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Fundamentos de RobóticaHerramientas Matemáticas para la Localización Espacial

Matrices de Transformación Homogéneas

Ricardo-Franco [email protected]

Escuela Universitaria de Ingeniería MecánicaUniversidad de Tarapacá

Arica, Chile

May 12, 2014

R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Matrices de Transformación Homogéneas May 12, 2014 1 / 26

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1 Coordenadas y matrices homogéneasCoordenadas homogéneasMatriz de transformación homogénea

2 Aplicación de matrices homogéneasTraslaciónRotaciónTraslación junto con rotaciónRotación seguida de traslaciónTraslación seguida de rotación

3 Composición de matrices homogéneasRotaciones sobre sistema fijoRotaciones sobre sistema móvil

4 Gráficos de transformación

5 Referencias


Coordenadas y matrices homogéneas

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5 Referencias


Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas

Coordenadas homogéneasPermiten la representación conjunta de traslación y rotación.Un vector p(x , y , z) será representado por p(wx ,wy ,wz,w).w es un valor arbitrario; factor escala.

Así, el vector 2i + 3j + 4k puede ser representado en coordenadashomogéneas como: [2,3,4,1]T , o también como [4,6,8,2]T ,[−6,−9,−12,−3]T , etc.


Coordenadas y matrices homogéneas Matriz de transformación homogénea

Matriz de transformación homogéneaMatriz de dimensión 4x4 que representa la transformación de unvector de coordenadas homogéneas de un sistema decoordenadas a otro.Se puede considerar que una matriz homogénea se hayacompuesta por 4 sub-matrices:

I R3x3, matriz de rotación;I p3x1, vector de traslación;I f1x3, transformación de perspectiva; yI w1x1, escalado global.


Aplicación de matrices homogéneas

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5 Referencias



Aplicación de matrices homogéneaConsiderando la transformación de perspectiva nula y el escaladoglobal unitario:

Así, una matriz de transformación puede representar:I posición y orientación de un sistema O′UVW girado y trasladado

con respecto a OXYZ ;




Así, una matriz de transformación puede representar:I transformación de las coordenadas de un vector r desde sus

coordenadas en O′UVW a sus coordenadas en OXYZ ; o




Así, una matriz de transformación puede representar:I rotación (R) y traslación (p) de un vector r con respecto a un

sistema de referencia fijo OXYZ para transformarlo en r ′.




Así, una matriz de transformación puede representar:

I


Aplicación de matrices homogéneas Traslación

Traslación

matriz de traslación

un vector ruvw descritocomo rxyz

un vector rxyzdesplazado según T


Aplicación de matrices homogéneas Traslación

Ejemplo de traslación


Aplicación de matrices homogéneas Rotación

Rotación

matrices homogéneas básicasde rotación

descrito en OXYZ rotado en OXYZ


Aplicación de matrices homogéneas Rotación

Ejemplo de rotación


Aplicación de matrices homogéneas Traslación junto con rotación

Traslación junto con rotación

¿Cómo ejecutamos una traslación p junto a una rotación de 180o

alrededor del eje OZ?Habrá que tener en cuentra si primero se realiza larotación y después la traslación, o viceversa.


Aplicación de matrices homogéneas Rotación seguida de traslación

Rotación seguida de traslación

rotación φ (phi) sobre eje OXseguida de traslación pxyz

rotación θ (theta) sobre ejeOY seguida de traslación pxyz

rotación ψ (psi) sobre eje OZseguida de traslación pxyz


Aplicación de matrices homogéneas Traslación seguida de rotación

Traslación seguida de rotación

traslación pxyz seguidade rotación φ (phi) sobreeje OX

traslación pxyz seguidade rotación θ (theta)sobre eje OY

traslación pxyz seguidade rotación ψ (psi) sobreeje OZ



IMPORTANTENótese que las transformaciones se definen con respecto alsistema fijo. De definirse con respecto al sistema móvil sedeberían intercambiar los resultados!Las matrices que representan “traslación seguida de rotación”representarían “rotación seguida de traslación”, y viceversa.



Ejemplo de rotación seguida de traslación


Composición de matrices homogéneas

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5 Referencias


Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo

Considerando que XYZ es el sistema fijo, unarotación α sobre eje OX; seguida de unarotación φ sobre eje OY; y seguida de unarotación θ sobre eje OZ,

se representa por:



Lo cual difiere de unarotación θ sobre eje OZ, seguida de unarotación φ sobre eje OY; y seguida de unarotación α sobre eje OX,

que se representa por:

La multiplicación de matrices no es conmutativa!



Ejemplo

Ejercicio

Comprobar el resultado de manera gráfica en Sage.


Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema móvil

Considerando que UVW es el sistema móvil, unarotación α sobre eje OX (o OU); seguida de unarotación φ sobre eje OU; y seguida de unarotación θ sobre eje OW, se representa por:

Es decir, para componer rotaciones básicas sobre el sistemafijo se pre-multiplican las matrices, y para componer sobre elsistema móvil se post-multiplican.


Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema móvil

Ejemplo

Ejercicio (no es fácil)Comprobar el resultado de manera gráfica en Sageaplicando la matriz a un vector en particular.


Gráficos de transformación

Sistemas alrededor de robot


Referencias

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5 Referencias


Referencias

BibliografíaBarrientos, A., Peñín, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007,Fundamentos de Robótica, 2nd edition, McGraw-Hill.


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