CONTENIDO ANALITICO

GEOMETRIA ANALITICA A 1

Elementos de geometría analítica A 1

La Recta A 1

La Circunferencia A 5

La Parábola A 7

La Elipse A 9

La Hipérbola A 11

Gráfica de inecuaciones A 16

FUNCIONES A 18

Función real de variable real A 18

Gráfica de funciones A 21

Función constante A 22

Función lineal A 22

Función cuadrática A 23

Función cúbica A 25

Función polinomial general A 26

Función potencial A 27

Función raíz cuadrada A 28

Función escalón unitario A 28

Función signo A 28

Función máximo entero A 29

Función potencial general A 31

Trazado de gráfica especiales A 32

Funciones crecientes y decrecientes A 35

Funciones periódicas A 35

Funciones par e impar A 35

Función inyectiva A 36

Función sobreyectiva A 37

Función biyectiva A 38

Funciones trigonométricas A 39

Igualdad de funciones A 41

Unión de funciones A 42

Adición de funciones A 43

Sustracción de funciones A 44

Multiplicación - división de funciones A 45

Composición de funciones A 46

Función inversa A 48

INTRODUCCION AL ANALISIS DEL CALCULO 1

Noción de variación 1

Integral indefinida 2

Interpretación geométrica de la derivada 3

Análisis de extremos 3

Integral definida 4

Suma de Riemann 5

Crecimiento y decrecimiento de una función 6

Límite y derivada (lectura) 7

NUMEROS COMPLEJOS 9

Módulo de un número complejo 9

Operaciones con números complejos 9

Forma polar de un número complejo 10

Raíz n-ésima de un número complejo 12

TEORIA DEL LIMITE 95

Teorema fundamental del límite 17

Tabla de límites notables 21

Límites laterales 22

Límites infinitos 24

Límites al infinito 26

Teorema del sandwich 27

Límites trigonométricos 28

El número e 29

Asíntotas de una curva 31

Continuidad y discontinuidad 34

DERIVADAS 39

El problema de la recta tangente 39

Definición de derivada 40

Recta tangente y recta normal a una curva 41

Tabla de derivadas notables 45

Derivada de funciones compuestas 46

Derivación implícita 49

Derivada de potencias 50

Derivada de funciones trigonométricas inversas 51

Derivada de ecuaciones paramétricas 55

Derivadas de orden superior 55

Regla de L´Hopital 58

Polinomio de Taylor 62

Extremos de una función 68

Concavidad y puntos de inflexión 76

INTEGRALES 79

La integral indefinida 79

Integración por partes 89

Integración de funciones trigonométricas 91

Sustitución trigonométrica 95

Integración por fracciones parciales 97

La integral definida 98

Área en polares y ecuaciones paramétricas 101

Longitud de arco de una curva 101

Trabajo mecánico 104

SUPERFICIES 107

Superficie esférica 107

Coordenadas esféricas 107

Superficie cilíndrica 108

Coordenadas cilíndricas 110

Superficies cuadráticas 110

Parametrización de curvas 112

FUNCIONES VECTORIALES 119

Funciones vectoriales de variable real 119

Límite de una función vectorial 121

Continuidad de una función vectorial 122

Derivada de una función vectorial 122

Recta tangente y plano normal 123

Integración de funciones vectoriales 127

Primer teorema fundamental del calculo 128

Segundo teorema fundamental del calculo 128

Longitud de arco de una curva 131

Vectores unitarios: tangente, normal y binormal 134

Planos fundamentales formados por un triedro móvil 135

Curvatura y torsión 138

Fórmulas de Frenet - Serret 143

Componentes normal y tangencial de la aceleración 146

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 147

Gráfica de una función (R2→R) 149

Operaciones con funciones 150

Curvas de nivel 151

Superficies de nivel 151

Límite de una función de varias variables 152

Continuidad de funciones de varias variables 156

Derivadas parciales 158

Ecuación de la recta y plano tangente 159

Derivada direccional 165

Gradiente de una función 167

Cálculo de la derivada direccional usando gradiente 170

El diferencial total 173

Derivación implícita 177

Aplicación de las derivadas parciales 178

Matriz Hessiana 180

Criterio para calcular extremos relativos 182

Valores máximos y mínimos absolutos (Rn→R) 187

INTEGRALES MULTIPLES 189

Integrales dobles 189

Interpretación como masa y volumen 189

Cálculo de la integral doble 189

Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas 190

Aplicaciones de la integral doble 192

Integrales triples 194

Interpretación como masa y volumen 194

Cálculo de la integral triple 194

Aplicaciones de la integral triple 195

INTEGRALES VECTORIALES 205

Integral de línea de 1er genero 205

Integral de línea de 2do genero 207

Fórmula de GREEN 210

Integral de superficie de 1er genero 214

Integral de superficie de 2do genero 216

Teorema de la Divergencia (ORTROGRASKII - GAUSS) 220

Teorema del Rotacional (STOCKES) 223

ECUACIONES DIFERENCIALES 237

Nociones de ecuaciones diferenciales 237

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) 239

EDO con variables separables 239

EDO homogéneas 240

EDO reducibles a homogéneas 241

EDO lineal de 1er orden 243

Ecuación de Bernoulli 244

EDO exactas 246

EDO no exactas (factor integrante) 247

EDO lineales con coeficientes constantes y homogéneas 251

EDO lineales con coeficientes constantes y homogéneas (2do orden) 252

EDO lineales con coeficientes constantes y homogéneas (orden n) 255

Movimiento armónico simple (MAS) 258

Movimiento amortiguado 259

EDO lineales con coeficientes constantes no homogéneas 261

EDO no homogéneas 2do orden (Wronskiano) 262

EDO no homogéneas 2do orden (Formula especial) 264

Resonancia 266

Sistemas de ecuaciones diferenciales 270

Solución matricial de sistemas de ecuaciones diferenciales 274

CONTENIDO RAPIDO

GEOMETRIA ANALITICA A 1

FUNCIONES A 18

INTRODUCCION AL ANALISIS DEL CALCULO 1

NUMEROS COMPLEJOS 9

TEORIA DEL LIMITE 95

DERIVADAS 39

INTEGRALES 79

SUPERFICIES 107

FUNCIONES VECTORIALES 119

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 147

INTEGRALES MULTIPLES 189

INTEGRALES VECTORIALES 205

ECUACIONES DIFERENCIALES 237

INTRODUCCION Este texto ha sido creado como un texto introductorio a un curso compacto de CÁLCULO y que contiene características dignas de resaltar que lo puede diferenciar de otros. Bajo conocimientos previos que traiga un estudiante, sobre matemática elemental como algebra y trigonometría; este estará capacitado para entender los distintos temas de matemáticas avanzadas bajo un enfoque estrictamente analítico. El material contiene una teoría resumida, muy completa y una variedad de problemas resueltos en donde la complejidad va gradualmente en aumento, con los que reforzará aún más los conocimientos requeridos; se recomienda que usted resuelva estos problemas para obtener más práctica y pueda así verificar sus respuestas. El texto contiene temas específicos de Cálculo I, II, III y IV donde se detalla primeramente los conceptos básicos de geometría analítica, funciones y números complejos, temas que usted ya debería de haber llevado; luego se da un breve concepto de nociones básicas de análisis de cálculo para así empezar con la teoría del límite, que es la base del cálculo diferencial, seguidamente nos enfocamos en el análisis de derivadas e integrales, fuentes de mucho poder en cursos primerizos de ingeniería. A continuación se estudiaran las distintas gráficas de superficies necesarias para poder empezar con el análisis de funciones vectoriales y funciones reales de varias variables, con dichos conceptos podremos estudiar Integrales múltiples e Integrales vectoriales para luego terminar nuestro estudio en las Ecuaciones diferenciales, que enfoca un arte en el desarrollo científico y en la mecánica más avanzada. La importancia del estudio del cálculo radica en que es el punto de entrada al fascinante mundo de la ciencia e ingeniería, usted necesitará esta herramienta para cursos posteriores en su carrera. Una cosa importante de resaltar es que los matemáticos e ingenieros experimentados son aquellos que dedican gran parte de su tiempo al estudio de sus diversas materias, en ese sentido es recomendable que usted dedique también parte de su tiempo al estudio de las matemáticas superiores porque como dijimos es el punto de partida. Como autor de este material tengo que precaver que usted tenga los conocimientos solidos de matemática básica preuniversitaria como de álgebra, geometría y trigonometría, ya que sin estos campos la obra presentada no será de su gusto, por ello le incito a que repase antes de empezar con el texto. Sin más que decir espero que este pequeño aporte cumpla con el objetivo que usted tiene con el curso y con su carrera y contribuyan en su formación profesional y humana.

JESÚS CORREA AYALA