Ejercicios Resueltos de Dinamica-Vibraciones

UNIV ERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA

FACULTAD : INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL

ESCUELA : INGENIERÍA CIVIL ASIGNATURA : DINÁMICA (IC-244)

FECHA : 06 de Agosto - 2011 RESPONSABLE: ING. CRISTIAN CASTRO P.

Dinámica (IC-244) 1

EJERCICIOS DE MECÁNICA VIBRACIONES Y

DINÁMICA ESTRUCTURAL

PREGUNTA 01: vibración libre no amortiguada

Estudiar el caso cuando dos elementos rígidamente unidos apoyan una masa M en las vigas

“AB” y “CD” como se muestran en las figuras adjuntas que tienen propiedades mecánicas

“EI”constante, donde E = 2039000 Kgf/cm2,I= 2864 cm4 . El resorte tiene K = 2000 Kgf/cm. si

el peso es W = 2500 Kgf, encontrar para cada una de las alternativas mostradas la rigidez del

sistema y la frecuencia natural fundamental y el período. Comparar y discutir los resultados

de ambos casos. Considerar L = 2 ,0 m.

Solución: Alternativa I:

LAB = 3.0L = 6m = 600 cm LCD = 2.0L = 4m = 400 cm

La rigidez en el medio de la viga es:

K = 48EI L3

K1 = 48EI K1= 48(2039000) (2864)= 1297.7102 Kgf/cm L3 6003

A

EI EI

M

1.5L

L

1.0L

L

E

B C

D

EI EI

1.5L

L

1.0L

L

B C

D

A W






K2 = 48EI K2 = 48(2039000) (2864)= 4379.772 Kgf/cm L3 4003

Keq= K1 + K2 = 1297.7102 + 4379.772 = 5677.4822 Kgf/cm

ωn= = = 4.72 rad/seg

T = 2π= 1.33 seg ω

Alternativa II Cálculo de la rigidez equivalente: ≅

= + = +

= 1478.996 kgf/cm

Wn = = = 2.4091 rad/seg

T = = 2.6081 seg.

PREGUNTA N° 02: vibración libre con amortiguamiento viscoso

Se ha encontrado que un martinete transmite choques inconvenientes al terreno. Para

eliminarlos monta la máquina sobre resortes. Además para evitar la vibración indebida se

introduce un amortiguamiento.

Datos:

W1 = 2000 lb

W2 = 30000 lb

h = 8 lb

K = 250000 lb/ft

M

Ke

K

M

K2 K1

E

K






β = 5,04%

a) Encontrar el desplazamiento máximo del sistema.

b) Encontrar el desplazamiento después de 3 ciclos completos a partir de producido el

desplazamiento máximo.

Figura 12:

Solución:

Por equilibrio tenemos:

i) Primero con ω2:

Equilibrio estático:

ω2 = 2KX + c

30000 lb= 2(K = 250000 lb/ft)X+ C

Luego:

C = 2ω0βm ⇒ 2β. .

C = 2(0,0504). .

∴C = 2175,5959

ii) Reemplazando tenemos:

30000 = 5000000X + 62175,5959

+ 229,82209X = 13,7893

X = e-//229,8221.dt.[∥ e//229,8221.dt.(13,78931)dt+ C]

X =e229,8221.dt. [//e229,8221.dt. (13,78931) dt +C

⇒ X = + e-229,8221tK






iii) Condiciones iniciales:

Para x = 0 t = 0

⇒ K =

K = −0,059

Luego:

X = + e-229,8221t

X = 0,06

∴X = 0,06

iv) Igualando EMiyEMt:

EMi= EMt

(8) + (2k) ( + C = - ( ) + (2K)(x + + c ( +

Reemplazando:

∴El desplazamiento máximo será:

= X + δ

Parte b):

Utilizando la fórmula de “decremento logarítmico”podemos obtener X3:

ln = =

ln =0,95 ⟹ = ∴ =

PREGUNTA N° 03: Sistemas de varios grados de libertad

El sistema estructural mostrado en la figura corresponde a una edificación aporticada

construida en concreto armado. Las vigas de la edificación tiene 0.35 m. de altura por 0.30 m.

de ancho y, las columnas son cuadradas de 0.35 m de lado.

Las masas de las estructuras se estiman en 200 Kg/m2 en la losa del primer nivel y de 100

Kg/m2 en la cubierta. La estructura cuenta con un módulo de elasticidad E = 20000 MPa. Es

de interés determinar las frecuencias, los modos de vibración del edificio y la respuesta

dinámica de la estructura cuando vibra libremente en la dirección X.

Se pide obtener las matrices de masa y rigidez, la ecuación dinámica del sistema, el

polinomio característico, los valores propios, las frecuencias y períodos correspondientes.

Calcular los modos de vibración y el sistema homogéneo de ecuaciones. Así mismo, graficar

las formas de los modos de vibrar.






Nota:Resolver considerando el modelo dinámico que cumpla la condición de que la masa se concentra a nivel de

los pisos y las vigas son infinitamente rígidos respecto a las columnas. Considerar K = 12EI=L3para cada columna.

Solución:

i) Idealización de la estructura:

Figura 3:

ii) Determinación de las masas:

m1= 200 Kg/m2. (8,0m x 6,0 m)

m1= 9,6Tn






m2= 100 Kg/m2.(8,0 m x 6,0 m)

m2= 4,8 Tn

iii) Determinación de la rigidez:

Para la columna:

K =

Suponer que la rigidez de las vigas es:

Iviga= ∞

K1= Ka+ Kb+ Kc

K2= Kd+ Ke+ Kf

K1=3

K1= 14068, 36KN/m

K2= 33347, 22KN/m

iv) Planteamiento de las ecuaciones de movimiento:

+ =

Reordenando la expresión matricial a:

[(K − ω2M)] z= 0

- = ⟹

v) Determinación de los Períodos:

Det = 0

46,08 – 54,7728 + 469,14069

Eligen valores:

= 929,15

= 10957,31

Períodos:

T1= 0,206 s. (Modo 1)

T2= 0,060 s. (Modo 2)






Frecuencia:

(f = 1/T =

f1= 4,85 c.p.s.

f1= 16,66 c.p.s.

vi) Determinación de los modos de vibración:

[K − ω2M] z= 0

Primer modo (ω1, T1):

Figura 4:

Segundo modo (ω1, T1) :

Figura 5:

PREGUNTA N° 04: vibración forzada amortiguada

Determinar la rigidez equivalente y la ecuación del movimiento forzado de la masa de la

figura adjunta:






SOLUCIÓN:

Las deformaciones de la viga causada por las fuerzas: F, mg, c , kx 60 pueden obtener

mediante la fórmula.

Y = (3L –X)… para cualquier punto de la viga

a) Para F = senwt

=

= =

b) Para W = mg:

=

=

c) Para C =

=






d) Para el resorte: KX

=

=

∴ la rigidez equivalente es: + + +

= + - -

= -

Para hallar su ecuación: F = F0Senwt

= I.d.

K ( ) + C Y3 (L) – (Fosenwt).L = m ( )

- - + = 0

∴ Para oscilaciones pequeñas: = 2.∅, = , = L.

- (L. ) - + = 0

- - ∅ + = 0

+

-






PREGUNTA Nº 06

Para el siguiente esquema mecánico – estructural, que se muestra en la figura adjunta

encontrar la rigidez K, el periodo T y el desplazamiento si = 30 cm/s en t=0.

Asimismo, indicar que ocurriría si la rigidez de la columna no fuera infinita.

Solución:

Para encontrar K se puede aplicar la definición de la rigidez.

a)

b)

Haciendo = 0

P (1) = 3000(3) P = 9000 kg = K

M = = = 8.15 = = = 33.2






T = = 0.19 s = 5.29

= = 0.9 cm ya que = 1

Si la rigidez de la columna fuera infinita tendríamos lo siguiente

= 0 =

K(a) = F(2a) = + = 1

F = K/2 K =

= +

= + = 1- Ya que el nudo permanece rígido antes y después de la carga

T = = =






PREGUNTA Nº 11

En una viga articulada en dos puntos, de masa por unidad de longitud y modulo de rigidez a

fricción constante, determinar las ecuaciones del movimiento, las tres frecuencias más bajas

y los tres modos de vibración asociadas a ellas co0nstrado la masa en tres puntos. (Puede

utilizar los coeficientes de influencias para determinar las ecuaciones diferenciales de

movimiento

Solución

En una viga articulada en dos puntos, de masa por unidad de longitud y modulo de rigidez a

flexión constante, determinar las ecuaciones del movimiento, las tres frecuencias mas bajas y

los tres modos de vibración asociados a ellas concentrando la masa en tres puntos. (puede

utilizar los coeficientes de influencia para determinar las ecuaciones diferenciales de

movimiento)

Solución:

ECUACION MATRICIAL DE FLEXIÓN EN VIGAS

Coeficientes de influencia.- El planteo del problema de flexión de vigas en forma matricial

constituye en esencia un método practico de resolver la ecuación integral de forma

aproximada.

= + u = (x,t) Ecuación diferencial de flexión de vigas

Dónde:

: la masa por unidad de longitud

EI: módulo de rigidez a la flexión

Q: Carga por unidad de longitud

L/2 L/2 L/2 L/2

2L






V: Fuerza cortante

M: Momento flector

X: Deflexión vertical a partir de la posición de equilibrio

X (y, t) = dn Ecuación integral de flexión de vigas

La función de influencia de flexibilidad (y, n), indica la deflexión vertical hacia abajo en el

punto y cuando se aplica una fuerza unidad vertical hacia abajo en el punto n.

Se tiene por el principio de Reciprocidad de Maxwell, que estas funciones tienen la propiedad

(y, n) = (n, y)

El problema consiste en reducir un sistema de infinitos grados de libertad a uno de un

número finito de grados de ellos y que nos proporciona para las frecuencias y modos unos

valores suficientemente aproximados.

Se supone la viga dividida en n tramos y las fuerzas directamente aplicadas y de inercia de

cada tramo concentrada en los puntos medios de estos puntos característicos).

Se llama, coeficiente de influencia de flexibilidad a la deflexión vertical hacia abajo en la

posición i cuando se aplica una fuerza unidad vertical hacia abajo en j.

= ( - )∆ + ( - )∆ + …… + ( - )∆

= ( - )∆ + ( - )∆ + …… + ( - )∆

= ( - )∆ + ( - )∆ + …… + ( - )∆

En forma matricial:

= x x

Simbólicamente:

=

Llamando ∆ = ∆ , a la resultante de la fuerzas en el tramo i y = ∆ a la masa

total del tramo i, tenemos:

=






Pre multiplicado por la inversa dela matriz de flexibilidad, matriz que de llama rigidez:

= = , queda:

= -

O bien:

+ = Forma normal de expresar la ecuación matricial.

Apartir de ella se estudia el movimiento vibratorio, como se ha hecho para el caso de un

número finito de grados de libertad. Para vibraciones libre, tenemos:

+ =0

Supuesto:

= sen ( t + )

- + =0

O bien:

= Ecuaciopn matricial entre los modos y los autovalores

Permite determinar los modos y frecuencias naturales.

Dónde:

Columna modal = /

Matriz dinámica = =

En el problema tenemos:

=

= =

= =

EI

L

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

EI

LEI

L

EI

L

EI

L

luenciadeiacoeficiencdematrisEl

333

333

333

96

9

96

11

96

796

11

96

16

96

1196

7

96

11

96

9

inf






=

= =

Con:

=

Obtenemos:

+ + = 0

+ + = 0

+ + = 0

=0

= 16+11 = 6.08

=2 = 96

= 16-11 = 432

Modos naturales:

PREGUNTA Nº 12






El desplazamiento x(m) de una masa que experimenta una oscilación amortiguada varia con el

tiempo t(s) según el modelo:

Al realizar mediciones se obtiene un desplazamiento X1 de 0.0162 m en un instante t1 de 0.4 s y

un desplazamiento en X2 de -0.0026 m en un instante de t2 de 0.83 s. Los valores de X1 y X2

están próximos a los desplazamiento máximos y mínimos, respectivamente.

Usando estos valores en el modelo para X, determinar

SOLUCIÓN

Tenemos los siguientes datos

;

;

De la ecuación

… I

Como nos dice que es periódico

… II

II en I

Es máximo si

Es máximo si

… )

… )






Ahora dividimos )

Aplicamos logaritmo neperiano

Para

Para “w”

PREGUNTA Nº 13

Las ecuaciones de movimiento de resistencia resistencia-masa-amortiguador que se muestra

en la figura adjunta están dadas por:

02)()()(

0)()()(

1212

2

1

2

2

2121

2

1

2

1

xxkt

x

t

xc

t

xm

xxkt

x

t

xc

t

xm






Escribiendo:

t

xx

t

xx 2

41

3 ;

Las ecuaciones se pueden volver a escribir en las formas:

De donde:

igual a λx, se obtiene el problema de eigenvalores A.X=λX; A=B -2.C

Empleando cualquier método, obtener la ecuación característico de la matriz A cuando m1=

4m2=0.2slugs, K=50 lb/pie y c=2lb.s/pie .Luego, calcular los eigenvalores de λ, de la matriz A.

Solución:

Sabemos que:

Reemplazamos valores:

Y

Operando los cálculos de matrices (A=B-1.C)






A= * =

De la ecuación:

A.X= λ.X

= λ.

λ =

Calculamos su eigenvalores de λ:

=

Problema Nº 14

Encontrar la matriz de rigidez del sistema mostrado en la figura, determinar los

periodos sistema dinámico.

Encontrar los eigenvalores y los eigenvectores del sistema dinámico para los siguientes

datos.






Datos:

= 500kg = 7000 kg

= 4000kg/cm. = 4000

kg/cm.

= 4000kg/cm

Viga: I = 6481 cm4

É = 2039000 kg/cm2

L = 4.0 m

SOLUCIÓN

Representamos en modelo dinámico

i) Hallamos Keq y Kv

= = = 2000 kg/cm

= = = 991106925

kg/cm

ii) Realizamos las ecuaciones simultáneas.

Para : - + ( =

Para : - ( - =

Hacemos sistema de Ecuación Diferencial.

+ ( + ) - = 0

- + ( + ) = 0

iii) Realizamos los motrices

+ =

Matriz de Rigidez

Primera respuesta:

m2

m1

Kv

Keq

K3

X3

X2

X1

m2

1/2 1/2

EI EI

K1

K2

K3






Matriz de Rigidez

= ⟹5.94665≫

iv) Hallamos polinomio característico.

= =

⟹ P = + 1388981.294 + 16350938.08

= -1388969.5217

=- 11.7719 Dónde: =

v) Hallamos periodos:

= 0.3726 rad/s ⟹ = 16.895 Seg.

= 0.343 rad/s ⟹ = 18.318 seg.

PROBLEMA Nº15

K3

30 m

K2

30 m

30 m K1

5.0 m 5.0 m 5.0 m

SOLUCION

Q1

P1 P1

Q2

P2

Q1

P3 W3

W1

W2






i) Hallamos valores

a) Primero para las masas sabemos

m = = >W1 = 2P1 + q1 (15) = 2x104+5x103x15 = 95000 kgF

⇒ m1 = = 9.6840 Tn

m2 = ⇒ w2 = p2 + q2 (15) = 8000 + 5000 x 15 = 83000 kg F

⇒ m2 = = 8.4608 Tn

m3 = ⇒ w3 = p3 + q3 (15) = 5000 + 3000 x 5 = 2000 kg F

⇒ m1 = = 2.0387 Tn

b) Ahora para los constantes de rigidez tenemos: K=

K1 = 2x =

⇒ m1 = 5448746.977 Tn/m

K2 = 4x =

⇒ K2= 28999.1111 Tn/m

K3 = 2x =

⇒ K3 = 9062.2222 Tn/m

ii) Matriz masa






iii) Matriz rigidez

=

iv) Ecuación dinámica

+

v) Polinomio característica

Sea = =

⇒ P = λ3 - 574795.040 λ2 + 5075389777.51 λ – 1.3964 = 0

vi) Valores propios

λ1 = 2.751416

λ2= 8969.8907 ⇒ Donde = 2 λ3= 565825.1494

vii) Hallando frecuencias y periodos

w1 = 1.658709 ⇒ T1 = 3.7879 seg.

w2 = 94.7095 rad/s ⇒ T2 = 6.6341 seg.

w3 = 752.2135 rad/s ⇒ T3 = 8.3529 seg.






viii) Formas de modo: con la expresión (K- 2 M)Z = O

*) W1 = 1.658709 rad/s

Z11 = 1.0 Primera forma Z21 = 1.8889

De modo Z1 Z31 = -1.4957

**) W2 = 94.7095 rad/s

Z11 = 1.0

Segunda forma Z21 = 1.8589 De modo Z2 Z31 = -1.8262

***) W3 = 752.2135 rad/s

Z11 = 1.0 Tercera forma Z21 = 0.0588

De modo Z3 Z31 = -0.00465

0.1

1.0

1.8889

= 1.4957

1.0

- 1.8589

- 1.8262

- 0.0588

- 0.00465






PROBLEMA 16:

Se considera un sistema resorte-masa mostrado en la figura. El sistema consta de dos masas

2m y m, que están conectados a un marco fijo y entre sí por resortes lineales de rigidez 2k y k

como se muestra. Se consideran pequeñas vibraciones, de modo que la rotación de resortes

es insignificante.

Así, para los desplazamientos en las cuatro direcciones de coordenadas, las fuerzas del

resorte son tensiones iguales a k veces la extensión del resorte o compresiones iguales a k

veces la compresión del resorte.

Si denota la aceleración ( ) en cada dirección entonces a partir de la Segunda

Ley de Newton, obtener las ecuaciones de movimiento. Una frecuencia natural ω para el

sistema de la figura, es aquella para la que cada desplazamiento se puede escribir como:

C Cos (ω t + Φ)

Donde C es una amplitud, t es el tiempo y Φ es un Angulo de fase. Entonces, se observa las

aceleraciones son iguales a (- ). Se pide:

Expresar las ecuaciones de movimiento en forma matricial.

Obtener una solución no trivial para las componentes .

Proporcionar las frecuencias naturales del sistema.

2k 2m 2k m k

2k k






SOLUCION:

-2k -2k ( ) =2m

-2k -2k =2m

-4k + =2m

2m +4k -2k =0-------------- (1)

-2k =2m

2m +2k =0----------------------- (2)

2k ( )- =m

2k -2k =m

2k - =m

m +3k -2k =0-------------- (3)

-k =m

m +k =0----------------------- (4)

Ordenamos las ecuaciones:

2m +4k -2k =0

2m +2k =0

2m 2k

2m

2k ( = )

2k

m

2k ( )

k

k






m +3k -2k =0

m +k =0

Hacemos un cambio de variable en la ecuación del movimiento matricial para facilitar el

trabajo:

, , ,

+

La matriz dinámica es:

=0

Hallamos la MATRIZ:

=0

Hacemos: =λ

= 0

=0

4 -28 +60 -52

=1

=1

=1

=4






Las frecuencias son:

= → rad/s

= → rad/s

= → rad/s

= → 2 rad/s

Los periodos (T=2π )

=2π

=2π

=2π

=4π






PREGUNTA 17:

Modelar el sistema mostrado en las figura en la figura adjunta considerando los principios de

vibraciones mecánicas y encontrar la matriz de rigidez [K] del sistema. Asimismo,

determinar los periodos sistema dinámico.

Para resolver el problema deberá obtener los eigen valores y los periodos sistema dinámico

para los siguientes datos:

7000Kg 10000Kg

3500Kg 4000Kg

VIGA"A":

3671 2039000 ⁄ 3.0m→

VIGA"B":

9923 2039000Kg⁄ 6.0

Las vigas solo están apoyadas y se unen a las masas y resortes al centro de claros.

VIGA"A

"

VIGA"A

":

VIGA"

B":

VIGA"B






SOLUCION:

El sistema toma la forma siguiente:

Donde:

1. Hallamos respectivos valores:

Primero para los masas sabemos: =

=713.5576 → 0.7136Tn

/g=1019.3680 → 1.0194Tn

Ahora para las constantes de rigidez tenemos:

3( )=3( )

83.1685Tn/m

48( ) =48( )

449.622Tn/m

Ξ






Hallando Matriz masa:

[M]=

3. Matriz rigidez:

= =

4. Ecuación dinámica:

=

=

5. Hallando periodos:

Sea:

=

Hallamos valores propios (eigenvalores) de A:

Donde →

Tenemos:

T =

: .

6. Hallando eigenvectores:

Para =19.3670rad/s

= =

Para =15.8120rad/s

= =

PROBLEMA 18:

Determinar la frecuencia natural y el periodo del sistema mostrado en la figura adjunta, el

cual consiste en un anunciado de p=2000N, el cual esta sostenido por un viga en voladizo a

través de un cable. La viga, con un extremo empotrado, cuenta con una altura h=0.20m, y un

ancho b=0.20m, un modulo de elasticidad E=1.8* MPa y una longitud L=1m. El cable tiene

un diámetro de 0.02m y cuenta con un modulo de elasticidad E=2.1* MPa y una longitud

L=0.30m.

375.0803

1195.809

2

=19.3670rad/s

=34.5805rad/s

=0.3244s

=0.1817s






Ecuación Dinámica:

m + K = 0

SOLUCION:

Para determinar el periodo (T) y la frecuencia (f) es necesario calcular la Rigidez (k) y

la masa (m).

1._ Construcción de un modelo dinámico de 1 g d l.

L=1.0m

X

X Y Y

ANUNCIO

0.30m






Modelo

dinámico:

2._Determinacion de las propiedades de rigidez (k) y de masa (m).

m

m

Sistema en

serie:

= +

m

K viga

K cable m

m

Ξ

m

K cable

Modelo real Idealización del cable

y del anuncio






Calculo de la rigidez de la viga ( ):

І= = = 1.3333*

E =1.80 KN/m •

Calculo de la rigidez del cable ( ):

Rigidez equivalente:

=6971.7KN/m

Calculo de la maza (m):

m = = =200Kg

L

K

K=

A= =3.1416*

E=2.1* MPa

L=0.30m

K=219911.50KN/m

P L

L Δ= → KΔ=P → K= = → K=

0==

Δ






3._Determinacion de la frecuencia natural (ω) o (angular)

ω= ω=187rad/s

4._Deterninacion del periodo natural (T):

T=

Tenemos la frecuencia:

F= =30cps (Hertz)

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