Matematica superior

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CAPÍTULO 1

EL BINOMIO DE NEWTON Contenido del capítulo:

El triángulo de Pascal. Números combinatorios. El binomio de Newton.

Resultados del Aprendizaje:

1. Calcula potencias de binomios. 2. Determina un término cualquiera del desarrollo de un binomio

EL BINOMIO DE NEWTON

El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión:

, .n

a b n

Es conveniente hacer observar aquí que a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas cualesquiera.

Así, también podremos desarrollar, por ejemplo, expresiones como: 2 3 ,n

x 2 3 ,n

xz y

3 5 ,n

a b etc.

Veamos el desarrollo de algunas potencias de :a b

01a b

1a b a b

2 2 2a b a b a b a ab b (cuadrado de la suma)

3 2 2 2

3 2 2 33 3

a b a b a b a ab b a b

a a b ab b

(cubo de la suma)

4 3 3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

3 3

4 6 4 .

a b a b a b a a b ab b a b

a a b a b ab b

2

Utilizando el último resultado, si 2 y 3,a x b se sigue que:

4 4 3 2 2 3 4

4 3 2

2 3 2 4 2 3 6 2 3 4 2 3 3

16 96 216 216 81.

x x x x x

x x x x

Se observa que los coeficientes de cada polinomio resultante siguen la siguiente secuencia: 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Se observa además que las potencias del primer sumando del binomio, es decir ,a comienzan por n y en cada sumandovan disminuyendo de uno en uno hasta llegar a 0. Por el contrario, las potencias del segundo sumandodel binomio, es decir ,b empiezan en 0 y van aumentando de uno en uno hasta llegar a .n La estructura en el triángulo anterior recibe el nombre de Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia. Observe que el vértice superior es un 1 y que la segunda fila son siempre dos “unos”. A partir de latercera fila, el método de construcción es el siguiente:

Primer número: 1. Números siguientes: la suma de los dos que se encuentran inmediatamente por encima. Último número: 1.

Observe también, además de que cada fila empiece y termine por 1, que los números que aparecen formanuna fila simétrica, o sea, el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igualal antepenúltimo, etc.

De esta forma sería fácil hallar 5:a b

La fila siguiente del triángulo sería: 1 5 10 10 5 1

Los coeficientes, según lo comentado anteriormente seguirían la siguiente secuencia:5 0 4 1 3 2 2 3 4 0 5a b a b a b a b ab a b o también 5 4 3 2 2 3 4 5a a b a b a b ab b

Por tanto:

5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5 .a b a a b a b a b ab b

La construcción del triángulo anterior no es así por capricho, o por casualidad, sino que es consecuenciade la definición de número combinatorio. Para definir un número combinatorio es preciso saber con anterioridad lo que es el factorial de un número, !,n que se define de la siguiente forma:

0! 1; que se lee “cero factorial”;

! 1 2 3 2 1;n n n n que se lee “ n factorial”:

Por ejemplo: 1! 1

3

3! 3 2 1 6 4! 4 3 2 1 24 6! 6 5 4 3 2 1 720 12! 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 479001600.

Este último factorial se ha realizado con una calculadora (¡busque la tecla que hace esta operación!).

Un número combinatorio es un número natural de la forma , donde n

n mm

y se lee “ n sobre

m ”. Para obtenerlo se aplica la siguiente fórmula:

!

.! !

n n

m m n m

Veamos algunos ejemplos:

0 0!

1.0 0! 0 0 !

1 1!1.

0 0! 1 0 !

1 1!1.

1 1! 1 1 !

2 2!

1.0 0! 2 0 !

2 2!2.

1 1! 2 1 !

2 2!1.

2 2! 2 2 !

3 3!

1.0 0! 3 0 !

3 3!3.

1 1! 3 1 !

3 3!3.

2 2! 3 2 !

3 3!

1.3 3! 3 3 !

4 4!1.

0 0! 4 0 !

4 4!4.

1 1! 4 1 !

4 4!

6.2 2! 4 2 !

4 4!4.

3 3! 4 3 !

4 4!1.

4 4! 4 4 !

5 5!

10.3 3! 5 3 !

8 8!56.

5 5! 8 5 !

Teniendo en cuenta la definición de número combinatorio y, si con los ejemplos anteriores has entendido cómo se utiliza la fórmula, será fácil comprender que el Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia es, de hecho, el siguiente:

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

4

El hecho de que las dos primeras filas sean siempre “unos”, así como la razón por la que el primer y el último número de las demás son también “unos”, se debe a las dos siguientes propiedades:

! ! ! !

10 0! 0 ! 0! ! 1 ! !

n n n n n

n n n n

! ! ! !

1.! ! ! 0! ! 1 !

n n n n n

n n n n n n n

Además, que los números que aparecen en una misma fila formen una fila simétrica, o sea, el primero igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igual al antepenúltimo, etc; es debido a la siguiente propiedad:

.n n

m n m

La demostración es sencilla:

! ! !

.! ! ! ! ! !

n nn n n

m n mm n m n m m n m n n m

! ! ! !

.! ! ! ! !!

n nn n n n

n m mn m n n m n m m m n mn m n n m

Veamos unos ejemplos (puedes comprobarlos utilizando la definición de número combinatorio): 5 5 5 5 8 85! 5! 8!

10 ; 5 ; 56 .2 3 1 4 3 52!3! 1!4! 3!5!

Teniendo en cuenta todo lo anterior es fácil generalizar el desarrollo de la potencia de un binomio a un exponente natural cualquiera, conocida como fórmula de Newton:

1 2 2 2 2 1 .0 1 2 2 1

n n n n n n nn n n n n na b a a b a b a b ab b

n n n

Esta fórmula tiene 1n términos y, en cada uno de ellos, las potencias de y a b suman :n

Primer término o término que ocupar el lugar 1:0

nna

Segundo término o término que ocupa el lugar 2: 1

1nn

a b

Tercer término o término que ocupar el lugar 3: 2 2

2nn

a b

1n -ésimo término o término que ocupa el lugar 1:n 2 2

2nn

a bn

5

n ésimo término o término que ocupa el lugar :n 1

1nn

abn

1n -esimo término o término que ocupa el lugar 1:n nnb

n

Observe que el número de abajo del número combinatorio de cada término (o el número al que está elevado ,b es una unidad inferior a la posición que ocupa ese término. Dicho de otra manera, si en el

desarrollo del binomio 23,a b quisiéramos saber exactamente el término que ocupa el lugar 17,

desarrollaríamos la expresión 7 1623.

16a b

Generalizando esta idea podemos obtener el término que ocupa el lugar k del desarrollo de

, ,n

ka b T mediante la fórmula:

1 1.1

n k kk

nT a b

k

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Desarrollar 42 2 .x x

Solución

Tomemos como modelo el desarrollo de 4,a b y sustituyamos a por 2x y b por 2 :x

4 4 0 3 2 2 3 0 4

4 3 2 2 3 4

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

4 6 4 .

a b a b a b a b ab a b

a a b a b ab b

Luego:

4 4 3 2 2 3 42 2 2 2 2

8 7 6 5 4

2 4 2 6 2 4 2 2

8 24 32 16 .

x x x x x x x x x x

x x x x x

2. ¿Cuál es el desarrollo de 5a b ?

Solución Basta observar que a b puede escribirse de la forma ( );a b por lo tanto,

5 2 3 4 55 4 3 2

5 4 3 2 2 3 4 5

5 10 10 5

5 10 10 5 .

a b a a b a b a b a b b

a a b a b a b ab b

Todos los términos en los que el exponente de b es impar son negativos, y son positivos los términos en los que dicho exponente es par.

Del desarrollo de 62 3x x sólo nos interesa el término quinto. ¿Cuál es?

Solución

6 5 1 5 12 4 4 8

5

63 15 81 1215 .

4T x x x x x

6

3. Escribe el término de grado 8 en el desarrollo de7

2 13 .x

x

Solución Supongamos que el término buscado es ,kT es decir, que ocupa el lugar :k

2 88

17 1 82 2

1 1

73

7 7 11 13 3 .

1 1

kkk

k k

k k k

xk

T x xk kx x x

El grado del término es el exponente definitivo de ,x que sería la diferencia entre los dos

exponentes 2 8 y 1 ,k k puesto que para dividir dos potencias de x basta restar los

exponentes del numerador y del denominador. Por consiguiente:

2 8 1 8 16 2 1 8 3 9 3.k k k k k k

4. Es decir, el término de grado 8 es el tercero: 2

52 83

7 13 5103 .

2T x x

x

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Desarrolla las potencias siguientes:

37 7 4 5 3; ; 2 3 ; 3 2 ; 2 3 ;x y x y x y x y x x 53 2 ;x y 8

3 ;x

5 56 72 23 4 ; 5 ; 3 2 ; 2 3 .x x x x y x y

2. Desarrollar: 5 4

6 5 5 4 1 13 1 , 2 3 , 2 3 , 2 3 2 , 3 ; 2

2 2

4 5 661 1 1 1

2 , 3 , 2 , 2 .2 3 3 3

3. Desarrollar:

465 4 51 3 1 1

; ; 3 ; ; ;2

yx x x x xy

x x xyx

5

3

1 1;

x x

71

;xx

5 45

3

1 1 12 ; ; .x x x

x x x

4. Escribe directamente el cuarto término del desarrollo de 9x y y el quinto del desarrollo de

82 .x y

5. Escribe el término sexto del desarrollo de la potencia siguiente, y averigua su grado:

933 .x x

6. Escribe y simplifica el tercer término del desarrollo de 7

3 2.x

x

7

7. Escribe y simplifica el término central del desarrollo de 42

3

1.

9

x

x

8. ¿Cuál es el grado del término central del desarrollo de 122 43 5 ?x x

9. El tercer término del desarrollo de 5

2 3x

x

coincide con el cuarto del desarrollo de

53 1

.xx

Calcula .x

10. Averigua qué valor debe darse a x para que el tercer término del desarrollo de 5

3x

x

sea

igual a 90.

11. El tercer término del desarrollo de 2 3n

xx

es de segundo grado. Calcula n y desarrolla la

potencia del binomio.

12. El segundo término del desarrollo de 2 1n

xx

es de grado 11. Escribe los términos restantes.

13. Averigua si hay algún término del desarrollo de 6

2 52x

x

que sea de grado 3. Si lo hay,

escríbelo.

14. Averigua el lugar que ocupa el término de grado 13 en el desarrollo de la potencia 823 .x x

15. Escribe la fórmula de Newton, y sustituye y a b por 1. ¿Qué resultado obtienes? ¿Qué

significadopuedes dar a ese resultado?

16. Calcular 511 por medio de la fórmula de Newton y comprueba el resultado con la calculadora.

17. Teniendo en cuenta que el trinomio a b c puede escribirse como un binomio: ,a b c

desarrolla las potencias 22 2 2 32; 2 ; ; ; .a b c x x a b c a b c a b c

18. Averigua el lugar que ocupa el término de grado 2 en el desarrollo de7

2 13x

x

y escríbelo.

8

19. Escribe el término de grado 8 en el desarrollo de6

32

2.x

x

20. Calcular:6 6 6 7 8 12 10 18 100 25 9

, , , , , , , , , , .3 4 5 5 4 8 3 14 2 20 3

21. Resuelve las ecuaciones8 8

21; 9; .2 2 2 6

x xx

x

22. Utiliza las fórmulas para justificar la siguiente igualdad:9 6 9!

.3 2 3! 2! 4!

23. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a. 3 32 98x x y

b. 3 6 .x x

24. Resuelve el sistema de ecuaciones:

2 2

3

8

27

x y x y

x y

9

CAPÍTULO 2

EL PRINCIPIO DE

INDUCCIÓN Contenido del capítulo:

El principio de inducción. Definiciones por recurrencia. Ejercicios de aplicación.


1. Aplica una definición por recurrencia. 2. Demuestra propiedades relativas a números naturales usando el principio de inducción.

Giuseppe Peano (1858 - 1932), analista y lógico italiano, da la formulación actual del razonamiento por inducción o recurrencia al realizar la construcción axiomática del conjunto de los números naturales . Dicho razonamiento utiliza su quinto axioma, llamado también principio de recurrencia: “Si un conjunto de números naturales contiene 0 y contiene el sucesor de cada uno de sus elementos, entonces ese conjunto es igual a ”.

10

Prepárese para comenzar

1. En cada caso, decir si la afirmación es verdadera o falsa. Justificar la respuesta.

a. Para todo número natural , 2 2 4 .n nn

b. Para todo número natural 1

4 3 3, 2 .

3 2 2

n n

n

2. En cada caso, decir si la propiedad es verdadera o no cuando 0, 1n n y luego 2.n

a. 2 5 1 0.n n

b. 5 4 3n n es un múltiplo de 3.

c. 5

1 .4 4

nn

3. u es una sucesión numérica y L designa un número real.

a. Escribir la definición de lim nn

u L

(es decir que la sucesión u converge hacia L ).

b. Demostrar que si lim 1nn

u

entonces, a partir de un cierto rango, todos los términos de

la sucesión u son estrictamente superiores a 1

.2

4. v es la sucesión definida por 0 2v y para todo número natural 2 21, 1 .n nn v n v

a. Justificar que para todo 21, .nn v n

b. Deducir el límite de la sucesión .v 5. En cada caso, decir si la sucesión es o no geométrica. Justificar la respuesta.

a. Para todo número natural 1, 2 2 .n nnn u

b. 0 1v y para todo número natural 1, 2 5.n nn v v

6. En período de crecimiento, una planta de bambú duplica su altura todos los días. Si la planta mide 10 ,cm ¿cuántos días serán necesarios para pasar los 5m de altura?

7. u es la sucesión geométrica de razón 5 tal que 0 2.u

a. Expresar en función de ,n la suma 21 5 5 5 .n

b. Deducir la expresión en función de n de 0 1 2 .n nS u u u u

8. v es la sucesión geométrica de razón 1

3 tal que 1 8.v Expresar en función de ,n la suma

1 2 .nv v v

Razonamiento por inducción o recurrencia

Sea ( )P n una propiedad dependiente de un entero .n Sea 0 .n

Definición. Se dice que la propiedad P es hereditaria a partir del rango 0n cuando, si para un

entero 0 ,n n ( )P n es verdadera, entonces ( 1)P n es verdadera.

La propiedad hereditaria se transmite del número natural n a su sucesor 1.n

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Observación. Un axioma es una propiedad admitida, que sirve de base en la construcción de una teoría. Aquí, este axioma está ligado a la definición del conjunto de los números naturales .

Axioma. ( )P n es una propiedad que depende de un número natural n y 0n designa un número

natural.

Si la propiedad ( )P n verifica las dos condiciones siguientes:

1. Inicialización: 0( )P n es verdadera;

2. P es hereditaria: Si ( )P k es verdadera para un número natural 0 ,k n entonces ( 1)P k

es verdadera;

entonces, para todo número natural 0 , ( )n n P n es verdadera.

Observaciones.

La propiedad ( )P n puede ser una igualdad, una desigualdad, una propiedad expresada

mediante una frase, etc.

La condición hereditaria es una implicación: Se supone que ( )P k es verdadera para un

número natural k superior o igual a 0n (es lahipótesis de inducción o recurrencia) y se

muestra que entonces 1P k también es verdadera.

La fase de inicialización es a menudo simple de verificar, pero ella es indispensable. En

efecto, una propiedad hereditaria puede ser falsa. Por ejemplo: la proposición “ 2n es un

múltiplo de 3 ” es hereditaria, puesto que si 2 3 , con ,n k k entonces

12 2 2 3 2 3 2 ,n n k k es también un múltiplo de 3. Por tanto, para todo número

natural ,n esta proposición es falsa.

Ilustración: Imagen de la escalera o de las piezas del dominó

Se puede ilustrar el principio de inducción o recurrencia con ayuda de la imagen de una escalera que tiene infinitos escalones (No se dice que tiene un gran número de escalones). Si se puede:

12

o acceder al primer escalón de la escalera (inicialización), o subir a un escalón 1k a partir del escalón precedente ,k

entonces se puede acceder a todo escalón arriba del primero.

También podemos utilizar la siguiente analogía: Disponemos de una larguísima fila de fichas de dominó colocadas de modo que, si se cae una, tirará a la siguiente. Es claro que si empujamos a la primera, acabarán cayendo todas.

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El razonamiento por recurrencia es a menudo utilizado para demostrar una propiedad sobre los números enteros cuando una demostración “directa” es difícil, por ejemplo para establecer igualdades, o también para estudiar sucesiones definidas por recurrencia.

Observando como el argumento que está a la base del principio de inducción puede ser aplicado no solo para demostrar propiedades, sino también para dar definiciones. Se considera por ejemplo la definición de potencia con exponente natural de una base .a Tal definición se puede enunciar

del modo siguiente: 0 11 ,n na a a a para todo .n

EJEMPLO: Definición de factorial de un número natural. Se define 0! 1 y, para todo

, 1 ! 1 !.n n n n

De acuerdo a la definición se sigue que: 1! 1 0! 1; 2! 2 1!; 3! 3 2! 6; 4! 4 3! 24;

y así sucesivamente.

Realizar un razonamiento por inducción

Ejercicios resueltos

Enunciado. Demostrar por inducción que para todo número natural 3, 2 2 .nn n

Solución

Primera etapa (Inicialización): para 3n se tiene 32 8 y 2 3 6 , por tanto 32 2 3.

Segunda etapa (Propiedad hereditaria): Se considera un número natural 3k para el cual

2 2k k (hipótesis de inducción) y se muestra que también 12 2 1 .k k

En efecto, de 2 2k k se deduce que 2 2 2 2 ,k k es decir, 12 4 .k k Comparemos ahora

4 y 2 1 .k k Como 4 2 1 2 2,k k k para 3,k 2 2 0,k luego 12 4 2 1 .k k k

Conclusión: Para todo número natural 3, 2 2 .nn n

EJEMPLO 1. Enunciado. Se considera un número real a positivo. Demostrar por inducción o

recurrencia que, para todo entero natural : 1 1 .n

n a na

Solución

Para todo número natural ,n se llama ( )P n la propiedad: “ 1 1n

a na ”. Se quiere demostrar

por inducción que, para todo número natural , ( )n P n es verdadera.

Inicialización

14

Para 0,n se tiene: 01 1 y 1 0 1.a a Por tanto 0

1 1 0 .a a La propiedad es

verdadera para 0.n

Propiedad hereditaria

Se supone que para un entero 0, ( )n P n es verdadera: es la hipótesis de inducción o

recurrencia. Se busca probar que entonces, 1P n es verdadera.

( 1)P n se escribe: 11 1 1 .

na n a

Como 11 1 1

n na a a

y de acuerdo a la hipótesis de inducción: 1 1 ,n

a na

multiplicando ambos miembros de esta desigualdad por 1 ,a que es estrictamente positivo, se

obtiene:

1 1 1 1 ;n

a a a na

es decir, 1 21 1 ,n

a na a na o también 1 21 1 1 .

na n a na

Como 2 0,na

entonces 21 1 1 1 .n a na n a Se sigue entonces que

1 21 1 1 1 1 ,n

a n a na n a

es decir que 1P n es verdadera.

Se ha probado entonces que la propiedad ( )P n es hereditaria a partir del rango 0.

Conclusión

La propiedad (0)P es verdadera, y la propiedad ( )P n es hereditaria a partir del rango 0. Por tanto,

por inducción, se ha probado que ( )P n es verdadera para todo número natural 0.n Así: para todo

número natural : 1 1 .n

n a na

Observación. Cuando se escribe la hipótesis de inducción, es necesario considerar ( )P n verdadera

para un número natural ,n y no para todo natural .n De lo contrario, se admite la propiedad que se

quiere demostrar.

Se recomienda escribir 1P n y tratar de hacer aparecer la propiedad ( )P n supuesta verdadera,

para utilizar la hipótesis de inducción.

EJEMPLO 2. Enunciado

Sea nu la sucesión definida por: 0 2u y para todo n de 1, 3 2.n nu u

a) Calcular 1 2 3, y .u u u

15

b) Establecer una conjetura para nu y probarla por inducción.

Solución

a) 1 0 2 1 3 23 2 4, =3 2 10 y 3 2 28.u u u u u u Se constata que 11 3 1,u

22 =3 1 10u 3

3y 3 1.u

En los tres casos se tiene: 3 1;nnu sin embargo ello no es suficiente para estar seguros

que 3 1nnu para todo número natural .n

b) Para demostrar que la igualdad 3 1nnu es verdadera para todo número natural ,n vamos

a hacerlo por inducción o recurrencia.

Inicialización: Para 0,n de una parte, 0 2,nu u y de otra parte, 03 1 3 1 1 1 2.n

La propiedad 3 1nnu es entonces verdadera para 0.n

Hipótesis de inducción: Supongamos que para un número natural 0,k la propiedad sea

verdadera, es decir que se tiene: 3 1kku (hipótesis de inducción).

Mostremos que la propiedad es verdadera para el número natural siguiente 1,k es decir

que 11 3 1.k

ku En efecto, se tiene de acuerdo a la definición de la sucesión que

1 3 2k ku u y por la hipótesis de inducción 3 1,kku con lo cual se sigue que

11 3 2 3 3 1 2 3 1.k k

k ku u La propiedad es entonces hereditaria.

Conclusión: Como la propiedad es verdadera para 0n (inicialización) y supuesto que ( )P k es verdadera, ( 1)P k también es verdadera, entonces por el principio de inducción,

podemos concluir que la propiedad es verdadera para todo número natural .n Se tiene

entonces: Para todo , 3 1.nnn u

EJEMPLO 3. Enunciado.Determinar una potencia de una matriz

Sea 1 2

0 1A

y n un número natural no nulo.

c) Calcular 2 3 4, y .A A A

d) Conjeturar una expresión de nA en función de .n Demostrar dicha conjetura por inducción.

Solución

a) 2 3 21 4 1 6,

0 1 0 1A A A A A A

y 4 3 1 8

.0 1

A A A

b) Parece que nA es de la forma 1 2

.0 1

n nA

Demostremos por inducción que para todo

1 21, .

0 1n n

n A

16

Primera etapa (inicialización): Para 1,n

1 1 2 1 2 1 1 2 y .

0 1 0 1 0 1A A

Segunda etapa (Propiedad Hereditaria): Se considera un número natural 1k para el

cual 1 2

0 1k k

A

y se muestra que entonces 1 1 2 1

.0 1

k kA

En efecto,

1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1.

0 1 0 1 0 1 0 1k k k k k

A A A

Conclusión: Para todo 1 2

1, .0 1

n nn A

Ejercicios de aplicación

1. Mostrar que las dos proposiciones: “10 1n es un múltiplo de 3” y “10 1n es un múltiplo de 9” son hereditarias. ¿Son verdaderas para todo número natural n ?

2. Demostrar por inducción que para todo número natural 3, 2 1nn es un múltiplo de 7.

3. Demostrar que, para todo número natural ,n se tiene 2 4 .n n

4. Demostrar que, para todo número natural ,n se tiene 22 .n n

5. Demostrar por inducción que para todo número natural , 4 1nn es un múltiplo de 3.

6. Se considera la sucesión u definida por 0 1u y para todo número natural

1, 2 3.n nn u u n Demostrar que para todo 2, 1 .nn u n

7. Demostrar que el número de cuerdas que unen n puntos distintos de un círculo ( 2n ) es

igual a 1

.2

n n

8. ¿Verdadero o falso?

Se considera la sucesión u definida en por su primer término 0u y para todo número

natural 1: 3 1.n nn u u

a. La proposición “ 1n nu u ” es hereditaria.

b. La proposición “ 1n nu u ” es hereditaria.

c. Si 0 1,u entonces la sucesión u es creciente.

d. Si 0 2,u entonces la sucesión u es decreciente.

e. Si 0 0,5,u entonces la sucesión u es estacionaria.

9. Análisis crítico de un resultado

17

Sea ( )P n la propiedad definida en por: “ 4 1n es divisible por 3 ”. Supongamos que

existe 0n tal que 0( )P n es verdadera. Mostremos que 1P n es verdadera. Puesto

que 0( )P n es verdadera, existe k tal que 04 1 3 .n k Se tiene entonces:

0 0 0 0 0

0 0

14 1 4 4 1 3 1 4 1 3 4 4 1

3 4 3 3 4 .

n n n n n

n nk k

Lo que prueba que 0 14 1n es múltiplo de 3 y por lo tanto que 0( 1)P n es verdadera.

Se deduce entonces que cualquiera que sea , ( )n P n es verdadera. ¿Este razonamiento

es correcto? ¿Por qué? 10. Indicar la (o las) buena(s) respuesta(s).

a. Para todo natural ,n se considera la proposición ( ) :P n “ 6 1n es un múltiplo de 5. ”

i. La proposición P es hereditaria. ii. La proposición P es verdadera en .

iii. Existe un número natural n tal que ( )P n es falsa.

b. Para todo natural ,n se considera la proposición ( ) :Q n “ 6 1n es un múltiplo de 5. ”

i. La proposición Q es hereditaria.

ii. La proposición Q es verdadera en .

iii. Existe un número natural n tal que ( )Q n es falsa.

11. Mostrar por inducción que: Para todo número natural 2,n se tiene la desigualdad

1! 2! 3! 1 ! !n n

12. Para todo número natural ,n se considera la proposición: ( ) :P n ” 22 1n n ”.

a. Mostrar que la propiedad P es hereditaria a partir del rango 2. b. ¿Para qué valores de ,n esta propiedad es verdadera?

13. Para todo número natural 1:n

31 1 1

.1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 2

n n

n n n n n

14. Se considera la sucesión v definida en por: 0 0v y para todo número natural

1, 2 1.n nn v v n Calcular los cinco primeros términos de la sucesión ,v luego hacer una

conjetura acerca de la expresión de nv en función de .n Demostrar por inducción la

conjetura establecida en la parte anterior.

15. Demostrar por inducción que la sucesión u definida en por 0

7

11u y para todo

1, 100 63n nn u u es estacionaria (es decir constante)

16. Demostrar por inducción que, para todo natural n no nulo, se tiene: 1! 2 .nn

Recuerde que: El factorial de un número natural 0,n notado !,n es el producto de los

números naturales estrictamente positivos comprendidos entre 1 y :n

18

! 1 2 1.n n n La notación !n fue introducida en 1808 por el matemático francés

Christian Kramp (1760 - 1826).

17. Para todo natural ,n se nota nf la función definida en por ( ) .nnf x x Demostrar que para

todo natural ,n la función nf es derivable en y para todo real ' 1, ( ) .nnx f x nx

18. Demostrar por inducción que para todo número natural , 4 4 1.nn n

19. u es la sucesión definida por 0 3u y para todo número natural 1

5 3: .

3n

nn

un u

u

a. Calcular 1 2 y .u u Emitir una conjetura.

b. Demostrar esta conjetura por inducción.

20. En la siguiente figura se tiene 0 0 1 1 21, 2;OA A A A A los triángulos

0 1 1 2, ,OA A OA A son triángulos rectángulos.

Demostrar por inducción que para todo número natural , 4 1.nn OA n

21. Sea 1 0

0 2A

y n un número natural no nulo.

a. Calcular 2 3 4, y .A A A

b. Conjeturar una expresión de nA en función de .n Demostrar dicha conjetura por inducción.

22. Establecer una conjetura. Sea n un número natural no nulo. En un círculo, se coloca n puntos y se unen todos esos puntos mediante segmentos de recta. Se busca conocer, de una

parte el número nC de cuerdas trazadas y de otra parte el número máximo nS de regiones

así creadas en el disco.

Con ayuda de las figuras del gráfico de arriba, dar y n nC S para 1 4.n Hacer un gráfico

para 5n y determinar 5 5 y .C S ¿Qué valores de 6 6 y C S se puede pensar obtener?

Verifique su conjetura con ayuda de una figura.

19

23. Diagonales de un polígono. Para n un número natural, con 4,n se nota nd el número de

diagonales de un polígono convexo de n lados.

a. Determinar gráficamente 4 5 6 7, , y .d d d d

b. Como ejemplo, trazar un pentágono ABCDE y luego agregar un punto F exterior al pentágono. ¿Cuáles son las diagonales de ABCDEF que no son diagonales de ABCDE ?

Deducir una relación entre 5 6y .d d

c. Establecer una relación entre 1y .n nd d

d. Mostrar por inducción que un polígono a n lados admite 3

2

n n diagonales.

Nota. Un polígono se dice convexo cuando todo segmento con extremos en el interior del polígono está totalmente situado en el interior del polígono.

24. Mostrar que las dos proposiciones: “10 1n es un múltiplo de 3” y “10 1n es un múltiplo de 9” son hereditarias. ¿Son válidas para todo natural ?n

25. Demostrar que para todo 1,n vale la siguiente fórmula:

1

! 1 ! 1.n

k

k k n

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Probar que 7 1n es divisible por 6 para todo entero positivo .n Solución Paso 1. Inicialización. Cuando 11, 7 1 7 1 6.nn Como 6 es divisible por 6, la afirmación es verdadera para 1.n Paso 2. Hipótesis de inducción. Asumimos que 7 1k es divisible por 6 para algún entero positivo .k Esto significa que existe un número entero r tal que 7 1 6 .k r Paso 3. Mostremos que la afirmación es verdadera para 1.n k Se tiene 17 1 7 7 1.k k De la hipótesis de inducción 7 1 6k r se tiene 7 1 6 .k r Reemplazando este valor en 17 1 7 7 1,k k se sigue que

17 1 7 7 1 7 1 6 1

7 7 6 1

6 7 6 6 1 7

k k r

r

r r

Como ,r entonces 1 7 ,r por lo tanto 17 1k es divisible por 6. En consecuencia, la afirmación es verdadera para 1.n k Esto prueba que 7 1n es divisible por 6 para todo entero positivo .n

2. Sea x un número real distinto de 1. Para todo número natural ,n 1

2 3 11 .

1

nn x

x x x xx

Probaremos por inducción (es decir, utilizando el principio de inducción) este resultado Sea ( )P n la condición

20

12 3 1

1 .1

nn x

x x x xx

Verifiquemos que se satisfacen (i) y (ii):

(0)P es verdadera pues el primer miembro de ( )P n para 0n es 1 y el segundo 1

1.1

x

x

Supongamos ahora que 1

2 3 1( ) : 1 ,

1

kk x

P k x x x xx

es verdadera, y demostremos que

22 3 1 1

( 1) : 1 ,1

kk k x

P k x x x x xx

es verdadera. Para esto sumemos 1kx a los dos miembros de ( ) :P k 1

2 3 1 111 .

1

kk k kxx x

xx x x

x

El primer miembro de esta igualdad es el primer miembro de ( 1)P k y el segundo

miembro 1 1 2 1

2

11 1

1 1

1,

1

k k k k

k

kx x xx

x

x x

x

x

coincide también con el segundo miembro de ( 1),P k luego se cumple ( 1).P k

El principio de inducción garantiza que ( )P n es verdadera para todo natural .n

3. Para todo entero 1,n

2 2 2 2 1 2 11 2 3 .

6

n n nn

Sea ( )P n la condición dada, es decir,

2 2 2 2 1 2 1( ) : 1 2 3 , 1.

6

n n nP n n n

(1)P es verdadera, pues: 2 1 1 1 2 1 1

1 1 1.6

Supuesto que se cumple

2 2 2 2 1 2 1( ) : 1 2 3 , con 1,

6

k k kP k k k

Demostremos

22 2 2 2 1 2 2 3( 1) : 1 2 3 1 .

6

k k kP k k k

Sumando 21k a los dos miembros de ( )P k se obtiene

21

22 22 2 2 1 2 11 2 3 1 1 .

6k k

k k kk

El segundo miembro

2

2

1 2 1 2 11 1

6 6

2 1 6 11

6

12 7 6

61

1

2 2 3,

6

k k k k kk k

k k kk

kk k

k k k

k

coincide con el segundo miembro de ( 1)P k y esto muestra que se cumple ( 1).P k

Por el principio de inducción se concluye que ( )P n es verdadera para todo entero 1.n

4. Use el principio de inducción para probar que 110 3 10 5n n es divisible por 9 para todo .n

Prueba: Para 1,n 210 3 10 5 135 15 9 que es divisible por 9. En consecuencia (1)P es verdadera. Si ( )P k es verdadera, entonces 110 3 10 5 9 ,k k p donde .p Luego:

1 1 1 1

1

1

1

10 3 10 5 10 10 3 10 10 5

10 10 3 10 5

10 10 3 10 5 5 5

10 10 3 10 5 50 5

10 9 45 (Por la hipótesis de inducción)

10 9 9 5

9 10 5 , donde 10 5 pues

k k k k

k k

k k

k k

p

p

p p p

En consecuencia 1 1 110 3 10 5k k es divisible por 9. Por lo tanto ( 1)P k es verdadera siempre que ( )P k es verdadera y como (1)P es verdadera

entonces ( )P n es verdadera para todo .n

5. Use el principio de inducción para probar que 25 8 4 1n n n para todo .n Prueba: Para 1,n se tiene 1 25 8 1 4 1 1, es decir 5 5 que es verdadero. En consecuencia (1)P es verdadera. Si ( )P k es verdadera, entonces 25 8 4 1.k k k Es decir, 25 8 4 1 0.k k k

Ahora:

22

21 2

2

2

2

2

5 8 1 4 1 1 5 5 8 2 1 4 4 1

5 5 8 16 8 4 4 1

4 1 5 8 16 8 4 4 1

5 8 4 1 4 5 16 4, donde

5 8 4 1 0 (Por la hipótesis de inducción)

k k

k

k

k k

k

k k k k k

k k k

k k k

k k k

k k

y 24 5 16 4 4 8 4 1 16 4 (Por la hipótesis de inducción.)k k k k k Es decir, 24 5 16 4 32 32k k k k o también 4 5 16 4 32 1 0k k k k pues 1.k

Luego 215 8 1 4 1 1 0k k k pues es la suma de dos enteros no negativos, y por tanto

215 8 1 4 1 1.k k k

Por lo tanto ( 1)P k es verdadera siempre que ( )P k es verdadera y (1)P es verdadera.

En consecuencia ( )P n es verdadera para todo .n

6. Probar que 1 11 5 25 5 5 1 .

4n n

Solución:

Paso 1. Cuando 1,n el lado izquierdo de la ecuación es 1. El lado derecho es 115 1

4 que

es igual a 1. Por lo tanto, la ecuación es verdadera para 1.n

Paso 2. Asumamos que 1 11 5 25 5 5 1 ,

4k k para algún entero positivo .k

Paso 3. Mostremos que la ecuación dada es verdadera para 1.n k

1 1 1 11

1

11 5 25 5 5 5 1 5

41

5 1 54

5 1 4 5

4

5 5 1

41

5 1 .4

k kk k

k k

k k

k

k

Por lo tanto la afirmación es verdadera para 1.n k

Contraejemplo

7. Encontrar un contraejemplo para 24 4 4 4 41 2 3 4 1 4 4 .n n

Solución: El valor 3n es un contraejemplo.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encontrar un contraejemplo para la afirmación 22 11n es primo para todo entero positivo .n

23

2. Pruebe que cada afirmación es verdadera para todos los enteros positivos.

a. 2 3 4

1 1 1 1 1 11 .

2 2 2 2 2 2n n

b. 4 1n es divisible por 3.

c. 5 3n es divisible por 4.

d. 1 5 9 4 3 2 1n n n

e. 3 12 5 8 3 1

2

n nn

f. 8 1n es divisible por 7.

g. 9 1n es divisible por 8.

h. 2 3 4

1 1 1 1 1 1 11 .

3 23 3 3 3 3n n

i. 2 3 4

1 1 1 1 1 1 11 .

4 34 4 4 4 4n n

j. 12 10n es divisible por 11.

k. 13 11n es divisible por 12.

l. 11 2 4 6 2 2 1.n n

m. 6 1n es divisible por 5.

n. 3 1n es divisible por 2.

o. 3 11 4 7 3 2

2

n nn

3. Use inducción matemática para probar la fórmula

1 1 1 1 1 12 3 1 2 12

na a d a d a d a n d a n d

para la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. 4. Use inducción matemática para probar la fórmula

12 3 11 1 1 1 1

1

1

n

na r

a a r a r a r a rr

para la suma de n primeros términos de una progresión geométrica. 5. Demostrar por inducción que para todo entero positivo .n

2

1 1 1 21 1 1 .

4 9 2 11

n

nn

6. Utilice inducción para demostrar que para un entero natural ,n la cantidad

3 33 1 2n n n es siempre divisible por 9. Puede hacer uso de la identidad

3 3 2 2 33 3 .a b a a b ab b

7. Demostrar que para todo entero 2 3 2

1 1 1 11, 1 2 .

2 3n

nn

8. Use el principio de inducción para probar que:

24

a. 25 8 4 1,n n n para todo .n

b. 3 7n n para 3, .n n

c. !nn n para 2, .n n

d. 3 !n n para 6, .n n

EL SÍMBOLO DE SUMATORIA

En ejemplos anteriores aparecen las expresiones

2 31 ;nx x x x 2 2 2 21 2 3 .n

Estas expresiones se las puede escribir en forma más corta usando el símbolo de sumatoria .Así, la primera se puede expresar por

0

nk

k

x y la segunda 2

1

.n

k

k

En general, si 1 2 3, , , , na a a a son n números reales, la suma 1 2 3 na a a a se

puede expresar por 1

.n

kk

a

Por supuesto, la suma puede comenzar a partir de cualquier subíndice 0 ;k así por ejemplo:

0 0 0

0

1 2 .n

k k k k nk k

a a a a a

EJEMPLOS

7

1

2 1 3 5 7 9 11 13 15.k

k

5

0

3 50 2

2 2 2 2

0 1 0 1 0 1 1.k

ksen sen sen sen sen sen sen

2 31

2 3.

2 2 2 2

n

k nk

k n

1

11

.kk

a a

1

1 .n

k

n

El símbolo de sumatoria tiene las siguientes propiedades evidentes cuya demostración formal requiere del principio de inducción.

25

Propiedades

1. 1 1 1

.n n n

k k k kk k k

a b a b

2. 1 1

,n n

k kk k

a a

donde es un número real.

3. 1 12

.n

k k nk

a a a a

Propiedad telescópica.

4. 1

11 2

.n n

k kk k

a a

Probaremos únicamente la propiedad (3).

Notemos en primer lugar que al expresar la suma 12

n

k kk

a a

en forma desarrollada:

1 2 1 3 2 1 2 12

,n

k k n n n nk

a a a a a a a a a a

Los términos intermedios se anulan, quedando únicamente 1a y .na

Una demostración formal se puede realizar de la siguiente manera:

Sea ( )P n la condición 1 12

.n

k k nk

a a a a

(2)P es verdadera pues 2

1 2 12

.k kk

a a a a

Si se cumple ( ),P n entonces

1

1 1 12 2

1 1

1 1,

n n

k k k k n nk k

n n n

n

a a a a a a

a a a a

a a

y por tanto también se cumple ( 1).P n

26

CAPÍTULO 3

NÚMEROS COMPLEJOS Contenido de la unidad:

Operaciones. módulo, conjugado. Representaciones: algebraica, trigonométrica y geométrica. Teorema de Moivre. Raíces de n-ésimas. Aplicaciones a la geometría.


1. Expresa como par ordenado o en forma rectangular un número complejo empleando la unidad imaginaria i

2. Calcula potencias de la unidadimaginaria i 3. Simplifica expresiones complejas empleando potencias de i y de propiedades algebraicas de

los números reales. 4. Determina el conjugado de un número complejo. 5. Establecer condiciones para la igualdad de dos números complejos. 6. Realiza y verifica propiedades de las operaciones suma, producto y división entre dos

números complejos. 7. Aplica las propiedades de la suma y producto al realizar operaciones con números

complejos. 8. Expresa en notación polar un número complejo. 9. Representa gráficamente en el plano complejo un número complejo identificando su módulo

y argumento. 10. Demuestra propiedades del módulo y argumento respecto a las operaciones entre números

complejos. 11. Aplica las propiedades del módulo y el argumento para realizar operaciones con números

complejos. 12. Expresa en notación de Euler un número complejo. 13. Realiza operaciones de multiplicación, división, y potenciación de dos o más números

complejos empleando la identidad de Euler. 14. Determina lasn raíces de un número complejo y explica la relación geométrica entre ellas. 15. Define y analiza gráficamente las funciones hiperbólicas. 16. Deduce identidades hiperbólicas empleando propiedades de los números complejos. 17. Resuelve ecuaciones polinómicas con raíces complejas, empleando el teorema fundamental

del Álgebra. 18. Resuelve logaritmos de números complejos

27

PARTIR CON PIE DERECHO

Revisión del trinomio

Para cada una de las afirmaciones siguientes, precisar la única respuesta correcta.

1. El discriminante del trinomio es el real:

a.

b.

c.

2. La “forma canónica” del trinomio es:

a.

b.

c.

3. La ecuación tiene como conjunto de solución:

a.

4. Si el trinomio admite dos raíces y entonces su forma

factorizada es:

a.

b.

c.

Utilizar coordenadas 5. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano, se considera los puntos

a. Calcular las coordenadas del vector

b. Calcular las coordenadas del punto medio del segmento

c. Calcular la distancia

2 , con 0ax bx c a

2 , con 0,ax bx c a

2

b

a

2 4b ac24ac b

2 , con 0,ax bx c a 2

2 4

ba x

a a

2

2 4

ba x

a a

2

2 4

ba x

a a

23 2 0x x

1 21;

3

2 , con 0,ax bx c a 1x 2 ,x

1 2a x x x x

1 2x x x x

1 2a x x x x

1;3 , 0; 2 y 4;3 .A B E

.AB

C .BE

.OE

28

d. Calcular las coordenadas del punto tal que el cuadrilátero sea un paralelogramo.

e. Determinar las coordenadas del punto simétrico del punto con respecto al origen

f. Determinar las coordenadas del punto simétrico del punto con respecto al eje

g. ¿Las rectas y son perpendiculares?

Las matemáticas en todo lado

El matemático franco americano Benoit Maandelbrot desarrolló la noción de fractales que ha permitido modelar formas naturales como las de una coliflor, de un pultmón, de una costa rocosa, etc. Utilizó sucesiones de números complejos para trazar con ayuda de un computador conjuntos como el indicado en la figura siguiente.

Los números complejos aparecen en el siglo XVI para resolver las ecuaciones de tercer grado bajo el impulso de los matemáticos italianos Cardano, Bombelli y Tartaglia. No es sino en el siglo XIX que el suizo Argand propone una representación geométrica de esos números que fue tomada y adoptada por Gauss y Cauchy.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Teorema (Admitido). Existe un conjunto de números, notado y llamado conjunto de losnúmeros complejos, que posee las propiedades siguientes:

contiene

Se define en una adición y una multiplicación que siguen las mismas reglas de cálculo que la adición y multiplicación de números reales;

Existe en un número tal que

Todo elemento de se escribe de manera única con reales.

EJEMPLO

Sean Se tiene:

F ABEF

'E E .O

'A A .X

BI EJ

;

i 2 1;i z z x iy y x y

1 25 3 y 2 7 .z i z i

29

VOCABULARIO

Si un número complejo se escribe con reales, entonces:

se llama la forma algebraica de

es la parte real de se nota

es la parte imaginaria de se nota

Si entonces (se reencuentra el hecho de que contiene );

Si entonces se dice imaginario puro; se nota el conjunto de los

imaginarios puros.

Atención. La parte imaginaria de un número complejo es un número real.

Observaciones

1. Dos números complejos son iguales si y solamente si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria.

2. En particular:

Conjugado de un número complejo

Definición. Sea un número complejo de forma algebraica Se llama conjugado de y se

nota el número complejo

Así:

EJEMPLOS

1.

2.

3.

La noción de conjugado permite caracterizar los números reales y los números imaginarios puros entre los números complejos.

1 2 5 3 2 7

5 3 2 7

5 2 7 3

7 4 .

z z i i

i i

i

i

1 2

2

5 3 2 7

10 35 6 21

10 29 21 1 10 29 21 31 29 .

z z i i

i i i

i i i

z x iy y x y

x iy ;z

x ;z Re( );x z

y ;z Im( );y z

0,y z x 0,x z iy i

' Re( ) Re( ') e ( ) Im( ').z z z z IM z z

0 Re( ) Im( ) 0.z z z

z .x iy z

z .z x iy

Re Re( ) e Im Im( ).z z z z

5 3 5 3 .i i

3 3

7 7 .i i

30

Propiedad. Sea un número complejo:

Demostración

Se nota la forma algebraica de

Propiedades

1. 2.

3.

Utilizar la forma algebraica.

1. Resolver en las ecuaciones de incógnita siguientes:

Solución

Es decir que el conjunto solución es

Si hacemos entonces

El conjunto solución es entonces

2. Se considera el número complejo con Determinar el valor de en los casos

siguientes:

z

y .z z z z i z z

x iy ;z

2 0 0 .z z x iy x iy iy y z x x

2 0 0 .z z x iy x iy x x z iy z i

.z z2 Re( ).z z z

2 Im( ).z z i z

z 2 1 5 3 ;z i i 2 5 .z i z i

2 1 5 3 2 5 3 1 2 6 4 3 2 .z i i z i i z i z i

3 2 .S i

z x iy

2

3 2 5 3 2 5

3 3 2 5

3 3 2 5

3 3 2 5

2 33 2

3 2 3 53 5

172 3

2 3 8 .116 8 5 11

88

z i z i x iy i x iy i

x iy ix i y i

x iy ix y i

x y i y x i

y xx y

x xx y

y x yy x

x xx

11 17.

8 8S i

2 ,z a i .a a

2 ;z i .z a z

31

Solución

Si entonces Por otra parte

Como queremos que su parte

imaginaria debe ser igual a cero; es decir, de donde


1. Determinar la parte real, la parte imaginaria y el conjugado de cada uno de los números

complejos siguientes:

2. Resolver en las ecuaciones siguientes:

3. Escribir en forma algebraica los números complejos siguientes

a.

b.

c.

d.

e.

f.

4. Sea . Calcule y escriba bajo la forma algébrica los números complejos:

a. ,

b. , c. ,

d.

5. Si y calcule:

a) e) i)

b) f) j)

c) g) k)

d) h) l)

6. Exprese en la forma cada uno de las números complejos siguientes:

a) b) c)

2 ,z a i 22 2 22 4 4.z a i z a ai 2 2 4 0 2 o 2.z i a a a

22 2 2 1 .z a z a i a a i a a a i ,z a z

2 1 0,a 1.a

2

1 2 3 43 2; 5 ; 1 2 ; 2 3 .z i z i z i i z i

3 1 2 ;z i i 3 2 2 ;iz i 3 1.z i z

1 2 3 5 ;z i i

2

3 12 2 ;

5 3z i i

3 2 3 3 ;z i i

3

4 1 3 ;z i

2

5 2 3 ;z i i 2 3

6 1 .z i i i

2 3 ;z i ' 5z i 'z z

2 3 'z z'z z

2.z

1 3 2z i 2 3 ,z i

1 2z z 1 22 3z z 1 2iz z

12z 1 2z z 1

2

z

z

2iz 21 ,z 2

2z

1

1

z

1 2z z 21 2z z 2

1

.z

iz

z a bi

1 3

i

i(3 )

2 3

i i

i

1 2

3 2i i

32

d) e)

f)

g) h)

7. Si con determine los valores de y .

Solución .

8. Encuentre los números reales e tales que:

a.

b. c. d. e. f.

9. Si donde Encuentre las condiciones bajo las cuales:

a. es real. b. es imaginario puro.

10. Coloque en el plano complejo, los puntos de afijos:

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

11. Calcule . Deduzca la forma algébrica de .

12. Determine la forma algebraica de los números complejos:

a. ; b. ; c. .

13. Calcule las partes reales e imaginarias de los números complejos siguientes:

a. b. c. d.

14. Sea y . Calcule ; ; ; ; ; ; 15. Escriba bajo forma algebraica los números complejos siguientes :

a. ; b. ; c. ; d. ; e. .

16. Determine los números complejos tales que es un número real.

17. Calcule el complejo conjugado de

18. Resuelva la ecuación , dar la solución bajo la forma algebraica.

19. ¿Es el número complejo solución de la ecuación ?

1 1 2i i 1 2

3 3i i

23 2i

21 i 3

1 .i

( )(2 )x iy i i , ,x y x y

1 2,

5 5 x y

x y

2 3 6ix y x i 2 4 3x xi i

( )(3 2 ) 8x iy i i (5 2 )( )i x iy i ( 2 )(1 ) 5x i i iy ( )(2 ) 2 ( 1) .x iy i x y i

1

1

zw

z

.z a bi

ww

1 2 3z i 2 3z i 3 1 2z i 4 2z i 9 1 22 3z z z

6z i 7 1z 8 3z i 5z i 10 3 4 2z z z z

3 2 3 2i i 1

3 2i

1

1 i1

3 i1

i

33 4 ;i 3

7 2 ;i3 4

;7 2

i

i

3 33 4 7 2 .i i

3 5z i ' 2 3z i z 'z 'z z 'z z 'z z ', z z 'z z '.z z

1

2 7i4

3 i

2

5 3

i

i

1 3

i

i2 i

i

z 2 z z i

2 3 5.

2 7

i i

i i

1 3 2i z i

2 i 1 1 3 0i z i

33

20. ¿Es el número complejo solución de la ecuación ?

21. Escriba de la forma más simple el número complejo

22. Calcule el módulo de los números complejos siguientes:

a. ; b. ; c.

23. Determine todos los puntos de afijo tales que .

CÁLCULOS CON EL CONJUGADO

Cálculo de un inverso. Cálculo de un cociente

Propiedad. Sea un número complejo de forma algebraica y su conjugado. Se tiene:

es entonces un real no negativo y es nulo si y solamente si

Demostración

Consecuencia: Todo número complejo no nulo de la forma algebraica tiene un inverso:

Conjugado y 0peraciones

Propiedades. Para todos los números complejos y si

además y si

Para todo número complejo y todo entero con si es negativo.

Ecuación de segundo grado a coeficientes reales

Teorema. Se considera la ecuación cuya incógnita es un número complejo y los

coeficientes son números reales, con Se nota el número real llamado el

discriminante.

1 3

5

i 25 2 2 0z z

7 5 2 7 2.

2 7 2 7 5

i i

i i

7 35 3 2i i 7 35

3 2

i

i

5 3 1.

4

i i

i

M z 4z z

z x iy z2 2.zz x y

zz 0.z

2 2 2 2 2 2 21 .zz x iy x iy x ixy ixy i y x y x y

z x iy

2 2

1.

z

z x y

1 2y ,z z 1 2 1 2 z z z z 1 2 1 2 ;z z z z

1 10,z

z z

1 12

2 2

0, .z z

zz z

z , ,n nn z z 0z n

2 0,ax bx c z

, ,a b c 0.a 2 4 ,b ac

34

Si entonces la ecuación admite dos soluciones reales:

Si entonces la ecuación admite una sola solución real:

Si entonces la ecuación admite dos soluciones complejas conjugadas:

Demostración

Cuando la resolución en fue tratada en primero de bachillerato y como las

soluciones son las mismas en

Si

En es el cuadrado de se puede entonces factorar:

De donde se obtiene las dos soluciones complejas conjugadas: y

Ejercicio resuelto. Resolver en las ecuaciones siguientes:

Solución

Luego el conjunto solución es

0, y .2 2

b b

a a

0, .2

b

a

0,

y .2 2

b i b i

a a

0 o 0, .

0, 2

22

0 0.2 4

bax bx c a z

a a

,24a

;

2

i

a

22 22

20 0 0

2 4 2 2

0.2 2 2 2

b b iax bx c a z a z

a a a a

b i b ia z z

a a a a

2

b i

a

.

2

b i

a

2 3 1 .i z i 2 16.z

2 1 0.z z 2

.1

zz

z

2

22

1 2 312 3 1

2 3 2 3 2 3

2 3 2 3 5 5 1.

13 13 132 3

i iii z i z z

i i i

i i i iz z z i

i

5 1.

13 13S i

35

Luego el conjunto solución es:

Esta ecuación de segundo grado es a coeficientes reales, ella tiene por discriminante:

ella tiene entonces dos soluciones en y El

conjunto solución es:


1. Escribir en forma algebraica los inversos de los números complejos no nulos siguientes:

2. Resolver en las ecuaciones siguientes, dando la solución en forma algebraica:

3. Sea un número complejo no nulo de forma algebraica Calcular las partes real e

imaginaria de los números complejos siguientes:

4. Se considera el punto de afijo . Determine el conjunto de los puntos de afijo

tales que

5. Sea . Calcule . Demuestre que . Deduzca que .(Se dice que

es una raíz cúbica de 1). 6. En el plano complejo, se considera los puntos y de afijos respectivos y

.Calcule las distancias , y Deduzca la naturaleza del triángulo 7. Dé la forma algebraica de los complejos

a.

b.

c.

d.

2 22 2 216 4 4 0

4 4 0 4 o 4 .

z z i z i

z i z i z i z i

4 ; 4 .S i i

221 4 1 1 3 3 , : 1 3

2

i 1 3.

2

i

1 3 1 3; .

2 2

i iS

1 ;z i

2 33 ; 2 1.z i z i

3 2;i z i

2 5 3 3 .i z i z i 2 9 0;z 4 81;z 2 7 0;z 2 2 1 0.z iz 2 5 6 0.z z 2 2 5 0.z z

z .x iy

1 ;z

zz

2 .i z

zz

.z i

z iz i

2.

2

z z

z z

A 2 3i M z

2 3 5.z i

1 3

2 2j i j 2j j 3 1j j

A B 2 3a i 5b i OA OB .AB .OAB

1 2. y z z

1 2(1 )(1 2 ); (2 3 )(3 ) z i i z i i 2 3

1 2(3 )(2 1) ; (3 ) z i i z i 2

1 (2 1)(1 ) (3 4);z i i i 2 (5 4 )(3 7 )(2 3 ).z i i i

32 2

1 2(1 ) (1 ) ; 1 3 z i i z i

36

e.

f. .

8. Sean y ¿Por qué se puede afirmar sin realizar cálculos que es

un número real y que es un imaginario puro?

9. Sea un número complejo no nulo. Simplifique la expresión:

10. Encuentre el conjugado de puntos del plano cuyo afijo verifica la condición dada:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)

11. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por los cuatro puntos de afijos: a.

b.

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

El plano cartesiano, es llamado plano complejo, pues se asocia un único punto del plano a cada número complejo y recíprocamente. Así:

Al complejo con reales, se asocia el punto de coordenadas se

dice que es la imagen de y se nota

Al punto se asocia el número complejo se dice que es el afijo de

El vector que tiene las mismas coordenadas que el punto se dice también que

es el afijo del vector

El eje de las abscisas es llamado eje real y el de las ordenadas, eje imaginario.

EJEMPLO

tienen por afijos respectivos 0,1 e tiene por coordenadas por tanto el vector

tiene por afijo el complejo

1 2

12(2 3 )(2 ) 1;

23 4 41

ii i iz z

ii

3

1 2

(8 3 )( 4); 2 3

(2 5)(3 7 )

i iz z i

i i

1

5 2

7

iz

i

2

5 2.

7

iz

i

1 2z z

1 2z z

z 11

.z

zz z

M z

4 2z z i 1 3z i z 5 3 3z i

5 4z i z i 4 2iz z 4 1z i iz i

5 5iz i 4z i z i 2z i z i

1z i z i 1 1 5z z 1 1 2z z

1 1 1z z 2z z z z z

1 2 3 45 3 ; 2 2 ; 2 4 ; 6 4 z i z i z i z i

1 2 3 43; 1 3 ; 1 3 1 ; 3. z z i z i z i

z x iy y x y M ; ;x y

M z ( );M z

;M x y ;Mz x iy Mz

.M OM

,M

x iy .OM

, ,O I J .i IJ

1;1 ,

IJ

1 .z i

37

Observaciones

Los puntos de afijos son simétricos con respecto al eje real.

Los puntos de afijos son simétricos con respecto al origen.

Propiedad. Cualesquiera que sean los puntos del plano complejo:

i) El afijo del vector es el complejo

ii) El punto medio del segmento tiene por afijo

Módulo y argumento de un número complejo

Definición. Sea un número complejo y su imagen en el plano complejo. El módulo de

notado es la distancia es decir que

Si es no nulo, se llama argumento de notado toda medida en radianes del ángulo

es decir,

EJEMPLOS

Observaciones

y z z

y z z

y A B

AB

;B AABz z z

I AB .2

A BI

z zz

z M ,z

,z ;OM .z OM

z ,z arg( ),z

; ;u OM arg( ) ; mod(2 ).z u OM

1; arg( ) ;2

i i

3 3; arg( 3) mod(2 ).

38

Si con reales, entonces

Para todo número complejo

Para todo número complejo no nulo

es un número real si y solo si

es un imaginario puro si y solo si


1. En el plano complejo, colocar los puntos respectivamente asociados a los números

complejos siguientes:

a. b. c. d.

2. Se considera los puntos de afijos respectivos Determinar el

afijo del punto tal que sea un paralelogramo: a. utilizando los afijos de vectores; b. utilizando el afijo de un punto medio.

3. En cada uno de los casos siguientes, colocar el punto de afijo luego dar el módulo y un

argumento de

a. b. c. d.

Forma trigonométrica, notación exponencial

Forma trigonométrica

Propiedad - Definición. Sea un número complejo no nulo; se pone:

Se tiene entonces: Se obtiene así la

escritura que es llamada forma trigonométrica del número complejo

z x iy y x y 2 2 .z x y

, .z z z z

:z

arg( ) arg( ) mod(2 ); arg arg( ) mod(2 );z z z z

z arg( ) 0 mod( );z

z

arg( ) mod( ).2

z

, , y A B C D

5 ;Az i 3;Bz 2 3 ;Cz i 4 3.Dz i

y A B 1 2 y 2 .A Bz i z i

C OABC

M ,z

:z

6;z 2;z 3 ;z i3

.2

z i

z Re( ),x z Im( ),y z

,r z arg( ) mod(2 ).z cos y .x r y r sen

cos ,z r i sen .z

39

Paso de una forma a la otra

Si el número complejo no nulo se escribe bajo forma algebraica y bajo

forma trigonométrica, entonces:

Si , , el argumento es tal que y por tanto , si

.

Si , entonces y si , .

El número de no es más que el módulo de .

EJEMPLOS

1. 2.

3.

4. Si , entonces y . Luego

.

5. Si , con , entonces y si ; si .

o .

6. Si , , y .

7. Sea , entonces está entre y y por tanto

.

Luego:

z x iy cos ,r i sen

cos y ;x r y r sen

2 2

2 2 2 2; cos ; .

x yr x y sen

x y x y

=z x iy 0x tan =x

y = arctan

y

x < <

2 2

3< <

2 2

= arctany

x 3

< < 22

= arctan 2y

x

r = cos senz r i z

= .r z

(1) 0 (0 2 4 ) o o Arg ( 1) (0 o )Arg

3( ) 0 3 ( ) 0

2 2 2 2 o y oArg i Arg i

= 1z i = = 2r z arg = arctan1 =4

z

= 2 cos sen4 4

z i

=z a a =r a arg = 0z > 0a arg =z < 0a

= cos senz a i = cos senz a i

=z i = 1z3

arg =2

z 3 3

= cos sen2 2

z i

= 1 3z i arg z3

2

2

5arg = arctan 3 2 = 2 =

3 3z

5 5= 2 cos sen

3 3z i

40

8. Exprese en la forma , donde .

Solución: En un diagrama de Argand, mostremos la posición del número .

Aquí, está en el segundo cuadrante por lo que el argumento requerido es .

Encontremos ahora :

;

Por lo tanto,

9. Exprese en la forma , donde .

Aquí, está en el tercer cuadrante por lo que el argumento requerido es . Encontremos ahora y :

;

Por lo tanto,

10. Si se verifica que Una forma trigonométrica de es entonces

y Así, un argumento de es De donde

Note que otra forma trigonométrica de es por ejemplo

o o ...

3z i cos senz r i

3z i

z

y r

223 1 4 2r 1 1 5

arg( ) tan .6 63

z

5 52 cos sen .

6 6z i

1z i cos senz r i

z r

2 21 1 2r 1 1 3

arg( ) tan .1 4 4

z

3 3

2 cos sen .4 4

z i

2 2

2 2z i 1.z z

2cos

2

2.

2sen z .

4

cos sen .4 4

z i

z

9 9cos sen

4 4z i

7 7cos sen

4 4z i

41

11. Si una forma trigonométrica de es entonces con

de donde y

Observaciones.

1 no tiene argumento. 2 Todo complejo es el producto de un real (su módulo) por un complejo de módulo 1 (a saber

siempre que 3 Paso de una forma trigonométrica a la forma algebraica

Desarrollando una forma trigonométrica se obtiene

que es la forma algebraica de

4 con Es decir que el producto tiene un

argumento que es la suma de un argumento de y de un argumento de

Interpretación geométrica de

Propiedad. Sean y tres puntos distintos de afijos respectivos y , ,

es una medida del ángulo .

Observación. Los tres puntos y de afijos respectivos y , con y distintos,

están alineados si y solo si

Los vectores no nulos y son ortogonales si y solo si es un número imaginario

puro.


1. Calcule el módulo de cada uno de los números complejos: ; ; ;

; ; ; ; .

2. Halle las formas trigonométricas de : ; ; ; .

3. En cada uno de los siguientes casos, dé una forma trigonométrica de

a) b) c)

d) e) f)

g)

h) i)

1 3, 2; z i z z 2(cos sen )z i

1 3cos , sen ,

2 2 ,

3

2 cos sen .3 3

z i

0z

cos sen , i 0.z

(cos sen )z z i

cos senz z i z .z

arg( ') arg( ) arg( ') 2 ,zz z z h .k 'zz

z '.z

arg C A

B A

z z

z z

,A B C ,A Bz z Cz arg C A

B A

z z

z z

,AB AC

,A B C ,A Bz z Cz A B

.C A

B A

z z

z z

AB

AC

,C A

B A

z z

z z

1 3 4z i 2 1z i 3 52

iz

4 3z 5 4z i 6z i 7 5z 8

2 2

2 2z i

1 1z i 2 3z i 3 1 3z i 4z i

.z

1 3z i 2z 3 3z i

2

1z

i

4

1 3z

i

33 4(1 )

iz i e

62(1 )z i 31

1

iz

i

9

12

3

(1 )

iz

i

42

j) k) l)

4. Sean y . Escriba bajo la forma trigonométrica. Deduzca

además las formas trigonométricas de ; ; ; ; ; .

Las operaciones producto, cociente y potenciación entre números complejos se simplifican usando la forma polar. Estos resultados se establecen en el siguiente teorema.

Probaremos antes un lema previo.

Lema. Para todo par de números reales y

.

Demostración

Teorema. Sean y , números complejos

cualesquiera. Entonces:

1.

2. si .

3. para todo entero .

Demostración.

1. Es consecuencia inmediata del lema.

2.

3. Probaremos por inducción para .

12

1 3z i

1 2 2z i 2 1 3z i 1 2y z z

1 2z z 1

2

z

z 3

1z 1z 2z 2

1

2

z

z

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2cos sen cos sen = cos seni i i

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

cos sen cos sen cos cos sen sen cos sen sen cos

cos sen .

i i i

i

1 1 1 1= (cos sen )z r i 2 2 2 2= (cos sen )z r i

1 2 1 2 1 2 1 2= cos senz z r r i

1 11 2 1 2

2 2

= cos senz r

iz r

2 0z

1 1 1 1= cos( ) sen( )n nz r n i n n

1 1 21 1 1 2 2 22 2

2 22

11 1 2 2

2

11 2 1 2

2

1cos sen cos sen

cos sen cos sen

cos sen .

z z zr i r i

z rz

ri i

r

ri

r

0n

43

Para es claro que se cumple el resultado.

Supuesto que para , , se tiene que

donde la última igualdad es consecuencia de la parte (a).

Ahora, si .

Esto muestra que el resultado también es válido para exponentes enteros negativos. Este último resultado se conoce como el Teorema de Moivre.

EJEMPLOS

1. Usaremos el Teorema de Moivre para calcular senos y cosenos de ángulos múltiples. Por el Teorema de Moivre:

Por otra parte:

Es decir que:

2. Igualando las partes reales y las imaginarias se obtiene:

3. Sea 1 3 .z i Expresado z en la forma polar se tiene . Entonces:

= 0n

n 1 1 1 1= cos senn nz r n i n

11 1 1 1 1 1 1 1 1

11 1 1

cos sen cos sen

cos 1 sen 1 ,

n n n

n

z z z r n i n r i

r n i n

1 0z

11 1 1 1

1 11

1 1 1

1 1 1

1 cos 0 sen 0= =

cos sen

1= cos 0 sen 0

= cos sen

= cos sen

nn n

n

n

n

iz

z r n i n

n i nr

r n i n

r n i n

3cos sen cos 3 sen 3i i

3 3 2 2 3cos sen cos sen cos sen cos sen .i i

3 2 2 3cos3 sen 3 cos sen cos sen cos sen .i i

3 2cos3 cos sen cos 2 3sen3 sen cos sen .

5 5= 2 cos sen

6 6z i

44

y


1. Exprese los siguientes números complejos en la forma , donde

.

a) 7 b) c) d) e)

f) g) h) i) j) 1 .i

2. Exprese los siguientes números complejos en la forma , donde .

a) b)

c) d)

e) f)

Notación exponencial

Sea la función que, a todo real asocia el número complejo Se tiene:

5 5 25 252 cos sen = 32 cos sen

6 6 6 6

3 132 = 16 3 16 .

2 2

z i i

i i

6 62 cos 25 sen 25

1cos sen

641

.64

z i

i

cosz r i sen

5i 3 i 2 2i 1 i

8 3 4i 8 6i 2 3 .i

x iy y x y

5 cos2 2

z i sen

1

cos2 6 6

z i sen

5 56 cos

6 6z i sen

2 23 cos

3 3z i sen

2 2 cos4 4

z i sen

7 74 cos

6 6z i sen

f , cos .i sen

45

y

Así, para todos los reales se tiene

Se reencuentra la misma propiedad algebraica que para la función exponencial:

por esta razón, se adopta la notación

Así, designa el número complejo de módulo 1 y de argumento

La forma trigonométrica se escribe entonces también como que es

llamada la forma exponencial de

Nota. Todo número complejo de la forma es representado por un punto del círculo trigonométrico y recíprocamente.

Observación. La forma exponencial permite escribir de manera “natural” las igualdades:

y desarrollándolas, se reencuentra las fórmulas de duplicación:

Así como las fórmulas de adición: y

' cos ' '

cos cos ' ' cos ' 'cos

f i sen

sen sen i sen sen

' cos cos ' '

cos cos ' ' cos ' 'cos

f f i sen i sen

sen sen i sen sen

y ' ' ' .f f f

exp exp( ) exp( ).a b a b cos .ie i sen

ie .

cosz r i sen ;iz re

.z

ie

22 y ;i a bi i i a i be e e e e

2 22 2 cos cos 2 cos ,sen a sen a a a a sen a

cos cos cosa b a b sen a senb

cos cos .sen a b sen a b senb a

46

EJEMPLO

Determinar el módulo y los argumentos de con: y

Solución

Se escribe y se obtiene de donde

y


1 2z z 1 2 cos4 4

z i sen

2 cos .3 3

z i sen

341 22 y ,

iiz e z e

7

4 3 121 2 2 2 ;

i iz z e e

1 2 2z z 1 2

7arg( ) mod(2 ).

12z z

47

1. Exprese los siguientes números complejos en la forma ir e donde . Dar el valor exacto de r y cuando sea posible, o valores con dos decimales.

a) b)

c)

d) e)

f)

g) h) i)

2. Exprese los siguientes números complejos en la forma donde .

a) b)

c)

d) e) f)

g) h) i)

3. Exprese los siguientes números complejos en la forma, donde

.

a. b. c.

4. Use para mostrar que .


a.

b.

3 6i8 cos

4 4z i sen

2 3 2i 8 i 8 cos

6 6z i sen

2 5i 2 3 2 3 i 2 cos5 5

z i sen

,x iy y x y

3i

e 4 ie

43 2i

e

68i

e

33i

e

5

6i

e

ie 3

43 2 ie

4

38i

e

cosz r i sen

16

13i

e 17

54i

e 9

85i

e

cosie i sen 1

2i isen e e

i

,x iy y x y

cos 2 2 cos3 3i sen i sen

3 3 8 8cos cos

11 11 11 11i sen i sen

48

c.

d.

e.

f.

g.

h.


a. b.

c. d.

7. y son dos números complejos tales que y . Exprese

los siguientes números complejos en la forma , donde .

a. b. c. d.

8. Simplifique

3 cos 2 cos4 4 12 12

i sen i sen

6 cos 3 cos12 12 3 3

i sen i sen

5 5 1 5 54 cos cos

9 9 2 18 18i sen i sen

1 2 26 cos 5 cos cos

10 10 3 3 3 5 5i sen i sen i sen

cos 4 4 cosi sen i sen

3 cos 2 cos12 12 3 3

i sen i sen

,x iy y x y

cos5 5

cos 2 2

i sen

i sen

2 cos2 2

1cos

2 4 4

i sen

i sen

3 cos3 3

5 54 cos

6 6

i sen

i sen

cos 2 2

cos3 3

i sen

i sen

z 9 3 3 , 3,z i 7

arg( )12

cosr i sen

z z .z

5

3

9 9cos

17 17

2 2cos

17 17

i sen

i sen

49

Solución:

En consecuencia:

9. Exprese en la forma donde .

Solución: Se necesita encontrar primero el módulo y el argumento del complejo

;

Realizando un diagrama de Argand se tiene:

5 5

3 3

9 9 9 9cos cos

17 17 17 17

2 2 2 2cos cos17 17 17 17

45 45cos

17 176 6

cos17 17

i sen i sen

i sen i sen

i sen

i sen

45 6 45 6cos

17 17 17 17

51 51cos cos3 3

17 17

cos 1.

i sen

i sen i sen

i sen

5

3

9 9cos

17 171.

2 2cos

17 17

i sen

i sen

7

1 3 i ,x iy y x y

7

1 3 .i

221 3 4 2r 1 3

arg( ) tan .1 3

z

50

Aplicando se sigue: , luego

Por lo tanto

10. Use el teorema de Moivre para simplificar cada uno de los siguientes números complejos:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

cosz r i sen 1 3 2 cos3 3

i i sen

7

7

7

1 3 2 cos3 3

7 72 cos

3 3

1 3512 .

2 2

i i sen

i sen

i

7

1 3 256 256 3 .i i

6cos i sen 4

cos3 3i sen 5

cos6 6

i sen

8

cos3 3

i sen

52 2

cos5 5

i sen

15

cos10 10

i sen

cos5 5

cos 2 2

i sen

i sen

7

3

cos 2 2

cos 4 4

i sen

i sen

3

1

cos 2 2i sen

4

3

cos 2 2

cos3 3

i sen

i sen

cos5 5

cos3 3

i sen

i sen

cos

cos 2 2

i sen

i sen

51

11. Evalúe


a) b) c)

d) e)

f)

13. Exprese en la forma donde y son enteros.

14. Exprese en términos de .

Solución:

Aplicando el teorema de Moivre, se tiene: .

Desarrollando el primer miembro de esta igualdad se tiene:

Es decir que

Igualando las partes reales y las partes imaginarias se tiene:

, .

De donde

4

6

7 7cos

13 13.

4 4cos

13 13

i sen

i sen

,x iy y x y

51 i 8

2 2i 61 i

6

1 3 i9

3 13

2 2i

5

2 3 2 i

5

3 3 i 3a b i a b

cos 3 cos

3cos cos 3 3i sen i sen

3 3 2 2 2 3 3

3 2 2 3

cos cos 3 cos 3 cos

cos 3 cos 3cos

i sen i sen i sen i sen

i sen sen i sen

3 2 2 3cos 3 cos 3cos cos 3 3i sen sen i sen i sen

3 2cos 3 cos 3cos sen 2 33 3cossen sen sen

52

Finalmente

Se deduce además que: y de

,

se sigue que .

15. Expresar:

a. en términos de potencias de .

b. , con , en términos de potencias de .

Solución:

a. . Desarrollando el primer miembro se sigue :

Es decir que:

Igualando las partes reales se sigue:

3 2

3 2

3 3

3

cos 3 cos 3cos

cos 3cos 1 cos

cos 3cos 3cos

4cos 3cos .

sen

3cos 3 4cos 3cos .

3 cos 3 3coscos

4

2 3 33 3 1 3 4sen sen sen sen sen sen

3 3 3

4

sen sensen

cos6 cos

6sen

sen

,n n cos

6cos cos 6 6i sen i sen

6 6 5 2 4 2 3 3 3

4 2 4 5 5 6 6

cos cos 6 cos 15 cos 20 cos

15 cos 6 cos .

i sen i sen i sen i sen

i sen i sen i sen

6 6 5 4 2 3 3

2 4 5 6

cos cos 6 cos 15cos 20 cos

15cos 6 cos .

i sen i sen sen i sen

sen i sen sen

6 5 4 2 3 3

2 4 5 6

cos6 6 cos 6 cos 15cos 20 cos

15cos 6 cos .


sen i sen sen

53

O lo que es lo mismo

O también,

b. Igualando las partes imaginarias de

Se sigue que

Luego

Por lo tanto

16. Probar que :

6 4 2 2 4 6cos 6 cos 15cos 15cos .sen sen sen

6 4 2 2 4 6

2 36 4 2 2 2 2

6 4 2 2 2 4

2 4 6

cos 6 cos 15cos 15cos

cos 15cos 1 cos 15cos 1 cos 1 cos

cos 15cos 1 cos 15cos 1 2cos cos

1 3cos 3cos cos .

sen sen sen

6 4 6 2 4 6

2 4 6

6 4 2

cos 6 cos 15cos 15cos 15cos 30cos 15cos 1

3cos 3cos cos

32cos 48cos 18cos 1

6 5 4 2 3 3

2 4 5 6

cos6 6 cos 6 cos 15cos 20 cos

15cos 6 cos .


sen i sen sen

5 3 3 56 6cos 20cos 6cos .sen sen sen sen

5 3 3 5

5 3 2 4

25 3 2 2

5 3 2 2 4

5 3 5 3 5

6 6cos 20cos 6cos

6cos 20cos 6cos

6cos 20cos 1 cos 6cos 1 cos

6cos 20cos 1 cos 6cos 1 2cos cos

6cos 20cos 20cos 6cos 12cos 6cos

sen sen sen sen

sen sen

sen sen

5 332cos 32cos 6cos .

5 3632cos 32cos 6cos .

sen

sen

54

Solución: Si entonces

Se sigue entonces:

Se tiene también,

De donde

.

17. Exprese en la forma donde son constantes.

Solución:

Por otra parte,

1 12cos ; 2cosn

nz z n

z z

1 12 ; 2n

nz i sen z i sen n

z z

cosz i sen

111cos cos cos .z i sen i sen i sen

z

1cos cos 2cos

1cos cos 2 .

z i sen i senz

z i sen i sen i senz

cos cos

1cos cos cos .

nn

nnn

z i sen n i sen n

z i sen n i sen n n i sen nz

1cos cos 2cos

1cos cos 2 .

nn

nn

z n i sen n n i sen n nz

z n i sen n n i sen n i sen nz

5cos cos5 3 cos ,A B sen C , y A B C

5

5 512cos 32cos .z

z

55

Es decir que y en consecuencia

Es decir que .

Raíces enésimas

Dado un número complejo y un entero positivo , se trata de encontrar los números

complejos tales que . Estos números se conocen como las raíces -ésimas de y se los

nota por o .

Notemos en primer lugar que si y solo si existe un entero tal que . En

efecto es equivalente a:

o también:

55 3

3 5

5 35 3

1 10 5 15 10

1 1 15 10

2cos5 5 2cos3 10 2cos .

z z z zz z z z

z z zz z z

532cos 2cos5 5 2cos3 10 2cos

5 1 5 5cos cos5 cos3 cos .

16 16 8

1 5 5, y .

16 16 8A B C

0z n

=n z n zn z 1/nz

1 2=i i

e e k

1 2= 2k

1 2= ,i i

e e

1 2cos = cos

1 2=sen sen

1 2 1 21 2cos cos = 2 = 0

2 2sen sen

1 2 1 21 2 = 2 cos = 0

2 2sen sen sen

56

De estas igualdades se sigue que la condición es equivalente a: pues si

debería tenerse:

lo cual no es posible. Finalmente, significa que existe un entero tal que

, o lo que es lo mismo

Ahora, sea con y sea tal que . Entonces:

o también: y

De aquí se sigue que y existe un entero tal que , es decir

Hemos demostrado que todo número complejo que satisface es de la forma:

para algún entero . Por otra parte, del teorema de Moivre se sigue inmediatamente que cualquier número de esta forma elevado a la es igual a

Finalmente, probaremos que las únicas raíces distintas de son los números complejos.

Si y son enteros distintos en , entonces:

pues:

1 2 = 02

sen

1 2 02

sen

1 2 1 2= cos = 0,2 2

sen

1 2 = 02

sen

k

1 2 =2

k

1 2= 2 , .k k

= iz re 0r = ie =n z

=n in ie re

=n r = .in ie e

= n r k = 2n k 2

= .k

n

=n z

2

=k

in nre

kn :z

2

2= =

nki i k in nre re re

z

2

para = 0,1, 2, , 1.k

in nre k n

1k 2k 0,1,2, , 1n

2 21 2k ki i

n ne e

57

no es múltiplo entero de ya que .

Veamos ahora que cualquier raíz -ésima de es uno de los números para

. Sea , donde es un entero cualquiera. De la división de

por se sigue que existen enteros y , con tales que . Luego:

lo que demuestra la afirmación pues es uno de los enteros .

EJEMPLOS

1. Sea . En su forma polar . Las raíces cuartas de son: ,

con Para estos valores de se obtiene: ; ;

;

2. Puesto que , las raíces n-ésimas de la unidad son:

Si notamos , las raíces -ésimas de son

Puesto que los argumentos de estas raíces son ; ellas constituyen los

vértices de un polígono regular de lados con centro en el círculo de radio 1.

1 21 222 2

=k kk k

n n n

2 1 20 < <k k n

n z2k

in nre

= 0,1, 2, , 1k n ( 2 )/= i m nn re m m

n q r 0 1r n =m qn r

222

( 2 )/= = = ,rqn r

i qi i r nn n n nnre re re

r 0,1, 2, , 1n

=1z i 7 /4= 2 iz e z (7 /4 2 )/48= 2k i kz e

= 0,1, 2,3.k k 7 /1680 = 2 iz e 15 /168

1 = 2 iz e

23 /1682 = 2 iz e 31 /168

3 = 2 .iz e

01 = ie

2

, 0,1,2, , 1. k

ine k n

2

=i

nw e

n 1 2 11, , , , .nw w w 2 12 4

0, , , ,n

n n n

n

58

3. Resuelva la ecuación: 3 1z y represente dichas soluciones en un diagrama de Argand.

Solución:

Necesitamos primero encontrar el módulo y el argumento de 1.

Es obvio que y . Aplicando se sigue:

Por lo tanto, de donde

Para los diferentes valores de se tiene:

Dibujando , y en un diagrama de Argand se tiene:

1r arg( ) 0z cosr i sen

3 1 cos0 0

cos 0 2 0 2 .

z i sen

k i sen k

1/3cos 0 2 0 2 ,z k i sen k

2 2cos .

3 3

k kz i sen

k

1

2

3

0, cos 0 0 1.

2 2 1 31, cos .

3 3 2 2

4 4 2 2 1 32, cos cos .

3 3 3 3 2 2

k z i sen

k z i sen i

k z i sen i sen i

1 1z 2

1 3

2 2z i 3

1 3

2 2z i

59

También podemos escribir las tres raíces cúbicas de 1 como , donde ,

Note también que

Resolución de ecuaciones

Resuelva la ecuación .

Solución:

Necesitamos primero determinar el módulo y el argumento de . Encontremos .

.

21, , 1 3

2 2i

2 1 3 1 3

2 2 2 2

1 3 3 3 1 3.

4 4 4 4 2 2

i i

i i i

2 1 3 1 31 1 0.

2 2 2 2i i

4 2 2 3z i

2 2 3 i y r

22 1 2 32 2 3 4 12 4; arg( ) tan

2 3r z

60

Aplicando se sigue:

Por lo tanto

Es decir que: .

Necesitamos ahora encontrar los valores de las cuatro raíces. Dando valores a se tiene:

Hemos cambiado el valor de para encontrar las cuatro raíces con el argumento en el intervalo .

cosr i sen

4 4 cos 4 cos 2 23 3 3 3

z i sen k i sen k

1/4

1/4

4 cos 2 23 3

2 23 34 cos

4 4

2 22 cos

12 4 12 4

z k i sen k

k ki sen

k ki sen

2 cos12 2 12 2

k kz i sen

k

0

1

2

3

0, 2 cos12 12

7 71, 2 cos 2 cos

12 2 12 2 12 12

5 51, 2 cos

12 12

11 112, 2 cos

12 12

k z i sen

k z i sen i sen

k z i sen

k z i sen

k

61

Es decir que las soluciones, en la forma son:

Y en la forma se escriben: .

2. Resolver la ecuación. .

Solución:

Despejando se tiene:

Necesitamos primero determinar el módulo y el argumento de . Encontremos .

.

Aplicando se sigue entonces que

En consecuencia

cosr i sen

7 7 5 52 cos ; 2 cos ; 2 cos ;

12 12 12 12 12 12

11 11y 2 cos

12 12

i sen i sen i sen

i sen

ire /12 7 /12 5 /12 11 /122 , 2 , 2 y 2i i i ie e e e

3 4 2 4 2 0z i

3z 3 4 2 4 2z i

4 2 4 2i y r

2 21 4 2 3

4 2 4 2 32 32 8; arg( ) tan4 44 2

r z

cosr i sen

3 3 34 2 4 2 8 cos

4 4

3 38 cos 2 2

4 4

z i i sen

k i sen k

62

.

Es decir que . Dando valores a se encuentran

las tres raíces. Así:

Para la última raíz hemos cambiado el valor de para encontrar las tres raíces con el argumento en el intervalo .

Es decir que las soluciones, en la forma son:

Y en la forma se escriben: .

3. Considere el complejo

a. Encontrar el módulo y el argumento de

b. Encontrar todas las soluciones de la ecuación Dar la respuesta en la

forma donde y .

4. Resolver las siguientes ecuaciones, expresando la respuesta para en la forma donde .

1/3

1/3

3 38 cos 2 2

4 4

3 32 2

4 48 cos3 3

2 22cos

4 3 4 3

z k i sen k

k ki sen

k ki sen

2 22cos

4 3 4 3

k kz i sen

k

0

1

2

0, 2cos4 4

2 2 5 51, 2cos 2cos

4 3 4 3 12 12

11 111, 2cos

12 12

k z i sen

k z i sen i sen

k z i sen

k

cosr i sen

5 5 11 112cos ; 2cos y 2cos

4 4 12 12 12 12i sen i sen i sen

ire /4 5 /12 11 /122 , 2 y 2i i ie e e

6 2 .i

6 2 .i

5 6 2 0.z i ,ire 0r

z ,x iy y x y

63

a) b) c)

d) e) f)

5. Resolver las siguientes ecuaciones, expresando la respuesta para en la forma

, donde .

a) b) c)

d) e) f)

6. Resolver las siguientes ecuaciones, expresando la respuesta para en la forma donde

y .

a. b. c.

7. Se considera los números complejos: y

a. Dar la forma exponencial de

b. Dar las formas algebraicas de 1 2y .z z Deducir la forma algebraica de .z .

c. Deducir los valores exactos de y

8. Escribir bajo la forma exponencial o bajo la forma trigonométrica los números complejos:

a. b. c. d.

4 1 0z 3 0z i 3 27z

4 64 0z 4 4 0z 3 8 0z i

z

cosr i sen

7 1z 4 16 0z i 5 32 0z

3 2 2z i 4 2 3 2z i 3 16 3 16 0z i

z ,ire

0r

4 3 4z i 3 11 4z i 4 7 3z i

/31 ,iz e /4

1 ,iz e 1

2

.z

zz

.z

cos12

.

12sen

3 3 ;a i 2

;1

bi

5 11 3;

7 4 3

ic

i

2 cos .

6 6d isen

64

PRUEBA DE BASE ESTRUCTURADA

A) B) C)

1. Una solución de la ecuación es:

A) B) C)

2. Sea un número complejo, es igual a:

A) B) C)

3. Sea el número complejo de forma exponencial:

4. Un argumento de

módulo es:

A) B) C)

5. Sea un número natural. El

número es un real

positivo si y solo si:

A) B) C)

6. Sean los puntos de afijos

respectivos El conjunto de puntos de afijo verificando

es:

La recta

El círculo de

diámetro

La

mediatriz del

segmento

2 9z z i 3 3 i 3 i

zz i 1i z 1z 1z

z

, 0 y 0;2 .iz r e r

1 3i

z

2

3

2

3

2

3

n

1 3n

i 6 6 3,n k k 6 ,n k k

y A B1 e .i

M z1z z i AB AB

AB

65

A) B) C)

7. El conjunto de puntos de afijo con

números reales, verificando

tiene

por ecuación:

A) B) C)

8. Sea el punto de afijo El punto tal que el triángulo

es directo, rectángulo e isósceles en tiene por afijo:

A) B) C)

9. El conjunto de soluciones en de

la ecuación es:

M,z x iy

y x y

1 5 2z i i 1y x 2 2

1 1 5x y 1 3 , .iz i e

A 32 .i

e

BOBA

O

22i

e

5

62 .i

e

1 .i

8

3

zz

z

3 2i 2 2i 2 2 ,2 2 .i i

66

CAPÍTULO 4

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Contenido del capítulo:

Sucesiones convergentes. Sucesiones divergentes. Sucesiones aritméticas y geométricas. Convergencia y divergencia. Propiedades de los límites de sucesiones. Ejercicios de aplicación.


1. Calcula el límite de una sucesión. 2. Aplica la definición formal de límite de una sucesión. 3. Calcula límite de sucesiones usando las propiedades. 4. Calcula áreas y volúmenes usando sucesiones.

Aproximación de la noción de límite

¿Qué devienen los números nu cuando n toma valores más y más grandes, es decir cuando n

tiende hacia “más infinito”? Los siguientes ejemplos nos permiten conjeturar diversas situaciones.

Ejemplos de acumulación

1. Observemos los términos de la sucesión nu definida para todo entero natural ,n con

0,n por 1

:nun

8 20

1 1 1 1 1 1 11; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

2 3 10 100 1000 10 10

Los términos nu terminan por acumularse cerca de cero.

Los términos nu siendo todos estrictamente positivos, ubiquémonos por ejemplo, en el intervalo

30;10 .I

67

La sucesión nu es estrictamente decreciente. Resulta entonces que si uno de los términos de la

sucesión se encuentra en el intervalo ,I entonces todos aquellos que le “siguen”, es decir de índice

superior, pertenecen también al intervalo .I En nuestro ejemplo, 1

1000 no pertenece a ,I pero

1

1001 es elemento de I y entraña así para todos los términos siguientes …

Ese fenómeno se verifica cualquiera que sea la longitud del intervalo ,I por pequeña

que sea. Se dice entonces que la sucesión nu tiene por límite 0 cuando n tiende

hacia . Se nota lim 0.nn

u

2. Observemos los términos de la sucesión nv definida para todo entero natural n no nulo,

por 1

.n

nvn

6

1 1 1 1 1 1 11; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

2 3 4 5 100 225 10

Los términos terminan por acumularse cerca de cero.

Ubiquémonos por ejemplo, en el intervalo J de centro 0 y de radio 310 , es decir

3 310 ;10 .J Para todo entero ,n no nulo, si 1000,n entonces 1 1

01000n

y

1 10.

1000 n Los dos números

1

n y

1

n pertenecen al intervalo :J nv está en el

intervalo .J Se puede afirmar entonces que todos los términos de índice n superior a 1000 pertenecen al intervalo .J

68

Ese fenómeno se verifica cualquiera que sea el radio del intervalo ,J por más pequeño que

sea. Se dice entonces que la sucesión nv tiene por límite 0 cuando n tiende hacia .

Se nota lim 0.nn

v

3. Ejemplo de un límite “infinito”. Observemos los términos de la sucesión nu definida

para todo entero natural n por 3 1.nu n

1; 4; 7; 10; ; 3001; 1071844; ; 3000001;

Los términos devienen más y más grandes.

Consideremos, por ejemplo, el número 610 .N La sucesión ,nu aritmética y de razón 3,

es estrictamente creciente. Resulta entonces que si uno de los términos es superior a ,N

entonces todos aquellos que le siguen (de índice superior) serán también superiores a .N

Como, 63 1 10n equivale a 3 999999n y a 333333.n A partir de 333333,u todos los

términos de la sucesión, salvo un número finito (los 333333 primeros), están en el intervalo

; .N Y aquello es verdadero cualquiera que sea el número N escogido. Se dice que la

sucesión nu tiene por límite cuando n tiende hacia . Se nota lim .nn

u

4. Ejemplo de una dispersión. Observemos los términos de la sucesión nu definida por

1n

nu n y cuyos primeros términos son: 0; 1; 2; 3; 4; 5;

Dos términos consecutivos de la sucesión son de signos opuestos.

Los términos de rango par son cada vez más y más grandes y tienden hacia .

Los términos de rango impar son todos negativos y devienen cada vez más y más grandes en valor absoluto.

Se dice entonces que la sucesión no tiene límite cuando n tiende hacia .

5. Utilizar una representación gráfica. La sucesión nu está definida por 0

3

4u y, para

todo entero natural 21, .n nn u u

69

a. Representar en el intervalo 0;1I la función f tal que 1n nu f u y construir los

puntos 0 1 1 1 1 2 2 2; , ; , ; , ;A u u B u u C u u D u u y 2 3; .E u u

b. Realizar una conjetura acerca del sentido de variación de la sucesión.

c. Justificar que para todo número real x de ,I f x pertenece a ,I y luego pruebe su

conjetura. d. Realizar una conjetura acerca del comportamiento de la sucesión cuando n toma valores

cada vez más grandes. Solución

a. Como 1 0 ,u f u el punto 0 1; ,A u u pertenece al arco de parábola trazado. El punto

1 1;B u u pertenece a la recta de ecuación ,y x recta que permite ubicar el número 1u en

el eje de las abscisas, y de manera similar los números 2 3, ,u u etc.

b. Se lee en los ejes los primeros valores. 0 1 2 3u u u u Con ayuda del gráfico se puede

conjeturar que la sucesión es estrictamente decreciente.

c. Verificaremos que si nu pertenece al intervalo 1, nI u pertenece también al intervalo .I

Así, si 0 1,x entonces 20 1,x x por tanto, si ,x I entonces .f x I Se tiene

entonces que, para todo natural ,n 0 1nu implica que 20 1n nu u y en

consecuencia 1 .n nu u Se concluye entonces que la sucesión nu es estrictamente

decreciente. d. Gráficamente, se puede conjeturar que lim 0.n

nu

6. La sucesión nu está definida para todo entero natural no nulo por 1 3

.2 2nu

n

a. Demuestre que la sucesión nu es decreciente y que para todo entero n no nulo, 1

.2nu

b. Pruebe que a partir de un cierto entero ,m que usted precisará, todos los términos de índice

n con ,n m están en el intervalo 0,49;0,51 .I

70

Solución

a. Analicemos el signo de 1 :n nu u

1

1 3 1 3 3 3

2 2 1 2 2 2 1 2

13 30.

2 1 2 1

n nu un n n n

n n

n n n n

Como 1 0,n nu u la sucesión nu es decreciente.

Comparemos ahora nu y 1

2, estudiando para ello el signo de su diferencia. Se tiene, para

todo entero 1 3

, 0, 0;2 2nn n u

n es decir que

1.

2nu

b. Busquemos el más pequeño índice m tal que 0, 49 0,51.mu Se tiene que

1 30, 49 0,51

2 2m es equivalente a

1 3 1.

100 2 100m Como 0,m para que esas

condiciones sean verificadas, es suficiente que 3 1

,2 100m

es decir que 150.m Luego

151m es solución y todos los términos de índice ,n con 151n están en el intervalo .I

Resumen

Para estudiar el comportamiento de sucesiones al infinito:

En el caso de una acumulación en ,I se muestra que a partir de un cierto índice, todos los

términos de la sucesión pertenecen a un intervalo de centro ,I y de radio escogido tan

pequeño como se quiera.

En el caso de un límite infinito, se muestra que a partir de un cierto índice, todos los términos de la sucesión:

o Superan un número escogido tan grande como se quiera, cuando el límite es . o No superan un número escogido tan pequeño como se quiera cuando el límite es .

Definición formal de límite de una sucesión

Definición (de límite de una sucesión).

La sucesión , se dice que converge hacia un número real L (o que la sucesión , tiene por

límite el número real L cuando tiende a más infinito), si y solamente si para todo número real

estrictamente positivo, existe un entero 0n tal que, cualquiera que sea 0 ,n n .

Es decir que: converge a L si: .

nu nu

n

nu L

nu 0 00, , tal que: nn n n u L

71

Notación. Para indicar que la sucesión converge a ,L escribiremos o también

si .

EJEMPLOS

1. Sea la sucesión de término general , . Probaremos que .

Solución

En efecto, sea 0 un número arbitrario, queremos que 1 .nu

Pero

,

es decir que

.

Si tomamos , se sigue entonces que

.

Luego,

2. Sea la sucesión definida, para todo número natural por: . Mostremos

que

Solución.

Cualquiera que sea el real 0, queremos tener a partir de cierto a

determinarse.

Pero . Esta desigualdad se verifica para ; es decir, para

.

nu lim nn

u L

nu L n

nu u1n

nu

n

n lim 1n

nu

1 1 11 1

1 1 1 1n

nu

n n n n

1 11 1

1nu nn

0

11n

0 0 0

10, , con 1, tal que: 1nn n n n u

lim 1.nn

u

nu u 2n 2 5

1n

nu

n

lim 2.n

nu

2 52

1

n

n

0n

2 5 72

1 1

n

n n

71n

71n

72

Encontremos un valor de para cada uno de los siguientes valores particulares de .

Si , entonces ; es decir, . Verifiquemos a continuación que

, En efecto:

,

o lo que es lo mismo:

La definición de límite nos dice que todos los ,nu para están en el intervalo de

centro 2 y radio 8.

Si , entonces . Veamos a continuación que: tal que:

, se tiene que . En efecto: donde se

sigue que ; con lo cual , o también: . Pero como

se sigue finalmente que: o lo que es lo mismo:

,

Si , entonces . Verifiquemos también que: se

tiene que

. Así: ,

lo cual nos dice que:

0n

8 0

71

8n 0 2n

0n n 2 8.nu

n 0

1 72 1 1 1 7 8

1 1n n n n

n n

2 5 7 72 8.

1 1 1

n

n n n

2n

1 0

71 8

1n ,n

0 8n n 2 1nu ,n 0 8 8,n n n

1 7n 1 1

1 7n

7

11n

2 5 7

21 1

n

n n

2 5

2 11

n

n

8n 2 1.nu

1

10 0

71 71

110

n ,n 71n

12

10nu 1 1 7 1

71 1 701 70 1 10

n nn n

73

, .

3. Sea la sucesión definida por , Se tiene que: o lo que es lo

mismo: cuando .

Solución

En efecto, sea y supongamos que , entonces , de donde .

Tomemos , entonces se tiene que: Es decir

que: , tal que: , .

4. Se considera la sucesión definida por sus dos primeros términos: , y por la relación

, Sea v la sucesión real definida en por .

a. Probar que la sucesión es una sucesión geométrica. Expresar el término general en

función de .n

b. Deducir el término general en función de .n ¿Cuál es el límite de la sucesiónu cuando

n tiende al infinito?

c. Determinar el más pequeño entero tal que para todo entero n superior o igual a se

tenga .

Solución

a. ,

La sucesión es entonces geométrica de razón y de primer término

.

n 2 5 171 2 2

1 10n

nn u

n

nx2

1nx

n *.n

2

1lim 0

n n

2

10

n n

0 2

1

n 21

n 1

n

0

1n

0 2

1 1 1.n n n

n n

0 0n *n 0 2

10n n

n

u0 1u 1 2u

2 1

3 1

2 2n n nu u u .n 1n n nv u u

vnv

nu

0n 0n53 10nu

*n

1 1

1 1

3 1

2 21 1

2 2

n n n n n n

n n n

v u u u u u

u u v

1

2q

0 1 0 2 1 1v u u

74

De donde:

b. Cálculo de :

Sumando miembro a miembro, todas las igualdades, se obtiene

Luego .

c. Cuando ,n 1

10

2n y, por tanto,

, luego .

Se debe tener es decir y como la función logaritmo es estrictamente

creciente, se sigue que y finalmente que , es decir

.Se tomará entonces .

Observación. Decir que tiende al real cuando tiende a , es afirmar que por muy

pequeño que sea el intervalo que contiene , pertenece a dicho intervalo para

bastante grande o en otras palabras, que cualquiera que sea la banda limitada por dos paralelas al eje

, de ecuaciones , para n bastante grande la gráfica de la sucesiónu se

encuentra en esa banda.

1 11 .

2 2

n n

nv

nu

1 1

2 1 2

3 2 3

0 1 0

n n n

n n n

n n n

v u u

v u u

v u u

v u u

1

00

1

11

21

11

2

1 12 1 2 ,

2 2

n

k n

k nk

n

n

v u u

1

13

2n nu

3.nu

1

13

2n nu

1

13

2n nu

51

110

2n

1 52 10n

101 log 2 5n 10

51

log 2n

17,60n 0 18n

nu n

; nu n

OX y y y

75

EJEMPLOS

Las sucesiones definidas por 2

1nu

n y

1nv

n , con n entero y 1,n tienen por límite 0

cuando n tiende hacia .

La sucesión definida por 1

3 ,nt n con n entero y 1,n tiene por límite 3 cuando n

tiende hacia .

SUCESIONES DIVERGENTES

Sean las sucesiones , y u w t definidas en por:

La representación gráfica de las sucesiones , y u w t son respectivamente:

2;nu n 22 2;nw n cos 1.nt n

76

Se conjetura que:

se puede hacer tan grande como se quiera si n es escogido suficientemente grande. Así por

ejemplo, para todo entero se tiene para todo se tiene

De manera más general, para todo real desde que se tiene

Notación. Se dice que la sucesión diverge hacia o que ella admite como límite y se nota:

El término nw es negativo y se puede hacer tan grande como se quiera en valor absoluto si es

escogido suficientemente grande. Así por ejemplo, para todo entero se tiene

para todo se tiene

De manera más general, para todo real desde que se tiene

Notación. Se dice que la sucesión diverge hacia o que ella admite como límite y se

nota:

Los términos nt no se estabilizan alrededor de ningún valor real. Se dice que la sucesión diverge

y no admite límite.

Observación. Como las sucesiones están definidas en el conjunto de los números naturales, nos interesa exclusivamente su comportamiento en

En resumen:

Definición. Sea una sucesión real definida en . Se dice que esta sucesión:

nu

1000,n 610 ;nu 610 ,n 610 .nu

0,M ,n M .nu M

u lim .n

nu

n

708,n 610 ;nw

707107,n 1210 .nw

0,M 1,2

Mn .nw M

w lim .n

nw

t

.

nu

77

i) Tiende hacia si , , tal que , .

ii) Tiende hacia si , , tal que , .

Notaremos respectivamente por y .

Observación. Se dice que una sucesión es divergente o que ella diverge si y solamente si ella

no es convergente; es decir, si el límite es o si la sucesión no admite ningún límite.

EJEMPLO

Mostraremos que la sucesión de término general tiende hacia .

En primer lugar, probemos por inducción que si es un entero natural, con , entonces,

cualesquiera que sea , .En efecto, sea . Se tiene que es evidente, así

como .Supongamos ahora que es verdadera; es decir que y probemos que también

es verdadera. De se deduce que , puesto que y

.Consecuentemente, la propiedad es válida para todo .

De acuerdo a esta propiedad, si se toma , se verifica que: , .

Sea entonces un número real positivo cualquiera, para que es suficiente que . Se

puede entonces tomar por el primer entero mayor que , pues en ese caso, y

por tanto .

Admitiremos, el siguiente resultado:

Teorema.

i. Si a partir de cierto rango, y si , entonces .

ii. Si a partir de cierto rango, y si , entonces .

iii. Si a partir de cierto rango, y si entonces .

EJEMPLOS

a. Dada la sucesión de término general , se tiene que

.

A 0n n 0 nn n u A

A 0n n 0 nn n u A

lim nn

u

lim nn

u

nu

nu 2nnu

a 2a n na n ( ) : nP n a n (0)P

(1)P ( )P n na n

( 1)P n na n 1 2 1na an n n 1n 2a

n

2a n 2n n

A 2n A n A

0n A0n n n A

2n A

n nu v lim nn

v

lim nn

u

n nu v lim nnv

lim nn

u

n nu v lim 0nn

v

lim nn

u

nu 1nu n n

1 1 1

1 1n

n n n nu

n n n n

78

Luego

y para , . Como , se concluye que .

b. Sea la sucesión definida por: Se tiene que como

, entonces , luego y por tanto, De donde,

, y como , concluimos que .


1. Estudiar el sentido de variación de la sucesión .nu

a. .nu n

b. 1

2.5nu n

c. 3

2

2.

3

n

n nu

d. 25 .nu n

e. Para todo entero natural 1,n 3

.n

nun

f. 3 2

.1n

nu

n

g. 0 2u y para todo entero n no nulo: 1 .n nu u n

2. En cada uno de los siguientes casos represente la función f tal que 1n nu f u y utilice su

representación gráfica así como la de la recta de ecuación y x para determinar gráficamente

los primeros términos de la sucesión. Además, realice una conjetura acerca del sentido de variación de la sucesión y su comportamiento cuando n tiende hacia .

a. 0 1u y, para todo entero natural ,n 1

11.

2n nu u

b. 0 9u y, para todo entero natural ,n2

1 .10

nn

uu

c. 0

1

4u y, para todo entero natural ,n 1 .n nu u

1 1 1

1 1 1nu

n n n n n n

1n 1

2nu

n

1lim 0

2n n lim 0n

nu

*n nu

1

1 1 1 11 .

2 3

k n

nk

uk n

1 k n 1 k n 1 1

1n k .n

nu n

n

*n nu n limn

n

lim nn

u

79

d. 0 2u y, para todo entero natural ,n 1

1.n

n

uu

e. 0 6u y, para todo entero natural ,n 1

12.

2n nu u

3. Para cada uno de los siguientes casos, la sucesión nu tiene por límite L cuando n tiende

hacia . Encuentre un índice m tal que, cuando ,n m los términos nu pertenezcan al

intervalo propuesto.

a. 41, 0, 0;10 .nu L I

n

b. 51, 0, 0;10 .

5nu L In

c. 62

2, 0, 0;10 .nu L I

n

d. 45, 0, 10 ;0 .

2 1nu L In

e. 6 61, 0, 10 ;10 .

3n nu L I

f. 4 413 , 3, 3 10 ;3 10 .nu L I

n

4. nu es la sucesión definida para todo natural n por: 2

.3n

nu

a. Demuestre que, para todo 3, 0.nn u

b. Demuestre que la sucesión nu es decreciente.

c. ¿Cuál es el más pequeño entero m para el cual 510mu ?

d. Deduzca que para todo entero 5, , ; 10 .nn n m u

e. ¿Es verdadero que para todo número A negativo tan grande como sea en valor absoluto, el

intervalo ; A contiene todos los términos de la sucesión a partir de un cierto índice?

5. En cada uno de los siguientes casos:

Demuestre que nu es estrictamente creciente;

Demuestre que 0,nu para todo n de ;

Encuentre un índice m tal que, cuando ,n m los términos nu pertenecen al intervalo

I propuesto.

a. 2 62, 10 ; .

3nu n I

b. 51

5, 10 ; .

2

n

n nu I

6. nu es la sucesión definida para todo n de por 2 5 .nnu

a. Demuestre que para todo n de , 0nu y que la sucesión nu es decreciente.

80

b. Encuentre un índice m tal que, para todo entero n tal que ,n m los términos nu

pertenecen al intervalo 6; 10 .

7. Para cada uno de los siguientes casos, la sucesión nu tiene por límite o cuando n

tiende hacia . Encuentre un índice m tal que, cuando ,n m los términos nu pertenezcan al

intervalo propuesto.

a. 23

,2n

nu límite: 8, 10 ; .I

b. 1

3,

2

n

n nu límite: 5, 10 ; .I

c. 1

,5n

nu

límite: 3, ; 10 .I

d. 2 1,nu n límite: 4, 10 ; .I

8. Verifique que la sucesión nu es monótona y que todos los términos de la sucesión pertenecen

al intervalo I propuesto.

a. 2, 0;2 .

1nu In

b. 2

2

1 3, con 0, 3; 2 .n

nu n I

n

c. 2

15 , con 1, 4;5 .nu n I

n

9. Las sucesiones y están definidas, para todo natural respectivamente por

y

a. Calcule los cinco primeros términos de cada una de esas sucesiones. ¿Qué conjetura puede hacer? Demuéstrela.

b. A partir de qué índice se tiene ? ¿Y a partir de qué índice se tiene

c. siendo inferior a se puede traducir ello por la expresión siguiente: la sucesión

“alcanza primera” el número 10000. ¿Es aún verdadero para el número 1000000? ¿Es

verdadero para todo número superior a con siendo un número natural?

10. Mostrar que la sucesión definida, para todo natural por es decreciente.Se

sospecha fácilmente que los números positivos se aproximan tanto como se quiera hacia el

número

nv nw ,n 2nv n

10 .nw n

1,N 10000nv 2 ,N

10000.nw

1N 2 ,N

nv

10 ,p p

nu ,n1

2n nu

1

2n

0.

81

11. Las sucesiones y están definidas respectivamente, para todo natural ,n por:

y

a. Calcular los cinco primeros términos de cada sucesión. ¿Qué conjetura puede hacer respecto al sentido de variación de cada sucesión?

b. Se admite que para valores de más y más grandes, y son más y más próximos del

número Se quiere comparar las “maneras” de aproximarse al número por cada una

de esas sucesiones. Para ello se nota, para todo entero natural y

Los números y son las “distancias” respectivamente de y al

número

i. Expresar en función de

ii. Expresar en función de Deducir la naturaleza de la sucesión y luego

exprese en función de

iii. Para cada una de las sucesiones y determinar el índice del primer término

que pertenece al intervalo

iv. Retome la cuestión precedente con el intervalo ¿Qué constata usted? ¿Qué

conjetura hace usted respecto a la “velocidad de aproximación” al número de esas dos sucesiones?

12. La sucesión nu está definida para todo natural por

a. Calcule

b. ¿Qué conjetura puede hacer respecto a las variaciones de la sucesión nu ?

c. Exprese 1nu en función de .nu Concluya.

13. es un triángulo rectángulo isósceles. Se construye cuadrados de la

manera siguiente:

Primera etapa: se construye un primer cuadrado cuyos tres vértices son los puntos medios

de los lados del triángulo.

nu nv

3 1

1n

nu

n

0

1

1

21

3n n

v

v v

nnu nv

3. 3

: 3n nn U u

3 .n nV v nU nV nu nv

3.

nU .n

1nV .nV nV

nV .n

nU ,nV

60;10 . 100;10 .

3

,n0

1

2

.3

1n

nn

u

uu

u

1 2 3, , .u u u

ABC 2 .AB AC cm

82

Segunda etapa: en los triángulos isósceles “restantes”, se construyen cuadrados según el

mismo principio. Se nota el área en del conjunto de los cuadrados de color verde

que se vienen de construir durante la ésima etapa.

a. ¿Cuál es la naturaleza de la sucesión nu ?

b. Explique por qué la sucesión nv definida para todo entero natural no nulo por:

es creciente, y por qué, cualquiera que sea ?

c. ¿Al cabo de cuántas etapas el área de la parte tomate será inferior a ?

14. La sucesión está definida para todo entero natural por

a. Demuestre que la sucesión es creciente a partir del rango 6.

b. Deduzca que para todo entero natural si entonces

15. Se nota la sucesión definida por

a. Demuestre que

b. Deduzca el sentido de variación de

c. ¿A partir de qué rango se tiene ?

16. Datación del carbono 14. El objetivo de este ejercicio es el estudio de la desintegración de un cuerpo radiactivo: el carbono 14. El carbono 14 se renueva constantemente en los seres vivos: a su muerte, la asimilación cesa y el carbono 14 presente se desintegra. Arqueólogos han encontrado fragmentos de hueso cuyo contenido de carbono 14 es el 40% de un fragmento de hueso actual de la misma masa, tomado como testigo. Con ayuda de una calculadora, calcular la edad de esos fragmentos. Se aproximará en siglos.

17. En la figura siguiente, todos los triángulos son equiláteros. El círculo es de radio 3 cm.

¿Cuántos triángulos así construidos tienen un área superior a ?

18. Se pasa de un cuadrado al otro dividiendo la longitud del lado por 2. El primer cuadrado siendo

de área 25 ¿cuánto mide el lado del primer cuadrado cuya área es inferior a 1 ?

nu 2 ,cm

n

n

1 2 ,n nv u u u , 2nn v 20,1mm

nu ,n 2 40 20.nnu n

,n 9,n 0.nu

nv 22 20 .nnv n

1 .n n nv v u

.nv

0nv

20,1mm

2 ,cm 2mm

83


1. Sean las sucesiones y definidas en por: y Para cada sucesión:

a. Conjeturar el comportamiento al infinito. ¿La sucesión parece converger? ¿Parece que diverge?

b. Elaborar una estrategia que permita confirmar la conjetura. Solución: a. Estudio de la sucesión

Para establecer una conjetura del comportamiento al infinito de una sucesión, se puede representar gráficamente la sucesión o calcular los términos de la sucesión para rangos “grandes”.

Para fortalecer la conjetura, se puede buscar un rango a partir del cual la distancia entre

y es, por ejemplo, inferior a

La representación gráfica siguiente permite conjeturar que la sucesión converge hacia

Se comienza por encontrar un rango a partir del cual la distancia entre y es inferior a

Así:

Así, para todo la distancia entre y es inferior a

Se puede observar que:

Para “muy grande”, es muy próximo de cero, y en consecuencia es muy

próximo de

Ello parece confirmar que la sucesión converge hacia Se escribe

b. Estudiemos ahora la sucesión

u v 2

1n

nu

n

1 .

n

nv

.u

nu

2 0,01.

u

2.

nu 2

0,01.

22 0,01 2 0,01

1

2 10,01 100 199.

1 2

n

nu

n

nn

n

200,n nu 2 0,01.

2 1 2 22 .

1 1n

nu

n n

n2

1n nu

2.

2. lim 2.nn

u

:v

84

c. Se tiene que los términos de índice par valen los de índice impar valen La sucesión

no se estabiliza alrededor de ningún valor, y oscila sin cesar de a Por lo tanto la sucesión diverge.

2. Conjeturar los límites eventuales de las sucesiones numéricas representadas en el siguiente gráfico, de primer término 2.

3. Sea la sucesión de término general:

a. Con ayuda de una calculadora conjeturar el valor del límite de la sucesión

b. Determinar un rango a partir del cual la distancia entre y es inferior a:

i.

ii. c. Validar la conjetura. Solución: a. Se obtiene el gráfico siguiente:

b. Utilizaremos las estrategias siguientes:

Se coloca en el eje es la imagen por de es decir es la ordenada

del punto de de abscisa Se transporta al eje con ayuda de la recta

Se continúa de esta manera la construcción.

1, 1.

v 1 1.v

v3 2

.1n

nv

n

L .v

nv L

0,01.610 .

0u .Ox1u f 0 ,u

fC 0.u 1u Ox

: .y x

85

La sucesión es creciente cuando sus términos son cada vez más grandes. La sucesión es decreciente cuando sus términos son cada vez más pequeños.

No se conoce aquí el número de términos a calcular. Se trata de calcular de poco en

poco hasta que la diferencia sea inferior a es decir en tanto que

c. En el gráfico se lee:

Se colocan varios valores posibles de

d. Se conjetura que:

Si la sucesión es creciente.

Si la sucesión es constante.

Si la sucesión es decreciente.

En todos los casos, la sucesión converge hacia

Límite de una sucesión aritmética

Teorema. Sea una sucesión aritmética de razón r no nula.

Si la sucesión diverge hacia Es decir que


Demostración.

Sea una sucesión aritmética de razón Su término general es:

Si por ejemplo desde que desde que

uu

nu 2nu ,

2 .nu

0 10;u 1 6;u 2 4;u 3 3;u 4 2,5.u

0 :u

0 2,u u

0 2,u u

0 2,u u

,u 2.

u

0,r u . lim .nn

u

0,r u . lim .nn

u

u 0.r 0 .nu u n r

0,r 1000nu 01000;

un

r

10000nu

010000.

un

r

86

De manera más general, para todo real positivo desde que Por lo

tanto la sucesión diverge hacia

Si por ejemplo desde que desde que

De manera más general, para todo real negativo desde que Por lo

tanto la sucesión diverge hacia

Límite de una sucesión geométrica

Teorema. Sea un número real diferente de


Si la sucesión converge hacia Es decir que

Si la sucesión diverge y no admite límite.

Demostración. Admitida.

Comportamiento al infinito de una sucesión geométrica de término general

Si la sucesión converge hacia

Si la sucesión es

constante igual a Si la sucesión diverge hacia más infinito.

Si la sucesión no tiene límite.

EJEMPLOS

1. Sea la sucesión geométrica de primer término y de razón

Para todo natural Como entonces En

consecuencia la sucesión converge hacia Con ayuda de una calculadora se puede establecer que:

desde que

desde que

,M nu M 0 .M u

nr

u .

0,r 1000nu 01000;

un

r

10000nu

010000.

un

r

,M nu M 0 .M u

nr

u .

q 1.

1,q nq . lim .n

nq

1 1,q nq 0. lim 0.n

nq

1,q nq

.nq

1 1,q

0.

1,q 1.

1,q

1,q

u 3 0,5.

,n 3 0,5 .n

nu 1 1,q lim 0,5 0.n

n

u 0.

0,001nu 12;n 610 ,nu 21;n

87

desde que

2. Sea la sucesión aritmética de razón y de primer término Sea la sucesión

geométrica de razón y de primer término Sea la sucesión geométrica de razón

y de primer término

a. Determinar los límites de las sucesiones y

b. Determinar el rango a partir del cual:

i.

ii.

iii.

3. Solución a. Para determinar el límite de una sucesión aritmética, se examina el signo de su razón

(positivo o negativo).

La sucesión es aritmética de razón por lo tanto Luego la sucesión

diverge hacia Es decir que

Para determinar el límite de una sucesión geométrica de razón se determina primero el

comportamiento al infinito de la sucesión analizando si es:

superior a

comprendido entre y

inferior a Luego se toma en cuenta el primer término de la sucesión.

Como se sigue que El término general de la sucesión es

Multiplicando por que es negativo, se obtiene una sucesión que

diverge hacia Es decir que

Como entonces El término general de la sucesión es

Multiplicando por se obtiene que la sucesión converge hacia Es

decir,

b. El término general de la sucesión es Se resuelve

que es equivalente a: donde es un número natural. Por lo

tanto desde que

La sucesión es decreciente, pues para todo natural

1210 ,nu 42.n

u 0,8 0 10.u v

1, 20 2.v w

3

4 0 5.w

,u v .w

610 ;nu 610 ;nv 610 .nw

u 0,8,r 0.r u

. lim .nn

u

,q

nq q

1;

1 1;

1.

1, 2 1, lim 1, 2 .n

n v

2 1, 2 .n

nv 2 v

. lim .nn

v

31 1

4

3lim 0.

4

n

n

w

35 .

4

n

nw

5 w 0.

lim 0.nn

w

u 10 0,8 .nu n 610 0,8 10n 610 10

1250012,50,8

n n

n

610nu 1250013.n

v ,n 1 0, 4 1, 2 0.n

n nv v

88

Es suficiente encontrar un rango tal que Resulta que el natural

conviene. Se tiene entonces que para todo natural se tiene

La sucesión es decreciente, pues para todo natural

Es suficiente encontrar un rango tal que Resulta que el natural

conviene. Se tiene entonces que para todo natural

Para determinar un rango a partir del cual se puede por ejemplo:

si es posible, resolver algebraicamente la inecuación;

si no, utilizar las variaciones de la sucesión y la calculadora para determinar el más

pequeño rango verificando


1. Sea una sucesión geométrica de término general y de razón En cada caso, determinar

el límite de la sucesión

a. y

b. y

c. y

d. y

2. Sea una sucesión geométrica de primer término y de razón En cada caso, determinar si

la sucesión admite un límite. Si la respuesta es afirmativa, determinarlo.

a. y

b. y

c. y

d. y

e. y

3. Admitiendo que las tendencias observadas se prolongan al infinito, dar el límite de cada sucesión y precisar valores posibles de la razón para cada sucesión. a.

N 610 .Nv 72

72,n 610 .nv

w ,n 1

5 30.

4 4

n

n nw w

N 610 .Nw 54

54,n 610 .nw 610 ,nu

u

N 610 .nu

u0u .r

:u

0 2u 3.r

0 2u 3.r

0 3u 2.r

0 3u 2.r

v0v .q

v

0 2v 3.q

0 2v 3.q

0 2v 0,5.q

0 3v 5

.7

q

0 3v 1

.4

q

89

b.

c.

4. es un cuadrado de lado

Se coloca los puntos y tales que y y se construye el

cuadrado de lado interiormente al cuadrado Se continúa de la misma manera

para obtener cuadrados de lado para todo entero

a. ¿Qué relación existe entre y para todo natural ? Deducir en función de

b. ¿Cuál es el límite de la sucesión ? Interprete el resultado.

5. Asimilación de un medicamento. Al instante (en horas) se inyecta en la sangre de un paciente vía intravenosa una dosis de de un medicamento. Se supone que el

0 0A B CD 0F .a

1A 1B 0 1 0 0

1

4A A A B

0 1 0 0

1

4B B B C

1F 1 1A B0.F

nF nC .n

1nC nC nnC .n

c

0t 1,8mg

90

medicamento se reparte instantáneamente en la sangre y que el mismo es progresivamente

eliminado. Se considera que el cuerpo elimina cada hora del medicamento presente en el

organismo. Para todo natural se nota la masa (en ) del medicamento presente en la

sangre al cabo de horas. Así,

a. Calcular y

b. Justificar que la sucesión es geométrica y precisar la razón. i. ¿Cuál es su sentido de variación? Interpretar.

ii. ¿Cuál es su límite? c. Con ayuda de una calculadora, determinar:

i. el más pequeño rango tal que para todo natural la masa es inferior a la mitad

de la masa inicial;

ii. el más pequeño rango tal que para todo natural la masa es inferior a

iii. el más pequeño rango tal que para todo natural la masa es inferior a

6. A continuación se indica una sucesión construida con cubos de cartón.

a. Dar una regla que permita calcular el número de cubos necesarios para construir no importa

qué figura de la sucesión ilustrada. b. ¿Cuántos cubos serán necesarios para construir la figura número 10?

7. Una empresa ha adquirido una máquina en dólares a un fabricante. En caso de despacho en retardo, se han fijado penalidades: el primer día de retraso es facturado 100 dólares, el

segundo día de retardo es facturado dólares; el tercer día de retardo es facturado 200 dólares y así sucesivamente. Cada día suplementario de retardo es facturado 50 dólares más que el día precedente. a. ¿Al cabo de cuántos días el fabricante “regala” la máquina? b. En realidad, la fabricación para el fabricante es rentable si las penalidades no superan los

2500 dólares. ¿Cuál es el máximo número de días de retardo en el despacho para que el fabricante entre en gastos ?

8. Dividir en tres. Se parte un cuadrado de lado 1 en cuatro cuadrados de igual tamaño y se negrea el cuadrado inferior izquierdo. Se aplica el procedimiento al cuadrado de arriba a la derecha. Y así sucesivamente. ¿Cuál será el área de la parte negra cuando se continúa indefinidamente la construcción?

30%

,nnR mg

n0 1,8.R

1R 2.R

R

1n 1n n nR

2n 2n n nR

0,1 ;mg

3n 3n n nR

0,01 .mg

10000

150

91

9. Un cultivo de 4500 bacterias A aumenta cada semana de con respecto a la semana

precedente. Un cultivo de 5000 bacterias B aumenta de 140 bacterias por semana. Para todo

natural se nota el número de bacterias A y el número de bacterias B al cabo de

semanas. a. Calcular el número de bacterias A y el número de bacterias B al cabo de cuatro semanas y al

cabo de diez semanas.

b. ¿Cuál es la naturaleza de las sucesiones y ? Deducir además y en función de

c. Determinar al cabo de cuántas semanas el número de bacterias A supera el número de bacterias B.

d. ¿Al cabo de cuántas semanas el número de bacterias A aumenta de con respecto al número inicial de bacterias del cultivo A? Explique y justifique la respuesta.

OTRAS PROPIEDADES

Teorema.El límite de una sucesión convergente es único.

A continuación señalaremos algunas propiedades de las sucesiones convergentes.

Teorema.Toda sucesión convergente es acotada.

EJEMPLO

La sucesión converge hacia cero y es acotada por 1 y 1.

Observación. El recíproco del teorema anterior no necesariamente se cumple, es decir que si una

sucesión es acotada, no necesariamente es convergente. Así por ejemplo, la sucesión de

término general es acotada pero no es convergente.

Teorema.Toda sucesión creciente y acotada superiormente (respectivamente, decreciente y acotada inferiormente) es convergente.

2,5%

,n nu nv n

u vnu nv .n

25%

*

1n

nn

nu

cosnu n

92

Teorema. Sean y sucesiones convergentes. Se tiene entonces que:

i) es convergente y .

ii) Para todo , es convergente y .

iii) es convergente y .

i) Si , y , entonces converge y .

Para demostrar que una sucesión posee un límite , se puede utilizar la definición, pero a veces nos

vemos avocados a demostraciones delicadas y fastidiosas; por lo que, en la práctica, hacemos uso de las propiedades antes enunciadas, lo que en numerosos casos permite evitar el trabajo con las definiciones. Así por ejemplo

1. Se tiene que y como , , resulta

.

Por inducción se demuestra que *,p .

2. Dada la sucesión de término general ,se tiene

y de acuerdo al ejemplo anterior resulta que

y en consecuencia .

Teorema: Sean dos sucesiones convergentes respectivamente hacia tales que

, entonces .

nu nv

( )n nu v lim lim limn n n nn n n

u v u v

nu lim limn nn n

u u

( )n nu v lim lim limn n n nn n n

u v u v

n 0nv lim 0nn

v

n

n

u

v

limlim

lim

nn n

nn nn

uu

v v

1lim 0

n n *n

2

1 1 1

n n n

2

1 1 1lim lim lim 0 0 0

n n nn n n

1lim 0

pn n

nu2

2

3 5 3

2 3n

n nu

n

22 2

222

5 3 5 33 3

33 22n

nn n n nu

nnn

2 2

5 3 3lim 3 3 y lim 2 2

n nn n n

3lim

2nnu

y n nu v y

n ,n nu v

93

Teorema (del emparedado): Sean tres sucesiones tales que

convergen hacia el mismo límite y que , entonces converge hacia el

límite .

Nota. En algunos textos, a este teorema se le conoce con el nombre de teorema del emparedado.

EJEMPLO.

Sea la sucesión definida por .

Si se sigue que:

Luego y como y , se concluye que .

Sucesiones Adyacentes. El número

Definición. Dos sucesiones, la una creciente, la otra decreciente se dicen adyacentes si

converge a cero.

Teorema: Dos sucesiones adyacentes son convergentes y admiten un límite común.

Aplicación. Definición del número .e Consideremos la sucesión cuyos primeros términos son

, y donde el término general es: .

Asociémosle la sucesión , cuyo primer término es y el término general es .

La sucesión es creciente puesto que:

Mostremos que es una sucesión decreciente:

, y n n nu v w y n nv w

n n n nv u w nu

nu2 2 2 2 2

1 1 2 3

k n

nk

n n n n nu

n k n n n n n

1 k n 2 2 2

.1

n n n

n n n k n

2 2

2 2 1n

n nu

n n n

2

2lim 1

n

n

n n

2

2lim 1

1n

n

n

lim 1n

nu

e

nu nv

n nv u

nu

0 1u 1

11 ,

1!u

1 1 1 11

1! 2! 3! !nun

nv1u

1

!n nv un

nu1

10.

( 1)!n nu un

nv

94

Por otra parte: de , se sigue que las dos sucesiones son adyacentes,

consecuentemente ellas admiten un límite común . Se tiene entonces:

Probaremos a continuación que es un número irracional, por el método de reducción al absurdo.

Así, supongamos que es un número racional; es decir que: , con y escribamos la

doble desigualdad:

Multiplicando todos los miembros por tenemos que: es un número

natural ; es decir que se tiene: que es equivalente a

lo cual no es posible, pues no existe un número natural comprendido entre dos naturales consecutivos. A esta contradicción se llega por suponer que es un número racional, luego lo correcto es que es un número irracional.

Es necesario entonces un símbolo especial para representar el número irracional que es el límite de

:

Definición. Se designa por la letra el número irracional límite de la sucesión que tiene por término general:

.

Es decir que:

1 1

1

1

1 1

1 ! !

1 1

1 ! !

1 1

1 ! !

1 1 1 2 1

1 ! 1 ! ! 1 ! !

10, desde que 1.

1 !

n n n n

n n

n n

v v u un n

u un n

u un n

n n n n n

nn

n

1lim lim 0

!n nn nv u

n

L , .n nn u L v

L

Lm

Ln

,m n

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 .

1! 2! 3! ! 1! 2! 3! ! !

m

n n n n

!n1 1 1 1

1 !1! 2! 3! !

nn

0n 0 0

!1,

m nn n

n

0 01 ! 1,n m n n

LL

nu

e

1 1 1 11

1! 2! 3! !n

95

.

Se puede probar que: 2,718281 < < 2,718286. Es decir que podemos afirmar que 2,71828 es un valor aproximado de , por defecto.

Ejercicio Sea la sucesión definida por . Probar que .

(Sugerencia: Aplique el Binomio de Newton a y demuestre que para todo 2 :n

.

APLICACIÓN AL CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES

1. Consideremos en el plano un sistema ortogonal y sea la región comprendida entre la

parábola de ecuación , el eje y la recta de ecuación: 1.x Calcular el área de la

región .D (Ver Gráfico siguiente)

Solución.

Recordemos que la función definida por es creciente en el intervalo , y por

tanto en el intervalo y en cualquier subintervalo de . En consecuencia:

Sea el área de la región comprendida entre el eje , la parábola y las rectas de

ecuaciones: y y si consideramos el rectángulo bajo la curva, cuya base es el

subintervalo y cuya altura es el valor que toma la función en el extremo izquierdo del

1 1 1 1lim 1

1! 2! 3! !ne

n

ee

na1

1n

nan

1lim 1

n

ne

n

11

n

n

1 1 1 1 11 1

1! 2! 3! !

n

n n

OXY D

P 2y x OX

f 2( )f x x 0;

0;1 0 1;x x 0;1

2 2 20 1 0 1, ;x x x x x x

0 1,A x x OX P

0x x 1x x

0 1;x x f

96

subintervalo; es decir, igual a , se tiene que el área de dicho rectángulo es

. Por otra parte, si consideramos el rectángulo sobre la curva definido por: la base que

es el subintervalo y la altura el valor de la función en el extremo derecho del

subintervalo, es decir, igual a: , se tiene que el área del rectángulo sobre la parábola

es . Consecuentemente se tiene que:

En adelante, en cualquier subintervalo de definiremos los rectángulos bajo y

sobre la curva como aquellos rectángulos de base y de las alturas y

respectivamente.

Procedamos entonces a aproximar el área de la región (notada .

Dividamos el segmento en dos partes iguales:

Es claro que:

.

Se tiene además que:

La suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva es:

.

La suma de las áreas de los rectángulos sobre la curva es:

20 0f x x

21 0 0x x x

0 1;x x f

21 1f x x

21 0 1x x x

2 21 0 0 0 1 1 0 1,x x x A x x x x x

1;k kx x 0;1

1;k kx x 1kf x kf x

D ( )a D

0;1

1 1( ) 0; ;1

2 2a D A A

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2f f f f f f

97

.

Resulta entonces:

.

Si se divide el intervalo en tres partes iguales se tiene que:

La suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva es

.

La suma de las áreas de los rectángulos sobre la curva es:

.

Resulta entonces:

Continuando con el proceso, es decir, si se aumenta el número de divisiones del intervalo ,

es claro que la suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva y la suma de las áreas de los

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2f f f f f f

2 21 1 1 1

0 ( ) 12 2 2 2

a D

0;1

2 2

1 2 1 1 2 2 1 1 20 0 1 0

3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 20

3 3 3

f f f f f f

2 2

1 1 2 1 2 2 1 1 20 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 21

3 3 3

f f f f f f

2 2 2 21 1 2 1 1 2

0 ( ) 13 3 3 3 3 3

a D

0;1

98

rectángulos sobre la parábola son cada vez más próximas al valor del área de la región ; es decir, próximos al valor .

Así, si al intervalo dividimos en n partes iguales, cada una de longitud1

nse tiene que dicha

división determina los subintervalos:

,

Donde ; es decir que .

Resulta entonces que:

La suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva es:

La suma de las áreas de los rectángulos sobre la parábola es:

D( )a D

0;1

0 1 1 1 2 1 1; 0; , ; , , ; ;1n n nx x x x x x x x

, 1, 2, ,k

kx k n

n 1

1; ;k k

k kx x

n n

1 2 1 1 3 2 2 1 1 1 1

1 2 1 1

2 2 2 2

0 (0) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

1 1(0) ( ) ( ) ( ) , pues = , 1,2, , .

1 1 2 10 , pues , 1, 2, , .

k k k n n

n k k

k

x f x x f x x x f x x x f x x f x

f f x f x f x x x k nn n

n kf x k n

n n n n n

21

0

1 k n

k

k

n n

99

Se tiene entonces:

o lo que es lo mismo:

Por otra parte, como , se sigue:

;

es decir,

,

lo cual puede escribirse finalmente como:

Como

,seconcluye que

2. Calcular el volumen de una esfera de radio .

Se comienza por calcular el volumen de la semiesfera.

1 1 2 1 2 3 2 3 1 1

1 2 3

2 2 2 2

2

1

0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

1( ) ( ) ( ) ( ) , donde = 1,

1 1 2 1,

1

k k k n n

n n

k n

k

x f x x x f x x x f x x x f x x f x

nf x f x f x f x x

n n

n n

n n n n n

k

n n

2 21

0 1

1 1( ) , 2.

k n k n

k k

k ka D n

n n n n

12 2

3 30 1

1 1( ) , 2.

k n k n

k k

k a D k nn n

2

1

1 2 1, 1

6

k n

k

n n nk n

3 3

1 2( 1) 1 1 (2 1)1 1( ) , 2

6 6

n n n n n na D n

n n

2 2

1 2 1 1 (2 1)( ) , 1

6 6

n n n na D n

n n

1 1 1 11 2 1 2

( ) , 16 6

n n n na D n

1 1 1 11 2 1 2

1 1lim y lim

6 3 6 3n n

n n n n

1( ) .

3a D

R

100

Se divide el segmento en segmentos de igual longitud . Nos vemos avocados

entonces a considerar cilindros exteriores y 1n cilindros interiores. Se designa por el

volumen total de los cilindros interiores y por el volumen total de los cilindros exteriores. El

volumen V verifica entonces: .

Cálculo de y de :

a. Mostrar que el volumen del - ésimo cilindro interior es

b. Mostrar que

y que

;O R nR

n

nnu

nv

n nu V v

nu nv

k 3

2 23

.R

n kn

3

22 2 2 2 23

1 2 1n

Ru n n n n

n

3

22 2 2 2 23

0 1 1n

Rv n n n n

n

101

c. Paso al límite: Utilizando la igualdad: , mostrar que

y que .

d. Mostrar que las sucesiones y convergen hacia Deducir

entonces los límites de las sucesiones y . Finalmente concluir acerca del valor de

.

EJERCICIOS

1. Una sucesión aritmética tiene por primeros

términos 1 y . Encontrar el centésimo término y la suma de los cien primeros términos.

2. Dada la sucesión aritmética de primer

término , de razón y de término general

. Calcular , en cada

uno de los siguientes casos:

a.

b.

3. Sea una sucesión aritmética de primer

término ; razón: y cuya suma

de los primeros términos es: .

Calcule y

4. Dada la sucesión aritmética , calcule

y sabiendo que ; ;

. (Note que se puede

escribir ).

5. Determinar el término general de una

sucesión aritmética sabiendo que:

a.

b. .

6. Se define una sucesión de la manera

siguiente:

, .

a. Se supone que, para todo entero , se

tiene: . Demuestre que, para todo

entero , se tiene: .

b. Se pone, para todo entero , .

Demuestre que la sucesión así

definida es aritmética. Calcule , luego

en función de , y verifique que la

condición se satisface.

7. son tres términos consecutivos de una

sucesión aritmética. Se da y

Encontrar .

2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3

6

n n nn

23

2

4 3 1

6n

n nu R

n

23

2

4 3 1

6n

n nv R

n

2

2

4 3 1

6

n n

n

2

2

4 3 1

6

n n

n

2.

3

nu nv

V

3

nu

0u r

nu 0 1 1n nS u u u

0 30, 33, 3.u n r

0 3, 15, 4.u n r

nu

0 0u 1,5r

n 480600nS

n1nu

nu n

0u 1 14nu 7r

1176nS 2 5n n a 2

5 25

2 4n a

*n nu

71

2

3 y 3.u

uu

5 10

2 4

24

4

u u

u u

nu

0 0u 1

5 3, 1

3 1n

nn

uu n

u

n

1

3nu

n 1nu

n1

1n

nn

uv

u

nv

nv

nu n

1

3nu

, ,x y z

36x y z

1428.xyz , ,x y z

102

8. Se considera una sucesión aritmética finita de primer término 1 y de razón 3. Sea S la suma de los términos de esta sucesión.

a. Calcular S sabiendo que el último término de la sucesión es 52.

b. Calcular el último término de esta sucesión sabiendo que S = 92

9. .

a. Demuestre que si los tres lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas tres términos consecutivos de una

sucesión aritmética, la razón de esta sucesión es la cuarta parte del lado más grande del ángulo recto.

b. Calcule cuando la hipotenusa tiene

por medida 75.

10. son tres términos consecutivos de

una sucesión geométrica; se da y . Encontrar .

11. Encuentre los tres términos consecutivos

de una sucesión geométrica

creciente sabiendo que: y

. (Se puede demostrar que la

razón es solución de la ecuación

y observar que:

.

12. Se considera una sucesión geométrica

cuyo primer término es y el

octavo término es . Determine la razón

y el término general de esta sucesión.

13. Sea la sucesión definida sobre

por: y para .

a. Calcule .

b. Sea la sucesión definida sobre

por . Muestre que es

una sucesión geométrica. Exprese en

función de y luego en función de

.

14. Se considera la sucesión

definida por: , .

15. .

a. Determinar explícitamente . Calcular

.

b. Se considera la sucesión

definida por . ¿Cuál es la

naturaleza de ?. Definir bajo la

forma explícita. Calcular .

c. Sea . Calcular

. Deducir de forma explícita.

16. Estudiar la sucesión definida por:

, .

17. Calcular el volumen de un cono de altura y radio de la base . Sugerencia:Coloque al cono de modo que el vértice coincida con el origen del sistema de coordenadas rectangulares y su eje coincida con el eje

, ,x y z

, ,x y z

, ,x y z

26x y z 216xyz , ,x y z

3 4 5, ,u u u

3 5 44u u u

3 4 5 14u u u

q

2 51 0

2q q

22 5 5 9

12 4 16

q q q

nu0 48u

7

3

8u

q nu

nu *

1 3u 1

26

3n nu u 1n

2 3 4, ,u u u

nv *18n nv u nv

nv

nnu

n

nu u

0 3u 1

2, 1

3n nu u n

nu

n pu u

nv v

1n

n

vu

vnv

n pv v

0 1 1n nS u u u 2

3 n nS S nS

ns

1 1s 1

3

2n

n

ss

HR

OX

103

PRUEBA DE BASE ESTRUCTURADA

Para cada una de las cuestiones siguientes, una o varias respuestas son correctas

A) B) C)

1. La sucesión definida por el gráfico de abajo:

Es aritmética

Es geométrica

Diverge

A) B) C)

2. La sucesión está definida por y para todo natural por

La sucesión

converge

Para todo natural

A) B) C)

3. La sucesión está definida por y para todo natural por

La sucesión

es creciente

Para todo natural

u

u

0 0u n

1

2 4.

3 2n

nn

uu

u

4 0u u ,n

3n nu u

u

0 0u n

1

1.

1 2n nu un n

u 2

3

4u ,n

1n

nu

n

104

A) B) C)

4. Se considera la sucesión definida para todo natural

por

La sucesión

es creciente

La sucesión

es acotada superiormente

A) B) C)

5. Se considera la sucesión que verifica para todo natural

la desigualdad

La sucesión

es acotada

La sucesión

converge hacia

La sucesión

es creciente

A) B) C)

6. La sucesión de término general

Converge hacia

diverge

es creciente

A) B) C)


Converge hacia

Converge hacia

diverge

A) B) C)


Es creciente

Es positiva

Es convergente

VERDADERO O FALSO

1. Se considera una sucesión definida en y tal que cada uno de sus términos no sea nulo.

Se define entonces la sucesión en por: Precisar si las afirmaciones

siguientes son verdaderas o falsas.

u1n

1 1 1.

1 2nun n n

u 3

47

60u u

u100n

21 .

1n

nu

n

u u1 u

3 1 2 1 :nu n n 0

v

3 7 :3 7

n n

n n nv

1 1

u

2

1 ( ) :

1

n

n

sen nu

n

u

v 4.n

n

vu

105

a. Si la sucesión es convergente, entonces la sucesión es convergente. b. Si la sucesión es acotada inferiormente por entonces la sucesión es acotada

inferiormente por c. Si la sucesión es decreciente, entonces la sucesión es creciente.

d. Si la sucesión es divergente, entonces la sucesión admite como límite. 2. Una sucesión estrictamente decreciente es acotada superiormente por su primer término.

3. La sucesión de término general converge hacia

4. La sucesión de término general converge hacia

u v

u 2, v

2.u v

u v 0

u 0,99999999999nnu 1.

u 1

n

nun

0.

106

CAPÍTULO 5

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Contenido del capítulo:

Noción intuitiva de límite de una función. Definición formal de límite de una función. Propiedades de los límites. Cálculo de límites. Funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas.


1. Calcula el límite de una función en un punto. 2. Aplica la definición formal de límite de una función. 3. Calcula límite de funciones usando las propiedades. 4. Analiza la continuidad de una función.

DEFINICION INFORMAL DE LIMITE

Consideremos la función real definida por La función no está

definida en pero, ¿cómo se comporta para valores de cercanos a ?

Específicamente, ¿se aproxima a algún valor fijo cuando se aproxima a ? Calculando

para algunos valores de obtenemos la siguiente tabla.

1.9 2.61 2.1 3.41 1.99 2.96 2.01 3.04 1.999 2.996 2.001 3.004 1.9999 2.9996 2.0001 3.0004 1.99999 2.99996 2.00001 3.00004

f3 22 2

( ) .2

x x xf x

x

f

2,x f x 2

( )f x x 2

( )f x x

x ( )f x x ( )f x

107

Estos datos nos dicen que cuando el valor de se aproxima a 2, sea tomando valores menores o

sea tomando valores mayores, el valor de se acerca a Se dice que el límite de

cuando tiende a 2 es 3 y, en símbolos se escribe

De manera similar la función definida por no está definida en Para

algunos valores de cercanos a 0, los valores de que es una función par, son los

siguientes.

0.1 o -0.1 0.99833 0.01 o -0.01 0.99998

0.001 o -0.001 0.999998 0.0001 o -0.0001 0.999999

De acuerdo con esto, el límite de cuando tiende a cero es 1, en símbolos,

Las gráficas de estas funciones, para valores de cercanos a 2 en el primer caso y cercanos a 0, en el segundo caso son estas:

Si representa un número, decir que el límite de cuando tiende hacia es en

símbolos, significa, que se puede hacer que esté cerca de tanto como se

quiera, tomando suficientemente cercano y diferente de

Sea ahora la parte entera de Si consideramos valores de muy cercanos a

entonces Si si Notemos que para cualquier número

real existen valores de muy cercanos a para los cuales la diferencia entre y no

se puede hacer por lo menos menor que Consecuentemente, no existe.

x

( )f x 3.3 22 2

2

x x x

x

x3 2

2

2 2lim 3.

2x

x x x

x

f ( ) ,sen x

f xx

0.x

x ( ),f x

x ( )f x

( )f x x0

lim 1.x

sen x

x

x

L ( )f x x a ,L

lim ( ) ,x a

f x L

( )f x L

x .a

( ) ,f x x .x x 3,

2 4.x 3,x ( ) 2,f x 3,x ( ) 3.f x

L x 3 ( )f x L

1.

2

3limx

x

108

De otra parte, si se tiene que es una función par no definida en que verifica

para todo A medida que se acerca a 0, toma valores cada vez mayores. Si

es un número real, existe tal que Esta desigualdad es válida para todo tal que

Tampoco en este caso existe.

Si la función no está definida en Consideremos algunos valores de

positivos y cercanos a 0 y sus imágenes por

Puesto que es impar, toma los mismos valores cuando es negativo. En cualquier

intervalo que contiene los valores de varían infinitamente entre y Así no

tiende a un solo número cuando se acerca a y no existe.

Volviendo a la función parte entera cuando está cerca de y es mayor que es decir,

cuando sobre la recta real se halla a la derecha de toma el único valor Si está

cerca de y es menor que es decir, se halla a la izquierda de toma el único valor

Más generalmente, un número real es el límite por la derecha de cuando tiende hacia

si está muy cerca de cuando está cerca y a la derecha de En símbolos se

escribe

2

1( ) ,f x

x f 0x

( ) 0f x 0.x x ( )f x

L x ( ) .f x L x

1.x

L 20

1limx x

1( ) ,f x sen

x

f 0.x x

.f

x ( )f x x ( )f x x ( )f x

2

1 2

51 2

91

2

20 2

60 2

100

2

31 2

71 2

111

2

40 2

80 2

120

f f x

0, ( )f x 1 1. ( )f x

L x 00

1lim ,x

senx

,x x 3 3,

x 3, ( )f x 3. x

3 3, x 3, ( )f x 2.

L ( )f x x

,a ( )f x L x .a

lim ( ) .x a

f x L

109

De manera similar un número real es el límite por la izquierda de cuando tiende hacia

si está cerca de cuando está cerca y a la izquierda de En símbolos se escribe

Así, en el caso de la función parte entera, y De manera general, si

es un número entero, y

Admitiremos el siguiente resultado.

Teorema. Sea un número real.

si y solo si y

De otra manera el teorema dice que el límite de cuando tiende hacia existe si y solo si

los límites por la derecha y por la izquierda existen y son iguales.

EJEMPLOS

1. Sea entonces Así existe y es

igual a

2. Sea entonces

Así y En consecuencia no existe.

Definiciones formales de límite y límites laterales

La definición de límite dada en la sección anterior, se expresa de manera formal usando la distancia definida sobre la recta real y las letras ε (épsilon) y δ (delta), tradicionalmente empleadas en matemáticas para denotar pequeños números reales positivos.

La expresión " se puede hacer que esté cerca de tanto como se quiera " significa que

tomado arbitrariamente pequeño, se puede hacer que

La expresión " suficientemente cercano y diferente de " significa que existe pequeño, tal

que

Así, tenemos la siguiente definición.

M ( )f x x

,a ( )f x M x .a

lim ( ) .x a

f x M

3

lim 3x

x

3

lim 2.x

x

a

limx a

x a

lim 1.x a

x a

L

lim ( )x a

f x L

lim ( )x a

f x L

lim ( ) .x a

f x L

( )f x x a

, si 0( )

, si 0

x xf x x

x x

0 0 0

lim ( ) lim lim 0.x x x

f x x x

0

limx

x

0.

( )x

f xx

, si 0

1, si 0( )

1, si 0, si 0

xx

xxf xx x

xx

0 0lim ( ) lim 1 1x x

f x

0 0

lim lim 1 1.x x

f x

0

lim ( )x

f x

( )f x L

( ) .f x L

x a ,

0 .x a

110

Definición. Si es un número real, es el límite de cuando tiende hacia

denotado por

significa que para cada dado, existe un correspondiente tal que si

entonces

Recordemos que equivale a y es decir, y

y si es el intervalo abierto de extremos y esto es,

y

Igualmente, equivale a es decir, esto es

Gráficamente, la definición se traduce así

Dado (el radio de un intervalo en el eje de las imágenes) existe (radio de un intervalo

en el eje ) tal que si entonces

EJEMPLOS

1. Si C es una constante y ( )f x C para todo ,x entonces lim ( ) .x a

f x C

En efecto, dado 0,

debemos encontrar tal que 0 x a implica ( ) .f x C C C Como

0 ,C C puede tomar cualquier valor positivo.

L L ( )f x x ,a

lim ( )x a

f x L

0 0

0 x a ( ) .f x L

0 x a x a ,x a x a

,a x a ;a a ,a a

x a ; .x a a

( )f x L ( ) ,f x L ( ) ,L f x L

( ) ; .f x L L

0 0

x ; , ,x a a x a ( ) ; .f x L L

111

2. lim .x a

x a

Solución: En efecto, dado 0, debemos encontrar 0 tal que, si 0 ,x a entonces

( ) .f x a x a Así, basta tomar o positivo tal que .

Veamos que si entonces Escojamos Buscamos que

verifique la condición

Por otra parte,

Así, podemos tomar o un número menor que

Si escogemos ahora

En este caso podemos tomar

De manera general, podemos deducir en términos de

Así, basta tomar o un número menor que

La demostración formal es esta: Dado escojamos Si entonces

3. Veamos que si entonces Escojamos Buscamos que

verifique la condición

Así, podemos tomar

o un número menor que

Si ahora escogemos

En este caso podemos tomar

De manera general, podemos deducir en términos de

( ) 4 3f x x 1

lim ( ) 1.x

f x

1.

10 0

10 ( ) 1 .

10x a f x

1 1 1 1 1( ) 1 4 3 1 4 4 4 1 1 .

10 10 10 10 40f x x x x x

1

40

1.

401

,20

1 1 1 1 1( ) 1 4 3 1 4 4 4 1 1 .

20 20 20 20 80f x x x x x

1.

80

:

( ) 1 4 3 1 4 4 4 1 1 .4

f x x x x x

4

.4

0, .4

0 1x

( ) 1 4 3 1 4 4 4 1 4 .4

f x x x x

( ) 4 3f x x 2

lim ( ) 5.x

f x

1.

10

10 2 ( ) 5 .

10x f x

1 1 1 1( ) 5 4 3 5 4 8 2 .

10 10 10 40f x x x x

1

40

1.

40

1,

20 1 1 1 1

( ) 5 4 3 5 4 8 2 .20 20 20 80

f x x x x

1.

80

:

112

Así, basta tomar o un número menor que

La demostración formal es la siguiente: Dado escojamos Si

entonces

4. Más generalmente, si entonces En efecto, dado sea

Si entonces

5. Vamos a probar formalmente que El análisis previo nos dice que dado

estamos buscando tal que implique Pero

Esto nos indica que basta tomar

La demostración formal es la siguiente: Dado sea Si entonces

Propiedades de los límites

Supongamos que lim ( )x a

f x L

y lim ( )x a

g x M

entonces:

1. lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x a x a x a

f g x f x g x L M

Es decir que el límite de una suma de

funciones es igual a la suma de los límites de cada función.

2. lim ( ) lim ( ) ,x a x a

k f x k f x k L

con k una constante. Es decir que el límite de una

constante por una función es igual a la constane por el límite de la función.

3. lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x a x a x a

f g x f x g x L M

Es decir que el límite de un producto de

funciones es igual al producto de los límites de cada función.

( ) 5 4 3 5 4 8 4 2 1 .4

f x x x x x

4

.4

0 .4

0 2x

( ) 5 4 3 5 4 8 4 2 4 .4

f x x x x

( ) ,f x mx b lim ( ) .

x af x ma b

0,

.m

0 x a ( ) .mx b ma b m x a m x a mm

2

3

2 5 3lim 7.

3x

x x

x

0, 0 0 3x 22 5 3

7 .3

x x

x

2 3 2 12 5 3

7 7 2 1 73 3

2 6 2 3 3 .2

x xx xx

x x

x x x

.2

0, .2

0 3x

2 3 2 12 5 3( ) 7 7 7 2 1 7 2 3 2 .

3 3 2

x xx xf x x x

x x

113

4. lim ( )

lim ( ) , con 0.lim ( )x a

x ax a

f xf Lx M

g g x M

Es decir que el límite de un cociente de funciones

es igual al cociente de los límites de cada función, supuesto que el límite del denominador

es diferente de cero.

5. lim ( )( )

lim ( ) lim ( ) .x ag x

g x M

x a x af x f x L

Con y L K no simultáneamente nulos.

6. Si ( )n f x existe, entonces lim ( ) lim ( ) .nn nx a x a

f x f x L

Observación. En las propiedades anteriores, lo fundamental es la hipótesis de que los límites de las

funciones y , existen.f g

Nota. De las propiedades de los límites se sigue que: Si ( )P x es una función polinomial, entonces:

lim ( ) ( ).x a

P x P a

Muchas veces al tratar de hallar el límite de una fracción, puede suceder que ésta tienda a la forma 0

,0

la misma que se denomina una forma indeterminada. En estos casos es necesario realizar un

análisis mas detallado del comportamiento de las funciones para determinar si el límite planteado existe o no.

Un ejemplo de esta situación es el siguiente: 2

3

6lim .

3x

x x

x

Si se remplaza x con 3, se obtiene

una expresión de la forma 0

.0

EJEMPLO RESUELTO

Calcular 2

5

3 10lim .

5x

x x

x

Solución: Si evaluamos directamente dicho límite tenemos: 2

5

3 10 0lim

5 0x

x x

x

(indeterminación).

En este caso debemos factorizar el numerador; es decir: 2

5 5

5 23 10lim lim .

5 5x x

x xx x

x x

El

factor que produce la indeterminación es 5 ,x al cancelarlo tenemos nos queda 5

lim 2 7.x

x

Por lo tanto 2

5 5

3 10lim lim 2 7.

5x x

x xx

x

114

Observación. En general, cuando tenemos este tipo de problemas lo que hacemos es únicamente

cancelar el factor de indeterminación basándonos en el hecho de que al considerar el 0

lim ( ),x x

f x

x se

acerca a 0x pero no llega a tomar el valor 0.x

Una vez más es importante recordarle al lector que para el cálculo del límite de ( )f x cuando

0x x no importa si la función está o no definida en 0x pues x se acerca a 0x pero no toma

dicho valor.

EJERCICIOS

1. Calcule los siguientes límites:

a) 3 2

5lim 3 8x

x x

b)

2

21

5 6lim .

2 3x

x x

x x

c) 21

3 4lim .

1x

x

x

d)

5

6 31

4 9 7lim .

3 6 1x

x x

x x

e)

3 2

32

3 9 2lim .

6x

x x x

x x

f)

2

23

9lim .

3x

x

x x

g)

2

1

2 3 1lim .

1x

x x

x

h) 2

2lim .

2 2x

x

x

i) 0

4 2lim .x

x

x

j)

2

20

1 1lim .x

x

x

k)

3

2

8lim .

2x

x

x

l)

3

22

8lim .

4x

x

x

m) 2

2lim .

2 2x

x

x

n) o) 21

1lim .

6 3 3x

x

x x

p) 27

2 3lim .

49x

x

x

q) 2

2lim .

2x

x

x x

r)

0

1 1lim .x

x x

x

s) 0

1 1 1lim .

2 2x x x

t) 21

1 1 2lim .

1 1x x x x

u)lim .

n n

x y

x y

x y

v) 21

1lim .

1 2x

x

x

w)

3

22

2 3lim .

5x

x x

x

x)

3 2

20

8 3 4lim .

2 5x

x x x

x x

3. En los siguientes ejercicios calcule 0

( ) ( )lim .h

f x h f x

h

para:

a. 1

( ) .f xx

b. 2( ) 3 .f x x

4. Calcule 2 2

0

1 1( )

lim .h

x x hh

115

Ejemplos fundamentales de límites al infinito:

, , , ,

Límites infinitos

Sea f una función definida sobre un intervalo de tipo ; .a

lim ( )x

f x

significa: ( )f x puede ser tan grande y positivo como uno quiere si x es

suficientemente grande y positivo ”

Se dice en tal caso que “ la función tiende a cuando x tiende a . ”

Ejemplos fundamentales:

lim ,x

x

2lim ,x

x

3lim ,x

x

lim ,n

xx

lim .x

x

Nota. Una función no tiene necesariamente un límite finito o infinito cuando x tiende a . Considere por ejemplo la función .x sen x

EJERCICIOS

1. Determinar los siguientes límites:

a) 20

1lim 1 .x

xx

b) 3lim 15 .x

x x

c) 2lim 5 .x

x

d) 3lim 4 .

xx

e) 5lim 2 .

xx

f) lim 3 4 .

xx x

g) 2

5lim .

2 1x x

h)

3 1lim .

5 2x

x

x

i)

2

2

3 5 1lim .

2 3x

x x

x

Otras propiedades

1. Una función racional se comporta en el infinito como se comporta su término de mayor grado.

2. Una función racional se comporta en el infinito como el cociente de sus términos de mayor grado.

3. (Límite de una función compuesta) Si 0

lim ( )x x

f x M

y lim ( )x M

g x L

entonces

0

lim ( ( )) .x x

g f x L

1lim 0x x

2

1lim 0x x

3

1lim 0x x

1

lim 0nx x

1lim 0x x

116

4. Si 0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x h x L

y ( ) ( ) ( )f x g x h x entonces 0

lim ( ) .x x

g x L

(Este teorema es

conocido como el teorema del emparedado.)

EJEMPLOS

1. Determinar el límite en + de ,f con ( ) 1 .sen x

f xx

Solución:Tenemos: , por lo tanto para

Como , se obtiene para .

Como , entonces, según el teorema de comparación, tenemos

2. Determinar el límite en 0 de ,f con 1

( ) 2 cos .f x xx

Solución: Tenemos : , por lo tanto .

Como , se obtiene y dado que , entonces, según el

teorema de comparación, tenemos 0

lim ( ) 2.x

f x

3) Determinar el límite en de ,f con 21

( ) .x

f xx

Solución: Sea x un real positivo. Se tiene:

Por lo tanto: (Teorema de orden entre las raíces cuadradas de

reales positivos)

(división por un número real x estrictamente positivo).

Como1

lim 1 1,x x

entonces lim ( ) 1,x

f x

según el teorema del emparedado.

sen ( ) 1

xf x

x

sensen( ) 1

xxf x

x x

0x

sen 1x 1( ) 1f x

x 0x

1lim 0x x

lim ( ) 1x

f x

1( ) 2 cosf x x

x

1 1( ) 2 cos cosf x x x

x x

1cos 1

x ( ) 2f x x

0lim 0x

x

22 21 1x x x

21 1x x x

21 11 1

x

x x

117

Continuidad de una función.

Definición. Sea f una función definida en un intervalo I y a un número real del intervalo .I Se

dice que f es continua en a si y solo si lim ( ) ( ).x a

f x f a

Se dice que f es continua en I si y solo si f es continua en todo punto de .I

EJEMPLOS

1. La función constante es continua en todo punto. En efecto, si ( ) ,f x k para todo ,xentonces:

0 0

lim ( ) lim ,x x x x

f x k k

es decir dicho límite existe y es finito y como 0( ) ,f x k se

concluye que 0

0lim ( ) ( ),x x

f x f x

lo que nos dice precisamente que la función f es continua en

0.x

2. La función identidad es continua en todo punto. En efecto, si ( ) ,f x x para todo ,x

entonces: 0 0

0lim ( ) lim ,x x x x

f x x x

y como 0 0( ) ,f x x se sigue que: 0

0lim ( ) .x x

f x f x

El siguiente teorema que enunciamos, constituye una herramienta o un método que nos permitirá construir funciones continuas a partir de las funciones elementales que acabamos de ver.

Operaciones con funciones continuas Teorema. Sean y f g dos funciones continuas en un intervalo .I Entonces, ,f g ,kf con k una

constante, y f

f gg

son funciones continuas en ,I exepto esta última en los puntos en los cuales el

denominador se anula. Consecuencia: Toda función polinomial, racional, irracional o trigonométrica es continua en su dominio de definición. EJEMPLOS

1. Sea 1

( ) .f xx

Esta función es continua para todo valor de x diferente de cero, ya que 0x es

un punto de discontinuidad.

2. Determinar todos aquellos puntos en los cuales la función f definida por 2

( )1

xf x

x

es

discontinua. Solución: Como hemos indicado antes, esta función será discontinua en todos aquellos valores de x para los cuales 2 1 0;x pero sabemos que esta ecuación no tiene solución en . Es

decir, no existe ningún x tal que 2 1 0;x en consecuencia f es una función continua para todo .x

3. Sea f la función definida por2 1

( ) .1

xf x

x

Es claro que f es una función continua, salvo en

el punto x tal que 1 0,x esto es, f es discontinua en 1.x

118

4. La función f definida por ( ) 1,f x x no está definida para todos los x tales que

1 0,x es decir, para 1.x Si 1,a se tiene que lim 1 1 ( ).x a

x a f a

Entonces se

sigue que f es continua para todo x salvo para aquellos valores de x tales que 1.x 5. Admitiremos que las funciones seno y coseno son continuas en . Otras propiedades de las funciones continuas

Teorema. Sea g una función de I en J, continua en I, y f una función continua en J, entonces

f g es continua en J.

Teorema. Si f es una función no negativa y continua en un intervalo ,I entonces f es continua

en .I

Teorema del valor medio. Sea f una función continua en un intervalo ,I y sean y a b dos

números reales de .I Para todo real k entre ( ) y ( ),f a f b existe (por lo menos) un número real c

entre y a b tal que ( ) .f c k

Teorema del valor medio. Sea f una función continua y estrictamente monótona en un intervalo

, .a b Para todo real k entre ( ) y ( ),f a f b existe un único número real c entre y a b tal que

( ) .f c k

Cálculo de Límites de Funciones Continuas.

En la definición dada de continuidad tenemos que si f es continua en 0x debe cumplirse que:

00lim ( ) ( ),

x xf x f x

entonces, si al tratar de determinar el límite de una función f en un punto 0 ,x

reconocemos que dicha función es continua, para calcular dicho límite es suficiente evaluarla en el punto 0.x

EJEMPLOS

1. 3 2 3 2

2lim 3 8 2 3 2 8 12,x

x x

ya que la función real f definida por

3 2( ) 3 8,f x x x es continua en 2.x

2. 2

lim 1,2x

sen x sen

ya que ( )f x sen x es una función continua en .2

119

EJERCICIOS

1. Hallar una función f que sea discontinua en los puntos 1 1

1, y ,2 3

x x x pero continua en

todos los demás puntos.

2. Sea la función f definida por 2

2

1( ) .

1

xf x

x x

¿Para qué valores de x es continua la función

f ?

3. Indique dónde es discontinua la función f definida por: 2

2 , si 0

( ) 3, si 0

1, si 0

x x

f x x

x x

4. Sea la función f definida por: 2

2, si 1

( ) 3, si 1 2.

8, si 2

x x

f x x x

x x

a. Realice un gráfico de la función .f

b. ¿Es f continua en 1x ?¿Y en 2x ?¿Es continua en los demás puntos?¿Es continua por

la izquierda en 1x ?¿Es continua por la derecha en 1x ? 5. Encontrar los puntos de discontinuidad de las funciones definidas como a continuación se

indica:

a) 2 2

( ) .x a

f xx a

b)

26 5 4( ) .

2 1

x xf x

x

c) ( ) 1 2f x x x

d)

2( ) 2 2.f x x x e)

3 1 1( ) .

1 1

xf x

x

f) 4

2( ) .

1f x

x

g) 3 2

3( ) .

4 11 30

xf x

x x x

h)

2

3 2

3( )

5 7

x xf x

x x x

i)

2

3

3( ) .

8

x xf x

x

6. Determinar lim ( )x

f x

en cada uno de los siguientes casos:

a. 2( ) 3 5 7.f x x x Una función polinomial se comporta en el infinito como su término de

mayor grado.

b. 3( ) 2 7 9.f x x x

c. 5 11 7 5 4 3 2( ) 2 1 3 2 3 1 .f x x x x x x x x x

d. 2

2

3 1( ) .

1

x xf x

x x

Una función racional se comporta en el infinito como el cociente de sus

términos de mayor grado.

120

e. 25 3

( ) .2

x xf x

x

f. 2

7 1( ) .

1

xf x

x

.

g. 2

2 1( ) .

1

x xf x

x

(Poner como factor el término de mayor grado.)

h. 2( ) .f x x sen x

i. 3 2( ) cos .f x x x

j. ( ) .sen x

f xx

k. 2

2

2 cos 1( ) .

2

x x xf x

x

(Poner como factor el término de mayor grado.)

l. 2( ) 2 1 .f x x x

m. 2( ) 4 1 2 .f x x x

n. 2( ) 9 2 3 1.f x x x x

o. 1 1

( ) .2 2

xf x

x

(Levantar la indeterminación utilizando la cantidad conjugada)

7. Estudiar 1

lim ( )x

f x

en cada uno de los siguientes casos:

a. 2( ) 3 4 1.f x x x

b. 2

2 1( ) .

2 1

xf x

x x

c. 2

2

2 3 5( ) .

3 2

x xf x

x x

d. 4

2

1( ) .

2 3

xf x

x x

.

e. 3 2

( ) .1

xf x

x

f. 1 1

( ) .2 2

xf x

x

g. 2 2

( ) .1

sen xf x

x

Recuerde que

0lim 1.x

sen x

x

8. Determinar los límites de f en los extremos de su dominio, en cada uno de los siguientes

casos:

a) 2 1

( ) .3

xf x

x

b)

2

2

3 2( ) .

9

x xf x

x

c)

3

2

4 2( ) .

2 3 5

xf x

x x

d)

1 1( ) .

2 2

xf x

x

e)

( ) 2 3 .f x x sen x

f) 2

1( ) .

2 3 2

x xf x

x x x

121

9. Sea 2

2

5 14( ) .

3 19 14

x xf x

x x

a. Mostrar que es raíz del denominador. Deducir el dominio de definición de la función .f

Respuesta: 2

( ) 7; .3

x Dom f

b. En el dominio de ,f simplificar .f Respuesta:2

( ) , 7.3 2

xf x x

x

c. Calcular los siguientes límites:

7 2 2

3 3

lim ( ); lim ( ); lim ( ); lim ( ); lim ( ).x x x

x x

f x f x f x f x f x

10. Verificar que:

g) 3 2lim 2 5 3 .x

x x x

h)

2

2

2 1lim 2.

1x

x x

x

i) 2

1lim .

2x

x

x

j)2

1lim .

2x

x

x

k) 2 1

lim .2x

x x x

l) 3

2

1lim 8.x

x x x

m) lim 2cos .

xx x

n)

11. Demostrar que, para todo , cos 2x sen x x y deducir 2

coslim .x

sen x x

x

ASÍNTOTAS (horizontal, vertical, oblicua)

Definición de asíntotas.

ii) Si lim ( ) o ,x a

f x

entonces la recta de ecuación x a se llama asíntota vertical

a la gráfica fC de .f

iii) Si lim ( ) respectivamente lim ( ) ,x x

f x L f x L

entonces la recta de ecuación y L

se llama asíntota horizontal a la gráfica fC de f en (respectivamente en ).

iv) Si( )

lim ( ) , limx x

f xf x a

x con a un número real y lim ( ) ,

xf x ax b

con b un

número real, entonces la recta de ecuación y ax b se llama asíntota oblicua a la gráfica

fC de f en .

122

v) Si ( )

lim ( ) , limx x

f xf x a

x con a un número real y lim ( ) ,

xf x ax b

con b un

número real, entonces la recta de ecuación y ax b se llama asíntota oblicua a la

gráfica fC de f en .

Posición de la curva y de su aíntota

Si ( ) 0f x ax b la gráfica fC se encuentra arriba de su asíntota.

Si ( ) 0f x ax b la gráfica fC se encuentra abajo de su asíntota.

Ejemplos gráficos:

EJEMPLOS

1. Determinar las asíntotas a la curva fC en cada uno de los siguientes casos:

es asíntota horizontal

y

x

P

MCf : y =

x

L

El número es la distancia con P(x ; L) y

es asíntota vertical de

∆

es asíntota oblicua en

b

123

a. 3 1

( )1

xf x

x

b.

2

2

2 1( ) .

4 3

xf x

x x

Solución: a. La recta de ecuación 1x es una asíntota vertical. La recta de ecuación 3y es una

asíntota horizontal.

b. Como

2 2 2

2 2

2 1 2 1 2 1( ) ,

4 3 4 3 3 1

x x xf x

x x x x x x

se sigue que las rectas de

ecuaciones 3x y 1,x son asíntotas verticales. Además 2

8 5( ) 2 ,

4 3

xf x

x x

de

donde la recta de ecuación 2y es una asíntota horizontal. No existen asíntotas

oblicuas. 2. Determinar las asíntotas a la curva fC en los casos siguientes:

a. 3

( ) 2 1 .2

f x xx

b. 2

2 3( ) 5 1 .

1 1f x x

x x

Solución: a. La recta de ecuación 2x es una asíntota vertical. La recta de ecuación 2 1y x es una

asíntota oblicua. b. La recta de ecuación 1x es una asíntota vertical. La recta de ecuación 5 1y x es

una asíntota oblicua.

3. Sea f la función real definida en 1 por 3 2

( ) .1

xf x

x

a. Calcular los límites de f en los extremos de su dominio. Determinar las asíntotas de .fC

b. Precisar la posición de la curva con relación a sus asíntotas. Solución:

a. Como ( ) 1 ;1 1; ,Dom f 11

3 2lim

1x

x

x

porque

11lim 3 2 1x

x

y

11

lim 1 0 .x

x

11

3 2lim

1x

x

x

porque

11lim 3 2 1x

x

y 11

lim 1 0 .x

x

233 2 3 2

lim lim 3 lim .11 11

x x x

x xxx x

x

Asíntotas de :fC

1 : 1x es una asíntota vertical. 2 : 3y es una asíntota horizontal en y en .

b. Posición de la curva en relación a sus asíntotas.

Como 3 2 3 2 3 3 1( ) 3 3 0,

1 1 1

x x xf x

x x x

entonces ( ) 3 0f x si

1.x Por lo tanto fC está arriba de 2 en ;1 y está debajo de 2 en 1; .

124

4. Las mismas preguntas para las funciones definidas por 3

2

1( ) y ( ) .

4 2

x xg x h x

x x

Dibujar un bosquejo de la situación.

a. ( ) 2;2 .Dom g

Asíntotas de .gC 1 2 3: 2; : 2; : 0.x x y

b. ( ) 2 .Dom h

Asíntotas de .hC 1 : 2x y la “rama parabólica” de ecuación 2.y x


1. Sea f la función definida en 1 por 2 3 3

( ) .1

x xf x

x

a. Determinar tres números reales , y a b c tales que , para cualquier x de 1 ,

( ) .1

cf x ax b

x

Respuesta:

1( ) 2 .

1f x x

x

b. Deducir que fC tiene una asíntota oblicua cuando x se acerca a . Precisar, para x

suficientemente grande, la posición relativa de fC y . Respuesta: : 2y x es

asíntota oblicua a fC en y .

c. En , la curva está arriba de y en , la curva está abajo de .

2. Sea f la función definida en 2 por 2 3

( )2

x xf x

x

y fC su curva representativa

en un sistema de coordenadas cartesianas. a. Determinar los límites de f en y . Respuesta: lim ( ) ; lim ( ) .

x xf x f x

b. Mostrar que, para todo 2,x ( )f x se puede escribir como ( ) ( )f x ax b x con

lim ( ) 0.x

x

Respuesta:

1( ) 1 .

2f x x

x

c. Deducir la existencia de una asíntota oblicua (precisar su ecuación y la posición relativa

de fC y . ) Respuesta: 1lim ( ) 1 lim 0.

2x xf x x

x

d. Construir fC y sus asíntotas. Respuesta: : 1y x es asíntota en y en . Si

0,x 1( ) 1 0 (respectivamente 0)

2f x x

x

entonces fC está arriba de en

(respectivamente , abajp de en . ) El gráfico es

y

x

Graphe Easy - version non enregistrée

125

3. Sea f la función real definida en por 2( ) 1.f x x x Mostrar que la curva

representativa fC de f admite a la recta : 2 0y x como asíntota oblicua en .

4. Sea f la función real definida por 2

2

3 8 3( ) .

2 7 3

x xf x

x x

a. Calcular los siguientes límites, justificando el resultado: 1

lim ( );x

f x

lim ( );x

f x

3lim ( );x

f x 1

21

2

lim ( );x

x

f x

1

2

lim ( ).x

f x

Respuestas: 1

lim ( ) 4;x

f x

3

lim ( ) ;2x

f x

3lim ( ) 2;x

f x

1

21

2

lim ( ) ;x

x

f x

1

2

lim ( ) .x

f x

b. Calcular el límite siguiente: 5

1 2lim .

5x

x

x

Respuesta: 1

.4

c. A partir de la siguiente representación gráfica de la función ,g establecer la tabla de

variaciones de ,g indicando los límites.

5. Sea f la función real definida por 2

2

5 11 2( ) .

4 11 6

x xf x

x x

Justificando el resultado, verificar

que: 1

lim ( ) 4;x

f x

5

lim ( ) ;4x

f x

2

14lim ( ) ;

9xf x

3

4

lim ( ) ;x

f x

3

4

lim ( ) .x

f x

6. Calcular el límite siguiente: 4

5 3lim .

4x

x

x

Respuesta:1

.6

126

CAPÍTULO 6 DERIVACIÓN Contenido del capítulo:

Interpretación geométrica de la derivada. Tangente a una curva Derivada de las funciones usuales. Derivada de una suma, de un producto y de un cociente. Derivada de la función compuesta (regla de la cadena) Derivación implícita Monotonía y derivación. Máximos y mínimos. Trazado de curvas.


1. Encuentra la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado. 2. Calcula la derivada aplicando la definición. 3. Calcula la derivada aplicando las propiedades de la derivada. 4. Halla los valores óptimos de una función. 5. Traza el gráfico de una función usando la derivada.

Introducción

Todo lo que nos rodea en el mundo físico está en constante cambio; algunas cosas cambian rápidamente mientras que otras no. Se sabe, por ejemplo, que las plantas crecen y por eso su tamaño varía, aunque muy lentamente; las alas de los insectos se mueven cuando los insectos vuelan, aunque ese movimiento es tan rápido que es imposible seguirlo con la vista; el movimiento de un automóvil es un ejemplo intermedio; su velocidad se puede medir con el velocímetro.

Este capítulo trata de los cambios y, en particular, de la razón de cambio de las cosas y está dedicado principalmente a construir un modelo matemático para describir y medir la razón de cambio, es decir, el concepto de derivada de la función.

La idea central del cálculo diferencial es la noción de derivada, que tuvo origen a principios del siglo XVII, mucho antes de las teorías que se han expuesto anteriormente, siendo Newton y Leibniz los dos grandes matemáticos que completaron el trabajo de sus predecesores creando realmente un nuevo cálculo, ya que fueron los primeros que comprendieron la importancia verdadera de la relación entre el problema de hallar el área de una región dada por una curva y el de hallar la tangente en un punto de una curva.

127

Como la idea de hallar la tangente a una curva y la de calcular la velocidad están muy relacionadas, se han escogido estos problemas como punto de partida, ya que están unidos en la formación del concepto básico del cálculo diferencial.

PARA EMPEZAR

1. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares del plano, se define por sus ecuaciones

las rectas: y donde son reales dados.

2. Precisar si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas.

a. La recta tiene como coeficiente director

b. La recta es paralela al eje de las abscisas.

c. Si entonces es paralela a la recta

d. Si es paralela a la recta entonces

e. La recta no tiene coeficiente director.

f. La ordenada en el origen de la recta es

3. Para cada una de las afirmaciones siguientes, precisar la respuesta correcta.

a. El coeficiente director de la recta es:

i. ii. iii. iv.No existe

b. El coeficiente director de la recta es:

i. No existe. ii. 0 iii. iv.

c. El coeficiente director de la recta es:

i. 0 ii. 5 iii. iv. No existe.

d. Si un punto es tal que entonces:

i. ii. iii. iv.

4. Para cada una de las afirmaciones siguientes, precisar la o las respuestas correctas.

a. Sean con El coeficiente director de la recta es

1 2

2: 5, : 5

3d y x d x 3 : ,d y ax b y a b

1d 5.

2d

2

3a 3d 1.d

3d 1,d2

3a

2d

3d .b

AB

5

2

2

5

5

2

AC

2 2.

BC

5

D5

,2

C D

C D

y y

x x

/ /CD AB D BC B CD / / .CD Oy

21;1 y ;A M x x 1.x AM

128

i. ii. iii. iv.

b. Sean con y diferente de El coeficiente director de la recta

es:

i. ii. iii. iv.

c. Sean y el punto de abscisa de la curva representativa de la función

con y de El coeficiente director de la recta es:

i. ii. iii. iv.

5. Encontrar las respuestas correctas.

Considerando el gráfico, la recta dada tiene como coeficiente director o pendiente:

a. 1 para D₁ b) 4 para D₂ c) 3 para D₃d) para D₅e) para D₆

f) No existe coeficiente director para D₄.

DERIVADA Y TANGENTE A UNA CURVA

Tasa de crecimiento

Definición. es una función definida en un intervalo son dos números reales del

intervalo con

La tasa de crecimiento de entre es el cociente

2 1

1

x

x

1x 1x 21

1

x

x

1;1 y ;A M x x 0x 1.

AM

1

1

x

x

1

1

x

x

1

1x 1

1x

1;1A M 1 h1

,xx

0h 1. AM

11

11

hh

1hh

h

1

1 h

1

1 h

5

3 2

f ;I y a a h

I 0.h

f y a a h ( ).

f a h f a

h

129

Derivada de una función en un punto

Definición. es una función definida en un intervalo son dos números reales del

intervalo con

Decir que es derivable en significa que cuando tiende hacia , la tasa de crecimiento

tiende hacia un número real Se escribe Ese número

real es llamado la derivada de la función en y se nota Es decir que

Observe que de donde se puede escribir:

o sea, la derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Para denotar la derivada se emplean diversos símbolos:

0 o ( )dy df

xdx dx

(Leibniz)

0' o '( )y f x (Lagrange)

Las expresiones: son notaciones para la derivada de una función.

En este texto se utiliza, en general, las notaciones de Leibniz y de Lagrange. Por tanto, se escribe:

o (velocidad del movimiento)

o (pendiente de la tangente a la curva )

f ;I y a a h

I 0.h

f a h 0

( )f a h f a

h

.L

0

( )lim .h

f a h f aL

h

L f a '( ).f a

0

( )'( ) lim .

h

f a h f af a

h

,f a h f a y

0

' lim ,x

yf a

x

( ),df

xdx

'( )f x

dsv

dt '( )v s t

dym

dx '( )m y x ( )y f x

130

EJEMPLOS

1. La función es derivable en cero con pues:

2. La función es derivable en pues:

La función no es derivable en

Tangente a la curva representativa de una función

es una función definida en un intervalo y derivable en un número real de Sea su curva

representativa en un sistema de coordenadas rectangulares y sean y

con dos puntos de El coeficiente director de la recta es:

Cuando tiende a el cociente tiende hacia el número real y

gráficamente la recta tiene por “posición límite” la rectaT que pasa por A y de coeficiente

director

Definición. es una función definida en un intervalo derivable en un número real del

intervalo En un sistema de coordenadas rectangulares, la tangente a la curva representativa de la

función en el punto de abscisa es la recta que pasa por y de coeficiente director

2x x '(0) 0,f 2 2

0 0

0 0lim lim 0.h h

hh

h

1x

x 2;

1'(2) ,

4f

0 0 0 0

1 12 2 1 12 2lim lim lim lim .

2 2 2 2 4h h h h

hh hh

h h h h h

x x 0.x

f I a .I C

, ( )A x f a ,M a h f a h

0h .C AM

( ).

f a h f a

h

h 0, ( )f a h f a

h

'( )f a

AM

'( ).f a

f ,I a

.If A a A '( ).f a

131

Una ecuación de la tangente a fC en el punto de abscisa a es

La ecuación de la recta normal a la curva en el mismo punto A está dada por:

FUNCIÓN DERIVADA

Definición. es una función definida en un intervalo Decir que es derivable en el intervalo

significa que es derivable en todo número real de La función derivada de es la función

que, a todo número real de asocia el número esta función es notada


1. es la función definida en por Demostrar que es derivable en 2 y

dar su número derivada en 2. Solución

Para obtener el límite de cuando tiende hacia se comienza por

efectuar transformaciones de escritura de ese cociente. Así:

Si tiende a entonces tiende hacia Luego

Es decir que es derivable en 2 y que

2. es la función definida en por

a. Escribir la forma canónica de la función Dar las coordenadas del vértice.

b. Trazar la curva representativa de así como la tangente en el punto de

abscisa Solución a. La forma canónica está dada por:

'( ) ( ).y f a x a f a

1( ).

'( )y x a f a

f a

f .I f

I f .I f

x ,I '( ).f x '.f

f 2( ) 2 3.f x x x f

( )f a h f a

h

h 0,

2 2

2 2

2 2 2 3 2 2 2 32 (2)

4 4 4 2 3 3 22.

h hf h f

h h

h h h h hh

h h

h 0, 2h 2.

0 0

2 (2)lim lim 2 2.h h

f h fh

h

f '(2) 2.f

f 2( ) 2 5 3.f x x x .f

f a T C A

1.

132

b. Las coordenadas del vértice son

3. Se considera la función real definida en por Trazar la parábola que

representa así como las tangentes a dicha parábola en los puntos de abscisas

respectivas

Solución

4. Dada la función calcular la pendiente de la tangente a esta curva en y

en Solución

Para se tiene

5. Calcular la pendiente de las tangentes a la curva en:

Solución

Luego

Para para y para

2 2

2

5 25 25( ) 2 5 3 2 3

2 4 2

5 312 .

2 2

f x x x x x

x

5 31; .

2 2

f 2( ) 2 3 2.f x x x f y A C

1 y 1.

2 2

2

3 9 9( ) 2 3 2 2 2

2 4 2

3 132 .

2 2

f x x x x x

x

2( ) 2 1,f x x x a

1.x

2 2

2 2 2

2

2 1 2 1( )

2 4 2 1 2 1

4 24 2 .

a h af a h f a

h h

a ah h a

h

ah ha h

h

0 0

( )lim lim 4 2 4 .h h

f a h f am a h a

h

1x 4 1 4.m

( )f x x 1, 2 y 4.x x x

( )

1.

f x h f x x h x x h x x h x

h h h x h xx h x

x h xh x h x

0 0 0

( ) 1 1lim lim lim .

2h h h

f x h f x x h xm

h h x h x x

1

11, ;

2x m 2,x 2

1

2 2m 3

14, .

4x m

133

6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

Solución El cálculo de la pendiente en un punto es:

Por tanto

La pendiente para es 7. La ecuación de la recta tangente que pasa por el punto

con pendiente es de donde se determina que Por tanto, la

ecuación pedida es

Derivada de algunas funciones usuales

1. Sea una constante y sea la función real definida por una función constante.

Si es un número real cualquiera:

Luego, la función constante es derivable y admite una derivada nula en todo punto de

Así por ejemplo:

Si entonces

Si entonces

2. Sea la función de en definida por y un número real arbitrario. Se tiene

Luego, la función identidad es derivable y admite por derivada 1 en todo punto de

Consideremos la función lineal de en definida por con una constante,

y un número real cualquiera. Se tiene:

22 2y x x 2;4 .

, ( )x a a Dom f

2 2

2

2 2 2 2( )

4 24 2 1.

a h a h a af a h f a

h h

ah h ha h

h

0

lim 4 2 1 4 1.h

m a h a

2x 2;4

7m 7 ,y x b 10.b

7 10.y x

k f ( ) ,f x k

0x

0 00 0 0

0 0

' lim lim

0lim lim 0 0.

h h

h h

f x h f x k kf x

h h

h

0x .

9y 0.dy

dx

3y ' 0.y

f ( )f x x 0x

0 0 0 00 0 0 0 0

' lim lim lim lim1 1.h h h h

f x h f x x h x hf x

h h h

0x .

f ( ) ,f x ax a

0x

0 0 0 00 0 0 0 0

' lim lim lim lim .h h h h

f x h f x a x h ax ahf x a a

h h h

134

Luego, una función lineal definida por es derivable en todo punto de y

Es decir:

Así por ejemplo:

Si entonces

Si entonces

3. Consideremos la función afín de en definida por con y sea

un número real arbitrario. Se tiene

El gráfico de la función lineal es una línea recta, la cual se considera como su

propia tangente. En resumen, si entonces

Así por ejemplo:

Si entonces

Si entonces

4. Sea la función definida por con una constante no nula. Se tiene:

Por tanto,

5. Sea la función de en definida por con Sea un número real

cualquiera. Recordemos la identidad:

Luego:

Luego, la función es derivable en todo punto y

( ) ,f x ax 0x

0'( ) .f x a

( ) '( ) , .f x ax f x a x

( ) 5f x x '( ) 5.f x 3

( )5

f x x 3

'( ) .5

f x

f ( ) ,f x ax b y a b 0x

0 00 00

0 0 0 0' lim lim lim lim .

h h h h

a x h b ax bf x h f x ahf x a a

h h h

y ax b

( ) ,f x ax b '( ) .f x a

( ) 3 2f x x '( ) 3.f x 2 3

( )7 8

f x x 2

'( ) .7

f x

f 2( ) ,f x a x a

2 2 2 2 2

0 0 0

2

0 0

2' ' lim lim lim

2lim lim 2 2 .

h h h

h h

f x h f x a x h ax ax axh ah axy f x

h h h

axh ahax ah ax

h

2 2( ) '( ) ' 2 .f x ax f x ax ax

f ( ) ,nf x x *.n 0x

1 2 3 2 1 1 .n n n n n n k k nx y x y x x y x y x y y

0 0

0

0

0 0

0 0

1 2 3 2 1 10 0 0 0 0

0

1 2 3 2 1 10 0 0 0

1 2 3 2 1 10 0 0 0 0 0 0 0

10

' ' lim lim

lim

lim

.

n n

x x x x

n n n n k k n

x x

n n n n k k n

x x

n n n n k k n

n

f x f x x xy f x

x x x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

nx

*: , ,nf x x n 0x 10 0'( ) .nf x n x

135

Así por ejemplo:

Si entonces

Si entonces

6. Si es la función real definida por con probar que es derivable en

todo punto y

7. Sea definida por Estudiemos la derivabilidad de en un punto

En consecuencia, la función es derivable en todo punto de y se tiene

que

8. Sea definida por Mostremos que la función es

derivable en cualquier punto 1 1

0 0

1 1 1 2 1 1

1 2 1 10

1 1

1 2 10

( ) ( ) ( )'( ) lim lim

( ) ( ) ( )

lim

( ) ( )

( )

lim

( ) ( )

n n

h h

n n n

n n n n n n

n n nhn n n n

n n

n n

n n nhn n n

f x h f x x h xf x

h h

x h x x h x h x x

h x h x h x x

x h x

h x h x h x x

1

n

3( ) 5f x x 2'( ) 15 .f x x

82( )

7f x x 716

'( ) .7

f x x

f ( ) ,nf x ax * ,n f

x 1'( ) .n ndf x anx a x

dx

: 0;f ( ) .f x x f

0 .x

0 0 0

0 0 0

0 000

0 0 0 0

2 2

0 0

00 0 0 0

0 0 0

' lim lim lim

1lim lim lim

1 1.

2

x x x x x x

x x x x x x

x x x xx xf x f xf x

x x x x x x x x

x x x x

x xx x x x x x x x

x x x

:f x x x 0;

1'( ) .

2f x

x

: 0; ,f 1

( ) , 0.nf x x x f

.x

136

1 2 1 10

1 2 1 10

11

1 11 2 1 10 1

( )lim

( ) ( )

lim

( ) ( )

1 1 1 1lim .

( ) ( )

n n nhn n n n

n n nhn n n n

nnn n nhn nn n n n

x h x

h x h x h x x

h

h x h x h x x

xn

nx nxx h x h x x

Es decir:

Así por ejemplo:

Si entonces

Si entonces

9. Dada la función definida por se tiene que

Es decir que

Se propone como ejercicio, probar que si ( ) cosf x x entonces '( ) .f x sen x

10. Derivada de la función logarítmica. Sea la función real definida por Entonces

1 111

( ) , '( ) .n nf x x n f x xn

1

3( ) 5f x x2

35'( ) .

3f x x

1

81( )

7f x x

7

81'( ) .

56f x x

:f ( ) ,f x sen x

0 0

0

0 0 0

' lim lim

2cos2 2

lim , pues 2cos2 2

2 2' lim cos lim cos , pues lim 1.

22 2

h h

h

h h h

f x h f x sen x h sen xf x

h hx h x x h x

sena b a b

sen a senb senh

h hsen sen

hf x x x

h h

( ) '( ) cos .f x sen x f x x

f ( ) ln , 0.f x x x

137

Para lo cual es necesario admitir que donde y como

se tendrá finalmente que

Es decir que:


Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función en el punto en

cada uno de los siguientes casos

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Teorema. Sean una función de en y Si es derivable en entonces

es continua en

Nota: No toda función continua es derivable.

0 0

0 0 0

0 0

ln ln' lim lim

ln1 1

lim lim ln 1 lim ln 1 , pues 0.

1 1lim ln 1 lim ln 1

1.

h h

h h h

x x

h h

h h

f x h f x x h xf x

h hx h

h x hxx

h h x x h x

h h

x x x x

x

1

0lim ln 1 ,xx

x e

2,71828e

ln 1,e 1

'( ) .f xx

1( ) ln , con 0 '( ) .f x x x f x

x

f 0 ,x

4 30: 3 2 , 1.f x x x x

03

1: , 3.

2f x x

x

0: 1, 4.f x x x 2

0: 4 4, 2.f x x x x

0

1: , 4.

3

xf x x

x

0: , 1.f x sen ax b x

0: cos , .f x ax b x

0: ln 3 , 1.f x x x

f 0 ( ).x Dom f f 0 ,x

f 0 .x

138

EJEMPLO

La función es continua en y tiene una cúspide en ese punto. Las derivadas

laterales en son: por lo que no es derivable en


1. Sea la función real definida por:

a.

b. ¿es derivable en ?

c. ¿Es derivable en ?

d.

e. ¿Es derivable en ?

2. Determinar los números reales para que la función sea derivable en si

Aproximación afín de una función en una vecindad de

De acuerdo a la definición de derivada, cuando una función es derivable en se tiene:

O también, Si llamamos a la

expresión , se deduce que

con cuando

Si se desprecia el término se puede escribir una aproximación de en una vecindad

de (es decir para cercano a ) bajo la forma:

( )f x x 0x

0x ' (0) 1 y ' (0) 1,f f f 0.x

f

( ) 1 , ¿ '(0) existe? ¿Existe '(1)?f x x x f f

( ) 3 1,f x x f 3x

( ) 2.f x x f 2x

( ) 3 1 . ¿Existe '( 3)? ¿Existe ' (1)?f x x x f f

2( ) .f x x x f 0x

y a b f 0,x 23 , si 0

( ) .2, si 0

x x a xf x

bx x

a

f ,a

0

( )'( ) lim .

h

f a h f af a

h

0

( )lim '( ) 0.h

f a h f af a

h

( )h

( )'( )

f a h f af a

h

( ) '( ) ( ),f a h f a h f a h h ( ) 0h 0.h

( )h h f a h

a h 0 ( ) '( ).f a h f a h f a

139

Se dice que la función es una “aproximación afín” de cuando es

cercano a

EJERCICIOS

1. Justificar la denominación de “aproximación afín”

2. Escribir una aproximación afín cuando es la función raíz cuadrada y para Encontrar,

sin calculadora, un valor aproximado de los números reales siguientes:

3. Escribir una aproximación afín cuando es la función definida por y

Encontrar, sin calculadora, un valor aproximado de los números reales siguientes:

a.

b.

4. En el siguiente gráfico, justificar las tres cantidades indicadas en color.

5. Se considera la función cuadrado y su curva representativa trazada en un sistema de

coordenadas rectangulares. ¿Existe un punto de tal que la tangente a en el punto

sea paralela a la recta de ecuación ?

REGLAS DE DERIVACIÓN

El procedimiento para calcular la derivada usando la definición, es claro y preciso, pero puede resultar engorroso si la función por derivar toma formas más complicadas, como por ejemplo,

y

( ) '( )h f a h f a f a h h

0.

f 1.a

1,02, 0,996.

f1

( )f xx

2.a

1,

2,004

1.

1,992

fC

A fC fC A

y x

4( )

1

xf x

x

12 205 7( ) 1 10 .g x x x

140

Estamos en condiciones de demostrar teoremas que proporcionen reglas de derivación, por medio de las cuales la derivada de cualquier función se obtiene más fácilmente, sin necesidad de evaluar

en cada caso el Estos teoremas se demuestran, precisamente, al aplicar la definición de

derivada. Las reglas obtenidas se deben memorizar.

Derivada de una suma de funciones

Teorema. Sean funciones derivables en un intervalo abierto se tiene que

Demostración.

Es decir que: La derivada de una suma de dos funciones derivables es igual a la suma de sus derivadas.

Nota. Se puede demostrar que si son funciones derivables en entonces

Derivada de una constante por una función

Teorema. Sea una función derivable en un intervalo abierto y una constante. Se tiene que

Demostración.

Por tanto,

0lim .x

y

x

y f g ,I :x I

'( ) '( ) '( ).f g x f x g x

0 0

0

0 0

( ) ( )' lim lim

( ) ( )lim

( ) ( )lim lim

'( ) '( ).

h h

h

h h

f g x h f g x f x h g x h f x g xf g x

h hf x h f x g x h g x

hf x h f x g x h g x

h hf x g x

y f g x

'( ) '( ) '( ).f g x f x g x

f ,I

:x I '( ) '( ).f x f x

0 0

0

' lim lim

lim '( ).

h h

h

f x h f x f x h f xf x

h hf x h f x

f xh

( ) ( ).d d

f x f xdx dx

141

La derivada de una constante multiplicada por una función es la constante por la derivada de la función, si esta derivada existe.

EJEMPLO

Si donde es un entero positivo y una constante, entonces o

Así,

Si entonces

Si es la función real definida por entonces

Si es la función real definida por entonces

En base a los dos últimos resultados se puede extender, por inducción matemática, a la suma de cualquier número finito de funciones y entonces la regla general de la derivada de una suma es

donde los son constantes.

El resultado anterior es útil, pues proporciona una regla para derivar cualquier función polinomial.

EJEMPLO

Si entonces:

Derivada de un producto de funciones

Teorema. Si son funciones y si es la función definida por si y

existen, entonces

La derivada de un producto de dos funciones derivables es igual a la primera función por la derivada de la segunda función más la segunda función por la derivada de la primera.

( ) ,nf x kx n k 1'( ) nf x knx

1.n ndkx knx

dx

7( ) 8 ,f x x 6'( ) 56 .f x x

f 3 2( ) 2 3 5 1,f x x x x 2'( ) 6 6 5.f x x x

g 4 3 21 1 1( ) 1,

4 3 2g x x x x x

3 2'( ) 1.g x x x x

1 1

'( ) '( ),n n

i i i ii i

f x f x

i

7 5 3( ) 5 9 5 3,f x x x x

7 5 3 7 5 3

7 5 3 6 4 2

'( ) 5 9 5 3 5 9 5 3

5 9 5 0 35 45 15 .

d d d d df x x x x x x x

dx dx dx dx dxd d d

x x x x x xdx dx dx

y f g h ( ) ( ) ( ),h x f x g x '( )f x

'( )g x

'( ) '( ) ( ) '( ) '( ) ( ).h x f g x f x g x f x g x

142

Demostración:

Nota: Como es derivable en es continua en Por ello

EJEMPLOS

1. Verificar la regla para la derivación del producto de las funciones de en definidas

por y

Solución

De se sigue que para todo

número real Si ahora se aplica la regla de la derivada de un producto, se sigue:

2. Si encontrar

Solución

Observación. De los resultados anteriores se sigue que

donde son constantes.

Generalización. Sean funciones derivables en y son

constantes arbitrarias, entonces

0 0

0

0

0

0

( ) ( )( ) ( )'( ) lim lim

( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( )lim ( )

k k

k

k

k

k

f g x k f g xh x k h xh x

k kf x k g x k f x g x

kf x k g x k f x k g x f x k g x f x g x

kf x k g x k g x g x f x k f x

kg x k g x

f x kk

0

0 0 0 0

( ) ( )lim ( )

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim lim ( ) lim

( ) '( ) ( ) '( ).

k

k k k k

f x k f xg x

k

g x k g x f x k f xf x k g x

k kf x g x g x f x

f ,x f .x0

lim ( ) ( ).k

f x k f x

y f g ( ) 2 1f x x ( ) 1.g x x

2( ) ( ) 2 1 1 2 1,f x g x x x x x ( ) ( ) ' 4 1,f x g x x

.x

( ) '( ) ( ) '( ) 2 1 '( ) 1 '( )

2 1 (1) 1 (2) 4 1.

f x g x g x f x x g x x f x

x x x

3 2 5 2( ) 2 4 3 ,h x x x x x '( ).h x

3 2 4 2 5 2

7 6 4 3 7 6 4 3

7 6 4 3

'( ) 2 4 15 2 6 8 3

30 60 4 8 18 24 6 8

48 84 10 16 .

h x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

'( ) '( ) '( ),f g x f x g x y

1 2 3, , , , nf f f f x 1 2 3, , , , n

143

o en forma

abreviada:

Según este resultado, si es la función polinomio definida por se sigue que

Igualmente, la fórmula de la derivada de un producto se generaliza a:

En particular

Así:

Si y si entonces

Si entonces

Si entonces

Si entonces

o lo que es lo mismo

En el siguiente ejemplo, vamos a establecer el resultado correspondiente a la derivada de una

función real definida por con un número racional, es decir un número de la forma

con números enteros y

3. Sea con Como aplicando un resultado anteriormente

establecido, se sigue que:

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3'( ) '( ) '( ) '( ) '( ),n n n nf f f f x f x f x f x f x

1

'( ) '( ).n

i i i ii

f x f x

p0

( ) ,n

kk

k

p x a x

1

0 0 1

'( ) ' ' .n n n

k k kk k k

k k k

p x a x a x ka x

1 2 3 1 2 3

1 2 1 2

'( ) '( ) ( ) ( ) ( )

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )n n

n n

f f f f x f x f x f x f x

f x f x f x f x f x f x

1( ) ( ) ' ( ) '( ), 2.

n n ndf x f x n f x f x n

dx

( ) ,f x x '( ) 1f x ( ) ( ) ( ),nn ng x x f x f x

1 1'( ) ( ) '( ) .n ng x n f x f x nx

7( ) 3 1f x x 6 6

'( ) 7 3 1 3 21 3 1 .f x x x

53 2( ) 5 3f x x x 43 2 2'( ) 5 5 3 3 10 .f x x x x x

( ) , '( ) cos y ( ) ( ) ,nnf x sen x f x x g x sen x f x

1'( ) cos

ng x n sen x x

1'( ) cos .ng x n sen x x

( ) ,rf x x r

,n

m y n m 0.m

( ) ,rf x x .n

rm

1

( ) ,

n

mf x x

144

En consecuencia:

Así:

4. Si es la función definida por entonces

5. Si podemos aplicar la fórmula de la derivada de una producto, puesto que

y en este caso:

6. Si entonces

7. Si entonces

11 1 1 11

1 11 1

1

1'( )

.

n n

m m m m

n nrm m m

df x n x x nx x

dx m

n nx x rx

m m

1( ) , con '( ) .r rf x x r f x rx

5 3 3 1

2 2 2 25 3

( ) '( ) .2 2

f x x x f x x x

7 151 1

8 82 27 1

( ) '( ) .8 2

f x x x f x x x

f 2( ) 3 2 ,f x x x

2 2

2

2 2

2

'( ) 3 2 ' 3 ' 2

3 1 2 2

3 2 6

3 6 3.

f x x x x x

x x x

x x x

x x

2( ) cos ,f x x

( ) cos cosf x x x

( ) cos cos ' cos 'cos

cos cos

2 cos (2 ).

f x x x x x

x sen x sen x x

sen x x sen x

2 43( ) 2 1 2 1 ,f x x x x

2 24 43 3

2 3 43 3 2

2 3 43 3 2

33 3 2

33 3 2

'( ) 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 4 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2

8 2 1 2 1 2 2 1 2 1 3 2

2 2 1 2 1 4 2 1 3 2 2 1

2 2 1 2 1 10 3 12 2 .

d df x x x x x x x

dx dx

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

3 3( ) 1 1f x x x

145

Derivada de un cociente de dos funciones derivables

Derivada de

Propiedad. Si una función está definida, es derivable y no se anula en un intervalo entonces

la función definida en por es derivable en y para todo real de se tiene:

Demostración

Derivada del cociente de dos funciones

Propiedad.Si son dos funciones definidas y derivables en un mismo intervalo en el cual

no se anula, entonces la función cociente definida en por es derivable en y

para todo real de

3 3 3 3

3 2 3 2

3 2 3 2

2 2

2 2

'( ) 1 1 1 1

1 3 1 1 3 1

3 1 1 3 1 1

3 1 1 1 1

6 1 1 .

d df x x x x x

dx dx

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

1

f

f ,I

1

f,I

1

( )x

f x ,I x ,I

2

1 1 '( )'( ) .

( ) ( )

d f xx

f dx f x f x

0 0

0 0

0 0

2 2

1 1 1 1( ) ( )1 ( ) ( )

'( ) lim lim

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

lim lim( ) ( )

1 ( ) ( )lim lim

( ) ( )

1 '( )'( ) .

( ) ( )

h h

h h

h h

x h xf f f x h f x

xf h h

f x f x hf x f x hf x f x h

h f x f x h h

f x h f x

f x f x h h

f xf x

f x f x

y f g ,I

gf

gI

( )

( )

f xx

g x ,I

x :I

2

( ) '( ) ( ) '( )'( ) .

( )

f g x f x f x g xx

g g x

146

Para memorizar:

Utilizar las fórmulas de derivación del producto y del cociente

EJEMPLOS

1. Si entonces:

2. Si entonces

3. Si es la función definida por entonces

4. Si entonces como aplicando la propiedad de la derivada de

un cociente de dos funciones se sigue:

2

' '' .

f g f f g

g g

2

3 1( ) ,

4

xh x

x x

2 2

22

2

22

2

22

4 3 1 3 1 4'( )

4

4 3 3 1 2 1

4

3 2 11.

4

d dx x x x x x

dx dxh xx x

x x x x

x x

x x

x x

2 3( )

5 1

xf x

x

2

2 2

5 1 2 3 2 3 5 1( )

5 1

5 1 2 2 3 5 17.

5 1 5 1

d dx x x x

dx dxf xx

x x

x x

f1

( ) ,1

xf x

x

2

2 2

2 2

1 1 1 1'( )

1

1 1 11 1 1 1

2 2 2

1 1

12

12, 0.

1 1

d dx x x x

dx dxf xx

x x x xx x x

x x

xx

x x x

( ) , ,nf x x n 1( ) ,

nf x

x

147

Es decir que

Así, si entonces

Observación: Hemos probado antes que si con entonces y

acabamos de establecer que si con entonces De los dos

resultados, podemos concluir que: Si es cualquier entero positivo, negativo o nulo, entonces:

y obviamente

donde es una constante.

Así por ejemplo, si entonces

Derivada de las demás funciones trigonométricas

Utilicemos la regla de la derivada de un cociente, para calcular la derivada de las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante.

1. Sea entonces

Es decir:

El dominio de es:

1

2 2

11 2 1

2

1 (1) 0 (1)'( )

.

n nn n

n n

nn n n

n

d dx x x nxdx dxf x

x x

nxnx nx

x

1( ) , , '( ) .n nf x x n f x nx 20( )f x x 21'( ) 20 .f x x

( ) ,nf x x ,n 1'( ) nf x nx

( ) nf x x ,n 1'( ) .nf x nx

n

1,n ndx nx

dx

1,n ndx nx

dx

3( ) 2 , 0,f x x x

3 1 44

6'( ) 2( 3) 6 , 0.f x x x x

x

( ) tan ,cos

sen xf x x

x

2 2

2 22

2 2

cos cos cos cos( )

cos cos

cos 1sec .

cos cos

d dx sen x sen x x x x sen x sen xdx dxf x

x x

x sen xx

x x

2( ) tan '( ) sec .f x x f x x

( ) tanf x x

5 3 3 5, , , , , , , .

2 2 2 2 2 2

148

La función derivada tiene el mismo dominio.

2. Si entonces

Es decir:

3. Si entonces

Es decir:

Nota. Se verifica fácilmente que si


1. En cada uno de los siguientes casos, justificar que la función definida en el intervalo es

derivable en y luego calcular para todo real de

a.

b.

c.

2. En cada caso, la función es derivable en Determinar su función derivada de dos manera

diferentes: Luego de haber desarrollado utilizando la derivación de un producto o de un

cociente.

cos( ) cot

xf x x

sen x

2 2

2 2 2 2

2 2

22

cos cos cos cos'( )

cos cos

1csc .

d dsen x x x sen x sen x sen x x xdx dxf x

sen x sen x

sen x x sen x x

sen x sen x

xsen x

2( ) cot '( ) csc .f x x f x x

1( ) sec ,

cosf x x

x

2 2

2

cos 1 1 cos cos 0'( )

cos cos

1tan sec .

cos coscos

d dx x x sen xdx dxf x

x xsen x sen x

x xx xx

( ) sec '( ) sec tan .f x x f x x x ( ) csc '( ) csc cot .f x x f x x x

,f ,I

,I '( )f x x .I

: ; 0; .f x x x I

2

1: ; .

1f x I

x

2 2 3: ; ; .

2 3 2

x xf x I

x

f .( );f x

149

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

3

1( )

1

xf x

x

i)

3 1( )

1

xf x

x

3. Se considera la función definida en el intervalo por y la función

definida en por donde son números reales. Se trata de determinar

los valores de para que las curvas admitan la misma tangente en el punto

de de coordenadas Se dice en ese caso que las curvas son tangentes en el

punto Encontrar la ecuación de la tangente a en Se supone que son

tangentes en el punto Expresar los valores de en función de Deducir de

la parte anterior la expresión de los reales en función de Dar la expresión de

únicamente con ayuda del real

4. Se considera la curva representativa de la función definida por: La recta

es tangente a la curva en su punto de abscisa 1. Determinar si existe un punto

distinto de tal que la tangente a en su punto sea paralela a y determinar en

ese caso la ecuación de dicha tangente. Determinar la ecuación de la recta tangente Si se

denomina la abscisa de ¿Cuál es el valor de en el caso en el cual sean

paralelas? Demostrar que

Solución

5. En cada uno de los siguientes casos, hallar

2( ) 5 3 1f x x x 2( ) 5 3f x x 4 2( ) 1 1f x x x x

2( ) 5 3 1f x x x 2

3( )

1

xf x

x

2

3 1( )

1

xf x

x

2

2

1( )

1

x xf x

x x

f 0; ( )f x x g

2( ) ,g x ax bx c , ,a b c

, y a b c y f gC C T

A fC 1;1 . y f gC C

.A T fC .A y f gC C

.A (1) y '(1)g g , y .a b c

y a b .c ( )g x

.c

fC f2 1

( ) .2 1

xf x

x

T fC A B

A D fC B ,T

.T

b .B '( )f b y T D

2/ / 2 1 1.T D b

: 4 7; 0; : 4 1T y x b D y x

.dy

dx

150

j) k) c)

l) m) n)

o) p) q)

r) s) t)

6. Determinar la función derivada, cuando ella existe, de cada una de las siguientes funciones

reales.

a) b) c)

d) e)

f)

g) h)

i)

j) l)

m.

n.

7. Sea la función definida en por

a. ¿Es continua en todo punto de su dominio de definición?.

b. ¿Es derivable en ?

c. Determinar la función derivada y su dominio de definición.

8. Dada la función definida en por ¿Es f continua en ? ¿Es

derivable en ? 9. Determinar las funciones derivadas de las siguientes funciones definidas por

Precisar el dominio de derivabilidad de cada función.

a.

b.

c.

d.

59y x 134y x 85

3y x

45 2 1y x x 4 23 6 2 3y x x x 3

1y

x

3y x x 53 .2

xy x x 3y x x

1xy

x

2

2

1y x

x

31

yx x

3

1( )

1f x

x x

2( ) 3 2f x x x ( ) 2 1 3 4f x x x

2 1( )

2 1

sen xf x

sen x

( ) tan cotf x x x 1 2

( )cos

sen xf x

x

1 tan( )

1 tan

xf x

x

32

2 1( )

1

xf x

x

2

4( ) 1

3f x x

x

2

1( )

2 5

xf x

x x

2

2

1( )

2 1

sen x sen xf x

sen x

3 2 3( ) sec csc cotf x x x x

42 3 2( ) 2 2 4f x x x x 3 2( ) tan 4 tan 5 tan 1f x x x x

f 1( ) 2 .

2f x x

x

f

f 0 2x

'f

f 2 2

( ) .1

x xf x

x

0x f

0x ( ).x f x

2( ) 3 2f x x x

2( ) 3 1f x x x 2( ) 7 6f x x x

2( ) 4 5 6f x x x

151

e.

10. ¿Cómo se debe escoger el número real para que la función sea derivable en el punto

?

a.

b.

c.

d.

e.

11. Dada la función real definida para todo distinto de por Muestre

que la curva representativa de admite 2 rectas tangentes paralelas a la recta de ecuación

Calcule las coordenadas de cada una de los puntos de contacto y escriba la ecuación

de cada una de las rectas tangentes.

12. Sean dos números reales y la función real definida por Determine

para que la gráfica de pase por el punto y admita en ese punto una recta

tangente paralela al eje de las abscisas. 13. Hallar la ecuación de la recta tangente a la representación gráfica de la función real en el

punto que se indica en cada uno de los casos siguientes.

a.

b.

14. Calcular la pendiente (coeficiente director) de la recta tangente a la curva representada por cada

una de las funciones siguientes reales definidas por en el punto de abscisa dado.

a.

b.

c.

( ) 3 2 1f x x x

f

1x 2

( )x

f xx

( ) 1f x x x 2 3 3

, si 1( ) .1

3, si 1

x x xx

f x xx

2

1, si 1( ) .

3 , si 1

x xf x

x x x

2 22 2 , si 1

2( ) , si 1 .

23, si 1

x x x

xf x x

xx

f x 12 3 6

( ) .1

x xf x

x

f

3 .y x

y a b f8

( ) .f x ax bx

y a b f 2; 6A

f

0M

50( ) 1 , 1;0 .f x x x M

0( ) , ;0 .f x sen x M

( ),f x 0x

0

3( ) , 1.

1 2

xf x x

x

2

0

2 5( ) , 4.

3

x xf x x

x

0

2 3( ) , 1.

5

xf x x

x

152

15. Determinar la abscisa de los puntos de las curvas representativas de las siguientes funciones, en los cuales la recta tangente tiene una pendiente dada. Cada una de las funciones está definida por

a.

b.

c.

d.

16. Sea la función definida por donde es un parámetro real y

sea su curva representativa. ¿Para qué valor de la curva es tangente a la recta de

ecuación ? ¿Cuál es entonces el punto de contacto?

17. Determinar los puntos de la gráfica de la función en los cuales la recta tangente es

paralela a la recta dada.

a.

b.

c.

d.

e.

18. Demostrar que la recta de ecuación es tangente en dos puntos distintos a la curva

de ecuación .

19. Una familia de parábolas tiene por ecuación: con

a. Determinar la ecuación de la recta tangente a en el punto de abscisa

b. Verificar que, para todo valor de esta tangente pasa por el punto

c. Determinar la ecuación de la recta tangente a en el punto de abscisa y el punto

por el cual pasa esa recta tangente cualquiera que sea el valor de

Derivadas sucesivas

Definición.. Si la derivada de una función es derivable en un intervalo abierto de se

dice que la derivada de la función es la derivada segunda de la función Se la nota

m

( ).f x

2 3( ) 3 4, .

2f x x x m

1 3( ) , 2.

2 3

xf x m

x

2 1( ) 2 3 , .

2f x x x m

2 5 2( ) , .

1 5

xf x m

x

f 2 1 5 7

( ) ,3

m x mf x

x m

m

mC m mC

4 1y x A ,f

2( ) 3, : 2 5.f x x y x 3( ) 3 , : 7.f x x x y

1( ) , : 4 9.f x y x

x

( ) , : 3.f x x y x

( ) , : 2 .f x x x x y x 1,y x

C 4 22 2y x x x

mP 2 2 1 3 ,y mx m x m .m

mP 2.x

,m5

, 2 .2

A

mP 2x

,B .m

'f f I ,

' 'f 'f .f

''.f

153

Puede suceder que admita a su vez una derivada. Se nota dicha derivada y se la denomina

derivada tercera de Siguiendo este proceso, se define, si ellas existen, las derivadas sucesivas de

la función que se las nota

Si existe para todo se dice que es veces derivable en dicho intervalo.

De manera general, se tiene: si ella existe.

Se nota también y si hacemos escribiremos también

EJEMPLO

Si entonces y

para todo


1. Sea la función real definida por Mostrar que es dos veces derivable sobre

y que para todo número real

2. Determinar las derivadas sucesivas de la función definida en por 3. Sean las funciones de definidas por y

a. Mostrar que y

b. Deducir las derivadas enésimas de las funciones reales definidas por

c. Determinar:

i. La derivada de orden 20 de la función

ii. La derivada de orden 31 de la función

iii. La derivada de orden de la función

4. Sea la función definida en por

a. Mostrar que:

b. Mostrar por inducción que

5. Sea

''f '''f

.f

,f (4) (5) ( )', '', ''', , , , .nf f f f f f

( ) ( )nf x , ,x a b f n

( ) ( 1)( ) 'n nf x f

2

2''( ) , ,

n

n

d f d ff x

dx dx ( ),f f x

2 3( )

2 3'' , ''' , , .

nn

n

d y d y d fy y y

dx dx dx

4( )f x x 3 2 (4) (5)'( ) 4 , ''( ) 12 , '''( ) 24 , ( ) 24, ( ) 0f x x f x x f x x f x f x

, con 5,n n ( ) ( ) 0.xf x

f 3( ) .f x x f

,x ''( ) 6 .f x x

h y f g en , ( )f x sen x ( ) cos .g x x

( ) ( )2

nf x sen x n

( ) ( ) cos .

2ng x x n

y s t

( ) , ( ) cos .s t sen ax b t x ax b

.2

xx sen

cos3 .x xn 2 .x sen x

f 2( ) 1 .f x x

2, 1 '( ) ( ).x x f x xf x

,x

2 ( 2) ( 1) 2 ( )1 ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 0.n n nx f x n xf x n f x

3 2( ) 5 .f x x ax bx c

154

a. Determinar la constante para que se tenga

cualquiera que sea el real

b. Calcular los coeficientes

6. Mostrar que, para todo y se tiene: Deducir que se

tiene, para todo entero

7. Determinar un polinomio de tercer grado tal que: y que

8. Sea la función polinomio definida por

a. Determinar las derivadas sucesivas de

b. Mostrar que para todo para todo

c. Si calcular un valor aproximado de

Derivación de funciones compuestas. Derivación en cadena

Teorema. Sea si es derivable en y es derivable en entonces es

derivable en y

Esta fórmula es muy importante y recibe el nombre de regla de la cadena (o regla de la derivada de la función de función), porque una composición de funciones puede denominarse cadena de funciones y es, en cierto modo, una función de función. Su verificación se ilustra mediante el esquema de la figura siguiente.

,k

2( ) 1 '( ) 1 ''( ) 0,f x k x f x x f x .x

, y .a b c

1x 1,x 2

1 1 1.

2 1 2 11 x xx

1 :n

( )1

2 1 1

1 ! 1 11 .

21 2 1 2 1

nn

n n

n

x x x

( )p x ''( ) 6p x

( ) '( ) ''( ) 0.3

xp x p x p x

f 3 2( ) .f x ax bx cx d .f

0 ,x :h

2 3

0 0 0 0 0' '' ''' .2 6

h hf x h f x hf x f x f x

3 2( ) 2 3,f x x x x (1,002).f

,u f g g x f ( ),g x u

x '( ) '( ( )) '( ).u x f g x g x

155

Demostración del teorema (admitida)

EJEMPLOS

1. se puede escribir bajo la forma donde

y como y

se tiene

2. Si entonces podemos escribir bajo la forma:

donde y

Luego

3.

4.

5. Si entonces

6. Si entonces

7. Si hallar

Solución

8. Si hallar

Solución

2( ) cos 5 ,u x x ( ) ( ) ,u x f g x2( ) cos , ( ) 5f x x g x x '( ) 10 , '( )g x x f x sen x

2 2' ( ) ' 5 5 ,f g x f x sen x 2'( ) 10 5 .u x x sen x

2( ) 5 1,u x x x ( )u x ( ) ( ) ,u x f g x

2 1( ) 5 1, ( ) , '( ) 2 5, '( )

2g x x x f x x g x x f x

x

2

2

1y ' ( ) ' 5 1 .

2 5 1f g x f x x

x x

2 2

1 2 5'( ) ' ( ) '( ) 2 5 .

2 5 1 2 5 1

xu x f g x g x x

x x x x

2

2 2

1 2( ) 4 '( ) 2 4 .

2 4 4

xf x x x f x x

x x x x

2 2

2

1( ) 2 '( ) cos 2 2

12 cos 2 .

f x sen x x f x x x xx

x x xx

32y x 2 2

3 2 1 3 2 .dy

x xdx

2

5 53y x 2 3

15 4 4 55 52

3 5 2 3 .5

dyx x x x

dx

2,

4

xy

x

.

dy

dx

22 2

2

2 22

2 2

2

2 32 2

4 14 44

'44

4

44 .4

4

xd d x xx x x xxdx dxy

xx

x x

xx

x

4 53 75 13 ,y x x .dy

dx

156

9. Si

Solución

10. Si entonces

11. Si entonces

12. Hallar la derivada de

Solución

13. Hallar la derivada de

Solución

14.

15.

16.

4 5 5 43 7 7 3

4 4 5 33 7 6 7 3 2

4 4 5 36 3 7 2 7 3

3 42 3 7 4 3 7

3 42 3 7 7 4

' 5 13 13 5

5 5 13 7 13 4 5 3

35 5 13 12 13 5

5 13 35 5 12 13

5 13 47 175 156 .

d dy x x x x

dx dx

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

, hallar .dy

y x xdx

1 1 1

12 2 21 1 1

= ' 1 1 22 2 4

1 2' .

4

y x x x x y x x x x xx x

xy

x x x

cos( )y sen x ' cos ( ).y x sen sen x

tany x 21' sec .

2y x

x

2 .y sen x

2 2 2' cos 2 ' 2 cos .y sen x y x x y x x

2csc 3 1 .y x

2 2 2

2 2

csc 3 1 ' csc 3 1 cot 3 1 6

' 6 csc 3 1 cot 3 1 .

y x y x x x

y x x x

1( ) ln '( ) ln 1 ln .f x x x x f x x x x

x

22

1 2( ) ln '( ) 2 .f x x f x x

x x

2 1 2( ) ln '( ) 2 ln ln .f x x f x x x

x x

157

17.

18. Si es una función real derivable y es la función definida por se

sigue que


1. Determinar las funciones derivadas, cuando ellas existen, de las siguientes funciones reales:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j)

k) cos( ) cos xf x x xe l) 2 cos( ) 1 xf x x e

2. Sea la función real definida por:

a. ¿La función es continua en ?, ¿y en ?

b. ¿ es derivable en ?, ¿en ?

3. Sea la función real definida por

a. Determinar su función derivada primera y verificar la relación:

b. Deducir que la derivada segunda verifica la relación:

4. Se considera la función definida por

a. Demostrar por inducción que la derivada de orden de es tal que:

2

2 2

2 2

2

1 1( ) ln 1 '( ) 1 2

1 2 1

1'( ) 1

1 1

1'( ) .

1

f x x x f x xx x x

xf x

x x x

f xx

f g ( )g x f ax b

'( ) '( ).g x a f ax b

74 2( ) 1f x x x 43

1( )

1f x

x x

( )

1

xf x

x x

2( ) 1f x x x 2

ln( )

1 ln

xf x

x

1

( )2

x xf x e e

1( ) ln

2

xf x

x

1

( )1 cos

sen xf x

x

2 2

3

1 1 1( )

1 1

x xf x

x

1 2( )

1

x xf x

x

f

4 3 2

2

2, si 1

1 1( )1

, si 13

x x xx

x x xf x

x

f 1x 0x

f 0x 1x

f 2( ) 1 .f x x x 22 '( ) 1 ( ).f x x f x

24 '( ) 1 4 '( ) ( ) 0.f x x xf x f x

f2

1( ) .

1f x

x

n f

( )12

( )( ) ,

1

n nn

P xf x

x

158

donde designa un polinomio de grado

b. Demostrar que verifica la igualdad:

c. Calcular para

5. Calcular si

Regla de la cadena en la notación de Leibniz

La regla de la cadena (o derivada de la función compuesta) constituye un ejemplo excelente para mostrar la utilidad de la notación usada por Leibniz para la derivada. Así:

Si haciendo y tendremos

y en consecuencia:

EJEMPLOS

1. Si entonces

2. Si entonces

Derivación implícita

Una ecuación de la forma define implícitamente a como una función de es decir,

aunque en muchos casos no será posible despejar de es decir, no

podremos en general definir explícitamente a en términos de y sin embargo nuestro objetivo

es calcular Así por ejemplo, la ecuación representa un círculo de centro el origen

y radio Dicha ecuación permite (en este caso) definir dos funciones: y

De acuerdo con la regla de la cadena:

( )nP x .n

nP 21( ) 1 '( ) 2 1 ( ).n n nP x x P x n P x

( )iP x 1 4.i

'( )g x 2( ) 1 .g x f x

( ) ( ) ,u x f g x ( )z u x ( ),y g x ( ), '( ),dz

z f y u xdx

'( ), '( )dy dz

g x f ydx dy

'( ) ' ( ) '( ) '( ) '( ) .du dz dz dy

u x f g x g x f y g xdx dx dy dx

2, ,z sen y y x x

2cos 1 2 1 2 cos .dz dz dy dz dz

y x x x xdx dy dx dx dx

2, cos , ,z senv v u u sen x

2 2

cos 2 cos

2 cos cos cos .

dz dz dv du dzv senu sen x x

dx dv du dx dxdz

sen x x sen sen x sen xdx

( , ) 0F x y y ;x

( ),y f x y ( , ) 0;F x y y x

'.y 2 2 2 ,x y r

.r 2 2( )f x r x 2 2( ) .g x r x

159

Si hacemos las dos fórmulas anteriores pueden combinarse en una sola, a

saber

Otra de las aplicaciones de la regla de la cadena se encuentra precisamente en el método de derivación implícita. Para explicar en qué consiste dicho método, obtendremos el resultado anterior de otra manera.

Recordemos que es función de es decir Entonces, supongamos que

luego Derivando directamente ambos miembros con respecto a

tenemos: o lo que es lo mismo de lo cual se concluye que

Si hacemos se obtiene igualmente

Se dice entonces que la ecuación define a implícitamente como función de y a

este proceso de obtención de la derivada se denomina derivación implicíta.

EJEMPLOS

1. Consideremos ahora la ecuación que no se puede resolver

explícitamente para como función de Sin embargo, podemos suponer que dicha ecuación

define a implícitamente como función de es decir, supondremos que

Tendremos entonces que la ecuación anterior, reemplazando con se transforma en:

Por tanto, la derivada de ambos miembros de (1) con respecto a es

de donde

y despejando

2 2'( ) , si ( ) 0,

( )

x xf x f x

f xr x

2 2 2 2'( ) , si g( ) 0.

( )

x x xg x x

g xr x r x

( ) o ( ),y f x y g x

' , 0.x

y yy

y ;x ( ) o ( ).y f x y g x

( ),y f x 22 2( ) .x f x r x

2 2 ( ) '( ) 0x f x f x ' 0,x yy

' , con 0.x

y yy

( ),y g x ' , con 0.x

y yy

2 2 2x y r y y x

6 6 5 22 3 ,x x y y y y .x

y ,x ( ).y f xy ( )f x

6 5 26 2 3 ( ) ( ) ( ) .x x f x f x f x

,x

5 456 2 18 ( ) '( ) 5 ( ) '( ) 2 ( ) '( ),x f x f x f x f x f x f x

5 4 518 ( ) 5 ( ) 2 ( ) '( ) 6 2,f x f x f x f x x '( ) :f x

5

5 4

6 2' .

18 5 2

xy

y y y

160

Esta es la derivada de con respecto a cuando están relacionadas por la ecuación

es decir que se verifica solamente en el caso de

pares que satisfacen la ecuación

Se verifica fácilmente que el punto satisface la ecuación de la curva. La pendiente de

la recta tangente a la curva en el punto se obtiene al sustituir por de

manera que

2. Calcular si

Solución

Si hacemos tendremos y derivando

ambos miembros con respecto a

o lo que es lo mismo: obteniéndose finalmente

3. Si calcular

Solución

Derivando con respecto a ambos miembros de se sigue que

o lo que es lo mismo y finalmente

4. Hallar la derivada en cada uno de los siguientes casos:

a.

Solución Aplicando la derivación implícita se sigue que:

b.

Solución Derivando ambos miembros con respecto a

y x y x y

6 6 5 22 3 ,x x y y y 5

5 4

6 2'

18 5 2

xy

y y y

,x y 6 6 5 22 3 .x x y y y

1; 1

1; 1 1, 1,x y

5

5 4

1: 1

6 2 6 2 8.

18 5 2 18 5 2 21

xm

y y y

' .dy

ydx

2 3 2 2 2 1 0.x y y x y x

( ),y f x 3 22 2( ) ( ) ( ) 2 1 0,x f x f x x f x x

:x

2 22 2'( ) 2 ( ) 3 ( ) '( ) 2 ( ) '( ) 2 ( ) 2 0,x f x x f x f x f x x f x f x x f x 2 2 2 2' 2 3 ' 2 ' 2 2 0,x y x y y y x yy xy

2

2 2 2

2 2 2' .

3 2

xy xyy

x y x y

2,x sen xy '.y

x 2,x sen xy

1 ' cos 0y xy xy 1

',cos

y xyxy

1 cos' .

cos

y xyy

x xy

'y3 23 5.xy x xy

32 3 2 3

2

63 ' 6 ' 3 ' 6 ' .

3

y y xx y y y x xy y xy x y x y y y

xy x

ln cos 2 , con 0.xye y x x x

:x

2

´ ln ' 2 2 ln ' 2 (2 )

2 (2 )' .

ln

xy xy xy

xy

xy

y ye xy y x y sen x xe x y ye sen x

x x

x sen x xye yy

x e x x

161

5. Obtener si:

a.

Solución

b.

Solución

6. Probar que la tangente en cada punto de la curva de ecuación con una constante y la

recta que une ese punto con el origen de coordenadas forman un triángulo isósceles con base en el eje de las Solución

Por derivación implícita, de se sigue que: es decir,

Como la pendiente de la tangente a la curva en el punto es la ecuación de

dicha tangente será:

Para calcular la intersección de la recta tangente con el eje hacemos obteniendo

Por otra parte, pues luego el triángulo es

isósceles.

7. Probar que si en un punto cualquiera de la curva de ecuación se trazan

la normal a la curva y la ordenada, el segmento que ambas intersectan sobre el eje de las es de magnitud constante

'y

cos .xy x

1 ( )´ 1 ' ( ) 1 ( ) ' .

( )

ysen xysen xy xy y xy sen xy ysen xy y

x sen xy

.y sen x y

cos( )' cos 1 ' ' cos 'cos ' .

1 cos( )

x yy x y y y x y y x y y

x y

,xy k k

.x

,xy k ' 0,xy y ' .y

yx

1 1;x y 11

1

,y

mx

11 1

1

.y

y y x xx

,x 0,y

12 .x x

1 2 ,L L 22 2 21 1 1 2 1 1 1, 2 ,L x y L x x y

2 2 , con 0,y ax c a

x

.a

162

Solución

De se sigue que de donde

La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto será y la de la

normal en dicho punto:

Consecuentemente, la ecuación de la recta normal a la curva en será

Determinemos la intersección de la recta normal con el eje (es decir ):

de donde Por lo tanto

8. Probar que las rectas tangentes a las curvas de ecuaciones y en un

punto cualquiera, se cortan ortogonalmente. Solución

Derivando implícitamente ambos miembros de con respecto a se sigue que

luego Igualmente, de se sigue que es

decir y como el producto de las pendientes verifica la condición se

concluye que las rectas en consideración son ortogonales.


1. Hallar en cada uno de los siguientes casos:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

2 2 ,y ax c 2 ' 2 0,yy a ' .a

yy

1 1,x y 11

,a

my

12 .

ym

a

1 1,x y

11 1 .

yy y x x

a

x 0y

11 1 ,

yy x x

a 1.x a x .PQ a

2x y k 2 22 ,y x c

2 ,x y k ,x

22 ' 0,xy x y 2

' .y

yx

2 22 ,y x c 4 ' 2 0,yy x

'2

xy

y

21,

2

y x

x y

,dy

dx2 6y x 2 24 4x y 2 2 3x xy 2 2 1 0x y 4 4 2 0x y 3 3 3 0x y xy 5 3 2 2 3 5 5x x y x y y 2 2 31xy sen y y 3 32 2 23x y a

163

j)

k) l)

2. Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva en el

punto cuya ordenada es

3. Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes y de las normales a la curva de ecuación

en sus puntos de intersección con el eje de las abscisas.

4. Demostrar que las hipérbolas de ecuación y se cortan entre sí formando

un ángulo recto.

5. Hallar en el punto si

Derivada de la función inversa

El teorema siguiente da la fórmula para calcular la derivada de una función inversa.

Teorema. Sea la función inversa de Si es derivable en y entonces

es derivable en y

Demostración

Como entonces por la composición de funciones Al derivar ambos

miembros de la igualdad y aplicar la regla de la cadena, se obtiene:

Por tanto,

Si se utiliza otra notación se tiene:

Se debe tener cuidado con el dominio de éste es el subconjunto del dominio de donde es

derivable y no se anula.

Al derivar una función compuesta se supone que tiene sentido, es decir, que el dominio de

contiene la imagen del dominio de

tan y xyln

xy c

y 3 .

x yy

x y

3 2 2 6 0x y x

3.y

1 2 3y x x x 2xy a 2 2 2x y b

dy

dx 1;1 2 22 4 2 2 0.x xy y x y

f .g g 0f x 0' ( ) 0,g f x

f 0x 00

1' .

'f x

g y

1 ,f g ( ) .g f x x

0 01 ' ( ) '( ).g f x f x

00

1'( ) .

' ( )f x

g f x

00

1'( ) .

'f x

g f x

' :g g g

0'g f x

'g f'g .f

164

Análogamente, si es la función inversa de y donde

entonces tiene derivada en y

Esto se verifica geométricamente. En efecto, sea la recta tangente al gráfico de en el

punto Entonces es el gráfico de una función lineal: donde

El gráfico de la función inversa se obtiene por reflexión del gráfico de sobre la

bisectriz del primer cuadrante,

Si también se refleja se obtiene la recta la cual es tangente al gráfico de en

Ahora bien, es el gráfico de la función lineal inversa de es decir, de la función:

( )x g y ( )y f x 0'( ) 0,f x 0 0( ),y f x

g 0y

00

1'( ) .

'( )g y

f x

L ( )y f x

0 0, .x y L ,y mx b 0'( ).m f x

( )g y x f

.y x

,L 1L g 0 0, .x y

1L ,y mx b

1.

bx y

m m

165

Por tanto,

Si (Ver Figura (a) del gráfico de abajo), entonces es horizontal, es vertical y

no tiene derivada en (Ver Figura (b)).

EJEMPLOS

1. Derivar donde es un número entero positivo cualquiera.

Solución

Sea la función inversa de Entonces, y por tanto,

Luego, según la regla de derivación para la función inversa

Es decir, si entonces

2. Obtener si

Solución

00

1 1' .

'g y

m f x

0' 0,f x L 1L g

0y

1

( ) , ,my f x x x m

g .f ( ) ,mg y y x 1'( ) , .mg y my y

11 1

11

1 11

1 1 1'( )

'( )

1 1 1.

mm

m

mm

m m

f xg y my

m x

xm

mx mx

1

( ) , ,my f x x x 1

11'( ) .mf x x

m

dy

dx5.x y

166

3. Se tiene Luego Por lo tanto, Como se

sigue finalmente que

SIGNO DE LA DERIVADA Y MONOTONÍA

Propiedad. es una función derivable en un intervalo

i) Si es creciente en entonces para todo número real de

ii) Si es constante en entonces para todo número real de

iii) Si es decreciente en entonces para todo número real de

Idea de la demostración

es un número real del intervalo y es un número real no nulo tales que

i) es creciente en entonces:

Si entonces y es decir que

Si entonces y es decir que

En los dos casos son del mismo signo, entonces

Como es derivable en entonces tiende hacia el número

cuando tiende hacia

Si se da a valores cercanos a entonces toma valores positivos. Se

espera y se admitirá aquí que su límite en cero es también no negativo, es decir que

ii) es constante en entonces: y y por tanto

iii) es decreciente en entonces, se demuestra como en i) que son de

signo contrario, por tanto

Se espera y se admite aquí que su límite en cero de esa tasa de crecimiento es negativo, es decir que

1

2 5.x y 1

21 1

.2 2

dxy

dy y

2 .

dyy

dx 5x y

2 5 .dy

xdx

f .I

f ,I x , '( ) 0.I f x f ,I x , '( ) 0.I f x f ,I x , '( ) 0.I f x

x I h .x h I

f ,I

0h x h x ( ),f x h f x ( ) 0;f x h f x

0h x h x ( ),f x h f x ( ) 0.f x h f x

( ) y f x h f x h

( )0.

f x h f x

h

f ,x ( )f x h f x

h

' ( )f x

h 0.

h 0, ( )f x h f x

h

'( ) 0.f x

f ,I ( )f x h f x ( )0

f x h f x

h

'( ) 0.f x

f ,I ( ) y f x h f x h

( )0.

f x h f x

h

'( ) 0.f x

167

Del signo de la derivada a la monotonía de una función

Propiedades. es una función derivable en un intervalo

i) Si para todo número real del intervalo entonces la función es creciente

en

ii) Si para todo número real del intervalo entonces la función es constante

en iii) Si para todo número real del intervalo entonces la función es

decreciente en

EJEMPLOS

1. Realizar el cuadro de variación de la función real definida por . Trazar la

curva. Solución

es una función racional, por tanto es derivable para todo real con Su derivada está

dada por:

Como para todo la función es estrictamente decreciente en y en

Se obtiene el cuadro de variaciones siguiente: cambiar con 2/3

La gráfica está dada por:

f .I

x ,I ' ( ) 0,f x f

.Ix ,I '( ) 0,f x f

.Ix ,I '( ) 0,f x f

.I

f2 1

( )3 2

xf x

x

f ,x2

.3

x

2

2 2

3 2 2 1 2 1 3 2'( ) .

3 2

3 2 2 2 1 3 7.

3 2 3 2

d dx x x x

dx dxf xx

x x

x x

2, '( ) 0,

3x f x f

2;3

2; .

3

168

Se observa la coherencia con el cuadro de variación.

VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

Extremo local de una función.

Definición. es una función definida en un intervalo y es un número real de

Decir que es un máximo local (respectivamente mínimo local) de significa que

existe un intervalo abierto incluido en y conteniendo tal que para todo número real

de

Decir que es un extremo local de significa que es un máximo local o un

mínimo local de

EJEMPLO

es una función definida en el intervalo Su curva representativa se muestra a

continuación.

f I 0x .I

0( )f x f

J I 0x

x0 0, ( ) ( ) (respectivamente ( ) ( )).J f x f x f x f x

0( )f x f 0( )f x

.f

f 2;5 . C

169

es un máximo local de En efecto, para todo

es un mínimo local de En efecto, para todo

EXTREMOS LOCALES (MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS).

Definición. es una función definida en un intervalo y es un elemento de Decir que

es un máximo (respectivamente mínimo) local de significa que existe un intervalo abierto

que contiene y está incluido en tal que, para todo (respectivamente

).

Un extremo local es ya sea un máximo local, ya sea un mínimo local.

Para una función derivable si existe un extremo local en entonces

Atención. La recíproca es falsa. Considerar por ejemplo la función real definida por

Se tiene sin embargo no es un extremo local. La derivada no cambia de signo, por

lo tanto la función no cambia el sentido de variación.

Extremo local y derivada

Propiedad. es una función derivable en un intervalo y un número real en el intervalo Si

es un extremo local de entonces

Observaciones

Si es un extremo local, entonces la curva representativa de admite en el punto de

abscisa una tangente “horizontal”.

La recíproca de esta propiedad es falsa. Por ejemplo, si la función está definida en por

entonces y no es un extremo local de

(1) 3f .f 0;2 , ( ) 3.x f x

(4) 1f .f 3;5 , ( ) 1.x f x

f I c .I ( )f c

f J

c I , ( ) ( )x J f x f c

( ) ( )f x f c

,f ,c '( ) 0.f c

f 3( ) .f x x' (0) 0,f (0)f

f I0x .I

0f x ,f 0' 0.f x

0f x f

0x

f 3( ) ,f x x '(0) 0f (0) 0f .f

170

Propiedad. es una función derivable en un intervalo y un número real en el intervalo

que no es una extremidad de Si se anula en cambiando de signo, entonces es un

extremo local de

EJEMPLOS

1. Sea la función definida en por Determinar los extremos locales de

Solución

La función es un polinomio, por tanto, es derivable en Para todo número real se

tiene:

El signo de un trinomio de segundo grado permite realizar el cuadro de variación de

Se sigue que se anula en 0 cambiando de signo, es un extremo local de y de

acuerdo al cuadro de variación, se trata de un máximo relativo. se anula en 4 cambiando de signo, es un extremo local de y de acuerdo al

cuadro de variación, se trata de un mínimo relativo.

2. es la función definida en por Trazar la curva representativa de y

establecer conjeturas acerca de los extremos relativos. Demostrar las conjeturas precedentes. Solución La gráfica es:

f I 0x I

.I 'f 0x 0f x

.f

f 3 2( ) 6 2.f x x x .f

f f . x

2'( ) 3 12 3 4 .f x x x x x

.f

'f (0) 2f f

'f (4) 30f f

f 2

( ) .1

xf x

x

f

171

Mirando la gráfica se conjetura que es un mínimo local de y que es un máximo

local de Siendo una función racional, ella es derivable en su conjunto de definición que

en este caso es Se tiene:

El cuadro de variación de la función es:

es un mínimo local de y es un máximo local de


1. Calcular precisando el o los intervalos en los cuales el cálculo es válido.

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

i)

2. Determinar la función derivada de las funciones polinomios siguientes, definidas en por:

a.

b.

c.

3. es la función definida en por Encontrar la ecuación de la

tangente a la curva representativa de en el punto de abscisa 4.

( 1)f f (1)f

.f f

.

2 2 2

2 22 2

2

22

1 1 1 1 2'( )

1 1

1.

1

d dx x x x x xdx dxf x

x x

x

x

f

1( 1)

2f f

1(1)

2f .f

'( )f x

( ) 3 1 2 5f x x x 2

( ) 2f x x 2( ) 1f x x x x

4

5( )f x

x

3( )

3 1

xf x

x

2

2

3( )

1

xf x

x

23

( )1

xf x

x

2

2( )

1

xf x

x

4 3 2( ) 3 2 6 2f x x x x

5 3 23 2( ) 2 1

5 3g x x x x x

4 33 5 2 1( )

3

x x xf x

f 0;I 2( ) 4 2 1.f x x x

C f

172

4. Sea la función real definida como se indica más abajo. En cada caso calcular

determinar el signo de según los valores de realizar el cuadro de variaciones de y

determinar los extremos locales de la función

a) b)c)

d) e)

f)

g) h)

i)

5. El siguiente gráfico muestra la curva representativa de una función , definida en el intervalo

6. Decir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.

a. es decreciente en el intervalo

b. es creciente en el intervalo

c. es decreciente en el intervalo

d. admite un máximo local en

e. admite un mínimo local en

f.

7. La altura de un cono de revolución es igual a 30 cm y el radio de la base es 10 cm. Un cilindro está inscrito en el cono. Se nota su altura y su radio de la base (en cm).

a. Demostrar que

f '( ),f x

' ( )f x ,x f

.f

5( ) 2

2f x

x

1

( ) 22

f x xx

2( ) 1f x x x

2 1( )f x x

x

3 2( ) 3 5f x x x x 3 3 1( )

2 3f x x x

2

2( )

1

xf x

x

4 2( ) 4 5f x x x 2

3( ) 2

1f x

x

f

3;4

f 3; 1 .

f 0;2 .

f 1;4 .

f 2,5.x

f 1.x (2) es un máximo local de .f f

h r

3 10 .h r

173

b. Expresar el volumen del cilindro en función de c. Estudiar el sentido de variación de la función d. ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro cuyo volumen es el más grande posible?

8. Sea la parábola de ecuación Se asocia a todo número real en la parábola el

punto de abscisa Demostrar que

es la función definida en por

a. Calcular y estudiar su signo.

b. Dibujar el cuadro de variaciones de

c. Determinar las posiciones del punto en la parábola para las cuales la distancia es mínima.

d. Calcular esa mínima distancia. Ayuda. La distancia es mínima si y solamente si

es mínima.

9. Para todo número real calcular Estudiar el signo de y realizar el cuadro de

variaciones de Deducir que admite un mínimo en un número real del intervalo

10. es un cubo de arista 6 cm. es un punto de e un punto de

tales que Se construye al interior del cubo, el paralelepípedo

rectangular tal que sea un cuadrado.

a. Expresar el volumen del paralelepípedo rectangular en función de

b. Dibujar el cuadro de variación de la función c. Deducir el valor máximo del volumen

V .r

.r V

P 2 1.y x ,x

M .x 2 4 2 1.OM x x

f 4 2( ) 1.f x x x

'( )f x

.f

M P OM

OM2OM

0,x '( ).f x '( )f x

.f f 0x

0; .

ABCDEFGH M AB I AE

(en ).AM EI x cm AMQPIJKL AMPQ

V AMQPIJKL .x

.x V.V

174

d. Precisar entonces la posición del punto

11. es la función definida por

a. Para todo número real calcular

b. Estudiar el signo de y realizar el cuadro de variaciones de la función

c. Trazar la curva representativa de la función

12. Sea la función definida en por Realizar el cuadro de

variación de la función

13. Sea la función definida en por Realizar el cuadro de

variación de la función

14. es la función definida en por Realizar el cuadro de variación de

la función 15. Una industria fabrica cacerolas de contenido de 5 litros utilizando lo menos de metal posible.

Se designa con el radio del disco interior y la altura de la cacerola en centímetros.

a. Expresar en función de

b. Se nota la suma del área lateral con el área del disco interior en Demostrar que:

c. Estudiar las variaciones de la función en

d. Determinar un valor aproximado de a milímetros para el cual la cantidad de metal utilizado es mínima.

Verdadero o falso

16. es la función definida en por: Se nota su función derivada y

por su representación gráfica. Para cada una de las afirmaciones siguientes, indicar si ella

es verdadera o falsa. Justificar.

a. Verdadero Falso

b. La curva corta el eje de las ordenadas en la ordenada Verdadero Falso.

c. para todo Verdadero Falso

.M

f 3 2( ) 5 7.f x x x x ,x '( ).f x

'( )f x .f

.f

g 1; 3 2( ) 5 7.g x x x x

.g

h 1 3 2

1( ) .

5 7h x

x x x

.h

k 23 2( ) 5 7 .k x x x x

.k

x h

h .x

( )S x 2.cm

2 10000( ) .S x x

x

S 0; .

x

f 2; 1

( ) 3 .2

f xx

'f

fC

3 6( )

2

xf x

x

fC 3,5

( ) 3f x 2;x

175

d. Verdadero Falso

e. Verdadero Falso

f. es decreciente en Verdadero Falso

17. es una función derivable en designa un número real. ¿Son equivalentes las

proposiciones ? Justificar.

;

18. es la función definida en por: Las proposiciones siguientes, ¿ son

verdaderas o falsas? a. Existe un número real tal que Verdadero Falso

b. Para todo número real Verdadero Falso

c. Existe un intervalo en el cual es decreciente. Verdadero Falso

d. Existe un número real tal que sea un máximo local de Verdadero Falso

e. Para todo número real Verdadero Falso

19. es la función definida en por

a. Determinar la función derivada de

b. es la función definida en por

i. Determinar la función derivada de

ii. Realizar el cuadro de variaciones de

iii. Calcular

iv. Determinar para todo número real el signo de

c. Realizar el cuadro de variaciones de

d. Trazar la curva representativa de y verificar la coherencia con el cuadro de variaciones

de

20. A todo número real se asocia la función definida en por

a. Determinar la función derivada de

b. Según los valores de realizar el cuadro de variaciones de

c. ¿Para qué valores de admite la función un máximo y un mínimo local?

21. Se corta un sector angular en un disco de cartón de radio ese sector es de color rosado en la

figura de abajo. Luego se pega borde a borde los radios se fabrica de esta

manera un cono. Se trata de determinar la medida en radianes ( ) del ángulo central del sector angular a fin de obtener un cono de volumen máximo.

'( 1) 1f

1,57 2,43f f

f 2;x

f .0x

y P Q

0:" admite un extremo local en "P f x 0:" '( ) 0"Q f x

f 2

( ) 3 .f x xx

x '( ) 0.f x

, 0, '( ) 0.x x f x

f

x ( )f x .f

,x ( ) 100.f x

f 4 3 2 3( ) 1.

4f x x x x x

.f

g ( ) '( ).g x f x

.g

.g

1.

2g

x ( ).g x

.f

f

.f

,m mf 12

( ) .1m

x mf x

x

.mf

,m .mf

,mmf

,R

y ,OA OB

x 0 2x

176

a. Expresar el radio del cono así formado y su altura en función de y

b. Demostrar que el volumen del cono está dado por:

c. Se determina la derivada de la función tal que Se obtiene:

d. Realizar el cuadro de variaciones de la función en el intervalo

e. ¿Para qué valor de el volumen del cono es máximo? Expresar ese volumen en función

de 22. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se ha trazado la parábola de

ecuación y la recta de ecuación Los puntos de la parábola tienen la

misma ordenada (inferior a ). son los dos puntos de la recta tales que es

un rectángulo. Determine la posición de para la cual el área del rectángulo sea máxima.

r h R .x3

2 2 22

( ) 4 .24

RV x x x

f 2 2 2( ) 4 .f x x x

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

32 2

2 2

2 2 3 2 3

2 2 2 2

'( ) 2 4 4

22 4

2 4

2 44

2 4 8 3

4 4

df x x x x x

dx

xx x x

x

xx x

x

x x x x x

x x

V 0;2 .,x

.RP

2y x d 4.y y A B P

4 y C D d ABCD

A ABCD

177

23. En cierta ciudad, durante una epidemia de gripe, el número de personas enfermas días

después de la aparición de los primeros casos es estimada por donde es un

número natural tal que

a. Estudiar las variaciones de la función definida en por

b. Realizar el cuadro de variaciones. c. Deducir del literal anterior el día en el cual el número de personas enfermas es máximo durante

este período de días. Determinar el número de personas enfermas ese día.

24. es un triángulo rectángulo en es un punto del segmento Se

construye el rectángulo y se pone con

25. Calcular en función de Deducir que el área del rectángulo es igual a

Estudiar las variaciones de la función en el intervalo Deducir el

valor de para el cual es máxima.

Preguntas sobre el curso

Complete las proposiciones siguientes.

1. son dos funciones derivables en un intervalo

a.

b.

n2 330 ,n n n

0 30.n

f 0;30 2 3( ) 30 .f x x x

30

ABC .A 4, 3.AC AB P .AC

APMN ,AP x 0 4.x

MP .x ( )A x MNAP

234 .

4x x ( )A x 0;4 .

x ( )A x

y f g .I

' ........................fg

' ........................f g

178

c. Si no se anula en entonces

2. Multiplicar una función derivable por una constante multiplica su derivada por …….

3. es una función derivable en un intervalo

a. Si para todo entonces en es …………………

b. Si para todo entonces en es …………………

4. es una función definida en y, para todo número real de es

un …….. 5. Verdadero o falso

Determinar si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. Justificar su respuesta.

a. La función definida en por es creciente en

b. La derivada de una función polinomio de grado 3 es una función polinomio de grado 2.

c. Existe funciones derivables en que no tienen un máximo en

d. Si es derivable y estrictamente creciente en entonces, para todo número real

e. Dos funciones derivables en que tienen la misma función derivada son iguales. f. Sumar una constante a una función no cambia su derivada.

6. Para cada afirmación, una sola respuesta es exacta. Identifíquela, justificando su respuesta.

a. es la función definida en por entonces es igual a:

i.

ii.

iii.

iv.

b. es la función definida en por:

i.

ii. Si entonces

iii. La curva representativa de admite dos tangentes horizontales.

iv. La tangente a la curva representativa de en el punto de abscisa tiene por

coeficiente director

7. Para cada afirmación, varias respuestas pueden ser exactas. Identifíquelas justificando su respuesta.

a. La curva siguiente representa una función derivable en el intervalo

i. La curva admite tres tangentes horizontales.

ii. La función derivada de es positiva en el intervalo

iii. Para todo número real de

g ,I 'f

g

f .I

, '( ) 0,x I f x ,I f

, '( ) 0,x I f x ,I f

f x 2;1 , ( ) (0).f x f (0)f

3( ) 2 6 3f x x x 0;1 .

.f ,x

'( ) 0.f x

g 32 6 4

( ) ,3

x xg x

'( )g x

6 6x 22 2x 26 6x

2 42 2

3x x

h 1 2 2

( ) .1

x xh x

x

'( ) 2 2.h x x

1 ,a b ( ) ( ).h a h b

h

h 1

1.

2

f 1,5;1,6 .I

f 0;1,6 .

x , 2 ( ) 3,5.I F x

179

b. son dos funciones derivables en con:

Entonces:

i.

ii.

iii.

iv.

c. es la función definida en por

i.

ii. cambia de signo.

iii. no admite extremos locales.

iv. es monótona.

8. Minimizar una distancia. es la parábola de ecuación es un punto cualquiera de

de abscisa y es el punto de coordenadas Encontrar la posición del punto

tal que la distancia sea mínima.

9. Se admite que: ” existe un punto tal que es mínima” es equivalente a: “existe un

punto tal que es mínima”.

a. Conociendo calcule en función de

b. Demuestre que

c. Dado que la función definida por es par, es decir que

es suficiente estudiar las variaciones de la función en el intervalo

Calcular y estudiar su signo. Realizar el cuadro de variaciones en el

intervalo

d. Deducir de los resultados anteriores que existen dos puntos para los cuales la distancia es máxima. Determinar dicha distancia.

10. La altura de un cono de revolución mide y el radio de la base, Se quiere inscribir,

en ese cono, un cilindro de revolución cuyo volumen sea el más grande posible.

y f g 2x (2) 0; '(2) 3;f f (2) 4;g

'(2) 1.g

'(2) 2.f g

'(2) 3.f g

'(2) 12.f

g

2 '(2) 0.f

f 3 2( ) , con 0.f x ax bx ax c a 2'( ) 3 2 .f x ax bx a

'f

f

f

P 2.y x M

P ,x A 0;1 . M

AM

M AM

M 2AM

20;1 y ; ,A M x x 2AM .x

2 4 2 1.AM x x f 4 2( ) 1,f x x x

( ) ( ),f x f x f

0; . '( )f x

0; .

MAM

24 ,cm 8 .cm

V

180

a. Demuestre que

b. Deduzca que el volumen está definido en el intervalo por

c. Estudiar las variaciones de la función y deducir el valor de para el cual es

máximo. ¿Cuál es entonces el valor de ?

11. En una esfera de centro y de radio se inscribe un cono de revolución de altura Se

nota el radio de la base del cono.

a. Utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo para demostrar que:

b. Se nota el volumen del cono. Demuestre que

c. Estudie las variaciones de en el intervalo Deduzca el valor de para el cual el

volumen es máximo.

12. Se dispone de un alambre de un metro de longitud. ¿Cómo efectuar el corte de ese alambre para

que la suma de las áreas del cuadrado y del triángulo equilátero sea mínima?

a. Demuestre que

b. Calcule en función de el área del cuadrado y el área del triángulo.

c. Deduzca que la suma de las áreas es igual a:

3 8 .h r

V 0;8 2( ) 3 8 .V r r r

V r ( )V r

h

O 4 ,cm .h

r

BOH 8 .r h h

( )V h 2 31( ) 8 .

3V h h h

V 0;8 . h

1 3.

4

ac

,a

( )S a 219 4 3 6 1 .

16a a

181

d. Deduzca el valor de para el cual es mínima. Verifique que en ese caso,

13. En un centro productivo se presenta siempre, en época de cosecha, el problema de almacenar el producto y evitar que los factores ambientales, tales como la lluvia, sol, plagas, etc., lo deteriore en gran escala. Para ello un ingeniero plantea la construcción de silos, y presenta su proyecto. Cada silo tendrá una capacidad de 4000 m³. Para que el proyecto sea aceptado se pone como condición determinar las dimensiones de los silos para que su costo sea mínimo. Considérese el silo como un cilindro abierto por una de sus bases y que se pide el área mínima.

14. Dos vértices de un rectángulo están sobre el eje de las Los otros dos vértices están sobre las rectas cuyas ecuaciones son y ¿Para qué valor de será máxima el

área del rectángulo? Respuesta: Área máxima para

15. Las ecuaciones del movimiento de un proyectil están dadas por y

donde es la velocidad inicial, el ángulo de elevación del cañón,

el tiempo en segundos y, las coordenadas del proyectil. Hallar la altura máxima que

alcanza el proyectil y demostrar que el mayor alcance se obtiene cuando el ángulo de elevación es de 45°.

16. Área máxima de un trapecio. Se pone y se llama el área del trapecio

a. Expresar

b. Determinar el área máxima del trapecio

17. El punto pertenece al cuarto de círculo de centro de radio y de extremos Se

construye el rectángulo donde pertenece al segmento y a

a ( )S a 3.a

c

.X

2y x 3 30.x y y

6.y

0 cosx v t

20 16 ,y v sen t t 0v t

,x y

x HB ( )f x .ABCD

( ).f x

.ABCD

P ,O 4 y .A B

ONPM M OA N .OB

182

a. Sea ¿A qué intervalo pertenece ?

b. Mostrar que el área de es

c. Estudiar las variaciones de la función en el intervalo

d. Determinar el valor de para el cual toma su máximo valor.

18. El camino más rápido. Se busca el punto tal que el trayecto sea el más rápido

posible. El trayecto en el mar es recorrido en canoa a una velocidad de y el

trayecto en tierra, es recorrido a una velocidad de

a. Sea en y la duración total del recorrido de en horas. Mostrar

que para

b. Calcular y establecer el sentido de variación de

c. ¿En qué lugar de la costa la canoa debe llegar? 19. Las lentes convergentes

Se da las reglas siguientes de construcción de rayos luminosos que emergen de una lente

convergente de focos y de centro óptico

Los rayos que pasan por el centro no son desviados.

Los rayos paralelos al eje emergen según los rayos que pasan por el foco imagen

Los rayos que pasan por el foco emergen según los rayos paralelos al eje

.x OM I x

ONPM 2( ) 16 .a x x x a .I

x ( )a x

H A H B

AH 4km

h

HB 5 .km

h

,x OH ,km ( )t x a ,A B

0 6,x 21 1( ) 1 6 .

4 5t x x x

'( )t x .t

y 'F F :O

O

'FF

'.F

F ' .FF

183

La distancia focal de la lente es la distancia centro óptico – foco:

Se considera aquí una lente convergente de distancia focal El objeto observado tiene

una altura de El eje está provisto del sistema de origen tal que

Se admite la fórmula de conjugación de Descartes:

a. Justificar que

b. Se llama la función definida en por:

c. Demostrar que es creciente en y en

d. Demostrar que si entonces se tiene

e. Deducir la posición del punto cuando el punto está a la izquierda de f. ¿Cuál es la posición de cuando está entre ?

g. Demostrar que si entonces se tiene

h. Deducir la posición del punto cuando el punto está a la derecha de i. ¿Cuál es la posición de cuando está entre ?

j. ¿Cuál es la posición de cuando el punto está entre ?

20. Determinar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a las curvas siguientes:

a. en el punto Respuesta: Recta tangente: Recta

normal:

b. en el origen. Respuesta: Recta tangente: Recta normal:

c. En la curva determinar las ecuaciones de la tangente y normal en

cada uno de los puntos en que la curva corta al eje de las x. Respuesta: En el punto

Recta tangente: Recta normal: En el punto Recta

tangente: Recta normal: En el punto Recta tangente:

Recta normal:

d. ¿En qué punto de la curva de ecuación es la tangente perpendicular a la recta

de ecuación ? Respuesta: En el punto

f '.f OF OF 2 .cm AB

2 .cm 'FF O

'2 y 2.F Fx x

'

1 1 1.

A Ax x f

'

2.

2A

AA

xx

x

g 2 2

( ) .2

xg x

x

g ; 2 2; .

2x ( ) 2.g x

'A A .F

'A A y F O

0x 0 ( ) 2.g x

'A A .O

'A A y F O

'A A y F O

3 2 2y x x 1;1 .P 7 6 0.x y

7 8 0.x y

2 34 4x y x x .y x.y x

1 2 3y x x x

1;0 .

4 4 0.x y 4 1 0.x y 2;0 .

5 10.y x 5 2 0.x y 3;0 .

1y x

2 3y x 2;1 .

184

e. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva x²+3xy+2y²=1 en el punto (1,1). Respuesta: Recta tangente: Recta normal:

21. Un cilindro inscrito en una esfera. Para amenager un parque, se dispone de esferas de radio 6 Al interior se quiere colocar basureros de forma cilíndrica. Se supone que un basurero

tiene por altura y por radio (en ). Se busca determinar la altura del cilindro para obtener un basurero de volumen máximo. A) Expresar en función de b) Demostrar que el

volumen del cilindro en se puede escribir bajo la forma c)

Determinar la altura del cilindro para la cual el volumen del basurero es máximo. D)

Determinar el valor exacto de ese volumen máximo en e) Dar un valor aproximado de ese volumen en número entero.

Trazado de curvas

Si se tiene la ecuación de una curva y se quiere trazar su gráfico, se hallan:

Los límites de variación de x, existencia de la curva y simetrías. Es decir, se estudia en qué intervalo existe la curva; su simetría y si la curva es periódica.

Asíntotas. Esto es, se hallan las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

Puntos de intersección con los ejes, y signos de y′.

Máximos y mínimos; crecimiento y decrecimiento.

Puntos de inflexión; concavidad.

Posición de la curva en relación con las asíntotas.

Coordenadas de algunos puntos.

Es de destacar que son posibles varias alternativas. Es recomendable encontrar las asíntotas antes de los puntos de inflexión. Se debe recordar que los puntos de referencia principales en una curva son los valores extremos de la función y los puntos de inflexión.

El método a seguir para determinar las asíntotas oblicuas es el siguiente:

5 7 12 0.x y 7 5 2 0.x y

.dm

2h r dmr .h

V 3dm 3( ) 2 36 .V h h h

3.dm

185

Si existen los límites y la recta de ecuación es

una asíntota oblicua ( a la derecha); si la asíntota es horizontal derecha.

Si existen los límites: y la recta de ecuación

es una asíntota oblicua ( a la izquierda); si la asíntota es horizontal izquierda.

EJEMPLOS

1. Hallar la ecuación de la asíntota oblicua a la curva de ecuación

Solución:

Como se sigue que

entonces la recta de ecuación es una asíntota oblicua a la derecha.

Además,

Por tanto, es una asíntota oblicua a la izquierda.

En conclusión: es una asíntota oblicua de la curva.

Obsérvese que la recta vertical de ecuación es la asíntota vertical de la curva y que esta curva no posee asíntotas horizontales. A continuación se dan varios ejemplos que muestran el proceso de construcción de una curva.

2.

Solución:

Dominio: En y en existe discontinuidad no evitable.

Interceptos:

Con el eje de las se hace Es decir: pero es imposible. Luego

no hay interceptos con el eje de las

Con el eje de las se hace Luego: es decir que

Simetría:

1

( )limx

f xk

x 1 1lim ( ) ,

xf x k x b

1 1y k x b

1 0,k

2

( )limx

f xk

x 2 2lim ( ) ,

xf x k x b

2 2y k x b

2 0,k

2 2( ) .

2

x xf x

x

2 2( ) 2lim lim lim 1,

2 2x x x

x xf x x x

x x x x x

1 1.k

22

1 1

2 22 4lim ( ) lim lim lim 4 ,

2 2 2x x x x

x x x xx x xf x k x x b

x x x

4y x

2

2

2( ) 2lim lim lim 1 .

2 2x x x

x xf x x xk

x x x x x

2

2 2

2 4lim ( ) lim lim 4 .

2 2x x x

x x xf x k x x b

x x

4y x

4y x 2x

2

8( ) .

4f x

x

( ) 2;2 .Dom f 2x 2x

,x 0.y 2

80 ,

4x

0 8

.x

,y 0.x 8

(0) 2;0 4

f

2.y

186

Con respecto al eje de las se sustituye por Es decir:

luego es simétrica con respecto al eje de las

Con respecto al eje de las no hay simetría por ser una función.

Con respecto al origen, se sustituye por por luego

no hay simetría. Asíntotas verticales:

De se sigue que las rectas de ecuaciones y son asíntotas verticales, puesto que

Asíntotas horizontales:

La recta de ecuación es la asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas: A la derecha:

Consecuentemente, no hay asíntota oblicua a la derecha. A la izquierda

Luego, no hay asíntota oblicua a la izquierda. Crecimiento y decrecimiento:

Para y por tanto la función es decreciente.

Para y por tanto la función es creciente.

Concavidad:

,y x .x

2 2

8 8( ) ( ),

44f x f x

xx

f .y

,x f

x ,x y :y 2 2

8 8,

44y

xx

2 4 0x 2x 2x

2 2 2 22 2 2 2

8 8 8 8lim , lim , lim , lim .

4 4 4 4x x x xx x x x

2 2

8 8lim ( ) lim 0, lim ( ) lim 0.

4 4x x x xf x f x

x x

0y

1 2

( ) 8lim lim 0.

4x x

f xk

x x x

2 2

( ) 8lim lim 0.

4x x

f xk

x x x

2 22 2

0 8 2 16'( ) .

4 4

x xf x

x x

0, '( ) 0x f x f

0, '( ) 0x f x f

22 2

42

2 2

42

2

32

16 4 16 2 4 2''( )

4

4 16 4 16 4

4

48 64.

4

x x x xf x

x

x x x x

x

x

x

187

No se define en Para por lo tanto es cóncava hacia arriba. Para

por lo tanto es cóncava hacia arriba. Para

luego es cóncava hacia abajo.

Máximos y mínimos. Puntos de inflexión: Como hay máximo para Ese mínimo se

tiene en el punto

No posee punto de inflexión, pues para todo

3.

Solución:

Dominio: En la función es discontinua no evitable.

Interceptos:

Con el eje de las Hacemos Es decir: y como

para todo no hay interceptos.

Con el eje de las sustituyendo por se tiene:

Hay alteración, luego no hay simetría.

Con respecto al origen, al sustituir por e por se tiene y al

multiplicar por resulta: Luego hay simetría con respecto al origen, es decir,

la función es impar en su dominio:

Asíntotas verticales:

En hay asíntota vertical puesto que y

2.x 2, ''( ) 0,x f x f

2, ''( ) 0,x f x f 2 2, ''( ) 0;x f x f

'( ) 0 16 0 0.f x x x ''(0) 0,f 0.x

0; 2 .M

''( ) 0f x .x

4.y x

x

( ) 0 .Dom f 0x

:x 0.y 24 4

0 0x

xx x

2 4 0x

,x:y x ,x

4 4( ) ( ).f x x x f x

x x

x x y y4

y xx

14

.y xx

( ) ( ).f x f x

0x 2

0

4limx

x

x

2

0

4lim .x

x

x

188

Asíntotas horizontales:

y lim_{x→-∞}((x²+4)/x)=-∞. Luego no hay asíntota

horizontal. Asíntotas oblicuas:

por lo que la

recta de ecuación es la asíntota oblicua derecha.

Análogamente, Por tanto, la recta de ecuación es la asíntota

oblicua izquierda. Crecimiento y decrecimiento:

De se sigue que

Para luego la función es creciente. Para y por

tanto la función es creciente. Para y la función es decreciente.

Concavidad:

Para y por tanto la función es cóncava hacia arriba. Para

y por tanto es cóncava hacia abajo.

Máximo y mínimo. Puntos de inflexión

Para luego hay mínimo en el punto Para

luego hay máximo en el punto No hay punto de inflexión, pues

para todo y en existe una asíntota vertical.

2 4limx

x

x

2 4lim .x

x

x

2

1 2

( ) 4lim lim 1.x x

f x xk

x x

2 2 2

1 1

4 4 4lim ( ) lim lim lim 0,x x x x

x x xb f x k x x

x x x

y x

2lim ( ) 0.x

f x k x

y x

2 4( )

xf x

x

2 2

2 2 2

2 4 2 24'( ) .

x x x x xxf x

x x x

2, '( ) 0,x f x f 2, '( ) 0,x f x f 2 2, '( ) 0x f x f

2 2 3 3

4 4 3

2 2 4 2 2 8 8''( ) .

x x x x x x xf x

x x x

0, ''( ) 0x f x f

0, ''( ) 0x f x f

2'( ) 0 4 0 2.f x x x

2, ''(2) 0,x f ' 2;4 .M 2, ''( 2) 0,x f

2; 4 .M ''( ) 0f x

x Dom f 0x

189

Preguntas de comprobación

1. ¿Qué relación existe entre el crecimiento de una función y el signo de su derivada? Ejemplifique.

2. Establezca las condiciones de monotonía de una función f:R→R derivable en todo su dominio. 3. Defina:

a. Mínimo relativo. b. Máximo global.

4. ¿A qué se llama punto crítico? 5. ¿Cuál es la condición necesaria para la existencia de extremos? Dé ejemplos que demuestren

que la condición no es suficiente. 6. ¿Cuál es la condición suficiente para la existencia de extremos relacionados con la primera

derivada de la función? 7. Escriba el criterio para determinar los máximos y mínimos de tangente vertical. 8. Defina:

a. Concavidad hacia arriba. b. Punto de inflexión.

9. ¿Cuántos tipos de puntos de inflexión se presentan? ¿Por qué? Enuncie el criterio para determinarlos en cada caso e ilustre cada uno con un gráfico.

10. Enuncie la condición suficiente para los extremos por el criterio de la segunda derivada. Ejemplifique.

11. Formule las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos de una función. 12. Describa las técnicas generales que permiten resolver un problema de optimización. 13. ¿Cómo se procede para hallar la ecuación de una asíntota oblicua? 14. Describa el procedimiento general a seguir para trazar una curva si se conoce su ecuación.

190

15. Escriba la ecuación de la recta normal a una curva en un punto P. ¿Qué relación tiene su pendiente con la pendiente de la recta tangente en P ?

Preguntas de selección múltiple

1. Considere los siguientes datos acerca de la posición s de una partícula, con respecto al tiempo, t.

3,2

¿En cuál de los siguientes intervalos es mayor la velocidad promedio? a. b) c) d) e)

2. Encontrar si

a. b)

c) d)

e) Ninguna de las anteriores respuestas es correcta.

3. La derivada segunda de es:

a. b)

c)

d) e) Ninguna de las respuestas anteriores es

correcta.

4. Encontrar para

a. b) c) d)

e) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es la ecuación de la recta tangente a en

?

a. b) c) d)

e) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. 6. Determine la correcta relación entre las funciones dadas por los gráficos siguientes.

a. es la reflexión de respecto al eje ; b) es la derivada de ; c) es la

derivada de ; d) es la segunda derivada de ; e) es la segunda

derivada de

t 3 3,4 3,6 3,8( )s t 8,2 9,5 10,5 11 13,2

3 3,2t 3,2 3,4t 3,4 3,6t 3,6 3,8t 3 3,8.t

dy

dxtan .

3

ty sen

21cos sec ;

3 3

t

21 1sec cos tan ;

3 3 3 3

t tsen

21cos tan sec ;

3 3 3

t t

1cos tan sec tan ;

3 3 3 3

t t t

2( ) cos 1f x x

2''( ) 4 cos 1 ;f x x x 2''( ) 2 1 ;f x x sen x

2 2 2''( ) 4 cos 1 2 1 ;f x x x sen x

2 2 2''( ) 4 cos 1 2 1 ;f x x x sen x

dy

dx3 2cos 4 .y x y

46;

x

y sen y

412;

2

x

y sen y

412;

2

x

y sen y

412 2 ;sen y x y

3 1( )

5 2

xf x

x

1x

3;

7y x

1 27;

49 49y x 1 4

1 ;49 7

y x 4 31 ;

7 5y x

f g x g f f

g g f f

.g

191

7. Encontrar todas las asíntotas verticales y horizontales de la curva de ecuación

a. Las asíntotas verticales son las rectas de ecuaciones La asíntota

horizontal es la recta de ecuación b. Las asíntotas verticales son las rectas de

ecuaciones Las asíntotas horizontales son las rectas de ecuaciones

c. La asíntota vertical es la recta de ecuación La asíntota

horizontal es la recta d. La asíntota vertical es la recta La asíntota

horizontal es la recta e. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

8. Dar los valores de que dan extremos relativos para la función definida por

a. Máximo relativo en mínimo relativo en

b. Máximo relativo en mínimo relativo en

c. Máximos relativos en y en mínimo relativo en

d. Máximo relativo en mínimos relativos en y en

e. Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.

9. Determine el valor de si existe.

a. 0; b) c) d) El límite no existe; e) Ninguna de las

respuestas anteriores es correcta.

10. Determine para si existe.

Los valores dados en la siguiente tabla, pueden ayudarle para determinar este límite.

indefinido

a. b) c) d) e) El límite no existe.

11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca de las funciones definidas por

y ¿es verdadera?

a. son funciones continuas en

b. Solo y son continuas en

c. Solo y son continuas en

d. Solo y son continuas en

e. Ninguna de las funciones es continua en

12. La expresión define la derivada de la función:

2

2

2 8.

16

x xy

x

4 y 4.x x

1.y 4 y 4.x x

4 y 2.y y 4.x

2.y 4.x

1.y

x 5 3( ) 3 5 .f x x x

0;x 5

.3

x

1;x 1.x

1x 1;x 0.x

0;x 1x 1.x

2

2lim 4 ,x

x

2; 2;

2lim ( )x

f x

3 6( ) cos 2 ,

2 4

xf x sen

x

x 2,1 2,05 2,01 2 1,99 1,95 1,9( )f x 0,990113 0,999377 0,999999 0,999999 0,999377 0,990113

0,990113; 1; 0; 0,999999;2

2

1( ) ,

1

xf x

x

2 1, si 1

( )2 1, si 1

x xg x

x x

2( ) 3 1 ,h x sen x

, y f g h 1;x f g 1;x f h 1;x g h 1;x

1.x

2

0

4 16lim ,h

h

h

192

a. en

b. en

c. en

d. en

e. en

13. Determine el valor de si existe.

a. b. c. d. e. El límite no existe.

14. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es la ecuación de la recta tangente al gráfico de

en el punto

a.

b.

c.

d.

e. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

15. Sea donde y son funciones derivables. Si

y ¿cuál es el valor de

a. 24; b. 12; c. d. e. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

16. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

a. b. c. d. e.Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

17. Encontrar para

a.

b.

c.

d.

e.

18. Recuerde que el volumen de un cilindro circular recto está dado por donde es el

radio de la base y es la altura. Un tanque de agua en forma de un cilindro circular recto con

2( ) 14f x x 2;x

2( ) 4f x x 2;x

2( ) 14f x x 4;x 2( ) 2f x x 4;x

2( ) 4 2f x x 14.x

9

3lim ,

18 2x

x

x

1;

60;

1;

4

1;

12

2( ) 3 4f x x x 2; (2) ?f

6 4;y x 8 12;y x 8 20;y x

6 4 2 4;y x x

3( )h x f g x ( )f x ( )g x (1) 2,f (1) 1,g

'(1) 2f '(1) 1,g '(1)?h

12; 24;2 2 32 1x xy y 1; 2 ?

9;

4

1;

2

1;

4

5;

2

'( )f x 4

2

cos( ) .

xf x

x

4 4

3

2cos'( ) ;

x sen x xf x

x

4 4 4

3

4 2cos'( ) ;

x sen x xf x

x

2 4'( ) 2 ;f x x sen x

34'( ) ;

2

sen xf x

x

4 4 4

3

4 2cos'( ) .

x sen x xf x

x

2 ,V r h r

h

193

diámetro 40 pies está empezando a drenar. Si el nivel del agua decrece en 2 pies por minuto, ¿cómo está cambiando el volumen de agua?

a. El volumen está cambiando a la razón de pies cúbicos por minuto.

b. El volumen está cambiando a la razón de pies cúbicos por minuto. c. El volumen está cambiando a la razón de pies cúbicos por minuto. d. El volumen está cambiando a la razón de pies cúbicos por minuto. e. Con la información proporcionada es imposible determinar la razón de cambio del

volumen. 19. El gráfico de la función aceleración, para el movimiento de una partícula a lo largo de un

eje de coordenadas se muestra más abajo. ¿Cuál de los gráficos da la función velocidad de la partícula, si la velocidad en el tiempo es

20. Sea una función tal que el gráfico de se indica a continuación. ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es verdadera? a. tiene un máximo local en y no un mínimo local.

b. tiene un máximo local en y un mínimo local en

c. tiene un máximo local en y mínimos locales en y

d. El gráfico de es siempre cóncavo hacia abajo.

e. Ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera.

21. Si entonces los puntos críticos de son:

a. solo

b. y

c. solo

d. y

e. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca de es falsa?

a. tiene como asíntota horizontal

b. tiene como asíntotas verticales las rectas y

c. y

d. y

e. tiene un punto crítico en

23. Sean y números reales no negativos tales que ¿Para qué valores de y el producto alcanza su máximo valor?

a. y

b. y

c. y

d. El producto no alcanza un máximo valor; e. Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.

40 800h

8008003200

( ),a t

( ),v t 0t 0?

f '( )y f x

f 2x

f 0x 4.x

f 2x 0x 4.x

f

2/3( ) 5 ,g x x x g

0;x 0x 5;x

2;x 0x 2;x

2

2

2 1( )

1

xf x

x

f 2;y f 1x 1;x

1lim ( )

xf x

1lim ( ) ;

xf x

1lim ( )x

f x

1

lim ( ) ;x

f x

f 0.x

a b 29 .b a a b

,ab

3a 6;b 3a 6;b

4a 7;b ab

194

24. Si entonces es igual a:

a.

b.

c.

d.

e. Ninguna de las anteriores. 25. Sea una función para la cual y están definidas en el intervalo Si

y para entonces cuál de las siguientes afirmaciones es

verdadera? a. es creciente y cóncava hacia arriba en el intervalo.

b. es creciente y cóncava hacia abajo en el intervalo.

c. es decreciente y cóncava hacia arriba en el intervalo.

d. es decreciente y cóncava hacia abajo en el intervalo.

e. No se ha dado información suficiente para determinar estas propiedades.

26. Sea entonces

a. b. c. d. e. Ninguna de estas.

27. La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto es: a.

b) c) d) e) Ninguna de estas.

28. Si está definida en el intervalo ¿Cuándo ocurren el máximo y el

mínimo valor de en el intervalo

a. Máximo en mínimo en

b. Máximo en mínimo en

c. No tiene máximo, mínimo en

d. Mínimo en máximo en

e. Ninguna de las anteriores. 29. Sean y funciones derivables para las cuales Sea

Entonces

a. b. c. d. e. Ninguna de éstas.

3 2( ) cos ,f x x '( )f x

2 23 ;sen x

2 23cos ;x

2 2 2 26 cos ;x x sen x

2 26 cosx x

f 'f ''f .a x b

'( ) 0f x ''( ) 0f x ,a x b

f

f

f

f

3 1( ) ,

1f x x x

x

''( )f x

15;

45;

29;

44;

3 3 6x y xy 3;3 6;y x 2

2

6 3 3;

3 6 3

y x y

y x x

2

1;3

y x 2 3;y x

3( ) 2 3f x x x 1 1.x

f 1 1?x 1,x 1;x

1,x 3

;2

x

3;

2x

3,

2x 1;x

f g (1) 2,f '(1) 1,f (1) 3,g '(1) 1.g 2

.f

hg

'(1)h

4;

3

4;

34;

16;

9

195

30. Si es la posición de una partícula sobre el eje en el tiempo entonces la partícula

está momentáneamente en reposo cuando: a. b. c. d. e. Ninguna de las anteriores.

31. Use el hecho de que la derivada de es para mostrar que la

derivada de es

32. Una bola de tenis es lanzada verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra recorre

una distancia dada por pies en segundos.

a. ¿En qué momento alcanza la máxima altura y cuál es ese valor? b. Encontrar la velocidad de la pelota en el momento de impacto con la superficie de la

Tierra.

33. Sea

a. Encontrar los puntos críticos de

b. ¿En qué intervalos es creciente?. ¿En qué intervalos es decreciente?

c. Calcule los valores extremos locales de y establezca si cada uno de ellos es un máximo

o un mínimo local.

d. Encontrar los valores extremos absolutos de en el intervalo

34. Construya el gráfico de una función, que satisfaga las siguientes condiciones.

a.

b.

c. para

d. para

35. La fórmula de la potencia de salida, de una batería es donde es la

fuerza electromotriz en voltios, es la resistencia en ohms, e es la corriente en amperios. Encontrar la corriente, que maximiza la potencia de salida, en una batería para la cual

voltios y ohms. Asuma que a 15 amperios fuse bounds la corriente en el

intervalo

36. La derivada de es

a. b. c. d. e. Ninguna de las respuestas

anteriores es correcta.

37. Encontrar si

a. b. c.

d. e.

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

38. La ecuación de posición para el movimiento de una partícula está dada por

donde está medido en pies y en segundos. Encontrar la aceleración a los dos

( )s s t s ,t

( ) 0;f t ''( ) 0;f t 0;t '( ) 0;f t

( ) cosf x x '( )f x sen x

( ) secg x x '( ) sec tan .g x x x

2( ) 960 16s t t t t

4 21( ) 2 3.

4f x x x

.f

f f

f

f 0;3 .

( ),f x

( 2) 8, (2) 0 y (4) 4.f f f

0lim ( ) y lim ( ) 8.x x

f x f x

'( ) 0f x 2 0.x

''( ) 0f x 2 4.x

,P 2 ,P V I R I V

R I,I ,P

12V 0,6R

0 15.I

2

3

1

xy

x

2

3;

1x 3

;2x

2

22

3 3;

1

x

x

2

22

3 1;

1

x

x

'( )f x 3( ) 4 .f x sen x

3cos 4 ;x 34cos 4 ;x 23 4 cos 4 ;sen x x 212 4 cos 4 ;sen x x

32( ) 1 ,s t t

s t

196

segundos.a.342 pies/sec²; b. 288 pies/sec²; c. 108 pies/sec²; d. 90 pies/sec²; e. 18 pies/sec².

39. Si ¿En qué punto(s) del intervalo el gráfico de tiene una

recta tangente con pendiente 0? a. b. c. d.

e. No existen valores de en el intervalo

para los cuales la recta tangente al gráfico de tenga pendiente 0.

40. Un balón en forma de una esfera está empezando a inflarse. El volumen de una esfera está

dado por Supongamos que el volumen se está incrementando a una razón de 4

pulg³/segundo. ¿Con qué tasa está creciendo el radio cuando el radio es de una pulgada?

a. pulgadas por segundo; b. pulgadas por segundo; c. π pulgadas por

segundo; d) pulgadas por segundo; e) Esta razón o tasa de cambio no puede ser

determinada con la información dada.

41. Supongamos que es continua en un intervalo cerrado Dadas las siguientes

afirmaciones:

A: alcanza su valor máximo absoluto en el intervalo

B: Si es un máximo en entonces

C: Si es un mínimo absoluto en entonces es un punto crítico o un punto

extremo. D: Un máximo absoluto puede ocurrir en

a. Sólo la afirmación A es verdadera; b. Sólo la afirmación B es verdadera; c. Sólo las afirmaciones A y C son verdaderas; d. Sólo las afirmaciones C y D son verdaderas; e. Sólo las afirmaciones A, C y D son verdaderas.

42. Sea Si y encontrar el valor de

a. 0; b. 6; c. 8; d. 24; e. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

43. Sea ¿Cuántos extremos locales tiene ?

a. tiene solamente un extremo local; b. tiene solo dos extremos locales;c.

tiene solo tres extremos locales; d. tiene más de tres extremos locales;e. no

tiene extremos locales.

44. Encontrar la ecuación de todas las asíntotas horizontales y verticales para

( ) cos .f x sen x x 0 2x f

;4

x

3

y ;4 4

x x

5

y ;4 4

x x

3 5 7; ; y .

4 4 4 4x x x x

x 0 2x

f

34.

3V r

1

3

44

3

( )f x , .a b

( )f x , .a b

( )f c , ,a b '( ) 0.f c

( )f c , ,a b , ( )c f c

( ).f b

( ) ( ) ( ).h x f x g x (6) 3,f '(6) 4,f (6) 6g (́6) 2,g

'(6).h

6 4 2( ) 3 3 .f x x x x f

f f f

f f

2

3

8 15( ) .

9

x xf x

x x

197

45. Use la definición de derivada, para encontrar la derivada de

46. Dada la función

a. Encontrar los valores críticos. b. Encontrar los extremos locales así como los intervalos donde es creciente y en los que es decreciente. c. Encontrar los puntos de inflexión. d. Determinar intervalos donde el gráfico de es cóncavo hacia abajo y en los

que es cóncavo hacia arriba. 47. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

a. b. c. d.

e. f.

g. h.

i. j. k. l.

48. Determine los intervalos en los cuales el gráfico de las funciones siguientes es cóncavo y

localice los puntos de inflexión:

a. b. c. d.

e. ┊ f.

49. Descomponga el número 8 en dos sumandos de manera tal que la suma de sus cubos sea mínima.

50. ¿Cuál es el número que al restarle su cuadrado se obtiene la diferencia máxima? 51. Exprese el número 5 como la suma de tres números tales, que esta suma sea igual al triplo del

tercer número y que su producto sea máximo. 52. Dado un número positivo S, pruebe que entre todos los números positivos , con

el producto es máximo cuando

53. ¿Cuál de los rectángulos con perímetro igual a 50 cm tiene el área máxima? 54. A lo largo de los lados de una parcela rectangular de tierra de 10 000 m² hay que excavar una

zanja. ¿Qué dimensiones deberá tener la parcela para que la longitud de la zanja sea mínima? 55. Se tiene un cuadrado de cartón de 6 dm de lado. Se quiere recortar de cada esquina un

cuadrado de modo que se pueda hacer una caja de máximo volumen. ¿Cómo ha de hacerse el corte?

56. Hay que cercar una superficie rectangular por tres de sus lados con tela metálica de modo que linde por el cuarto lado con una pared de piedra. ¿Qué dimensiones será más conveniente dar a la superficie para que su área sea máxima, si se dispone de un total de metros lineales de tela metálica?

0

( ) ( )lim ,h

f x h f x

h

3( ) 2.f x

x

3 2( ) 6 9 .f x x x x

f

21 4y x x 3 2 5y x x 2 3y x x 3y x x cosy sen x x

tan3

y x

lny x x xy xe

xey

x lny sen x 1y arcsen x

3 26 9 1.y x x x 4 3 218 24 12.y x x x x 2.

1

xy

x

5/3.y x x 2 4, si 3

( )8 , si 3

x xf x

x x

2ln, 0.

xy x

x

,x y ,x y S

xy .2

Sx y

L

198

57. Un depósito abierto, de fondo cuadrado, debe tener capacidad para litros. ¿Qué dimensiones debe tener dicho depósito para que en su fabricación se necesite la menor cantidad de material?

58. Halle la distancia mínima del punto al gráfico de

59. Se requiere fabricar un cajón con tapa cuyo volumen sea de 72 dm³ y la relación entre los lados de la base 1:2. ¿Qué longitudes deberán tener las aristas para que la superficie total del cajón sea la mínima?

60. Un cuerpo se mueve conforme a la ley expresada por la ecuación Halle la velocidad máxima de desplazamiento del cuerpo.

61. El espacio recorrido por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba a la velocidad inicial

se determina por la ecuación Determine la altura máxima de elevación del

cuerpo. 62. En un instante determinado, un barco B se encuentra situado a 65 millas al este de otro barco A.

El barco B empieza a navegar hacia el oeste con una velocidad de 10 millas por hora, mientras que el A lo hace hacia el sur con una velocidad de 15 millas por hora. Si se sabe que las rutas iniciadas no se modifican, calcule el tiempo que transcurrirá hasta que la distancia que los separa sea mínima. Halle su distancia.

63. Se desea inscribir un rectángulo en la elipse cuya ecuación es ¿ Cuáles serán sus

dimensiones para que su área sea máxima? 64. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la porción de

parábola limitada por la recta de ecuación

65. Halle la altura del cilindro de volumen máximo que se puede inscribir en un cono circular recto dado.

66. La solidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su ancho por el cuadrado de su altura. Halle las dimensiones de la viga más sólida que puede obtenerse de un tronco cilíndrico de a cm de diámetro.

v

, 0a .y x

2 310 18 2 .s t t t

0 ,v

20

1.

2s v t gt

2 2

2 21.

x y

a b

2 4y px .x a

199

CAPÍTULO 7 VECTORES EN EL ESPACIO Contenido del capítulo:

El espacio Operaciones en . Longitud de un vector. Distancia entre dos puntos. Ortogonalidad. Vectores coplanares y colineales. Ecuación vectorial de rectas. Ecuación vectorial de planos.

Resultados del aprendizaje:

Al finalizar el estudio de este capítulo el alumno:

1. Explica los elementos que identifican a un vector en el plano y a uno en el espacio. 2. Construye un vector con la dirección y sentido a partir de dos puntos. 3. Representa gráficamente vectores en el plano y en el espacio. 4. Identifica condiciones para la igualdad de vectores. 5. Define e interpreta geométricamente las operaciones de suma vectorial y multiplicación de un

vector por un escalar. 6. Realiza una combinación lineal entre varios vectores. 7. Demuestra propiedades de las operaciones entre vectores. 8. Demuestra el teorema del producto escalar. 9. Calcula la medida del ángulo que forman dos vectores. 10. Aplica las propiedades de las operaciones entre vectores respecto al producto escalar. 11. Aplica el concepto de vectores paralelos, vectores ortogonales, norma de un vector, empleando

operaciones entre vectores. 12. Determina vectores unitarios sobre una dirección dada. 13. Calcula la proyección escalar y vectorial especificada entre dos vectores. 14. Calcula el producto vectorial entre dos vectores. 15. Demuestra el teorema de la norma de un producto vectorial entre vectores. 16. Aplica las propiedades de las operaciones entre vectores respecto al producto vectorial. 17. Interpreta geométricamente la norma de un producto cruz entre dos vectores.

33

200

18. Calcula el área de la superficie de un triángulo definido por tres puntos no colineales. 19. Calcula el volumen de un paralelepípedo definido por cuatro puntos no coplanares.

EL ESPACIO

Para especificar puntos en el espacio, se necesita un punto de referencia , llamado el origen. Por

el punto se trazan tres rectas perpendiculares, llamadas los ejes El eje es

considerado como el eje que sale directamente de la página.

En el siguiente diagrama se ve que los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes. La intersección de dos octantes es un eje de coordenadas. La dirección positiva de cada eje es mostrada mediante un trazo continuo mientras que la dirección negativa lo es mediante una línea cortada.

3

O

O , y .X Y Z X

201

Cualquier punto en el espacio puede ser especificado mediante una terna de números

El vector de posición de es el vector .

Para ayudar a visualizar en el espacio tridimensional la posición de un punto, en nuestro papel

bidimensional, es necesario completar un prisma rectangular (caja) con el origen como uno de

sus vértices, lo lados como ejes adyacentes a él y es el vértice opuesto a

P , , .x y z

P ( , , )OP x y z

O

P .O

202

A continuación se ilustra la ubicación de los puntos

DISTANCIA Y PUNTO MEDIO

El triángulo es un triángulo rectángulo en por lo tanto, por el teorema de Pitágoras se

tiene: El triángulo también es un triángulo rectángulo en luego, por el

mismo teorema de Pitágoras se tiene: Reemplazando el valor de se sigue:

de donde:

0,2,0 , 3,0,2 y 1, 2,3 .A B C

OAB ,A2 2 2.OB a b OBP ,B

2 2 2.OP OB c 2OB

2 2 2 2 ;OP a b c

2 2 2 .OP a b c

203

Ahora, para dos puntos cualesquiera la distancia de a está dada

por:

Una simple extensión del plano al espacio, permite obtener el punto medio del segmento de extremos

EJEMPLO

Si son dos puntos en el espacio, encontrar la distancia de a así como

las coordenadas del punto medio del segmento

Solución:

El punto medio del segmento es:


1. Ubicar, en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares los puntos

Hallar además su distancia al origen.

2. Para cada par de puntos siguientes, hallar la distancia del segmento así como las

coordenadas del punto medio de

a. b.

c. d.

3. Mostrar que son los vértices de un triángulo isósceles.

4. Determine la naturaleza del triángulo usando distancias en cada uno de los siguientes casos:

a.

b.

c.

1 1 1 2 2 2, , y , , ,A x y z B x y z A B

2 2 2

2 1 2 1 2 1, .d A B AB x x y y z z

y .A B

1 2 1 2 1 2Punto medio del segmento , , .2 2 2

x x y y z zAB

3,2,5 y 2,1,7 ,A B A B

.AB

2 2 2

22 2

( , ) 2 ( 3) 1 2 7 5

5 1 2 30.

d A B

M AB3 2 2 1 5 7 1 3

, , , ,6 .2 2 2 2 2

M

0,0, 2 , 0, 2,3 , 5,2,4 y 2, 3,5 .A B C D

y A B ,AB

.AB

3, 2,5 y 2, 1,7 ;A B 5, 2, 1 y 2,3, 5 ;A B

0,0,0 y 2, 1,5 ;A B 3,0,7 y 0,2,0 .A B

0,4,4 , 2,6,5 y 1,4,3A B C

ABC

2, 1,7 , 3,1,4 y 5,4,5 ;A B C

0,0,3 , 2,8,1 y 9,6,18 ;A B C

5,6, 2 , 6,12,9 y 2,4,2 .A B C

204

d.

5. Una esfera tiene como centro y diámetro donde es Encontrar las

coordenadas de así como el radio de la esfera.

6. Encontrar las coordenadas de dos puntos ubicados en el eje que se encuentran a

unidades de

7. Encontrar la ecuación cartesiana del lugar geométrico de todos los puntos que están

a 3 unidades del origen.

8. Encontrar la ecuación cartesiana del lugar geométrico de todos los puntos que están

a unidades del punto

9. La distancia de a es igual a la distancia de a Hallar la

ecuación cartesiana del lugar geométrico de los puntos 10. Ilustrar y describir los siguientes conjuntos:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

VECTORES EN EL ESPACIO

Con cada punto asociamos el vector de coordenadas es decir que:

Si son dos puntos cualesquiera en el espacio, el vector es el

vector:

1,0, 3 , 2,2,0 y 4,6,6 .A B C

1,2,4C AB A 2,1,3 .

B

Y 14

1, 1,2 .B

, ,P x y z

, ,P x y z

2 1, 2,3 .A

, ,P x y z 2,1,4A P 1,3,2 .B

.P

, , : 2x y z x

, , : 3x y z y

, , : 5x y z z

, , : 2, 5x y z x z

, , : 2, 2 5, 1 4x y z x y z

, , : 0 3, 1 4, 2 5x y z x y z

, ,P x y z OP

, , ;x y z

, , .OP x y z

1 1 1 2 2 2, , y , , ,A x y z B x y z AB

2 1 2 1 2 1, ,AB x x y y z z

205

EJEMPLO

Si son dos puntos en el espacio, entonces

y Además, la longitud o norma del vector está dada

por:


1. Dados los puntos y encontrar:

a. El vector de posición de a

b. El vector de posición de a

c. La distancia entre y

2. Dados los puntos y encontrar el vector de posición de:

a. al origen y la distancia de al origen

b. a y la distancia de a

c. a y la distancia de a

3. Encontrar la distancia del punto al:

a. Eje b. Origen.

c. Al plano

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

Como en el caso bidimensional, los vectores en el espacio pueden ser representados por segmentos de recta dirigidos (flechas).

El vector lo representaremos simplemente por

Si , la magnitud (longitud) del vector está dada por

3,2,5 y 2, 1,7 ,A B 3, 2,5 ,OA

2, 1,7OB

2 ( 3), 1 2,7 5 5, 3, 2 .AB

AB

22 25 3 2 38.AB

3, 2,5M 2,0, 3 ,N

M .N

N .M

M .N

3,2, 1 ,A 3,0,5B 4, 3, 2 ,C

A O A .O

C A C .A

B C B .C

5, 3,7P

.Y

.YOZ

OA

.A

1 2 3( , , )OA a a a

OA

2 2 21 2 3 .OA A a a a

206

IGUALDAD DE VECTORES

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

Si utilizamos flechas para representar vectores, entonces vectores iguales son paralelos y tienen igual longitud.

En términos de coordenadas tenemos:

Si y entonces

implica que es paralelo al vector y tienen la misma longitud y sentido. Es decir que

y son lados opuestos de un paralelogramo.

EJEMPLO

Encontrar si

Solución:

Si entonces y y Se

sigue entonces que y


1. Encontrar si:

1 2 3( , , )A a a a

1 2 3( , , )B b b b

1 1 2 2 3 3 y y .A B a b a b a b

A B

A

B

A

B

, y a b c 5, 3, 2 3 , , 5 .a b c a b c

5, 3, 2 3 , , 5 ,a b c a b c 5 3a a 3b b 2 5 .c c

4,a 3

2b

3.

2c

, y a b c

207

a.

b.

2. Encontrar escalares si:

a.

b.

c.

3. y son cuatro puntos del espacio. Encontrar los

valores de los escalares y si:

a.

b.

4. Un cuadrilátero tiene como vértices y

a. Encontrar y

b. ¡Qué se puede deducir acerca del cuadrilátero ?

5. es un paralelogramo. El punto es , el punto es y es el

punto Encontrar las coordenadas del punto

6. es un paralelogramo, con y

a. Use vectores para encontrar las coordenadas de b. Use el punto medio de las diagonales para chequear su respuesta.

OPERACIONES CON VECTORES

VECTOR SUMA

Definimos geométricamente, la adición de vectores de la siguiente manera:

Para sumar Primero dibujamos luego, a partir de su extremo dibujamos el vector .

Uniendo el origen de con el extremo de se obtiene el vector Este método es conocido como el método del triángulo.

3 5,2 3, 7 5,1, 6 .a b c

1 3 3 23 ,2 , 2 5 ,1 , 6 3 .

2 5 4 3a b c a b c

, y a b c

2 1,0,3 , 1,2a b c

22, ,3 , ,a b a a b

1,1,0 2,0, 1 0,1,1 1,3,3 .a b c

1,3 4 , 2,5, 1 , 1,2, 2A B C , ,D r s t

,r s t

AC BD

.AB DC

1,2,3 , 3, 3,2 , 7, 4,5A B C 5,1,6 .D

AB

.DC

ABCD

ABCD A 1,2,1 B 2,0, 1 D

3,1,4 . .C

PQRS ( 1,2,3), 1, 2,5P Q 0,4, 1 .R

.S

y :A B

,A

B

A

B

.A B

208

VECTORES NEGATIVOS

es el negativo de

Note que tiene la misma magnitud y dirección que el vector pero sentido contrario.

VECTOR NULO

El vector nulo se escribe como y para cualquier vector se tiene:

VECTOR DIFERENCIA

Para sustraer un vector de otro, simplemente le sumamos su negativo; es decir,

Geométricamente:

A continuación se representa la diferencia de los vectores y

A

.A

A

,A

0

A

0.A A A A

.A B A B

A

:B

209

MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR

Los números reales etc., son conocidos también como escalares. Si es un vector,

¿qué significa expresiones tales como ?

Por definición:

En el siguiente gráfico se muestran los vectores

Note que:

El vector tiene la misma dirección y sentido de pero su longitud es dos veces la de

.

El vector tiene la misma dirección y sentido de pero su longitud es tres veces la

de .

El vector es el opuesto del vector por tanto tiene la misma dirección, sentido

opuesto y su longitud es tres veces la de .

23, 2, 2, ,

5 A

2 , 3 y 3A A A

2 , 3 y 3 3 .A A A A A A A A A A A A

, 2 , 3 y 3 .A A A A

2A A A

A

A

3A A A A

A

A

3 3A A

3A

A

210

Observación:

Si es un vector y un escalar.

es también un vector y se dice que es una multiplicación de un escalar por un vector.

Si los vectores y tienen la misma dirección y sentido.

Si los vectores y tienen la misma dirección y sentidos opuestos.

Cuando se realiza gráficamente adición de tres vectores en el espacio (en una hoja bidimensional)debemos tomar en cuenta que los vectores son generalmente no coplanares.

FORMA ALGEBRAICA

Al igual que en el caso bidimensional, podemos definir las operaciones en términos de las componentes de los vectores.

Si y entonces

Adición

Sustracción

Multiplicación por escalar

EJEMPLO

Si y entonces

ALGUNAS PROPIEDADES

Sean , y vectores cualesquiera en el espacio y una constante. Se verifica:

1. Propiedad conmutativa

2. Propiedad asociativa

3.

4.

5.

A

k

k A

0,k k A

A

0,k k A

A

1 2 3( , , )A a a a

1 2 3( , , )B b b b

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )A B a a a b b b a b a b a b

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )A B a a a b b b a b a b a b

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )k A k a a a ka ka ka

(2, 3,5)A

( 3,1,7)B

3 5 3(2, 3,5) 5( 3,1,7)

6, 9,15 15,5,35

9, 4,50 .

A B

2 3 2(2, 3,5) 3( 3,1,7)

4, 6,10 9, 3, 21

13, 9, 11 .

A B

A

A

A

k

A B B A

A B C A B C

0 0A A A

0A A A A

k A k A

211


1. Para y encontrar:

a. . b. c. d. e.

2. Si y encontrar:

a.

b.

c.

3. Si y encontrar el vector si:

a. b.

4. Resolver para

a. b. c.

5. Si y encontrar así como la distancia del punto al

punto

6. Note que si y donde es el origen, entonces y

7. Sean los vectores y deducir que

8. En la figura, es paralelo a y es la mitad de su longitud.

3, 5, 2 , 2,1,3A B

2,0,3C

2A B

A B

5B C 1

23

A B C 1

5 2 .3

A B C

3,5, 2 , 2,1, 3A B

2,0,3 ,C

, y .A B C

, y 2 .A B B C C A

1, y .

2A B C A B C A

C A

3,7,0A

1, 3,5B

X

3 .X B

3 .B X A

:X

3 2X A B 3

52

B X A 1

23

X A B A

5, 2,6OA

2,7, 6OB

AB

A

.B

OA A

OB B

O AB OB OA B A

.BA OA OB A B

2,1, 2 , 0,3, 4 , 1, 2,1A B C

2, 3,2 ,D

2 .BD AC

BD

OA

212

Encontrar en términos de los vectores y expresiones para:

a. b. c. d. e. f.

9. Si y encontrar:

a. b. c.

PARALELISMO Y VECTORES UNITARIOS

Si dos vectores son paralelos entonces uno es un múltiplo escalar del otro y viceversa.

Si es paralelo al vector , entonces existe un escalar tal que .

Si es paralelo a para algún escalar entonces es paralelo a y además

Note que es paralelo a y como se sigue que y

Se tiene también que es paralelo a pues


1. Si y son paralelos, encontrar

2. Encontrar escalares dado que y son paralelos.

3. Encontrar un vector unitario paralelo al vector

4. ¿Qué puede usted deducir de las siguientes igualdades?

a. b. c.

A

B

BD

AB

BA

OD

AD

DA

5, 2, 4 , 3, 2, 7AB AC

0, 3, 4 ,BD

AD

CB

CD

A

B

k A k B

A

B

,k A

B

.A k B

2,6, 4A

1,3, 2B

4,12, 8C

2A B

1.

2A C

2,6, 4A

3, 9,6D 3

.2

A D

2, 1,3A

6, ,B r s

y .r s

y a b 3, 1,2 , 2,a b

5, 3, 2 .A

5AB CD 1

3AB CD 2

5BC AC

213

5. Dados los puntos Deducir que y

son paralelos. ¿Qué relación existe entre las longitudes de y ?

VECTORES UNITARIOS

Un vector unitario es cualquier vector que tiene una longitud igual a una unidad.

EJEMPLOS

Los siguientes vectores son vectores unitarios:

pues su longitud es

pues su longitud es Note también en

este caso que luego

y como se sigue que

Otros vectores unitarios son:

Los vectores son vectores unitarios especiales en la dirección

de los ejes respectivamente.

Note que si entonces el vector se puede escribir como:

EJEMPLOS

3,2, 1 , 1,4, 3 , 2, 1,2 y 1, 2,3 .P Q R S PR

QS

PR

QS

0,1,0 2 2 20 1 0 1

1 2 3, ,

14 14 14

2 2 21 2 3

1.14 14 14

1 2 3 1, , 1,2,3 ,

14 14 14 14

1 2 3 1, , 1,2,3

14 14 14 14

1, 2,3 141 2 3

, , 1.14 14 14

3 2 5 1 1 1 1 2, , , , , , ,0, .

38 38 38 3 3 3 5 5A B C

1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k

, ,X Y Z

1 2 3( , , )A a a a

A

1 2 3 1 2 3

1 2 3

( , , ) (1,0,0) 0,1,0 0,0,1

.

A a a a a a a

a i a j a k

( 3,5,2) 3 5 2 .A i j k

(1, 1,1) .B i j k

3 1 3 1, , 2 2 .

2 3 2 3C i j k

214


1. Exprese los siguientes vectores en forma de componentes y encuentre su longitud.

a. b. c. d.

2. Exprese en términos de

a. b. c. d.

3. Encontrar la longitud o norma de los siguientes vectores:

a. b. c. d.

4. Para y encontrar en términos de

a. b. c. d.

5. Encontrar un vector unitario en la dirección de:

a. b. c. d.

6. Encontrar vectores unitarios que sean paralelos a:

a. b. c. d.

7. Encontrar un vector en la dirección del vector que tenga una longitud de 3

unidades.

8. Encontrar un vector en la dirección del vector que tenga una longitud de 5

unidades.

9. es el punto y el punto está a unidades del punto en la dirección

Encontrar las coordenadas del punto

10. es el punto y el punto está a unidades del punto en la dirección

Encontrar las coordenadas del punto

PUNTOS COLINEALES

Tres o más puntos se dicen que son colineales si ellos están en la misma recta.

Note que,

2 3 5A i j k 1 5

33 2

B i j k

3C i j

3 2 .D j k

, y :i j k

3, 5,1A

3,0,5B

0,4,1C

3,0,2D

3, 5, 2A 1 1 1

, ,3 3 3

B

2 3 5C i j k

5 .D i j k

2 3 5A i j k 1 5

,3 2

B i j k

, y :i j k

2 5A B 1

23

A B 2 5

5 3A B

2 3A B

2 3 5A i j k 1 5

3 2B i j k

2 3 5C i j k

5 .D i j k

5 3A i j k

.B i j k

2 3 5C i j k

3 2 .D i j k

V

3, 5, 2A

v

1, 5,2A

A 3, 2,1A B 5 3 A

3 2 .i j k

.B

A 2,3,4A B 5 A

3 5 .i j k

.B

215

Los puntos están alineados si para algún escalar

EJEMPLO

Los puntos y son colineales pues


1. Pruebe que los siguientes puntos son colineales:

a. y

b. y

2. y son puntos colineales. Encontrar y

3. y son puntos colineales. Encontrar y

EL PRODUCTO ESCALAR

Para los vectores y en el plano, definimos el producto escalar o producto

punto de dichos vectores como:

La definición geométrica del producto punto de los vectores y , está dada por:

donde es el ángulo entre los vectores y

Parece natural definir el producto punto en el espacio, de la misma manera. Es decir que:

Definición (del producto punto). Si y son vectores cualesquiera del

espacio, entonces:

donde es el ángulo entre los vectores y

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

Al igual que para vectores en se tiene las siguientes propiedades:

, y A B C AB kBC

.k

1,2,3 , 4,0, 1A B 14, 4, 9C 1.

2AB BC

2,1,4 , 4,3,0A B 19,8, 10 .C

2,1,1 , 5, 5, 2A B 1,7,4 .C

2, 3,4 , 11, 9,7A B 13, ,C a b a .b

1, 1,0 , 4, 3,7A B , 2,C a b a .b

1 2,A a a

1 2,B b b

1 2 1 2 1 1 2 2, , .A B a a b b a b a b

A

B

cos ,A B A B

A

.B

1 2 3, ,A a a a

1 2 3, ,B b b b

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , , .A B a a a b b b a b a b a b

cos ,A B A B

A

.B

2

A B B A

2

A A A

216

Estas propiedades se prueban usando vectores tales como , etc.

Observación:

Para vectores no nulos y

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO NO NULO

Si y son vectores, la proyección de sobre el vector está dada por:

EJEMPLO

Hallar la proyección del vector sobre el vector Encontrar

así como el ángulo entre los dos vectores.

Solución

De se sigue que o también: Para nuestro

ejemplo

k A B k A B

A B C A B A C

.A B C D A C A D B C B D

1 2 3, , ,A a a a

1 2 3, ,B b b b

A

:B

0 y son perpendiculares.A B A B

A

B

A

B

2Pr .B

A Boy A B

B

3,5,1A

1, 2,0 .B

, ,A B A B

2 2 2 2 2 23,5,1 1, 2,0 13, 3,5,1 3 5 1 35, 1 2 0 5.A B A B

cos ,A B A B

cos ,A B

A B arccos .

A B

A B

217



a. b. c. d. e. f.

2. Encontrar:

a. b. c. d. e. f.

g. 5 3 3 2 .i j k i j k

3. Encontrar si los vectores y son perpendiculares.

4. Mostrar que los vectores y son perpendiculares dos a

dos.

5. Considere el triángulo de vértices y Usando el

producto punto, pruebe que se trata de un triángulo rectángulo.

6. y son los vértices de un cuadrilátero.

a. Pruebe que es un paralelogramo.

b. Encontrar y ¿Qué se puede decir acerca de ?

c. Encontrar ¿Qué propiedad geométrica se verifica?


arccos

13arccos

35 5

13arccos .....

5 7

A B

A B

3, 5,1 , 1, 2,5A B

1, 2, 2 ,C

A B

B A

A A 2

A

A B C A B C A B A C

3, 5,1 1,2,5 i i

i j

j k

i k

5 3i j k i j k

t 3, 1,A t

2 , 3, 4B t

3,1, 2 , 1,1,1A B

1,5, 4C

ABC (5,1,2), 6, 1,0A B 3,2,0 .C

(2,4,2), 1,2,3 , 3,3,6A B B 0,5,5D

ABCD

AB

.BC

ABCD

.AC BD

A i j k

,B i j k

2

2

Pr

3,5,1 1,2,01, 2,0

1, 2,0

131, 2,0

5

13 26, ,0 .

5 5

B

A Boy A B

B

218

a.

b. El ángulo entre

c. La proyección del vector sobre el vector

d. La longitud o norma de la proyección del vector sobre el vector

8. Determinar los ángulos del triángulo de vértices y

Recuerde que para encontrar el ángulo en los vectores y son usados.

9. En cada uno de los siguientes casos, encontrar las medidas de los ángulos del triángulo

a.

b.

c.

d.

10. Use métodos vectoriales para determinar la medida del ángulo

Sugerencia: Ubique adecuadamente la figura en un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio.

11. Para el cubo de lado 2 cm, que se indica en la figura, usando métodos vectoriales, calcular:

A B

y .A B

A

.B

A

.B

ABC (3,0,1), 3,1,2A B 2,1, 1 .C

,B BA

BC

.PQR

1,2,3 , 0,2, 1 y 2, 1,2 .P Q R

2,2,1 , 1,2,4 y 3,1, 1 .P Q R

4,3,0 , 0,3, 2 y 3,0,1 .P Q R

6,2,1 , 4,3,1 y 3,1, 3 .P Q R

.ABC

219

a. La medida del ángulo

b. La medida del ángulo

c. La medida del ángulo

12. Los lados y miden 8 cm, 5 cm y 3 cm respectivamente. es el punto

medio de

Encontrar, usando métodos vectoriales:

a. La medida del ángulo

b. La medida del ángulo

13. Para el tetraedro , encontrar:

a. Las coordenadas del punto

b. La medida del ángulo 14. Encontrar el ángulo determinado por:

a. El eje y el vector

b. Una recta paralela al eje y el vector

15. Si y encontrar

16. Usando mostrar que:

a.

b.

.ABS

.RBP

.PBS

,KL LM LX P

.KL

.YNX

.YNP

ABCD

.M

.DMA

X 1,2,3 .

Y 1,1,3 .

3A

4,B .A B A B

,X X X

2 2 2 2

2 2 .A B A B A B

2 2

4 .A B A B A B

220

17. Explique por qué no tiene sentido.

PRODUCTO VECTORIAL

Recordemos que el producto punto o producto escalar de dos vectores es un escalar. Ahora queremos definir otra forma de multiplicar vectores en la cual el resultado es otro vector, el mismo que será llamado producto vectorial.

Dados dos vectores queremos encontrar un vector

que sea perpendicular a los dos vectores Debe verificarse entonces que: y

En términos de componentes se tiene:

Resolvamos el último sistema. Para eliminar multiplicamos la primera ecuación por y la

segunda por es decir:

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones se sigue: de donde:

Se deduce entonces que para todo no nulo.

Remplazando ahora estos valores en la primera ecuación del sistema, es decir en

se tiene:

Obteniéndose finalmente que

El vector más simple, que sea perpendicular a los dos vectores se obtiene haciendo y entonces

dicho vector es:

A B C

1 2 3 1 2 3, , y , , ,A a a a B b b b

, ,X x y z

y .A B

0X A

0.X B

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

0.

0

a x a y a z a x a y a z

b x b y b z b x b y b z

,x 1b

1;a

1 1 2 1 3 1

1 1 1 2 1 3

.a b x a b y a b z

a b x a b y a b z

1 2 2 1 3 1 1 3 ,a b a b y a b a b z

3 1 1 3

1 2 2 1

.a b a by

z a b a b

3 1 1 3 1 2 2 1 y z ,y a b a b t a b a b t t

1 2 3 ,a x a y a z

1 3 1 2 2 1 2 3 1 1 3

1 3 2 2 3 1 2 3 1 1 2 3

1 2 3 1 3 21

1 2 3 3 21 .

a x a a b a b t a a b a b t

a a b a a b a a b a a b t

a a b a a b t

a a b a b t

2 3 3 21 .x a b a b t

1t

2 3 3 21 3 1 1 3 1 2 2 1, , .a b a b a b a b a b a b

221

El vector es llamado el producto vectorial de y se escribe

como Esto es,

Para no tener que memorizar dicha expresión, recurriremos a los determinantes

La expresión puede ser representada por ; es decir que De

manera similar,

y

Luego

Note la estructura:

El producto vectorial se escribe también como:

En forma simbólica, se lo expresa como un determinante :

EJEMPLO

Si entonces

2 3 3 21 3 1 1 3 1 2 2 1, ,a b a b a b a b a b a b y A B

.A B

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1, , .A B a b a b a b a b a b a b

2 2.

1 2 2 1a b a b 1 2

1 2

a a

b b1 2

1 2 2 11 2

.a a

a b a bb b

2 32 3 3 2

2 3

a aa b a b

b b 3 1

3 1 1 33 1

.a a

a b a bb b

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

, , .a a a a a a

A Bb b b b b b

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

.a a a a a a

A B i j kb b b b b b

3 3.

1 2 3

1 2 3

.

i j k

A B a a a

b b b

3,1, 2 , 1,1,1 ,A B

222


1. Si calcule:

a. b. c. d. e. f. g.

i. j. .A B C

5 Dados los vectores calcular:

a) ; b. ; c. ; d. ; e. ; e. ; f. .

6 Si es un vector cualquiera de ¿qué se puede afirmar acerca de ?

7 Si y son vectores cualesquiera de ¿qué se puede afirmar acerca de y de ?

8 Si y son vectores cualesquiera de ¿qué se puede afirmar acerca de y de

?

9 Dados los vectores 5 3 ,A i j k

,B i j k

y 2 3 ,CB i j k

y encontrar:

a) ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. .

10 Si y son vectores cualesquiera de probar que:

a)

b)

11 Simplificar:

a)

b)

c)

d)

e)

12 Encontrar todos los vectores que son perpendiculares a los vectores:

a)

b)

1 2 2 3 3 13 1 2

1 1 1 1 1 11 1 1

5 4

1, 5, 4 .

i j k

A B i j k

i j k

1, 2,3 , 0, 2, 1 y C 2, 1, 2 ,A B

A B

CA

B A

A C

A B C A A B

B A B

A B C

1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ,i j k

, ,i i j j k k

i j

j i

i k

k i

j k

k j

A

3 , A A

A

B

3 , A B

B A

A

B

3 , A A B

B A B

A B

A C

B C

A B C A B B C

A B B C

, ,A B C

D

3 , A B C A B A C

A B C D A C A D B C B D

A B A B

A A B

A B A B

3 2 3 2A B A B

5A A B

5 3 , A i j k B i j k

, 2 3A i j k B i j k

223

c)

d)

13 Encontrar un vector normal al plano que pasa por los puntos

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

Si y son vectores cualesquiera de entonces:

y es llamado el producto escalar triple de

DIRECCIÓN DE

Sabemos que es decir que son vectores opuestos. Pero, ¿cuál es la

dirección de cada uno de ellos?

Sabemos que

, A i j B i j k

, A i j B j k

1,1, 2 , 0,5,1 y 1,3,2 .A B C

, ,A B C

D

3 ,

A B B A

0A A

0 y 0A A B B A B

A B C A B A C

A B C D A C A D B C B D

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

A B C b b b

c c c

, y .A B C

A B

,A B B A

y A B B A

y .i j k j i k

224

La dirección de está determinada por la regla de la mano derecha, donde los dedos giran de

y el pulgar apunta en la dirección de

En el siguiente gráfico se muestran los vectores

NORMA O LONGITUD DE

Como se sigue que

Se puede demostrar que

y como , de esta igualdad se sigue que

A B

hacia A B

.A B

y .A B B A

A B

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1, , ,A B a b a b a b a b a b a b

2 2 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 .A B a b a b a b a b a b a b

22 2 2

,A B A B A B

cosA B A B

, pues 0.A B A B sen sen

225

Consecuencia:

Si son vectores los dos no nulos entonces: significa que es paralelo a

ÁREAS Y VOLÚMENES

Si un triángulo está definido por los vectores entonces su área está dada por:

unidades cuadradas.

Dado un triángulo de vértices el área de dicho triángulo está dada por:

Note que también dicha área está dada por:

EJEMPLO

Encontrar el área del triángulo de vértices

Solución:

Determinemos los vectores Se tiene:

y

yA B

0A B

A

.B

y ,A B

1

2A B

, y ,A B C

1Área( ) .

2ABC AB AC

1 1 1Área( ) .

2 2 2ABC AB AC BA BC CA CB

1,3,4 , 3,5,1 y 1, 3,2 .A B C

y .AB AC

3 1,5 3,1 4 2, 2, 3AB

1 1, 3 3, 2 4 0, 6, 2 .AC

226

Como se sigue que:

Luego:

unidades cuadradas.

PARALELOGRAMOS

Si un paralelogramo está definido por los vectores entonces su área está dada por:

Dado un paralelogramo su área está dada por:

PARALELEPÍPEDOS

Si un paralelepípedo está definido por los vectores entonces su volumen está dado por:

unidades cúbicas.

2 3 3 2 2 22 2 3

6 2 2 0 0 60 6 2

22 4 12 .

i j k

AB AC i j k

i j k

2 11, 2,6AB AC

2 11,2,6 2 11,2,6

2 121 4 36 2 161.

AB AC

1 1Área 2 161 161

2 2ABC AB AC

y ,A B

.A B

,ABCD

.Área ABCD AB AC

, y ,A B C

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Volumen paralelepípedo =

a a a

A B C b b b

c c c

227

Demostración:

TETRAEDRO

Si un tetraedro está definido por los vectores entonces su volumen está dado por:

unidades cúbicas.

Área de la base altura

, pues

cos , donde es el ángulo entre y

pues cos 0.

Volumen

B C AN

ANB C A sen sen

A

A B C sen

A B C A B C

A B C

, y ,A B C

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1Volumen tetraedro =

6 6

a a a

A B C b b b

c c c

228

Demostración:

EJEMPLO

Hallar el volumen del tetraedro de vértices y

Solución:

1Área de la base altura

31 1

3 2

1, pues

6

1

61

cos , donde es el ángulo entre y 61

pues cos 0.6

Volumen

B C AN

ANB C A sen sen

A

A B C sen

A B C A B C

A B C

1,1,1 , 2, 1,1 ,A B 2,3, 1C 1, 2, 3 .D

229

Determinemos los vectores Se tiene:

Luego:


1. Calcular el área del triángulo en cada uno de los siguientes casos:

a. y

b. y

c. y

2. Calcular el área del paralelogramo en cada uno de los siguientes casos:

a. y

b. y

3. es un paralelogramo donde Encontrar:

a. Las coordenadas de

b. El área de

4. es un tetraedro con Encontrar:

a. El volumen del tetraedro. b. El área total del tetraedro.

5. Si son tres puntos en el espacio, encontrar si el área del

triángulo es unidades cuadradas.

6. Si son cuatro puntos en el espacio. Encontrar una fórmula para el área total del

tetraedro determinado por dichos puntos.

, y .AB AC AD

1, 2,0 , 3,2, 2 y 0, 3, 4 .AB AC AD

1 2 0

1 1Volumen tetraedro = 3 2 2

6 60 3 4

1 510 unidades cúbicas.

6 3

AB AC AD

ABC

1,1,1 , 2, 1,1A B 2,3, 1C

3, 2,5 , 2,3, 1A B 2,3,5C

1,1, 1 , 0,3,4A B 2,5,0C

ABCD

1,0,1 , 2, 1, 3 ,A B 2, 3, 1C 1, 2,3 .D

1,1,1 , 2, 1,1 ,A B 2,3, 1C 1, 2, 3 .D

ABCD ( 1,3, 2), 2,0, 4 y 1, 2,5 .A B C

.D

.ABCD

ABCD (2, 3,0), 3,5, 2 , 0, 2, 1 y D 2, 2,3 .A B C

( 1,1, 2), 2,0,1 y , 2, 1 ,A B C k k

ABC 88

, , y D,A B C

230

PRUEBA PARA LA COPLANARIDAD DE CUATRO PUNTOS

Cuatro puntos en el espacio o son coplanares o son los vértices de un tetraedro. Si ellos son coplanares, el volumen del tetraedro es cero. Es decir:

Cuatro puntos del espacio son coplanares si y solo si

EJEMPLO

¿Son coplanares los puntos ?

Solución:

Se tiene: Luego,

En consecuencia los puntos son coplanares.


1. Determinar si los siguientes puntos son coplanares:

a.

b.

2. Encontrar dado que los puntos son coplanares.

RECTAS EN EL ESPACIO

Supongamos que es un punto que se mueve libremente en una recta que pasa por el punto

y que es paralela o tiene como vector director a un vector

Es claro que el vector es paralelo al vector director luego existe un escalar tal que

Haciendo variar en se obtienen todos los puntos de la recta que pasa por el punto

y es paralela al vector Podemos entonces decir que dicha recta es el conjunto de

, , y D,A B C 0.AB AC AD

1, 2, 4 , 3, 2,0 , 2,5,1 y D 5, 3, 1A B C

2,0, 4 , 1,3,5 , 4, 5,3 .AB AC AD

2 0 4

1 3 5 0.

4 5 3

AB AC AD

, , y D,A B C

1,1, 2 , 2, 4,0 , 3,1,1 y D 4,0,1A B C

2,0,5 , 0, 1, 4 , 2,1,0 y D 1,1,1A B C

k 2,1,3 , 4,0,1 , 0, , 2 y D 1, 2, 1A B C k

( , , )P x y z

1 1 1 1( , , )P x y z ( , , ).V a b c

1PP

,V

t

1 .PP tV

t

1 1 1 1( , , )P x y z .V

231

todos los puntos que verifican la igualdad con Es decir es el conjunto

La ecuación se denomina la ecuación vectorial de la recta que pasa por

y es paralela al vector y que la designaremos por Es decir:

Reemplazando las coordenadas en la ecuación vectorial se sigue que:

De la última igualdad se deduce además que:

,

denominadas ecuaciones paramétricas de la recta, donde es el parámetro.

Si se puede eliminar el parámetro de las ecuaciones paramétricas y se

obtiene:

Resumen:

Si una recta pasa por el punto y es paralela o tiene como vector director al vector

entonces:

Su ecuación vectorial es: o también

Sus ecuaciones paramétricas son donde es llamado

el parámetro y toma cualquier valor real.

Si sus ecuaciones cartesianas son:

EJEMPLO 1

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector

3P 1 ,PP tV

.t

31: , con .P PP tV t

1 , con PP tV t

L

1 1 1 1( , , )P x y z ,V

1, .L P V

31 1, : , con .L P V P PP tV t

1 , con PP tV t

1 1 1, , , , , con .x x y y z z t a b c t

1 1

1 1

1 1

, ,

, con ,con

x x at x x at

y y bt t y y bt t

z z ct z z ct

t

0, 0 y 0,a b c t

1 1 1 .x x y y z z

a b c

1 1 1 1( , , )P x y z

( , , ),V a b c

1 1 1, , , ,x x y y z z t a b c

1 1 1, , , ,x y z x at y bt z ct

1 1 1, y ,x x at y y bt z z ct t

0, 0 y 0,a b c 1 1 1 .x x y y z z

a b c

1 1,2,3P

3,2, 1 .V

232

Solución. La ecuación vectorial de la recta es

De donde: es la ecuación vectorial de la recta.

Por lo tanto las ecuaciones paramétricas están dadas por: con

Las ecuaciones cartesianas son:

EJEMPLO 2

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector

Solución.

La ecuación vectorial de la recta es:

De donde: es la ecuación vectorial de la recta.

Por lo tanto las ecuaciones paramétricas están dadas por: con

Las ecuaciones cartesianas son:


1. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos:

a.

b.

c.

d.

1 , con PP tV t

1, 2, 3 3,2, 1 , con .x y z t t

, , 1, 2,3 3,2, 1 , con ,x y z t t

1 3 , 2 2 , 3 ,x t y t z t

.t

1 2 3.

3 2 1

x y z

1 5,2,3P

1,0,3 .V

1 , con PP tV t

5, 2, 3 1,0,3 , con .x y z t t

, , 5,2,3 1,0,3 , con ,x y z t t

5 , 2, 3 3 ,x t y z t .t

5 3, 2 0.

1 3

x zy

2,1, 1 y 2,1,3A B

0,1,1 y 2, 1,3A B

0,3,2 y 2,0, 3A B

0,1, 1 y 7,1, 3A B

233

2. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto y es paralela al

vector

3. Dada la recta de ecuaciones paramétricas y

probar que el punto no pertenece a la recta

4. Las ecuaciones simétricas de la recta están dadas por

a. ¿En qué punto la recta intersecta el plano ? b. ¿En qué punto la recta intersecta el plano ? c. ¿En qué punto la recta intersecta el plano ?

5. Considere la recta definida por

a. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta. b. Determinar un vector director de la recta.

c. Encontrar el punto de la recta para el cual

6. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta Determinar un vector

director de la recta y encontrar el punto de la recta para el cual

7. Dada la recta con ecuaciones encontrar las ecuaciones de la recta en:

a. forma paramétrica b. forma vectorial

8. Dadas las rectas:

Demostrar que y son secantes en un punto que se lo determinará.

9. Determinar si las rectas :

y

se intersecan o no. 10. Encontrar las coordenadas del punto en el cual la recta con ecuaciones paramétricas

y corta al:

a. Plano . b. Plano . c. Plano

11. Dadas las rectas y

a. Encontrar vectores directores de las rectas.

b. Encontrar ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto y es

perpendicular a las dos rectas dadas.

1, 1,2

3, 2, 4 .V

L , 1 , 2 2 , con x t y t z t t (1, 2,3),A

A .L

13, 2.

3

xz y

XYXZYZ

3 24 .

5 1

y zx

7.z 2 1

3 .3 5

x yz

3.y

3 5( 1) 2 ,x y z

1 2

1 7 2

: 2 3 , con y : 1 , con s .

1 2

x t x s

L y t t L y s

z t z s

1L 2L A

1 : , , 1,2,1 1, 1,2 , con L x y z t t 2 : , , 3, 1,2 2,3, 1 , con s ,L x y z s

1 ,x t

3y t 3 2z t XY XZ YZ

3 1 2( 2) 3x y z ,x y z

1,2,3

234

12. Encontrar las coordenadas del punto de intersección de la perpendicular trazada desde el punto

a la recta de ecuaciones paramétricas Solución:

13. Encontrar los puntos de la recta con ecuaciones paramétricas que

se encuentran a unidades del punto

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN EL ESPACIO

Si una recta pasa por un punto y tiene como vector director la distancia del punto

a la recta está dada por

Demostración:

Sea la distancia entre el punto y la recta. Se tiene entonces que donde es el

ángulo entre los vectores y . Como además que se puede

escribir como se sigue finalmente que

EJEMPLO

Hallar la distancia del punto a la recta de ecuaciones paramétricas:

Solución.

El vector director de la recta es: y para encontrar un punto en la recta

damos un valor cualquiera a por ejemplo, para se obtiene Luego,

1,2,3P 1 2 , 4 3 , 3 .x t y t z t

3, 1,4

2 , 3 2 , 1 ,x t y t z t

5 3 1,0, 2 .

A ,V

d

0 0 0, ,P x y z

.AP V

dV

d P ,d AP sen

V

AP

,AP V AP V sen d

,AP V V d

.AP V

dV

1,2,3P L 2 3 ,x t

1 2 , 3 5 .y t z t

L 3, 2,5V

A ,L

,t 0t (2, 1,3).A

235

y y como se

sigue que la distancia buscada es


1. Hallar la distancia del punto a la recta:

a. De ecuaciones paramétricas

b. De ecuaciones paramétricas

c. Que pasa por los puntos

2. Encontrar las coordenadas del punto de intersección de la perpendicular trazada desde el punto

a la recta

a. de ecuaciones paramétricas

b. De ecuación vectorial

3. es la ecuación de una esfera de centro y radio unidades.

Encontrar, si existen los puntos de intersección con la recta que pasa por los puntos

y

CLASIFICACIÓN DE LAS RECTAS EN EL ESPACIO

Dos rectas en el espacio pueden ser paralelas, pueden intersecarse o no son ni paralelas no se cortan.

Si dos rectas son paralelas, el ángulo entre ellas es

Si las rectas se cortan, el ángulo entre ellas es

Si las rectas no son ni paralelas ni se cortan, podemos definir el ángulo entre ellas como el ángulo que se forma si la una recta se desplaza hasta cortar la otra.

1,3,0QP

1 3 0 15,5, 7 , 299

3 2 5

i j k

QP V QP V

y 38,V

299.

38d

2, 3,1P

3 5 ,x t 1 , 2 3 .y t z t

2 ,x t 3, 1 .y z t

3,1,2 y 5,4,7A B

1,1,2P

1 , 2 , 3 .x t y t z t

, , 2,3,5 3,2,1 .x y z t 2 2 2 26x y z 0,0,0 26

3, 1, 2

5,3, 4 .

0º.

.

236


1. Sean la recta de ecuaciones paramétricas la recta de

ecuaciones la recta de ecuaciones cartesianas

a. Mostrar que y son paralelas.

b. Mostrar que y se cortan. Encontrar además el ángulo entre las dos rectas.

c. Mostrar que y no se cortan no son paralelas.

2. Analice si las siguientes rectas, son paralelas, se cortan o si no son ni paralelas ni se cortan.

a. y

b. y

c. y

d. y

e. y

DISTANCIA MÁS CORTA ENTRE DOS RECTAS

Supongamos que la recta pasa por el punto y tiene como vector director y la recta

que pasa por el punto y tiene como vector director La recta es trasladada a la recta

de tal manera que y se intersequen.

es un vector que es perpendicular tanto a como a y la recta es paralela al plano que

contiene las rectas y .

La distancia es la longitud de la proyección del vector sobre es decir:

1L 1 2 , 1 2 , 1 4 ;x s y s z s 2L

1 , , 3 2 ;x t y t z t 3L

1 41 .

2 3

x zy

1L 2L

2L 3L

1L 3L

1 2 , 2 , 3x t y t z t 2 1

3 .3 2

x zy

1 2 , 2 12 , 4 12x t y t z t 3 2 1

.4 3 1

x y z

2 2x y z 1 2 2 1

.3 1 4

x y z

1 , 2 , 3 2x t y t z t 2 3

5.3 2

x yz

1 2 , 8 , 5x t y t z 2 2 , 1 2 , 3.x s y s z

1L A U

2L

B .V

2L '2L

'2L 2'L 1L

U V

U

V

2L

1L '2L

d AB

;U V

237

EJEMPLO

Encontrar la más corta distancia entre las rectas y de ecuaciones: y

respectivamente.

Solución:

A la recta pertenece el punto y tiene como vector director

A la recta pertenece el punto y tiene como vector director

Se tiene y

Luego:


1. Encontrar la más corta distancia entre las rectas: a. y

b. y

.

AB U Vd

U V

1L 2L , 1 , 2x t y t z t

3 , 1 2 , 4 ,x s y s z s

1L 0,1,2A 1, 1,1 .U

2L 3,1,4B 1, 2, 1 .V

3, 2,2AB

1 1 1 1 1 1

, , 1,0,1 .2 1 1 1 1 2

U V

2 2 2

3 1 ( 2)(0) 2(1)

( 1) 0 1

1 unidades.

2

AB U Vd

U V

1 2 , 3 , 2 3x t y t z t x y z

1 2 , 1 , 1x t y t z t 1 2 , 2 , .x s y s z s

238

PLANOS

Supongamos que un plano tiene como un vector normal al vector y que pasa por el punto

Si es un punto cualquiera del plano, debe verificarse:

Se tiene las siguientes equivalencias:

La ecuación se denomina la ecuación vectorial del plano y la ecuación

es la ecuación cartesiana del plano.

Nota. Si un plano tiene como vector normal y pasa por el punto entonces

tiene por ecuación donde es una constante. Si el plano pasa por el

origen.

EJEMPLO

Encontrar la ecuación del plano que tiene como un vector normal el vector y contiene

al punto

Solución:

Usando la ecuación vectorial se sigue:

es decir que la ecuación del plano buscada es

N

0 0 0 0, , .P x y z ( , , )P x y z 0 0.N P P

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 , , , , 0

0

, con .

N P P a b c x x y y z z

a x x b y y c z z

ax by cz ax by cz

ax by cz d ax by cz

0 0,N P P

ax by cz d

, ,N A B C

1 1 1, ,x y z

,Ax By Cz D D 0,D

2,3, 1N

1,1,1 .

0 0 0, , , , 0,a b c x x y y z z

2,3, 1 1, 1, 1 0 2 3 4,x y z x y z

2 3 4.x y z

239


1. Encontrar la ecuación del plano:

a. Con vector normal y que pasa por el punto

b. Con vector normal y que pasa por el punto

c. Con vector normal y que pasa por el punto

d. Perpendicular a la recta que pasa por los puntos y y al cual pertenece

el punto 2. Determinar un vector normal al plano con ecuación:

a.

b.

c.

d.

e. 3. Encontrar la ecuación cartesiana del plano que pasa por los puntos:

a.

b.

c.

Sugerencia: Analice la figura siguiente:

4. Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto:

a. y es normal (perpendicular) al plano de ecuación

b. y es normal (perpendicular) al plano de ecuación

5. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos:

a. así como su punto de intersección con el plano de ecuación:

b. así como su punto de intersección con el plano de ecuación:

6. Encontrar las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde al plano de

ecuación Encontrar además la distancia del punto al plano. Solución: El

pie de la perpendicular es y la distancia es

7. Encontrar la distancia del punto

2, 3,1 4,3,2

1,0,1 1,3,2

0,0,1 1, 1,2

3,1,5A 2, 5,3B

.A

2 3 5 8x y z

2 5 10y z

2y

1x 4z

1,2,3 , 4,3,5 y 2,3,2 .A B C

1, 2,3 , 2,3, 1 y 2,0,2 .A B C

1,2,3 , 4,3,5 y 2,3,2 .A B C

2, 3,5 3 5 3.x y z

2, 2, 3 0.x y z

1,2, 3 y 2,3,2A B

2 3 1.x y z

1,2, 3 y 2, 1,3A B

1.x y z

2, 1,3A

2 27.x y z A

5, 4,9 54.

240

a. al plano

b. al plano

c. al plano

8. Encontrar la distancia entre los planos: a.

b.

9. Mostrar que la recta es paralela al plano de ecuación cartesiana

y encontrar su distancia al plano.

10. Encontrar la ecuación de dos planos que son paralelos a y que están a dos

unidades de él.

ANGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

Consideremos una recta que tiene como vector director y un plano con vector normal y que

en la intersección la recta hace un ángulo como se muestra en la figura. El ángulo verifica

o lo que lo mismo

EJEMPLO

Encontrar el ángulo agudo entre el plano y la recta con ecuaciones paramétricas

Solución:

Se tiene y

Luego

0,0,0 3 4 5 10.x y z

1,1,1 2 3.x y z

1,0,1 2 1.x z

2 3 y 2 2 4 11x y z x y z

1 2 y a .ax by cz d x by cz d

2 , 1 2 , 3 ,x t y t z t

11 4 0x y z

2 2 5x y z

V

N

cosN V

senN V

.N V

arcsenN V

2 8x y z

, 1 , 3 2 .x t y t z t

1, 2, 1N

1, 1, 2 ,V

1, 1, 2 1, 2, 1 3,N V

22 21 2 1 6,N

22 21 1 2 6.V

241


1. Encontrar el ángulo agudo entre:

a. El plano y la recta

b. El plano y la recta

c. El plano y la recta

ANGULO ENTRE DOS PLANOS

Nota. es el coseno del ángulo agudo entre dos planos.

Es decir que:

Si dos planos tienen vectores normales y y es el ángulo agudo entre ellos entonces

EJEMPLO

Encontrar el ángulo agudo entre los planos con ecuaciones y

Solución:

3 1radianes.

2 66 6

N Varcsen arcsen arcsen

N V

5x y z 1 1

24 3

x yz

2 8x y z 1 , 1 3 , .x t y t z t

3 4 4x y z 4 3 2 1x y z

1 2

1 2

cosN N

N N

1N

2N

1 2

1 2

arccos .N N

N N

8x y z 2 3 1.x y z

242

El plano tiene como vector normal y el plano tiene

como vector normal

Si es el ángulo agudo entre los dos planos, entonces:


1. Encontrar el ángulo agudo entre los planos con ecuaciones: a. y

b. y

c. y

INTERSECCIÓN DE DOS O MÁS PLANOS

Dos planos en el espacio pueden ser:

Tres planos en el espacio pueden ser:

8x y z 1 1,1, 1N

2 3 1x y z

1 2, 1,3 .N

1 2

1 2

2 1 3arccos arccos

1 1 1 4 1 9

2 2arccos arccos 72,02 .

3 14 42

N N

N N

2 3x y z 3 2 8x y z

3 2x y z 3 5x y z

3 11x y z 2 4 2.x y z

243


1. Bajo qué condiciones dos planos son: a. Paralelos? b. Coincidentes?

2. Resuelva los siguientes sistemas usando operaciones elementales sobre filas e interprete cada sistema geométricamente:

a.

b.

3 2 8

3 9 2 4

x y z

x y z

2 5

3

x y z

x y z

244

c.

d.

3. Discuta las posibles soluciones de los siguientes sistemas donde es un número real, interpretando geométricamente.

a.

b.

4. Encontrar todos los valores de para los cuales el sistema

Donde toma todos los valores reales, tiene solución única.

2 5

2 4 2 16

x y z

x y z

2 3 6

3 6 9 18

x y z

x y z

k

2 6

2 4 12

x y z

x y kz

3 8

2 2 6

x y z

x y z k

m

3 1

2 3 3

3 5 5

x y z

x y z

x y z k

k

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