UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALSIMN RODRIGUEZUNESRNCLEO SAN CARLOSSAN CARLOS ESTADO COJEDES

FACILITADOR PARTICIPANTESProf. Germn Noda Ery Villalonga 21.135.435 Williams Herrera 20.951.790Isvianky Flores 20.949.574

SAN CARLOS, AGOSTO DE 2013NDICEPg.

INTRODUCCIN3

1.- MATRIZ INVERSA4

2.- OPERACIONES COMBINADAS DE MATRICES8

3.- DEMOSTRACIONES (ANILLOS)18

CONCLUSIONES21

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS23

INTRODUCCINUna matriz es un arreglo bidimensional de nmeros, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicacin lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teora de matrices.Su origen es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mgicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mgico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemtico chino que proviene del ao 300 a. C. a 200 a. C., Nueve captulos sobre el Arte de las matemticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del mtodo de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultneas. En el captulo sptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareci por primera vez, dos mil aos antes de su publicacin por el matemtico japons Seki Kwa en 1683 y el matemtico alemn Gottfried Leibniz en 1693.Las matrices se utilizan para mltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este ltimo caso las matrices desempean el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que tambin las hace un concepto clave en el campo del lgebra lineal.

1.- MATRIZ INVERSA1.- Calcular por el mtodo de Gauss la matriz inversa de:

1.Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2.Utilizar el mtodo Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A-1.F2- F1F3+ F2F2- F3F1+ F2(-1) F2La matriz inversa es:

2.- Calcular por el mtodo de Gauss la matriz inversa de:

1.Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2. Utilizar el mtodo Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A-1.

3.- Hallar por determinantes la matriz inversa de:

4.- Para qu valores dexla matrizno admite matriz inversa?

Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A-15.- Para qu valores dexla matrizno admite matriz inversa?

Parax = 0la matriz A no tiene inversa.6.- Calcular la matriz inversa de:

1.Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2.Utilizar el mtodo Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A-1.

2.- OPERACIONES COMBINADAS DE MATRICES1.- Dadas las matrices:

Calcular:A + B;A - B;A x B;B x A;At.

2.- 3.- 4.- Sean

a)Qu clase de matrices son?b)Calcular:-A-B+C.A+B-C.3A+C/2.c)Calcular:(AB) /C.d) Calcular la inversa deA(A-1) y comprobar el resultado.Resolucin:a)Las tres matrices son cuadradas y de orden tres.Asu vez,Bes una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, yCes antisimtrica porque los elementos simtricos son opuestos entre s.

b)

c)Puesto que (AB) /C=ABC-1, calcularemos primero la inversa deCy luego haremos el producto.

Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,

Por lo tanto, la matriz inversa deCes:

Acontinuacin, se calcula el producto de las matricesAyB,

Por ltimo, calculamos (AB)C-1.

=Sacando factor comn 1/3, el resultado puede escribirse como:d) Primero se construye la matrizM= (AI) y luego se va desarrollando por Gauss. As pues:

Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene

. Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,.Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda deM, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,

As pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor comn 1/78 se puede escribir como:

Para comprobar el resultado, la matriz inversa deAoA-1, tiene que cumplirAA-1=I.Procedamos a la comprobacin:7.-6.-5.-

10.-9.-8.-

3.- DEMOSTRACIONES (ANILLOS)Dada una matrizse consideran los siguientes subconjuntos:

Se pide:1.Analizar sies un anillo.2.Analizar sies un grupo.3.Si esy , hallary.Resolucin1.Sabemos quees un anillo y adems. Veamos sies subanillo decon lo cual estar demostrado que es anillo. Usaremos la conocida caracterizacin de subanillos.(a) Como, se verificaes decir,.(b) Sean, entonces:

(c) Sean, entonces:

En consecuencia,es un anillo.2.Sabemos que el conjunto dede las matrices cuadradas de ordeny con determinante no nulo es grupo con la operacin producto usual (grupo lineal). Como, para demostrar quees grupo bastar demostrar que es un subgrupo del grupo lineal. Usaremos la conocida caracterizacin de subgrupos.(a) Comosiendoregular, se verificaes decir,.(b) Sean. Entonceses invertible y, por tanto

Como,es invertible y. Entonces

Dado queyson invertibles, tambin lo es el producto. Hemos demostrado que. Por tanto,es subgrupo dey como consecuencia es grupo.3.Sie imponiendo:

Resolviendo obtenemos las soluciones:

Es decir:(Matrices escalares). Las matrices deson las deque adems son invertibles, es decir,.

CONCLUSIONESUnamatrizes un arreglo bidimensional de nmeros (llamadosentradasde la matriz) ordenados enfilas(orenglones) ycolumnas, donde una fila es cada una de las lneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las lneas verticales. A una matriz connfilas ymcolumnas se le denomina matrizn-por-m(escrito ) donde. El conjunto de las matrices de tamaose representa como, dondees elcampoal cual pertenecen las entradas. El tamao de una matriz siempre se da con el nmero de filas primero y el nmero de columnas despus. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamao y los mismos elementos en las mismas posiciones.A la entrada de una matriz que se encuentra en la filasima y la columnasima se le llama entradao entrada-simo de la matriz. En estas expresiones tambin se consideran primero las filas y despus las columnas.Casi siempre se denotan a las matrices con letras maysculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matrizde tamaoque se encuentra en la filasima y la columnasima se le denota como , dondey. Cuando se va a representar explcitamente una entrada la cual est indexada con uno uncon dos cifras se introduce una coma entre el ndice de filas y de columnas. As por ejemplo, la entrada que est en la primera fila y la segunda columna de la matrizde tamaose representa comomientras que la entrada que est en la fila nmero 23 y la columna 100 se representa como.Adems de utilizar letras maysculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemticos. Ases una matriz, mientras quees unescalaren esa notacin. Sin embargo, sta notacin generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer sta distincin tipogrfica con facilidad. En otras notaciones, se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.Otra definicin, muy usada en la solucin desistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Unvector filaovector renglnes cualquier matriz de tamaomientras que unvector columnaes cualquier matriz de tamao.A las matrices que tienen el mismo nmero de filas que de columnas,, se les llamamatrices cuadradasy el conjunto se denotao alternativamente.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICASBrissiaud, R. (1993). El aprendizaje del clculo. Bogot, Colombia: Visor.Castro, E., Rico, L. y Castro, E. (1987). Nmeros y operaciones. Madrid: Sntesis.Gimnez, J. y Girondo, L. (1993). Clculo en la escuela. Reflexiones y propuestas. Barcelona: Gra.Gmez, B. (1988). Numeracin y clculo. Madrid: Sntesis.Martnez, J. (1991). Numeracin y operaciones bsicas en la educacin primaria. Caracas: Editorial Escuela Venezolana.Maza, C. (1991). Multiplicacin y divisin. A travs de la resolucin de problemas. Bogot, Colombia: Visor.

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