CAPITULO I

1. Integración indefinida

El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene

por pendiente

ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x

Se muestran tres de las infinitas primitivas de ƒ(x) que se pueden obtener

variando la constante de integración.

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es

una función F cuya derivada es f, es decir, F′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un

intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad,

que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f,

entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce

como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de

una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le

llama integral indefinida de f y se representa como:

ó

1

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración

indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas

están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema

fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular

integrales definidas de numerosas funciones.

2. Antiderivadas

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la

derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada

produce la función dada.

Ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x).

Observe que no existe una derivada única para cada función.

Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida

se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la

variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la

siguiente:

2

Teorema

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un

conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo

difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números

reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede

escribir

Como constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

3. Interpretación geométrica de la integral

Se llama integral indefinida de una función y=f(x) al conjunto de todas las

primitivas de f. A la integral indefinida de la función f se le nota por la expresión

Y se lee integral de f diferencial de x. Al símbolo que inicia la expresión (y que

tiene forma de s alargada) se le llama signo integral y lo que le sigue integrando.

 Para calcular la integral indefinida de una función. Basta con calcular una

primitiva y la integral indefinida será la familia de funciones que resulte de sumar

a esa primitiva una constante.

3

Donde F(x) es una primitiva de f(x).

A la constante C se le denomina constante de integración.

se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo

[a, b], y se nota por:

La expresión f(x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es

el límite inferior, y b, el límite superior.

Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal. Sea f integrable sobre [a, b]

y defínase F sobre [a, b] por

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable

en c, y el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los

puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a,b] y F' = f

si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función

Segundo teorema fundamental del cálculo

infinitesimal [Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F,

A) Integrales inmediatas

4

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla

(escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones

elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al

revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están

Función  : primitiva de  Función  : derivada de 

5

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Como no se conocen

primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2.

2x es la derivada de x2, 3x2es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como

primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una

condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se

trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente

determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces

forzosamente k = 7.

B) Método de sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la

derivada de la función compuesta.

Para cambiar de

variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una

nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

6

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inicial:

Ejemplo 

7

Cambios de variables usuales

1. 

2. 

3. 

4. 

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un

mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable est elevado al mínimo

común múltiplo de los índices.

6. Si   es par:

8

7. Si   no es par:

Integración por partes I

El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y

se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que

la integral de v' sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se

eligen como v'.

Ejercicio:

9

10

4. Integrales de funciones racionales

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es

menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que

numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los

siguientes tipos de integrales racionales:

Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción   puede escribirse así:

11

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la

suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

Ejemplo

Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han

de ser iguales:

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan

al denominador.

12

Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción   puede escribirse así:

Ejemplo 

Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al

denominador y otro más.

13

Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción   puede escribirse así:

Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de

tipo arcotangente.

Ejemplo  

Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando

coeficientes:

14

4. La integral definida

Propiedades de las sumatorias

Resumen

El trabajo muestra problemas que deben enfrentar a diario los especialistas

de diversas ramas del conocimiento, y para su determinación se trabaja

desde el punto de vista teórico en la obtención de expresiones compactas.

Tomando en cuenta el amplio espectro de aplicaciones que pueden ser

beneficiadas con este tipo de resultado, en el presente trabajo se realiza una

recopilación de las propiedades de las sumatorias reportadas en la literatura,

posterior a lo cual se proponen y demuestran otro conjunto particularmente

relevante cuando se trabaja con funciones de variable discreta cuyo

intervalos de variación son uniformes en todo el dominio de la función.

15

Introducción

El estudio de fenómenos y procesos que ocurren en la Naturaleza y

la Sociedad conduce a la formulación de modelos que los describen y

predicen su comportamiento, los cuales, no obstante su diversidad, pueden

agruparse en dos categorías: continuos, como la descripción de la

transmisión del movimiento a través de una cuerda, el desplazamiento de un

vehículo, etc., o discretos, como la serie de pagos históricos de una entidad,

los registros de temperatura de un país o territorio, etc.

Esta última categoría, discretos, tiene gran importancia en la actualidad

atendiendo al acelerado desarrollo de las técnicas digitales, que en la

práctica es un proceso donde toda la información, en última instancia, se

representa a través de conjuntos ordenados de dos valores lógicos: falso o

verdadero.

En términos matemáticos, el estudio de las funciones cuya variable

dependiente exhibe una variación discreta constituye una especialidad, que

tiene en las sumatorias y series un componente relevante.

Tomando en cuenta lo señalado, en el presente trabajo se relacionan un

conjunto de propiedades reportadas en la literatura sobre las sumatorias y se

deducen otras que pueden facilitar cálculos tales como la solución

de Sistemas de Ecuaciones Lineales resultantes del planteamiento del

problema de la obtención de expresiones analíticas para la derivada de

funciones de variable independiente discreta.

1. Generalidades

Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se

denota como sigue:

16

Donde:

S: magnitud resultante de la suma.

T: cantidad de valores a sumar.

k: índice de la suma, que varía entre h y h+t

h: punto inicial de la sumatoria

h+t: punto final de la sumatoria

nk: valor de la magnitud objeto de suma en el punto k

Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t→

∞, que se conoce como serie y se representa de la manera siguiente:

Considerando la amplitud que reviste el análisis de las series, este tema no

será abordado en este trabajo.

2. Propiedades de las sumatorias

Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura

se encuentra las once que se relacionan a continuación, cuya demostración

se realiza utilizando el procedimiento matemático de Inducción Completa.

Propiedad #1: 

Propiedad #2: 

17

Propiedad #3: 

Propiedad #4: 

Propiedad #5: 

Propiedad #6: 

Propiedad #7: 

Propiedad #8: 

Propiedad #9: 

Propiedad #10: 

Propiedad #11: 

En la práctica existen múltiples problemas cuya solución conduce

al cálculo de sumatorias que cumplen con requisitos especiales, como es el

caso de la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales resultante para la

determinación de las derivadas de funciones con intervalo de variación

uniforme de la variable dependiente; los problemas que exhiben simetría,

18

etc., bajo cuyas condiciones es posible obtener expresiones útiles de trabajo,

que simplifican las operaciones a realizar, entre las que pueden señalarse las

que se deducen a continuación.

3. Considerando simetría en el recorrido del índice de la suma

Una condición que trata de utilizarse siempre que sea posible, ya que

simplifica los cálculos en los modelos de fenómenos o procesos, es la

simetría, la que en términos de las sumatorias esta característica se

corresponde con la variación del índice de la suma en el intervalo  como

se indica a continuación:

Bajo esta hipótesis de trabajo, es posible obtener el conjunto de propiedades

que se demuestran a continuación.

Propiedad #1: 

Demostración:

Propiedad #2: 

Demostración:

Propiedad #3: 

19

Propiedad #4: 

Propiedad #5: 

5. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con variable

independiente de la forma x ± kD x

Una aplicación en la cual las sumatorias simétricas adoptan un término

interesante es el caso de la obtención de expresiones analíticas por el

cálculo de las derivadas de funciones de variable discreta, en el cual es

común trabajar con términos de la forma  elevado a una

cierta potencia. A continuación se deducen cinco propiedades de

gran utilidad práctica.

Propiedad #1: Cálculo de 

20

Propiedad #2: Cálculo de 

Propiedad #3: Cálculo de 

Propiedad #4: Cálculo de 

Propiedad #5: Cálculo de 

21

Propiedad #6: Cálculo de 

22

6. Área de una región plana por sumatoria

23

24

El área de la región R está dada por:

 

A=limn→∞

∑i=1

n

f ( xi−1)ΔΧ=limn→∞

∑i=1

n

f ( xi ) Δx

Al aplicar la fórmula o Ecuación recordemos que Δx=b−a

n y x1=a+iΔx

para i=0, 1, 2, …..n pues xi está a i pasos de longitud Δx a la derecha de

Χ 0=a

Ejemplos

1) Determinar el área bajo la gráfica de f(x)=x2 en el intervalo [0,3 ] .

Solución:

Si dividimos 0, 3 en n subintervalos, de la misma longitud.

Δx=b−an

=3−0n

=3n ⇒

Δx=3n

x i=a+iΔx ⇒ x i=0+i

3n

Por tanto: ∑i=1

n

f ( x i)Δx=∑i=1

n

( x i )2Δx

sustituimos

∑i=1

n

( 3in )2

( 3n )=∑i=1n27 i2

n2 aplicando propiedad de sumatorias,

25

=

27n2

∑i=1

n

i2

aplicamos la fórmula de sumatoria

=27n2 (

13n3+ 1

2n2+ 1

6n)

Aplicamos límite cuando n→∞

A=limn→∞

27( 13 +12n

+1

6n2 )=27 ( 13 )=9 Pues

12n y

1

6n2 tienden a cero cuando

n→∞ ... A = 9u2

7. Partición de un intervalo cerrado

7.1. Partición de un intervalo [a, b]

Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos

contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y

cuya unión es [a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por

los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele

expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la partición de

26

[a, b] es:

7.2. Definición

de partición

Sea a<b. recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] todo conjunto

finito de puntos {t0 , t1 , t2 , ........tn-1 , tn} de [a, b] de forma que uno de ellos

coincide con a y otro con b, a = t0 < t1 < ......... < tn-1 < tn = b

27

8. Aproximación del área de una región plana por área de rectángulos

Supongamos la gráfica de

Limitada por el eje x, entre x=0 y

x=2.

Cuya gráfica corresponde a:

Vamos a utilizar el método del

exhaución (arquímedes) para

calcular el área comprendida entre

la gráfica de f(x) y las rectas x=0 y

x=5

Utilizaremos 5 rectángulos para

aproximar el área de la región que

corresponde a la imagen superior.

Primero utilizaremos rectángulos que aproximarán el área por defecto.

28

La base de cada rectángulo dibujado es 2/5 (puesto que hemos dividido 2

unidades en cinco partes iguales).

Los puntos terminales de la derecha en cada intervalo los podemos expresar

como (2i / 5), siendo i=1, 2, 3, 4,5

La altura puede obtenerse evaluando f en el punto terminal derecho de cada

intervalo

De manera más exacta, podemos expresar la suma de las áreas de los cinco

rectángulos como:

Aquí vemos que la aproximación por defecto al área buscada utilizando los

cinco rectángulos es 6.48 unidades cuadradas

Procedamos ahora a aproximar el área por exceso:

La base de cada rectángulo dibujado vuelve a ser 2/5 (puesto que hemos

dividido 2 unidades en cinco partes iguales). Ahora la altura de cada

rectángulo viene dada por el valor de la función en cada punto terminal de la

izquierda. Siendo (2(i-1) / 5), siendo i=1, 2, 3, 4,5

El Área del i-ésimo rectángulo= 2/5. F (2(i-1)/5)

La suma de todos los rectángulos vendrá dada por el sumatorio siguiente

expresado en notación sigma:

29

Aquí vemos que la aproximación por exceso al área buscada utilizando los

cinco rectángulos es 8.08 unidades cuadradas.

Podemos concluir que el Área de la región objeto de estudio está

comprendida entre las dos medidas encontradas:

6.48 < Área de la región plana < 8.08

Si quisiéramos afinar la medición lo que tendremos que hacer será aumentar

el nº de rectángulos, por ejemplo si utilizamos 25 rectángulos para aproximar

la medición, tendríamos:

Área por defecto = 7.1712

Área por exceso = 7.4912

7.1712 < Área de la región plana < 7.4912

DEFINICIONES

Gráfica 1

Como habíamos mencionado

anteriormente, nuestra

preocupación ahora, es

encontrar el área de cualquier

superficie sin importar su forma.

Supongamos que queremos

hallar el área de la región

comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la

función f(x) (Gráfica 1).

30

Gráfica 2

Ahora, supongamos que

tomamos la región y la

dividimos en una serie de

rectángulos de base x (Gráfica

2.). Si lográramos calcular el

área de cada uno de esos

rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del

área total de la región que deseamos.

Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola

expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del

intervalo [a,b], tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:

de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo

así:

Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos,

es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser

cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi

puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la

aproximación:

Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que

deseamos. Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las

particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más

grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de

la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que Pse haga tan

pequeño como pueda o que el número de

31

particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor

aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).

Gráfica 3

De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de

rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos

rectángulos sean muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta

aproximación del área que tanto hemos buscado. Y esto se representa así:

que es equivalente a con esto ya encontramos la mejor aproximación del

área. Ahora si, podemos definir la integral definida ya que,

Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la

hemos definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera

aplicación de la integración definida, hallar el área bajo una curva.

Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las

partes que la componen.

Toda la expresión se lee, integrable f(x), desde a hasta b; a y b, son los

límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El

símbolo", es una s mayúscula alargada, que significa suma y se llama

símbolo de integración. La función f(x), es el integrando y el dx, se llama

diferencial y es el que lleva la variable de integración que en este caso es x.

9. Aplicaciones de la integral definida

9.1. Áreas de regiones planas

Casos

32

Encontrar el área bajo la gráfica de f(x) + de x0 a x3.

Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente.

Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una

aproximación de esta región se puede encontrar usando dos rectángulos. La

altura del primer rectángulo es f(0)  3 y la altura del segundo rectángulo es

f(1,5)   . El ancho de cada rectángulo es 1,5

El área total de los dos rectángulos es:

A  3 . 1,5 +   . 1,5   8,397114317 unidades cuadradas.

33

Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real.

Para lograr una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres

partes iguales, cada uno de una unidad de ancho.

La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero

f(2). En todos los casos el ancho del subintervalo es 1 es decir, la medida de

la base es 1 unidad.

El área total de los tres rectángulos es:

Área 1 . f(0) + 1 . f(1) + 1 . f(2) 1 . 3 + 1 . + 1 .

Área  8,064495102 unidades cuadradas.

Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior

pero aún es mayor que el área real buscada.

Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con

anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada

rectángulo 0,5 unidades.

34

Rectángulo x f(x)Ancho de

la baseÁrea

1 0 3 0,5 1,5

2 0,5 0,5 1,479019946

3 1 0,5 1,414213562

4 1,5 0,5 1,299038106

5 2 0,5 1,118033989

6 2,5 0,5 0,829156197

Área total  7,63946180

De la misma forma analizamos el área total considerando rectángulos de

medida de base 0,25 unidades.

Este proceso de aproximar el área bajo una curva usando más y más

rectángulos para obtener cada vez una mejor aproximación puede

generalizarse. Para hacer esto podemos dividir el intervalo de x  0 a x  3

en n partes iguales. Cada uno de esos intervalos tiene ancho de

medida      y la altura determinada por el valor de la función en el lado

izquierdo del rectángulo es decir fi  donde i  1, 2 , 3, ....., n. Si

utilizamos el ordenador podemos hacer los cálculos tomando cada vez más

rectángulos.

35

n Área

150 7,09714349

2500 7,0703623

10000 7,069030825

45000 7,068683193

Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de

rectángulos es cada vez más grande observamos que la suma de sus áreas

se acerca cada vez más al área real de la región.

En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas

cuando n crece indefinidamente, lo que puede escribirse:

Área    (suma de las áreas de los n rectángulos)

Esta situación se puede visualizar en la animación siguiente.

36

Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la

comprensión intuitiva del Cálculo Integral.

Si calculamos el área utilizando la fórmula del área de un círculo y teniendo

en cuenta que el área sombreada es la cuarta parte del área del círculo de

radio 3 con centro en el origen resulta:

Área  A      9  7,068583471.

9.2. Aplicación de la integral en los sólidos de revolución

Sea f una función definida en el intervalo [a,b].

Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar

alrededor del eje x, la región limitada por la gráfica de y= f(x), el eje x y

las gráficas de x=a y x=b. El eje x es un eje de simetría de dicho sólido y

una sección recta perpendicular al eje x es un círculo.

37

Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un

procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el

"volumen" de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes

de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.

Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos

elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por

definición, el producto del área de la base por el espesor (o altura).

Consideremos una partición Pn del intervalo [a,b.] determinada por el

conjunto de números

donde, con. , con

Sea un aumento de Pn.

Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son

, y cuyas bases tienen radios

38

El volumen del n-ésimo disco es:

La suma

de los volúmenes de los discos nos da una aproximación al volumen del

sólido de revolución.

Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la

aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la

siguiente definición:

Si existe un número tal que dada exista para la cual

para toda partición Pn de [a,b] y todo aumento Tn de Pn, y con , este

número es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada

por las gráficas de alrededor del eje x.

39

Si es la función dada por para , entonces la

suma de aproximación:

utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede

escribirse como:

donde

.

Luego, de la definición de integral y de

la definición de dada, se tiene que

 Consideremos ahora dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado

[a,b], tales que para . Sea la región del plano

limitada por las curvas con ecuaciones y=f(x), y=g(x) y las rectas con

ecuaciones x=a, x=b.

Deseamos determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar

la región alrededor del eje x (note que en este caso no giramos la región

alrededor de una de sus fronteras).

El sólido generado se muestra en la siguiente figura:

40

Sea Pn una partición del intervalo [a,b] determinada por el conjunto de

números con para

, y sea un aumento de Pn.

En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de

aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.

Se muestra a continuación el ésimo rectángulo y el ésimo anillo circular

generado al rotar aquel alrededor del eje .

por lo que el volumen del n-ésimo elemento sólido será:

Entonces, la suma de aproximación

para el volumen del sólido de

revolución es:

Puede suponerse que mientras más

delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma

anterior al volumen del sólido.

41

 Si existe un número V tal que dada exista para la cual

Para toda partición Pn de [a,b] y todo aumento Tn de Pn, y con , este

número de es el volumen del sólido obtenido por revolución del área

limitada por las gráficas de y=f(x), y=g(x), x=a, x=b, alrededor del eje x.

Si h es la función dada por: para ,

entonces la suma de aproximación

Utilizada en la definición 8, puede escribirse como:

Donde .

Luego se tiene que:

10. Sólidos de revolución

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar

áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de

una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos

volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración

definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el

42

cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del

área, a una tercera dimensión.

Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su

volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que

un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su

base por su altura.

si 

10.1. Método de los discos

Gráfica 5

Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda más fácil

comprender el concepto de volumen por el método de los discos. Como

sabemos las dimensiones del disco diferencial (Gráfica 5.), son muy

parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro

cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir

que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario

sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si

llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la

mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos como funciona la

integral definida, es por eso que para este caso el cálculo del volumen del

sólido, es una expansión del cálculo del área de una superficie plana.

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Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es x, de aquí

deducimos que por lo tanto, dado que el volumen esta entre a y b

De esta manera, podemos calcular el volumen de un sólido, mediante el

método de los discos.

10.2. Método de las arandelas

Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también

se basa en discos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama

arandelas. El hecho que se

presente el agujero, se debe a

que el volumen de revolución

lo forma la rotación de dos

funciones, a un mismo sentido

y a un mismo ritmo, de donde

generalmente se forma un

sólido hueco.

Gráfica 6

Ahora, si miramos la Gráfica 6; nos damos cuenta que el proceso para hallar

el volumen es muy similar al del método anterior, pero aquí es necesario

hacer una resta de volúmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el

radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela,

, de aquí ya podemos hallar fácilmente el volumen del sólido, desarrollando

la integral definida en el intervalo [a,b].

10.3. Método de los casquillos cilíndricos

Cuando necesitamos hallar el volumen de un sólido de revolución, a veces

los casquillos cilíndricos nos pueden dar una solución más fácil, que el

método de las arandelas. En parte, la razón es que la formula a la que nos

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llevan no requiere que se eleve al cuadrado. Los métodos de discos y

arandelas usaban como elemento representativo de volumen un disco

circular, generado al girar un rectángulo orientado perpendicularmente al eje

de rotación o revolución. El método de los casquillos usa como elemento

representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo,

orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es

necesario que desarrollemos la fórmula para el volumen del cilindro

diferencial.

Gráfica 7

Anteriormente ya habíamos calculado el volumen de un cilindro, así que

aquí, miraremos una formula geométrica que nos

dice que el volumen de un casquillo barrido por

un rectángulo es:

V=2 (radio promedio del casquillo)(altura del

casquillo)(grosor) en nuestro caso es:

Gráfica 8

Supongamos que hacemos girar la región sombreada de la Gráfica 8,

alrededor del eje y para generar un sólido. Para hallar una aproximación del

volumen del sólido, así:

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Gráfica 9

Como podemos ver en la Gráfica 9, de la rotación resultan casquillos

cilíndricos diferenciales. Si hacemos la sumatoria de volúmenes de los

casquillos diferenciales, obtendremos el volumen del sólido de revolución.

Anteriormente, habíamos definido el volumen de uno de los casquillos

diferenciales en términos de la función, así que ya podemos afirmar que:

Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los volúmenes de los casquillos

diferenciales y es el método de los casquillos para calcular volúmenes de

revolución.

Volúmenes por rebanadas: Cuando analizamos el método de los discos para

hallar el volumen de un sólido, llegamos a la formula donde, era el área de la

sección circular y x el espesor del disco.

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Ahora podemos generalizar este método, para calcular el volumen de sólidos

con forma arbitraria, si conocemos el área de una de sus secciones. Por

ejemplo si A(x), representa el área de una sección en x, perpendicular al eje

x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando A(x) con respecto a

x.

Gráfica 10

Por ejemplo en la Gráfica 10, encontramos un sólido cuyas secciones

transversales son triángulos, de manera que si calculamos el área de uno de

esos triángulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos

el volumen total del sólido, es decir:

De esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier sólido, siempre

que conozcamos un elemento diferencial y la fórmula para hallar su área.

Longitud de arco: Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular

magnitudes con unidades cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva

a preguntarnos, ¿podemos medir unidades lineales mediante la integral

definida? Pues en esta aplicación veremos cómo podemos medir longitudes

usando esta magnífica herramienta del cálculo.

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Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido

muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o

simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos

sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de

manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta

vez de segmentos curvos.

De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la

distancia entre dos puntos usando la fórmula que deriva del teorema de

Pitágoras:

Esta fórmula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud

de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar

este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un

intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo

[a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita

entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus

puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.

Gráfica 11

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Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la

curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación

de su longitud. Tenemos i, donde es la partición correspondiente de [a,b] tal

que

a = n1< n2< n3< n4<…< ni = b

Con esto, estimamos una aproximación de la longitud del arco, que

denotamos s, así y podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo

[a,b], así: tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común

(x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es: ahora, como f'(x), es

continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo que

existe algún ci en [xi-1,xi], tal que: o equivalente: así, podemos decir que: que

realmente es equivalente a: que finalmente es lo que definimos en cálculo

integral como longitud de arco.

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BIBLIOGRAFÍA:

www . wikipedia.com

www.monografías .com

www. Starmedia .com

www lentech.com

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