Matrices
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Matrices
Prof. Kyria A. Pérez
Estándares de contenido y expectativas
• N.NS.9.1.1 Representa datos
categorizados en dos variables en una
matriz y rotula las filas y columnas.
Interpreta el significado de una entrada
particular de una matriz en términos de
los contextos. Utiliza matrices para
analizar datos. Reconoce las matrices
como sistemas que tienen algunas
propiedades de los números reales.
Estándares de contenido y expectativas
• N.OE.9.1.2 Desarrolla las propiedades
de suma de matrices, suma y resta
matrices para resolver problemas.
• A.PR.9.2.1 Verifica las propiedades de
la multiplicación de una matriz por un
escalar y utiliza estas propiedades para
resolver problemas.
Objetivos particulares del tema
• Representar datos de dos variables en una
matriz y rotular las filas y columnas.
• Utilizar las matrices para analizar datos.
• Desarrollar las propiedades de suma de
matrices.
• Sumar y restar matrices para resolver
problemas.
• Verificar las propiedades dela multiplicación de
una matriz por un escalar y utilizar estas
propiedades para resolver problemas.
Definición de Matriz
• Se llama MATRIZ a todo cuadro de números
distribuidos en filas y columnas. Las matrices
aparecen por primera vez hacia el año 1850,
introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial
de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton
en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación
matricial como una forma abreviada de escribir un
sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas.
Definición de Matriz
• Los términos horizontales son las filas de la
matriz y los verticales son sus columnas. Una
matriz con m filas y n columnas se denomina
matriz m por n, o matriz m ð n.
• Las matrices se denotarán usualmente por
letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de
las mismas por minúsculas, a, b, ...
• Un elemento genérico que ocupe la fila i y la
columna j se escribe aij . Si el elemento
genérico aparece entre paréntesis también
representa a toda la matriz : A = (aij)
Definición de Matriz
• Ejemplo:
donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus
Definición de Matriz
• Orden de la matriz = El número de filas y
columnas de una matriz determina el orden de
la matriz. El orden de la matriz está
determinado por un par de números naturales;
m y n.
Definición de Matriz
• Las filas son los números dispuestos en m
horizontales. En el ejemplo, la primera fila
estaría formada por los números [ 1 2 3 ].
• Las columnas son los números dispuestos en n
verticales. En el ejemplo, la primera columna
estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].
• Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de
números dispuestos en m filas y n columnas.
• Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una
matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz
contiene 4 filas y 3 columnas.
Clases de Matrices
Clases de Matrices
Clases de Matrices
Clases de Matrices
• Matrices cuadradas: Una matriz cuadrada es
la que tiene el mismo número de filas que de
columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð
n es de orden n y se denomina matriz n-
cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices
Entonces, A y B son matrices cuadradas de
orden 3 y 2 respectivamente
Ejercicios
• Clasifique las siguientes matrices:
C =
Ejercicios
• Clasifique las siguientes matrices:
D =
Operaciones con matrices
• Suma: Dadas dos matrices de la misma
dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz
suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella
matriz cuyos elementos se obtienen: sumando
los elementos de las dos matrices que ocupan
la misma misma posición.
• Resta: Dadas dos matrices de la misma
dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz
resta como: A-B=(aij-bij). Es decir, aquella
matriz cuyos elementos se obtienen: restando
los elementos de las dos matrices que ocupan
la misma misma posición.
Operaciones con matrices
Ejercicios de suma • Sume las siguientes matrices:
A= 3 4 6 1 ┼ B = 2 3 3 3 =
2 2 2 2 4 5 5 4
C= 4 1 4 ┼ D = 1 0 1 =
6 3 8 3 1 0
E= 0 2 0 2 0 2 ┼ F= 5 2 5 2 5 2 =
4 6 4 6 4 6 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 5 6 5 6 5 6
0 3 0 3 0 3 4 4 4 4 4 4
Ejercicios de Resta • Reste las siguientes matrices:
A= 3 4 6 1 ─ B = 2 3 3 3 =
2 2 2 2 4 5 5 4
C= 4 1 4 ─ D = 1 0 1 =
6 3 8 3 1 0
E= 0 2 0 2 0 2 ─ F= 5 2 5 2 5 2 =
4 6 4 6 4 6 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 5 6 5 6 5 6
0 3 0 3 0 3 4 4 4 4 4 4
Operaciones con matrices
• Multiplicación:
Producto de un escalar: Dada una matriz A =
(aij) y un número real k R, se define el
producto de un número real por una matriz: a la
matriz del mismo orden que A, en la que cada
elemento está multiplicado por k.
k · A=(k aij)
Operaciones con matrices
• Multiplicación: Dos matrices A y B se dicen
multiplicables si el número de columnas de
A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se
obtiene multiplicando cada elemento de la
fila i de la matriz A por cada elemento de la
columna j de la matriz B y sumándolos.
Operaciones con matrices
Resumen
• Concepto de matriz
Se denomina matriz a todo conjunto de
números o expresiones dispuestos en
forma rectangular, formando filas y
columnas.
Cada uno de los números de que
consta la matriz se denomina elemento.
Un elemento se distingue de otro por la
posición que ocupa, es decir, la fila y la
columna a la que pertenece.
Resumen
El número de filas y columnas de una
matriz se denomina dimensión de una
matriz.
El conjunto de matrices de m filas y n
columnas se denota por Amxn o (aij), y
un elemento cualquiera de la misma,
que se encuentra en la fila i y en la
columna j, por aij.
Resumen
Dos matrices son iguales cuando
tienen la misma dimensión y los
elementos que ocupan el mismo
lugar en ambas, son iguales.