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Liceo Nº35 - IAVAMatemática II - 2019

Vectores 1 - Introducción

Algunas cuestiones previasRecuerda de los cursos de física que cuando querías representar una fuerza aplicada sobre un objeto,o la velocidad de un móvil en un cierto instante utilizabas vectores, en el entendido de que un escalar(o sea un número) no alcanzaba para describir el fenómeno y por tanto interesaban otros aspectoscomo la dirección y el sentido de la fuerza o la velocidad. Es de esta manera que aparecían en escenaunas “flechitas” a las que llamábamos vectores.

En esta introducción trabajaremos en forma muy parecida a lo que hacías en física, para luego apren-der y aprehender haciendo luego abstracción de las características físicas de su origen y generar unaestructura matemática nueva. Es decir que en principio trabajaremos en forma muy intuitiva y nojustificaremos muchos de los resultados indicados, para más adelante introducir la teoría de espaciosvectoriales. Al principio trabajaremos con vectores en un plano, para en luego ampliar nuestro trabajoal espacio.

1. Vectores en el plano1.1 Vectores equipolentesEn esta primera parte trabajaremos en el plano de la geometría elemental al que denominaremos P ya sus puntos con letras mayúsculas A, B, . . .. Llamaremos “flecha” a todo segmento de recta orientada.La flecha de origen P y extremo Q la escribiremos como PQ. Al igual que en física, las flechas quedandefinidas por su dirección, su sentido, su módulo y su origen o punto de aplicación.

Mira las flechas de la figura

Todas tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido. Diremos en este caso que lasflechas son equipolentes.

En realidad la equipolencia de vectores es una relación de equivalencia, en la que podríamos decir quedos flechas son equivalentes (equipolentes) si producen la misma traslación de los puntos del plano.Por tanto queda establecida una partición del conjunto de flechas en clases de equivalencia y a cadauna de dichas clases le llamaremos vector libre.

En particular podríamos preguntarnos cuál es el vector libre en caso de que la traslación sea la iden-tidad. A ese vector especial le llamaremos vector nulo y habitualmente lo representaremos por o.

Parece natural definir dirección, módulo y sentido de un vector libre1, como la dirección, módulo ysentido de cualquier vector de la clase de equivalencia de la cual dicho vector libre es su representante.

Al conjunto de vectores libre del plano los representaremos por V2. De ahora en más nos referiremosa los integrantes de V2 como vectores y los representaremos por letras en negrita o con una flecha obarra encima, por ejemplo u, −→u o u. También hasta que no digamos otra cosa supondremos que losescalares involucrados son siempre números reales.

1diferente del nulo

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1.2 Suma de vectores

Definiremos suma de dos vectores u y v y lo representaremos como u+v al vector libre que se obtienede la siguiente forma:

� tomamos un representante de cada uno de los vectores u y v de manera que el origen delrepresentante de v coincida con el extremo del representante de u

� finalmente tomamos como vector libre u+ v al representante de la clase de equivalencia a laque pertenece el vector que tiene por origen el del representante del vector u y por extremo eldel representante del vector v.

Propiedades

Prueba que la suma de vectores tiene las siguientes propiedades

1. asociativa: para todo u, v y w pertenecientes a V2 se tiene que (u+v)+w = u+(v+w),

2. elemento neutro: existe o al que llamaremos vector nulo, de forma que para todo u ∈ V2 secumple que u+o = o+u = u,

3. elemento opuesto: para todo vector u ∈ V2 existe otro vector al que representaremos por −u yque llamaremos opuesto de u de forma que u+(−u) = (−u)+u = o,

4. conmutativa: para todo par de vectores u y v de V2 se cumple que u+v = v+u.

Observación: de las propiedades anteriores se deduce que V2 con la operación suma es un grupoconmutativo.

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1.3 Producto de un escalar por un vector

Llamaremos producto de un escalar k por el vector libre v y escribiremos kv al vector libre represen-tante de la clase a la que pertenece el vector kv.

Es evidente que para ello lo que hicimos fue determinar un vector de la clase del v por ejemplo el dela figura, luego lo multiplicamos por el escalar k y como ya sabes obtenemos el vector kv que tiene lamisma dirección que la del vector v, el mismo sentido si k > 0, sentido contrario si k < 0 y su móduloes igual al módulo del vector v multiplicado por k.

¿Qué crees que ocurre si multiplicamos el vector v por el escalar cero?

Propiedades

Prueba que el producto de un escalar por un vector tiene las siguientes propiedades

1. k.(u+v) = k.u+ k.v para todo k ∈ R y para todo u y v pertenecientes a V2,

2. (k1 + k2).u = k1.u+ k2.u para todo k1,k2 ∈ R y para todo u perteneciente a V2,

3. (k1.k2).u = k1.(k2.u) para todo k1,k2 ∈ R y para todo u perteneciente a V2„

4. 1.u = u para todo u perteneciente a V2.

Representación de un vector

Como ya sabes es costumbre representar los vectores en un sistema cartesiano ortogonal y comodijimos antes, es posible elegir como representante de cada clase de equivalencia uno cualquiera dela clase, por lo que podemos acordar que al representar vectores los elegiremos con el origen en O,por tanto dibujaremos flechas partiendo desde el origen O. Para sumar dos vectores utilizamos laconocida regla del paralelogramo, de forma que el vector suma de otros dos estará representado porla diagonal del paralelogramo que tiene por dos de sus lados los vectores dados.

En forma similar para multiplicar un escalar por un vector.

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1.4 Combinación lineal de dos vectores

Si combinamos las dos operaciones que acabamos de definir, podemos obtener nuevos vectores, estaposibilidad genera la siguiente

Definición

Sean α,β ∈ R, llamaremos combinación lineal de dos vectores u y v al nuevo vector αu+βv.

Por ejemplo, el vector w = 12u−3v es una combinación lineal de los vectores u y v.

¿Podrías encontrar una combinación lineal de dos vectores que dé como resultado el vector nulo o?En caso afirmativo ¿es la única?

Expresión de un vector como combinación lineal de otros dos

Supongamos dados dos vectores con direcciones diferentes u y v, entonces cualquier otro vector delplano puede escribirse como combinación lineal de ellos. Para verlo sigamos los pasos indicados enel siguiente esquema

1) Supongamos que los

vectores u, v y w son

los de la figura.

2) Se trata ahora de en-

contrar dos vectores u1

y v1 colineares respec-

tivamente con u y v de

forma que su suma de

w.

Sean α yβ reales de forma que αu = u1 y βv = v1 entonces como w = u1 +v1 concluimos que w sepuede escribir como combinación lineal de u y v

w = αu+βv

1.5 Bases de V2

En el apartado anterior vimos que dados dos vectores no nulos u y v de diferentes direcciones,cualquier otro vector puede escribirse como combinación lineal de ellos, es decir que para cualquierotro vector w siempre existen números reales α y β para los que vale w = αu+βv .

Diremos que el conjunto B = {u,v} es una base de V2 y que los números α y β son respectivamentela primera y segunda componente del vector w con respecto a la base B.

Para representar lo dicho escribiremosw = (α,β )

De esta forma si w = (2,−1) estamos diciendo que w en la base B tiene componentes 2 y −1 o seaque w se puede expresar como la suma del vector 2u y el vector −1v

w = 2u+−1v

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EjerciciosIndica las com-ponentes de losvectores repre-sentados en lafigura respecto dela base B= {u,v}

En el caso particular en que los vectores u y v sean perpendiculares diremos que la base es ortogonaly si además las longitudes (módulo) de cada uno es 1 diremos que la base es ortonormal.

Nota: En todo lo que sigue y hasta que no se diga lo contrario, las bases consideradas serán siem-pre ortonormales. También nos referiremos a los vectores de módulo 1 como versores o vectoresunitarios.

Veamos a continuación qué ocurre con las componentes de un vector suma de otros dos, cuando seconocen las componentes de estos últimos con respecto a una base ortonormal.

Suponemos entoncesque B = {i, j} esuna base ortonormal.Veamos en la siguientefigura los gráficos dedos vectores u y v delos que conocemos suscomponentes en la baseB.

es decir que sabemos que u = (4,1) y v = (2,−2), por lo que aplicando la regla del paralelogramo,tenemos que u+v = (6,−1).

En general si u = (u1,u2) y v = (v1,v2) son las componentes de u y v en una cierta base, las compo-nentes del vector u+v en esta base vienen dada por u+v = (u1 + v1,u2 + v2).

De manera similar si u = (u1,u2) y k ∈ R se tiene que k.u = (k.u1,k.u2). En este caso diremos que uy el vector k.u son “colineales”.

1.6 Producto escalar de vectores

Recuerda que en física cuando hablas del producto escalar de dos vectores u y v tales que ninguno delos dos es el nulo, te refieres al número que se obtiene de hacer

u.v = |u| |v|cos(α)

siendo α el menor de los ángulos que forman los vectores u y v.

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� De lo anterior se deduce por ejemplo que dos vectores son perpendiculares sii su productoescalar es cero:

u.v = 0−→ |u| |v|cos(α) = 0

pero como |u| |v| 6= 0 debe ser cos(α) = 0 de donde deducimos que α = π

2 y los vectores son perpen-diculares.

Recíprocamente si los vectores son perpendiculares, su producto interno es cero ya que el ángulo queforman es α = π

2 .

� Supongamos ahora como caso particular que u = v entonces su producto escalar queda:

u.u = |u| |u|cos(0) = |u|2 −→

|u|=√

u.u

Para los casos en los que alguno de los vectores u o v sea el vector nulo, diremos que el productoescalar es cero.

Propiedades del producto escalar

1. u.v = v.u para todo par de vectores u y v de V2,

2. u.(v+w) = u.v+u.w para toda terna de vectores u, v y w de V2,

3. k.(u.v) = (k.u).v = u.(k.v) para todo par de vectores u y v de V2, con k ∈ R.

4. u.u≥ 0 para todo vector u de V2.

Observa que el producto que involucra k con u no es el mismo que el producto escalar de u con v pormás que los representemos a ambos con un punto. El contexto es que indica de qué producto se trata.

Expresión analítica del producto escalar de vectores en una base ortonormal

Consideremos una base ortonormal B = {i, j} y sean u y v dos vectores que en dicha base tienencomponentes (u1,u2) y (v1,v2) es decir que

u = u1i+u2j y v = v1i+ v2j

tratemos de encontrar una expresión del producto escalar de ambos vectores en función de sus com-ponentes. De acuerdo con las propiedades del producto escalar, tenemos que

u.v = (u1i+u2j).(v1i+ v2j) = (u1v1i.i+u1v2i.j+u2v1j.i+u2v2j.j)

pero como la base B es ortonormal, los vectores i y j son ortogonales y de norma uno, se tiene quei.i = j.j = 1 y i.j = j.i = 0 con lo que el producto escalar queda

u.v = u1.v1 +u2.v2

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Expresión analítica del módulo de un vector y del ángulo entre dos vectores en una base ortonor-mal

La expresión anterior para el producto escalar de dos vectores en una base ortonormal nos permiteescribir el módulo de un vector de la siguiente manera

|u|=√

u.u =√(u1,u2).(u1,u2) =

√u2

1 +u22

siendo u = (u1,u2) expresado en la base ortonormal B = {i, j}.Supongamos ahora que además del vector u tenemos un vector v = (v1,v2) y que ninguno de los doses el vector nulo. De la definición de producto escalar de dos vectores, deducimos que

cos(α) =u.v|u| |v|

si ahora sustituimos u.v , |u| y |v| por sus expresiones analíticas obtenidas anteriormente, tenemos

cos(α) =u1.v1 +u2.v2√

u21 +u2

2

√v2

1 + v22

que es la expresión analítica del ángulo que forman dos vectores no nulos.

Ejercicio

Encuentra un vector ortogonal al vector u = (−1,2) -al que suponemos en una base ortonormal B ={i, j}- y que además tenga módulo 1.

Para encontrar un vector v = (v1,v2) que sea ortogonal con u, el producto escalar de u.v debe sercero, esto es

u.v =−1.v1 +2.v2 = 0

una solución inmediata de la ecuación anterior es v1 = 2 y v2 = 1 es decir que el vector v = (2,1) esortogonal al u = (−1,2) pero ¿será cierto que |v|= 1?

Veamos|v|=

√22 +12 =

√5 6= 1

pero si multiplicamos al vector v por 1√5

obtenemos un nuevo vector w que sigue siendo ortogonal alu y tiene módulo 1, veamos

|w|=

√(

2√5)2 +(

1√5)2 =

√45+

15=√

1 = 1

es decir que finalmente la respuesta a lo pedido es el vector w = ( 2√5, 1√

5).

Generalización. Supongamos que tenemos un vector no nulo u = (u1,u2) expresado en una baseortonormal B = {i, j} y queremos hallar otro vector v que sea ortogonal al anterior y de norma uno.La solución es el vector

v =1|u|

(u2,−u1)

Al proceso de transformar un vector u en otro v = u|u| colineal con el primero pero de norma uno, se

le conoce con el nombre de “normalizar” el vector.

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1.7 Espacio afín, coordenadas de un punto del plano

Consideremos un punto fijo O del plano y una base B = {u,v} de V2. Llamaremos sistema de refer-encia o referencial a la terna {O,u,v} que nos permitirá determinar la posición de cualquier punto delplano de la siguiente manera. Supongamos que P es un punto cualquiera del plano distinto de O, porlo que queda determinado el vector p =

−→OP que denominaremos “vector posición” del punto P.

Sean (p1, p2) las compo-nentes del vector p en la baseB. Diremos entonces que(p1, p2) son las coordenadasdel punto P en el referencial{O,u,v}. Para representar loanterior, escribiremos

P = (p1, p2)

Es decir que las coordenadas de un punto P del plano respecto del referencial {O,u,v}, son lascomponentes del vector posición de P en la base B = {u,v}.

Componentes de un vector determinado por dos puntos

Sean el referencial {O,u,v}.Veamos la forma de determi-nar las componentes de unvector

−→PQ en la base B =

{i, j} a partir de las coorde-nadas de P y Q.

De acuerdo con la figura de arriba puedes ver que

−→OP+

−→PQ =

−→OQ−→ p+

−→PQ = q−→−→PQ = q−p

Si en la base B las componentes de p y de q son respectivamente (p1, p2) y (q1,q2) tenemos que

−→PQ = (q1− p1,q2− p2)

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Punto medio de un segmento

Veamos como una aplicación de lo visto recién, cómo hallar las coordenadas del punto medio de unsegmento.

Consideremos el segmento deextremos A = (a1,a2) y B =(b1,b2). Si llamamos M =(m1,m2) al punto medio dedicho segmento, entonces severifica que

−→AB = 2.

−→AM

Si calculamos las compo-nentes de

−→AB y de

−→AM, la

ecuación anterior queda

(b1−a1,b2−a2)= 2.(m1−a1,m2−a2)

igualando la primer componente del primer miembro a la primer componente del segundo miembroy haciendo lo propio con las segundas componentes, tenemos el siguiente sistema{

b1−a1 = 2.(m1−a1)

b2−a2 = 2.(m2−a2)

es muy fácil hallar las expresiones correspondientes a m1 y m2

m1 =a1 +b1

2m2 =

a2 +b2

2

1.8 Ecuación de la recta

La recta puede ser un objeto que adquiera diferentes representaciones, pero la característica que ladefine es que dados dos puntos distintos (en nuesto caso) del plano, existe una única recta que pasapor ellos. En la situación en la que estamos, lo anterior es equivalente a decir que un punto y unvector2 (no nulo) determinan una recta.

Consideremos un sistema de referencia ortonormal {O, i, j}. Tratemos de encontrar condiciones quedeban verificar los puntos de una recta, dada por un punto A y su vector director u.

2a este vector le llamaremos “vector director” de la recta.

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Ecuación vectorial

Razonemos sobre la figura adjunta.Consideremos la recta r definidapor un punto A y su vector directoru. La condición para que un puntogenérico P esté en la recta r es quelos vectores u y

−→AP sean colineales,

es decir que debe existir un real k deforma que

−→AP = k.u.

Por otro lado tenemos que−→OP =

−→OA+

−→AP. Si llamamos p y a a los vectores posición de los puntos P

y A respectivamente, podemos escribir

p = a+ k.u con k ∈ R

A esta última expresión le llamaremos ecuación vectorial de la recta r.

Ecuaciones paramétricas

Supongamos que las componentes de los vectores p, a y u son (x,y), (a1,a2) y (u1,u2) respectiva-mente. Entonces la ecuación vectorial de la recta r queda de la forma

(x,y) = (a1,a2)+ k.(u1,u2)

si expresamos los vectores mediante sus componentes. Igualando las respectivas componentes en elprimer miembro con la del segundo miembro, queda

x = a1 + k.u1y = a2 + k.u2

con k ∈ R

A estas ecuaciones les llamaremos ecuaciones paramétricas de la recta r.

Ecuación punto pendiente

Si en las ecuaciones paramétricas u1 y u2 son diferentes de cero, podemos escribir

k = x−a1u1

k = y−a2u2

}−→ x−a1

u1=

y−a2

u2−→ y−a2 =

u2

u1(x−a1)

Observa que el cociente u2u1

es latangente del ángulo α que formala recta con el eje de las abscisas.Es costumbre llamarle m a dichocociente, por lo que finalmente laecuación queda

y−a2 = m(x−a1)

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A esta ecuación le llamaremos ecuación punto pendiente de la recta r y al número m le llamaremospendiente de la recta.

Ecuación general

Si operamos a partir de la igualdad x−a1u1

= y−a2u2

, obtenemos u2(x−a1) = u1(y−a2)−→ u2x−u1y+u1a2−u2a1 = 0 y renombrando apropiadamente los coeficientes, llegamos a

Ax+By+C = 0

que es la que llamaremos ecuación general de la recta r.

Recíprocamente, cualquier ecuación de la forma Ax+By+C = 0 es la ecuación de una recta delplano. Tratemos de hallar un vector director de ella. De acuerdo con el trabajo anterior, un candidatoes u1 =−B, u2 = A

u = (−B,A)

Ejercicio

Supón que de la recta r conoces lospuntos A=(a,0) y B=(0,b). Hallala ecuación general de la recta r eneste caso. Transforma la ecuaciónanterior de forma que su aspectosea x

a +yb = 1, a esta forma le lla-

maremos “forma segmentaria” de laecuación de la recta r.

1.9 Posiciones relativas de dos rectas

De años anteriores sabes que dos rectas de un plano son secantes si su intersección es un conjuntounitario. Es decir que si r y s son dos rectas de un plano Π, serán secantes si r∩s= {P}. En caualquierotro caso decimos que las rectas r y s son paralelas.

Gráficamente tendríamos lo siguiente

rectas secantes rectas paralelas y distintas rectas paralelas y coincidentes

Estudiemos las posiciones relativas de dos rectas cuyas ecuaciones están dadas en forma vectorial oen forma general.

Ecuaciones en forma vectorial

Supongamos que las ecuaciones de las rectas son

r : (x,y) = (a1,a2)+ k.(u1,u2) y s : (x,y) = (b1,b2)+h.(v1,v2)




en donde u = (u1,u2) y v = (v1,v2) son sus respectivos vectores directores. Diremos que las rectasr y s son paralelas sii sus vectores directores son colineales, es decir, si existe p ∈ R∗ de forma queu = p.v. Si por el contrario la condición anterior no se verifica, diremos que las rectas son secantes.

Ecuaciones en forma generalEn definitiva, si conocemos las ecuaciones generales de las rectas r y s, para decidir analíticamente sison secantes o no, debemos resolver el sistema formado por dichas ecuaciones y en el caso en el queel sistema sea compatible determinado (S.C.D.) existirá una única dupla (x0,y0) solución de dichosistema, lo que se traduce en la existencia de un único punto P de coordenadas (x0,y0) que pertenecea r y a s. Si en cambio el sistema es incompatible (S.I.), significa que no existe ninguna dupla (x0,y0)que a la vez verifique la ecuación de la recta r y la ecuación de la recta s. Estamos en presenciade rectas paralelas y distintas. Finalmente si existen infinitas duplas (x0,y0) que verifican el sistemaformado por las ecuaciones de r y s, tenemos un sistema compatible indeterminado (S.C.I.), lo quesignifica que las rectas r y s son coincidentes. En resumen

S.C. −→ rectas secantesS.I. −→ rectas paralelas y distintasS.C.I. −→ rectas coincidentes

EjemplosEn cada caso determina las posiciones relativas de las rectas r y s.

� r : x + y− 2 = 0 y s : 3x− 5y + 2 = 0. Como dijimos antes, debemos resolver el sistemacorrespondiente {

x + y = 23x − 5y = −2

si escribimos el sistema sin las incógnitas queda

1 1 23 −5 −2

L2←−L2−3.L1

←→1 1 20 −8 −8 −→

y = 1x = 1 −→ S.C.−→ S = {(1,1)}

Como el conjunto solución es unitario (S.C.), las rectas son secantes y el punto de intersecciónP tiene coordenadas (1,1).

� r : 3x−5y+2 = 0 y s : 6x−10y−1 = 0. Procediendo igual que antes{3x − 5y = −26x − 10y = 1 −→ 3 −5 −2

6 −10 1L2←−L2−2.L1

←→3 −5 −20 0 5 −→ S.I.−→ S= /0

como el sistema es incompatible, las rectas son paralelas y distintas.

� r : 3x−5y+2 = 0 y s : 6x−10y+4 = 0.{3x − 5y = −26x − 10y = −4 −→

3 −5 −26 −10 −4

L2←−L2−2.L1

←→3 −5 −20 0 0 −→ S.C.I.

expresemos las soluciones en función de y.{x = 5y−2

3y = y

entonces el conjunto solución queda S ={(

5y−23 ,y

)y ∈ R

}. En este caso las rectas r y s son

coincidentes.




Veamos ahora una forma de clasificar el sistema sin necesidad de escalerizarlo. Dadas las rectas ry s de ecuaciones generales Ax+By+C = 0 y A′x+B′y+C′ = 0 respectivamente3, escribamos elsistema correspondiente {

Ax + By = −CA′x + B′y = −C′

de acuerdo a lo visto en los ejemplos anteriores vemos que si AA′ 6=

BB′ el sistema es compatible deter-

minado. Si en cambio AA′ =

BB′ pero A

A′ 6=CC′ el sistema es incompatible y finalmente si A

A′ =BB′ =

CC′ es

sistema es compatible determinado. Hagamos un resumen de esto último.

Ecuaciones Relación Posiciones relativas

AA′ 6=

BB′ secantes

r : Ax+By+C = 0AA′ =

BB′ 6=

CC′ paralelas y diferentes

s : A′x+B′y+C′ = 0AA′ =

BB′ =

CC′ coincidentes

Investigue ahora el lector cómo modificar las conclusiones en el caso de que alguno de los coeficientesA′, B′ o C′ sea cero.

Recuerda que anteriormente vimos cómo pasar de una de las formas de la recta r a cada una de lasotras y en ese proceso vimos que si la ecuación de la recta está dada en forma general Ax+By+C = 0un vector director de la misma venía dado por u = (−B, A). Apliquemos esto a nuestro caso. Denuevo tenemos dos rectas r y s cuyas ecuaciones son

Ax+By+C = 0A′x+B′y+C′ = 0

entonces los respectivos vectores directores pueden seru = (−B, A)v = (−B′, A′)

De acuerdo a lo que dijimos en el primer caso, las rectas r y s serán paralelas sii sus vectores directoresson colineales, esto se traduce en la existencia de un número real p no nulo, que haga

u = p.v

es decir que(−B, A) = p.(−B′, A′)

de donde tenemos queA = p.A′

B = p.B′

es decir que obenemos un resultado similar (más general) al que obtuvimos antes cuando las ecua-ciones estaban dadas en forma general, a saber:

dos rectas r y s cuyas ecuaciones son

Ax+By+C = 0A′x+B′y+C′ = 0

3estamos suponiendo que A′.B′.C′ 6= 0 para que tengan sentido las razones planteadas.




son paralelas sii los respectivos coeficientes de x e y son proporcionales.

1.10 Haces de rectasHemos visto que para determinar una recta necesitamos un punto y un vector. Con uno solo de loselementos mencionados anteriormente, la recta no queda definida de forma única, existen infinitasrectas que pasan por un punto y existen infinitas rectas que tienen un mismo vector director. Enambos casos diremos que tenemos un haz de rectas, en el primer caso diremos que el haz es propio yen el segundo caso que el haz es impropio.

En el primer caso al punto P le llamaremos vértice del haz. La ecuación de una recta cualquiera quepase por el punto P (excepto una ¿cuál?) tiene la forma

y− p2 = m(x− p1) con m ∈ R

en donde hemos supuesto que las coordenadas del punto P son (p1, p2) y m ∈ R.

De forma similar cualquier recta s paralela a r : p = a+ k.u con k ∈ R debe tener un vector directorv colineal con u, por tanto su ecuación queda

s : p = b+h.v con h ∈ R

Escribiendo las ecuaciones en la forma punto pendiente4, se tiene

y−a2 =u2

u1(x−a1)

que la podemos reescribir comoy =

u2

u1x+n

en dónde al variar n en R obtenemos las ecuaciones de todas las rectas paralelas a r.

Si hubiésemos estado trabajando con las ecuaciones generales de las rectas r y s

r : Ax+By+C = 0s : A′x+B′y+C′ = 0

la condición de paralelismo entre ellas se traduce en la proporcionalidad de los coeficientes

A = p.A′

B = p.B′

entonces cualquier recta paralela a r puede escribirse comoAp

x+Bp

y+C′ = 0, multiplicando por p y

llamándole α = p.C′ quedaAx+By+α = 0

con α ∈ R.

4estamos suponiendo que u1 6= 0




1.11 Ángulo entre dos rectas

Dos rectas secantes r y s determinan cuatro ángulos dos a dos iguales por ser opuestos por el vértice.Llamamos ángulo entre las dos rectas al menor de dichos ángulos, por lo que el coseno de dichoángulo lo calculamos como

cos(r,s) = |cos(u,v)|=∣∣∣∣ u.v|u| |v|

∣∣∣∣siendo u y v los vectores directores de las rectas r y s.

Rectas perpendiculares

Supongamos que tenemos dos rectas r y s de ecuaciones

r : Ax+By+C = 0s : A′x+B′y+C′ = 0

y queremos investigar qué condiciones se deben cumplir entre sus coeficientes para que las rectassean perpendiculares. Recordemos que dos rectas serán perpendiculares si sus respectivos vectoresdirectores son ortogonales, es decir si su producto escalar es cero.

Entonces como ya vimos más arriba,u = (−B, A)

yv = (−B′, A′)

pueden considerarse como sus vectores directores, por tanto se trata de plantear su producto escalar yobligar a que valga cero.

u.v = (−B, A).(−B′, A′) = 0 −→

B.B′+A.A′ = 0

esto significa que

−AB=

B′

A′=− 1−A′

B′−→ A

B.A′

B′=−1

pero si recordamos que −B es la primera componente de u y A es su segunda componente, resultaque A

−B es la pendiente de la recta r y de igual manera A′−B′ es la pendiente de la recta s por tanto la

relación para que las rectas r y s sean perpendiculares es que el producto de las respectivas pendientessea igual a −1

m.m′ =−1




1.12 DistanciasVeremos la forma de calcular la distancia entre diferentes elementos del plano.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntosA y B del plano la definimoscomo el módulo del vector−→

AB

d(A,B) =∣∣∣−→AB∣∣∣

Por tanto si las coordenadas de los puntos A y B son (a1,a2) y (b1,b2), recordemos que el módulo delvector

−→AB se puede hallar como la raíz cuadrada del producto escalar del vector por si mismo∣∣∣−→AB

∣∣∣=√[(b1−a1),(b2−a2)] . [(b1−a1),(b2−a2)]

entoncesd(A,B) =

√(b1−a1)2 +(b2−a2)2

(recuerda que la base es ortonormal)

Distancia de un punto a una recta

Consideremos un punto P yuna recta r según figura.Consideremos un punto vari-able Q ∈ r y para cada posi-ción de Q hallamos la distan-cia de P a Q. Definiremos dis-tancia del punto P a la recta rcomo la menor de las distan-cias d(P,Q).

Supongamos que A es unpunto de la recta r y que nes un vector ortogonal con elvector director de r. Entoncesde acuerdo con la defini-ción de producto escalar, ten-dríamos

−→AP.n =

∣∣∣−→AP∣∣∣ |n|cos(α)

Pero∣∣∣−→AP∣∣∣cos(α) es la proyección del vector

−→AP sobre la recta AB que es congruente con el segmento

QP que es del que justamente queremos hallar su medida. Por tanto el problema estaría solucionado5

dividiendo ambos miembros de la igualdad anterior por la norma del vector n.5

otra posibilidad sería considerar de entrada un versor n




De lo anterior obtenemos

d(P,r) =

∣∣∣−→AP.n∣∣∣

|n|

donde A es un punto cualquiera de la recta r.

Si la ecuación de la recta r fuese Ax + By +C = 0, las coordenadas de P fuesen (p1, p2) y A =(a1,a2) un punto cualquiera de r, sabemos que el vector director de la recta r es u = (−B, A),entoncesdebemos hallar un vector n ortogonal a u, por ejemplo podemos considerar como vector n = (A, B) ysustituyendo en la expresión de la distancia que encontramos anteriormente

d(P,r) =

∣∣∣−→AP.n∣∣∣

|n|=|[(p1−a1),(p2−a2)] .(A, B)|√

A2 +B2=|(p1−a1).A+(p2−a2).B|√

A2 +B2

|A.p1 +B.p2− (A.a1 +B.a2)|√A2 +B2

=|A.p1 +B.p2 +C|√

A2 +B2

porque como el punto A pertenece a la recta r, sus coordenadas deben verificar su ecuación, es decirque vale que

A.a1 +B.a2 +C = 0−→−(A.a1 +B.a2) =C

por tanto, finalmente tenemos que

d(P,r) =|A.p1 +B.p2 +C|√

A2 +B2

Distancia entre dos rectas

Lo que acabamos de ver, nos permite hallar la distancia entre dos rectas r y s. Si las rectas sonsecantes, la distancia entre ellas, definida como la mínima distancia entre un punto cualquiera de unay un punto cualquiera de la otra, es cero. En el caso en que sean paralelas y diferentes, alcanza conelegir un punto P en una de ellas y calcular la distancia de él a la otra recta. Supongamos que lasrectas r y s tienen ecuaciones generales

r : Ax+By+C = 0s : Ax+By+C′ = 0 con C 6=C′

porque las rectas son paralelas y diferentes. Sea P = (p1, p2) un punto de r, entonces de acuerdo a lovisto antes, se tiene

d(r,s) = d(P,s) =|A.p1 +B.p2 +C′|√

A2 +B2

pero recordando que P∈ r debe cumplirse que Ap1+Bp2+C = 0−→−C = (Ap1+Bp2) cambiandoesto en la expresión de la distancia tenemos

d(r,s) =|C′−C|√A2 +B2


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