Función afín . Ecuación explicita de la recta

A la función polinómicas de la primer grado f (x) = ax + b, siendo a y b números reales, se la denomina función afín.

Los coeficientes principales e independientes de la función reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente.Ecuación explícita de la recta :

Y = ax + b ordenada al origen

Pendiente

La representación grafica de una afín es una recta.

• La Pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente ( • y) y la variación de la variable independiente ( • x) de cualquier punto de la misma.

Y2 - Y1

X2 - X1

A= = • y

• x

• La ordenada al origen es el valor de donde la recta corta al eje y

f (0) = b

b

X1

X2

y

X1

El valor de la pendiente determina que una función afín se creciente, constante o decreciente.

y

x

a > 0

creciente

y

x

a= 0

Constante x

y a < 0

Decreciente

A las funciones afines que pasa por el origen de coordenadas (0,0), se las denomina funciones lineales.

Representación grafica de una función afín en forma explícita

Para graficar una función afín se debe marcar la ordenada al origen (b) y, a partir de ella, representar un par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente (a).

34 1

3

b = 3 a = • y/ • x = 1/3

Y= 1/3x + 3

1-2

5

-2

6

b = 1a = • y/ • x = 5/-2

yy

x

x

Perpendicularidad y paralelismo entre rectas

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.

M: y= a¹. x + b¹ P: y= a² . X + b² M//P a¹ = a ²

3

-4

0

y

xT:y³=1/2 x - 4

R // S // T

S:y ² = 1/2x

R:y¹ = ½ x 3y

5

x

1

-3

N // H // G

G: y³ = -3

H: y²= 1

N: y¹ = 5

Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas.

S: y= a¹ . X + b¹ N: y= a ². x + b ² S ┴ N a ¹ = -1/a²

Rectas perpendiculares

L ┴ Z

Z: y² = -x

L: y ¹ = x

x

y

K ┴ V

y

x

V: y² = -2/3x + 2

K: y¹ = 2/3x + 1

Ecuación segmentaria de la recta

Toda ecuación de la forma x/m + y/n = 1, representa una recta en forma segmentaria. Los denominadores m y n representan a la abscisa y a la ordenada al origen, respectivamente.

m n

Abscisa al origen

ordenada al origen

x

yx/m + y/n = 1

Dada la recta y= 3x – 2, para pasar de la ecuación explicita a la segmentaria se produce de la siguiente manera:

Y = 3x – 2 3x –y = 2

3x – y = 2/2

23x/2 + y/-2 = 1 x/2/3 + y/-2 = 1

Para representar gráficamente una función afín en forma segmentaria se determina sobre los ejes las intersecciones con la recta y luego se traza la misma.

y

x

1

2/3

-1

-2

1

3

1 2

x/2/3 + y/-2 =1

Y= 3x - 2

Ecuación de una recta, dadas la pendiente y punto de la misma

Formula para hallar la ecuación de una recta , dada su pendiente (a) y un punto perteneciente a la misma ( x¹ ; y ¹ ).

Y – y¹ = a (x – x ¹)

La ecuación explicita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto ( 1;3) es:

y – 3 =2 ( x – 1) y – 3 = 2x – 2 y= 2x – 2 + 3 y = 2x + 1

Ecuación de una recta, dados dos puntos de la mismaFormula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ella : (x¹; y ¹) y ( x²; y ²).

y – y¹ = x – x¹

y² - y¹ = x² - x ¹

La ecuación explicita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es :

(2 ; 1) y ( 5 ; 3)

X¹ y¹ x ² y ²

y – 1 = x – 23 – 1 = 5 – 2

Y – 1 = x - 2

2 = 3 y – 1 =( 1/3x – 2/3 ) . 2 Y = 2/3x – 4/3 + 1

y = 2/3x – 1/3

Distancias en el plano

La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que tiene a dichos puntos por extremos.

Para la calcular la distancia entre dos puntos se aplica el teorema de Pitágoras.

Sean los puntos :a = ( x¹ ; y ¹) y b = ( x²; y²)

ab² = ac² + bc ab = ac² + bc²

D (a,b) = (x² - x¹)² + ( y² - y¹)²

La distancia entre m y n es:

M= (-3; 1) n= (3; 2)

x¹ y¹ x² y²

D (m,n) = (3- (-3) )² + (2 – 1 ) ²

D (m,n)= 6² + 1² = 37

y

x

X²X¹

y²

y¹

b

acx¹ - x²

y

-3

x

3

1

2 n

m

Distancia de un punto a una recta

La distancia de una recta a un punto no perteneciente a la misma, es la longitud del segmento perpendicular a la recta que tiene por extremos a un punto de la misma y al punto considerado.

La distancia de un punto p = ( x¹ ; y¹) a una recta.

R: Ax + By + C = 0 está dada por la siguiente formula :

D( R,p) = Ax¹ + By¹ + C

A² + B²

Calcular la distancia:

del punto s= (2;4) a la recta A: y = 3/4x + 5

A: 3/4x – y + 5 = 0 A: 3x – 4y + 20 = 0

D (A,s ) = 3.2 – 4.4 + 20

3² + (-4) ²

D( A,s) = 6 – 16 + 20 = 10/5 = 2

25

y

x

y¹

R

x¹

y

x2

54

A: 3x – 4y +20 = 0

Función valor absoluto

Se define la función modulo o valor absoluto como :

F(x) = x = { x si x > 0

{ -x si x < 0

f: R R -4-5 -2-3 -1 21 3 4 x5

y y= x5

3

4

1

2

y =-x

1) Funciones de la forma: f(x) = x + c

• Si c > 0, la función x queda desplazada c unidades hacia la izquierda.

f(x) = x + 2

Si c < 0, la funcion x queda desplazada c unidades hacia la derecha

F(x) = x-3

2

2

x

y

3

3

x

y

2) Funciones de la forma: f(X)= x + b

Si b > 0, la función x queda desplazada b unidades hacia arriba.

F(x)= x + 1

• Si b < 0, la función x queda desplazada b unidades hacia abajo.

F(x)= x - 4

x

y

1-4

-4 4 x

y

Para graficar ciertas funciones, se deben redefinir las mismas aplicando la definición de valor absoluto.

F(x) = -3 2x – 4 + 1

a) 2x-4 > 0 x > 2

F(x) = -3 (2x – 4) + 1 = -6x + 12 + 1

F(x) = 6x + 13 x> 2

b) 2x – 4 < 0 x < 2

F(x) = -3 (-2x + 4 ) + 1 = 6x – 12 + 1

F(x) = 6x – 11 x < 2

F(x)= {¨-6x + 13 si x > 2

{ 6x – 11 si x < 2

-2

-3

-1

1

-6

-7

-8

-4

-5

-11

1

-9

-10

532 4 x

y

0

F(x) = -3 2x – 4 + 1

y=6x - 11

Y= -6x + 13