

    y

    x

    Apartado b:Para calcular el rango de la matriz de los coeficientes del sistema M, calculamos el valor de sudeterminante |M|:

    211

    412

    111

    =M = 2 + 2 4 1 4 4 = 13 0

    Como que |M| ( 0, sabemos que r(M) = 3

    Apartado c:Por el teorema de Rouch-Frbenius, sabemos que:

    si r(M) = r(Ma) = n incgnitasS.C.D. (Solucin nica)

    si r(M) = r(Ma) < n incgnitasS.C.I. (Infinitas soluciones)

    si r(M) r(Ma)S.I. (No soluciones)

    Como que |M| 0r(M) = r(Ma) = 3 S.C.D.Por lo tanto, el sistema admite solucin, y sta ser nica.

    Junio 98:Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El nmero total de matriculados es 352,pero los matriculados en la tercera son slo una cuarta parte de los matriculados en la primera.

    Adems, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda esinferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera.a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar el nmero de alumnos matriculados en cadasucursal.b) Resolverlo.

    Solucin:Apartado a:Si llamamos x, y, z, al nmero de alumnos matriculados en la primera, segunda y tercera sucursal,respectivamente, tendremos:

    =+

    =

    =++

    zyx

    xz

    zyx

    22

    4

    352

    , ordenamos:

    =

    =

    =++

    22

    04

    352

    zyx

    zx

    zyx

    Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    211

    401

    111

    Ma=

    2211

    0401

    352111

    Como 07

    211

    401

    111

    =

    =M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    9/27

    9

    Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

    1400

    212

    400

    11352

    =

    =xM ; 714

    221

    401

    13521

    =

    =yM ; 350

    211

    001

    35211

    =

    =zM

    2007

    1400=

    ==

    M

    Mx

    x; 102

    7

    714=

    ==

    M

    My

    y; 50

    7

    350=

    ==

    M

    Mz

    z

    Luego, habr 200 alumnos matriculados en la primera sucursal, 102 en la segunda y 50 en la tercera.

    Septiembre 98:

    La matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es:

    + 21

    1

    a

    ay la de los trminos

    independientes es:

    2

    2

    .a) Plantear las ecuaciones del sistema.b) Estudiar su compatibilidad en funcin de los valores de a. En qu casos tiene solucin nica?c) Resolverlo si a = 2.

    Solucin:Apartado a:

    El sistema asociado a las matrices dadas ser:

    =++

    =+

    22)1(

    2

    yxa

    ayx.

    El mismo sistema, expresado en forma matricial:

    =

    + 2

    2

    21

    1

    y

    x

    a

    a

    Apartado b:

    Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    + 21

    1

    a

    a Ma=

    + 221

    21

    a

    a

    Analizamos los valores crticos haciendo |M| = 0

    021

    1 =+=

    a

    aM 2 a2a = 0 a1= 1 y a2= 2

    Si a 1 y a 2

    |M| 0 r(M) = r(Ma) = 2 S.C.D. (solucin nica). Si a = 1

    M =

    22

    11

    Ma=

    222

    211

    |M| = 0 r(M) = 1 y r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor

    complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:22

    21

    .

    Por tanto, S.I. (No soluciones). Si a = 2

    M =

    21

    21 Ma=

    221

    221

    |M| = 0 r(M) = 1 y r(Ma) = 1, puesto que no es posible encontrar en la matriz Maun menorcomplementario de orden 2 y distinto de cero.

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    10/27

    10

    Por tanto, S.C.I. (Infinitas soluciones).Apartado c:Si suponemos que a = 2, tendremos que:

    =+=+

    22322

    yxyx , cuya solucin es: {x = 2, y = 2}

    Junio 99:

    Sean las matrices: A =

    1

    12

    1

    x

    x

    x

    ; B =

    y

    1 ; C =

    z

    z

    z

    2 ; D =

    31

    0

    1

    donde x, y, z son desconocidos.a) Calcular las matrices (AB) + C y 3Db) Sabiendo que (AB)+C = 3D, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de x, y,z.c) Estudiar la compatibilidad del sistema. Cuntas soluciones tiene?d) Encontrar, si es posible, una solucin.

    Solucin:Apartado a:Para multiplicar dos matrices, multiplicamos vectorialmente las filas de la primera por cada una delas columnas de la segunda. Para sumar dos matrices sumamos sus elementos correspondientes.As:

    A B + C =

    +

    z

    z

    z

    yx

    x

    x

    21

    1

    12

    1

    =

    +

    +

    +

    z

    z

    z

    yx

    yx

    yx

    22 =

    +

    +

    ++

    zyx

    zyx

    zyx

    22

    Para multiplicar una matriz por un escalar, multiplicamos cada uno de los elementos de la matrizpor dicho escalar. As:

    3D =

    31

    0

    1

    3 =

    1

    0

    3

    Apartado b:

    Como que (AB) + C = 3D, tenemos que:

    =

    +

    +

    ++

    1

    0

    3

    22

    zyx

    zyx

    zyx

    ,

    luego:

    =+=+

    =++

    1

    022

    3

    zyx

    zyx

    zyx

    Apartado c:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    111

    212

    111

    Ma=

    1111

    0212

    3111

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    11/27

    11

    Como 0

    111

    212

    111

    =

    =M r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor

    complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:12

    11

    r(Ma) = 2, puesto que no es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario deorden 3 y distinto de cero:

    0

    111

    210

    113

    =

    0

    111

    202

    131

    =

    0

    111

    012

    311

    =

    Como r(M) = r(Ma) = 2S.C.I. (Infinitas soluciones).Apartado d:

    Una de las ecuaciones es combinacin lineal de las otras dos; la eliminamos:

    =+

    =++

    1

    3

    zyx

    zyx

    Consideramos la z como constante y la pasamos, junto a los trminos independientes, al segundo

    miembro:

    +=+

    =+

    zyx

    zyx

    1

    3

    Para cada valor de z, obtendremos una posible solucin del sistema.Supongamos: z = 0:

    tendremos:

    =+

    =+

    1

    3

    yx

    yx {x = 1, y = 2}

    Septiembre 99:

    En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede repostar gasolina en tresestaciones de servicio (A, B y C). El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolina en Aha sido de 120 ptas/litro y el precio de la gasolina en B de 118 ptas/litro, pero ha olvidado el precioen C. (Supongamos que son m ptas/litro).Tambin recuerda que:- la suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B super en 4680 ptas. al gasto en C.- el nmero de litro de gasolina consumidos en B fue el mismo que en C.- el gasto de litros en A super al de B en 1260 ptas.a) Plantea un sistema de ecuaciones (en funcin de m) para determinar los litros consumidos encada gasolinera.b) Estudiar la compatibilidad del sistema en funcin de m. Puedes dar algn precio al que seaimposible haber vendido la gasolina en la gasolinera C?

    Solucin:Apartado a:Si llamamos x, y, z, al nmero de litros que ha repostado en las gasolineras A, B y C,respectivamente, tendremos:

    +=

    =

    +=+

    1260118120

    4680118120

    yx

    zy

    mzyx

    , ordenamos:

    =

    =

    =+

    1260118120

    0

    4680118120

    yx

    zy

    mzyx

    Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    12/27

    12

    M =

    0118120

    110

    118120 m

    Ma=

    12600118120

    0110

    4680118120 m

    Analizamos los valores crticos haciendo |M| = 0

    0

    0118120

    110

    118120

    =

    =

    m

    M 14160 + 120m 14160 = 0 m = 236

    Si m 236

    |M| 0r(M) = r(Ma) = 3S.C.D. (solucin nica). Si m = 236

    M =

    0118120

    110

    236118120

    Ma=

    12600118120

    0110

    4680236118120

    |M| = 0 r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de

    orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:10

    118120 ; r(M a) = 3, puesto que es posible encontrar en

    la matriz Maun menor complementario de orden 3 y distinto de cero; por ejemplo:

    1260118120

    010

    4680118120

    Como r(M) r(Ma)S.I. (No solucin).Por esta razn, resultara imposible haber vendido la gasolina a 236 ptas. litro en la gasolinera C.

    Junio 00:Sea 6A + 2I = B una expresin matricial, donde B denota una matriz cuadrada de orden 2x2, tal que

    B =

    13

    16e I, la matriz unidad de orden correspondiente.

    a) Qu dimensin tiene la matriz A?

    b) Determine los elementos que integran la matriz A, esto es, qpji Aa ,, .

    c) Calcule A + 2I.

    Solucin:Apartado a:Para que dos matrices puedan sumarse es necesario que tengan la misma dimensin; adems, susuma es otra matriz de la misma dimensin que las matrices sumandos. Por tanto, la matriz A tiene

    que tener dimensin 2x2.Apartado b:

    Como 6A + 2I = B, entonces: 6A = B 2I ( )IBA 26

    1=

    =

    10

    012

    13

    16

    6

    1A =

    20

    02

    13

    16

    6

    1=

    33

    14

    6

    1=

    2

    12

    16

    13

    2

    Apartado c:

    A + 2I =

    +

    10

    012

    21

    21

    61

    32

    =

    23

    21

    61

    38

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    13/27

    13

    Septiembre 00:

    Sean A =

    53

    121

    y y B =

    +

    zxz

    x

    3

    11

    dos matrices de orden 2x3, en las que x, y, z denotan

    valores numricos desconocidos.

    a) Determine, razonadamente, los valores de x, y, z de manera que A = B.b) Es posible el clculo de AxB? Razone la respuesta.

    Solucin:Apartado a:Para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan la misma dimensin y, adems, que los

    elementos que ocupen la misma posicin en ambas sean iguales ( jiji ba ,, = ). Por tanto, si:

    A =

    53

    121

    yy B =

    +

    zxz

    x

    3

    11, entonces:

    A = B

    +=

    =

    =

    =

    zx

    z

    y

    x

    5:queverificaseAdems,

    3

    3

    2

    Apartado b:Para que pueda efectuarse el producto AxB , es necesario que el nmero de columnas de A seaigual al nmero de filas de B. Como que la matriz A tiene 3 columnas y la matriz B tiene 2 filas, elproducto AxB NO puede efectuarse.

    Junio 01:Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un

    piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 120.000 ptas. Si laoperacin es la venta de un piso usado recibe 60.000 ptas. Se desconoce la prima cuando laoperacin es un alquiler.Este mes el nmero total de operaciones fue 5. La prima total por venta de pisos fue superior en200.000 ptas. a la obtenida por alquileres, y la prima total por venta de pisos nuevos fue el triple quepor alquileres.a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el nmero de operaciones de cadatipo realizadas (en funcin de la prima de alquiler de valor desconocido).b) Indica una prima a la que es imposible que se hayan podido pagar los alquileres.c) Indica tres primas a las que es posible que se hayan podido pagar los alquileres.d) Si la prima de alquileres fue de 20.000 ptas. cuntas operaciones de cada tipo se realizaron?

    Solucin:

    Apartado a:Llamamos x, y, z, al nmero operaciones de cada tipo que ha realizado y m a la prima desconocida(en miles de pesetas):

    x = n ventas de pisos nuevosy = n ventas de pisos usadosz = n alquileres

    Con lo que tendremos:

    =

    +=+

    =++

    mzx

    mzyx

    zyx

    3120

    20060120

    5

    , ordenamos:

    =

    =+

    =++

    03120

    20060120

    5

    mzx

    mzyx

    zyx

    Apartado b:

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    14/27

    14

    Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    m

    m

    30120

    60120

    111

    Ma=

    030120

    20060120

    5111

    m

    m

    Analizamos los valores crticos haciendo |M| = 0

    0

    30120

    60120

    111

    =

    =

    m

    mM 60m 7200 = 0 m = 120

    Si m 120

    |M| 0r(M) = r(Ma) = 3S.C.D. (solucin nica). Si m = 120

    M =

    3600120

    12060120

    111

    Ma=

    03600120

    20012060120

    5111

    |M| = 0 r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de

    orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:60120

    11

    r(Ma) = 3, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 3 y

    distinto de cero; por ejemplo:

    00120

    20060120

    511

    Como r(M) r(Ma)S.I. (No solucin).Por esta razn, resultara imposible que las primas por alquileres fueran 120.000 ptas.

    Apartado c:Resolvemos el sistema en funcin de m:

    720060

    30120

    60120

    111

    =

    = m

    m

    mM

    m

    m

    mMx 300

    300

    60200

    115

    =

    = 720060

    300

    ==

    m

    m

    M

    Mx

    x

    24000600

    30120

    200120

    151

    =

    = m

    m

    mMy 720060

    24000600

    ==

    m

    m

    M

    My

    y

    12000

    00120

    20060120

    511

    ==zM 720060

    12000

    ==

    mM

    Mz

    z

    Apartado d:Si la prima de alquileres hubiera sido de 20.000 ptas, tendramos: m = 20

    1720060

    300=

    ==

    m

    m

    M

    Mx

    x; 2

    720060

    24000600=

    ==

    m

    m

    M

    My

    y; 2

    720060

    12000=

    ==

    mM

    Mz

    z

    Con lo que habra vendido 1 piso nuevo, 2 pisos usados y realizado 2 alquileres.

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    15/27

    15

    Septiembre 01:

    Sean las matrices: A =

    01

    1

    1

    a

    a

    ; B = yx ; C =

    0

    1

    1

    ; D =

    z

    z

    z

    a) Sabiendo que AB = 2C D, plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas (representadas porx, y, z) donde a es cierto valor desconocido.b) Si se supiera que el sistema tiene solucin, podramos descartar algn valor de a?c) Si se supiera que el sistema tiene solucin nica, podramos descartar algn valor de a?d) Hay algn valor de a para el que el sistema tenga ms de una solucin?

    Solucin:Apartado a:Como sabemos que AB = 2C D, tendremos:

    =

    zz

    z

    y

    x

    a

    a

    01

    1

    201

    1

    1

    =

    +

    +

    zz

    z

    xayx

    yax

    2

    2

    Luego:

    =

    =+

    =+

    zx

    zayx

    zyax

    2

    2

    =+

    =++

    =++

    0

    2

    2

    zx

    zayx

    zyax

    Discutimos el sistema, analizando el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada:

    M =

    101

    11

    11

    a

    a

    Ma=

    0101

    211

    211

    a

    a

    010111

    11

    2

    === aaa

    a

    M {a = 0} , {a = 1}

    Si a 0 y a 1:r(M) = r(Ma) = 3

    Si a = 0:

    M =

    101

    101

    110

    Ma=

    0101

    2101

    2110

    =

    =

    0

    001

    201

    210

    3)(

    001

    102)(

    puesMr

    puesMr

    a

    S. I.

    Si a = 1:

    M =

    101

    111

    111

    Ma=

    0101

    2111

    2111

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    16/27

    16

    =

    =

    001

    102)(

    001

    102)(

    puesMr

    puesMr

    a

    S. C. I.

    Apartado b:Si el sistema tiene solucin, es un sistema compatible. Podemos descartar el valor a = 0 porque,entonces:

    =+

    =+

    =+

    0

    2

    2

    zx

    zx

    zy

    la 2a y 3a ecuacin son contradictorias.

    Apartado c:Si el sistema tiene solucin nica, es un sistema compatible determinado. Podemos descartar,adems del anterior valor a = 0, el valor a = 1 porque, entonces:

    =+

    =++

    =++

    0

    2

    2

    zx

    zyx

    zyx

    la 1a y 2a ecuacin son iguales y quedan menos ecuaciones que incgnitas.

    Apartado d:Si el sistema tiene ms de una solucin, es un sistema compatible indeterminado. a = 1

    Junio 02:En una farmacia se comercializan 3 tipos de champ de cierta marca: normal, con vitaminas yanticaspa. Se sabe que el precio al que se vende el normal es de 2 euros y el de vitaminas es de 3euros. Se desconoce el precio al que se vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenidopor las ventas de los 3 tipos de champ el mes pasado fue de 112 euros y el dinero obtenido en

    ventas con el champ normal fue 56 euros inferior al dinero total obtenido en ventas con el resto.Adems, el dinero total obtenido en ventas con el champ de vitaminas y el anticaspa fue el mismoque el que hubiera obtenido vendiendo 28 unidades del anticaspa y ninguna de los dems.a) Plantea un sistema de ecuaciones (en funcin del precio desconocido del champ anticaspa, quepuedes llamar por ejemplo m) donde las incgnitas ( x, y, z) sean las unidades vendidas el mespasado de cada tipo de champ.b) Qu puedes concluir sobre el precio del champ anticaspa a partir de un estudio de lacompatibilidad del sistema?c) Si se sabe que el nmero de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el resultado delapartado (b) para calcular las unidades vendidas de los otros 2.

    Solucin:Apartado a:

    Llamamos x, y, z, al nmero de unidades de cada tipo que ha vendido y m al precio desconocidodel champ anticaspa

    x = n unidades champ normaly = n unidades champ con vitaminasz = n unidades champ anticaspa

    Con lo que tendremos:

    =+

    +=+

    =++

    mmzy

    mzyx

    mzyx

    283

    3562

    11232

    , ordenamos:

    =+

    =

    =++

    mmzy

    mzyx

    mzyx

    283

    5632

    11232

    Apartado b:

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    17/27

    17

    M =

    m

    m

    m

    30

    32

    32

    ; Ma=

    mm

    m

    m

    2830

    5632

    11232

    0

    30

    32

    32

    =

    m

    m

    m

    r (M) = 2, pues 030

    32

    2830

    5632

    11232

    m

    = 336m + 1008 = 0{m = 3}

    Si m = 3:r(M) = r(Ma) = 2 < n incgnitasS.C.I. (Infinitas soluciones)

    Si m 3:

    r(M) = 2 r(Ma) = 3S.I. (no hay solucin)

    Apartado c:Como que m = 3 y sabemos que z = 20, el sistema se convierte en:

    =+

    =

    =++

    mmzy

    mzyx

    mzyx

    283

    5632

    11232

    =+

    =

    =++

    8433

    56332

    112332

    zy

    zyx

    zyx

    =+

    =

    =++

    84603

    566032

    1126032

    y

    yx

    yx

    =

    =

    =+

    243

    432

    5232

    y

    yx

    yx

    {x = 14, y = 8}

    Septiembre 02:

    Sean las matrices A =

    a33

    211

    121

    , B =

    a

    a

    0

    , C =

    0

    0

    0

    , donde a es desconocido.

    a) Sea el sistema de 3 ecuaciones con tres incgnitas cuya matriz de coeficientes es A y de trminosindependientes B. Puede para algn valor de a no tener solucin este sistema? Para qu valoresde a el sistema tiene solucin nica?b) Si la matriz de coeficientes es A pero la de trminos independientes es C, es posible que paraalgn valor de a el sistema no tenga solucin? Encuentra un valor de a para el que el sistema tengams de una solucin y calcula dos de ellas.

    Solucin:Apartado a:

    El sistema ser:

    =+

    =++

    =+

    aazyx

    azyx

    zyx

    33

    2

    02

    , siendo:

    M =

    a33

    211

    121

    ; Ma=

    aa

    a

    33

    211

    0121

    |M| = 3a + 12 = 0{a = 4}

    Si a 4:r(M) = r(Ma) = 3 = no de incgnitasS.C.D. (Solucin nica)

    Si a = 4:r(M) = r(Ma) = 2 < n de incgnitasS.C.I. (Infinitas soluciones)

    Apartado b:El sistema ser homogneo:

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    18/27

    18

    =+

    =++

    =+

    033

    02

    02

    azyx

    zyx

    zyx

    , siendo:

    M =

    a33

    211

    121

    ; Ma=

    033

    0211

    0121

    a

    Un sistema homogneo siempre es compatible y tiene, al menos, la solucin trivial {x = 0, y = 0, z =0}.Cuando |M| = 0r(M) = r(Ma) = 2 < n de incgnitasS.C.I. (Infinitas soluciones) Si a = 4:

    =+

    =++

    =+

    0433

    02

    02

    zyx

    zyx

    zyx

    ==

    = zz

    zy

    zx ,

    3,

    3

    5

    - si z = 0{x = 0, y = 0, z = 0}

    - si z = 1{x=3

    5, y=

    3

    1, z=1}

    - si /

    Junio 03:

    La matriz de coeficientes de un sistema es

    141

    1

    121

    a

    aa y la de trminos independientes

    a2

    1

    1

    .

    a) Para qu valor o valores de a el sistema no tiene solucin?

    b) Para cierto valor de a un individuo encontr 2 soluciones del sistema. Cunto vala a? Tenams soluciones el sistema?c) Encuentra un valor de a para que el sistema tenga una nica solucin y, para dicho valor,resulvelo.

    Solucin:Se trata de analizar la compatibilidad del sistema en funcin del valor del parmetro a. Para elloescribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    141

    1

    121

    a

    aa Ma=

    aa

    aa

    2141

    11

    1121

    Analizamos los valores crticos haciendo |M| = 0

    141

    1

    121

    a

    aaM = = 4a2+ 6a 2 = 0 {a = 1/2} , {a = 1}

    Si a y a 1

    |M| 0r(M) = r (Ma) = 3S.C.D. (solucin nica) Si a =

    M =

    1212

    12

    11

    121

    Ma=

    1121

    12

    12

    11

    1121

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    19/27

    19

    r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de orden 2 y

    distinto de cero; por ejemplo:

    2

    11

    21 .

    r(Ma) = 2, puesto que no es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 3y distinto de cero.Por tanto, S.C.I. (infinitas soluciones) Si a = 1

    M =

    141

    111

    121

    Ma=

    2141

    1111

    1121

    r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de orden 2 y

    distinto de cero; por ejemplo:11

    21 .

    r(Ma) = 3, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 3 y

    distinto de cero ; por ejemplo:

    241

    111

    121

    Por tanto, S.I. (no soluciones)Apartado a:Para que el sistema no tenga solucin, ha de ser incompatible; por tanto a = 1.Apartado b:Para que el sistema admita dos soluciones, ha de admitir infinitas y ser compatible indeterminado;por tanto a = 1/2Apartado c:

    Para que el sistema tenga solucin nica ha de ser compatible determinado; por tanto a 1 y a

    1/2.Supongamos a = 0:

    M =

    101

    001

    121

    Ma=

    0101

    1001

    1121

    El sistema ser:

    =+

    =

    =++

    0

    1

    12

    zx

    x

    zyx

    { x = 1, y = , z = 1 }

    Septiembre 03:

    Sean las matrices: A =

    11

    00

    11

    , B =

    00

    0

    y

    zx , C =

    000

    0

    00

    zy

    x

    , D =

    1

    1

    1

    , E =

    a

    a

    0

    .

    a) Sabiendo que (AB C) D = 2E, plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas (representadaspor x, y, z) en funcin de a.b) Para algn valor de a el sistema tiene solucin nica?

    c) Para a = 0 encuentra una solucin del sistema con z 0.

    Solucin:Apartado a:Efectuamos las operaciones indicadas para poder plantear el sistema:

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    20/27

    20

    =

    =

    zyx

    zyx

    y

    zxAB 000

    00

    0

    11

    00

    11

    =

    =

    zyx

    zy

    zy

    zy

    x

    zyx

    zyx

    CAB 0

    0

    000

    0

    00

    000

    ++

    +

    +

    =

    =

    zyx

    zy

    zy

    zyx

    zy

    zy

    DCAB

    1

    1

    1

    0

    0

    )(

    =

    =

    a

    a

    a

    aE

    2

    2

    00

    22

    Por tanto, para que se cumpla (AB

    C) D = 2E

    =

    ++

    +

    +

    a

    a

    zyx

    zy

    zy

    2

    2

    0

    =++

    =+

    =+

    azyx

    azy

    zy

    2

    2

    0

    Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    111

    110

    110

    Ma=

    a

    a

    2111

    2110

    0110

    Analizamos los valores crticos haciendo |M| = 0

    0

    111

    110

    110

    ==M

    Si a 0r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de orden 2 y

    distinto de cero; por ejemplo:11

    10

    r(Ma) = 3, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 3 y

    distinto de cero: a

    a

    a 2

    211

    210

    010

    =

    Como r(M) r(Ma)S.I. (No solucin). Si a = 0r(M) = 2, puesto que no vara.r(Ma) = 2, puesto que no es posible encontrar un menor complementario de orden 3 y distinto de

    cero en Ma=

    0111

    0110

    0110

    Como r(M) = r(Ma) < n de incgnitasS.C.I. (Infinitas soluciones).En ningn caso el sistema tiene solucin nica, puesto que para ningn valor de a resulta sercompatible determinado.

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    21/27

    21

    Apartado c:Si a = 0, tenemos:

    =++=+

    =+

    0

    0

    0

    zyx

    zy

    zy

    =++

    =+

    00zyx

    zy

    =+

    =

    zyxzy {x = 0, y = k, z = k}

    Una posible solucin con z 0 sera: {x = 0, y = 7, z = 7}

    Junio 04:Un individuo realiza fotografas con una cmara digital. Sabe que cada fotografa de calidad normalocupa siempre 020 megabytes de memoria. Cada fotografa de calidad ptima ocupa siempre unacantidad A de megabytes, pero el individuo no la conoce. Esta semana ha llevado a revelar 24fotografas que le han ocupado un total de 92 megabytes de memoria.a) Plantea un sistema de ecuaciones (en funcin de A) donde las incgnitas sean el nmero de fotosde cada clase que ha realizado. Estudia la compatibilidad del sistema.b) Hay alguna cantidad de megabytes que es imposible que ocupe cada foto de calidad ptima?c) La semana pasada tambin hizo 24 fotos y ocup 92 megabytes de memoria total. Es posibleque el nmero de fotos de cada tipo fuera diferente al de esta semana?

    Solucin:Apartado a:Si llamamos x, y, al nmero de fotos realizadas en calidades normal y ptima, respectivamente,tendremos:

    =+

    =+

    2.92.0

    24

    Ayx

    yx

    Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    A2.011 Ma=

    2.92.02411

    A

    2.02.0

    11 == A

    AM ; |M| = 0A = 0.2

    Si A 0.2

    r(M) = 2, puesto que |M| 0r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 2 y

    distinto de cero: 4.42.92.0

    241 =

    Como r(M) = r(Ma)S.C.D.Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

    2.9

    124

    AMx = = 24A - 9.2 ;

    2.92.0

    241=yM = 4.4

    2.0

    2.924

    ==

    A

    A

    M

    Mx

    x;

    2.0

    4.4

    ==AM

    My

    y

    Si A = 0.2

    r(M) = 1, puesto que |M| 0r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 2 y

    distinto de cero:2.92.0

    241 = 4. 4

    Como r(M) r(Ma)S.I.(no hay soluciones)

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    22/27

    22

    Apartado b)Luego resultara imposible que cada foto de calidad ptima ocupe 02 megabytes de memoria.Apartado c:

    S. El sistema presenta infinitas soluciones posibles; vienen dadas por todos aquellos valores de A 0, que generen soluciones enteras para x, y.

    Septiembre 04:

    Sean las matrices: A =

    m

    x

    0

    22 ; B =

    y

    5 ; C =

    x10

    0 ; D =

    m

    110 ; E = ( )m3

    a) Calcula cada uno de los tres productos AB; DE; EBb) Si AB + C = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incgnitas (representadas por x, y) enfuncin de m. Para qu valores de m el sistema tiene solucin? Es siempre nica?

    Solucin:Apartado a:

    AB =

    ym

    x 5

    0

    22 =

    +

    my

    yx 252 =

    +

    my

    yx

    2

    410

    DE = ( )mm

    31

    10

    =

    23

    310

    mm

    m=

    21030

    1030

    mm

    m

    EB = ( )

    ym

    53 = ( )my+15

    Apartado b:

    AB+C = D

    +

    my

    yx

    2

    410+

    x10

    0=

    m

    110

    +

    my

    yx

    2

    410+

    x10

    0=

    m10

    10

    =+

    =+

    mxmy

    yx

    10102

    10410

    =+

    =+

    mmyx

    yx

    10210

    10410

    Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

    M =

    m210

    410 Ma=

    mm 10210

    10410

    4020210

    410 == m

    mM ; |M| = 0m = 2

    Si m 2

    r(M) = 2, puesto que |M| 0r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de

    orden 2 y distinto de cero.

    Como r(M) = r(Ma)S.C.D. (solucin nica) Si m = 2

    M =

    410

    410 Ma=

    20410

    10410

    r(M) = 1, puesto que |M| 0r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de

    orden 2 y distinto de cero:2010

    1010 = 100

    Como r(M) r(Ma)S.I. (no hay soluciones)

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    23/27

    23

    1.2 Problemas propuestos

    B1-01:

    Una persona dispona de 60.000 y los reparti en tres fondos de inversin diferentes (A, B y C),obteniendo as 4.500 de beneficios. Sabemos que en el fondo A invirti el doble que en los fondosB y C juntos; sabemos tambin que el rendimiento de la inversin realizada en los fondos A, B y Cfue del 5%, 10% y 20% respectivamente.a) Plantear un sistema para determinar las cantidades invertidas en cada uno de los fondos.b) Resolver el sistema anterior.

    B1-02:Parte de los huspedes de un pequeo hotel se encuentra en el comedor; en el mismo momento otraparte se encuentra en la sala de estar y el resto en la biblioteca. Posteriormente, 4 se desplazan delcomedor a la biblioteca, 1 de la sala de estar al comedor y 2 de la biblioteca a la sala de estar. Ahora,ha quedado el mismo nmero de personas en cada una de las tres estancias.

    a) Plantear un sistema para determinar cuntas personas se encontraban inicialmente en cadahabitacin.b) Resolverlo para determinar cuntos huspedes se alojan en el hotel.

    B1-03:Una tienda de msica ha obtenido unos ingresos de 12768 al vender 600 discos compactos de tresgrupos musicales. Los discos se vendan a 24 ; sin embargo, los del segundo y tercer grupo, al sermenos recientes, se vendieron con descuentos del 30% y del 40% respectivamente. Sabemos que elnmero de discos vendidos con descuento fue la mitad que el nmero de discos que se vendieron asu precio original.a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar cuantos discos de cada grupo se vendieron.b) Resolverlo.

    B1-04:En un pas A, existen tres aeropuertos internacionales (A1, A2 y A3); en otro pas B existen 4 ( B1,B2, B3 y B4); y en un tercer pas C existen dos ( C1 y C2).Desde el aeropuerto A1 salen vuelos con destino a B1, B2, C1 y dos vuelos con destino a B3.Desde el aeropuerto A2 salen vuelos con destino a B2, B3 y dos vuelos con destino a B4.Desde el aeropuerto A3 slo sale un vuelo con destino a B3.Desde cada aeropuerto del pas B, salen dos vuelos a cada uno de los aeropuertos del pas C.Se pide, expresar mediante matrices:a) los vuelos del pas A al B.b) los vuelos del pas B al C.c) los vuelos del pas A al C, necesiten o no efectuar transbordo en el pas B.

    B1-05:El cruce de carreteras esquematizado en el dibujo indica el nmero de coches/hora que transita porcada tramo de carretera, de direccin y sentido nico.a) Si se suspende el trfico en el tramo AB por obras, qu nmero de vehculos han de transitar porlos tramos AC y BC?b) Podra cerrarse al trfico el tramo AC? Y el tramo CB? Por qu?

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    24/27

    24

    B1-06:

    Una empresa ha vendido 42000 artculos de papelera, bolgrafos, gomas y rotuladores, al precio de1.2, 1.5 y 2 respectivamente. El total de los ingresos producidos por esas ventas asciende a 64000 .Se sabe, adems, que el nmero de bolgrafos que se ha vendido es el 40% del nmero total delresto de artculos vendidos.a) Plantear un sistema para determinar el nmero de cada tipo de artculos vendidos.b) Resolverlo.

    B1-07:

    Sea la matriz A =

    001

    100

    010

    a) Comprueba que: 1= AAT

    b) Calcula el valor de ( )2003TAA

    B1-08:

    Discute el siguiente sistema en funcin de los valores a.

    =++

    =+

    =+

    0

    1

    22

    zayx

    zyax

    zyx

    B1-09:

    Sea la matriz: A =

    10

    21

    Hallar las matrices B que conmuten con A; es decir: A B = B A

    B1-10:Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas y un parmetro n:

    =

    =

    nyxnn

    nyxn

    4)12(

    1

    2

    2

    a) exprsalo en forma matricialb) disctelo segn los valores del parmetro n.c) determina su solucin para n = 2.

    B1-11:

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    25/27

    25

    Dadas las siguientes ecuaciones

    =+

    =+

    432

    5296

    zyx

    zyx, se pide:

    a) aade una ecuacin para que el sistema resulte ser incompatible.b) aade una ecuacin para que el sistema resulte ser compatible determinado.

    Justifica las respuestas.

    B1-12:Una librera ha vendido 3900 libros de matemticas, correspondientes a tres editoriales diferentes,A, B, y C. Sabemos que de la editorial B se han vendido el doble de ejemplares que de la editorial A.Sabemos, tambin, que la razn entre el nmero de ejemplares vendidos de las editoriales B y C esigual a 2/3.Plantear un sistema para determinar el nmero de libros vendidos de cada editorial. Resolverlo.

    B1-13:Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo L1, L2 y L3. El importe total de la edicin

    es de 18750 . Los costes, en euros, por unidad, son 7, 5 y 6, respectivamente.Se sabe que el nmero de ejemplares de L3 es igual a los dos sptimos de los del tipo L2 y que, si altriple del nmero de ejemplares de L1 se le suma el nmero de ejemplares de L3 , se obtiene eldoble de ejemplares de L2.a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuntos libros de cada tipo se han editado.b) Resuelve dicho sistema.

    B1-14:

    Sean las matrices: C =

    010

    011

    223

    , D =

    102

    111

    012

    a) Hallar: C1y D1b) Calcular la matriz inversa de C Dc) Comprobar que (C D)1= D1 C1

    B1-15:Un autobs urbano transporta en hora punta 90 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billeteentero, que vale 1 ; estudiantes que tienen un 25% de descuento al presentar el carnet; jubilados dela localidad que nicamente pagan el 50% del precio del billete. La recaudacin del autobs en eseviaje fue de 64 . Calcula el nmero de viajeros de cada clase sabiendo que el nmero de jubiladosera el mismo que el nmero del resto de viajeros.

    B1-16:

    Sea la matriz A =

    015

    102

    212

    .

    Calcula, si existen, las siguientes matrices:

    a) Una matriz X tal que X A = ( )101

    b) Una matriz Y tal que A Y =

    010

    101

    B1-17:

    Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

    =+

    =

    2)1(2

    2

    yax

    ayax

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    26/27

    26

    a) Exprsalo en forma matricialb) Enuncia el Teorema de Rouch-Frbenius.b) Para qu valores de a el sistema resulta ser compatible y determinado? Para qu valores es

    compatible e indeterminado? Para qu valores es incompatible?

    B1-18:Determina las matrices A y B que son soluciones del siguiente sistema matricial:

    3A - 2B =

    14914

    1189

    178

    2A + B =

    14114

    1728

    4711

    B1-19:

    Discute y resuelve, cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

    =

    =

    =

    0

    0

    044

    zayx

    azyx

    zx

    B1-20:

    Sea el sistema de ecuaciones:

    =++

    =+

    =+

    112

    7)4(

    6

    zyx

    zayx

    zyx

    a) Exprsalo en forma matricial.b) Disctelo segn los valores del parmetro real ac) Resulvelo para a = 3

    B1-21:Una ebanistera ha fabricado tres tipos de muebles: banquetas, sillas y mesas. Para la fabricacin deestos muebles, necesit utilizar determinadas unidades de maderas de pino, haya y castao, tal ycomo se indica en la siguiente tabla:

    Pino Haya Castao

    Banqueta 1 1 2

    Silla 1 1 3

    Mesa 1 2 5

    La ebanistera tena en existencia 400 unidades de madera de pino, 600 unidades de haya y 1500unidades de castao; si utiliz todas sus existencias, cuntas banquetas, sillas y mesas fabric?

    B1-22:

    Se considera el sistema:

    =+

    =+

    =+

    5

    93

    3359

    zyx

    zyx

    zyx

    a) Resulvelo y clasifcalo en funcin del nmero de solucionesb) Determinar si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el sistema queresulta sea equivalente al anterior. Razona la respuesta.

    B1-23:

    Sean las matrices: A =

    30

    21 ; B =

    21

    12 ; C =

    21

    10

  • 7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

    27/27

    27

    Resuelve la ecuacin: XAB XC = 2C

    B1-24:

    En un jardn hay 22 rboles entre naranjos, limoneros y membrillos. El doble del nmero delimoneros ms el triple del nmero de membrillos, es igual al doble del nmero de naranjos.a) Plantea un sistema para determinar cuntos rboles de cada tipo hay. Es posible resolverlo?b) Si, adems, sabemos que el nmero de naranjos es el doble del de limoneros, cuntos rboleshay de cada tipo?

    B1-25:Una empresa tena, en el ao 2001, cierto nmero de empleados, unos hombres y otros mujeres. Enel ao 2002 aumentaron en 5 los trabajadores de la empresa y en 6 el nmero de trabajadoras,quedando as doble nmero de mujeres que de hombres. En el ao 2003 aumentaron en 2 lastrabajadoras y se redujo en 4 el nmero de trabajadores, resultando quedar el triple de mujeres quede hombres. Plantea un sistema para determinar el nmero de hombres y mujeres que trabajan en

    dicha empresa en el ao 2003. Resulvelo si es posible.