Planteamiento y resolución de sistemas.

El empleo en el sector servicios en el 1987 representaba aproximada-mente el 53% del empleo total, en el sector industrial el 35% y en el sector agrícola el 12%. Si el empleo total del año fue de 11593900. Calcular los empleos del sector.

Llamamos x a los empleos del sector servicio. Llamamos y a los empleos del sector industrial. Llamamos z a los empleos del sector agrícola. Llamamos t a los empleos totales

x = 0,53t x = 6144767 empleos sector servicio y = 0,35t y = 4057865 empleos industriales z = 0,12t z = 1391268 empleos agrícolas

En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por unidad de producto fabricado: A. en laminas A. en rollos A. especialesChatarra 8 6 6Carbón 6 6 4 Aleaciones 2 1 3 Si se disponen de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9 aleaciones, ¿Cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales?

=

Por Gauss

=

3y – (1) = 5 ; 3y = 6 ; y = 2 unidades de acero en rollos

4x + 3 · (2) + 3 ·(1) = 17 ; 4x = 8 ; x = 2 unidades de acero en laminas En una granja se venden pollo, pavos y perdices a razón de 2, 1,50 y 4 euros/kg, respectivamente. En una semana, los ingresos totales de la granja ascendieron a 5700 €. Si se sabe que la cantidad de pollo vendida es superior en 100kg a la de pavo, y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo:a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de carne. b) Expresa matricialmente el problema.c) ¿Cuántos kilos se vendieron de cada tipo?

x pollos a 2€/kg

y pavos a 15€/kg

z perdices a 4€/kg

y = 2z ; y = 1000kg de pavos.

x= 100 + y ; x = 1100kg de pollos

Fulano de Tal quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a unas tortillas, así que va de tienda y compra una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido, decide repetir la fiesta y vuelve a comprar una docena de huevos y dos botellas de aceite. Cuando llega a casa, se acuerda que no tiene patatas. Vuelve a la tienda para comprar una bolsa de pata-tas y decide comprar también otra docena de huevos. En la primera ocasión gasto 6

euros; en la segunda ocasión gasto 6,5 euros y en la ultima 3,5 euros. Calcular si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.

x precio de los huevos ; y precio de las patatas ; z precio del aceite

z = 2,5 € => x = 6,5 – 2·2,5 = 1,5 € => y = 3,5 -1,5 = 2 € Hace tres años la edad del padre era el triple de la de su hijo. Dentro de nueve años la edad del hijo será la mitad de la del padre. Hallar las edades actuales de ambos.

Edad actual del padre: x Edad actual del hijo: y

Hace tres años ==> x - 3 = 3· (y - 3) Dentro de nueve años ==> y + 9 = (x + 9) / 2

Resolvamos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas =>

y = 15 años x = - 6 + 3 · 15 ==> x = - 6 + 45 ==> x = 42 años

Los alumnos de los tres cursos de un centro suman 260. La relación entre los de cuarto de ESO y primero es de 19/18, y la relación de primero y segundo es de 6/5. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso?. ¿Cuántos grupos de cada curso hay, en el supuesto de que cada grupo tenga 35 alumnos como máximo?.

x serán los alumnos de 4º ESO y serán los alumnos de 1º z serán los alumnos de 2º

y lo sustituimos en la 1ª ecuación =>

==> 52y = 4680 ==> y = 90 alumnos

x = 19 · (90 / 18) ==> x = 95 alumno; z = 5 · (90 / 6) ==> z = 75 alumnos

Para calcular los grupos por curso, dividiremos los alumnos de cada curso por 35 alumnos como máximo. De 4º serán: 95 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases. De 1º serán: 90 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases. De 2º serán: 72 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.

Mikel sale con un montón de cromos y vuelve a casa sin ninguno. Su madre le pregunta que ha hecho con los cromos, a lo que Mikel responde: A cada amigo que encontré le di la mitad de los cromos que tenía en ese momento mas uno. Su madre le pregunta que con cuantos amigos se ha encontrado, a lo que Mikel contesta que con cinco. ¿Cuántos cromos tenia Mikel al salir de casa? Razona la respuesta.

x cromos al salir de casa

Al primer amigo le da x/2 + 1 = (x + 2) / 2 y le queda x – (x + 2) / 2 = (x – 2) / 2

Al segundo amigo le da [(x - 2) / 2] / 2 + 1 = (x – 2) / 4 + 1 = (x + 2) / 4 y le queda (x – 2) / 2 - (x + 2) / 4 = (2x – 4 – x – 2) / 4 = (x – 6) / 4

Al tercer amigo le da [(x – 6) / 4] / 2 + 1 = (x – 6) / 8 + 1 = (x + 2) / 8 y le queda (x – 6) / 4 - (x + 2) / 8 = (2x – 12 – x – 2 ) / 8 = (x – 14) / 8

Al cuarto amigo le da [(x – 14) / 8] / 2 + 1 = (x – 14) / 16 + 1 = (x + 2) / 16 y le queda (x – 14) / 8 – (x + 2) / 16 = (2x – 28 – x – 2) / 16 = (x – 30) / 16

Al quinto amigo le da [(x – 30) / 16] / 2 + 1 = (x – 30) / 32 + 1 = (x + 2) / 32 y le queda (x – 30) / 16 – (x + 2) / 32 = (2x – 60 – x – 2) / 32 = = (x – 62) / 32

Como al final no le quedan cromos è x – 62 = 0 è x = 62 cromos

Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos: A, B, C. El alimento del tipo A tiene 10cal. por cada 100gr., el de tipo B tiene 30cal. por cada 100gr., y el C tiene 40cal. por cada 100gr. Si la dieta consta de 400gr. de alimento por cada día, si ducha dieta esta restringi-da a 840cal., y si la cantidad de alimento del tipo A ingerido debe ser el doble en peso que la cantidad de alimento C. Hallar las cantidades que debe ingerir de cada uno de los alimentos.

A= X B=Y C=Z

=>

=> =>

=> X = 2400gr. de alimento de tipo A

Z= 1200gr. de alimento de tipo C

2400 + Y + 1200 = 4000 ; Y = 400gr. de alimento de tipo B

Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 980 pts/kg; el de clase B, que cuesta 875 pts/kg, y el de clase C, que cuesta 950 pts/kg. Se desea hacer una mezcla para vender 1050 kg a 940 pts/kg. ¿Cuántos kg de cada clase se deben de poner si del tercer tipo debe entrar el do-ble de los otros dos juntos?.

x kg de café A a 980 pts/kg y kg de café B a 875 pts/kg 1050 kg de mezcla a 940 pts/kg z kg de café C a 950 pts/kg

Resolviendo por Gauss =>

è z = 700 kg de café C

- 21y – 6·700 = - 8400 ; -21 y = - 4200 è y = 210 kg de café B

x + 210 + 700 = 1050 è x = 140 kg de café A

Según RENFE, el nº de viajeros que utilizaron el tren en Enero as-cendió a 275700, en Febrero descendió en 25200 viajeros. Las dos categorías que existen son de 1ª y 2ª. Si la relación para el mes de Enero ha sido de un 30% de 1ª mas en Enero que en Febrero y la 2ª clase en Enero representa el 60% del total. ¿Cuantos pasajeros de 1ª y de 2ª han utilizado el servicio?.

Llamamos x a los pasajeros de 1ª Llamamos y a los pasajeros de 2ª Llamamos x1 a los de 1ª en Enero y x2 a los de 1ª en Febrero Llamamos y1 a los de 2ª en Enero y y2 a los de 2ª en Febrero

x1 + y1 = 275700 ==> x1 = 275700 - y1 x2 + y2 = 275700 - 25200 = 250500 x1 = x2 + 0,3x2

y1 = 0,6 · (x1 + y1)

x2 + y2 = 250500 275700 - y1 = 1,3x2

y1 = 0,6 ·(275700 - y1) + 0,6y1 ==> y1 = 165420 viajeros

275700 - 165420 = 1,3 · x2 ==> x2 = 110280 / 1,3 ==> x2 = 84831 viajeros

y2 = 250500 - x2 = 250500 - 84831 = 165669 viajeros

x1 = 275700 - 165420 = 110280 viajeros

Los pasajeros de 1ª seran x = x1 + x2 = 110280 + 84831;

x = 195111 viajeros.

Los pasajeros de 2ª seran y = y1 + y2 = 165420 + 165669 ;

y = 331089 viajeros.

Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se ob-tienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia xde antigüedad en-tre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años de antigüedad de cada empleado.

x años el A, y años el B, z años el C

=>

=> z = 240 / 20 è z = 12

y + 12 = 30 è y = 18 x + 18 + 12 = 50 è x = 20

20 años de antigüedad el empleado A, 18 años de antigüedad el empleado B y 12 años de antigüedad el empleado C.

Tres amigos, Marcos, Luisa y Miguel, son aficionados a la música. Entre los tres poseen un total de CD comprendido entre 16 y 22 unida-des. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luisa presta 1 CD a Marcos y Mi-guel presta 2 CD a Luisa, con lo cual los tres amigos tienen al final el mismo número de CD. ¿Cuántos CD pueden tener en total?.

Marcos tiene x CD, Luisa tiene y CD y Miguel tiene z CD

16 ≤ x + y + z ≤ 22

Marcos se queda con x – 4 + 1 = x – 3 CDLuisa se queda con y – 1 + 2 = y + 1 CD

Miguel se queda con z + 4 – 2 = z + 2 CD

Como los tres deben de acabar con el mismo numero de CD

x – 3 = y + 1 x – y = 4 y = x - 4 x – 3 = z + 2 x – z = 6 z = x – 5

Llamando Para que x, y ,z sean positivos λ ≥ 6

λ = 6 x = 6; y = 2; z = 1 x + y + z = 9 no vale λ = 7 x = 7; y = 3; z = 2 x + y + z = 12 no vale λ = 8 x = 8; y = 4; z = 3 x + y + z = 15 no vale λ = 9 x = 9; y = 5; z = 4 x + y + z = 18 si vale λ = 10 x = 10; y = 6; z = 5 x + y + z = 21 si vale λ = 12 x = 11; y = 7; z = 6 x + y + z = 24 no vale

Marcos 9 CD, Luisa 5 CD y Miguel 4 CD Las soluciones son dos Marcos 10 CD, Luisa 6 CD y Miguel 5 CD

Un autobús universitario transporta en hora punta 80 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 céntimos, viajeros con bono de des-cuento del 20% y estudiantes con bono de descuento del 40%. Si la recaudación del autobús en ese viaje fue de 39,75 euros, calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que el numero de estudiantes era el triple que el del resto de viajeros. (PAU).

x es el nº de viajeros sin descuento. y es el nº de viajeros con el 20% de descuento. z es el nº de viajeros con el 40% de descuento.

è

è

è z = 60

- 0,2 y – 0,4 · 60 = - 27 è - 0,2 y = - 3 è y = 3 / 0,2 è y = 15

x + 15 + 60 = 80 è x = 5

5 viajeros sin descuento, 15 viajeros con el 20% de descuento y 60 estudiantes.

Un número capicúa tiene cinco cifras. La suma de las cifras es 9. La cifra de las centenas es la suma de las cifras de las unidades y las dece-nas. Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número que resulta disminuye en 9. Hallar el número.

El numero es xyzyx è Al cambiar el numero xyzxy disminuye en 9 unidades

3z = 9 ; z = 3 -2y+z = -1 ; -2y+3 = -1 ; -2y = -4 ; y = 2

2x+2y+z = 9 ; 2x+4+3 = 9 ; 2x = 2 ; x = 1 El número es 12321

Una compañía de transportes tiene tres camiones diferentes, P, Q y R, en los que caben exactamente un cierto número de contenedores de

tres tipos A, B y

Si se han de transportar 45 contenedores de tipo A, 44

de tipo B y 58 de tipo C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes lo hacen totalmente llenos?. (PAU).

x nº de viajes el P ; y nº de viajes el Q ; z nº de viajes el R

è z = 3 3 viajes realizo el camión R 19y + 3·3 = 85 è 19y = 76 è y = 4 4 viajes realizo el camión Q 5x + 2·4 + 4·3 = 45 è 5x = 25 è x = 5 5 viajes realizo el camión P

Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de cada uno de estos muebles se necesitaron unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla. Si la compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600

unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio, y utilizo todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás

(PAU).

x sillas y mecedoras z sofás

==>

y + 600 = 700 è y = 100 ; x + 100 + 200 = 400 è x = 100

Hay 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.

Una empresa produce un bien, cuya función de oferta es Qo = - 50 + 30p y su función de demanda viene dada por Qd = 100 - 20p. ¿Cuales son el precio y la cantidad en el punto de equilibrio Qo = Qd?.

Si Qo = Qd ; - 50 + 30p = 100 - 20p es decir una ecuación con una sola incógnita.

30p + 20p = 100 + 50 ==> 50p = 150 ==> p = 3

Qo = - 50 + 30.3 = - 50 + 90 ==> Qo = 40 pts sera el precioEn el equilibrio

Qd = 100 - 20.3 = 100 - 60 ==> Qd = 40 bienes demandados

Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barce-lona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones

asciende a 31. Para que el número de ejecutivos de la delegación de Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciu-dades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad? (PAU).

x ejecutivos en Madrid y ejecutivos en Barcelona z ejecutivos en Valencia

x = 16 ejecutivos en Madrid.

16 – y = 6; y = 10 ejecutivos en Barcelona.

; z = 5 ejecutivos en Valencia.

Una tienda vende una clase de calcetines a 12€ el par. Al llegar las rebajas, realiza durante el primer mes un 30% de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mes hace un 40% también sobre el pre-cio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por 5976€ y que durante las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, ¿a cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%? .

X calcetines a 12€ .Y calcetines al 30% de 12€ ; 30/100 · 12 = 3´6 ; 12 - 3´6 = 8´4 € .Z calcetines al 40% de 12€ ; 40/100 · 12 = 4´8 ; 12 – 4´8 = 7´2 € .

==>

Por Gauss

==> Z = 120 pares al 40%

Y = 300 – 120 = 180 pares al 30%

X = 600 – 180 – 120 ==> X = 300 pares sin rebaja.