MATEMÁTICAS II GEOMETRÍA Actividades resueltas. EL ESPACIO AFÍN.
-
Upload
jesusa-palomar -
Category
Documents
-
view
219 -
download
0
Transcript of MATEMÁTICAS II GEOMETRÍA Actividades resueltas. EL ESPACIO AFÍN.
MATEMÁTICAS IIMATEMÁTICAS II
GEOMETRÍAGEOMETRÍA
Actividades resueltasActividades resueltas
EL ESPACIO AFÍNEL ESPACIO AFÍN
RESUMEN TEÓRICO (1)
Un vector v define una dirección en el espacio
LA RECTA
Una recta vectorial se consigue multiplicando v por un parámetro : v
Si hacemos que pase por un punto P, obtenemos la forma vectorial de la ecuación de la recta: = +
P
X
v(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (vx, vy, vz)
X(x, y, z) P(x1, y1, z1) v(vx, vy, vz)
x = x1 + vx
y = y1 + vy
z = z1 + vz
Ecuaciones paramétricas
Eliminando parámetros
Ecuación en forma continuaz
1
y
1
x
1
v
zz
v
yy
v
xx
RESUMEN TEÓRICO (2)EL PLANO
X(x, y, z)
Dos vectores linealmente independientes,
v(vx, vy, vz) y w(wx, wy, wz), determinan un
plano Cualquier vector u de es combinación lineal de v y w: u = v + w
v
wu
Pero los vectores son libres
Necesitamos indicar un punto P(x1, y1, z1) para fijar el plano
P
PX = v + w
x – x1 = vx + wx
y – y1 = vy + wy
z – z1 = vz + wz
x = x1 + vx + wx
y = y1 + vy + wy
z = z1 + vz + wz
Ecuaciones paramétricas del plano
Eliminamos los parámetros y y se obtiene la expresión de la ecuación general del plano:
Ax + By + Cz + D = 0
RESUMEN TEÓRICO (y 3)
EL PLANOLA RECTA
P(x1, y1, z1)
v(vx, vy, vz)
x = + y = + z = +
x1
vx
y1
vy
z1
vz
= =x - y - z -
x = x1 + vx
y = y1 + vy
z = z1 + vzEcs. paramétricas
Ecs. forma continua
P(x1, y1, z1)
v(vx, vy, vz)
w(wx, wy, wz)
x = x1 + vx + wx
y = y1 + vy + wy
z = z1 + vz + wz
Ecs. paramétricas
Ax + By + Cz + D = 0
Ec. forma general
Ax + By + Cz + D = 0
A’x + B’y + C’z +D’ = 0
Recta dada por
intersección de dos planos
Dibuja un sistema de referencia con el origen
en un vértice de un cubo y los vectores de la
base, las tres aristas concurrentes en ese
punto.
Determina las coordenadas del vértice del cubo
que no está sobre los planos de coordenadas.
54
P(1, 1, 1)
X
Y
Z
1
(1, 0, 0)
1(0, 1, 0)
1
Haz lo mismo que en la actividad anterior,
pero ahora con un ortoedro.
55
P(a, b, c)
X
Y
Z
a
(a, 0, 0)
b(a, b, 0)
c
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto
P(1, 2, 3) y tiene la dirección del vector P(1, 2, 3) y tiene la dirección del vector vv(4, 5, 6).(4, 5, 6).
56
v(4, 5, 6)
VECTOR LIBRE
P(1, 2, 3)
recta6
3z
5
2y
4
1x
Halla la ecuación de la recta que pasa por los Halla la ecuación de la recta que pasa por los
puntos A(1, 2, 3) y B(6, 5, 4).puntos A(1, 2, 3) y B(6, 5, 4).
57
Vector que une A con B: v: (6 – 1, 5 – 2, 4 – 3) = (5, 3, 2)
Podemos obtener las ecuaciones paramétricas de la recta a partir de un punto (por ejemplo el A) y un vector: v:
OX = OA + v
x = 1 + 5 y = 2 + 3 z = 3 + 2
ecuaciones paramétricas
coordenadas de A componentes de v
Pasamos ahora de forma paramétrica a forma continua:
x = 1 + 5
y = 2 + 3
z = 3 + 2
5
1x
3
2y
2
3z
y como el valor de es el mismo en las tres igualdades:
2
3z
3
2y
5
1x
que son las ecuaciones de la recta en forma continua
Componentes de v
Coordenadas de A
Halla la ecuación del plano que contiene el punto Halla la ecuación del plano que contiene el punto
P(1, 0, 2) y los vectores P(1, 0, 2) y los vectores uu(3, 2, 1) y (3, 2, 1) y vv(2, 1, 3).(2, 1, 3).
58
P(1, 0, 2)
v(2, 1, 3)
u(3, 2, 1)
20
3
3
2
2
1
1
Ecuaciones parámetricas:
x =
y =
z =
… eliminamos parámetros:
0
312z
12y
231x
Ecuación general del plano: 5x – 7y – z – 3 = 0
+
+
+
+
+
+
1
Halla la ecuación del plano definido por los puntos
A(1, 0, 2), B(2, 1, 0) y C(1, 1, 2).
59
X
Y
Z
A(1, 0, 2)
B(2, 1, 0)
C(1, 1, 2)
Ecuaciones paramétricas:
x = 2 + 1· + 1·
y = 1 + 1· + 0·
z = 0 - 2· - 2·
Ecuación general:
0
22z
011y
112x
2x – z – 4 = 0
BA(1, 1, -2)BC(1, 0, -2)
X
Y
Z
A(1, 0, 2)
B(2, 1, 0)
C(1, 1, 2)
Forma equivalente: ecuación del plano
dado por tres puntos:
0
1211
1012
1201
1zyx
Ecuación general:
2x – z – 4 = 0
Calcula, de dos maneras distintas, la ecuación
de un plano que, pasando por el origen,
contenga al segmento de extremos A(1, 2, 3) y
B(0, 0, -1).
60
El origen es el punto O(0, 0, 0). Tenemos, pues, tres puntos:
A(1, 2, 3)
B(0, 0, -1)
O(0, 0, 0)
… y desarrollando el determinante:
Ecuación general del plano: 2x – y = 0
0
1000
1100
1321
1zyx
Otra forma de obtener la ecuación del plano es obtener dos vectores linealmente independientes.
OA
OB
(1, 2, 3)
(0, 0, -1)0
130z
020y
010x
0
13z
02y
01x
… de donde, desarrollando el determinante, se obtiene:
Ecuación general del plano:
Punto O(0, 0, 0)
2x – y = 0
Un plano contiene a las rectas
r: x – 1 = y – 2 = z –3 y s:
Halla su ecuación.
x = 1 +
y = 2
z = 3 + 2
61
r: x – 1 = y – 2 = z –3
x = 1 +
y = 2
z = 3 + 2
v( , , )
w( , , )
P( , , )
1 1 1
1
1
1
s: = 0
1
0
2
1
0
21 2 3
x – 1
y – 2
z – 3
Ecuación general del plano: 2x – y – z + 3 = 0
Utilizando las propiedades de los determinantes,
comprueba que son equivalentes las formas de
ecuación de un plano: Ax + By + Cz + D = 0 y
62
0
qpzz
qpyy
qpxx
330
220
110
Desarrollamos por los elementos de la primera columna:
(x – x0)(p2q3 – p3q2) – (y – y0)(p1q3 – p3q1) (z – z0) = 0+ (p1q2 – p2q1)
A + B + C
Y, por último, operamos los paréntesis:
Ax – Ax0 + By – By0 + Cz – Cz0 = 0
Ax + By + Cz + D = 0
Posición relativa de los planos:
1: 3x+2y-z+7=0 y 2: 2x-y+z-1=0.
63
1: 3x + 2y – z + 7 = 0 2: 2x - y + z -1 = 0 3 22 -1 -1 1
PLANOS SECANTESPLANOS SECANTES
Los planos son SECANTES: se cortan en una rectaLos planos son SECANTES: se cortan en una recta
Posición relativa de los planos:
1: 6x + 12y - 9z + 1 = 0 y 2: 2x + 4y - 3z – 7 = 0.
64
1: 6x + 12y - 9z + 1 = 0 2: 2x + 4y - 3z – 7 = 06 212 4 9 3
= =
PLANOS PARALELOSPLANOS PARALELOS
Los planos son PARALELOS (NO COINCIDENTES)Los planos son PARALELOS (NO COINCIDENTES)
= 3
1 -7
¡No coincidentes!¡No coincidentes!
Posición relativa de los planos:
1: 6x + 12y - 9z + 15 = 0 y 2: 2x + 4y - 3z – 5 = 0.
65
1: 6x + 12y - 9z + 15 = 0 2: 2x + 4y - 3z + 5 = 06 212 4 9 3
= =
PLANOS PARALELOSPLANOS PARALELOS
Los planos son COINCIDENTES: ambas ecuaciones corresponden al MISMO PLANOLos planos son COINCIDENTES: ambas ecuaciones corresponden al MISMO PLANO
= 3
15 5
=
¡COINCIDENTES!¡COINCIDENTES!
Posición relativa de los planos:
66
1: 3x + 2y – z + 7 = 0
2: 2x – y + z – 1 = 0
3: x + y + z = 0
1: 3x + 2y – z + 7 = 0
2: 2x – y + z – 1 = 0
3: x + y + z = 0
Estudiar la posición relativa de los planos:Equivale a discutir el sistema de ecuaciones:
= - 7
= 1
= 0
3
2
1
2
-1
1
-1
1
1
rango = 3 S. C. D.
Solución única (- 1, - 1, 2)
Los tres planos se cortan en el punto: (-1, -1, 2)
Estudia, en función de los valores del parámetro k, la
posición relativa de los planos:
1: 3x – ky + 2z - (k - 1) = 0
2: 2x - 5y + 3z – 1 = 0
3: x + 3y - (k - 1)z = 0.
67
1: 3x – ky + 2z – (k – 1) = 02: 2x – 5y + 3z – 1 = 0 3: x + 3y – (k – 1)z = 0.
Se trata de discutir el sistema de ecuaciones:
= k – 1= 1= 0
A =
321
- k- 5 3
23
1 - k
|A| = - 2k2 + 14k - 20
|A| = 0 - 2k2 + 14k – 20 = 0 k = 2 o k = 5
Si k 2 y k 5, entonces rango(A) = 3 = rango B
Sistema Compatible Determinado: SOLUCIÓN ÚNICA
Si k = 2,
3 - 2 2
A = 2 - 5 3
1 3 - 1
Rango(A) = 2
0131
1352
1223
B =
052
23
0
031
152
123
Rango(B) = 2
Sistema
Compatible
Indeterminado
Si k = 5,
3 - 5 2
A = 2 - 5 3
1 3 - 4
Rango(A) = 2
0431
1352
4253
B =
052
53
30
031
152
453
Rango(B) = 3
Sistema
Incompatible
En resumen:
Si k 2 y k 5 S. C. D. (Solución única)
Los tres planos se cortan en un punto
123 = P1
Si k = 2 S. C. I. (∞ soluciones)
Los tres planos se cortan en una recta
123 = r
Si k = 2 S. I. (No hay soluciones)
Los planos se cortan dos a dos
2
3
68
Halla la ecuación de “todas las hojas de un libro, en
cualquier posición de lectura”, sabiendo que las
‘tapas, abiertas en una determinada posición” tienen
de ecuación:
0z
0zy3
Las distintas posiciones corresponderán a los planos
del haz que tiene por eje la recta r
Por tanto, la ecuación es:
( ) +
El núcleo de un transformador de corriente eléctrica está
formado por placas de metal separadas por capas de
aislante o dieléctrico. Halla la ‘ecuación de esas capas’,
si la de la primera metálica es x + y + z = 1
69
Como se trata de planos paralelos, lo único que cambiará en la ecuación será el término independiente…
Por tanto, la ecuación del haz de planos paralelos es:
x + y + z = n
Determina la ecuación del haz de planos que tiene por
eje o arista la recta que pasa por los puntos A(0, 1, 1) y
B(1, 0, -2).
70
2
1
Hallamos las ecuaciones de la recta que pasa por
los puntos A y B:
01
0x
1
x
10
1y
1
1y
12
1z
3
1z
Las pasamos a la
forma de intersección de dos planos
- 1·x = 1·(y – 1) x + y – 1 = 0
-3·x = 1·(z – 1) 3x + z – 1 = 0
Y ya tenemos dos planos del hazPor tanto, la ecuación del haz de planos es:
(x + y – 1) + (3x + z – 1) = 0
estudia la posición relativa de cada par de ellas.
Dadas las rectas:
71
r: s: t:
I. Posición relativa de r y t
21z
1y
x 1: x - y - 1 = 0
2: 2y - z + 2 = 0
Vector dirección de r: v (1, 1, 2)
Ecs. Paramétricas de t
x = 1 + y = z = 2 + 2
Vector dirección de t: w (1, 1, 2)
x =1y
+
z =2
+
2y
y =
v ≡ w
RECTAS PARALELASPunto de r: A( , , )
0
1-1
Punto de t: B( , , )
1
0
2
AB ( 1, -1, 3)
NO COINCIDENTES
II. Posición relativa de r y s
21z
1y
x
1
2z
2
y
1
1x
Vector dirección de r: v (1, 1, 2)
Vector dirección de s: u (1, 2, 1)No tienen la misma
dirección
Punto de r: A( , , )
0
1-1
Punto de s: C( , , )
1 0 2
AC (1, -1, 3)
rango
1
1
2
1
2
1
1
-1
3
= 3 Vectores linealmente independientesVectores NO COPLANARIOSLas rectas SE CRUZAN
Componentes
NO proporcionales
III. Posición relativa de s y t
1
2z
2
y
1
1x
1: x - y - 1 = 0
2: 2y - z + 2 = 0
Vector dirección de t: w (1, 1, 2)
Vector dirección de s: u (1, 2, 1)
Según se ha visto:
Componentes
NO proporcionalesNo tienen la misma
dirección
C(1, 0, 2) sB(1, 0, 2) t Por tanto B ≡ C st
Las rectas tienen un punto en común:
SON COPLANARIAS y SECANTES
72
Estudia la posición relativa del plano : x + y + z + 1 = 0
con la recta de ecuaciones r: x - 1 = 2 - y = z / 3.
Pasamos la ecuación de r a forma paramétrica:
x – 1 = 2 – y = = t
x = 1 + t
y = 2 – t
z = 3t
Sustituimos las expresiones de x, y, z en la ecuación de :
x + y + z + 1 = 0
(1 + t)
(2 – t)
3t
3t + 4 = 0 t =
La recta INCIDE en el plano en el punto: P( , , )
x =
y =
z =
3
4
3
1
3
z
3
10
4
Ecuación compatible
4,
3
10,
3
1P
Halla el punto de intersección de la recta
x = 2t
y = 3t + 1
z = t
con el plano 3x + 2y –11z – 5 = 0.
73
x = 2t y = 3t + 1z = t
3 x + 2 y – 11 z – 5 = 0
Sustituimos las expresiones de x, y, z de las
ecuaciones paramétricas, en la ecuación del plano
2t6t(3t + 1) 6t + 2
tt - 3 = 0 t = 3
Llevamos ahora este valor del parámetro a las ecuaciones de la recta para obtener el punto de intersección:
3
6
( , , )
3
10
10
33
Estudia la posición relativa del plano : x + y + z + 1 = 0
y las rectas r: x = y = y s:
74
I. Posición relativa de y r:
r: x = y =
Sustituimos en la ecuación del plano:
: x + y + z + 1 = 0
2
z
2
z
-z + z + 1 = 0 - z ¡Pero esto es falso!
Por tanto, recta y plano NO tienen ningún punto común
r es PARALELA a PARALELA
2
z
II. Posición relativa de y s:
s:x – y = 0
2x + z + 1 = 0: x + y + z + 1 = 0
x – y = 0
2x + z = - 1
x + y + z = - 1
Procedemos a discutir este sistema
1 -1 0
2 0 1
1 1 1
rango = 2
1 -1
2 0
1 1
rango
0
-1
-1
= 2
S. C. I. La recta s está contenida en el plano
s
s
Fin
de
“Espacio Afin”
ESPACIO ESPACIO
EUCLÍDEOEUCLÍDEO
RESUMEN TEÓRICO (1)
Distancia entre dos puntos
A(x1, y1, z1)
B(x2, y2, z2)d(A, B) =
(coincide con el módulo del vector AB)
Ángulo entre dos vectores v y w
v·w = |v|·|w|·cos = v1w1 + v2w2 + v3w3
v(v1, v2, v3)
w(w1, w2, w3)cos Producto escalar
= ————————
v1w1 + v2w2 + v3w3|v|·|w|
RESUMEN TEÓRICO (2)
v(v1, v2, v3)
w(w1, w2, w3)
Producto vectorial
vw es un vector
Dirección perpendicular al plano vw
Sentido: regla del sacacorchos
Módulo: | vw | = |v|·|w|· sen
v
wvw
Regla práctica: vw =
RESUMEN TEÓRICO ( y 3)
Aplicaciones del producto vectorial
base
altura
v
w = |w|·sen
Área = base altura |v|
·|w|·sen = |vw|
Área = |vw| 1
2
RESUMEN TEÓRICO ( y 3)
Volumen = Base altura
v
wBase
= |vw|
alturau
= |u|·sen
Volumen = |vw|
|u|·sen
u·(vw)producto mixto
Regla práctica: u·(vw) =V = u·(vw)
1
6
vw
cos
Comprueba que los tres productos escalares
de los vectores de la base por sí mismos dan
la unidad.
75
i(1, 0, 0)
j(0, 1, 0)
k(0, 0, 1)
i·i = (1, 0, 0)·(1, 0, 0) = 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1
j·j = (0, 1, 0)·(0, 1, 0) = 0·0 + 1·1 + 0·0 = 1
k·k = (0, 0, 1)·(0, 0, 1) = 0·0 + 0·0 + 1·1 = 1
|i| = 222 001 = 1
|j| = 222 010
222 100 |k| =
= 1
= 1
i·i = |i|·|i|·cos(i, i) = 1·1·cos0º = 1·1·1 = 1
j·j = |j|·|j|·cos(j, j) = 1·1·cos0º = 1·1·1 = 1
k·k = |k|·|k|·cos(k, k) = 1·1·cos0º = 1·1·1 = 1
1
1
1
Verifica que los tres productos escalares de dos
vectores distintos de la base son nulos.
76
i(1, 0, 0)
j(0, 1, 0)
k(0, 0, 1)
i·j = (1, 0, 0)·(0, 1, 0) = 1·0 + 0·1 + 0·0 = 0
i·k = (1, 0, 0)·(0, 0, 1) = 1·0 + 0·0 + 0·1 = 0
j·k = (0, 1, 0)·(0, 0, 1) = 0·0 + 1·0 + 0·1 = 0
|i| = 222 001 = 1
|j| = 222 010
222 100 |k| =
= 1
= 1
i·j = |i|·|j|·cos(i, j) = 1·1·cos90º = 1·1·0 = 0
i·k = |i|·|k|·cos(i, k) = 1·1·cos90º = 1·1·0 = 0
j·k = |j|·|k|·cos(j, k) = 1·1·cos90º = 1·1·0 = 0
0
0
0
Halla el producto escalar de los dos vectores
representados en la figura.
77
(0, 0, 0)
(1, 0, 1) (1, 1, 1)
u vu (1, 0, 1)v
(1, 1, 1)
u
v
· = ·
(1, 0, 1)
(1, 1, 1)
= 1·1 + 0·1 + 1·1 = 2
Por tanto, u · v = 2
Calcula a y b en los vectores (1, 2, a) y (b, -1, 0),
sabiendo que tienen producto escalar nulo y que las
componentes primera y tercera de su suma coinciden.
78
v(1, 2, a) w(b, -1, 0)
v + w = (1, 2, a) + ( b, -1, 0) 1+b, 1 b2 -1 1,a 0 a)
Componentes 1ª y 3ª coinciden:
= ( 1+b
=
a
a – b = 1
v · w = (1, 2, a) · ( b, -1, 0) = 1 b2 -1 - 2 +a 0 0 = 0b b = 2
a – b = 1
b = 2
a – 2 = 1a = 3Por tanto, a = 3 y b = 2
Dada la recta r: (A, u) y el plano : Ax+By+Cz+D=0,
¿por qué es condición necesaria y suficiente para
que sean paralelos que Au1 + Bu2 + Cu3 = 0?
79
r(A, u)
: Ax + By + Cz + D = 0
r
uA
A B C (A, B, C)
Vector dirección de r: u(u1, u2, u3)
Vector característico de : (A, B, C)¡PERPENDICULARES!
Producto escalar nulo
(u1, u2, u3)
(A, B, C)
· = 0 Au1 + Bu2 + Cu3 = 0
Halla la dirección de todos los clavos ‘clavados derechos’
en un tablero cuya ecuación es:
= 0
80
0
112z
101y
21x
La dirección vendrá dada por un vector cuya dirección sea perpendicular al plano dado:
1
0
1
v(1, 0, 1)2
1
1 w(2, 1, 1)
v
w
Una dirección perpendicular a v y a w nos la da el producto vectorial de ambos:
112
101
kji
= (-1, 1, 1)= i11
10 - j12
1112
11+ k
12
01(-1, 1, 1)
Halla los ángulos entre los planos siguientes:
)1: x + y + z + 2 = 0, 2: x – 2z = 0
b) 1: 3x + 4z – 1 = 0, 2: z = 0
81
El ángulo formado por dos
planos es el mismo que el
formado por sus vectores
característicos
Por tanto, hallaremos el ángulo entre vectores característicos
v·w = |v|·|w|·cos = v1w1 + v2w2 + v3w3cos = v1w1 + v2w2 + v3w3|v|·|w|
a) 1: x + y + z + 2 = 0
2: x – 2z = 0
v( , , ) 1 1 1
w( , , ) 1 0 -2
cos =
1 1 1
1 0 -2
· + · + ·
|v| =
·
|w| =
= = arc cos 105º
cos = v1w1 + v2w2 + v3w3
|v|·|w|
b) 1: 3x + 4z – 1 = 0
2: z = 0
v( , , ) 3 0 4
w( , , ) 0 0 1
cos =
3 0 4
0 0 1
· + · + ·
|v| =
·
|w| =
= = arc cos 36º52’
55
11
82
Considera el ángulo triedro de aristas:
r: x = y = z s: x = = y t:
Halla lo que miden sus tres ángulos diedros.
y
2
z
3
2z
y
x
r
s
t
r
s
t
: x = y = zVector dirección
v (1, 1, 1)
: x =y z
2 3— = —
Vector dirección
w (1, 2, 3)
1Vector característico de 1:
vw
vw =321
111
kji
= (1, -2, 1)
Vector dirección
u(1, -1, 2)
Vector característico de 2:
2
uw =
u
321
211
kji
= (-7, -1, 3)
Vector característico de 3:
3
uv =111
211
kji
= (-3, 1, 2)
Ahora, para calcular los ángulos entre cada dos planos, averiguamos el ángulo entre los respectivos vectores característicos:
1 2
= arc cos (1, -2, 1)·(-7, -1, 3)
|(1, -2, 1)|·|(-7, -1, 3)| 22º
1 3
= arc cos
|(1, -2, 1)|·|(-3, 1, 2)| (1, -2, 1)·(-3, 1, 2) 109º
2 3
= arc cos (-7, -1, 3)·(-3, 1, 2)
|(-7, -1, 3)|·|(-3, 1, 2)| 25º
Comprueba que la proyección ortogonal del origen de
coordenadas sobre el plano : x + 2y + 3z – 4 = 0 es
el punto O’(2/7, 4/7, 6/7)
83
: x + 2y + 3z – 4 = 0
O
O’( , , )7
2
7
4
7
6
v( , , )1 2 3 v
rr
x = t
y = t
z = t
1 2 3
(r pasa por el origen O)
Sólo hay que comprobar que O’ está sobre la recta r
7
2
=
1t
y = 2t = 2·7
2=
7
4
z = 3t = 3· 7
2=
7
6
Por tanto, O’ = ProyO
?
84
Calcula qué ángulo forman el plano 3x + y - 2z = 0
y la recta r:
083
082
zy
yx
Plano : 3x + y - 2z = 0
Recta r:
3 1 -2 ( , ,
)
r(y = t)
x = 8 + 2t
y = t
z = – 8 – 3t
r:
( , , )
2
1
-3
v
w
|v| = ) 14213 222
|w| = ) 14312 222
cos = ———v·w|v|·|w|
= —————————3·2 + 1·1 + (-2)·(-3) 14·14
= ——1314
21º47’
+ = 90º 90º - 21º47’ Luego 68º13’
Calcula el perímetro de un paralelogramo ABCD, siendo tres
de sus vértices los puntos A(0, 0, 3), B(1, 2, 3) y C(0, 4, 3).
85
C(0, 4, 3)
A(0, 0, 3) B(1, 2, 3)
d(A, B) =
x
= =
y
= d(B, C) =
Perímetro = 2x + 2y = 4
x
y
86
Una pirámide tiene su base de 4 cm2 sobre el
plano x + y + z = 1, y su vértice o cúspide es el
punto V(3, 3, 3). Halla su volumen.
V(3, 3, 3)Volumen = — Base · altura1
3
Base = 4 cm2
altura = d(V, )
: x + y + z – 1 = 0x + y + z – 1 d(V, ) = ———————| |
3 3 3
222 111 = ——8
3
Volumen = —— 4 · —— = ———— cm213
83
32 9
3
Calcula las distancias entre los siguientes elementos:
a) El punto P(1, 0, 1) y la recta r: x = y = ———
b) Las rectas r: x = y = z + 2 y s: x = y – 1 = z
c) Los planos 1: 3x + 4y + 12z – 3 = 0 y
2: 3x + 4y + 12z + 2 = 0.
z + 2 2
87
Primera forma …
r: x = y = ———z + 2 21 2
A( , , )
0 0 -2
A
( , , )
P(1, 0, 1)
uu es vector característico del plano perpendicular a r que pasa por P:
1
1·(x – 1) + 1·(y – 0) + 2·(z – 1) = 0
: x + y + 2z – 3 = 0
Q
Q = r z + 2
2
z + 2
2+ + 2z – 3 = 0 z =
d = d(P, r) = d(P, Q) = u
a)
r: x = y = ———z + 2 21
( , , )
1 2
A( , , )
0 0 -2
u
A
P(1, 0, 1)
v = AP = (1, 0, 3)
La distancia de P a la recta es la altura del paralelogramo
ÁreaPARALELOGRAMO = Base altura
|uv| = |u| · dd=|uv| |u|
=|(3, -1, -1)|
|(1, 1, 2)|= unidades
Segunda forma …a)
b)
r: x = y = z + 2
s: x = y – 1 = z
A(0, 0, -2)
u(1, 1, 1)
B(0, 1, 0)
v(1, 1, 1)
u = v RECTAS PARALELAS
r
s
B
d = d(r, s) = d(B, r) =
|AB v|
|v|
Luego, d = |(0, 1, 0)(1, 1, 1)|
|(1, 1, 1)|= u
c)
1: 3x + 4y + 12z – 3 = 0
2: 3x + 4y + 12z + 2 = 0.v (3, 4, 12) vector característico
PLANOS PARALELOS
Dos opciones:
I. d = |d(O, 2) - d(O, 1)| = 2 – (–3)
|v|=
5
13u
II. Tomar un punto cualquiera P, de 1, y hallar d(P, 2)
Por ejemplo, en 1, si y = z = 0 x = 1 P(1, 0, 0)
d(P, 1) = |3·1 + 4·0 + 12·0 + 2|
|v|=
5
13u
Calcula el producto vectorial de los vectores
p(1, 2, 3) y q(0, 1, 2).
88
p(1, 2, 3)
q(0, 1, 2)
pq =
pq
DIRECCIÓN perpendicular al plano
que contiene a p y a q
SENTIDO según regla del sacacorchos
MÓDULO |pq| = |p|·|q|·sen (pq)
Regla práctica:
i j k
1 2 3
0 1 2
pq = = (1, -2, 1)
Dados p(0, 1, 2) y q(-1, 0, -1), calcula pq y qp y
comprueba que se obtienen vectores opuestos.
89
pq =
i j k
0 1 2
-1 0 -1
= ( -1, -2, 1)
qp =
i j k
-1 0 -1
0 1 2
= ( 1, 2, -1)
Vectores opuestos
Signoscambiados
Comprueba la no asociatividad del producto vectorial
con los vectores p(1, 2, 0), q(1, -1, 3) y r(1, 1, 0)
90
qr =
i j k
1 -1 1
2 1 0
= (-1, 2, 3)
p(qr) =
i j k
1 2 0
-1 2 3
= (6, -3, 4)
pq =
i j k
1 2 0
-1 0 -1
= (-2, 1, 2)
(pq)r =
i j k
-2 1 2
1 1 0
= (-2, 2, -3)
Halla el producto vectorial de los vectores
ortogonales v(a, 1, 0) y w(1, 0, 1)
91
Si son ortogonales, el producto escalar es cero
v·w = (a, 1, 0)·(1, 0, 1) = a
Por tanto: a = 0
v = (0, 1, 0)
w = (1, 0, 1)
vw =
i j k
0 1 0
1 0 1
= (1, 0, -1) vw
Escribe la ecuación de un plano que pasa por el
origen y tiene dos direcciones u(1, 1, 3) y v(0, -2, 1).
92
x – 0 1 0
y – 0 1 -2
z – 0 3 1
= 0 7x – y – 2z = 0
O también:
uv =
i j k1 1 30 -2 1
= (7, -1, -2)
7(x – 0) – 1(y – 0) – 2(z – 0) = 0
7x – y – 2z = 0
uv
v. característico uv
Expresa en forma paramétrica y continua la ecuación
de la recta r:
93
x + y + 2 = 0
y + z – 1 = 0
Haciendo
y = t
x = – 2 – t
y = t
z = 1 – t
Ecuaciones paramétricasEcuaciones paramétricasDespejando
y
en ambas
y = – x – 2
y = – z + 1
y =
y =
x + 2
-1 x + 2
-1 = y =z – 1
-1
z – 1
-1
Ecs. en forma continuaEcs. en forma continua
Analiza qué diferencia esencial hay entre los
productos escalar y vectorial.
94
El resultado del producto vectorial de dos vectores es otro vector.
Tiene, por tanto, módulo, dirección y sentido
En cambio, el producto
escalar de dos vectores
da como resultado un
escalar, es decir, un
número
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son
A(1, 0, 0), B(1, 1, 1) y C(0, 1, 0)
95
A(1, 0, 0)
B(1, 1, 1)
C(0, 1, 0)
v = (0 – 1, 1 – 0, 0 – 0)
v(-1, 1, 0)
w = (1 – 1, 1 – 0, 1 – 0)
w(0, 1, 1)
Área = |vw|
2
|(1, 1, -1)|
2= =
√3
2u2
Idem con los vértices O(0, 0, 0), A(1, 1, 1) y C(0, 1, 2).
96
O(0, 0, 0)
A(1, 1, 1)
C(0, 1, 2)
v = (0 – 1, 1 – 0, 2 – 0)
v(0, 1, 2)
w = (1 – 0, 1 – 0, 1 – 0)
w(1, 1, 1)
Área = |vw|
2
|(1, -2, 1)|
2= =
√6
2u2
Un rombo tiene de vértices los puntos A(1, 4, 1),
B(3, 1, 1), C(5, 4, 1) y D(3, 7, 1). Halla su área,
usando la fórmula A = y también
descomponiéndolo en triángulos. Comprueba la
igualdad de los resultados.
97
S = D·d
2
A(1, 4, 1)
B(3, 1, 1)
C(5, 4, 1)
D(3, 7, 1)
= |AC| = 5 – 1 = 4
D
d
= |BD| = 7 – 1 = 6
S = = 12 u2 6·4
2
v(4, 0, 0)
w(2, -3, 0)
Striángulo = |vw| = 6 u21
2
S = 2·Striángulo = 12 u2
También, puesto que el rombo es un paralelogramo:
S = |ABAD| = |(2, -3, 0)(2, 3, 0)| = 12 u2
¿Qué puede deducirse del resultado |pXq| = |p||q|,
respecto de los vectores p y q?
98
Puesto que
|pq| = |p|·|q|·sen(p
q)
Significa que:
sen(p q) = 1
O sea, que p y q son
PERPENDICULARES
El área de una elipse es el doble de la del círculo que
proyecta ortogonalmente sobre un plano . Calcula el
ángulo que forma el plano de la elipse con .
99
S
S1
2
½S = S·cos cos = ½ = 60º
Calcula la distancia mínima entre las rectas que se cruzan:
r: y s:
100
x – 2y + z = 0
2x – z + 7 = 0
2x + y + z – 6 = 0
x – y = 0
x – 2y + z = 0
2x – z + 7 = 0
2x + y + z – 6 = 0
x – y = 0
r
r
s
s
d
Hacemos x = 0 z = 7 y = 7/2 A(0, 7/2, 7)
( , , )( , , ) = 1 -2 1
2 -10 v(2, 3, 4)
A
v
Hacemos x = 0 y = 0 z = 6 B(0, 0, 6)2( , , )( , , ) =
1 1
1 -1 0 w(1, 1, -3)B
w
u
Volumen del paralelepípedo =
[u, v, w] = Base·altura = |vw|·dd
= ————
[u, v, w] |vw|
Por tanto, la distancia es:
d = = ———
0 7/2 12 3 41 1 -3
|(-13, 10, -1)|
17√30
45
—
Fin
de
“Espacio Euclídeo”