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04/05/2012

Física I Modelo Cuerpo

Rígido. Estática

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Estática: el estudio de fuerzas en equilibrio

04/05/2012

Equilibrio (“fuerzas iguales” en latín)

 P N 

CG

r d mr

M

 

CG CM 

Centro de gravedad: CG

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Estática: el estudio de fuerzas en equilibrio

04/05/2012

Las condiciones de equilibrio

Para que un objeto esté en equilibrio no debe estar acelerando, por lo que la suma vectorial de

todas las fuerzas externas que actúen sobre el cuerpo debe ser cero:

0F O bien SFx = 0, SFy = 0, SFz = 0 

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Estática: el estudio de fuerzas en equilibrio

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F

F

Aunque las ecuaciones, son una condición necesaria para que un objeto esté en equilibrio, no

son una condición suficiente. La figura, muestra un objeto sobre el cual la fuerza neta es cero.

Aunque las dos fuerzas designadas F se suman y dan una fuerza neta cero sobre el objeto, danlugar a una torca neta que hará girar al objeto.

Necesitamos entonces una segunda condición de equilibrio: que la suma vectorial de todas las

torcas externas que actúen sobre el cuerpo sea cero:

0

La ec. puede también escribirse en forma de

componentes:

Sx = 0, Sy = 0, Sz = 0

Las torcas se calculan respecto a algún punto O

escogido, y x,

yy

zson las componentes a lo

largo de tres ejes cualesquiera escogidos.

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El objeto regresa a su posición original, en cuyo caso se dice que está en equilibrio estable.

El objeto se mueve alejándose de su posición original, en cuyo caso se dice que está en

equilibrio inestable.

El objeto permanece en su nueva posición, en cuyo caso se dice que está en equilibrio neutro o indiferente.

Estabilidad y equilibrio

04/05/2012

En general, un cuerpo cuyo CG está arriba de su base de soporte será estable si una línea

vertical dibujada hacia abajo desde el  CG cae dentro de la base de soporte. Esto es debido a

que la fuerza normal hacia arriba sobre el objeto (que equilibra la gravedad) sólo puede ser

ejercida dentro del área de contacto, de manera que si la fuerza de graved

 

ad actúa más allá de

esta área, una torca neta actuará para volcar al objeto. La estabilidad puede entonces ser

relativa.

Fuerza neta

 

(a) (b)

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Estabilidad y equilibrio  

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CG 

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Estabilidad y equilibrio  

04/05/2012

 

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04/05/2012

Física I

Modelo Cuerpo Rígido.

Rotación y traslacióncombinadas

  

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Energía cinética

04/05/2012

CM +

v

CM C Mv

v

C Mv

v 0

C Mv 2 v

= CM 

Un objeto que gira mientras que su centro de masa (CM) experimenta movimiento traslacional

tendrá energía cinética traslacional y rotacional. La ecuación, K = ½ I w2, da la energía cinética

rotacional si el eje de rotación es fijo. Si el objeto se está moviendo (como un disco que rueda

a lo largo del piso, esta ecuación es aún válida siempre que el eje de rotación esté fijo en

dirección. La energía cinética total es entonces:

C MK M v 21

2 C MIK w 21

2 C M C MIK M v w2 21 1

2 2+ =

  

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La energía cinética total de un cuerpo en movimiento es igual a la energía cinética traslacional de su CM más

la energía cinética del movimiento relativo al centro de masa.

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ir '

CMr

ir

x

y

x’  

y’  

xi 

yi 

CM CM CM CMx i y j z k r

i i i ix i y j z k r

i CM i v v v

El vector posición del CM en cualquier momento en

algún marco de referencia inercial es:

El vector posición de la i –ésima partícula de

masa m en este marco de referencia inercial es:

xi= x

CM+ x

i’, y

i= y

CM+ y

i’, y z

i= z

CM+ z

i’ 

Donde vCM es la velocidad del CM en este

marco de referencia y vi’ es la velocidad de

la i –ésima partícula relativa al CM.

  

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i i i i iK m v m 21 1

2 2v v

Podemos usar el producto escalar y escribir v2 = v v, de modo que la energía cinética total K es:

i C M i C M i

K m 1

2v v v v

i C M C M i i i iK m v m m v 2 21 1

2 2v v

Como siempre, Smi= M, o sea la masa total del cuerpo. También, Sm

i v’

i= 0, como puede verse

tomando la derivada de la definición del centro de masa cuando el CM está en el origen de

coordenadas, rCM

= M-1 S mi

 r’i

 = 0. Por lo tanto podemos escribir que:

CM i iK Mv m v 2 21 1

2 2

i i i i CMm v m R I w w 2 2 2 21 1 1

2 2 2

i i i i CMm v m R I w w 2 2 2 21 1 1

2 2 2

Para cada partícula,v

’i =w

 R’i, donde R’i es la distancia perpendicular de la i –ésima partículadesde una línea que pasa por el CM y perpendicular al plano del movimiento. Entonces:

C M C MK M v I w2 21 1

2 2

Energía cinética total es igual a suma de las energías de traslación y de rotación

 

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04/05/2012

Relación entre momento angular y torca

Recordando la Ley fundamental de la dinámica de rotación:

C MC M

d

d t

LΓ

rCM 

O

ri 

r’i 

mi 

CM 

x

y

z

i C M i r r r

i

i i i i i i CM

d r dm m m

dt dt

p v r r

La posición de la i –ésima partícula con respecto al CM es r’i, donde:

CM i ii L r p

i i i C Mm p p v

i i i C Mm

p p v

i i C M -r r r

  

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04/05/2012

C M i i

i ii i

d d d

d t d t d t

L r p

p r

i

ii

d

d t

0r

p

i i C MC M

ii

d md

d t d t

p vL

r

C M i C M

i i ii i

d d dm

d t d t d t

L p v

r r

C M

i i i C MC Mi i

d

d t

L

r F Γ Γ

Donde S GCM es la torca externa resultante sobre todo el sistema, calculada respecto al CM:

CM i i

i ii

d d d

d t d t d t

L r p

p r

i i C Mid md

d t d t

p vp

  

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¿Por qué se detiene una esfera rodante?

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fr

CMv

R 0 

Una esfera está rodando hacia la derecha como se muestra en la figura y está desacelerando.

Por la segunda ley de Newton de traslación

fr m a

Curiosamente, si nos fijamos ahora por la segunda ley de Newton de rotación (calculada

respecto al centro de masa)

ICM fr RS 0

   

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fr

CMvl 

N

¿Por qué se detiene una esfera rodante?

04/05/2012

R 0 

Cuando están presentes otras fuerzas, la pequeña torca N

debido a N puede usualmente

despreciarse. Por ejemplo, cuando una esfera o un cilindro rueda hacia abajo por una rampa, la

fuerza de gravedad tiene más influencia que N, por lo que ésta puede despreciarse. Para

muchos propósitos (pero no para todos), podemos suponer que una esfera dura está en

contacto con una superficie dura en esencialmente un punto

N N l