TEMA 12: ESPACIO AFÍN

1.- Ecuaciones de la recta en el espacio. 2.- Ecuaciones del plano. 3.- Posiciones relativas de rectas y planos. Incidencia y paralelismo.

Introducción.

A lo largo de este tema vamos a estudiar cómo expresamos en coordenadas los conceptos geométricos de recta y de plano (conceptos que ya conocemos geométricamente, es decir a través de dibujos), para lo que utilizaremos los conceptos de sistema de referencia, de punto, vector, suma y multiplicación por escalares de vectores,... y posteriormente estudiaremos qué posición relativa ocu-pan entre sí (paralelismo, incidencia,....), para lo que utilizaremos lo estudiado en el tema de siste-mas de ecuaciones. En el presente tema consideraremos siempre que nuestro sistema de referencia está formado por el origen de coordenadas y la base canónica ya conocida.

1.- Ecuaciones de la recta en el espacio.

Determinación de una recta.

Antes de empezar nos planteamos ¿qué debemos conocer de una recta para que ésta quede determinada?, es decir, ¿cuáles son los mínimos datos que deben darnos para que nosotros podamos decir que hay una y sólo una recta que cumple esas condiciones?

Para ello debemos partir de que dar una recta es dar una dirección y por tanto si conocemos un vector cualquiera que tenga esa dirección, ¿conoceremos esa recta? La respuesta es no, pues re-cordemos que los vectores son libres y así todas las rectas que son paralelas entre sí llevan la misma dirección, y ese vector puede caracterizar a todas esas rectas paralelas entre sí. Me falta algo que ca-racterice a una cualquiera de esas rectas y eso lo conseguiremos imponiendo que pase por ‘algún si-tio’, es decir dando un punto cualquiera de esa recta.

Así pues, a la hora hablar de una recta lo que necesitaremos conocer será un vector de esa recta y un punto. A ese vector lo llamaremos vector director de la recta. Dicho vector no es único pues cualquier múltiplo de él lleva la misma dirección y así si es un vector director t· también lo es, para cualquier número real t.

Está claro que si me dan dos puntos A y B, estamos dando ya las dos cosas, es decir, la di-rección y un punto por el que pasa (mejor aún, ya que estamos dando dos puntos)

Por lo tanto, resumiendo, una recta queda determinada cuando se conocen:

- dos puntos A y B por los que pasa la recta, o bien- un punto A y un vector , llamado vector director, que tiene la misma dirección de la recta.

1

Está claro que ambas son equivalentes, ya que al conocer dos puntos, automáticamente podemos hallar el vector.

Nosotros vamos a considerar que estamos en el segundo caso, es decir, que conocemos un punto A y un vector director y a partir de aquí vamos a calcular su ecuación.

Ecuación vectorial:

Sea r una recta definida por un vector director y un punto cualquiera de ella , tal y como vemos en la figura:

Nos preguntamos cuál es su ecuación, es decir, qué debe cumplir un cuando un punto para estar en esa recta.

Está claro que el vector debe ser múltiplo de

Esto se traduce en

Teniendo en cuenta que, tal como puede apreciarse, , si sustituimos en esta expresión por su valor, nos queda:

Obtenemos así la ecuación vectorial de la recta. Se llama vectorial porque la conocemos a través de los vectores de posición de cada uno de sus puntos.

Si tenemos en cuenta que estamos trabajando con el sistema de referencia y ha-llamos las coordenadas de los vectores de posición , que son respectivamente:

y sabiendo que , la ecuación se convierte en:

que es la ecuación vectorial de la recta expresada en coordenadas.

En esta ecuación, para cada valor que le demos a l, se obtiene un punto de la recta y si le damos to-dos los valores de los nº reales, se obtienen todos los puntos de la recta.

2

Ecuaciones paramétricas:

Las ecuaciones paramétricas de la recta son otra forma de expresar las condiciones para que un punto pertenezca a una recta. Dichas ecuaciones se obtienen a partir de la ecuación vectorial, expre-sando por separado cada variable.

Ecuación continua:

Se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas eliminando l en el sistema.

; ; .

Igualando los valores de l, se obtiene la ecuación continua:

Ecuaciones generales o forma implícita de la ecuación recta:

Igualando en lo anterior dos a dos obtendremos dos ecuaciones:

Esas son las ecuaciones generales de la recta que también llamamos forma implícita, y que tendrán la forma (en general):

Forma implícita de la ecuación de la recta

Ejemplo:

Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1, -2, 3) y tiene como vector director a = (-1, 4, 2).

Ecuación vectorial:

Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua:

Ecuaciones implícitas: que dan lugar a:

3

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Teniendo en cuenta que una recta queda también determinada cuando se conocen dos puntos de la misma, si conocemos los puntos y podemos obtener un vectordirector restando las coordenadas de los mismos:

Ahora podemos escribir su ecuación en cualquiera de las formas que ya conocemos, por ejemplo, en forma de ecuación continua, usando el vector obtenido y el punto

. Nos quedará:

(Ecuación de la recta que pasa por dos puntos)

(Nota: También podemos escoger el punto B en lugar del A.)

Ejemplo:

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,-2,4) y B(2,3,5)

es decir,

Nota: Si es importante saber calcular la ecuación de una recta a partir de un punto y un vector direc -tor, no menos importante es ser capaz de realizar el proceso contrario, es decir, extraer un vector y uno o varios puntos a partir de la ecuación de la recta, independientemente de la forma en que ven -ga dada. Igualmente importante es saber comprobar si un punto está o no en una recta.

Ejemplo:

Halla un punto y un vector director de la recta . Comprueba si A(1,-3,2) perte-

nece a dicha recta.

Está claro que un punto de la recta será P(1, -2, 3) y que el vector director es: = (-1, 4, 2).

Para saber si A(1,-3,2) pertenece a la recta basta ver si cumple su ecuación. Para ello, sustituimos sus coordenadas:

que resulta: por lo que A no está en la recta dada.

4

AB

Ox

y

z

2.- Ecuaciones del plano.

Determinación de un plano en el espacio.

Nos haremos la misma pregunta que para una recta, ¿qué determina un plano? Vamos a pen-sarlo esta vez con lo visto en el tema anterior. La pregunta entonces sería, ¿qué genera un plano? Y a esa pregunta ya podemos responder, un sistema generador de un plano (y por tanto una base) son dos vectores linealmente independientes (no proporcionales). Pero como pasaba para una recta to-dos los planos paralelos entre sí podrían estar generados por esa misma pareja de vectores libres y por tanto hay que dar algo más que me diga cuál de esos planos paralelos es el nuestro, ese ‘algo’ será un punto del plano. Así, con dos vectores y un punto tendremos determinado un plano. Por ana-logía con lo visto para una recta a esos vectores podemos llamarlos vectores directores del plano. Veremos que también tres puntos no alineados generan un plano, pero ambas cosas son equivalen-tes ya que a partir de los tres puntos obtendremos dos vectores y un punto.

Distintas formas de expresión de la ecuación de un plano:

Ecuación vectorial del plano:

Dados dos vectores linealmente independientes del plano , y

, y un punto del plano , entonces si consideramos otro punto cualquiera del plano , tenemos (como vemos en la figura) que:

Teniendo en cuenta que y son linealmente independientes (y por tanto también sistema generador de ese plano), el vector

debe ser combinación de ellos, es decir:por tanto,

Ecuación vectorial del plano

Pero teniendo en cuenta que las coordenadas de cada uno de los vectores son:; ; ; , se obtiene:

Ec. vectorial del plano en coordenadas

5

C

xO

A

P

y

z

B

u

v

Ecuaciones paramétricas del plano:

Las ecuaciones paramétricas se obtienen de la ecuación vectorial en coordenadas. Basta igualar la ecuación anterior coordenada a coordenada:

Ecuaciones paramétricas del plano

Ecuación general o implícita del plano:

La ecuación general del plano se obtiene eliminando l y m en la ecuaciones paramétricas. Pa-ra ello, podemos considerar el sistema anterior como un sistema de tres ecuaciones con dos incógni-tas l y m. Procediendo a despejar esas incógnitas, el sistema quedará:

donde las matrices de coeficiente y ampliada son respectivamente:

Pero si queremos que el sistema tenga solución, teniendo en cuenta que el rango de la matriz de coeficientes es 2 (ya que los vectores y son linealmente independientes), para que este siste-ma tenga solución, el rango de la matriz ampliada ha de ser también 2 lo que exige que el determi-nante de dicha matriz sea nulo, es decir,

Desarrollando ese determinante obtendremos la ecuación implícita del plano, que tendrá la forma:

Ecuación implícita del plano

(Nota: Al imponer al determinante la condición de que sea 0, estamos diciendo que los vectores , y sean linealmente dependientes, es decir, que sea combinación lineal de , )

Ejemplo:

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 1, 3) y tiene por vectores directrices;

Sustituyendo:

6

Ecuación vectorial del plano

Ecuaciones paramétricas del plano

desarrollando el determinante: 2(x-2)-3(y-1)-(z-3)-3(x-2)=0 y queda:

-x-3y-z+8=0 o mejor, x + 3y + z -8 = 0 Ecuación implícita del plano

Ecuación de un plano dado por tres puntos:

Si en vez de tener dos vectores y un punto lo que conocemos son tres puntos no alineados, el plano queda igualmente determinado pues por tres puntos no alineados pasa un único plano. Para calcular sus ecuaciones únicamente debemos formar dos vectores con esos puntos y tomar uno cualquiera de ellos y actuar como en el apartado anterior.

Es decir, dados A, B y C, tres puntos no alineados, para determinar la ecuación del plano, obtene -mos dos vectores, por ejemplo, y . Con los vectores obtenidos y uno de los tres puntos, por ejemplo el A, podemos formar la ecuación.

Ejemplo:

Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2, 1, 3), B(3, 3, 2) y C(3, 2, 5).

;

Si elegimos, por ejemplo, el punto A(2, 1, 3), resulta:

, y desarrollando el determinante,

Quitando paréntesis y agrupando términos, obtenemos

Ecuación normal del plano:

Aún existe otra forma de determinar un plano pero antes daremos una definición:

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Definición: Diremos que un vector es un vector normal a un plano si es perpendicular a él. Es evidente que si un vector es normal a un plano, entonces es perpendicular a cualquier vector que es-té en ese plano.

Pues bien, otra forma de determinar un plano será entonces dar un punto y un vector normal a él, pues es sencillo ver que dando una dirección perpendicular queda determinada la dirección de mi plano. Veamos entonces cómo obtener la ecuación implícita de un plano a partir de lo anterior. Si

es un punto del plano y es un vector normal al plano, consideremos otro

punto cualquiera del plano como vemos en la figura:

De lo anterior y la definición vista tenemos que: por lo que su producto escalar será 0:

Y expresándolo en coordenadas: Ecuación normal

De donde desarrollando, obtenemos la ecuación implícita:

nos queda

Ecuación general

(Nota: Se puede observar que los coeficientes de las variables x, y, z siempre coinciden con las co-ordenadas del vector normal)

Ejemplo:

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, -2, 0) y tiene por vector normal

Sustituyendo: Ecuación normal

que desarrollada nos queda: 4(x-1)+3(y+2)+5z=0 y simplificando llegamos a la general:

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n

n

P0

P

4x+3y+5z+2=0 Ecuación implícita del plano

Utilidades del vector normal del plano

Haz de planos perpendicular a un vector dado:

Si nos dan un vector normal , entonces todos los planos perpendiculares a él tendrán la forma:

Haz de planos perpendiculares a

Ese conjunto de planos serán todos perpendiculares a (y, por supuesto, todos paralelos entre sí).

Ejemplo:

Dado un vector normal , calcula el haz de planos perpendiculares a él.

El haz de planos será:

Cálculo de un plano dado un vector normal y un punto:

Si nos dan un vector normal y además un punto cualquiera del plano , ya no tendremos un haz de planos sino que tendremos un plano concreto.

Según el apartado anterior, a partir de sabemos que el plano que buscamos tendrá la forma , y sustituyendo las coordenadas del punto ahí en el haz (que tendrá que cumplirla por ser un punto del plano) calculamos cuanto vale k que será el valor concreto de nuestro plano.

Ejemplo:

Dado un vector normal y un punto A(1, -2, 0), calcula el plano que determinan.

El haz de planos será: y ahora, sustituyendo las coordenadas de A:

de donde se deduce que k = -4

Por tanto, nuestro plano será: Plano paralelo a uno dado que pasa por un punto:

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Si nos dan un plano , y nos piden que calculemos el plano paralelo a que pase por el punto , por todo lo visto anteriormente sabemos que un plano paralelo a tendrá el mismo vector normal, por lo que será de la forma:

Y sustituyendo el punto calculamos k tal y como haríamos antes.

Ejemplo:

Dado el plano , calcula otro plano paralelo a él que pase por el punto A(3, 5, -2), calcula el plano que determinan.

El haz de planos será: y ahora, sustituyendo las coordenadas de A:

de donde se deduce que k = -7

Por tanto, nuestro plano será:

Cálculo de un vector perpendicular a un plano:

De la misma forma que dado un vector podemos calcular el haz de planos perpendiculares a éste, si tenemos un plano , un vector normal a ese plano será

Ejemplo:

Dado el plano calcula un vector normal a dicho plano.

Un vector normal sería:

(Nota: cualquier otro vector múltiplo de también sería normal al plano.

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3.- Posiciones relativas de rectas y planos. Incidencia y paralelismo.

En este apartado nos vamos a preguntar las posiciones relativas entre los diferentes elementos del espacio, sobre todo, rectas y planos. Así, analizaremos las posiciones relativas entre:

Dos rectas Una recta y un plano Dos planos Tres planos.

Posición relativa de dos rectas en el espacio

Dos rectas en el espacio pueden tener las siguientes posiciones relativas entre sí:

Coinciden Son paralelas Se cortan Se cruzan- Misma dirección - Misma dirección - Distinta dirección. - Distinta dirección.- Algún punto en común. - Ningún punto en común. - Un punto en común. - Ningún pto en común

Posición relativa de dos rectas conocidos sus vectores directores y un punto de cada una:

Vamos a considerar las siguientes rectas:

Está claro que de cada una podemos extraer un vector y un punto:

y

(Nota: Recordemos que la condición para que dos vectores sean paralelos es que sean proporciona-les, es decir , e igualando coordenada a coordenada y despejando l cada vez tenemos que:

l = Condición de paralelismo de vectores

Por tanto, al dividir sus coordenadas siempre sale lo mismo.)

Pues esta condición nos va a ayudar a estudiar la posición relativa entre dos rectas ya que:

Si y son paralelos esas rectas deben ser paralelas o coincidentes (pues tendrían la misma direc-ción). Para distinguir cada caso basta tomar un punto de una de ellas, por ejemplo el punto P de r y entonces:

Si P s las rectas son coincidentes.

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Pr s

Pr s

r s

P

r

s

P

Q

Si P s las rectas son paralelas.

Si y no son paralelos esas rectas deben ser secantes o se cruzarán. La diferencia radicará enton-ces en si las dos están en el mismo plano (secantes) o no lo están (se cruzan). Si tomamos entonces el vector , esas rectas estarán o no en el mismo plano dependiendo de si ese vector es o no co-planario con y . Así:

Si , y son coplanarios se cortan.

Si , y no son coplanarios se cruzan.

El ser o no coplanarios lo comprobaremos viendo el rango de la matriz que forman (determinante igual o distinto de 0).

Todo lo anteriormente dicho lo podemos resumir mejor si estudiamos la posición relativa de dos rectas mediante rangos:

Vamos a considerar las rectas anteriores

De cada una de ellas extraemos un vector y un punto:

y

Formamos además el vector

Consideramos la matriz M´ formada por los vectores , , .

Observa que M es la submatriz formada por los vectores y

Entonces podemos pensar lo anterior según el siguiente cuadro

Rg (M) Rg(M´) Posición relativa de r y s

1 1 Coincidentes

12

2 Paralelas

22 Se cortan

3 Se cruzan

(Nota: En caso de que se corten, nos pueden pedir el punto de corte. Para ello, igualamos las coor-denadas de las respectivas ecuaciones paramétricas. (ojo: las dos ecuaciones deben figurar con pará-metros distintos). Se resuelve el sistema y después se sustituye el valor de uno de los parámetros ob-tenidos en la ecuación correspondiente.

Ejemplo:

Estudia la posición relativa de las rectas

Si extraemos un punto y un vector de cada una:

y

Formamos además el vector

Consideramos la matriz M´ formada por los vectores , , .

Puede comprobarse que Rg(M) = 2 y que Rg (M´) =2 ya que:

. Por tanto, se cortan en un punto

Rg (M) Rg(M´) Posición relativa de r y s

2 2 Se cortan

Vamos a calcular el punto en el que se cortan:Para ello, igualamos coordenada a coordenada las dos ecuaciones

y nos quedará: Resolviendo el sistema se obtiene l = 5; m = 14.

El punto de corte se obtiene haciendo l = 5 en la primera ecuación o m = 14 en la segunda. Se cor-tan en el punto P(-3, 28, 5).

Posición relativa de una recta y un plano

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Al estudiar la posición relativa entre una recta y un plano, pueden darse los siguientes casos:

Recta contenida en el plano Paralelos Secantes (se cortan en un punto)

Podemos afrontar el estudio desde diversos puntos de vista pero lo más fácil es considera la recta en forma paramétrica y el plano en forma general.

Si ahora sustituimos cada coordenada de la recta en la ecuación del plano, nos puede quedar uno de los siguientes casos:

- Si al operar y simplificar se llega a 0 = 0, desapareciendo el valor de l, es porque todos los puntos de la recta son soluciones válidas, lo que significa que la recta está contenida en el plano.

- Si llegamos al absurdo 0 = k, siendo , es porque no hay solución, luego la recta es para-lela al plano.

- Si se llega a una solución l = k, es porque la recta corta al plano en un punto. Dicho punto se obtiene sustituyendo el valor de l en la recta.

Ejemplo:

Estudia la posición relativa de las rectas y el plano

Si sustituimos las coordenadas de la recta en la ecuación del plano tendremos:

o también: de donde

Esto significa que hay un punto en común, es decir, se cortan y el punto de corte será el que resulte de sustituir l en la ecuación de la recta:

Posición relativa de dos planos

La posición relativa que dos planos pueden ocupar en el espacio es una de las siguientes:

Coincidentes Paralelos Secantes (se cortan en una recta)

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r

r

r

r

Vamos a ver como podemos averiguar cuando se da cada caso.

Sean los planos

Estudiando el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada, resultan los siguientes ca-sos:

;

Rg (M) Rg(M´) Posición relativa de y ´

1 1 Coincidentes

1 2 Paralelos

2 2 Se cortan

Todo esto es fácil de entender ya que:

Si serán proporcionales los coeficientes de las incógnitas y los térmi-nos independientes, es decir, son el mismo plano, luego planos coincidentes.Si y , serán proporcionales los coeficientes de las incógnitas, pero los términos independientes no siguen la relación de proporcionalidad. Serían casi iguales, es de-cir, planos paralelos.Si , los coeficientes no son proporcionales, por lo que no habrá ningún tipo de paralelismo. Los planos se cortan en una recta y serán planos secantes.

Ejemplo:

Estudia la posición relativa de los planos ;

Si escribimos la matriz de coeficientes, , vemos a simple vista, que los coeficientes

no son proporcionales, por tanto, y los planos se cortan en una recta.

Para hallar la ecuación de la recta, basta resolver como si fuese un sistema de ecuaciones indetermi-nado, es decir, hacemos z = l y entonces resulta Sustituyendo en la primera ecuación se obtiene La recta intersección, en paramétricas, es

Haz de planos

Dada una recta se llama haz de planos secantes de arista r, al conjunto de todos los planos que pasan por r. El haz de planos viene definido por la siguiente ecuación:

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es decir, es la combinación lineal de los dos planos que determinan la recta r.Para b = 0, se obtiene el primer plano y para a = 0, obtenemos el segundo

De los dos parámetros a y b, puede eliminarse uno, lo que supone una mayor simplicidaden los cálculos, aunque se paga el precio de perder un plano.

Esta ecuación es más operativa que la primera al depender de un sólo parámetro Se pierde el plano

Ejemplo:

Halla la ecuación del plano que contiene a la recta y es paralelo a la recta

El haz de planos que pasa por r es: o bien,

Si es paralelo a s , los vectores y deben ser perpendiculares, por tan-to, el producto escalar es nulo:

Resolviendo la ecuación obtenemos l = -2. y sustituyendo en la ecuación del haz, obtenemos

Posición relativa de tres planos

Antes de nada debemos preguntarnos la posición que pueden ocupar tres planos en el espacio. Las únicas posibles son las siguientes:

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r a n g( M ) = r a n g( M * ) = 1

r a n g( M ) = 1 ; r a n g( M * ) = 2

r a n g( M ) = 2 ; r a n g( M * ) = 3

L o s p la n o s se c o r t a n do s a do s.

r a n g( M ) = 2r a n g( M * ) = 3H a y do s p la n o sp a r a le lo s, e s de c ir ,c o n c o e f ic ie n t e sp r o p o r c io n a le s .

r

r a n g( M ) = r a n g( M * ) = 2

r a n g ( M ) = r a n g ( M * ) = 3 = n ú m e r o d e in c ó g n i t a sSis t e m a c o m p a t ib le d e t e r m in a d o , s o lu c ió n ú n ic aL o s p la n o s s e c o r t a n e n e l p u n t o P .

P

rang(M)=1 rang(M*)=2Dos planos coinciden yOtro es paralelo

rang(M)=2rang(M*)=2Hay dos planoscoincidentes, ,y otro los corta

.

r

Aunque el estudio de tantos casos pueda parecer complicado, es bastante fácil si nos dejamos guiar por la lógica. Es fundamental saber reconocer, a partir de las ecuaciones de cada plano, si entre los tres planos hay algunos coincidentes o paralelos. Esto debemos saberlo del apartado anterior.

Vamos a ver cómo podemos saber cuando se da cada caso.

Supongamos que tenemos tres planos en forma general:

Está claro que los tres planos forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que nosotros ya sabemos discutir. Pues de esa discusión que hagamos saldrán las posiciones relativas.Considerando la matriz de coeficientes y la matriz ampliada y calculando sus rangos podemos obte-ner uno de los siguientes casos:

;

Rg (M) Rg(M´) Posición relativa

1

1 Coincidentes

2

Dos coinciden y otro es paralelo

Los tres son paralelos

2

2

Dos coinciden y otro los corta

Se cortan los tres en una recta

3

Dos paralelos y otro los corta

Se cortan dos a dos

3 3 Se cortan en un punto

Ejemplos:

Estudia la posición relativa de los planos

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Observando la matriz de coeficientes y la ampliada:

Vemos que la tercera fila de M es el doble de la primera, coeficientes proporcionales, luego los planos 1 y 3 son paralelos pero no coincidentes porque no existe esa proporcionalidad entre los términos D y D´´. Por otra parte, el plano 2 es secante con 1

y también con 3 luego la posición es la queaparece en el dibujo.

También puede verse a través del rango.

El rango de la matriz de coeficientes es dos, mientras que el rango de la matriz ampliada es tres. Teniendo en cuenta Rg(M)=2 y Rg(M*)=3 y que además hay dos planos paralelos, la posición es la que hemos dibujado.

Halla el valor de k para que los planos ; y , se corten en una recta.

Sabemos que para que los tres planos se corten en una recta se ha de verificar que (puede observarse que no hay paralelismos ni coincidencia entre ellos).

Así pues, considerando el sistema que determinan los tres planos

tenemos que hallar k para que dicho sistema cumpla:

Aplicando el método de Gauss,

~ ~

Está claro que para que el Rg (M) sea 2, la tercera línea debe anularse completamente y esto ocu-rre para k = 7.

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1

3

2

Ejercicios resueltos

1.- Estudia si los cuatro puntos A(1, 2, -1), B(1, 3, 0), C(0, 0, 1) y D(0, 2, 4) son coplanarios.

Solución:Una forma de hacerlo es hallar la ecuación del plano determinado por los tres primeros puntos:

A continuación sustituimos el punto D(0, 2, 4) en la ecuación del plano. Si se verifica la ecuación, los puntos son coplanarios. En caso contrario, forman un tetraedro:

por tanto, los puntos no están en el mismo plano, no son coplanarios. 2.- Demuestra que dados dos puntos , , las coordenadas del punto medio

son:

La demostración está basada en las operaciones con vectores.Partimos del hecho de que el punto medio M divide al segmento AB en dos mitades, es decir:

También debemos darnos cuenta de que:

A partir de estas dos observaciones podemos escribir:

Y si las coordenadas de los puntos son , y obtenemos:

Las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen haciendo la semisuma de los pun-tos extremos del segmento.

3.- Sea el plano : Halla la ecuación del plano , paralelo al anterior, que con-tiene al punto A(-3, 2, 4)

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A

BM

O

x

y

z

Solución:La ecuación del plano será de la forma siguiente: Como podemos sustituir las coordenadas de A en la ecuación del plano por tanto,

D = 15 y entonces es el plano buscado.

4.- Dada la recta r definida por la intersección de dos planos, escribe su ecuación en forma paramétrica.

Solución:Hacemos se obtiene el sistema siguiente:

y sumando ambas ecuaciones resulta Sustituyendo en la 2ª ecuación resulta por tanto,

5.- Estudia la posición relativa de la recta y el plano de ecuación

Solución:

Sustituyendo en la ecuación del plano obtenemos: l=-2

La recta y el plano se cortan en un punto P de coordenadas es decir

6.- Calcula k para que se corten las siguientes rectas y averigua en qué punto lo hacen:

Solución:Primero expresamos r y s en forma paramétrica

Un punto y un vector de la recta r: Un punto y un vector de la recta s: Hallamos el vector que une los dos puntos: Finalmente, igualamos a cero el determinante formado por los tres vectores:

. Resolviendo la ecuación se obtiene k = 2.

El punto de intersección lo podemos obtener igualando las dos ecuaciones y resolviendo el sistema formado:

y de aquí,

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r

r a n g( M ) = r a n g( M * ) = 2

El punto de corte se obtiene llevando el valor de l obtenido a la ecuación de la recta r: (1, 0, 2)

7.- Halla la posición relativa de los tres planos siguientes.

Solución:Podemos hacerlo por el método de Gauss:

~ ~

rang(M) = rang(M*) = 2Planos secantes. Los tres planos se cortan en una recta.

8.- Dadas las rectas r: y s: encuentra el plano que pa-

sa por r y es paralelo a s.

Solución:Utilizamos el punto de la recta r y los vectores de cada una de las dos rectas:

y simplificando obtenemos la ecuación implí-

cita del plano buscado:

9.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, -1, 0) y se apoya en las rectas

Solución:Plano que pasa por A y contiene a la recta r: (Haz de planos)

Y como pasa por A(2,-1, 0), a = 1, por tanto,

es decir,

Plano que pasa por A y contiene a s:Expresamos primeramente la recta s en forma implícita:

Y como pasa por A(2,-1, 0), a =-1, por tanto,

, es decir,

La recta pedida viene dada como intersección de los dos planos obtenidos:

21

10.- Consideremos las rectas de ecuaciones

s:

a) Halla n para que r y s sean paralelas.b) Con el valor de n obtenido, determina la ecuación del plano que contiene ambas rectas.

Solución:a) Expresaremos la recta r en paramétricas:

Si hacemos Sustituyendo en la 2ª ecuación, La recta r queda de la siguiente forma:

Por otra parte, sabemos que s:

Además, un vector de r es y un vector de s es Para que las rectas sean paralelas sus vectores directores tienen que ser proporcionales, por tanto,

b) El plano que contiene a las dosrectas, queda determinado porel punto P y los vectores u y siendo

Su ecuación se obtiene a partirde un determinante:

Desarrollando el determinante y simplificando, obtenemos la ecuación siguiente:

11.- Halla el valor del parámetro a para que los planos siguientes se corten en una recta.

Determina la ecuación de la recta mencionada en coordenadas paramétricas.

Solución:Podemos aplicar el método de Gauss:

~ ~

Para que se corten en una recta se ha de verificar que y ello se verifica si , es decir, cuando a = 1.

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Cuando a = 1, el sistema queda de la siguiente forma: y si hacemos resulta

La recta intersección de los planos dados es la siguiente:

12.- Sea la recta de ecuación y el plano

Halla el valor de m para que sean paralelos.

Solución:

La ecuación de la recta podemos ponerla en la forma siguiente:

Para que la recta y el plano sean paralelos, el sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano ha de ser incompatible.

Hacemos que el rango de la matriz de coeficientes sea 2:

Como podemos encontrar un determinante de orden 3 distinto de cero, el rango de la matriz amplia-da es 3, es decir, (Sistema incompatible)La recta y el plano son paralelos.

Otra manera:

Sea

La condición de paralelismo de recta y plano es: por tanto,

23

Ejercicios propuestos

1.- Halla el valor de m para que los puntos y sean co-planarios.

Sol. m = - 1

2.- Calcula el volumen del tetraedro determinado por los puntos y

Sol.

3.- Estudia la posición relativa de las rectas

;

Sol. Se cortan en el punto (-3,28,5)

4.- Halla la ecuación de un plano paralelo al plano de ecuación y que pase por el punto P(1, 0, 8)

Sol.

5.- Calcula el área del triángulo cuyos vértices son las intersecciones del plano con los ejes de coordenadas.

Sol.

6.- Estudia la posición relativa de la recta y el plano de ecuación

Sol. La recta y el plano son paralelos

7.- Estudia la posición relativa de los siguientes planos:

Sol. y son paralelos. El tercero es secante a los otros dos.

8.- Escribe la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a la recta cuyas ecuaciones para-métricas son

9.- Halla m para que las rectas sean secantes.

Sol. m = 11

10.- Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(5, 0, 1), B(4, 1, 0) y es paralelo a la recta

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Sol.

11.- Un plano contiene a las rectas y . Halla su ecua-

ción.

Sol.

12.- Dada una recta r, de ecuación halla:

a) Las ecuaciones de dos planos que determinan r.b) En el haz formado por los planos que determinan r, halla el que pasa por el punto

Sol. ;

13.- Halla la ecuación de la recta t, que pasa por el punto A(1, 0, -2) y corta las rectas siguientes:

;

Sol.

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