DEPARTAMENTO ENERGIA Y MECANICA

CARRERA INGENIERA MECATRONICA

CUARTO NIVEL

CUADERNO DE MATEMTICA SUPERIOR ING. JHONY BASTIDAS

INTEGRANTES:

LatacungaABRIL /2012

UNIDAD I ANALISIS COMPLEJO1.1 Funciones y Sucesiones Complejas1.2 Lmites y Continuidad1.3 Derivabilidad1.4 Integral Compleja y el TFC1.5 Series de Potencia Complejas.1.6 Teorema de Cauchy Goursat y Formula Integral de Cauchy.1.7 Series de Laurent, Teorema de los ResiduosUNIDAD II ANALISIS DE FOURIER2.1 Espacios Euclidanos y proceso de Gram Schmidt2.2 Bases Hilbertianas2.3 El Espacio L22.4 Bases Hilbertianas de L22.5 Base Clsica de Fourier2.6 Transformada de Fourier

UNIDAD III ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES3.1 Introduccin a los modelos matemticos3.2 EDP Clsicas ecuaciones de onda, calor y Laplace3.3 Mtodo de Separacin de Variable3.4 Funciones Generalizadas3.5 Aplicacin de la transformada de Fourier y Laplace para resolver un EDP

BIBLIOGRAFIA Matemtica Superior para Ingeniera con ayuda de Mximo / Mayorga I. / 2011 / Espaol Maxima by Example / Edwin L. Wodlet / 2009 / Ingls California Uneversity State Long Beach. Maxima and the Calculus / Leon Q. Brin / 2009 / Ingls Southesm University CT State. Matemtica Avanzada para Ingeniera / Sexta Edicin Peter 0 Heil / 2009 / Espaol Cencage Lerning. Anlisis Matemtica Avanzada con aplicaciones a Ingeniera y Ciencias / Reddy I y Rsmussen / 1992 / Espaol Limusa. hppt://forja rediris.es/docman/new.php/209/356/gua_wxmaxima.pdf//Mxima software libre en el aula de matemticas//Opcin: Lectura Obligatoria. hppt://mxima.sourceforge.net/docs/intromax,htmil//Introduccin to Mxima//Opcin: Lectura Obligatoria.

UNIDAD I

NUMEROS COMPLEJOS

Un numero complejo es de la forma x+bi o x+b, en donde x y y son nmeros reales e i2 = 1. La aritmtica de los nmeros complejos est definida por igualdad a+ib = c+id esto sucede cuando exactamente a = c y b = d.

Suma:

Multiplicacin:

En la multiplicacin de nmeros complejos se procede exactamente como se lo hace con polinomios.El nmero real a se llama la parte real de a+ib y es denotado por a = Re (a+ib).El nmero real b es la parte imaginaria y se denota por b = Im (a+ib).

EJEMPLO:

Tanto la parte real como la imaginaria de cualquier nmero complejo son nmeros reales. Si se tiene el sistema de los nmeros complejos como una extensin del sistema de los nmeros reales en el sentido que todo nmero real a es el numero complejo a +0i. Esta extensin de los nmeros reales a los complejos tienen consecuencias profundas, tanto para el lgebra como para el anlisis matemtico por ejemplo, la ecuacin binomial x2+1 = 0 no tiene solucin real, pero tiene dos soluciones complejas i y i. En general el teorema fundamental de algebra establece que todo polinomio de grado positivo n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n races en los nmeros complejos, contando las races repetidas, esto significa que no necesita extender los nmeros complejos para encontrar las races de los polinomios con coeficientes complejos, como sucede con los nmeros reales, para encontrar las races de un polinomio simple tal como x2+1.

La suma compleja obedece a muchas de las reglas de la aritmtica de los nmeros reales. Especficamente para cualesquiera nmeros z, w, u.

z + w = w + z Conmutativa de la Suma z w = w z Conmutativa de la Multiplicacin z + (w + u) = (z + w) + u Asociativa de la Suma z (w u) = (z w) u Asociativa de la Multiplicacin z (w + u) = z w + z u Distributiva

EL PLANO COMPLEJO

Los nmeros complejos admiten dos interpretaciones geomtricas naturales, la primera identifica al nmero complejo (a + bi) con el punto par ordenado (a, b) en el punto, como se muestra en la figura.

Eje Imaginario

. (a, b)-(a+bi)

Eje Real

Esta interpretacin cada nmero real a o a +0i est identificado con el punto par ordenado (a, 0) en el eje horizontal, el cual es por tanto llamado el eje real. Un numero 0 + bi o solo bi se llama un numero imaginario puro y est asociado con el punto par ordenado (0, b) en el eje vertical. Este eje se llama el eje imaginario. Debido a esta correspondencia, entre los nmeros complejos y los nmeros en el plano, sern referidos en el plano xy como el plano complejo.

La segunda interpretacin geomtrica de los nmeros complejos es en trminos de vectores. El nmero complejo z = a + bi o el punto par ordenado (a, b) puede pensarse como un vector ai + bj en el plano el cual a su vez es representado como una flecha desde el origen al punto (a, b).

y

(a, b) (a+bi)

x

La primera componente de este vector es Re (z) y la segunda componente de este vector es Im (z), en esta interpretacin, la definicin de suma de nmeros complejos es equivalente a la ley del paralelogramo para la suma de vectores, ya que dos vectores se suman, sumando sus componentes respectivas.

y(a+c) + i(b+d)

(a+bi)

(c+di)x

MAGNITUD

La magnitud de a + bi es denotada por la + bi l y est definida por la + bi I =, por supuesto, la magnitud de cero es cero si z = a + bi es un numero complejo distinto de cero, entonces la magnitud de z es la distancia del origen al punto (a, b). Alternativamente, I z I es la longitud de ai + bj representado a..

La magnitud de un numero complejo tambin se llama modulo.

y(a, b)(a+bi)Ia+biI

x

CONJUGADA

El complejo conjugado (solamente conjugado de (a + bi) es el numero denotado por y definido por a + bi = a bi, se obtiene el conjugado de z. Esta operacin no cambia la parte real de z. Entonces se tiene Re () = a = Re ( y Im () = -b = Im (.

La operacin de conjugar puede ser interpretada como una reflexin sobre el eje real, debido a que el punto par ordenado (a, -b) est asociado con (a - ib) es la reflexin a travs del eje horizontal en el punto (a, -b) asociado con (a + b).

y . (a, b) ( a+bi)

x

. (a, b) ( a-bi)

TEOREMA 1Sea z y w nmeros complejos entonces se tiene los siguientes enunciados:TEOREMA 11. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. EJEMPLO: 1) Sean dos nmeros complejo z = a + bi y w = c + id demostrar que I zw I = I z I I w I

DIVISION COMPLEJA Suponga que se quiere formar un cociente z/w donde w es diferente de cero, este cociente es el numero complejo u tal que w *u = z. Sin embargo, esto nos ayuda para encontrar el valor de u. EJEMPLO:

DESIGUALDADES Hay varias desigualdades que tendrn ocasin de usarse. TEOREMA 2 Sean z y w nmeros complejos entonces se tiene:

ARGUMENTO Y FORMA POLAR DE NMERO COMPLEJOSea z = a + bi un numero complejo distinto de cero. Entonces el par ordenado (a, b) es un punto distinto del origen en el plano. Este punto tiene por coordenadas polares (r, ), como es notorio en las coordenadas polares el ngulo polar del par ordenado (a, b), no est nicamente determinado. Si camina en el eje real r unidades a la derecha desde el origen y rota este segmento o radianes desde el extremo del segmento en el par ordenado (a, b) como se muestra en la figura: y(a, b)

xEl ngulo polar para el punto (a, b) es cualquier nmero: o + 2n, en el cual n es cualquier entero. Una eleccin positiva corresponde el giro desde cero hasta r, un radian inicial o para alcanzar al punto (a, b) en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. El sentido negativo ser en el movimiento de las manecillas del reloj: EJEMPLO:

Este tiene el punto (1,1) se puede denotar en forma polar (, /4), todas las coordenadas polares del punto (1,1), tendr la forma (, /4 + 2n,).

y (1, 1) r x 0 1

Segn la frmula del Euler se tiene o . Si es cualquier argumento de z = a + bi, entonces el punto (a, b) tiene coordenadas polares par ordenado (r, ). y (a, b) r x

)

Si expresar en forma polar

EJEMPLO:1) Encontrar la forma polar de z = -1 + 4i y (-1,4)

x

Debido a las propiedades exponenciales algunos clculos con nmeros complejos se simplifican si se usan las formas polares digamos que se quiere probar I zw I = I z I I w I

El hecho de que tambin significa que el argumento de un producto es la suma de los argumentos de los factores, modulo o mltiplo entero de , escrito esto en detalle ser que es cualquier argumento de z y es cualquier argumento de w, el valor de es cualquier argumento de zw, entonces para cualquier entero n se tiene que .

Multiplicar dos nmeros complejos tiene el efecto de sumar sus argumentos, modulo o un mltiplo entero de .

EJEMPLO:1) Realizar la operacin zw, sabiendo que:

Img i (2, 2i)

2 Real

(2, -2i) -2

Lugares geomtricos y conjuntos de pruebasAlgunas veces la notacin compleja es muy eficiente en la especificacin de lugares geomtricos de puntos en el plano, la representacin compleja de ciertos conjuntos que aparecen frecuentemente en las aplicaciones e integrales complejas.DISTANCIA Es cualquier numero compleja, el mdulo de va hacer igual es la distancia del origen al en el plano complejo. Si tambin es un nmero complejo es la distancia entre en el plano complejo. Esta es la forma estndar de geometra para la distancia entre los puntos .

CRCULOS Y DISCOSSi es el numero complejo y es un numero positivo , entonces la ecuacin , satisface exactamente por aquellos puntos cuya distancia el lugar geomtrico de los puntos que satisfacen esta condicin, es el circulo de radio alrededor de .y r

a

x

Esta es la manera de especificar a los crculos, en el plano complejo y muchas veces se hace referencia .Si entonces cualquier punto en el circulo tiene la forma polar donde es el ngulo desde la parte positiva del eje real a la recta desde el origen hasta .

La ecuacin sean nmeros complejos distintos. Una ecuacin , pueden expresarse como .a b

Esta expresin requiere que este en la bisectriz perpendicular del segmento de la recta que conecta a , la ecuacin debe ser considerada como la ecuacin de la recta.EjemplosEncontrar la ecuacin de la recta de la siguiente expresin.

yx

y=-1/3(x+13)y=-13/9

i) ii) iii) iv) Ejemplo Indicar la regin que representa las siguientes expresionesi)

r=1

ii)

r=2

iii) r=2

iv)

v)

vi)

120

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJAUna funcin de una variable compleja es una aplicacin de un dominio de un subconjunto de los complejos . Donde la variable le aplicamos una funcin y obtenemos . A calos valor de le corresponde un valor de ; si a un valor de le corresponde ms de un valor de . Suele decirse que es un funcin multivaluda o multiforme de la variable .

Es la funcin monovaluada o univaluada Ejemplos Hallar la parte real e imaginaria de la funcin

Del ejemplo anterior determinar cunto vale

FUNCIN EXPONENCIALi)

ii) Si

PROPIEDADES DE LA FUNCIN EXPONENCIAL es peridica ; el periodo es Demostrar que la funcin es peridica

Demostrar que

PROPIEDADES

FUNCIN LOGARTMICASea . Si = entonces al sacar el ; Algunos conceptos importantes que debemos conocer, en lo que tiene que ver a los lugares geomtricos, siendo elementos de los nmeros complejos. esto representa el modulo y es la distancia desde el origen al punto esta expresin es la distancia entre los puntos es el circulo con centro y radio esto representa al crculo con centro y radio es el conjunto de todos los puntos dentro del circulo (disco abierto). es el conjunto de todos los puntos que estn dentro y en el crculo de radio con centro en el punto disco cerrado. es la recta que biseca a la recta que une los puntos

PUNTO INTERIORUn numero complejo en un punto interior si existe un disco abierto alrededor de que contenga solo puntos de .CONJUNTO ABIERTO es abierto si todo punto de es un punto interior.

PUNTO FRONTERA Un punto es un punto frontera de si todo disco abierto alrededor de contiene al menos un punto en y al menos un punto que no est en ningn punto puede ser punto interior y punto frontera a la vez, generalmente la frontera de se llama la frontera de y se denota por . El punto frontera puede o no pertenecer al conjunto .

TEOREMA Sea S un conjunto de nmeros complejos y sea z en S entonces z es un punto de frontera de S o un punto inferior de S. Sea S un conjunto de nmeros complejos si S es abierto, entonces S no puede contener ningn punto de frontera.CONJUNTO CERRADO Un conjunto de nmeros complejos es cerrado si contiene todos sus puntos frontera.PUNTO LMITE Un nmero es un punto lmite de S si hay puntos de S arbitrariamente cercano a pero diferentes en .Un nmero complejo es un punto lmite en un conjunto S di todo disco abierto alrededor de contiene al menos un punto de S distinto de . TEOREMA Sea S el conjunto de nmeros complejos. Entonces S es cerrado si y solo si S contiene todos los puntos lmites.

Sucesiones complejas La nocin de sucesin compleja es una datacin directa del concepto de sucesin real.

SUCESINUna sucesin compleja es una asignacin de un nmero complejo a cada entero positivo n.El nmero es el n-esimo trmino de la sucesin. Por ejemplo tiene n-esimo trmino.Frecuentemente se indica una sucesin no siendo una lista de primeros trminos, incluyendo suficientes trminos de manera que el patrn quede claro y uno puede decidir que es para cada n.Por ejemplo escribirse La convergencia de sucesiones complejas tambin esta modelada a partir de la convergencia de sucesiones reales.

CONVERGENCIALa sucesin compleja converge a un numero s, todo cualquier numero existe un numero N tal que se cumple .Esto significa que puede hacer cada trmino tan cerca como quiero de L eligiendo n al menos tan grande como algn termino N, puesto de otro menara dada cualquier disco abierto alrededor de puede encontrar algn termino de la sucesin de manera que todos los trminos de la lista a partir de L caiga en D. esta es la idea ms clara que est detrs de la convergencia de sucesiones reales excepto de que los intervalos abiertos en la recta real son reemplazados por discos abiertos. Cuando la sucesin converge a L se describe t o el lmite de la sucesin compleja.

Determine las siguientes expresiones i)

ii)

CONSULTA N1 SUBSUCESIONSea : NK una sucesin y sea : NN montona estrictamente creciente. La sucesin : N K se dice que es una subsucesin de la anterior. Si (an) n N = ((n)) n N es la sucesin inicial entonces la subsucesin se denota del siguiente modo (a nk) k N :=( (k)) k N.EJEMPLO: vendra dada por (k)=2k 1 an1 = a1, an2 = a3, an3 = a5ank = a2k1Mientras que en el segundo (k)=2k an1 = a2, an2 = a4, an3 = a6...ank = a2k.

SUSECION ACOTADA Una sucesin se dice acotada si est acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un nmero k menor o igual que todos los trminos de la sucesin y otro K' mayor o igual que todos los trminos de la sucesin. Por lo que todos los trminos de la sucesin estn comprendidos entre k y K'.k an K'EJEMPLOS:An = 1, 2, 3, 4, 5, ...nEst acotada inferiormente Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...El mnimo es 1.No est acotada superiormente.

CONJUNTO ACOTADO

Sea A un subconjunto de nmeros reales y M un nmero real positivo. Se dice que A es acotado se existe un M tal que para todo x A se verifica que |x| es menor o igual que M.

A es acotado

EJEMPLO:

Un conjunto que conste de los nmeros consta de un mayorante , una minorante y un subconjunto que consta de los cuatro elementos restantes, por lo que es un cojunto acotado.

TEOREMA DE BOLZANO - WEIERSTRASS

Teorema de WeierstrassSi una funcin f(x) est definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(X) alcanza al menos un mximo y un mnimo absolutos en el intervalo [a, b]. Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a, b] donde f alcanza valores extremos absolutos:

El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el mximo y el mnimo, slo afirma que existen.

Teorema de BolzanoSea f una funcin continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un c (a, b) tal que f(c) = 0.

BIBLIOGRAFIA: http://www.ditutor.com/sucesiones/sucesiones_acotadas.htmlhttp://www.vitutor.net/1/teoremas.html

LIMITESSea la funcin definida unvoca en una vecindad de con la posible excepcin de . Decimos que le nmero de es el lmite de cunado tiende a y escribimos que .Si cualquier nmero (posiblemente muy pequeo podemos encontrar algn nmero positivo ), posiblemente muy pequea que generalmente depende tal que se cumple con la siguiente.

Una diferencia muy importante entre los lmites de funciones complejas con los lmites de funciones reales es la forma en que la variable se aproxima al punto.Ejemplo:Determinar el lmite de la funcin cunado z se aproxima a i

i)

Existe el lmite en f(z) pose a qu en z=1 la f(z)=0

TEOREMA SOBRE LMITES

Si el lmite de la funcin: y

i) ii)

iii)

iv)

LMITES AL INFINITOPor medio de la transformacin de punto osea el origen se aplica se llama punto en el infinito en el plano w anlogamente denotamos por z=w el punto en el infinito en el plano z. para considerar el comportamiento de es suficiente hacer Y EXAMINAR EL comportamiento de en w=0.Decimos que limite que o f(z) frente a L cuando z tiende al , si para cualquier podemos encontrar M > 0 tal que el modulo de cuando Decimos que o que tienden al infinito cuando a tiende a , si para cualquier podemos encontrar un tal que el modulo cunado esta distancia este entre CONTINUIDADSea f(z) definida y univoca en una vecindad de ,as como , la funcin f(z) se llama continua en , si el limite observe que para f(z) sea continua en debe cumplir con lo siguiente que:i) debe existir

ii) debe existir o sea f(z) est definida en

iii)

DERIVADASea , suponga que s es un conjunto abierto sea en s, entonces es f es diferente en , si para algn numero complejo L se tiene.

Si el lmite existe independientemente de la manera, como h tiende a 0 se dice entonces que f(z) es diferente en z.

REGLAS DE DIFERENCIALIZACINSon funciones analticas de z: f(z); g(z) y h(z)1.

2.

3.

4.

5. si

6. Si donde entonces

De similar: si w=f(z) donde y n=h(z) entonces

REGLA DE LA CADENA

7. Si , entonces ; y estn relacionas por 8. Si z=f(t) y w=g(t) donde t es un parmetro, entonces:

FUNCIONES ANALTICASSi la derivada existe en todo punto z de una regin entonces diremos que f(z) es analtica en y nos referiremos a ella como una funcin analtica en l; los trminos regular holomorfa son sinnimos de analtica. Una funcin f(z) es analtica en un punto si existe una vecindad tal que en cada punto de ella exista.

ECUACIONES DE CAUCHY-REIMANUna condicin necesaria para que sea analtica en una regin es que r, u, v satisfganla ecuacin de CAUCHI-RAIMAN ;

Las funciones son llamadas algunas veces funciones conjugadas es decir dada la una podemos encontrar la otra.EjemploVerifica f(z) cumple las condiciones de CAUCHY-RAIMANi)

ii)

iii)

FUNCIONES ARMNICAS

Si las segundas derivadas parciales de u y v con respecto a x e y existen y son continuas en una R entonces tiene.

Se deduce en esas condiciones que las partes real e imaginaria de una funcin analtica satisface la ecuacin de laplace denotada por:

El operador se llama la place Funciones tales como u(x,y) y v(x,y) los cuales satisfacen la ecuacin de la place en una regin R, son funciones llamadas armnicas en R verifica que la funcin.

1. Sea armnica

2.

DEBER N 1 En cada problema de 1 al 10, lleve a cabo el clculo indicado 1)

2)

= = 3)

4)

5)

Pruebe que, para cualquier entero positivo n.

1) Si n es par entonces :

2) Si n es impar entonces :

Sea . Determine e

En cada problema del 17 al 22, determine arg (Z). La respuesta debe incluir todos los argumentos del nmero.

1)

2)

3)

En cada problema de 23 al 28, escriba el nmero complejo en forma polar.

1)

2)

3)

Sean y nmeros complejos tales que , pero tales que o tienen magnitud 1. Pruebe que:

DEBER N2DERIVADAS1) Utilizando la definicin, encontrar la derivada de cada funcin en los puntos indicados. a)

b)

c)

2) Determinar si tiene una derivada en cualquier parte.

Si remplazamos z en cualquier punto.

INTEGRAL COMPLEJA

INTEGRALES REALES DE LINEASea P(x,y) y Q(x,y) son funciones reales de x y y continuas en todos los puntos de una curva C, la integral real de lnea Pdx + Qdx a lo largo de la curva C se puede definir por:

Si la curva C es lisa y tiene ecuaciones paramtricas x(t) = (t) y y(t) = (t) donde t esta entre t1 t2 entonces se tiene:

PROPIEDADES DE LA INTEGRALESSi f (z) = u(x,y) + i v (x,y). La integral compleja de lnea se puede expresar en trminos de integrales reales de lnea.

PROPIEDADES DE LA INTEGRALESSi f (z) y g (z) son integrales a lo largo de C entonces se tiene: 1. + 2. ; donde A es una constante. 3. 4. ; donde a, b y m estn en C.5. ; donde sea M es una cota superior de sobre C y L es la longitud de C.

REGIONES SIMPLES Y MULTIPLEMENTE CONEXASUna regin R se llama simplemente conexa, si cualquier curva simple cerrada contenida en R se puede contraer a un punto sin salirnos de R. Una regin R que no es simplemente conexa se llama mltiplemente conexa. EJEMPLO:Supongamos R es la regin definida por que se muestra en la regin sombreada en la siguiente figura.

Si es cualquier curva simple cerrada contenida en R sea cuyos puntos estn en R vemos que en ella se puede deformar en un punto R sin salirse de R de modo que R es simplemente conexa. Por otra parte si R est definida por la regin dada por .

Si dentro de la regin que est limitada y entonces hay una curva simple cerrada en L, la cual no se puede deformar en un punto sin salirse de R de modo que R es mltiplemente conexa.

Una regin simplemente conexa es una que no tiene huecos, mientras que una regin mltiplemente conexa es una que si las tiene, siendo as la regin es mltiplemente conexa la figura a, b y c tienen respectivamente 1 y 3 huecos.

CONVERSION RELATIVA A LA ORIENTACION DE CAMINOS CERRADOSLa frontera C de una regin se recorre en el sentido y direccin positivo con el movimiento contrario a las manecillas del reloj y este se indica por flechas como estn en las figuras a, b y c. Utilizando el smbolo especial para distinguir la integracin alrededor de la frontera C en el sentido positivo. La integral alrededor de C se llama frecuentemente una integral de contorno.

TEOREMA DE CAUCHYSea analtica en una regin R y su frontera en C se tiene:

3) Algunas consecuencias del Teorema de Cauchy.Si analtica en una regin R simplemente conexa, entonces los siguientes teoremas son vlidos.TEOREMA 1Si a y z son dos puntos en R entonces la integral . Es independiente del camino en R que una a y z.TEOREMA 2Si a y z son dos puntos en R y entonces es analtica en L y .TEOREMA 3Si A y B son dos puntos en R y , entonces la .TEOREMA 4Sea analtica en una regin limitada por dos cuervas simples cerradas C y C1 (donde C1 est dentro de C) como se muestra en la figura.

Sea analtica en una regin limitada por las curvas simples cerradas disjuntas C1, C2, C3. Cn estn dentro de C como se muestra en la figura.

Y sobre estas curvas se tiene que la integral de lnea cerrada:

EJEMPLO:

PRODUCTO INTERIORLa distancia euclidiana es un caso particular de lo que se denomina una mtrica, este concepto de mtrica puede ser aplicado en otras situaciones como por ejemplo si consideramos el conjunto C que consiste de todas la funciones continuas definidas en el intervalo cerrado desde podramos definir una distancia entre dos funciones F y G de este conjunto de la manera siguiente:

Hay muchas posibilidades de

O a la distancia definida por:

Estas tres distancias son ejemplos tpicos de mtricas, cada una de ellas tiene su utilidad por ejemplo:

Significa que estamos exigiendo que para cada valor de la diferencia entre f(x) y g(x) vari solo entre si tenemos:

Estamos exigiendo que el rea total entre las grficas de f y g sean menor que la unidad. Si finalmente escribimos:

Estamos exigiendo que el promedio radical cuadrtico del rea entre las grficas de f y g, sean menor que la unidad.

Uno de los objetos que se tiene en mente cuando se usa una mtrica determinada, tiene que ver con el tipo de solucin que se desea hallar para un problema determinado. As una solucin aproximada que este a una unidad de distancia de la solucin exacta de algn problema, tendr en general una estructura diferente dependiendo de la mtrica que se us para resolver dicho problema. Por otra parte lo que se hace verdaderamente til el concepto de mtrica o distancia reside en que cumple con todas aquellas propiedades que uno espera en forma natural que ellas cumplen, por ejemplo la desigualdad triangular. Una buena solucin para este problema es restringirse en lo posible a distancias definidas en base a normas, pues en estos casos las propiedades de la mtrica se deducen de las correspondientes de las propiedades de la norma.

INTRODUCCION Recordemos que en un espacio vectorial de dimensin n que est provisto de un producto escalar todo vector se puede expandir en trminos de una base ortogonal :

(1.1)Donde los coeficientes se pueden calcular mediante la formula

(1.2)Donde (.,.) representa el producto interior en V. La norma de se puede calcular con la formula Pitagrica.

(1.3)B2

c

C2bcA2

b aa

Figura 1: Cuando n = 2 la formula (1.3) establece que en un tringulo rectngulo la hipotenusa se calcula como la raz de la suma de los cuadrados de los catetos: Si suponemos ahora que V es dimensin infinita, nos cuestionamos si es que es posible proveer a V de un conjunto de manera tal que la estructura de las relaciones (1.1), (1.2), y (1.3) siga siendo vlida cuando . Esta cuestin tiene innumerables aplicaciones en Ingeniera; por ejemplo en el Anlisis de Seales, en la resolucin de Ecuaciones Diferenciales Parciales, en el modelamiento de fenmenos peridicos, etc. El ejemplo histrico de esta situacin corresponde a expandir una funcin: como una serie de Fourier Clsica.

Donde los coeficientes son las coordenadas de en la base

Este tipo de expansiones surgi de manera natural en el trabajo sobre curvas vibrantes de D. Bernoulli (1753) y en el trabajo sobre la conduccin del calor de J. Fourier (1822) nos permite modelar sistemas peridicos complicados en trminos de funciones simples (senos y cosenos).Nos interesa abordar la inquietud planteada sobre las expansiones infinitas en trminos de base con partculas interesantes en el espacio de funciones de cuadrado integral . Dependiendo en el intervalo del intervalo , los sistemas de funciones de Legendre, Hermite y Laguerre as como el sistema trigonomtrico toman el papel de base , verificando las relaciones (1.1), (1.2) y (1.3).

ESPACIOS EUCLIDIANOSComo el lector recordara, varios conceptos de la Geometra Euclidiana se pueden replicar en un espacio normado. Esta parecida mejora sustancialmente cuando la norma del espacio se define a travs de un producto escalar; este concepto permite medir ngulos entre vectores. PreliminaresEl lector recordara de sus cursos de fsica que se puede realizar el producto escalar de dos vectores. Este concepto se puede generalizar para un espacio vectorial arbitrario. Definicin 2.1 Producto Interno o Escalar. Espacio Euclidiano Sea V un espacio vectorial. Se dice que la aplicacin

Es un producto interno o producto escalar sobre V si se cumplen las siguientes condiciones:

En este caso se dice que () es un espacio Euclidiano. En un espacio Euclidiano se puede establecer una norma mediante

Y por,

Tambin la distancia entre dos vectores. El ngulo entre dos vectores no-nulos esta dado por

Ejemplo 2.1 EL ESPACIO Recordemos que en el espacio se define el producto escalar de dos vectores Mediante

Aqu, el superndice T representa la transpuesta de una matriz. Si consideramos los siguientes elementos de

El producto interior de u con v es

Calculemos la distancia entre los vectores

Que es la frmula que uno aprende en el curso de Geometra Analtica.

Observacin 2.1 Si es un espacio vectorial definido sobre el campo, se dice que la aplicacin

Es un producto interno sobre si se cumplen las siguientes condiciones:

Ejemplo 2.2 EL ESPACIO Recordemos que en el espacio interno se define el producto escalar de dos vectores Mediante

Ejemplo 2.3 En el espacio vectorial de las matrices de m filas y n columnas, Mm, n, la aplicacin definida mediante

Es un producto escalar. A la norma asociada a este producto escalar se le conoce como norma de Frobenius. Para terminar esta seccin establecemos, gracias al Teorema, la continuidad del producto interno.

Proposicin 2.1 Continuidad del Producto Interno Sea un espacio Euclidiano. Sean y sucesiones en tales que

Entonces,

EL ESPCAIO Vamos a suponer que es o R. Se define el espacio de funciones con cuadrado integrables sobre I como

(2.15)Para que la definicin de sea estrictamente correcta, la integral que aparece en (2.15) deber ser calculada en el sentido de Lebesgue y no en el sentido de Riemann, que es la integral que habitualmente se ensea a un estudiante de Ingeniera. Esto queda fuera de los objetivos de este texto. El lector interesado puede consultar e.g. y .Se define sobre una relacin de equivalencia mediante

(2.16)Se define el espacio como

(2.17)Donde representa la clase de equivalencia de por (2.16)Grosso modo la clase est formada por todas funciones de cuadrado integrableqqq tales que en casi todo punto de manera que la integral (2.16) se anula. Por esta razn, es habitual abusar de la notacin escribiendo en lugar de .

El espacio es Euclidiano cuando se le equipa del producto escalar

(2.18)En este caso la norma viene dada por

(2.19)En tanto que la distancia entre dos funciones est dada por

(2.20)Observacin 2.2 Para calcular las integrales que aparecen en (2.18), (2.19) y (2.20) se debe tomar funciones cualesquiera que vivan en las clases de equivalencia y , respectivamente.Tip de Mxima N1El comando quad_qagi permite realizar la integracin numrica de una funcin general en un intervalo infinito o semi_infinito. Tip de Mxima N2Los comandos acos, asin, atan representan las funciones trigonomtricas inversas arccos, arsin y arctan, respectivamente.

Ejemplo 2.3 En el espacio consideramos las funciones por las formulas

Puesto que

Se tiene que

, Puesto que

Se tiene que

Calculamos el producto escalar entre y

De manera que

El ngulo (en radianes) que forman y es

Que equivale a 34.64, aproximadamente.

En un espacio Euclidiano se cumple la desigualdad de Cauchy Schwartz.

Proposicin 2.2 Desigualdad de Cauchy SchwartzSea un espacio Euclidiano. Se tiene que Para todo (2.21)

Demostracin. Si se cumple inmediatamente (2.21). Supongamos entonces que Para se tiene que

(2.22)El lado de la derecha minimiza cuando

Se concluye al remplazar este valor en (2.22)

Observacin 2.3 En el espacio , , la desigualdad de Cauchy Schwartz

(2.23)Es un caso particular de la desigualdad de Holder,

(2.24)Que fue representada en (??) para funciones en el espacio

ORTOGONALIDAD Un concepto geomtrico que tiene cabida en un espacio Euclidiano es el de ortogonalidad que generaliza la idea de perpendicularidad entre vectores.

Definicin 2.2 Conjuntos Ortogonales y Ortonormales Sea un espacio Euclidiano y . Se dice que B es un conjunto ortogonal si

Si, adicionalmente, se cumple que Para todo Se dice que B es un conjunto ortonormal. Ejemplo 2.5 Sistema Trigonomtrico En el espacio , el sistema trigonomtrico est dado por

Donde, para y ,

Es fcil de verificar que es ortogonal en

0

0

SERIES DE FOURIER FUNCIONES PERIODICAS

Se dice3 que una funcin es una funcin peridica si existe un numero positivo T tal que para que el numero T reside el nombre de periodo de la funcin

2

0 2 t

EJEMPLO:1) Graficar y determinar el periodo de una funcin f(t)

-3 -2 -1 vv

1 2 3

T=2-2 -1 0 1 2 3

Es una funcin peridica.

Si f y g son peridicos con periodo T entonces , a y b constantes, es tambin peridica con periodo T. Si f y g peridica con periodo T, entonces f x g son peridicas en periodo T.TEOREMA 1Si f y g son peridicas con periodo T. Entonces son peridicas en periodo T. Si f (t) es una funcin peridica T.

TEOREMA 2Si , si , entonces: TEOREMA 3Si , si , se tiene donde .

FUNCIONES ORTOGONALESSe dice que dos funciones reales y son ortogonales en el intervalo .Si la integral del producto sobre este intervalo , es decir que la integral:

Observacin:1) Un conjunto de funciones reales que satisface la satisface la expresin A para todos los pares de funciones distintas en el conjunto, es un conjunto ortogonal de funciones en ese intervalo.

2) La integral

Se llama la norma de la funcin en el intervalo de 3) Un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo de a y b ya que cuyas funciones tienen norma igual a 1, satisface las ecuaciones.

Un conjunto de este tipo recibe el nombre de ortonormal de funciones en el intervalo de a y b. EJEMPLO:1) El conjunto de funciones es un conjunto ortogonal en el intervalo de

DEFINICION DE LA SERIE DE FOURIERSi la funcin es peridica con periodo T y que puede representarse por medio de una serie trigonomtrica de la forma:

(1)A esta seria se la llama serie trigonomtrica de Fourier, a la expresin 1 tambin se lo puede representar del siguiente modo:

(2)De donde se tiene:

: Se conoce como las amplitudes de los armnicos. : ngulo de fase.

EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIERMediante la relacin de ortogonalidad el conjunto de funciones Podemos evaluar los coeficientes , , , en el intervalo de tiempo de con (Frecuencia Angular Fundamental)

EJEMPLO:1) Sea la funcin peridica con definida por:}

T = Periodo T = 2

2