MOVIMIENTO DE MOVIMIENTO DE TRASLACIÓNTRASLACIÓN

http://newton.cnice.mec.es/4eso/trayectoria/trayec0.htm

Considerase que un cuerpo esta en Considerase que un cuerpo esta en movimiento movimiento de traslaciónde traslación cuando cambia de posición sin cuando cambia de posición sin rotar alrededor de su propio eje.rotar alrededor de su propio eje.

En nuestro estudio las dimensiones del móvil En nuestro estudio las dimensiones del móvil deben ser despreciables en relación a las deben ser despreciables en relación a las demás cantidades que intervienen en el demás cantidades que intervienen en el fenómeno (idealizado como fenómeno (idealizado como partículapartícula) y todas ) y todas las cantidades deben ser medidas siempre las cantidades deben ser medidas siempre desde un desde un sistema de referencia inercialsistema de referencia inercial

Estudio de las cantidades Estudio de las cantidades físicas que interviene en el físicas que interviene en el estudio del movimiento de estudio del movimiento de

traslacióntraslación

Aceleración (a t )

Velocidad (v t )

Posición (r t )

x

ytrayectoria

Desplazamiento

POSICIÓNPOSICIÓN

Es una cantidad vectorial que determina la ubicación en Es una cantidad vectorial que determina la ubicación en el espacio de un cuerpo real o idealizado, y es medida el espacio de un cuerpo real o idealizado, y es medida desde otro punto que puede ser el origen del sistema de desde otro punto que puede ser el origen del sistema de referencia en cuyo caso se define como referencia en cuyo caso se define como posición (posición (rr)), o , o desde un punto diferente al origen de coordenadas en desde un punto diferente al origen de coordenadas en cuyo caso se define como cuyo caso se define como posición relativa (posición relativa (r r A /BA /B)). La . La negrilla en el texto se utiliza para resaltar que es vector.negrilla en el texto se utiliza para resaltar que es vector.

Al ser una cantidad vectorial se caracteriza por tener Al ser una cantidad vectorial se caracteriza por tener modulo y dirección, expresarse y operar cumpliendo las modulo y dirección, expresarse y operar cumpliendo las normas de los vectores, su cantidad es longitud la normas de los vectores, su cantidad es longitud la dimensión L y la unidad cualesquiera de las unidades de dimensión L y la unidad cualesquiera de las unidades de longitud.longitud.

EjemplosEjemplos

rr = 100 Km. al noroeste con un = 100 Km. al noroeste con un ángulo de elevación de 30 ángulo de elevación de 30 grados. Quiere decir que un grados. Quiere decir que un objeto se encuentra a100km objeto se encuentra a100km del origen de un sistema del origen de un sistema coordenado en dirección coordenado en dirección noroeste y a un altura noroeste y a un altura determinada por un ángulo determinada por un ángulo de 30 gradosde 30 grados..

rrA/BA/B= ( 10= ( 10ii + 30 + 30jj – 5 – 5kk)Km. Significa )Km. Significa

que un cuerpo B se encuentra que un cuerpo B se encuentra en la posición indicada desde en la posición indicada desde un punto A que no es el origen un punto A que no es el origen de coordenadas del sistema de coordenadas del sistema de referencia consideradode referencia considerado

A

B

x

z

y

S

O E

NY

e

Forma de determinarForma de determinar la posición la posición

De manera prácticaDe manera práctica En la actualidad con el uso En la actualidad con el uso

del GPSdel GPS La forma más tradicional es La forma más tradicional es

determinando a través de determinando a través de equipos como teodolito u equipos como teodolito u otros la distancia entre los otros la distancia entre los puntos y determinando su puntos y determinando su latitud y longitud.latitud y longitud.

El modelo matemático que permite determinar su valor El modelo matemático que permite determinar su valor depende de las características del movimiento depende de las características del movimiento fundamentalmente. fundamentalmente.

Para un movimiento de traslación de aceleración constante y Para un movimiento de traslación de aceleración constante y diferente de cero la posición viene dada por diferente de cero la posición viene dada por

r r ff = = rr0 0 + + vv00ΔΔt + ½ t + ½ aa ΔΔt2 t2

Donde Donde r r f f es la posición de la partícula en el tiempo es la posición de la partícula en el tiempo establecidoestablecido rr00 es la posición de la partícula en el tiempo que se inicia es la posición de la partícula en el tiempo que se inicia

eell estudio del movimiento estudio del movimiento VV0 0 es la velocidad de la partícula en el tiempo que inicia es la velocidad de la partícula en el tiempo que inicia

el análisis el análisis aa es el valor de la aceleración en el intervalo de tiempo es el valor de la aceleración en el intervalo de tiempo ΔΔtt En este intervalo En este intervalo aa requiere mantenerse constanterequiere mantenerse constante

La posición relativa de una partícula viene dada porLa posición relativa de una partícula viene dada por

r r AA//BB = = r r AA – – r r BB

Donde Donde r r AA y y r r BB son las posiciones de A y B respectivamente son las posiciones de A y B respectivamente

respecto a un mismo punto de referencia y en un mismo respecto a un mismo punto de referencia y en un mismo tiempo tiempo de los puntos A y B. de los puntos A y B.

Representación gráficaRepresentación gráfica

Al hablar de la representación gráfica de la Al hablar de la representación gráfica de la posición se debe señalar que lo que se posición se debe señalar que lo que se representa no es la posición sino sus representa no es la posición sino sus componentes escalares en cada uno de los componentes escalares en cada uno de los ejes. Por tanto no se representaejes. Por tanto no se representa

r r f f = = rr00 + + vv00ΔΔt + ½ t + ½ aa ΔΔtt2 2

Lo que se representa es Lo que se representa es

r r f x f x = r= r0 x0 x+ v+ v0x0xΔΔt + ½ at + ½ a x xΔΔtt2 2

r r f y f y = r= r0y0y + v + v0y0yΔΔt + ½ at + ½ ayy ΔΔtt2 2

r r f z f z = r= r0z0z + v + v0z0zΔΔt + ½ a t + ½ a ΔΔtt2 2

Como se puede observar en las ecuaciones Como se puede observar en las ecuaciones anteriores , r, v, y a ya no están en negrilla anteriores , r, v, y a ya no están en negrilla lo cual indica que se refiere al valor escalar lo cual indica que se refiere al valor escalar y no vectorial y además se ha incorporado y no vectorial y además se ha incorporado un nuevo subíndice que indica el eje un nuevo subíndice que indica el eje rectangular de la componente.rectangular de la componente.

En resumen las ecuaciones anteriores En resumen las ecuaciones anteriores representan la expresión matemática de las representan la expresión matemática de las componentes escales de la posición que es componentes escales de la posición que es lo que se graficará a continuación lo que se graficará a continuación

Representación gráficaRepresentación gráfica de la de la posiciónposición

PRINCIPIO ESENCIAL

CONCEPTUALMENTE LO QUE SE REPORESENTA GRÁFICAMENTE EN UN SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES NO ES EL VECTOR, PUES EN EL SISTEMA MENCIONADO NO SE PUEDE REPRESENTAR VECTORES.

LO QUE SE VA A REPRESENTAR SON LAS COMPONENTES ESCALARES DEL VECTOR EN CADA UNO DE LOS EJES DE COORDENADAS RECTÀNGULARES

Siendo consecuente con lo señalado en el costado izquierdo de esta lámina lo que se representa en el caso de la posición entonces son las ecuaciones de: •r f x = r0 x+ v0xΔt + ½ a xΔt2

•r f y = r0y + v0yΔt + ½ ay Δt2

•r f z = r0z + v0zΔt + ½ a Δt2

Matemáticamente cualesquiera de las ecuaciones mencionadas representan la ecuación de una parábola, por lo tanto el gráfico de la componente de la posición en movimiento de aceleración constante diferente de cero en función del tiempo será una parábola.

Siendo consecuente con lo señalado en el costado izquierdo de esta lámina lo que se representa en el caso de la posición entonces son las ecuaciones de: •r f x = r0 x+ v0xΔt + ½ a xΔt2

•r f y = r0y + v0yΔt + ½ ay Δt2

•r f z = r0z + v0zΔt + ½ a Δt2

Matemáticamente cualesquiera de las ecuaciones mencionadas representan la ecuación de una parábola, por lo tanto el gráfico de la componente de la posición en movimiento de aceleración constante diferente de cero en función del tiempo será una parábola.

Siendo consecuente con lo señalado en el costado izquierdo de esta lámina lo que se representa en el caso de la posición entonces son las ecuaciones de: •r f x = r0 x+ v0xΔt + ½ a xΔt2

•r f y = r0y + v0yΔt + ½ ay Δt2

•r f z = r0z + v0zΔt + ½ a Δt2

Matemáticamente cualesquiera de las ecuaciones mencionadas representan la ecuación de una parábola, por lo tanto el gráfico de la componente de la posición en movimiento de aceleración constante diferente de cero en función del tiempo será una parábola.

Gráficos de las componentes Gráficos de las componentes escalares de la posición en función escalares de la posición en función

http://newton.cnice.mec.es/2eso/cinematica/cine41.htm?3&0http://newton.cnice.mec.es/2eso/cinematica/cine41.htm?3&0del tiempodel tiempo

Ecuación general de la Ecuación general de la componente escalar de la componente escalar de la posición en un eje s de posición en un eje s de coordenadas coordenadas rectangularesrectangulares

r r f f s s = r= r0 0 ss+ v+ v00ssΔΔt + ½ at + ½ a ssΔΔtt22

Ecuación de la componente Ecuación de la componente escalar de la posición en un eje escalar de la posición en un eje n de coordenadas rectangulares n de coordenadas rectangulares si asi ass =0 =0

r r f f s s = r= r0 0 ss+ v+ v00ssΔΔtt

Matemáticamente en este caso la Matemáticamente en este caso la ecuación corresponde a la de ecuación corresponde a la de una recta por tanto.una recta por tanto.

rs

t t 0 t f

rsf

rs0

rs

t t 0 t f

rf

r0

Si a s es constante y diferente de cero

Si a s es constante e igual a cero

Análisis del gráfico de las componentes Análisis del gráfico de las componentes escalares de la posición en funciónescalares de la posición en función

En el gráfico se demuestra que

Δr s/Δt = Pendiente de cuerda AB

Δr s /Δt = v s de las definiciones anteriores

De lo anterior se concluye

Pendiente de la cuerda que une

(t0 ,rs0) con (t f, r sf) e

s la componente

escalar en en el eje s de la

velocidad media

t t 0 t f

rf

r0

Δr

ΔtA

B

r s

Fig. 1

Si en la Fig. 1

• Δt se hace cero

• to se superpone con tf

• R

• so se superpone con rsf

• A se superpone con B

la cuerda AB se transforma en la tangente DE

Fig 2

r s

t D tf

rf

E

La pendiente de la tangente DE es por tanto el limite de la pendiente de la cuerda AB cuando Δt tiende a cero y si recordamos que

V t = Δr/ Δt cuando Δt tiende a cero tenemos

La pendiente de la tangente a la curva en el punto (tf, rsf) corresponde al valor de la componente escalar de la velocidad instantánea en el eje s

Fig. 2

Desplazamiento o Variación de Desplazamiento o Variación de posición posición

El desplazamiento o El desplazamiento o cambio de posición es cambio de posición es una cantidad vectorial una cantidad vectorial que se obtiene de la que se obtiene de la siguiente expresión siguiente expresión matemática.matemática.

ΔΔrr = = r r ff – – r r ii

Algunos autores definen al Algunos autores definen al módulo del desplazamiento módulo del desplazamiento como como como como espacio espacio recorridorecorrido

r i

r f

Δr

trayectoria

x

y

De aplicar la suma de vectores en el gráfico se tiene

r i + Δr = r f y por tanto

Δr = r f – r i

velocidadvelocidad Velocidad es una cantidad vectorial que expresa la variación de la Velocidad es una cantidad vectorial que expresa la variación de la

posición de un cuerpo por unidad de tiempo.posición de un cuerpo por unidad de tiempo. Al ser una cantidad vectorial se caracteriza por tener modulo y Al ser una cantidad vectorial se caracteriza por tener modulo y

dirección, expresarse y operar cumpliendo las normas de los dirección, expresarse y operar cumpliendo las normas de los vectores. Dimensionalmente se expresa como LTvectores. Dimensionalmente se expresa como LT-1 -1 las unidades las unidades son las correspondientes a longitud sobre tiemposon las correspondientes a longitud sobre tiempo

La velocidad , en nuestro curso debe ser medida desde un sistema La velocidad , en nuestro curso debe ser medida desde un sistema de referencia con:de referencia con:

velocidad cero, en cuyo caso la notación es velocidad cero, en cuyo caso la notación es v;v; o, o, velocidad constante en cuyo caso se conoce como velocidad constante en cuyo caso se conoce como velocidad velocidad

relativarelativa respecto al sistema móvil y se representa como respecto al sistema móvil y se representa como v v A/BA/B que que expresa la velocidad del móvil A medida desde un sistema de expresa la velocidad del móvil A medida desde un sistema de referencia móvil B. Si la velocidad del sistema móvil B es constante referencia móvil B. Si la velocidad del sistema móvil B es constante el calculo de la velocidad relativa se da con la siguiente ecuaciónel calculo de la velocidad relativa se da con la siguiente ecuación

v v A/BA/B = = v v AA – – v v BB

Velocidad media Velocidad media Si el valor de la Si el valor de la

velocidad es válido velocidad es válido para un intervalo de para un intervalo de tiempo, este se tiempo, este se define como define como velocidad media y velocidad media y

matemáticamente se matemáticamente se determina como determina como

VV = = ΔΔrr/ / ΔΔtt

La dimensiones de la La dimensiones de la velocidad media son velocidad media son

LTLT-1-1

La componente de la velocidad media en algún eje s de un sistema de coordenadas rectangulares donde el un eje es la componente de la posición y el otro el tiempo, se representa de la siguiente forma

v s

t

Es una cantidad vectorial que representa Es una cantidad vectorial que representa el valor de la velocidad del movimiento de el valor de la velocidad del movimiento de un partícula en un tiempo determinado de un partícula en un tiempo determinado de ahí que lo representamos ahí que lo representamos v v = f (t) o = f (t) o vvt t

Dimensionalmente es LT Dimensionalmente es LT -1-1

En nuestro caso el valor es medido desde un sistema inercialEn nuestro caso el valor es medido desde un sistema inercial

Es una cantidad vectorial que Es una cantidad vectorial que representa el valor de la velocidad representa el valor de la velocidad del movimiento de un partícula en del movimiento de un partícula en un tiempo determinado de ahí que un tiempo determinado de ahí que lo representamos lo representamos v v = f (t) o = f (t) o vvt t

Dimensionalmente es LT Dimensionalmente es LT -1-1

Para el movimiento de aceleración Para el movimiento de aceleración constante durante un intervalo de constante durante un intervalo de tiempo tiempo ΔΔt su expresión es t su expresión es

v v t f t f ==v v titi + + a a ΔΔtt DondeDonde

V V t f t f es velocidad al tiempo final del es velocidad al tiempo final del intervalointervalo

v v titi es velocidad al tiempo inicial del es velocidad al tiempo inicial del intervalo intervalo

aa es aceleración constante entre es aceleración constante entre

La representación gráfica de La representación gráfica de componente de la velocidad componente de la velocidad instantánea en algún eje s de un instantánea en algún eje s de un sistema de coordenadas sistema de coordenadas rectangulares, si la aceleración es rectangulares, si la aceleración es constante, donde el un eje es la constante, donde el un eje es la componente de la velocidad y el componente de la velocidad y el otro el tiempo, se representa por un otro el tiempo, se representa por un segmento de recta en el intervalo segmento de recta en el intervalo analizado. Ejemploanalizado. Ejemplo

v s

t ti tf

vtf

vti

Análisis del gráfico de la componente Análisis del gráfico de la componente de la velocidad en función del tiempode la velocidad en función del tiempo

La ecuación de la recta será

Vtf = vti + m Δt

m es la pendiente de la recta esto es

m = Δv/ Δt = a

ti tf

vtf

vti

Δv

Δt

La p

endi

ente

es

la

acel

erac

ión

del m

ovim

ient

o

A2

ti tf

vtf

vti

Δv

Δt

A1

A1= (t f -t i) v ti = v ti Δt

A2 = ½(Δt. Δv) = ½(Δv. Δt)(Δt/ Δt)

=1/2(Δv/ Δt) Δt2 = ½ a Δt2

A= v ti Δt +½ a Δt2

Si recordamos que para un eje s cualesquiera

•r f s = r0 s+ v0sΔt + ½ a sΔt2 y por tanto

•r f s -r0 s = v0sΔt + ½ a sΔt2 = Δrs

•Se concluye que

• A= Δr s

En la figura el área bajo la línea que representa v viene dada por A = A1 + A2

area

baj

o la

cur

va e

s co

mpo

nent

e de

l des

plaz

amie

nto