Objetivo de la clase: Representar el movimiento de traslación en un plano cartesiano

Modalidad de trabajo Presentación y Desarrollo de una Guía de trabajo grupal

Evaluación (de proceso)

Reglas

Apagar celulares Todos los integrantes del grupo deben trabajar

Para solicitar la palabra, levantar la manoContestar las preguntas que el profesor realiza

El alumno reconoce el significado de las coordenadas de un vectorEl alumno ejecuta el desplazamiento de una figura, a través de un vector

El alumno reconoce la traslación como una transformación geométrica

Transformaciones Isométricas

Es decir, una transformación isométrica convierte una figura en otra que es imagen de la primera, y por lo tanto congruente a la original

Representan movimiento de figuras que conservan sus dimensiones (forma y tamaño) cambiando solo de posición (orientación o sentido de ésta)

TRASLACIÓN:REFLEXIÓN

ROTACIÓN

Y… ¿para qué sirven las transformaciones isométricas?Una de las aplicaciones más conocidas que puede darse a este tipo de transformaciones es la teselación del plano, que consiste en el cubrimiento del mismo mediante figuras de manera de que no queden ni figuras superpuestas, ni huecos vacíos entre las mismas.

Las teselaciones se utilizan de distintas formas ya sea para motivos artisticos o de arquitectura, ya que permiten satisfacer la necesidad de recubrir totalmente un plano (cuadros, suelos, paredes, etc)También se aplican en diseños decorativos para objetos cotidianos : alfombras, tapices, ropas,muebles,etc.

Mosaico romano

Figura presente en la ornamentación mudéjar,Catedral de la Seo de Zaragoza

Y… ¿para qué sirven las transformaciones isométricas?En el arte……

Maurits Cornelis Escher, arquitecto, 1898

Y… ¿para qué sirven las transformaciones isométricas?Para la construcción de caminos y calzadas……

Hoy día estudiaremos una de las transformaciones isométricas : LA TRASLACION

la traslación es aquel movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.

¿Cómo representar el movimiento de traslación de una figura, en un plano cartesiano?

Vamos a repasar algunos Conceptos previos

Vector

Coordenadas del vector

Sistema de ejes cartesianos

Recuerda

En un sistema de ejes cartesianos cada punto se expresa mediante dos coordenadas (x,y).

La primera o abscisa indica la posición sobre el eje horizontal, positiva a la derecha del origen, negativa a la izquierda.

La segunda u ordenada la posición sobre eleje vertical, positiva hacia arriba, negativa hacia abajo.

Conceptos previos

Recuerda

Un vector fijo del plano es un segmento orientado que se caracteriza poseer :

Módulo : longitud del segmento

Dirección: orientación de la recta

Sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta

Conceptos previos

Coordenadas de un vector→AB está determinado por dos puntos delplano, A(x1,y1) que es su origen y B(x2,y2) que es su extremo.

Las coordenadas de→AB son las de B menos las de A:

→ AB =(x2 - x1 , y2 - y1).

x2 - x1 : desplazamiento horizontal A (derecha izquierda)

y2 - y1 : desplazamiento vertical de A (arriba abajo) hasta llegar a B

A

B

Conceptos previos

Las coordenadas del vector corresponde a un par ordenado de números T(a , b), donde:

a representa el desplazamiento horizontal (derecha izquierda) e

b representa el desplazamiento vertical. (arriba, abajo)

Horizontal

Vertical X

Y

Conceptos previos

¿Cómo representar el movimiento de traslación de una figura, en un plano cartesiano?

A(4,6)

A’ (2,3)

1) Trasladar el punto A(4,6) A través del vector T(-2,-3)

2 izquierda y 3 hacia abajo

2) Trasladar el punto B(-5,2) a través del vector T(4,4)

4 derecha y 4 hacia arribaB(-5,2)

B’(-1,6)

Ejercicio N°1

Ojo : Si sumas las coordenadas del punto inicial con las del vector obtienes la coordenadas del punto trasladado (homólogo)

A(4,6) +T(-2,-3) = A’ (2,3)

B(-5,2) + T(4,4) = B’ (-1,6)

El VECTOR TRASLACIÓN

Podemos generalizar lo anterior, diciendo

Si conocemos el punto P(x, y) y las coordenadas del vector de traslación T(a, b), podemos conocer las coordenadas del punto homologo, las que son P´(x + a, y + b ).

Es decir podemos definir una aplicación T(a, b), llamada vector de traslación, tal que:

P(x, y)T(a, b)

P´( x + a, y + b )

Ejemplo

P(2, 1)T(3, 5)

P´(2 + 3, 1 + 5)

P´(5, 6)

Ejercicio N°2P(x, y)

T(a, b)P´( x + a, y + b )

3) Aplicar el vector de traslación T(3, -5) al punto P(2, 1) ¿ Cuáles son las coordenadas resultantes?

4) Aplicar el vector de traslación T(3, -5)al punto P(-2, -1)¿Cuáles son las coordenadas resultantes?

Desarrollo (3)

P(2, 1)T(3, -5)

P´(2 + 3, 1 + -5)

P´(5, -4)

-1 1 2 3

3

1 2

4

y

x 4 5

-3 -2

-4 -5

P(2, 1)T(3, -5)

P´(5, -4)

P

P´

La aplicación T(a, b) se denomina “VECTOR TRASLACIÓN”

Desarrollo (3)

Ahora ¿Como se podría representar la Traslación de una figura geométrica en un sistema de ejes coordenados

Ejercicio N°3 5) Dibuje los puntos P(1,2), Q(3,1) y R(4,3)6) Aplique a cada punto el vector de traslación T(-4,2)

Si aplicamos el vector de traslación T(-4,2) , obtenemos los siguientes puntos homólogos: P´, Q´ y R´.

P(1,2)T(-4,2)

P´(-3,4)

Q(3,1) Q´(-1,3)

R(4,3) R´(0,5)

7) Una los puntos PQR ¿Qué figura se obtiene?8) Una los puntos trasladados u homólogos P’Q’R’ ¿Qué figura se obtiene?

9) Hubo un desplazamiento de T (-4,2) (4 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba)  ¿Quien se movió? ¿Los puntos o la figura?  

Efectivamente se mueven ambos (Puntos y figura), por lo que el triángulo se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba, de la siguiente manera:

1

234

2 3 4-1-2-3

1

5

P(1,2) P´(-3,4)Q(3,1) Q´(-1,3)

R(4,3) R´(0,5)

T(-4,2)

Entonces….Volvemos a la pregunta inicial:¿Cómo representar un movimiento de traslación de una figura, en un plano cartesiano?

El movimiento de traslación de una figura en un plano cartesiano se representa a través de la aplicación de vector de traslación T(a,b) a todos los puntos pertenecientes a ésta

a corresponde al movimiento horizontal y b al vertical de la figura

Y….

La expresión matemática del vector de traslación T(a,b) es una aplicación T(a, b),tal que:

P(x, y)T(a, b) P´( x + a, y + b )

Todos estos conceptos se aplicaran en las próximas clases cuando se trabajeEn la composición de traslaciones y posteriormente se utilizaran en el capitulo correspondiente a las teselaciones en el plano

Valoramos vuestra

atención

TRASLACIÓN:

REFLEXIÓN

ROTACIÓN

FIN

FINFIN

NIF

FIN FIN FIN