MATEMATICA ALUMNOpdf

Matemática

Básico5ºTexto para el Estudiante

Copyright © 2009 by Harcourt, Inc. © 2014 de esta edición Galileo Libros Ltda.

Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida o transmitida en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación o cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de información sin el permiso por escrito del editor. Las solicitudes de permiso para hacer copias de cualquier parte de la obra deberán dirigirse al centro de Permisos y derechos de autor, Harcourt, Inc., 6277 Sea Harbor Drive, Orlando, Florida 32887-6777.

HARCOURT y el logotipo son marcas comerciales de Harcourt Harcourt, Inc., registradas en los Estados Unidos de América y / o en otras jurisdicciones.

Versión originalMathematics Content Standards for California Public Schools reproduced by permission, California Department of Education, CDE Press, 1430 N Street, Suite 3207, Sacramento, CA 95814

ISBN: 978-956-8155-18-6Primera EdiciónImpreso en Chile. Se terminó de imprimir esta primera edición de 251.000 ejemplares en el mes de enero del año 2014.

Este método de enseñanza de la matemática ha sido diseñado y realizado por autores profesores de varias universidades de los Estados Unidos de América y adaptado al currículum nacional chileno por Editorial Galileo.

Director del programa: Richard Askey, profesor emérito de matemáticas de la Universidad de Wiscosin. Coordinadores: Evan M. Maletsky, Joyce McLeod. Autores colaboradores: Angela G. Andrews, Juli K. Dixon, Karen S. Norwood, Tom Roby, Janet K Scheer, Jennie M. Bennett, Linda Luckie, Vicki Newman, Robin C. Scarcella, David G. Wright. Supervisores: Russell Gersten, Michael DiSpezio, Tyrone Howard, Lidya Song, Rebecca Valbuena.

El presente título forma parte del PROYECTO GALILEO para la enseñanza de la matemática.

EditorasSilvia Alfaro SalasYuvica Espinoza Lagunas Sara Cano Fernández

Redactores / ColaboradoresSilvia Alfaro SalasProfesora de Matemática y Computación. Licenciada en Matemática y Computación. Universidad de Santiago de Chile.

Yuvica Espinoza LagunasProfesora de Educación General Básica. Pontificia Universidad Católica de Chile.

Paola Rocamora SilvaProfesora de Matemáticas del Programa de Educación Continua para el Magisterio. Universidad de Chile.

Marco Riquelme Alcaide Profesor de Matemáticas del Programa de Educación Continua para el Magisterio. Universidad de Chile.

Victoria Ainardi TamarínProfesora de Matemáticas por la Universidad de Concepción.

Vilma Aldunate DíazProfesora de Educación General Básica. Universidad de Chile.

Pamela Falconi SalvatierraProfesora de Educación General Básica. Pontificia Universidad Católica de Chile.

Jorge Chala Reyes Profesor de Educación General Básica. Universidad de Las Américas.

Equipo TécnicoCoordinación: Job López

Diseñadores:Melissa Chávez RomeroRodrigo Pávez San MartínNikolás Santis EscalanteDavid Silva CarreñoCamila Rojas RodríguezCristhián Pérez Garrido

Ayudante editorial Ricardo Santana Friedli

5ºMatemática

Básico

Texto para el Estudiante

1 Valor posicional suma y resta 2

Muestra lo que sabes 3

Lección 1 Valor posicional hasta los mil millones ......................... 4

Lección 2 Comparar y ordenar números naturales ....................... 8

Lección 3 Redondear números naturales ............................................ 12

Lección 4 Álgebra Sumar y restar números naturales .............. 14

Lección 5 Taller de resolución de problemas Estrategia: buscar un patrón .............................................. 18

Práctica adicional 22Práctica con un juego: ¿Quién está más cerca? 24

Repaso / Prueba del capítulo 1 24Enriquecimiento. ¡Una diversión saludable! 25

Comprensión de los aprendizajes 26

Números naturales

CAPÍTULO

2CAPÍTULO

Índice

Multiplicar números naturales 28


Lección 1 Cálculo mental: Patrones en los múltiplos ................... 30

Lección 2 Estimar productos ........................................................................ 32

Lección 3 Multiplicar por números de 2 dígitos ................................ 34

Lección 4 Practicar la multiplicación ....................................................... 36

Lección 5 Taller de resolución de problemas

Estrategia: predecir y probar ............................................... 38

Práctica adicional 42 Práctica con un juego: Dale al blanco 43

Repaso / Prueba del capítulo 2 44Enriquecimiento. Números compatibles 45


IV

Unidad

1

Dividir entre divisores de 1 y 2 dígitos 48


Lección 1 Manos a la obra: Representar la división de 2 dígitos por 1 dígito ....................................................................... 50

Lección 2 Dividir entre divisores de 1 dígito ....................................... 52

Lección 3 Álgebra Patrones de división ............................................. 56

Lección 4 Dividir con restos.......................................................................... 58

Lección 5 Taller de resolución de problemas Destreza: interpretar el resto ................................................. 60

Lección 6 Ceros en la división ..................................................................... 62

Práctica adicional 66 Práctica con un juego: Divide para ganar 67

Repaso / Prueba del capítulo 3 68Enriquecimiento. Mód 12 69


4

3

CAPÍTULO

CAPÍTULO

Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática

Matemática en Contexto

Almanaque para estudiantes

Resolución de problemas . . . . . . 102

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 1

Álgebra: Usar las operaciones de multiplicación y división 72


Lección 1 Propiedades de la multiplicación 74

Lección 2 Manos a la obra: Prevalencia de las operaciones ............................................................................. 78

Lección 3 Expresiones entre paréntesis................................................ 80

Lección 4 Manos a la obra: Resolución de problemas con calculadora ............................................................................. 84

Lección 5 Resolver ecuaciones .................................................................. 86

Lección 6 Resolver desigualdades ........................................................... 90

Lección 7 Patrones: hallar una regla ....................................................... 94

Práctica adicional 96

Práctica con un juego: Conexión entre ecuaciones 97 Repaso / Prueba del capítulo 4 98

Enriquecimiento. Crecer, crecer, crecer 99 Repaso / Prueba de la unidad 100

Comparar y ordenar números naturales http://www.ceipjuanherreraalcausa.es/Recursosdidacticos/QUINTO/datos/03_Mates/datos/05_rdi/ud01/2/02.htm

Cálculo mentalwww.las400clases.com/videos/curriculares/estrategias-calculo-mental-multiplicaciones

Enlace

WEB

V

Conceptos de fracciones 106 Muestra lo que sabes 107

Lección 1 Fracciones equivalentes ........................................................... 108

Lección 2 Fracciones simplificadas a su mínima expresión ..... 110

Lección 3 Comprender números mixtos ................................................ 114

Lección 4 Comparar y ordenar fracciones y números mixtos 116

Lección 5 Taller de resolución de problemas Estrategia: trabajar con material concreto .................... 120

Práctica adicional 124 Repaso / Prueba del capítulo 126

Enriquecimiento. Usa las pistas 127 Comprensión de los aprendizajes 128

Números y conceptos de fracciones y decimales

5CAPÍTULO

6CAPÍTULO

Unidad

2

Sumar y restar fracciones 130 Muestra lo que sabes 131

Lección 1 Manos a la obra: Representar la suma y la resta ............................................................................................. 132

Lección 2 Sumar y restar fracciones con igual denominador .. 134


Estrategia: trabajar desde el final hasta el principio .... 136

Lección 4 Manos a la obra: Representar la suma de fracciones con distinto denominador .............................. 140

Lección 5 Manos a la obra: Representar la resta de fracciones con distinto denominador ............................... 142

Lección 6 Usar denominadores comunes ............................................ 144

Lección 7 Sumar y restar fracciones ....................................................... 148


Estrategia: comparar estrategias .............................................. 150

Práctica adicional 152Práctica con un juego: ¿Cuál es la diferencia? 153

Repaso / Prueba del capítulo 6 154Enriquecimiento. ¿Cuál es la regla? 155



ENRIQUECE TU VOCABULARIO 105, 187


VI

Valor posicional: comprender los decimales 158 Muestra lo que sabes 159

Lección 1 Relacionar fracciones y decimales .................................... 160

Lección 2 Usar una recta numérica .......................................................... 162

Lección 3 Manos a la obra: Representar milésimas ............. 164

Lección 4 Comparar y ordenar decimales ............................................ 166

Lección 5 Taller de resolución de problemas Estrategia: hacer una representación pictórica ......... 168

Lección 6 Sumar y restar decimales ........................................................ 172

Lección 7 Taller de resolución de problemas Destreza: estimar o hallar una respuesta exacta ...... 176

Práctica adicional 178Práctica con un juego: Desafío decimal 179

Repaso / Prueba del capítulo 7 180Enriquecimiento. ¿Cuál es el total? 181

Repaso / Prueba de la unidad 182

Unidad

3

7CAPÍTULO

Figuras congruentes y plano cartesiano 188 Muestra lo que sabes 189

Lección 1 Álgebra Hacer gráficos de pares ordenados ............ 190

Lección 2 Taller de resolución de problemas Destreza: información relevante o irrelevante ............ 192

Lección 3 Figuras 2D y sus elementos ................................................... 194

Lección 4 Figuras 3D y sus elementos ................................................... 196

Lección 5 Manos a la obra: Figuras congruentes ............... 198

Lección 6 Manos a la obra: Rotación .......................................... 200

Lección 7 Simetría............................................................................................... 202

Lección 8 Traslación .......................................................................................... 206

Práctica adicional 208 Repaso / Prueba del capítulo 8 210

Enriquecimiento. ¿Qué puede ser? 211 Comprensión de los aprendizajes 212

8CAPÍTULO

Geometría - Medición


Resolución de problemas . . 184, 252

Comparar y ordenar fraccioneshttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fracciones-comparar.html

sumar y restar fraccioneshttp://primaria.aulafacil.com/matematicas-quinto-primaria/Curso/Lecc-12.htmwww.mamutmatemáticas.com/ejercicios/grado_5.phpwww.profesorenlinea.cl/cursos/5matematicas.html

Decimaleshttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/convirtiendo-fracciones-decimales.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/convirtiendo-decimales-fracciones.htmlhttp://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/decimales.php

Plano cartesianohttp://neoparaiso.com/imprimir/figuras-plano-cartesiano.html

Enlace

WEB

VII

Medición y perímetro 214 Muestra lo que sabes ................................................................................. 215

Lección 1 Longitud ............................................................................................. 216

Lección 2 Álgebra Usar las fórmulas del perímetro ................... 220

Lección 3 Taller de resolución de problemas Destreza: hacer generalizaciones ..................................... 222

Práctica adicional 224Práctica con un juego. La vuelta a la manzana 225

Repaso / Prueba del capítulo 9 226Enriquecimiento. Halla el camino más corto 227


9CAPÍTULO

10CAPÍTULO

Área 230 Muestra lo que sabes 231

Lección 1 Álgebra Relacionar el perímetro y el área .................. 232


Estrategia: comparar estrategias ........................................ 236

Lección 3 Manos a la obra: Representar el área de los triángulos .................................................................................. 238

Lección 4 Álgebra Área de los triángulos ........................................ 240

Lección 5 Álgebra Área de los paralelogramos .......................... 242


Enriquecimiento. Áreas complejas 249 Repaso / Prueba de la unidad 250

VIII

Analizar datos 256 Muestra lo que sabes 257

Lección 1 Hallar la media (promedio) ...................................................... 258

Lección 2 Analizar gráficos ............................................................................ 260

Lección 3 Hacer diagramas de tallo y hojas ........................................ 264

Lección 4 Hacer gráficos de líneas ........................................................... 266

Lección 5 Taller de resolución de problemas Destreza: sacar conclusiones ............................................... 270


Enriquecimiento. Transcurso del tiempo 275 Comprensión de los aprendizajes 276

11CAPÍTULO

12CAPÍTULO




Resolución de problemas . . . . . . 300

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 255

Datos y probabilidades

Probabilidad 278 Muestra lo que sabes 279

Lección 1 Manos a la obra: Hacer una lista de todos los resultados posibles .............................................. 280

Lección 2 Taller de resolución de problemas Estrategia: hacer una lista organizada ............................ 282

Lección 3 Hacer predicciones ...................................................................... 286

Lección 4 Probabilidad como una fracción.......................................... 290

Práctica adicional 294Práctica con un juego. Es probable, no es probable 295

Repaso / Prueba del capítulo 12 296Enriquecimiento. Juego de adivinanzas 297

Repaso / Prueba de la unidad 298

Glosario ................................................................................................................. 302 Indice temático ...................................................................................................... 307 Solucionario ........................................................................................................... 309 Bibliografía ............................................................................................................. 319

http://www.rasmus.is/Sp/information/primaria/Estadisticas/RM_L2.html

http://aulavirtual.inaeba.edu.mx/ejercicios_practicos/paginas/ejercicios_prim_mate.html

Enlace

WEB

Unidad

4

IX

Las matemáticas son un lenguaje de números, palabras y símbolos.

Este año vas a aprender a comunicarte usando el lenguaje de las matemáticas, mientras comentas, lees y escribes sobre lo que estás aprendiendo.

El gráfico lineal muestra el promedio mínimo de temperatura durante 7 meses en Coyhaique.

Comenta sobre el gráfico lineal.

1. ¿Qué información sobre los datos te dan las palabras promedio y mínimo, en el título?

2. ¿Qué representan los números a lo largo del lado izquierdo del gráfico?

3. ¿Cuál es el intervalo en la escala del gráfico?

4. ¿Qué puedes decir sobre los datos al mirar la línea del gráfico?

Promedio mensual detemperaturas mínimas en Coyhaique

Mes

Tem

pera

tura

(°C)

3,00

3,54,04,55,05,56,06,57,07,58,0

DicNovOctSepAgoJulJun

Este punto muestra(2; 3,3).

X

Lee los datos del gráfico.

5. ¿Qué meses tienen las temperaturas más altas?

6. ¿Cuál es la mayor diferencia de temperatura entre dos de los meses dados?

7. ¿Cuáles dos meses tienen una diferencia de 4 °C en su promedio de temperatura?

8. ¿Cuánto más alta es la temperatura en diciembre que en noviembre?

Escribe un problema relacionado con el gráfico.

Este año vas a escribir muchos problemas. Cuando veasFormula un problema, mira el problema de la página y úsalo como guía para escribir tu propio problema.

En tu problema puedes: cambiar los números o parte de la información. intercambiar la información conocida y la desconocida. escribir un problema abierto que pueda tener más de una respuesta correcta.

Estos problemas son ejemplos de cómo puedes formular tu propio problema. Resuelve cada problema.

Problema ¿Cuál es la diferencia entre el promedio de temperatura en mayo y en agosto?

Cambiar los números o la información ¿Cuál es la diferencia entre el promedio de temperatura en enero y en abril?

Intercambiar la información conocida y la desconocida ¿Cuáles dos meses tienen una diferencia de 3 °C en su promedio de temperatura?

Problema abierto ¿Cuáles dos meses consecutivos tienen una diferencia de 1 °C en el promedio mensual de temperatura?

Formula un problema Elige una de las tres formas dadas para escribir un problema. Usa la información del gráfico lineal.

XI

Números naturales 1

¿Qué cálculos se usan en Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes comparar dos partes que tienen menos de una centésima de metro?

Copia y completa un diagrama como el siguiente. Usa lo que sabes acerca de la multiplicación y la división para completar las respuestas.

REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las siguientes palabras cuando estudiaste las operaciones con números naturales y decimales. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

coma decimal Signo usado para separar el lugar de las unidades y el lugar de las décimas en un decimal.

producto La respuesta a un problema de

multiplicación.

cociente El número, sin incluir el residuo, que resulta

de la división.

p Piezas medidas con precisión en milésimas de centímetro se desplazan a lo largo de sistemas transportadores en el edificio de montaje.

p Las diferentes partes se mueven en una cinta transportadora hacia el lugar donde se separan y se envían a diferentes áreas de embalaje.

p En el centro de atención, los empleados reciben aproximadamente 2 000 000 de órdenes personalizadas de sistemas de computación por año.


MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

signo•

signo

númerosmultiplicados

factores

númerodividido entrenúmero

dividido

respuesta

respuesta

Capítulo 1 1

Parques nacionalesde Chile

Archipiélago deJuan Fernández

Bernardo O’Higgins

Torres del Paine

Vicente Pérez Rosales

Lauca

NombreTamaño

(hectáreas)

3 525 901

227 298

253 789

137 883

9 571

Valor posicional, suma y restaLa idea importante La posición de un dígito determina su valor; la suma y resta de números de

varias cifras se basa en operaciones básicas y en los conceptos de base diez y de valor posicional.

InvestigaElige tres parques de la tabla que te gustaría visitar. Escribe sus áreas de menor a mayor número. ¿Cuánto mayor es el área del parque más grande que elegiste con relación al área del parque más pequeño?

1

DATOBREVE

En Chile existen más de 100 áreas protegidas, que garantizan la permanencia de la riqueza natural. Estas áreas se distribuyen entre otras en Parques Nacionales, Reservas Nacionales y Monumentos Naturales.

2

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 1.

u Valor posicional hasta las centenas de milEscribe el valor del dígito subrayado.

1. 328 406 2. 419 003 3. 16 297 4. 152 419

5. 456 107 6. 9 342 7. 204 593 8. 38 452

u Redondea hasta los milesRedondea cada número a la unidad de mil más cercana.

9. 837 10. 6 409 11. 13 526 12. 70 143

13. 4 810 14. 238 456 15. 42 718 16. 354 630

u Suma y resta hasta números de 4 dígitosHalla la suma o la diferencia.

17. 258+ 437

18. 984– 562

19. 739– 271

20. 3 926+ 1 451

21. 4 025+ 2 933

22. 8 059– 5 426

23. 1 294+ 638

24. 9 162– 2 543

25. 67 1 45 1 83 26. 134 1 72 1 250

27. 563 2 209 28. 7 652 – 3 114

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO PREPARACIÓN

mil millones 1 000 millones; se escribe 1 000 000 000.

estimación Número que se aproxima a una cantidad exacta.

expresión algebraicamil millonesgratificacióndiferenciaestimación

operaciones inversasmillonesdígitosredondearsuma o total

Capítulo 1 3

Aprende

Observa las ilustraciones para darte una idea del tamaño de mil millones de monedas de $ 5.

Aproximadamente 1 000 monedas de $ 5 podrían llenar un florero pequeño.

Aproximadamente 1 000 000 monedas de $ 5 podrían llenar la maleta de un auto.

Aproximadamente 1 000 000 000 de monedas de $ 5 podrían llenar media cancha de básquetbol hasta una altura de 3 metros.

DecenasCentenas Decenas Unidades Decenas UnidadesCentenasUnidades

3

3 • 1 000 000

3 000 000

Centenas

2

2 • 100 000

200 000

0

0 • 10 000

0

5

5 • 1 000

5 000

0

0 • 100

0

0

0 • 10

0

0

0 • 1

0

Millones Miles Unidades

El dígito 2 está en el lugar de los cien mil; por lo tanto, su valor es de 200 000. • ¿Cuál es el valor del dígito 5 en 3 205 000?

Un número se puede escribir en forma habitual, en palabras, en forma estándar o en forma expandida.

Forma habitual: 181 260 000

En palabras: ciento ochenta y un millones doscientos sesenta mil

Forma estándar: 100 000 000 1 80 000 000 1 1 000 000 1 200 000 1 60 000

Forma expandida: 1 • 100 000 000 + 8 • 10 000 000 + 1 • 1 000 000 + 2 • 100 000 + 6 • 10 000

Valor posicional hasta los mil millonesOBJETIVO: leer y escribir números naturales hasta mil millones.

PROBLEMA Imagina mil millones de monedas de $ 5. ¿Cuánto espacio ocuparían? Mil millones son 1 000 000 000.

Puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de un dígito.

Ejemplo ¿Cuál es el valor del dígito 2 en 3 205 000?

ADVERTENCIA

ADVERTENCIA

ADVERTENCIARecuerda que cuando escribes un número en forma estándar, no necesitas escribir los valores que tiene el dígito 0.Ejemplo: 305Forma estándar: 300 1 5

Repaso rápidoEscribe el número que es 1 000 veces mayor que el número dado.

1. 336 2. 1 2303. 1 580 4. 3 9755. 8 627

1LECC

IÓN

Vocabulariomil millones

4

Paso

Paso

DecenasCentenasDecenas UnidadesCentenas Decenas UnidadesCentenas Decenas UnidadesCentenasUnidades

1 0 00 0

1

0

0

0

0

MillonesMil millones Miles Unidades

DecenasCentenasDecenas UnidadesCentenas Decenas UnidadesCentenas Decenas UnidadesCentenasUnidades

2 4571 19 0 5 0

MillonesMil millones Miles Unidades

Patrones de valor posicional

A medida que avanzas hacia la izquierda en una tabla de valor posicional, el valor del lugar se multiplica por 10.

Imagina que tienes 1 000 000 de monedas de $ 1. ¿Cuántas pilas podrías formar si pusieras 100 monedas en cada pila?

Usa una tabla de valor posicional.

Escribe los números en una tabla de valor posicional.

•10 •10 •10 •10

Cuenta el número de lugares de cada cifra.

1 000 000 → 4 lugares más a la izquierda de 10010 • 10 • 10 • 10 5 10 000 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100.

Por lo tanto, podrías formar 10 000 pilas de 100 monedas de $ 1 cada una.

1 000 000 1 millón 1 • 1 000 000

1 000 000 10 centenas de mil 10 • 100 000

1 000 000 100 decenas de mil 100 • 10 000

1 000 000 1 000 unidades de mil 1 000 • 1 000

1 000 000 10 000 centenas 10 000 • 100

Usa patrones de valor posicional.

Por lo tanto, 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100.

• Usando el valor posicional, ¿de qué otras maneras se puede expresar 6 000? ¿Y 900 000?

1. ¿Cómo puedes usar la tabla de valor posicional para hallar el valor del dígito 4?

Práctica con supervisión

Capítulo 1 5

2

20

200

Peso (gramos)

1

10

100

Cantidad de monedas de $ 5

Peso de una moneda de $ 5

Álgebra

Escribe el valor del dígito subrayado.

2. 1 368 034 3. 101 123 020 4. 687 104 902 5. 243 903 804

Escribe los números de otras dos formas.

6. 200 000 000 1 20 000 000 1 3 000 000 1 30 000 1 500 1 6

7. sesenta mil cuatrocientos 8. 2 910 000 tres millones novecientos seis

9. 807 500 000 10. 1 890 001 11. 3 900 945

12. 4 decenas de mil 13. 37 decenas de mil

14. ¿Cuántas monedas de $ 5 se ven a la derecha: 1 000 monedas de $ 5, 1 000 000 de monedas de $ 5, o 1 000 000 000 de monedas de $ 5? Explica tu respuesta.


15. 126 568 657 16. 3 583 007 17. 9 848 012 18. 3 205 772


19. 4 000 000 1 60 000 000 1 5 000 000 1 40 000 1 200 1 8

20. 50 000 000 1 7 000 000 1 9 000 000 1 700 000 1 50 000

21. Ochenta mil trescientos veinte millones cuatrocientos treinta

22. Quinientos cuarenta y cinco mil novecientos noventa y ocho

23. 562 000 24. 7 000 145 25. 12 042 514 26. 5 316 295 000

27. 800 centenas 28. 7 000 decenas 29. 20 decenas 30. 5 decenas de millón de mil de mil de millón

Escribe el número que falta en cada .

31. 7 000 000 5 • 100 32. 60 000 000 5 • 10

33. 900 000 000 5 • 10 34. 4 000 000 5 • 100

USA DATOS Para 35–36, usa la tabla.

35. ¿Cómo cambia el peso de las monedas de $ 5, cuando se tiene 1 moneda, 10 monedas o 100 monedas?

36. ¿Cuál es el peso de 1 000 monedas de $ 5? Explica tu respuesta.

37. Razonamiento En 1 m hay 100 cm; en 10 m hay 1 000 cm y en 100 m hay 10 000 cm. ¿Cuántos centímetros hay en 1 000 m?

Práctica independiente y resolución de problemas

6

Comprensión de los aprendizajes

38. ¿Cuál es el error? Pedro escribió el número cuatro millones trescientos cinco mil como 4 350 000. Describe el error de Pedro.

En esta lección aprendiste sobre nuestro sistema de valor posicional, o sea, el sistema de base 10. Este sistema usa los dígitos del 0 al 9.

El sistema adicional para alumnos aventajados, programado en los computadores, usa solo los dígitos 0 y 1.

Ejemplo ¿Qué número de base 10 es equivalente al número 101 de base 2?

(4 • 1) 1 (2 • 0) 1 (1 • 1) ← Multiplica cada valor posicional por el dígito 0 o 1 de la tabla.

4 1 0 1 1 ← Suma para hallar el valor de base 10.

5 O sea, 101 en el sistema de base 2 es igual a 5 en el sistema de base 10.

Halla el valor de base 10 de cada número de base 2.

1. 110 2. 1010 3. 111 4. 1011

39. Explica cuál de los siguientes números no puede ser un producto de multiplicar repetidamente 1 087 por 10.

10 870; 180 700; 1 087 000

40. Juan compró 5 paquetes de tarjetas de colección. Cada paquete tiene 8 tarjetas. ¿Cuántas tarjetas de colección compró Juan?

41. Un número es mayor que 601 000 y menor que 601 100, ¿cuál es el valor de la unidad de mil en ese número?

42. ¿Cuál es el valor del dígito subrayado en 348 912 605?

A 800 000 000 C 8 000 000

B 80 000 000 D 800 000

43. Clara tiene 60 cuentas que quiere separar en 12 grupos iguales. ¿Cuántas cuentas tendrá en cada grupo?

44. En el número 875 693 214, ¿qué dígito está en el lugar de las decenas de millón?

A 1

B 7

C 8

D 9

Centenasde mil

Decenasde mil

Centenas Decenas UnidadesUnidadesde mil

2 07 50

Base 10

Treinta y dos Dieciséis Cuatros DosOchos

1 0

Unos

1

Base 2

Práctica adicional en la página 22, Grupo A Capítulo 1 7

Aprende

Paso

PROBLEMA Una investigación bancaria informó acerca del número de monedas en circulación en 2009. ¿Cómo se compara el número de monedas de $ 5 con el número de monedas de $ 1?

Usa el valor posicional para comparar. Empieza por la izquierda. Compara el valor posicional de cada dígito hasta que los dígitos sean diferentes.

Por lo tanto, 774 824 000 . 707 332 000, y 707 332 000 , 774 824 000.

Usa una recta numérica para comparar.

Compara 99 638 y 100 204.

Idea matemáticaEn una recta numérica, el número mayor está a la derecha.

Compara las centenas de millón.

707 332 000 ↓ iguales 774 824 000

Compara las decenas de millón.

707 332 000 ↓ 7 . 0 774 824 000

Por lo tanto, 99 638 , 100 204.

monedas

Comparar y ordenar números naturalesOBJETIVO: usar el valor posicional y las rectas numéricas para comparar y ordenar números naturales.

774 824 000 707 332 000 1 346 624 000 662 228 000monedas monedas monedas

Repaso rápido

Compara. Escribe ,, ., o 5.

1. 132 1402. 1 541 2 0383. 17 008 17 0084. 5 612 5 6135. 62 100 62 001

Paso

2LECC

IÓN

Vocabulariovalor posicional recta numérica

8

Decenas UnidadesCentenas

5

5

4

4

2

4

Miles Unidades

Decenas UnidadesCentenas

9

7

0

2

0

0

Ordenar números naturalesOtra investigación bancaria informó el número de monedas de $ 1, de $ 5 y de $ 10 en circulación en 2011. Ordena de menor a mayor la cantidad de monedas informadas.

123 473 200 127 504 000 138 662 400

Usa el valor posicional.

Compara las centenas de millón.

123 473 200127 504 000134 662 400 iguales

Compara las decenas de millón.

123 473 200127 504 000134 662 400

Compara los otros dos números en las unidades de millón.

123 473 200127 504 000138 662 400

Usa una recta numérica.

Ordena de menor a mayor.

1 002; 1 091; 997

Ordena de mayor a menor.

2 335 000; 2 381 000; 2 359 000

Por lo tanto, 997 , 1 002 , 1 091. Por lo tanto, 2 381 000 . 2 359 000 . 2 335 000.

1. Usa una tabla de valor posicional para comparar los dos números. ¿Cuál es el lugar de mayor valor posicional, en el cual los dígitos son diferentes?

2 , 3mayor←

menor3 , 7

←

Paso Paso Paso


Por lo tanto, los tipos de monedas ordenados de menor a mayor según la cantidad de monedas son: $ 1, $ 5, $ 10.

Capítulo 1 9

1991

1993

2010

10 000 pesos plata

2 000 pesos plata

50 pesosmal acuñada

5 583

4 416

3 615

Monedas chilenas de edición especial

Año Valor Cantidad de monedas acuñadas

Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada .

2. 32 403 32 304 3. 102 405 102 405 4. 2 306 821 2 310 084

Nombra el lugar de mayor valor posicional, en el cual los dígitos son diferentes. Nombra el número mayor.

5. 2 318; 2 328 6. 93 462; 98 205 7. 664 592 031; 664 598 347


8. 36 615; 36 015; 35 643 9. 5 421; 50 231; 50 713 10. 707 821; 770 821; 700 821

11. ¿Cuál crees que es más fácil usar, el valor posicional o una recta numérica, para comparar y ordenar números? Explica tu elección.


12. 8 942 8 492 13. 603 506 603 506 14. 7 304 552 7 430 255

15. 1 908 102 1 890 976 16. 530 240 540 230 17. 10 670 210 10 670 201


18. 503 203; 530 230; 305 320 19. 561 682 500; 561 862 500; 561 628 600

20. 1 092 303; 1 173 303; 1 292 210 21. 97 395; 98 593; 97 359

Ordena de mayor a menor.

22. 85 694; 82 933; 85 600 23. 21 390 208; 21 309 280; 21 309 820

24. 5 505 055; 5 402 987; 5 577 001 25. 696 031; 966 301; 696 103

Álgebra Encuentra el dígito que falta para que los enunciados sean verdaderos.

26. 35 938 , 35 9 0 , 35 941 27. 134 862 . 134 8 0 . 134 857


28. Al comparar la cantidad de monedas acuñadas, ¿cuál es el valor posicional mayor, en el cual los dígitos difieren?

29. Explica cómo se ordenan de menor a mayor las cantidades de monedas acuñadas.


10


Biblioteca CRA de 5º Básico

Laura

Paula

Mario

Cantidad de libros leídos0 2 4 6 8 10 12

Puedes usar una recta numérica para hallar la distancia entre dos puntos.

Halla la distancia de Pelarco a Arauco.

Por lo tanto, la distancia es de 310 km. Por lo tanto, la distancia es de 405 km.

Halla la distancia entre cada par de puntos.

1. A y B; A y C 2. D y E; C y D 3. D y G; C y E 4. A y D; C y F

5. Explica cómo puedes usar la recta numérica para comparar las distancias entre los puntos B y C, y B y D.

30. ¿Cuántos libros se leyeron en total?

31. ¿Cuál es el valor del dígito subrayado en 15 149?

32. ¿Qué número hace que el enunciado sea verdadero? 2 000 000 5 20 •

33. ¿Cuál es el dígito que falta en el siguiente enunciado?

46 726 < 46 7 0 < 46 741

A 0 B 1 C 2 D 3

34. ¿Cuál lista muestra los números ordenados de mayor a menor?

A 8 107 450; 8 071 504; 8 059 631

B 8 059 631; 8 071 504; 8 107 450

C 8 071 504; 8 059 631; 8 107 450

D 8 107 450; 8 059 631; 8 071 504

Halla la distancia de Arauco a Purranque.

Santiago

0 100 300 600 900200 500 800400 700 1 000

Pelarco Arauco Purranque

A B C D E F G

500 600 700 800 900 1 000

Práctica adicional en la página 22, Grupo B Capítulo 1 11

1. Usa la recta numérica para redondear 38 778 a la unidad de mil más cercana.

Aprende

Decena de mil

4 835 971 5 5 54 840 000

4 835 971 redondeado a la decena de mil más cercana es 4 840 000.

↓

Centena de mil

4 835 971 3 , 54 800 000

4 835 971 redondeado a la centena de mil más cercana es 4 800 000.

PROBLEMA Un periódico informó que 53 855 personas asistieron a un partido de fútbol en el Estadio Nacional. Durante el partido, un comentarista deportivo de televisión redondeó ese número a 50 000. ¿Es razonable la estimación del comentarista? ¿Por qué?

Redondear un número significa reemplazarlo por un número aproximado. A menudo es más fácil calcular con un número redondeado.


En la recta numérica, 53 855 está entre 50 000 y 60 000, pero está más cerca de 50 000.

Por lo tanto, la estimación del comentarista deportivo es razonable.

Usa el valor posicional.

Redondea 4 835 971 al lugar del dígito subrayado.

Millón

4 835 971 8 . 55 000 000

4 835 971 redondeado al millón más cercano es 5 000 000.

↓ ↓Redondeo

hacia abajo.

Redondeo

hacia arriba.Redondeo

hacia arriba.

Redondear números naturalesOBJETIVO: redondear números naturales hasta un valor posicional dado.

Repaso rápidoDi si la cifra está más cerca de 10 000 o de 20 000.

1. 13 579 2. 18 208 3. 15 781 4. 11 627 5. 19 488

RecuerdaAl redondear, mira el dígito a la derecha del lugar al cual vas a redondear.• Siesedígitoes5o

mayor que 5, redondea hacia arriba.

• Siesedígitoesmenorque 5, redondea hacia abajo.

• Cambiacadadígitodespués del lugar redondeado a cero.

3LECC

IÓN


Vocabularioredondear

12


Metropolitano Occidente

Metropolitano Sur

Metropolitano Sur Oriente

Del Maule

Araucanía Sur

Servicio

234 109

245 807

221 383

413 605

233 169

Total atenciones

Atenciones de enfermeríade nivel primario. Año 2010


23. El total de atenciones a dos servicios de enfermería, redondeado a la decena de mil más cercana, es el mismo. Nombra los dos servicios.

24. ¿Cuál es el error? Roberto dijo que el total de atenciones en el servicio del Maule, redondeado a la unidad de mil más cercana fue de 413 000. ¿Tiene razón? Si no es así, ¿cuál es su error?

25. El número redondeado de la distancia entre dos ciudades es 540 km. ¿Cuáles son el mayor y el menor número que se pueden redondear a 540? Explica tu respuesta.

Redondea cada número al lugar del dígito subrayado.

8. 675 345 803 9. 3 981 10. 26 939 676 11. 500 357 836

12. 56 469 13. 24 508 349 14. 792 406 314 15. 276 405 651

Nombra el lugar al que se redondeó cada número.

16. 56 037 a 60 000 17. 919 919 a 900 000 18. 65 308 976 a 65 309 000

Redondea 4 813 726 al lugar que se menciona.

19. millones 20. centenas de mil 21. unidades de mil 22. decenas de mil


2. 67 348 3. 141 742 4. 8 304 952 5. 12 694 022 6. 36 402 695

7. Explica por qué redondear 428 024 y 425 510 a la decena de mil más cercana da como resultado el mismo número.

26. Un patio cuadrado mide 8 metros en cada lado. ¿Cuál es su perímetro?

27. Escribe ,, . o 5 para comparar 15 109 y 15 190.

28. La suma de x más y es igual a 21. Si x 5 13, ¿qué expresión algebraica se puede usar para hallar el valor de y?

29. ¿Qué número redondeado al millón más cercano da 30 000 000?

A 28 065 402

B 29 405 477

C 29 612 300

D 30 755 141


Práctica adicional en la página 22, Grupo C Capítulo 1 13

Aprende

PROBLEMA Las áreas verdes de una parcela miden 56 804 m2. El área edificada en un nivel mide 39 912 m2. Halla el área total de la parcela.

Ejemplo 1

Suma. 56 804 1 39 912

Estima. 60 000 1 40 000 5 100 000

5 1 6 1 804

1 39 912

__

96 716

Empieza con las unidades. Reagrupa cuando sea necesario.

El área total mide 96 716 m2. Ya que se acerca a la estimación de 100 000, es razonable.

Resta. 54 556 2 8 721

Estima. 50 000 2 10 000 5 40 000

5 4 @ 4 3

13 @ @ 5 15 @56

2 8 7 21

__

4 5 8 35

Empieza con las unidades. Reagrupa cuando sea necesario.

La parcela de mayor área es 45 835 m2 mayor que la de menor área. Ya que 45 835 se acerca a la estimación de 40 000, es razonable.

• Explica el reagrupamiento del ejemplo 2.

Ejemplo 2

Sumar y restar números naturalesOBJETIVO: sumar y restar números naturales.

Repaso rápido

Estima la suma o la diferencia.

1. $ 379 1 $ 298 2. 14 668 2 8 015 3. $ 2 359 2 $ 1 131 4. 74 952 1 3 883 5. 20 141 1 912 1 11 018

Vocabulariooperaciones inversas

4LECC

IÓN

Una parcela tiene un área de 54 556 m2. Otra parcela contigua, tiene un área de 8 721 m2. ¿Cuánto más grande que la parcela de menor área es la parcela de mayor área?

ÁLgEBRA

14

Suma y resta números mayoresEl área de Canadá es de 9 984 670 km2. El área de Brasil es de 8 514 877 km2. ¿Cuánto más grande que el área de Brasil es el área de Canadá?

Ejemplo 3Puedes calcular la respuesta usando papel y lápiz.

Resta. 9 984 670 2 8 514 877

Estima. 10 000 000 2 9 000 000 5 1 000 000

Empieza con las unidades.Reagrupa cuando sea

necesario.

Por lo tanto, el área de Canadá es, aproximadamente, 1 469 793 km2 mayor que el área de Brasil. Dado que la respuesta se acerca a la estimación de 1 000 000; es razonable.

Las operaciones inversas son operaciones que se cancelan entre sí. Las relaciones inversas te permiten comprobar la suma por medio de la resta y comprobar la resta por medio de la suma.

¿Cómo compruebas tu respuesta en el ejemplo de arriba?

Copia y completa para hallar la suma o la diferencia.

1. 32 146+ 18 219

065

2. 516 828– 198 756

102

3. 6 941+ 9 38712

4. 702 418– 319 295

312

Estima. Luego, halla la suma o la diferencia.

5. 3 794+ 2 073

6. 54 042+ 21 394

7. 409 232– 403 243

8. 3 593 209– 1 254 155

9. 789 039+ 325 155

10. Explica cómo hallar 92 010 2 61 764.


9 984 670

– 8 514 877

1 469 793

Capítulo 1 15


Cabo de Hornos

Laguna del Laja

Bosque Fray Jorge

Nahuelbuta

Huerquehue

Parque Nacional

63 093

11 600

9 959

6 832

12 500

Superficie (ha)

Datos sobre algunos Parque Nacionales

Estima. Luego, halla la suma o la diferencia.

11. 4 596+ 9 293

12. 39 515+ 69 036

13. 109 958– 102 989

14. 480 084+ 515 765

15. 2 308 027– 1 456 328

16. 8 023 154+ 731 363

17. 129 993+ 74 875

18. 67 846– 38 559

19. 1 009 875– 872 945

20. 6 693 0712 381 305

+ 1 043 829

21. 43 831 1 8 375 1 30 294 22. 4 801 123 2 1 956 627 23. 100 230 2 76 834

Álgebra Halla cada uno de los valores que faltan.

24. 2 2 346 5 9 638 25. 93 010 2 5 61 871 26. 1 197 794 5 200 010

27. Razonamiento ¿Cómo usas las operaciones inversas para comprobar tus respuestas a los ejercicios 24–26?


28. ¿Cuántas hectáreas más de superficie tiene el Parque Nacional Cabo de Hornos que el Parque Nacional Bosque Fray Jorge?

29. ¿Cuál es la superficie total de los parques nacionales presentados?

30. Halla la superficie del Parque Nacional Tolhuaca si la superficie del Parque Nacional Laguna del Laja es 5 126 ha mayor que él.

31. ¿Cuál es la pregunta? Paula y Alejandro compararon la superficie de dos parques nacionales. La respuesta es 51 493 ha.

32. ¿Cuánto es 409 537 redondeado a la unidad de mil más cercana?

33. ¿Qué cifra es 628 315 más 547 906?

A 1 761 221 C 1 176 221

B 1 716 212 D 1 176 211

34. ¿Qué número hace que este enunciado sea verdadero? (8 2 6) • 4 5 2 •

35. El cine Hoyts vendió 35 890 entradas. El cine Cinemark vendió 43 741. ¿Cuántas entradas más vendió el cine Cinemark?

A 6 851 C 8 951

B 7 851 D 12 151


Práctica adicional en la página 22, Grupo D 16

Escribir para explicar

1. La familia Quiroz está haciendo un viaje de 1 238 km desde Pucón a La Serena. El primer día, los Quiroz recorrieron 405 km y, el segundo día, 390 km. ¿Cuántos km más debe viajar la familia Quiroz para llegar a La Serena? Explica cómo resolverlo.

2. Luis anotó 62 309 puntos en un juego de computador. Jorge anotó 9 548 puntos menos que Luis. La puntuación de Cata fue 10 283 puntos más alta que la de Jorge. ¿Cuál fue la puntuación de Cata? Explica cómo resolverlo.

Resolución de problemas Explica cómo resolver el problema.

• Incluye solo la información necesaria.

• Escribe oraciones completas, usa palabras de transición como primero y luego.

• Divide la explicación en pasos para que sea clara.

• Usa vocabulario matemático para describir cómo resolver el problema.

• Haz un dibujo o un diagrama si es necesario.

• Comprueba que la respuesta sea razonable.

La industria frutícola de Chile es líder dentro del hemisferio sur en la exportación de fruta fresca –considerando uvas, manzanas, kiwis, paltas, ciruelas, duraznos, peras, cerezas y arándanos– siendo el tercer sector más importante de la economía nacional. Esta industria se caracteriza por tener más de 7 800 productores, 310 266 hectáreas de cultivo y 630 empresas exportadoras.

Desde el 2004 hasta el 2010 se han exportado aproximadamente 24 millones de toneladas métricas de frutas frescas. Usando los datos de la tabla, ¿cuántas toneladas métricas de fruta fresca se han exportado el 2007 o antes?

Explica cómo resolver el problema.

Hay cosas importantes que puedes hacer cuando explicas cómo resolver un problema. Escribir una buena explicación significa aprender a describir cuidadosamente un proceso.

Primero, leí el problema y vi que no tenía que usar la información de la última oración.

Luego miré la tabla y vi que necesitaba sumar tres de los números para hallar la cantidad exportada el año 2007 o antes.

Sumé la cantidad de toneladas métricas exportadas en los años menores a 2008 para hallar el total exportado en 2007 o antes.

2 143 785 + 2 192 766 + 2 406 706 = 6 743 257

6 743 257 es una respuesta razonable porque la estimación es, aproximadamente, 6 700 000.

Evolución de frutas frescas exportadas en las temporadas 2005-2006 (toneladas métricas)

3 000 000

2 500 000

2 000 000

1 500 000

1 000 000

500 000

02005 2006 2007 2008 2009 2010

Fuente: Asociación de Exportadores de Chile A.G. (ASOEX) 2011

Capítulo 1 17

Aprende la estrategiaEstamos rodeados de patrones. Hay patrones de colores, patrones numéricos y patrones geométricos. Hallar un patrón puede ayudarte a ver cómo se relaciona la información de un problema. Puedes usar diferentes tipos de patrones y sus reglas para resolver diferentes tipos de problemas.

Un patrón puede tener números.María plantó 13 flores en una hilera, 11 en la hilera siguiente y 9 en la que sigue. Si continúa con este patrón, ¿cuántas hileras de flores plantará María?

La regla para el patrón es restar 2.

Un patrón puede repetirse.Gino está pintando un borde en una pared. Este es su trabajo hasta ahora.

a. ¿Qué figura pintará Gino a continuación?

¿Cuál es el patrón?

Un patrón puede crecer.b. Si el patrón continúa, ¿cuántos azulejos habrá en el sexto diseño de azulejos?

Describe algunos otros patrones que hayas visto.

Estrategia: buscar un patrónOBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia buscar un patrón.

5LECC

IÓN

18

1

2

3

Peso(en kg)

Semillas de la secuoya costera

+ 125 000

+ 125 000

125 000

250 000

375 000

Número aproximadode semillas

• ¿Cómopuedesusarlaestrategiapararesolverelproblema? Piensa: ¿Cómo cambia el número de semillas a medida que aumenta el

número de kilogramos?

Mira los números de la tabla. Extiende el patrón a 1 000 000 de semillas.

Por lo tanto, 1 000 000 de semillas pesarán aproximadamente 4 kilogramos.

• ¿Quéinformaciónseda?

•Hazunaayudavisualusandolainformaciónque te dan.

• ¿Quéestrategiapuedesusarpararesolverelproblema?

Puedes buscar un patrón para resolver el problema.

• ¿Cómopuedescomprobarturespuesta?

• ¿Dequéotramanerapodríasresolverelproblema?

Usa la estrategiaPROBLEMA Una secuoya costera puede producir entre 100 000 y 100 000 000 de semillas por año. Si una secuoya costera produce 1 000 000 de semillas, ¿cuántos kg pesarán las semillas aproximadamente? (Considera que 0,5 kg de semillas = 125 000 unidades).

1

2

3

4

5

6

7

8

125 000

250 000

375 000

500 000

625 000

750 000

875 000

1 000 000

125 000

125 000

125 000

125 000

125 000

125 000

125 000

Capítulo 1 19

Resolución de problemas con supervisión

1. Alicia tiene 75 plantas en su jardín. Después de una semana de la temporada de jardinería, le quedaban 68. Después de 2 semanas, le quedaban 61 y, después de 3 semanas, le quedaban 54. ¿Cuántas le quedarán a Alicia después de 7 semanas?

Primero, halla un patrón y escribe una regla. 75, 68, 61, 54

Luego, extiende el patrón a 7 semanas. 75, 68, 61, 54, , ,

Por último, halla la cantidad que le queda a Alicia.

2. La familia García está realizando una excursión de 40 kilómetros por el Parque Nacional Volcán Isluga. Al final del primer día, los García habían recorrido 8 kilómetros. Al final del segundo día, habían recorrido un total de 16 kilómetros y, al final del tercer día, habían recorrido 24 kilómetros en total. Si el patrón continúa, ¿cuántos días les llevará a los García terminar la excursión?

3. ¿Qué pasaría si los García hubieran recorrido solo 4 kilómetros al final del primer día, un total de 8 kilómetros al final del segundo día y un total de 12 kilómetros al final del tercer día? ¿Cuántos días habrían tardado en terminar la excursión?

4. Un artesano está haciendo un acolchado. Hasta ahora, el acolchado tiene este diseño. Si el patrón continúa, ¿qué diseño tendrá la duodécima fila del acolchado?

USA DATOS Para 5-6, usa el gráfico.

5. Las araucarias pueden crecer más de un cm cada año. Si el árbol que se muestra en el gráfico continúa su patrón de crecimiento, ¿qué altura tendrá en 2014?

6. Si el patrón de crecimiento continúa, ¿cuándo será la altura de este árbol mayor que 100 cm? Explica cómo lo sabes.

Piensa: 54 2 7 5 , y así sucesivamente.

Una regla es restar 7.

Resolución de problemas • Práctica de estrategias

Crecimiento de una araucaria

70

60

50

40

30

20

10

0

Altu

ra (c

m)

2008 2009 2010 2011 2012

Año

5359 62

56

65

20

1. Pino

2. Canelo

3. Boldo

4. Romero

5. Laurel

Árbol

275

255

268

241

256

Altura(cm)

Tipos de árbol y altura

ESTRATEGIAESTRATEGIAELIGE UNA

Práctica de estrategias mixtas

USA DATOS CIENTÍFICOS Para 7–10, usa la tabla.

7. Raúl y Tomás usan un mapa para prepararse para una excursión. Pueden recorrer senderos de dificultad mínima, moderada o extrema para ver cada uno de los árboles. ¿Cuántas opciones posibles tienen si quieren ver todos los árboles?

8. Un sexto árbol, que no aparece en la tabla, tiene una altura de 142 cm menos que el árbol 1. ¿Cuál es la altura del árbol 6?

9. Formula un problema Usa la información de la tabla para escribir un problema. Explica cómo se halla la respuesta de tu problema.

10. Problema abierto Presenta un grupo de datos en la tabla de manera diferente. Explica la opción que elegiste para la presentación.

11. Natalia hizo este patrón de puntos.

• • • • • • • • • • • • • • •

Natalia continuó su patrón, agregando un punto a cada uno de los “tramos”. ¿Cuántos puntos habrá en la séptima figura?

Hacer una representación o dibujo

Representar un problema con material concreto

Hacer una lista organizada

Buscar un patrón

Hacer una tabla o gráfico

Predecir y probar

Trabajar desde el final hasta el principio

Resolver un problema más sencillo

Escribir una ecuación

Usar el razonamiento lógico

ESFUéRzATE12. La altura de un palto comparte dos dígitos con la altura del tercer árbol más alto de la tabla. El

árbol 1 es aproximadamente 70 cm más alto que el palto. ¿Qué altura tiene el palto? Explica cómo hallaste la respuesta.

13. Si la altura de un edificio medida en centímetros se redondea a la centena más cercana, su altura es 725 cm más alto que el árbol 1 de la tabla. El dígito de las unidades de la altura del edificio es 5 y el de las decenas es 6. ¿Qué altura tiene el edificio? Explica cómo hallaste tu respuesta.

Capítulo 1 21

Práctica adicional

Grupo A Escribe el valor del dígito subrayado.

1. 24 404 485 2. 14 030 315 3. 1 084 303 220

4. 9 204 503 661 5. 14 336 872 6. 16 603 582 495


7. 300 000160 00015 000180017019 8. 50 000 0001 5 000 000150 000150015

9. seis mil ocho millones noventa 10. dos mil treinta y siete millones y siete mil trescientos cuatro catorce mil noventa y siete

11. 4 061 002 12. 80 046 300

7. El año pasado, asistieron 37 884 personas a un torneo de tenis. Este año asistieron 36 799 personas. ¿En qué año asistieron menos personas al torneo de tenis?

8. Juan obtuvo 4 872 puntos en un videojuego. Miguel obtuvo 4 921 puntos. ¿Quién obtuvo el mayor número de puntos?

Grupo C Redondea cada número al lugar del dígito subrayado.

1. 63 494 506 2. 761 584 204 3. 11 586 988

4. 6 393 958 5. 26 591 000 6. 4 192 295

7. 899 992 8. 1 999 204 9. 64 023 111

Grupo D Copia y completa para hallar la suma o la diferencia.

1. 2. 3. 4.

Grupo B Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada .

1. 62 023 63 032 2. 2 401 393 2 104 933

3. 13 114 591 13 114 951 4. 54 304 125 45 304 125

5. 823 158 823 158 6. 693 103 430 693 103 340

Hazunaestimación.Luegohallalasumaoladiferencia.

5. 6. 7. 8. 12 858

− 10 135

929 856

−158 930

92 000

− 63 580

120 049

− 81 852

75 293

− 9 50179

64 381

+ 12 9447 2

266 749

−135 6991 0

699 083

+ 74 9997 4 2

22

En sus marcas4 jugadores y un árbitro

¿Listos?• Tarjetascondígitos(0a9)• Tablerodeproblemas

¡Fuera!

Losjugadoresseturnanparahacerde

árbitro.Encadaturno,elárbitrodecide:

•siseusalasumaolaresta,

•cuántosdígitostendrácadanúmero,

•ycuálserálameta.Porejemplo,el

árbitropuedeelegirmás cerca de 0, más

cerca de 500, o más cerca de 1 000.

Cadajugadorrecibeunahojadetrabajo

(adjuntaenellibodelprofesor),basadaen

ladecisióndelárbitro.

Colocalastarjetasconnúmerosbocaabajo

enunapila.

Elárbitrosacaunatarjetayleeelnúmero

envozalta.Losjugadoresescribenel

númeroenunespacioenblancoensus

hojasdetrabajo.Unavezqueunnúmero

sehaescrito,nosepuedeborrar.

Elárbitrocontinúasacandotarjetas,una

alavez.Losjugadoresllenansushojasde

trabajosegúnsevayandiciendolosnúmeros.

Cuandosehayanllenadotodoslosespacios

enblanco,cadajugadorresuelvesupropio

problema.Elárbitrocompruebaquiénestá

máscercadelobjetivo.Esejugadorgana.

¿Quién está más cerca?¿Quién está más cerca?¿Quién está más cerca?

Capítulo 1 23

19. Pablo ganó 15 vales de almuerzo después de una semana de cortar céspedes. Al final de la segunda semana, Pablo tenía un total de 30 vales. Después de la tercera semana, Pablo tenía 45 vales. Si este patrón continúa, ¿cuántos almuerzos habrá ganado Pablo después de 8 semanas?

20. Rosa está haciendo una pulsera de perlas con esta unidad de patrón: 3 perlas rojas, 2 perlas rosadas y 1 perla blanca. Si repite el patrón 6 veces, ¿cuántas perlas rosadas habrá usado?

Comprueba la resolución de problemas Resuelve.

21. Vicente dibujó un patrón de 4 puntos, 8 puntos, 12 puntos y luego 16 puntos. Dice que enseguida debe dibujar 24 puntos. Explica el error de Vicente y di cuántos puntos debe dibujar a continuación.

Repaso/Prueba del capítulo 1

Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro.

1. Un número de los miles de millones tiene al menos 10 _____________ .

2. _____________ un número significa reemplazarlo por un número aproximado.

3. Las _____________ te permiten comprobar la suma mediante la resta.

Comprueba tus destrezas Escribe cada número de otras dos formas.

4. seis mil millones novecientos dieciocho mil setecientos sesenta y dos.

5. 9 000 000 000 1 70 000 000 1 3 000 000 1 100 000 1 90 000 1 400 1 3

6. 560 034 107


7. 489 384 894 384 8. 920 090 902 900 9. 76 941 497 76 941 497


10. 67 339 11. 6 891 543 12. 623 971 764 13. 770 641 785

Hazunestimación.Luegohallalasumaoladiferencia.

14. 89 044+ 73 491

15. 600 921– 321 650

16. 824 377– 799 562

17. 4 583 100+ 3 902 145

18. 3 941 042– 2 953 161

VOCABULARIO

valor posicional

operaciones inversas

redondear

24

Capítulo 1 25

En el día de competencias de atletismo en la escuela básica Arturo Prat participaron los estudiantes de tercero, cuarto y quinto básico. Había 237 estudiantes de 3º básico, 369 estudiantes de 4º básico y 409 estudiantes de 5º básico.

A Método de sumas parciales ¿Cuántos estudiantes de la escuela básica Arturo Prat participaron en el día de competencias de atletismo?

237 1 369 1 409 5 ?

Suma las centenas. 200 1 300 1 400 5

Suma las decenas. 30 1 60 1 0 5

Suma las unidades. 7 1 9 1 9 5

Suma los totales parciales.

Por lo tanto, en el día de competencias de atletismo de la escuela básica Arturo Prat participaron 1 015 estudiantes.

Saque inicial

JuegoUsa el método de sumas parciales o el de restar contando hacia arriba para hallar la suma o la diferencia.

1. 185+ 427

2. 376152

+ 827

3. 386– 228

4. 802– 655

5. 29305

+ 912

6. La cafetería sirvió 567 almuerzos el miércoles y 492 almuerzos el jueves. ¿Cuántos almuerzos se sirvieron en los dos días?

En resumenUsa el método de la página 14 y el método de sumas parciales para hallar

325 1 107 1 416. ¿Qué método prefieres? Explica tu respuesta.

Enriquecimiento • Otras maneras de sumar y restar

900

90

1 25

1 015

B Método para restar contando hacia arriba ¿Cuántos estudiantes más de 5o básico que de 3º básico participaron en el día de competencias de atletismo?

409 2 237 5 ?

Empieza con la cifra más pequeña. Cuenta hasta la decena más cercana.

Cuenta hasta la centena más cercana.

Cuenta hasta igualar las centenas.

Cuenta hasta igualar la cifra mayor.

Halla el total de los números que sumaste.

Por lo tanto, en el día de competencias de atletismo participaron 172 estudiantes más de 5o básico que de 3o básico.

1

1

1

1

237 3

240 60

300 100

4009

4091 9

172

3

60

100


Números y operaciones 1. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde al

el número 4 003 012?

A Cuatro mil trescientos doce

B Cuatro millones trescientos doce

C Cuatro millones tres mil doce

D Cuatro mil millones tres millones doce

2. El parque nacional más grande de Chile es el Parque Nacional Bernardo O´Higgins y mide 3 525 901 hectáreas. ¿Cómo queda este valor redondeado a la unidad de mil de hectáreas más cercana?

A 3 500 000 C 3 526 000

B 3 525 000 D 3 530 000

Decide un plan.

Mira el ítem 3. Escribir primero el número en forma desarrollada puede ayudarte a escribir el número en forma habitual.

3. La construcción del nuevo complejo deportivo costó trescientos millones quinientos mil pesos. ¿Cómo se escribe este número en forma habitual?

A $ 300 500 000 C $ 3 000 500

B $ 3 500 000 D $ 300 500

4. El área total de Chile (con islas y la Antártica) es de 2 006 626 km2 y el área total de agua 102 160 km2 aproximadamente. Explica cómo redondear el área total de tierra y de agua a la centena de mil de kilómetros cuadrados más cercana.

Patrones y álgebra 5. Encuentra el valor de la siguiente expresión

7 • (6 2 2)

A 28 C 63

B 45 D 126

6. Encuentra el valor de y si x 5 12 x 5 y 1 8

A 1 C 4

B 3 D 9

7. La siguiente tabla muestra cuántos kilogramos hay en cada bolsa de comida para perros.

Cantidad de bolsas

Cantidad de kg

2

20

4

40

6

60

Comida para perros

Si Vanessa compra n bolsas de comida para perros, ¿cuál expresión representa la cantidad de kg que compra?

A n 1 3 C n 1 10

B n • 3 D n • 10

8. Si Vanessa compra 10 bolsas de comida, ¿Cuántos kg tendrá?

A 80 C 100

B 120 D 10

9. El patrón de la tabla es:

A Multiplicar por 10 C Multiplicar por 100

B Sumar 20 D Sumar 10

26


10. La posición de la ficha verde en la cuadrícula es:

Datos y probabilidades 14. ¿Cuál de los enunciados sobre los datos que se

muestran en el siguiente gráfico es verdadero?

A Hay 3 estudiantes más en el club de informática que en el club de matemática.

B Hay 3 estudiantes más en el club de informática que en el club de español.

C Hay 30 estudiantes en el club de informática y en el club de ajedrez.

D Hay 37 estudiantes en el club de informática y en el club de español.

15. La siguiente tabla muestra el número de personas atendidas en una oficina de reclamos.

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Número de personas 38 28 47 52 13

¿Cuántas personas fueron atendidas los últimos 3 días?

A 13 B 100 C 112 D 127

02468

101214161820

Cant

idad

de

mie

mbr

os

Clubes escolares

Clubajedrez matemática español informática

A B C D E F G H

8 8

7 7

6 6

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

A B C D E F G H

A (A,3) C (G,4)

B (D,5) D (H,8)

11. La coordenada (C, 4) corresponde a la casilla de color:

A B C D E F

5

4

3

2

1

A Morada C Roja

B Amarilla D Azul

12. ¿Cuántas caras tiene la siguiente figura?

A 4 C 8

B 6 D 10

13. El nombre de la figura anterior es

A Paralelepípedo C Cuadrado

B Rectángulo D Cubo

16. Si el horario de atención solo fuera lunes, miércoles y viernes. ¿Cuántas personas serían atendidas?

A 93 C 118

B 98 D 128

Capítulo 1 27

Multiplicar números naturalesLa idea importante La multiplicación de números naturales de varios dígitos se basa en el valor posicional y en las operaciones básicas de multiplicación.

Población mundial de pingüinos

Especies

Adelia

Penacho amarillo del norte

Penacho amarillo del sur

Macaroni

Papúa

2 500 000

350 000

650 000

9 000 000

320 000

Población estimada (parejas)

2

Los exploradores ingleses del siglo XVIII le dieron su nombre al pingüino Macaroni debido al penacho de plumas amarillas que lleva en la cabeza. Las plumas se parecían a las plumas que los hombres jóvenes llevaban en extravagantes sombreros llamados Macarronis. En Chile, el pingüino Macaroni se distribuye en la Península Antártica e islas Shetland del Sur, islas Desolación, Diego Ramírez y Noir.

Eres un científico que está estudiando la población de pingüinos según sus especies. Has observado que la población de la especie de pingüinos Adelia es aproximadamente cuatro veces mayor que la del penacho amarillo del sur. Elige dos especies de pingüinos. Estima cuántas veces mayor es la población de una especie con respecto a la otra.

28

DATOBREVE


u Multiplicar operaciones básicasHalla el producto.

1. 90 • 7 2. 40 • 6 3. 50 • 7 4. 20 • 8

5. 30 • 9 6. 60 • 6 7. 80 • 4 8. 70 • 8

9. 5 • 40 10. 9 • 60 11. 6 • 30 12. 80 • 3

u Multiplicar números de 2 dígitosHalla el producto.

13. 14 • 6 14. 23 • 4 15. 19 • 5 16. 31 • 8

17. 56 • 3 18. 97 • 2 19. 37 • 9 20. 69 • 4

21. 72 • 5 22. 86 • 7 23. 63 • 5 24. 96 • 3

25. 62 • 2 26. 76 • 3 27. 48 • 7 28. 88 • 4

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO PREPARACIÓn

producto parcial Productos obtenidos durante las etapas intermedias para completar un proceso de multiplicación.

múltiplo El producto de un número dado y otro número.

estimar Hallar un número que se aproxima a la cantidad exacta.

operación básicapropiedad distributivaestimaciónmúltiploproducto parcialpatrón

productoreagruparredondearsubestimación

Capítulo 2 29


Aprende

CÁLCULO MENTAL

Patrones en los múltiplosOBJETIVO: multiplicar operaciones básicas usando el cálculo mental y patrones de ceros.

PROBLEMA En una colonia de pingüinos Macaroni puede haber miles de nidos. Contando los nidos, se sabe la población de la colonia. Imagina que una colonia de pingüinos Macaroni tiene 12 000 nidos, cada uno con dos pingüinos adultos y una cría. ¿Cuántos pingüinos hay en la colonia aproximadamente?

Ejemplo Multiplica. 3 • 12 000

Para hallar los productos, puedes usar operaciones básicas y patrones con factores que son múltiplos de 10.

3 • 12 5 36 operación básica 3 • 120 5 3 • 12 • 10 5 360 operación básica multiplicada por 10 3 • 1 200 5 3 • 12 • 100 5 3 600 operación básica multiplicada por 100 3 • 12 000 5 3 • 12 • 1 000 5 36 000 operación básica multiplicada por 1 000

p El pingüino Macaroni se llama así porque las plumas de su cabeza se parecen al sombrero que se hizo famoso por la canción “Yankee Doodle”.

Por lo tanto, la colonia tiene cerca de 36 000 pingüinos Macaroni en total.

• Cuenta el número de ceros de un factor que es múltiplo de 10. ¿Cómo se relaciona con el número de ceros del producto?

Más ejemplos Usa operaciones básicas y un patrón.

4 • 5 5 20 4 • 50 5 200 4 • 500 5 2 000 4 • 5 000 5 20 000

6 • 8 5 48 6 • 80 5 480 6 • 800 5 4 800 60 • 800 5 48 000

Halla el número que falta.

1. 4 • 4 5 j 2. 5 • 2 5 j 3. 2 • 3 5 j 4. 8 • 7 5 j

4 • 40 5 j 5 • 20 5 j 2 • 30 5 j 8 • 70 5 j

40 • 40 5 j 5 • 200 5 j 20 • 30 5 j 8 • 700 5 j

Halla el producto.

5. 3 • 40 6. 2 • 500 7. 60 • 70 8. 80 • 10 9. 3 • 3 000

10. Explica cómo 5 • 7, y los patrones de ceros, pueden ayudarte a hallar el producto de un número muy grande como 500 • 70 000.

Puedes usar el cálculo mental para hallar el producto. Comienza con la operación básica. Luego, cuenta el número de ceros en el múltiplo de 10. Agrega el mismo número de ceros al final del producto.

Repaso rápido

1. 5 • 10 2. 6 • 20 3. 9 • 40 4. 80 • 3 5. 7 • 70

1LECC

IÓN

30


Krill are small, shrimplike crustaceans that swim in large groups in the ocean.

USA DATOS Para 29–31, usa los datos sobre el krill.

29. El krill pone huevos, o desova, varias veces en una temporada. Si un krill pone huevos 4 veces, ¿cuántos huevos pondrá?

30. Imagina que un pingüino come alrededor de 3 kg de krill por día. Aproximadamente, ¿cuánto krill come el pingüino en 100 días?

31. Razonamiento Los investigadores descubrieron un grupo grande de krill que medía más de 9 metros de largo. Aproximadamente, ¿cuánto es 9 metros de largo, si se mide en cantidades de krill?

32. Explica cómo puedes decir sin multiplicar que 7 • 600 y 700 • 6 tienen el mismo valor.

Halla el producto.

11. 40 • 80 12. 8 • 200 13. 3 • 40 14. 9 • 700 15. 10 • 5

16. 11 • 10 17. 60 • 30 18. 90 • 12 19. 7 • 60 20. 11 • 12


21. 3 • 700 5 j 22. 5 • j 5 450 23. j • 6 5 540 24. 8 • 300 5 j

25. 70 • 80 5 j 26. 2 • j 5 800 27. j • 5 5 300 28. j • 5 5 200

Álgebra

33. ¿Cuál es el valor de n 2 15 si n 5 40?

34. ¿Cuánto es 4 096 redondeado a la centena más cercana?

35. En un campo, hay 90 hileras de plantas de frutillas. Cada hilera contiene 600 plantas. ¿Cuántas plantas de frutillas hay en el campo?

A 54 C 5 400

B 540 D 54 000

Datos sobre el krill

• El krill es una fuente principal de alimento para animales marinos y aves.

• El krill antártico adulto mide cerca de 5 cm de largo.

• 30 unidades de krill antártico pesan cerca de 28 g.

• Un krill pone cerca de 8 000 huevos a la vez.

Los krill son crustáceos pequeños, en forma de camarón, que nadan en el agua como nubes de insectos.



Paso Paso

PROBLEMA Una compañía desea comprar una cantidad de maderos equivalente a 360 m2 para construir 4 cabañas pequeñas. El señor Ramírez tiene12 hectáreas de tierra. Cada hectárea tiene suficientes árboles como para obtener un promedio aproximado de 40 m2 de maderos. ¿Tiene el señor Ramírez suficientes árboles para venderle a la compañía para que construya las 4 cabañas?

No es necesario saber la cantidad exacta de metros cuadrados de maderos en las 12 hectáreas, por lo tanto puedes estimarla.

Ejemplo Haz una estimación 405 • 12.

Redondea ambos factores al primer dígito.

12 • 40 ↓ ↓

10 • 40

Usa la operación básica y los patrones de múltiplos de 10 para hallar la estimación.

10 • 40 5 10 • 4 • 10 5 4 • 100 5 400

Ya que el señor Ramírez tiene árboles suficientes para producir 400 m2 de maderos, puede por tanto, vendérselos a la compañía.

Más ejemplos

Operación básica y un múltiplo de 10

6 • 593 ↓

6 • 600 5 3 600

Operación básica y dos múltiplos de 10

48 • 42 ↓ ↓

50 • 40 5 2000

Operación básica con números mayores

92 • 79 ↓ ↓

90 • 80 5 7 200

Cantidad aproximada a la siguiente cifra sin decimales

16 • 12,95 ↓

16 • 13 5 208

Estimar productosOBJETIVO: estimar productos usando el redondeo y la forma desarrollada de los números.

Repaso rápido

1. 3 • 600 2. 5 • 3 0003. 70 • 90 4. 80 • 505. 90 • 40

Aprende

2LECC

IÓN

32


Paso Paso

Árboles y arbustos

Magnolia

Adelfa

Camelia

Hibisco

Costo

$ 412

$ 33

$ 129

$ 54

Gastos de laSociedad de Conservación

Estima el producto.

27. ¿Qué número decimal es mayor 3,092 o 3,598?

28. Clasifica los pares de líneas como paralelas o perpendiculares.

29. 40 • 60 5

30. Un auto recorre aproximadamente 75 km desde Los Andes hasta Santiago. Estima el número de km que hay en 34 viajes desde Los Andes hasta Santiago.

A 3 000 km C 3 400 km

B 2 400 km D 4 400 km

1. 28 • 31 ↓ ↓

j • 30

j • 30 5 j • 10 • 3 • j 5 j • 100 5 j

2. 76 • 41 3. 122 • 6 4. 96 • 18 5. 32 • 72 6. 4 • 612

7. Explica por qué a veces puedes estimar en lugar de hallar una respuesta exacta.

Estima el producto.

8. 53 • 22 9. 96 • 51 10. 37 • 13 11. 62 • 94 12. 82 • 5

13. 28 • 49 14. 76 • 92 15. 56 • 31 16. 29 • 70 17. 24 • 65

18. 16 • 73 19. 23 • 50 20. 58 • 32 21. 21 • 27 22. 32 • 89


23. La Sociedad de Conservación recaudó $4 000 para comprar 8 magnolias para el parque de una ciudad. Haz una estimación para hallar si el grupo recaudó suficiente dinero para comprar los árboles.

24. La Sociedad de Conservación tiene $1 000 para invertir en 21 arbustos de adelfa que serán plantados a lo largo de una senda para bicicletas. Haz una estimación para saber si tiene dinero suficiente para comprar los arbustos.

25. Formula un problema Vuelve al Problema 23. Escribe un problema similar cambiando el tipo de planta y los números.

26. Estima el producto 27 • 48. Explica si se trata de una sobreestimación o de una subestimación.




Aprende

La distancia entre Valdivia y

Puerto Montt es aproximadamente

216 km

Paso Paso

Multiplicar por números de 2 dígitosOBJETIVO: multiplicar por un número de 2 dígitos.

PROBLEMA Ana vive en Puerto Montt y planea ir en bicicleta hasta Valdivia. Quiere hacer unas pocas excursiones a lo largo del camino. Planea viajar alrededor de 18 km cada día durante 12 días. ¿Cuántos kilómetros en total planea recorrer Ana en bicicleta?

Repaso rápido

1. 48 • 4 2. 5 • 233. 85 • 4 4. 50 • 705. 83 • 2

Ejemplo Multiplica. 18 • 12 Haz una estimación. 20 • 10 5 300

Por lo tanto, Ana planea recorrer en bicicleta 216 km. Dado que este número es cercano a la estimación de 300, es una respuesta razonable.

• En el Paso 2, ¿por qué el producto parcial de 180 tiene un cero en el lugar de las unidades?

Más ejemplos

Dinero Factor de 2 dígitos Dos factores de 2 dígitos

Multiplica por las unidades. Multiplica por las decenas. Suma los productos parciales.

1

1 8 • 1 23 6

1

1 8 • 1 23 6

1 8 0

1

1 8 • 1 23 6

1 8 02 1 6

productos parciales

← 4 • 28← 70 • 28

53

$ 2 8 • 7 41 1 2

+ 1 9 6 0$ 2 0 7 2

← 5 • 81← 90 • 81

8 1 • 9 54 0 5

+ 7 2 9 07 6 9 5

← 7 • 69← 30 • 69

62

6 9 • 3 74 8 3

2 0 7 02 5 5 3

Paso

3LECC

IÓN

Valdivia

Pto. Montt

34


27cm

aprox. 216 cm

Halla los números que faltan.

1. ←45 • j←45 • j

4 5 • 1 73 1 5

+ 4 5 07 6 5

2. ←j • j←j • j

6 8 • 2 96 1 2

+1 3 6 01 9 7 2

3. ←j • j←j • j

jjjjj

5 7 • 3 84 5 6

+1 7 1 0

Encuentra el producto.

4. 22 • 19 5. 30 • 36 6. 41 • 54 7. 53 • 85 8. 68 • 67

22. El perímetro de un jardín cuadrado mide 196 metros. ¿Cuál es la longitud de cada lado?

23. Romina corrió 3,6 km el martes y 3,48 km el miércoles. ¿Qué día corrió Romina la mayor distancia?

24. Qué número hace que el enunciado 4 • 29 = (4 • n) + (4 • 9) sea verdadero?

25. Daniela tiene que llenar 57 cajas con 72 manzanas cada una. ¿Cuántas manzanas necesita?

Haz una estimación. Luego, halla el producto.

9. 29 • 53 10. 60 • 72 11. 72 • 46 12. 41 • 81 13. 30 • 19

14. 22 • 34 15. 43 • 50 16. 25 • 18 17. 52 • 70 18. 93 • 25

Resuelve.

19. Mientras Pablo anda en bicicleta, su frecuencia cardíaca llega a 98 latidos por minuto durante 5 minutos. Durante este período de 5 minutos, ¿cuántas veces late el corazón de Pablo?

20. Sandra se entrenó para una carrera de bicicletas recorriendo 95 kilómetros por día, 4 días por semana, durante 8 semanas. ¿Cuál es la cantidad total de kilómetros que Sandra recorrió para entrenarse?

21. ¿Cuál es la pregunta? Un artista de circo, tiene una bicicleta cuyas ruedas miden 27 cm, recorre alrededor de 85 cm por cada revolución de las ruedas. Las ruedas dan 78 revoluciones. La respuesta es 6 630 cm.




Aprende

Repaso rápido

Paso Paso

ADVERTENCIA

ADVERTENCIA

Practicar la multiplicaciónOBJETIVO: practicar la multiplicación por números 2 dígitos.

PROBLEMA El peso de un elefante macho africano puede ser 85 veces mayor que el peso de un león joven. Si un león joven pesa en promedio alrededor de 72 kg, ¿cuánto podría pesar un elefante macho africano?

1. 90 • 40 2. 40 • 613. 74 • 5 4. 96 • 275. 30 • 40

Ejemplo Multiplica. 85 • 72 Haz una estimación. 90 • 70 5 6 300

Multiplica por las unidades. Multiplica por las decenas. Suma los productos parciales.

Por lo tanto, un elefante macho africano puede pesar unos 6 120 kg. Este número se acerca a la estimación de 6 300; por lo tanto, la respuesta es razonable.

p La trompa de un elefante africano contiene más de 40 000 músculos.Más ejemplos

Usa la propiedad distributiva.

20 • 32 5 20 • (30 1 2) 5 (20 • 30) 1 (20 • 2) 5 600 1 40 5 640

Cuando multiplicas por las decenas, coloca un cero en el lugar de las unidades para alinear los valores posicionales.

Multiplica por 1 dígito. Multiplica por 2 dígitos.

1

8 5 • 7 21 7 0

31

8 5 • 7 21 7 0

+ 5 9 5 0

31

8 5 • 7 21 7 0

+ 5 9 5 06 1 2 0

5

3 6 • 93 2 4

12

5 4 • 363 2 4

+ 1 6 2 01 9 4 4

Paso

4LECC

IÓN

36


Paso Paso

Alimentación de los animalesAnimal

gorila

hipopótamo

león

Alimento diario(en kg)

20

75

8

1. Copia cada paso del problema de la derecha. Luego di qué sucede en cada paso.


2. 201 • 15 3. 14 • 655 4. 33 • 31 5. 42 • 29 6. 87 • 36

7. Explica por qué es importante el valor posicional cuando multiplicas.

20. ¿Qué dígito está en el lugar de los millones en el número 146 378 920?

21. María está leyendo un libro de 98 páginas. Lee 15 páginas todos los días durante 6 días. ¿Cuántas páginas le quedan por leer a María?

22. La entrada a un museo de historia natural cuesta $ 2 473 por persona. ¿Cuánto dinero pagan en total 6 visitantes en un día por concepto de entradas?

A $ 12 428

B $ 12 838

C $ 14 828

D $ 14 838


8. 16 • 60 9. 43 • 18 10. 35 • 91 11. 15 • 42 12. 14 • 87

13. 57 • 31 14. 18 • 55 15. 81 • 36 16. 64 • 54 17. 73 • 13

USA DATOS Para 18 -19, usa la tabla.

18. ¿Cuántos kilogramos de alimento come un león en un año? (1 año 5 365 días).

19. ¿Tiene sentido o no? Miguel dice que el producto de un número de 1 dígito y un número de 2 dígitos es un número de 4 dígitos. ¿Tiene sentido el enunciado de Miguel? ¿Por qué?

1 5

5 2 8 • 79 6

5

5 2 8 • 76

1 5

5 2 8 • 73 6 9 6

Paso



Práctica adicional en la página 42, Grupo D

Hipopótamo

Capítulo 2 37

Estrategia: predecir y probarOBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia predecir y probar.

Aprende la estrategiaA veces, es posible que no estés seguro de cómo resolver un problema. Otras veces, puede haber muchas maneras de resolver un problema, pero no estás seguro de cuál es la mejor. Puedes predecir una solución para el problema, y luego probar y revisar la solución hasta que tu respuesta sea correcta.

Usa la estimación y la percepción numérica para predecir y probar.El producto de 8 y un número es 504. ¿Cuál es el número?

Estimación: Puedo redondear 8 a 10. ¿Qué puedo multiplicar por 10 para que me dé un producto que se aproxime a 500? 10 • 50 5 500

Piensa: Para obtener un producto que termine en 4, 8 se debe multiplicar por un número que termine en 3 o en 8. El número debe acercarse a la aproximación, 50.

Predice: 58 o 63.

Prueba: 58 • 8 5 104, que es demasiado alto. 63 • 8 5 504, por lo tanto, 63 es la solución al problema.

Revisa tu predicción cuando tu suposición no sea la solución. Vuelve a leer el problema y halla un método que te ayude a hacer una predicción que se aproxime a la respuesta real.

¿Cómo revisas tu predicción si la solución que probaste es demasiado grande o demasiado pequeña?

Usa patrones para predecir y probar.Hay 50 problemas en un examen. Por cada respuesta correcta, se dan 2 puntos. Por cada respuesta incorrecta, se pierde 1 punto. En el examen, Tina obtuvo 91 puntos. ¿Cómo puede determinar Tina el número de problemas en los que se equivocó?

Tina puede predecir el número de respuestas en las que se equivocó, haciendo una tabla para hallar un patrón. Cada respuesta incorrecta resta 3 puntos. Tina puede restar 3 puntos de 100 hasta que alcance su puntuación. Luego puede usar la tabla para hallar el número de problemas en los que se equivocó.

Correcta

50

49

48

47

Incorrecta

0

1

2

3

Puntuación

(50 • 2) � 0 � 100

(49 • 2) � 1 � 97

(48 • 2) � 2 � 94

(47 • 2) � 3 � 91

Patrón

restar 3

restar 3

restar 3

demasiado alta

demasiado alta

demasiado alta

correcta

Predecir Examen

5LECC

IÓN

38

Usa la estrategia PROBLEMA Jorge está tomando lecciones de natación y de fútbol mientras está en el campamento. Hasta ahora, Jorge ha pagado $ 11 600. Si las lecciones de natación cuestan $ 800 y las lecciones de fútbol cuestan $ 1 500 cada una, ¿cuántas lecciones de cada tipo ha tomado Jorge?

•Resumeloquetepidenhallar.

• ¿Quéinformaciónnoseda?


Puedes predecir y probar para tratar de resolver el problema.

• ¿Cómopuedescomprobarturespuesta?

• ¿Tienesentidoturespuestaparaelproblema?

•¿Cómopuedesusarlaestrategiapararesolverelproblema?

Haz una tabla para mostrar tus predicciones y pruebas. Tu tabla debe tener suficientes hileras para incluir varias predicciones. Empieza haciendo una estimación y usando la percepción numérica. Diez lecciones de natación cuestan $ 8 000; diez lecciones de fútbol cuestan $ 15 000 y diez de cada una cuestan $ 23 000. Cinco lecciones de cada tipo costarían la mitad, o $ 11 500.

Predecir Probar Revisar

5 lecciones de natación,5 lecciones de fútbol

(5 • $ 800) 1 (5 • $ 1 500) 5 $ 4 000 1 $ 7 500 5 $ 11 500

demasiado baja pero se acerca, intenta con una lección de natación menos y una lección de fútbol más

4 lecciones de natación,6 lecciones de fútbol

(4 • $ 800) 1 (6 • $ 1 500) 5 $ 3 200 1 $ 9 000 5 $ 12 200

demasiado alta, trata de ajustar los números de otra manera

6 lecciones de natación, 4 lecciones de fútbol

(6 • $ 800) 1 (4 • $ 1 500) 5 $ 4 800 1 $ 6 000 5 $ 10 800

demasiado baja; faltan solo $ 800, necesitas 1 lección de natación más

7 lecciones de natación, 4 lecciones de fútbol

(7 • $ 800) 1 (4 • $ 1 500) 5 $ 5 600 1 $ 6 000 5 $ 11 600 correcta

Por lo tanto, Jorge ha tomado 7 lecciones de natación y 4 lecciones de fútbol.

Capítulo 2 39


Actividad

natación

arquería

equitación

buceo

Costo

$ 4 000 por día

$ 3 000 por día

$ 8 000 por día

$ 5 000 por día

Actividades del campamento

Predecir

4 lecciones de buceo4 lecciones de esquí

3 lecciones de buceo4 lecciones de esquí

�

Probar

(4 • $ 7 500) � (4 • $ 5 600) �$ 52 400

(3 • $ 7 500) � (4 • $ 5 600) �$ 44 900

�

Revisar

demasiado alta; intenta con una lección de buceo menos

demasiado baja; piensa: ¿cuánto mayor es $ 50 500 que $ 44 900?

?

1. Sofía va a un campamento de aventura de deportes acuáticos. Está aprendiendo a bucear y a hacer esquí acuático. Las lecciones de buceo cuestan $ 7 500 por día y las lecciones de esquí cuestan $ 5 600 por día. Hasta ahora, Sofía ha pagado $ 50 500. ¿Cuántas lecciones de cada tipo ha tomado Sofía?

Primero, predice el número de lecciones de buceo y el número de lecciones de esquí que ha tomado.

Luego, prueba la predicción comparando el costo con $ 50 500.

Finalmente, revisa tu predicción si es necesario. Repite hasta que tu solución concuerde con la información dada en el problema.

Predecir y probar para resolver.


4. El lunes y el martes, Carlos realizó una combinación diferente de actividades en el campamento. Realizó tres actividades diferentes cada día. Pagó $ 12 000 por las actividades del lunes y pagó $ 17 000 por las actividades del martes. ¿Qué actividades realizó Carlos cada día?

5. Razonamiento Amanda hizo dos tipos diferentes de actividades cada día, desde el lunes hasta el sábado. La tabla siguiente muestra la cantidad que pagó por día. ¿Cuáles son las dos actividades que Amanda hizo cada día?

6. Describe tres maneras en que un campista podría gastar $ 15 000 o menos por 3 días de actividades, haciendo una actividad cada día.

2. ¿Qué pasaría si Sofía hubiera gastado $ 58 000 en las lecciones de buceo y de esquí? ¿Cuántas lecciones de cada tipo habría tomado?

3. En el campamento, Luis está fabricando billeteras y señaladores de libros. Los adornos para los señaladores cuestan $ 300 y los adornos para las billeteras cuestan $ 800. Luis gastó $ 3 400 en adornos. ¿Cuántos señaladores y cuántas billeteras está planeando fabricar?

Día

Cantidad

lun.

$ 7 000

mar.

$ 13 000

mié.

$ 12 000

jue.

$ 9 000

vie.

$ 11 000

sáb.

$ 8 000


40

Campamentos de verano

Tipo de campamento

Astronauta

Informática

Artes escénicas

Surf

Costo semanal

$ 16 350

$ 13 330

$ 6 250

$ 3 140

ESTRATEGIAESTRATEGIAELIGE UNAPráctica de estrategias mixtas

USA DATOS Para 7–12, usa la información de la tabla. 7. David va a ir a un campamento de artes escénicas durante

2 semanas. Ha ahorrado $ 5 110 y su padre aportará $ 2 500. ¿Cuánto dinero más necesitará ahorrar David para pasar dos semanas en el campamento?

8. Cynthia va a un campamento de informática durante una semana. Pagará el costo semanal del campamento y necesita comprar útiles. Necesita comprar 10 CD en blanco a $ 100 cada uno, una resma de papel para imprimir a $ 3 500 y unos auriculares a $ 7 000. ¿Cuánto dinero en total necesita Cynthia?

9. Valentina decidió no ir al campamento de astronautas porque era demasiado caro. En su lugar, quiere ir a un campamento de surf. ¿Durante cuántas semanas puede ir al campamento de surf en lugar de ir una semana al campamento de astronautas?

10. Formula un problema Vuelve al Problema 8. Escribe un problema similar cambiando el tipo de campamento, los útiles necesarios y los números.

11. Problema abierto La abuela de Héctor le dio $ 30 000 para ir al campamento de verano. Describe otras maneras en que Héctor pudo gastar el dinero para ir a campamentos diferentes durante cantidades de tiempo diferentes.

12. José ganó 3 veces más insignias al mérito que Juan en el campamento de exploradores. Juan ganó 3 insignias al mérito menos que Jorge. Jorge ganó 6 insignias al mérito. ¿Cuántas insignias al mérito ganó José y cuántas ganó Juan?

Hacer un diagrama o dibujo

Hacer una representación o una dramatización


Buscar un patrón


Predecir y probar





ESFUÉRZATEMientras David está en el campamento, envía una postal a su mamá y a su papá cada dos días y una postal a su abuela cada cinco días.

13. David ha enviado un total de 9 postales. ¿Cuál es el menor número de días que David pudo haber estado en el campamento?

14. Si David pasa todo el mes de julio en el campamento, ¿cuántas veces enviará una postal a sus padres y a su abuela el mismo día? Explica cómo hallaste la respuesta.

Capítulo 2 41

Práctica adicional

Grupo A Usa el cálculo mental para hallar el producto.

Grupo D Haz una estimación. Luego halla el producto

1. 30 • 60 2. 9 • 400 3. 5 • 70 4. 10 • 60

5. 40 • 80 6. 9 • 50 7. 20 • 80 8. 40 • 12

9. 8 • 70 10. 5 • 60 11. 70 • 30 12. 50 • 80

13. El señor López encargó 8 cajas de lápices. 14. Cada paquete de tachuelas contiene En cada caja hay 70 lápices. ¿Cuántos 120 tachuelas. ¿Cuántas hay en 30 paquetes? lápices encargó?

Grupo B Estima el producto.

1. 42 • 23 2. 98 • 61 3. 34 • 17 4. 82 • 39

5. 72 • 51 6. 87 • 29 7. 48 • 32 8. 68 • 51

9. 23 • 61 10. 46 • 58 11. 18 • 47 12. 42 • 88

Grupo C Halla los números que faltan.

1. 2. 3.

13. Una tienda encargó 48 cajas de tarjetas. Cada caja tiene 112. ¿Aproximadamente cuántas tarjetas encargó la tienda?

14. Una tienda vendió 272 agendas. Cada una costó $ 1 200. ¿Aproximadamente cuánto ganó la tienda por las agendas?

13. En un envío hay 5 cajas de papel. Cada caja contiene 450 hojas. ¿Cuántas hojas de papel hay en el envío?

14. Una compañía saca a la venta 3 275 folletos informativos cada semana. ¿Cuántos folletos sacan a la venta en 8 semanas?

23 • 15

115

230

345

76 • 24

304

1 520

1 824

80 • 39

720

2 400

3 120

←j•j←j•j

←j•j←j•j

←j•j←j•j

4. El señor López recorre 135 kilómetros en bicicleta cada semana. ¿Cuántos kilómetros recorre en 52 semanas?

5. Pinturas Pincel vendió 39 tarros de pintura a $ 2 700 el tarro. ¿Cuánto fue el total de ventas por la pintura?

1. 15 • 23 2. 38 • 41 3. 47 • 52 4. 85 • 33

5. 64 • 11 6. 84 • 62 7. 41 • 40 8. 45 • 37

9. 9 • 12 10. 10 • 72 11. 51 • 40 12. 39 • 4

42

¡En sus marcas!2, 3 o 4 jugadores y un árbitro

¡Listos!• 2cubosnumerados,cadaunonumerado

del 1 al 6• monedas(untipodiferentedemonedapor

cadajugador)

¡A jugar!

Elárbitrodefinequeelproductodela

multiplicacióndebetener3dígitosyese

mismoproductodebeestarentre550y650

o350y450o120y320,etc.

Elárbitrolanzaelprimercubonumerado

parahallareldígitodelasdecenasdel

primerfactor.Luegolanzaelsegundodado

numeradoyelnúmeroquesalecorresponde

aldígitodelasunidadesdelprimerfactor.

Cadajugadorescribeelnúmero

comoprimerfactordeunejerciciode

multiplicación.

Luego,cadajugadoradivinaoprediceun

segundofactorquealmultiplicarlocon

elprimero,elproductoobtenidotiene3

dígitosyestáentrelosnúmerosqueseñaló

elárbitroaliniciodeljuego.

Elárbitrocompruebacadaproducto.Cada

jugadorcuyoproductocumplaconlas

condicionesdefinidasporelárbitro,avanza

1casillaeneltablero.

Elprimerjugadorenalcanzarlallegada,

gana.

LLegada

SaLIda

dale al blanco

Capítulo 2 43


Comprueba el vocabulario y los conceptos VOCABULARIO

múltiplo

producto parcial

23. En la feria de libros, los libros encuadernados en pasta cuestan $ 7 000 cada uno y los libros en rústica cuestan $ 2 000 cada uno. Doris gastó $ 40 000 en libros en la feria. ¿Cuántos libros de cada tipo compró?

24. El señor Lobos gastó $ 12 900 en boletos para el concierto. Los boletos costaron $ 1 800 para los adultos y $ 1 500 para los niños. ¿Cuántos boletos de cada tipo compró?

25. Estima el producto de 93 • 62. Explica cómo sabes si la estimación es mayor o menor que el producto real.

Comprueba la resolución de problemas

Comprueba tus destrezas

Eligeelmejortérminodelrecuadroparalosejercicios1y2.

1. El ____________ es el producto obtenido durante las etapas intermedias para completar un proceso de multiplicación.

2. El ____________ es el producto de un número dado y otro número.

Halla el producto.

3. 80 • 20 4. 6 • 90 5. 70 • 50 6. 4 • 30 7. 40 • 30

Estima el producto.

8. 38 • 61 9. 56 • 87 10. 21 • 49 11. 91 • 32 12. 197 • 2

Haz una estimación. Luego halla el producto.

13. 56 • 8 14. 782 • 5 15. 918 • 3 16. 43 • 29 17. 72 • 15

18. 428 • 7 19. 5 • 3 105 20. 26 • 73 21. 85 • 39 22. 2 • 602

Resuelve.

44

Los estudiantes están observando fósiles organizados en 4 cajas de exhibición. Cada caja contiene 140 fósiles. ¿Cuántos fósiles hay?

Puedes usar números compatibles y la propiedad distributiva para hallar el producto mentalmente.

Halla 4 3 140.

4 3 140 5 4 3 (100 1 40) Descompón 140 en números compatibles. Piensa: 140 5 100 1 40 5 (4 3 100) 1 (4 3 40) Usa la propiedad distributiva. Multiplica mentalmente. 5 400 1 160 Suma mentalmente. 5 560

Por lo tanto, hay 560 fósiles.

Halla 6 3 48.

6 3 48 5 6 3 (m 2 n) Descompón 48 en números compatibles. 5 (6 3 m) 2 (6 3 n) Piensa: 48 5 50 2 2 Sea m 5 50 y n 5 2. 5 (6 3 50) 2 (6 3 2) Usa la propiedad distributiva. Multiplica mentalmente. 5 300 2 12 Resta mentalmente. 5 288

Usa números compatibles y la propiedad distributiva para hallar mentalmente el producto.

1. 2 3 156 2. 3 3 197 3. 5 3 210 4. 8 3 525

5. 6 3 395 6. 4 3 550 7. 2 3 176 8. 4 3 485

9. Desafío En la tienda de regalos del museo, los libros de calcomanías cuestan $6.50 cada uno. ¿Cuánto cuestan 4 libros de calcomanías?

Explica cómo hallarías mentalmente 3 3 9,998.

Los estudiantes están observando fósiles organizados en 4 cajas de exhibición. Cada caja contiene 140 fósiles. ¿Cuántos fósiles hay?

Puedes usar ladescomposiciónnuméricadelfactormayor y la propiedad distributiva para hallar el producto mentalmente.

EjemploHalla 4 • 140.

4 • 140 5 4 • (100 1 40) Descompón 140 en dos sumandos que

formen el número 140. Piensa: 140 5 100 1 40 5 (4 • 100) 1 (4 • 40) Agrupa el primer factor con un sumando y luego

5 400 1 160 agrupa el mismo factor con el segundo sumando.

5 560 Multiplica mentalmente. Suma mentalmente.

Por lo tanto, hay 560 fósiles.

Otro EjemploHalla 6 • 48.

6 • 48 5 6 • (m 2 n) Descompón 48 en dos sumandos que formen el número 48. 5 (6 • m) 2 (6 • n) Piensa: 48 5 50 2 2 Sea m 5 50 y n 5 2. 5 (6 • 50) 2 (6 • 2) Agrupa el primer factor con un sumando y luego agrupa el mismo

5 300 2 12 factor con el segundo sumando. Multiplica mentalmente. Resta mentalmente. 5 288

Inténtalo Usa la descomposición en dos sumandos y agrúpalos con un factor para hallar mentalmente el producto.

1. 2 • 156 2. 3 • 197 3. 5 • 210 4. 8 • 525

5. 6 • 395 6. 4 • 550 7. 2 • 176 8. 4 • 485

9. Desafío En la tienda de regalos del museo, los libros de calcomanías cuestan $ 650 cada uno. ¿Cuánto cuestan 4 libros de calcomanías?

Explica cómo hallarías mentalmente 3 • 9 998.

Enriquecimiento • Descomponer en sumandos

Capítulo 2 45

Fósil

Patrones y álgebra 5. Si f 5 7, ¿cuál es el valor de 28 2 f ?

A 4 C 21

B 11 D 35

6. Mira la tabla de entradas y salidas.

Entrada

12

24

36

48

x

Salida

6

12

18

j

y

¿Cuál es el número desconocido?

A 96 C 24

B 60 D 20

7. A las 10:00 a.m., la temperatura era de 25 °C. Al mediodía, la temperatura había subido unos grados. ¿Qué expresión muestra la temperatura al mediodía?

A 25 2 t

B 25 1 t

C t 2 25

D 25 • t

8. Explica cómo usarías la propiedad distributiva para hallar 3 • 46.

números y operaciones

Eliminar opciones.

Mira el ítem 1. Halla las respuestas en las cuales se compara solamente la población de Curicó y de Talca. Luego elige la comparación correcta.

1. ¿En qué respuesta se compara correctamente la población de Curicó y de Talca?

Ciudad

Talca

Arica

Curicó

Población

20 851 820

11 353 140

33 871 648

Población en 2011

A 33 871 648 . 20 851 820

B 33 871 648 , 20 851 820

C 33 871 648 . 11 353 140

D 20 851 820 , 11 353 140

2. Un panadero horneó 8 bandejas de pan. Cada bandeja tenía 218 panes. ¿Cuántos panes horneó el panadero en total?

A 226 C 1 686

B 1 544 D 1 744

3. ¿Cuál de los siguientes decimales es equivalente a 0,2 + 0,1?

A 3,0 C 0,03 B 0,3 D 0,003

4. Explica cómo se redondea 432 727 a la centena de mil más cercana.


9. La expresión que muestra la temperatura de las 4 de la tarde, sabiendo que subió en tres grados es.

A 25 + 3 t C 3t – 25

B 28 + t D 25 – 3t

46

Datos y probabilidades15. Observa la siguiente tabla. ¿Cuántos

computadores se vendieron los días 2, 3 y 4?

Ventas de computadores

Día Computadores vendidos

1 52 63 64 65 76 2

A 6 + 6 C 6 • 3

B 17 D 23

16. Mira la siguiente tabla.

¿Cuántas revistas más se vendieron en la semana 3 que en la semana 4?

4 cm

Geometría - Medición 10. ¿Qué cuerpo geométrico tiene 6 caras?

A Pirámide cuadrada

B Cubo

C Cono

D Prisma triangular

11. Alberto está haciendo una copia de la bandera chilena. Cada lado de la estrella de la bandera mide 4 cm.

¿Cuál es el perímetro de la estrella?

A 28 cm

B 32 cm

C 36 cm

D 40 cm

12. En la cuadrícula el corazón está ubicado en?

A (B, 2) C (3, B)

B (2, A) D (4, C)

1 2 3 4 5

D

C

B

A

13. Si desplazamos el corazón dos espacios a la izquierda, las nuevas coordenadas son:

A (1, B) C (5, B)

B (2, C) D (4, A)

14. Explica cómo hallarías el área de una bandera que mide 6 m de largo y 4 m de ancho.

A 1 551 C 551

B 1 441 D 451

17. Observa la siguiente tabla.

¿Cuántos niños hay en el curso?

Edades de los niños del curso

Edad Nº de niños

9 810 1511 124 65 7

A 25 C 35

B 30 D 48

Ventas de revistas

Semana Revistas vendidas

1 1 2402 9893 3 2054 2 754

Capítulo 2 47

Dividir entre divisores de 1 y 2 dígitosLa idea importante La división de números de varios dígitos entre números de 1 y 2 dígitos se basa en el valor posicional y en las operaciones básicas de multiplicación y división.

3

En Puerto Montt, 4 mil escolares de distintas ciudades del país participaron en el primer desfile post terremoto, 27 de febrero de 2010, en conmemoración del 21 de mayo.

Desfile del 21 de mayo Bandas escolares

Cant

idad

de

mie

mbr

os

Bandas escolares

3603403203002802602402202001801600

Valpara

íso

Quillot

a

Santia

go

Talcah

uano

Para el Desfile del 21 de mayo, las bandas escolares se forman en filas. En cada fila habrá entre 6 y 11 miembros. Elige una de las bandas del cuadro. Divide la banda en filas, cada una con una cantidad igual de miembros. ¿Cuál es la mayor cantidad de miembros que se puede incluir en filas que sean iguales? ¿Y la menor cantidad?

DATOBREVE

48

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 3.

u Estimar cocientesEstima el cociente.

1. 130 : 4 2. 230 : 6 3. 280 : 3 4. 340 : 5

5. 500 : 8 6. 520 : 9 7. 390 : 4 8. 640 : 7

9. 400 : 6 10. 370 : 6 11. 610 : 8 12. 200 : 3

u Ubicar el primer dígitoIdentifica la posición del primer dígito del cociente.

13. 428 : 5 14. 361 : 2 15. 403 : 7 16. 572 : 9

17. 645 : 3 18. 793 : 4 19. 622 : 8 20. 917 : 6

u Multiplicar por números de 1 y 2 dígitosHalla el producto.

21. 78 • 6 22. 413 • 9 23. 826 • 5 24. 673 • 8

25. 32 • 12 26. 16 • 33 27. 27 • 25 28. 31 • 34

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

expresión algebraicanúmeros compatiblesdividendodivisorevaluarexpresión númericacociente variable

PREPARACIÓN

números compatibles Números que son fáciles de calcular mentalmente.

evaluar Hallar el valor de una expresión númerica o algebraica.

cociente El número que, sin el residuo, resulta al dividir.

Capítulo 3 49

1 Representar la división de 2 dígitos por 1 dígitoOBjETIVO: hacer una representación de la división con bloques multibase.

Materiales ■ bloques multibase.

El comedor de la escuela está sirviendo 72 duraznos en 3 bandejas. Cada bandeja tiene el mismo número de duraznos. ¿Cuántos duraznos hay en cada bandeja?

Puedes usar bloques multibase para hallar el número de objetos que hay en grupos iguales.

Usa los bloques multibase

para hacer una representación

de 72 duraznos. Muestra

72 como 7 decenas 2 unidades.

Dibuja tres círculos.

Coloca el mismo número de decenas en cada grupo.

Si sobran decenas, reagrúpalas como unidades. Coloca

el mismo número de unidades en cada grupo.

Cuenta el número de decenas y unidades en cada

grupo para hallar el número de duraznos en cada

bandeja. Registra tu respuesta.

Sacar conclusiones 1. ¿Por qué dibujaste 3 círculos en el paso A?

2. ¿Por qué necesitas reagrupar en el paso C?

3. ¿Cuántos duraznos hay en cada bandeja?

4. ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?

5. Síntesis ¿Qué pasaría si hubiera 96 duraznos y 4 bandejas? ¿Cómo puedes usar los bloques multibase para hallar cuántos duraznos habrá en cada bandeja?

Repaso rápido

1. 3 • 82. 12 : 23. 7 • 94. 6 • 85. 54 : 6

50

Paso

Paso

Paso

Explica los pasos para hacer una representación de 48 : 3 usando bloques multibase.

Puedes usar bloques multibase para hacer una representación de la división con resto.

Usa bloques multibase para hallar el cociente y el resto.

1. 84 : 2 2. 96 : 6 3. 99 : 8 4. 67 : 5 5. 84 : 3

6. 52 : 2 7. 26 : 4 8. 81 : 5 9. 44 : 3 10. 84 : 7

Divide. Puedes usar bloques multibase.

11. 52 : 4 12. 48 : 5 13. 87 : 7 14. 77 : 6 15. 97 : 6

16. 22 : 3 17. 72 : 3 18. 40 : 6 19. 23 : 9 20. 88 : 5

21. Explica cómo puedes hacer una representación del cociente de 73 : 5.

Muestra 46 como 4 decenas 6 unidades.

Por lo tanto, para cada robot se necesitan 11 partes. Sobrarán 2 partes.

El juego para armar de Miguel tiene 46 partes mecánicas. Puede construir 4 robots iguales con estas partes. ¿Cuántas partes necesita Miguel para cada robot? ¿Cuántas partes sobrarán?

Dibuja 4 círculos. Coloca 1 decena en cada círculo.

Coloca 1 unidad en cada círculo. Cuenta cuántas unidades sobran.

Capítulo 3 51

Aprende

Repaso rápido

PROBLEMA En 2011 terminó la elaboración de lingotes de cobre refinados a fuego (RAF) en la mina El Teniente. Imagina que con 195 kg en el horno se obtienen 5 lingotes. ¿Cuántos kilogramos pesaría cada lingote?

1. 5 • 9 2. 4 • 703. 6 • 60 4. 8 • 3005. 7 • 800

Haz una estimación para colocar el primer dígito.

Divide. 195 : 5.

Divide las 19 decenas. Baja las 5 unidades. Divide las 45 unidades.

Por lo tanto, cada lingote de cobre pesaría 39 kg.

Más ejemplos Divide.

Divide. 19 : 5Multiplica. 5 • 3Resta. 19 2 15Compara. 4 , 5


4 872 : 8

Estima: 4 800 : 8 5 600

1 700 : 9

Estima: 1 800 : 9 5 200

Haz un estimación.

150 : 5 = 30 o 200 : 5 = 40

Por lo tanto, coloca el primer dígito en el lugar de las decenas.

150 : 5 =

Dado que 7 , 8,escribe 0 en el cociente en el lugar de las decenas.

Comprueba ✓ Comprueba ✓

Para comprobar tu respuesta, multiplica el cociente por el divisor. Luego agrega el resto para obtener el dividendo.

Dividir entre divisores de 1 dígitoOBjETIVO: dividir dividendos de 3 y 4 dígitos entre divisores de 1 dígito.

1 9’ 5 : 5= 3– 1 5

4

1 9’5’ : 5= 3 9– 1 5

4 5– 4 5

0

4 8’7’2’ : 8= 6 0 9– 4 8

0 7– 0

7 2– 7 2

0

1 7’0’0’ : 9= 1 8 8– 9

8 0– 7 2

8 0– 7 2

8

76 0 9 • 8

4 8 7 2

7 71 8 8 • 9

1 6 9 2

1 6 9 2+ 8

1 7 0 0

RecuerdaEl resto es la

cantidad sobrante cuando un número no se puede dividir en partes iguales.

Paso Paso Paso

2LECC

IÓN

p Chile es el principal productor de cobre del mundo.

52

1. Usa la estimación para hallar la posición del primer dígito del cociente para 236 : 4.

Estima: 200 : 4 5 50.

Usa la estimación e identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego, halla el primer dígito.

2. 579 : 3 3. 1 035 : 5 4. 282 : 6 5. 1 766 : 8 6. 1 027 : 4

7. Explica cómo sabes, sin dividir, si un número de 3 dígitos dividido entre un número de 1 dígito tendrá un cociente de 2 o 3 dígitos.

Usa el valor posicional para colocar el primer dígito.

Divide. 637 : 7.

Mira las centenas.

637 : 7 6 , 7, por lo tanto, mira las decenas.

637 : 7 = 63 . 7, por lo tanto usa las 63 decenas.

Coloca el primer dígito en el lugar de las decenas.

Divide las 63 decenas. Baja las 7 unidades.Divide las 7 unidades.

Por lo tanto, el cociente es 91.

Más ejemplos Divide.

2 654 : 5 3 702 : 7

• Explica cómo comprobarías la respuesta del ejemplo C.



6 3’ 7 : 7= 9– 6 3

0

6 3’7’ : 7= 9 1– 6 3

0 7– 7

0

3 7’0’2’ : 7= 5 2 8– 3 5

2 0– 1 4

6 2– 5 6

6

2 6’5’4’ : 5= 5 3 0– 2 5

1 5– 1 5

0 4

5 2 8 : 7 =3 6 9 6

Comprueba ✓

3 696 1 6

__

3 702

Paso Paso Paso


Capítulo 3 53

Usa la estimación e identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego, halla el primer dígito.

8. 275 : 5 9. 624 : 8 10. 468 : 3 11. 810 : 2 12. 2 546 : 8

13. 966 : 7 14. 3 220 : 4 15. 1 157 : 9 16. 6 723 : 6 17. 8 567 : 7

Divide. Comprueba mediante la multiplicación.

18. 518 : 2 19. 618 : 6 20. 736 : 8 21. 1 716 : 4 22. 1 875 : 5

23. 223 : 3 24. 693 : 5 25. 762 : 4 26. 2 012 : 8 27. 1 729 : 2

28. 693 : 9 29. 2 203 : 4 30. 341 : 2 31. 3 632 : 6 32. 8 524 : 7

Escribe el número que falta en cada .

33. 564 : 8 5 34. : 3 5 317 r2 35. : 5 5 66 r4 36. 685 : 5 97 r6


37. Si se transformara la pepita de oro Welcome en 3 ladrillos de oro, ¿cuánto pesaría cada ladrillo?

38. Formula un problema Vuelve al problema 37. Escribe un problema similar cambiando los números y la información. Luego, resuélvelo.

39. 246 estudiantes van de excursión a visitar una mina de oro. Si cada microbús tiene capacidad para 9 estudiantes, ¿cuántos microbuses se necesitan? ¿Cuántos estudiantes viajarán en el microbús que no está completo?

40. 420 estudiantes van de excursión. Si hay 1 adulto acompañante por cada 8 estudiantes, ¿cuántos acompañantes tiene un grupo completo de 8 estudiantes? ¿Cuántos estudiantes estarán con el acompañante que tiene menos de un grupo completo?

41. Explica cómo sabes dónde colocar el primer dígito del cociente en 374 : 4.

Grandes pepitas de oro halladas

Nombre

Welcome Stranger

Welcome

Willard

Peso

2 284 onzas troy

2 217 onzas troy

788 onzas troy

Ubicación

Australia

Australia

California

El oro y otros metales p preciosos se pesan en onzas troy.

Álgebra


54


42. El teclado de una computadora tiene 114 teclas. ¿Cuántas teclas tendrían 10 teclados de computadora?

43. Vicente tiene 37 años. Maggie, su hermana, tiene 9 años menos. ¿Cuántos años tiene Maggie? Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor.

44. Elena tenía $ 4 500. Gastó algo de dinero para comprar un suéter. Luego Elena compró un refrigerio a $ 600. Escribe una expresión algebraica para mostrar cuánto dinero le quedó.

45. En una caja de cartón caben 8 cajas de cereal. ¿Cuántas cajas de cartón se necesitan para guardar 128 cajas de cereal?

A 1 024 C 16

B 17 D 8

46. Para una venta de repostería, un curso de quinto básico hizo 324 pastelitos. El curso puso los pastelitos en paquetes de 5. ¿Cuántos pastelitos sobraron?

A 1 260 C 64

B 64 r4 D 4

Los siguientes rompecabezas se denominan pirámides. Puedes usar fórmulas de multiplicación y división para resolver los rompecabezas.

Copia y completa la pirámide de números. Usa las fórmulas de multiplicación y división.

Ejemplo

1. 2.

10 • 14 5 140Para hallar el número en el cuadro superior, usa la fórmula.A • B 5 C

Para hallar el número en el cuadro inferior derecho, usa la fórmula.C : A 5 B

14 : 2 5 7


Aprende

Repaso rápidoÁLgEBRA

Patrones de divisiónOBjETIVO: usar patrones para dividir.

PROBLEMA Un curso de quinto básico escribió un libro sobre la historia de su escuela. El libro tiene 40 hojas. El curso tiene 8 000 hojas de papel para hacer copias del libro. ¿Cuántas copias puede hacer ese curso?

Para hallar el cociente, puedes empezar con una operación básica de división y buscar un patrón.

Ejemplo Divide. 8 000 : 40

8 : 4 5 2 ← operación básica

80 : 40 5 2 800 : 40 5 20

8 000 : 40 5 200

Por lo tanto, el curso hizo 200 copias.

Más ejemplos

1. 10 : 2 2. 18 : 33. 24 : 4 4. 15 : 55. 32 : 8

operación básica

operación básica

• Explica la diferencia que existe entre los patrones del Ejemplo B y del Ejemplo C.

Halla los números que faltan.

1. 9 : 3 5 3 2. 24 : 6 5 4 3. 40 : 5 5 n 90 : 3 5 30 240 : 6 5 40 400 : 50 5 n 900 : 3 5 n 2 400 : 6 5 400 4 000 : 500 5 n9 000 : 3 5 3 000 24 000 : 6 5 n 40 000 : 5 000 5 n

operación básica

Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente.

4. 80 : 2 5. 140 : 20 6. $ 3 200 : 8 7. 36 000 : 6

27 : 3 5 9 ← 270 : 3 5 90 2 700 : 3 5 90027 000 : 3 5 9 000

$ 35 : 5 5 $7 ← $ 350 : 50 5 $7 $ 3 500 : 50 5 $70$ 35 000 : 50 5 $700

6 : 1 5 6 ← 6 000 : 10 5 600

6 000 : 100 5 606 000 : 1 000 5 6

Si el dividendo aumenta en una potencia de 10, entonces el cociente aumenta en una potencia de 10.


3LECC

IÓN

56


Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente.

9. 20 : 10 10. 180 : 9 11. 160 : 4 12. 420 : 7

13. 300 : 5 14. 640 : 8 15. 810 : 9 16. 540 : 6

17. 1 200 : 4 18. 1 000 : 4 19. 5 600 : 7 20. 3 600 : 9

21. 49 000 : 7 22. 60 000 : 2 23. 40 000 : 2 24. 2 500 : 5

Compara. Usa ,, . o 5 en cada .

25. 560 : 80 5 600 : 8 26. 3 000 : 5 300 : 5 27. 32 000 : 40 3 200 : 4

28. Una escuela encargó 4 cajas de papel que pesaban un total de 2 000 kg. ¿Cuánto pesa 1 caja de papel?

30. Una bolsa de caramelos cuesta $ 800. Si la bolsa contiene 32 caramelos. ¿Cuánto cuesta cada uno?

32. Álgebra ¿Cómo hallarías el valor de n si 2 400 : n 5 80?

29. Una caja contiene 10 resmas de papel, que equivalen a 5 000 hojas. ¿Cuántas hojas hay en 1 resma?

31. Se necesitan aproximadamente 3 árboles para hacer 24 000 hojas de papel. ¿Cuántas hojas de papel se pueden hacer con un árbol, aproximadamente?

33. ¿Cuál es el error? Belén dice que 66 000 : 6 es 1 100. ¿Cuál es su error?

8. Explica por qué disminuye el cociente cuando aumenta el número de ceros que hay en el divisor.

34. Un jardín mide 8 metros por 12 metros. ¿Cuál es el área del jardín en metros cuadrados?

35. El Estadio Nacional, tiene una capacidad para 65 127 personas. Redondea la capacidad del estadio a la unidad de mil más cercana.

36. 18 • 39 5

37. La dueña de un hotel gasta $ 20 000 en 4 timbres nuevos. ¿Cuánto gasta en cada timbre si cada uno cuesta la misma cantidad?

A $ 400

B $ 500

C $ 4 000

D $ 5 000




Aprende

Dividir con restosOBjETIVO: dividir números naturales que no se dividen en partes iguales.

1. Usa fichas para representar 17 : 5. Dibuja círculos. Coloca fichas en cada círculo. El cociente es . El resto es .

Por lo tanto, cada jugador recibirá 9 fichas de dominó. Sobrará 1 ficha.

• ¿Por qué el resto tiene que ser menor que el divisor?

Repaso rápido

1. 27 : 9 2. 4 • 73. 3 • 8 4. 25 : 55. 12 : 3

Vocabularioresto

Algunas veces, un número no se puede dividir en partes iguales. La cantidad que sobra se llama el resto.

PROBLEMA Tres amigos están jugando dominó. Hay 28 fichas en el grupo. Si cada jugador recibe la misma cantidad de fichas de dominó, ¿cuántas fichas recibirá cada jugador? ¿Cuántos fichas sobrarán?

Paso Paso

ADVERTENCIAADVERTENCIA

Actividad Representar con fichas. Materiales ■ fichas

Divide 28 entre 3. Escribe 28 : 3.

Usa 28 fichas. Dibuja 3 círculos. Divide las 28 fichas en 3 grupos iguales. La ficha que sobra es el resto.

resto

El cociente es 9 y el resto es 1.

Si el resto es mayor que el divisior, sigue dividiendo las fichas en partes iguales hasta que el resto sea menor que el divisor.

4LECC

IÓN

58


Tipo Número de fichas

Doble nueveDoble doce

5591

28Doble seis

Tipos de juegos de dominó

Álgebra

Usa fichas para hallar el cociente y el resto.

2. 15 : 6 3. 26 : 7 4. 19 : 4 5. 24 : 5 6. 42 : 5

7. Explica cómo sabes que habrá un resto en un problema de división.

Usa fichas para hallar el cociente y el resto.

8. 18 : 7 9. 17 : 5 10. 21 : 6 11. 22 : 4 12. 56 : 9

Divide. Tal vez quieras usar fichas o hacer un dibujo como ayuda.

13. 26 : 3 14. 37 : 6 15. 67 : 9 16. 47 : 3 17. 41 : 5

Halla el valor que falta.

18. 26 : 4 5 6 r 19. 43 : 8 5 r3 20. : 5 5 4 r2 21. 32 : 5 10 r2

USA LOS DATOS Para los ejercicios 22 a 24, usa la tabla.

22. ¿A qué tipo de juego de dominó le sobrarán más fichas si 5 jugadores se reparten las fichas en partes iguales?

23. Siete jugadores se dividieron un juego de dominó de manera que cada uno tuviera el mismo número de fichas. Sobraron fichas. ¿Qué tipo de juego usaron? Explica tu respuesta.

24. Algunos estudiantes están jugando una partida de doble doce. Cada estudiante tiene 11 fichas de dominó. Sobran 3 fichas. ¿Cuántos estudiantes están jugando?

25. ¿Cuál es el error? Francisca dice que el diagrama representa 13 : 4. ¿Cuál es su error? Dibuja la representación correcta.

26. 24 • 51 5

27. ¿Cuál es mayor: 7 432 o 7 423?

28. Lanza cincuenta veces un cubo numerado rotulado del 1 al 6. Registra los resultados y muéstralos en un diagrama de puntos.

29. ¿Qué problema describe la representación?

A 14 : 2 C 12 : 4

B 14 : 3 D 14 : 2



Destreza: interpretar el restoOBjETIVO: resolver los problemas usando la destreza interpretar el resto.

Usa la destrezaPROBLEMA Hay 95 personas con reservaciones para un viaje guiado en balsa por el río Maipo en el Cajón del Maipo. En cada balsa pueden ir 6 personas. ¿Cuántas balsas se necesitarán para 95 personas? ¿Cuántas balsas irán llenas? ¿Cuántas personas irán en una balsa que no vaya llena?

Cuando un problema de división tiene resto, interpretas el resto según la situación y la pregunta.

Divide. 95 : 6

Aumenta el cociente en 1.¿Cuántas balsas se necesitan? Piensa: Como en 15 balsas sólo caben

90 personas, se necesita una balsa más.

Por lo tanto, baja el resto y aumenta el

cociente en 1.

Por lo tanto, se necesitan 16 balsas.

El cociente permanece igual. Deja el resto.

¿Cuántas balsas irán llenas? Piensa: En una balsa caben 6

personas. Baja el resto porque 5

personas no llenan una balsa.

Por lo tanto, 15 balsas estarán llenas.

Usa el resto como respuesta.

¿Cuántas personas irán en la balsa que no está llena? Piensa: La respuesta es el resto.

Por lo tanto, 5 personas irán en una balsa que no va llena.

Piensa y comenta Resuelve el problema. Explica cómo interpretaste el resto.

Otra compañía de viajes guiados tiene balsas para 8 personas. El sábado, 99 personas harán el viaje por el río.

a. ¿Cuántas balsas se necesitan para llevarlos por el río?

b. ¿Irá llena cada balsa? Si no, ¿cuántas personas irán en la balsa que no esté llena?

9’5’: 6 = 1 5– 6

3 5– 3 0

5 resto

5LECC

IÓN

60


Día Tarde TotalMañana

Domingo23

47

■

■51

85Sábado

Pasajeros en los viajes en balsa

Resuelve. Escribe a, b o c, para explicar cómo interpretar el cociente.

a. El cociente permanece igual. b. Aumenta el cociente en 1. Baja el resto.

c. Usa el resto como respuesta.

1. Un grupo de 57 personas está acampando en el parque nacional Corcovado. En cada carpa caben 5 personas. ¿Cuántas carpas se necesitan para todos los campistas?

Primero, divide.

Piensa: 57 : 5

Después, vuelve a leer el problema para ver cómo debes interpretar el resto.

2. ¿Qué pasaría si se te preguntara por la cantidad de tiendas que estarán llenas? ¿Cuál sería la diferencia de tu respuesta en comparación a la del problema 1?

3. Hay guías que dirigen a grupos de 9 personas por un recorrido en bicicleta en el parque. 96 personas decidieron hacer el recorrido. ¿Cuántas personas irán en el recorrido que no va lleno? Interpreta el resto.

Aplicaciones mixtas

USA LOS DATOS Para los ejercicios 4 a 6, usa la tabla. En los viajes en balsa, los guías llevan 6 pasajeros en cada balsa.

4. ¿Cuántas balsas se necesitan para el viaje del sábado en la tarde? ¿Se llenarán todas las balsas del sábado por la tarde? Explica.

5. ¿En qué día se hicieron más viajes? ¿Cuántos viajes más se hicieron?

6. Al final de la semana, los guías llevaron 12 veces más personas en los viajes en balsa de los que estaban reservados para los viajes del domingo en la mañana. ¿Cuántas personas tomaron los viajes en balsa esa semana?

7. El sábado en la mañana la temperatura durante el primer viaje fue de 23 C. La temperatura durante el primer viaje del domingo fue 7 C más fría. ¿Cuál fue la temperatura del domingo?

8. Una compañía inscribió a 67 personas para los viajes en balsa. Si 8 personas caben en una balsa, ¿cuántas balsas se necesitan? Explica si necesitas una respuesta exacta o una estimación, y después resuelve.

Capítulo 3 61

Aprende

Paso Paso Paso Paso

EjemploDivide 324 entre 3. Escribe 324 : 3

Ceros en la divisiónOBjETIVO: dividir números de 3 dígitos que contengan un cero entre números de 1 dígito.

Estima para colocar el primer dígito en el cociente.

Divide con ceros

PROBLEMA El señor Nilo reúne 324 tesoros para la búsqueda del tesoro en su jardín. Necesita 3 tesoros para cada estudiante que participe. ¿Cuántos estudiantes pueden participar?

Divide las 3 centenas

Baja las 2 decenas. Divide las 2 decenas.

Baja las 4 unidades. Divide las 24 unidades.

Piensa: 300 : 3 = 100 o 600 : 3 = 200

Por lo tanto, coloca el primer

dígito en la posición de las

centenas.

Por lo tanto, 108 estudiantes pueden participar en la búsqueda del tesoro en el jardín.

• ¿Qué pasaría si el Sr. Nilo tuviera 420 tesoros? ¿Cuántos estudiantes podrían participar?

Más ejemplos

Divide dinero

cociente

divisor

residuo

dividendo

cociente

divisor

dividendo

El divisor 3 es mayor que 2,

por lo tanto, escribe 0 en el

cociente.

COMPRUEBACOMPRUEBA

Repaso rápidoMario tiene 23 CD. En cada caja caben 2 CD. ¿Cuántas cajas necesita?

324 : 3 =

3 2’ 4 : 3= 1 0– 3

0 2– 0

2

3 2’4’ : 3= 1 0 8– 3

0 2– 0

2 4– 2 4

0

4’0’9’ : 4= 1 0 2– 4

0 0– 0

0 9– 8

1

5’2’0’ : 5= 1 0 4– 5

0 2– 0

2 0– 2 0

0

3 2 4 : 3= 1 6 0– 3

0

1 0 2 • 4=4 0 8

+ 14 0 9

2

1 0 4 • 5=$5 2 0

6LECC

IÓN

62


ADVERTENCIA

ADVERTENCIA

Corregir cocientesLas clases de ciencias de quinto básico exhibieron sus tesoros sobre unas mesas para la noche de la naturaleza. Colocaron el mismo número de tesoros en cada mesa. Había 480 tesoros de animales en las 6 mesas. ¿Cuántos tesoros había en cada mesa?

Observa la hoja de Elías. Él dividió 480 entre 6.

• Describe el error de Elías. Halla el número correcto de tesoros por mesa.

• Explica cómo las operaciones básicas y los patrones podrían haber ayudado a Elías a hallar la respuesta correcta.

Los estudiantes que encontraron tesoros de plantas y minerales exhibieron 424 tesoros en las 4 mesas. ¿Cuántos exhibieron en cada mesa?

Observa la hoja de Eva. Ella dividió 424 entre 4.

• Describe el error de Eva. Halla el número correcto de tesoros por mesa.

1. Copia el problema de la derecha. Estima para colocar el primer dígito. Divide las centenas. Divide las decenas. ¿Necesitas escribir un cero en el cociente? Después divide las unidades. ¿Cuál es el cociente?

Para que no olvides incluir los ceros, estima para decidir cuántos dígitos debe haber en el cociente y usa el valor posicional.

210 : 2

Elías

4 8’ 0 : 6= 8– 4 8

0

Eva

4’ 2 4’ : 4= 1 6– 4

0 2 4– 2 4

0

Capítulo 3 63

Escribe el número de dígitos que hay en cada cociente.

2. 360 : 4 3. 714 : 7 4. 420 : 3 5. 960 : 8 6. 400 : 5

Divide y comprueba.

7. 305 : 5 8. 803 : 4 9. 840 : 6 10. 901 : 2 11. 927 : 9

12. Piensa en el problema 216 : 2. Explica cómo sabes que habrá un 0 en el cociente.

Escribe el número de dígitos que hay en cada cociente.

13. 560 : 7 14. 282 : 4 15. 510 : 3 16. 805 : 7 17. 540 : 6

Divide y comprueba.

18. 601 : 5 19. 860 : 2 20. 704 : 8 21. 609 : 3 22. 919 : 9

23. 283 : 4 24. 763 : 7 25. 870 : 3 26. 724 : 6 27. 407 : 5

28. 700 : 4 29. 325 : 3 30. 417 : 2 31. 470 : 5 32. 306 : 3

Halla el valor que falta.

33. 701 : 2 5 34. : 5= 1062

35. 9 0 1: 3=

36. 2 0 7: = 5 13

37. Ana está haciendo conejos de papel maché para una celebración de la naturaleza. Se requieren 240 tiras de papel para hacer 8 conejos. ¿Cuántas tiras de papel necesita Ana por conejo?

39. José tiene que hacer 606 pliegues para crear 6 figuras de la mantis religiosa en origami. Hace 540 pliegues para formar 6 figuras del monstruo de Gila. ¿Cuántos pliegues más hace José en una mantis que en un monstruo de Gila?

41. DATO BREVE Una leyenda japonesa dice que plegar mil grullas trae buena salud o paz. Pablo hizo 864 grullas en origami en 8 meses. Si hizo el mismo número de grullas cada mes, ¿cuántas grullas hizo en un mes?

38. Razonamiento El centro de ciencias quiere exhibir 110 proyectos de ciencias. Cada área de exhibición tiene capacidad para 45 proyectos. ¿Cabrán todos los proyectos en 2 áreas? Explica.

40. Paloma está pintando flores de cerezo. Planea hacer 5 flores. Si gasta la misma cantidad de tiempo en cada flor, debería terminar en 100 minutos. ¿Cuánto tiempo le tomará pintar una flor de cerezo?

42. ¿Cuál es la pregunta? El libro divertido del bosque de Julio cuenta sobre las diferentes madrigueras de los castores y da la cantidad de tiempo que le toma a un castor construir una. La respuesta es 103 horas por cada madriguera de castor.


Práctica adicional en la página 66, Grupo D64


43. 873 : 3 5

44. 269 : 6 5

45. Un total de 654 estudiantes contarán nidos de avispas en 6 lugares diferentes. El mismo número de estudiantes estará en cada lugar. ¿Cuántos estudiantes estarán en un lugar?

A 190 B 119 C 109 D 19

46. ¿Qué número va en el recuadro para hacer el enunciado numérico verdadero?

(9 2 7) • 6 5 3 •

47. 562 : 7 5

A 8 r2 C 82

B 80 r2 D 802

Cuando estimas cocientes, una subestimación te da un cociente que es menor que el cociente real. Una sobrestimación te da un cociente que es mayor que el cociente real.

Kari paga $ 105 por 3 semillas para plantar un jardín. Estima el costo de cada semilla. Compara la estimación con el valor real.

El valor real de cada semilla es $ 105 : 3 o $ 35.

Piensa: 90 está cerca de 105. 90 y 3 son números

compatibles dado que 9 : 3 5 3.

90 : 3 5 30 ← subestimación

Piensa: 120 está cerca de 105. 120 y 3 son números

compatibles dado que 12 : 3 5 4.

120 : 3 5 40 ← sobrestimación

Por lo tanto, la estimación de $ 30 es menor que el valor real de $ 35 porque 90 es menor que 105.

Por lo tanto, la estimación de $ 40 es mayor que el valor real de $ 35 porque 120 es mayor que 105.

1. Un centro comunitario tiene 120 voluntarios en 8 equipos para el rescate de animales. Cada equipo tiene el mismo número de voluntarios.

Estima: 160 : 8 5 20 voluntarios por equipo.

2. Javier vende 330 comederos de pino para aves en el mercado de las pulgas en 3 horas. Vende el mismo número cada hora.

Estima: 300 : 3 5 100 comederos por hora.

Di si la estimación es una subestimación o una sobrestimación. Después,

compara la estimación con el cociente real.

Subestima. Sobrestima.

Capítulo 3 65

Grupo C Divide. Comprueba tu respuesta.

1. 836 : 2 2. 608 : 3 3. 486 : 5 4. 446 : 8

5. 630 : 5 6. 572 : 6 7. 126 : 4 8. 381 : 7

9. El propietario de un puesto de productos alimenticios colocó 48 frascos de mermelada de manzana en estantes. En cada estante, había 6 frascos. ¿Cuántos estantes se usaron?

10. Se exhiben 376 calabazas en hileras. En cada hilera, hay 4 calabazas. ¿Cuántas hileras hay?

Grupo D Divide. Multiplica para comprobar tu respuesta.

1. 907 : 5 2. 380 : 7 3. 236 : 4 4. 608 : 2

5. 306 : 4 6. 950 : 2 7. 192 : 3 8. 403 : 5

Grupo B Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente.

1. 40 : 2 2. 120 : 6 3. 320 : 8 4. 1 600 : 4

5. 5 000 : 10 6. 420 : 7 7. 2 100 : 3 8. 45 000 : 9

Grupo A Identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego halla el primer dígito.

1. 724 : 2 2. 260 : 5 3. 1 248 : 4 4. 3 779 : 9

5. 7 592 : 6 6. 624 : 4 7. 804 : 2 8. 3 955 : 5

Divide. Comprueba mediante la multiplicación.

9. 296 : 2 10. 510 : 3 11. 9 234 : 9 12. 1 523 : 4

13. Claudia compró 7 bolsas iguales de mostacillas para su taller. El peso total era de 1 750 gramos. ¿Cuánto pesaba cada bolsa?

14. Un florista empaquetó 1 125 bulbos de tulipanes. Puso 9 bulbos en cada paquete. ¿Cuántos paquetes de bulbos preparó?

9. El club de teatro reunió $ 36 000 por la venta de 90 entradas. Si todas las entradas tenían el mismo precio, ¿cuál era el precio de cada entrada?

10. Los asientos de un teatro están ordenados en 80 filas. Hay 1 600 asientos. ¿Cuántos asientos hay en cada fila?

9. Los maestros de la Escuela Básica Alihue necesitan 180 reglas. Cada paquete contiene 6 reglas. ¿Cuántos paquetes deben comprar?

10. Una empresa de juguetes empaca 8 unidades del mismo juego en una caja. ¿En cuántas cajas se empacarían 208 juegos?

Práctica adicional

66

O

Divide para ganarEn sus marcas2 jugadores

¿Listos?• tarjetasconnúmeros(1a5)• 2fichas

Unjugadorrevuelvelastarjetasconnúmeros

ylascolocabocaabajoenunapila.

Cadajugadoreligeunafichadiferenteyla

colocaenlaSALIDA.

Elprimerjugadorsacatrestarjetasdelapila.

Lastrestarjetasformanundividendodetres

dígitos.

Eljugadoreligeundivisorentre1y9.

Eljugadorhallaelcocientedelproblemade

división.Sielcocienteestáentre40y60,el

jugadoravanzaunacasilla.Sino,eljugador

permaneceenlamismacasilla.

Losjugadoresseturnan.Elprimerjugadoren

llegaralaLLEGADAeselganador.

¡A jugar!

SALIDA

LLEGADA

Divide para ganar

Capítulo 3 67


1. Los números que son fáciles de calcular mentalmente se llaman ___________ .

2. La cantidad que sobra en una división se conoce como ___________ .

27. Un total de 105 estudiantes van a una excursión. Por cada grupo de 5 estudiantes, debe haber un acompañante. ¿Cuántos acompañantes se necesitan para la excursión?

28. Imagina que 108 estudiantes fueron de excursión. Explica cómo determinar el número de acompañantes necesarios si hay un acompañante por cada grupo de 5 estudiantes.

VOCABULARIO

números compatibles

evaluar

resto

Comprueba tus destrezas Estima el cociente.

3. 275 : 5 4. 503 : 2 5. 345 : 7 6. 378 : 4

7. 170 : 8 8. 254 : 3 9. 168 : 5 10. 398 : 3

Halla el cociente.

11. 60 : 3 12. 240 : 8 13. 450 : 9 14. 170 : 1

Divide.

15. 372 : 6 16. 610 : 3 17. 462 : 9 18. 825 : 4

19. 309 : 3 20. 251 : 3 21. 315 : 2 22. 532 : 7

23. 594 : 2 24. 893 : 4 25. 408 : 6 26. 530 : 5



68

Enriquecimiento • Dividir entre 12

A Rodrigo se fue a dormir a las 21:00. ¿Cuál es la hora oficial en que se fue a dormir?

21 mód. 12 21 : 12 5 1 r9 Se fue a dormir a las 9 p.m.

Ejemplos

B Juan tiene 39 tarjetas coleccionables. ¿Cómo expresarías 39 en mód. 12?

39 mód. 12 39 : 12 5 3 r3 Por lo tanto, 39 mód. 12 es 3.

Con la hora oficial, las 24 horas del día se dividen en dos grupos de 12 horas. El primer grupo es el de las horas a.m. y el segundo grupo, el de las horas p.m. En cambio, con la hora militar el día no se divide en dos grupos, sino que se cuentan 24 horas.

Problema Un espectáculo aéreo militar está programado para las 16:00. ¿A qué hora comienza el espectáculo, expresada como hora oficial?

Expresa cada valor en mód. 12. Muestra tu trabajo.

1. 87 2. 117 3. 200 4. 14:00 5. 62

Inténtalo

6. Explica cómo usarías la aritmética modular para expresar 11 p.m. en hora militar.

Puedes usar una esfera de un reloj normal de 12 horas para hallar la hora. Empieza en el cero y cuenta 16 lugares alrededor de la esfera. Después de pasar las doce horas, llegarás a las 4 p.m.

De una manera

También puedes usar la aritmética modular para hallar la hora. Para expresar un valor, la aritmética modular usa un ciclo de números y restos que se repiten. Cuando los números llegan a cierto valor, el módulo, se repiten. El número 16 expresado en módulo 12 (mód. 12) es el mismo que el resto que sobra después de dividir 16 entre 12.

16 : 12 5 1 r4 16 mód. 12 5 4

Por lo tanto, el espectáculo empezará a las 4 p.m.

De otra manera

Capítulo 3 69

Patrones y álgebra 7. El resultado de 40 • (33 + 17) es:

A 90 C 1 600

B 800 D 2 000

8. Beatriz escribió la siguiente expresión:

(27 + 8) – (3 • 4)

¿Cuál es el valor de la expresión?

A 7 C 28

B 23 D 128

9. Las letras a y b representan números. Si a + 500 = b + 500. ¿Cuál enunciado es verdadero?

A a = b C a < b

B a > b D a = b + 500

10. ¿Qué símbolo va en el recuadro para hacer esta expresión numérica verdadera?

4 7 = 28

A • C –

B : D +

11. Describe la relación entre x e y en esta tabla.

Números y operaciones

Pista. Elige la respuesta.

Lee el problema 2. Si tu respuesta no coincide con ninguna de las opciones, comprueba los cálculos. Asegúrate de elegir la operación correcta.

1. 408 : 4 = A 102 C 202

B 140 D 204


x 9 15 24 36y 3 5 8 12

2. Francisco compró 8 cartas de su juego favorito por $ 536. ¿Cuánto le costó cada carta?

A $ 87 C $ 67

B $ 77 D $ 57

3. Un agricultor plantó 4 608 plantas de alcachofa en 8 filas iguales. ¿Cuántas plantas de alcachofa hay en cada fila?

A 576 C 586 B 581 D 601

4. La cantidad en que debiera aumentar el dividendo de 946 : 3 para que el resto de ella sea 0 es:

A 1 C 3 B 2 D 4

5. Tengo 640 páginas que leer de un libro. Me organicé para leerlo en 8 días. ¿Cuántas páginas diarias debo leer?

A 80 C 90 B 60 D 50

6. Explica cómo se redondea 42 568 a la unidad de mil más cercana.

12. En la expresión 45 + x = 250, el número que debe ir en la x para que se cumpla la igualdad es:

A 205 C 295 B 245 D 200

70

Datos y probabilidades19. Miguel lanzó 15 veces una moneda. ¿Cuál

afirmación es correcta? A La moneda cayó en cara 15 veces.

B La moneda cayó en sello 15 veces.

C La moneda cayó en cara 7 veces.

D La moneda cayó en cara o sello cada vez.

20. ¿Qué lista muestra los datos del gráfico de barras de abajo?

A Morado 6, azul 7, verde 10

B Morado 10, azul 7, verde 6

C Morado 8, azul 5, verde 9

D Morado 7, azul 10, verde 6

Para el ejercicio 21, usa el gráfico de barras sobre venta de boletos para un espectáculo de talentos.

21. ¿En qué días se vendió el mismo número de boletos?

A Martes y jueves C Jueves y miércoles

B Miércoles y viernes D Viernes y lunes

22. Escribe. Un gráfico de barras muestra el número de alumnos que hay en cada curso de un colegio. Las barras de 4° y 5° Básico tienen la misma altura. ¿Qué significa esto?

Geometría - Medición 13. ¿Cuál de los siguientes ángulos mide más de 90º?

A

B

C

D

14. ¿Cuántos ejes de simetría parece tener esta figura?

A 5 C 3

B 4 D 2

15. ¿Qué cuerpo geométrico tiene 4 caras?

A Cubo C Cuadrado

B Pirámide triangular D Cono

Bolitas sacadas de una bolsa

morado verdeazul

color

nú

mer

os

10

5

0

Boletos para el espectáculo de talentos

lun mar jue viemié

día

bo

leto

s ve

nd

ido

s

30

25

20

15

10

5

0 17. Tengo una figura 3D que rueda y no tiene caras planas, ¿qué figura es?:

A Cono C Esfera B Cilindro D Pirámide

18. La descripción “es un cuerpo geométrico que tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas” corresponde a:

A Un cilindro C Un cono de base triangular

B Un cubo D Una pirámide

16. Explica qué característica tiene un paralelepípedo.

Capítulo 3 71

Álgebra: Usar las operaciones de multiplicación y divisiónLa idea importante Las propiedades y los conceptos del álgebra se usan para evaluar expresiones y resolver ecuaciones de multiplicación y división.

4

Se han seleccionado 12 viñetas. Las expresiones 6 1 6 y 3 • 4 ambas son iguales a 12. Escribe tres expresiones diferentes que sean iguales al número de viñetas que se muestran aquí usando dos o más operaciones. Explica cómo decidiste si debías usar paréntesis.

72

El estadounidense Charles Schulz creó la tira cómica Peanuts que ha dado la vuelta al mundo (en la imagen el mosaico homenaje en Santa Rosa, USA). En Chile Condorito es el protagonista de la historieta chilena por excelencia. René Ríos conocido por el seudónimo de Pepo fue su creador. La historieta de Condorito ha traspasado las fonteras chilenas.

DATOBREVE


propiedad de elemento neutro La propiedad que establece que el producto de cualquier número y 1 es ese mismo número.

propiedad conmutativa La propiedad que establece que cuando se cambia el orden de dos factores, el producto es el mismo.

u Familias de operacionesCopia y completa cada expresión numérica.

5. 5 • 3 5 j 6. 6 • 7 5 j 7. 4 • 9 5 j 8. 7 • 9 5 j 15 : j 5 3 42 : j 5 7 36 : j 5 9 63 : j 5 9

u Ecuaciones de suma y de restaResuelve la ecuación usando el cálculo mental. Comprueba tu solución.

9. n 1 8 5 13 10. 9 n 5 6 11. n 1 6 5 14 12. 12 n 5 3

1. Equipo 2 3 4 5 6

Jugadores 12 18 24 j j

Regla: multiplicar el número de equipos por 6.

3. Piernas 12 16 20 24 28

Vacas 3 4 5 j j

Regla: dividir el número de piernas entre 4.

2. Monedas de $ 10 4 5 6 7 8

Monedas de $ 1 40 50 j 70 j

Regla: multiplicar el número de monedas de $ 10 por 10.

4. Pulgadas 12 24 36 48 60

Pies 1 2 j 4 j

Regla: dividir el número de pulgadas entre 12.

propiedad asociativapropiedad conmutativapropiedad distributivaecuaciónexpresión

prevalencia de las operacionesparéntesisvariablepropiedad del cero

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar exitosamente el capítulo 4.

u Usar una reglaCopia y completa cada tabla.

Capítulo 4 73

Aprende

Las propiedades de la multiplicación te ayudan a hallar productos de dos o más factores.

La propiedad elemento neutro dice que el producto de 1 y cualquier número es ese número.

1 • 3 5 3

La propiedad conmutativa dice que puedes multiplicar dos factores en cualquier orden y obtener el mismo producto.

2 • 3 5 6 3 • 2 5 6

La propiedad asociativa dice que puedes agrupar factores de diferentes maneras y obtener el mismo producto. Usa paréntesis ( ) para agrupar los factores que multipliques primero.

(4 • 2) • 3 5 24 4 • (2 • 3) 5 24

• Usa fichas para mostrar dos maneras de agrupar 3 • 2 • 5 para hallar el producto. ¿Son los productos iguales? Explica. Haz un dibujo para registrar tus representaciones.

Por lo tanto, j 5 0. Por lo tanto, j 5 8.

PROPIEDADES

Ejemplo 1 Usa las propiedades para hallar el factor que falta.

�j • 12 5 0 0 • 12 5 0

�9 • j 5 8 • 9 9 • 8 5 8 • 9 Propiedad conmutativa

Propiedades de la multiplicaciónOBjETIVO: identificar y usar las propiedades de la multiplicación.

Repaso rápido

1. 3 • 1 2. 5 • 3 3. 2 • 6 4. 7 • 0 5. 8 • 2

VocabularioPropiedad elemento neutro

Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa

Propiedad distributiva

Propiedadabsorbente del cero

1LECC

IÓN

74

Paso

4

12

4

10 2

Paso Paso

La propiedad distributivaPROBLEMA En la tienda de mascotas, los conejos están en una jaula que mide 4 metros de ancho por 12 metros de largo. ¿Cuál es el área de la jaula?

Actividad Usa la propiedad distributiva. Materiales ■ fichas cuadradas

La propiedad distributiva dice que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y después sumar los productos.

Multiplica. 4 • 12

Haz una matriz para hallar 4 • 12. Usa fichas cuadradas para construir una matriz.

4 • 12 5 j

Separa la matriz para hacer dos matrices pequeñas para los productos que conoces.

4 • (10 1 2)

Usa la propiedad distributiva para mostrar la suma de dos productos.

(4 • 10) 1 (4 • 2)

40 1 8 5 48

Por lo tanto, el área de la jaula es de 48 metros cuadrados.

Halla 8 • 12.

8 • 12 5 8 • (10 1 2) 5 (8 • 10) 1 (8 • 2) 5 80 1 16 5 96

Piensa: 12 5 10 1 2

Regla distributiva

Halla 5 • 5 • 2.

5 • 5 • 2 5 5 • (5 • 2) 5 5 • 10 5 50

Halla 2 • 7 • 5.

2 • 7 • 5 5 2 • 5 • 7 5 (2 • 5) • 7 5 10 • 7 5 70

Regla asociativa

• ¿Cómo puedes agrupar los factores para multiplicar 5 • 2 • 8?

• ¿Es 27 • (48 48) 5 0 verdadero? Explica cómo puedes ver esto, fácilmente.

Ejemplo 2 Usa las propiedades y el cálculo mental.

El uso de las propiedades te ayuda a hallar el valor de las expresiones de multiplicación.

Regla asociativa

Regla conmutativa

RecuerdaEl área es el número de

unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie plana.

área 5 2 • 3, o 6, unidades cuadradas.

Capítulo 4 75

Práctica adicional en la página 96, Grupo A


26. 18 1 36 5

27. 42 : 7 5

28. ¿Cuánto es 324 946 redondeado a la decena de mil más cercana?

29. ¿Cuál es el número que falta?

7 • j 5 (7 • 10) 1 (7 • 2)

A 2 C 12

B 10 D 20

1. Usa la regla asociativa para hallar el factor que falta. (12 • j) • 4 5 12 • (3 • 4)

Usa las reglas y el cálculo mental para hallar el producto.

2. 1 • 56 • 1 3. 24 • 0 • 6 4. 8 • 3 • 3 5. 7 • 12

6. Explica con un dibujo por qué al multiplicar 4 • 8 y 8 • 4 obtenemos productos iguales.

Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto.

7. 9 • 7 • 0 8. 2 • 4 • 7 9. 8 • 5 • 2 10. 6 • 9 • 1

Halla el número que falta. Nombra la propiedad que usaste.

11. 8 • 6 5 6 • j 12. 5 • 12 5 (5 • 10) 1 (5 • j) 13. (4 • 5) • 2 5 4 • (j • 2)

Haz una representación y usa la propiedad distributiva para hallar el producto.

14. 5 • 12 15. 3 • 12 16. 6 • 12 17. 12 • 9

Muestra dos maneras de agrupar usando paréntesis. Halla el producto.

18. 3 • 2 • 5 19. 8 • 7 • 1 20. 7 • 0 • 2 21. 2 • 6 • 2

22. Hay 2 mesas, cada una tiene 3 peceras con 5 peces en cada una. Hay también 3 mesas, cada una tiene 2 peceras con 5 peces en cada una. ¿Son iguales las cantidades? Explica.

24. Formula un problema Escribe un problema que se pueda resolver usando el producto (4 • 2) • 8.

23. Hay 9 peceras con 11 peces tetra en cada una y 12 peceras con 7 peces molly en cada una. ¿Hay más tetras o mollys? ¿Cuántos más hay?

25. ¿Cuál es la pregunta? El producto es 19. Explica cómo lo sabes.



76

Escribe para probar o contradecir

1. Envolvente del cero 2. Elemento neutro

Resolución de problemas Escribe para probar o contradecir cada regla de la división.

Algunas veces debes evaluar si un enunciado numérico o idea matemática es verdadera o falsa. Puedes usar lo que conoces acerca de las operaciones y propiedades para probar o refutar si las propiedades de la multiplicación son verdaderas para la división.

El grupo de Paula quiere saber si la propiedad conmutativa es verdadera para la división. Los miembros de su grupo escribieron esta explicación para mostrar lo que aprendieron.

Nosotros podemos intentar con diferentes problemas de división para hallar si la regla conmutativa funciona para la división. Decidimos intentar con 6 : 6 y 6 : 3.

Primero, preguntamos si 6 : 6 ? 5 6 : 6. Ambos cocientes son iguales a 1. Por lo tanto, el enunciado numérico es verdadero y la propiedad conmutativa funciona para este problema de división.

Después, preguntamos si 6 : 3 ? 5 3 : 6. En este ejemplo, el divisor y el dividendo son números diferentes. 6 : 3 5 2 y 3 : 6 5 3 _ 6 . El cociente 1 y 3 _ 6 no son iguales. Por lo tanto, este enunciado numérico es falso.

Por último, los miembros de nuestro grupo estuvieron de acuerdo en que, como el segundo enunciado numérico es falso, la división no es conmutativa.

Escribe para probar o contradecir:

• Usa vocabulario matemático correcto.

• Plantea la idea matemática que estás probando o contradiciendo.

• Plantea por lo menos dos ejemplos para analizar tu idea.

• Muestra tus cálculos y explica lo que aprendiste de cada ejemplo.

• Para probar, cada caso necesita ser evaluado. Para refutar, sólo es necesario un caso falso.

• Muestra tu razonamiento sacando una conclusión acerca de cada ejemplo.

• Por último, escribe una conclusión que establezca si probaste o contradijiste la idea matemática que estabas analizando.

Capítulo 4 77

2PROBLEMA En una visita a la Feria del libro usado, Carla compra un libro de $ 600 y 2 libros de $ 400 cada uno. Paga con un billete de $ 2 000. ¿Cuánto dinero le queda?

Puedes escribir la expresión 2 000 600 2 • 400 para resolver el problema.

Antes de que resuelvas este problema, investiga cómo el orden en que realices las operaciones puede cambiar la respuesta.

Haz una lista de todos los órdenes posibles que

puedes usar para hallar el valor de la expresión.

4 1 16 : 4 2.

Usa cada orden de tu lista para hallar el valor de la

expresión. Usa papel y lápiz.

Sacar conclusiones 1. ¿Cambió el valor de la expresión al seguir un orden

diferente?

2. Compara todos los valores que hallaste. ¿Tienen sentido todos estos valores? Explica.

3. ¿De qué manera el orden en que realizas las operaciones cambia el valor de una expresión que tiene más de un tipo de operación?

4. Síntesis ¿Qué ventaja hay en establecer un orden de las operaciones que todos sigan?

Prevalencia de las operacionesOBjETIVO: aplicar la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción.

Repaso rápido1. 8 • 62. 28 : 43. 56 : 74. 45 1 285. 91 34

Vocabularioprevalencia de las operaciones

RecuerdaUna expresión es

parte de un enunciado numérico que tiene números y signos de

operaciones pero que no tiene un signo

de igual.

78

Paso Paso Paso

Cuando resuelves problemas con más de un tipo de operación, necesitas saber qué operación realizar primero. Un conjunto de reglas especiales, llamado prevalencia de las operaciones, da el orden en el cual se realizan los cálculos en una expresión.

Primero, multiplica y divide de izquierda a derecha.

Después, suma y resta de izquierda a derecha.

Luego, usa el orden de las operaciones para resolver el problema.

2 000 600 2 • 4002 000 600 800

Halla el valor de 2 000 600 2 • 400.

2 000 600 800 1 400 800

1 400 800 600

Multiplica de

izquierda a

derecha.

Después, resta

de izquierda a

derecha.

Luego, resta

otra vez.

Por lo tanto, a Carla le quedan $ 600.

• ¿Cómo te ayudó la prevalencia de las operaciones a resolver este problema?

Ejemplos¿Qué operación debes realizar primero para hallar los valores de 12 6 : 2 y 12 : 6 2? ¿Cuál es el valor de cada expresión?

12 1 15 : 3 12 1 5 17

Divide de izquierda

a derecha. Después,

suma.

32 10 1 6 22 1 6 28

Suma y resta

de izquierda a

derecha.

Escribe correcto si las operaciones están en el orden correcto. Si no es así, escribe la prevalencia de las operaciones en el orden correcto.

1. 4 1 5 • 2 Multiplicar, sumar 2. 8 : 4 • 2 Multiplicar, dividir

3. 12 1 16 : 4 Sumar, dividir 4. 9 1 2 • 3 1 Sumar, multiplicar, restar

Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión.

5. 6 1 9 : 3 6. 3 • 6 : 2 7. 49 : 7 1 5 8. 36 4 1 8 : 4

9. 8 1 27 : 9 2 10. 9 • 7 1 4 11. 45 : 5 6 12. 8 • 9 4 1 12

Razonamiento Usa los números de la lista para hacer un enunciado numérico verdadero.

13. 2, 6 y 5 14. 4, 12 y 18 15. 8, 9 y 7

j 1 j • j 5 16 j j : j 5 15 j • j j 5 47

16. ¿Es 4 1 8 • 3 igual a 4 1 3 • 8? Explica cómo lo sabes sin hallar el valor de cada expresión.

Capítulo 4 79

Aprende

Expresiones entre paréntesisOBjETIVO: aplicar las reglas relativas a paréntesis para hallar el valor de expresiones.

Ya sabes cómo usar el orden de las operaciones para hallar el valor de una expresión con más de un tipo de operación. Algunas expresiones pueden tener paréntesis. En una expresión que tiene paréntesis, se resuelve primero lo que está entre paréntesis.

Primero, realiza cualquier operación entre paréntesis. Después, multiplica y divide de izquierda a derecha. Luego, suma y resta de izquierda a derecha.

Ejemplo 1 Usa el orden de las operaciones.

David es un observador de aves. Vio 8 cachuditos durante el fin de semana. En los siguientes 5 días vio diariamente 3 cachuditos más. ¿Cuántos cachuditos vio en total?

8 1 (5 • 3) ↓ 8 1 15 ↓ 23

Por lo tanto, David vio 23 cachuditos del norte en total.

Camila vio 8 diucas el lunes y 2 el martes. Al llegar al viernes, había visto 3 veces la cantidad de diucas que vio entre lunes y martes. ¿Cuántas diucas vio en total?

(8 1 2) • 3 ↓ 10 • 3 ↓ 30

Por lo tanto, Camila vio 30 diucas en total.

• Halla el valor de 8 1 2 • 3. ¿En qué se parece esta expresión a 8 1 (2 • 3) y a (8 1 2) • 3? ¿En qué se diferencia?

Piensa: 8 cachuditos más 5 días multiplicado por 3 cachuditos cada día

Realiza primero lo que está entre paréntesis.

Después, suma.

Piensa: 3 multiplicado por el total de 8 diucas y 2 diucas

Realiza primero lo que está entre paréntesis.

Después, multiplica.

Repaso rápido

1. 9 1 3 • 62. 15 8 : 23. 20 : 4 34. 7 • 6 3 • 55. 36 : 4 1 8 • 2

3LECC

IÓN

80

Ejemplo 2 Relaciona las palabras con una expresión. Después, halla el valor de la expresión.

Juan contó bandurrillas de pico recto en 2 árboles. Había 5 pájaros en cada árbol. Después, 3 pájaros se fueron de cada árbol. ¿Cuántas bandurrillas quedaron?

¿Qué expresión se relaciona con el significado de las palabras?

Piensa: Los 2 árboles que tenían 5 pájaros cada uno, ahora tienen 3 pájaros menos.

Relaciona las palabras y las expresionesPuedes relacionar palabras con una expresión o escribir una expresión que se relacione con palabras.

(2 5) 3 ←

(2 • 5) 3

2 • (5 3) ←

2 • (5 3)

Para hallar cuántas bandurrillas quedan, sigue el orden de las operaciones.

2 • (5 3) ↓2 • 2 ↓ 4

Por lo tanto, quedan 4 bandurrillas de pico recto.

(6 • 3) 4 ← 6 albatros en cada uno de 3 árboles y 4 diucas menos

Para hallar cuántos más albatros vio Elías, sigue el orden de las operaciones.

(6 • 3) 4 Realiza primero lo que está entre paréntesis.

↓ 18 4 Después, resta.

↓ 14

Por lo tanto, Elia vio 14 albatros de frente blanca más que diucas.

• Explica por qué la posición de los paréntesis es importante.

Primero, halla el número total de pájaros

en los árboles y después resta el número

que se fue volando.

No se relaciona con el significado.

Primero, halla el número de pájaros que quedan en cada árbol y después halla el

número total que quedan.

Se relaciona con el significado.

Realiza primero lo que está entre

paréntesis.

Después, multiplica.Los paréntesis te ayudan a hallar el valor correcto de una expresión con más de un tipo de operación. El significado de las palabras en un problema indica dónde colocar los paréntesis.Ejemplo 3 Escribe una expresión que se relacione

con las palabras. Después, halla el valor de la expresión.

Elías vio 6 albatros de frente blanca en cada uno de 3 árboles. Además, vio 4 diucas. ¿Cuántos albatros más que diucas vio?

Capítulo 4 81

Escribe las palabras que se relacione con la expresión.

24. 4•(51 3) 25. (10 12)•6 26. 6•(5 3) 27. (7•2) 12

Usa paréntesis para hacer el enunciado numérico verdadero.

28. 34 1 6 : 4 5 10 29. 7•6 3 5 21 30. 14 4 1 8 : 2 5 8

31. 7•61 6 2 5 82 32. 5 16•25 22 33. 9 6•6: 2 5 9

1. ¿Qué manera de colocar los paréntesis da un valor de 35?

a. 5•(9 2) b. (5•9) 2


2. 3 • 6 (2 1 4) : 2 3. 3 • (6 2) 1 4 : 2 4. 3• (6 2 1 4) : 2

Elige la expresión que se relacione con las palabras.


8. 45 9 : 3 9. 30 12•(6 4) 10. (45 9) : 3

11. 36 (4 1 8) : 4 12. 8 16•5 2 13. (28 8) : 4 1 6

14. 5•(9 4) 1 (12 : 6) 15. 18 (5•3) 16. (36 : 4) 1 (10 5)

17. (3•8): (6 1 6) 18. (9 6)•(8 5 1 3) 19. (12•3): (8 4)

Elige la expresión que se relacione con las palabras.

5. Claudia tenía $ 7 y después trabajó 3 horas a $ 6 la hora.

a. (7 13)•6 b. 7 1(3•6)

6. Juan José tenía 4 páginas con 5 estampillas en cada una. Usó 3 estampillas.

a. (4•5) 3 b. 4•(5•3)

7. Explica por qué los valores de 8 1 6 : 2 y (8 1 6) : 2 son diferentes. ¿Cuál es el valor de cada expresión?

20. Ariel tenía 15 bolitas. Regaló 3 y después le dieron 5.

a. (15 3) 1 5 b. 15 (3 1 5)

22. Samuel trabajó 6 horas al día por 4 días. Trabajó 5 horas el quinto día.

a. (6•4)1 5 b. 6•(41 5)

21. María José tenía 50 láminas. Le dio 4 láminas durante 5 días a su hermano.

a. 50 (4•5) b. (50 4)•5

23. Jéssica compró 2 boletos a $ 800 cada uno. Pagó $ 100 de impuesto de ventas.

a. 2•(8001 100) b. (2•800)1 100



82

Práctica adicional en la página 96, Grupo B


38. Halla el valor de w 1 26 si w 5 17.

39. Un santuario de aves tiene 8 aves en cada jaula gigante. Si hay 56 aves, ¿cuántas jaulas hay?

40. Halla el valor de la expresión.

4•(9 5) 1

41. j •656•9

42. ¿Qué expresión tiene un valor de 28?

A (16 2)•2

B 16 2•2

C 16 1 4 : 2 1 8

D (16 1 2) : 2 1 8

Sendero de ChileEl Parque Nacional Torres del Paine dista 41 km del Monumento Natural Cueva del Milodón. En esta cueva habitó el milodón. Esta especie de animal extinta pertenecía a la familia de los armadillos, osos hormigueros y actuales perezosos; era bípedo y medía aproximadamente dos metros y medio.

Escribe una expresión que se relacione con las palabras. Después, halla el valor de la expresión.

1. Un pionero viajó 3 km por hora durante 3 horas en la mañana. Después viajó 5 km en la tarde y 3 km en la noche. ¿Qué distancia viajó?

2. Una familia viajó 7 km en la mañana, 2 km por hora durante 4 horas en la tarde y después 1 km más en la noche. ¿Qué distancia viajó la familia?

34. Lia vio 8 gorriones en cada uno de 3 árboles y 4 chincoles en cada uno de 2 árboles. ¿Cuántos gorriones más vio que chincoles?

35. Luisa vio 4 zorzales en una hora. En la hora siguiente vio el doble de zorzales, que había visto en la primera hora. ¿Cuántos zorzales vio en total?

36. Formula un problema Escribe un problema que se relacione con la expresión 4•(8 3).

37. Cuando hallas el valor de 6 1 6 y 3•4, ambas expresiones son iguales a 12. ¿Qué otros nombres para 12 puedes escribir que tengan solo números menores que 10 y por lo menos tres operaciones diferentes? Explica cómo decidiste si debías usar paréntesis.

q Torres del Paine

Capítulo 4 83

4PROBLEMA El siguiente cuadro muestra la distancia en kilómetros de algunas ciudades de Chile.

Observa la tabla y responde

Resolución de problemas con calculadoraOBjETIVO: usar la calculadora para resolver problemas.

Repaso rápido1. 24 • 122. 127 893. 425 1 12044. 324 : 9

Vocabularioproyecciones

¿Qué distancia hay entre las ciudades de Santiago y La

Serena?

La distancia es la diferencia de estos datos. Usa la

calculadora para encontrarla.

2050 – 1590 = 460- =

Entre Santiago y La Serena hay 460 kilómetros.

Distancias aproximadas en kilómetros Arica Antofagasta

La Serena 1590 900

Santiago 2050 1360

Concepción 2565 1875

Sacar conclusiones 1. ¿Qué ventaja tiene realizar estas operaciones con

calculadora?

2. Chile mide aproximadamente 4300 km de largo, ¿Cuántos kilómetros más debe recorrer una persona que viene desde Arica y llegó a Concepción, para terminar de recorrer el país?

3. ¿Cuántos kilómetros menos hay entre La Serena y Concepción que entre Antofagasta y Concepción?

4. ¿Cuántos kilómetros más lejos de Santiago está Concepción que La Serena?

5. ¿Entre qué ciudades existe mayor distancia?

84

Cuando usas la calculadora necesitas saber qué teclas presionar para realizar el cálculo que necesitas. Para ello, también debes tener claro, en el orden en que se introducirán los datos.

Ejemplo Halla el valor de 854 325 - 794 528 Para calcular este resultado se introducen los datos en el mismo orden en que aparecen.

Algunas de las proyecciones de la población (habitantes) de Chile son las siguientes.

Copia en tu computador, en una planilla excel, como se ve en la foto.

Responde.

1. En el año 2014, ¿cuántos hombres menos habrá que mujeres?

2. Actualmente la población de Santiago es de 7 213 110. Aproximadamente, en el año 2018, ¿cuántas veces será la población de Chile?

3. ¿Cuál será la diferencia entre hombres y mujeres en el año 2020?

4. ¿Cuántas mujeres más habrá desde el año 2015 al 2020?

5. ¿Cuántos años tendrán que pasar para que la población de hombres aumente de 8 905 405 a 9 103 928 personas?

Por qué debes usar la calculadora y no el programa para resolver la siguiente pregunta:

6. Estados Unidos tenía una población aproximada de 309 000 000 en el año 2010. ¿Cuántas veces será la población de Chile en el año 2013?

FUENTE: http://palma.ine.cl/demografía/SELECCION.aspx

Observa la tabla y responde. Para los cálculos ayúdese del mismo programa.

Por ejemplo Para responder ¿en cuántos habitantes más crecerá la población desde el 2013 hasta el 2021? Ingresa en f(x) = B(11) − B(3). Debes tener el cursor en una casilla en blanco para darle Enter y obtener el resultado.

Capítulo 4 85

Paso Paso

Actividad Materiales ■ balanza, pesas

Muestra 7 a la izquierda y 12 a la derecha.

Puedes usar una balanza para mostrar cuál de los números 4, 5, o 6 es la solución de la ecuación 7 1 m 5 12.

Reemplaza m por 4. Coloca 4 en el lado izquierdo. ? 7 1 4 5 11 11 5 12 falso

Reemplaza m por 5. Coloca 5 en el lado izquierdo. ? 7 1 5 5 12 12 5 12 verdadero

Reemplaza m por 6. Coloca 6 en el lado izquierdo. ? 7 1 6 5 13 13 5 12 falso

Prueba el 3. ?23 3 5 14 Reemplaza x por 3. 20 5 14 falso

La solución es 5. Los valores son iguales en ambos lados de la balanza. Por lo tanto, el oso negro hiberna durante cinco meses al año.

Ejemplo ¿Es 3, 5, o 9 la solución de 23 x 5 14?

Prueba el 5. ?23 5 5 14 Reemplaza x por 5. 18 5 14 falso

Prueba el 9. ?23 9 5 14 Reemplaza x por 9. 14 5 14 verdadero

PROBLEMA El oso negro americano permanece activo durante siete meses del año. Durante los meses de invierno, el oso negro hiberna. ¿Cuántos meses hiberna el oso?

Escribe una ecuación para representar el problema.

meses de meses meses actividad 1 hibernando 5 al año

↓ ↓ ↓ 7 1 m 5 12

Para resolver una ecuación, encuentra el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera. Ese valor se denomina solución.

A El oso Americano negro solo se encuentra en América del Norte.

Aprende

Resolver ecuacionesOBjETIVO: escribir y resolver ecuaciones.

Repaso rápido


1. j 1 4 5 132. 24 : j 5 63. j 5 5 124. 3 • j 5 245. j : 9 5 7

5LECC

IÓN

Vocabulariosolución

86

Más ejemplos Usa el cálculo mental para resolver cada ecuación.

Cálculo mentalMaite tiene 14 tarjetas de invitación para su fiesta de Cumpleaños. Si quiere invitar a 25 amigos, ¿cuántas invitaciones le faltan?

Escribe una ecuación para resolver este problema

Invitaciones Invitaciones 5 Total de que tiene que le faltan invitaciones ↓ ↓ ↓ 14 + X 5 25

Resuelve la ecuación usando el cálculo mental.

14 x 5 25 Piensa: ¿qué número más 14 da como resultado 25?

x 5 11

Comprueba: 14 + 11 = 25 Reemplazando x por 11.

25 5 25 Se comprueba la ecuación.

Por lo tanto, a Maite le faltan 11 invitaciones.

h + 8 5 21 h 5 13

Comprueba: 13 + 8 5 21

21 5 21 ✓

m – 8 5 22 m 5 30

Comprueba: 30 – 8 5 22

22 5 22 ✓

14 + g 5 20

g 5 6

Comprueba: 14 + 6 5 20

20 5 20 ✓

26 – r 5 16

r 5 10

Comprueba: 26 – 10 5 16

16 5 16 ✓

1. ¿Cuál de los números 2, 6 o 7 es la solución a la ecuación 8 n 5 2?

8 n 5 2 8 n 5 2 8 n 5 2 ? ? ?8 2 5 2 8 6 5 2 8 7 5 2

• ¿Por qué compruebas la solución después de resolver la ecuación usando el cálculo mental?

¿Cuál de los números 5, 8 o 10 es la solución a la ecuación?

2. x 1 7 5 12 3. 14 – y 5 6 4. 12 + z 5 22 5. w + 4 5 14


Piensa: ¿Qué número sumado

con 8 da como resultado 21?

Piensa: ¿Qué número menos 8 da

como resultado 22?

Piensa: ¿Qué número sumado

con 14 da como resultado 20?

Piensa: ¿26 menos qué número

da como resultado 16?

Alonso Duarte

Maite

Capítulo 4 87

Osos negros

Un año de edad

Adulto

Pesopromedio

del macho (kg)

32

113

f

a

Pesopromedio de

la hembra (kg)

Usa el cálculo mental para resolver cada ecuación. Comprueba tu solución.

6. m 1 6 5 17 7. 31 x 5 15 8. 4 1 n 5 28 9. y – 15 5 15

10. Explica por qué x 5 20 es la solución a la ecuación. 45 x 5 25.

¿Cuál de los números 3, 6 o 16 es la solución a la ecuación?

11. n 9 5 7 12. 42 w 5 39 13. 25 1 q 5 41 14. 27 1 r 5 30

Usa el cálculo mental para resolver cada ecuación. Comprueba tu solución.

15. 32 5 11 1 r 16. 4 1 n 5 15 17. 9 5 h 2 18. 27 1 x 5 35

19. 36 1 t 5 40 20. 19 5 c 1 19 21. 57 5 68 a 22. 24 1 s 5 29

23. k 9 5 3 24. n 1 100 5 142 25. 58 1 y 5 64 26. 50 x 5 25

Para 27–30, cada variable representa un número. Halla el valor de cada variable.

27. x 1 4 5 9 28. a 1 5 5 11 29. 3 1 c 5 12 30. 6 1 s 5 14 3 1 y 5 x a b 5 2 c - d 5 4 s t 5 4

USA DATOS Para 31–33, usa la tabla para escribir la ecuación. Luego resuelve.

31. El oso macho de un año de edad pesa en promedio 9 kg más que la hembra. ¿Cuál es el peso promedio de la osa de un año?

32. Cuando un oso adulto salió de la hibernación, pesaba n kilos menos que el peso promedio. En los siguientes 6 meses aumentó 39 kg para un peso de 134 kg. Halla cuántos kilos perdió el oso durante la hibernación.

33. La suma del peso promedio de un oso y de una osa adultos es de 181 kg. ¿Cuál es el peso promedio de la osa adulta?

34. Explica Un cachorro de oso negro generalmente se queda con su madre unos 17 meses. Si un cachorro estuvo con su madre 11 meses, aproximadamente, ¿cuánto tiempo más se quedará con ella? Explica cómo usar una ecuación para resolver el problema.


88

Práctica adicional en la página 96, Grupo C


35. 3,8 • 6

36. Si b 5 15, ¿cuál es el valor de b : 3 1 9?

37. Margarita patinó 3 horas más que René. Si Margarita patinó 8 horas. ¿Cuánto patinó René? Escribe una ecuación para representar el problema.

38. La ecuación x + 18 5 45 muestra el número de asistentes a una fiesta que llegarón en 2 grupos. ¿Cuántos llegaron en el primer grupo?

A 30 C 25

B 27 D 32

39. ¿Qué valor de x hace verdadera esta ecuación?

x 1 20 5 36

A 13 C 15

B 14 D 16

Universidad de Chile 170 años:

Cuatro sellos con las imágenes de Valentín Letelier, Amanda Labarca, la Casa Central y la estatua de Andrés Bello fueron presentados este viernes 28 de septiembre (2012) en CorreosChile, dando así comienzo a las actividades de Aniversario 170 de esta Casa de Estudios. En cada uno de los sellos se lee la inscripción “Precursores de la Educación Pública”.

Escribe una expresión que se relacione con las palabras.

1. El total de 2 estampillas en cada tarjeta conmemorativa, c.

2. El precio de un número de sobres de la primera emisión, s, que costaba $2 500 cada uno.

Cada estampilla, e, cuesta $500. Halla el costo total del número de estampillas.

3. e 5 8 4. e 5 5 5. e 5 7

Capítulo 4 89

Desigualdad quiere decir que dos cantidades no son iguales. Las cantidades se comparan usando uno de los siguientes símbolos.

< > =Una desigualdad puede contener una variable, como en x > 3. Una solución de una desigualdad es cualquier valor de la variable que hace que el enunciado sea verdadero.

La tabla muestra que una desigualdad puede tener más de una solución. La balanza nos muestra que cualquier número mayor que 3 es una solución para esta desigualdad.

Aprende

Resolver desigualdadesOBjETIVO: aprender a resolver desigualdades de un paso.

6LECC

IÓN

Repaso rápido

1. 5 < 7 2. 5 > 93. 3 < 7 4. 9 > 3

Vocabulariodesigualdad

solución de una desigualdad

Ejemplo 1 Representa en una balanza las soluciones de cada desigualdad.

El 2 es una solución para esta desigualdad, ya que es menor que 4 y se mantiene la desigualdad.

El 6 es una solución para esta desigualdad, ya que es mayor que 2 y se mantiene la desigualdad.

w < 4 z > + 2

Puedes resolver desigualdades que contienen suma y resta de la misma manera que resolviste ecuaciones.

?

?

?

?

¿Solución?Balanza x x 3

No; 0 no es mayor que 3, por lo tanto, 0 no es una solución.

No; 3 no es mayor que 3, por lo tanto, 3 no es una solución.

Sí; 5 es mayor que 3, por lo tanto, 5 es una solución.

Sí; 12 es mayor que 3, por lo tanto, 12 es una solución.

0 0 > 3

4,5 4,5 > 3

3 3 > 3

12 12 > 3

90


Usa balanza o pesas para encontrar dos soluciones posibles a las desigualdades.

1. w > 0 2. x > 5 3. z > 9

4. g < 4 5. 7 > t 6. 4 < q

7. x > 7 8. z < 3 9. w > 24

10. r < 12 11. z < 15 12. g < 18

Resuelve cada desigualdad. Dibuja una balanza para graficar una solución.

13. y – 5 > 0 14. x + 4 < 10 15. s + 2 < 10

16. r + 9 < 23 17. p – 4 > 2 18. 4 + r < 7

19. 3 + x > 7 20. x – 5 > 9 21. z + 9 < 18

22. u > 3 23. v + 8 < 21 24. w – 12 > 9


Ejemplo 2 Resolver desigualdades con suma o resta.

Resta 2 en ambos lados de la desigualdad.

Suma 3 a ambos lados de la desigualdad.

El 12 es una solución para esta inecuación, ya que es mayor que y, por lo tanto, se mantiene la desigualdad.

El 8 es una solución para esta inecuación, ya que es mayor que 4, por lo tanto, se mantiene la desigualdad.

y + 2 > 8. Se suma 7 a y.

4 < n - 3. Se resta 3 de n.

En el ejemplo dos, podemos representar las soluciones de las inecuaciones con balanza. Lo fundamental es mantener la desigualdad y darnos cuenta que existe más de una solución.

y + 2 - 2 > 8 - 2 - 2 - 2

4 < n - 3

Capítulo 4 91

Lista de precios para recaudar fondos

$ 450, $ 975, $ 700, $ 575, $ 925, $ 650

Resuelve y representa gráficamente cada desigualdad.

46. a + 5 < 15 47. b + 1,5 > 8,5 48. y + 3 __ 4 > 1 1 __

2

49. x – 2 > 12 50. 3,8 + k > 4,2 51. m + 7 > 8

37. c es menor que dos.

38. p es mayor que 11.

39. s más dos es mayor que 5.

40. Marta vive a menos de cinco cuadras de su colegio.

41. Esteban debe comer más de 8 galletas diarias.

42. Amelia tiene menos de 32 tarjetas de juego.

43. Jorge debe correr más de 25 cuadras diarias para su entrenamiento.

44. Chile tiene 4 200 km de longitud de costas entre Arica y el Cabo de Hornos. Sea P la longitud del litoral chileno, escribe una inecuación que relacione P con algún otro lugar de las costas de Chile.

45. Ciencias Sociales La Constitución de Chile establece que “no podrá ser presidente quien no ha cumplido los treinta y cinco años”. Sea e la edad de cualquier presidente de Chile, escribe una desigualdad que relacione e con la edad mínima de un presidente de Chile.

Escribe una expresión para cada enunciado.

52. Pesca En algunos lagos, los pescadores devuelven las truchas que miden menos de 25,4 cm de longitud. Escribe una desigualdad que represente las longitudes de truchas que se pueden conservar.

53. La tabla muestra los precios de los artículos que Luis está vendiendo para recaudar fondos. Escribe dos desigualdades para describir el precio de algún artículo, una usando el símbolo < y la otra usando el símbolo >

54. Razonamiento Crítico Explica por qué deberías representar gráficamente las soluciones de una desigualdad en vez de hacer una lista de ellas. ¿Dónde está el error? Un estudiante representó gráficamente x > 2 como se muestra a continuación. ¿Qué hizo mal el estudiante? Dibuja el gráfico correcto.

55. Describe una situación que se pueda representar mediante una desigualdad. Escribe y representa gráficamente la desigualdad.

Representa gráficamente las soluciones de cada desigualdad mediante un dibujo.

25. t > 2 26. y < 10 27. q < 7 28. n > 5 29. 1 < p 30. f > 3

Resuelve y representa gráficamente cada desigualdad.

31. x + 2 > 4 32. y + 3 < 9 33. b + 1 > 5 34. g – 6 > 4 35. f – 5 < 2 36. w + 3 < 8

Escribe una expresión para cada enunciado


92


58. ¿Qué valor es parte de la solución para la desigualdad 4x > 16?

A B C D E F G H I J K x = 0 A B C D E F G H I J K x = 2 A B C D E F G H I J K x = 4 A B C D E F G H I J K x = 8

59. Explica qué diferencia hay entre la solución de x + 3 = 10 y x + 3 > 10.

Cant

idad

de

estu

dian

tes 12

4

6

8

10

2

016 17 18 19 20

Edades de los estudiantes de la clase de yoga

Edad

60. Indica cómo podrías comprobar tu solución para una desigualdad.

56. Una desigualdad compuesta combina dos desigualdades. Para resolver una desigualdad compuesta, escribe dos desigualdades y resuelve cada desigualdad por separado.

Resuelve la desigualdad 12 < x + x + 2 < 21

57. La edad de María es la mitad más 3 y el resultado es mayor que 15. Entonces, María tiene:

A B C D E F G H I J K 16 años A B C D E F G H I J K 18 años A B C D E F G H I J K 20 años A B C D E F G H I J K 24 años

Usa el gráfico de barras para responder las preguntas 61 y 62.

61. ¿Qué edad tiene la mayoría de los estudiantes?

62. ¿Qué edades corresponden a menos de 8 estudiantes en la clase?

Convierte.

63. 27 m = cm 65. 15 m = mm

64. 13 kg = gr 66. 23 kg = gr

Capítulo 4 93

Entrada (litros) Salida (cuartos)

1 4

2 8

3 12

4 j

Entrada, b Salida, c

14 2

28 4

42 6

56 j

ADVERTENCIA

Patrones: hallar una reglaOBjETIVO: hallar una regla para una relación numérica y escribir una ecuación para la regla.

PROBLEMA Un litro de leche es igual a 4 cuartos de litro, 2 litros son iguales a 8 cuartos y 3 litros son iguales a 12 cuartos. ¿Cuántos cuartos de litro son iguales a 4 litros?

Puedes usar una tabla de entrada y salida para hallar una regla que relacione el número de litros con el número de cuartos.

Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la ecuación para hallar el número que sigue en tu patrón.

Patrón: Cada salida es la entrada dividida entre 7. Regla: Divide b entre 7. Ecuación: b : 7 5 c

Por lo tanto, el número que sigue en el patrón es 8.

Ejemplos

Busca un patrón que te ayude a hallar

una regla.

Patrón: Cada salida es la entrada

multiplicada por 4.

Regla: Multiplicar la entrada por 4.

Entrada:4 Salida:4•45 16

Por lo tanto, 4 litros son iguales a 16 cuartos de litro de leche.

Puedes escribir una ecuación para mostrar la regla. Usa variables para mostrar la entrada y la salida. entrada (litros) salida (cuartos)

g • 4 5 cPiensa en la ecuación como una

regla. Para hallar el valor de c,

multiplica g por 4.

Piensa:

14 : 7 5 2

28 : 7 5 4

42 : 7 5 6

56 : 7 5 8

Una regla debe funcionar con cada par de números de la tabla. Asegúrate de probar tu regla con cada par de números de la tabla.

p Una vaca produce aproximadamente 752 litros de leche en un mes.

Repaso rápido

1. 5 • 7 2. 8 • 63. 32 : 4 4. 63 : 95. 3 • 6 1 2

7LECC

IÓN

Aprende

94

Práctica adicional en la página 96, Grupo E


Entrada, m 3 4 5 6 7

Salida, w 7 8 9 10 j

Entrada, r 2 3 5 6 8 9 10

Salida, s 18 27 45 j j j j

Entrada, x 8 9 10 15 20 25 30

Salida, y 0 1 2 j j j j

Entrada, x 14 28 42 56 70 77 84

Salida, y 2 4 6 j j j j

Entrada, a 3 4 5 10 20 30

Salida, b 13 14 j j j j

Entrada, l 1 2 3 4

Salida, d 12 24 36 j

Granos FrutasVegetales Leche Carne y legumbres

1 taza 2 tazas 1 tazas 3 tazas12

12 1 tazas1

4Granos FrutasVegetales Leche Carne y legumbres

1 taza 2 tazas 1 tazas 3 tazas12

12 1 tazas1

4

Entrada, c 3 6 9

Salida, p 6 12 18

1. La regla es sumar 4. La ecuación es m + 4 5 w. ¿Cuál es el número que sigue en el patrón?

Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan.

2. 3.

4. Explica cómo se usa la tabla para escribir una ecuación para hallar la distancia, d, en kilómetros que recorrerá un camión que viaja con l litros de bencina. Usa la ecuación para completar la tabla.


5. 6.

Usa la regla y la ecuación para hacer una tabla de entrada y salida.

7. Restar a 10. 8. Sumar a 12. 9. Multiplicar f por 4, sumar 7. 10. Dividir p entre 5, restar 2. k 10 5 m c•12 5 d (f•4) 1 7 5 g (p : 5) 2 5 q

USA LOS DATOS Para los ejercicios 11 a 12, usa la pirámide de alimentos para niños.

11. ¿Cuántas tazas de leche debe tomar un niño en 2, 3, 4 y 5 días? Haz una tabla de entrada y salida. Escribe una ecuación para resolverlo.

12. Explica cómo se halla una regla y se escribe una ecuación para el número total de tazas de granos que un niño debe comer en 3 días.

t Para una dieta de 1 800 calorías, necesitas comer o tomar la cantidad que se muestra de cada grupo todos los días.

13. ¿Cuál es el valor de p?

15 p 5 8

14 4•10 5

15. (10 2)•7 5

16. ¿Qué ecuación muestra una regla para la tabla?



A 2 + c 5 p

B 2 + p = c

C 2 •c = p

D 2 •p=c

Capítulo 4 95

Grupo A Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto.

1. 2•7•5 2. 2•0•31 3. 1•6•7 4. 3•8•2

5. 8•1•7 6. 5•4•6 7. 5•9•2 8. 3•0•34

9. Una tienda recibió un envío de 2 cajones con 10 empaques de jugo en cada uno. Hay 5 cajas de jugo en cada empaque. ¿Cuántas cajas de jugo recibió la tienda?

Grupo B Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión.

1. 28 4 : 2 2. 25 1 15 : (2 1 3) 3. 5•(6 3) 1 9 4. 28 (5 1 3) : 4

5. 16 14•(31 7) 6. (22 1) : 7 7. (9 1 18) : 3 8. 36 : 9 4

Grupo C Resuelve cada una de las ecuaciones. 1. x + 21 = 37 2. 14 + y = 29 3. W -14 = 25 4. Z - 17 = 19

5. u – 13 = 32 6. 10 + v = 43 7. M – 18 = 38 8. 12 + n = 30

Grupo D Encuentra dos soluciones para cada desigualdad. 1. s + 21 > 30 2. 4 + k < 12 3. m + 1 < 18 4. n - 29 < 8

5. p – 14 < 266 6. q + 30 < 270 7. 4 + m > 8 8. j + 15 > 45 9. t - 12 > 7

10. La banda del Colegio Horizonte lava autos para recaudar dinero para un viaje de fin de año. Si los miembros de la banda cobran $ 750 por auto, ¿cuántos autos deben lavar para recaudar al menos $ 21 000?

Grupo E Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan.

1. 2.

Entrada, a 6 12 18 24 30

Salida, b 1 2 3 j j

Entrada, m 4 5 6 j j

Salida, n 32 40 48 56 64

Práctica adicional

96

Conexión entre ecuaciones

Cada jugador toma 10 tarjetas. Un jugador escribe 10 ecuaciones de adición y el otro escribe 10 ecuaciones de sustracción. Todas las ecuaciones necesitan tener la n como variable y el valor de n en cada una debe ser un número entero del 1 al 10.

Mezclen las tarjetas. Colóquenlas boca abajo en 4 hileras con 5 tarjetas cada una.

Decidan quién será el primero. El primer jugador voltea dos tarjetas. Si las dos ecuaciones tienen el mismo valor de n, el jugador se queda con las tarjetas. Si no tienen el mismo valor, el jugador regresa las tarjetas otra vez boca abajo.

Túrnense hasta que todas las tarjetas tengan su pareja. El jugador con más tarjetas gana.

Un jugador volteó estas dos tarjetas. Los valores de n no coinciden. Por lo tanto, el jugador coloca otra vez las tarjetas boca abajo y le toca su turno al otro jugador.

¡En sus marcas!2 jugadores

¡Listos!tarjetas (20)

¡Fuera!

Capítulo 4 97

Repasar el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro.

1. La ____________ establece que cuando el orden de dos factores se cambia, el producto es el mismo.

2. La ____________ establece que el producto de 0 por cualquier número es 0.

3. La ____________ establece que se pueden agrupar factores de diferentes maneras y aun así obtener el mismo producto.

Repasar las destrezas Aplicar las reglas relativas a la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión.

4. 25 10 : 2 5. 11 11•(7 3) 6. 3•(8 6) 1 7 7. 14 (3 1 9) : 6

Resuelve cada ecuación.

8. 38 1 a = 54 9. 72 1 b = 96 10. c 42 = 31 11. d 15 = 60

12. c 28 = 60 13. f – 72 = 54 14. g 1 18 = 62 15. h 41 = 13

16. Patricia tiene dos años más que su hermana. Si Patricia tiene 15 años. Escribe una ecuación que muestre la situación y resuelve:

Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones. 17. x + 2 > 5 18. y 7 < 5 19. z + 4 > 12 20. w 5 < 12

21. 4 + z > 12 22. u 18 < 15 23. v 18 > 4 24. z + 8 > 24


25. Entrada, x 20 25 30 35 40Salida, y 4 5 6 j j

26. Entrada, n 3 4 5 j j

Salida, m 27 36 45 54 63

VOCABULARIO

propiedad asociativa

propiedad conmutativa

propiedad absorvente del cero


98

Enriquecimiento • Predecir patrones

Puedes usar diagramas, tablas y ecuaciones para predecir patrones.

En cada lado de cada mesa cuadrada se puede sentar sólo un estudiante. ¿Cuántos estudiantes se pueden sentar en dos mesas colocadas una junto a la otra? ¿Qué ecuación puedes usar para predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra?

Completa la tabla de entrada y salida para predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en 4 mesas colocadas una junto a la otra. Escribe una ecuación para el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra.

La ecuación (2 • t ) 1 2 5 e predice el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra. Por lo tanto, 10 estudiantes se pueden sentar en 4 mesas colocadas una junto a la otra.

InténtaloCopia y completa el patrón de la tabla. Después, escribe una ecuación para predecir el número de objetos que tendrá cada diseño del patrón.

1. 2.

3. 4.

Explica cómo puedes predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en 14 mesas colocadas una junto a la otra, usando la ecuación (2 • m) 1 2 5 e.

Crecer, crecer, crecer

fila 1fila 2fila 3fila 4

Entrada, m 1 2 3 4

Salida, e 4 6 8 j

Piensa: en cada

mesa se pueden

sentar 2 estudiantes

más 1 estudiante en

cada extremo.

Entrada, u 1 2 3 4 5 6

Salida, v 1 3 j j j j

Entrada, r 1 2 3 4 5 6

Salida, c 2 4 j j j j

Entrada, m 1 2 3 4 5 6

Salida, n 1 4 j j j j

Entrada, q 1 2 3 4 5 6

Salida, r 1 5 j j j j

Capítulo 4 99

Opción múltiple

1. Rosa escribió y 5 500 • k como la regla para las tarifas de los taxis cuando salen de la ciudad. La tarifa es y, y el número de kilómetros recorridos es k. ¿Cuál es la tarifa de un taxi para un viaje de 9 kilómetros?

A $ 1 500

B $ 2 500

C $ 3 000

D $ 4 500

2. ¿Qué número va en el recuadro para hacer verdadero este enunciado numérico?

6•854•4• j

A 6 C 3

B 4 D 2

3. Joaquín pesa el doble que su hermano. Si m representa el peso de Joaquín, ¿qué expresión muestra cuánto pesa su hermano?

A m : 2

B m 1 2

C m 2

D m • 2

4. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo si t 5 8?

48 : ( t 14)•5

A 50 C 10

B 20 D 4

5. Los vendedores de Autos Usados Baratos vendieron 32 autos en 4 días. Cada día se vendió el mismo número de autos. ¿Cuántos autos se vendieron cada día?

A 4 C 12

B 8 D 24

6. La familia Ortíz compró tres batidos de leche. La familia Osorio compró 3 helados de una bola y 4 sundaes. ¿Qué expresión muestra cuántas fichas más gastó la familia Osorio que la familia Ortíz?

Helados Fichas1 bola 22 bolas 3

Sundae 4Batido de leche 3

A (3•2)1 4 (3•3)

B (3•2)1(4•4)1(3•3)

C (3•214)•(43)•3

D (3•2)1(4•4)(3•3)

7. ¿Qué número va en el recuadro para hacer verdadero este enunciado numérico?

j 1 5 5 21 1 9

A 35

B 25

C 6

D 10

Repaso/Prueba de la unidad

100

8. ¿Qué enunciado numérico no está en la misma familia de operaciones de 6 • 9 5 j?

A j : 9 5 6 C 9 • j 5 6

B j : 6 5 9 D 9 • 6 5 j

9. Las letras A y N representan números. Si A • 5 5 N • 5, ¿qué enunciado es verdadero?

A A N C A 5 N

B A , N D A N

10. Natacha está leyendo un libro. El libro tiene 99 páginas. ¿Cuántas páginas debe leer Natacha cada día para acabar el libro en 9 días?

A 8 C 10

B 9 D 11

11. ¿Qué número representa la g?

g : 12 5 7

A 96 C 74

B 84 D 72

12. ¿Cuál es la solución para x + 5 > 9?

A x > 4 C x < 4

B x = 4 D x = 0

Respuesta breve

13. Usa p para representar el precio original de un cartel. Escribe una expresión para mostrar su precio de oferta.

15. Mira el problema de abajo.

y 5 x : 2

Si y 5 10, ¿cuánto es x?

16. La Sra. Gallardo compra 11 cajas de invitaciones. En cada caja hay 12 invitaciones. ¿Cuántas invitaciones compra la Sra. Gallardo en total?

Respuesta desarrollada

17. Explica cómo se halla el valor de la expresión

42 : 6 1 (5 3).

¡Oferta gigante!Todos los precios

se rebajan $ 1 000

Verdadero o falsoEscribe una V si es verdadero o una F si es falso cada enunciado.

18. ______ El valor de g en la expresión g : 12 = 7 es 60.

19. ______ El número 57 021 se redondeó a 60 000, por lo tanto, se redondeó a la decena de mil.

20. ______ El producto de 45•12 es 560.

14. Coloca paréntesis a la siguiente expresión de manera que su valor sea 28.

9 1 5 • 2

21. Hay 3 veces más niñas que niños en una clase de ballet. Hay 12 niñas en la clase. Explica cómo se escribe una ecuación para hallar el número de niños en la clase de ballet.

22. Explica cómo sabes qué número hace este enunciado numérico 6 • n 56• (3 1 4) verdadero.

23. Representa gráficamente las soluciones de la desigualdad x − 8 < 2

Capítulo 4 101

De Aquí y de Allá

Resoluciónde problemas

ALMANAQUE PARA ESTUDIANTES

Colonización de la Región de Magallanes y de la Antártica Chilena

¡La colonización!

n 1853 surge el “Territorio de Colonización de Magallanes”, erigido por

decreto el 8 de julio de ese año. Abarca toda la mitad sur de la antigua Provincia de Chiloé, desde el golfo de Penas (una línea recta por el paralelo 47º S) por el norte hasta el Cabo de Hornos por el sur. En la década de 1850 comenzó la inmigración europea a la Patagonia chilena, destacándose por importancia y número la inmigración croata. Los croatas se instalaron principalmente en Puerto Natales, Punta Arenas y Porvenir (Tierra del Fuego) y se convirtió en una de las inmigraciones europeas más importantes en Chile. Los colonos traían provisiones para asentarse en esas frías tierras.

�Usa la lista de provisiones para responder a las preguntas.

1 ¿Cuántos kilogramos de vegetales se necesitaban para 5 personas?

2 Si 8 personas viajaban en una carreta, ¿cuántos kilogramos de té debían llevar?

3 ¿Para cuántos colonos alcanzarían 12 kg de café durante el viaje?

4 En días buenos, los colonos recorrerían 16 km por día. ¿Qué distancia recorrerían en 7 días?

5 Imagina que 3 personas viajaban en una carreta y que tenían 12 kg de tocino. ¿Tenían suficiente tocino para todos? Explica cómo lo sabes.

E

4 kg de café 6 kg de tocino 1 kg de té 3 kg de vegetales 10 kg de harina de maíz 20 kg de azúcar

Lista de provisiones (para una persona)

102


n 1587, el corsario inglés Thomas Cavendish cruzó el estrecho de

Magallanes y divisó algunos sobrevivientes en la costa cerca de la Primera Angostura. Rescató sólo a uno, que le relató el trágico fin de las ciudades diezmadas por el hambre: Ciudad del Nombre de Jesús y Rey Don Felipe. Cavendish bautizó al entorno de la Bahía de San Blas como Puerto del Hambre, denominación con la cual es conocido hasta la actualidad.

Imagina que tu familia va en carreta a colonizar la Patagonia. La carreta puede cargar aproximadamente 1 050 kg.

u Decide qué provisiones de alimentos necesitará cada miembro de la familia. Haz una lista de los artículos y el número de kg que cada miembro de la familia traerá.

u Halla el total de kg de cada artículo para toda la familia. Ahora halla la cantidad total de kg que se van a cargar en la carreta. Asegúrate de que la cantidad de kg no sobrepase los 1 050 kg.

u Si el total de kg de artículos es menos de 1 050 kg, añade más artículos para llegar lo más cerca posible de los 1 050 kg.

E

La tabla de abajo muestra algunas provisiones de alimentos en 1853.

Algunas provisiones de alimentos en 1853

tocino harinacafé arroz

harina de maíz azúcar

vegetales té

Hernando de Magallanes descubrió el estrecho que lleva su nombre el 21 de

octubre de 1520, en su viaje alrededor del mundo. Fue así el primer europeo, al servicio

de la corona española, en poner pie en tierras chilenas.

Planear Por adelantado

Capítulo 4 103

2 Números y conceptos de fracciones y decimales


p Los tiempos de 3, 4 u 8 por compás forman patrones o ritmos de repetición en las baterías electrónicas.

p Como en los patrones de los factores, el ritmo se combina con otro ritmo grabado, pero diferente.

p Los equipos electrónicos muestran los ritmos grabados, en forma de patrones que se pueden ver.

¿Qué matemáticas se usan en la música de Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes determinar cuándo dos patrones de ritmo diferente comparten un solo tiempo?

Copia y completa la siguiente tabla. Usa lo que sabes acerca de los patrones.

REPASO DEL VOCABULARIO Cuando aprendiste sobre factores y fracciones, aprendiste las siguientes palabras. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

factor común Un número que es un factor de dos o más números.

factor Un número que se multiplica por otro número para hallar un producto.

número mixto Un número que se compone de un número entero y una fracción.

Pregunta Ritmos¿Cuántos tiempos hay en

7 compases?

¿Cuándo compartentiempos dos

ritmos diferentes?

¿Cuándo compartentiempos dos

ritmos diferentes?

2 tiempos por compás:2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

2, 3 tiempos por compás:2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, __, __

3, 6, 9, 12, __, __, __

3, 4 tiempos por compás:3, 6, 9, __, __, __, __, __, 4, 8, __, __, __, __, __,

Unidad 2 105

CAPÍTULO

106

Sección de cuerdas de la Filarmónica de Santiago

Inst

rum

ento

Cantidad de músicos

Primer violín

Segundo violín

Viola

Violonchelo

Contrabajo

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

5 Conceptos de fraccionesLa idea importante Las fracciones y los números mixtos pueden expresarse en formas equivalentes y pueden compararse y ordenarse.

El primer concierto de la Orquesta Filarmónica de Santiago se realizó el 3 de julio de 1955, y fue dirigido por Leopold Ludwig. En sus inicios, estaba formada por cerca de sesenta jóvenes músicos y docentes de música o del conservatorio.

InvestigaLa Orquesta Filarmónica de Santiago es una agrupación de músicos que cuenta con varias familias de instrumentos musicales como: viento madera, viento metal, percusión y cuerda. Generalmente está compuesta por más de 80 músicos pero en algunos casos pueden llegar a más de 100. Elige dos instrumentos de cuerda del gráfico. ¿Cuántos músicos de la sección hay por cada instrumento? Escribe la respuesta en forma de fracción simplificada a su mínima expresión.

DATOBREVE


uEntender fraccionesEscribe la fracción que corresponde a la parte sombreada.

1. 2. 3. 4.

Escribe en palabras.

5. 2 __ 5 6. 1 __

7 7. 4 __

9 8. 1 __

3

uEntender números mixtosEscribe un número mixto para cada dibujo.

9. 10 . 11.

uComparar fracciones.Compara las fracciones. Escribe ,, ., o 5 en cada .

12. 1 __ 4 1 __

3 13. 2 __

4 4 __

8 14. 2 __

3 1 __

2 15. 1 __

2 3 __

8


fracciones de referenciamúltiplo comúnfracciones equivalentesmáximo común divisor (MCD)número mixtofracción simplificada a su mínima expresiónfracción impropia

PREPARACIÓN

fracciones equivalentes Fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad.

fracción simplificada a su mínima expresión Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común.

máximo común divisor (MCD) El factor más grande que dos o más números tienen en común.

Capítulo 5 107

Aprende

Paso Paso Paso

1Repaso rápido

PROBLEMA Eva quiere compartir 1 _ 2 pastel con dos amigas. Divide la mitad del pastel en tres partes iguales. Escribe dos fracciones para representar la parte del pastel que comparte con sus amigas.

Haz una representación de cada fracción.

1. 1 __ 4 2. 2 __

3 3. 3 __

5

4. 1 __ 8 5. 4 ___

12

Vocabulariofracciones equivalentes

Usa la multiplicación.

6 __ 8 5 6 • 2 _____

8 • 2 5 12 ___

16

Por lo tanto, 6 __ 8 5 12 ___

16 .

Usa la división.

6 __ 8 5 6 : 2 __ __

8 : 2 5 3 __

4

Por lo tanto, 6 __ 8 5 3 __

4 .

Actividad Materiales ■ patrones de figuras geométricas

Puedes usar patrones de figuras geométricas para hacer representaciones de fracciones. Haz que el hexágono sea igual a 1 entero.

Por lo tanto, 3 _ 6 al igual que 1 _ 2 representan la parte del pastel que Eva comparte con sus amigas.

Cubre un hexágono con un trapecio para mostrar 1 _ 2 .

Cubre otro hexágono con triángulos para mostrar 3 _ 6 .

Compara los dos hexágonos.

Las fracciones 1 _ 2 y 3 _ 6 se llaman fracciones equivalentes. Fracciones equivalentes son fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad. En las siguientes rectas numéricas, las fracciones 1 _ 3 y 2 _ 6 son fracciones equivalentes porque están a la misma distancia de 0.

También puedes hallar fracciones equivalentes multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Una fracción con el mismo numerador y denominador es igual a 1.

Fracciones equivalentesOBJETIVO: identificar y escribir fracciones equivalentes.

LECC

IÓN

108



Usa las rectas numéricas para identificar una fracción equivalente para cada fracción.

1. 3 __ 4 2. 2 __

8 3. 2 __

4 4. 6 __

8

Escribe una fracción equivalente.

5. 1 __ 4 6. 5 ___

10 7. 1 __

3 8. 5 __

8 9. 2 __

5 10. 5 __

6

11. Explica cómo hallar una fracción equivalente para 6 __ 10 .


12. 1 __ 5 13. 6 ___

10 14. 3 __

6 15. 6 __

9 16. 3 __

8 17. 5 ___

15

18. 1 __ 9 19. 3 ___

10 20. 3 ___

12 21. 10 ___

12 22. 2 __

3 23. 12 ___

16

Di qué fracción no es equivalente a las demás.

24. 3 __ 4 , 2 __

3 , 8 ___

12 25. 2 __

5 , 4 ___

10 , 3 ___

15 26. 2 __

6 , 1 __

4 , 1 __

3 27. 3 __

4 , 5 __

6 , 6 __

8

USA LOS DATOS Para los ejericios 46–49, usa la ilustración.

28. Marco tiene estas 24 bolitas. Escribe cuatro fracciones equivalentes para mostrar cuántas bolitas son azules.

29. ¿Qué pasaría si Marco cambiara las seis bolitas verdes por otras seis bolitas azules? Escribe tres fracciones equivalentes para mostrar cuántas bolitas azules tiene ahora.

30. Marco dice que 1 _ 4 de sus bolitas son verdes. Dice que eso representa 2 _ 8 de sus bolitas. ¿Tiene razón Marco? Explica tu respuesta.

31. ¿Cuántos ángulos tiene un pentágono?

32. Halla el cociente. 4 278 : 4

33. ¿Qué fracción es igual a 1 _ 3 ?

A 1 __ 6 C 3 __

5

B 4 ___ 12

D 2 __ 3



Aprende

2Repaso rápido

Fracciones simplificadas a su mínima expresiónOBJETIVO: escribir fracciones simplificadas a su mínima expresión.

PROBLEMA La región del Maule está dividida en 4 provincias: Talca, Cauquenes, Curicó, Linares. La provincia de Talca, a su vez, está formada por diez comunas. Eso representa 10 __ 20 de las comunas. ¿Cuál es la mínima ?

Se define como fracción simplificada a su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. Puedes dividir entre factores comunes para hallar la fracción simplificada a su mínima expresión de 10 __ 30 .


1. 1 __ 4 2. 5 __

7 3. 3 __

8

4. 4 ___ 10

5. 2 __ 3

Vocabulariofracción simplificada a su mínima expresión

máximo común divisor (MCD)

Ejemplo 1

Divide tanto el numerador como el denominador por un factor común de 10 y de 20.

Prueba 2.

Prueba 5.

Por lo tanto, 10 __ 20 reducido 1 _ 2 .

1 _ 2 de las 30 comunas, se encuentra en la provincia de Talca.

Más ejemplos

15 ___ 12

15 __ 24 en su mínima expresión es 5 _ 4 .

12 ___ 12

1 __ 1 51 fracción en su mínima

expresión

12 __ 12 en su mínima expresión es 1 _ 1 , o 1.

en su mínima expresión es 4 _ 3 .

• ¿Cuándo debes dividir por un factor común más de una vez para escribir una fracción en su mínima expresión?

El único factor común del ← numerador y del denominador

es 5.

Región del Maule

Talca

Curicó

Cauquenes

Linares

LECC

IÓN

10 : 220 : 2

510

=

5 : 510 : 5

12

=

15 : 312 : 3

58

=

46

12 : 1212 : 12

11

= 4 : 26 : 2

23

=

← no está en su mínima expresión

fracción simplificada a

su mínima expresión

50

110

Usa el máximo común divisorPara la fracción 20 __ 30 , los factores comunes del numerador y del denominador son 1, 2, 5 y 10. Cuando divides el numerador y el denominador entre 1, 2 o 5, la fracción no está simplificada a su mínima expresión.

Puedes dividir el numerador y el denominador entre el máximo común divisor, para escribir una fracción en su mínima expresión, en un paso. El máximo común divisor (MCD) es el factor más grande que dos o más números tienen en común.

Ejemplo 2 Las provincias: Cauquenes, Curicó y Linares componen 20 __ 30 de comunas de la Región del Maule. ¿Cuál es la fracción en su mínima expresión de 20 __ 30 ?

Escribe 7 __ 14 simplificada.

Por lo tanto, 35 __ 49 simplificada es 5 _ 7 .


Más ejemplos

Escribe 4 __ 12 en su fracción simplificada.


Divide el numerador y el denominador por el máximo común divisor.

Halla el máximo común divisor de 20 y 30.

20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 30

El MCD es 10.

7 es el único factor común diferente de 1 para 35 y 49.

Divide el numerador y el denominador por el máximo común divisor.

Paso Paso

Región del Maule

Talca

Cauquenes

Curicó

Linares

20 : 1030 : 10

23

=

4 : 412 : 4

13

=7 : 714 : 7

112

=

← fracción simplificada

Capítulo 5 111

Provincias del Maule

Talca

Cauquenes

Curicó

Linares

0 2 4 6 8 10 12 14

Prov

inci

a

Cantidad de comunas

Simplifica cada fracción a su mínima expresión.

1. 4 __ 8 2. 6 ___

10 3. 5 __

5 4. 7 __

9 5. 4 ___

12 6. 10 ___

14

7. Explica cómo hallarías la fracción simplificada a su mínima expresión de 2 __ 6 utilizando el MCD.

Identifica el máximo común divisor del numerador y del denominador.

8. 6 ___ 12

9. 2 ___ 4 10. 9 ___

11 11. 9 __

12 12. 2 ___

4 13. 4 ___

8

Escribe cada fracción en su fracción en su mínima expresión.

14. 3 ___ 4

15. 5 __ 5 16. 6 __

9 17. 8 ___

10 18. 12 ___

10 19. 3 __

7

20. 12 __ 12

21. 2 ____ 10

22. 5 ___ 12

23. 4 ___ 8

24. 5 ___ 10

25. 4 ___ 5

26. 2 __ 6 27. 10 ___

12 28. 3 ____

12 29. 8 ___

10 30. 4 ___

6 31. 9 ___

12

Completa.

32. 1 __ 2 5  __

6 33. 3 __

4 5 9 __

  34.  ___

20 5 1 __

4 35. 2 __

  5 10 ___

15 36. 4 ___

12 5  __

3

USA DATOS Para 46–49, usa el gráfico.

37. ¿Qué fracción de las 30 comunas forman las provincias de Linares y Curicó? Escribe la fracción en su mínima expresión.

38. ¿Qué fracción de los 30 comunas se encuentra en la provincia de Cauquenes? Escribe la fracción en su mínima expresión.

39. DATO BREVE Sólo cinco de las 30 comunas limitan con la Región del Bío-Bío. Escribe la fracción en su mínima expresión.

40. ¿Cuál es la pregunta? Seis quinceavos de las 30 comunas conforman esta provincia.

Talca

Curicó

Cauquenes

Linares


Álgebra


112


41. Francisco tenía algunos discos compactos. Dio 4 a su hermano. Escribe una expresión con una variable para representar la situación.

42. El salón de clases de Alejandra tiene 25 metros de ancho y 30 metros de largo. ¿Cuál es el perímetro del salón de clases?

43. ¿Qué número mixto se muestra en la representación?

44. ¿Qué fracción NO es equivalente a 2 _ 3 ?

A 4 __ 6 C 2 __

5

B 8 ___ 12

D 12 ___ 18

45. Hoy, 10 de 22 estudiantes compraron el almuerzo. ¿Qué fracción de los estudiantes compró el almuerzo? Escribe la fracción en su mínima expresión.

ÁLgEBRA Fraccciones equivalentes.

Juan tiene en su casa 12 invitados para los cuales ha comprado una pizza. Viene dividida en 6 porciones iguales. Encuentra las fracciones equivalentes que satisfagan este ejemplo:

1. Dibuja para representar que 24

5 12

2. Dibuja para representar que 26

5 13

Como Juan debe repartir la pizza en 12 partes iguales, corta cada sexto de pizza en dos partes. Tiene 2

12

Es decir, 16

equivale a 212

Observa que cada trozo de pizza equivale a 1

6

16

112


Aprende

Repaso rápido

Escribe cada fracción en su mínima expresión.

1. 4 __ 4 2. 10 ___

14 3. 10 ___

25

4. 4 __ 8 5. 9 ___

12

Vocabularionúmero mixto

fracción impropia

parte entera

parte fraccionaria

3Un número mixto se compone de una parte entera y una parte fraccionaria. Un número mixto se puede convertir en una fracción mayor que 1. A veces, una fracción mayor que 1 se denomina fracción impropia.

PROBLEMA Ricardo está haciendo un jugo de frutas. Comienza con una taza de concentrado de naranja. Luego agrega 3 _ 4 de taza más. En total, usa 1 3 _ 4 tazas de concentrado de naranja. 1 3 _ 4 es un número mixto. ¿Cuántos 1 _ 4 de taza de concentrado de naranja usa Ricardo para el jugo de frutas?

Ejemplo 1 Usa una recta numérica.

Expresa 2 5 _ 8 en forma de fracción.

2 5 (8 • 2)

_____ 8 5 16 ___

8

2 5 __ 8 5 16 1 5 ______

8 5 21 ___

8

Entonces, 2 5 __ 8 5 21 ___

8 .

Expresa 21 __ 8 en forma de número mixto.

• ¿Qué sucede con el numerador y el denominador siempre que un número mixto se convierte en fracción?

Escribe la parte entera en

forma de fracción usando el

denominador, 8.

Escribe el número de

octavos en forma de fracción

impropia.

Divide el numerador entre

el denominador.

Usa el resto y el divisor

para escribir una fracción.

Comprender números mixtosOBJETIVO: expresar fracciones impropias en forma de números mixtos y números mixtos en forma de fracciones impropias.

21 : 8 → 2 5 __ 8

– 16 5

Entonces, 21 ___ 8 52 5 __

8 .

Ejemplos

Puedes usar la multiplicación y la suma para expresar un número mixto en forma de fracción impropia. Puedes usar la división para expresar una fracción impropia en forma de número mixto.

Entonces, Ricardo usa 7 _ 4 de tazas de concentrado de naranja para el jugo de frutas.

LECC

IÓN

114


Barras de Cereal

Usa la recta numérica. Escribe las fracciones en forma de número mixto. Escribe los números mixtos en forma de fracción.

1. 11 ___ 8 2. 1 1 __

8 3. 1 5 __

8

Escribe los números mixtos en forma de fracción. Escribe las fracciones en forma de número mixto.

4. 11 ___ 4 5. 6 __

5 6. 2 7 __

9 7. 3 2 __

3 8. 23 ___

10 9. 4 2 __

5

10. Explica cómo puedes expresar un número mixto en forma de fracción mayor que 1.


11. 1 3 __ 5 12. 2 1 __

3 13. 9 __

4 14. 11 ___

10 15. 13 ___

6 16. 1 3 __

7

17. 8 __ 3 18. 3 5 __

6 19. 7 1 __

2 20. 47 ___

15 21. 25 ___

4 22. 2 7 ___

12

USA DATOS para 23–25

23. Carolina está haciendo una bandeja de barras de cereal. ¿Cuántos 1 _ 3 de taza de miel usará?

24. ¿Cuál es la cantidad de cereal de salvado en la receta, escrita en forma de fracción?

25. Carolina tiene una taza para medir 1 _ 2 . ¿Cuántas veces la debe llenar para medir la cantidad correcta de mantequilla de maní? Explica tu respuesta.

26. Clara compró una bicicleta por $ 150 000. También compró pedales por $ 30 000. ¿Pagó más o menos que $ 190 000?

27. Escribe la fracción 8 __ 12 en su mínima expresión.

28. Compara las fracciones. Escribe ,, ., o 5. 3 _ 4 1 _ 4

29. ¿Qué fracción es equivalente a 2 3 _ 5 ?

A 5 __ 5 B 11 ___

5 C 12 ___

5 D 13 ___

5




Aprende

13

13

14

14

14

4Repaso rápidoComparar y ordenar fracciones

y números mixtosOBJETIVO: comparar y ordenar fracciones y números mixtos.

Usa barras de fracciones para comparar.

3 __ 4 . 2 __

3

Halla denominadores comunes.

PROBLEMA Jorge planea ser acomodador en 2 _ 3 de los conciertos de una orquesta sinfónica. Sara planea ser acomodadora en 3 _ 4 de los conciertos. ¿Quién va a acomodar en más conciertos? Compara 2 _ 3 y 3 _ 4 .

Por lo tanto, Sara será la acomodadora en más conciertos.

Paso

PasoUsa fracciones equivalentes y convierte cada fracción usando un denominador común.

3 __ 4 se puede convertir a 3•3 _____

4•3 5 9 ___

12 o 3•6 _____

4•6 5 18 ___

24

2 __ 3 se puede convertir a 2•4 _____

3•4 5 8 ___

12 o 2•8 _____

3•8 5 16 ___

24

PasoCompara los numeradores de las fracciones que acabas de convertir.

Dado que 9.8, o 18.16, 3 __ 4 . 2 __

3 .

Escribe los múltiplos de los denominadores y luego halla un múltiplo común. Un número que es un múltiplo de dos o más números es un múltiplo común.

Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24

12 y 24 son múltiplos comunes de los denominadores, conocidos también como denominadores comunes.

Tomás tenía 12 barras de fruta. Le regaló 6 barras a Marco y 2 barras a Margarita. Escribe dos fracciones equivalentes que describan la fracción de barras de fruta que le queda.

Vocabulariomúltiplo común

RecuerdaPara comparar fracciones que tienen el mismo denominador, solo necesitas comparar los numeradores.Dado que 5.2,

5 __ 8 . 2 __

8 .

LECC

IÓN

116

Paso Paso Paso

Paso Paso

Halla un común denominador de 6, 9, y 3.

6: 6, 12, 18, 24, 309: 9, 18, 27, 363: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

Un común denominador es 18.

Conviértelos a fracciones equivalentes con un denominador de 18.

5•3 _____ 6•3

5 15 ___ 18

4•2 _____ 9•2

5 8 ___ 18

2•6 _____ 3•6

5 12 ___ 18

Compara los numeradores. Ordénalos de menor a mayor.

Dado que 8,12,15,

8 ___ 18

, 12 ___ 18

, 15 ___ 18

.

El orden de menor a mayor es 4 _ 9 , 2 _ 3 , 5 _ 6 .

Por lo tanto, María trabajó de acomodadora en el menor número de conciertos.

• ¿Cómo ordenas fracciones unitarias de menor a mayor?

Compara las partes enteras.

2 2 __ 3 3 1 __

6 2 3 __

4

Dado que 3.2, 3 1 _ 6 es el mayor.

Usa denominadores comunes para comparar las otras dos partes fraccionarias: 2 _ 3 y 3 _ 4 .

2 2 __ 3 52 8 ___

12 2 3 __

4 52 9 ___

12

Dado que 9.8, 2 9 __ 12 .2 8 __ 12 .

Por lo tanto, el orden de mayor a menor es 3 1 _ 6 , 2 3 _ 4 , 2 2 _ 3 .

• Si estuvieras ordenando números mixtos cuyas partes enteras fueran todas diferentes, ¿qué parte de los números mixtos compararías?

Puedes usar los denominadores comunes para ordenar números mixtos. Primero, compara las partes enteras. Luego, compara las partes fraccionarias.

Ejemplo 2 Ordena números mixtos

Ordena 2 2 _ 3 , 3 1 _ 6 , 2 3 _ 4 de mayor a menor.

Ordenar fracciones y números mixtos

Antonio trabajó de acomodador en 5 _ 6 de los conciertos. María trabajó en 4 _ 9 de los conciertos y Tania lo hizo en 2 _ 3 de los conciertos. Ordena las fracciones 5 _ 6 , 4 _ 9 y 3 _ 2 de menor a mayor para saber quién fue el acomodador en el menor número de conciertos.

Ejemplo 1 Ordena fracciones

Capítulo 5 117

Compara las fracciones. Escribe <, >, o = en cada caso.

1. 2.

2 __ 3 4 __

5 4 __

5 5 __

8

1

1

3

3

15

15

15

15

1

1

3

3

18

18

18

18

18

1

1

5

5

1

1

5

5

1

1

5

5

1

1

5

5


Por lo tanto, el orden de menor a mayor es 2 1 _ 4 , 17 _ 6 , 5 1 _ 3 .

• Si los denominadores de las partes fraccionarias fueran iguales, ¿qué debo comparar para saber cuál es el mayor o menor?

Ejemplo 3 Ordena números mixtos y fracciones impropias

Ordena 5 1 _ 3 , 17 _ 6 , 2 1 _ 4 de mayor a menor.

Paso Paso PasoConvierte 17 _ 6 en número mixto:

1 7 : 6 = 2 → 2 5 _ 6- 1 2 5

Compara las partes enteras.

5 1 _ 3 2 5 _ 6 2 1 _ 4

Dado que 5 > 2, 5 1 _ 3 es el mayor

Usa denominadores comunes para comparar las otras 2 partes fraccionarias: 5 _ 6 y 1 _ 4

2 5 _ 6 = 2 10 _ 12 2 1 _ 4 = 2 3 _ 12

Dado que 10 > 3,

2 10 _ 12 > 2 3 _ 12

Compara. Escribe <, >, o = en cada caso.

5. 1 __ 3 2 __

3 6. 2 __

5 3 __

8 7. 13 __

4 2 3 ___

5 8. 1 3 __

4 21 ___

12 9. 5 3 ___

9 5 3 __

7


10. 11. 12. 13. 14.

3. 4.1

10

15

15

15

15

110

110

110

110

110

110

110 8

10 4 5

8 3

4 5

3 4

13 4

3 5

2 5

3 7

4 9

3 8

1 2

2 3

4 5

15. Explica cómo se ordenan las fracciones 1 _ 6 , 1 _ 2 , y 1 _ 3 de menor a mayor.

2

118



16. 1 __ 2 1 __

3 17. 3 __

4 6 __

8 18. 5 __

7 3 __

5 19. 12 ___

11 1 __

4 20. 3 5 __

7 3 1 ___

2

Escribe en orden de menor a mayor.

21. 1 __ 2 , 3 __

4 , 1 __

4 22. 3 __

8 , 1 __

8 , 7 __

8 23. 1 3 __

8 , 1 1 __

4 , 11 __

6 24. 2 2 __

3 , 3 1 __

8 , 2 3 __

5 25. 1 1 __

4 , 17 __

8 , 2 1 __

5

USA DATOS Para 26 – 28 usa la tabla.

26. Catalina colecciona figuras miniatura de animales de porcelana. Haz una lista de sus animalitos ordenándolos del más largo al más corto.

27. Catalina compra una figura de tortuga, que mide 6 7 _ 8 cm de longitud. ¿Cuál es la figura de su colección que tiene la mayor longitud?

28. Explica cómo se determina qué figura está entre los 6 1 _ 2 y los 6 3 _ 4 cm de longitud.

figura rana

figura mono

figura armadillo

6¾ cm de largo

7½ cm de largo

6⅝ cm de largo

Figuras miniatura

29. Si y 5 8, ¿cuál es el valor de 22,5 – y?

30. ¿Cómo se escribe el decimal 0,3 en forma de fracción?

31. ¿Cuál es el producto entre 24 y 9?

32. Alberto ensayó con su trompeta 1 2 _ 3 horas el lunes. Ensayó 1 5 _ 6 horas el martes y 1 4 _ 9 horas el miércoles. ¿Qué día ensayó más tiempo?

A lunes C miércoles

B martes D jueves

33. Josefa compró una pizza y comió 1 _ 3 de ella. ¿Qué diagrama muestra lo que comió Josefa?

A C

B D


Práctica adicional en la página 124, Grupo D Capítulo 5 119

5Aprende la estrategia

Trabajar con material concreto puede ayudarte a resolver un problema. Existen diferentes tipos de materiales para diferentes tipos de problemas matemáticos.

Joel le pidió a sus amigos Mauricio y Elena que lo ayudaran a pintar su habitación. Cada persona pintaba una pared del mismo tamaño. A la hora del almuerzo, Joel había pintado 3 _ 8 de su pared. Mauricio había pintado 2 _ 3 de su pared, y Elena había pintado 3 _ 5 de la suya. ¿Quién había pintado la mayor parte de la pared que le correspondía?

Usa barras de fracción para mostrar la cantidad de pared que pintó cada persona. Compara las barras de fracción.

La inscripción en la Escuela Gabriela Mistral aumentó a 445. Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes asisten a la escuela? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

Ubica 445 en la recta numérica. Halla la centésima más cercana a 445.

Iris necesita 0,8 metros de tela de algodón para hacer una mochila. ¿Cuántos metros de tela de algodón necesita Iris para hacer 3 mochilas?

Sombrea 0,8 tres veces.

¿Qué otros tipos de problemas matemáticos se pueden representar?

Estrategia: trabajar con material concretoOBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia trabajar con material concreto.

Con barras de fracciones podemos mostrar fracciones.

El material concreto te ayuda a estimar.

Con diagramas puedes mostrar decimales.

18

18

18

13

15

15

15

13

300 350 400 450 500 550 600

LECC

IÓN

120

• Identifica los detalles del problema.

• ¿Qué información se da?

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema?

Compara las partes enteras de los números mixtos.

1 5 __ 6 , 2 1 __

4 , 1 7 ___

12 , 1 2 __

3 Dado que 2 . 1, 2 1 __

4 metros es la mayor distancia.

Usa las barras de fracción para comparar las partes fraccionarias de los otros números mixtos.

112

112

112

112

112

112

112

13

13

16

16

16

16

16

Dado que 7 ___ 12

es la menor, 1 7 ___ 12

metros es la distancia menor.

Por lo tanto, la herradura de René es la que está más cerca de la estaca y la de Mariana la que está más lejos.

¿Qué otro tipo de material concreto podrías usar para resolver el problema?

Usa la estrategia

PROBLEMA Blanca y sus amigos están jugando a la herradura en un picnic familiar. La herradura de Miguel cae a 1 5 _ 6 metros de la estaca. Mariana lanza su herradura a 2 1 _ 4 metros de la estaca. La de René está a 1 7 __ 12 metros de la estaca. La de Blanca cae a 1 2 _ 3 metros de la estaca. ¿De quién es la herradura que está más cerca de la estaca? ¿De quién es la herradura que está más lejos de la estaca?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema?

Usar material concreto te puede ayudar a resolver el problema.

Capítulo 5 121


1. Algunos de los amigos de Sara decidieron realizar un concurso de salto. ¿Quién saltó la distancia más larga? ¿Quién saltó la distancia más corta?

Primero, compara las partes enteras de los números mixtos.

3 5 ___ 12

, 3 3 __ 4 , 4 3 __

8 , 3 1 __

2 4 . 3

Luego, usa las barras de fracción para comparar las partes fraccionarias de los números mixtos que tienen el mismo número entero.

112

112

112

112

112

12

14

14

14

Para terminar, determina quién saltó la distancia más larga y la más corta.

2. ¿Qué pasaría si, el salto de Sara hubiera sido de 3 1 _ 6 metros de longitud? Entonces, ¿quién habría hecho el salto más largo, y el más corto? Explica.

3. Andrea, Marcos, Pablo y Sara se ponen en fila para saltar. Sara no es la primera. Andrea tiene al menos dos personas delante de ella. Pablo es el tercero. Determina el orden de los cuatro.

Usa material concreto para resolver.

4. Mario compró 2 paquetes de invitaciones para una fiesta. Cada paquete contenía 10 invitaciones. Mario invita a 7 compañeros de clase, 4 primos y 5 niños del barrio. ¿Qué fracción de las invitaciones usa Mario?

6. El jardín de Tatiana tiene 5 metros de ancho y 12 metros de largo. La sección de flores tiene el mismo ancho y el doble de longitud que la sección de verduras. ¿Qué longitud tiene cada sección?

5. Pablo, Gregorio e Hilda se reúnen en la casa de Hilda antes de ir al parque. Pablo vive a 8 4 _ 5 kilómetros de Hilda. Gregorio vive a 8 3 _ 4 kilómetros de Hilda. ¿Quién vive más cerca de Hilda?

7. Valentín compró 24 globos amarillos para una fiesta. Devolvió 12 de los globos y compró 9 globos rojos. Luego decidió devolver 6 globos rojos y comprar 16 globos azules. ¿Cuántos globos tiene Valentín ahora? 8. ¿Cuál es el error? Andrés tenía

14 bolitas. Le dio 9 bolitas a Claudia. Susana le dio 18 bolitas a Andrés. Luego Andrés le dio 8 bolitas a Ricardo. Andrés dice que ahora tiene 31 bolitas. Describe el error que comete y haz un dibujo para mostrar la solución.

Longitud del saltoNombre

Andrea

Marcos

Pablo

Sara

Longitud (en metros)

3

3

4

3

512

343812


122


Hacer un diagrama o dibujo Hacer una representación o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico


Resuelve.

9. Irma hizo una fiesta y le dio a cada uno de sus amigos una sorpresa. Había 7 sorpresas de yoyós, 13 de silbatos, 6 de caleidoscopios, 9 de paletas de playa y algunas bolitas. En total, Irma repartió 41 sorpresas. ¿Cuántas de ellas eran bolitas?

10. El lunes Benjamín envió 2 invitaciones para una fiesta. El martes envió 3 invitaciones y el miércoles, 5 invitaciones. El jueves envió 8 invitaciones. Si el patrón continua hasta el sábado, ¿cuántas invitaciones enviará Benjamín en total?

USA DATOS Para 11–14, usa el gráfico de barras.

11. Victoria, Daniel, Cecilia y Franco votaron cada uno por tipo de música de fiesta diferente. Daniel votó por hip hop. Franco no votó por cumbia o reggaetón. Cecilia no votó por regatón. ¿Por qué tema votó cada estudiante?

12. El número de niñas que votó por rock es tres veces mayor que el número de niños. ¿Cuántos niños votaron por rock?

13. Formula un problema Observa el Problema 12 nuevamente. Escribe un problema similar cambiando la relación matemática entre el número de niñas y niños que votaron por la fiesta mexicana. Luego resuelve el problema.

14. Problema abierto Usa los datos del gráfico de barras para escribir tres enunciados numéricos diferentes en que se usen una o más operaciones.

Escuela Gabriela MistralEncuesta de música para la fiesta

Temas

Núm

ero

de v

otos

Cumbia Hip-hop Rock Reggaetón0

50

100

150

200

250

Un negocio de artículos para fiestas vende sorpresas a $ 750 cada una, sombreros a $ 450 cada uno y silbatos a $ 600 cada una.

15. Trinidad compra 12 sorpresas. Gasta en sombreros la misma cantidad de dinero que gastó en las sorpresas. Gasta en silbatos el doble de lo que gastó en las sorpresas. ¿Cuántos sombreros y silbatos compra?

16. Angélica pagó $ 15 900 por artículos de fiesta. Gastó $ 7 500 en sorpresas. Compró la misma cantidad de sombreros que de silbatos. ¿Cuántos sombreros y cuántos silbatos compró?

ESfUéRzATE

Capítulo 5 123

Grupo A Escribe una fracción equivalente.

1. 3 __ 5 2. 1 __

8 3. 4 __

8 4. 4 __

5 5. 3 __

9 6. 6 ___

12

7. 4 __ 6 8. 2 __

7 9. 4 ___

10 10. 3 ___

18 11. 2 __

5 12. 3 ___

15

13. Catalina tiene 6 latas de frutas. Dos de ellas contienen duraznos. Escribe dos fracciones que representen las latas que contienen duraznos.

14. Jaime y Eva están jugando con 4 cubos rojos y 8 cubos azules. Jaime dice que 1 _ 2 de los cubos son rojos. Eva dice que 1 _ 3 son rojos. ¿Quién tiene razón? Explica tu respuesta.

Grupo B Escribe cada fracción en su mínima expresión.

1. 4 __ 8

2. 4 ___ 12

3. 3 __ 3 4. 4 __

5 5. 6 ___

12 6. 4 ____

10

7. 5 ___ 12

8. 9 ___ 12

9. 8 ___ 12

10. 5 ___ 10

11. 10 ___ 12

12. 7 ___ 14

Grupo C Escribe cada número mixto en forma de fracción. Escribe cada fracción en forma de número mixto.

1. 13 ___ 4 2. 2 1 __

5 3. 5 __

3 4. 29 ___

4 5. 1 1 __

2 6. 4 3 __

8

7. 49 ___ 12

8. 7 __ 3 9. 3 4 __

5 10. 12 ___

8 11. 5 1 __

3 12. 20 ___

9

13. La señora Pino está haciendo un pastel de chocolate. La receta requiere 2 1 _ 2 tazas de harina cernida. ¿Cuántas 1 _ 2 tazas de harina necesitará? Escribe el número mixto como una fracción impropia.

14. Eduardo corrió nueve cuartos alrededor de una pista de 1 _ 4 de kilómetro. ¿Cuántos kilómetros corrió Eduardo? Escribe la distancia como un número mixto y una fracción impropia.

Grupo D Compara. Escribe <, >, o 5 en cada .

1. 1 __ 3 3 __

5 2. 1 __

2 2 __

4 3. 29 ___

6 4 7 ___

12 4. 2 2 __

9 1 1 __

2 5. 3 3 __

4 3 4 __

5

6. 2 1 __ 5 8 __

3 7. 1 3 __

4 3 ___

12 8. 3 2 __

5 3 4 ___

10 9. 53 ___

12 4 3 __

8 10. 12 3 ___

10 63 ___

5

Escribe en orden de menor a mayor.

11. 1 5 __ 9 , 1 2 __

9 , 16 ___

9 12. 4 __

5 , 3 __

5 , 7 ___

10 13. 1 __

6 , 1 __

8 , 1 ___

10 14. 7 __

4 , 1 __

3 , 1 5 ___

12 15. 2 1 __

2 , 2 5 __

6 , 3 __

8

16. Antonio tiene tres perros: Liza, Kiki y Lulú. Liza pesa 9 1 _ 8 kg, Kiki pesa 10 1 _ 4 kg y Lulú pesa 9 3 _ 4 kg. ¿Cuál de los perros pesa menos?

17. Marcelo regó sus flores con 3 _ 4 de taza de agua el lunes, 1 _ 2 taza de agua el martes y 7 _ 8 de taza de agua el miércoles. ¿Qué día regó sus flores con más agua?

Práctica adicional

124

agua salada 972 cc.

agua dulce 28 cc.

1. Resuelve el problema de arriba.

2. ¿Dónde se encuentra la menor cantidad de agua dulce de la Tierra?

3. Compara la cantidad de agua subterránea dulce con la cantidad de agua dulce en los casquetes de hielo y los glaciares.

Resolución de problemas Visualiza para resolver el problema.

Planeta de aguaVisualizar

El agua de la Tierra fluye por el medio ambiente como parte del ciclo del agua. La mayoría es agua salada que hay en los océanos y los mares. El resto es agua dulce. La siguiente tabla muestra los distintos lugares donde se encuentra el agua dulce de la Tierra. ¿Dónde se encuentra la mayor parte del agua dulce de la Tierra?

Puedes resolver algunos problemas visualizándolos. Cuando visualizas un problema, te lo imaginas.Paso 1 Lee el problema atentamente y visualízalo.Paso 2 Piensa en la mejor manera de presentar el problema. Podrías hacer un dibujo, o una tabla, o hacer un gráfico. Podrías usar una representación, como barras de fracciones o fichas.

Agua dulce de la Tierra

Casquetes dehielo y glaciares

⅘76

Aguasubterránea

71

Lagos, ríos y aguadel suelo y del aire

516

t Si toda el agua de la Tierra pudiera guardarse en una botella de 1 litro, el contenido se dividiría así.

Capítulo 5 125Capítulo 5 125

24. Javier, Violeta y Paula están haciendo collares de mostacilla. El collar de Javier es de 1 3 _ 8 metros de largo. El collar de Violeta es de 1 1 _ 2 metros de largo. El collar de Paula es de 7 _ 4 metros de largo. ¿Cuál collar es el más largo?

25. Liliana vive a 0,9 kilómetros de la escuela. Explica cómo podrías usar una representación gráfica para hallar la distancia que Liliana recorre de ida y vuelta de la escuela durante 5 días de la semana.


1. ____________ son fracciones que representan la misma cantidad y el mismo lugar en la recta numérica.

2. Un número que es múltiplo de dos números o más se llama ____________ .

3. Una ____________ es la que el numerador y el denominador tienen solo el 1 como factor común.

Comprueba tus destrezas Escribe una fracción equivalente.

4. 1 __ 6 5. 4 ___

12 6. 2 ___

10 7. 5 __

8


8. 9 __ 2 9. 1 1 __

4 10. 5 2 __

3 11. 10 ___

3


12. 2 __ 3  

 5

__ 6 13. 1 1 __

2  1 5 ___

10 14. 3 1 __

5  2 3 __

7 15. 1 2 __

3  1 4 __

7

Escribe cada fracción como decimal. Escribe cada decimal como una fracción simplificada a su mínima expresión.

16. 0,75 17. 19 ____ 100

18. 0,48 19. 2 __ 8

Usa una recta numérica para ordenar cada grupo de números de mayor a menor.

20. 3 __ 4 ; 0,45; 1 __

2 21. 1,15; 6 __

4 ; 1 3 __

8 22. 3 __

5 ; 1 ___

10 ; 0,5 23. 1 __

4 ; 0,23; 8 __

5


VOCABULARIO

factor común

múltiplo común

fracciones equivalentes

fracción en su mínima

expresión


126

Ejemplo 2Halla el número desconocido. 2 __

3 5 2 8

______ 51

.

Enriquecimiento • Despejar incógnitas

InténtaloResuelve.

1. 4 __ 5 5  ___

60

Pista: es un número par mayor que 40, pero menor que 60 y la suma de los dígitos es 12.

2. 3 3 __ 4 5 135 ____

  

Pista: La suma de los dígitos es 9.

3. 7 ___ 13

5 28 ___

  

Pista: La suma de los dígitos es 7.

Explica cómo hallarías el número desconocido en  ___ 24

5 2 __ 3 .

Paso 1

Haz una lista de todos los números pares mayores que 40 pero menores que 60.

42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58

Paso 2

Halla un número en la lista cuyos dígitos sumen 12.

4 1 8 5 12

Entonces, el número desconocido 5 48.

Paso 1

Halla una fracción equivalente a 2 _ 3 que tenga 51 como denominador.

Entonces, divide 51 entre 3.

51 : 3 5 17

Paso 2

Como 3 • 17 5 51, multiplica: 2 • 17.

12 • 17 ______ 3 • 17

5 204 ____ 51

Paso 3Resuelve el número desconocido. 2 8 5 204 212 2 8 5 204Entonces, el número desconocido es 212.

Puedes usar lo que sabes sobre fracciones equivalentes, fracciones impropias y números mixtos para resolver incógnitas.

Ejemplo 1 Halla el número desconocido. 6 __

7 5  ___

56

Pista 1: El número desconocido es un número par de dos dígitos mayor que 40 pero menor que 60.

Pista 2: La suma de los dígitos es 12.

Usa las pistasUsa las pistasUsa las pistas

Capítulo 5 127


1. ¿Qué expresión tiene el mismo valor que: 3 • (8 - 5) + 9?

A (3 • 3) + 9 C 3 • (24 - 14)

B (3 • 24) -14 D 3 • (3 + 9)


Patrones y álgebra 5. Si x = 7, ¿cuál es el valor de la expresión: 18- x?

A 25 C 7

B 11 D 1

6. Había 12 estudiantes en el club de ajedrez. Luego se reunieron más estudiantes. ¿Qué expresión representa el número de estudiantes que hay ahora en el club?

A 12 + e C 12 • e

B 12 - e D 12 ÷ e

7. ¿Qué número representa m? 16 • m=144

A 3 C 14

B 9 D 128

8. Iván tenía 12 láminas de un álbum y tenía que completar 40. ¿Qué expresión representa la situación?

A 12 + l = 40 C 40 + 12 = l

B 12 - l = 40 D l - 12 = 40

9. Explica cómo resolver la siguiente ecuación:

4 + y = 12

A C

B D

2. El número mixto 2 es equivalente a la fracción?

A C

B D

56

94

165

23

136

811

176

12

175

43

4. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra la fracción representada en su mínima expresión?

3. ¿Qué recta numérica muestra representado por un punto?

A

B

C

D

128

Geometría - Medición 10. Rebeca utilizó 4 palitos de helado de 12 cm

cada uno para formar un cuadrado. ¿Cuál es el perímetro de su cuadrado?

A 24 cm C 48 cm

B 36 cm D 60 cm

11. ¿Qué figura tiene los 3 lados de igual medida?

A C

B D

12. La vista superior corresponde a un:

A Triángulo C Círculo

B Cuadrado D Rectángulo

13. La vista lateral corresponde a un:

A Triángulo C Círculo

B Cuadrado D Rectángulo

14. Isabel jugaba con una cuerda de 18 cm y formó un triángulo de tres lados de igual medida. ¿Cuál es la medida de cada lado del triángulo?

A 3 cm C 9 cm

B 6 cm D 18 cm

15. Describe un pentágono y dibuja un ejemplo.

16. ¿Cuántos resultados posibles hay si lanzas una moneda?

A 2 C 4

B 3 D 5

Para las preguntas 17, 18 y 19 utiliza el siguiente gráfico de barras que muestra el número de libros que leyó Claudia durante cuatro meses:

17. ¿Qué mes leyó más libros?

A septiembre C noviembre

B octubre D diciembre

18. ¿Qué meses leyó la misma cantidad de libros?

A septiembre y octubre

B octubre y noviembre

C noviembre y diciembre

D septiembre y diciembre

Libros leídos por Claudia

sep oct nov dic

mesn

úm

ero

de

libro

s

5

4

3

2

1

0

Datos y probabilidades

19. ¿Para qué sirve la escala del gráfico? Explica.

Capítulo 5 129

CAPÍTULO

La naranja se originó hace unos 20 millones de años en el sudeste asiático. La dispersión mundial de los cítricos se debió a los grandes movimientos migratorios de la humanidad. A Chile llegó con el descubrimiento de América y la Conquista, hace aproximadamente 400 años. El clima chileno es propicio para su cultivo. Chile es, actualmente, país exportador de naranjas.

InvestigaImagina que comes parte de una naranja para el desayuno, y luego te comes el resto para el almuerzo. ¿De cuántas maneras podrías comerte la naranja? Elige la cantidad de secciones, de 8 a 11, para tu naranja. Escribe la cantidad de secciones de la naranja para ambas comidas en forma de fracción. Escribe tres pares de fracciones.

6 Sumar y restar fraccionesLa idea importante La suma y resta de fraccione se basa en la comprensión de las fracciones equivalentes.

DATOBREVE

130


fracciones equivalentesoperaciones inversasnúmero mixtoconvertirfracción en su mínima expresión

PREPARACIÓN

fracciones equivalentes Fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad.

fracción en su mínima expresión Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común.

operaciones inversas Operaciones que se anulan una a la otra, como la suma y la resta o la multiplicación y la división.


u Fracciones equivalentesEncuentra dos fracciones equivalentes para cada ilustración.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

u Fracción en su mínima expresiónEscribe cada fracción en su mínima expresión.

10. 2 __ 4 11. 4 __ 

6 12. 2 __ 

8 13. 3 __ 

9

14. 6 ___ 10 15. 6 ___ 

12 16. 8 ___ 

10 17. 4 ___ 

20

18. 8 ___ 12 19. 10 ___ 

30 20. 15 ___ 

25 21. 6 ___ 

18

Capítulo 6 131

Materiales ■ barras de fracciones

Puedes sumar y restar fracciones con denominadores semejantes usando barras de fracciones.

Suma. 1 __ 8 1 5 __ 8

Coloca una de las barras de 1 _ 8  debajo de 1 barra de

fracción de entero.

18

1

Coloca 5 barras más de 1 _ 8  para mostrar 5 _ 8 . Cuenta las barras de fracciones.

Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión.

Usa barras de fracciones para hallar 2 _ 6  1 5 _ 6 .

Sacar conclusiones 1. Con tus barras de fracciones, ¿cuántas barras de 1 _ 8 

equivalen a 1 _ 2 ? ¿Qué sabes sobre 4 _ 8  y 1 _ 2 ?

2. Mira las barras de fracción que hiciste para D. ¿Cómo sabes si la suma de dos fracciones es mayor que 1?

3. Aplicación Muestra cómo aplicar el mismo método usando barras de fracciones para hallar 3 _

 5  2 1 _ 5 .

Representar la suma y la restaOBJETIVO: representar la suma y la resta de fracciones con igual denominador.

Repaso rápido


1. 2 __ 4 2. 6 __

8 3. 6 __

6

4. 5 ___ 10

5. 2 __ 8

1

132

Paso Paso Paso

Puedes usar las barras de fracciones con denominadores semejantes para restar fracciones.

Resta. 7 ___ 10 2 3 ___ 10

Usa barras de fracciones para hallar la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión.

1. 2. 3.

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión.

4.  2 ___ 101 3 ___ 

10 5.  5 ___ 

121 2 ___ 

12 6. 2 __ 

321 __ 

3 7. 2 __ 

914 __ 

9

8. 5 __ 622 __ 

6 9. 2 __ 

411 __ 

4 10.  9 ___ 

122 7 ___ 

12 11. 3 __ 

714 __ 

7

12. Explica una regla que puedas usar para sumar o restar fracciones con denominadores semejantes.

Coloca siete barras de 1 __ 10 debajo de la barra de fracción de 1 entero.

1

110

110

110

110

110

110

110

Coloca tres barras de 1 __ 10 debajo de las siete barras de 1 __ 10 para representar 3 __ 10 .

1

110

110

110

110

110

110

110

110

110

110

?

Compara las filas de barras. Halla la diferencia en su mínima expresión.

1

110

110

110

110

110

110

110

110

110

110

?

110

110

110

110

7 ___ 10

2 3 ___ 10

5 4 ___ 10

5 2 __ 5

¿Cómo hallarías 5 _ 6 2 2 _

6 ?

 8 ___ 10 2  2 ___ 

10

4 __ 8 1 3 __ 

8 2 __ 

6 1 1 __ 

6

1

16

16

16

1

18

18

18

18

18

18

18

11

110

110

110

110

110

110

110

110

110

110 ?

Capítulo 6 133

Aprende

Repaso rápido

2 Sumar y restar fracciones con igual denominadorOBJETIVO: sumar y restar fracciones con igual denominador.

PROBLEMA El glaciar de la laguna de San Rafael, al sur de Chile, es uno de los glaciares que retrocede con mayor rapidez. Algunos glaciares retroceden aproximadamente 78 metros, otros 114 metros por año. Imagina que en 2 años retrocede 2 __ 

10  km y en otros dos años  3 __ 

10  km. ¿Qué

distancia en km retrocede el glaciar en cuatro años?


1. 2 ___ 10

2. 6 __ 8

3. 4 __ 8 4. 2 __

6

5. 6 __ 9

• Suma los numeradores.• Escribe la suma sobre el

denominador.• Escribe la suma en su

fracción en su mínima expresión.

• Resta los numeradores.• Escribe la diferencia sobre

el denominador.• Comprueba que la

diferencia esté en su fracción en su mínima expresión.

Sombrea 2 partes de un modelo de décimos.

Sombrea 3 partes más.

Escribe la fracción que corresponde a la parte sombreada. 5 __ 10 5 1 _ 2

Por lo tanto, el glaciar se desplaza 1 _ 2 km cada 4 años.

Usa un dibujo. Usa papel y lápiz.

Resta.  3 ___ 10

2 2 ___ 10

Sombrea 3 partes de un modelo de décimos.

Resta 2 __ 10

. Traza una línea a través de dos partes.

Escribe la fracción: 1 __ 10

.

1. Usa un dibujo para hallar 2 _ 8  1 4 _ 

8 . Escribe la respuesta en su

mínima expresión.

Usa una representación Usa papel y lápiz.

Suma. 2 _ 10

1 3 _ 10

2 ___ 10

+ 3 ___ 10

= 5 ___ 10

= 1 __ 2

3 ___ 10

+ 2 ___ 10

= 1 ___ 10

LECC

IÓN


134


Estación preferida20 estudiantes

otoño

primavera

verano

110

invierno

120

120

150


2. 1 __ 412 __ 

4 3. 3 __ 

421 __ 

4 4. 5 __ 

813 __ 

8 5. 2 __ 

321 __ 

3 6. 7 ___ 

101 1 ___ 

10

7. Explica cómo hallar 2 __ 12  1 4 __ 12 .


8.  1 ___ 101 3 ___ 

10 9. 3 __ 

621 __ 

6 10. 4 __ 

813 __ 

8 11. 5 __ 

723 __ 

7 12.  7 ___ 

121 5 ___ 

12

13. 4 __ 421 __ 

4 14. 2 __ 

714 __ 

7 15. 5 __ 

823 __ 

8 16. 1 __ 

311 __ 

3 17. 3 __ 

821 __ 

8

Halla el número que falta en cada .

18. 14 __ 957 __ 

9 19. 3 __ 

4251 __ 

4 20. 1252 __ 

3 21.  9 ___ 

121 511 ___ 

12


22. ¿Qué fracción de estudiantes eligió la primavera y el verano como su estación preferida?

23. Razonamiento ¿Cuáles dos estaciones fueron elegidas por 1 _ 5  de los estudiantes?

24. ¿Cuál es el error? Para hallar la diferencia entre la cantidad de estudiantes que eligió el verano y la cantidad que eligió el invierno, Clara calculó  5 __ 10  2 2 __ 10  y obtuvo 3. ¿Cuál es su error?

Álgebra

25. Compara. Escribe ,, ., o 5.

1840,0991840,215

26. Karina corrió 1 _ 4  de kilómetro. Escribe la

distancia que corrió en forma de decimal.

27. Escribe la fracción 37 __ 8  en forma de número

mixto.

28. Álvaro vertió 1 _ 4  de taza de jugo de naranja y 3 _ 4  de taza de jugo de piña en un vaso. ¿Cuántas tazas de jugo hay en el vaso?

A 1 __ 4de taza C 3 __ 

4de taza

B 3 __ 8de taza D 1taza



3Aprende la estrategiaTrabajar desde el final hasta el principio puede ayudarte a resolver un problema. Puedes usar esta estrategia cuando sabes cómo termina una situación pero no sabes cómo empieza.

Estrategia: trabajar desde el final hasta el principioOBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia trabajar desde el final hasta el principio.

Trabaja desde el final hasta el principio en una recta numérica.

Isabel pagó $32000 por 3 tarros de pelotas de tenis de lanzamiento rápido y una raqueta de tenis. La raqueta costó $20000. Ella no recuerda el precio exacto de las pelotas de tenis. ¿Puedes hallar cuánto pagó Isabel por cada tarro de pelotas de tenis? Sí puedes. ¡Trabaja desde el final hasta el principio!

Escribe la ecuación.

($ · 3 tarros de pelotas de tenis) 1 raqueta 5 total

( · 3) 1 $ 20 5 $ 32

Trabaja desde el final hasta el principio usando operaciones inversas.

5 (32 2 20) : 3

5 12 : 3

5 4

Por lo tanto, Isabel pagó $4000 por cada tarro de pelotas de tenis.

Comprueba tu respuesta.

($ 4 000 · 3) 1 $ 20 000 5 $ 32 000

$ 12 000 1 $ 20 000 5 $ 32 000

$ 32 000 5 $ 32 000 ✓

¿Por qué es importante comprobar tu respuesta cuando usas la estrategia de trabajar desde el final hasta el principio? Explica cómo puedes comprobar tu respuesta.

Comenzando desde el 3 en la recta numérica, mueve 1 3 _ 8 , u 11 octavos hacia la izquierda. Luego mueve otros 5 octavos hacia la izquierda.

Por lo tanto, Soledad usó 1ovillo de lana roja.

Soledad tejió un poncho para el invierno. Usó en total 3 ovillos de lana café, roja y amarilla. Primero usó 1 3 _ 8  de ovillo de lana café y  5 _ 8  de ovillo de lana amarilla. Si el resto de lana era roja, ¿cuánto de la lana roja usó Soledad?

Trabaja desde el final hasta el principio con una ecuación.

LECC

IÓN

58

381

1 30

136

• Identificalospasosdelproblema.

• ¿Quépartedelproblemaesunaincógnita?


Puedes trabajar desde el final hasta el principio para resolver el problema.

• ¿Cómopuedesusarlaestrategiapararesolverelproblema?

Traza una recta numérica que muestre octavos.

Trabaja desde el final hasta el principio. Comenzando desde1 7 _ 8 ,

mueve 7 octavos hacia la izquierda.

Luego mueve otros 3 octavos hacia la izquierda.

Solo quedan 5 octavos más antes del 0 en la recta numérica.

Por lo tanto, usaron  5 8  de metro de fieltro para el títere mediano.

• ¿Cómosabesqueturespuestaescorrecta?

• ¿Dequéotrasmaneraspodríasresolveresteproblema?

78

38

781

1

Usa la estrategia PROBLEMA La clase de quinto básico del señor Pérez está presentando un espectáculo de títeres sobre seguridad para el primer y el segundo básico. Para hacer sus propios títeres, los estudiantes de quinto año de enseñanza básica compraron 1 7 _ 8  metro de fieltro para tres títeres de distinto tamaño. Cortaron 3 _ 8  de metro para el títere más pequeño y  7 _ 8  de metro para el títere más grande. ¿Cuántos metros de fieltro usaron los estudiantes para el títere mediano?

0

Capítulo 6 137


Materiales para elespectáculo de títeres

Material Cantidad

Madera metro

Pintura litro

Fieltro metro

3713

214

956

01 23 4 567 89 10

1. Para construir el escenario de los títeres para su espectáculo, los estudiantes usaron un total de 9 5 _ 6  metros de fieltro para hacer la cortina, el techo y la falda del escenario. Si usaron 3 1 _ 6  metros para la cortina y 3 5 _ 6  metros para la falda, ¿cuántos metros de fieltro usaron para el techo?

Primero, haz una recta numérica que muestre de 0 a 10. Divide cada sección en sextos.

Luego, trabaja desde el final hasta el principio en la recta numérica.

Finalmente, comprueba tu respuesta.

2. ¿Qué pasaría si los estudiantes tuvieran 2 5 _ 6  metros para la cortina? ¿Cuánto fieltro se usaría para el techo?

3. Veinte minutos antes de empezar el espectáculo, los estudiantes todavía estaban trabajando en el escenario. Javiera tardó 12,5 minutos en corchetear la falda y luego le pasó la corchetera a Carlos, quien tardó 6,75 minutos en corchetear el techo. Cuando terminaron, ¿cuántos minutos quedaban para empezar el espectáculo?

Trabaja desde el final hasta el principio para resolver los problemas

4. Los estudiantes tenían11 __ 12  de hora para ver un espectáculo de títeres acerca de la seguridad. El primer 5 __ 12  de hora se trató sobre la seguridad en el patio de juegos, y el siguiente 2 __ 12  de hora se trató sobre la seguridad en la cafetería. Las dos primeras partes del espectáculo provocaron más risas de lo esperado y se extendió por  1 __ 12  de hora. El resto del tiempo se trató sobre cómo cruzar una calle concurrida. ¿Cuánto tiempo tuvieron los estudiantes para la última parte del espectáculo que trataba sobre cómo cruzar una calle concurrida?

USA DATOS Para 5–7, usa la tabla de datos.

5. Los estudiantes usaron 2 _ 4  de una lata de un litro de pintura para los carteles y 3 _ 4  de una lata de un litro de pintura para utilería. ¿Cuántos litros de lata de pintura quedaron para pintar el decorado del fondo?

6. Para construir el escenario de los títeres, los estudiantes usaron dos marcos en forma de U sostenidos por 4 patas. Para cada marco en forma de U se usaron 11 1 _ 3  metros de madera. ¿Cuánta madera usaron los estudiantes para las 4 patas?

7. Explica cómo usarías una recta numérica para hallar la longitud de cada pata usada para sostener el escenario de los títeres. Muestra tu trabajo.


138




8. En la sala de teatro Agustín Siré, de la Facultad de Arte de la Universidad de Chile, la taquilla abrió al mediodía para vender entradas. A las 12:10, ya se habían vendido 20 entradas. A las 12:20, se habían vendido 40 entradas. Al final de la primera media hora, se habían vendido 60entradas. Si el patrón continúa, ¿a qué hora se habrán vendido todas las entradas?

9. El teatro La Memoria de Santiago tiene 3 espectáculos el sábado por la tarde, mientras que el teatro Huemul tiene 1 espectáculo. Si ambos teatros tuvieran la sala llena, ¿cuál vendería la mayor cantidad de entradas ese día? ¿Cuántas entradas más venderá ese teatro?

10. Formula un problema Vuelve al Problema 9. Escribe un problema similar cambiando el teatro y el patrón.

11. Problema abierto Imagina que hay un intervalo de 25 minutos entre los espectáculos en el teatro Condell en Valparaíso. Si el teatro está abierto desde la 1:00 p.m. hasta las 4:30 p.m., ¿cuántas entradas podrá vender? ¿Cómo podría el teatro cambiar la duración del espectáculo o el intervalo entre los espectáculos para poder vender más entradas?

ESFUÉRZATEUNICEF,elFondodelasNacionesUnidasparalainfancia,usatíteresensusprogramascomoherramienta para educar y entretener. En el país africano de Namibia, los adolescentes usan títeres para enseñar acerca de la seguridad. En una plaza del pueblo, 2 000 personas miran el espectáculo de títeres que tiene una hora de duración.

12. En Vietnam, un espectáculo de títeres similar atrae a un promedio de 1200 personas. Si en Vietnam hay seis espectáculos de títeres al mes, aproximadamente, ¿cuántas personas pueden ver el espectáculo de títeres de UNICEF cada mes?

Nombre, Ciudad

Teatro Condell, Valparaíso

Sala Agustín Siré, Santiago

Teatro Huemul, Santiago

Teatro La Memoria, Santiago

Cantidadde asientos

300

160

500

100

Tamaño delescenario

Largo x ancho (en pies)

18 x 14

12 x 12

20 x 8

6 x 7

Duracióndel espectáculo

(en minutos)

55

40

45

30

Teatros de títeres

13. En Namibia, 2 _ 5  de los titiriteros tienen de 12 a 14 años. Del resto de los titiriteros, uno de cada tres tiene de 10 a 11 años. ¿Cuántos quintos del total de los titiriteros tienen de 10 a 11 años?




Buscar un patrón


Predecir y probar





Capítulo 6 139

1

14

12

?


Puedes usar barras de fracciones para sumar fracciones con distinto denominador.

Halla 1 _ 2 1 1 _ 

4 . Coloca una barra de 1 _ 

2  y una de 1 _ 

4  debajo

de una barra de fracción de entero.

Halla barras de fracciones de igual denominador que coincidan exactamente debajo de la suma 1 _ 

2  1 1 _ 

4 .

Registra la suma en su mínima expresión.

Usa barras de fracciones para hallar 3 _ 5 1 1 _ 

2 . Registra

la suma.

Sacar conclusiones 1. ¿Qué barras de fracciones de igual denominador

usaste para que coincidieran exactamente debajo de 1 _ 2 1 1 _ 

4 ? ¿Podrías haber usado cualquier otra barra de

fracciones de igual denominador? Si es así, ¿cuáles habrías usado?

2. ¿Qué barras de fracciones de igual denominador usaste para hallar 3 _ 

5 1 1 _ 

2 ? ¿Es la suma mayor o menor

que 1?

3. Análisis En tu representación de 3 _ 5 1 1 _ 

2 , ¿cuántas

barras de  1 __ 10  equivalen a 3 _ 

5 ? ¿Cuántas equivalen a 1 _ 

2 ?

¿Qué sabes sobre 3 _ 5  y 6 __ 

10 ? ¿Y sobre 1 _ 

2  y 5 __ 

10 ?


1. 1 __ 4 1 1 __

4 2. 3 __

8 2 1 __

8

3. 4 __ 8 1 3 __

8 4. 5 ___

10 2 2 ___

10

5. 1 __ 5 1 4 __

5

Representar la suma de fracciones con distinto denominadorOBJETIVO: representar la suma con fracciones de distinto denominador.

1

14

12

4

140

Paso Paso

1

1

13

13

16

13

13

16

16

16

16

16

16

1

13

13

16

16

16

16

16

16

23

46

16

16

46

16

56Por lo tanto,

12

18

18

18

18

18

18

14

12

15

15

Cuando hallas las barras de fracciones que coinciden exactamente debajo de una suma, has hallado fracciones equivalentes.

Halla: 2 __ 3 1 1 __

6 .

Coloca dos barras de fracciones de 1 _ 3 debajo de una barra de 1. Luego coloca una barra de fracciones de 1 _ 6 al lado de las dos barras de 1 _ 3 .

Halla barras de fracciones con igual denominador que sean equivalentes a 2 _ 3 y 1 _ 6 .

Suma las fracciones con igual denominador.

Halla la suma. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión.

1. 2. 3.

1 __ 213 __ 

8 3 __ 

811 __ 

4 1 __ 

212 __ 

5

Halla la suma usando barras de fracciones. Escríbela como fracción simplificada a su mínima expresión.

4. 2 __ 51 3 ___ 

10 5. 1 __ 

41 2 ___ 

12 6. 1 __ 

21 3 ___ 

10 7. 1 __ 

211 __ 

3

8. 1 __ 41 4 ___ 

12 9. 1 __ 

313 __ 

6 10. 1 __ 

51 1 ___ 

10 11. 3 __ 

411 __ 

3

12. 3 __ 411 __ 

6 13. 2 __ 

511 __ 

2 14. 2 __ 

311 __ 

4 15. 3 __ 

415 __ 

6

16. Explica cómo sumar 2 _ 8  y 3 _ 

4  usando barras de fracciones.

¿Qué fracciones equivalentes usarías para hallar 1 _ 2 1 3 _ 4 ?

Paso

Capítulo 6 141

Halla la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión.

1. 3 __ 4 2 1 __

4 2. 5 __

8 2 2 __

8

3. 2 __ 3 2 1 __

3 4. 4 __

5 2 2 __

5

5. 10 ___ 10

2 8 ___ 10


Puedes usar barras de fracciones para restar fracciones con distinto denominador.

Halla 3 _ 4  2 1 _ 

8  . Coloca tres barras de 1 _ 

4 debajo de 1 barra

de fracción de entero. Luego coloca una barra de 1 _ 8 

debajo de las barras de 1 _ 4  .

Compara las barras. Halla barras de fracciones con

igual denominador que coincidan exactamente

debajo de la diferencia 3 _ 4  2 1 _ 

8  .

Anota la diferencia.

Usa barras de fracciones para hallar 1 _ 3  2 1 _ 

4  .

Sacar conclusiones 1. ¿Qué barras de fracciones de igual denominador usaste

para que coincidieran exactamente debajo de 3 _ 4  2 1 _ 

8  ?

2. ¿Qué barras de fracciones igual denominador usaste para hallar 1 _ 

3  2 1 _ 

4  ?

3. Análisis En tu representación de 1 _ 3  2 1 _ 

4  , ¿cuántas

barras de 1 __ 12  equivalen a 1 _ 

3  ? ¿Cuántas equivalen a 1 _ 

4  ?

¿Qué sabes sobre 1 _ 3  y 4 __ 

12  ? ¿Y sobre 1 _ 

4  y 3 __ 

12  ?

Representar la resta de fracciones con distinto denominadorOBJETIVO: restar fracciones con distinto denominador usando barras de fracciones.

1

14

14

14

? diferencia18

1

14

14

14

18

5

142

13

13

1

14 ?

13

13

1

14 ?

diferencia1

121

121

121

121

12

PasoPaso

15

15 ?

110

110

110

110

110

110

110

13

13

?16 1

101

101

10

12

?

Puedes usar barras de fracciones con igual denominador semejantes para restar fracciones con distinto denominador.

Resta. 2 _ 3 2 1 _ 

4

Coloca dos barras de 1 _ 3 debajo de 1 barra de fracción de entero. Luego coloca una barra de 1 _ 4 debajo de las dos barras de 1 _ 3 .

Halla barras de fracciones con igual denominador que coincidan exactamente debajo de la diferencia 2 _ 3 2 1 _ 4 .

¿Qué fracciones con igual denominador usarías para hallar 5 _

6 2 1 _ 2 ?

Usa barras de fracciones para hallar la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión.

1.  7 ___ 10 2 2 __ 

5 2. 2 __ 

3 2 1 __ 

6 3. 1 __ 

2 2  3 ___ 

10

Halla la diferencia usando barras de fracciones. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión.

4. 3 __ 5 2  3 ___ 

10 5.  5 ___ 

12 2 1 __ 

3 6. 1 __ 

2 2  1 ___ 

10 7. 3 __ 

5 2 1 __ 

2

8. 7 __ 8 2 1 __ 

4 9. 2 __ 

3 2 3 __ 

6 10. 3 __ 

4 2 1 __ 

3 11. 5 __ 

6 2 1 __ 

2

12. Explica cómo usar barras de fracciones para hallar 3 _ 4  2 5 _ 

8 .

Por lo tanto, 2 __ 3 2 1 __

4 5 5 ___

12

Capítulo 6 143

Aprende

Paso Paso

Paso Paso

Usar denominadores comunesOBJETIVO: usar un denominador común para sumar y restar las fracciones con distinto denominador

Doñihue es un pueblo lleno de tradiciones, como por ejemplo las chamanteras, personas dedicadas a la confección de mantas. Imagina que  1 _ 

2  chamanto se teje en un mes y 1 _ 

4  en dos semanas. ¿Qué cantidad

de la manta se ha tejido?

Halla un múltiplo común para cada par.

1. 2 y 4 2. 5 y 103. 4 y 6 4. 3 y 95. 6 y 10

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, exprésalas como fracciones con un denominador común.

Ejemplo 1 Suma. 1 __ 2 1 1 __

4

Por lo tanto, se ha tejido 3 _ 4 de la manta.

• Elena estimó que la suma se acerca a 1 _ 2 . ¿Es razonable su estimación?

Imagina que una tejedora de chamanto tenía 5 _ 6 de madeja de lana para terminar una de estas mantas. Necesitaba solo 3 _ 4 madeja para acabar una manta. ¿Qué cantidad de madejas quedó cuando acabó la manta?

Ejemplo 2 Resta. 5 __ 6 2 3 __

4

Multiplica los denominadores para hallar un denominador común.

2 • 4 5 8 denominador común

Usa el denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma.

Por lo tanto, a la tejedora de chamantos le quedó 1 __ 12 de madeja de lana.

Multiplica los denominadores para hallar un denominador común.

6 • 4 5 24 denominador común

Usa el denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego resta.

Idea matemáticaPrimero estima la respuesta. Luego compárala con la respuesta exacta para ver si es razonable.

1 __ 2 = 1 __

4 ; 4 __

8 = 2 __

8

5 __

6 - 3 __

4 = 20

__ 24

- 18

__ 24

4 __ 8 + 2 __

8 = 6 __

8 = 3 __

4

20 __

24 - 18

__ 24

= 2 __ 24

= 1 __ 12

6LECC

IÓN

Vocabulariomínimo común denominador (m.c.d.)

mínimo común múltiplo (m.c.m.)

←fracción en su

mínima expresión

←fracción en su

mínima expresión

144

RecuerdaPara sumar o restar fracciones con distinto denominador, también puedes escribir fracciones equivalentes con el mínimo común múltiplo. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el menor múltiplo común de dos o más denominadores.

Ejemplo 3 Suma. 1 __ 4 1 3 __

8

Una tejedora de chamantos compró hilo de seda y lana para tejer los diseños en sus mantas . Compró 1 _ 

4 de kilogramo de hilo de seda y 3 _ 

8 de kilo de lana natural.

¿Cuántos kilógramos de materiales compró?

Por lo tanto, la tejedora de chamantos compró 5 _ 8 de kilógramo de materiales.

Más Ejemplos

Para hallar el mínimo común denominador, primero halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Usa un denominador común.Multiplica los denominadores para hallar un denominador común.

4 • 8 5 32 ←denominador común

Usa un denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma.

Usa el mínimo común

denominador (m.c.d.)

Haz una lista de los múltiplos de cada denominador.

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48

El mínimo común múltiplo es 8. Por lo tanto, el m.c.d. de 1 _ 4 y 3 _ 8 es 8. Escribe fracciones equivalentes. Luego suma.

Suma. 1 __ 6 1 1 __

2

Usa un denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma.

Resta. 11 ___ 12

2 5 __ 8

Halla el mínimo común denominador. Luego escribe fracciones equivalentes para restar.

Por lo tanto, 1 __ 6 1 1 __

2 5 2 __

3 . Por lo tanto, 11 ___

12 2 5 __

8 5 7 ___

24 .

11 ___ 12

• 2 __ 2 5 22 ___

24

5 __ 8 • 3 __

3 5 15 ___

24

22 ___ 24

- 15 ___ 24

5 7 ___ 24

11 ___ 12

2 5 __ 8

1 __

4 = 8 __

32 ;

3 __

8 = 12

__ 32

8 __ 32

+ 12 __

32 = 20

__ 32

= 5 __ 8

←fracción en su

mínima expresión 1 __ 4 = 1 __

4 • 4 __

8 = 2 __

8

1 __ 6 + 1 __

2

2 __ 8 + 3 __

8 = 5 __

8

1 __ 2 • 3 __

3 = 3 __

6

1 __ 6 + 3 __

6 = 4 __

6 = 2 __

3

←fracción en su

mínima expresión

→entonces

→Convertir a fracción equivalente ←igualar denominadores

→

Capítulo 6 145

Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión.

8. 3 __ 511 __ 

4 9. 5 __ 

811 __ 

5 10.  1 ___ 

1211 __ 

2 11.  7 ___ 

1011 __ 

5 12. 2 __ 

71 3 ___ 

10

13. 5 __ 623 __ 

8 14. 3 __ 

421 __ 

2 15. 7 __ 

821 __ 

6 16. 3 __ 

72 3 ___ 

14 17.  5 ___ 

1221 __ 

4

Halla el número que falta para cada . Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión.

18. 5 __ 8253 __ 

8 19. 1 __ 

6151 20.  9 ___ 

10251 __ 

5 21.  5 ___ 

12151 __ 

2

Para 22–24, usa la ilustración.

22. Sara hace un cinturón para una muñeca usando el siguiente diseño de piedras. ¿Qué fracción de las piedras en su diseño son azules o rojas?

23. ¿Cuál es la pregunta? La respuesta es 2 __ 15  del patrón.

24. Al hacer el cinturón, Sara quiere repetir el patrón de piedras tres veces. Tiene un total de 21 piedras rojas, 18 piedras azules y 19 piedras blancas. Escribe una fracción que represente el número de piedras que le quedarán.


Álgebra


25. Eric tiene 4 bombillas rojas, 2 bombillas azules, y 6 bombillas amarillas. Si elige una sin mirar, ¿qué probabilidad hay de que elija la roja?

26. 420 : 15 5

27. Escribe dos fracciones equivalentes para 24 __ 32  usando denominadores menores que 32.

28. Carlos plantó 2 _ 3 del jardín con caléndulas y 1 _ 6  del jardín con petunias. ¿Qué parte del jardín plantó con estas flores?

A 1 __ 6 C 5 __ 

6

B 1 __ 2 D 1

1. Copia el problema de la derecha. Muestra cómo restar fracciones con distinto denominador escribiendo fracciones equivalentes. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión.

Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión.

2. 3 __ 421 __ 

8 3. 2 __ 

51 3 ___ 

10 4. 1 __ 

421 __ 

7 5.  5 ___ 

1211 __ 

3 6.  9 ___ 

1021 __ 

2

7. Explica cómo puedes usar múltiplos comunes para sumar 7 _ 8  y 1 _ 3 .



4 __ 5 - 2 __

6

___ 30

- ___ 30

↓ ↓

146

Variedad de patrones

Una de las artesanías de los pueblos originarios más conocidas de la antigüedad es la cestería. Diferentes tribus usaban distintos materiales, como madera, pasto, agujas de pino, o ramas de sauce, según lo que encontraban disponible en su entorno. Los patrones y materiales en los canastos podrían usarse para identificar a la tribu que los tejió.

Estos patrones, como los patrones en matemáticas, a menudo seguían una regla, como: multiplica por 5 o suma 1 _ 4 .

Busca el patrón en esta lista de fracciones.

1 _ 4 , 2 _

4 , 3 _

4 , 4 _

4 , 5 _

4

¿Cómo cambian los valores de estas fracciones cuando aumentan los numeradores? ¿Cuál es la regla del patrón?

Usar recursos visuales puede ayudarte a resolver el problema. Elige un recurso visual que te ayude a plantear el problema o su solución. Por ejemplo, puedes usar una recta numérica para representar las fracciones.

14

24

34

44

54

64

74

84

0

Piensa: Para resolver el problema, también puedes usar recursos

visuales como tiras de fracciones o representación de fracciones.

Recursos visuales

Resolución de problemas Usa un recurso visual para resolver el problema.


2. a. ¿Cómo cambian los valores de estas fracciones cuando aumentan los denominadores?

1 __ 2, 1 __ 3

, 1 __ 4, 1 __ 5

, 1 __ 6, 1 _ n

b. ¿Cuál es la próxima fracción en el patrón?

q Estos canastos muestran los diferentes tipos de patrones que usaban los pueblos originarios americanos en las artesanías.

Capítulo 6 147

Aprende

Paso Paso

Paso Paso

Sumar y restar fraccionesOBJETIVO: usar el mínimo común múltiplo para sumar y restar fracciones.

Se midió la longitud del caparazón de una tortuga marina verde durante dos años. El primer año, el caparazón creció 2 _ 

5 de metro. El segundo

año, el caparazón creció 3 __ 10  de metro. ¿Cuánto creció el caparazón

durante el período de los dos años?

Ejemplo 1 Suma. 2 __ 5 1 3 ___

10

Estima la suma o la diferencia.

1. 1 __ 2 1 1 __

7 2. 3 __

5 2 1 __

8

3. 1 __ 6 1 7 __

8 4. 3 __

4 2 3 __

5

5. 7 ___ 12

1 2 __ 5

Por lo tanto, el caparazón de la tortuga gigante creció 7 __ 10 de metro en dos años.

Ejemplo 2 El caparazón de una tortuga carey adulta mide 3 _ 4 de metro de longitud aproxi-madamente. El caparazón de una cría mide 1 _ 5 de metro. ¿Qué diferencia de longitud hay entre sus caparazones?

Resta. 3 __ 4 2 1 __

5

El mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20. Por lo tanto, el m.c.d. de 3 _ 4 y 1 _ 5 es 20. Usa el m.c.d. para cambiar las fracciones a fracciones equivalentes.

Resta las fracciones. Si es necesario, escribe la respuesta en su mínima expresión.

Por lo tanto, la diferencia entre las longitudes es de 11 __ 20 metro.

Idea matemáticaPara sumar o restar fracciones de distinto denominador, halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) para escribir fracciones equivalentes. Luego suma o resta los numeradores.

fracción en su mínima expresión.

←

Podemos amplificar una de las fracciones para igualar los denominadores y así sumar las fracciones. En este caso, amplificamos por 2 la fracción 2 _ 5 y queda la fracción 4 __ 10 .

Suma las fracciones. Escribe la respuesta en su mínima expresión.

4 ___ 10

1

3 ___ 10

= 7 ___ 10

7LECC

IÓN


3 ___ 4

=

3 • 5 ____ 4 • 5

= 15 ___ 20

15 ___ 20

– 4 ___

20 =

11 ___ 20

1 ___ 5

=

1 • 4 ____ 5 • 4

= 4 ___ 20

2 • 25 v 2

4 10

410

310

+ =

+ =

148


1. Observa el problema de la derecha. Halla la suma de las fracciones escribiendo fracciones semejantes. Escribe la respuesta como fracciónen su mínima expresión.


2. 3 __ 4 1 1 __ 

8 3.  7 ___ 

10 2 2 __ 

5 4. 1 __ 

5 1 1 __ 

6 5. 2 __ 

3 2 1 __ 

4 6. 5 __ 

8 1 1 __ 

3

7. Explica cómo sabes que 11 __ 20 está simplificada.

24. 6 ___ 10 1 7 ___ 10 5

25. ¿Cómo se escribe el decimal 0,45 en forma de fracción?

26. ¿Cuál es el m.c.d. de 3 _ 4  y 1 _ 

3 ?

27. Romina tardó 1 _ 3  de hora en caminar a la

biblioteca y luego 1 _ 4  de hora en caminar a la

casa de Ana. ¿Cuánto tiempo tardó Romina en total en caminar a ambos lugares?

A  1 _ 6 de hora C  7 __ 

12 de hora

B  1 _ 2 hora D  3 _ 

4 de hora


8. 3 __ 7 1 1 __ 

8 9. 3 __ 

4 2 1 __ 

2 10. 2 __ 

3 1 1 __ 

4 11. 5 __ 

6 2 2 __ 

3 12. 7 __ 

8 1 1 __ 

4

13. 4 __ 9 2 1 __ 

6 14. 1 __ 

3 1 1 __ 

5 15. 1 2  3 ___ 

10 16.  3 ___ 

10 1 3 __ 

4 17. 6 __ 

7 2  2 ___ 

14

Compara. Escribe , o . en cada .

18. 1 __ 3 1 1 __ 

8 2 __ 

3 1 1 __ 

7 19. 5 __ 

6 2 1 __ 

4  9 ___ 

10 2 1 __ 

2 20. 1 __ 

4 1 3 __ 

8 2 __ 

3 2 1 __ 

2

Para 21–23, usa las ilustraciones. 21. ¿Cuánto más larga es la tortuga A que la tortuga B?

22. ¿Qué diferencia de longitud hay entre la tortuga carey más grande y la tortuga carey más pequeña?

23. ¿Cuál es el error? Sara dijo que si la tortuga C creciera 1 _ 3  de metro más, mediría 3 _ 5  de metro de longitud. Describe su error. Escribe la respuesta correcta.



C 25

m A 34

m B 23

m

3 __ 2 5  __ 

4 +

3 __ 4 5  __ 

4

Capítulo 6 149

Estrategia: comparar estrategiasOBJETIVO: comparar diferentes estrategias para resolver problemas.

•Hazunresumendeloquedebeshacer.


• ¿Hayinformaciónquenousarás?Siesasí,¿cuáles?


A menudo puedes usar más de una estrategia para resolver un problema. Usa material concreto y trabaja desde el final hasta el principio.


•¿Quéotraestrategiapodríasusarpararesolverelproblema?

Usa la estrategiaPROBLEMA En la clase de Ciencias de Natalia, los estudiantes observan el total de precipitación mensual. Al final de cada semana, registran la cantidad de lluvia que cayó. Al final de la tercera semana, había caído un total de 5 _ 

6  milímetros de lluvia, 2 _ 

5  milímetros más que

la cantidad de lluvia registrada al final de la semana 2. Durante la semana 2, cayó 1 _ 

3  de milímetros más de lluvia que la semana anterior.

¿Cuál fue la cantidad de precipitación en la semana 1?

Hacer una representación

Puedes usar barras de fracciones para hallar los datos que faltan.

16

16

16

15

15

16

16

13

110

5 __ 6 51 __

3 12 __

5 1 1 ___

10


Puedes escribir una ecuación para mostrar el total de precipitación.

n 5 5 __ 6 2 2 __

5 2 1 __

3

n 5 25 ___ 30

2 12 ___ 30

2 10 ___ 30

n 5 3 ___ 30

, or 1 ___ 10

Halla un común denominador.

semana 1 1 semana 2 1 semana 3 5 total

n 1 1 __ 3 1 2 __

5 5 5 __

6 Por lo tanto, cayó 1 __ 10  de milímetro de lluvia

en la semana 1.

8LECC

IÓN

150

Día

LUNES

MARTES

MIÎRCOLES

JUEVES

VIERNES

SÃBADO

DOMINGO

⅖

0

0

⅕

230

110

0

130

0

0

0

110

215

⅘

190

0

0

½

210

110

101 0

170

101 0

0

130

0

0

130

Precipitaciones en las comunas (milímetros)

Los Vilos Illapel Combarbalá Salamanca

Precipitación en la Región de Coquimbodurante una semana de agosto



1. David trabajó durante 7 1 _ 2  horas en su proyecto de ciencias. Pasó

1 1 _ 2  horas leyendo su revista de ciencias y 2 4 _ 

5  horas construyendo

una representación. Luego pasó el resto del tiempo haciendo carteles para el proyecto. ¿Cuántas horas pasó David haciendo carteles?

Primero, usa la estrategia hacer una representación.

Luego, usa la estrategia trabajar desde el final hasta el principio.

Finalmente, compara las respuestas.

2. ¿Qué pasaría si David hubiera trabajado durante 6 4 _ 5  horas en

su proyecto de ciencias? ¿Cuántas horas habría pasado David haciendo carteles?

3. David compró algunos artículos para el proyecto de Ciencias. Gastó $399 en cartulina, $120 en pegamento, y $455 en un lápiz. Si David tenía $1570 cuando salió de la tienda, ¿cuánto dinero tenía antes de hacer las compras?

4. En la clase de Ciencias de la señorita Gómez, 1 _ 3  de los proyectos tenía

que ver con el clima, 1 _ 6  tenía que ver con los terremotos, y 1 _ 

4  tenía que

ver con el agua y los ecosistemas. El resto de los proyectos tenía que ver con los volcanes. ¿Qué fracción de los proyectos de Ciencias tenía que ver con los volcanes?

5. Julia está construyendo una base rectangular para la estación meteorológica de la escuela. El perímetro es 3 2 _ 

3  metros. Si el ancho es 1 _ 

3 

de metro, ¿cuál es la longitud?


6. Ordena las cuatro ciudades de menor a mayor según la cantidad de precipitación que hubo el lunes.

7. ¿En qué día cayó la misma cantidad de precipitación, mayor que cero, en dos ciudades? ¿Cuáles fueron las dos ciudades y cuál fue la cantidad de precipitación?

8. ¿En qué día la suma de la precipitación en dos ciudades fue igual a la cantidad de precipitación que cayó en una tercera ciudad? ¿Cuáles fueron las ciudades y cuál fue la cantidad de precipitación?

9. Explica cómo podrías usar la estrategia trabajar desde el final hasta el principio para resolver uno de los problemas de arriba.




Buscar un patrón


Predecir y probar





Capítulo 6 151

11. 7 ___ 1211 __ 

6 12. 7 __ 

821 __ 

2 13. 1 __ 41 3 __ 6 14. 7 __ 821 __ 

4 15. 5 __ 721 __ 

3

16.  6 ___ 1111 __ 

3 17. 5 __ 

621 __ 

2 18. 3 __ 

412 __ 

5 19. 4 __ 

521 __ 

6 20.11 ___ 

1211 __ 

5

21. Mario tardó 2 _ 3 de hora en caminar a la escuela y 1 _ 6  de hora en caminar de la escuela a la biblioteca. ¿Cuánto tardó Mario en total, caminando a la escuela y luego a la biblioteca?

22. Nancy estudió 10 __ 12  de hora. Liliana estudió 3 _ 4 de hora. ¿Cuánto tiempo más que Liliana estudió Nancy?

Halla el número que falta en cada .

9. 3 __ 8157 __ 

8 10.  7 ___ 

122 51 __ 

2 11. 2 1 __ 

455 __ 

8 12. 5 __ 

62 51 __ 

3

Álgebra

Grupo B Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión.

Grupo A Halla la suma o la diferencia.

Grupo C Halla el mínimo común denominador (m.c.d.) en las fracciones.

1. 4 __ 51 1 ___ 

10 2.  7 __ 

921 __ 

3 3. 3 __ 

811 __ 

2 4. 11 ___ 

1225 __ 

6 5.2 __ 

711 __ 

2

6. 8 __ 922 __ 

3 7. 3 __ 

51 2 ___ 

10 8. 5 __ 

821 __ 

4 9. 3 __ 

524 __ 

7 10. 9 ___ 

1222 __ 

3

1. 3 __ 511 __ 

5 2.  7 __ 

912 __ 

9 3. 7 ___ 

1025 ___ 

10 4. 3 __ 

721 __ 

7

5. 4 __ 923 __ 

9 6. 3 __ 

814 __ 

8 7. 5 ___ 

1217 ___ 

12 8. 2 __ 

311 __ 

3

1. 1 __ 5y 2 __ 

3 2.  3 __ 

4y 5 ___ 

12 3. 2 __ 

9y 4 __ 

6 4. 6 ____ 

11y 2 __ 

7

5. 3 __ 5y 3 ____ 

10 6. 1 __ 

4y 1 __ 

8 7. 3 __ 

5y 2 ___ 

15 8. 5 ___ 

12y 1 __ 

5

1

Práctica adicional

152

Capítulo 6 153

Jugadores4 estudiantes

Materiales4 conjuntos de tarjetas de números (1–8)

Cada jugador hace un esquema de situaciones de resta en un papel.

El primer jugador mezcla las tarjetas de números y reparte 4 tarjetas a cada jugador.

Con base en sus tarjetas, los jugadores tratan de formar dos fracciones que tengan la menor diferencia posible. Los jugadores muestran sus ejercicios de resta, colocándolos en el esquema.

Los jugadores resuelven los ejercicios de los demás para determinar cuál resulta en la menor diferencia.

El jugador que plantea el ejercicio con la menor diferencia obtiene 1 punto y vuelve a mezclar las tarjetas para la próxima ronda.

Gana el juego el primer jugador que obtenga 5 puntos.

1

2

3

45

6

7 8

=–— —

¿Cuál es la diferencia?¿Cuál es la diferencia?

5 1

26

Comprueba el vocabulario y los conceptos Eligeelmejortérminodelrecuadro.

1. Una ____________ es aquella que podemos graficar y ubicar en la recta numérica en el mismo lugar.

2. Explica cómo puedes usar barras de fracciones para sumar y restar fracciones con denominadores no semejantes.

Comprueba tus destrezas Estima cada suma o diferencia.

3. 7 __ 922 __ 

5 4. 7 __ 

812 __ 

3 5.  7 ___ 

1111 __ 

3 6. 4 __ 

711 __ 

2 7. 5 __ 

621 __ 

8

Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión.

8. 7 __ 823 __ 

4 9. 4 __ 

911 __ 

3 10.  8 ___ 

1023 __ 

5 11. 2 __ 

31 1 ___ 

12 12. 5 __ 

621 __ 

4


13. 3 __ 821 __ 

6 14. 1 __ 

311 __ 

4 15. 12 7 ___ 

10 16.  9 ___ 

1011 __ 

4 17. 5 __ 

82 3 ___ 

16


18. Ana usó 3  _ 8  de taza de arándanos para hacer pastelitos. Usó 1 _ 4  de taza de arándanos menos para hacer una tarta. ¿Qué fracción de arándanos le queda a Ana para preparar un jugo de arándanos?

19. La distancia desde el centro comercial hasta la biblioteca es 9 __ 10  de kilómetro. La distancia desde la biblioteca hasta el correo es 1 _ 5  de kilómetro más que esa distancia. La distancia desde el correo hasta el supermercado es 1 _ 2  kilómetro menos que la distancia desde la biblioteca hasta el correo. ¿Cuál es la distancia desde el correo hasta el supermercado?

20. Explica cómo puedes usar la estrategia trabajar desde el final hasta el principio para resolver el Problema 18.

Vocabulariofracción equivalente


154

Capítulo 6 155

¿Cuál es la regla?¿Cuál es la regla?Raúl está entrenando para una carrera. Durante la primera semana, corre 1 _ 3  de kilómetro cada día. Durante la segunda semana, corre 2 _ 

3  de kilómetro cada

día, y durante la tercera semana, corre 1 kilómetro cada día. Si continúa con este patrón, ¿durante qué semana correrá Raúl 3 kilómetros cada día?

EjemploHalla las tres fracciones siguientes en este patrón: 1 __ 

4 , 3 __ 

8 , 1 __ 

2 , 5 __ 

8 .

Por lo tanto, las tres fracciones siguientes son 3 _ 4 , 7 _ 8 , y 8 _ 8 , o 1.

InténtaloHalla una regla. Usa la regla para escribir las tres fracciones en su mínima expresión:

1.  1 ___ 12,1 __ 

6,1 __ 

4,1 __ 

3 2.  3 ___ 

10,2 __ 

5,1 __ 

2,3 __ 

5 3. 11 ___ 

12,5 __ 6,3 __ 

4 4. 3;23 __ 

5;21 __ 

5

Toma un patrón de fracción que tenga 3 _ 4  como tercera fracción.

Enriquecimiento • Patrones de fracciones

Paso 3 Continúa el patrón. 1 __

3 , 2 __

3 , 3 __

3 , 4 __

3 , 5 __

3 , 6 __

3 , 7 __

3 , 8 __

3 , 9 __

3

Detente en 9 _ 3 porque es equivalente a 3.

Paso 1 Escribe todas las distancias como fracciones con un denominador común.

1 __ 3 , 2 __

3 , 3 __

3

Paso 2 Busca un patrón. 1 __

3 , 2 __

3 , 3 __

3

Halla una regla.

Regla: Suma 1 __ 3 .

Por lo tanto, 9 _ 3  es la novena fracción en el patrón. Raúl corre 3 kilómetros por día durante la novena semana de entrenamiento.

Paso 1 Escribe las fracciones con un denominador común.

2 __ 8 , 3 __

8 , 4 __

8 , 5 __

8

Paso 2 Halla la regla. Regla: Suma 1 __

8 .

Continúa el patrón.

2 __ 8 , 3 __

8 , 4 __

8 , 5 __

8 , 6 __

8 , 7 __

8 , 8 __

8

Paso 3 Escribe las tres fracciones simplificadas a su mínima expresión.

6 __ 8 5 3 __

4 7 __

8 5 7 __

8 8 __

8 5 1

Números y operaciones 6. La fracción que falta en la operación

1112

512

- = es:

A 1112

C14

B7

12 D 1

2

8. La fracción que falta en la operación 7

10- = es:

A 310

C2

10

B12

D 1010

5. La fracción equivalente a 23

es:

A 64

C128

B13

D46

1. El resultado de 410

110

- es:

A 12

C3

10

B15

D 410

2. El resultado de 7 + 87

es:

A 817

C 11

14

B 217

D 817

3. Dos veces 115

es:

A 22

10 C 2

25

B 215

D 125

4. El sábado compré una torta para 20 personas y tenía 12 invitados para comerla. Si nos comimos las tres cuartas partes, ¿cuánto sobró?

A 14

C 1

B24

D12

7. Alejandro repartió su torta de cumpleaños

entre sus amigos. Repartió 14

a la hora de

almuerzo y 24

por la tarde. ¿Cuánto repartió de su torta de cumpleaños?

A 38

C34

B14 D 1

2

9. Rafa compró una pizza, repartió 38

el día

que la compró y luego repartió 14.

¿Cuánto le queda de pizza por repartir?

A 12

C58

B38 D 2

8


Patrones y álgebra

1

156

Se realizó una encuesta a un grupo de estudiantes en una feria científica acerca de su mascota preferida, arrojando los resultados que se encuentran en el gráfico adjunto.

Con esta información responde las preguntas 13, 14, 15 y 16.

14. ¿Qué fracción de estudiantes prefiere un pájaro o roedor como mascota?

A 227

C1

24

B6

27 D 3

24

15. De las mascotas que tienen cuatro patas. ¿cuál es el menos preferido por los estudiantes?

A Perro C Roedor

B Gato D Reptil

16. ¿Qué fracción representa el reptil como mascota menos preferida?

A 127

C2

27

B1

24 D 2

24

10. ¿Cuál es el área de la terraza de la figura?

11. Jacinta está cortando un género doble. Si su representación es:

12. ¿Cuál de las letras tiene un eje de simetría?

A N C R

B M D S

13. ¿Qué fracción de estudiantes prefieren un perro como mascota?

A C1

27

B5

24 D 1

23

827

Clase de mascota

¿Qué clase de mascota tienes?

Nú

mer

o de

est

udia

ntes

Perro Gato Pájaro Pez Roedor Reptil Otro

9876543210

Geometría - Medición Datos y probabilidades

A 36 m2 C 48 m2

B 45 m2 D 55 m2

¿Cuál es la figura que resulta luego de cortar?

A C

B D

Capítulo 6 157

Procesadores decomputadora

Intel Pentium 4

Intel Xeon

Intel Core Duo

AMD Anthlon 64

PowerPC G5

Procesador Velocidad (GHz)

3,8

2,8

1,83

2,4

1,9

Valor posicional: comprender los decimalesLa idea importante Los valores posicionales que están a la derecha de la coma decimal en el

sistema de base diez nombran los números menores que uno.

InvestigaQuieres comprar un computador nuevo. La siguiente tabla muestra la velocidad de los diferentes procesadores disponibles a la venta. Elige dos procesadores diferentes y compara su velocidad. ¿Qué procesador proporciona la velocidad mayor?

7

La carrera computacional en Chile comenzó en 1961, con el primer computador digital, modelo correspondiente al IBM 1401, que fue adquirido por la Aduana de Valparaíso, este computador poseía solo 4 kb de memoria.

158

DATOBREVE


decimalcentésimadécimamilésima

PREPARACIÓNcentésima Una de cien partes iguales.

milésima Una de mil partes iguales.


u Comparar y ordenar números naturalesCompara. Escribe ,, . o = en cada .

1. 572 800 2. 635 599 3. 706 760 4. 3 926 3 906

5. 3 404 3 440 6. 52 008 52 100 7. 90 523 90 098 8. 146 025 146 025

Escribe los números en orden, de menor a mayor.

9. 4 032; 4 203; 3 402; 4 320 10. 25 046; 25 406; 50 256; 45 620

11. 73 801; 38 710; 187 039 12. 182 950; 208 109; 102 985

u Representaciones decimalesEscribe en forma de decimal.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

Escribe los números de otras dos maneras.

19. cuatro y siete décimas 20. 10 1 0,3

21. 200 1 5 1 0,9 22. 5,2

Capítulo 7 159

Aprende

Paso Paso Paso

1Repaso rápidoRelacionar fracciones y decimales

OBJETIVO: relacionar fracciones y decimales que representen décimas, centésimas y milésimas.

En un día normal, 1 __ 10 de los oyentes de radio sintonizan una estación de rock

y 15 ___ 100 sintonizan una estación de noticias.

¿Cuáles son los decimales equivalentes para cada fracción de radioyentes?

Puedes escribir una fracción como un decimal.

1 ___ 10

5 0,1 15 ____ 100

5 0,15

Por lo tanto, 0,1 de la audiencia de radio está escuchando una estación de rock y 0,15 está escuchando una estación de noticias.

En una competencia, Patricio recibió un puntaje de ocho con setenta y cinco centésimos. Escribe el puntaje de Patricio en forma de fracción y en forma de decimal.

Actividad

Puedes usar una representación para encontrar el decimal equivalente a 1 _ 5 .

Traza un gráfico para ilustrar 1 _ 5 .

Divide el gráfico para mostrar diez partes iguales. Escribe una fracción equivalente a 1 _ 5 .

1 __ 5 5 2 ___

10

Escribe la fraccion como decimal

Por lo tanto, 1 __ 5 5 2 ___

10 5 0,2.

EjemplosEn un día normal, 1 _ 4 de la totalidad de radioyentes escucha la radio en el trabajo. ¿Cuál es la fraccion como decimal de 1 _ 4 ?

Por lo tanto, 0,25 de los oyentes de radio escucha la radio en el trabajo.

Usa una cuadrícula de centésimas. Sombrea 1 _ 4 del modelo. Cuenta los cuadrados sombreados.

1 __ 4 5 0,25

RecuerdaPuedes escribir un número como cuatro décimos en palabras para ayudarte a escribir un decimal o una fracción como 0,4 o 4 __ 10 .

LECC

IÓN

Escribe una fracción equivalente con un denominador de 100.

1 · 25 ______ 4 · 25

5 25 ____ 100

5 0,25

160


Escribe un decimal y una fracción para cada cuadrícula.

1. 2. 3.

Escribe cada fracción como decimal. Escribe cada decimal como una fracción simplificada en su mínima expresión.

4. 0,7 5. 3 __ 5 6. 0,54 7. 24 ____

100 8. 35 ____

100 9. 0,22

10. Explica cómo cambiar un decimal a una fracción y una fracción a un decimal.

Escribe cada fracción como decimal.

11. 1 __ 2 12. 3 ___

10 13. 4 __

5 14. 10 ___

25 15. 21 ____

100 16. 33 ____

100

17. 24 ___ 25

18. 26 ___ 50

19. 3 ___ 15

20. 2 __ 8 21. 58 ____

100 22. 18 ____

100

Escribe cada decimal como una fracción simplificada en su mínima expresión.

23. 0,8 24. 0,4 25. 0,50 26. 0,83 27. 0,78 28. 0,25

29. 0,42 30. 0,47 31. 0,1 32. 0,36 33. 0,95 34. 0,15

Usa el diseño para 35—36.

35. Escribe un decimal que represente la parte sombreada del diseño.

36. Explica cómo puedes cambiar el diseño para que muestre las décimas.

37. La longitud de un lado de un cuadrado es de 4 centímetros. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

38. Del total de radioyentes, 40 ___ 100 escuchan la radio en casa. Escribe la fracción en su mínima expresión.

39. ¿Qué número mixto es igual a 14 __ 3 ?

40. ¿Qué fracción es equivalente a 0,33?

A 3 ___ 10

C 33 _____ 1 000

B 33 ____ 100

D 1 ___ 33




Aprende

Repaso rápido

Paso

Paso

Paso

Usar una recta numéricaOBJETIVO: identificar, representar y ordenar decimales, fracciones propias e impropias y números mixtos en una recta numérica.

PROBLEMA El quinto básico del colegio está vendiendo entradas para su primer día de competencias atléticas. Mariana vendió 3 _ 5 de sus entradas. Camila vendió 7 __ 10 de sus entradas. Valentina vendió 0,35 de sus entradas. Si las tres comenzaron con el mismo número de entradas, ¿quién vendió la mayor cantidad de entradas?


1. 2 __ 5 2. 3 __

4 3. 5 ___

10

4. 25 ____ 100

5. 4 ___ 10

Vocabulariofracciones de referencia

Ejemplo 1

Traza una recta numérica. Rotula fracciones de referencia.

Las fracciones de referencia son fracciones familiares que se usan como referencia. A menudo las fracciones 1 _ 4 , 1 _ 2 y 3 _ 4 se usan como referencia en las rectas numéricas.

Ejemplo 2 Ubica 1,35; 1 3 _ 4 ; 19 _ 8 y 15 _ 8 en la recta numérica. Luego ordena los números de mayor a menor.

Ubica y representa gráficamente un punto para cada número.

Entonces, los números ordenados de mayor a menor son 1,98; 1 3 _ 4 ; 1 5 _ 8 ; 1,35.

Usa tus fracciones de referencia como ayuda para ubicar un punto para cada número.

Ya que quieres saber quién vendió la mayor cantidad de entradas, identifica el punto que está más lejos a la derecha. Entonces, Camila vendió la mayor cantidad de entradas.

0,35 está entre 0,25 y 0,5.

3 __ 5 está entre 1 __

2 y 3 __

4 .

7 ___ 10

es un poco menos que 3 __ 4 y 0,75.

0,25

0,35

1,0 1,25

9 158 8

1,50 1,75 2,0

0,750,5

1,35 1,98

2LECC

IÓN

162


Identifica un decimal y una fracción, para cada punto.

1. Punto C 2. Punto A 3. Punto E 4. Punto B 5. Punto D

Para 6–11, ubica cada fracción, número mixto o decimal en una recta numérica. Luego escribe los números ordenados de menor a mayor.

6. 1,2 7. 5 __ 4 8. 14 ___

8 9. 1 3 __

8 10. 1,35 11. 1 7 __

8

12. Explica cómo usarías una recta numérica para representar 0,35 y 5 __ 12 .

25. Cristián tiene $ 20 000. Le gustaría comprar tres camisetas que cuestan $ 7 000 cada una. ¿Tiene dinero suficiente? Explica.

26. Un campo de fútbol tiene 110 metros de largo y 49 metros de ancho. ¿Cuál es el área del campo de fútbol?

27. Escribe 2 2 _ 5 en forma de fracción impropia.

28. ¿Qué fracción es menor que 0,55?

A 4 __ 5 B 9 ___

20 C 8 __

9 D 24 ___

30

Ubica cada número mixto o decimal en una recta numérica. Luego escribe los números ordenados de menor a mayor.

13. 1,4 14. 1 5 __ 8 15. 1,55 16. 9 __

8 17. 18 ___

10 18. 1 1 __

4

Usa una recta numérica para ordenar cada grupo de números de mayor a menor.

19. 1 3 __ 4 ; 1,50; 11 ___

8 20. 5 __

4; 1,75; 1 2 __

5 21. 1,55; 1 ___

10 ; 1 8 __

5 22. 0,65; 4 __

5 ; 9 ___ 20

23. Florencia corrió 0,84 kilómetros. Constanza corrió 3 _ 4 de kilómetro. Tatiana corrió 5 _ 8 de kilómetro. ¿Quién corrió más?

24. ¿Cuál es el error? Mauricio y Tomás empezaron con el mismo número de entradas. Mauricio vendió 7 _ 10 de sus entradas para el día de la fiesta del curso y Tomás vendió 3 _ 4 de sus entradas. Mauricio dice que ambos vendieron el mismo número de entradas. ¿Tiene razón? Explica.

0,25 0,750,5




Materiales ■ cuadrado decimal ■ lápices de colores ■ escuadra

Puedes usar papel milimetrado para comprender los decimales hasta las milésimas.

Traza con tu lápiz gráfito, un cuadrado de 10 · 10 cm. El cuadrado decimal representa un entero.

Divide el cuadrado en 10 rectángulos iguales. Con un color, sombrea uno de los rectángulos. ¿Qué parte del entero representa el rectángulo sombreado?

Divide cada rectángulo en 10 cuadrados iguales. ¿Cuántas partes tendrá la representación? Usa un segundo color para sombrear uno de los cuadrados. ¿Qué parte del entero representa el cuadrado sombreado?

Divide uno de los cuadrados en 10 rectángulos iguales. Si cada cuadrado se divide en 10 rectángulos iguales, ¿cuántas partes tendrá la representación? Usa un tercer color para sombrear uno de los rectángulos. ¿Qué parte del entero representa el rectángulo sombreado?

Sacar conclusiones 1. ¿Qué parte de tu cuadrícula muestra una décima,

y cuál muestra una centésima? Explica en qué se diferencian.

2. ¿Qué parte de tu representación cuadriculada equivale a una milésima? Explica cómo lo sabes.

3. Compara tu cuadrícula con los de otros compañeros. ¿Qué conclusión sacas? Explica tu respuesta.

4. Análisis ¿Cómo puedes usar un cuadrado decimal para mostrar 0,251? Explica.

Escribe cada número en palabras.

1. 0,3 2. 1,9 3. 0,72 4. 2,285. 4,06

Vocabulariomilésimas

Representar milésimasOBJETIVO: usar cuadrículas para comprender, leer y escribir decimales hasta las milésimas.3

164

Unidades Décimas Centésimas Milésimas

2

2 • 1

2

2

2 • 0,1

0,2

2

2 • 0,01

0,02

2

2 • 0,001

0,002

El número que se muestra en la tabla de valor posicional es 2,222.

Puedes escribir un decimal en forma habitual, en forma estándar y en

palabras.

Forma habitual: 3,756

Forma estándar: 3 1 0,7 1 0,05 1 0,006

En palabras: tres y setecientos cincuenta y seis milésimos

Escribe el decimal que corresponde a la parte sombreada.

1. 2.


3. 0,537 4. 0,059 5. 1,407 6. 2,006 7. 1,014

8. 1,725 9. 0,089 10. 3,506 11. 0,246 12. 2,159

Escribe cada número de otras dos formas.

13. dos con tres milésimas 14. 0,093 15. 3 1 0,4 1 0,07 1 0,001

16. 6,553 17. 5 1 0,08 1 0,009 18. ochenta y seis milésimas

19. Explica cómo usar una tabla de valor posicional para mostrar el valor de cada uno de los dígitos de un decimal hasta las milésimas.

Explica cómo puedes usar patrones cuando se usa el valor posicional para comprender decimales.

También puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de cada uno de los dígitos de un decimal.

El valor de cada lugar de un decimal equivale a diez veces el valor del lugar que está a su derecha.

valor

Capítulo 7 165

Paso Paso Paso Paso

Paso Paso Paso

Recuerda

Comparar y ordenar decimalesOBJETIVO: usar la recta numérica y el valor posicional para comparar y ordenar decimales.

PROBLEMA Un entomólogo, científico que estudia los insectos, compara la longitud de dos chinitas que miden 0,528 y 0,534 centímetros de largo. ¿Cuál chinita tiene la mayor longitud?

Escribe equivalentes o no equivalentes para describir cada par.

1. 0,06 y 0,602. 3,5 y 3,503. 4,09 y 4,0904. 5,201 y 5,0215. 0,78 y 0,780

Dado que 0,534 está a la derecha de 0,528, 0,534 . 0,528.


Usa el valor posicional. Compara 3,25 y 3,254.

En una recta numérica, el número mayor está a la derecha.

Por lo tanto, la chinita que mide 0,534 centímetros tiene la mayor longitud.

Alinea los puntos decimales. Comienza por la izquierda. Compara las unidades.

3,253,254 iguales

Compara las décimas.

3,253,254 iguales

Compara las centésimas.

3,253,254 iguales

Para comparar las milésimas, escribe un número diferente en la posición de las milésimas 3,25. Luego, compara.

3,2503,254 0 , 4

Por lo tanto, 3,25 , 3,254, o 3,254 . 3,25.

Ejemplo Usa el valor posicional. Ordena 4,137, 4 y 4,19 de menor a mayor.

Alinea los puntos decimales. 4,1374,0004,190

Comienza por la izquierda. Compara los dígitos hasta que sean diferentes.

4,1374,000 0 , 1

4,190 4,000 es menor.

Continúa comparando.

4,137 3 , 9

4,190 4,190 es mayor.

Por lo tanto, el orden es 4; 4,137 y 4,19.

4LECC

IÓN

0,5280

0,52 0,53 0,54

0,534

Aprende

166



A

B

C

D

Escarabajo

Longitud de los escarabajos joya

Longitud (en centímetros)

0,730

1,215

0,608

5,000


18. ¿Cuál escarabajo es el más largo? ¿Cuál escarabajo es el más corto?

19. Razonamiento Imagina que se midió otro escarabajo con una longitud de 0,84 centímetros. ¿En qué lugar de la tabla se ubicaría la longitud de este escarabajo?

20. Ordena de menor a mayor las longitudes de los escarabajos de la tabla. Explica cómo ordenaste las longitudes.

1. Copia la recta numérica en papel cuadriculado. Ubica 0,72 y 0,7 en la recta numérica. Luego, compara los decimales.

Compara. Escribe ,, . o 5 en cada .

2. 5,43 5,432 3. 0,28 0,208 4. 9,39 9,9

5. Explica cómo usar el valor posicional para ordenar 1,567; 1,571 y 1,556 de mayor a menor.


6. 0,972 0,98 7. 4 0,79 8. 3,602 3,082

9. 10,3 1,898 10. 6,7 6,701 11. 0,749 0,769


12. 0,123; 0,32; 0,113; 0,2 13. 6,0; 6,498; 6,52; 6,490 14. 5,6; 9; 6,8; 8,005

Halla todos los dígitos que pueden reemplazar cada .

15. 9,77 , 9,770 16. 0,28 . 0,284 17. 2,356 . 2,83

21. ¿Qué clase de líneas forman ángulos rectos cuando se intersectan?

22. Escribe si 1,3 y 1,30 son equivalentes o no son equivalentes.

23. 5 · 1 000 5

24. Tomás recibió los siguientes puntajes en una competencia de buceo. Se debe eliminar el puntaje más bajo. ¿Cuál puntaje será eliminado?

A 8,400 C 9,075

B 8,175 D 8,250

0,7 0,80,75



Capítulo 7 167

Aprende la estrategiaHacer un dibujo o un diagrama te puede ayudar a entender un problema y a visualizar la solución. Puedes usar diferentes tipos de diagramas para diferentes tipos de problemas.

Estrategia: hacer una representación pictóricaOBJETIVO: resolver problemas por medio de una representación pictórica.

Una representaxión pictórica puede mostrar orden o posición. Hernán mide 1,63 metros de estatura, Brenda mide 1,59 metros y Raúl mide 1,71 metros.

Una representación pictórica puede mostrar tamaño.La masa de una bolsa de manzanas pesa aproximadamente 1,5 kg más que tres veces la masa de una bolsa de naranjas. La masa total de las bolsas es de 3,5 kg.

Una representación pictórica puede mostrar un patrón. Erica está haciendo un collar con perlas moradas y rosadas. Cada cuarta perla es rosada.

Para hacer una representación, sigue atentamente la información dada en el problema. Haz que la representación sea sencilla. Rotula las partes para mostrar lo que representan.

¿Cuáles son algunas de las preguntas que se pueden responder usando cada una de las representaciones pictóricas anteriores?

5LECC

IÓN

168

Destreza de lectura

Usa la estrategiaPROBLEMA Los miembros de la familia de Josefina mantuvieron un registro del número de kilómetros que viajaron cada día durante las vacaciones. El lunes, la familia recorrió 87,3 kilómetros; el martes, 88,75 kilómetros; el miércoles, 87,6 kilómetros, y el jueves, 88,4 kilómetros. ¿Qué día recorrió la familia de Josefina la mayor distancia?

• ¿Cómopuedesresumirloquetepidenhallar?



Para resolver el problema, puedes hacer una representación pictórica.

• ¿Dequéotrasmaneraspodríasresolverelproblema?

•¿Cómosabesquelarespuestaescorrecta?


Traza una recta numérica para comparar las distancias.

Traza una recta numérica desde 87,0 hasta 89,0.

Ubica cada número en la recta numérica.

Una recta numérica muestra los números de menor a mayor.

En una recta numérica, el número mayor está a la derecha.

Por lo tanto, la familia de Josefina recorrió la mayor distancia el día martes.

88.0 89.087.0

royamronem

88.4 88.7587.3 87.6

Capítulo 7 169

Chile

EE.UU.

Francia

Japón

Alemania

Nacionalidad

11 260

4 275

3 252

2 785

1 712

Número de turistas(miles de personas)

Turistas por nacionalidaden Isla de Pascua

1. Cada día, la familia de Josefina se detenía al mediodía para almorzar. El lunes antes del almuerzo, la familia recorrió 45,91 kilómetros; el martes, 44,83 kilómetros; el miércoles, 45,48 kilómetros, y el jueves, 44,38 kilómetros. ¿Qué mañana recorrió la familia la menor distancia antes de almorzar?

Primero, traza una recta numérica.

Luego, ubica cada número en la recta numérica.

Finalmente, usa la recta numérica para ordenar las distancias de menor a mayor.

2. ¿Quépasaríasi el lunes, antes de almorzar, la familia de Josefina hubiera recorrido 44,95 kilómetros? ¿Qué mañana habría recorrido la familia la mayor distancia antes de almorzar?

3. Josefina, su hermano Samuel; su madre Natalia; y su padre, Alberto, son las cuatro primeras personas en la fila para almorzar. Samuel no es el primero de la fila. Hay por lo menos dos personas delante de Josefina en la fila. Alberto es el tercero. Da el orden del primero al último.

Hazunarepresentaciónpictóricapararesolver.

4. Félix está manejando su auto desde Arica hasta Puerto Montt. El lunes, recorrió 795,6 kilómetros; el martes, 822,2 kilómetros; el jueves, 799,7 kilómetros, y el viernes, 782,5 kilómetros. ¿Qué día manejó Félix la mayor distancia?


5. En Isla de Pascua, anualmente, reciben un total aproximado de 39,4 miles de visitantes. El número de visitantes de origen alemán es aproximadamente 0,2 miles más que el doble de visitantes de origen australiano. ¿Aproximadamente cuántas personas australianas visitan Isla de Pascua, cada año?

6. ¿Cuál es la nacionalidad de la mayor parte de los turistas que visitan Isla de Pascua? ¿De qué país llegan menos turistas a Isla de Pascua?

7. Describe cómo el uso de una representación pictórica te puede ayudar a ordenar el número de visitantes de Isla de Pascua, de menor a mayor.

; ; ; 45,91



170

ESTRATEGIAESTRATEGIAELIGE UNAPráctica de estrategias mixtas

USA DATOS Para 8–11, usa el mapa y el horario de autobuses.

8. El horario de buses Santiago a Peñaflor se muestra en la tabla. ¿Cuál ruta toma la menor cantidad de tiempo?

9. Cuatro autobuses se dirigen de Santiago a Peñaflor. El autobús A va por la Autopista del Sol, que toma la menor cantidad de tiempo. El autobús B va por la ruta Padre Hurtado, que llega a Santiago a las 6:15 p.m. El autobús C va por la ruta Camino Melipilla, que toma 1,5 horas. El autobús D va por una ruta que toma 2,5 horas. Indica la ruta y el tiempo que toma cada autobús para llegar a Santiago.

10. El señor Riquelme vive en Peñaflor, y trabaja en Santiago. Va en autobús desde su casa hasta la oficina y luego de regreso a su casa 5 veces por semana. ¿Aproximadamente, cuántas horas viaja el señor Riquelme de ida y vuelta del trabajo cada semana? (Escoge la ruta Padre Hurtado).

11. Formula un problema Vuelve al Problema 10. Escribe un problema similar cambiando el número de veces que el señor Riquelme viaja a su trabajo.

12. ¿Cuál es la ruta que tomará la menor cantidad de tiempo? ¿Cuántas horas?

13. ¿Cuántas horas más demoraría el señor Riquelme si toma la ruta San Bernardo en vez de la Autopista del Sol?


Hacer un esquema o una dramatización


Buscar un patrón


Predecir y probar




Sacar conclusiones

Autopista del Sol

Camino Melipilla

San Bernardo

Padre Hurtado

Ruta

7:30 a.m.

9:00 a.m.

3:00 p.m.

4:15 p.m.

Salida

8:30 a.m.

10:30 p.m.

5:30 p.m.

6:15 p.m.

Llegada

Horario de autobuses deSantiago a Peña�or

San Bernardo

Padre Hurtado

Maipu

Autopista del Sol

Camino M

elipilla A

utop

ista

Cen

tral

El Bosque

SantiagoN

Capítulo 7 171

Paso Paso Paso

PROBLEMA En su primera carrera de luge en las Olimpiadas de invierno de 2006, Armin Zoeggeler completó el primer intervalo en 23,835 segundos. Luego, alcanzó el tercer intervalo 20,336 segundos después. ¿Cuál fue el tiempo total cuando llegó al tercer intervalo?

Puedes sumar y restar decimales de la misma manera en que sumas y restas números naturales si primero alineas las comas decimales.

Escribe una fracción equivalente para cada número.

1. 0,342. 1,83. 8,094. 0,01 5. 19,4

Ejemplo 1 Suma. 23,835 1 20,366

Alinea las comas decimales para alinear el lugar de los valores posicionales. Suma las milésimas.

23,8 3

1 5

120,336

__

1

Añade las centésimas.Suma las décimas. Reagrupa según sea necesario.

2 3

1 ,8

3

1 5

120,336

__

171

Suma las unidades y las decenas. Coloca la coma decimal en el total.

2 3

1 ,8

3

1 5

120,336

__

44,171

Por lo tanto, el tiempo de Zoeggeler al alcanzar el tercer intervalo fue de 44,171 segundos.

Más ejemplos

p Un trineo de luge puede alcanzar una velocidad de 138,4 kilómetros por hora.

Sumar y restar decimales OBJETIVO: hallar las sumas y las diferencias de números decimales.

12,48 1 3,93

1 2

1 , 4

1 8

1 3 , 9 3

__

16, 41

↓

↓

Alinea las comas

decimales.

Coloca la coma

decimal en el total.

2,5 1 4,72 1 8,091

2 1 , 5 1 00

4,720 1 8,091

__

15,311

Coloca ceros para

mostrar decimales

equivalentes.

6LECC

IÓN

Aprende

172

Paso PasoPaso

RestaEl tiempo total de Zoeggeler en su primera carrera fue de 51,718 segundos. ¿Cuántos segundos tardó Zoeggeler en deslizarse desde el tercer intervalo hasta la línea de llegada?

1. Copia cada uno de los pasos a la derecha. Luego di qué sucede en cada paso.

Alinea las comas decimales para alinear el lugar de los valores posicionales. Resta las milésimas.

51,718 244,171

__

7

Resta las centésimas. Resta las décimas. Reagrupa si es necesario.

51, 7

6 1

11

8

24 4, 1 7 1

__

5 4 7

Resta las unidades y las decenas. Coloca la coma decimal en la diferencia.

5

4 1

11 , 7

6 1

11 8

24 4, 1 7 1

__

7, 5 4 7

Ejemplo 2 Resta. 51,718 2 44,171

Coloca la coma

decimal.

Por lo tanto, Zoeggeler tardó 7,547 segundos en deslizarse desde el tercer intervalo hasta la línea de llegada.

Más ejemplos

0,327 1 0,950

__

7

0,327 1 0,950

__

77

0 1 ,327

1 0,950

__

1,277

8 2 5,63

8 7 , 0 10

9 0 10

25 , 6 3

__

2 , 3 7

0,78 2 0,471

0,7 8 7 0 10

20 , 4 7 1

__

0 , 3 0 9

1,5 2 0,259

1 , 5 4 0 10

9 0 10

2 0 , 2 5 9

__

1 , 2 4 1

Coloca 2 ceros.

2,5 6,88

1 0,19

__

Halla la suma o la diferencia.

2. 7 1 0,8

_

3. 16,3 2 4,05

__

4. 21,87 1 16,34

__

5. 13,04 2 0,95

__

6.

7, Explica cómo hallar 6,4 + 3,29 + 2,107.




Librería

1 cuaderno $ 3 550

12 lápices $ 1 590

1 bolígrafo $ 890

Venta de zapatillas

0 20 40 60 80

abrilmayojuniojulio

Cantidad de zapatillas


8. 0,991 2 0,45

__

9. 14,467 1 12,312

__

10. 16 2 10,1

__

11. 32,98 1 $ 18,25

__

12. 5,86 2 2,391

__

13. 1,18 1 2,039

__

14. 3,704 2 1,325

__

15. 16. 23,002 2 1,74

__

17. 0,75 0,359

11,4

__

Escribeunareglaparaelpatrón.Usatureglaparaencontrarlos númerosquefaltanenelpatrón.

18. 2,1; 3,3; 4,5; 5,7; ; 8,1;

20. 4,10; 4,05; 4,00; 3,95; ; 3,85;

Resuelve.

22. Kristel Köbrich terminó en quinto lugar en los 800 metros libres en las Olimpiadas de Londres 2012. Köbrich tardó 0,12 segundos más que Friis Lotte, quien tardó 8:21,89. ¿Cuál fue el tiempo de Köbrich en la carrera?

24. Cuando sumas 0,3 y 0,15, ¿por qué le sumas 0,3 a 0,1?

19. 3,5; 4,6; 4,4; 5,5; 5,3; ; 6,2; 7,3;

21. 0,75; 1,00; 1,25; 1,50; 1,75; 2,00; ;

23. ¿Cuál es la pregunta? Un ciclista ha recorrido 145,8 km en una etapa, 136,65 km en otra etapa y 162,62 km en una tercera etapa. La respuesta es 445,07.

9,94 0,318

1 1,283

__

25. ¿Qué número multiplicado por 90 es igual a 45 000?

26. De acuerdo al gráfico, ¿en qué meses hubo la mayor venta de zapatillas?

27. Marcos compra un cuaderno y un bolígrafo en la librería. Si paga con un billete de $ 5 000, ¿cuánto vuelto debe recibir?

A $ 560 C $ 1 550

B $ 1 450 D $ 4 440


+

174


8. 0,991 2 0,45

__

9. 14,467 1 12,312

__

10. 16 2 10,1

__

11. 32,98 1 $ 18,25

__

12. 5,86 2 2,391

__

13. 1,18 1 2,039

__

14. 3,704 2 1,325

__

15. 16. 23,002 2 1,74

__

17. 9,94 0,318

1 1,283

__

Carrera de 1 000 metros depatinaje de velocidad

Patinador

P. Causil

E. Capellano

J. Reyes

85,941

85,973

86,239

Tiempo(en segundos)

El patinaje de velocidad es una prueba popular en los Juegos Sudamericanos. Los deportistas corren en patines alrededor de una pista. En los Juegos Panamericanos de Guadalajara 2011 hubo tres patinadores en la carrera de los 1 000 metros: P. Causil, E. Capellano y J. Reyes. Sus tiempos fueron 85,841, 85,973 y 86,239 segundos, respectivamente. ¿Cuánto más rápido fue el tiempo del primer puesto con relación al tiempo del tercero?

A veces, un problema tiene más información de la que necesitas. Para resolverlo correctamente, debes identificar los detalles necesarios para responder la pregunta. Comienza por releer la pregunta del problema. Luego pregúntate a ti mismo qué detalles necesitas para resolverlo. Por ejemplo:

• ¿Qué columna contiene los tiempos de los patinadores? • ¿Cuál es el tiempo del primer puesto, es decir, el menor de

Resolución de problemas Identifica los detalles que necesitas para resolver el problema.

Patinaje de velocidad

Destreza de lectura

Identificar los detalles


2. Solo los patinadores que tengan los dos primeros tiempos en cada eliminatoria pasarán a la carrera siguiente. ¿Cuáles dos patinadores pasarán a la carrera siguiente? Explica cómo lo sabes.

los tiempos?• ¿Cuál es el tiempo del tercer puesto, es decir, el mayor de los tiempos?

Capítulo 7 175

Piensa y comentaDisinecesitashacerunaestimaciónodarunarespuestaexacta. Explicatuelección.Resuelveelproblema.

a. Una hamburguesa pesa 0,15 kilogramos. Julián tiene 0,300 kilogramos de carne molida. ¿Tiene Julian carne suficiente para preparar una hamburguesa para él y una para cada uno de sus 2 amigos?

b. El tiempo de Viviana en una carrera de natación es de 53,12 segundos. El tiempo de Alex en la misma carrera es de 50,59 segundos. ¿Cuánto más rápido es el tiempo de Alex que el de Viviana?

Destreza: estimar o hallar una respuesta exactaOBJETIVO: resolver problemas usando la destreza estimar o hallar una respuesta exacta.

Usa la destrezaPROBLEMA Luis debe confeccionar ropa deportiva para un club de atletismo. Para esto estima comprar 25 kilogramos de algodón. Compra 7,35 kilogramos de tela para pantalones largos, 8,29 kilogramos para polerones, 3,50 kilogramos para pantalones cortos. ¿La estimación inicial de Luis fue acertada? ¿Faltaría tela para la confección de todas las prendas deportivas?

Estima. Redondea cada artículo hacia arriba al kilogramo entero más cercano. Luego suma.

Ya que 21 , 25, Luis tiene suficiente género para confeccionar todos los artículos.

Si Luis compra 25 kilogramos de género. ¿Cuánto le sobrará?

Para hallar la cantidad de género que sobra, necesitas una respuesta exacta.

La cantidad exacta de género necesaria es 19,75, por tanto, sobran 5,26 kilogramos de tela.

7,95 8,29 1 3,50

__

8,00 9,00 1 4,00

__

21,00

7,95 8,29 1 3,50

__

19,74

25,00 2 19,74

__

5,26

7LECC

IÓN

→→→

176

Aplicaciones mixtas

Disinecesitasunaestimaciónounarespuestaexacta.Luego,resuelveel problema.

1. En una competencia de lanzamiento de bala, se suman las distancias de los tres lanzamientos de una persona para determinar su puntaje final. Se necesita un puntaje de 50 o más para llegar a la ronda final. Los lanzamientos de Claudio fueron de 16,35 metros, 18,44 metros y 17,97 metros. ¿Llegará Claudio a la ronda final?

Primero, decide si necesitas una estimación o una respuesta exacta.Necesitas determinar si el puntaje de Claudio es mayor o menor que 50. Por lo tanto, halla una estimación. Luego compáralo con 50.

Resuelve.

4. María pesa 48,35 kilogramos, Julia pesa 0,5 kilogramos más que Javiera y Javiera pesa 2,131 kilogramos menos que María. ¿Cuánto pesan Javiera y Julia?

6. La mochila de José pesa 6,5 kilogramos. La mochila de Raúl pesa 2,4 kilogramos más que la mochila de José. La mochila de René pesa 1,7 kilogramos menos que la mochila de José. ¿Cuál es el peso total de las tres mochilas, aproximadamente?

5. El paso de un perro tiene aproximadamente una longitud de 0,35 metros. ¿Cuántos pasos deberá dar para recorrer una distancia de 2,8 metros?

7. Julio compra molduras de madera para colocar alrededor de su habitación. Las molduras vienen en piezas que miden 12, 14 o 16 metros de longitud. Explica cómo hallar la cantidad de metros de molduras que Julio debe comprar, si el tamaño de la habitación es de 10 metros por 14 metros.

2. ¿Qué pasaría si el segundo lanzamiento de Claudio hubiera sido de 16,44 metros en vez de 18,44 metros? ¿Sería bueno hallar una estimación para determinar si Claudio debe avanzar a la ronda final? Explica tu respuesta.

3. Los primeros dos lanzamientos de Julia fueron de 16,64 metros y de 15,33 metros. ¿Qué distancia necesita alcanzar su último lanzamiento para poder avanzar a la ronda final?

16,35 1 18,44 1 17,97

16 1 18 1 5


Capítulo 7 177

Grupo A Escribe el valor del dígito subrayado.

1. 0,45 2. 5,09 3. 2,83 4. 14,90

5. 6,06 6. 0,71 7. 12,56 8. 23,94

Escribecadanúmeroenformadecimalyenformadefracción.

9. 0,33 10. 0,72 11. 1,98 12. 9,26

13. 2 1 0,9 1 0,01 14. 20 1 3 1 0,06 15. 7 1 0,5 1 0,04 16. 8 1 0,9 1 0,01

Grupo B Escribe un decimal equivalente para cada número.

1. 0,02 2. 3,580 3. 0,9 4. 6,600 5. 5,07

6. 0,100 7. 4,600 8. 3,09 9. 14,70 10. 0,4

Grupo C Compara. Escribe ,, . o 5 en cada .

1. 0,163 0,16 2. 0,83 5 3. 4,049 4,712

4. 5,068 5,608 5. 3,801 3,8 6. 20,4 2,089


7. 1,78; 1,36; 1,696; 1,8 8. 0,62; 0,584; 0,221; 0,3 9. 8,3; 6,9; 10; 9,001

10. 1,34; 1,09; 1,4; 1,343 11. 0,287; 0,276; 0,285; 0,274 12. 7,3; 7,003; 7,303; 7,323

17. cuarenta y cuatro centésimas 18. tres y siete centésimas

Práctica adicional

9. Ángela gasta un total de 36,29 calorías en 20 minutos. Desea quemar 50 calorías antes de descansar. ¿Cuánto le falta por gastar antes de descansar?

Grupo D Estima. Luego halla la suma o la diferencia.

1. 2. 3. 4. 5.

6. 0,539 2 0,268 7. 41,63 1 9,801 8. 60,75 2 10,09

0,27 11,43

15,86 29,72

23,98 12,45

0,092 20,437

32,09 115,78

178

Jugadores2–4 jugadores

Materiales• 4conjuntosdetarjetasdesímbolos(,, ., 5)• Cubonumerado1,1,1,2,2,3• Fichasdeljuego

Los jugadores mezclan las tarjetas de símbolos y las colocan boca abajo en una pila.

Cada jugador elige una ficha diferente y la coloca en la SALIDA.

Los jugadores se turnan para lanzar el cubo numerado y avanzan la cantidad correspondiente de espacios en el tablero.

En su turno, cada jugador saca una de las tarjetas de símbolos. Según la tarjeta, debe pensar en un decimal, mayor, menor o igual al decimal en el que cayó la ficha.

Si el jugador da una respuesta incorrecta, pierde su turno.

Gana el jugador que llegue primero a LLEGADA.

1,0830,05

5,21 1,207 4,6

salida

10avanza hasta 0,012

3,97

0,003pierde 1 turno8,16,9930,0122,2014,0865,9

turno libre

1,902 0,8 3,359regresa

a 8,119,4 0,101 10,12 6,67

llegada¡Compara!

Capítulo 7 179

29. Tamara quiere caminar 3,75 kilómetros y luego 1,85 kilómetros. ¿Alcanzaría a caminar 5,3 kilómetros?

30. Rita obtuvo 6,38 puntos y 5,29 puntos en un concurso de cuentos. Necesita un total de 15 puntos para avanzar a la próxima ronda. ¿Cuántos puntos más necesita?

Comprueba la resolución de problemas

31. Explica por qué escribir un decimal equivalente te ayuda a hallar la diferencia de 4 2 1,83. ¿Cuál es la diferencia?

Comprueba los conceptos 1. Explica cómo se redondea a la unidad más cercana para estimar 3,72 - 1,58

2. Explica cómo usar el cálculo mental para hallar 4,25 1 2,5 1 1,25.

Comprueba tus destrezas Halla la suma o la diferencia.

3. 0,382 1 0,199

__

4. 6,92 2 3,254

__

5. 9,33 1 4,082

__

6. 25,36 2 7,28

__

Estima. Luego halla la suma o la diferencia.

7. 2,93 1 5,48

__

8. 11,78 2 5,62

__

9. 35,49 1 4,82

__

10. 1,87 2 0,624

__


Escribe el valor del dígito subrayado en cada número.

11. 0,23 12. 0,006 13. 0,109 14. 2,78

Escribe cada número de dos formas diferentes.

15. 1,3 16. 0,4 1 0,07 17. 0,926 18. 2,055

Escribe un decimal equivalente para cada número.

19. 0,5 20. 2,690 21. 0,01 22. 3,400

Escribecadadecimalenformadefracciónodenúmeromixtomostrandodécimasycentésimas.

23. 0,5 24. 2,7 25. 0,80


26. 0,23 0,246 27. 9 0,935 28. 6,778 6,07

180

Puedes hallar mentalmente una suma de decimales usando distintas reglas y el cálculo mental.

EjemploDon Andrés se detiene en el supermercado cuando vuelve del trabajo. Tiene que comprar 15 kilogramos de carne. Quiere comprar6,25 kilogramos de pollo, 5,15 kilogramos de cerdo y 2,75 kilogramos decarne de vacuno. ¿Es suficiente la carne que desea comprar?

Halla el peso total de carne.

Usaelcálculomental.

Piensa: 6,25

Reordena los sumandos para facilitar

el cálculo.

Suma. Usa el cálculo mental.

El peso total de la carne es de 14,15 kilogramos.

Compara 14,15 con 15. Por lo tanto, don Andrés compró la cantidad de carne que tenía planeado.

Otro ejemploUsaparéntesisparaagrupar.

Piensa: 0,4 1 0,6 1 1.

Suma. Usa el cálculo mental.

InténtaloUsaparéntesisoagrupadediferentesmanerasparahallareltotal.

1. 12,50 1 4,29 1 5,50 2. 36,3 1 (12,7 1 12,1) 3. (56,3 1 8,9) 1 121,1

4. 0,91 1 1,15 1 2,09 5. 5,65 1 5,18 1 4,35 6. 5,3 1 (1,25 1 12,7)

7. 5,55 1 4,32 1 5,45 8. (3,25 1 6,2) 1 1,75 9. 10,2 1 10,5 1 9,8 10. Desafío Halla 1,15 1 11,8 1 3,85 1 9,2.

PiénsaloExplica cómo puedes usar el cálculo mental para sumar decimales mentalmente.

6,25 1 5,15 1 2,75

6,25 1 2,75 1 5,15

9 1 5,15 5 14,15

15,4 1 (0,6 1 10,8)

(15,4 1 0,6) 1 10,8

16 1 10,8 5 26,8

Recuerda: Podemos ordenar los

sumandos en una suma

para así facilitar el

cálculo mental.

Podemos usar paréntesis

para agrupar los

sumandos en distinto

orden y la suma siempre

será la misma.

¿Cuál es el total?Enriquecimiento: Los paréntesis y la suma de decimales

Capítulo 7 181

Opción múltiple

1. ¿Cuánto es 38,452 redondeado a la décima más cercana?

A 40

B 38,45

C 38,5

D 38,4

2. Para el almuerzo, Patricio compró un sándwich que pesa 0,325 kilogramos y un jugo de frutas que pesa 0,95 kilogramos. ¿Cuánto peso lleva aproximadamente?

A 1 kilogramos C 4,8 kilogramos

B 4 kilogramos D 5,5 kilogramos

3. Carolina está caminando por un sendero que tiene 3,2 kilómetros de largo. Ya ha caminado 2,7 kilómetros. ¿Cuánto más tiene que caminar Carolina?

A 0,5 kilómetros

B 0,7 kilómetros

C 1,9 kilómetros

D 5,9 kilómetros

4. 17,3 + 4,1 =

A 13,2

B 20,4

C 21,4

D 58,3

5. 43,13 2 0,5

A 48,13

B 43,18

C 42,63

D 38,13

6. Un equipo de montañistas recorrieron un ascenso de 15 kilómetros. El primer día escalaron 2,0 kilómetros, el segundo, 8,5 kilómetros y el tercero, 4,3 kilómetros. ¿Cuánto les queda por recorrer el cuarto día?

A 1 kilómetro

B 0,5 kilómetros

C 0,2 kilómetros

D 2 kilómetros

7. La diferencia entre 173 y 4,8 es:

A 125

B 162,2

C 168,2

D 172,52

8. ¿Cuánto le falta a 0,009 para ser unidad?

A 0,991

B 0,91

C 0,1

D 0,01


182

9. Al sumar 0,48; 6,76 y 3,5, la mejor estimación es:

A 8

B 9

C 10

D 11

10. Un granjero vende una canasta de duraznos de 3,76 kilogramos. Cada durazno pesa 0,47 kilogramos. ¿Aproximadamente cuántos duraznos hay en la canasta?

A 2

B 4

C 6

D 8

11. ¿Qué número hay que sumarle a 0,475 para que la suma sea 0,5?

Respuesta breve

12. Redondea el siguiente decimal a la décima más cercana y a la centésima más cercana.

0,493

13. Sandra tiene 7,75 kilogramos de tomates de aproximadamente 25 gramos cada uno. ¿Cuántos tomates de 25 gramos debería tener Sandra en 7,75 kilogramos?

14. Cada trozo de queso pesa 3,95 kilogramos. ¿Aproximadamente cuánto pesa la rueda completa de queso? Muestra tu trabajo.

12


15. La suma de dos números decimales es 15,5. Uno de ellos es 10,05. ¿Cuál es el otro número decimal?

16. Un chofer de buses maneja por 5 horas. Por hora recorre:

Hora

1

2

3

4

5

Cantidad recorrida (en km)

65,50

71,25

59,88

70,01

67,43

Luis estima que el chofer manejó aproximadamente 350 km en su recorrido. Felipe estima que manejó 250 km en todo el recorrido. ¿Quién tiene la respuesta razonable? Explica tu respuesta.


17. ______ 52,13 – 10 = 52,03

18. ______ = 0,5

19. ______ El número decimal 0,75 es equivalente

a

20. ______ 0,25 < 0,250

310

Capítulo 7 183


Piezas de compositores interpretadas en un mes

¡Escucho una sinfonía!

Música, Música, Música

aFilarmónicadeLosAngelesesunaorquestafamosa en todo el mundo por su encantadora música. Se creó en 1919. La orquesta normalmente interpreta música

clásica de compositores como Johann Sebastian Bach y Johannes Brahms.

LaparticipacióndelacomunidadesimportanteparalaFilarmónicadeLosAngeles.Cada verano realiza un concierto al aire libre para los niños, llamado Sonidos del Verano. También presenta sinfonías para las familias y programas para estudiantes.

L

Usa la tabla para responder las preguntas.

1 ¿Qué fracción de las piezas interpretadas eran composiciones de Mozart?

2 ¿Qué fracción de las piezas interpetadas eran composiciones de Brahms y Strauss?

3 Qué compositores representan 1 _ 6 del total de piezas interpretadas?

4 Escribe una desigualdad en la que se compare la fracción de piezas de Bach y la fracción de piezas de Schubert que fueron interpretadas.

Compositor Número de piezas interpretadas

Bach 3

Brahms 3

Mozart 6

Schubert 2

Strauss 8

Telemann 2

5 Explica cómo hallaste la respuesta para el Problema 4.

De aquí y de allá


184


Triángulo

Platillos

Xilófono

Campanas

Cornos franceses

Clarinetes

Piccolo

PERCUSIÓN

Violines

Fagots

VioloncelosDIRECTOR

Arpa

Tuba

Oboes

TrombonesTrompetas

Contrabajos

ViolasFlautas

Tambor

Bombo

Gong

Timbales

VIENTOS

METALES

CUERDAS

CUERDAS

Muchas vocEs, una orquEsta

¿Cómo se llama un grupo grande de músicos? Los dos términos, orquesta y banda son correctos, pero los dos grupos musicales son diferentes. Las orquestas tienen cuatro secciones: metales, percusión, instrumentos de viento de madera y cuerdas. Las bandas de música no tienen una sección de cuerdas.

1 Diseña tu propio grupo de músicos.

uDecide el número de miembros que estarán en tu grupo.

u Elige un instrumento para cada miembro. Puedes usar el diagrama de arriba como referencia.

u¿Cuántos instrumentos de cada grupo necesitarás?

u ¿Qué fracciones puedes usar para describir cada parte de tu grupo?

2 Describe cómo cambiarán las fracciones si un miembro de tu grupo no puede tocar.

La sección de cuerdas de una orquesta incluye violines, violas,

violoncelos, contrabajos y un arpa. Las cuerdas conforman 63

____

100 de la

orquesta que se ve arriba.

La Orquesta Juvenil de Linares fue creada en el año 2005 por dos profesores de

música. Dos años más tarde se fundó la orquesta Infantil de Linares.

Capítulo 7 185

Geometría - Medición 3

Relación de triángulos equiláteros y su perímetro

4 triángulos 6 triángulos

2 triángulosperímetro = 24 cm

perímetro = ? perímetro = ?

perímetro = 30 cm

6

3 triángulos

� Las piedras preciosas y semipreciosas se encuentran en la Tierra en forma de piedras amorfas y opacas.

� Las caras planas, llamadas facetas, se cortan con precisión para dar formas tridimensionales a las gemas.

� Las gemas de colores se usan en diseños de joyería en los que se incorporan líneas y ángulos simétricamente.

¿Qué conceptos matemáticos ves en Matemática en Contexto? ¿Qué clase de polígonos puedes identificar en las joyas que se muestran?

Copia y completa el cuadro usando lo que sabes de perímetros.

REPASO DEL VOCABULARIO Cuando aprendiste sobre líneas, ángulos y figuras geométricas, aprendiste las siguientes palabras. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

perímetro Medida del contorno de una figura geométrica.

polígono Figura plana cerrada.

área Superficie interior de una figura plana.


Capítulo 8 187

CAPÍTULO

8

Órbitas del transbordador espacialDías de vuelo,

Órbitas,

3

48

x

y

4

64

5

80

6

96

7

112

Figuras congruentes y plano cartesiano

InvestigaImagina que estás a bordo del transbordador espacial y has registrado los datos dados a la derecha. Representa gráficamente los datos en una cuadrícula de coordenadas. Describe la relación entre los días de vuelo y las órbitas, y di cuántas órbitas se completarían en los otros días de vuelo dados.

El observatorio Cerro Paranal está ubicado en el cerro del mismo nombre, en Antofagasta. Está regido por el ESO (Observatorio Europeo Austral). Posee el telescopio más poderoso del planeta y logra captar a un hombre paseando por la Luna. Además de las observaciones astronómicas, también colabora en el seguimiento de cohetes y satélites.

Cerro Paranal

La idea importante El plano cartesiano se puede usar para representar gráficamente y ecuaciones.

DATOBREVE

188


C Usar el plano cartesiano/Hacer gráficos de pares ordenadosUsa los pares ordenados para identificar cada punto de la cuadrícula.

1. (9,9) 2. (8,7) 3. (7,6)

4. (2,3) 5. (6,2) 6. (5,6)

7. (7,3) 8. (0,5) 9. (1,8)

10. (4,4) 11. (3,7) 12. (2,1)

13. (5,9) 14. (10,4) 15. (9,1)

C Patrones numéricosContinúa el patrón. Escribe la regla.

16. 18; 16; 14; _____; 10. La regla es: ______________

17. 20; 22; 24; ____; 28. La regla es: __________________

18. 6; 12; 24; _____; 96. La regla es:____________________

19. ____; 15; 45; 135; 405. La regla es: ____________________

yej

e de

la

x

10987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

A

B

C

D

E

F

G

H

J

K

L

M

N

O

P

eje de la


plano cartesiano eje xfunción eje y tabla de funciones coordenada x par ordenado coordenada y origen traslacióncongruentes simetríarotación

PREPARACIÓN

par ordenado Un par de números que se usan para ubicar un punto en el plano cartesiano.eje x La recta numérica horizontal en un plano cartesiano.eje y La recta numérica vertical en un plano cartesiano.

eje de lax

eje

de la

y

Capítulo 8 189

Aprende

x

y

10987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100eje de la

(5,7)

eje

de la

álgebrA

Hacer gráficos de pares ordenadosOBJETIVO: hacer gráficos e identificar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano usando pares ordenados.

Un mapa se usa para hallar puntos de ubicación y la relación de un punto de ubicación con otro. Esta relación y la relación de un objeto con otro se pueden mostrar en un plano cartesiano.

Benjamín recorre 16 cuadras hacia el sur, 17 cuadras hacia el oeste y 12 cuadras hacia el sur. ¿Cuántas cuadras recorre Benjamín?

Vocabulariopar ordenado

eje x

eje ycoordenada x

coordenada yUn plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares. La recta numérica horizontal se llama eje x. La recta numérica vertical se llama eje y. Cada punto de una cuadrícula de coordenadas puede ubicarse usando un par ordenado de números, (x,y).

Para llegar al punto A, comienza donde se intersecan las rectas numéricas, en (0,0). En un par ordenado, el primer número es la coordenada x. La coordenada x indica la distancia a la cual debe moverse en dirección horizontal desde (0,0). El par ordenado del punto A tiene una coordenada x de 3.

El segundo número en un par ordenado, o coordenada y, indica la distancia a la cual debe moverse en dirección vertical. El punto A tiene una coordenada y de 2. El par ordenado (3,2) da la ubicación del punto A.

• ¿Qué par ordenado da la ubicación de la Estación Mapocho?

Ejemplo Marca en la gráfica el par ordenado (5,7).

Comienza en (0,0).Mueve 5 unidades hacia la derecha.Mueve 7 unidades hacia arriba.Marca el punto.

• El punto (0,6) está en uno de los ejes. ¿En cuál de los ejes está?

10987654321

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Eje de la x

Eje

de

la y

Museo de Bellas Artes Estación

Mapocho

Idea matemáticaEl eje x y el eje y se intersecan en el punto (0,0). Los puntos que están en el eje x tienen un 0 en la coordenada y. Los puntos que están en el eje y tienen un 0 en la coordenada x.

1leCC

IÓN

190



1. Usa el plano cartesiano. Comienza en (0,0). Mueve 6 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. ¿Qué punto está en (6,2)?

Usa el plano cartesiano. Escribe un par ordenado para cada punto.

2. D 3. G 4. C

Grafica y rotula los siguientes puntos en un plano cartesiano.

5. X (9,0) 6. Y (6,8) 7. Z (4,10)

8. Explica cómo escribir el par ordenado para el punto K en el plano cartesiano.

24. ¿Qué número se representa gráficamente en la recta numérica?

10 2 3 4 5 6 7

25. ¿Cuál es la longitud de un segmento que une los puntos (5,1) y (10,1)? Grafica para resolver.

26. ¿Cuántas caras contendrá la plantilla de un cubo?

27. El punto (5,0):

A no es un par ordenado C está en el origen

B está en el eje de la x D está en el eje de la y

Usa el plano cartesiano anterior. Escribe un par ordenado para cada punto.

9. B 10. H 11. F 12. J 13. A 14. E

Grafica y rotula los siguientes puntos en un plano cartesiano.

15. J (1,1) 16. K (0,4) 17. L (2,5) 18. P (5,2) 19. S (6,0)

USA DATOS Para 20–22, usa el mapa.

20. ¿Qué par ordenado da la ubicación del Parque Quinta Normal?

21. El Parque Forestal está ubicado en el punto A en el mapa cuadriculado. ¿Qué par ordenado da la ubicación del Parque Forestal?

22. Razonamiento ¿Qué ubicación está 2 unidades al oeste y 4 unidades al norte del Parque O’Higgins?

23. Explica por qué el orden es importante cuando se grafica un par ordenado en un plano cartesiano.

x

y

10987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100eje de la

eje

de la

Parque Araucano

Parque PadreHurtado

ParqueQuinta Normal

Parque O’Higgins

A

y

x

10987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100eje de la

eje

de la

AB

D

K

F

J

I G

H

E

C



Capítulo 8 191

987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 90

Cine

Biblioteca

eje

de la

y

eje de la x

Usa la destrezaPrObleMA Marcos está haciendo un mapa de su vecindario en un plano de coordenadas para sus nuevos vecinos. Están buscando la escuela.

Marcelo les dijo que la tienda de zapatos estaba ubicada en las coordenadas (6,2). El cine está ubicado 5 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo de la tienda de zapatos. La biblioteca está ubicada 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba del cine. La escuela tiene la misma coordenada x que la tienda de zapatos y la misma coordenada y que la biblioteca. ¿Dónde está la escuela?

A veces un problema contiene la información que necesitas para una pregunta pero no para otra. Debes decidir qué información es relevante, o necesaria, para resolver el problema.

Destreza: información relevante o irrelevanteOBJETIVO: resolver problemas usando la destreza información relevante o irrelevante.

Piensa y comentaPara resolver a y b, usa el mapa ilustrado arriba. Menciona la información relevante y resuelve los problemas.

a. La coordenada y de la casa de Marcelo es 3 unidades mayor que la zapatería. La coordenada x de su casa es menor en 2 unidades que la de la biblioteca. ¿Cuáles son las coordenadas de la casa de Marcelo?

b. La tienda de mascotas se trasladó de su ubicación anterior en (2, 2). La nueva ubicación tiene la misma coordenada x que la biblioteca y está directamente a la derecha del cine. ¿Dónde está la tienda de mascotas?

2leCC

IÓN

192

Aplicaciones mixtas

USA DATOS Para 1–3, usa el mapa. Menciona la información relevante y resuelve los problemas.

1. Pamela marcó en un mapa la ubicación de sus restaurantes favoritos. El Rincón de la Hamburguesa está ubicado en las coordenadas (2,1). El Deli de Juan está 5 cuadras directamente al norte del Rincón de la Hamburguesa. Tazón de Pasta está ubicado 4 cuadras al este del Deli de Juan. La Pizzería de Cata tiene una coordenada y que está 2 cuadras al sur del Deli de Juan y una coordenada x que está 1 cuadra al este del Rincón de la hamburguesa. ¿Cuáles son las coordenadas de la Pizzería de Cata?

Piensa: ¿Qué necesitas hallar? Las coordenadas de la Pizzería de Cata.

¿Qué datos son relevantes para resolver el problema? Las coordenadas del Rincón de la hamburguesa y las coordenadas del Deli de Juan.

Rincón de la hamburguesa: (2,1) Deli de Juan: (2,) Pizzería de Cata: (,)

4. Daniela empezó a caminar a las 11:00 a.m. Caminó 2 cuadras hacia el norte, 3 cuadras hacia el este, 2 cuadras hacia el sur y 3 cuadras hacia el oeste. Caminó durante 3 _ 4 de hora. ¿Qué figura forma el camino que recorrió?

6. El club de jardinería necesita 50 plantas. Si 15 plantas cuestan $4 695, ¿cuánto pagaría el club de jardinería por las 50 plantas?

7. Sara usó un plano de coordenadas para planear su jardín. Plantó rosales en un cuadrado alrededor de su jardín. Cada lado del cuadrado mide 5 cm de largo. Si 1 unidad en el plano de coordenadas es igual a 1 centímetro y el centro del cuadrado está en el punto (6,6), ¿dónde están los 4 vértices del cuadrado? Explica cómo lo sabes.

5. Martín y Lucas son hermanos. La suma de sus edades es 22 años y la diferencia de sus edades es de 2 años. Martín es mayor que Lucas. ¿Cuántos años tiene cada niño? Explica cómo sabes que tu respuesta es correcta.

987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 90

Rincón de la Hamburguesa

eje

de la

y

eje de la x

2. ¿Qué pasaría si la Pizzería de Cata estuviera directamente al sur de Tazón de Pasta y directamente al oeste del Rincón de la Hamburguesa? ¿Cuáles serían entonces las coordenadas de la Pizzería de Cata?

3. Inés quiere abrir un restaurante que está 5 cuadras al sur de Tazón de Pasta y 3 cuadras al este del Rincón de la Hamburguesa. ¿Cuáles serían las coordenadas de su restaurante?

resolución de problemas con supervisión

Capítulo 8 193

Aprende

Figuras 2D y sus elementosOBJETIVO: identificar los elementos básicos que forman una figura 2D.

En los cursos anteriores conociste los triángulos, cuadrados, rectángulos, todas figuras planas de dos dimensiones, figuras 2D.

Además conociste los elementos básicos de la geometría como puntos de intersección, lados, vértices y segmentos.

Ejemplo

Nombra los vértices y lados del cuadrado ABC

3leCC

IÓN

Una recta se intersecta con otra en un punto. Dicho punto se denomina punto de intersección.

Vocabulariopuntos de intersección

segmentos

vértices

lados

figuras 2D

Vértices: A, B, C, D

Lados: AB, BC, CD, DA

En un cuadrado, los lados opuestos son paralelos: AB no se intersecta con CD . Los lados consecutivos son perpendiculares: AB y BD forman un ángulo de 90º.

Identificamos los segmentos AB, BC y CA , que llamaremos lados del triángulo y los puntos A, B y C, que llamaremos vértices del triángulo. Los vértices del triángulo son los puntos de intersección de los segmentos. Los lados también se pueden identificar con una letra minúscula que corresponde al vértice opuesto: (a, b, c)

En el siguiente triángulo, identificamos los puntos y los segmentos que utilizaron para dibujarlo.

En general, a toda figura cerrada que se forma con la unión de segmentos la llamaremos polígono.

A B

BA

DC

C

b a

c

194




15. Dibuja una figura 2D e identifica sus lados y sus vértices.

16. ¿Cuántos lados tiene la figura? y, ¿cuántos vértices? Nómbralos.

17. Razonamiento. ¿Es importante el orden en que nombremos los vértices y los lados de una figura 2D?


Identifica los vértices y los lados de cada una de figuras siguientes:

Identifica los vértices y los lados de cada una de figuras siguientes:

1. 2. 3. 4.

8. 9. 10. 11.

5. En cada una de las figuras anteriores, identifica pares de lados paralelos, si los hay.

6. De las figuras 1 a la 4, ¿hay alguna donde identifiques lados perpendiculares? Explica cuáles son.

7. Comenta. ¿Qué observas en las figuras 2, 3 y 4?

12. En cada una de las figuras anteriores, identifica pares de lados paralelos, si los hay.

13. De las figuras 8 a la 11, ¿hay alguna donde identifiques lados perpendiculares? Explica cuales son.

14. ¿Qué observas en la figura 10 si la comparas con las otras?

Capítulo 8 195

Aprende

Figuras 3D y sus elementosOBJETIVO: identificar los elementos básicos que forman una figura 3D.

En la lección anterior identificaste ciertas características de las figuras 2D por ejemplo cuándo sus lados son paralelos o cuándo sus lados son perpendiculares. Si unimos algunas de estas figuras 2D a través de sus lados, formaremos una figura 3D. En estas figuras 3D reconoceremos las caras, los vértices y las aristas.

Las figuras 3D cuyas caras son polígonos se llaman poliedros y las que tienen alguna cara curva se llaman cuerpos redondos. En los poliedros podemos distinguir algunas caras paralelas. Por ejemplo

4leCC

IÓN

Vocabulariofiguras 3D

vértices

caras

aristas

La línea donde se encuentran dos caras es una arista.

Todas las figuras 2D se denominan caras.

El punto donde se encuentran varias aristas es un vértice.

Bases

ΔABC // ΔDEF

Una figura 2D formada por segmentos es un polígono.

A

D

B

C

F

E

Estos poliedros se llaman prismas y las caras paralelas serán sus bases. Las caras laterales serán siempre rectángulos.

Si las caras son triángulos, entonces forman una pirámide. Esta figura 3D no tiene caras ni aristas paralelas.

196



19. ¿Qué figuras 2D componen las caras de una pirámide de base cuadrada?

20. Marisol compró 30 dulces a $ 200 cada uno. ¿Cuánto dinero gastó Marisol en total?

21. Luis tiene un bloque de 2 bases triangulares y 3 caras rectangulares. ¿Qué figura 3D tiene Luis?


Identifica las caras, las aristas y los vértices en cada una de las figuras 3D.

Para 15 - 18 usa la foto que se ve a la derecha:

5. 6. 7. 8. 9.

A. B. C. D.

10. 11. 12. 13.

14. ¿Qué forma se ve en la base de la estructura?

15. ¿Qué forma se ve en la estructura lateral?

16. ¿Cuántas caras, cuántas aristas y cuántos vértices tiene la estructura?

17. ¿Qué nombre tiene esta figura 3D?

18. ¿Cuál es el error? Mario dice que se puede dar el nombre de una figura 3D si se sabe el número de caras que tiene. Describe el error de Mario.


Identifica las caras, las aristas y los vértices en cada una de las figuras 3D.

1. 2. 3. 4.

Capítulo 8 197

5Investiga

repaso rápidoFiguras congruentesOBJETIVO: identificar figuras congruentes.

Identifica la figura:

1. 2.

3. 4.

5.

Vocabulariocongruente

Materiales ■ papel punteado ■ tijeras ■ regla

Puedes colocar una figura sobre otra para ver si coinciden. Si coinciden son figuras congruentes.

Dibuja las parejas de figuras en papel punteado.

Recorta cada pareja. Muévelas de cualquier manera para comprobar si coinciden.

En otra hoja de papel punteado, dibuja dos figuras que creas que van a coincidir. Recorta una y comprueba si las figuras coinciden.

Sacar conclusiones 1. ¿Cómo moviste las figuras para comprobar si

coinciden?

2. Explica en qué se parecen y en qué se diferencian las parejas que coinciden.

3. ¿Qué puedes concluir acerca de las parejas de figuras que coinciden?

4. Ampliación Escribe un grupo de instrucciones que expliquen cómo se dibujan dos figuras en papel punteado que tengan el mismo tamaño y forma, pero que después de girarlas, estén en direcciones diferentes.

198

relacionar

Practicar

Figuras Congruentes o no congruentes

Ambos segmentos miden 1 centímetro de largo. Tienen la misma longitud y la misma forma. Son congruentes.

Los círculos tienen la misma forma, pero sus diámetros son de diferentes longitudes. Los círculos no son del mismo tamaño. No son congruentes.

F y G miden 90. Los ángulos son del mismo tamaño y forma. Coincidirán exactamente cuando uno se coloque sobre el otro. Son congruentes.

Los pentágonos tiene la misma forma, pero son de tamaños diferentes. No son congruentes.

Las imágenes de las pelotas de fútbol parecen ser de la misma forma y tamaño. Son congruentes.

A

B

CD

F G

Las figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma son congruentes.

Di si las dos figuras son congruentes o no congruentes.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Para los ejercicios 7 y 8, usa los polígonos U,V, W, X e Y.

¿Cuáles son algunos objetos en la sala de clases que son congruentes o no congruentes?

9. Explica si la afirmación todos los círculos son congruentes es verdadera o falsa. Puedes incluir un dibujo en tu explicación.

7. ¿Qué parejas de polígonos son congruentes? Explica.

8. ¿Qué parejas de polígonos no son congruentes? Explica.

A B C D E

Capítulo 8 199

Investiga

repaso rápido

en el sentido delas manecillas del reloj

en sentido contrario alas manecillas del reloj

RotaciónOBJETIVO: relacionar las medidas de ángulos con 1 _ 4 , 1 _ 2 , 3 _ 4 y giros completos.

Nombra cada ángulo. Escribe agudo, obtuso o recto.

1. 2.

3. 4.

5. Materiales ■ 2 tiras de papel ■ sujetadores de papel

Puedes hacer girar tiras de papel para explorar la relación entre giros y medidas de ángulos.

Los rayos de un círculo se pueden girar en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Abre la tira de papel para formar un ángulo de 90.

¿Es este un giro de 1 _ 4  , 1 _ 2  , 3 _ 4   o un giro completo?

Abre la tira de papel 1 _ 4   de giro más para formar un ángulo de 180.


Haz otro giro de 1 _ 4   para formar un ángulo de 270.


Gira la tira de papel 1 _ 4   para finalizar el círculo.


Sacar conclusiones 1. ¿Cuántos grados hay en un giro completo?

2. ¿Cuántos giros de 1 _ 4   se necesitan para hacer un giro completo?

3. Síntesis Explica la relación entre las medidas de ángulos y giros.

6

200

relacionar

Practicar

1000g2.2 lb

2

86

10

14

1lb2

4oz

6

8

1012

oz14

2lb2oz 0

12oz

4oz1000g 100g

200g

300g

400g600g

700g

800g

900g

500g

8910

11 12

7 6 543

21

8910

11 12

7 6 543

21

8910

11 12

7 6 543

21

Di si los rayos en el círculo muestran un giro de 1 _ 4 , 1 _ 2 , 3 _ 4   o un giro completo. Después, identifica el número de grados que se han girado los rayos en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj.

  1.    2. 3. 4.

  5.    6. 7. 8.

Puedes relacionar giros y ángulos medidos en grados con las manecillas del reloj. Las manecillas del reloj representan los rayos de un ángulo. Cada minuto que marca el reloj representa 6.

15 minutos de tiempo transcurrido.

15 • 6 5 90

El minutero ha

girado 90.


30 • 6 5 180

El minutero ha

girado 180.

Explica en qué se parecen un ángulo de 270° en un círculo a un giro de 3 _ 4 y a un período de 45 minutos en un reloj.

Di si la figura ha sido girada 90º, 180º, 270º o 360º en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj.

9.

13.

10.

14.

11.

15.

12.

16.

17. Explica cómo el resultado de un giro de 90˚ en el sentido de las manecillas del reloj puede parecer el resultado de un giro de 270˚ en sentido contrario a las manecillas del reloj.


45 • 6 5 270

El minutero ha

girado 270.

Capítulo 8 201

Aprende

repaso rápido

Paso Paso Paso Paso

7leCC

IÓN

SimetríaOBJETIVO: identificar simetría axial y rotacional en figuras geométricas.

PROBLEMA La simetría se puede encontrar en todo nuestro alrededor. Existe en la naturaleza, el arte, la arquitectura y la música. Un tipo de simetría que se encuentra en las figuras geométricas es la simetría axial. Este letrero está en las colinas de Hollywood, California. ¿Qué letras en el letrero de Hollywood muestran simetría axial?

Una figura tiene simetría axial si se puede doblar a lo largo de una línea de manera que las dos mitades coincidan exactamente, haciendo que ambas partes sean absolutamente congruentes.

Usa bloques de patrón o papel punteado para hacer la letra W.

Actividad 1 Explora la simetría axial.Materiales ■ bloques de patrón ■ papel ■ tijeras

Traza la W. Recorta por el trazo. Dobla por el trazo.

Las dos partes de la W doblada coinciden exactamente.Por lo tanto, la W tiene simetría axial. Ya que ambas partes coinciden entre sí, por lo que también se denominan congruentes.

La H tiene 2 ejes de simetría.

La O tiene 2 ejes de simetría.

La L tiene 0 ejes de simetría.

La Y tiene 1 eje de simetría.

La D tiene 1 eje de simetría.

Por lo tanto H, O, Y, W y D tienen simetría axial.

Laura necesita dos fichas congruentes para un diseño. ¿Cuáles fichas parecen ser congruentes?

Vocabulariosimetría axial

simetría rotacional

202

Paso Paso Paso

X X

Simetría axial

Más sobre simetríaUna figura tiene simetría si se puede rotar sobre un punto central y conservar la misma apariencia en por lo menos dos posiciones. Por lo tanto, al rotar la figura, esta mantiene su forma o es congruente con la figura inicial. Se dice, entonces que la figura tiene simetría rotacional.

Este es un giro de 1 _ 4 , un cuarto de giro, o 90 alrededor de un punto.

Este es un giro de 1 _ 2  , medio giro, o 180 alrededor de un punto.

Este es un giro de 3 _ 4 , tres cuartos de giro, o 270 alrededor de un punto.

Actividad 2 Explora la simetría. Materiales ■ papel de trazar ■ bloques de patrones

Traza cada bloque de patrón. Coloca el trazo sobre el bloque de patrón. Pon una X en el tope del trazo.

Mantén los puntos centrales juntos y gira el trazo para ver si coincide exactamente en otra posición.

Registra el número de veces que la figura empareje en otra posición hasta que la X aparezca en el tope del trazo. Si la X coincide en más de una posición, la figura tiene simetría rotacional y su resultado es una figura congruente con la original previa al giro.

Ningún eje

de simetría

El edificio torre Entel en Santiago tiene simetría axial, pero no tiene simetría central.

La forma de la Isla de Pascua en el mapa no tiene ejes de simetría.

Ejemplos Describe la simetría que parece tener cada figura.

Capítulo 8 203



  A     B

  C   D

Di si la figura parece tener simetría axial. ¿Por qué?

  7.    8. 9. 10.

Traza cada figura. Después, dibuja el eje o ejes de simetría.

 11.    12. 13. 14.

Dibuja cada figura que tenga lo siguiente. Después, dibuja el eje o los ejes de simetría.

15. 0 ejes de simetría 16. 1 eje de simetría 17. 2 ejes de simetría 18. Simetría central

1. En la figura se muestra un eje de simetría. Traza la figura en papel punteado y dibuja otros 3 ejes de simetría.

Di si la figura parece tener simetría axial, ¿Por qué?

  2.    3. 4. 5.

6. Explica cómo se puede decidir si una figura tiene simetría axial.

USA LOS DATOS Para los ejercicios 19 a 21, usa las figuras.

19. ¿Cuál figura parece tener 6 ejes de simetría?

20. ¿Cuáles figuras parecen tener simetría cuando se giran 90, 180, 270 y 360?

21. ¿Cuál figura parece tener el mayor número de ejes de simetría?

204


26. ¿Qué movimiento realiza un auto que avanza por una calle?

   A traslación  C  simetría central

B  rotación  D  simetría axial

27. ¿Cuál describe mejor la simetría en la letra M?

   A  horizontal  C  central

B  vertical  D  medio giro

28. ¿Qué tipo de líneas se encuentran en una esquina de un cuadrado?

29. 864 : 6 5

30. ¿Cuál describe mejor la simetría en la letra Z?

A  horizontal   C  central

B  vertical   D  medio giro

Kirigami

Materiales ■ papel ■ tijeras

Origami es el arte de doblar papel y después recortarlo para hacer objetos ornamentales o diseños. Estos diseños fueron hechos doblando el papel una vez.

Dobla una hoja de papel por la mitad y después por la mitad otra vez en el primer doblez. Recorta un hoyo en la forma que desees a través del doblez.

Usa lo que sabes acerca de la simetría para predecir cómo se verá el diseño. Después abre el papel. ¿Era correcta tu predicción?

22. Razonamiento ¿Cómo puedes terminar este diseño de manera que tenga por lo menos un eje de simetría?

24. Halla dos palabras que tengan un eje de simetría horizontal.

23. ¿Cuál es el error? Ignacio dice que todos los polígonos regulares no tienen eje de simetría. Describe y corrige su error.

25. Elige y dibuja una figura con por lo menos dos ejes de simetría. Después escribe instrucciones que expliquen cómo se hallan los ejes de simetría.

Predice cómo se verá la figura cuando se desdoble el papel. Comprueba doblando y recortando.

1.   2.   3.  4.


Aprende

8leCC

IÓN

TraslaciónOBJETIVO: trasladar figuras.

PrObleMA En Curicó, el cine se encuentra ubicado en el punto A(1,1). La biblioteca en el punto B(3,4) y la farmacia en el punto C(5,19). Quieren cambiar la ubicación de cada uno a otros puntos de la ciudad.

¿Cuál es la nueva ubicación del mall, la plaza y la farmacia si los trasladan 6 lugares a la derecha?

En cada par ordenado indica la coordenada solicitada.

1. (3,2) x

3. (4,7) x

5. (9,2) y

2. (3,3) y

4. (7,0) y


987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 90

Cine

Biblioteca

eje

de la

yeje de la x

Contesta las siguientes pregunta:

1. Al unir los puntos A, B y C, ¿qué figura se forma?

2. Al unir los puntos de la nueva ubicación, ¿qué forma tiene la nueva figura?

3. ¿Cómo es el tamaño de ambos triángulos?

Relaciona el siguiente concepto:

Mover una figura de una posición a otra nueva sin perder la forma (figuras congruentes) y tamaño se llama traslación.

Ejemplo: la estrella se ha traslado en dirección diagonal y sigue manteniendo la forma y el tamaño.

Di si las dos figuras fueron trasladas o no. Explica tu respuesta.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Figura 1

Figura 2

La figura 1 es congruente con la figura 2.

Vocabulariotraslación

206


Di si las dos figuras fueron trasladas o no. Explica tu respuesta.

Traslada cada figura en la indicación dada y dibuja su nueva posición sin perder la forma y tamaño.

Comprensión de los Aprendizajes

11. Estima la diferencia entre 39,346 y 26,844.

12. Ana gastó $ 1 347 y Marco gastó $ 987. ¿Cuánto dinero gastaron en total?

13. ¿Qué número del par ordenado (7,6) es la coordenada x?

14. Representa gráficamente el par ordenado (3,9) en un plano cartesiano.

7. Tres unidades a la derecha.

8. Cuatro unidades hacia abajo.

9. Tres unidades hacia arriba y tres unidades a la derecha.

10.

Dibuja un plano cartesiano de 10 · 10 y traslada el triángulo ABC de coordenadas A(1,1); B(3,5), C(4,2) 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices del triangulo? Dibuja el nuevo triángulo A´B´C´. ¿Las figuras son congruentes? ¿Por qué?

Práctica adicional en la página 208, Grupo E Capítulo 8 207

Grupo A Escribe un par ordenado para cada punto. Usa la cuadrícula.

1. punto J 2. punto M 3. punto T

4. punto K 5. punto F 6. punto L

Usa una cuadrícula para representar cada par ordenado.

7. (4,2) 8. (0,5) 9. (2,1) 10. (1,0)

11. (5,3) 12. (4,1) 13. (3,3) 14. (0,0)

Práctica adicional

Grupo D Di si la figura parece tener simetría axial.

1. 2.    3.    4. 

Grupo B Identifica los lados y los vértices de cada figura.

1.

2.

Grupo C Pinta las caras basales de las figuras 3D.

1. 2. 3. 4.

Observa las figuras y contesta.

5. ¿Cuántos vértices y caras laterales tienen?

6. ¿Cuántas aristas tienen cada figura?

10987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

A

B

C

FK

JT

LM

eje

de la

eje de lax

y

Lados. ¿Cuántos hay?

Lados ¿Cuántos hay?

Vértices. ¿Cuántos hay?

Vértices. ¿Cuántos hay? A

E

B

D

CF

E D

A B

C

Figura A Figura B Figura C

208

VGrupo E

1. Dibuja un plano cartesiano de 10 · 10 y traslada el cuadrado de coordenadas A(2,4), B(6,4), C(2,8) y D(6,8) 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo. Determine las nuevas coordenadas del cuadrado.

2. Escribe dos ejemplos de movimientos de traslación en la vida real. Por ejemplo, el movimiento que realiza un ascensor.

3. Observa la siguiente figura:

4. Determina las coordenadas de los vértices del triángulo.

5. Si a la figura se le aplica una traslación de 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba. ¿Cuáles serían las coordenadas de los nuevos vértices?

6. Si luego se le aplica una traslación de 1 unidad hacia la izquierda y 2 unidades hacia abajo. ¿Cuáles serían las coordenadas de los nuevos vértices?

A B

C D

E F

Traza cada figura. Después, dibuja el eje o ejes de simetría.   5.     6.     7.     8.

Para los ejercicios 9 - 13, usa las figuras A a F.

9. ¿Qué figuras parecen tener 6 ejes de simetría?

10. ¿Qué figuras no parecen tener simetría cuando se giran 180?

11. ¿Qué figuras parecen tener simetría cuando se giran 90?

12. ¿Qué figura parece tener más ejes de simetría?

13. ¿Qué figura no parece tener simetría axial?

10987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

A

B

C

Capítulo 8 209

987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 90

S

M

TR

C

A

B

eje

de la

y

eje de la x

987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 90

eje

de la

y

eje de la x

A

B

C


1. Un ____________ es un par de números que se usan para ubicar un punto en una cuadrícula de coordenadas.

2. El punto donde se intersecan las dos líneas se llama el ____________ , o (0, 0).

Comprueba tus destrezas Escribe un par ordenado para cada punto. Usa la figura dada (fig. A).

3. punto S 4. punto M 5. punto T

6. punto A 7. punto B 8. punto C Usa la figura dada y responde (fig. B).

¿Qué figuras son congruentes? Explica cómo lo sabes.

Halla una regla para completar la tabla.

10.

11.


12. Un mapa del barrio muestra que las coordenadas del parque son (2,4). La coordenada y del parque es igual a la coordenada y de la Municipalidad. Y la coordenada x del parque es el doble de la coordenada de x de la municipalidad. ¿Cuáles son las coordenadas de la Municipalidad?


13. Imagina que hay planes para construir un nuevo parque en el lado opuesto del pueblo. ¿Qué pasaría si el nuevo parque se construyera 5 unidades a la derecha y 8 unidades arriba del parque existente en el Ejercicio 11? Explica dónde estaría ubicado el nuevo parque.

VOCAbUlArIO

par ordenado

origen

eje de la x

x

y

4

12

3

9

2 1 0

0

x

y

4

4

3

5

2

6

1 0x

y

4

12

3

9

2 1 0

0

x

y

4

4

3

5

2

6

1 0

eje de lax

eje de lax

eje

de la

yej

e de

lay

Figura A

Figura B

210

Capítulo 8 211

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un rombo y un trapecio son tipos de cuadriláteros.

3. 4.

En cada ejemplo de abajo, parte del cuadrilátero está oculto al otro lado de la línea negra.

EjemploIdentifica algunos de los posibles cuadriláteros que esta figura podría ser.

• La figura tiene un ángulo recto. Los únicos cuadriláteros que tienen ángulos rectos son los cuadrados y los rectángulos.

Por lo tanto, la figura podría ser un cuadrado o un rectángulo.

cuadrado rectángulo paralelogramo rombo trapecio

Enriquecimiento • Los cuadriláteros

¿Es un rombo un paralelogramo? ¿Cuántos ejes de simetría tiene? Explica.

Capítulo 18 211

InténtaloDibuja la figura simétrica al otro lado del eje de simetría.

1. 2.



x 2 3 4 ......

y 5 7 9 .....

1. La suma de 0,894 + 8 es:

A 8,902 C 1,694

B 1,908 D 8,894

4. El valor posicional del dígito subrayado es: 1 2 5 9 8 7 6 8

A 5 UM C 5 CM

B 5 Umi D 5 Cmi

10. ¿Cuántos vértices y lados tiene respectivamente la figura?

5. El orden de mayor a menor de estos números decimales es: 0,347; 14,207; 14,027; 0, 437

A 0, 347; 0,437; 14,027, 14,207

B 14,207; 14,027; 0,437; 0,347

C 0, 347; 14,207; 14,027; 0,437

D 14,207; 14,027; 0,347; 0,437

6. Al restar 2,007 – 0,339 resulta:

A 1, 668

B 1,866

C 0,346

D 2,668

2. Al restar – resulta:

A C

B 1 D

3. Al ordenar 2 , 1 , 2 resulta:

A 2 < 2 < 1 C 1 < 2 < 2

B 1 < 2 < 2 D 2 < 1 < 2

Patrones y álgebra 7. El par ordenado que sigue en la tabla es:

A (5,3)

B (3,5)

C (5,4)

D (5,11)

9. El patrón 18,24,30,36 y _____. Se completa con:

A 42

B 12

C 48

D 60

8. La regla de la secuencia numérica

10,100,1 000,10 000 es:

A Sumar 10

B Multiplicar por el mismo número

C Multiplicar por 1

D Multiplicar por 10

89

25

23

23

59

59

23

35

35

35

23

59

59

59

23

35

35

54

536

34

A 5 vértices y 10 lados

B 10 vértices y 10 lados

C 10 vértices y 5 lados

D Es un semicírculo, no tiene vértices ni lados

212

12. ¿Qué transformación se efectuó a la figura 1 para obtener la figura 2?

figura 1 figura 2

A Traslación

B Simetría central

C Simetría axial

D Rotación

987654321

1 2 3 4 5 6 7 8 90

P

Q S

R

eje

de la

y

eje de la x

Tienda de mascotas

Tienda de comestibles

Juguetería Tienda de computación

eje de lax

eje

de la

y

15. ¿Cuántos libros más leyó en noviembre que en septiembre?

A 1 C 3

B 2 D 4

Geometría - Medición Datos y probabilidades Para las preguntas 14 y 15 utiliza el siguiente

gráfico de barras que muestra el número de libros que leyó Claudia durante cuatro meses:

14. ¿Cuántos libros en total leyó Claudia?

A 5 C 11

B 8 D 12

Libros leídos por Claudia

sep oct nov dic

mes

nú

mer

o d

e lib

ros

5

4

3

2

1

0

16. El siguiente mapa muestra las ubicaciones de 4 tiendas diferentes. ¿Qué tienda está ubicada en (2,2)?

A Tienda de mascotas

B Tienda de computación

C Tienda de comestibles

D Juguetería

13. ¿En cuál de las siguientes opciones la línea NO es un eje de simetría?

A C

B D

11. ¿Qué coordenadas indican el origen?

A (3,3)

B (2,2)

C (1,1)

D (0,0)

Capítulo 8 213

CAPÍTULO

Figuras planas

cuadrado

triángulo

paralelogramo

trapecio

Medición y perímetroLa idea importante Los atributos de las figuras bidimensionales se pueden medir usando unidades métricas y unidades usuales.

InvestigaImagina que eres un arqueólogo que trabaja en una excavación en el Valle de la Luna. Marca el contorno de un área rectangular de 5 metros por 15 metros usando una cuerda. Muestra y describe otras tres figuras planas que se puedan hacer con la misma cantidad de cuerda.

A 13 kilómetros al oeste de San Pedro de Atacama, perteneciente a la región de Antofagasta, se encuentra ubicado el Valle de la Luna, llamado así por su extraña apariencia lunar.

9

DATOBREVE

214


u Perímetro: contar unidadesHalla el perímetro de cada figura.

uElegir la unidad apropiadaElige la unidad usual apropiada.

11. altura de una habitación 12. longitud de tu dedo 13. ancho de una cancha de fútbol centímetros o metros milímetros o centímetros metros o kilómetros o decimetros

Elige la unidad métrica apropiada.

14. longitud de tu escritorio 15. distancia recorrida en 16. ancho de una habitación centímetros o metros bicicleta en 1 hora centímetros o metros o decímetros metros o kilómetros o decímetros


fórmulaperímetropolígonoparalelepípedo

PREPARACIÓN

perímetro La medida del contorno de una figura plana cerrada.

polígono Una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos.

fórmula Un conjunto de símbolos que expresan una regla matemática.

paralelepípedo Una figura 3D cuyas seis caras son rectángulos.

8 m 4 m 6 cm 19 cm13 km

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

9 m3 m 6 cm 10 cm

11 km

Capítulo 9 215

LongitudOBJETIVO: identificar y convertir unidades usuales y unidades métricas de longitud.

PROBLEMA Mario necesita 200 centímetros de cadena para su proyecto de artesanía. La cadena se vende por metro. ¿Cuántos metros de cadena necesita?

1. 15 • 32. 60 : 123. 8 • 124. 4 • 5 2805. 15 840 : 5 280

Ejemplo 1 Convierte centímetros en metros.

Halla la cantidad de metros que hay en 200 centímetros.

Piensa: 200 centímetros 5 j metros 200 : 100 5 y

Para convertir unidades más pequeñas en unidades más grandes, divide.

cantidad de 4

cantidad de centímetros 5

cantidad centímetros que hay en 1 metro de metros

↓ ↓ ↓ 200 : 100 5 2

Por lo tanto, Mario necesita 2 metros de cadena.

Ejemplo 2 Convierte metros en milímetros.

Javiera necesita 4 metros de tela para su proyecto de artesanía. ¿Cuántos milímetros de tela necesita?

Halla el número de milímetros que hay en 4 metros.

Piensa: 4 metros 5 j milímetros 4 • 1 000 5 x

Para convertir unidades más grandes en unidades más pequeñas, multiplica.

cantidad 3

cantidad de milímetros 5

cantidad de metros que hay en 1 metro de milímetros

↓ ↓ ↓ 4 • 1 000 5 4 000

Por lo tanto, Javiera necesita 4 000 milímetros de tela.

Más ejemplos

Convierte 3 kilómetros en metros.

cantidad 3

cantidad de metros que 5

cantidad de kilómetros hay en 1 kilómetro de metros ↓ ↓ ↓ 3 • 1 000 5 3 000

Por lo tanto, 3 kilómetros equivalen a 3 000 metros.

Convierte 130 centímetros.

cantidad 4

cantidad de centímetros 5

cantidad de de centímetros que hay en 1 decímetro decímetros ↓ ↓ ↓ 130 4 10 5 13

Por lo tanto, 130 centímetros equivalen a 13 decímetros.

1LECC

IÓN

Aprende

:

:

:

•

•

216

Unidades métricasde longitud

10 milímetros (mm)

100 centímetros

1 000 metros

1 centímetro (cm)

1 metro (m)

1 kilómetro (km)

Longitud en unidades métricasPuedes usar la multiplicación y la división para convertir unidades métricas de longitud.

1. ¿Cuántos centímetros hay en 1 500 metros?

Piensa: Se convierte en unidades más grandes; por lo tanto, se divide.

100 centímetros 5 1 metro

1 500 : 100 5 j metros

2. ¿Cuántos milímetros hay en 12 centímetros?

Piensa: Se convierte en unidades más pequeñas; por lo tanto, se multiplica.

1 centímetro 5 10 milímetros

12 • 10 5 j milímetros

Convierte las unidades dadas.

3. 7 cm 5 j mm 4. 3 000 m 5 j km 5. 8 m 5 j mm 6. 800 000 cm 5 j km

7. 22 cm 5 j mm 8. 30 mm 5 j cm 9. 2 km 5 j m 10. 5 m 5 j cm

11. 2 000 mm 5 j m 12. 12 km 5 j m 13. 5 km 5 j mm 14. 700 cm 5 j m

15. Explica cómo convertir 6 kilómetros en milímetros.

Ejemplo 3 Convierte centímetros en metros.

Alberto mide un pedazo de cartulina gruesa de 125 centímetros. ¿Cuál es la longitud en metros?

Piensa: 125 centímetros 5 j metros 125 : 100 5 m

Para convertir unidades más pequeñas en unidades más grandes, divide.

cantidad 4

cantidad de cm 5

cantidad de cm que hay en 1 m de m

↓ ↓ ↓ 125 4 100 5 1,25

Por lo tanto, hay 1,25 metros en 125 centímetros.

Ejemplo 4 Convierte centímetros en milímetros.

Por lo tanto, hay 150 milímetros en 15 centímetros.

Fran mide un trozo de hilo de 15 centímetros de largo. ¿Cuál es la longitud en milímetros?

Piensa: 15 centímetros 5 j milímetros 15 • 10 5 n

Para convertir unidades más grandes en unidades más pequeñas, multiplica.

cantidad 3

cantidad de mm 5

cantidad de cm que hay en 1 cm de mm

↓ ↓ ↓ 15 • 10 5 150

Idea matemáticaDado que hay 10 mm en 1 cm, 1 mm es igual a 1 __ 10 , o 0,1 cm.


:

:

•

Capítulo 9 217


Longitud de la madera

viga

tabla

poste

Artículo Medida

2 m 13 cm

2 m 67 cm

3 m 81 cm

Convierte las unidades dadas.

16. 48 cm 5 j mm 17. 5 km 5 j m 18. 50 cm 5 j m 19. 25 m 5 j cm

20. 70 mm 5 j m 21. 4,2 km 5 j m 22. 3,5 m 5 j cm 23. 480 mm 5 j cm

24. 1,6 km j m 25. 6,4 cm 5 j mm 26. 2,5 m 5 j cm 27. 4 200 cm 5 j m

28. 2,5 km 5 j m 29. 110 mm 5 j cm 30. 5,6 m 5 j cm 31. 6,8 cm 5 j mm

Completa.

32. 145 cm 5 j m 45 cm 33. 4 m 30 cm 5 j mm 34. 7 km 5 6 m j m

35. 2 cm 35 mm 5 j mm 36. 8 m 50 cm 5 6 mm j cm 37. 12 m 5 10 m j cm

43. En la ecuación 32 + = 51, ¿qué número va en el recuadro para hacer verdadero este enunciado numérico?

44. Si Miguel desde el origen avanza 8 pasos a la derecha y 5 hacia arriba, ¿cuáles serían las nuevas coordenadas?

45. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a una longitud de 3,28 metros?

A 32,8 cm C 0,328 km

B 328 cm D 328 km

46. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a una longitud de 2 m 30 cm?

A 23 cm C 2 030 mm

B 230 cm D 0,23 m


38. ¿Cuántos pedazos de 10 cm puede cortar Luis de una viga? ¿Cuántos centímetros de viga sobran?

39. Rita corta un pedazo de 1 m 50 cm de un poste para acortarlo. ¿Cuánto mide el poste ahora?

40. Juan corta una tabla en tres pedazos iguales. ¿Cuántos centímetros de largo mide cada pedazo?

41. Aarón corta un poste en dos pedazos de igual tamaño. Le queda un pedazo que mide 1 m y 41 cm de largo. ¿Cuánto miden los dos pedazos que cortó?

42. Explica cómo restarías la longitud de una tabla de la longitud de un poste. Usa la tabla ilustrada arriba.



218

Longitud AnchoTamaño

Grande A

Grande B

Mediano A

Mediano B

Pequeño A

Pequeño B

2,7

2,1

2,1

1,2

2,0

1,7

2,4

3,0

2,5

2,5

2,1

2,3

Formula un problema

1. Convierte la longitud y el ancho de un columpio de centímetros a milímetros.

2. Compara la longitud en milímetros de dos columpios en el grupo grande, mediano o pequeño.

Resolución de problemas Formula un problema usando los datos de los columpios de las siguientes maneras.

Se pueden formular problemas diferentes usando un conjunto dado de datos. Para hacerlo, se deben convertir las unidades de los datos. La señorita Serra pidió a su clase que usara los datos de la tabla para escribir un problema relacionado con las dimensiones de los columpios.

Para formular un problema:

• Comprender de qué se trata el problema.

• Estudiar los datos.

• Completar todos los cálculos necesarios para resolver el problema.

• Resolver el problema para comprobar que otros puedan resolverlo según lo que has escrito.

Columpios

Grande A

Grande B

Mediano A

Mediano B

Pequeño A

Pequeño B

Tamaño Longitud (cm) Ancho (cm)

270

210

210

120

200

170

240

300

250

240

210

230

Primero, convierto las dimensiones de los columpios a metros para poder comparar con exactitud las longitudes dadas y el espacio descrito en mi problema.

Finalmente, escribo este problema sobre los datos. “En su jardín, el señor Torres tiene un espacio que mide 5 m de largo y 2 m de ancho. ¿Qué columpios puede instalar en el espacio que hay en la mitad de su jardín?”

Solución: el señor Torres puede instalar los columpios Mediano B, Pequeño A o Pequeño B.

Capítulo 9 219

12 m

14 m

12 ma

b

cd

e mf2 m

8 m

8,4 m

6,4 m7,5 m

8,4 m

6,4 m7,5 m

ÁLGEBRA

Usar las fórmulas del perímetroOBJETIVO: hallar el perímetro de polígonos usando fórmulas.

PROBLEMA Carolina está poniendo papel pintado en las paredes de su casa. Su casa tiene un perímetro de 52 metros. El plano ilustrado a la derecha indica la longitud de las paredes de su casa. ¿Cuánto papel pintado necesitará Carolina para colocar en el lado de la longitud desconocida?

Puedes usar una fórmula para hallar la longitud desconocida de un lado cuando conoces el perímetro y la longitud de los otros lados.

Resuelve la ecuación.

1. a1241325712. 281x1281145843. 451181m1125914. (2 •r)1(2 •16)5745. (2 •34)1(2 •t)5102

Ejemplo

P5la suma de las longitudes de los lados525a1b1 c1d1e1f5251411211218121f525481ff54

Piensa: Usa una variable para

representar la longitud de cada

lado.

Reemplaza f con 4 para comprobar

tu solución. 4814552 ✓

Por lo tanto, Carolina necesitará 4 metros de papel pintado para el lado final.

• Imagina que sabes que el perímetro de un hexágono regular es de 48 metros. ¿Qué fórmula usarías para hallar la longitud de cada lado?

Ejemplos Halla la longitud desconocida.

Usa el perímetro dado.

P529 m

P5a1b1c1d 2957,518,416,41d 29522,31d d56,7

Compara los lados iguales.

lado d1lado f5lado b, o d1f5bd510 y b517101f517

f57

Por lo tanto, la longitud desconocida es de 6,7 m.

Por lo tanto, la longitud desconocida es de 7 cm.

La casa de Carolina

2LECC

IÓN

Aprende

220


10 mm

10 mm

6 mmc

ba

ed

P5 mm j


1. Completa para hallar la longitud desconocida. P5a1b1c1d1e 38561j110151e 385j1e e5j

Dado el perímetro, halla la longitud desconocida.

2. P536 cm 3. P598 cm 4. P5144,25 m

35 cm

14 cm 7 cm

7 cmd

3415 cm

5. Explica cómo usar una fórmula para hallar la longitud desconocida de un lado.

Dado el perímetro, halla la longitud desconocida.

6. P551 m 7. P550 cm 8. P548 cm

13 m

8m

12 m12 m

m

24 cm

t

149 cm

9. P564,5 m 10. P5117 cm 11. P541,4 cm

44 cm

25 cm

8 cm

11 cm

x

12 cm

12. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado ilustrado a la derecha?

13. Explica cómo hallarías la longitud del lado d del Ejercicio 3 si no te hubieran dado el perímetro.

14. 1 __ 3 + 2 __

4 5

15. Un cuadrado tiene un perímetro de 16 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado?

A 16 cm C 6 cm

B 8 cm D 4 cm



Capítulo 9 221

Usa la destrezaPROBLEMA El Trump World Tower y el Leighton House, rascacielos de la ciudad de Nueva York, son de la misma forma. El Trump World Tower es un prisma rectangular. Su base mide 44 metros de largo y 23 metros de ancho. El perímetro de la base del Leighton House mide 34 metros menos que el perímetro de la base del Trump World Tower. ¿Cuál es el perímetro de la base del Leighton House?

A veces necesitas hacer generalizaciones para resolver un problema. Cuando generalizas, partes de un enunciado que es verdadero para todo un grupo de situaciones u objetos similares.

Por lo tanto, el perímetro de la base del Leighton House es de 100 m.

Piensa y comentaHaz una generalización. Luego resuelve el problema.

a. Una figura plana tiene 5 lados congruentes. El perímetro de la figura es de 90 m. ¿Cuál es la longitud de cada lado?

b. Un cuadrilátero tiene un perímetro de 24 cm. Tres de sus lados miden, cada uno, 6 cm. ¿Cuál es la longitud del cuarto lado?

Lo que sabes Generalización Conclusión

El Trump World Tower es un prisma rectangular. El Leighton House tiene la misma forma.

El Trump World Tower mide 44 m de largo y 23 m de ancho.

El perímetro de la base del Leighton House mide 34 m menos que el perímetro de la base del Trump World Tower.

Los paralelpípedos tienen bases rectangulares.

El perímetro de un rectángulo equivale a (2 · largo) � (2 · ancho).

Para hallar una cantidad menor que una cantidad dada, se resta.

El Leighton House tiene una base rectangular.

El perímetro de la base del Trump World Tower mide (2 · 44m) � (2 · 23m), o 134 m.

El perímetro de la base del Leighton House mide134 m� 34 m, o 100 m.

Destreza: hacer generalizacionesOBJETIVO: Resolver problemas usando la destreza hacer generalizaciones.

Trump World Tower

Leighton House

3LECC

IÓN

222

Haz generalizaciones para resolver un problema.

1. Paula compró una caja de cereal y 1 de avena con la misma forma. La caja de copos de maíz es un paralelepípedo. Su base mide 12 centímetros de largo y 4 centímetros de ancho. El perímetro de la base de la caja de avena mide 4 centímetros más que el perímetro de la base de la caja de copos de maíz. ¿Cuál es el perímetro de la base de la caja de avena?

Haz una tabla similar a la de la página 222. Escribe lo que sabes sobre las cajas de cereales. Luego haz una generalización y saca una conclusión.

El perímetro de la base de la caja de avena mide j centímetros.

2. ¿Qué pasaría si la base de la caja de copos de maíz midiera 10 centímetros de largo y 3 centímetros de ancho? ¿Cuál sería el perímetro de la base de la caja de avena?

3. Dos cajas de pañuelos de papel son cubos congruentes. Si el perímetro de la base de una de las cajas de pañuelos de papel es de 16 centímetros, ¿cuál es la longitud de un lado de la base de la otra caja de pañuelos de papel?

Aplicaciones mixtasUSA DATOS Para 4–7, usa las imágenes.

4. La pirámide de Micerinos es una pirámide cuadrada. La pirámide de Kefrén tiene la misma forma. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Kefrén?

6. En la pirámide de Micerinos hay tres pirámides cuadradas ubicadas a lo largo de su pared al sur. El perímetro de la base de la más grande de estas tres pirámides mide 240 metros menos que el perímetro de la base de la pirámide de Micerinos. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la base de la más grande de estas tres pirámides?

5. La pirámide de Keops es también una pirámide cuadrada, con una altura original de 144 metros aproximadamente. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Keops?

7. Javier dice que la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Micerinos es mayor que la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Keops. ¿Es razonable el enunciado de Javier? Explica tu respuesta.

Pirámide de MicerinosPerímetro de la base: 413,4 metros

Pirámide de KefrénPerímetro de la base: 844,8 m

Pirámide de KeopsPerímetro de la base: 907,2 m


Capítulo 9 223

Grupo A Convierte la unidad dada.

1. 18 cm 5j m 2. 60 mm 5j m 3. 8 m 5j mm 4. 7 km 5j m

5. 12 cm 5j mm 6. 4,3 km 5j m 7. 3 400 mm 5j cm 8. 900 cm 5j m

9. Miguel necesita 40 decímetros de cuerda para su velero. La cuerda se vende por metros. ¿Cuántos metros de cuerda necesita Miguel?

Grupo B Dado el perímetro, halla la longitud desconocida.

1. P 5 19 cm 2. P 5 18 m 3. P 5 20 mm 4. P 5 27 cm

4 m

7 m

3 m

a

b

4,5 mm

7,9 mm

3,6 mm

2 mm

x

3,5 cm 3,5 cm

10 cm

Práctica adicional

2 m

3 m

3 m

7 m

s

1 m

Grupo C Halla el perímetro de cada polígono.

1.

8 cm

6 cm10 cm

2. 4 m

2 m

3.

1,5 m

1,5 m

1,8 m

3,2 m 4.

10 cm

5. Pedro va a cortar una cuerda para marcar el perímetro de su jardín. ¿Cuánta cuerda debe cortar?

Grupo D Halla el perímetro de cada polígono usando una fórmula.

1.

5 cm

2. 3. 4 mm

4. 4 m

1 m

5. María va a cortar cinta zigzag para usar de borde en un mantel cuadrado. ¿Cuánta cinta debe cortar?

8 m 8 m

15 m

15 m

6 m

2 m

80 cm

224

La vuelta a la manzana¡Caminantes!2 jugadores

¡Equipo!• fichasde2coloresdiferentes• flechagiratoriacon3secciones

rotuladas del 1 al 3• papelcuadriculado

¡A caminar!

Cada jugador elige una ficha de un color diferente y la coloca en la SALIDA.

Los jugadores hacen girar la flecha giratoria y mueven su ficha el número de espacios indicado.

Cada cuadrado contiene un perímetro. El jugador 1 traza la mayor cantidad de rectángulos posibles con ese perímetro sobre papel cuadriculado. Las longitudes se deben dar en unidades enteras.

El jugador 1 anota un punto por cada rectángulo trazado. Cada rectángulo congruente cuenta como un solo punto. Por ejemplo, por un rectángulo de 3 · 4 y un rectángulo de 4 · 3 se anota 1 punto solamente.

El jugador 2 hace girar la flecha y el juego continúa.

Después de que cada jugador haya dado una vuelta a la manzana, gana el que haya acumulado el mayor número de puntos.

Capítulo 9 225

Comprueba los conceptos

1. Explica cómo puedes estimar el perímetro de un polígono regular.

2. Explica cómo usar papel para calcar, lápiz, un trozo de cuerda y una regla para estimar el perímetro de un objeto.

Comprueba tus destrezas Convierte la unidad dada.

3. 24 cm 5 j m 4. 5,2 cm 5 j mm 5. 6 cm 5 j mm 6. 4 m 5 j cm 7. 4 km 5 j m

Halla el perímetro de cada polígono.

8.

3,5 cm

5,5 cm 9. 8 m 10. 7 mm 7 mm

4 mm

11.

3 m 3 m

5 m

2 m

12. 5 m

2 m6 m

2 m

Halla el perímetro de cada polígono usando una fórmula.

13. 3 m

6,5 m

14. 9

12

m

1212

m

15.

9,5 cm

16.

12 cm

17.

2,2 m


18. Dos rectángulos son congruentes. Si un rectángulo tiene una longitud de 10 centímetros y un ancho de 2 centímetros, ¿cuál es el perímetro del otro rectángulo?

19. Un triángulo tiene un perímetro de 12 centímetros. Un cateto tiene una longitud de 3 metros y el otro cateto tiene una longitud de 5 metros. ¿Cuál es la longitud del tercer cateto?

20. Un pentágono regular tiene un lado que mide 12 centímetros. ¿Cuál es su perímetro?

21. La base del Cubo A y la base del Cubo B tienen el mismo perímetro. ¿Son congruentes los cubos? Explica tu respuesta.


226

Enriquecimiento • Gráficos de red

InténtaloEmpieza en A. Halla todas las rutas que puedas, incluyendo cada vértice. Identifica la ruta más corta.

¡Piénsalo!

Explica cómo se usa un gráfico de red para hallar la ruta más corta.

1. 2.

Por lo tanto, la ruta más corta en el gráfico de red de Roberto es ADCB.

Ejemplo

Paso 1 Haz una lista de las diferentes rutas. Halla la distancia total de cada una.

Paso 2 Compara las distancias.

ABDC 5 35 1 42 1 28 5 105 ABCD 5 35 1 26 1 28 5 89 ADBC 5 31 1 42 1 26 5 99 ADCB 5 31 1 28 1 26 5 85 ACBD 5 44 1 26 1 42 5 112 ACDB 5 44 1 28 1 42 5 114

Un gráfico de red es una figura compuesta de vértices y aristas. A veces, un gráfico de red se usa para representar distancias entre lugares.

Roberto trazó esta red para mostrar las distancias desde su casa (A) a la biblioteca (B), a la municipalidad (C) y al correo (D). Empezando en A, halla la ruta más corta que incluya los cuatro lugares.

Casa deRoberto

Correo

Municipalidad

Biblioteca

Las distancias están en metros.

Capítulo 9 227

Las distancias están en metros.Las distancias están en metros.


1. ¿Qué letra de la recta numérica representa mejor 2,5?

Patrones y álgebra6. ¿Cuál es el valor de la expresión?

32 − (8 + 9)

A 3 C 17

B 15 D 49

7. Divide ambos lados de la ecuación entre 7. ¿Cuál es el nuevo valor de cada lado de la ecuación? 3 + 32 = 42 − 9 + 2

A 5 = 5 C 245 = 245

B 35 = 35 D 249 = 249

10. La ecuación “ Rafa tiene el doble de la edad de su hermano y al sumar las edades obtenemos 18.

A x + x = 18 C x + 18 = x

B 2x + x =18 D 2x + 18 = x


2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a 0,78?

A C

B D

3,23

LM N O

2

1925

34

34

3950

87100

2100

781000

3. ¿Cuál de los decimales representa ?

A 0,02

B 0,2

C 2,0

D 2,2

4. ¿Olivia vive a de kilómetro de la escuela. ¿Cuál de los siguientes es una fracción equivalente a ?

A C

B D

5. ¿Qué fracción es equivalente a 0,15?

A C

B D

13

68

23

910

750

520

30200

15100

9. La inecuación “La distancia x kilómetros de la casa de Juan a la estación de metro, es menos de 5 kilómetros” se representa como:

A x < 5 C x > 245

B x = 5 D x 249

A L C N

B M D O

8. ¿Cuál número convierte en verdadera la ecuación? 5 + j + 7 = 13 + 7

A 13 C 8

B 7 D 14

228

15. El área de la figura formada es:

A. 18 cuadraditos C. 22 cuadraditos

B. 20 cuadraditos D. 24 cuadraditos20. ¿Cuántos estudiantes juegan béisbol?

A 3 C 7

B 5 D 9

11. ¿Cómo se determina el perímetro de un pentágono regular?

12. ¿Cuántos metros son 3 kilómetros?

A. 300 m

B. 3 000 m

C. 30 000 m

D. 300 000 m

13. La figura tiene un perímetro de 29 cm. ¿Cuál es el valor de x? Explica cómo hallaste tu respuesta

x2 m

3 m2 m

9 m

10 m

14. Al unir los puntos A, B, C, D, ¿cuál es el perímetro de la figura que se forma?

A. 18 cuadraditos C. 22 cuadraditos

B. 20 cuadraditos D. 24 cuadraditos


A

B C

D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10987654321

Datos y probabilidades16. Usa el gráfico de barras. ¿En qué mes la

venta de limonada de Seba muestra el mayor incremento?

A Mayo

B Junio

C Julio

D Agosto

18. ¿Cuántos estudiantes más juegan fútbol que básquetbol?

17. Ana sacó una ficha del frasco. ¿Cuál opción muestra la probabilidad de que la ficha que sacó sea un 2?

A

B

C

D

Venta de limonada de Seba

Mayo Junio AgostoJulio

Lim

on

ada

ven

did

a

Mes

40

20

0

520

30 25

Juegos que practican los estudiantes

Fútbol Básquetbol BéisbolNúm

ero

de e

stud

iant

es

8

42

6

1012

0

28

810

2103

10

1

3

2

4

1

3

1

2

5

2

A 3 C 7

B 5 D 9

Capítulo 9 229

CAPÍTULO

75 metros

50metros

ÁreaLa idea importante Los atributos de las figuras bidimensionales se pueden medir.

InvestigaTienes un terreno rectangular donde quieres sembrar frutilla. El terreno mide 75 metros por 50 metros. Imagina que quieres dividirlo en secciones más pequeñas. Describe una manera de dividir todo el terreno en dos o más secciones de menor tamaño, e indica cuáles son sus áreas.

La frutilla chilena pertenece a la familia de los rosáceos, es originaria de Chile y su cultivo es anterior a la llegada de los españoles.

10

230

DATOBREVE


uHallar el área usando papel cuadriculadoHalla el área de cada figura en unidades cuadradas.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

uMultiplicar números de 2 dígitos por números de 1 dígitoHalla el producto.

9. 39 • 6 10. 45 • 3 11. 18 • 7 12. 70 • 4 13. 56 • 8

14. 27 • 5 15. 98 • 6 16. 32 • 2 17. 65 • 7 18. 49 • 5


áreabasealturaunidad cuadrada

PREPARACIÓN

área El número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie.unidad cuadrada Una unidad de área cuyas dimensiones son de 1 unidad • 1 unidad.base Un lado de un triángulo o de un paralelogramo que sirve para hallar el área.

Capítulo 10 231

Paso

Paso Paso

ÁLGEBRA

Relacionar el perímetro y el áreaOBJETIVO: identificar la relación entre el perímetro y el área.

PRoBLEmA Los estudiantes de la escuela Valle Central están pintando un panel rectangular para una obra de teatro. El panel tiene la mayor área posible para un perímetro de 16 metros. ¿Cuál es la longitud y el ancho del panel?

Halla la medida que falta.

1. l 5 6 cm a 5 12 cm A 5 j

2. l 5 8,2 m a 5 5,5 m A 5 j

Actividad

materiales: papel punteado

Puedes usar cuadrícula para hallar el rectángulo que tenga la mayor área.

Traza rectángulos con perímetros de 16 unidades en el papel punteado.

Halla y registra el área de cada rectángulo. Cada unidad cuadrada representa 1 m2.

Haz una tabla para registrar la longitud, el ancho, el perímetro y el área de cada rectángulo. ¿Qué longitud y qué ancho dan el área mayor?

Longitud (m)

7

Ancho (m)

1

Perímetro (m)

16

Área (m2)

7

Por lo tanto, para tener el área mayor, el panel debe ser un cuadrado de 4 m de lado. El área es 4 m • 4 m, o 16 m2. El área es el resultado de multiplicar la longitud por la anchura.

• Si el panel tuviera un perímetro de 12 m, ¿cuáles serían la longitud y el ancho para que el panel tuviera la mayor área?

• ¿Cuál sería la forma del rectángulo?

Idea matemáticaDado el perímetro, el área del cuadrado es mayor que la de cualquier rectángulo.

1 • 7 2 • 6 3 • 5 4 • 4

A 5 7

1LECC

IÓN

Vocabularioárea

232

Paso

Paso

Longitud (m)

36

j

j

j

j

Ancho (m)

1

2

3

j

j

Perímetro (m)

j

j

j

j

j

Área (m2)

36

36

36

36

36

Longitud (m)

20

10

5

Ancho (m)

1

2

4

Perímetro (m)

42

24

18

Área (m2)

20

20

20

El padre de Ana quiere plantar un jardín y cercarlo con ladrillos. Quiere usar la menor cantidad posible de ladrillos. El jardín tendrá un área de 36 m2. ¿Qué rectángulo de esta área tendrá el menor perímetro?

Actividad

materiales: fichas cuadradas, papel cuadriculado

Puedes usar cuadrículas para hallar el rectángulo que tenga el menor perímetro.

Usa fichas cuadradas para crear diferentes rectángulos que tengan 36 m2 de área. Cada ficha representa 1 m2. Puedes usar papel cuadriculado para registrar cada rectángulo.

Copia y completa la tabla para registrar tus resultados. (PISTA: Para determinar la longitud y el ancho de todos los enteros posibles, halla todos los factores de 36.)

Por lo tanto, el menor perímetro es de 24 metros. El jardín debe ser un cuadrado con lados de 6 metros.

• A medida que los rectángulos de áreas iguales se aproximan a ser cuadrados, ¿qué pasa con sus perímetros?

EjemploEl padre de Ana hizo otro jardín con un área de 20 m2. Usando solo números naturales, ¿qué rectángulo de esta área tiene el menor perímetro?

Usa fichas cuadradas y haz una tabla. Usa factores de 20 para la longitud y el ancho.

Por lo tanto, el menor perímetro es de 18 metros. La longitud del rectángulo es de 5 metros y el ancho es de 4 metros.

• ¿Por qué no tiene forma de cuadrado este jardín?

Idea matemáticaDada el área, el perímetro del cuadrado es menor que el de cualquier rectángulo.

Capítulo 10 233


Para 1–3, usa los rectángulos de la derecha.

1. ¿Cuál es el perímetro de cada rectángulo?

2. ¿Qué rectángulo tiene la mayor área?

3. ¿Cuál es la forma del rectángulo que tiene la mayor área?

Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área. Usa solo números naturales.

4. 8 mm 5. 28 m 6. 34 m 7. 10 cm 8. 44 cm

Dada el área, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene el menor perímetro. Usa solo números naturales.

9. 28 cm2 10. 32 km2 11. 64 cm2 12. 54 m2 13. 49 km2

14. Explica qué sucede con el área de un rectángulo que tiene un perímetro, dado a medida que la diferencia entre la longitud y el ancho aumenta.

Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área. Usa solo números naturales.

15. 60 m 16. 54 cm 17. 4 km 18. 100 cm 19. 46 mm


20. 40 mm2 21. 9 km2 22. 15 m2 23. 45 cm2 24. 100 cm2

25. Copia y completa la tabla para hallar el área de rectángulos que tengan un perímetro de 10 m. Describe los patrones que ves.

26. Formula un problema sobre una piscina que tiene una longitud de 40 m y un ancho de 20 m.

27. ¿Cuál es la mayor área que puede cercarse con 100 metros de material? ¿Y la menor? Usa números naturales.

28. ¿Cuál es el error? Julián dice que dado un perímetro, el rectángulo con el mayor ancho tiene la mayor área. ¿Qué error cometió Julián?

A B C



Ancho (m)

Longitud (m)

Área (m2)

0,5

�

�

1

�

�

1,5

�

�

2

�

�

2,5

�

�

234


Un pentominó es una figura formada por cinco cuadrados. Cada cuadrado debe estar unido por un lado a otro cuadrado. A la derecha se muestran dos ejemplos.

¿Tienen todos los pentominós el mismo perímetro?

Materiales papel cuadriculado

Usa papel cuadriculado para trazar por lo menos, otros tres ejemplos de pentaminós. Luego halla los perímetros.

En las ilustraciones a la derecha, dos pentominós tienen un perímetro de 12 unidades, y un pentominó tiene un perímetro de 10 unidades.

Por lo tanto, no todos los pentominós tienen el mismo perímetro.

Usa el razonamiento lógico para responder las preguntas.

1. ¿Tienen todos los pentominós la misma área? Explica tu respuesta.

2. Traza tantos pentominós diferentes como puedas. Luego muéstraselos a un compañero. ¿Cuántos pentaminós se pueden hacer?

P 5 12 unidades P 5 10 unidades P 5 12 unidades

29. Halla el valor de la expresión. (5 • m) 1 21 si m 5 12. 30. ¿Cuál es el área del patio?

4,5 m

6 m

3 m

3 m

31. Raúl quiere cercar su jardín con alambre. El jardín tiene un largo de 3,5 metros y un ancho de 2,7 metros, ¿cuánto alambre necesitará Raúl?

32. ¿Cuál es la mayor área posible de un rectángulo que tiene un perímetro de 24 metros?

33. ¿Cuál es el menor perímetro posible de un rectángulo que tiene un área de 144 metros cuadrados?

A 12 metros C 50 metros

B 24 metros D 148 metros

A 10 m2

B 24 m2

C 30 m2

D 35 m2

Capítulo 10 235

Usa la estrategiaPRoBLEmA El padre de Juan está construyendo un tablero de juegos con 5 filas de cuadrados de dos centímetros. Empieza con una fila de 3. Cada una de las filas siguientes tiene 2 más que la anterior. ¿Cuál es el área de la 5a fila del tablero?

Estrategia: comparar estrategiasOBJETIVO: comparar distintas estrategias para resolver problemas.

• ¿Cómosabesquelarespuestaescorrecta?

• ¿Cómopuedesusarcadaestrategiapararesolverelproblema?

Hacer un diagrama Buscar un patrón

2 cmfila 5fila 4

fila 3

fila 1fila 2

Fila

Cantidad deladrillos

Área (cm2)

1

12

2

20

3

28

4

36

5

?

18 18 18 18

3 5 7 9 11

área de 1 cuadrado: 2 · 2 5 4 cm2

área de 11 cuadrados en la 5a fila: área de cuadrados de la 5a fila: 4 · 11 5 44 cm2 36 1 8 5 44 cm2

Por lo tanto, el área de la 5a fila del tablero es de 44 cm2.


Puedes usar más de una estrategia para resolver un problema. Usa las estrategias hacer un diagrama y buscar un patrón.

• ¿Quévisualizascuandoleeselproblema?

•¿Quéinformaciónseda?

2LECC

IÓN

236


5 m huerta

jardín dehierbas

jardínde rosas

12 m

9 m

9 m

1. Raquel está construyendo una pared con 6 filas de bloques cuadrados. La fila inferior tiene 17 bloques. Cada una de las demás filas tiene 3 bloques menos que la anterior. El lado de cada bloque es de 10 centímetros. ¿Cuál es el área de la fila superior?

Primero, haz un diagrama para resolver el problema. Traza los bloques de cada fila. Halla el área de 1 bloque. Luego multiplica esa área por la cantidad de bloques de la fila superior.

10 cm

10 cm

fila superiorfila 5fila 4fila 3fila 2

fila inferior

Luego, busca un patrón para resolver el problema. Haz una tabla y registra la cantidad de bloques de cada fila. Halla el área de cada una de las 3 primeras filas y busca un patrón.

Fila

Cantidad de bloques

Área (cm2)

inferior

17

1 700

2

14

1 400

3

11

�

4

�

�

5

�

�

superior

�

�

Por último, compara las respuestas que hallaste usando las dos estrategias.

2. ¿Qué pasaría si cada fila tuviera 2 bloques menos que la anterior? ¿Cuál sería el área de la fila superior?

3. En el centro de un jardín hay 5 cajas rectangulares de flores dispuestas en una fila. La primera caja de flores tiene 24 cm de longitud y 4 cm de ancho. Todas las cajas de flores tienen la misma longitud, pero cada una es 2 centímetros más ancha que la anterior. ¿Cuál es el perímetro de la quinta caja de flores?


USA DAToS Para 4–5, usa el diagrama.

4. El área total de los jardines es de 366 m2. ¿Cuál es el área del jardín cuadrado de hierbas? ¿Cuál es el perímetro del jardín de hierbas?

5. Pamela plantó otros 6 jardines de rosas como el del diagrama. Cada jardín es un cuadrado cuya longitud en uno de sus lados mide 1 metro menos que la del jardín anterior. ¿Cuál es el área de los siete jardines de rosas?

6. Carlos pagó $ 8 700 por una estatua y una fuente. La estatua le costó $1 500 más que la fuente. Explica cómo puedes hallar el precio de cada artículo que compró Carlos. ¿Cuánto costó cada artículo?




Buscar un patrón


Predecir y probar






Capítulo 10 237

Representar el área de los triángulosOBJETIVO: representar el área de triángulos.

materiales ■ papel cuadriculado en centímetros ■ regla

Puedes usar papel cuadriculado y lo que sabes sobre el área de un rectángulo para hallar el área de un triángulo.

Traza un rectángulo de 6 • 15 en el papel cuadriculado.

Recorta el rectángulo, halla su área y regístrala.

Traza una diagonal en el rectángulo. Corta por la línea para formar dos triángulos congruentes. ¿Cuál es el área de cada triángulo?

Repite los Pasos A a C con un rectángulo de 8 • 18. ¿Cuál es el área de cada nuevo triángulo?

Sacar conclusiones 1. Explica cómo hallaste el área de cada triángulo.

2. ¿Resultan siempre dos triángulos congruentes al trazar una diagonal en un rectángulo? Explica tu respuesta.

3. Aplicación ¿Cómo se compara el área de uno de los triángulos con el área del rectángulo?

1. 1 __ 2 • 8 2. 1 __

2 • 20

3. 1 __ 2 • 15 4. 1 __

2 • 4,2

5. 1 __ 2 • (2 • 5)

3

238

Puedes usar papel cuadriculado para hallar el área de cualquier triángulo.

Por lo tanto, el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo.

Traza y sombrea una representación de un triángulo dentro de un rectángulo.

Recorta el rectángulo y luego recorta el triángulo sombreado.

Coloca las partes del rectángulo que no están sombreadas sobre el triángulo sombreado. ¿Qué notas?

La fórmula para el área de un rectángulo es A 5 l • a. ¿Qué fórmula podrías usar para el área de un triángulo?

Usa el rectángulo a la derecha para 1–3.

1. ¿Cuántas unidades de longitud tiene el rectángulo? ¿Cuántas unidades de ancho tiene?

2. ¿Cuál es el área del rectángulo en unidades cuadradas?

3. ¿Cuál es el área de cada triángulo en unidades cuadradas?

Hallaeláreadecadatriángulosombreadoencentímetroscuadrados.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. Explica cómo usar un rectángulo para hallar el área de un triángulo.

Paso Paso Paso

Capítulo 10 239

Paso Paso Paso

Actividad materiales: ■ papel cuadriculado ■ tijeras

ÁLGEBRA

Área de los triángulosOBJETIVO: Hallar el área de los triángulos.

PRoBLEmA ¿Cuánto material se necesita para hacer un estandarte triangular de 6 m de base y 4 m de altura?

Halla la suma.

1. 1 __ 2 • 4 2. 1 __

2 • 21

3. 1 __ 2 • 16 4. 1 __

2 • 4 • 2

5. 1 __ 2 • 3 • 4

Vocabularioaltura base

Traza y sombrea una representación del estandarte.

altura = 4 m

base = 6 m

La altura es la longitud de un segmento perpendicular a la base del triángulo.

Traza un rectángulo alrededor del triángulo, como se muestra en la figura. Halla el área del rectángulo.

altura= 4 m

base = 6 m

Rectángulo:A 5 b (base) • h (altura) A 5 6 • 4 5 24

Recorta el rectángulo. Córtalo por la mitad para formar dos triángulos congruentes.

El área de cada triángulo es la mitad del área del rectángulo.

Triángulo:

A 5 1 __ 2 • (b • h)

A 5 1 __ 2 • 24 5 12

Por lo tanto, la cantidad de material necesaria para el estandarte es de 12 m2.

Más ejemplos Usa la fórmula.

Halla el área.

altura= 3 cm

base = 5 cm

A 5 1 __ 2 • (b • h)

A 5 1 __ 2 • (5 • 3) 5 7,5

El área es de 7,5 cm2.

Halla el área.

altura= 4 m

base = 5 m

A 5 1 __ 2 • (b • h)

A 5 1 __ 2 • (5 • 4) 5 10

El área es de 10 m2.

Halla el área de cada triángulo. 1.

altura= 6 m

base = 9 m

2. altura= 5 cm

base = 8 cm

Idea matemáticaPuedes usar la fórmula A 5 1 _ 2 • (b • h) para hallar el área de cualquier triángulo.

Aprende


4LECC

IÓN

240


Halla el área de cada triángulo.

3. altura =

5 unidades

base = 5 unidades

4.

base = 8 unidades

altura = 5 unidades 5. altura = 5 unidades

base = 7 unidades

6. Explica la relación entre el área de un rectángulo y el área de un triángulo.

Halla el área de cada triángulo. 7. altura = 3 unidades

base = 7 unidades

8. altura = 5 unidades

base = 6 unidades

9.

altura =4 unidades

base = 7 unidades

10. base (b) 5 14 m 11. base (b) 5 7 cm 12. base (b) 5 6 m

altura (h) 5 8 m altura (h) 5 11 cm altura (h) 5 10 m

Área (A) 5 j Área (A) 5 j Área (A) 5 j

Para 13–14, usa el diagrama.

13. Para completar el centro del patrón, Natalia compró baldosas blancas del mismo tamaño y de la misma forma que las baldosas moradas. ¿Cuántas baldosas blancas compró?

14. Razonamiento Las baldosas del patrón son triángulos isósceles rectángulos. Los dos lados más cortos de cada triángulo miden 1 decímetro cada uno. Estima el área de la parte morada.

15. ¿Cuál es el error? Un triángulo tiene una base de 4 m y una altura de 8 m. Paula dice que su área es de 32 m2. Describe y corrige su error.

16. Tomás está pintando un cartel de 4 m por 4 m. ¿Cuál es su área?

17. ¿Cuál es el perímetro de un cuarto de 12 m por 15 m?

18. Una bandera triangular tiene una base de 5 metros y un área de 25 m2. ¿Cuál es la altura de la bandera?

A 5 m C 15 m

B 10 m D 20 m



Capítulo 10 241

Paso Paso Paso

Recuerda

ÁLGEBRA

Área de los paralelogramosOBJETIVO: Hallar el área de los paralelogramos.

PRoBLEmA El perro de Julia va a un corral para perros que tiene la forma de un paralelogramo. El corral está cubierto de arena. Una bolsa de arena cubre 1 metro cuadrado. ¿Cuántas bolsas de arena se necesitan para cubrir el corral?

Las longitudes de la base y de la altura del corral aparecen a continuación. Halla el área del paralelogramo.

base 9 m

altura 6 m

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos y congruentes.

Usa el área de un rectángulo.

Para hallar el área de un paralelogramo puedes usar papel cuadriculado y lo que sabes sobre el área de un rectángulo.

Por lo tanto, se necesitan 54 bolsas de arena para cubrir el corral para perros.

• ¿Cómo se relacionan la base y la altura del paralelogramo en el Paso 1 con la longitud y el ancho del rectángulo en el Paso 3?

Traza un diagrama del paralelogramo sobre papel cuadriculado y recórtalo. Traza un segmento para formar un triángulo rectángulo como el de la ilustración.

Cuenta los cuadrados de la cuadrícula para hallar el área del paralelogramo.

Hay 6 hileras de 9 cuadrados, o 54 cuadrados.

Recorta el triángulo rectángulo de la izquierda y muévelo a la derecha del paralelogramo para formar un rectángulo.

Halla el área de cada rectángulo.

1. 5 km • 11 km2. 4 dm • 12 dm3. 6,2 cm • 5,3 cm4. 10, 5 m • 13 m5. 35 km • 40 km

Aprende

5LECC

IÓN

242

Paso Paso Paso

ADVERTENCIA

ADVERTENCIA

ADVERTENCIA

ADVERTENCIA

A 5 b • h A 5 6 • 4 A 5 24

4 m

6 m El área es de 24 m2.

A 5 b • h A 5 6,2 • 5,4 A 5 33,48

5,4 cm

6,2 cm El área es de 33,48 cm2.

Halla el área de un triángulo.

A 5 1 __ 2 • 11 • 5

A 5 27,5

El área de los dos triángulos es 2 3 27,5 o 55 m2.

Por lo tanto, el área del corral para perros sería 55 m2.

• ¿Cómo se relaciona el área de cada triángulo con el área del paralelogramo?

Usa el área de un triángulo.

¿Cuál sería el área del corral para perros si la base fuera de 11 metros y la altura fuera de 5 metros?

Traza un paralelogramo de 5 m • 11 m en papel cuadriculado y recórtalo.

Corta el paralelogramo por una diagonal para formar dos triángulos congruentes.

11 m

El lado inclinado de un paralelogramo no es su altura. La altura debe formar un ángulo de 90° con la base.

Escribelabaseylaalturadecadaparalelogramo.Luego, halla su área en unidades cuadradas. 1. 2.

3.

El área de un paralelogramo es igual al área de un rectángulo que tenga la misma base (longitud) y la misma altura (ancho).

Área de un rectángulo 5 longitud • ancho A 5 l • a

Área de un paralelogramo 5 base • altura A 5 b • h

Más ejemplos Halla el área.


Capítulo 10 243

10,2 cm

12,4 cm

45 m

51 m

Halla el área de cada paralelogramo.

8. 4 km

7 km

9. 10.

11. 12. 13.

Halla el área de cada paralelogramo.

4. 5. 6.

7. Compara el área de un rectángulo de 5 cm de longitud y 6 cm de ancho con el área de un paralelogramo con una base de 5 cm y una altura de 6 cm.

14. Un patio de juegos tiene la forma de un paralelogramo con una base de 34 m y una altura de 20 m. El patio de juegos está dividido en dos triángulos congruentes. ¿Cuál es el área de cada triángulo?

16. DATO BREVE La región del Maule tiene más o menos la forma de un paralelogramo. Tiene aproximadamente 30 469,1 km2 de área o superficie. Estima la base si su altura es aproximadamente 180 km.

17. ¿Cuál es la pregunta? La base de un paralelogramo es 7 m. El área es 28 m2. La respuesta es 4 m.

15. Razonamiento La base de un paralelogramo es el doble de su altura. Si la base es de 12 cm, ¿cuál es su área?

Practica adicional en la página 247, Grupo C

Superficie Región del Maule 30 469,1 km2

p Región del Maule

Talca

Curicó

Cauquenes

Linares

8 cm

12 cm

6 m

5 m

15 cm

15 cm


9 m

42 m1

244


Paso Paso

18. Empieza en el origen. Avanza 8 unidades hacia arriba y luego desciende 3 a la derecha y por último desciende 6 unidades. ¿Qué par ordenado está representado?

19. Una vela triangular tiene una base de 5 metros y una altura de 6 metros. ¿Cuál es el área?

20. Gina está haciendo un cubo de madera hueco. Ya cortó 4 piezas cuadradas de madera para las caras del cubo. ¿Cuántas piezas más necesita?

21. El área de un paralelogramo es de 112 km2. La altura es de 7 kilómetros. ¿Cuál es la longitud de la base?

A 16 kilómetros C 392 kilómetros

B 56 kilómetros D 784 kilómetros

22. ¿Cuál es el área de toda la figura si está dividida en dos paralelogramos congruentes?

A 74 cm2 C 840 cm2

B 420 cm2 D 1 680 cm2

ÁLGEBRA Y GEomETRÍA Para hallar el área de un trapecio puedes usar papel cuadriculado y lo que sabes sobre el área de un paralelogramo.

Usa los trapecios para contestar las preguntas.

Ordena los trapecios para formar un paralelogramo.

1. ¿Cuánto mide la base del paralelogramo?

3. ¿Cómo se relacionan las áreas de los trapecios con el área del paralelogramo?

2. ¿Cuál es el área del paralelogramo?

4. Halla el área de un trapecio. Explica cómo hallaste tu respuesta.

Traza estos dos trapecios idénticos sobre papel cuadriculado. Rotúlalos y recórtalos.

5. La fórmula del área de un trapecio es Área 5 1 _ 2 • altura • (base 1 1 base 2). Usa la fórmula para verificar el área de cualquiera de los trapecios.

14 cm

30 cm

Capítulo 10 245

Grupo A Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área. Usa solo números naturales.

1. 20 m 2. 18 cm 3. 32 mm 4. 40 km 5. 30 cm


6. 14 cm2 7. 24 m2 8. 18 cm2 9. 42 mm2 10. 36 km2

11. Carla tiene una tira de flecos de 24 metros de longitud que planea usar en el borde de una pieza de tela rectangular. ¿Cuál es la longitud y el ancho del rectángulo de mayor área?

12. ¿Cuál es el área del patio de juegos?

13. María está diseñando un tapiz rectangular de 3 m2 de área para la pared. Quiere usar la menor cantidad posible de hilo dorado para el borde. ¿Qué rectángulo tendrá el menor perímetro?

Práctica adicional

Grupo B Halla el área de cada triángulo.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

8 m

10 m

12 m

16 m

18 cm

24 cm5 m

12 m

8 mm

10 mm12 cm

246

7. La vela triangular de un barco tiene una base de 1 metro y una altura de 3 metros. ¿Cuál es el área de la vela?

8. Otra embarcación tiene una bandera triangular en el extremo del mástil. La bandera tiene una base de 30 centímetros y una altura de 15 centímetros. ¿Cuál es el área de la bandera?

Grupo C Halla el área de cada paralelogramo.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

6 cm

24 cm

15 cm3 m

9 m

10,2 m

8 m

15 cm3,5 mm

10,5 mm

7. Un patio tiene forma de paralelogramo. Su base es de 7 metros y su altura es de 4 metros. ¿Cuál es el área del patio?

7 m

4 m

Capítulo 10 247

19. Julia usó piezas de tela cuadradas de 3 cm para hacer un patrón. La primera hilera tenía 3 piezas. Cada una de las demás hileras tenía 3 piezas más que la hilera de arriba. ¿Cuál es el área de la cuarta hilera de piezas de tela?

VoCABULARIo

área

base

altura

Comprueba el vocabulario y los conceptos Para 1–2,eligelamejorpalabradelrecuadro.

1. El ____________ de una figura es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrirla.

2. La longitud de un segmento perpendicular a la ____________ de un triángulo es la altura.

Comprueba tus destrezas Estimaeláreadelafigurasombreada.Cadacuadrado de la cuadrícula mide 1 cm2.

3. 4. 5.

Halla el área de cada figura.

6.

13

8 7. 8. 9.

6 cm

7 cm9 cm

3,5 cmDado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo de mayor área. Usa solo números enteros.

10. 12 mm 11. 34 km 12. 14 cm 13. 20 cm 14. 24 m

Halla el área de cada triángulo o paralelogramo.

15. 4 m

6 m

16. 17.

10 cm

18.

12 mm

6 mm



20. Explica cómo podrías hallar el área de las piezas de un patrón como el del Ejercicio 19, pero con 6 hileras. ¿Cuál es el área?

6 cm

11 cm

m

m3,5 cm

15 mm

15 mm

12,2 cm

248

14 3 12 5 168

10 3 8 5 80

168 2 80 5 88

Enriquecimiento • Hallar el área

complejas

¡Piénsalo!Maca quiere empapelar la pared de una tienda de 8 metros

por 12 metros. La pared tiene una ventana cuadrada. Un lado de la ventana es de 3 metros. ¿Cuánto papel necesita? Explica cómo hallaste la respuesta.

Áreas El área es el número de unidades cuadradas que se necesitan para cubrir una superficie. El área de un rectángulo se halla multiplicando la longitud por el ancho: A 5 l • a. Algunas veces solo es necesario hallar una parte del área total.

EjemploRaúl está poniendo baldosas decorativas en los bordes de un piso. La parte sombreada del diagrama muestra el área que se cubrirá con baldosas. ¿Cuántos metros cuadrados de baldosas decorativas necesita Raúl?

Por lo tanto, Raúl necesita 88 m2 de baldosas.

Inténtalo 1. El diagrama muestra la pared que Ana quiere empapelar. Las áreas

blancas son ventanas que tienen 3 metros de largo y 2 metros de ancho. ¿Cuánto papel de empapelar necesitará Ana?

2. David está pintando el decorado para una obra. La parte sombreada del diagrama será de color verde. Cada cuadrado tiene 2 metros por 2 metros. ¿Qué parte del decorado será verde? ¿Qué parte será amarilla?

8 m 14 m

9 m

14 m

13 m

10 m

8 m12 m

14 m

10 m

8 m 14 m

9 m

14 m

13 m

10 m

8 m12 m

14 m

10 m

Paso 1 Halla el área de todo el piso.

Paso 2 Halla el área del piso que no se cubrirá con baldosas.

Paso 3 Resta. La diferencia es el área de la parte sombreada del diagrama.

Capítulo 10 249

Opción múltiple

1. ¿Qué par de líneas parecen ser perpendiculares?

A

B

C

D

2. ¿Cuál de las siguientes figuras parece ser congruente con esta figura?

A

B

C

D

3. ¿Qué enunciado acerca de esta figura es verdadero?

A La figura no tiene simetría

B La figura solo tiene simetría axial

C La figura está rotada

D La figura no tiene simetría

4. ¿Cuál es la mejor estimación del perímetro del trapecio?

1 cm

1,25 cm

0,75 cm 0,75 cm

A 2 centímetros C 6 centímetros

B 4 centímetros D 8 centímetros

5. El perímetro de la siguiente figura es de 132 cm. ¿Cuál es la longitud del lado desconocido?

20 cm

46 cm

23 cm

23 cmX

5 cm

A 15 cm C 20 cm

B 18 cm D 22 cm

6. Jacinta está cosiendo una bandera para un edificio oficial. ¿Cuánto material necesitará para hacer una bandera triangular con una base de 5 metros y una altura de 7 metros?

A 6 metros cuadrados

B 12 metros cuadrados

C 17,5 metros cuadrados

D 35 metros cuadrados


5 m7 m

250

7. ¿Cuál es el área total de la caja formada por el siguiente patrón?

A 31 unidades cuadradas

B 50 unidades cuadradas

C 62 unidades cuadradas

D 75 unidades cuadradas

8. Se pondrá una cerca de alambre, con cuatro corridas, a un terreno rectángular. ¿Cuánto alambre se necesita?

Respuesta breve

10. Halla el perímetro del pentágono en centímetros.

24 m

13 m

1,8 cm

1,8 cm

1,8 cm1,8 cm

1,8 cm

A 37 metros C 148 metros

B 74 metros D 296 metros

9. Romina va a pintar una pared en su dormitorio que mide 5 metros de largo y 3 metros de ancho. Un tarro de pintura alcanza para 5 m2. ¿Cuántos tarros tiene que comprar Romina?

A 5 tarros C 3 tarros

B 4 tarros D 2 tarros

11. Renato quiere envolver con papel de regalo una caja que mide 11 centímetros • 14 cm • 3 cm. ¿Qué unidades debe usar para decidir cuánto papel de regalo necesita? ¿Cuánto papel de regalo necesita Renato? Muestra tu trabajo.


15. Imagina que tienes que elegir uno de los lingotes planos de oro que se muestran en la tabla. Cada uno tiene el mismo perímetro y grosor. Quieres el lingote más grande, el que tenga la mayor área. ¿Cuál lingote de oro deberías elegir? Explica tu razonamiento.


12. ______ El perímetro de un triángulo equilátero de 15 cm por lado es 40 cm.

13. ______ Un cuadrado de área 64 cm2, sus lados miden 8 cm cada uno.

14. ______ Todo polígono regular posee simetría axial.

Lingotede oro

A

B

C

Longitud (en cm)

5

4

3

Ancho(en cm)

Perímetro(en cm)

12

12

12

Área (encm2)

16. En la siguiente figura, EFGH es un paralelogramo. Si el área del triángulo EFH es de 18 cm2, ¿cuál es el área de EFGH? Explica tu respuesta.

Capítulo 10 251

De aquí yde allá



252

Juegos de agua

Construidos para estremeCer

Has estado alguna vez en un parque acuático? En Chile hay aproximadamente 20 parques acuáticos.

Thermas Internacional es uno de los parques acuáticos más grandes de Chile. Se ubica en la ciudad de Til til, al norte de la Región Metropolitana. Cuenta con más de diecisiete piscinas, súper toboganes y otras atracciones.

1 Seis pistas de toboganes con circuitos de más de 1 200 metros de emocionantes caídas y adrenalina los transportan sinuosamente hasta cuatro refrescantes piscinas hexagonales. ¿Cuántos centímetros de longitud tienen las seis pistas de toboganes?

2 Original Castillo Acuático Medieval con más de 500 m² de espectaculares piscinas, espejos de agua y una mini piscina para niños de hasta 5 años. ¿Qué longitud y qué ancho puede tener el Castillo?

3 El espacio necesario para construir el Castillo se llama planta. Supongamos que la planta del Castillo tiene las medidas mostrada en la figura.

Usa la planta que se encuentra en la derecha para estimar su perímetro.

4 Explica cómo cambiarías los números si estimaras el área en centímetros.

¿

50 metros

10 m

etro

s

Planta


Capítulo 10 253

¡HaCer olas!

uchos parques acuáticos tienen piscinas de olas, al igual que juegos acuáticos. Las

piscinas de olas más grandes del mundo miden desde los 75 000 a los 140 000 metros cuadrados. ¡Las bombas hidráulicas pueden crear olas que miden 9 metros de altura, permitiendo a las personas practicar surf en una piscina de olas!

Ubicada en Wild Water Adventure, Blue Wave es la piscina de olas más grande de

California (EE. UU.), con una capacidad de más de un millón de galones de agua.

Diseña un área de chapoteo para una piscina de olas. Una de las piscinas más grandes contiene 350 000 litros de agua, lo que es igual a 700 m3 cúbicos aproximadamente. El área de chapoteo de tu piscina debe tener una planta rectangular o triangular. Asegúrate de que tenga

la misma profundidad en todas partes.

u ¿Qué pasaría si el área de chapoteo de tu piscina de olas fuera larga y angosta y tuviera la misma profundidad en todas partes? ¿Qué tan cerca estarías de tener una piscina de olas con un volumen de 700 m3?

u ¿Cuáles serían las dimensiones si mantuvieras una profunidad de 2 metros pero convirtieras el área de chapoteo de la piscina en un cuadrado?

M

Datos y probabilidades 4

254

GráficocircularHistograma

Diagramade talloy hojas

Gráficode

barrasGráfico de

líneas

Tallo123

Hojas0 1 15 8 7

� La Meteorología es el estudio del tiempo y del clima. Se lleva un registro de datos de la cantidad de rayos que ha caído.

� El equipo usado para reunir datos se transporta en camiones a los sitios donde puede haber tormentas o tornados.

� Los datos que se reúnen, de miles de estaciones meteorológicas, se representan gráficamente de muchas maneras.

¿Qué ideas matemáticas se usan en Matemática en Contexto? ¿Qué clase de datos podrías reunir en una estación meteorológica? ¿Cómo presentarías esos datos?

Copia y completa el esquema como se muestra a continuación. Usa lo que sabes sobre gráficos para relacionar el nombre del gráfico con el dibujo que más se le parezca.

REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las palabras que siguen cuando aprendiste a reunir y a presentar datos. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

gráfico circular Gráfico que muestra cómo se relacionan las partes de los datos con el todo y entre sí.

gráfico de líneas Gráfico que usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos con el transcurso del tiempo.


Capítulo 11 255

Sebastián Keitel, atleta velocista chileno, nació en 1973; su especialidad eran los 100 y 200 metros planos. Sebastián llegó a ser considerado el hombre blanco más rápido de la

historia.En 1995 consiguió su mayor logro deportivo: el tercer puesto en el Campeonato Mundial Indoor en los 200 m planos.

Puntajes por equipo del CampeonatoMetropolitano Juvenil

CDUC

AT Santiago

U. Chile

U. Austral

Phoenix Temuco

AT Francés

AT Oasis

Windsor School

ClubDeportivo

372

131

51

52

21

10

19

4

Mujeres

256

128

119

12

33

40

24

33

Hombres

Analizar datosLa idea importante Los datos se pueden reunir y analizar.

InvestigaEn el campeonato metropoli-tano juvenil de atletismo, organizado por el Club Deportivo Universidad Católica, se desarrollaron cerca de 40 pruebas en junio de 2012. La tabla muestra los resultados por equipo de hombres y mujeres. Compara los datos sobre hombres y mujeres usando dos medidas de tendencia central.

11

256

DATOBREVE

Especies en peligrode extinción en 2011

400300200100

0

Cant

idad

Clases de animales

mam

íferos

aves

reptiles

peces

insectos

moluscos

gaviota

martín pescador

choroy

cormorán

Frecuencia

18

9

5

13

Avistamiento de avesen la Región de Los Lagos


u Leer gráficos de barrasPara 1–3, usa el gráfico de barras.

1. Haz una lista de las especies en peligro de extinción, ordenándolas de mayor a menor.

2. Estima la cantidad total de especies en peligro de extinción en 2011.

3. ¿En cuál clase de animales hay más especies en peligro de extinción, las aves o los reptiles? ¿Aproximadamente cuántas especies más hay en peligro de extinción?

u Leer tablasPara 4–6, usa la tabla.

4. ¿Qué ave se ve con mayor frecuencia?

5. ¿Cuál es la cantidad total de aves que se muestra en los datos?

6. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de gaviotas y la cantidad de pájaros choroy?


encuesta Un método para reunir información acerca de un grupo.

media Es el promedio de un conjunto de datos.

rango La diferencia entre el mayor valor y menor valor de los datos.

gráfico de barrasgráfico circulartabla de frecuenciagráfico de líneas

promediopictogramarangoencuesta

Capítulo 11 257

Aprende

Hallar la media (promedio)OBJETIVO: hallar la media de un conjunto de datos.

PROBLEMA Chile tiene muchos faros a lo largo de su costa. ¿Cuál es la altura media de los faros que se muestran en la tabla?

La media es el promedio de un conjunto de números.

Ejemplo 1

PasoSuma las alturas para hallar el total.

7 1 14 1 18 1 19 5 58

Divide la suma entre el número de sumandos.

58 : 4 5 14,5

Por lo tanto, la altura media de estos faros es de 14,5 m.

Más ejemplos Halla la media de cada conjunto de datos.

7,2; 8,3; 7,6; 9,1; 6,8

Halla la suma.

7,2 1 8,3 1 7,6 1 9,1 1 6,8 5 39


39 : 5 5 7,8

PasoMultiplica la media por el número total de valores del conjunto de datos.

15 • 5 5 75

Suma los valores del conjunto de datos para hallar el total sin el valor que falta.

10 1 18 1 14 1 10 5 52

Resta la suma del producto.

75 2 52 5 23

Paso

Por lo tanto, el valor que falta en el conjunto de datos es 23.

Si conoces la media, puedes hallar el valor que falta en el conjunto de datos.

Ejemplo 2 Usa la media dada como ayuda para hallar el valor que falta en el siguiente conjunto de datos. 10, 18, 14, , 10; media: 15.

1. 90 : 3 2. 100 : 43. 64 : 8 4. 84 : 65. 126 : 7

Vocabulariomedia aritmética

Paso

Paso

1. Copia y completa los pasos mostrados para hallar la media de 12, 8, 15 y 9. Luego explica cada paso.

Paso 1: 12 1 8 1 15 1 9 5 44

Paso 2: 44 : 4 5


1LECC

IÓN

120, 300, 260, 120, 800, 200

Halla la suma.

120 1 300 1 260 1 120 1 800 1 200 5 1 800


1 800 : 6 5 300

Altura (metros)

7

14

18

19

Faros

Punta Condell

Isla Magdalena

Punta Ángeles

Carranza

Faros de Chile

258


Carranza19 metros

Punta Ángeles18 metros

Punta Corona10 metros

Punta Condell7 metros

Isla Magdalena14 metros

Los faros más altos


Halla la media de cada conjunto de datos.

2. 15, 32, 16 3. 2,1; 2,4; 3,1; 2,9; 3,2; 4,3 4. 13,5; 10,2; 14,9; 12,1; 12,8

5. 50, 65, 80, 65 6. 71, 88, 90, 71 7. 118, 207, 125

8. Explica qué representa la media de un conjunto de datos.

Halla la media de cada conjunto de datos.

9. 11, 7, 10, 12, 15 10. 62, 78, 53, 87 11. 20,2; 16,8; 17,6

12. 5, 9, 6, 5, 7, 7 13. 5,1; 5,5; 5,8; 5,4; 5,2 14. 223, 189, 204, 204

15. 44, 38, 44 16. 100, 300, 200, 350 17. 9,8; 7,1; 9,8; 1,6; 6,2

Usa la media dada para hallar el valor que falta en cada conjunto de datos.

18. 16, 14, 20, ; media: 14 19. 120, 118, ; media: 90 20. 25,9; 18,4 ; media: 20,6

21. 7,9; 8,6; 8,2, ; media: 8,5 22. 7, 9, 12, 4, ; media: 8 23. 84, 92, 99, ; media: 90

USA DATOS Para 24–26, usa las ilustraciones de los faros.

24. ¿Cuál es la altura media de los faros?

25. Razonamiento ¿Cómo variaría la media si solo se usaran los 4 faros más altos para hallarla?

26. Formula un problema Escribe un problema con la altura de los faros para que un compañero lo resuelva.

27. ¿Cuál es el error? Jacinta dice que la media de los puntajes 87, 98, 100 y 79 de los exámenes es 91. Luego suma un puntaje de 74 y dice que ahora, la media es 109,5. ¿Cuál es su error?

Álgebra

28. ¿Cuál es el promedio de 192, 186, 188, 180, 194?

29. Si el promedio de una muestra es 40 y la suma de sus elementos es 200, ¿cuántos elementos tiene la muestra? Justifica la respuesta.

30. Sea n 5 12, ¿cuánto es 12n?

31. ¿Cuál es el promedio del siguiente conjunto de números?

63, 51, 34, 51, 32, 28, 46, 15, 17, 89, 146

A 40 C 52

B 50 D 139


Capítulo 11 259

Aprende

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Tabla de posicionesfútbol femenino 2012

Part

idos

gan

ados

Equipos

31 30

25

33

U. de Chile

EvertonSantiago Morning

Colo-Colo

Cuando analizas gráficos, puedes responder preguntas, sacar conclusiones y hacer predicciones sobre los datos.

Escribe , o . en cada .

1. 34 48 2. 16 193. 73 71 4. 84 1215. 109 98

Vocabulariográfico de barras gráfico circular gráfico de líneas

La barra más alta es la de Universidad de Chile. Muestra que ganaron 33 pun-tos. Luego es el equipo de fútbol que ganó más partidos.

Las barras más altas son Colo-Colo y Universidad de Chile. Muestra que obtuvieron 33 y 31 puntos.

Halla la diferencia de puntos entre el primero y el último.

Un gráfico de barras usa barras horizontales o verticales para presentar datos contables. Puedes usar gráficos de barras para comparar datos. El siguiente gráfico es un gráfico de barras.

Analizar gráficosOBJETIVO: leer, interpretar y analizar los datos de los gráficos.

Rutina de ejercicios de Eric

1 hora 1 hora

1 hora2 horas

Estiramiento Natación

Andar enbicicleta

Correr

El gráfico circular representa todo el conjunto de datos. Cada sección del gráfico circular representa una parte del todo.

Halla la parte del gráfico circular que representa la natación. Eric nada durante 1 hora.

Toda la rutina de ejercicios le toma 1 1 2 1 1 1 1, o 5 horas.

Por lo tanto, Eric nada 1 hora de un total de 5 horas, o 1 _ 5 del total de su rutina de ejercicios haciendo natación.

El gráfico circular se sirve de la forma del círculo para presentar los datos dividiendo la superficie de este en partes.

2LECC

IÓN

Ejemplo 2 ¿Cómo se relaciona el tiempo que Eric nada con el tiempo total de su rutina de ejercicios?

Ejemplo 1 ¿Qué equipo de fútbol femenino ganó más partidos?

260

02

6

10

4

8

1214161820

Nº p

erso

nas

que

prac

tican

Deportes

10

18

8

NataciónFútbolTenis

Cant

idad

de

min

utos

Tiempos de Sarapor kilómetro recorrido

Semana1 2 3 4 5 6

121416

1086420

decreciente

crecientese mantiene

igual

Para identificar una tendencia, mira la dirección de la línea desde un punto hasta el siguiente.

• Si la línea asciende desde un punto hasta el siguiente, el patrón es creciente.

• Si la línea desciende desde un punto hasta el siguiente, el patrón es decreciente.

El patrón general que se muestra en el gráfico es decreciente.

Por lo tanto, si la tendencia continúa, Sara probablemente correrá un kilómetro en 11 minutos en la semana 7.

Un gráfico de líneas usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos con el transcurso del tiempo. Un gráfico de líneas puede mostrar una tendencia.

USA DATOS Para 1–4, usa el gráfico de barras: 1. ¿Cuántas personas practican natación?

2. ¿A cuántas personas le preguntaron sobre el deporte que practican?

3. ¿Cuál es el deporte que más se practica?

4. ¿Cuántas personas más practican fútbol que natación?


5. Imagina que tienes una pictografía con una clave donde cada símbolo representa 8. Explica cómo determinarías el número de símbolos que necesitarías para mostrar 20.

Ejemplo 3 ¿En qué semana predices que Sara correrá un kilómetro en 11 minutos?

Capítulo 11 261

02468

1012 12

109 9

Cobreloa U.Concepción SantiagoMorning

Huachipato

Cant

idad

de

punt

os

Equipo

Puntaje de los equipos femeninos

Velo

cida

d (k

ilóm

etro

s po

r hor

a)

Velocidad obtenida por Alberto en la carrera de ciclismo de 10 kilómetros

Kilómetros1 2 3 4 5 6 7

2520151050


USA DATOS Para 6–8, usa el gráfico de barras.

6. ¿Qué equipo obtuvo la mayor cantidad de puntos?

7. ¿Cuáles dos equipos lograron la misma cantidad de puntos?

8. ¿Cuál fue la cantidad total de puntos de todos los equipos?


9. ¿Qué película es menos preferida?

10. ¿Qué categoría de película es la más vista? ¿Quiénes las prefieren?

11. ¿Cuántos niños prefieren las películas de terror?

12. ¿Puedes saber a cuántas personas encuestaron? ¿Por qué? Explica.

USA DATOS Para 13–15, usa el gráfico de líneas.

13. ¿Qué parte del gráfico muestra el mayor incremento de un kilómetro al siguiente?

14. ¿Cómo describirías la tendencia que muestra el gráfico del kilómetro 2 al kilómetro 3?

15. Razonamiento Imagina que el recorrido entre el kilómetro 7 y el kilómetro 10 fuera cuesta arriba. ¿Qué tendencia crees que mostraría el gráfico del kilómetro 7 al kilómetro 10?

16. DATO BREVE Patricio Almonacid ganó la Vuelta Ciclística de Chile en 2012. Su promedio de velocidad durante la competencia fue de 40,26 kilómetros por hora. A esta velocidad, ¿qué distancia podía recorrer en 3 horas? ¿En 10 horas?


Película preferidas por adultos, niños y niñas

5 min

15 min10 min

15 min

músculosabdominales

brazos

parte superiordel cuerpo

piernas

17. Explica cómo se podría mostrar en un gráfico de líneas un patrón creciente o decreciente.

262


18. El sendero de Volcán Chaitén tiene 2,6 kilómetros de longitud. El sendero de Cerro Pochoco tiene 4,3 kilómetros de longitud. ¿Cuánto más largo es el sendero de Cerro Pochoco?

19. Lorena tiene una canasta de 12 centímetros de alto, 10 centímetros de ancho y 18 centímetros de largo. ¿Cuál es el volumen de la canasta?

20. Halla el promedio del conjunto de datos: 10, 15, 8, 12, 14, 8, 20 y 16.

21. Observa el gráfico de barras de la parte superior de la página anterior. ¿Qué enunciado sobre los datos que se muestran en el gráfico NO es verdadero?

A Cobreloa obtuvo más puntos.

B El promedio de la cantidad de puntos es 10.

C Santiago Morning jugó 10 partidos.

D El tercer lugar es un empate.

El ciclo del aguaEl agua se convierte en vapor por evaporación, luego se condensa y forma la lluvia. Este proceso se llama el ciclo del agua. Un elemento importante de este proceso es el océano, el cual ejerce un gran efecto sobre el clima. El océano absorbe el calor del sol y luego lo pierde por evaporación causando a menudo precipitación e, incluso, tormentas. El gráfico superpuesto, ilustrado a la derecha, usa dos escalas verticales para mostrar el promedio mensual de temperatura y de precipitación en Santiago.


1. Aproximadamente, ¿qué cantidad de precipitación cae en febrero en Santiago?

2. ¿Cuál es el promedio de temperatura en febrero en Santiago?

3. ¿Por qué es útil el gráfico superpuesto para comparar la temperatura y la precipitación de cada mes?

Santiago

Ene Feb Mar Abr May

35302520151050

350300250200150100500

Temperatura promedioAgua caída al mes

Tem

pera

tura

(ºC)

Prec

ipita

ción

(mm

)

Capítulo 11 263

Paso

Paso

Paso

Hacer diagramas de tallo y hojasOBJETIVO: representar datos adecuadamente haciendo un diagrama de tallo y hojas.

PROBLEMA ¿Cómo puedes organizar los siguientes datos para que sea más fácil interpretarlos?


1. 90, 67, 39, 582. 34, 27, 101, 2433. 73, 82, 78, 854. 116, 122, 130, 1095. 152, 160, 93, 129

Vocabulariodiagrama de tallo y hojas

Un diagrama de tallo y hojas es una tabla que muestra grupos de datos ordenados según su valor posicional. Te permite mostrar el valor de cada dato.

Actividad

Haz un diagrama de tallo y hojas usando los datos de los edificios.

Ordena los datos de menor a mayor.

26, 27, 27, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 37, 38, 38, 38, 39, 40, 43, 43, 43, 45, 45, 48, 48, 48, 52

Separa los datos en grupos, los que tengan el mismo tallo.Enumera los tallos, en orden, en una columna.

Escribe cada conjunto de hojas en orden, de menor a mayor, a la derecha de su tallo. Ponle un título a tu diagrama.

31

27

29

37

30

30

26

30

48

48

32

33

52

40

32

33

45

28

34

38

34

43

39

45

38

48

43

38

27

43

Cantidad de pisos dealgunos edi�cios de Santiago

Tallo Hojas2 6 7 7 8 9

3 0 0 0 1 2 2 3 3 4 4 7 8 8 8

4 0 3 3 3 5 5 8 8 8

5 2

El dígito de las decenas de cada número es su tallo.

El dígito de las unidades de cada número es su hoja.Edi�cios de Santiago

5 | 2 representa 52

9

3LECC

IÓN

Aprende

264


Práctica adicional en la página 272 Grupo C

USA DATOS Para 5–8, usa los datos de las temperaturas de diciembre.

5. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo y hojas.

6. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿Y la temperatura máxima?

7. ¿Qué temperatura se registró con más frecuencia?

8. ¿Se registraron más temperaturas en los 24 ºC; 25 ºC o 26 ºC?

USA DATOS Para 9–10 y 15 usa el diagrama de tallo y hojas.

9. ¿Cuántos edificios tienen entre 10 y 19 pisos?

10. ¿Cuántos edificios tienen exactamente 17 pisos?

11. Explica ¿Qué clase de preguntas puedes responder usando un diagrama de tallo y hojas?

1. Vuelve al diagrama de tallo y hojas Edificios de Santiago. ¿Cuántos edificios tienen 32 pisos? ¿Cómo se ve esto en el diagrama?

USA DATOS Para 2–4, usa los puntajes del equipo de bolos.


3. ¿Cuál fue el puntaje más bajo del equipo? ¿Y el más alto?

4. Explica la relación entre una hoja y un tallo en el diagrama de tallo y hojas que hiciste con los datos del puntaje de bolos.

12. ¿Cuál es el área y perímetro de un rectángulo que mide 6 centímetros de ancho y 10 centímetros de largo?

13. Representa gráficamente el par ordenado (2,5) en un plano cartesiano.

14. ¿Cuántos edificios se incluyen en los datos del diagrama de tallo y hojas anterior?

A 8 B 19

C 15 D 29

23 24 21 23 24 22

25 26 25 24 30 28

30 31 26 24 25 32

31 29 24 27 31 30

Temperaturas mínimas de diciembre en La Serena (ºC)

1 2 2 5 7 7 7 7 9

2 5 6 7

3 4 6

4 1 4

5

Tallo Hojas

Cantidad de pisos de algunos edi�cios de San Miguel

76 92 85 73 94 98 61 74

79 73 81 85 92 86 86 75

69 67 82 86 93 89 76 80

Puntajes del equipo de bolos



Capítulo 11 265

Paso

Paso

Paso

Promedio mensual detemperaturas mínimas en Coyhaique

Mes

Tem

pera

tura

(°C)

3,00

3,54,04,55,05,56,06,57,07,58,0

7654321

Este punto muestra(2; 3,3).

¿Qué escala usarías para representar gráficamente los datos?

1. 5, 9, 15, 6, 32. 28, 75, 36, 48, 313. 58, 69, 94, 86, 904. 12, 30, 25, 48, 415. 90, 120, 85, 125, 80

Un gráfico de líneas es una buena manera de mostrar datos que cambian con el transcurso del tiempo.

Hacer gráficos de líneas OBJETIVO: representar datos haciendo un gráfico de líneas.

Actividad

Elige una escala y un intervalo apropiados para los datos. Dado que no hay temperaturas entre los 0 ºC y los 2 ºC , muestra una interrupción en la escala.

Escribe los días a lo largo de la base del gráfico. Rotula el eje horizontal y el eje vertical. Ponle un título al gráfico.

Basándote en los datos, escribe pares relacionados como pares ordenados. Representa gráficamente los pares ordenados. Conecta los puntos con segmentos rectos.

Mes Ene(1)

Feb(2)

Mar(3)

Abr(4)

May(5)

Jun(6)

Jul(7)

Temperatura (ºC) 3,0 3,3 4,2 5,2 6,3 7,2 7,7

Promedio mensual de temperaturas mínimas en Coyhaique

Idea matemática Puedes escribir pares de datos relacionados como pares ordenados. En el conjunto de datos de arriba, cada mes se relaciona con una temperatura. Puedes escribir (1,30) para el primer par relacionado.

4LECC

IÓN

Aprende

Vocabulariográfico de líneas doble

266

Paso

Paso

Paso

Paso

Gráfico de líneas dobleLa tabla muestra el promedio mensual de temperaturas

mínimas en Calama, Región de Antofagasta. Haz un gráfico para comparar los datos de temperatura de Coyhaique, de la página anterior, con los datos de Calama.

Un gráfico de líneas doble es una forma de mostrar dos conjuntos de datos relacionados durante el mismo período de tiempo.

Elige una escala y un intervalo adecuados.

Escribe los meses a lo largo de la base del gráfico. Rotula el eje horizontal y el eje vertical. Ponle un título al gráfico.

Haz una clave. Usa un color para Coyhaique y otro color para Calama.

Ejemplo Haz un gráfico de líneas doble.

Usando el color adecuado, representa gráficamente los pares ordenados correspondientes a Coyhaique y conecta los puntos con líneas rectas.

Usa el otro color para representar gráficamente los pares ordenados correspondientes a Calama y conéctalos con líneas rectas.

1. Imagina que se agregan los datos de la derecha al gráfico ilustrado arriba. ¿Subirían o bajarían las líneas para cada ciudad?

Promedio mensual de temperaturas mínimas en CalamaMes 1 2 3 4 5 6 7

Temperatura (ºC) 5,6 5,7 5,9 6,2 6,5 6,9 7,3

Promedio mensual de temperaturas en agosto

Ciudad Temperatura (en ºC)

Coyhaique 5,6

Calama 6,8

Promedio mensual de temperaturasmínimas en Coyhaique y Calama

1 2 3 4 5 6 7

9,08,07,06,05,04,03,02,01,00

Mes

Calama Coyhaique

Tem

pera

tura

(ºC)


Capítulo 11 267

Para 2–5, usa la tabla.

2. ¿Qué escala e intervalo serían adecuados para representar gráficamente los datos?

3. Escribe los pares relacionados como pares ordenados.

4. Haz un gráfico de líneas de los datos.

5. Explica qué tipo de datos se necesitan para hacer un gráfico de líneas.


6. ¿Qué escala e intervalo serían adecuados para representar gráficamente los datos?

7. Escribe los pares relacionados de datos como pares ordenados.

8. Haz un gráfico de líneas o un gráfico de líneas doble de los datos.

USA DATOS Para 9–10, haz un gráfico de líneas o un gráfico de líneas doble para cada conjunto de datos.

9. Ventas de la pista de patinajeSemana 1 2 3 4 5

Pista oriental $ 12 000 $ 15 000 $ 18 000 $ 17 000 $ 18 000Pista

occidental$ 11 000 $ 13 000 $ 16 000 $ 17 000 $ 15 000

10. Precio de la acción Xen la bolsa

Semana 1 2 3 4

Precio $ 48 $ 55 $ 62 $ 38

USA DATOS Para 11–13, usa el gráfico de líneas doble.

11. ¿En cuáles de los meses que se muestran se registró la mayor diferencia de precipitaciones entre los dos parques nacionales?

12. ¿Qué parque tiene un promedio de precipitaciones representado por (4,45)?

13. Explica la similitud entre representar gráficamente un par ordenado en un plano cartesiano y representarlo en un gráfico de líneas.


Promedio mensual de temperaturas en Antofagasta (ºC)

Mes 1 2 3 4 5

Temperatura (ºC) 19 ,9 21,1 19,1 18,2 16,0

Temperaturas diarias (ºC)Día 1 2 3 4 5

Máxima 22,6 21,3 22,2 22,6 22,8

Mínima 12,6 14,8 15,8 13,4 12,8

Promedio mensual de precipitaciones

1 2 3 4 5 6

353025201510

50

MesParque Nacional A Parque Nacional B

Prec

ipita

ción

(mm

)


268

14. Un rectángulo tiene una longitud de 9 centímetros y un ancho de 3 centímetros. ¿Cuál es su área y perímetro?

A. A = 27 cm2; P = 24 cm B. A = 25 cm2; P = 23 cm C. A = 24 cm2; P = 22 cm D. A = 24 cm2; P = 27 cm

Para 15–17, usa el gráfico Promedio mensual de precipitaciones que aparece en la página 268.

15. ¿Qué parque tiene el promedio mensual mínimo de precipitaciones?

16. ¿Qué parque tiene un punto en (1,15)?

17. ¿En qué parque nacional llueve más?


Cons

umo

(Kw

h)

Promedio mensual de consumo de energía

MesENE FEB MAR ABR

Familia Díaz Familia Zamorano

MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC

300250200150100

500

Puedes usar un gráfico de líneas doble para comparar dos conjuntos de datos. La clave muestra qué representa cada línea.

Ejemplo ¿Cuál es la diferencia de consumo en marzo de las dos familias?

Mira el gráfico y la clave.• ElpromediodelafamiliaDíazenmarzo es de 75 Kwh. • ElpromediodelafamiliaZamoranoen marzo es de 175 Kwh.

Halla la diferencia.

175 2 75 5 100

Por lo tanto, la diferencia de consumo energético entre ambas familias es de 100 Kwh.

USA DATOS Para 1–2, usa el gráfico de líneas doble. 1. Razonamiento Sin sumar para hallar el consumo

energético anual total, describe cómo se relaciona el consumo energético anual de las dos familias.

2. ¿En qué mes tuvo la familia Díaz un consumo energéticomayorquelafamiliaZamorano?

Capítulo 11 269

Por lo tanto, en este período de tiempo, por lo general, no hubo una precipitación anual de más de 20 milímetros.

Piensa y comentaLee cada una de las conclusiones sobre la precipitación anual en San Pedro de la Paz entre enero y junio. Di si estas conclusiones se pueden sacar de la información dada en el gráfico de barras. Escribe sí o no. Explica tu razonamiento.

a. La precipitación aumentó de mes a mes.

b. La precipitación nunca fue de menos de 10 milímetros por año.

c. Las precipitaciones ocurrieron durante el otoño y el invierno.

Destreza: sacar conclusionesOBJETIVO: resolver problemas usando la destreza sacar conclusiones.

Usa la destrezaPROBLEMA El Servicio Nacional Meteorológico registra el total de precipitación que cae en ciudades y regiones cada mes. El gráfico de barras muestra la precipitación mensual en el área de San Pedro de la Paz, Región del Biobío, entre el mes de enero y julio. En general, ¿hubo una precipitación mensual de más de 300 milímetros durante este período de tiempo?Puedes analizar los datos para sacar una conclusión.

Mapas como este, se usan para mostrar el promedio anual de precipitación en una zona geográfica.

Analizar Conclusión¿En cuáles meses hubo una precipitación mensual de más de 20 mm?

La precipitación mensual en febrero, mayo y junio fue entre 130 y 330 milímetros.

¿En cuáles meses hubo una precipitación mensual de menos de 20 mm?

En abril hubo una precipitación mensual de menos de 20 milímetros.

Precipitaciones promedio mensual en San Pedro de la Paz, Región del Biobío.

Ene Feb Mar Abr May Jun

350

300

250

200

150

100

50

0

MesesPr

ecip

itaci

ón (m

m)

S/I S/I

189,6

16,4

329,4

139,2

5LECC

IÓN

270

Aplicaciones mixtas

1. El gráfico de barras muestra la temperatura promedio en Puerto Natales de enero a junio. En general en este período, ¿hubo una temperatura mensual de menos de 14 ºC?

Piensa: ¿En qué meses hubo una temperatura de más de 14 ºC? ¿En qué meses hubo una temperatura de menos de 14 ºC?

Compara el número de meses en que hubo una temperatura de más de 14 ºC con el número de meses en que hubo una temperatura de menos de 14 ºC. ¿Hubo más meses con una precipitación de menos de 14 ºC?

Saca una conclusión.

4. Miguel tiene 1,098 metros de género. Planea hacer paños de 50 centímetros cada uno. ¿Cuántos paños completos de género hará Miguel?

6. Pablo está preparando una fiesta que empezará dentro de 2 horas y 45 minutos. Sabe que tardará 1 3 __

4 hora para limpiar, 1 __

2

hora para decorar y 3 __ 4 de hora para hacer la

comida. ¿Estará listo Pablo a tiempo? Explica tu respuesta.

8. La media de los datos es igual al rango (valor mayor - valor menor de los datos) menos 5,5 minutos. Usa esta información para hallar la media del número de minutos que Tamara usó para hacer ejercicios. Explica tu respuesta.

5. Gabriela cobra $ 7 500 por hora por cuidar niños. ¿Es razonable decir que Gabriela gana aproximadamente $ 250 000 por cuidar niños durante 30 horas? Explica tu respuesta.

7. Tamara quiere hallar el número total de minutos en que estuvo haciendo ejercicios durante diez días. ¿Hizo Tamara ejercicios durante más de 5 horas? Explica tu respuesta.

2. ¿Qué pasaría si el gráfico de barras incluyera la temperatura del mes de julio? ¿Qué conclusión podrías sacar si la temperatura de julio fuera de 1 ºC?

3. En 2005 la temperatura de septiembre fue de 2 ºC. En octubre la temperatura fue de 15 ºC; en noviembre fue de 17 ºC; y en diciembre, de 18 ºC. ¿Qué conclusión puedes sacar sobre la temperatura durante este período?

USA DATOS Para 7–8, usa el diagrama de tallo y hojas.

Total de temperatura promedio mensual de Puerto Natales

Ene Feb Mar Abr May Jun

2826242220181614121086420

Meses

Tem

pera

tura

(ºC)

Minutos que Tamara hizo ejercicios

Tallo Hojas2 0 2 4 5 7

3 0 3

4 5

5 2 4


Capítulo 11 271

Grupo C Para 1–5, usa los datos sobre excursionismo.


2. ¿Cuál es el mayor número de excursionistas? ¿Y el menor número de excursionistas?

3. ¿Cuál es la diferencia entre estos valores?

4. ¿En cuántos días hubo más de 70 excursionistas?

5. ¿Qué cantidad de excursionistas se dio con más frecuencia?

FPO FPOInstrumento

piano

guitarra

violoncelo

batería

Cantidad de lecciones

10

28

12

16

Lecciones de música

11

16

10

3

14

4

9

15

8

17

5

20

12

6

15

6

Cantidad de horas trabajadas

68

80

86

59

62

73

64

87

85

67

92

71

71

79

92

90

54

85

70

85

Cantidad diaria de excursionistas

Mes

ENE (1)

FEB (2)

MAR (3)

ABR (4)

Cantidad (en milímetros)

8

12

20

16

Cantidad de precipitación

Día

Escuelabásica

Liceo

1

$ 4 500

$ 10 500

2

$ 3 000

$ 9 000

5

$ 2 500

$ 5 000

3

$ 12 500

$ 8 000

4

$ 10 000

$ 9 500

Ventas en tiendas escolares

Práctica adicional

Tº m

ínim

a

Temperaturas durante una semana

Días de la semana

Lun Mar Mie SabJue Vie

Tº Máx Tº Mín

Dom

30

25

201510

50

Práctica adicional

Grupo A Halla el promedio de cada conjunto de datos.

1. 26, 38, 17 2. 316, 156, 239, 621 3. 25, 15, 20, 30, 20

4. 5,1; 6,7; 4,9; 5,8; 2,6 5. 148, 152, 124, 200, 101 6. 12, 9, 15, 18

7. 30, 157, 64, 13 8. 37,4; 24,4; 1,3; 10,5; 16,9 9. 327, 802, 464

10. 10. 25; 18; ; media = 22 11. 16,5; 23,8; ; media = 18,4 12. 6,5; 6,5; 6,3; ; media = 6,5

13. 125; 108; 118; ; media = 117 14. 33; 35; 41; ; media = 35 15. 2,5; 3,5; 2,7; ; media = 3,1

Grupo B Para 1–4, usa el gráfico de líneas.

1. ¿Qué día fue el menos visitado? ¿Cómo lo sabes?

2. ¿Qué día fue el más visitado? ¿Por qué?

3. ¿Qué día el museo no recibe visitas?

4. ¿Cuál es el promedio de visitas por día? Explica cómo lo calculaste.

Grupo D Según el gráfico de líneas

1. ¿Qué dia de la semana hubo más diferencia entre la máxima y la mínima?

2. ¿Hubo variación de temperatura cada día?

3. ¿Qué día no hubo variación de temperatura?

bicicleta$60 000

ropa$20 000

casco$10 000

zapatos$10 000

Gastos de ciclismo de Miguel

272

Altura máxima de hábitat de aves

Especie

aguilucho

chincol

chorlo puna

picaflor gigante

tagua gigante

tórtola cordillerana

Altura sobre el niveldel mar (metros)

4 000

2 000

5 000

2 000

4 000

4 500

Escribe una conclusión

En Chile existen 439 especies de aves de las 8 800 que hay en el mundo. Se pueden avistar desde la Cordillera de Los Andes hasta el litoral, a lo largo de todo Chile. La tabla muestra la altura máxima a la cual estas especies habitan. José, usando estos datos, escribió una conclusión sobre la altura donde es posible encontrarlos.

¿Hasta qué altura puedo encontrar a...?

1. Escribe una conclusión sobre las especies de aves que sería posible ver en la Región del Maule.

2. Escribe una conclusión sobre lugares donde no sería posible ver al picaflor gigante.

Resolución de problemas Para 1–2, usa los datos que se muestran en el mapa.

• Revisa los datos y cualquier otra información que conozcas.

• Busca relaciones entre los datos.

• Luego, escribe una conclusión.

• Primero, observé los datos de la tabla. La tabla muestra la altura máxima de su hábitat

2 000 2 000 4 000 4 000 4 500 5 000• Por último, escribí una conclusión.

Mi conclusión: a dos mil metros de altura es posible encontrar las seis especies de aves estudiadas.

• Luego, los ordené menor a mayor.

menor

mayor

Aguilucho

Chincol

Chorlo Puna

Picaflor gigante

Tagua gigante

Capítulo 11 273

14. Escribe sí o no para indicar si se puede sacar cada conclusión de los datos del gráfico de líneas. Explica tus respuestas.

a. La cantidad de miembros disminuyó del año 2 al año 3.

b. La cantidad de miembros nunca fue mayor de 20.

15. Explica qué conclusión podrías sacar si la cantidad de miembros del año 6 fuera 43.

Miembros del club de ajedrez

Año

Cant

idad

de

mie

mbr

os 50

40

30

20

10

01 2 3 4 5


1. Una tabla que muestra grupos de datos ordenados según su valor posicional es un _____________ .

2. La _____________ es el promedio de un conjunto de datos.

3. Un _____________ usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos a través del tiempo.

4. Para representar el todo y las partes de un conjunto de datos usamos _____________ .

Comprueba tus destrezas Haz el gráfico para cada conjunto de datos.

5. diagrama de tallo y hojas 6. diagrama de tallo y hojas 7. gráfico de líneas

Edades de los ciclistas

11

25

11

15

9

7

15

10

12

18

20

26

13

9

8

28

Almuerzos servidos

45

45

51

45

39

47

39

37

49

38

51

46

53

45

38

44

Mes

ABRIL

MAYO

JUNIO

JULIO

Cantidad (en milìmetros)

16

12

10

9

Precipitación

Elige el mejor tipo de gráfico o diagrama para los datos.

8. edades de todos los 9. altura de una planta 10. cantidad de estudiantes corredores de una durante un período en cinco clubes maratón por rango de un mes

11. estaturas de los 12. frecuencia de visitas 13. cómo gasta Jaime estudiantes de una a la biblioteca su mesada clase de quinto básico


VOCABULARIO

media aritmética

gráfico de líneas

gráficos circulares

diagrama de tallo y hojas


274

Enriquecimiento • Relaciones en los gráficos

Los gráficos se usan para mostrar relaciones entre diferentes cantidades. El gráfico a continuación muestra la relación entre la cantidad de personas que asiste a un concierto y el período de tiempo durante el cual las personas llegan al auditorio y se marchan. El concierto tiene lugar entre la segunda y la cuarta hora, pero las personas llegan y se marchan durante un período de tiempo de 5 horas.

Ejemplo• De 0 a 1 horas: Las personas empiezan a llegar al

auditorio para el concierto.

• De 1 a 2 horas: La mayoría de las personas llegan. Al final del intervalo empieza el concierto.

• Hora 2: El concierto empieza.

• De 2 a 4 horas: Es un concierto largo.

• Hora 4: El concierto termina. Los asistentes se marchan a casa.

InténtaloElige la descripción correcta para cada gráfico.

1. 2.

Representa gráficamente la relación entre la distancia recorrida en auto y la cantidad de tiempo que toma recorrer esa distancia. Explica lo que puede estar pasando cuando tu gráfico aumenta, disminuye o permanece constante.

a. La cantidad de lluvia disminuye o es constante.

b. Deja de llover por dos horas.

c. La cantidad de lluvia aumenta o es constante.

a. El costo aumenta después de un día.

b. El costo se estabiliza después de dos días.

c. El costo baja al mínimo después de dos días.

Asistencia al concierto

Cant

idad

de

pers

onas

0 1 2 3 4 5Tiempo (horas)

Tormenta

Cant

idad

de

lluvi

a(m

m)

0 1 2 3 4Tiempo (horas)

Llenar el estanque de gasolina

Cost

o(p

esos

)

0 1 2 3Tiempo (días)

Capítulo 11 275


1. ¿Cuál de los siguientes números corresponde con 2 356 007?

A Dos millones trescientos cincuenta y seis mil

B Dos millones trescientos cincuenta y seis mil siete

C Dos millones trescientos cincuenta y seis mil setenta

D Dos millones trescientos cincuenta y seis mil setecientos

2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a 2,5?

A 2 __ 5 C 5 __ 

2

B 25 ___ 10

D 52 ___ 10

3. En el número 17 248 695, ¿cuál es el valor posicional del dígito 2?

A Unidad de mil C Centena de mil

B Decena de mil D Unidad de millón

4. ¿Cuál es el valor de la expresión: (18 : 6)+(8-4)

A 6 C 8

B 7 D 9

5. Halla la expresión que permite resolver el siguiente problema: “Claudia tenía 35 lápices de colores y le dio 4 lápices durante 3 días a su amiga Marisol, ¿con cuántos lápices se quedó Claudia?”

A 35–4•3 C 35 – (4 : 3)

B 35+4•3 D (35–4)•3

Explica ¿Por qué los valores de (9+5)•4y9+(5•4)sondiferentes?

Patrones y álgebra 6. El valor de x en la ecuación x + 26 = 56 es:

A 82 C 56

B 60 D 30

7. La suma entre la edad de mi padre y mi madre es de 105 años. Si mi padre tiene 53 años, ¿cuál es la edad de mi madre?

A 50 C 52

B 51 D 53

8. ¿Qué valor puede ser solución a la siguiente inecuación? x < 15

A 25 C 15

B 20 D 10

9. ¿Qué valor no puede ser solución a la siguiente inecuación? x + 4 > 15

A 19 C 13

B 17 D 11

10. “La suma de un número cualquiera más cinco es mayor que 10” se puede representar como:

A x > 5 + 10 C x + 5 < 10

B x < 5 + 10 D x + 5 > 10

Explica Sara está leyendo un libro. El primer día lee 32 páginas y el segundo día lee 18 páginas más que el primero, ¿cuánto lee el segundo día?


11. El valor de y en la ecuación 72 + y = 108 es:

A 36 C 46

B 180 D 170

12. Gabriel tiene 15 láminas más que su amigo Pedro, si entre los dos juntan 165 láminas. ¿Cuántas láminas tiene Gabriel?

A 80 láminas C 150 láminas

B 90 láminas D 100 láminas

276

16. ¿Qué figura posee más de un eje de simetría?

A C

B D

Datos y probabilidades 17. ¿Cuál es la media (promedio) de las

calificaciones de los exámenes de Antonio?

Calificaciones de los exámenes de Antonio (en %)

94 93 95 78 94 81 85

A 88,5 C 93,2

B 87,5 D 94,1

18. ¿Qué estudiante tuvo la media más alta en las calificaciones de sus exámenes?

4,4

5,7

6,5

5,7

70

62

60

63

62

58

61

69

68

60

61

65

Nombre

Andrea

Braulio

Carlos

Dante

Examen 1 Examen 2 Examen 3 Examen 4

A Andrea

B Braulio

C Carlos

D Dante

19. ¿Cuál es el promedio de los datos?

Cantidad de boletos vendidosTallo Hojas

1 1 1 2 0 2 6 83 1 2 7 4 0 2 2 3

A 10,4 C 29,6

B 37,5 D 45,3

Geometría - Medición 13. Las coordenadas del punto A en el plano

cartesiano son:

A (2,3)

B (3,2)

C (2,4)

D (4,2)

14. En el siguiente plano cartesiano, el par ordenado (2,1) corresponde al punto:

A F

B G

C H

D I

15. ¿En cuál de las siguientes opciones las figuras son congruentes?

A

B

C

D

8 1 2 3 4 5 6

1

2345

6

y

x

A

8 1 2 3 4 5 6

1

2345

6

y

x

F

G

H

I

20. En una bolsa tengo 12 fichas rojas, 10 amarillas y 6 fichas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha amarilla?

A C

B D

1101028

1282

12

Capítulo 11 277

Carros de la montaña rusa

rojo25

4

4 3

6 naranja

amarilloazul

verde

morado

Investiga Imagina que estás esperando para subir a una montaña rusa en Fantasilandia. Los carros pueden llegar en cualquier orden. Observa el gráfico de abajo. ¿Qué carro tiene más probabilidad de ser el siguiente en llegar? ¿De qué color te gustaría que fuera el carro que vas a subir? ¿Cuál es la probabilidad de que ese sea el siguiente en llegar? Explica cómo lo sabes.

ProbabilidadLa idea importante La probabilidad mide la posibilidad de los sucesos y proporciona

la base para hacer predicciones.

12

En 1977 comenzaron los trabajos de construcción del parque de diversiones Fantasilandia. El 26 de enero de 1978, comenzó a funcionar con solo ocho juegos. En la época, la prensa titulaba que por fin Chile podría tener su propia Disneylandia.

ChileDATOBREVE

278

Capítulo 12 279

PREPARACIÓN

resultado La posible solución de un experimento.

suceso Un resultado o una combinación de resultados de un experimento.

predecir Hacer una conjetura razonable acerca de lo que sucederá.

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar exitosamente el capítulo 12.

u Hacer y usar una tabla de conteoUsa los datos para hacer una tabla de conteo. Después, contesta cada pregunta.

Claudia realizó una encuesta a su clase sobre sus colores favoritos. 9 estudiantes eligieron morado, 12 eligieron verde, 4 eligieron azul y 2 eligieron amarillo.

1. ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados? 2. ¿Qué color fue el que menos eligieron?

3. ¿Cuántos estudiantes más eligieron 4. ¿Cuántos estudiantes no eligieron azul? verde que azul?

u Resultados posiblesEnumera los resultados posibles de cada experimento.

5. sacar una bolita 6. girar esta flecha 7. lanzar una

de esta bolsa giratoria moneda

u Comparar partes de un todo y un grupo


combinaciones resultadoequiprobable predecir diagrama de poco posibleárbol suceso posible

Escribe una fracción para la parte del todo que se menciona.

8. secciones verdes

9. secciones moradas

Escribe una fracción para la parte del grupo que se menciona.

10. círculos

11. círculos o cuadrados

Escribe una fracción para la parte sombreada.

Vocabularioresultado

Materiales ■ Flecha giratoria de 4 partes de color rojo, azul, amarillo y verde

■ moneda

Puedes hallar el número de resultados posibles al realizar un experimento.

Cuando realizas un experimento, los resultados son las soluciones.

Gira la flecha giratoria de 4 partes iguales.

Hacer una lista de todos los resultados posiblesOBJETIVO: hacer una lista de todos los resultados posibles de un experimento.

Registra tu resultado.

Repite la actividad 20 veces. Cada vez hallarás un resultado posible diferente. Regístralo en una lista.

Sacar conclusiones 1. Explica cómo hallaste el resultado de cada giro.

2. ¿Cuántos colores hay en la flecha giratoria? ¿Cuántos resultados posibles hay para este experimento? Menciona los resultados posibles.

3. Aplicación Ema tiene una bolsa con 2 bolitas verdes, 3 rojas y 2 azules, que tienen el mismo tamaño. ¿Cuántos resultados posibles hay para este experimento?

280

Cara

Sello

Moneda

Experimento de SoledadLanzar un cubo numerado y una moneda

1 2 3 4 5 6

Número

MonedaColor

Rojo Azul Verde Amarillo

Cara

Sello

,

,

,

,

,

,

,

,

Esta tabla muestra los resultados posibles de girar una flecha giratoria con 4 partes iguales y lanzar una moneda.

USA DATOS Para 1 - 4, usa estas imágenes. Enumera todos los resultados posibles para cada experimento.

1. lanzar una moneda de $10

2. lanzar un cubo numerado del 1 al 6

3. lanzar un cubo numerado del 1 al 6 y girar una flecha giratoria de 3 partes iguales

4. lanzar una moneda de $10 y girar la flecha

USA DATOS Para 5 - 8, usa la tabla.

5. Enumera todos los resultados posibles del experimento.

6. ¿Cuántos resultados posibles hay?

7. ¿Cuántas veces ocurrió el resultado Cara, 3?

8. Explica cómo puedes hallar el número de resultados posibles para un experimento al observar una tabla de resultados.

• Haz una tabla como la de arriba.

Realiza un experimento y registra los resultados.

• Lanza una moneda y gira la flecha.

• Registra el resultado en la tabla usando una marca de conteo. Repítelo un total de 20 veces, registrando el resultado después de cada lanzamiento y giro.

¿Cómo cambiaría el número de los resultados posibles si la flecha giratoria tuviera cinco colores?

Actividad Materiales ■ Flecha giratoria de 4 partes de color rojo, azul, amarillo y

verde ■ moneda

Capítulo 12 281

Hacer una lista para llevar la secuencia de la información.El Sr. López coloca el plan diario de sus clases en el pizarrón.

Estrategia: hacer una lista organizadaOBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia hacer una lista organizada.

Aprende la estrategiaHacer una lista organizada es una buena manera de llevar la cuenta de la información. Puedes usar diferentes tipos de listas organizadas para diferentes tipos de situaciones.

Hacer una lista para organizar la información.Cada noche, Cecilia escribe su tarea en un cuaderno. Ella organiza su tarea por tema.

Hacer una lista para hallar los resultados posibles.Una panadería ofrece 3 diferentes sabores de sus pasteles de dos capas. Cada pastel contiene 2 sabores.

Cuando haces una lista, organizarla en categorías o partes te puede ayudar a no olvidar nada.

Explica cómo te puede ayudar una lista a representar información.

2LECC

IÓN

282

Usa la estrategiaPROBLEMA Mónica juega un juego en su casa. Sin ver, mete la mano en una bolsa y saca una bolita. Después, mete la mano en una bolsa diferente y saca otra bolita. Todas las bolitas son del mismo tamaño. Si ambas bolitas son del mismo color, Mónica gana un premio. Enumera y cuenta los resultados posibles del juego. Después, menciona la manera en que Mónica puede ganar un premio.

•Resumeloquedebeshallar.

• ¿Quéinformaciónusarás?


Puedes hacer una lista organizada.

• ¿Dequéotrasmaneraspodríasresolverelproblema?

verde, negra roja, negra amarilla, negra verde, morada roja, morada amarilla, morada verde, verde roja, verde amarilla, verde


Haz una lista de todos los resultados posibles. Organiza tu lista mostrando los resultados que podrías obtener si la primera bolita es verde. Después, enumera los resultados que podrías obtener si la primera bolita fuera de otro color.

Sólo hay un resultado posible en el cual ambas bolitas son del mismo color, verde, verde. Por lo tanto, de los nueve resultados, sólo hay uno en el que Mónica puede ganar el premio con el resultado verde, verde.

Capítulo 12 283


12

1

2 4

3

A B

3

4 5

1. USA LOS DATOS Para 1 - 3, usa las fichas giratorias. Mariana juega un juego con dos flechas giratorias. Cada flecha giratoria tiene secciones iguales. Ella gira ambas flechas y suma los números. Si el total es menor que 4, gana un premio. Enumera los resultados posibles. Menciona las maneras en que Mariana puede ganar un premio.

Primero, usa una tabla para hacer una lista organizada.

Después, halla el total de dos giros.

Por último, halla los totales que son menores que 4.

2. ¿Qué pasaría si la flecha giratoria A tuviera dos secciones iguales rotuladas 1 y 2? ¿Cómo cambiaría el número de resultados posibles?

3. Julia juega un juego con una moneda y la flecha giratoria A. Julia lanza la moneda y gira la flecha. Enumera todos los resultados posibles.

Hazunalistaorganizadapararesolverlosproblemas.

4. Laura está haciendo boletos para el festival de su colegio. Cada tipo de boleto será de diferente color. Habrá boletos para adultos, niños y personas mayores. Habrá boletos para 1 día y para dos días. ¿Cuántos colores de boletos habrá?

USA DATOS Para 5 - 6, usa la información del dibujo.

5. Roberto juega a girar la flecha y sacar un pato de la bolsa. ¿Cuántos resultados posibles hay?

6. Para ganar un premio, Gregorio debe obtener un número mayor que 3 y sacar el pato verde. Menciona las maneras en que Gregorio puede ganar.

7. Simón quiere hallar el número total de resultados posibles de girar una flecha y lanzar una moneda. Explica cómo puede Simón organizar una lista de los resultados posibles.

Flecha giratoria A

Flecha giratoria B Suma

1 1 2

1 2 3

2 1 3

2 j j


284

La montaña Rusa Inaugurada en: 1978

El Pulpo Inaugurado en: 1977

Barco Pirata Inaugurado en: 1982

La Mansión Siniestra Inaugurada en: 1978

Black Hole Inaugurado en: 1994

Casa Fantasma Inaugurada en: 1989

Xtreme Fall Inaugurado en: 2006

Cyclón Inaugurado en: 1995





Buscar un patrón


Predecir y probar






USA LOS DATOS Para 8 a 11, usa la tabla de juegos de Fantasilandia.

8. DATO BREVE La casa fantasma fue inaugurada en 1989. ¿Qué juegos se inauguraron en 1978?

9. El Kamikaze se inauguró antes de los juegos Cyclón y Black Hole, pero después del barco pirata. ¿En qué año se pudo haber inaugurado el juego Kamikaze?

10. Formula un problema La Mansión Siniestra se inauguró en 1978. Usa esta información y los años en los que se inauguraron el Black Hole y el Xtreme Fall para escribir un problema.

11. Problema abierto Haz una tabla que muestre el número de juegos inaugurados durante cada década: desde 1977 hasta 2006. Menciona un dato contenido en tu tabla.

12. Mi año es par. La suma de los dos primeros dígitos es menor que la suma de los dos últimos. El número formado por la suma de los dos últimos dígitos es 4 más que el número formado por la suma de los 2 primeros dígitos. ¿Qué juego soy?

ESFUÉRZATELasentradasaunparquedediversionescuestan $ 8 000 adulto y $ 5 000 para niños.

13. Un pase semestral para adultos cuesta $ 4 000 más que 4 veces el costo del boleto de un día. Un pase semestral para niños cuesta $10 000 menos que eso. ¿Cuál es el costo de un pase semestral para niños?

14. Álgebra Un grupo de adultos visitó el parque de diversiones. Debido a que compraron los boletos juntos obtuvieron un descuento de $10 000. ¿Qué expresión puedes usar para mostrar el costo total de las entradas del grupo? Explica cómo resolver el problema.

Juegos de Fantasilandia

Capítulo 12 285

Aprende

• Esta flecha giratoria tiene 3 secciones iguales. ¿Cuál es la posibilidad de sacar rojo o amarillo?

• ¿Cuál es la posibilidad de lanzar un número menor que 10, si el cubo numerado está rotulado del 1 al 6?

153

Puedes predecir la posibilidad de los sucesos. Cuando predices, haces una conjetura razonable acerca de lo que podría suceder.

Un suceso puede ser un resultado o una combinación de resultados. Algunas veces, un suceso es más posible que otro, pero no seguro. Un suceso es posible si tiene gran posibilidad de ocurrir. Un suceso es poco posible, pero no imposible, si tiene poca posibilidad de ocurrir.

Menciona los resultados posibles de girar ambas flechas.

Vocabulariopredecir imposible suceso poco posible posible seguro

Hacer prediccionesOBJETIVO: predecir los resultados de experimentos.

EjemplosHay siete bolitas de igual tamaño en una bolsa. ¿Cuál es la posibilidad de cada suceso?

Sacar una bolita amarilla

Un suceso es imposible si nunca sucederá. No hay bolitas amarillas en la bolsa, así que sacar una bolita amarilla es imposible.

Sacar una bolita morada o roja

Un suceso es poco posible, si tiene poca posibilidad de ocurrir. Hay tres bolitas rojas, tres bolitas verdes y una bolita morada. Es poco posible sacar la bolita morada, pero no imposible.

Sacar una bolita roja, verde o morada

Un suceso es seguro si siempre ocurrirá. La bolsa sólo tiene bolitas rojas, verdes, y moradas, así que es seguro sacar una bolita roja, verde, o morada.

• ¿Cuál es la diferencia entre un suceso seguro y un suceso posible? Idea matemática

Cuando haces una predicción, decides qué sucesos tienen mayor posibilidad de ocurrir y qué sucesos tienen menor posibilidad de ocurrir.

3LECC

IÓN

286


Paso

Paso

Paso

Paso

1. La bolsa tiene 7 bolitas del mismo tamaño. Tomás saca una bolita de la bolsa. Menciona un suceso que sea posible, poco posible e imposible.

Di si el suceso es posible, poco posible, seguro o imposible.

Actividad

Materiales ■ fichas de colores de igual tamaño ■ bolsa

Coloca en la bolsa 6 fichas azules, 3 rojas y 1 amarilla.

Copia la tabla. Predice los resultados de sacar una ficha de la bolsa 30 veces. Escribe marcas de conteo en la columna “Resultados predichos” para mostrar el número de veces que piensas que se puede sacar cada color.

Saca una ficha de la bolsa. Registra el resultado en la columna “Resultados reales” de tu tabla.

Coloca la ficha de nuevo en la bolsa. Repítelo 29 veces más.

• ¿Cómo se comparan tus resultados reales con tus predicciones?

• Enumera todos los resultados posibles. ¿Qué resultado es más posible? Explica.

• ¿Qué resultado es menos posible? Explica.

2. lanzar un número mayor que 1 en un dado. 3. sacar un múltiplo de 4 en una flecha giratoria de 4 partes rotuladas 4, 8, 12 y 16.

4. Explica la diferencia entre un suceso que es poco posible y uno que es imposible.

Di si el suceso es posible, poco posible, seguro o imposible

5. lanzar un número mayor que 6 en un dado. 6. sacar una bolita verde de una bolsa que contiene 22 bolitas rojas, 4 verdes y 14 amarillas del mismo tamaño.


Capítulo 12 287


1 21 2

A B

USA DATOS Para cada experimento, di si los sucesos A y B son igualmente posible o no son igualmente posible. Si no son igualmente posibles, menciona el suceso que es más posible.

7. Experimento: Lanzar una moneda.

Suceso A: cara Suceso B: sello

9. Experimento: Girar la flecha.

Suceso A: rojo Suceso B: amarillo

USA DATOS Para 11 - 13, usa las flechas giratorias.Cadaflechagiratoriatienedosseccionesiguales. En el experimento, se gira cada flecha y se suman los resultados.

11. ¿Cuáles son las sumas posibles? ¿Cuál es la suma más posible?

12. Copia la tabla. Registra una predicción sobre cuántas veces sacarás una suma de 3 si realizas el experimento 20 veces.

13. Haz dos flechas giratorias como las que se muestran. Gira las flechas y suma los resultados. Realiza el experimento 20 veces. ¿Cómo se comparan tus resultados con la predicción que hiciste en el problema 12?

USA LOS DATOS Para 14 - 15, usa la flecha giratoria. La flecha giratoria tiene secciones iguales.

14. ¿Qué par de sucesos son equiprobables?

15. Menciona un suceso que es imposible

16. Antonio va a girar la flecha. Predice el resultado de su giro. Explica tu selección.

8. Experimento: Lanzar un cubo numerado del 1 al 6.

Suceso A: sacar un número menor que 3 Suceso B: sacar un número par

10. Experimento: Sacar una ficha de una bolsa si todas las fichas son del mismo tamaño.

Suceso A: verde Suceso B: rojo

Resultados del experimento

Suma de 3Resultados predichos

Resultados reales

j j j

17. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo si s = 12?

4 • (s + 5)

18. ¿Cuál es el área de esta figura?

5 cm

10 cm

19. Menciona una fracción que sea igual que 0,5.

20. Las bolitas de la bolsa son del mismo tamaño. ¿Qué color de bolita tienes más posibilidad de sacar de la bolsa?

A azul

B amarilla

C verde

D roja

Práctica adicional en la página 294, Grupo A288

Justifica tu respuesta

Algunas veces necesitas justificar tu respuesta proporcionando razones que muestren que tu respuesta es correcta.

El entrenador de fútbol de Mónica va a seleccionar un estudiante para que sea el capitán del equipo. Ella escribe el nombre de un jugador diferente en cada una de las 23 tarjetas. Después, sin ver, elige una tarjeta. ¿Es posible, poco posible, seguro o imposible que el nombre de Mónica sea seleccionado?

Mónica escribió su respuesta y después dio sus razones para justificarla.

Pienso que es poco posible que mi nombre sea seleccionado.

1. Debido a que hay otros resultados posibles, no es seguro que mi nombre sea seleccionado.

2. Debido a que mi nombre es uno de los resultados posibles, no es imposible que este sea seleccionado.

3. Cada estudiante tiene igual oportunidad de ser seleccionado. Debido a que solo tengo una posibilidad entre 23 de que mi nombre sea seleccionado, no es posible que lo sea.

Por lo tanto, mis razones justifican que es poco posible que mi nombre sea seleccionado.

1. Una mañana de octubre, la Señora Madariaga dijo: “Es imposible que vaya a nevar hoy”. ¿Estás de acuerdo con la Señora Madariaga?

3. Rodrigo lanza un dado y una moneda de $10. Menciona dos resultados que sean equiprobables que ocurran.

2. Óscar lanza un dado y una moneda de $ 5. ¿Cuántos resultados posibles hay?

4. Melina va a lanzar una moneda 50 veces. ¿Cuántas veces predices que la moneda caerá en cara?

Resolución de problemas Resuelve.Justificaturespuesta.

Para justificar una respuesta:

• Primero, plantea tu respuesta.

• Después, escribe enunciados que expliquen por qué otras posibles respuestas no pueden ser verdaderas.

• Usa términos matemáticos correctos en tus enunciados.

• Por último, menciona si tus razones justifican tu respuesta.

Capítulo 12 289

Aprende

imposible menosposible másposible seguro

ADVERTENCIA

Probabilidad como una fracciónOBJETIVO: expresar la probabilidad como una fracción.

Tomás lanza un cubo numerado del 1 al 6. ¿Cuántos resultados posibles hay?

Vocabularioprobabilidad matemáticaPROBLEMA Paulina gira la flecha. Cada sección de la flecha

giratoria es igual. ¿Cómo puede describir la probabilidad de que la flecha se detenga en verde?

La probabilidad matemática es una comparación entre un número de resultados favorables y el número de resultados posibles de un suceso. La probabilidad de que un suceso ocurra se expresa como 0, 1 o una fracción entre 0 y 1.

Por lo tanto, Paulina puede describir la probabilidad de que la flecha se detenga en verde como una fracción.

¿Cuál es la probabilidad matemática de que la flecha se detenga en verde?

Probabilidad de que número de resultados favorables (verde) _______________________________________________________

número total de resultados posibles (3 verdes, 4 rojos, 1 amarillo)

se detenga en verde 3 __ 8

Por lo tanto, la probabilidad matemática de que la flecha se detenga en verde es de 3 _ 8 o 3 de 8.

Cuanto más cercana sea la probabilidad a 1, será más probable que el suceso ocurra. Cuanto más cercana sea la probabilidad a 0, será menos probable que ocurra. Una probabilidad de 1 _ 2 significa que el suceso tiene tanta probabilidad de ocurrir como de no ocurrir.

Imagina que quieres hallar la probabilidad de que la flecha se detenga en amarillo.

• ¿Qué es más probable que ocurra: sacar rojo o sacar amarillo? ¿Cómo lo sabes?

El número de resultados favorables es siempre el numerador. El número total de resultados posibles es siempre el denominador.

0 11–83–8

5–81–4

1–23–4

7–8

4LECC

IÓN

= =

290

1. Usa la flecha giratoria A, que tiene secciones iguales. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha se detenga en azul? Cuenta el número de resultados favorables. Cuenta el número total de resultados posibles. Escribe la probabilidad como una fracción.

USA LOS DATOS Para 2 - 6, usa la flecha giratoria B. La flecha giratoria B tiene secciones iguales. Escribe la probabilidad como una fracción.

2. sacar azul 3. sacar rojo o azul

4. sacar verde 5. no sacar rojo

6. sacar rojo 7. no sacar azul ni verde

8. Explica cómo sabes que es posible que ocurra un suceso con probabilidad 11 de 12.

A

B

Más ejemplos Halla la probabilidad de cada suceso cuando todas las bolitas son del mismo tamaño. Después, escribe la probabilidad.

Halla la probabilidad de sacar una bolita que no sea azul.

La probabilidad de 5 __ 8 resultados favorables (4 rojas, 1 verde)

______________________________________________ total de resultados posibles (3 azules, 4 rojas, 1 verde)

que no sea azul

La probabilidad de sacar una bolita que no sea azul es posible.

←←

←←

Halla la probabilidad de sacar una bolita roja o verde.

La probabilidad de 5 __ 7 resultados favorables (2 rojas, 3 verdes)

________________________________________________ total de resultados posibles (2 rojas, 3 verdes, 2 blancas)

que sea roja o verde

La probabilidad de sacar una bolita roja o verde es posible.

←←

Halla la probabilidad de sacar una bolita negra.

La probabilidad de que sea negra 8 __ 8 resultados favorables (8 negras)

_________________________________ total de resultados posibles (8 negras)

La probabilidad de sacar una bolita negra es segura.

←←

Halla la probabilidad de sacar una bolita verde.

La probabilidad de 0 __ 9 resultados favorables (0 verdes)

__________________________________________ total de resultados posibles (3 azules, 4 rojas, 2 amarillas)

que sea verde

La probabilidad de sacar una bolita verde es imposible.


=

=

=

=

Capítulo 12 291

5

6

6

12

2

433

33

B A A ANN S

USA LOS DATOS Para los ejercicios 9 a 13, usa las fichas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción.

9. sacar un 1

10. sacar un 3

11. sacar un 5

12. sacar un 2 o 3

13. sacar un número que no sea 6

Álgebra 19. Roberto llena una bolsa con 12 bolitas del

mismo tamaño. Hay n bolitas azules. La probabilidad de sacar una bolita azul de la bolsa es de 1 _ 4 .

20. Marta gira una flecha que tiene 3 resultados igualmente probables: rojo, verde y azul. La probabilidad de sacar amarillo es n.

USA LOS DATOS Para 22 - 24, usa la flecha giratoria. La flecha giratoria tiene secciones iguales.

21. ¿Qué fracciones muestran la probabilidad de sacar verde?

22. Escribe los siguientes resultados en orden del menos probable al más probable y escribe la probabilidad de cada uno como una fracción: sacar verde, sacar un 6, sacar un número par.

23. Formula un problema Vuelve a leer el problema 21. Escribe un problema similar cambiando el color.

24. ¿Cuál es el error? Carlos dice que la probabilidad de sacar verde es de 1 _ 3 porque el verde es uno de los tres resultados posibles. Describe su error. Halla la probabilidad correcta.

USA LOS DATOS Para 14 - 18, usa las tarjetas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. Después, menciona si cada suceso es seguro, imposible, posible o poco posible.

14. sacar una B

15. sacar una N o una A

16. sacar una T

17. sacar una B, A, N o S

18. sacar un letra que no sea A

Hallaelvalorden.



292


RobertoManuel

Juanita

ManuelRoberto

Juanita

25. ¿Cuáles son los resultados posibles de girar una flecha giratoria de tres partes iguales si 2 partes son rojas y 1 parte es azul?

26. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz azul de una caja con tres lápices rojos? Explica.

27. Todas las bolitas son del mismo tamaño. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja?

A 1 __ 5 C 3 __

5

B 2 __ 5 D 4 __

5

JUSTO O INJUSTO En la probabilidad, un experimento es justo si cada resultado es igualmente probable. Un experimento es injusto si uno o más resultados tienen más probabilidad de ocurrir que otros.

Rodolfo, Manuel y Juanita juegan usando una flecha giratoria. Cada vez que la flecha se detiene en el nombre de un jugador, este obtiene 1 punto.

Esta rueda giratoria es injusta. Roberto tiene más probabilidad de anotar que los otros jugadores.

Esta rueda giratoria es justa. Cada jugador tiene la misma probabilidad de anotar.

Injusto Justo

1. Osvaldo y María lanzan dado. Osvaldo gana si el resultado es 1, 2 o 3. María gana si el resultado es 4, 5 o 6.

3. Rolando y Pamela lanzan un dado. Rolando gana si el resultado es menor que 3. Pamela gana si el resultado es mayor que 3.

2. Luis y Félix usan la flecha giratoria de abajo. Luis gana si la flecha se detiene en azul. Félix gana si la flecha se detiene en verde o rojo.

Menciona si cada juego es justo o injusto. Explica tu respuesta.

Capítulo 12 293

1. sacar una ficha azul de una bolsa que contiene 26 fichas verdes, 14 amarillas y 2 azules del mismo tamaño.

2. sacar un número menor que 1 en un dado.

Para cada experimento di si los sucesos A y B son poco probables o no son poco probables.

3. Experimento: Girar la flecha 4. Experimento: Sacar una bolita de la bolsa de bolitas del mismo tamaño.

Suceso A: morado Suceso B: verde

Suceso A: amarilla Suceso B: roja

Práctica adicionalGrupo A Di si el suceso es probable, poco probable, seguro o imposible

Grupo B Para los ejercicios 1 a 5, usa la flecha giratoria para hallar la probabilidad de cada suceso. La flecha giratoria tiene secciones iguales.

1. sacar anaranjado 2. sacar morado

3. sacar rojo 4. sacar verde o anaranjado

5. sacar un color que no sea azul

Para los ejercicios 6 y 10, usa las tarjetas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. Después, di si cada suceso es seguro, imposible, probable, o poco probable.

6. sacar una R 7. sacar una A o una C

8. sacar una T 9. sacar una G

10. sacar una A, C o R

C A R A C T E R

294

Jugadores2 equipos de 2 jugadores

Materiales• 2 dados• Tarjetas de suceso

Los jugadores revuelven las tarjetas y las colocan boca abajo en una pila. La primera tarjeta se voltea.

Cada equipo determina la probabilidad del suceso que sale en la tarjeta. Después, predicen los resultados de lanzar el cubo 10 veces.

El equipo que tenga la predicción más cercana anota un punto.

El juego continúa hasta que un equipo anote 5 puntos y gane el juego.

¡Cómo jugar!

La probabilidad de sacar un 3 es de 1

_ 6

Es probable, no es probableEs probable, no es probable

Capítulo 15 295

VOCABULARIO

probabilidad matemática

resultado

predicción

5. sacar un 0 en un dado 6. sacar un número impar en una flecha giratoria con tres partes iguales rotuladas del 1 al 3

12. Jaime lanzó una moneda y sacó una bolita de una bolsa con una bolita azul y una roja. Las bolitas son del mismo tamaño. ¿Cuántos resultados posibles hay?

13. Leonardo lanza un dado y una moneda. ¿Cuántos resultados posibles hay?

14. Luis está jugando con dos dados. Si saca 10 o más, gana un turno adicional. Menciona las maneras en que Luis puede ganar un turno adicional.

15. Explica cómo puede Luis organizar una lista para hallar las posibles combinaciones de lanzar dos dados.

Repasar el vocabulario y los conceptos Para los ejercicios 1 a 3, elige el mejor término del recuadro.

1. Un ____________ es la solución de un experimento.

2. Cuando realizas una ____________ , haces una conjetura razonable acerca de lo que sucederá.

3. Un ____________ es una lista organizada que muestra posibles combinaciones de grupos de objetos o de un suceso.

4. Explica la diferencia entre suceso imposible y suceso poco posible.

Repasar las destrezas Di si el suceso es probable, poco probable, seguro o imposible.

Para los ejercicios 7 a 11, usa las tarjetas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. Después, menciona si cada suceso es seguro, imposible, probable o poco probable.

7. sacar una T 8. sacar un T, R, D, A, u O

9. sacar una D 10. sacar un A, O o T

11. sacar una S

Resuelve:

Repasar la resolución de problemas Resuelve.


T R O T A D O R A

296

Capítulo 15 297

Muchos de los juegos populares usan la probabilidad.

Más probable: el resultado que ocurrirá más.

Si hay 5 bolitas rojas y 1 azul en una

bolsa, es más probable que saques una

bolita roja.

Menos probable: el resultado que ocurrirá menos.

Si hay 5 bolitas rojas y 1 azul en una

bolsa, es menos probable que saques

una bolita azul.

Equiprobable que: dos resultados que tienen la misma posibilidad de ocurrir.

Si hay 2 bolitas rojas y 2 azules en una

bolsa, es igualmente probable que saques

las rojas que las azules.

Predice y juega Claudia y Jorge juegan un juego de números. Cada uno toma turnos para lanzar dos dados. Después suman los números para hallar el resultado de cada lanzamiento. Claudia lanza un 3 y un 6, por lo tanto, suman 3 y 6 para obtener un total de 9.

Cuando se suman los resultados de lanzar 2 dados, el menor total posible es 2. El mayor total posible es 12.

Mayor total posible:

6 1 6 5 12

• Predice qué totales ocurrirán con mayor o menor frecuencia. ¿Por qué?

Juego de lanzamientoMateriales ■ 2 dados

Juega con el dado con un compañero de clase. Lanza los dados 20 veces. Registra tus totales en una tabla de conteo.

Explica cómo se compara tu predicción con los resultados reales y por qué.

Enriquecimiento • Hacer predicciones

Menor total posible:

1 1 1 5 2

total: 3 1 6

Opción múltiple

1. La media aritmética (promedio) del siguiente grupo de datos es igual a: 7 - 20 -13 - 14 - 6 - 9 - 1

A 70

B 20

C 14

D 10

2. Se sabe que el promedio del siguiente grupo de datos 1, 7, 2, 10, x es 10. ¿Cuál de los siguientes valores puede tomar x?

A 10

B 20

C 30

D 40

3. En la tabla se registra el largo de los saltos que realizaron 5 niños. En relación con los datos registrados en la tabla. ¿Cuál es el promedio de la muestra?

Nombre del niño Estatura en metros

Andrés 1,19

Carlo 1,35

Ricardo 1,38

Matías 1,03

Pablo 1,46


El gráfico muestra la cantidad de agua caída en una ciudad del centro del país. ¿Cuál es el promedio de agua caída en los seis primeros meses?

800700650600500400300200100500

E F M A meses

mm

M J J A

Con esta información responde las preguntas 4 y 5.

4. ¿Cuáles son los dos meses más lluviosos? ¿Cuántos milímetros de agua cayeron entre ambos?

A Junio y julio, cayeron 1 450 mm.

B Junio y julio, cayeron 800 mm.

C Julio y agosto, cayeron 1 450 mm.

D Junio y agosto, cayeron 1 150 mm.

5. ¿Cuántos milímetros de agua cayeron en el primer semestre?

A 2 500 mm.

B 2 502 mm.

C 1 202 mm.

D 1 200 mm.

298

6. Los valores de la muestra anterior son 50 – 100 – 400 – 650 – 800 – 500. La mejor estimación del promedio es:

A 400 mm.

B 310 mm.

C 350 mm.

D 360 mm.

7. ¿Cuántas más niñas que niños eligieron fútbol como su deporte favorito?

A 2

B 3

C 4

D 5

8. Se lanza una moneda al aire, la posibilidad de que salga cara o sello:

A es imposible

B es poco probable

C es seguro

D no se puede saber

9. Se lanza un dado, la posibilidad de que salga un número menor que 1:

A es imposible

B es poco probable

C es seguro

D no se puede saber

10. Se lanza un dado n, la posibilidad de que salga un número par o un número impar es:

A es imposible

B es poco probable

C es seguro

D no se puede saber

Deportes favoritos

Niños Niñas

Fútbol 4 6

Voleibol 8 3

Respuesta breve

Mira el gráfico y responde:

11. ¿Cuántos alumnos tiene el curso?

12. ¿Cuántos alumnos calzan nº 34?

13. ¿Cuántos calzan menos que la media?

Alumnos nuevos

Esteban

Nicolás

Sara

37

36

35

0

2

4

6

8

10

12

Cant

idad

de

alum

nos

Nº zapato

2

8

4

34

2

3532

6

31

10

3330

Verdadero o falso

Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cada enunciado.

15. ______ La media del conjunto de datos 150, 250,120,700,200 es 280.

16. ______ El suceso de sacar una ficha rosa de una bolsa con 15 fichas rosas y 15 fichas blancas es igualmente probable.

17. ______ Si tengo la palabra “ suceso”, la probabilidad de sacar la letra s como fracción es .


14. Mira el gráfico de barras. ¿En cuál grupo de número de zapato está la mayor cantidad de alumnos? ¿En cuál está la menor cantidad de alumnos? ¿Cómo cambiaría el gráfico si se agregan los datos de tres alumnos nuevos?

26

Capítulo 12 299

De aquí yde allá


De la biblioteca a la Red

EnlacEs

nlaces nació en el año 1994 como un proyecto piloto con doce escuelas en Santiago. Luego se extendió a La Araucanía y finalmente a todo Chile. El objetivo de esta iniciativa era constituir una Red Educacional Nacional formada por todos

los establecimientos educacionales subvencionados de Chile que permitiera incorporar las nuevas Tecnologías de la Información y Educación TICs en las salas de clases. Por ello, fue primordial dotar gradualmente a los establecimientos educacionales de la infraestructura necesaria (equipos, software y conexión a Internet) que permitiera a las comunidades educativas desarrollar proyectos educativos personales e intercambiar experiencias exitosas y así reducir el aislamiento de muchas escuelas y liceos del país.

E

1¿Cuántos establecimientos educacionales se encontraban conectados a la Red Enlaces en 1992?

2¿Cuántos establecimientos educacionales se encontraban conectados finalizado el año 1996?

3 ¿Cuánto aumentó la cantidad de establecimientos educacionales participantes de la Red Enlaces entre los años 1997 y 1999?

¿Cuál fue el año en que la Red Enlaces experimentó el aumento más significativo de establecimientos educacionales asociados?

Establecimientos en Enlaces: Expansión

6 0005 0004 0003 0002 0001 000

01992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Núm

ero

de e

stab

leci

mie

ntos

Fuente: Ministerio de Educación

300

Biblioteca Nacional


cibErconEctados

asta el año 2001 la cantidad de usuarios conectados a internet bordea los 707 000 000 en el mundo, por ello

las TICs son, hoy por hoy, de vital importancia en los procesos educativos modernos.

Internet es hoy una fuente de información, comunicación y culturización que supera en uso a las bibliotecas tradicionales.

H

La Biblioteca Nacional de Santiago, tiene una colección de fotografías

históricas que incluye miles de fotografías de la capital y de Chile.

1Confecciona una encuesta donde recopiles información sobre desde qué año aproximado están conectados a internet en tu hogar y el tiempo que es utilizado diariamente por la familia.

2 Confecciona una tabla similar a la anterior comenzando desde 1999, o desde el año en que el primer entrevistado se haya suscrito, y terminando en el 2013.

3 Confecciona otra tabla donde resumas la información del tiempo en que se utiliza el servicio internet en cada hogar. Divide la tabla en intervalos de 5 horas, ejemplo [0-5[ , [5-10[, [10-15[, etc.

Grafica los datos anteriores, debes escoger dos gráficos, escoge los más adecuados que permitan mostrar la información obtenida.

Encuentra el promedio del número de horas que es utilizado internet en el hogar.

¿Qué puedes concluir respecto de la información que obtuviste?

EVOLUCIÓN APROXIMADA DE CONECTADOS A INTERNET EN EL MUNDO

Enero 1990 Enero 1997 Enero 2000 Enero 2001

1 120 000 57 000 000 377 000 000 707 000 000

Capítulo 14 301


altura La longitud de una perpendicular desde la base hasta la parte superior de una figura plana o de un cuerpo geométrico.

Ejemplo:altura

ángulo agudo Un ángulo cuya medida es menor que la de un ángulo recto (menos de 90°).

Ejemplo:

Origen de la palabra

La palabra aguja en latín es acus. Significa “puntiagudo” o “punzante”. Reconocerás la raíz en las palabras ácido (sabor agrio) acicular (con forma de aguja) y agudo, que describe un ángulo punzante o puntiagudo.

ángulo extendido Un ángulo que mide 180°.

Ejemplo:

X ZY

ángulo obtuso Un ángulo cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°.

Ejemplo:

ángulo recto Un ángulo que mide la mitad de un ángulo extendido, es decir, 90°.

Ejemplo:

área El número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie.

área total La suma de las áreas de todas las caras o superficies de un cuerpo geométrico.

arista Un segmento que se forma donde se encuentran dos o más caras de un cuerpo geométrico.

base (geometría) En dos dimensiones, un lado de un triángulo o de un paralelogramo que sirve para hallar el área. En tres dimensiones, una figura plana, generalmente un polígono o un círculo, que se usa para describir parcialmente un cuerpo geométrico y que sirve para hallar el volumen de algunos cuerpos geométricos. Ver altura. Ejemplo:

basebasebase

altura base

cara Un polígono que es una superficie plana de un cuerpo geométrico. Ejemplo:

cara

centésima Una de cien partes iguales. Ejemplo: 0,56 cincuenta y seis centésimas.

centímetro (cm) Una unidad métrica para medir longitud o distancia; 0,01 metro 1 centímetro.

cociente El número, sin incluir el residuo, que resulta al dividir. Ejemplo: 8 4 2. El cociente es 2.

coma decimal Un signo que se usa para separar las unidades de las décimas cuando se trata de números decimales.

congruente Que tienen el mismo tamaño y la misma forma.

cuadrado Un polígono que tiene cuatro lados iguales, o congruentes, y cuatro ángulos rectos.

cuadrilátero Un polígono de cuatro lados.

cubo un cuerpo geométrico con seis caras cuadradas y congruentes.

cuerpo geométrico Una figura tridimensional (figura 3D).

90°

302

Glosario

datos La información reunida sobre personas o cosas, a menudo para sacar conclusiones acerca de ellas.

datos numéricos Son los datos que muestran números en orden en alguna escala numérica de un gráfico.

decimal Un número de uno o más dígitos, ubicado a la derecha de la coma decimal.

decímetro (dm) Una unidad de longitud del sistema métrico; 10 decímetros 1 metro

décima Una de diez partes iguales. Ejemplo: 0,7 siete décimas

denominador En una fracción, el número que está debajo de la barra y que indica cuántas partes iguales hay en el entero.

descomposición en factores primos Un número expresado como el producto de todos sus factores primos.

diagrama de tallo y hojas Una tabla que muestra grupos de datos ordenados según su valor posicional. Ejemplo:

Tallo Hojas

1040

1234

2350

4471

5

2

Número de boletos vendidos

diferencia La respuesta a un problema de resta.

dígito Cualquiera de los diez símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9 que se usan para escribir números.

dividendo El número que se divide en un problema de división. Ejemplo: 36 : 6. El dividendo es 36.

división El proceso de repartir un número de objetos para determinar cuántos grupos podrán formarse o cuántos objetos habrá en cada grupo; la operación opuesta a la multiplicación.

divisor El número que divide el dividendo. Ejemplo: 15 : 3. El divisor es 3.

ecuación Un enunciado algebraico o numérico que muestra que dos cantidades son iguales.

eje La recta numérica horizontal o vertical que se usa en un gráfico o en un plano de coordenadas.

eje de la x La recta numérica horizontal de un plano de coordenadas.

eje de la y La recta numérica vertical de un plano de coordenadas.

encuesta Un método para reunir información acerca de un grupo.

estimación Un número que se aproxima a una cantidad exacta.

estimar Hallar un número que se aproxime a una cantidad exacta.

evaluar Hallar el valor de una expresión numérica o algebraica.

expresión Una frase matemática o la parte de un enunciado numérico que combina números, signos de operaciones y, a veces, variables, pero que no tiene un signo de igual.

expresión algebraica Una expresión que incluye por lo menos una variable. Ejemplo: x 1 5, 3a 2 4

expresión numérica Una frase matemática que usa solamente números y signos de operaciones.

factor Un número que se multiplica por otro número para hallar un producto.

factor común Un número que es un factor de dos o más números.

figura plana Una figura que se encuentra en un plano (figura 2D).

forma desarrollada Una manera de escribir los números mostrando el valor de cada dígito. Ejemplo: 832 800 1 30 1 2

forma normal Una manera de escribir números con los dígitos del 0 al 9, donde cada dígito tiene un valor posicional. Ejemplo: 456 ➞forma normal

fórmula Un conjunto de signos que expresan una regla matemática. Ejemplo: A l a

fracción Un número que representa una parte de un todo o una parte de un grupo.

fracciones equivalentes Fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad. fracción irreductible Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común.

303

fracciones de distinto denominador Fracciones que tienen denominadores diferentes.

fracciones de igual denominador Fracciones que tienen el mismo denominador.

gráfico de barras Un gráfico que muestra datos contables en barras horizontales o verticales.

Ejemplo:

Deportes

Cant

idad

de

estu

dian

tes

121086420

Deportes favoritos

gráfico de líneas Un gráfico que usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos con el transcurso del tiempo.

gráfico de líneas doble Un gráfico de líneas que representa dos conjuntos de datos.

hoja Un dígito que está en el lugar de las unidades en un diagrama de tallo y hojas.

intervalo La distancia entre un número y el siguiente en la escala de un gráfico.

kilómetro (km) Una unidad métrica que se usa para medir longitud o distancia.

línea Un trayecto recto en un plano, que se extiende en ambas direcciones y que no tiene extremos.

líneas paralelas Líneas que están en un mismo plano y no se intersecan.

líneas perpendiculares Dos líneas que se intersecan para formar ángulos rectos. Ejemplo:

R

T U

S

matriz Un conjunto de objetos colocados en hileras y columnas.

máximo común divisor (MCD) El factor más grande que dos o más números tienen en común. Ejemplo: 6 es el MFCD de 18 y de 30.

mayor que (>) Un signo que se usa para comparar dos números, cuando el primer número dado es el mayor. Ejemplo: 6 4

media El promedio de un conjunto de números. Se obtiene sumando el conjunto y dividiendo la suma entre el número de sumandos.

menor que (<) Un signo que se usa para comparar dos números, cuando el primer número dado es el menor. Ejemplo: 4 6

metro (m) Una unidad métrica que se usa para medir longitud o distancia; 1 metro 100 centímetros.

milésima Una de mil partes iguales. Ejemplo: 0,006 = seis milésimas.

milímetro (mm) Una unidad métrica que se usa para medir longitud o distancia. 1 milímetro 0,001 metro.

mil millones 1 000 millones; se escribe 1 000 000 000.

millón se escribe 1 000 000.

mínimo común denominador (m.c.d.) El menor múltiplo común de dos o más denominadores.

Ejemplo: El m.c.d. de 1 _ 4 y 5 _ 6 es 12.

mínimo común múltiplo (m.c.m.) El menor número, sin incluir el cero, que es un múltiplo común de dos o más números.

multiplicación El proceso para hallar el número total de elementos compuestos por grupos de igual tamaño. La operación opuesta a la división.

múltiplo El producto de un número entero dado y otro número entero.

múltiplo común Un número que es un múltiplo de dos o más números.

304

numerador En una fracción, el número que está encima de la barra y que indica cuántas partes iguales del entero se están tomando en cuenta.

Ejemplo: 3 _ 4 ➞numerador

número compuesto Un número que tiene más de dos factores.

Ejemplo: 6 es un número compuesto, ya que sus factores son 1, 2 3 y 6.

número mixto Un número que se compone de un número entero y una fracción. Ejemplo: 1 5 _ 8

número primo Un número que tiene exactamente dos factores: 1 y él mismo. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. 1 no es un

número primo.

operaciones inversas Operaciones que se anulan una a la otra, como la suma y la resta, o la multiplicación y la división.

orden de las operaciones Un conjunto especial de reglas que establece el orden en el que los cálculos se realizan en una expresión.

origen El punto donde dos ejes de un plano de coordenadas se intersecan, (0,0).

par ordenado Un par de números que se usan para ubicar un punto en una cuadrícula. El primer número indica la ubicación hacia la izquierda o la derecha, y el segundo número indica la ubicación hacia arriba o hacia abajo.

paralelogramo Un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos y tienen la misma longitud, o son congruentes. Ejemplo:

paréntesis En una expresión matemática, los signos que se usan para indicar qué operación u operaciones deben realizarse primero.

perímetro La medida del contorno de una figura plana cerrada.

pirámide Un cuerpo geométrico cuya base es un polígono y cuyas otras otras caras son

triángulos que se unen en un vértice común. Ejemplos:

pirámide cuadrada Un cuerpo geométrico que tiene una base cuadrada y cuatro caras triangulares que tienen un vértice común.

Origen de la palabra

A veces, el fuego adopta la forma de una pirámide, con una punta en la parte superior y una base más ancha. Posiblemente de ahí provenga el nombre de pirámide . Fuego en griego era pura, que tal vez se combinó con la palabra egipcia mer.

plano cartesiano Un plano formado por dos rectas numéricas, secantes y perpendiculares, que se conocen como ejes.

polígono Una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos.

priorizar Colocar sucesos según su orden de importancia.

prisma Un cuerpo geométrico que tiene dos bases congruentes con forma de polígono, y otras caras con forma de rectángulo. Ejemplos:

prisma rectangular prisma triangular

prisma rectangular Un cuerpo geométrico cuyas seis caras son rectángulos.

producto La respuesta a un problema de multiplicación.

promedio Ver media.

propiedad asociativa de la multiplicación La propiedad que establece que aunque se cambie la manera de agrupar los factores, el producto es el mismo. Ejemplo: (2 • 3) • 4 2 • (3 • 4)

propiedad asociativa de la suma La propiedad que establece que aunque se cambie la manera de agrupar los sumandos, la suma es la misma. Ejemplo: (5 1 8) 1 4 5 1 (8 1 4)

propiedad conmutativa de la multiplicación La propiedad que establece que aunque se cambie el orden de dos factores, el producto es el mismo. Ejemplo: 4 • 5 5 • 4

305

propiedad conmutativa de la suma La propiedad que establece que aunque se cambie el orden de dos sumandos, la suma es la misma. Ejemplo: 4 1 5 5 1 4

propiedad del elemento neutro La propiedad que establece que el producto de un número cualquiera por 1 es ese número.

propiedad de indentidad de la suma La propiedad que establece que cuando se le suma cero a un número, el resultado es el mismo número.

propiedad envolvente del cero La propiedad que establece que el producto de 0 y cualquier otro número es 0.

propiedad distributiva La propiedad que establece que multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por ese número y luego sumar los productos. Ejemplo: 3 • (4 1 2) (3 • 4) 1 (3 • 2) 3 • 6 12 1 6 18 18

punto Un lugar exacto en el espacio; usualmente se representa con un punto gráfico.

punto de referencia Un número familiar que se usa como punto de referencia.

rango La diferencia entre el número mayor y el número menor en un conjunto de datos. Ejemplo: 2, 2, 3, 5, 7, 7, 8, 9

El rango es 9 2 2 7.

recta numérica Una línea en la que se pueden localizar números.

rectángulo Un paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos.

red Un patrón bidimensional que puede doblarse para formar un poliedro tridimensional. Ejemplo:

redondear Reemplazar un número por otro que es más sencillo y tiene aproximadamente el mismo valor que el número original. Ejemplo: 14,6 redondeado hasta la decena

más próxima es 110 y hasta la unidad más próxima es 115.

resto La cantidad sobrante cuando un número no se puede dividir entre partes iguales.

resta El proceso de hallar cuántos quedan al

quitar un número de elementos de un grupo; el proceso de hallar la diferencia cuando se comparan dos grupos. La operación opuesta a la suma.

segmento Una parte de una línea entre dos extremos.

sistema decimal Un sistema de cálculo basado en el número 10.

sobrestimación Una estimación mayor que la respuesta exacta.

solución Un valor que, cuando se sustituye por la variable, hace verdadera una ecuación.

subestimación Una estimación menor que la respuesta exacta.

suma El proceso de hallar el número total de elementos cuando se unen dos o más grupos; la operación opuesta a la resta.

suma o total La respuesta a un problema de suma.

sumandos Los números que se suman en un problema de suma.

tabla de frecuencia Una tabla en la que se usan números para registrar qué tan a menudo ocurre una cosa.

tallo Un dígito que está en el lugar de las decenas en un diagrama de tallo y hojas.

transportador Un instrumento que se usa para medir o para trazar ángulos.

triángulo Un polígono que tiene tres lados.

valor posicional El valor de una posición en un número, como el de la posición de las unidades o las decenas.

variable Una letra o un signo que representa uno o más números.

vértice El punto donde se unen dos o más rayos; el punto de intersección de dos lados de un polígono; el punto de intersección de tres (o más) aristas de un cuerpo geométrico; la cúspide de un cono.

volumen La medida del espacio que ocupa un cuerpo geométrico.

306

Índice temático

Álgebra: 6, 10, 14, 16, 26, 31, 46, 54, 56, 57, 59, 70, 72, 112, 113. Altura: 4, 20, 21, 71, 215, 223, 231, 240, 241, 242, 243, 244, 245. Analizar datos: 256.Analizar gráficos: 260.Ángulo: 71, 109, 167, 187, 194, 199, 200, 201, 211, 243.Ángulo agudo: 71, 200.Ángulo obtuso: 71, 200.Ángulo recto: 167, 200, 211.Área: 2, 14, 15, 26, 47, 57, 64, 75, 157, 163, 187, 214, 229, 230, 231. Área de los paralelogramos: 242.Área de los rectángulos: 242.Área de los triángulos: 240.Arista: 71, 196, 197, 208, 227.

Barras de fracciones: 116, 120, 125, 132, 133, 140, 141, 142. Base: 71, 151, 196, 197, 222, 223, 226, 231, 240, 242, 243, 244, 245, 247. Bloques multibase: 50, 51.Buscar un patrón: 18, 19, 21, 41, 56, 123, 139, 151, 171, 236, 237.

Calculadora: 84, 85.Cálculo mental: 30, 42, 73, 75, 76, 87, 88, 96, 180, 181. Centena de mil: 12, 26, 46, 276. Centésima: 1, 159, 160, 164, 165, 166, 172, 173, 178, 180, 183. Cero en la división: 72.Cociente: 1, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65. Coma decimal: 1, 158, 172, 173. Combinación: 40, 279, 296.Comparar decimales: 166.Comparar estrategias: 150, 236. Comparar fracciones: 107, 116. Comparar números mixtos: 116, 121, 122. Comparar números naturales: 8.Comparar partes de un todo: 279.Comprender los decimales: 158, 164.Congruente: 188, 189, 198, 199, 202, 203, 206, 207, 210, 222, 223. Conjunto de datos: 257, 258, 259, 260, 263, 266, 268, 272, 274, 299. Convertir: 114, 116, 131, 145, 216, 217, 219.Convertir unidades: 216, 217.Coordenadas: 27, 47, 188, 189, 190, 192, 193, 206, 207, 209, 210. Coordenada x: 189, 190, 192, 193, 207, 210. Coordenada y: 189, 190, 192, 193, 210. Cuadrado: 13, 26, 27, 32, 35, 57, 71, 75, 129, 160, 161, 164, 193. Cuadrícula: 27, 47, 160, 161, 164, 167, 188, 189, 190, 191, 208, 210.

Dato: 6, 10, 13, 16, 17, 20, 21, 27, 28, 31, 33, 37, 40, 41, 47, 48, 54. Datos y probabilidades: 27, 47, 71, 129, 157, 213, 229, 254, 277.Decena: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 21, 25, 34, 36, 43, 50, 51, 52, 53, 62, 63. Decimal: 1, 32, 33, 46, 104, 119, 120, 126, 135, 149, 158, 159, 160. Decimal equivalente: 160, 172, 173, 178, 180. Denominador: 107, 108, 110, 111, 112, 114, 116, 117, 118, 126. Denominador común: 116, 117, 118, 144, 145, 155. Descomposición numérica: 45.Diagrama de árbol: 279.Diagrama de puntos: 59.Diagrama de tallo y hojas: 264, 265, 271, 272, 274. Diferencia: 3, 14, 15, 16, 22, 24, 25, 56, 61, 80, 84, 85, 93, 133, 134. Dividir: 48, 49, 52, 53, 56, 58, 62, 69, 73, 79, 95, 110, 111, 125, 230. Dividir con restos: 58.

Dividir entre divisores de 1 dígito: 52.Dividir entre divisores de 2 dígitos: 50.Divisor: 48, 49, 52, 57, 58, 62, 67, 77, 107, 110, 111, 112, 114.

Ecuación: 21, 41, 72, 73, 86, 87, 88, 89, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 101. Eje de simetría: 157, 202, 203, 204, 205, 211, 213, 277. Eje x: 189, 190, 208, 210. Eje y: 189, 190, 208, 210.Elementos de las figuras 2D: 194.Elementos de las figuras 3D: 196.Encuesta: 123, 157, 257, 262, 279, 301. Enunciado: 10, 11, 16, 27, 35, 37, 65, 70, 77, 78, 79, 82, 90, 92, 100.Equiprobable: 279, 288, 289, 297, 299. Escala: 129, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274.Estimación: 3, 12, 14, 15, 17, 22, 24, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38. Estimar cocientes: 49, 176.Estimar o hallar una respuesta exacta: 176.Estimar productos: 32.Evaluar: 49, 68, 72, 77.Experimento: 279, 280, 281, 286, 288, 293, 294, 296, 300. Expresión: 3, 13, 26, 46, 49, 55, 70, 72, 73, 75, 78, 79, 80, 81, 82, 83. Expresión algebraica: 3, 13, 49, 55.Expresión numérica: 49, 55, 70, 73.Expresiones entre paréntesis: 80.

Factor: 1, 30, 32, 34, 43, 45, 73, 74, 75, 76, 98, 105, 107, 110, 111.Factor común: 105, 107, 110, 111, 126, 131.Familias de operaciones: 73.Figuras geométricas: 18, 21, 27, 64, 71, 108, 119, 129, 157, 187.Figura 2D: 194, 195, 196, 197.Figuras bidimensionales: 196, 197, 208.Figuras congruentes: 188, 189, 198, 199, 202, 203, 206, 207, 210. Forma de fracción: 106, 114, 115, 119, 124, 126, 130, 149, 160, 163, 178, 180. Forma decimal: 126, 160, 161, 178. Forma desarrollada: 26, 32. Fracción: 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115.Fracción impropia: 107, 114, 118, 124, 127, 162, 163.Fracción propia: 162. Fracción simplificada en su mínima expresión: 106, 107, 110, 111. Fracciones con igual denominador: 132, 134, 141, 142, 143.Fracciones equivalentes: 107, 108, 109, 113, 116, 117, 126, 127.Función: 189, 278.

Giro completo: 200. Gráfico: 20, 21, 27, 41, 71, 92, 93, 106, 112, 123, 125, 129, 135, 139.Gráfico circular: 255, 257, 260.Gráfico de barras: 71, 93, 123, 129, 213, 229, 257,260, 261, 262. Gráfico de líneas: 255, 257, 260, 261, 262, 263, 266, 267, 268, 272, 274.Gráfico de líneas doble: 263, 267, 268, 274.Gráfico de pares ordenados: 189, 190, 266, 267, 268.Gráfico de red: 227.

Hacer generalizaciones: 222, 223. Hacer predicciones: 39, 260, 278, 286, 287, 297.Hacer una lista organizada: 21, 41, 123, 139, 151, 171, 237. Hacer una representación: 21, 41, 50, 51, 59, 74, 76, 108, 113, 123. Hacer una representación pictórica: 168, 169, 170.

307

Índice temático

Igualmente probable: 292, 293, 297. Imposible: 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 294, 296, 299.Inecuación: 90, 91, 92, 98, 101, 228, 276.Información relevante o irrelevante: 192, 193.Intervalo: 139, 172, 173, 266, 267, 268, 275, 301.

Lado: 13, 35, 47, 86, 91, 99, 129, 161, 193, 194, 195, 196, 206, 208, 210, 211, 212, 220, 221, 222, 223, 225, 226, 228, 231, 232. Longitud: 35, 92, 119, 122, 138, 148, 149, 151, 161, 166, 167, 177.

Máximo común divisor (MCD): 107, 110, 111, 112.Medición: 27, 47, 71, 129, 157, 186, 213, 214, 229, 277.Milésima: 1, 159, 160, 164, 165, 166, 172, 173.Mínimo común denominador (m.c.d.): 144, 145, 148, 149, 152.Mínimo común múltiplo (m.c.m.): 145, 148.Multiplicar números de 2 dígitos: 29, 34, 231.Multiplicar números naturales: 28.Multiplicar operaciones básicas: 29, 30.Múltiplo: 29, 30, 32, 44, 107, 116, 126, 144, 145, 146, 148, 287.Múltiplo común: 107, 116, 126, 144, 145.

Numerador: 107, 108, 110, 111, 112, 114, 116, 117, 126, 131, 134. Números compatibles: 45, 49, 65, 68.Números mixtos: 105, 106, 107, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 121. Números naturales: 1, 4, 8, 9, 12, 14, 28, 58, 159, 172, 233, 234, 246.

Operaciones inversas: 3, 14, 15, 16, 24, 131, 136.Orden de las operaciones: 78, 79, 80, 81. Ordenar decimales: 162, 166.Ordenar fracciones: 116, 117. Ordenar números mixtos: 117. Ordenar números naturales: 8, 9, 159.Origen: 189, 191, 210, 213, 218, 245.

Par ordenado: 189, 190, 191, 206, 207, 208, 210, 212, 245, 265. Patrón: 5, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 29, 30, 32, 38, 41, 46, 56, 57, 63, 66. Patrones de ceros: 30. Patrones de división: 56.Patrones numéricos: 18, 189. Patrones y álgebra: 26, 46, 70, 128, 156, 212, 228, 276.Percepción numérica: 38, 39.Perímetro: 13, 35, 47, 113, 129, 151, 161, 187, 214, 215, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 235, 237, 241, 246, 248. Pictograma: 257.Plano cartesiano: 188, 189, 190, 191, 207, 209, 257, 265, 268, 277. Poco posible: 279, 286, 287, 289, 292. Polígono: 187, 194, 196, 199, 205, 211, 215, 220, 224, 226, 251.Posibilidad de sucesos: 278, 286, 288, 289, 297, 299. Posible: 129, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 297, 299. Predecir y probar: 21, 38, 39, 40, 41, 99, 123, 139, 171, 205, 237. Prevalencia de las operaciones: 73, 78, 79, 82, 96, 98. Prisma: 47, 196, 215, 222.

Probabilidad: 27, 47, 71, 129, 146, 157, 213, 229, 254, 277, 278, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 299.Probabilidad matemática: 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 299.Promedio: 32, 36, 88, 139, 257, 258, 259, 262, 263, 266, 267, 268, Propiedad: 29, 36, 45, 46, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 98. Propiedad asociativa: 73, 74, 98.Propiedad conmutativa: 73, 74, 77, 98. Propiedad del elemento neutro: 73, 74, 77. Propiedad distributiva: 29, 36, 45, 46, 73, 74, 75, 76. Propiedades de la multiplicación: 74, 77.

Reagrupar: 29, 50. Recta numérica: 8, 9, 10, 11, 12, 114, 115, 120, 126, 128, 136, 137, 138, 147, 162, 163, 166, 167, 169, 170, 189, 190, 191, 228. Redondear: 3, 12, 13, 24, 26, 29, 38. Regla: 18, 20, 66, 73, 75, 76, 77, 79, 80, 95, 96, 98, 100, 133, 147, 155, 174, 181, 189, 198, 210, 212, 215, 226, 238.Relación numérica: 94.Relacionar: 70, 81, 82, 83, 89, 92, 94, 105, 123, 160, 175, 188, 190, Representación gráfica: 92, 98, 101, 126, 162, 188, 191, 207, 255, Residuo: 1, 49, 51, 52, 58, 60, 62, 69. Restar decimales: 172.Restar números naturales: 14.Resto: 1, 49, 51, 52, 58, 60, 62, 69.Resultados posibles: 129, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 286, 287, Rotación: 189, 200, 202, 203, 205, 213.

Segmentos: 191, 194, 196, 199, 215, 240, 242, 248, 255, 261, 266. Seguro: 286, 287, 289, 290, 292, 296, 299. Simetría: 157, 189, 202, 203, 204, 205, 208, 209, 211, 213, 250, 251, 277.Simetría axial: 202, 203, 204, 205, 208, 209, 213, 251.Simetría rotacional: 202, 203, 277.Suceso: 278, 279, 286, 287, 288, 290, 291, 292, 294, 295, 296, 299.Sumar decimales: 181. Sumar fracciones: 140.Sumar números naturales: 14, 172, 233.Sustracción: 78, 97.

Tabla de conteo: 279, 281, 287, 297. Tabla de frecuencia: 257.Tabla de funciones: 189.Traslación: 189, 205, 209, 213. Triángulo: 108, 129, 185, 187, 194, 196, 206, 207, 209, 214, 226, 231, 238,

Unidad cuadrada: 231, 232.Unidad métrica: 214, 215, 217. Unidad usual: 215.

Valor de la expresión: 70, 78, 81, 83, 100, 101, 128, 228, 235, 276, 288.Valor posicional: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 24, 28, 37, 48, 53, 63, 158, 165, 166, 212, 264, 274, 276.Variable: 49, 73, 86, 88, 90, 94, 97, 113, 220. Vértices: 71, 193, 194, 195, 196, 197, 207, 208, 209, 212, 227.

308

Solucionario

309

Capítulo 1

Página 31. Unidades de mil.2. Centenas de mil.3. Centenas.4. Decena.5. Decenas de mil.6. Decenas.7. Centenas de mil.8. Decenas de mil.9. 1 000.10. 6 000.11. 14 000.12. 70 000.13. 5 000.14. 238 000.15. 43 000.16. 355 000.17. 695.18. 422.19. 468.20. 5 377.21. 6 958.22. 2 633.23. 1 932.24. 6 583.25. 195.26. 456.27. 354.28. 4 538.

Capítulo 1 · Lección 1 Página 51. Ubicándome en el lugar de las centenas de milPágina 62. Decenas de mil3. Unidad de millón4. Centenas de millón5. Centenas de millón6. 223030506yDoscientosveintitrés millones treinta mil quinientos seis.7. 60 403 000 906 y 60 000 000 000 + 400 000 000 + 3 000 000 + 900 + 6 8. 2 000 000 + 900 000 + 10 000 y Dos millones novecientos diez mil.9. 800 000 000 + 7 000 000 + 500 000 y Ochocientos siete millones quinientos mil.10. 1 000 000 + 800 000 + 1 y Un millón ochocientos noventa mil uno.11. 3 000 000 + 900 000 + 900 + 40 + 5 y Tres millones novecientos mil novecientos cuarenta y cinco.12.40000y4•1000013.37000y3•10000+7•100014. 1 000 000 000 de monedas de $ 5 . Respuesta variada.15. Decenas de millón16. Centenas de mil17. Unidades de millón18. Unidades de mil19. 69 040 208 y Sesenta y nueve millones cuarenta mil doscientos ocho.20. 66 750 000 y Sesenta y seis millones setecientos cincuenta mil.21. 80 320 000 430 y 80 000 000 000 + 300 000 000 + 20 000 000 + 400 + 30 22.545998y5•100000+4•10000+ 5•1000+9•100+9•10+8•123.5•100000+6•10000+2•1000 y Quinientos sesenta y dos mil.24. 7 000 000 + 100 + 40 + 5 y siete millones ciento cuarenta y cinco mil.25. 10 000 000 + 2 000 000 + 40 000 + 2 000 + 500 + 10 + 4 y Doce millones cuarenta y dos mil quinientos catorce.26. 5 000 000 000 + 300 000 000 + 10 000 000 + 6 000 000 + 200 000 + 90 000 + 5 000 y Cinco mil trescientos millones doscientos

noventa y cinco mil.27. 800 000 y Ochocientos mil.28. 70 000 y Setenta mil.29.20000000y2•1000000030. 50 000 000 y Cincuenta millones.31. 70 00032. 6 000 00033. 90 000 00034. 40 00035.Multiplicandopor1036. 2 000 gramos37. 100 000 cmPágina 738. El número 5 lo puso en el lugar de las decenas de mil y debe ir en el lugar de las unidades de mil. Lo correcto es 4 305 000.39. El número que no puede ser es 180 700, porque el número 8 ocupa el lugar de las decenas de mil y el número original que se debe multiplicarpor10,elnúmero8 ocupa el lugar de las decenas.40. 40 tarjetas41. 142. C43. 5 cuentas en cada grupo44. BPoder Matemático1. 62. 103. 74. 11

Capítulo 1 · Lección 2 Página 91. El lugar de las unidades de milPágina 102. >3. =4. <5. El lugar de las decenas. El número 26. El lugar de las unidades de mil. El número es 87. El lugar de las unidades de mil. El número es 88. 35 643 ; 36 015 ; 36 6159. 5 421 ; 50 231 ; 50 71310. 700 821 ; 707 821 ; 770 82111. Valor posicional. Respuesta libre.12. >13. =14. <15.>16. <17. >18. 305 320 ; 503 203 ; 530 23019. 561 628 600 ; 561 682 500 ; 561 862 50020. 1 092 303 ; 1 173 303 ; 1 292 21021. 97 359 ; 97 395 ; 98 593 22. 85 694 ; 85 600 ; 82 93323. 21 390 208 ; 21 309 820 ; 21 309 28024. 5 577 001 ; 5 505 055 ; 5 402 98725. 966 301 ; 696 103 ; 696 03126. 427. 628. En las unidades de mil.29. 3 615 ; 4 416 ; 5 583Página 1130. 26 libros31. Unidades de mil32. 100 00033. D34. APoder Matemático1. 90 km ; 160 km2. 60 km ; 100 km3. 210 km ; 160 km4. 260 km ; 220 km5. Puedes contar cada eslabón y comparar.

Capítulo 1 · Lección 3 Página 121. 39 000Página 13

2. 67 0003. 141 7004. 8 000 0005. 13 000 0006. 40 000 0007. Porque el dígito que ocupa el lugar de las unidad de mil es mayor o igual a 5, por lo tanto, se aumenta en 1 para redondear el número.8. 680 000 0009. 4 00010. 26 900 00011. 500 358 00012. 56 50013. 20 000 00014. 792 400 00015. 300 000 00016. Decenas de mil17. Centenas de mil18. Unidades de mil19. 5 000 00020. 4 800 00021. 4 814 00022. 4 810 00023. Metropolitano occidente y Araucanía sur24. No, es 414 00025. 539 y 535 , respuesta abierta26. 32 m27. <28. 13 + y = 2129. C

Capítulo 1 · Lección 4 Página 151. 5 ; 32. 3 ; 8 ; 73. 6 ; 3 ; 84. 3 ; 8 ; 35. 6 0006. 70 0007. 08. 2 000 0009. 1 100 00010. Respuesta abiertaPágina 1611. 14 000, 13 88912. 110 000, 108 55113. 0, 6 96914. 1 000 000, 995 84915. 1 000 000, 851 69916. 8 700 000, 8 754 51717. 170 000, 204 86818. 30 000, 29 28719. 100 000, 136 93020. 10 000 000, 10 118 20521. 78 000, 82 50022. 3 000 000, 2 844 49623. 20 000, 23 39624. 11 984 25. 31 13926. 2 21627. Porque sabemos que la adición y la sustracción son operaciones inversas y que nos ayudan a encontrar el términodesconocidoenlas operaciones.28. 53 134 ha29. 103 984 ha30. 6 474 ha31. Cabo de Hornos y Laguna del Laja32. 410 00033. C34. 435. BPágina 171. 443 km2. 63 044 puntos Página 18a. Gino pintará un rectángulo. El patrón es triángulo; rectángulo; hexágono; estrella.b. 21 azulejosPágina 201. 262. 5 días3. 10 días

4. Pájaro, pino, pino, pájaro5. 71 cm6. En el año 2024Página 217. 15 opciones 8. 133 cm9. Respuesta abierta10. Respuesta abierta11. 15 puntos12. 205 cm13. 965 cmPágina 22 Grupo A1. Unidades de millón2. Decenas de mil3. Unidad de mil millones4. Centenas de millón5. Centenas de mil6. Unidades de mil millones7. 365 879 y Trescientos sesenta y cinco mil ochocientos setenta y nueve.8. 55 050 505 y Cincuenta y cinco millones cincuenta mil quinientos cinco.9. 6 800 097 304 y 6 000 000 000 + 800 000 000 + 90 000 + 7 000 + 300 + 410. 2 037 014 097 y 2 000 000 000 + 30 000 000 + 7 000 000 + 10 000 + 4 000 + 90 + 711.4•1000000+6•10000+ 1•1000+2•1yCuatromillones sesenta y un mil dos.12.8•10000000+4•10000+ 6•1000+3•100yOchenta millones cuarenta y seis mil trescientos.Grupo B1. <2. >3. <4. >5. =6. >7. Este año8. MiguelGrupo C1. 63 495 0002. 762 000 0003. 12 000 0004. 6 390 0005. 30 000 0006. 4 200 0007. 899 9908. 2 000 0009. 64 020 000Grupo D1. 6 ; 5 ; 22. 7 ; 3 ; 53. 3 ; 1 ; 5 ; 04. 7 ; 0 ; 85. 3 000 y 2 7236. 700 000 y 770 9267. 30 000 y 28 4208. 40 000 38 197Página 241. Valor posicional2. Redondear3. Operaciones inversas4. 6 000 918 762 y 6 000 000 000 + 900 000 + 10 000 + 8 000 + 700 + 60 + 2 5. 9 073 190 403 y Nueve mil setenta y tres millones ciento noventa mil cuatrocientos tres.6. 500 000 000 + 60 000 000 + 30 000 + 4 000 + 100 + 7 y Quinientos sesenta millones treinta y cuatro mil ciento siete.7. <8. >9. =10. 67 00011. 6 900 00012. 624 000 00013. 770 640 000

UNIDAD 1: Números naturales

310

14. 160 000 y 162 53515. 300 000 y 279 27116. 0 y 24 81517. 9 000 000 y 8 485 24518. 1 000 000 y 987 88119. 120 vales20. 1221. 20 puntos, el patrón va en aumento de 4 en 4Página 251. 6122. 1 3553. 1584. 1475. 1 2466. 1 059

Escribe1. 848, respuestas variarán.Página 26 y 271. C2. C3. A4. 2 100 000 y respuesta abierta5. A6. C7. D8. C9. A10. B11. B12. B13. A14. B15. C16. B

Capítulo 2 Página 291. 6302. 2403. 3504. 1605. 2706. 3607. 3208. 5609. 20010. 54011. 18012. 24013. 8414. 9215. 9516. 24817. 16818. 19419. 33320. 27621. 36022. 60223. 31524. 28825. 12426. 22827. 33628. 352

Capítulo 2 · Lección 1 Página 301. 16 ; 160 ; 1 6002. 10 ; 100 ; 1 0003. 6 ; 60 ; 6004. 56 ; 560 ; 5 6005. 1206. 1 0007. 4 2008. 8009. 9 00010.Porquemultiplicaslosdígitos5y7y luegoañadeslacantidaddeceros que correspondan, es decir, 6 cerosPágina 3111. 3 20012. 1 60013. 12014. 6 30015. 5016. 11017. 1 80018. 1 08019. 42020. 132

21. 2 10022. 9023. 9024. 2 40025. 5 60026. 40027. 6028. 4029. 32 000 huevos30. 300 Kg31. 180 cm32. Porque son los mismos números paramultiplicar,peroestánenorden distinto.33. 2534. 4 10035. D

Capítulo 2 · Lección 2 Página 331. 30 ; 30 ; 3 ; 10 ; 9 ; 9002. 3 2003. 6004. 2 0005. 2 1006. 2 4007. Porque cuando el problema no requiere una respuesta exacta, se puederecurriralaestimaciónyasí facilitar el cálculo.8. 1 0009. 5 00010. 40011. 5 40012. 40013. 1 50014. 7 20015. 1 80016. 2 10017. 1 40018. 1 40019. 1 00020. 1 80021. 60022. 2 70023. 3 200; sí24. 600; sí25. Respuesta abierta26.1500;sobreestimación27. 3, 59828. Paralelas29. 2 40030. B

Capítulo 2 · Lección 3 Página 351. 45•7;45•102. 68•9;68•203. 57•8;57•30;21664. 4185. 1 0806. 2 2147. 4 5058. 4 5569. 1 500 y 1 53710. 4 200 y 4 32011. 3 500 y 3 31212. 3 200 y 3 32113. 600 y 57014. 600 y 74815. 2 000 y 2 15016. 600 45017. 3 500 y 3 64018. 2 700 2 32519.490latidos20. 3 04021. ¿Cuántas revoluciones dan en total las ruedas de la bicicleta?22. 49 m23. El martes24. 2025. 4 104 manzanas

Capítulo 2 · Lección 4 Página 371. Enelpaso1,semultiplicanlas unidades de ambos factores. En elpaso2,semultiplicalaunidaddel segundo factor por la decena del primer factor y se reagrupa. En elpaso3,semultiplicalaunidaddel segundo factor por la centena del primer factor y se reagrupa para obtenerelproductofinal.

2. 4 0003. 7 0004. 9005. 1 2006. 3 6007. Porque debemos comenzar amultiplicarporlasunidadesy luego las decenas y centenas; y así sucesivamente, ya que si no lo hacemos en orden el producto obtenido no sería el correcto.8. 1 2009. 80010. 3 60011. 80012. 90013. 1 80014. 1 20015. 3 20016. 3 00017. 70018. 2 920 Kg19.Notienesentidoporqueal multiplicarunnúmerode1 dígito por un número de 2 dígitos se podría obtener un producto de, máximo 3 dígito, dependiendo del reagrupamiento. 20. 621. 8 páginas22. D

Capítulo 2 · Lección 5 Página 401. 3 lecciones de buceo y 5 lecciones deesquí;(3•7500)+(5•5600)= 50 500. 2. 4 de buceo y 5 de esquí3. 6 señaladores y 2 billeteras4. El lunes hizo natación, arquería y buceo. El martes hizo natación, equitación y buceo.5. El lunes hizo natación y arquería, el martes hizo equitación y buceo, elmiércoles,nataciónyequitación, el jueves hizo natación y buceo, el viernes hizo arquería y equitación y el sábado hizo arquería y buceo.6. Una manera es 1 clase de natación, 1 clase de equitación y una clase de arquería. Otra manera es 1 clase de buceo, 1 clase de arquería y 1 clase de natación. Una tercera manera es 2 clases de buceo y 1 clase arquería.Página 417. $ 4 8908. $ 24 8309. 5 semanas10. Respuesta abierta11. Respuesta abierta12. 9y3respectivamente13. 14 días14. 3 vecesPágina 42Grupo A1. 1 800 2. 3 6003. 3504. 6005. 3 2006. 4507. 1 6008. 4809. 56010. 30011. 2 10012. 4 00013. 560 lápices14. 3 600 tachuelasGrupo B1. 8002. 6 0003. 6004. 3 2005. 3 5006. 2 7007. 1 5008. 3 5009. 1 20010. 3 00011. 1 00012. 3 600

13. 5 000 aproximadamente14. 300 000 aproximadamenteGrupo C1. 23•5;23•102. 76•4;76•203. 80•9;80•304. 7 020 km5. $ 105 300Grupo D1. 4002. 1 6003. 2 5004. 2 7005. 6006. 4 8007. 1 6008. 2 0009. 10010. 70011. 2 00012. 16013. 2 250 hojas14. 26 200 folletosPágina 441. Producto parcial2. Múltiplo3. 1 6004. 5405. 3 5006. 1207. 1 2008. 2 4009. 5 40010. 1 00011. 2 70012. 40013. 48014. 4 00015. 2 70016. 1 20017. 1 40018. 2 80019. 15 00020. 2 10021. 3 60022. 1 20023.4enpastay6enrústica24. 3 de adultos y 5 de niños25. 5 400 y respuesta abiertaPágina 451. 3122. 5913. 1 0504. 4 2005. 2 3706. 2 2007. 3528. 1 9409. $ 2 600 Escribe1. Descomponiendo en sumandos y multiplicandocadasumandopor3y luego sumaría los productos parciales.Páginas 46 y 471. A2. D3. B4. 400 0005. C6. C7. B8. Respuesta abierta9. A10. B11. D12. C13. A14. Respuesta abierta15. C16. D17. D

Capítulo 3 Página 491. 302. 403. 904. 705. 606. 607. 100

Solucionario

311

8. 909. 7010. 6011. 8012. 7013. Decenas14. Centena15. Decenas16. Decenas17. Centena18. Centena19. Decenas20. Centena21. 46822. 3 71723. 4 13024. 5 38425. 38426. 52827. 67528. 1 054

Capítulo 3 · Lección 1 Página 511. 422. 163. 12, r 34. 13, 2 = r5. 286. 267. 6, r 28. 16, r 19. 14, r 210. 1211. 1312. 9, r 313. 12, r 314. 12, r 515. 16, r 116. 7, r 117. 2418. 6, r 419. 2, r 520. 17, 2 = r21. Respuesta abierta

Capítulo 3 · Lección 2 Página 531. Decenas2. 600 : 3 = 200, Centena3. 1 000 : 5 = 200, Centenas4. 300 : 6 = 50, Decenas5. 1 600 : 8 = 200, Centenas6. 1 000 : 4 = 250, Centenas7. Respuesta abiertaPágina 548. 300 : 5 = 60, Decenas9. 640 : 8 = 80, Decenas10. 450 : 3 = 150, Centena11. 800 : 2 = 400, Centenas12. 2 400 : 8 = 300, Centenas13. 980 : 7 = 140, Centena14. 3 200 : 4 = 800, Centenas15. 900 : 9 = 100, Centena16. 6 600 : 6 = 1 100, Unidad de mil17. 8 400 : 7 = 1 200, Unidad de mil18. 25919.10320. 9221. 42922. 37523. 74, r 124. 138, r 325. 190, r 226. 251, r 427. 864, r 128. 7729. 550, r 330. 170, r 131. 605, r 232. 1 217, r 533. 70, r 434. 95335. 33436. 737. 73938. Respuesta abierta39. 28 microbuses, 3 estudiantes40. 52 acompañantes, 4 estudiantes41. Respuesta abiertaPágina 5542. 1 140 teclas43. 37 – 9 = 2844.4500–(x+600)45. C46. DPoder Matemático1. 432 ; 24 ; 32. 45 ; 4 ; 1 ; 3 ; 5

Capítulo 3 · Lección 3 Página 561. 3002. 4 0003. 8 ; 8 ; 8 ; 84. 405. 76. 4007. 6 000Página 578. Respuesta abierta9. 210. 2011. 4012. 6013. 6014. 8015. 9016. 9017. 30018. 25019. 80020. 40021. 7 00022. 30 00023. 20 00024. 50025. <26. >27. =28. 500 kg29. 500 hojas30. $ 2531. 8 00032. 3033. es 11 000, porque el dividendo es 66 000.34. 96 m2

35. 65 00036. 70237. D

Capítulo 3 · Lección 4 Página 581. 3, r 2Página 592. 2, r 33. 3, r 54. 4, r 35. 4, r 46. 8, r 27. Respuesta abierta8. 2, r 49. 3, r 210. 3, r 311. 5, r 212. 6, r 213. 8, r 214. 6, r 115. 7, r 416. 15, r 217. 8, r 118. 219. 520. 2221. 322. Doble seis23. Doble nueve24. 8 estudiantes25. Debióformar3gruposcon4fichas cadaunoysobra1ficha.26. 1 22427. 7 43228. Respuesta abierta29.B

Capítulo 3 · Lección 5 Página 60a. 13 balsas, aumenta el cociente en 1b. No, 3 personasPágina 611. b2. 11tiendasestaránllenas.a3. 6; C4. 11 balsas, no. Respuesta abierta5. El domingo. 2 viajes más6. 564 personas7. 16 ° C8. Se necesitan 8 balsas y se necesita una respuesta exacta para saber la cantidaddebalsasqueseocuparány todas las personas harán los viajes.

Capítulo 3 · Lección 6 Página 631. Sí. 105Página 642. 2

3. 34. 35. 36. 27. 618. 200, r 39. 14010. 450, r 111. 10312. Respuesta abierta13. 214. 215. 316. 317. 218. 120, r 119. 43020. 8821. 20322. 102, r 123. 70, r 324. 10925. 29026. 120, r 427. 81, r 228. 17529. 108, r 130. 208, r 131. 9432. 10233. 35034. 53235. 300, r 136. 437. 3038. No, respuesta abierta39. 6640. 20 minutos41. 10842. ¿Cuántas horas demora un castor en construir una madriguera?Página 6543. 29144. 44, r 545. C46. 447. BPoder Matemático1. Sobrestimación2. SubestimaciónPágina 66Grupo A1. Centenas, 32. Decenas, 53. Centenas, 34. Centenas, 45. Unidad de mil, 16. Centena, 17. Centenas,48. Centenas, 79. 14810. 17011. 1 02612. 380, r 313. 250 gramos14. 125 paquetesGrupo B1. 202. 203. 404. 4005. 5006. 607. 7008. 5 0009. $40010. 20 asientosGrupo C1. 4182. 202, r 23. 97, r 14. 55, r 65. 1266. 95, r 27. 31, r 28. 54, r 39. 8 estantes10. 94 hilerasGrupo D1. 181, r 22. 54, r 23. 594. 3045. 76, r 26. 4757. 648. 80, r 39. 30 paquetes10. 26 cajas

Página 681. Númeroscompatibles2. Resto3. 604. 2505. 506. 907. 208. 809. 3010. 10011. 2012. 3013. 5014. 17015. 6216. 203, r 117. 51, r 318. 206, r 119. 10320. 83, r 221. 157, r 122. 7623. 29724. 223, r 125. 6826. 10627. 21 acompañantes28. Respuesta abiertaPágina 691. 3 p.m2. 9 p.m3. 8 p.m4. 2 p.m5. 2 p.m6. Respuesta abiertaPáginas 70 y 711. A2. C3. A4. B5. A6. 43 0007. D8. B9. A10. A11. X : 312. A13. C14. D15. B16. Respuesta abierta17.C18.B19. D20. C21. A22.Significaqueenamboscursoshayla mismacantidaddealumnos.

Capítulo 4 Página 731. 30 ; 362. 60 ; 803. 6 ; 74. 3 ; 55. 15 ; 56. 42 ; 67. 36 ; 48. 63 ; 79. 510. 311. 812. 9

Capítulo 4· Lección 1 Página 761. 32. 563. 04. 725. 846. Respuesta abierta7. 08. 569. 8010. 5411. 812. 213. 514. 6015. 3616. 7217. 10818. 3019. 5620. 021. 2422. Sí, respuesta abierta

312

23. Hay más tetras. 15 más.24. Respuesta abierta25. 19 es primo26. 5427. 628. 320 00029. CPágina 771. 6•0=0;150•0=0;1000•0=02. 1•14=14;1•90=90; 1•5000000=5000000Página 781. Sí2. Sí, porque obtuve un número natural.3. Varíaelresultadofinal.4. Todos tendrían igual resultado y sería válido porque se respetan las reglas de prevalencia de las operaciones.

Capítulo 4 · Lección 2 Página 791. Correcto2. No,dividir;multiplicar3. No, dividir ; sumar4. No,multiplicar;sumar;restar5. 96. 97. 128. 349. 910. 6711. 312. 8013. 6 ; 5 ; 214. 18 ; 12 ; 415. 7 ; 8 ; 916. Porque la prevalencia de las operaciones dice que se debe comenzarconlamultiplicaciónylo único que cambia en la multiplicacióneselordendelos factores.

Capítulo 4 · Lección 3 Página 821. a2. 153. 144. 125. B6. A7. Respuesta abierta. 11 y 78. 429. 3410. 1211. 3312. 3613. 1114. 2715. 316. 1417. 218 1819. 920. A21. A22. A23. B24. Respuesta abierta25. Respuesta abierta26. Respuesta abierta27. Respuesta abierta28.(34+6):4=1029.7•(6–3)=2130.14–(4+8):2=831.7•(6+6)–2=8232.(5+6)•2=2233.(9–6)•6:2=9

Página 8334. 16 35.24•1+4•2=1236. Respuesta abierta37. Respuesta abierta38. 4339. 7 jaulas40. 1541. 942. AResolución de problemas1. (3•3)+8;17km

2. 7+(2•4)+1;16km

Capítulo 4· Lección 4 Página 841. Seahorratiempoyelresultadoesexacto y correcto2. 1 735 km3. 900 km4. 55 km5. Entre La Serena y ConcepciónPágina 851. 183 7002. 2 veces aprox.3. 208 8954. 353 0425. 3 años6. Respuesta abierta

Capítulo 4· Lección 5 Página 871. 62. 53. 84. 105. 10Página 886. 117. 168. 249. 3010. Respuesta abierta11. 1612. 313. 1614. 315. 2116. 1117. 1118. 819. 420. 021. 1122. 523. 1224. 4225. 626. 2527. x= 5 ; y = 228. a= 6 ; b = 429. c= 9 ; d = 530. s= 8 ; t = 431. 23 kg32. 18 kg33. 68 kg34. 6 meses, 11 + x = 17Página 8935. 22, 836. 1437. x + 3 = 838. B39. DResolución de problemas • conexión con el arte1. 2•500=10002. S = 2 5003. $ 4 0004. $ 2 5005. $ 3 500

Capítulo 4· Lección 6 Página 911. Cualquier número que no sea 0.2. Cualquier número mayor que 5.3. Cualquier número mayor que 9.4. 1; 2; 3 y 05. 1, 2; 3; 4; 5; 6 y 06. Cualquier número mayor que 4.7. Cualquier número mayor que 7.8. 1; 2 y 09. Cualquier número mayor que 24.10. Cualquier número menor que 12 y mayor que 0.11. Cualquier número menor que 15 y mayor que 0.12. Cualquier número menor que 18 y mayor que 0.13. Cualquier número mayor que 5 14. Cualquier número menor que 6 y mayor que 0.15. Cualquier número menor que 8 y

mayor que 0.16. Cualquier número menor que 14 y mayor que 0.17. Cualquier número mayor que 6.18. 1; 2 y 019. Cualquier número mayor que 4.20. Cualquier número mayor que 14.21. Cualquier número menor que 9 y mayor que 0.22. Cualquier número mayor que 3.23. Cualquier número menor que 13 y mayor que 0.24. Cualquier número mayor que 21.Página 9225. Cualquier número mayor que 2 y ver cuaderno del estudiante.26. Cualquier número menor que 10 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante.27. Cualquier número menor que 7 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante.28. Cualquier número mayor que 5 y ver cuaderno del estudiante.29. Cualquier número mayor que 1 y ver cuaderno del estudiante.30. Cualquier número mayor que 3 y ver cuaderno del estudiante.31. Cualquier número mayor que 2 y ver cuaderno del estudiante.32. Cualquier número menor que 6 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante.33. Cualquier número mayor que 4 y ver cuaderno del estudiante.34. Cualquier número mayor que 10 y ver cuaderno del estudiante.35. Cualquier número menor que 7 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante.36. Cualquier número menor que 5 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante.37. C < 238. P > 1139. S + 2 > 540. M < 541. X > 842. A < 3243. J > 2544. P < 4 20045. E > 3546. Cualquier número menor que 10 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante.47. Cualquier número mayor que 7 y ver cuaderno del estudiante.48. Cualquier número mayor que 3/4 y ver cuaderno del estudiante.49. Cualquier número mayor que 14 y ver cuaderno del estudiante.50. Cualquier número mayor que 0,4 y ver cuaderno del estudiante.51. Cualquier número mayor que 1 y ver cuaderno del estudiante.52. X > 25,453. 700 > y ; x < 45054. Porque la solución es más de una. Si X es mayor que 2, la balanza debe estar inclinada para el lado de x.55. Debo estudiar más de 1 hora para la pruebafinaldematemática.M>1Página 9356. La solución de la primera desigualdad es cualquier número mayor que 12 y la solución de la segunda desigualdad es cualquier número menor que 19 y mayor que 0.57.D58.D59.Respuesta abierta60. Respuesta abierta61. 19 años62. 16 y 20 años63. 2 700 cm64. 13 000 gr65. 15 000 mm66. 23 000

Capítulo 4· Lección 7 Página 951. 112. Restar 8 ;X – 8 = y ; 7 ; 12 ; 17 ; 223. Multiplicarpor9;9r=s;54;72;

81 ; 904. Multiplicarpor12;12l=d;485. Dividir en 7 ; X : 7 = y ; 8; 10 ; 11 ; 126. Sumar 10 ; a + 10 = b ; 15; 20 ; 30 ; 407. Respuesta abierta8. Respuesta abierta9. Respuesta abierta10. Respuesta abierta11.3•d=l

Entrada d 2 3 4 5

Salida i 6 9 12 1512.Sedebemultiplicar1tazadegranos por 3, ya que son 3 días.13. 714. 4015. 5616. CPágina 96Grupo A1. 702. 03. 424. 485. 566. 1207. 908. 09. 100 cajas de jugoGrupo B1. 262. 283. 244. 265. 566. 37. 98. 0Grupo C1. x = 162. y = 153. w = 394. z = 365. u = 456. v = 337. m = 568. n = 18Grupo D1. Cualquier número mayor que 9.2. Cualquier número menor que 8 y mayor que 0.3. Cualquier número menor que 17 y mayor que 0.4. Cualquier número menor que 37 y mayor que 0.5. Cualquier número menor que 280 y mayor que 0.6. Cualquier número menor que 240 y mayor que 0.7. Cualquier número mayor que 4.8. Cualquier número mayor que 30.9. Cualquier número mayor que 19.10. 28 autos.

Grupo E1. Dividir en 6. a : 6 = b. 4 ; 52.multiplicarpor8.m•8=n;7;8Página 981. Propiedadconmutativa2. Propiedad absorbente del cero3. Propiedadasociativa4. 205. 156. 137. 128. A = 169. B = 2410. C = 7311. D = 7512. C = 8813. F = 12614. G = 4415. H = 5416. 15 – 2 = H17. Cualquier número mayor que 3 y ver cuaderno del estudiante.18. Cualquier número menor que 12 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante.19. Cualquier número mayor que 8 y ver

Solucionario

313

cuaderno del estudiante.20. Cualquier número menor que 17 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante.21. Cualquier número mayor que 8 y ver cuaderno del estudiante.22. Cualquier número menor que 33 y mayor que 0 y ver cuaderno del estudiante.23. Cualquier número mayor que 22 y ver cuaderno del estudiante.24. Cualquier número mayor que 16 y ver cuaderno del estudiante.25. Dividir en 5 ; x : % = Y ; 7 y 826. Dividir m entre 9. M : 9 = n. 6 y 7Página 991. 5 ; 7 ; 9 ; 11. 2 u – 1 = v2. 6 ; 8 ; 10 ; 12. 2 r = c3. 7;10;13;16.1+3•(m–1)=n4. 9;13;17;21.1+4•(q–1)=rEscribe 1. Reemplazando el valor de M por 14 y resolviendo la ecuación. 30 estudiantes. Página 100 y 1011. D2. C3. D4. B5. B6. D7. B8. C9. C10. D11. B12. A13. Respuesta abierta14.(9+5)•215. X= 2016. 132 invitaciones17. Se respeta la prevalencia de las operaciones, resolviendo primero el paréntesis,luegoseresuelvela divisiónparafinalizarconlasuma.9 es el resultado.18. F, es 84.19. V20. F, 540.21. 3n = 1222. Resolviendo el lado de la ecuación quetienetodoslosdatosyluego multiplicandoel6porunnúmero para obtener el producto igual.23. Cualquier número menor que 10 y ver cuaderno del estudiante.Página 1021. 15 kg2. 8 kg3. 3 colonos4. 112 km5. 6 kilos por persona

UNIDAD 2: Números y conceptos de fracciones y decimalesCapítulo 5 Página 1071. 2/32. 3/43. 5/64. 7/85. Dos quintos6. Unséptimo7. Cuatro novenos8. Un tercio9. 2 3/410. 3 2/511. 1 5/612. <13. =14. >15. >

Capítulo 5· Lección 1

Página 109 1. 6/82. 1/43. 4/84. 3/45. 2/86. 1/57. 2/68. 10/169. 4/1010. 10/1211. Respuesta abierta12. 2/10

13. 12/2014. 9/1815. 2/316. 6/1617. 1/318. 3/2719. 15/5020. 1/421. 5/622. 4/623. 6/824. 3/425. 3/1526. 1/427. 5/628. 6/12 ; 3/6 ; 1/2 ; 2/429. 3/4 ; 9/12 ; 6/8 30. Respuesta abierta31. 5 ángulos32. 1 069 ; r 233. B


Página 1121. 1/22. 3/53. 14. 7/95. 1/36. 5/77. Respuesta abierta8. 69. 210. 111. 312. 213. 414. 3/415. 116. 2/317. 4/518. 6/519. 3/720. 121. 1/522. 5/1223. 1/224. 1/525. 4/526. 1/327. 5/628. 1/429. 4/530. 2/331. 3/432. 333. 1234. 535. 336. 137.Linares8/(30);4/15.Curicó9/30; 3/1038. 3/30 ; 1/1039. 1/640. Respuesta abiertaPágina 11341. X – 442. 110 m43. 3 5/644. C45. 5/11Poder Matemático1. Ver solución en el libro2. Ver solución en el libro

Capítulo 5· Lección 3 Página 1151. 1 3/82. 9/83. 13/84. 2 3/45. 1 1/56. 25/97. 11/38. 2 3/109. 22/510. Respuesta abierta11.8/512. 7/313. 2 1/414. 1 1/1015. 2 1/616. 10/717. 2 2/318. 23/619. 15/220. 3 2/1521. 6 1/422. 31/1223. 4

24. 13/425. 3 veces26. 180 00027. 2/328. >29. D

Capítulo 5· Lección 4 Página 1181. <2. >3. =4. <5. <6. >7. <8. =9. <10. >11. <12. >13. <14. < 15. 1/6; 1/3; 1/2Página 11916. >17. =18. >19. >20. >21. 1/4 ; 1/2 ; 3/422. 1/8 ; 3/8 ; 7/823. 1 1/4 ; 1 3/8 ; 11/624. 2 2/3; 2 3/5; 3 1/825. 1 1/4; 17/8; 2 1/526. Mono, rana y armadillo27. Mono28. Respuesta abierta29. 14,530. 3/1031. 21632. B33. D


Página 1221. Pablo la más larga y Andrea la más corta.2. Pablo el salto más largo y Sara el más corto.3. Marcos, Sara, Pablo y Andrea4. 16/205. Gregorio6. Flores = 8 m y verduras = 4 m7. 31 globos8. Andréstiene15bolitasPágina 1239. 6 bolitas10. 17 invitaciones11. Victoria por regatón ; Daniel por hip-hop ; Cecilia por cumbia y Franco por rock12. 25 niños13. Respuesta abierta14. Respuesta abierta15. 20 sombreros y 30 silbatos16. 8Página 124Grupo A1. 6/102. 3/243. 1/24. 8/105. 1/36. 3/67. 2/38. 4/149. 8/2010. 1/611. 4/1012. 1/513.4/12 ; 8/24 14. Eva. Respuesta abiertaGrupo B1. 1/22. 1/33. 14. 4/55. 1/26. 2/57. 5/128. 3/49. 2/310. 1/211. 512. 1/2Grupo C1. 3 1/4

2. 1 1/53. 1 2/34. 7 1/45. 3/26. 35/87. 4 1/128. 2 1/39. 19/510. 1 1/211. 16/312. 2 2/913. 5/214. 9/4 ; 2 1/4Grupo D1. <2. =3. >4. >5. <6. <7. >8. =9. >10. <11. 1 2/9 ; 1 5/9 ; 16/912. 3/5 ; 7/10 ; 4/513. 1/10 ; 1/8 ; 1/614. 1/3 ; 1 5/12 ; 7/415. 3/8 ; 2 1/2 ; 2 5/616. Liza17.Miércoles

Página 1251. En los casquetes de hielo y glaciares.2. En lagos, ríos y agua del suelo y del aire.3. 47/56 > 8/56

Página 1261. Fracciones equivalentes2. Factor común3. En su mínima expresión4. 2/125. 1/36. 10/507. 15/248. 4 1/29. 5/410. 17/311. 3 1/312. <13. =14. >15. >16. 3/417. 0, 1918. 12/2519. 0, 2520. 3/4 ; 1/2 ; 0, 4521. 6/4; 1 3/8; 1,1522. 3/5 ; 0, 5 ; 1/1023. 8/5 ; 1/4 ; 0, 2324. Paula25. Respuesta abiertaPágina 1271. 482. 363. 52Escribe4. Multiplicando24por2yelproducto dividirlo entre 3Páginas 128 y 1291. A2. B3. C4. A5. B6. A7. B8. A9. y=810. C11. D12. B13. D14. B15. Respuesta abierta16. A17. C18. D19. Respuesta abierta

Capítulo 6

Página 1311. 2/4; 4/82. 6/8; 12/163. 4/6; 8/124. 1/1; 2/25. 1/1; 2/2

Solucionario

314

6. 10/16; 20/327. 14/18; 28/368. 8/10; 16/209. 4/7; 12/2110. 1/211. 2/312. 1/413. 1/314. 3/515. 1/216. 4/517. 1/518. 2/319. 1/320. 3/521. 1/3

Capítulo 6 · Lección 1 Página 1331. 7/82. 1/23. 3/54. 1/25. 7/126. 1/37. 2/38. 1/29. 3/410. 1/611. 112. Respuesta abierta

Capítulo 6· Lección 2 Página 1341. 3/4Página 1352. 3/43. 1/24. 15. 1/36. 4/57. 1/28. 2/59. 1/310. 7/811. 2/7 12. 113. 3/414. 6/715. 1/416. 2/317. 1/418. 3/919. 2/420. 1/321. 2/1222. 7/1023. Invierno y primavera24. Restó fracciones, es 3/10.25. <26. 0, 2527. 4 5/828. D

Capítulo 6 · Lección 3 Página 1381. 2 5/62. 3 1/63. 0,75 segundos4. 15 min5. 1 litro6. 14 2/37. Respuesta abiertaPágina 1398. 13 horas con 20 minutos9. El teatro Huemul y vendería 200 entradas más10. Respuesta abierta11. 900 entradas. Disminuyendo la duración del intervalo a 10 minutos12. 8 400 personas13. 3/5

Capítulo 6 · Lección 4 Página 1411. 7/82. 5/83. 9/104. 7/105. 5/126. 4/5

7. 5/68. 7/129. 5/610. 3/1011. 13/1212. 11/1213. 9/1014. 11/1215. 19/1216. Respuesta abierta

Capítulo 6 · Lección 5 Página 1431. 3/102. 1/2 3. 1/5 4. 3/10 5. 1/12 6. 2/5 7. 1/10 8. 5/8 9. 1/6 10. 5/12 11. 1/3 12. Respuesta abierta

Capítulo 6 · Lección 6 Página 1461. 7/15 2. 5/8 3. 7/10 4. 3/28 5. 3/4 6. 2/5 7. Respuesta abierta8. 17/20 9. 33/40 10. 7/12 11. 9/10 12. 41/70 13. 11/24 14. 1/4 15. 17/24 16. 3/14 17. 1/6 18. 2/8 19. 5/6 20. 7/10 21. 1/12 22. 11/15 23. Respuesta abierta24. 13/58 25. 1/3 26. 2827. 12/16 ; 6/8 28. CPágina 1471. Aumenta en 1 el numerador y el denominadorsemantiene2. a. Disminuye el valor de la fracción aumentando el denominador. b. 1/7

Capítulo 6· Lección 7 Página 1491. 2 ; 3 ; 5/42. 7/83. 3/104. 11/305. 5/126. 23/247. Porque no se puede dividir el numerador y el denominador por un mismo número.8. 31/569. 1/410. 11/1211. 1/612. 9/813. 5/1814. 8/1515. 7/1016. 21/2017. 5/718. <19. >20. >21. 1/1222. 7/2023. Respuesta abierta; 11/1524. 13/1025. 45/100

26. 1227. C

Capítulo 6· Lección 8 Página 1511. 3 1/52. 2 1/23. $ 2 5444. 1/45. 1 1/26. Illapel, Los Vilos, Salamanca, Combarbalá7. Sábado. Los Vilos y Combarbalá. 1/10.8. Jueves. Los Vilos y Salamanca y Combarbalá. 1/5 ; 3/10 ; 1/29. Respuesta abiertaPágina 152Grupo A1. 4/52. 13. 2/104. 2/75. 1/96. 7/87. 18. 19. 1/210. 1/211. 7/812. 1/2Grupo B1. 9/102. 4/93. 7/84. 1/125. 11/146. 2/97. 4/58. 3/89. 1/3510. 1/1211. 3/412. 3/8 13. 3/414. 5/815. 8/2116. 29/3317. 1/318. 23/2019. 19/3020. 67/6021. 5/622. 1/12Grupo C1. 152. 123. 184. 775. 106. 87. 158. 60

Página 1541. Fracción equivalente2. Respuesta abierta3. 17/454. 37/245. 32/336. 15/147. 17/248. 1/89. 7/910. 1/511. 3/412. 7/1213. 5/2414. 7/1215. 3/1016. 23/2017. 7/1618. 1/219. 3/520. Respuesta abiertaPágina 1551. Sumar 1/12 y 5/12 ; 1/2 ; 7/122. Sumar 1/10 y 7/10; 4/5; 9/103. Restar 1/12 y 2/3 ; 7/12 ; 2/44. Restar 2/5 y 1 4/5 ; 1 2/5 ; 1Escribe 1. Respuesta abierta

Páginas 156 y 1571. C2. A3. C4. A5. D6. D7. C8. A9. B10. B11. C12. B13. A14. B15. D16. A

Capítulo 7

Página 1591. <2. >3. <4. >5. <6. <7. >8. =9. 3 402 ; 4 032 ; 4 203 ; 4 32010. 25 046 ; 25 406 ; 45 620 ; 50 25611. 38 710 ; 73 801 ; 187 03912. 102 985 ; 182 950 ; 208 10913. 0,3 14. 1,515. 0,816. 1,117. 0,918. 0,619. 4,7 y 4 + 0,720. 10,3yDiezytresdécimos21. 205,9 y Doscientos cinco y nueve décimas22.5+0,2ycincoydosdécimas


Página 1611. 0,3 y 3/102. 0,2 y 20/1003. 0,8 y 4/54. 7/105. 0,66. 27/507. 0,248. 0,359. 11/5010. Para transformar un decimal a fracción, se escribe el número como numerador y el denominador será una potencia de 10 y dependiendo de los lugares decimales que tenga se colocan los ceros. Una <fracción para transformarla a decimal, se divide el numerador por el denominador y se escribe el resultado.11. 0,512. 0,313. 0,814. 0,415. 0,2116. 0,3317. 0,9618. 0,5219. 0,220. 0,2521. 0,5822. 0,1823. 4/524. 2/5 25. 1/226. 83/10027. 39/5028. 1/429. 21/5030. 47/10031. 1/1032. 9/2533. 19/2034. 3/2035. 0,436. Dividiendo cada triángulo por la mitad37. 16 cm38. 2/5

315

39. 4 2/340. B

Capítulo 7· Lección 2 Página 1631. 0,6 y 3/52. 0,2 y 1/53. 0,9 y 9/104. 0,4 y 2/55. 0,8 y 4/56. Ver solución en libro7. Ver solución en libro8. Ver solución en libro9. Ver solución en libro10. Ver solución en libro11. Ver solución en libro1,2; 5/4 ; 1,35; 1 3/8 ; 14/8 ; 1 7/812. Respuesta abierta13. Ver solución en libro14. Ver solución en libro15. Ver solución en libro16. Ver solución en libro17. Ver solución en libro18. Ver solución en libro9/8 ; 1 1/4 ; 1,4 ; 1, 55 ; 1 5/8 ; 18/1019. 1 3/4 ; 1,5 ; 11/820. 1,75 ; 1 2/5 ; 5/421. 1 8/5 ; 1,55 ; 1/1022. 4/5 ; 0,65 ; 9/2023. Florencia24. No, porque ¾ > 7/1025. No, le falta. Respuesta abierta26. 5 390 m227. 12/528. B

Capítulo 7· Lección 3 Página 1651. 463/1 0002. 725/1 0003. Centésimas4. Milésimas5. Décimas6. Milésimas7. Milésimas8. Milésimas9. Centésimas10.Décimos11. Décimas12. Milésimas13. 2, 003 y 2 + 0,00314.93/1000ynoventaytresmilésimas15. 3,471 y tres y cuatrocientos setenta yunmilésimas16. 6 + 0,5 + 0,05 + 0,003 y seis y quinientoscincuentaytresmilésimas17. 5,089 y 5 089/1 00018. 0,086 y 86/1 00019. Colocando cada dígito del número decimal en su lugar correspondiente en la tabla de valor posicional.

Capítulo 7· Lección 4 Página 1671. Respuesta abierta2. <3. >4. <5. Debofijarmeprimeroenlaparte entera, si son iguales pasar a la parte decimalycompararlasdécimasy si son iguale s, comparo las centésimashastaencontrareldígito mayor.6. <7. >8. >9. >10. <11. <12. 0,113 ; 0,123 ; 0,2 ; 0,3213. 6,0 ; 6,490 ; 6,498 ; 6,5214. 5,6 ; 6,8 ; 8,005 ; 915. 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 616. 5, 6, 7, 8 y 917. 0, 1 y 218. D el más largo y C el más corto19. Debajo del escarabajo A20. 0,608 ; 0,730 ; 1,215 ; 5,000. Respuesta abierta21. Las rectas perpendiculares22. Son equivalentes23. 5 00024. B

Capítulo 7· Lección 5 Página 1701. Jueves2. Miércoles3. Natalia,Samuel,AlbertoyJosefina

4. Martes5. 956 6. Chile, Alemania7. Respuesta abiertaPágina 1718. Autopista del Sol9. A= autopista del sol y demora 1 hora; B= Padre hurtado y demora 2 horas; C= camino Melipilla y demora 1 hora y 30 minutos y D= San Bernardo y demora 2 horas y 30 minutos.10. 20 horas11. Respuesta abierta12. Autopista del Sol y toma 1 hora de tiempo13. 25 horas a la semana

Capítulo 7· Lección 6 Página 1731. Respuesta abierta2. 7,83. 12,254. 38,215. 12,096. 9,577. Alineando cada número decimal en relación a la coma decimal.

Página 1748. 0,5419. 26,77910. 5,911. 51,2312. 3,46913. 3,21914. 2,37915. 2,50916. 21,26217. 11,54118. Sumar 1,2. Los números son 6,9 y 9,319. Sumar 1,1 y restar 0,2. Los números son 6,4 y 7,120. Restar 0,05. Los números son 3,9 y 3,821. Sumar 0,25. Los números son 2,25 y 2,522. 8: 22,0123. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido el ciclista en total?24.Porquetienenelmismovalor posicional,décimas25. 56026. Abril y Junio27. A

Página 1751. La segunda columna; 86,239; 85,9732. P. Causil y E. Capellano

Capítulo 7· Lección 7 Página 1771. 18 y 522. Sí. Respuesta abierta3. 18,03 al menos4. Javiera = 46,219kg y Julia = 46,719 kg5. 8 pasos 6. 20 Kg aproximadamente7. Respuesta abierta

Página 178 1. Décimos2. Centésimas3. Décimos4. Unidades5. Centésimas6. Décimos7. Unidades8. Centésimos9. 33/100ytreintaytrescentésimos10. 72/100ysetentaydoscentésimas11. 198/10012. 926/10013. 2,91 y dos y noventa y un centésimos14.23,06yveintitrésyseiscentésimas15. 7,54 y siete y cincuenta y cuatro centésimos16. 8,91 y ocho y noventa y un centésimos17. 0,44 y 44/10018. 3,07 y 3 + 0,07Grupo B1. 0,0202. 3,583. 0,904. 6,65. 5,0706. 0,17. 4,6

8. 3,0909. 14,710. 0,40Grupo C 1. >2. <3. <4. <5. >6. >7. 1,36 ; 1,696 ; 1,78 ; 1,88. 0,221 ; 0,3 ; 0,584 ; 0,629. 6,9 ; 8,3 ; 9,001 , 1010. 1,09 ; 1,34 ; 1,343 ; 1,411. 0,274 ; 0,276 ; 0,285 ; 0,28712. 7,003; 7,3; 7,303; 7,323

Grupo D1. 1,62. 6,0003. 26,004. 0,005. 48,006. 17. 52,0008. 50,0009. 13,71 calorías le falta por gastar

Página 1801. Respuesta abierta2. Respuesta abierta3. 0,5814. 3,6665. 13,4126. 18,087. 8,008. 6,009. 40,0010. 1,0011.Décimas12.Milésimas13. Décimas14.Centésimas15. 1 + 0,3 y uno y tres decimos 16.0,47ycuarentaysietecentésimos17. 0,9 + 0,02 + 0,006 y novecientos veintiséiscentésimos18. 2 + 0,05 + 0,005 y dos y cincuenta y cincomilésimas19. 0,5020. 2,6921. 0,01022. 3,423. 5/1024. 2 7/1025. 8/10026. <27. >28. >29. Sí30. 3,33 puntos31. Respuesta abierta

Página 1811. 22,292. 61,13. 186,34. 4,155. 15,186. 19,257. 15,328. 11,29. 30,510. 26Escribe1. Podemos aproximar los decimales y sumar mentalmente

Página 1821. C2. A3. A4. C5. C6. C7. C8. A

Página 1839. D10. D11. 0,02512. Décimas=0,5ycentésimas=0,49013. 310 tomates14. 32 kg15. 5,4516. Luis. Respuesta abierta17. F; 42,1318. V19. F; es equivalente a ¾.20. F; son iguales.

V FUNIDAD 3: Geometría y Medición

Capítulo 8 Página 1891. L2. F3. A4. B5. G6. M7. N8. H9. C10. D11. J12. O13. P14. K15. E16. 12; La regla es restar 2.17. 26; La regla es sumar 2.18.48;Lareglaesmultiplicarpor2.19. 5;Lareglaesmultiplicarpor3.

Capítulo 8· Lección 1 Página 1911. I2. (3,5)3. (9,3)4. (9,10)5. ver cuaderno del estudiante6. ver cuaderno del estudiante7. ver cuaderno del estudiante8. (2,1)9. (5,8)10.(10,4)11.(4,3)12.(7,0)13.(0,9)14.(8,6)15. ver cuaderno del estudiante16. ver cuaderno del estudiante17. ver cuaderno del estudiante18. ver cuaderno del estudiante19. ver cuaderno del estudiante20.(8,3)21.(3,0)22. Parque Araucano23. Porque estamos ubicando un elemento o punto con coordenadas específicas.24. 6/725. 5 unidades 26. 6 caras27. B

Página 192a. (7,4);6b. (6,3)

Página 1931. (7,4);62. (6,3)3. (9,1)4. Rectángulo5. Martín=12añosyLucas=10años6. $ 15 6507. Respuesta abierta

Capítulo 8· Lección 3 Página 1951. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante5. Ver cuaderno del estudiante6. Respuesta abierta7. Respuesta abierta8. Ver cuaderno del estudiante9. Ver cuaderno del estudiante10. Ver cuaderno del estudiante11. Ver cuaderno del estudiante12. Ver cuaderno del estudiante13. Ver cuaderno del estudiante14. Respuesta abierta15. Ver cuaderno del estudiante16.6ladosy6vértices17. Respuesta abierta

Capítulo 8· Lección 4 Página 1971. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante5. Ver cuaderno del estudiante

Solucionario

316

6. Ver cuaderno del estudiante7. Ver cuaderno del estudiante8. Ver cuaderno del estudiante9. Ver cuaderno del estudiante10. Ver cuaderno del estudiante11. Ver cuaderno del estudiante12. Ver cuaderno del estudiante13. Ver cuaderno del estudiante14. Cuadrado15. Triángulo16.Caras=5;vértices=5yaristas=817. Pirámide de base cuadrada18. Lasfiguras3Dtienensusnombres establecidos, por ejemplo, una pirámide siempre será pirámide independiente el número de caras que tenga.19. 4 triángulos y 1 cuadrado20. $ 6 00021. A

Capítulo 8· Lección 5 Página 1991. Congruentes2. No congruentes3. Congruentes4. No congruentes5. No congruentes6. Congruentes7. U y W ; V e Y. Respuesta abierta8. X, respuesta abierta9. Respuesta abiertaPágina 2001. 360°2. 4 giros3. Cada cuarto de giro forma un ángulo de 90°, por lo tanto, dos cuartos son 180°, tres cuartos son 270° y cuatro cuartos son 360°.

Capítulo 8· Lección 6 Página 2011. ¼; 90°; Contrario a las manecillas del reloj.2. ¾; 270°; Contrario a las manecillas del reloj.3. 2/4;180°;ensentidodelas manecillas del reloj.4. ¼;90°;ensentidodelasmanecillas del reloj.5. ¾;270°;ensentidodelasmanecillas del reloj.6. Girocompleto;360°;ensentidode las manecillas del reloj.7. ¼;90°;ensentidodelasmanecillas del reloj.8. ¾;270°;ensentidodelasmanecillas del reloj.9. 180°;ensentidodelasmanecillasdel reloj.10. 90°; contrario a las manecillas del reloj.11. 180°;sentidodelasmanecillasdel reloj.12. 90°; contrario a las manecillas del reloj.13. 90°;sentidodelasmanecillasdel reloj.14. 360°;sentidodelasmanecillasdel reloj.15. 270°; contrario a las manecillas del reloj.16. 180°; contrario a las manecillas del reloj.17. Respuesta abierta

Capítulo 8· Lección 7 Página 2041. Ver cuaderno del alumno2. Axial3. Axial4. Axial5. Notienesimetría6. Respuesta abierta7. Axial8. Axial9. Notienesimetría10. Axial11. Ver cuaderno del estudiante12. Ver cuaderno del estudiante13. Ver cuaderno del estudiante14. Ver cuaderno del estudiante15. Ver cuaderno del estudiante16. Ver cuaderno del estudiante

17. Ver cuaderno del estudiante18. Ver cuaderno del estudiante19. C20. B21. D

Página 20522.Conunalíneaverticalbasta23. Lospolígonosregularestienenejes de simetría. 24. Coco; oso 25. Ver cuaderno del estudiante26. A27. B28. Líneas perpendiculares29. 14430. D1. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante

Capítulo 8· Lección 8 Página 2061. Triángulos2. Triángulos3. IgualesPráctica con supervisión1. Sí2. No3. Sí4. Sí5. Sí6. Sí

Página 2077. Ver libro del estudiante8. Ver libro del estudiante9. Ver libro del estudiante10. Ver cuaderno del estudiante11. 1312. $ 2 33413. 714. Ver cuaderno del estudiante

Página 208Grupo A1. (5,4)2. (1,8)3. (3,5)4. (9,2)5. (4,1)6. (7,7)7. Ver cuaderno del estudiante8. Ver cuaderno del estudiante9. Ver cuaderno del estudiante10. Ver cuaderno del estudiante11. Ver cuaderno del estudiante12. Ver cuaderno del estudiante13. Ver cuaderno del estudiante14. Ver cuaderno del estudianteGrupo B1. 5ladosy5vértices2. 6ladosy6vérticesGrupo C1. Ver libro del estudiante2. Ver libro del estudiante3. Ver libro del estudiante4. Ver libro del estudiante5. Fig.A=3caralateralesy6vértices; fig.B=4caraslateralesy5vértices; fig.C=6caraslateralesy12vértices.6. Fig.A=9aristas;fig.B=8aristasy fig.C=18aristasGrupo D1. Axial2. Axial3. Axial4. Notienesimetría

Página 2095. Ver libro del estudiante6. Ver libro del estudiante7. Ver libro del estudiante8. Ver libro del estudiante9. B10. E ; F11. A ; B ; C ; D12. B13. FGrupo E1. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante

3. Verfigura4. A(2,8);B(4,3);C(6,7)5. A(5,10);B(7,5);C(9,9)6. A(4,8);B(6,3);C(8,7)

Página 2101. Par ordenado2. Origen3. S(8,6)4. M(6,9)5. T(5,3)6. A(3,2)7. B(9,4)8. C(4,7)9. AyC,porquetienenlamismaformay el mismo tamaño.10.6y3;multiplicarpor3.11. 7 y 8; sumar 2, 4, 6, 8, etc.12. (1,4)13. (7,12)

Página 2111. Ver cuaderno del estudiante.2. Ver cuaderno del estudiante.3. Ver cuaderno del estudiante.4. Ver cuaderno del estudiante.Escribe1. Sí, 2 ejes de simetría.

Página 212 y 2131. D2. C3. B4. D5. B6. A7. D8. D9. A10. B11. D12. B13. D14. C15. B16. D

Capítulo 9 Página 2151. 24 cm2. 24 cm3. 16 cm4. 24 cm5. 30 cm6. 48 km7. 34 m8. 14 m9. 24 cm10. 58 cm11. Metros12.Centímetros13. Metros14.Centímetros15. Kilómetros16. Metros

Capítulo 9· Lección 1 Página 2171. 15 metros2. 120 milímetros3. 70 mm4. 3 km5. 8 000 mm6. 8 km7. 220 mm8. 3 cm9. 2 000 m10. 500 cm11. 2 m12. 12 000 m13. 5 000 000 mm14. 7 m15. Respuesta abierta

Página 21816. 480 mm17. 5 000 m18. 0,5 m19. 2 500 cm20. 0,07 m21. 4 200 m22. 350 cm23. 48 cm

24. 1 600 m25. 64 mm26. 250 cm27. 42 m28. 2 500 m29. 11 cm30. 560 cm31. 68 mm32. 1 m33. 4 300 mm34. 7 000 cm35. 55 mm36. 849,4 cm37. 200 cm38. 21 pedazos y sobran 3 cm39. 2 m 31 cm40. 89 cm41. 1 m 20 cm42. Alinearía los dos decimales y resolvería la resta.43. X = 1944.(8,5)45. B46. B

Página 2191. Respuesta abierta2. Respuesta abierta

Capítulo 9· Lección 2 Página 2211. E = 7 mm2. X = 18 cm3. D = 19 1/44. R = 21 m5. Respuesta abierta6. M = 6 m7. X = 5 8. T = 14 3/49. S = 13,5 m10. X = 17 cm11. B = 8 cm12. 4m13.Descomponiendolafiguraen cuadrado y rectángulo y ocupando las medidas dadas14. 5/615. D

Página 222a. 18 mb. 6 m

Página 2231. 36 cm2. 30 cm3. 4 cm4. 211,2 m5. 226,8 m6. 43,35 m7. No es razonable porque el perímetro de la pirámide de Micerinos es más pequeño que la pirámide de Keops.

Página 224Grupo A1. 0,18 m2. 0,06 m3. 8 000 mm4. 7 000 m5. 120 mm6. 4 300 m7. 340 cm8. 9 m9. 4 mGrupo B1. A = 5 m2. S = 2 m3. B = 2 mm4. X = 10 cmGrupo C1. 24 cm2. 12 m3. 8 m4. 40 cm5. 46 mGrupo D1. 20 cm2. 16 cm3. 24 mm4. 10 m5. 320 cm o 3 m y 20 cm

Página 2261. Respuesta abierta

317

2. Respuesta abierta3. 0,24 m4. 52 mm5. 60 mm6. 400 cm7. 4 000 m8. 18 cm9. 32 cm10. 18 cm11. 13 m12. 15 m13. 19 m14. 44 m15. 47,5 cm16. 72 cm17. 6,6 m18. 24 cm19. 4 cm20. 60 cm21. Respuesta abierta

Página 2271. ABDC2. ABDC

Páginas 228 y 2291. B2. B3. A4. D5. D6. B7. A8. C9. A10. B11. Semultiplicalalongituddeunladopor 5.12. B13. X es igual a 3. Se suman los lados conocidos y luego se resta al perímetrodelafiguraelresultado obtenido.14. A15. B16. C17. C18. B19. C

Capítulo 10 Página 2311. 15 u22. 9 u23. 20 u24. 19 u25. 13 u26. 14 u27. 16 u28. 17 u29. 23410. 13511. 12612. 28013. 44814. 13515. 58816. 6417. 45518. 245

Capítulo 10· Lección 1 Página 2341. A = 5,6 cm ; B = 6 cm y C = 5,2 cm2. C3. Cuadrada4. L = 8 mm y A = 1 mm5. L = 8 m y A = 6 m6. L = 9 m y A = 8 m7. L = 3 cm y A = 2 cm8. L = 14 cm y A = 8 cm9. L = 7 cm y A = 4 cm10. L = 8 km y A = 4 km11. L = 8 cm y A = 8 cm12. L = 9 m y A = 6 m13. L = 7 km y A = 7 km14. Respuesta abierta15. L = 20 m y A = 10 m16. L = 15 cm y A = 12 cm17. L = 1 km y A = 1 km18. L = 26 cm y A = 24 cm19. L = 12 mm y A = 11 mm20. L = 8 mm y A = 5 mm21. L = 9 km y A = 1 km22. L = 5 m y A = 3 m23. L = 9 cm y A = 5 cm24. L = 12 mm y A = 11 mm25. Ver cuaderno del estudiante26. Respuesta abierta27. Mayo área, L = 26 m y A = 24 m ; Menor área , L = 49 m y A = 1 m

28. Respuesta abierta

Página 23529. M = 8130. 36 m231. 12,4 m32. D33. CPoder Matemático1. Sí2. Respuesta abierta

Capítulo 10· Lección 2 Página 2371. 20 cm2

2. Aumentaría el área y 50 cm2

3. 72 cm2

4. A= 225 cm2 y P = 60 cm5. A = 280 m2

6. Estatua = $ 5 100 y fuente = $ 3 600

Capítulo 10· Lección 3 Página 2391. L = 12 unidades y A = 6 unidades2. Área = 72 u23. Área = 36 u2 cada uno4. 10 cm25. 16,5 cm26. 12 cm27. 15 cm28. 14 cm29. 18 cm210. Se calcula el área del rectángulo y se divide en 2 para saber el área de un triángulo.

Capítulo 10· Lección 4 Página 2401. 27 cm22. 20 cm2

Página 2413. 12,5 u24. 20 u25. 17,5 u26. El área de un triángulo es la mitad del área de un rectángulo7. 10,5 u28. 15 u29. 14 u210. 56 m211. 38,5 cm212. 30 cm213. 4 baldosas blancas14. 9 dm215. Le faltó dividir por 2. El área correcta es 16 m2.16. 16 m217. 54 m18. B

Capítulo 10· Lección 5 Página 2431. Altura = 6u ; base = 7u y área= 42u22. Altura = 3u ; base = 8u y área = 24 u23. Altura = 3u ; base = 5u y área = 15 u2

Página 2444. 96 cm25. 56 cm26. 2 295 m27. Respuesta abierta8. 28 km29. 12 m210. 30 m211. 36,5 m212. 225 cm213. 126,48 cm214. 340 m215. 72 cm216. 160 km aprox.17. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo?

Página 24518.(3,2)19. 15 m220. 2 piezas21. A22. CPoder Matemático1. 8 u2. 24 u23. Es la mitad de la del paralelogramo4. 12 u25. Respuesta abierta

Página 246Grupo A

1. L = 6 m y A = 4 m2. L = 5 cm y A = 4 cm3. L = 9 mm y A = 7 mm4. L = 11 km y A = 9 km5. L = 8 cm y A = 7 cm6. L = 7 cm y A = 2 cm7. L = 6 m y A = 4 m8. L = 6 cm y A = 3 cm9. L = 7 mm y A = 6 mm10. L = 9 km y A = 4 km11. L = 7 m y A = 5 m12. 272 m213. L = 3 m y A = 1 mGrupo B1. 48 cm22. 40 mm23. 60 cm24. 75 m25. 30 m26. 216 cm2

Página 2477. 1,5 m28. 225 cm2Grupo C1. 27 m22. 81,6 m23. 144 cm24. 49 m25. 36,75 mm26. 45 m27. 28 m2

Página 2481. Área2. Base3. 7 cm24. 12,5 cm25. 9 cm26. 104 m27. 33,5 cm28. 225 mm29. 73,5 cm210. L = 4 mm y A = 2 mm11. L = 9 km y A = 8 km12. L = 4 cm y A = 3 cm13. L = 6 cm y A = 4 cm14. L = 7 m y A = 5 m15. 24 m216. 33 cm217. 122 cm218 36 mm219. 108 cm220. Respuesta abierta

Página 2491. 105 m22. Verde = 3/5 ; Amarillo = 2/5EscribeNecesitará 87 m2

Página 2501. C2. D3. B4. B5. A6. C

Página 2517. C8. D9. C10. 9 cm11. 154 cm212. F13. V14. V15. C16. Es el doble. Respuesta abierta.

UNIDAD 4: Datos y Probabilidades

Capítulo 11 Página 2571. Mamíferos – aves – peces – moluscos-insectos-reptiles2. 1 200 aprox.3. Aves; 250 aprox.4. Gaviota5. 456. 13

Capítulo 11· Lección 1 Página 2581. 11(vercuadernodelestudiante)

Página 2592. 213. 34. 12,75. 656. 807. 1508. Respuesta abierta9. 1110. 7011. 18,212. 6,513. 5,414. 20515. 4216. 237,517. 6,918. 619. 3220. 17,521. 9,322. 823. 8524. 13,6 m25. 1,65 m26. Respuesta abierta27. La nueva media es de 87,628. 18829. 530. 14431. C

Capítulo 11· Lección 2 Página 2611. 82. 363. Fútbol4. 105. Respuesta abierta

Página 2626. Cobreloa7. SantiagoMorningyHuachipato8. 40 puntos9.Romántica10. Terror; niños11. 12 niños12. No, porque las mismas personas respondieron tres preguntas.13. del 4 al 514. en aumento15. a la baja16. 120,78 km y 402,6 km17. Respuesta abierta

Página 26318. 1,7 km19. 2 160 cm320. 12,87521. CPoder Matemático1. Respuesta abierta2. Agosto

Capítulo 11· Lección 3 Página 2651. 2, respuesta abierta2. Ver cuaderno del alumno3. 61y94respectivamente4. Respuesta abierta5. Ver cuaderno del alumno6. 21°y32°respectivamente7. 24°8. 24°9. 810. 411. Respuesta abierta12.60cm2y32cmrespectivamente13. Ver cuaderno del estudiante14. C

Capítulo 11· Lección 4 Página 2671. Subirían

Página 2682. Escala de 1 en 1 e intervalo 1 mes3. (1;19,9);(2;21,1);(3;19,1); (4;18,2);(5;16,0)4. Ver cuaderno el estudiante5. Respuesta abierta6. Escala de 1 en 1 e intervalo 1 día7. (1;22,6);(2;21,3);(3;22,2); 4;22,6);(5;22,8) (1;12,6);(2;14,8);(3;15,8); 4;13,4);(5;12,8)8. Ver cuaderno del alumno9. Ver cuaderno del alumno10. Ver cuaderno del alumno11. En el mes 2

318

12. Ninguno13. Respuesta abierta

Página 26914. A15. Parque B16. Parque A17. Parque AResolución de problemas1. 10 mm2. 18° aprox.3. Respuesta abierta

Capítulo 11· Lección 5 Página 270a. No, respuesta abiertab. Respuesta abiertac. No, respuesta abierta

Página 2711. No. Más de 14° en enero y febrero y menos de 14° en marzo, abril y mayo. Sí hubo más meses con una temperatura de menos de 14 °. Conclusión abierta.2. Que disminuye3. Que fue aumentando4. 21 paños5. No, respuesta abierta6. No, respuesta abierta7. Sí, respuesta abierta8. Respuesta abierta

Página 272Grupo A1. 272. 3333. 224. 5,025. 1456. 13,57. 668. 18,19. 53110. 3511. 14,912. 6,713. 11714. 3115. 3,7Grupo B1. Miércolesyrespuestaabierta.2. Domingo y respuesta abierta.3. Lunes4. 9,6aprox.Sumandolascantidades de personas y dividiendo por el número de días.Grupo C1. Ver cuaderno del estudiante2. 92y54respectivamente3. 384. 13 días5. 85 excursionistasGrupo D1. El martes2. Sí, excepto el jueves3. Jueves

Página 2731. Respuesta abierta2. Respuesta abierta

Página 2741. Diagrama de tallos y hojas2. Mediaaritmética3. Gráficodelíneas4. Gráficocircular5. Ver cuaderno del estudiante6. Ver cuaderno del estudiante7. Ver cuaderno del estudiante8. Gráficodebarras9. Gráficodelíneas10.Gráficocircular11. Diagrama de tallo12. Diagrama de tallo13. Gráficodelíneas14. a=sí y b= no. Fundamentar15. Respuesta abierta

Página 2751. c2. b

Páginas 276 y 2771. B2. C y B3. C4. B5. A6. D7. C8. D9. D10. D11. A12. B13. C14. B15. D16. D17. A18. A19. C20. B

Capítulo 12 Página 2791. 27 estudiantes2. Amarillo3. 8 estudiantes4. 23 estudiantes5. 3 resultados posibles6. 4 resultados posibles7. 2 resultados posibles8. 3/8 9. 2/8 10. 5/10 11. 8/10

Capítulo 12· Lección 1 Página 2811. 2 resultados posibles2. 6 resultados posibles3. 18 resultados posibles4. 6 resultados posibles5. Ver cuaderno del alumno6. 12 resultados posibles7. 3 veces8. Respuesta abierta

Capítulo 12· Lección 2 Página 2841. De 3 maneras puede ganar un premio. 2. Disminuiría el número de resultados

3. 8 resultados posibles4. 6 colores de boletos5. 12 resultados posibles6. Puede ganar de 2 maneras, sacando el pato verde y el número 4 y sacando el pato verde y el número 57. Respuesta abierta

Página 2858. Montaña Rusa y Mansión Siniestra9. Entre 1983 y 199310. Respuesta abierta11. Respuesta abierta12. Xtreme Fall13. $ 26 00014. X – 10 000

Capítulo 12· Lección 3 Página 2871. Es posible que saque una bolita roja; Es poco posible que saque una bolita amarilla y es imposibles que saque una bolita verde.2. Posible3. Seguro4. Respuesta abierta5. Imposible6. Poco posible

Página 2887. Igualmente posible8. Igualmente posible9. No son igualmente posible ; es más probable sacar rojo10. Igualmente posible11. 2,3 y 4; 312. Ver cuaderno del estudiante13. Ver cuaderno del estudiante14. Amarillo y verde15. Sacar morado16. Respuesta abierta17. 6818. 50 cm219. 1/220. A Página 2891. Respuesta abierta2. 12 resultados posibles3. Número par en dado y cara en la moneda4. Respuesta abierta

Capítulo 12· Lección 4 Página 2911. 3/82. 2/63. 5/64. 1/65. 3/66. 3/67. 3/68. Respuesta abierta

Página 2929. 1/1110. 4/1111. 1/1112. 6/1113. 9/1114. 1/7 ; poco probable15.5/(7);posible

16. Imposible17. Seguro18. 4/7 probable19. N = 320. N = imposible21. 4/622. 1/6 ; 3/6 ; 4/623. Respuesta abierta24. Respuesta abierta

Página 29325.2/(3)y1/326. Imposible27. BPoder Matemático1. Es justo, respuesta abierta2. Es justo, respuesta abierta3. Es injusto, respuesta abierta

Página 294Grupo A1. Poco probable2. Imposible3. Igualmente probable4. No son igualmente probable ; Suceso B es más probableGrupo B1. Poco probable2. Imposible3. Probable4. Poco posible5. Seguro6. 2/8 ; suceso poco probable7. 4/8 ; suceso probable8. 1/8 ; suceso poco probable9. Suceso imposible10. 6/8 ; suceso probable

Página 2961. Resultado2. Predicción3. Probabilidadmatemática4. Respuesta abierta5. Imposible6. Probable7. 2/9 ; poco probable8. Seguro9. 1/9 ; poco probable10. Probable11. Imposible12. 4 resultados posibles13. 12 resultados posibles14. 6 resultado15. Respuesta abierta

Página 298 y 2991. D2. C3. 1,2824. A5. D6. A7. A8. C9. A10. C11. 32 alumnos12. 4 alumnos13. 16 alumnos14. 6 resultado15. F16. V17. V

Bibliografía

319

Bibliografía para el docenteCastro,E.(2003).Didáctica de la Matemática en La Educación

Primaria. Madrid: Pearson. Chamorro, M. (2003).Didáctica de la Matemática Preescolar.

Madrid: Pearson. ChamorroM.(2003).Didáctica de la Matemática para Primaria.

Madrid: Pearson. Cofré,A.yTapia,L.(1995).Cómo desarrollar el razonamiento lógico

y matemático.Santiago:Universitaria.Centeno,J.(1989).Números Decimales.ColecciónMatemáticas

Cultura y Aprendizaje Vol. 5. Madrid: Síntesis. Cofré,A.yTapia,L.(2002).Matemática Recreativa en el Aula.

Santiago:UniversidadCatólicadeChile.Godino,J.etal.(2005).Didáctica de las Matemáticas para

Maestros. ProyectoEduMat - Maestros. Departamento de DidácticadelaMatemática.España:UniversidaddeGranada.

Guzmán,M.(1995).Para pensar mejor. España: Pirámide. Holt,R.,Wiston.(2003).Mathematics in Context. Encyclopaedia

Britannica. Llinares,SySánchez,M.(1989).Fracciones. ColecciónMatemáticas

Cultura y Aprendizaje Vol. 4 Madrid: Síntesis. Alsina,C.(1989).Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid:

Síntesis. Alsina,C.(1991).Materiales para construir la Geometría. Madrid:

Síntesis. Chamorro,Mª.(2005).Didáctica de las Matemáticas. Madrid:

Pearson Educación. Martínez,A.M.,Juan,F.R.(1989).Una metodología activa y lúdica

para la enseñanza de la geometría. Madrid: Síntesis. Boule,F.(2005).Reflexiones sobre la Geometría y su enseñanza.

México:LaVasija.Siguero,F.yCarrillo,E.(1993).Recursos en el aula de matemáticas

Madrid: Síntesis.Riveros,Zanocco.(1991).Geometría y aprendizaje. Universidad

Católica de Chile. García,J.(1998).Geometría y experiencias. Madrid: Pearson

Educación. Castro,E.(2003).Didáctica de la Matemática en La Educación

Primaria. Madrid: Pearson. MazaG,C.(1991).Multiplicación y división. A través de la resolución

de problemas. Madrid: Visor. Centeno,J.(1989).Números Decimales.ColecciónMatemáticas

Cultura y Aprendizaje Vol. 5. Madrid: Síntesis. Chamorro,C.(2003).Didáctica de las matemáticas para primaria.

Madrid:PearsonPrenticeHall.Martínez,J.(1991).Numeración y operaciones básicas en la

educación primaria. Madrid: Escuela Española. Resnick,LaurenB.yFord,WendyW.(2010).La enseñanza de las

matemáticas y sus fundamentos psicológicos. Barcelona: Paidós.

Bibliografía adicionalAlder,K.(2003).La medida de todas las cosas. España: Taurus.Arce,J.C.(2000).El matemático del rey. España: Planeta.Ávila,C.(2010).Aventuras matemáticas: En busca del código

secreto. España: Brief Editorial. Cesaroli,A.(2009).Mr. Cuadrado. España: Maeva. DelaTorre,A.(2010).La rebelión de los números. España: Ed. La Torre.

Doxiadis,A.(2000).El tío Petrus y la Conjetura de Goldbach. España: Ediciones B.

Enzesberg,H.M(1999).El diablo de los números. España: Siruela. Guedj,D.(2000).El teorema del loro. España: Anagrama. Haddon,M.(2011).El curioso incidente del perro a medianoche.

España: Salamandra.Kaye,M.(2002).Ni un día sin matemáticas. Chile: Ed. Galileo. Millás,J.J.(2001).Números pares, impares e idiotas. España: Ed.

Alba. Norman,L.C.(2000).El país de las mates para expertos. España:

Nívola. Norman,L.C.(2000).El país de las mates para novatos. España:

Nívola. Ogawa,Y.(2008).La fórmula preferida del profesor. España:

Funambulista. SerranoMarugán,E.(2002).¡Ojalá no hubiera números! España:

Nívola. Shaw,C.(2005).La incógnita Newton. España: Roca. Tahan,M.(1999).El hombre que calculaba. Colombia: Ed.

Panamericana

Video“Donaldenelpaísdelasmatemáticas”donaldenelpaisdelasmatematicas-YouTubehttp://www.youtube.com/watch?v=WtIrtPumGco13/08/2011 - Subido por mapacheplusDonaldenelpaísdelasmatemáticascompletoaudiolatinoporJorge Armando Hernández.

Links para el estudiante· www.elhuevodechocolate.com/mates.htm ·http://www.educapeques.com/juegos-infantiles-de-matematicas-

para-ninos ·www.juegos/matmatica/html·http://www.aprendejugando.com/·http://www.sectormatematica.cl/preescolar.htm·http://www.sectormatematica.cl/geometria.htm·http://www.todoeducativo.com/·http://roble.pntic.mec.es/arum0010/#matematicas·http://www.santillana.cl/grupo/arbolalegre/·http://www.escolar.com/menugeom.htm·http://www.disfrutalasmatematicas.com/ejercicios/horas.php·http://cremc.ponce.inter.edu/carpetamagica/guiaelreloj.htm·http://cremc.ponce.inter.edu/carpetamagica/guiaelreloj.htm·http://descartes.cnice.mec.es/matemagicas/pages/jeux_mat/

textes/horloge.htm ·http://sauce.pntic.mec.es/~atub0000/hotpot/reloj/horasini.htm·http://members.learningplanet.com/act/mayhem/free.asp·http://kids.aol.com/·http://www.ixl.com/·http://www.icarito.cl/medio/

articulo/0,0,38035857_152308913_188909704_1,00.html·http://www.aulademate.com/

5ºB

ásic

oM

atem

átic

a

Matemática 5º Básico

Texto delEstudiante

5º

Bás

ico

Mat

emát

ica

Text

o de

l Est

idia

nte

Texto delEstudiante

MATEMATICA ALUMNOpdf

Documents

Transcript of MATEMATICA ALUMNOpdf