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7/24/2019 1 Oviedo Matrices Sistemas imprimir.pdf

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1

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

1.1 Problemas PAU

Junio 94:Un grupo de personas se rene para ir de excursin, juntndose un total de 20 entre hombres,mujeres y nios. Contando hombres y mujeres juntos, su nmero resulta ser el triple del nmero denios. Adems, si hubiera acudido una mujer ms, su nmero igualara al de hombres.a) Plantear un sistema para averiguar cuntos hombres, mujeres y nios han ido de excursin.b) Resolver el problema.

Solucin:Apartado a:

Si llamamos x, y, z, al nmero de hombres, mujeres y nios, respectivamente, que fueron deexcursin, tendremos:

=+

=+

=++

xy

zyx

zyx

1

3

20

; ordenamos:

=+

=+

=++

1

03

20

yx

zyx

zyx

Apartado b:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

M =

011

311

111

Ma=

1011

0311

20111

Como 08

011

311

111

=

=M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

64

011

310

1120

=

=xM ; 56

011

301

1201

=

=yM ; 40

111

011

2011

=

=zM

88

64===

M

Mx

x; 7

8

56===

M

My

y; 5

8

40===

M

Mz

z

Luego, habrn asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 nios a la excursin.

Septiembre 94:Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificacin de 8 puntos.En la segunda pregunta sac dos puntos ms que en la primera y un punto menos que en la tercera.a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuacin obtenida en cada una de laspreguntas.b) Resolver el sistema.

Solucin:Apartado a:Si llamamos x, y, z, a la puntuacin obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos:


2/27

2

=

+=

=++

1

2

8

zy

xy

zyx

, ordenamos:

=

=+

=++

1

2

8

zy

yx

zyx


M =

110

011

111

Ma=

1110

2011

8111

03

110

011

111

=

=M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.


3

111

012

118

=

=xM ; 9

110

021

181

=

=yM ; 12

110

211

811

=

=zM

13

3=

==

M

Mx

x; 3

3

9=

==

M

My

y; 4

3

12=

==

M

Mz

z

Luego, habr obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera.

Septiembre 94 (bis):Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sustrminos independientes:

A =

1

2

aa

a B =

4

4

a) Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.b) Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.

Solucin:Apartado a:

El sistema expresado en forma matricial, ser:

=

4

4

1

2

y

x

aa

a

Efectuando el producto de matrices, y aplicando la definicin de igualdad de dos matrices,

obtendremos el sistema pedido:

=+

=

4)1(

42

yaax

yax.


M =

1

2

aa

a Ma=

41

42

aa

a

Analizamos los valores crticos haciendo |M| = 0

01

2 =

=

aa

aM 02 =+ aa ( ) 01 =+aa 01 =a ; 12 =a

Si 0a y 1a

|M| 0r(M) = r(Ma) = 2S.C.D. (solucin nica).


3/27

3

Si 0=a

M =

10

20 Ma=

410

420

|M| = 0r(M) = 1 y r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor

complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:41

42

. Por tanto, S.I. (No soluciones).

Si 1=a

M =

21

21 Ma=

421

421

|M| = 0 r(M) = 1 y r(Ma) = 1, puesto que no es posible encontrar en la matriz Maun menorcomplementario de orden 2 y distinto de cero. Por tanto, S.C.I. (Infinitas soluciones).

Junio 95:

Un ama de casa adquiri en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a unprecio de 100, 120 y 150 ptas/kg., respectivamente. El importe total de la compra fueron 1.160 ptas.El peso total de la misma, 9 kg. Adems, compr 1 kg. mas de naranjas que de manzanas.a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto.b) Resolver el problema.

Solucin:Apartado a:Si llamamos x, y, z, al nmero de kg. comprados de patatas, manzanas y naranjas, respectivamente,tendremos:

=+

=++

=++

zy

zyx

zyx

1

9

1160150120100

simplificamos:

=

=++

=++

1

9

116151210

zy

zyx

zyx

Apartado b)Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

M =

110

111

151210

Ma=

1110

9111

116151210

Como 07

110

111

151210

=

=M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.


14

111

119

1512116

=

=xM ; 21

110

191

1511610

=

=yM ; 28

110

911

1161210

=

=zM

27

14===

M

Mx

x; 3

7

21===

M

My

y; 4

7

28===

M

Mz

z

Por tanto, habr comprado 2 kg. de patatas, 3 kg. de manzanas y 4 kg. de naranjas.


4/27

4

Septiembre 95:La matriz de coeficientes A, asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales, as como la de sustrminos independientes B son las siguientes:

A =

215

112

111

B =

2

6

12

a) Deduce las ecuaciones del sistema indicando las operaciones hechas.b) Obtn, si es posible, la inversa de las matrices A y B. Razona las respuestas.

Solucin:Apartado a:

El sistema expresado en forma matricial, ser:

=

2

6

12

215

112

111

z

y

x

Efectuando el producto de matrices, y aplicando la definicin de igualdad de dos matrices,

obtendremos el sistema pedido:

=+

=+

=++

225

62

12

zyx

zyx

zyx

Apartado b: Determinacin de A1:

- calculamos el determinante: 017

215

112

111

=

=A

Como que |A| 0, la matriz A es inversible.- calculamos la matriz adjunta A*, reemplazando cada elemento por el valor de su menor adjunto:

=

312

473791

*A

- determinamos la matriz traspuesta de la adjunta:

=

347

179

231

)( * TA

- la matriz inversa ser:

==

347

179

231

17

1)(

1 *1 TAA

A

Determinacin de B1: no es posible pues B no es una matriz cuadrada.

Junio 96:En una confitera envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. Y 1 kg. Cierto da se envasaron60 cajas en total, habiendo 5 cajas ms de tamao pequeo (250 gr.) que de tamao mediano (500gr.). Sabiendo que el precio del kg. de bombones es 4.000 ptas. y que el importe total de losbombones envasados asciende a 125.000 ptas:a) Plantear un sistema para determinar cuntas cajas se han envasado de cada tipo.b) Resolver el problema.

Solucin:Apartado a:Tenemos que:


5/27

5

- precio de la caja de 250 gr. = 1000 ptas.- precio de la caja de 500 gr. = 2000 ptas.- precio de la caja de 1 kg. = 4000 ptas.

Si llamamos x, y, z, al nmero de cajas envasadas de 250 gr. , 500 gr. y 1 kg., respectivamente,tendremos:

=++

+=

=++

125000400020001000

5

60

zyx

yx

zyx

simplificamos:

=++

=

=++

125421

5

60

zyx

yx

zyx


M =

421

011

111

Ma=

125421

5011

60111

Como 05

421

011

111

==M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.


125

42125

015

1160

==xM ; 100

41251

051

1601

==yM ; 75

12521

511

6011

==zM

255

125=

==

M

Mx

x; 20

5

100=

==

M

My

y; 15

5

75=

==

M

Mz

z

Por tanto, se habrn envasado 25 cajas pequeas, 20 medianas y 15 grandes.

Junio 96 (R):El precio de entrada a cierta exposicin es de 200 ptas. para los nios, 500 para los adultos y 250para los jubilados. En una jornada concreta, la exposicin fue visitada por 200 personas en total,igualando el nmero de visitantes adultos al de nios y jubilados juntos. La recaudacin de dichoda ascendi a 73.500 ptas.a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuntos nios, adultos y jubilados visitaron laexposicin ese da.b) Resolver el problema.

Solucin:Apartado a:

Si llamamos x, y, z, al nmero de nios, adultos y jubilados, respectivamente, que visitaron ese dala exposicin, tendremos:

=++

+=

=++

73500250500200

200

zyx

zxy

zyx

simplificamos:

=++

=+

=++

7350255020

0

200

zyx

zyx

zyx



6/27

6

M =

255020

111

111

Ma=

7350255020

0111

200111

010

255020

111

111

==M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.


300

25507350

110

11200

==xM ; 1000

25735020

101

12001

==yM ; 700

73505020

011

20011

==zM

3010

300=

==

M

Mx

x; 100

10

1000=

==

M

My

y; 70

10

700=

==

M

Mz

z

Luego, a la exposicin, habrn acudido 30 nios, 100 adultos y 70 jubilados.

Septiembre 96:Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

=+

=+

=++

112

522

6

zyx

zyx

zyx

a) Obtn su matriz de coeficientes.b) Calcula el determinante de la matriz anterior.c) Sin resolver el sistema, razonar si tendr solucin nica.

Solucin:Apartado a:

Su matriz de coeficientes ser: M =

112

221

111

Apartado b:

El determinante de dicha matriz ser:

112

221

111

=M = 2 1 + 4 + 4 + 2 1 = 6

Apartado c:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz

ampliada con los trminos independientes Ma:

M =

112

221

111

Ma=

11112

5221

6111

Como 06

112

221

111

=

=M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.

Por lo que el sistema tendr una nica solucin.


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7

Junio 97:En un supermercado van a poner en oferta dos marcas de detergente (A y B). El propietarioconsulta su libro de cuentas para ver las condiciones de una oferta anterior, encontrando la

siguiente informacin: el nmero total de paquetes vendidos fueron 1.000 unidades; el precio delpaquete A 500 ptas; y el importe total de la oferta 440.000 ptas. Pero en sus anotaciones no aparecereflejado claramente el precio del paquete B.a) Plantear un sistema para determinar el nmero de paquetes vendidos de cada marca. Discutir sucompatibilidad.b) Averiguar si el precio del paquete B fue 400 o 408 ptas. cuntos paquetes se vendieron?

Solucin:Apartado a:Si llamamos x e y al nmero de paquetes vendidos de las marcas A y B, respectivamente,tendremos:

=+

=+

440000500

1000

myx

yx , representando el parmetro m el precio del paquete de marca B.

Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

M =

m500

11 Ma=

440000500

100011

m

Analicemos los valores crticos haciendo:|M| = 0m 500 = 0m = 500

si m 500r(M) = 2 y r(Ma) = 2S.C.D.(solucin nica)

si m = 500r(M) = 1 y r(Ma) = 2, pues es posible encontrar en sta, al menos, un menor

complementario de orden 2 distinto de cero. Por ejemplo: 0440000500

10001 S.I. (No solucin)

Apartado b:

Se trata de resolver el sistema para los valores m = 400 y m = 408:

=+

=+

440000400500

1000

yx

yx{x = 400, y = 600}

=+

=+

440000408500

1000

yx

yx {x=

23

8000, y=

23

15000}

Como el nmero de paquetes vendido de cada marca debe ser un nmero entero, el precio delpaquete B tiene que haber sido 400 pesetas. En estas condiciones, se habran vendido 400 paquetesde la marca A y 600 paquetes de la marca B.

Septiembre 97:

La matriz de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es:

A =

5211

0412

2111

a) Obtener las ecuaciones del sistema.b) Calcular el rango de la matriz formada por los coeficientes del sistema.c) Sin resolver el sistema, deducir razonadamente si admite soluciones y en qu nmero.

Solucin:Apartado a:


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8

El sistema asociado a la matriz dada ser:

=++

=+

=++

52

042

2

zyx

zyx

zyx

El mismo sistema, expresado en forma matricial:

=

5

0

2

211

412

111

z

y

x

Apartado b:Para calcular el rango de la matriz de los coeficientes del sistema M, calculamos el valor de sudeterminante |M|:

211

412

111

=M = 2 + 2 4 1 4 4 = 13 0

Como que |M| ( 0, sabemos que r(M) = 3

Apartado c:Por el teorema de Rouch-Frbenius, sabemos que:

si r(M) = r(Ma) = n incgnitasS.C.D. (Solucin nica)

si r(M) = r(Ma) < n incgnitasS.C.I. (Infinitas soluciones)

si r(M) r(Ma)S.I. (No soluciones)

Como que |M| 0r(M) = r(Ma) = 3 S.C.D.Por lo tanto, el sistema admite solucin, y sta ser nica.

Junio 98:Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El nmero total de matriculados es 352,pero los matriculados en la tercera son slo una cuarta parte de los matriculados en la primera.

Adems, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda esinferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera.a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar el nmero de alumnos matriculados en cadasucursal.b) Resolverlo.

Solucin:Apartado a:Si llamamos x, y, z, al nmero de alumnos matriculados en la primera, segunda y tercera sucursal,respectivamente, tendremos:

=+

=

=++

zyx

xz

zyx

22

4

352

, ordenamos:

=

=

=++

22

04

352

zyx

zx

zyx


M =

211

401

111

Ma=

2211

0401

352111

Como 07

211

401

111

=

=M r(M) = r(Ma) = 3S.C.D.


9/27

9


1400

212

400

11352

=

=xM ; 714

221

401

13521

=

=yM ; 350

211

001

35211

=

=zM

2007

1400=

==

M

Mx

x; 102

7

714=

==

M

My

y; 50

7

350=

==

M

Mz

z

Luego, habr 200 alumnos matriculados en la primera sucursal, 102 en la segunda y 50 en la tercera.

Septiembre 98:

La matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es:

+ 21

1

a

ay la de los trminos

independientes es:

2

2

.a) Plantear las ecuaciones del sistema.b) Estudiar su compatibilidad en funcin de los valores de a. En qu casos tiene solucin nica?c) Resolverlo si a = 2.

Solucin:Apartado a:

El sistema asociado a las matrices dadas ser:

=++

=+

22)1(

2

yxa

ayx.

El mismo sistema, expresado en forma matricial:

=

+ 2

2

21

1

y

x

a

a

Apartado b:


M =

+ 21

1

a

a Ma=

+ 221

21

a

a


021

1 =+=

a

aM 2 a2a = 0 a1= 1 y a2= 2

Si a 1 y a 2

|M| 0 r(M) = r(Ma) = 2 S.C.D. (solucin nica). Si a = 1

M =

22

11

Ma=

222

211

|M| = 0 r(M) = 1 y r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor


21

.

Por tanto, S.I. (No soluciones). Si a = 2

M =

21

21 Ma=

221

221

|M| = 0 r(M) = 1 y r(Ma) = 1, puesto que no es posible encontrar en la matriz Maun menorcomplementario de orden 2 y distinto de cero.


10/27

10

Por tanto, S.C.I. (Infinitas soluciones).Apartado c:Si suponemos que a = 2, tendremos que:

=+=+

22322

yxyx , cuya solucin es: {x = 2, y = 2}

Junio 99:

Sean las matrices: A =

1

12

1

x

x

x

; B =

y

1 ; C =

z

z

z

2 ; D =

31

0

1

donde x, y, z son desconocidos.a) Calcular las matrices (AB) + C y 3Db) Sabiendo que (AB)+C = 3D, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de x, y,z.c) Estudiar la compatibilidad del sistema. Cuntas soluciones tiene?d) Encontrar, si es posible, una solucin.

Solucin:Apartado a:Para multiplicar dos matrices, multiplicamos vectorialmente las filas de la primera por cada una delas columnas de la segunda. Para sumar dos matrices sumamos sus elementos correspondientes.As:

A B + C =

+

z

z

z

yx

x

x

21

1

12

1

=

+

+

+

z

z

z

yx

yx

yx

22 =

+

+

++

zyx

zyx

zyx

22

Para multiplicar una matriz por un escalar, multiplicamos cada uno de los elementos de la matrizpor dicho escalar. As:

3D =

31

0

1

3 =

1

0

3

Apartado b:

Como que (AB) + C = 3D, tenemos que:

=

+

+

++

1

0

3

22

zyx

zyx

zyx

,

luego:

=+=+

=++

1

022

3

zyx

zyx

zyx

Apartado c:Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M y la matrizampliada con los trminos independientes Ma:

M =

111

212

111

Ma=

1111

0212

3111


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11

Como 0

111

212

111

=

=M r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor


11

r(Ma) = 2, puesto que no es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario deorden 3 y distinto de cero:

0

111

210

113

=

0

111

202

131

=

0

111

012

311

=

Como r(M) = r(Ma) = 2S.C.I. (Infinitas soluciones).Apartado d:

Una de las ecuaciones es combinacin lineal de las otras dos; la eliminamos:

=+

=++

1

3

zyx

zyx

Consideramos la z como constante y la pasamos, junto a los trminos independientes, al segundo

miembro:

+=+

=+

zyx

zyx

1

3

Para cada valor de z, obtendremos una posible solucin del sistema.Supongamos: z = 0:

tendremos:

=+

=+

1

3

yx

yx {x = 1, y = 2}

Septiembre 99:

En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede repostar gasolina en tresestaciones de servicio (A, B y C). El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolina en Aha sido de 120 ptas/litro y el precio de la gasolina en B de 118 ptas/litro, pero ha olvidado el precioen C. (Supongamos que son m ptas/litro).Tambin recuerda que:- la suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B super en 4680 ptas. al gasto en C.- el nmero de litro de gasolina consumidos en B fue el mismo que en C.- el gasto de litros en A super al de B en 1260 ptas.a) Plantea un sistema de ecuaciones (en funcin de m) para determinar los litros consumidos encada gasolinera.b) Estudiar la compatibilidad del sistema en funcin de m. Puedes dar algn precio al que seaimposible haber vendido la gasolina en la gasolinera C?

Solucin:Apartado a:Si llamamos x, y, z, al nmero de litros que ha repostado en las gasolineras A, B y C,respectivamente, tendremos:

+=

=

+=+

1260118120

4680118120

yx

zy

mzyx

, ordenamos:

=

=

=+

1260118120

0

4680118120

yx

zy

mzyx



12/27

12

M =

0118120

110

118120 m

Ma=

12600118120

0110

4680118120 m


0

0118120

110

118120

=

=

m

M 14160 + 120m 14160 = 0 m = 236

Si m 236

|M| 0r(M) = r(Ma) = 3S.C.D. (solucin nica). Si m = 236

M =

0118120

110

236118120

Ma=

12600118120

0110

4680236118120

|M| = 0 r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de

orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:10

118120 ; r(M a) = 3, puesto que es posible encontrar en

la matriz Maun menor complementario de orden 3 y distinto de cero; por ejemplo:

1260118120

010

4680118120

Como r(M) r(Ma)S.I. (No solucin).Por esta razn, resultara imposible haber vendido la gasolina a 236 ptas. litro en la gasolinera C.

Junio 00:Sea 6A + 2I = B una expresin matricial, donde B denota una matriz cuadrada de orden 2x2, tal que

B =

13

16e I, la matriz unidad de orden correspondiente.

a) Qu dimensin tiene la matriz A?

b) Determine los elementos que integran la matriz A, esto es, qpji Aa ,, .

c) Calcule A + 2I.

Solucin:Apartado a:Para que dos matrices puedan sumarse es necesario que tengan la misma dimensin; adems, susuma es otra matriz de la misma dimensin que las matrices sumandos. Por tanto, la matriz A tiene

que tener dimensin 2x2.Apartado b:

Como 6A + 2I = B, entonces: 6A = B 2I ( )IBA 26

1=

=

10

012

13

16

6

1A =

20

02

13

16

6

1=

33

14

6

1=

2

12

16

13

2

Apartado c:

A + 2I =

+

10

012

21

21

61

32

=

23

21

61

38


13/27

13

Septiembre 00:

Sean A =

53

121

y y B =

+

zxz

x

3

11

dos matrices de orden 2x3, en las que x, y, z denotan

valores numricos desconocidos.

a) Determine, razonadamente, los valores de x, y, z de manera que A = B.b) Es posible el clculo de AxB? Razone la respuesta.

Solucin:Apartado a:Para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan la misma dimensin y, adems, que los

elementos que ocupen la misma posicin en ambas sean iguales ( jiji ba ,, = ). Por tanto, si:

A =

53

121

yy B =

+

zxz

x

3

11, entonces:

A = B

+=

=

=

=

zx

z

y

x

5:queverificaseAdems,

3

3

2

Apartado b:Para que pueda efectuarse el producto AxB , es necesario que el nmero de columnas de A seaigual al nmero de filas de B. Como que la matriz A tiene 3 columnas y la matriz B tiene 2 filas, elproducto AxB NO puede efectuarse.

Junio 01:Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un

piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 120.000 ptas. Si laoperacin es la venta de un piso usado recibe 60.000 ptas. Se desconoce la prima cuando laoperacin es un alquiler.Este mes el nmero total de operaciones fue 5. La prima total por venta de pisos fue superior en200.000 ptas. a la obtenida por alquileres, y la prima total por venta de pisos nuevos fue el triple quepor alquileres.a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el nmero de operaciones de cadatipo realizadas (en funcin de la prima de alquiler de valor desconocido).b) Indica una prima a la que es imposible que se hayan podido pagar los alquileres.c) Indica tres primas a las que es posible que se hayan podido pagar los alquileres.d) Si la prima de alquileres fue de 20.000 ptas. cuntas operaciones de cada tipo se realizaron?

Solucin:

Apartado a:Llamamos x, y, z, al nmero operaciones de cada tipo que ha realizado y m a la prima desconocida(en miles de pesetas):

x = n ventas de pisos nuevosy = n ventas de pisos usadosz = n alquileres

Con lo que tendremos:

=

+=+

=++

mzx

mzyx

zyx

3120

20060120

5

, ordenamos:

=

=+

=++

03120

20060120

5

mzx

mzyx

zyx

Apartado b:


14/27

14


M =

m

m

30120

60120

111

Ma=

030120

20060120

5111

m

m


0

30120

60120

111

=

=

m

mM 60m 7200 = 0 m = 120

Si m 120

|M| 0r(M) = r(Ma) = 3S.C.D. (solucin nica). Si m = 120

M =

3600120

12060120

111

Ma=

03600120

20012060120

5111

|M| = 0 r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de

orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:60120

11

r(Ma) = 3, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 3 y

distinto de cero; por ejemplo:

00120

20060120

511

Como r(M) r(Ma)S.I. (No solucin).Por esta razn, resultara imposible que las primas por alquileres fueran 120.000 ptas.

Apartado c:Resolvemos el sistema en funcin de m:

720060

30120

60120

111

=

= m

m

mM

m

m

mMx 300

300

60200

115

=

= 720060

300

==

m

m

M

Mx

x

24000600

30120

200120

151

=

= m

m

mMy 720060

24000600

==

m

m

M

My

y

12000

00120

20060120

511

==zM 720060

12000

==

mM

Mz

z

Apartado d:Si la prima de alquileres hubiera sido de 20.000 ptas, tendramos: m = 20

1720060

300=

==

m

m

M

Mx

x; 2

720060

24000600=

==

m

m

M

My

y; 2

720060

12000=

==

mM

Mz

z

Con lo que habra vendido 1 piso nuevo, 2 pisos usados y realizado 2 alquileres.


15/27

15

Septiembre 01:


01

1

1

a

a

; B = yx ; C =

0

1

1

; D =

z

z

z

a) Sabiendo que AB = 2C D, plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas (representadas porx, y, z) donde a es cierto valor desconocido.b) Si se supiera que el sistema tiene solucin, podramos descartar algn valor de a?c) Si se supiera que el sistema tiene solucin nica, podramos descartar algn valor de a?d) Hay algn valor de a para el que el sistema tenga ms de una solucin?

Solucin:Apartado a:Como sabemos que AB = 2C D, tendremos:

=

zz

z

y

x

a

a

01

1

201

1

1

=

+

+

zz

z

xayx

yax

2

2

Luego:

=

=+

=+

zx

zayx

zyax

2

2

=+

=++

=++

0

2

2

zx

zayx

zyax

Discutimos el sistema, analizando el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada:

M =

101

11

11

a

a

Ma=

0101

211

211

a

a

010111

11

2

=== aaa

a

M {a = 0} , {a = 1}

Si a 0 y a 1:r(M) = r(Ma) = 3

Si a = 0:

M =

101

101

110

Ma=

0101

2101

2110

=

=

0

001

201

210

3)(

001

102)(

puesMr

puesMr

a

S. I.

Si a = 1:

M =

101

111

111

Ma=

0101

2111

2111


16/27

16

=

=

001

102)(

001

102)(

puesMr

puesMr

a

S. C. I.

Apartado b:Si el sistema tiene solucin, es un sistema compatible. Podemos descartar el valor a = 0 porque,entonces:

=+

=+

=+

0

2

2

zx

zx

zy

la 2a y 3a ecuacin son contradictorias.

Apartado c:Si el sistema tiene solucin nica, es un sistema compatible determinado. Podemos descartar,adems del anterior valor a = 0, el valor a = 1 porque, entonces:

=+

=++

=++

0

2

2

zx

zyx

zyx

la 1a y 2a ecuacin son iguales y quedan menos ecuaciones que incgnitas.

Apartado d:Si el sistema tiene ms de una solucin, es un sistema compatible indeterminado. a = 1

Junio 02:En una farmacia se comercializan 3 tipos de champ de cierta marca: normal, con vitaminas yanticaspa. Se sabe que el precio al que se vende el normal es de 2 euros y el de vitaminas es de 3euros. Se desconoce el precio al que se vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenidopor las ventas de los 3 tipos de champ el mes pasado fue de 112 euros y el dinero obtenido en

ventas con el champ normal fue 56 euros inferior al dinero total obtenido en ventas con el resto.Adems, el dinero total obtenido en ventas con el champ de vitaminas y el anticaspa fue el mismoque el que hubiera obtenido vendiendo 28 unidades del anticaspa y ninguna de los dems.a) Plantea un sistema de ecuaciones (en funcin del precio desconocido del champ anticaspa, quepuedes llamar por ejemplo m) donde las incgnitas ( x, y, z) sean las unidades vendidas el mespasado de cada tipo de champ.b) Qu puedes concluir sobre el precio del champ anticaspa a partir de un estudio de lacompatibilidad del sistema?c) Si se sabe que el nmero de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el resultado delapartado (b) para calcular las unidades vendidas de los otros 2.

Solucin:Apartado a:

Llamamos x, y, z, al nmero de unidades de cada tipo que ha vendido y m al precio desconocidodel champ anticaspa

x = n unidades champ normaly = n unidades champ con vitaminasz = n unidades champ anticaspa

Con lo que tendremos:

=+

+=+

=++

mmzy

mzyx

mzyx

283

3562

11232

, ordenamos:

=+

=

=++

mmzy

mzyx

mzyx

283

5632

11232

Apartado b:


17/27

17

M =

m

m

m

30

32

32

; Ma=

mm

m

m

2830

5632

11232

0

30

32

32

=

m

m

m

r (M) = 2, pues 030

32

2830

5632

11232

m

= 336m + 1008 = 0{m = 3}

Si m = 3:r(M) = r(Ma) = 2 < n incgnitasS.C.I. (Infinitas soluciones)

Si m 3:

r(M) = 2 r(Ma) = 3S.I. (no hay solucin)

Apartado c:Como que m = 3 y sabemos que z = 20, el sistema se convierte en:

=+

=

=++

mmzy

mzyx

mzyx

283

5632

11232

=+

=

=++

8433

56332

112332

zy

zyx

zyx

=+

=

=++

84603

566032

1126032

y

yx

yx

=

=

=+

243

432

5232

y

yx

yx

{x = 14, y = 8}

Septiembre 02:

Sean las matrices A =

a33

211

121

, B =

a

a

0

, C =

0

0

0

, donde a es desconocido.

a) Sea el sistema de 3 ecuaciones con tres incgnitas cuya matriz de coeficientes es A y de trminosindependientes B. Puede para algn valor de a no tener solucin este sistema? Para qu valoresde a el sistema tiene solucin nica?b) Si la matriz de coeficientes es A pero la de trminos independientes es C, es posible que paraalgn valor de a el sistema no tenga solucin? Encuentra un valor de a para el que el sistema tengams de una solucin y calcula dos de ellas.

Solucin:Apartado a:

El sistema ser:

=+

=++

=+

aazyx

azyx

zyx

33

2

02

, siendo:

M =

a33

211

121

; Ma=

aa

a

33

211

0121

|M| = 3a + 12 = 0{a = 4}

Si a 4:r(M) = r(Ma) = 3 = no de incgnitasS.C.D. (Solucin nica)

Si a = 4:r(M) = r(Ma) = 2 < n de incgnitasS.C.I. (Infinitas soluciones)

Apartado b:El sistema ser homogneo:


18/27

18

=+

=++

=+

033

02

02

azyx

zyx

zyx

, siendo:

M =

a33

211

121

; Ma=

033

0211

0121

a

Un sistema homogneo siempre es compatible y tiene, al menos, la solucin trivial {x = 0, y = 0, z =0}.Cuando |M| = 0r(M) = r(Ma) = 2 < n de incgnitasS.C.I. (Infinitas soluciones) Si a = 4:

=+

=++

=+

0433

02

02

zyx

zyx

zyx

==

= zz

zy

zx ,

3,

3

5

- si z = 0{x = 0, y = 0, z = 0}

- si z = 1{x=3

5, y=

3

1, z=1}

- si /

Junio 03:

La matriz de coeficientes de un sistema es

141

1

121

a

aa y la de trminos independientes

a2

1

1

.

a) Para qu valor o valores de a el sistema no tiene solucin?

b) Para cierto valor de a un individuo encontr 2 soluciones del sistema. Cunto vala a? Tenams soluciones el sistema?c) Encuentra un valor de a para que el sistema tenga una nica solucin y, para dicho valor,resulvelo.

Solucin:Se trata de analizar la compatibilidad del sistema en funcin del valor del parmetro a. Para elloescribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los trminos independientes Ma:

M =

141

1

121

a

aa Ma=

aa

aa

2141

11

1121


141

1

121

a

aaM = = 4a2+ 6a 2 = 0 {a = 1/2} , {a = 1}

Si a y a 1

|M| 0r(M) = r (Ma) = 3S.C.D. (solucin nica) Si a =

M =

1212

12

11

121

Ma=

1121

12

12

11

1121


19/27

19

r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de orden 2 y

distinto de cero; por ejemplo:

2

11

21 .

r(Ma) = 2, puesto que no es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 3y distinto de cero.Por tanto, S.C.I. (infinitas soluciones) Si a = 1

M =

141

111

121

Ma=

2141

1111

1121

r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de orden 2 y

distinto de cero; por ejemplo:11

21 .


distinto de cero ; por ejemplo:

241

111

121

Por tanto, S.I. (no soluciones)Apartado a:Para que el sistema no tenga solucin, ha de ser incompatible; por tanto a = 1.Apartado b:Para que el sistema admita dos soluciones, ha de admitir infinitas y ser compatible indeterminado;por tanto a = 1/2Apartado c:

Para que el sistema tenga solucin nica ha de ser compatible determinado; por tanto a 1 y a

1/2.Supongamos a = 0:

M =

101

001

121

Ma=

0101

1001

1121

El sistema ser:

=+

=

=++

0

1

12

zx

x

zyx

{ x = 1, y = , z = 1 }

Septiembre 03:


11

00

11

, B =

00

0

y

zx , C =

000

0

00

zy

x

, D =

1

1

1

, E =

a

a

0

.

a) Sabiendo que (AB C) D = 2E, plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas (representadaspor x, y, z) en funcin de a.b) Para algn valor de a el sistema tiene solucin nica?

c) Para a = 0 encuentra una solucin del sistema con z 0.

Solucin:Apartado a:Efectuamos las operaciones indicadas para poder plantear el sistema:


20/27

20

=

=

zyx

zyx

y

zxAB 000

00

0

11

00

11

=

=

zyx

zy

zy

zy

x

zyx

zyx

CAB 0

0

000

0

00

000

++

+

+

=

=

zyx

zy

zy

zyx

zy

zy

DCAB

1

1

1

0

0

)(

=

=

a

a

a

aE

2

2

00

22

Por tanto, para que se cumpla (AB

C) D = 2E

=

++

+

+

a

a

zyx

zy

zy

2

2

0

=++

=+

=+

azyx

azy

zy

2

2

0


M =

111

110

110

Ma=

a

a

2111

2110

0110


0

111

110

110

==M

Si a 0r(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor complementario de orden 2 y

distinto de cero; por ejemplo:11

10


distinto de cero: a

a

a 2

211

210

010

=

Como r(M) r(Ma)S.I. (No solucin). Si a = 0r(M) = 2, puesto que no vara.r(Ma) = 2, puesto que no es posible encontrar un menor complementario de orden 3 y distinto de

cero en Ma=

0111

0110

0110

Como r(M) = r(Ma) < n de incgnitasS.C.I. (Infinitas soluciones).En ningn caso el sistema tiene solucin nica, puesto que para ningn valor de a resulta sercompatible determinado.


21/27

21

Apartado c:Si a = 0, tenemos:

=++=+

=+

0

0

0

zyx

zy

zy

=++

=+

00zyx

zy

=+

=

zyxzy {x = 0, y = k, z = k}

Una posible solucin con z 0 sera: {x = 0, y = 7, z = 7}

Junio 04:Un individuo realiza fotografas con una cmara digital. Sabe que cada fotografa de calidad normalocupa siempre 020 megabytes de memoria. Cada fotografa de calidad ptima ocupa siempre unacantidad A de megabytes, pero el individuo no la conoce. Esta semana ha llevado a revelar 24fotografas que le han ocupado un total de 92 megabytes de memoria.a) Plantea un sistema de ecuaciones (en funcin de A) donde las incgnitas sean el nmero de fotosde cada clase que ha realizado. Estudia la compatibilidad del sistema.b) Hay alguna cantidad de megabytes que es imposible que ocupe cada foto de calidad ptima?c) La semana pasada tambin hizo 24 fotos y ocup 92 megabytes de memoria total. Es posibleque el nmero de fotos de cada tipo fuera diferente al de esta semana?

Solucin:Apartado a:Si llamamos x, y, al nmero de fotos realizadas en calidades normal y ptima, respectivamente,tendremos:

=+

=+

2.92.0

24

Ayx

yx


M =

A2.011 Ma=

2.92.02411

A

2.02.0

11 == A

AM ; |M| = 0A = 0.2

Si A 0.2

r(M) = 2, puesto que |M| 0r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 2 y

distinto de cero: 4.42.92.0

241 =

Como r(M) = r(Ma)S.C.D.Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:

2.9

124

AMx = = 24A - 9.2 ;

2.92.0

241=yM = 4.4

2.0

2.924

==

A

A

M

Mx

x;

2.0

4.4

==AM

My

y

Si A = 0.2

r(M) = 1, puesto que |M| 0r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de orden 2 y

distinto de cero:2.92.0

241 = 4. 4

Como r(M) r(Ma)S.I.(no hay soluciones)


22/27

22

Apartado b)Luego resultara imposible que cada foto de calidad ptima ocupe 02 megabytes de memoria.Apartado c:

S. El sistema presenta infinitas soluciones posibles; vienen dadas por todos aquellos valores de A 0, que generen soluciones enteras para x, y.

Septiembre 04:


m

x

0

22 ; B =

y

5 ; C =

x10

0 ; D =

m

110 ; E = ( )m3

a) Calcula cada uno de los tres productos AB; DE; EBb) Si AB + C = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incgnitas (representadas por x, y) enfuncin de m. Para qu valores de m el sistema tiene solucin? Es siempre nica?

Solucin:Apartado a:

AB =

ym

x 5

0

22 =

+

my

yx 252 =

+

my

yx

2

410

DE = ( )mm

31

10

=

23

310

mm

m=

21030

1030

mm

m

EB = ( )

ym

53 = ( )my+15

Apartado b:

AB+C = D

+

my

yx

2

410+

x10

0=

m

110

+

my

yx

2

410+

x10

0=

m10

10

=+

=+

mxmy

yx

10102

10410

=+

=+

mmyx

yx

10210

10410


M =

m210

410 Ma=

mm 10210

10410

4020210

410 == m

mM ; |M| = 0m = 2

Si m 2

r(M) = 2, puesto que |M| 0r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de

orden 2 y distinto de cero.

Como r(M) = r(Ma)S.C.D. (solucin nica) Si m = 2

M =

410

410 Ma=

20410

10410

r(M) = 1, puesto que |M| 0r(Ma) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz Maun menor complementario de

orden 2 y distinto de cero:2010

1010 = 100

Como r(M) r(Ma)S.I. (no hay soluciones)


23/27

23

1.2 Problemas propuestos

B1-01:

Una persona dispona de 60.000 y los reparti en tres fondos de inversin diferentes (A, B y C),obteniendo as 4.500 de beneficios. Sabemos que en el fondo A invirti el doble que en los fondosB y C juntos; sabemos tambin que el rendimiento de la inversin realizada en los fondos A, B y Cfue del 5%, 10% y 20% respectivamente.a) Plantear un sistema para determinar las cantidades invertidas en cada uno de los fondos.b) Resolver el sistema anterior.

B1-02:Parte de los huspedes de un pequeo hotel se encuentra en el comedor; en el mismo momento otraparte se encuentra en la sala de estar y el resto en la biblioteca. Posteriormente, 4 se desplazan delcomedor a la biblioteca, 1 de la sala de estar al comedor y 2 de la biblioteca a la sala de estar. Ahora,ha quedado el mismo nmero de personas en cada una de las tres estancias.

a) Plantear un sistema para determinar cuntas personas se encontraban inicialmente en cadahabitacin.b) Resolverlo para determinar cuntos huspedes se alojan en el hotel.

B1-03:Una tienda de msica ha obtenido unos ingresos de 12768 al vender 600 discos compactos de tresgrupos musicales. Los discos se vendan a 24 ; sin embargo, los del segundo y tercer grupo, al sermenos recientes, se vendieron con descuentos del 30% y del 40% respectivamente. Sabemos que elnmero de discos vendidos con descuento fue la mitad que el nmero de discos que se vendieron asu precio original.a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar cuantos discos de cada grupo se vendieron.b) Resolverlo.

B1-04:En un pas A, existen tres aeropuertos internacionales (A1, A2 y A3); en otro pas B existen 4 ( B1,B2, B3 y B4); y en un tercer pas C existen dos ( C1 y C2).Desde el aeropuerto A1 salen vuelos con destino a B1, B2, C1 y dos vuelos con destino a B3.Desde el aeropuerto A2 salen vuelos con destino a B2, B3 y dos vuelos con destino a B4.Desde el aeropuerto A3 slo sale un vuelo con destino a B3.Desde cada aeropuerto del pas B, salen dos vuelos a cada uno de los aeropuertos del pas C.Se pide, expresar mediante matrices:a) los vuelos del pas A al B.b) los vuelos del pas B al C.c) los vuelos del pas A al C, necesiten o no efectuar transbordo en el pas B.

B1-05:El cruce de carreteras esquematizado en el dibujo indica el nmero de coches/hora que transita porcada tramo de carretera, de direccin y sentido nico.a) Si se suspende el trfico en el tramo AB por obras, qu nmero de vehculos han de transitar porlos tramos AC y BC?b) Podra cerrarse al trfico el tramo AC? Y el tramo CB? Por qu?


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24

B1-06:

Una empresa ha vendido 42000 artculos de papelera, bolgrafos, gomas y rotuladores, al precio de1.2, 1.5 y 2 respectivamente. El total de los ingresos producidos por esas ventas asciende a 64000 .Se sabe, adems, que el nmero de bolgrafos que se ha vendido es el 40% del nmero total delresto de artculos vendidos.a) Plantear un sistema para determinar el nmero de cada tipo de artculos vendidos.b) Resolverlo.

B1-07:

Sea la matriz A =

001

100

010

a) Comprueba que: 1= AAT

b) Calcula el valor de ( )2003TAA

B1-08:

Discute el siguiente sistema en funcin de los valores a.

=++

=+

=+

0

1

22

zayx

zyax

zyx

B1-09:

Sea la matriz: A =

10

21

Hallar las matrices B que conmuten con A; es decir: A B = B A

B1-10:Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas y un parmetro n:

=

=

nyxnn

nyxn

4)12(

1

2

2

a) exprsalo en forma matricialb) disctelo segn los valores del parmetro n.c) determina su solucin para n = 2.

B1-11:


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25

Dadas las siguientes ecuaciones

=+

=+

432

5296

zyx

zyx, se pide:

a) aade una ecuacin para que el sistema resulte ser incompatible.b) aade una ecuacin para que el sistema resulte ser compatible determinado.

Justifica las respuestas.

B1-12:Una librera ha vendido 3900 libros de matemticas, correspondientes a tres editoriales diferentes,A, B, y C. Sabemos que de la editorial B se han vendido el doble de ejemplares que de la editorial A.Sabemos, tambin, que la razn entre el nmero de ejemplares vendidos de las editoriales B y C esigual a 2/3.Plantear un sistema para determinar el nmero de libros vendidos de cada editorial. Resolverlo.

B1-13:Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo L1, L2 y L3. El importe total de la edicin

es de 18750 . Los costes, en euros, por unidad, son 7, 5 y 6, respectivamente.Se sabe que el nmero de ejemplares de L3 es igual a los dos sptimos de los del tipo L2 y que, si altriple del nmero de ejemplares de L1 se le suma el nmero de ejemplares de L3 , se obtiene eldoble de ejemplares de L2.a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuntos libros de cada tipo se han editado.b) Resuelve dicho sistema.

B1-14:

Sean las matrices: C =

010

011

223

, D =

102

111

012

a) Hallar: C1y D1b) Calcular la matriz inversa de C Dc) Comprobar que (C D)1= D1 C1

B1-15:Un autobs urbano transporta en hora punta 90 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billeteentero, que vale 1 ; estudiantes que tienen un 25% de descuento al presentar el carnet; jubilados dela localidad que nicamente pagan el 50% del precio del billete. La recaudacin del autobs en eseviaje fue de 64 . Calcula el nmero de viajeros de cada clase sabiendo que el nmero de jubiladosera el mismo que el nmero del resto de viajeros.

B1-16:

Sea la matriz A =

015

102

212

.

Calcula, si existen, las siguientes matrices:

a) Una matriz X tal que X A = ( )101

b) Una matriz Y tal que A Y =

010

101

B1-17:

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

=+

=

2)1(2

2

yax

ayax


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26

a) Exprsalo en forma matricialb) Enuncia el Teorema de Rouch-Frbenius.b) Para qu valores de a el sistema resulta ser compatible y determinado? Para qu valores es

compatible e indeterminado? Para qu valores es incompatible?

B1-18:Determina las matrices A y B que son soluciones del siguiente sistema matricial:

3A - 2B =

14914

1189

178

2A + B =

14114

1728

4711

B1-19:

Discute y resuelve, cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

=

=

=

0

0

044

zayx

azyx

zx

B1-20:

Sea el sistema de ecuaciones:

=++

=+

=+

112

7)4(

6

zyx

zayx

zyx

a) Exprsalo en forma matricial.b) Disctelo segn los valores del parmetro real ac) Resulvelo para a = 3

B1-21:Una ebanistera ha fabricado tres tipos de muebles: banquetas, sillas y mesas. Para la fabricacin deestos muebles, necesit utilizar determinadas unidades de maderas de pino, haya y castao, tal ycomo se indica en la siguiente tabla:

Pino Haya Castao

Banqueta 1 1 2

Silla 1 1 3

Mesa 1 2 5

La ebanistera tena en existencia 400 unidades de madera de pino, 600 unidades de haya y 1500unidades de castao; si utiliz todas sus existencias, cuntas banquetas, sillas y mesas fabric?

B1-22:

Se considera el sistema:

=+

=+

=+

5

93

3359

zyx

zyx

zyx

a) Resulvelo y clasifcalo en funcin del nmero de solucionesb) Determinar si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el sistema queresulta sea equivalente al anterior. Razona la respuesta.

B1-23:


30

21 ; B =

21

12 ; C =

21

10


27/27

27

Resuelve la ecuacin: XAB XC = 2C

B1-24:

En un jardn hay 22 rboles entre naranjos, limoneros y membrillos. El doble del nmero delimoneros ms el triple del nmero de membrillos, es igual al doble del nmero de naranjos.a) Plantea un sistema para determinar cuntos rboles de cada tipo hay. Es posible resolverlo?b) Si, adems, sabemos que el nmero de naranjos es el doble del de limoneros, cuntos rboleshay de cada tipo?

B1-25:Una empresa tena, en el ao 2001, cierto nmero de empleados, unos hombres y otros mujeres. Enel ao 2002 aumentaron en 5 los trabajadores de la empresa y en 6 el nmero de trabajadoras,quedando as doble nmero de mujeres que de hombres. En el ao 2003 aumentaron en 2 lastrabajadoras y se redujo en 4 el nmero de trabajadores, resultando quedar el triple de mujeres quede hombres. Plantea un sistema para determinar el nmero de hombres y mujeres que trabajan en

dicha empresa en el ao 2003. Resulvelo si es posible.

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