Analysis

Sucesiones y Límites. El número e. Problemas

OpenUepc.com 1.1.4.1 Ver 01:05/02/2010

NOTA

La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.3.1 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.4 ANALYSIS

1.1.4.1 SUCESIONES

COPYLEFT

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Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

15/04/2010

+

| 1

CALCULO DE LIMITES

Sucesión Límite

(0.3,0.33,0.333,... ..., 0.33.. ..33,...n 10.3

3=

(0.9,0.99, 0.999,... ..., 0.99.. ..99,...n 0.9 1=

, , ,..., ...k k k k k= limnk k

→∞=

1 1 1 1 11, , , ,....., ,....

2 3 4n n

=

1

lim 0n n→∞

=

, , ,....., ,....1 2 3

k k k k k

n nα α α α α α = ∈

ℕ lim 0n

k

nα→∞=

2 3

1 1 1 1 1, , ,....., ,....

2 2 2 2 2n n

=

1

lim 02nn→∞

=

1 1 1 1 1 1, , , ,......, ,...

1 2 3 4n n

=

1lim 0n n→∞

=

1,2,3,4,...., ,....n n= limnn

→∞= ∞

1 , 2 ,3 ,......, , .... ;n nα α α α α α= ∈ℕ limnnα

→∞= ∞

Cociente polinomios en n( )

( )

P n

Q n

1 11 1 0( ) ...P n a n a n a n aα α

α α−

−= + + + + ' ' 1 1

' ' 1 1 0( ) ...Q n b n b n b n bα αα α

−−= + + + +

, 'α α ∈ℕ

Si grado P(n) = α > grado Q(n) = α’ => ( )

lim( )n

P n

Q n→∞= ∞

Si grado P(n) = α < grado de Q(n) = α’ => ( )

lim 0( )n

P n

Q n→∞=

Si grado P(n) = α = grado de Q(n) = α‘ => ( )

lim( )n

aP n

Q n b

α

α→∞

=

1n n+ − lim 1 0n

n n→∞

+ − =

4

4 3

2 3 1 2lim

5 3 5n

n n

n n→∞

− +=

+ por ser iguales los grados, se dividen los coeficientes principales.

3

4 3

2 3 1lim 0

5 3n

n n

n n→∞

− +=

+ por ser más grande el grado del polinomio del denominador

4

3 2

2 3 1lim

5 3n

n n

n n→∞

− += ∞

+ por ser más grande el grado del polinomio del numerador

3 3

3 3 2

8 3 1 2lim

327 3n

n n

n n→∞

− +=

+; a pesar de las raíces, los grados coinciden y el límite es

3

3

8 2

327=

+

| 2

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LIMITES

2

2

1lim

2 1n

n n

n→∞

+ −+

2

2

4lim

2n

n n

n n→∞

−+

21lim

1 2n

n

n→∞

−+

2

1lim

1n

n

n→∞

−−

( )2

1lim 2

1n

n

n→∞

−+

+

1 2lim

2 3 2n

n n

n n→∞

+ + − +

( ) ( )( )2

2 1lim

1 2n

n n

n→∞

+ +

+

1 2lim

1n

n

n→∞

−

+

1lim

1n

n

n→∞

+

+

( )lim 12

n

n

n

n→∞

− +

22 1lim

2 1n

n n

n→∞

+ −+

3

lim3n

n n

n→∞

+

3

2

2 1lim

2 1n

n n

n→∞

+ −+

2

3 4

2 1lim

1n

n

n n→∞

+

+ −

+

| 3

1lim

1n

n n

n n→∞

− −

+ −

3

2lim

2n

n

n→∞

+

+

2 1lim

4 1

n

nn→∞

++

49 4 1lim

2 1n

n

n→∞

− −+

4 2

2

4lim

2n

n n

n n→∞

− ++

1 2lim

3n

n n

n→∞

+ +

25 4lim

2n

n

n→∞

+

21 4lim

2 1n

n

n→∞

++

3 25lim

2n

n

n→∞

+

3 5

5lim

5n

n

n→∞ +

2 3

2

2lim

2 1 1n

n n

n n→∞

−

+ +

3 2

2

2 4 4lim

2 1 1n

n n n

n n→∞

+ +−

− −

4 3

2

1lim

2n

n n

n n→∞

− ++

+

2 22 3lim

2 2n

n n n

n n→∞

+ +−

− −

+

| 4

2 23 2lim

2 2 1n

n n n

n n→∞

− +−

+

24 2 2lim 2

2 2n

n nn

n→∞

− +−

+

2 24 2 3 6 3 1lim

2 1 3 1n

n n n n

n n→∞

− + − +−

+ +

2 2lim 4 3n

n n→∞

+ − −

2 2lim 3n

n n n→∞

+ − −

2 2lim 9 3n

n n n→∞

− − −

2lim 2 1n

n n n→∞

− + +

2lim 2 5n

n n→∞

− +

2lim 5 2n

n n→∞

+ −

lim 3 2n

n n→∞

−

2lim 3 9 1n

n n→∞

− +

2 2lim 4 2n

n n n→∞

+ + +

2 2lim 1 3n

n n n→∞

+ − −

2 2lim 2n

n n n n→∞

− − +

2 2lim 1 1n

n n→∞

+ − −

+

| 5

Límites de sucesiones relacionadas con el número e

31

lim 1n

n n→∞

+

3 41

lim 1n

n n

+

→∞

+

1lim 1

4

n

n n→∞

+

1lim 1

4 3

n

n n→∞

+ +

41

lim 13

n

n n

+

→∞

+ +

3 41

lim 14 3

n

n n

+

→∞

+ +

1lim 1

n

n n→∞

−

1lim 1

n

n n

−

→∞

−

21lim 1

n

n n→∞

+

321

lim 1

n

n n→∞

+

351

lim 1

n

n n→∞

−

351

lim 1

n

n n→∞

−

2lim 1

n

n n→∞

+

+

| 6

3 13

lim 14

n

n n

−

→∞

+

5 32 8

lim2

n

n

n

n

+

→∞

+

22 1

lim2 1

n

n

n

n→∞

+ −

3 21

lim 12 3

n

n n

−

→∞

+ +

1lim 1

n

n n→∞

− −

31

lim 13

n

n n

−

→∞

−

1

2

3lim 1

2

n

n n

−

→∞

+

1lim

5

n

n

n

n→∞

+ +

1lim

5

n

n

n

n→∞

+ +

22

lim1

n

n

n

n→∞

− −

23

lim1

n

n

n

n

+

→∞

+ +

32

lim3

n

n

n

n→∞

− −

25

lim6

n

n

n

n

− +

→∞

+ +

2 13 5

lim3 1

n

n

n

n

+

→∞

− +

+

| 7

12

2

3 1lim

3

n

n

n n

n n

+

→∞

+ + +

22 3 245

lim2

n n

n

n

n

n

− −+

→∞

+ +

2 32

2

1lim

3

n n

n

n

n

+

→∞

+ −

2 12 1

2

3 1lim

3

n

n

n

n n

n n

++

→∞

+ + +

2

53 1

lim3 1

n

n

n

n→∞

+ −

+

| 8

Estudia la monotonía y acotación de las sucesiones de término general siguientes:

1na

n

=

1n

na

n

= +

2nna n= −

( ) 1n

na = −

( ) 1n

na n= −

( ) ( ) 31 1n

na n= − +

( ) ( ) 21 1n

na n= − +

( ) 11n

nan

= −

23

n

na =

+

| 9

+

| 10

+

| 11

U ∊ ∊∊∊∊ ⇐⇐⇐⇐∊ ⇐ ⇐⇐ ≔ ≔≔ Ω ≈ ≡ ≤≥≲≳≴ ≴ ≮≯∀⇐∊ ≠⇐ ∅ ∃ A Bεδδεε

⇐ U ∪∪∩ ∿ ∅∿∿∿∿ ∿ ∿ ∿ ∿∿U ≮ ≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕· ♯ ×

ℕ