1Matemática Básica (Ing.)

Sesión 12.2

Sistemas lineales ymétodo de Gauss

2Matemática Básica (Ing.)

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3Matemática Básica (Ing.)

Habilidades

1. Expresa un sistema de ecuaciones lineales por medio de una matriz ampliada.

2. Aplica las operaciones elementales de fila (renglón) sobre una matriz para escalonarla o escalonarla reducida por filas (renglones).

3. Resuelve un sistema de ecuaciones con el método de Gauss y lo relaciona con el método de la matriz escalonada o escalonada reducida determinando el conjunto solución.

4Matemática Básica (Ing.)

Sistemas de ecuaciones y operaciones con filas (renglones)

Para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

3

72

72

z

zy

zyx1. 2.

322

1453

72

zyx

zyx

zyx

Se puede aplicar el método de Gauss, de maneraque con operaciones de fila como en el ejemplo 2,se puede llegar a una forma de sistema de ecuaciones similar al ejemplo 1, sin alterar elresultado para x, y y z.

3.

813135

352

43

zyx

zyx

zyx

5Matemática Básica (Ing.)

Eliminación gaussiana Las operaciones siguientes producen un sistema equivalente de ecuaciones lineales.

1. Intercambiar cualesquier dos ecuaciones del sistema.

2. Multiplicar (o dividir) una de las ecuaciones entre cualquier número real distinto de cero.

3. Sumar un múltiplo de una ecuación a cualquier otra ecuación del sistema.

Según estas indicaciones, resuelva los ejemplos 2 y 3. ¿A qué conclusión llega?

6Matemática Básica (Ing.)

Operaciones elementales por filasDado el siguiente sistema de ecuaciones lineales(SEL), para aplicar operaciones de fila (renglón R)se escribe la matriz ampliada.

322

1453

72

zyx

zyx

zyxSistema de ecuaciones

Matriz ampliada

3122

14153

7121

7Matemática Básica (Ing.)

Proceso de operaciones por filas

Multiplique la fila 2 por -2 y sume el resultado a la fila 3: (R3-2R2)

Multiplique la fila 1 por -3 y sume el resultado a la fila 2: (R2-3R1)

Multiplique la fila 1 por -2 y sume el resultado a la fila 3: (R3-2R1)

322

72

72

zyx

zy

zyx

3122

7210

7121(-3)R1+R2

1132

72

72

zy

zy

zyx

11320

7210

7121

(-2)R1+R3

3

72

72

z

zy

zyx

3100

7210

7121

(-2)R2+R3

8Matemática Básica (Ing.)

3100

7210

7121

Una matriz está en la forma escalonada por filas si se satisfacen las condiciones siguientes.

1. Las filas que consisten únicamente en ceros (si los hay) aparecen en la parte inferior de la matriz.

2. En una fila que no consiste sólo de ceros, la primera entrada diferente de cero es 1.

3. El subíndice de la columna con el 1 de más a la derecha aumenta conforme el subíndice de la fila aumenta.

Forma escalonada por filas de una matriz

9Matemática Básica (Ing.)

Operaciones elementales por fila sobre una matriz

Una combinación de las operaciones siguientes transformará una matriz en la forma escalonada por filas.

1. Intercambiar cualesquiera dos filas.

2. Multiplicar todos los elementos de una fila por un número real distinto de cero.

3. Sumar un múltiplo de una fila a cualquier otra fila.

10Matemática Básica (Ing.)

Ejemplos

Resuelva el sistema con las operacioneselementales por fila.

732

02

32

zyx

zyx

zyx

12

842

3

zyx

zyx

zyx

2753

1432

132

wzyx

wzyx

zyx

1.

2.

3. Concluirá que el sistematiene infinitas soluciones.

Concluirá que el sistematiene infinitas soluciones.

Concluirá que el sistematiene una solución.

11Matemática Básica (Ing.)

Forma escalonada reducida por filas

La solución del ejemplo 1 anterior, se pudo haberresuelto de esta manera:

732

02

32

zyx

zyx

zyx

3100

4110

3211

Se puede continuar aplicado el proceso y puede implicar un grado mayor de dificultad en dicho proceso.

Problema original.

Aplicando operaciones de fila.

3100

7010

2001

Pro

ceso

Exte

nsi

ón d

el

pro

ceso

12Matemática Básica (Ing.)

Resolución de sistemas con matricesinversas

Sistemas lineales cuadrados invertibles:

Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de n ecuaciones lineales con n variables, dado por AX = B, donde X es una matriz de variables den 1 y B es la matriz de n 1 de números del lado derecho de las ecuaciones.

Si A-1 existe, entonces el sistema de ecuaciones tiene la solución única:

BAX 1

13Matemática Básica (Ing.)

Ejemplo

Resuelva el sistema propuesto

5

023

yx

yx

a sabiendas que

5

0

11

23

y

x5

023

yx

yx

BAX

y

ac

bd

bcaddc

ba 11

1A

14Matemática Básica (Ing.)

Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios: 6, 10, 12, 14, 18,22, 28, 30, 34, 36, 46, 48,52 y 58 de las páginas604 y 605.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante