Serie de Ejercicios Resueltos de Dinamica - Juan Ocariz Castelazo

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Series de Ejercicios Resueltos de Dinmica

UNAM

Ing. Juan Ocriz Castelazo

Facultad de Ingeniera Divisin de Ciencias Bsicas

Departamento de Cinemtica y Dinmica

Prefacio

Las series de ejercicios que hemos elaborado para que estn a disposicin de los alumnos de la materia de Cinemtica y Dinmica, pretenden ofrecer una buena variedad de ejercicios com-pletamente resueltos. Los textos de Dinmica que recomiendan los profesores de la asignatura, y que los alumnos conocen, contienen una magnfica seleccin de problemas modelo, que los autores suelen presentar eficazmente resueltos. El presente trabajo aspira a acrecentar el repertorio y a ser mucho ms detallado en los procedimientos. Los problemas se han reunido conforme a los temas del programa vigente en la Facultad, es decir, en cinco captulos. En cada captulo se han ordenado segn su grado de dificultad. No hemos querido proponer problemas para que el alumno resuelva por su cuenta, puesto que los textos a que tiene acceso, ya en la biblioteca, ya en el mercado, contienen abundancia de ellos. En la elaboracin de las resoluciones hemos adoptado algunos criterios que conviene conocer. Se ha procurado no omitir ningn paso, salvo los que puedan ser claramente comprendidos por un estudiante de matemticas de bachillerato; todos los dems se asientan, a pesar de que puedan alargarse demasiado. Sin embargo, para no hacer farragosa su lectura, hemos suprimido las unidades en el proceso: slo se asientan en las respuestas. Esto, por otra parte, no debe considerarse una mala costumbre cuando un alumno resuelva problemas por su cuenta. En muchos de los pasos se da una explicacin escrita. A veces, para aclararlo; otras, para recordar un concepto, teorema, ley o principio que pueda no ser fcilmente identificado. El objeto de presentar la resolucin es que el alumno entienda lo mejor posible cmo se pasa de los cono-cimientos conceptuales a la aplicacin concreta. Los diagramas de cuerpo libre, que constituyen un medio imprescindible para la resolucin de los problemas cinticos, se presentan siempre al lado izquierdo de los desarrollos matemticos. En ellos se muestran sistemticamente los datos numricos conocidos, sin unidades. Dibujar un diagrama claro y completo es ya estar en el camino de la solucin de los problemas y la mejor herramienta con que se puede contar para llegar a buen fin. Los sistemas de referencia se muestran siempre con lneas punteadas, de manera que se dis-tingan fcilmente de los vectores, ya sean fuerzas, posiciones, velocidades o aceleraciones. En los problemas cinticos se emplean diferentes unidades de fuerza. Se usan sobre todo newton (N), kilogramos (kg) o libras (lb, # en los dibujos); pero tambin la tonelada mtrica (1000 kg), la tonelada corta (2000 lb), la onza (1 oz = 1 lb/16) y el kilopound (1 kip = 1000 lb). Conviene tener en cuenta que el kilogramo (kg) puede ser tambin unidad de masa, y con frecuencia se utiliza as; aunque algunos textos distinguen mediante un subndice si se trata de un kilogramo-fuerza o un kilogramo-masa, nosotros no, pues consideramos que el estudiante debe ser capaz de identificar de qu tipo de unidad se trata, o bien, decidir por s mismo qu desea entender por un kilogramo en los problemas que se le presenten. Las respuestas se expresan siempre en sistema decimal. Los nmeros se han redondeado a la tercera cifra significativa o, si comienzan con 1, a la cuarta. Con ello se pretende que las respuestas sean lo ms breve posible y su precisin sea mayor al 0.2%. Los ngulos se dan en grados sexagesimales con una cifra decimal. Con las respuestas parciales no seguimos este criterio. Se recomienda al estudiante que, para el aprovechamiento de este material, intente resolver los problemas por su cuenta y luego compare su resolucin con la de este libro.

30 de agosto de 2010

ndice

1. Cinemtica de la partcula

1.1 Movimiento rectilneo 1.1.1 Posicin en funcin del tiempo 1 1.1.2 Velocidad en funcin del tiempo 3 1.1.3 Aceleracin en funcin del tiempo 6 1.1.4 Soluciones grficas 9 1.1.5 Aceleracin en funcin de la velocidad 10 1.1.6 Aceleracin en funcin de la posicin 13

1.2 Movimiento rectilneo uniforme y uniformemente acelerado 15 1.2.1Movimiento de varias partculas independientes 18 1.2.2Movimiento de varias partculas conectadas 20

1.3 Movimiento curvilneo 1.3.1 Componentes cartesianas 22 1.3.2 Componentes intrnsecas 26 1.3.3 Componentes cartesianas e intrnsecas relacionadas 33

2. Cintica de la partcula

2.1 Movimiento rectilneo 2.1.1Aceleracin constante 39 2.1.2Aceleracin variable 52

2.2 Movimiento curvilneo 2.2.1 Componentes cartesianas 69 2.2.2 Componentes intrnsecas 72

3. Trabajo y energa e impulso y cantidad de movimiento para la partcula

3.1 Trabajo y energa cintica 83

3.2 Trabajo, energa cintica y energa potencial 93

3.3 Impulso y cantidad de movimiento 102

4. Cinemtica del cuerpo rgido

4.1 Movimiento relativo de partculas 117

4.2 Rotacin pura 121

4.3 Traslacin pura 126

4.4 Movimiento plano general 4.4.1 Velocidades 127 4.4.2 Centro instantneo de rotacin 133 4.4.3 Aceleraciones 138

5. Cintica del cuerpo rgido

5.1 Traslacin pura 149

5.2 Rotacin pura baricntrica 155

5.3 Rotacin pura no baricntrica 163

5.4 Movimiento plano general 168

Lista de smbolos

Aceleracin (vector aceleracin) a Aceleracin (o magnitud de la aceleracin) at Componente tangencial de la aceleracin an Componente normal de la aceleracin ax Componente de la aceleracin en direccin del eje de las equis ay Componente de la aceleracin en direccin del eje de las yes am Aceleracin media cm Centmetro ft Pies h Horas i Vector unitario en direccin del eje de las equis in Pulgada j Vector unitario en direccin del eje de las yes k Vector unitario en direccin del eje de las zetas k Radio de giro Radio de giro centroidal km Kilmetro I Momento de inercia de la masa de un cuerpo Momento de inercia de la masa de un cuerpo, respecto a un eje centroidal L Logaritmo natural m Metro mm Milmetro N Componente normal o perpendicular de una fuerza P Peso de un cuerpo o fuerza de gravedad Posicin (vector) r Radio s Segundos s Posicin o distancia t Tiempo ton Tonelada Velocidad (vector) v Velocidad (magnitud) o rapidez vm Velocidad media x Posicin o distancia. Eje de referencia y Posicin o distancia. Eje de referencia z Posicin o distancia. Eje de referencia

(Alfa) Aceleracin angular (Delta) Incremento s Distancia recorrida Desplazamiento (My) Coeficiente de friccin s Coeficiente de friccin esttica k Coeficiente de friccin cintica pi (Pi) Nmero pi. Razn de la circunferencia al radio (Ro) Radio de curvatura (Omega) Velocidad angular

# Libras Pies Pulgadas

1

1. CINEMTICA DE LA PARTCULA

1.1 Movimiento rectilneo

1.1.1 Posicin en funcin del tiempo

1. La posicin de una partcula que describe una lnea recta queda definida mediante la expresin s = t3/3 9t + 2, donde si t est en s, s resulta en m. De-termine: a) la aceleracin de la partcula cuando su velocidad es de 7 m/s; b) su velocidad media desde t = 3 hasta t = 6 s. c) Dibuje las grficas tiempo-posi-cin, tiempo-velocidad y tiempo-aceleracin del mo-vimiento de la partcula, durante los primeros seis segundos.

Resolucin

Ecuaciones del movimiento

2931 3 += tts

92 == tdtds

v

tdtdv

a 2==

a) Tiempo en que la velocidad es 7 m/s

97 2 = t 162 =t 4=t

La raz negativa no tiene significacin fsica en este caso.

P 0 s

Cinemtica de la partcula

2

Para t = 4

( )42=a ; = 2s

m8a

b)

336 ss

ts

vm

=

=

202)6(9)6(31 3

6 =+=s

162)3(9)3(31 3

3 =+=s

3)16(20

=mv ; = sm12mv

c) Tabulacin para dibujar las grficas

t 0 3 6 s 2 -16 20 v -9 0 27 a 0 6 12

27

-9 3 6

t (s)

v (m/s)

s (m)

t (s)

20

6

3

-16

2

3

12

6

6

a (m/s2)

t (s)


3

1.1.2 Velocidad en funcin del tiempo

2. La velocidad de un punto P que se mueve sobre el eje de las ordenadas, que es un eje vertical dirigido hacia arriba, se puede expresar como v = 6 t2 24, en donde v se da en ft/s y t en s; adems, cuando t = 0, entonces y = 6 ft. Calcule: a) la magnitud y la direccin de la aceleracin del punto cuando t = 3 s; b) el desplazamiento del punto P durante los primeros cuatro segundos; c) la longitud que recorre durante ese mismo lapso. d) Dibuje esquemticamente las grficas del movimiento del punto P.

Resolucin


Como dtdy

v =

entonces:

vdtdy =

= vdtdy

= dtty )246( 2

= dtty )246( 2 Ctty += 242 3

Si t = 0, y = 6 6 = C

Por tanto:

6242 3 += tty 246 2 = tv

tdtdv

a 12==

a) Para t = 3

)3(12=a ;

P

y

0

= 2sft36a


4

b)

04 yyy =

En donde:

386)4(24)4(2 34 =+=y

60 =y

638 =y

= ft32y

c) Para conocer la distancia que recorre, investigaremos cuando v = 0

42460

2

2

=

=

t

t

2=t

Slo la raz positiva tiene significado fsico

266)2(24)2(2 32 =+=y

Por tanto, la partcula se movi de y0 = 6 a y2 = 26 y luego a y4 = 38

)42()20( += yyD 6432)26(38626 +=+=D

ft96=D

d) Tabulacin para dibujar las grficas

t 0 2 4 y 6 -26 38 v -24 0 72 a 0 24 48

72

-24 2 4

t (s)

v (ft/s)

y (ft)

t (s)

38

4

2

-26

6

2

24

12

4

a (ft/s2)

t (s)


5

3. En la figura aparece la grfica de la mag-nitud de la velocidad de una partcula en funcin del tiempo. Se sabe que cuando t = 0, la posicin de la partcula es s = + 8 in. Dibuje las grficas tiempo-aceleracin y tiempo-posicin del movimiento de la partcula.

Resolucin

La magnitud de la aceleracin es igual a la pendiente de la grfica tiempo-velocidad; durante los primeros cuatro segundos es positiva de 40/4 = 10 y despus es nula.

(La grfica tiempo-aceleracin puede ser discontinua como en este caso, pero nunca las grficas tiempo-velocidad y tiempo-posicin)

La grfica tiempo-posicin comienza, segn los datos, en s = + 8. Desde t = 0 hasta t = 2, la pendiente de la curva que comienza siendo negativa, va disminuyen-do en magnitud hasta hacerse nula: el desplazamiento en ese lapso es igual al rea bajo la grfica tiempo-velocidad, es decir 20. De 2 a 4 s el comportamiento de la grfica es inverso al anterior y cuando t = 4, la partcula vuelve a su posicin inicial, pues el rea acumulada bajo la grfica tiempo-velocidad es cero. De 4 a 6 s, la pendiente es constante, positiva y de 20, por tanto, se trata de una recta.

t (s) 6 4 2

20

-20

v (in/s)

s (in)

2 4 6

48

8

-12

20

1

a (in/s2)

10

6 2

t (s) 4

t (s)


6

1.1.3 Aceleracin en funcin del tiempo

4. La grfica de la figura muestra la magnitud de la aceleracin de una partcula que se mueve sobre un eje horizontal dirigido hacia la derecha, que llama-remos x'x. Sabiendo que cuando t = 1 s, x = 3 cm y v = 4.5 cm/s, calcule: a) la posicin de la partcula cuando su velocidad es nula; b) su velocidad cuando t = 3 s y su posicin cuando t = 5 s.

Resolucin

La partcula se mueve conforme a dos leyes distintas: una de 0 a 3 s y otra de 3 a 6 s.

Ecuaciones del movimiento de 0 a 3 s ta 39 =

Pues la ordenada al origen es 9 y la pendiente de la recta es -3.

Como ,dtdv

a = entonces adtdv =

==

dttdvdttdv

)39()39(

125.19 Cttv +=

Si t = 1, 5.4=v , conforme a los datos 1

2)1(5.1)1(95.4 C+= ; 121 =C

Por tanto

125.19 2 = ttv

Como ,dtdx

v = entonces vdtdx =

==

dtttdxdtttdx

)125.19()125.19(

2

2

232 125.05.4 Ctttx +=

t (s)

a (cm/s2)

9

6 3


7

Si t = 1, x = 3

232 )1(12)1(5.0)1(5.43 C+=

112 +=C 11125.05.4 32 += tttx

Por lo tanto, las ecuaciones del movimiento durante los primeros tres segundos son:

11125.45.0 23 ++= tttx 1295.1 2 += ttv

93 += ta

a) Investigamos si en algn instante la velocidad es nula

01295.1 2 =+ tt

Dividiendo entre -1.5:

0862 =+ tt

Factorizando

0)2)(4( = tt 41 =t 22 =t

41 =t est fuera del intervalo: en 22 =t s, 0=v y en ese instante su posicin es:

11)2(12)2(5.4)2(5.0 23 ++=x

cm1=x

b) Para t = 3

12)3(9)3(5.1 2 +=v

scm5.1=v


8

c) Para investigar la posicin en 5=t , se necesita la ecuacin del movimiento de 3 a 6 s.

0=a 5.1=v (la velocidad que alcanz a los 3 s)

Si 3=t , 211)3(12)3(5.4)3(5.0 23 =++=x

5.2)3(5.12

4

4

=

+=

CC

Por tanto: 5.25.1 = tx

Para 5=t 5.2)5(5.1 =x ;

cm5=x


9

1.1.4 Soluciones grficas

5. Un tren que parte de la estacin A aumenta su velocidad uniformemente hasta alcanzar los 60 km/h. A partir de ese instante comienza a frenar, tambin uniformemente, hasta detenerse en la esta-cin B. Si el viaje dura veinte minutos, cunto distan las estaciones A y B?

Resolucin

Dibujamos la grfica tiempo-velocidad. Como 20 min es igual a 1/3 de hora, 1/3 es el valor de la abscisa.

Puesto que = vdts , entonces s es igual al rea bajo la grfica.

21)60(

31

2== bhs ;

km10=s

60

1/3

v (km/h)

t (h)


10

1.1.5 Aceleracin en funcin de la velocidad

6. La aceleracin de un avin que aterriza en una pista a 50 m/s se puede expresar, para un cierto lapso, como a = 4 (10)3v2, donde si v est en m/s, a resulta en m/s2. Determine el tiempo requerido para que el avin reduzca su velocidad a 20 m/s.

Resolucin

Como la aceleracin est en funcin de la velocidad y queremos conocer un tiempo, igualamos:

dtdv

v

dtdv

a

=

=

2

10004

Separando variables

210004

v

dvdt =

=

22501

v

dvdt

Cv

t+=

1250

Condiciones iniciales: si 50,0 == vt

52505011

250

5015010

=

+=

=

+=

vt

v

t

C

C

Para 20=v

520

250=t ; s5.7=t

s

v a


11

7. Calcule la distancia que requiere el avin del problema anterior para reducir su velocidad de 50 a 20 m/s.

Resolucin

Primer mtodo

Partiendo de la solucin de la ecuacin diferencial del problema 6:

5250 =v

t

Despejando v e igualando a ds/dt

Ctst

dtds

tdtds

tv

vt

++=+

=

+=

+=

=+

)5(L2505

250

52505

250

2505

Hacemos s = 0 cuando t = 0

5L2505L2500

=

+=

CC

Por tanto

[ ]5L)5(L2505L250)5(L250

+=

+=

ts

ts

Por las propiedades de los logaritmos

55L250 += ts

Para t = 7.5

5.2L2505

5.12L250 ==s

m229=s

s

v a


12

Segundo mtodo

Como la aceleracin es funcin de la velocidad y deseamos conocer un desplazamiento, igualamos:

dsdv

va =

dsdv

v

dsdv

vv

=

=

2501

10004 2

Separando variables

Cvsv

dvds

v

dvds

+=

=

=

L250

2501

2501

Si 0=s , 50=v

Para 20=v

5.2L250

50L250

=

=

s

vs

m229=s

vs

v

s

vs

LvsC

C

50L250

50L250

50LL250

50L250

L50L500

=

=

+=

=

=

+=


13

1.1.6 Aceleracin en funcin de la posicin

8. La magnitud de la aceleracin de un collarn que se desliza sobre una barra horizontal se expre- sa, en funcin de su posicin, como a =12 x , donde a se da en in/s2 y x en in. Cuando t = 2 s, entonces v = 32 in/s y x = 16 in. Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin del collarn cuando t = 3s.

Resolucin

Como la aceleracin est expresada en funcin de la

posicin, se sustituye por dxdv

v

xdxdv

v 12=

Separando variables

12

3

12

32

83212

2

12

CxCxvdxxvdv

+=+

=

=

Si x = 16, v = 32 De los datos

12

32 )16(82

32 C+=

1512512 C+= ; 01 =C

43

232

4

82

xv

xv

=

=

Sustituimos v por dtdx

43

4xdtdx

=

Separando variables dtdxx 44

3=


14

24

1

43

44

4

Ctx

dtdxx

+=

=

Si t = 2, x = 16

De los datos

288 C+= ; 02 =C

tx

tx

=

=

41

41

44

4tx = La ecuacin queda resuelta.

Derivando respecto al tiempo

2

3

124

ta

tv

=

=

Satisface la ecuacin original, ya que si:

24, txtx == , o sea, xa 12=

Para t = 3

=

=

=

2sin108

sin108

in81

a

v

x


15

1.2 Movimientos rectilneos uniforme y uniformemente acelerado

9. El motor de un automvil de carreras es capaz de imprimirle, durante cierto lapso, una acelera-cin constante de 5.2 m/s2. Si el automvil est ini-cialmente en reposo, diga: a) cunto tiempo le lleva alcanzar una velocidad de 300 km/h; b) qu distancia requiere para ello.

Resolucin


==

==

=

26.22.5

2.52.52.5

ttdtx

tdtva

Las constantes de integracin son nulas, pues cuando t = 0 tanto v como x son nulas.

a)

300 km h 300

3.6m s

t2.56.3

300=

)2.5(6.3300

=t ; s03.16=t

b)

2)03.16(6.2=x ;

m669=x


16

10. Un tren del metro, que viaja a 60 mi/h, emplea 250 ft para detenerse, frenando uni-formemente. Cul es la aceleracin del tren mientras frena?

Resolucin

sft88h

mi60 =

Como se desea conocer la aceleracin a partir de la velocidad y el desplazamiento, empleamos:

vdvadsdsdv

va

=

=

= vdvdsa

Puesto que a es constante, queda fuera de la integral.

Cvas +=2

2

Elegimos como origen el punto en el que comienza a frenar el tren.

Si 0=s , 88=v

C+=2

8802

; 2882

=C

28822

=v

as ; s

va

28822

=

Para 250=s y 0=v

49.15500882

==a

El signo indica que tiene sentido contrario al de la velocidad:

=s

ft49.15a

60 mi/h


17

11. Un elevador comercial puede, a lo ms, tanto aumentar como disminuir su velocidad a razn de 3.5 m/s2. Y la mxima velocidad que puede alcan-zar es de 420 m/min. Calcule el tiempo mnimo que necesita para subir quince pisos, partiendo del reposo, si cada piso tiene 5.1 m de altura.

Resolucin

Supongamos que el elevador alcanza una velocidad mxima y la mantiene cierto tiempo t, como se muestra en la grfica

sm7

sm

60420

minm420 ==

La pendiente de la recta inclinada es 3.5, que es la razn de cambio de la velocidad. Por lo tanto de la grfica y por semejanza de tringulos:

75.31

0

=

t ; 120 2 ttt ==

El elevador debe desplazarse

5.76)1.5(15 ==y

Tal desplazamiento es igual al rea del trapecio en la grfica

( ) ( ) 5.762

742

=

++=

+ tthBb

5.762

2814=

+t

5.627 =t ; 93.8=t

El tiempo total es

s93.122 =t

t0 t1 t2

3.5 3.5

1 1

t

7

v (m/s)

t (s)


18

A B 200 ft

a1

v2

A B 200 ft

a1

v2

x

1.2.1 Movimiento de varias partculas independientes

12. Un motociclista arranca del punto A con una aceleracin constante a1 = 2.4 ft/s2 hacia la derecha. Cuatro segundos despus, un automvil pasa por el punto B, situado a 200 ft de A, viajando hacia la izquierda. Sabiendo que la velocidad del automvil es v2 = 30 ft/s y constante, diga en dnde el motociclista encuentra el automvil. Desprecie el tamao de los vehculos.

Resolucin

Tomando como origen el punto A, eligiendo un eje xx hacia la derecha y tomando como t = 0 el instante en que arranca el motociclista, las ecuaciones del movimiento son:

Motociclista

211

11

1

2.1

4.2

4.2

tdtvx

tdtav

a

==

==

=

Las constantes de integracin son nulas.

Automvil

300

2

2

=

=

v

a

Negativa, porque el sentido es contrario al del eje elegido.

Ctdtvx +== 3022

Cuando 4=t , 2002 =x de los datos, sustituyendo C+= )4(30200 ; 320=C

320302 += tx

200 ft


19

El motociclista encuentra el automvil si:

21 xx =

4.2320)2.1(43030

0320302.1320302.1

2

2

2

+=

=+

+=

t

tt

tt

1.3306.8

2

1

=

=

t

t

Sustituyendo 1t en 1x

1.78)06.8(2.1 21 ==x

El motociclista encuentra al automvil a 78.1 ft a la derecha de A.

= ft1.78Ax


20

A

D

B

C

A

B

C

D yD

y

yA yC

vA = 8

yB

aA = 4 aB = 10 vB = 5

1.2.2 Movimiento de varias partculas conectadas

13. El cuerpo A se desplaza hacia abajo con una velocidad de 8 m/s, la cual aumenta a razn de 4 m/s2, mientras B baja a 5 m/s, que disminuye a razn de 10 m/s2. Calcule la magnitud y la direccin tanto de la velocidad como de la aceleracin del cuerpo C.

Resolucin

Velocidad

Cuerda que une los cuerpos A y D

DA yyl +=1

Derivando respecto al tiempo DA vv +=0 ; AD vv = (1)

Cuerda que une B con C

( ) ( )DCB

DCDB

yyylyyyyl

222

+=

+=

Derivando respecto al tiempo DCB vvv 20 +=

De (1) ACB vvv 20 ++=

ABC vvv 2= (2)

Sustituyendo:

21)8(25 ==Cv

El signo negativo indica que el sentido es contrario al del eje yy

=s

m21Cv


21

Aceleracin

Derivando la ecuacin (2) respecto al tiempo:

2)4(2)10(2

==

=

C

ABC

a

aaa

= 2sm2Ca


22

1.3 Movimiento curvilneo

1.3.1 Componentes cartesianas

14. Un avin de pruebas describe, inmediata- mente despus de despegar, una trayectoria cuya ecuacin cartesiana es y = 5 (10)-5 x2. Se mueve con-forme la expresin x = 150t + 5t2, donde t est en s, x resulta en m. Determine la posicin, velocidad y aceleracin del avin cuando t = 10 s.

Resolucin

Las ecuaciones de las componentes horizontales del movimiento son:

10

10150

5150 2

==

+==

+=

dtdv

a

tdtdx

v

ttx

x

x

x

Sustituyendo x en la ecuacin de la trayectoria, se obtienen las ecuaciones de las componentes verticales

[ ])5150(10)10150(10)5150)(10150(1010

)5150(105

224

25

225

tttdt

dva

tttdtdy

v

tty

yy

y

+++==

++==

+=

Para t = 10 s

200)2000(10520005001500

25==

=+=y

x

En forma vectorial:

[ ]m2002000 jir +=

y

x

2010 m

5.7

2000 m

200 m

y

x

y = 5 (10)-5 x2


23

Escalarmente:

==

+=

7.5;2000200

tan

2002000

11

22

r

= 7.5m2010r Es la posicin del avin

50)2000)(250(101250)10(10150

4==

=+=

y

x

v

v

Vectorialmente:

[ ]m50250 jiv +=

Escalarmente:

==

+=

3.11;25050

tan

50250

22

22

v

= 3.11s

m255v Es la velocidad del avin

[ ] 25.8)2000(1025010110

24=+=

=

y

x

a

a

Vectorialmente: [ ]2sm25.810 jia +=

Escalarmente:

==

+=

5.39;1025.8

tan

25.810

33

22

a

= 5.39s

m96.12 2a

Es la aceleracin del avin cuando t = 10 s

y

x

11.3

255 m/s

y

x

39.5 12.96 m/s


24

15. La corredera A se mueve dentro de la ranura conforme se eleva el brazo horizontal, que tiene una velocidad constante de 3 in/s. Calcule la velocidad y la aceleracin de la corredera cuando = 6 in.

6

3

6

y

A

v

se mueve dentro de la ranura conforme se eleva el brazo horizontal, que tiene una velocidad constante de 3 in/s. Calcule la velocidad y la aceleracin de la corredera cuando x

Resolucin

Como el brazo se mueve hacia arriba con velocidad constante:

30

=

=

y

y

v

a

Y, por tanto:

tdtvy y 3==

La relacin entre las coordenadas de la posicin est establecida por la ecuacin de la trayectoria:

2

61 yx =

2)3(61

tx = Sustituimos y por el valor en funcin de

t

335.1 2

=

=

=

x

x

a

tv

tx


Con las ecuaciones del movimiento a la vista, podemos responder a la pregunta.

Si x = 6

245.16 2

==

=

t

t

a raz negativa no tiene significado fsico.

6

x

ueve hacia arriba con velocidad

as de la posicin est por la ecuacin de la trayectoria:

por el valor en funcin de


Con las ecuaciones del movimiento a la vista,

no tiene significado fsico.


25

Para 2=t

63

tan

71.636

36)2(3

2222

=

=+=+=

=

==

yx

y

x

vvv

v

v

6.26=

= 6.26s

in71.6v

Para el mismo instante

03

=

=

y

x

a

a

= 2sin3a

3

6 x

y

A


26

1.3.2 Componentes intrnsecas

16. Una locomotora comienza a moverse desde el punto A conforme a la expresin donde t est en s y s es la longitud en ft medida sobre la va a partir de A. El punto Bft de A y su radio de curvatura es de 800 ft. Diga: cul es la velocidad de la locomotora en es su aceleracin en A; c) cul, en B

Componentes intrnsecas

16. Una locomotora comienza a moverse conforme a la expresin s = 4t2,

es la longitud en ft medida B se halla a 4000

y su radio de curvatura es de 800 ft. Diga: a) locidad de la locomotora en B; b) cul

B.

Resolucin

Derivando la expresin de la longitud recorrida respecto al tiempo, obtenemos:

8

8

4 2

==

==

=

dtdv

a

tdtds

v

ts

t

a) El tiempo que tarda en llegar a B es:

100044000 2

=

=

t

t

Su velocidad por tanto, tiene una magnitud de:

25310008 ==v

= 30s

ft253v

La direccin es perpendicular al radio de la curva, pues debe ser tangente a la trayectoria.

b) Como el punto A est en un tramo recto

taa =

=s

ft8a

Su direccin es la de la trayectoria.

Derivando la expresin de la longitud recorrida

El tiempo que tarda en llegar a B es:

Su velocidad por tanto, tiene una magnitud de:

La direccin es perpendicular al radio de la curva,

Como el punto A est en un tramo recto


27

c) En el punto B la aceleracin de la locomotora tiene tanto componente tangencial como normal, porque pertenece a una curva:

= 308ta En direccin de la velocidad

=== 6080800

)253( 22v

an

Dirigida hacia el centro de curvatura

4.80808 22 =+=a

Sea el ngulo que forma con la velocidad

1.0808

tan == ; = 7.5 Respecto a la horizontal, por tanto, forma un ngulo de:

=+ 7.657.560

= 7.65s

ft4.80 2a

a

8

80

30

60

B


28

n

an

2

2

17. Un automvil viaja por la carretera de la figura aumentando uniformemente su velocidad. Pasa por A con una rapidez de 72 km/h y llega a km/h, cinco segundos despus. Determine: leracin del automvil al pasar por Acurvatura de la carretera en la cima all la aceleracin del vehculo es de 4 m/s

t

17. Un automvil viaja por la carretera de la figura aumentando uniformemente su velocidad. Pasa

con una rapidez de 72 km/h y llega a B a 108 , cinco segundos despus. Determine: a) la ace-

leracin del automvil al pasar por A; b) el radio de B, sabiendo que

all la aceleracin del vehculo es de 4 m/s2.

Resolucin

sm30

sm

6.3108

hkm108

sm20

sm

6.372

hkm72

==

==

Como la rapidez aumenta uniformemente, i.e., la componente tangencial de la aceleracin es constante, tanto en A como en B:

25

2030=

=

=

=

t

ABt

a

t

vv

t

va

a) Al pasar por A

22)2(2

220020

222

22

==+=

===

tn

n

aaa

va

= 45s

m83.2 2a

b) Al pasar por B

22tn aaa += ;

222tn aaa +=

Como la rapidez aumenta uniformemente, i.e., la de la aceleracin es constante,


29

46.324 2222 === tn aaa

Como

2van = ;

na

v2=

46.3302

= ; m260=

n


30

18. Un motociclista que corre en una pista circular de 440 ft de radio pasa por A a 60 mi/h; en B, 200 ft adelante, su velocidad es de 30 mi/h. Sabiendo que el motociclista reduce uniformemente su veloci-dad, calcule su aceleracin cuando se encuentra en A.

Resolucin

sft88h

mi60 =

sft44h

mi30 =

Como la reduccin de la rapidez es uniforme, la componente tangencial de la aceleracin es la misma en cualquier instante. Como se conoce la funcin de la distancia recorrida:

==

=

vdvdsa

vdvdsadsdv

va

t

t

t

Por ser constante, at queda fuera de la integral.

Cvsa t += 2

2

Si s = 0, v = 88

Tomaremos como origen el punto A

52.14)200(288

28844

288

288

2880

22

2222

2

2

=

=

=

=

=

+=

va

vsa

C

C

t

t

B 200

A 440


31

En el punto A la componente normal es:

5.39;6.17

52.14tan

8.226.1752.14

6.1744088

2222

22

==

=+=+=

===

nt

n

aaa

va

5.39s

ft8.22 2=a

14.52

a

A

t

n 17.6


32

19. Un buque navega con rapidez constante de 24 nudos. Para dirigirse al puerto vira 90 en un minuto. Determine la magnitud de la aceleracin del buque durante la maniobra.

Resolucin

Puesto que la magnitud de la velocidad no vara durante la maniobra:

0=ta Por tanto

vaa n

==

Donde

es la velocidad angular.

srad

602

mingrados90 pi ==

Adems:

s

m

3600185224

horamartimasmillas24nudos24 ==

Por tanto:

323.036001852)24(

120==

pia

2sm323.0=a

Y es perpendicular a la velocidad en cualquier instante.

v a


33

x

y

1.3.3 Componentes cartesianas e intrnsecas relacionadas

20. La trayectoria de un cohete interplanetario tiene la ecuacin y = 2 (10)5x2 + 0.8x. La compo-nente horizontal de su velocidad es constante y de 350 m/s. Calcule la razn del cambio de la magnitud de su velocidad con respecto al tiempo, cuando x = 9000 m.

Resolucin

Primer mtodo

dxdy

vdtdx

dxdy

dtdy

v

xxy

xy ===

+= 8.0)10(2 25

Como la componente horizontal de la velocidad es:

[ ]

[ ] 252

5

sm9.4)10(4350

280014.08.0)10(4350350

==

===

+=+=

=

y

yx

yyy

y

x

a

dxdv

vdtdx

dxdv

dtdv

a

xxv

v

La razn del cambio de magnitud de la velocidad con respecto al tiempo la mide la componente tangencial de la aceleracin.

dtdv

at =

Como dicha componente tiene la direccin de la velo-cidad, investigamos sta.

x

y

v

v=tan

Para 900=x : 154=yv , 350=xv

vy

v

350

t

v

an

a n

at

y = 2 (10)5x2 + 0.8x


34

=

=

7.23

350154

tan

es el ngulo que forma la velocidad con la horizontal, y es el mismo que forma la aceleracin con su componente normal. Proyectamos la aceleracin en el eje tangencial.

973.1sen9.4 == ta

La magnitud de la velocidad disminuye a razn de

2sm973.1

Segundo mtodo

Escribiendo en lenguaje vectorial

jjaiaajijvivv

yx

yx

9.4

154350

=+=

+=+=

Para proyectar la aceleracin en el eje tangencial, investigamos el producto escalar (o producto punto) de dos vectores.

teata =

En donde te es un vector unitario en direccin de la velocidad

( ) 973.1154350

9.415422

=

+

==

v

va

ta

t

v

e

at

a


35

21. Las ecuaciones paramtricas de las coorde-nadas de la punta de un brazo mecnico son x = 25t 4t2 y y = 50 2t2; ambas resultan en ft, si el tiempo est en s. Diga qu longitud tiene el radio de curva-tura de la trayectoria de la punta cuando y = 0.

Resolucin

Primer mtodo

Para hallar el radio de curvatura, se requiere conocer la magnitud de la componente normal de la aceleracin y la magnitud de la velocidad.

2v

an =

Las ecuaciones del movimiento son:

8

825

425 2

==

==

=

dtdv

a

tdtdx

v

ttx

x

x

x

4

4

250 2

==

==

=

dtdv

a

tdtdy

v

ty

yy

y

Investigamos en qu instante 0=y

52500 2

==

t

t

y

x


36

La raz negativa no tiene significado fsico en este caso.

Para 5=t

25625)20()15(20)5(4

15)5(825

22==+=

==

==

v

v

v

y

x

El ngulo que la velocidad forma con la horizontal es:

1520

tan

==

x

y

v

v

= 1.53

La aceleracin en ese mismo instante es:

( )[ ] 54)1(24)4()8(48

22222=+=+=

=

=

a

a

a

y

x

Y su direccin respecto a la horizontal

=

== 6.26;84

tan x

y

a

a

El ngulo que forman entre s la velocidad y la acele-racin es:

= 5.26

La proyeccin de la aceleracin sobre el eje normal es:

45.26cos545.26cos === aan

15

20

v

4

8

n

26.6

t

v

y

x

x

y

y

x a


37

Por tanto:

46252

==

na

v

Segundo mtodo

Utilizando lgebra vectorial

La componente normal de la aceleracin se puede obtener proyectando el vector aceleracin sobre un vector unitario ne en direccin del eje normal, el cual es perpendicular a la velocidad.

Sea te un vector unitario en direccin de la velocidad

( )

( ) ( ) 44.24.66.08.0486.08.0

8.06.02015251

==+==

+=

===

jijieaajie

jijiv

ve

nn

n

t

46252

==

na

v tf3.156=

ft3.156=

en

et

y

x


38

39

2. CINTICA DE LA PARTCULA

2.1 Movimiento rectilneo

2.1.1 Aceleracin constante

1. Un tractor y su remolque aumentan unifor-memente su rapidez de 36 a 72 km/h en 4 s. Sabiendo que sus pesos son, respectivamente, 2 y 20 ton, cal-cule la fuerza de traccin que el pavimento ejerce sobre el tractor y la componente horizontal de la fuerza que se ejerce en el enganche entre los vehcu-los durante ese movimiento.

Resolucin

A partir de la informacin del movimiento, investiga-mos la aceleracin del vehculo.

Comenzaremos convirtiendo las velocidades a m/s:

sm20

sm

6.372

hkm72

sm10

sm

6.336

hkm36

==

==

Como el aumento de velocidad es uniforme:

Para conocer las fuerzas problema cintico co-menzaremos: 1) dibujando el diagrama de cuerpo libre del conjunto; 2) eligiendo un sistema de refe-rencia.

Empleamos a continuacin las ecuaciones cinticas:

22022

0

=

=

=

NN

Fy

dtdv

a =

5.24

1020=

=

=

tv

a

x

y

N

22

F

Cintica de la partcula

40

Puesto que la aceleracin del vehculo es horizontal, este resultado no es til para la resolucin del pro-blema.

)5.2(81.9

22=

=

F

maFx

Como P=mg; entonces m=P/g

= ton61.5F

Para conocer la fuerza en el enganche, se puede estu-diar cualquiera de los dos cuerpos que la ejercen. Elegiremos el remolque.

)5.2(81.9

20=

=

xQ

maFx

ton10.5=xQ Se trata de una tensin

Podemos comprobar los resultados analizando el tractor:

Por la tercera ley de Newton, las reacciones del remolque sobre el tractor son iguales a las reacciones del tractor sobre el remolque, pero de sentido contrario.

)5.2(81.9261.5

)5.2(81.9261.5

=

=

=

x

x

Q

Q

maFx

ton10.5=xQ

20

Qx

Qy

x

y

N1

N2

x

y Qy

Qx

2 ton


41

2. Los coeficientes de friccin esttica y cin-tica entre las llantas de una camioneta de doble traccin y la pista son 0.85 y 0.65, respectivamente. Diga cul ser la velocidad terica mxima que alcanzar la camioneta en una distancia de 300 ft, su-poniendo suficiente la potencia de su motor.

Resolucin

Dibujamos el diagrama de cuerpo libre y elegimos el sistema de referencia. Como deseamos conocer la velocidad mxima des-pus de recorrer cierta longitud, se requiere que el automvil adquiera la mxima aceleracin, por tanto, que ejerza la mxima fuerza de traccin, que es de friccin en este caso.

4.27)2.32(85.02.32

85.0

2.3285.0

2.3285.0

00

==

=

=

=

=

=

=

=

a

a

aPP

aPN

maFPN

NPF

x

y

Se trata de una aceleracin constante, por tanto:

2)(

21

22

2

1

vvxa

vdvdxa

dxdv

va

v

v

=

=

=

p

0.85 N

N

y

x


42

En este caso, 01 =v y 300=x

300)4.27(2)(222 == xav

sft1.1282 =v

Se puede convertir a hmi :

hmi4.87h

mi44301.128

sft1.128 =

=


43

3. Un nio arroja una piedra de 1.5 kg de masa hacia arriba, verticalmente, con una velocidad inicial de 12 m/s desde la orilla de un edificio de 20 m de altura. Determine: a) la altura mxima, sobre el suelo, que alcanza la piedra; b) la velocidad con que llega al suelo.

Resolucin

Dibujamos la piedra en un diagrama de cuerpo libre que represente cualquier instante del movimiento, y elegimos un sistema de referencia.

Disponemos de una ecuacin cintica:

81.95.1)81.9(5.1

=

=

=

a

a

maFy

Es decir, en cualquier instante, suba o baje la piedra, su aceleracin es la de la gravedad y se dirige hacia el centro de la Tierra.

A partir de la aceleracin, escribimos las ecuaciones del movimiento de la piedra, refirindolas al sistema de referencia que se muestra en la figura.

2

0

0

281.91220

)81.912(20

81.91281.91281.9

tt

dttvdtyy

tdtadtvva

+=

+=+=

==+=

=

Ahora podemos contestar las preguntas.

y

0

20 m

20 m

12 m/s


44

a) Cuando alcance la altura mxima su velocidad ser nula.

81.912

81.9120

=

=

t

t

Y en ese instante: 212 9.81 1220 12

9.81 2 9.81144 72 7220 209.81 9.81 9.81

y

y

= +

= + = +

m3.27=y que es la altura mxima sobre el suelo

b) Llega al suelo cuando y = 0

0402481.9281.912200

2

2

=

+=

tt

tt

Las races son:

138.158.3

2

1

=

=

t

t

El tiempo en que llega al suelo es la raz positiva y la velocidad es:

2.23)58.3(81.912 ==v

El signo negativo indica que su sentido es contrario al sentido del eje de las yes, elegido arbitrariamente.

=s

m2.23v


45

4. Se lanza un cuerpo de 40 kg hacia arriba de un plano inclinado con un ngulo de 15, con una velocidad inicial de 20 m/s. Si los coeficientes de friccin esttica y cintica son 0.25 y 0.20, respectivamente, entre el cuerpo y el plano, cunto tiempo emplea en volver al punto del que fue lanzado?, con qu velocidad pasa por l?

Resolucin

Dibujamos el diagrama de cuerpo libre mientras el cuerpo sube, elegimos el sistema de referencia. Empleamos a continuacin las ecuaciones cinticas:

0(40)(9.81) cos15 0379 newtons

0.2 40(9.81)sen15177.4

4.43

FyNN

Fx maN ma

ma

a

=

=

=

=

=

=

=

El signo negativo indica que la aceleracin tiene sentido contrario al eje de las equis y que el cuerpo se est deteniendo.

Escribimos las ecuaciones del movimiento:

( ) 21010

243.42043.420

43.42043.420

43.4

ttdttdtvxx

tdtdtavva

==+=

==+=

=

El tiempo que tarda en subir lo encontramos haciendo

v = 0.

40 kg

15

40(9.81)

0.2 N

N


46

st

t

t

t

51.4

51.443.4

202043.4

2043.40

=

==

=

+=

Para encontrar la distancia que recorre el cuerpo en el ascenso hasta detenerse sustituimos el tiempo hallado.

m1.45

)51.4(243.4)51.4(20 2

=

=

x

x

Habr recorrido esta distancia antes de detenerse.

Ahora analizaremos al cuerpo a partir de que comien-za a bajar.

Utilizando un nuevo sistema de referencia, tenemos:

379015cos)81.9)(40(

0

=

=

=

NN

Fy

La fuerza de friccin tiene ahora otro sentido.

644.040

2.015sen)81.9(40402.015sen)81.9(40

=

=

=

=

a

Na

aNmaFx

Las ecuaciones del movimiento, en el nuevo sistema de referencia y tomando como origen el punto en el que el cuerpo se detuvo, son:

( ) 200

2644.0644.0

644.0644.0644.0

tdttdtvxx

tdtadtvva

==+=

==+=

=

Vuelve al punto de partida en x = 45.1 m

40(9.81)

0.2 N

N

x


47

s83.11644.0

2)1.45(2644.01.45 2

=

=

=

t

t

t

Por tanto, el tiempo que tarda en volver al punto de donde fue lanzado es la suma de este tiempo ms el empleado en subir.

51.483.11 +=Tt

s34.16=Tt

La velocidad con la que pasa por dicho punto la hallamos sustituyendo el tiempo de descenso en la ecuacin de la velocidad.

)83.11(644.0=v

= 15s

m62.7v


48

5. Los pesos de los cuerpos A y B de la figura son, respectivamente, 20 y 30 lb, y los de la polea y de la cuerda, despreciables. Sabiendo que la cuerda es flexible e inextensible y que no hay ninguna friccin en la polea, calcule la aceleracin del cuerpo B y la tensin de la cuerda.

Resolucin

Los cuerpos estn conectados con una sola cuerda, de manera que su aceleracin tiene la misma magnitud. La cuerda sufre la misma tensin en toda su longitud, pues la polea es de peso despreciable (y la suma de momentos de las fuerzas respecto a su eje de rotacin tiene que ser nula).

Una vez dibujado el diagrama de cuerpo libre de A, elegimos un sistema de referencia dirigido hacia arriba, pues el cuerpo, ms ligero que B, acelerar aumentando su rapidez hacia arriba.

aT

maFy

2.322020 =

=

)2.32

1(20 aT += _______________ (1)

El sistema de referencia para el diagrama de cuerpo libre de B lo elegimos hacia abajo para ser consis-tentes con el diagrama anterior.

aT

maFy

2.323030 =

=

)2.32

1(30 aT = _______________ (2)

Igualando (1) y (2)

)2.32

1(30)2.32

1(20 aa =+

20 #

30 #

A

B

2T

T T

Polea

T

T

20

30

Cuerpo A

Cuerpo B


49

44.650

322

102.32

502.32

30302.32

2020

==

=

=+

a

a

aa

La aceleracin de B es, por tanto

= 2sft44.6a

Y la tensin de la cuerda

)2.1(20)2.32

44.61(20 =+=T

lb24=T


50

6. Los cuerpos A y B pesan 40 y 60 kg, respec-tivamente. El coeficiente de friccin esttica entre el cuerpo A y el plano horizontal es 0.35, y el de friccin cintica, de 0.25. Suponiendo despreciable la masa de las poleas y cualquier resistencia suya al movi-miento, calcule tanto la tensin de la cuerda que une las poleas, como la aceleracin de los cuerpos A y B.

Resolucin

A

A

A

x

y

aT

aT

aNT

maF

NN

F

81.94010

81.940)40(25.0

81.94025.0

40040

0

=

=

=

=

=

=

=

AaT 81.94010 +=

___________ (1)

Analizando el cuerpo B

BaT 81.96060 1 =

BaT 81.960601 = ____________ (2)

Tenemos las ecuaciones 1 y 2 con cuatro incgnitas.

40

Cuerpo A

0.25 N

N

T

x

y

Cuerpo B

T1

60 y


51

Estudiemos la polea mvil.

Como su masa es despreciable

0=ma Por tanto

030

1 =

=

TTFy

TT 31 = _____________ (3)

Y la cuarta ecuacin la obtenemos relacionando las aceleraciones de A y B, mediante la cuerda que conecta las poleas, cuya longitud es constante.

BA yxl 3+=


BA

BA

aa

vv

3030

+=

+=

Para resolver el sistema de ecuaciones, multiplicamos (1) por (3) e igualamos con (2)

BA aa 81.96060

81.940103 =

+

Ahora, sustituimos (4):

[ ]

)10(140

81.981.9

202081.9

12010

81.960603

81.940103

=

=+

=

+

B

BB

BB

a

aa

aa

= 2sm701.0Ba

= 2sm10.2Aa

18.57 kgT =

T1

y

T T T


52

2.1.2 Aceleracin variable

7. A un cuerpo que reposa en una superficie lisa se le aplica una fuerza F cuya magnitud vara con el tiempo, segn se muestra en la grfica de la figura. Determine el tiempo que se requiere para que el cuer-po regrese a su posicin original.

Resolucin

De acuerdo con la grfica, la expresin que define la fuerza horizontal es:

tF 216 =

Pues 16 N es la ordenada al origen y la pendiente es negativa y de 2 N/s.

Despus de dibujar el diagrama de cuerpo libre para cualquier instante del movimiento y elegir el sistema de referencia, escribiremos la ecuacin cintica.

dtdvP

t

maFx

81.9216 =

=

Hemos sustituido a por dv/dt porque la fuerza est en funcin del tiempo.

Para resolver la ecuacin diferencial, separamos va-riables e integramos.

CvPtt

dvPdtt

dvPdtt

+=

=

=

81.916

81.9)216(

81.9)216(

2

Para 0=t , 0=v , de donde 0=C

F

t(s)

16

8

F(N)

P

16 2t

N x

y


53

)16(81.981.9

16

2

2

ttP

v

vP

tt

=

=

Sustituimos v por dx/dt

)16(81.9 2ttPdt

dx=

Separando variables e integrando:

132

2

2

)318(81.9

)16(81.9)16(81.9

CttP

x

dtttP

dx

dtttP

dx

+=

=

=

Escogiendo el origen en el punto de partida. Si 0=x , 0=t y 01 =C .

)318(81.9 32 tt

Px =

Esta es la ecuacin que define la posicin en funcin del tiempo.

Si vuelve al punto de partida, 0=x

0318

0)318(81.9

32

32

=

=

tt

ttP

Dividiendo entre 2t , pues dos races son nulas:

( )380

318

=

=

t

t

s24=t

Que es el tiempo en que vuelve al punto de partida.


54

8. Una embarcacin de 9660 lb de desplaza-miento navega en aguas tranquilas a 24 nudos cuando su motor sufre una avera. Queda entonces sujeta a la resistencia del agua que, en lb, se puede expresar como 0.9v2, donde v est en ft/s. Diga en cunto tiem-po la rapidez de la embarcacin se reducir a 6 nudos.

Resolucin

Cv

t

v

dvdt

v

dvdt

dtdv

v

dtdv

v

mav

maFx

+=

=

=

=

=

=

=

13009.0

3009.0

3009.0

3009.0

2.3296609.0

9.0

2

2

2

2

2

Cuando t = 0, v = 24 nudos

Dado que la resistencia est expresada en el sistema ingls, realizamos la conversin de nudos a

sft

53.40s3600

s1m3048.0

m185224

hs

ftmi.mar.24

s

fthmar.mi

24

=

=

=

=

x

x

x

401.7)53.40(

300)53.40(

13000

=

=

+=

C

C

C

9660

0.9v2

U

x


55

Entonces:

401.73009.0 +=v

t

Cuando la velocidad de la embarcacin es v = 6 nudos:

Nuevamente realizamos la conversin, utilizando una regla de tres con el resultado anterior.

sft13.10

246

53.40=

=

v

v

Entonces:

9.02.22

2.229.0401.76.299.0

401.713.10

3009.0

=

=

+=

+=

t

t

t

t

s7.24=t


56

9. Una embarcacin de 9660 lb de desplaza-miento navega en aguas tranquilas a 24 nudos cuando su motor sufre una avera. Queda entonces sujeta a la resistencia del agua que, en lb, se puede expresar como 0.9v2, donde v est en ft/s. Qu distancia nave-gar hasta que su velocidad se reduzca a 6 nudos?

Resolucin

Dibujamos un diagrama de cuerpo libre, que repre-sente cualquier instante del movimiento, y elegimos un eje de referencia en direccin de la velocidad.

dxdv

vv

maFx

2.3296609.0 2 =

=

Hemos sustituido a por v dv/dx porque la fuerza est en funcin de la velocidad y queremos conocer un desplazamiento.

Simplificando la ecuacin, tenemos:

dxdv

v 3009.0 =

Separamos variables

Cvxv

dvdx

v

dvdx

+=

=

=

L3009.0

3009.0

3009.0

Elegimos el origen en la posicin en que la embar-cacin sufre la avera, de modo que

Si 0=x , nudos24=v

nudos24L300nudos24L3000

=

+=

CC

9660

0.9v2

U

x


57

La ecuacin queda as:

( )nudos24LL3009.0nudos24L300L3009.0

=

=

vx

vx

Por las propiedades de los logaritmos

nudos24L3009.0 vx =

nudos24L

003.01 v

x =

Volviendo a utilizar las propiedades de los logaritmos

vx

nudos24L003.01

=

La posicin de la embarcacin cuando su rapidez es de 6 nudos es:

4L003.01

nudos6nudos24L

003.01

==x

ft462=x

Que es tambin la distancia que navega hasta dicha posicin.


58

10. Se arroja una pequea esfera de 2 kg de peso hacia arriba, verticalmente, con una velocidad inicial de 15 m/s. En su movimiento experimenta una resistencia del aire, que, en kg, se puede considerar de 0.04v, donde v se d en m/s. Determine: a) el tiempo en que alcanza su altura mxima; b) la velocidad con que vuelve al punto de partida.

Resolucin

En el diagrama de cuerpo libre, dibujaremos la resis-tencia del aire en sentido positivo, pero asignamos a la magnitud un signo negativo, de modo que si v es positiva, la fuerza resulta negativa y viceversa.

Cvg

t

v

dvg

dt

v

dvg

dt

dtdv

gv

maFy

+=

=

=

=

=

)204.0(L04.02

204.02

204.02

204.02

Si t = 0, v = 15

=

+=

204.06.2L

02.01

6.2L02.010

vgt

Cg

+=

204.06.2L

02.01

vgt _____________ (1)

Nombramos (1) a la ecuacin anterior ya que ser utilizada ms adelante.

Para v = 0

-0.04 v

2

y


59

3.1L02.01

gt =

s337.1=t

De la ecuacin (1)

0.02

0.02

0.02

2.60.02 L0.04 2

2.60.04 2

0.04 2 2.6

0.04 2 2.6

gt

gt

gt

gtv

ev

v e

v e

= +

=

+

+ =

= +

gtev 02.06550 += ______________ (2)

( )1

02.0

02.0

02.0

02.06550

6550

6550

Ceg

ty

dtedy

edtdy

gt

gt

gt

+=

+=

+=

Si y = 0, t = 0

( )gteg

ty

Cg

02.0

1

102.06550

02.0650

+=

+=

Se encuentra el valor de t para y = 0

s801.2=t

Sustituyendo el tiempo encontrado en la ecuacin (2)

=s

m47.12v


60

O bien:

dydv

vg

v

dydv

vg

v

maFy

5050

2204.0

=+

=

=

1)50(L5050

5050

50

505050

50

5050

Cvvygv

dvdvdyg

dvv

vdygv

vdvdyg

++=

+=

+

+=

+=

Si y = 0, v = 15

65L501565L50150

1

1

+=

+=

CC

++=

5065L5015

50 vvyg

Para y = 0:

++=

5065L50150

vv

Resolviendo mediante aproximaciones o con ayuda de una calculadora programable, obtenemos:

151 =v (Cuando comienza el movimiento)

48.122 =v

=s

m48.12v


61

11. Una cadena de 4 m de longitud y 80 N de peso reposa en el borde de una superficie rugosa, cuyo coeficiente de friccin cintica es 0.5. Mediante una fuerza constante de 50 N se jala a otra superficie contigua, lisa. Calcule la velocidad con que la cadena termina de pasar completamente a la superficie lisa.

Resolucin

Dibujamos un diagrama de cuerpo libre de la cadena, que representa un instante cualquiera de su movi-miento. Un tramo de ella se encuentra sobre la super-ficie rugosa y otro en la lisa.

Colocamos el origen del sistema de referencia en la unin de las dos superficies, de modo que el tramo sobre la superficie lisa tiene una longitud x.

Como el peso de la cadena es de 80 N y mide 4 m, su peso por unidad de longitud es:

mN20

480

==w

Las componentes normales de las superficies sobre la cadena tienen la misma magnitud que los pesos de sus tramos respectivos.

[ ] 8050 0.5 20(4 )9.81

8050 10(4 )9.81

8050 40 109.81

8010 109.81

819.81

Fx madv

x vdx

dvx v

dx

dvx v

dxdv

x vdx

dvx v

dx

=

=

=

+ =

+ =

+ =

50

0

x

20(4-x)


62

Hemos sustituido a por dxdv

v ya que la fuerza est en

funcin de la posicin x, y hemos dividido ambos miembros entre 10.

Separamos variables e integramos.

Cvxx

vdvdxx

vdvdxx

+

=+

=+

=+

22

281.98

2

81.98)1(

81.98)1(

Si 0=x , 0=v puesto que cuando el extremo derecho de la cadena se halla en el punto de unin de las superficies comienza a moverse.

2481.9

81.94

2

0

2

22

xxv

vx

x

C

+=

=+

=

La cadena termina de pasar a la superficie lisa cuando 4=x , y su velocidad entonces es:

84481.9

2481.9 2

+=

+=

v

xxv

=s

m42.5v


63

12. Un cuerpo de masa m unido a un resorte, cuya constante de rigidez es k, se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Se aleja el cuerpo una distancia xo de su posicin de equilibrio y se suel-ta. Escriba las ecuaciones del movimiento del cuerpo en funcin del tiempo y dibuje las grficas corres-pondientes.

Resolucin

En el diagrama de cuerpo libre, dibujaremos la fuerza del resorte en sentido positivo, pero asignamos a su magnitud un signo negativo, de forma que si x es positiva la fuerza resulte negativa y viceversa.

dxdv

mkx

maFx

=

=

El signo negativo sirve para cambiar el sentido de la fuerza. Pues si x es positiva, es decir, si el cuerpo est a la derecha del origen, la fuerza se dirige hacia la izquierda; y viceversa.

22

22 vmCxk =+

Cuando 0xx = ; 0=v

Entonces: 22 2

0

22 20

2 2 20

2 2 20

2 2 2

2 2 2

( )2 2( )

xx vk m k

xx vk k m

k mx x v

k x x mv

=

+ =

=

=

2

02

20

20

xkC

Cxk

=

=+

N

mg

-kx

x

y


64

( )22

0

220

xxm

kv

xxm

kv

=

=

Sea m

kp =

dtdx

v =

2 20

2 20

2 20

20

angsen

dx p x xdt

dx pdtx x

dx p dtx x

x pt Cx

=

=

=

= +

Si 0=t , 0xx = ( )

+=

=

=

90angsen

901angsen

0

2

2

ptx

x

CC

Aplicando la funcin seno de ambos lados de la ecuacin:

( )

ptx

x

ptx

x

cos

90sen

0

0

=

+=

ptxx cos0=

Derivando con respecto al tiempo tenemos:

( ) ptpxptpxdtdx

sensen 00 ==

ptpxv sen0=


65

Derivando nuevamente con respecto del tiempo en-contraremos la aceleracin.

( ) ptxpptppxdtdv

coscos 02

0 ==

ptxpa cos02

=

xpa 2=

Las grficas para la posicin, velocidad y aceleracin son, respectivamente:

t

x0

x0

t

p x0

- p x0

t

p2 x0

-p2 x0

pt

0

2

a

v

x


66

13. Un cuerpo de 16.1 lb de peso pende de los tres resortes mostrados en la figura. Se jala el cuerpo hacia abajo tres pulgadas de su posicin de equilibrio y se suelta. Se pide: a) Hallar la constante de rigidez de un resorte equivalente a los tres de la figura. b) De-terminar si el movimiento que adquiere el cuerpo es armnico simple o no. c) Dar la amplitud, el perodo y la frecuencia del movimiento. d) Calcular la velo-cidad y aceleracin mximas del cuerpo.

Resolucin

a) La constante de rigidez equivalente a la de los dos resortes en paralelo es ft

lb6030301 =+=k La constante equivalente a los dos resortes en serie es:

1205

120321

401

6011

=

+=

+=

k

k

ftlb24=k

b) Dibujamos el diagrama de cuerpo libre para cualquier instante del movimiento y elegimos como origen la posicin de equilibrio del cuerpo. En dicha posicin la fuerza del resorte es igual al peso, de 16.1 lb, de modo que en cualquier posicin la accin del resorte tiene una magnitud de 1.1624 + y

yaay

ay

maFy

485.024

2.321.161.161.1624

=

=

=+

=

Esta ecuacin es de la forma xa 2= que corresponde al movimiento armnico simple, es decir, rec-tilneo, cuya aceleracin es proporcional a la posicin

24 16.1

y

16.1


67

con respecto al punto de equilibrio y se dirige hacia l.

Por lo tanto, el cuerpo adquiere movimiento armnico simple.

c) Como la amplitud es la distancia mxima que la partcula se aleja del origen, in30 =y , que es la longitud sealada en el enunciado. Como in12ft1 =

ft25.00 =y

El periodo T es el tiempo en que el cuerpo da una oscilacin completa:

pT

pTpi

pi

22

=

=

En donde m

kp =

24=k 16.1 0.532.2

24 48 4 30.5

m

p

= =

= = =

Entonces:

32342 pipi

==T

s907.0=T

Y la frecuencia, que es el nmero de ciclos completos por unidad de tiempo:

pi21 pT

f ==

Hz103.1=f


68

d) Como se trata de movimiento armnico simple, las ecuaciones del movimiento son:

ypptypa

ptpyv

ptyy

20

20

0

cos

sen

cos

==

=

=

que, para este caso particular, son:

34cos1234sen334cos25.0

ta

tv

ty

=

=

=

El valor de la velocidad mxima se alcanza cuando

1sen =pt , por tanto:

30max == pyv

sft732.1max =v

La aceleracin mxima corresponde a la posicin extrema, 25.0=y

)25.0(4802max == ypa

2max sft12=a


69

2.2 Movimiento curvilneo

2.2.1 Componentes cartesianas

14. La corredera A, de 5 lb de peso, se mueve dentro de la ranura conforme se eleva el brazo hori-zontal, que tiene una velocidad constante de 3 in/s. Sabiendo que cuando x = 6 in, su velocidad tiene una pendiente positiva de 1/2 y su aceleracin es hori-zontal y de 3 in/s2 dirigida hacia la derecha, determine todas la fuerzas externas que actan sobre ella en esa posicin.

Resolucin

Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la co-rredera. Las reacciones normales del brazo y de la ranura sern llamadas NB y NR respectivamente, en donde NB tendr la direccin del eje y, mientras que NR ser normal a la velocidad en el punto.

5123

2.325

123

2.325

51

=

=

=

R

R

N

N

maFx

lb0868.0=RN

+=

=

=

525

05

25

0

RB

RB

NN

NN

Fy

x

y

lb08.5=BN


70

5. Desde la orilla de un edificio de 20 m de altura, un nio arroja una piedra con una velocidad de 15 m/s, cuya pendiente es de 4/3. Sabiendo que la piedra tiene una masa de 1.5 kg y la resistencia del aire es despreciable, determine la altura mxima h sobre el suelo que alcanza la piedra, la distancia horizontal R que se aleja del edificio y la velocidad con que llega al suelo.

Resolucin

El diagrama de cuerpo libre de la piedra en cualquier instante del movimiento es el que se muestra. Elegimos un eje de referencia unilateral hacia arriba.

==

=

=

2sm81.9

81.95.1)81.9(5.1

a

a

a

maFy

Partiendo de este dato, elegimos un sistema de refe-rencia completo para plantear las ecuaciones del movimiento de la piedra.

Componentes horizontales

95315

0

00

=

==+=

=

x

xxxx

x

v

vdtavv

a

tx

dtdtvxx x9

90=

=+=

y 1.5 (9.81)

y

x 0

20m


71

Componentes verticales

( )2

0

0

281.91220

81.912

81.912

81.95415)81.9(

81.9

tty

dttyy

tv

dtdtvv

a

y

yy

y

+=

+=

=

=+=

=

Alcanza la altura mxima h cuando la componente vertical de la velocidad es nula.

81.912

81.91200

=

=

=

t

t

v y

Y esa altura es y = h

81.97220

81.972

81.914420

81.912

281.9

81.9121220

2

+=+=

+=h

m3.27=h

La piedra llega al suelo en un punto situado a una distancia R del edificio. Es decir, cuando

2

281.912200

0

tt

y

+=

=

Las races de esta ecuacin son:

138.158.3

2

1

=

=

t

t

En 58.3=t s, x =R )58.3(9=R

m3.32=R


72

2.2.2 Componentes intrnsecas

16. Un pndulo cnico de 8 kg de peso tiene una cuerda de 1 m de longitud, que forma un ngulo de 30 con la vertical. Cul es la tensin de la cuer-da? Cul es la rapidez lineal del pndulo?

Resolucin

=

=

=

30cos8

0830cos0

T

TFy

kg24.9=T

( )( )

( )8

30sen81.98

30sen81.930sen181.9

830sen

81.9830sen

2

22

2

2

=

=

=

=

=

Tv

Tv

vT

vT

maFn n

sm683.1=v

8 kg

n

y

30 T


73

17. Calcule el ngulo de peralte que debe tener la curva horizontal de una carretera para que los vehculos al transitar por ella no produzcan fuerzas de friccin sobre el pavimento. El radio de la curva es de 1000 ft y de 60 mi/h la velocidad de diseo.

Resolucin

Convertimos las mi60 h a ft

s

s

ft88s

ft304460

hmi60 =

=

Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de un vehculo en el que el pavimento slo ejerce una fuerza normal.

El sistema de referencia requiere que el eje normal se dirija hacia el centro de la curva; y elegimos otro eje perpendicular a l (el eje tangencial es perpendicular al plano del dibujo).

2

2.32sen

cos

0cos0

vPN

maF

PN

PNF

nn

z

=

=

=

=

=

Sustituyendo:

32200)88(

tan

32200)88(

cos

sen

1000)88(

2.32sen

cos

2

2

2

=

=

=

PP

N P

z

n

5.13=


74

18. Un cuerpo de 4 kg de masa se encuentra sujeto por dos cuerdas, una horizontal (AC) y otra (AB) de 0.8 m de largo, que forma un ngulo de 30 abajo de la horizontal. Determine la tensin que soportar la cuerda AB en el instante en que se corte la cuerda AC. Diga tambin cul ser la aceleracin del cuerpo.

Resolucin

2

2

2

4(9.81)sen 4

4(9.81)sen 4

4(9.81)sen 40.8

4(9.81)sen 5

n

n

Fn maT a

vT

vT

T v

=

=

=

=

=

Cuando = 30 ; 0=v

4(9.81)sen30 04(9.81)sen30

TT

=

=

1 9 .6 2 NT =

t

t

a

maFt4cos)81.9(4 =

=

Si = 30 :

2

4(9.81)cos30 44(9.81) cos30

4m8.49

s

t

t

t

a

a

a

=

=

=

2m33.9 60

sa =

n

t


75

19. Un pndulo de 4 kg de masa comienza a oscilar cuando su cuerda, de 0.8 m de longitud, forma un ngulo de 30 abajo de la horizontal, como se muestra en la figura. Cul ser la mxima rapidez que alcance? Cul, la tensin correspondiente de la cuerda?

Resolucin

Puesto que la rapidez del pndulo es variable, dibujaremos un diagrama de cuerpo libre que represente un instante arbitrario de su movimiento.

Utilizaremos un sistema de referencia intrnseco: el eje normal se dirige hacia el centro de la trayectoria circular del pndulo; y el tangencial tiene la direccin de la velocidad de ste.

t

tt

a

maF

4cos)81.9(4 ==

La mxima rapidez la alcanza cuando 0=ta , o sea,

=

=

=

900cos

0cos4

Y para hallar esa rapidez, sustituimos

dsdv

v4cos)81.9(4 =

Simplificando

dsdv

v81.91

cos =

Se puede relacionar el ngulo y el arco diferencial ds : el ngulo d es, como todo ngulo, la razn del arco al radio.

dds

dsd

8.08.0

=

=

0.8 d

ds 0.8

n

t


76

De donde:

ddv

v8.081.9

1cos =

Separando variables:

( )2

10.8cos9.81

10.8 cos9.81

10.8sen2 9.81

d vdv

d vdv

v C

=

=

= +

Si = 30 , 0=v

C=

218.0

De donde

( )

( ) ( )

2

2

max

10.8sen 0.42 9.81

1 0.4 2sen 12 9.81

0.8(9.81)(1)

v

v

v

= +

=

=

maxm2.80

sv =

2

4(9.81) sen 4n n

F ma

vTr

=

=

Para = 90 (sen 1= ), maxvv = y 8.0=r

)81.9(88.0

)81.9(8.04)81.9(4

=

+=

T

T

78.5 NT =


77

20. Por el punto A de la superficie lisa mos-trada en la figura, pasa una partcula de masa m con una rapidez vo. Diga con qu rapidez v llegar al pun-to B, si la diferencia de nivel entre A y B es h.

Resolucin

Elegimos una posicin arbitraria de la partcula, como la que se muestra en la figura, y dibujamos el diagrama de cuerpo libre.

Utilizamos un sistema de referencia intrnseco: el eje normal dirigido hacia el centro de la curva y el tangencial en direccin de la velocidad.

Como nos interesa conocer la rapidez, empleamos la ecuacin:

cos

cos

t tF madv

mg mvds

g ds vdv

=

=

=

Para poder integrar, relacionamos la longitud ds con el ngulo , como se ve en la figura:

cos

cos

dhds

dsdh

=

=

Por tanto

=

=

v

v

B

A

dvvdhg

dvvdhg

0

ds dh

N

n mg

t

h


78

ghvv

vvgh

vgh

o

v

v

22

2

22

20

2

2

0

+=

=

=

ghvv o 22 +=

Si v0 = 0, se tiene

ghv 2=

Siempre que no haya fuerza de friccin.

21. Un nio coloca una canica en la parte alta de un globo terrqueo. Diga en qu ngulo abandona el globo y se convierte en proyectil. Desprecie toda friccin.

N

n

mg


21. Un nio coloca una canica en la parte alta de un globo terrqueo. Diga en qu ngulo la canica abandona el globo y se convierte en proyectil. Des-

Resolucin

Aunque la canica est originalmente en equilibrio, ste es tan inestable que el movimiento es inminente

Dibujaremos un diagrama de cuerpo libre que represente cualquier instante del movimiento de la canica sobre la superficie del globo terrqueo.

Elegimos un sistema de referencia intrnseco, con el eje normal hacia el centro del globo y el eje tangencial en direccin de la velocidad.

Puesto que la componente tangencial de la aceleracin mide el cambio de magnitud de la velocidad, que es variable en este caso, comenzaremos con la siguiente ecuacin.

sen

t tF madv

mg m vds

=

=

Se puede relacionar el ngulo ds, ya que todo ngulo se mide con la razn del arco al radio.

rddsr

dsd

=

=

De donde:

sen

sen

sen

v dvgr d

gr d vdv

gr d vdv

=

=

=

t

Cintica de la partcula 79

la canica est originalmente en equilibrio, e el movimiento es inminente.

diagrama de cuerpo libre que represente cualquier instante del movimiento de la canica sobre la superficie del globo terrqueo.

Elegimos un sistema de referencia intrnseco, con el eje normal hacia el centro del globo y el eje

e la velocidad.

Puesto que la componente tangencial de la acelera-cin mide el cambio de magnitud de la velocidad, que

omenzaremos con la si-

y el arco diferencial , ya que todo ngulo se mide con la razn del arco


80

Cvgr +=2

cos2

Como v = 0 cuando = 0 (cos = 1)

)cos1(2

cos2

2cos

)1(

2

2

2

=

=

=

=

grv

grgrv

grvgr

Cgr

Utilizando la otra ecuacin cintica:

r

vmNmg

maF nn2

cos =

=

Cuando la canica est a punto de separarse del globo,

N = 0 y =

r

vmmg

2

cos =

Del resultado anterior:

32

cos

2cos3cos22cos

)cos1(2cos

)cos1(2cos

=

=

=

=

=

grgr

r

grg

= 2.48


81

22. El aro liso de la figura, cuyo radio es de 0.5 m, gira con rapidez angular constante alrededor de un eje vertical. Calcule dicha rapidez angular, sabien-do que el collarn, aunque puede deslizarse libremente sobre el aro, mantiene fija su posicin relativa a l.

Resolucin

Dibujamos el diagrama de cuerpo libre del collarn.

Como la trayectoria que describe es una circun-ferencia en el plano horizontal, el eje normal, que se dirige hacia el centro de la trayectoria, es tambin horizontal.

El eje tangencial es perpendicular al plano del dibujo y no aparece en el diagrama.

2

2

2

0sen30 0

12

cos309.81

322 9.81

139.81

.

.

.

Z

n n

F

N P

N P

F maPN r

PP r

r

=

=

=

=

=

=

=

El radio de la trayectoria es

325.02

35.030cos5.0 ===r

30

N

P

n

z

0.5

r

30


82

De donde

25.081.9

)325.0(81.913

.

.

2

2

=

=

rad6.26s

.

=

83

3. TRABAJO Y ENERGA E IMPULSO Y CANTIDAD DE

MOVIMIENTO PARA LA PARTCULA

3.1 Trabajo y energa cintica

1. Con una fuerza E de 20 kg, inclinada 30, se

empuja un cuerpo de 50 kg sobre una superficie ho-

rizontal, en lnea recta, a lo largo de 10 m. Los coefi-

cientes de friccin esttica y cintica son 0.3 y 0.2,

respectivamente. Calcule el trabajo que realizan la

fuerza E, el peso, la componente normal de la reac-

cin de la superficie y la friccin durante el movi-

miento descrito.

Resolucin

Mediante el diagrama de cuerpo libre investigaremos

las magnitudes de las fuerzas cuyos trabajos desea-

mos conocer.

60;02

12050

0

NN

Fy

Por tanto 122.0 NFr

Como las cuatro fuerzas son constantes, el trabajo se

puede calcular mediante la expresin:

sFU cos

en donde es el ngulo que la fuerza forma con el

desplazamiento, que, en este caso, es horizontal y

hacia la derecha.

P = 50

E = 20

30

N

Fr = 0.2 N

x

y

Trabajo e impulso

84

102

3201030cos20EU

mkg2.173EU

10270cos50PU

1090cos50NU

0NU

1011210180cos12FrU

mkg120FrU

El trabajo es un escalar que puede ser positivo, nega-

tivo o nulo.

0PU

Trabajo e Impulso

85

2. Una fuerza F de 500 N empuja un cuerpo de

40 kg de masa que reposa en una superficie horizon-

tal. Sabiendo que el cuerpo se desplaza en lnea recta

y que los coeficientes de friccin esttica y cintica

entre el cuerpo y la superficie son 0.30 y 0.25, respec-

tivamente, calcule la velocidad del cuerpo cuando se

haya desplazado 8 m.

Resolucin

Investigaremos las magnitudes de las fuerzas externas

que actan sobre el cuerpo de 40 kg.

)81.9(40;040

0

NgN

Fy

Por tanto:

1.98

81.9)40(25.0

Fr

NkFr

Los trabajos que realizan las fuerzas son:

0NP UU

(pues son perpendiculares al desplazamiento)

8.784)8(1.98

4000)8(500

Fr

F

U

U

La frmula del trabajo y la energa cintica establece

que:

20

3215

0)40(2

13215

2

18.7844000

2

2

1

2

2

v

v

vvm

TU

sm68.12v

P = 40 g

F = 500

Fr = 0.25 N

N

x

y

Trabajo e impulso

86

3. El collarn de la figura, de 4 lb de peso, se

suelta desde el punto A de la gua lisa de la figura y

llega al punto B. Determine el trabajo que realiza su

peso durante ese movimiento y diga con qu rapidez

llega el collarn a B.

Resolucin

Primer procedimiento

Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre del collarn

en una posicin cualquiera de su trayectoria.

El desplazamiento tiene la direccin del eje tan-

gencial.

B

AdsU

dsPU

cos4

cos2

1

Como el ngulo , durante el movimiento, va de

-90 90, integraremos sustituyndolo por el ngulo , que es el complemento de y siempre

crece.

180

0sen4 dsU

Tomaremos un desplazamiento diferencial y lo rela-

cionaremos con .

ddsds

d 6.0;6.0

180

0sen6.04 dU

1)1(4.2

0cos180cos4.2

U

U

N

t

N

t

4

ds d

0.6

4

ftlb8.4U

Trabajo e Impulso

87

Segundo procedimiento

Como el trabajo es una fuerza conservativa, es decir,

el trabajo que realiza es independiente de la trayec-

toria que siga el cuerpo, se puede calcular multipli-

cando su magnitud por el cambio de nivel de la par-

tcula (vid. Prob. 4)

2.14U

hPU

ftlb8.4U

Trabajo e impulso

88

4. Una partcula de masa m pasa por A con

una rapidez vo. Sabiendo que la superficie es lisa, de-

termine, en funcin de la altura h, el trabajo del peso

y la rapidez v con que pasa por el punto B.

Resolucin

En cualquier posicin, las nicas fuerzas que actan

sobre la partcula son el peso y una reaccin normal.

Esta ltima no trabaja precisamente por ser normal al

desplazamiento. es el ngulo que el peso forma con

el desplazamiento.

B

A

B

AdsmgdsmgU coscos

En la figura relacionaremos con un desplaza-

miento diferencial.

B

A

B

Adhmgds

ds

dhmgU

ds

dhcos

mghU

Utilizando la frmula del trabajo y la energa cintica

tenemos, tenemos:

ghvv

vvmmgh

TU

Serie de Ejercicios Resueltos de Dinamica - Juan Ocariz Castelazo

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