Problemas resueltos Dinamica de Traslación

5/10/2018 Problemas resueltos Dinamica de Traslacin

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Dinamica del movimiento rectilineo uniformemente acelerado 09U L 16 de septiembre de 20II I Autor: MirllllesUna rnaqulna de un tren de masa 1000 kg arrastra dos vagones de masas 500 kg cada uno. EIcoefici.ente de rozamiento de la maquina vale 0,2 y el coeficiente de rozamiento de cada uno de losvagones vale 0,1, la fuerza ejercida por la rnaquina es de 20000N.Calcular:a) La aceleraci6n con que se mueve el sistema.b) Las tensiones.Soluci6n:

Datos: m1 = 1000 kg; m2 = m3 = 500 kg; 1 . 1 1 = 0,2; 1 . 1 2 = 1 . 1 3 = 0,1; F = 20000 N

Fuerzas que intervienen:

a) Fuerzas tangenciales:

Fuerza de roza miento:

Realiz.ando las debidas sustituciones:

a :lO IlO O N - 0 ,2 :'1 .0 0(1 kg '9 .e i - O ,t .5 {1 0kg 9,B? - 0 ,1 :500 .kg 9.B~1001) kg + 500 [ ' . g , +500 .k g20000 N - 19'60 N - 11090{II - 49 0 IVa - -----=,...,.........,.....;------z m O " O k , E J


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b) Para hallar T1 utilizaremos las fuerzas que actuan sabre la rnaquina:

T1 = 20000 N - 1000 kgS,53 (rn/s-') - 0,21000 kg9,S (m/s2)

T1 = 20000 N - 8530 N - 1960 N = 9510 N

Ahora, utilizaremas las fuerzas que actuan sobreel ultimo vag6n:

T2 = 0,1500 kg9,8 (rn/s-') + 500 kg8,53 (m/52)T2 = 490 N + 4265 N = 4755 N

Podemos ver si los valares de las tensiones san carre.ctas, comprobando si verifican una terceraecuaci6n que se. puede abtener, usanda las fuerzas que actuan sobreel primer vag6n.

T 1 - T 2 - 1 - 1 2 m 2 9 = 9510 N - 4755 N - 490 N = 4265 Nm 2 a = 500 kgS,53 (m/s") = 4265 N

Los resultados de ambos miembros de la ecuaci6n son iguales, por tanto, la ecuaci6n se verifica ylas soluciones de las tensiones obtenidas son correctas.


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Dinamica del movimiento rectilineo uniformemente acelerado 081E'I11 de septiembre de 2011 I . .. . Autor: MirallesRespecto al sistema que viene representado en la siguiente figura:

Halla:

a) La aceieracion con que se mueve el sistema.

b) La tension de cada una de las cuerdas.

Datos: m1 = 10 kg; m2 = 20 kg; m3 = 40 kg; F = 140 N

Solucion:Datos: m1 = 10 kg; m2 = 20 kg; m3 = 40 kg; f = 140 N

Supondremos que no existe rozarniento entre los cuerpos y la superficie par donde se mueven, yaque en el enunciado del problema no dice nada sabre ello.

Fuerzas que actuan sobre cada uno de los cuerpos:

,~

a) fuerzas horizontales:

140 N = 70 kg . a

a = 140 N/70 kg = 2 m/s?b) Para hallar Tv , utilizaremos las fuerzas horizontales que actuan sobre el cuerpo 1:

Paraaver.iguar T2, haremos 10 mismo perc con el cuerpo 3:

F - Tz = m 3 a - - - - > T2 = F - m 3 a = 140 N - 40 kg . 2 (m/s" ) = 60 N


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Dinamica del movimiento rectilineo uniformemente acelerado 07r . r 18 de rnarzo de 2011 I , . . . Autor: MirallesUn objeto de 37 kg de masa se encuentra situado en un plano horizontal. Le aplicamos una fuerza de 75N que forma UIl angulo de 30 con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento es 0,03, calcula suvelocidad y el espacio que ha recorrido en 5 segundos.

So!uci6n:Datos: 111 = 37 kg; Vo = 0; F = 75 N; IX = 30; [1 = 0,03; t = 5s.

Ecuaciones del movimiento:

v=vo+at x = Vo t + (112) a t2

En este caso:

v = a t x = (1/2) a t2

Para poder hallar Ia velocidad y el espacio recorrido en 5 s, se necesita averiguar La aceleracion con Laque se mueve el objeto.

Fuerzas que actuan sobre el objeto y descomposicion de las mtsmas:

N

Seg1111[a figura:

Fuerzas normales:

N + F sen IX - 111 g = --'I N = 111 g - F sen IXFuerzas tangenciales:

F cos (J~- F =m ar

Para hallar la aceleracion tenemos todos los datos excepto la fuerza de rozamiento.


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Fuerza de rozamiento:

Aceleracion:

Velocidad:

Espacio recorrido:

Fr =u N =p . (m g - F sen 0.)

a = (F cos a - Fr) I III

a=(75 -cos 30 - 9,753 N) /37 kg =1,5 nJs2

v = 1,5 (m/s2Y5 s = 5,5 m/s


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Problema 1 Dos bloqne-s de masas 1/lI = 20 kg y .in2 = 8 kg, estan unidos mediante unacuerda hemogeuea inextensible que pesa 2 kg. Se aplica al ccnjunto una fuerza verticalhacia arriba de 560 N..Calcular: a) La aceleracion del conjunto; b) Las fuerzasque actnanen losextremos dela cuerda,

Solucion

.Y

1 1 1 1

IIi?

o xa) La fuerza total extenor que aetna sabre el conjunto es

F = F, + PI + P2 + P3 = (560 - 30 x 9,8) j = 266 jy su mas a es de 30 kg.De la 2a ley deNewton F 1 1 1 a se tieue que

b) En el extreme superior A yen el inferior B de la cuerda actuan fuerzas FA Y FE tal que

La fuerza FB es la que ejerce el bloque 2 sabre la cuerda, luego la cuerda ejerce sabre el bLoqueuna fuerza igual de sentido opuesto, Movimiento del bloque 2

Sustitnyendo en la ecuacion anterior queda

FA = 186,6 j N


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Problema 2 En el esquema de la fignra.las masas de Ia polea y del cable son despreciablesy no hay rozamiento entre el cable y la polea. Hallar 1


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1 1 1 ,

- L J J . : ) 1/ ~.m'),I 'l~/

Problema 11 Determinar Ill. fuerza F aplicada al bloque de rnasa M de la figura adjurrta,para que los bloques de masas 1111 y 1112. apoyados en 1\{ no se muevan respecto de M. Todaslas superficies son lisas y la polea yel cable tienen masa despreeiable.

Soluci6n

Consideremos un sistema de referencia fijo en e1 snelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicadaF. De la 2a ley de Newion aplicada a1 conjunto se tiene:

F (1)

siendo a la aceleracion del conjunto. Las masas III! y nJz estan en rePOSO sobre el hloque M,luego en la referencia 0 su aceleracion es del conjunto. La fuerza que ejerce el cable sabre In! Yla que ejerce sobre 1172 tienen el mismo m6dulo Fe.La 2' ley de N ewton para m, es

- 1111 g j + N, j + Fe i= TIl, a i Fc tn, a (2)

La 2" ley de Newtou para I7lz es

Fc (3)

De (2) Y (3) se tiene (4)

Sustituyendo (4) en (1) se obtiene la fuerza aplicada a M


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Problema 15 Una persona de masa III=58 kg se encuentra sabre una plataforma de masalv I = 14,5 kg la cua l esta unida a una cuerda quepasa pOI una polea como se muestra en lafigura adjunta. Encontrar 13 fuerza que Ia persona debe hacer sobre el extreme bore de Iacnerda para: a) Subir con aceleracion de 0,611118-2. b) Subir con velocidad constaute ..

Soluci6na) Consideremos un sistema de referencia fijo en el suelo con el eje y vertical. Para subir, en elextreme libre de la cuerda, la persona ejerce una fnerza vertical hacia abajo, y la cuerda ejercesabre la persona, apoyadaen la plataforma, una fuerza igual y de sentido opuesto, En el otroextreme de la cuerda, esta ejerce sabre el sistema plataforma-nombre una fnerza vertical haciaarriba. Ambas fuerzas son iguales.

F F y

Fuerzas sabre el sistema.hombre-plataforma

o xP P'De Ia 2a Ley de Newton se tiene

( 1 I l +M) a j 2Fj -(m +M)gj (1)

Operando se tieneF= 377 N

b) Ahora la aceleracion es cero, De la ecuacion (1) igualada a cera se tiene

F= 355 N


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Problema 16 El coeficiente de rozamiento entre 108 bloques ms= 5 kg, me = 10 kg yeIsuelo es fL . =o~3b. Las masas de la polea y del cable son tlespreciables yel cable esinextensible, Al aplicar al bloque B una fuerza horizontal de 125 N, detenninar: a) Laaceleracion de B; b) La tension delcable,

125 N

Soluci6n

a) Considerernos un sistema de referencia can origen ell Ia pared y el eje x horizontal. Lasposiciones de los bloques estan relacionadas par la condicion de ligadura XA + Xj j = cte, Luegosus aceleraciones (componentes horizontales) cump1en

Sea F la fuerza que ejercen los extremes del cable sobre los bloques dirigida, en ambos bloques,hacia Ia izquierda, La 2" ley de Newton para e1bloque A es

(1)

y para el bloque B

(2)

Eliminando 1 3 F entre las ecuaciones (1 ) y (2) se tiene la aceleracion de B

a = 3,43 IllS'] I

b) Sustituyendo el valor de la aceleracion en 1a ecua cion (1) se tiene

F=31,85 Ncuyo valor es la tension del cable.


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Problema 17 Dos bloques A y B de tnasas nu y tns estan unidos mediante U1 1 cable quepasa a traves de una polea tal como se muestra en la figura adjunta, EI coeficiente derozamiento entre el bloque A ye1 plano inclinado as u, Determiner el sentido delmovimiento cuando se dejan en libertad a partir del reposo. EI cable es inextensible y lasmasas del cable y la polea despreciables.

Solnclon

Supongatuos que el bloqueA asciende sabre e1plano inclinado. Sea F la fuerza que ejercen losextremes del cable sabre los bloques dirigida, en ambos bloques, tal cornose indica.F F

Elmovimiento de B es hacia abajo, Iuego TIIs g > FElmovimiento deA es hacia arriba, Iuego F > nu g sen < p + ! . 1 II1AgCOS c p

El movimiento de los bloqueses el indicado si In E-- > sen c p + ~ cos < pinA

Supongamos que el bloque A desciende sabre el plano inclinado.El movimiento deB es hacia arriba, luego mEg < F

El movimiento deA es hacia abajo , luego F + ~ iii" geos < p < m, g sen c pEI movimiento de los bloques e s el indicado si Ins-- < sen < p - p cos c p

inA

Los bloques 110,se mueven si sen c p - I . . l . cosrp < sen c p + !lcos < p


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Problema 18 Dos blcques A y B de masas m =10 kg Y m il =7 kg, estan unidos medianteun cable que pasa a traves de las poleas tal como se rnuestra en 1 8 1 figura adjunta, EIcoeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano inclinado es jl = 0,10 y c p =30. Elcable es inextensible y las masas del cable y las peleas son despreciables, Detenninar: a)Las aceleracienes de los bloque B: b) La - tensi6n del cable ..

~

SolucionSupongamos que el movimiento de A es hacia abajo, luegoha de ser

El movimiento de B es hacia arriba, luego

De ambas expresiones queda m B g < II'lAgse ncp - ).l-n lAgC OS


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La 2" ley de Newton aplicada al bloque A es

f . . L /V " + F - rn A g sen < p nu g cos < p

m:gsen r p

La 2" ley de Newton aplicada al bloque B es

(2)F-Injjg

Eliminando la F entre las ecnacioues (2) y (3), y teniendo en cueuta la ecuaciou (1), operandoqueda

a 0,26 1 1 1 / s 2Las aceleraciones de los bloques SOl1 :

O "2 ( . J 3 . 1.) -?aA = - ,J - I + - J tIlS -2 2

as =0,26 j 111S-

b) La magnitud de la tension del cable es el valor de la fuerza que el cable ejerce sobre losbloques, De Laecuacion (2) se tiene

F=35, 2 N

Problema 20 Un nino de masa In =45 kg se pesa en una bascula de resorte situada sabreuna plataforma especial que se desplaza por un plano inclinado de angulo 8 = 3~'' comomuestra la figura (no hay rozamiento entre la plataforma y el plano inclinado), ,;,eual sera lalectura de la bascula en estas condiciones?

(1)


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Soluci6n

Calcnlemos primero la aceleraci6n con que el sistema nino-bascula-soporte se desplaza sobre elplano inclinado . Sea P; =M gel peso total del sistema yN, 1a reaccion del plano inclinado.

oN,=M g cos 30

Ma= Mg sen 300

Laaceleracion del conjunto esSolucion en una referenda inercial Sabre el moo actuan : su peso PyLa rfacci611 R en elapoyo . La indicacion de la bascula el valor de la normal.

yR.l.

rlnnrl" =

o xDe 1a2" ley de Newton 1II a = L , F, =R + P (1)

se beney ) = : : ; > - 11 1 a sen30

La componente R, es 1a fuerza de rozarniento en 1a bascula f = "';;: IIIgcomponente R 2 es 1anormal N, cuyo valor es

191N,y1a

N =X III g "" 33,75 kg


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Solucion en una referenda no inercial . Seleccionemos una referencia con origen 0' eo unpunto de la plataforma. La 2" ley de Newton en una referencia no inercial en traslacion es

In a' =LF; - m ao

donde a' es la aceleracion de 1 8 particula de masa m ( nino) en la referencia no inercial y ao Iaaceleracion de la referencia 0' respecto de la referencia fija a. El nirio est a ell reposo sabre laplataforma luego a' =0 y la aceleracion de 0' respecto de 0 es 1a aceleracion de la plataformaao = sen 30 g

.Y y ' R 1101.

- mg jR.l. N

x'

a x

Del triaugulo de fuerzas se tiene ;::::} N + 1 f 4 Ing j - mg j1;::::}N = mg (1--)4o

luego, la bascula marcaN = 33,75 k g l

Problema 21 Un l11\11't:o rectangular de mass M = 5 kg del que cuelga una plomada de masatu = 1 kg desliza pm' un plano inclinarlo de angulo e = 30 como se umestsa 1 2 1 fignra, Unavez iniciado e1movimiento Ia plomada se estabiliza fonnando nn cierto angulo respecto deIn.vertical. Calcular: a) El angnlo que forma 1.1cuerda de la plomada respecto de 1a verticalsi no existe rozamiento entre las superficies. b) El angulo que fOI'm3 1a cuerda de la

(2)


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Solucion

Solucion en una referenda no inercial.a) La aceleracion del marco respecto de una referencia 0 fija es a =g sen 30, Selecciouemosuna referencia con origen 0' en un punta del marco. La aceleracion del origen 01 respecto de lareferencia fija 0es ao' = a, La 23ley deNewton en una referencia no inercial ell traslaciones

I'll .a f = ~ F, - mHo ' (1)La masa 17 1 esta en reposo en la referencia 0 ' luego 8U aceleracion a' =0 . Sustituyen en laecuacion (l) queda

O=F+P-ma

y' Rl'IoI

.Y

RJ. 1Ilc=) PX'

P 30oDe la ley del sene aplicada al triaugulo de fuerzas se tiene

mg hil1gsen (120 - t j seno (2)

Operando en la ecuacion (2) se obtiene


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b) Cuando hay rozamieuto entre el marco y la superficie del plano inclinado, la aceleracion delmarco respecto de tum referencia fija esta dada par

a 0,326 g

La ecuacion (2) es aharalI1g 0,326 illg

sen (120-cp) sene (3)

Operaudo en 10'1cuacion (3) se obtiene

Problema 22 Un plano iuclinado deaugulo e =30 y longitud total h =2,3 1 1 1 " se encuentraen el interior de un as c ensor. -Un cnerpo de masa m se deja caer desde el extreme superior ydesliza sin rozamiento. Cakular:a) EI tiempoque tarda el cuerpo en deseender todo elplano si el ascensor sube con aceleracion canst ante . X i gtns->' ; b) Calcular 1 8 aceleracion delbloque en una referencia inercial.


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SolucionSolucion en una referencia no inercial.a) EI ascensor constitnye una referencia no inercial en traslacion que se mueve can unaaceleracion constante en sentido ascendente respecto de una referencia fija. Seleccionemos unareferenda con origen 0' en un punta del ascensor. La aceleracion del origen 0' respecto de lareferencia fija 0 es la aceleracion del ascensor ao' =~g j ,EI bloque de masa m desciendepor el plano inclinado can 111la aceleracion a' respecto del ascensor. La 2' ley de Newton en unareferencia no inercial en traslacion es

(1)

Las fuerzas exteriores que actuan sabre In son: S1 1 peso Pyla reaccion N, es decir 2 : F;=P + N

v'

IIy

R. no 1.R ,I

P . , . J . Q ~ L :. : : : : . " ,o x

Del triangulo de fuerzas se tiene 1 .m a' =iiig(l + - ) sen 308Operando queda

a' = 5,51 m/s"

E1tiempo que tarda en descender esta dado por

tJ = [2h =0,9 sv - - ; ; ; -


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b) Calculo de Ia aceleracion en una referencia inercial.En la referencia fila, el bloqne desliza sabre el plano incliuado can una componente deaceleracion ap y simultaneamente se desplaza bacia arriba con una componente de aceleracion){ g j , luego Ell aceleracion es a = ap + ){ g j .Sobre m actuan: el peso Pyla normal N.

a xDe 1a segunda ley de Newton In ( ap + is g j) = P + N se tiene

m Op ( cos 30 i~en 30 j + Y s g j) N ( sen 3~" i+ eos30" j) ~ 1 11 g jIgualando componentes

II!Op cos 30 N sen 30 N = .Jj In Op

~ 117 [/p sen 30 + is m g N cos30" - nt g 1 1 2 17 1 (Lp + F; { N = m g + Y s IIIgSustituyendo el valor de Ny operando quem

Op 91 6 g

Problema 23 A los extremes de un hila que pasa a travesde una polea fija al techo de lacabins de un asceusor se atan Loscuerpos de masa nil Y 1Il2 ( J i l t < 1 1 1 2 ) . La cabina comienza asubir con una aceleracion constante g I 2. Despreciando las masa de la polea y del hilo, asfcomo el rozauiientc, calcular: a) La aceleracion de tn, y Ill'!. respecto de la cabina y conrelacion al foso del ascensor. b) La fuerza con L a cual la poleaactua sobre e] techo de Lacab ina.


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Solucion

a) EI ascensor constituye una referencia no inercial en traslacion que se mueve con unaaceleraci6n constante en sentido ascendente respecto de una referencia fija. Seleccionemos unareferencia con origen 0' en un punto del ascensor. La aceleraci6n del origen 0' respecto de lareferencia fija 0 es la aceleracion del ascensor ao' = Y z g j . Sean (/I'j Ia aceleraci6n de 7 1 1 1 ya 2 ' j la aceleracion de m - ; en la referencia 0' Las fuerzas exteriores que actuan sobre Ia 1 7 1 1 sonla tension del cable F y el peso P1, Ysobre m: son la tension del cable F y el peso P2.De Ia ecuacion fundamental de Ladinamica en la referencia no inercial se tiene

(1 )De Ia condicion de Iigadura para los bloques se tiene (/'1 + 0'2 = 0 0'Restando las dos ecuaciones (1) y despejando 0' se obtiene

En la referencia fija, las aceleraciones de 1 1 1 1 y de m a se obtienen de sumar a las anteriores laaceleracion del ascensor2m2 -m1a1 = 00'+ 0'= gm1 +m2

-m? +2m,(/2=00-a'= - gm1 +m2b) La fuerza que Ia polea ejerce sobre el techo de la cabina es FI = -2 F . De una de lasecuaciones (1 ) se tiene

Problemas resueltos Dinamica de Traslación

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