Ejercicios Resueltos Programacion Dinamica

Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM

U UNIVERSIDADNIVERSIDAD N NACIONALACIONAL

MMAYORAYOR DEDE S SANAN M MARCOSARCOS

(Universidad del Perú, Decana de América)

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

CURSO: PRÁCTICA CALIFICADA DE LABORATORIO

TEMA: PROGRAMACIÓN DINÁMICA

PROFESORA: Ing. ROSMERY MAYTA

ALUMNOS CÓDIGOS

DELGADO QUINTANILLA, Manuel A. 05170186

LOPEZ ZORRILLA, Max Cristian 05170111

MEJÍA SANCHEZ, Linye Zulyn 05170153

1 PROGRAMACIÓN DINÁMICA


Ciudad Universita

ria, Julio del

2009.

SOLUCIÓN DE LA PRÁCTICA DE LABORATORIO

PROBLEMA 1

1. Un estudiante debe elegir diez cursos optativos de cuatro departamentos diferentes. Debe seleccionar al menos un curso de cada departamento. Su objetivo es “repartir” sus diez cursos en los cuatro departamentos, de tal manera que maximice sus “conocimientos” en los cuatro campos. Comprende que si toma un cierto numero de cursos en un departamento su experiencia sobre la materia no aumentará apreciablemente porque el material será demasiado complicado para lo que comprenda o porque los cursos se repiten. Por consiguiente, mide su capacidad de aprendizaje como una función del número de cursos que toma en cada departamento en cada escala de 100 puntos y produce el diagrama siguiente (se supone que los agrupamientos de cursos satisfacen los pre-requisitos para cada departamento). Formule el problema como un modelo de programación dinámica utilizando las ecuaciones recursivas de avance y de retroceso.

NÚMERO DE CURSOS

DEPART. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I 25 50 60 80 100 100 100 100 100 100

II 20 70 70 100 100 100 100 100 100 100

III 40 60 80 100 100 100 100 100 100 100

IV 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

SOLUCIÓN

A) De manera manual:

Datos:

- Total cursos a seleccionar: 10- Objetivo: maximizar conocimientos



- Restricción: debe seleccionar al menos un curso por departamento.

Definiendo etapas :

- Etapa 1: departamento IV- Etapa 2: departamento III- Etapa 3: departamento II- Etapa 4: departamento I

- El gráfico mostrado a continuación indica la cantidad de cursos que puede elegir por cada departamento (Xi) y la disponibilidad de cursos (Si), esto es teniendo en cuenta que para cada departamento obligatoriamente se debe de elegir por lo menos un curso siendo la función recursiva: F(Xi,Si)= r(Xi)+F(Xi-1,Si-1), teniendo en cuenta algunas restricciones

Aplicando programación dinámica por etapas, se muestra el resultado a continuación.

- Etapa 1 : departamento IVEn esta primera etapa solo se toma los beneficios alcanzado al elegir, cuantos cursos se quiere llevar en el departamento IV, pues no hay etapa anterior

- Etapa 2 : departamento III

En esta etapa ya se empieza a acumular los beneficios alcanzados tomando en cuanta la elección de los cursos en este departamento y en el anterior



- Etapa 3 : departamento IISe toma en cuanta los beneficios de la primera, segundo y tercera etapa, de manera acumulativa, hasta el momento el beneficio máximo es 210.Estos cuadros se han realizado tomando en cuanta el grafico inicial, en el cual se puede observar que la cantidad máxima de cursos disponibles 7, y la cantidad mínima es 3, pues se necesita como mínimo 1 en el departamento I, 1 en el departamento II, y 1 en departamento 3. Además no se puede cumplir con f(Xi, Si>Xi-1), por la misma razón

- Etapa 4 : departamento IAquí se obtiene el beneficio máximo, teniendo en cuenta todas las restricciones anteriores.

Haciendo un análisis hacia atrás, vemos que existen 5 alternativas distintas que dan el mayor grado de satisfacción.

LAS DIFERENTES ALTERNATIVAS SON LAS SIGUIENTES:



DEPARTAMENTOS ALT 1 ALT 2 ALT 3 ALT 4 ALT 5

I 2 2 3 4 5

II 2 4 2 2 2

III 4 3 4 3 2

IV 2 1 1 1 1

PUNTAJE TOTAL 240 240 240 240 240

Dando como resultado un puntaje máximo de 240, y para este resultado existen 5 alternativas distintas, mostradas en la tabla anterior.

B) Programación en DIN:

- Ingresando los datos, tenemos que el conjunto decisión esta conformado por las cantidades de cursos que se pueden llevar en los departamentos(sn1=1,2,3,4).En este caso hasta el valor 7 pues es lo máximo permito, visto anteriormente)

- En la condición de contorno se coloca los valores de los beneficios que brinda en departamento 4, conforme a la elección de cursos del departamento :

F(4,1)=10 f(4,2)=20 f(4,3)=30 f(4,4)=40 f(4,5)=50F(4,6)=60 f(4,7)=70 f(4,8)=80 f(4,9)=90 f(4,10)=100

- En las definiciones adicionales colocan todos los beneficios dependiendo del departamento (1,2,3,4) y la cantidad de cursos que se desee llevar

- SN2 representa la disponibilidad, con la cantidad de cursos con que se cuenta.- También esta la función de retorno o recursiva que es la que va a indicar el

beneficio máximo.

INGRESANDO DATOS



Estados calcula estados

Solución calcula solución



La cual generan 5 soluciones al igual, que las realizadas de manera manual, lo que significa que la resolución esta correcta.

PROBLEMA 22. Se tiene cuatro equipos de investigación y se cuenta con 3 científicos, se puede

asignar de 0 a 3 científicos a cada equipo. El objetivo es maximizar la probabilidad de éxito total de la investigación, es decir de los 4 equipos pueden tener 0 o 3 integrantes y esto genera una probabilidad de éxito, la cual se requiere maximizar. E la siguiente tabla se encuentra las probabilidades de éxito del equipo dependiendo del número de científicos que lo conforman.

Nro. De EQUIPOS

científicos

asignados 1 2 3 40 0.7 0.71 0.75 0.81 0.8 0.8 0.83 0.892 0.89 0.93 0.9 0.943 0.98 0.96 0.97 0.99



SOLUCIÓN:

A) De manera manual:

Datos:

- Total de científicos disponibles: 3- Objetivo: maximizar probabilidad de éxito- Restricción: se puede elegir de 0 a 3 científicos.

Aplicando el método del árbol de decisión obtenemos la figura N°1, siendo los valores del árbol lo siguiente:

Siendo: - A: número de equipo- B: número de cientif. disponibles para el

equipo 1- C: numero de cientif. elegidos.- D: probabilidad de elegir C cientif.

- E: probabilidad acumulada (del equipo 4 al equipo 1)- F: máxima probabilidad de éxito


A,B A,GC, (D)

E

F


1,3

2,3

2,2

2,1

2,0

3,3

3,2

3,1

3,0

3,2

3,1

3,0

3,1

3,0

3,0

0, (0.7)

1, (0.8)

2, (0.89)

3,(0.98)

0, (0.71)

1, (0.8)

2, (0.93)

3,(0.96)

0, (0.71)

1, (0.8)

2, (0.93)

0, (0.71)

1, (0.8)

0, (0.71)

4,3 4,2 4,1 4,0

4,2 4,1 4,0

4,1 4,0

4,0

4,2 4,1 4,0

4,1 4,0

4,0

4,1 4,0

4,0

4,0

0 0.75 1 0.83 2 0.9 3 0.97

0 1 2

0 1

0

0 1 2

0 1

0

0 1

0

0

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

0.83

0.83

0.75

0.83

0.83

0.83

0.9

0.9

0.99 0.94 0.89 0.8

0.94 0.89 0.8

0.89 0.8

0.8

0.94 0.89 0.8

0.8

0.8

0.8

0.8

0.7425 0.7802 0.801 0.776

0.705 0.7387 0.72

0.6675 0.664

0.6

0.705 0.7387 0.72

0.6675 0.664

0.6

0.6675 0.664

0.6

0.6

0.89

0.89

0.8

0.801

0.7387

0.6675

0.6

0.7387

0.6675

0.6

0.6675

0.6

0.6

0.56871

0.59096

0.62078

0.576

0.52448

0.534

0.558

0.4739

0.48

0.426

0.62078

0.558

0.48

0.426

0.43455

0.4464

0.4272

0.41748

0.4464

Siendo la ruta que maximiza el éxito, la siguiente.


Figura N° 1


La probabilidad máxima de éxito es de 0.4464 y la cantidad de cientificos por equipo:

EQUIPOS ALTERNATIVA1 12 23 04 0

B) Programación en DIN: Ingresando los datos, siendo d la cantidad de científicos que se puede asignar, sn1: el numero de equipos, sn2:la cantidad de científicos para el equiposn1, y r la función de recurrencia.En la función de contorno colocamos las probabilidades de asignar de 0 a 3 cientificos en el equipo 4, y en definiciones adicionales las probabilidades no solo del equipo 4 sino de todos los equipos.

Estados calcula estados



Resultado 9 estados

Solución calcular solución

Lo que comprueba que solo hay una solución factible cuyo retorno máximo es de 0.4464, y la distribución es la siguiente:Primer equipo: 1 científicoSegundo equipo: 2 científicosTercer y cuarto equipo: 0 científicosCoincidiendo con lo realizado manualmente

PROBLEMA 3

3. Un excursionista tiene una mochila de 15 pies cúbicos de capacidad y desea saber cuales son los artículos más valiosos que va a llevar a la excursión. Hay tres artículos de donde escoger. Sus volúmenes son de 2, 3y 4 pies cúbicos. Debe llevar por lo menos 1 de cada artículo. El excursionista estima sus valores correspondientes, en una escala del 0 al 100. en la siguiente tabla se dan los siguientes datos. Determine la solución óptima aplicando programación dinámica.

Articulo Volumen (pies cúbicos) Beneficio



1 2 30

2 3 50

3 4 70

SOLUCIÓN:Datos:

- Total de artículos a seleccionar: 3- Objetivo: Maximiza el Beneficio.- Restricción: Se debe seleccionar por lo menos uno de cada artículo.

Etapa 1: Cantidades del artículo 3.Etapa 2: Cantidades del artículo 2.Etapa 3: Cantidades del artículo 1.

W/W3 = 15/4 = 1, 2, 3. (No se toma en cuenta el 0, por la restricción.)W/W2 = 11/3 = 1, 2, 3.W/W1 = 8/2 = 1, 2, 3, 4.

Cantidades de los artículos y el respectivo volumen que ocupan:

Articulo Cantidad Volumen (pies cúbicos) Cantidad Volumen (pies cúbicos)1 1 1*4=4 2 2*4=82 3 3*3=9 1 1*3=33 1 1*2=2 2 2*2=4

Total 15 15

Solución en DIN1:

Ingresando datos



Generando estados

ejecutando

LO QUE DA DOS SOLUCIONESY EL VALOR OPTIMO ES DE 250Comprobando que lo realizado manualmente esta correcto.



PROBLEMA 4

4. Juan Pérez tiene un pequeño jardín en la parte de atrás de mi casa, que mide 20x30 pies. Esta primavera planeo planta tres tipos de vegetales: zanahoria, betarraga y maíz. El jardín está organizado en hileras de 30 pies. Lo que mas me agrada son las zanahorias y lo que menos me agrada son las betarragas y en una escala de l 1 al 10, les asignaría 10 a la zanahoria, 7 al maíz y 3 a la betarraga. Sin considerar mis preferencias, mi esposa insiste en que plante por lo menos dos hileras de betarragas y no más de tres hileras de zanahoria. ¿cuántas hileras de cada vegetal debo plantar?

VEGETAL PREFERENCIA MEDIDA(pies)

zanahoria 10 2

betarraga 3 3

maíz 7 2

SOLUCIÓN:

Datos: - Total de vegetales a seleccionar: Zanahoria, Betarraga, y Maíz.- Objetivo: Maximiza la preferencia de los vegetales.- Restricción: Plantar por lo menos dos hileras de betarragas, y no más de tres

hileras de zanahoria

Etapa 1: Cantidades del artículo 3.Etapa 2: Cantidades del artículo 2.Etapa 3: Cantidades del artículo 1.

W/W1 = 20/2 = 0,1, 2, 3. (Máximo 3 hileras de zanahoria.)W/W2 = 20/3 = 2, 3, 4, 5, 6.W/W3 = 14/2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.



Hileras a plantar:

Vegetal Medida (pies)Zanahoria 3Betarraga 2

Maíz 4

• 3 hileras de zanahoria*2 + 2 hileras de betarraga*3 + 4 hileras de maíz*2 = 20 hileras de vegetales.

Nota: Recordar que cada hilera tiene 30 pies.

B)Programando en DIN:

Se ingresa d: toda la cantidad de artículos que se puedan sembrar de los tres productos.Para cumplir con las restricciones dadas de que solo se puede sembrar como mínimo dos hileras de betarraga que es el producto 2 y como máximo 3 hileras de zanahoria, en la parte de restricciones del programa, se coloca ademas de que:sn1<=3 0<=sn1<=20,también que los beneficios por la cantidad producida debe ser:b(1,d)<=30 ………lo que obliga a que d sea menor o igual a tres hileras pues el beneficio por unidad es 10b(2,d)>=6………….lo que significa que la cantidad mínima de producción debe de ser 3 pues el beneficio es 2

INGRESANDO DATOS



TENIENDO EN CUENTA QUE:

CALCULANDO LSO ESTADOS:

Y POR ULTIMO CALCULANDO LA SOLUCION:



Lo que permite ver, que el beneficio maximo es de 64, y la distribución la siguiente:Producto 1: 3 hilerasProducto 2 : 2 hilerasProducto 3: 4 hileras

El mismo resultado que el realizado manualmente

PROBLEMA 5

5. La empresa ABC se dedica a la elaboración de modelos y todo tipo de material didáctico, para la enseñanza educativa. La empresa ABC tiene contrato para entregar el siguiente número de modelos de ciencia y ambiente durante los siguientes 3 meses.

MES ENTREGA CV. (UNITARIO) C. ALM. C. F.

1 200 10 1.5 250

2 300 10 1.5 250

3 300 12 1.5 250

Los modelos fabricados durante un mes pueden servir para abastecer la demanda de este mes y de algún mes futuro, suponiendo que la producción de cada mes es múltiplo de 100. Dado que el nivel de inventario inicial y final es “0”. Determine el calendario óptimo de producción utilizando programación dinámica

SOLUCIÓN:a) De manera manual:

Datos:

- Inventario inicial y final: 0- Objetivo: reducir costos- No dan producción máxima



Los valores que pueden tomas los inventarios inicial y finales por mes son los siguientes:

1ER MES 2DO MES 3ER MESII IF II IF II IF

0 0 0 0 0 0 100 100 100 100 200 200 200 200 300 300 300 300 400 400 500 500 600 600

Definiendo etapas :

- Etapa 1: mes 3- Etapa 2: mes 2- Etapa 3: mes 1

Etapa 1: MES 3

- Determinando Costos totales

II + P - D = IF COSTOSII P D IF C=CV*P+CF+CA*IF0 300 300 0 3850

100 200 300 0 2650200 100 300 0 1450

300 0 300 0 250

- programación en función al II y Producción

II Xi 0 100 200 300 F(Xi) Xi

0 - - 3850 3850 300

100 - - 2650 - 2650 200

200 - 1450 - - 1450 100

300 250 - - - 250 0

Etapa 2: MES 2

- Determinando Costos totales del mes 2

II + P - D = IFCOSTOS POR EL MES

2 COSTO ANTERIOR COSTOS ACUMULADOSII P D IF C=CV*P+CF+CA*IF X CA = C+X

0 300 300 0 3250 3850 7100



0 400 300 100 4400 2650 7050

0 500 300 200 5550 1450 70000 600 300 300 6700 250 6950100 200 300 0 2250 3850 6100100 300 300 100 3400 2650 6050100 400 300 200 4550 1450 6000100 500 300 300 5700 250 5950200 100 300 0 1250 3850 5100200 200 300 100 2400 2650 5050200 300 300 200 3550 1450 5000200 400 300 300 4700 250 4950300 0 300 0 250 3850 4100300 100 300 100 1400 2650 4050300 200 300 200 2550 1450 4000300 300 300 300 3700 250 3950400 0 300 100 400 2650 3050400 100 300 200 1550 1450 3000400 200 300 300 2700 250 2950500 0 300 200 550 1450 2000500 100 300 300 1700 250 1950600 0 300 300 700 250 950

Programación en función al II y Producción para el mes 2

II Xi 0 100 200 300 400 500 600 F(Xi) Xi

0 - - - 7100 7050 7000 6950 6950 600100 - - 6100 6050 6000 5950 - 5950 500

200 - 5100 5050 5000 4950 - - 4950 400

300 4100 4050 4000 3950 - - - 3950 300

400 3050 3000 2950 - - - - 2950 200

500 2000 1950 - - - - - 1950 100

600 950 - - - - - - 950 0



Etapa 3: MES 1

- Determinando Costos totales del mes 2

II + P - D = IFCOSTOS POR EL MES

1 COSTO ANTERIOR COSTOS ACUMULADOSII P D IF C=CV*P+CF+CA*IF X CA = C+X

0 200 200 0 2250 6950 92000 300 200 100 3400 5950 93500 400 200 200 4550 4950 95000 500 200 300 5700 3950 96500 600 200 400 6850 2950 98000 700 200 500 8000 1950 99500 800 200 600 9150 950 10100

Programación en función al II y Producción para el mes 1

II Xi 200 300 400 500 600 700 800 F(Xi) Xi

0 9200 9350 9500 96510 9800 9950 10100 9200 200

Por lo tanto la producción a realizar para minimizar los costos, son los siguentes:

MES PRODUCCIÓN1 2002 6003 0

DANDO COMO COSTO TOTAL LA SUMA DE $9200

b)UTILIZANDO DIN:Se ingresa los datos. d: la producción que pueda ocurrir, variando por meses, de 0 a 800. esto es determinado anteriormente, en la solución manual del ejercicio



Generando estados:Estados calcular estados

Calcular calcular solución

Lo que demuestra que el costo mínimo es de 9200 y la producción del primer mes es de 200, el de segundo 600 y el tercero no se produce.



PROBLEMA 66. La compañía ABC quiere determinar el número de unidades para cada uno de

los tres artículos que se incluirán en un equipo cuyo costo total no puede ser mayor de $420, la pieza A cuesta $ 50, la pieza B cuesta $60 y la pieza C cuesta $60, los beneficios que se logra por cada pieza son:

Nro. De piezas en BENEFICIOSel equipo A B C

1 60 140 200

2 120 200 300

3 160 250 380

4 230 290 440

5 275 320 480

6 310 345 510

7 345 365 540

8 375 380 560

Resolver el problema utilizando programación dinámica.

SOLUCIÓN:

Aplicando el árbol de expansión y asumiendo que si se elige comprar 0 artículos de alguna pieza el beneficio es 0



La cual genera tres posibles soluciones:

componentes ALTERNATIVA 1 ALTERNATIVA 2 ALTERNATIVA 3A 1 2 2B 2 1 2C 4 4 3

TOTAL BENEFICIO 700 700 700

Con un beneficio total de 700

b) utilizando DIN

INGRESANDO LSO DATOS

CREANDO LOS ESTADOS : ESTADOSCALCULA ESTADOS

GENERANDO 10 ESTADOS



SOLUCION

LO QUE DEMUESTRA QUE EFECTIVAMENTE EXISTEN 3 SOLUCIONES Y EL MAXIMO VALOR HALLADO ES DE 700

ADICIONAL 1 Una familia va a salir de vacaciones desde su ciudad natal. La familia desea visitar 3 ciudades y dispone de un total de 5 días para hacerlo. La familia desea saber cuantos días permanecer en cada ciudad de modo de maximizar la satisfacción total de sus vacaciones sabiendo que para cada ciudad existe una función de satisfacción que esta en base al número de días de permanencia. Se tiene el siguiente cuadro:

Solución:

Datos:

- Beneficio de permanecer x cantidad de días en una ciudad.- Objetivo: Maximizar los beneficios


Ciudad 1

Ciudad 2 Ciudad 3

Dias 0 0 0 0Dias 1 1 1 1Dias 2 2 4 3Dias 3 3 6 3Dias 4 4 8 2Dias 5 5 8 1


Haciendo la Ciudad 3 la Etapa 1; la ciudad 2 la Etapa 2 y la ciudad 1 la Etapa 3, tenemos:Primera Etapa:

Segunda Etapa:

Tercera Etapa:

0 1 2 3 4 5 f(xi)

(xi)

50+9

1+8

2+6

3+4

4+1

5+0 9 0.1

Como vemos en la última etapa tenemos que el valor máximo es 9. Y se da en la columna 1 y la 0. Encontrando las soluciones:

Alternativa1: 0 – 4 – 1 alternativa 2: 0 – 3 – 2 Alternativa 3: 1 – 4 – 0


0 1 2 3 4 5f(xi) (xi)

0 0 - - - - - 0 01 0 1 - - - - 1 12 0 1 3 - - - 3 23 0 1 3 3 - - 3 2.34 0 1 3 3 2 - 3 2.35 0 1 3 3 2 1 3 2.3

0 1 2 3 4 5f(xi) (xi)

00+0 - - - - - 0 0

10+1

1+0 - - - - 1 0.1

20+2

1+1

4+0 - - - 4 2

30+3

1+3

4+1

6+0 - - 6 4

40+4

1+3

4+3

6+1

8+0 - 8 4

50+5

1+3

4+3

6+3

8+1

8+0 9 4.3


Aplicando DIN:

INGRESANDO DATOS:

ESTADOS CALCULA ESTADOS

SOLUYCION CALCULAR SOLUCION



LO QUE NOS PERMITE CONFIRMAR QUE EXISTEN TRES RESPUESTAS Y QUE EL BENEFICIO MAXIMOES DE 9.

ADICIONAL 2

Un prestigioso taller mecánico, especialista en mantención y reparación de motores, tiene una maquina especializada para estos fines y desea saber cuando cambiar dicha maquina. Para ello cuenta con los siguientes datos:

• Una maquina nueva cuesta S/.100000.

• El taller puede mantener una maquina por 1, 2, o 3 años.

• EL valor de venta de la maquina disminuye S/. 15000 cada año que pase.

• El costo anual de manutención para el primer año es S/. 4000 aumenta cada año S/. 3000.


Tiempo

Costo Mantenimiento

1 año 40002 años 70003 años 100004 años 130005 años 16000

TiempoValor venta

1 año 850002 años 700003 años 550004 años 400005 años 25000


El taller busca una política óptima de reemplazo que minimice los costos totales durante 5 años restringidos a que siempre debe haber una máquina sabiendo que se compro una maquina en el año 1 y que se venderá al final del año 5.

Solucion:

Datos:

- Nos dan información sobre el valor de recupero, costo mantenimiento, y valor inicial de la maquina.

- Objetivo: Minimizar los costos- La maquina solo puede estar en el taller por un máximo de 3 años.

Desarrollando el problema mediante el diagrama de árbol tenemos:



Como resultado nos da que el mínimo costo es de S/. 74000. Se puede llegar a esto por 3 soluciones, las que pueden ser:

AÑO 1 – AÑO 2 – AÑO 5AÑO 1 – AÑO 3 – AÑO 5AÑO 1 – AÑO 4 – AÑO 5


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