Matematica i

MATEMÁTICAS I

Federico VillarrealU n i v e r s i d a d N a c i o n a l

EudedEscuela Universitaria

Educación a distancia

GUÍA ACADÉMICA

CARLOS ENRIQUE SALAS CHAN

CONTABILIDAD CICLOI

Matemática I

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INDICE

Presentación 4Introducción 5Orientaciones generales de estudio 6Tutoría 7Evaluación 7Medios y Recursos Didácticos 8 PRIMERA UNIDAD: TEORÍA DE CONJUNTOS Objetivos Específicos y Contenido 91.1 Nociones Básicas de la Teoría de Conjuntos 1.1.1 Concepto de Conjunto 10 1.1.2 Determinación de un Conjunto 11 1.1.3 Cardinal de un Conjunto 11 1.1.4 Representación Gráfica de un conjunto 12 1.1.5 Relación de Inclusión- Subconjuntos- Conjunto Potencia

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1.2 Operaciones con Conjuntos 1.2.1 Reunión de conjuntos 15 1.1.2 Intersección de conjuntos 15 1.2.3 Diferencia de conjuntos 16 1.2.4 Diferencia Simétrica de conjuntos 17 1.2.5 Complemento de un conjunto 18 1.2.6 Producto Cartesiano de Conjuntos 19Problemas resueltos de la Primera Unidad 19Autoevaluación de la Primera Unidad 26 SEGUNDA UNIDAD: SISTEMA DE NUMEROS REALES Objetivos específicos y contenidos 282.1 Los Conjuntos Numéricos 2.1.1 El conjunto de los números Reales 29 2.1.2 Propiedades básicas del álgebra de los números Reales

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2.1.3 Expresiones Algebraicas. Operaciones con Polinomios 332.2 Productos Notables – Factorización 2.2.1 Productos Notables 37 2.2.2 Factorización de polinomios 392.3 Expresiones Racionales 2.3.1 M.C.D y M.C.M de polinomios 42 2.3.2 Multiplicación y división de fracciones algebraicas 44 2.3.3 Adición de fracciones algebraicas 46 2.3.4 Exponentes enteros y racionales 472.4 Expresiones Irracionales 2.4.1 Radicación y leyes de radicación 50

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Autoevaluación de la Segunda Unidad 51 TERCERA UNIDAD: ECUACIONES E INECUACIONES Objetivos específicos y contenidos 523.1 Ecuaciones de primer grado con una variable 3.1.1 Ecuaciones de primer grado con una variable 53 3.1.2 Ecuaciones de segundo grado con una variable 573.2 Inecuaciones de primer y segundo grado con una variable 3.2.1 Intervalos 62 3.2.2 Inecuaciones de primer grado con una variable 65 3.2.3 Inecuaciones de segundo grado con una variable 673.3 Aplicaciones de las ecuaciones e inecuaciones 71Autoevaluación de la Tercera Unidad 76 CUARTA UNIDAD: RELACIONES BINARIAS Y FUNCIONES Objetivos específicos y contenidos 774.1 Relaciones Binarias 4.1.1 Producto Cartesiano de Conjuntos 78 4.1.2 La Relación Binaria 79 4.1.4 Tipos de Relaciones Binarias 804.2 Funciones Reales de Variable Real 4.2.1 Las Funciones reales de variable real 89 4.2.2 Dominio y Rango de una función real de variable real 89 4.2.3 Funciones Polinomicas: Lineal y Cuadrática 94 4.2.4 Las Funciones Exponencial y Logarítmica 1004.3 Aplicaciones en el campo de los negocios 103Autoevaluación de la Cuarta Unidad 107 Glosario 109

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PRESENTACION

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INTRODUCCIÓN

No cabe duda de lo importante y valiosa que es la Matemática en la vida cotidiana y profesional de cualquier persona, debido a que desde que el hombre tiene uso de razón, utiliza esta ciencia para resolver de una manera más práctica y sencilla toda clase de problemas, posibilitando el poder llevar una mejor organización en sus actividades, buscando siempre el analizar, controlar y de una u otra forma llegar a anticiparse a los hechos para así aminorar el riesgo de fracasar en la consecución de los objetivos planteados. De otro lado si decimos que las funciones de todo profesional de las ciencias de los negocios son la Planeación, Organización, Integración de personal, Dirección y Control, podemos ver que en cada proceso se aplican las matemáticas para la ejecución y desarrollo del mismo, lo que determina que nuestra asignatura se convierta en una herramienta muy valiosa para dicho profesional.

Conociendo la teoría matemática podemos crear modelos matemáticos capaces de administrar situaciones reales en la empresa. La creación de los modelos se orienta, principalmente, hacia la solución de problemas que se presentan en la toma de decisiones.

Para un estudiante de Contabilidad ha de ser algo muy esencial el estudio de las matemáticas para la búsqueda de su principal objetivo, ser un profesional capaz de enfrentarse a todos los cambios que está viviendo en el medio, donde cada vez se hace más necesario el controlar las variables para luego tomar decisiones acertadas, apoyado en gran parte por esta ciencia, las Matemáticas.

La Guía didáctica de Matemática I está organizada en cuatro unidades, cada unidad está estructurada con sus respectivos objetivos, actividades, y preguntas de autoevaluación. Además en la parte final de la guía se incluyen los solucionarios, los cuales le permitirán al alumno poner en práctica lo aprendido en cada unidad.

En la primera unidad se presentan las nociones básicas de la Teoría de Conjuntos. En la segunda unidad se estudia el Sistema de los Números Reales. La tercera unidad analiza las ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado, así como las ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto y las ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Finalmente, en la cuarta unidad se desarrolla los conceptos de relaciones binarias y funciones. Esperamos que el texto constituya una guía efectiva y motive a la vez al estudio y la dedicación adecuada que permita el logro de los objetivos. El uso de la guía requiere ser complementada con en la profundización o ampliación de parte del alumno de los temas contenidos en ésta con el texto base y manual de la EUDED.

Lic. Carlos Salas Chan

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Orientaciones generales de estudio

El estudio en la modalidad que has elegido demanda un gran esfuerzo y mucha dedicación además de responsabilidad y una buena organización.

Es por esta razón que al iniciar el estudio de nuestra asignatura me permito brindarte algunas orientaciones buscando que se optimice tu rendimiento académico:

Busque un lugar donde se sienta cómodo para realizar la lectura de la guía didáctica así como del texto básico. En lo posible un lugar con claridad y libre de ruido.

Organice un horario de estudio en el que cada asignatura cuente con el tiempo necesario de acuerdo al grado de dificultad.

Realice una lectura comprensiva, utilizando técnicas como el subrayado, el uso de mapas conceptuales u organizadores visuales que le permitan identificar las ideas principales para reforzar los conocimientos.

Es recomendable realizar las actividades propuestas en la presente Guía Didáctica pues le permitirá verificar el logro de los aprendizajes.

Se ha optado por utilizar un texto de base para el estudio eligiéndose el libro: Matemáticas para administración y economía de los autores Haeusssler y Paul porque presenta aspectos importantes sobre la aplicación de la Matemática en la administración. A este libro le denominamos Texto Básico N° 1 En la primera unidad debemos desarrollar el estudio de la Teoría de Conjuntos., Este tema lo podrá encontrar en el Apéndice A del texto básico N° 1. La segunda unidad es el desarrollo del <sistema de los Números Reales que se desarrolla en el capítulo 0 del texto básico N°1 En la tercera unidad estudiaremos las ecuaciones e inecuaciones: lineales, cuadráticas y con valor absoluto; así como las ecuaciones exponencial y logarítmicas, para lo cual analizaremos el capítulo 1, 2 y 5 del texto básico 1. En la cuarta unidad estudiaremos las relaciones binarias y las funciones. Es importante precisar quela función de la Guía Didáctica es aclarar y reforzar los temas tratados en el texto básico 1; por ejemplo encontrara la solución de algunos ejercicios de cada tema propuestos en el texto básico, de esta manera esperamos contribuir con el logro de los objetivos propuestos. “ Si la gente no piensa que las Matemáticas son simples, es sólo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida”

John Von Neumann

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Tutorías

Las tutorías se desarrollaran mediante la programación de un calendario de tutorías. La tutoría será presencial y virtual.

Cronograma

Tutorías presenciales y virtuales

Cantidad de horas académicas

Horas presenciales

Horas virtuales

Horas video-conferencias

UNIDAD I

semana 1 2 2.5 3 semana 2 2 2.5 3

UNIDAD II semana 3 2 2.5 3 semana 4 2 2.5 3

EVALUACION PARCIAL VIRTUAL UNIDADES I - II

UNIDAD III semana 5 2 2.5 3 semana 6 2 2.5 3

UNIDAD IV semana 7 2 2.5 3 semana 8 2 2.5 3

FINAL UNIDADES III - IV

TOTAL 16 20 24

60 HORAS ACADEMICAS

Evaluación

El promedio final de la asignatura en la Modalidad Presencial – Virtual se obtiene aplicando los siguientes pasos porcentuales:

Evaluación de trabajos interactivos (TI): (40%) Evaluación parcial (IV): (20%). Evaluación final (EF): (40%).

PF = TI (0,4) + IV (0,2) + EF (0,4)

Examen parcial será virtual y se realizará en la 4º semana; el examen final será presencial y se realizará en la 8º semana y la presentación de un trabajo monográfico en la 7º semana del ciclo.

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Medios y recursos didácticos

Texto Básico 1: (Capítulo 0, 1, 2, 6)

Hauessler Ernest. – Paul Richard (2003). Matemáticas para administración y economía. México: Pearson Educación Editores. Puedes encontrar este libro en la biblioteca virtual de google que es el siguiente enlace: http://interesanteyutil.blogspot.com/2011/04/libro‐de‐matematicas‐para‐economia‐y.html

Texto Básico 2: (Unidad III)

Mendo Mechan, Javier. Matemática I. (2012) Universidad Nacional Federico Villarreal. EUDED. Puede encontrar este libro en la plataforma virtual de EUDED

Textos complementarios

Salas, Carlos (2013). Guía Didáctica: Matemática I. EUDED. Puede encontrar esta guía en la plataforma virtual de EUDED

Plataforma virtual

Herramientas a emplearse en plataforma virtual: Foros, tareas, chat, enlaces, examen, elección, páginas, entre otros

Objetivos Generales

Conocer y aplicar los fundamentos teóricos de cada una de las unidades de la asignatura Examinar la interdependencia entre el diseño organizacional y la estructura organizacional

Desarrollar habilidades y destrezas de razonamiento para lograr manipular y construir modelos matemáticos, que permitan resolver problemas de la vida diaria y profesional del futuro administrador.

Los objetivos específicos se indicarán al inicio de cada unidad.

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PRIMERA UNIDAD

TEORIA DE CONJUNTOS

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Determina los conjuntos adecuadamente. Realiza operaciones con conjuntos Resuelve problemas utilizando conjuntos de la vida diaria, así como de las

Ciencias Contables y Financieras, valorando las notaciones correctas y respetando las definiciones.

CONTENIDOS

1.1 Nociones básicos de la teoría de conjuntos

1.1.1 Concepto de conjunto

1.1.2 Determinación de un conjunto

1.1.3 Cardinal de un conjuntos

1.1.4 Representación gráfica de los conjuntos

1.1.5 Relación de Inclusión. Subconjuntos y partición de conjuntos

1.2 Operaciones con Conjuntos

1.2.1 Reunión

1.2.2 Intersección

1.2.3 Diferencia

1.2.4 Diferencia simétrica

1.2.5 Complemento de un conjuntos

1.2.6 Producto Cartesiano

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En el apéndice A del Texto Básico N° 1 se desarrollan los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos; a continuación presento un resumen de estos coneptos básicos.

Cuando pensamos en un conjunto generalmente lo asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de monedas, de libros, de cuentas que pagar, de ideas para mejorar nuestro negocio, etc. es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos que guardan alguna característica en común. Pueden ser personas, objetos materiales u objetos no materiales.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo por lo tanto no se da una definición de este, sino se trata de dar una idea que permita reconocerlo como un ente de estudio. Luego podemos concluir que:

Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Relación de Pertenencia

Es la relación que existe entre los elementos y los conjuntos. Dado un elementos y un conjunto solo puede ocurrir dos cosas:

Que el elemento sea parte del conjunto en este caso diremos que pertenece. Que el elementos no forme parte del conjunto en este caso diremos que no

pertenece.

Ejemplo: Si el conjunto dado es M = { 2; 4; 6; 8; 10 } ; podemos decir :

2 pertenece al conjunto M y se denota por: 2 ∈

5 no pertenece al conjunto M y se denota por 5 ∉

1.1 NOCIONES BASICAS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

1.1.1 Concepto de conjunto

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Pertenencia: un elemento pertenece a un conjunto cuando forma parte de él.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular se pueda determinar con precisión si este pertenece o no al conjunto.

Para realizar la determinación de un Conjuntos existen dos formas: por extensión y por comprensión

a) Determinación por Extensión: cuando se escribe uno a uno todos sus elementos. Por ejemplo

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

b) Determinación por Comprensión: cuando solamente se menciona una característica común a todos los elementos. Por ejemplo:

A = { x ε N / 0 < x < 7 }

Determinación: un conjunto está bien determinado si se sabe exactamente cuáles son los elementos que pertenecen a él y cuáles no.

El concepto de número cardinal fue desarrollado y propuesto por Georg Cantor, en 1874, quien lo amplió a conjuntos infinitos, ya que para conjuntos finitos el concepto de cardinal es muy elemental.

Primero estableció el concepto de cardinalidad como una herramienta para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos { 7; 12; 15 } y { 2; 8; 9} son distintos pero ambos tienen la misma cantidad de elementos, luego decimos que su cardinalidad es 3.

Cantor definió el conteo usando la correspondencia biunívoca, la cual mostraba fácilmente que dos conjuntos finitos tenían la misma cardinalidad si había una relación uno a uno entre sus elementos. Esta relación le sirvió para crear un concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma uno a uno con el conjunto de números naturales.

1.1.2 Determinación de conjuntos

1.1.3 Cardinal de un Conjunto

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Cardinal de un Conjunto, es el número de elementos que posee el conjunto, simbólicamente se expresa de la siguiente manera: n(A) (se lee cardinal del conjunto A)

Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn. En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula dentro de la cual se colocan los elementos del conjunto dado.

Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones y operaciones entre conjuntos sin cambiar la posición relativa de los mismos.

Ejemplos de gráficos de conjuntos

Dado los conjuntos:

L = {40; 50; 190; 400} ; B = {40; 50; 170; 230 } y M = { 40; 120; 170; 190 }

La representación gráfica de los tres conjuntos es:

Relación de inclusión – Subconjuntos de un conjunto Consideremos el siguiente ejemplo: si A es el conjunto formado por los meses del año y B es el conjunto de los meses de verano en el Perú, Podemos afirmar que todos los elementos de B también son elementos de A. Simbólicamente tenemos ∈ ⇒ ∈

1.1.4 Representación gráfica de los Conjuntos

1.1.5 Relación de inclusión – Subconjuntos de un conjunto –Conjunto Potencia

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. Cuando esto sucede decimos que “B es parte o subconjunto de A” o también que “B está incluido o contenido en A”. Decimos que un conjunto B está incluido (o contenido) en otro conjunto A si y sólo si para todo elemento de B se cumple que es elemento de A.

B⊆A ⇔ x ∈B ⇒ x ∈A

Esta definición se refiere al sentido amplio de la inclusión, es decir acepta la posibilidad de que B sea A. Existe una definición de la inclusión en sentido estricto, es decir no se acepta la posibilidad de que B sea A. Decimos que B está estrictamente incluido en A (o que B es parte propia de A) si B está incluido en A pero es diferente de A.

B⊂A ⇔ B⊆A y B≠A

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, o sea si son el mismo conjunto

⇔ ⊆ ∧ ⊆ Propiedades de la inclusión de conjuntos

1. Propiedad reflexiva: Todo conjunto es parte de sí mismo. 2. Propiedad transitiva: Si un conjunto es parte de otro, que a su vez es parte de un

tercer conjunto, el primero es parte del tercero. 3. Propiedad antisimétrica: Si un conjunto A es parte propia de otro conjunto B,

entonces B no es parte de A. 4. El conjunto vacío es parte o subconjunto de cualquier conjunto dado.

Partes de un conjunto. Conjunto Potencia

Llamamos familia de partes de un conjunto o Conjunto Potencia, al conjunto formado por todos sus subconjuntos.

Vamos a formularnos la siguiente pregunta: ¿cuántas partes tiene un conjunto?. O, de otro modo, ¿cuántos subconjuntos admite un conjunto dado?

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Comencemos por el conjunto vacío. De acuerdo a la primera propiedad, se cumple ∅ ⊆ ∅. El conjunto vacío (igual que todos los demás) es subconjunto de sí mismo. Pero, en este caso particular, es el único. Entonces la respuesta es 1. A continuación analizaremos un conjunto unitario, es decir, con un único elemento. Sea M = {1}. De acuerdo a las propiedades 1 y 4 podemos afirmar: ∅ ⊆ A y A ⊆ A Entonces en este caso nuestra respuesta es 2. Nos planteamos ahora la misma pregunta, pero para un conjunto de dos elementos. Sea B = {1; 2 }. Ahora, además de los dos subconjuntos que surgen de las propiedades 1 y 4, podemos observar que admite dos subconjuntos unitarios. Es decir: ∅ ⊆ B ; { a } ⊆ B ; { b }⊆ B y B ⊆ B. Entonces un conjunto de dos elementos admite cuatro partes o subconjuntos. Si seguimos en el análisis encontraremos que estamos frente a una sucesión de potencias de 2; a saber.

2 ; 2 ; 2 ; 2 ;… ; 2 Generalizando diremos que un Conjunto de “n” elementos admite 2 partes o subconjuntos. O también que el cardinal de un conjunto Potencia es 2 Conjuntos Especiales Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos. Por ejemplo: / ; 2 2 ∅ El conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto. Conjuntos Finitos o Infinitos: Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o no factibles de contar. Ejemplo de conjunto infinito: 1; 2; 3; 4; 5;… Ejemplo de conjunto finito: / 3 4 3; 2; 1; 0: 1; 2; 3 Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto de sí mismo. Todo conjunto se debe considerar como un subconjunto del Conjunto Universal.

Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes

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Llamaremos unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B.

∪ / ∈ ∨ ∈

Gráficamente:

Ejemplo: Sean los conjuntos: 2; 4; 6; 8; 10 y : 1; 2; 3; 4; 5:6

La unión de los conjuntos Ay B es:

∪ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10

Llamaremos intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B; es decir son los elementos comunes de ambos conjuntos

∩ / ∈ ∧ ∈

Gráficamente:

1.2 Operaciones con Conjuntos

1.2.1 Unión de conjuntos

1.2.2 Intersección de conjuntos

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La Intersección de los conjuntos A y B es:

∩ 2; 4; 6

Observación:

∪ ∩

∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩

Se denomina diferencia de A y B (en ese orden), y se representa A-B, al conjunto formado por todos los elementos de A que no son elementos de B.

/ ∈ ∧ ∉

Gráficamente:


La Diferencia de los conjuntos A y B es:

8; 10

1.2.3 Diferencia de Conjuntos

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La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero no en A.

∈ ∧∉ ∪ ∉ ∧∈

Otra forma de definir la Diferencia simétrica es:

∪

Gráficamente:


La Diferencia Simétrica de los conjuntos A y B es:

8; 10; 1; 3,5

Llamaremos complemento de un conjunto A respecto de un Conjunto referencial U (universal), al conjunto de todos los elementos de U que no pertenecen a A. Es decir:

′

Gráficamente:

Ejemplo: Sea el Conjunto Universal 1; 2; 3; 4;…9 Y el Conjunto 2: 3; 5; 7

El Complemento del conjunto A es:

1; 4; 6; 8; 9

1.2.4 Diferencia Simétrica

1.2.5 Complemento de un Conjunto

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Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos que se distinguen por su ubicación en el mismo: primer componente y segundo componente. Su notación es (a, b), siendo a el primer componente y b el segundo. Los pares ordenados responden al siguiente criterio de igualdad:

, , ⇔ ∧

Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano de A por B (notación: A x B) al conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente es elemento de A y cuyo segundo componente es elemento de B.

, ∈ ∧ ∈ ⁄

Ejemplo: Sean los conjuntos 2; 4 y : 1; 2; 3

El producto de los conjuntos A y B es:

2; 1 , 2; 2 , 2; 3 , 4; 1 . 4; 2 , 4; 3

Observaciones:

1. ∧ ⇒ .

2. ∧ ⇔

3.

1.2.6 Producto cartesiano

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PROBLEMAS RESUELTOS DEL TEXTO BASICO N° 1 Para ilustrar mejor los conceptos estudiados voy a resolver algunos ejercicios propuestos en el libro básico n° 1. Empecemos con los ejercicios de la página 806.

Escriba cada conjunto utilizando, el método de extensión: 2. R es el conjunto de los huesos del cráneo. R = { frontal, parietal, occipital, etmoides, esfenoides}

4. T es el conjunto de números primos menores que 20.

T = { 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 } Escriba cada conjunto y utilice el método de construcción o comprensión

10. {r, o , m, a} A = { x / x es una letra de la palabra roma} 12. El conjunto de los enteros entre -6 y 6 ∈ 6 6

Escriba el mismo conjunto utilizando otro método 16. { x / x es un número primo menor que 20} P = { 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 } 18. S es el conjunto que consiste en los recíprocos de todos los números naturales menores a 10.

1; ; ; ; ; ; ; :

20. {k / k es un entero y 10} 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3

Solución de ejercicios de la página 810 :

Escriba ∈ o ∉ para que la expresión dada sea verdadera 2. Júpiter ∈ { x / x es un planeta } 4. Luna ∉ { x / x es un planeta } 6. 5 ∉ Ω

Decida si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones: 8. a ∈ { h, o, l, a } Verdadera

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10. { a, m, a, b, a } = {a, b, m} Verdadera 12. 2; 3 ⊇ 2; 4; 6; 8 Falsa 14. {Belice, Honduras, Cuba} ⊆ { e /e es un país del Continente Americano} Verdadera

Decida si la proposición dada es verdadera o falsa. Considere los conjuntos siguientes: U = { a, b, c, d, f, g, h, i } A = { a, c, d } B = { f, g } C = { a, b, f, g } 16. { g, f, b } ⊆ B Falsa 18. A ⊆ U Verdadera 20. A ⊇ C Falsa 22. El conjunto C tiene exactamente 32 subconjuntos. Falsa

Realice las operaciones indicadas. Considere los conjuntos siguientes: U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 } A = { 1; 3; 5; 7; 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10 } C = { 2; 3; 5; 7 } D = { 3; 6; 9 }

2. ∩ 2 4. ∩ 2; 4; 6; 8; 10 ∩ 2; 4; 6; 8; 10 6. ∩ ∪ ∩ ∅ ∪ 3; 5; 7 3; 5; 7 8. 6; 9 10. 1; 9 2; 4; 8; 10 1; 9 12. 3; 6; 9 2; 4; 6; 8; 10 3; 6

Ilustre con un diagrama de Venn las igualdades que se dan. 14. ∩

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Como observamos A – B tiene como grafico la parte sombreada del primer diagrama que es igual a la parte con doble sombreado del segundo diagrama que corresponde a ∩

De la página 821 voy a resolver el problema 14. Solución: Se confecciona un diagrama de Venn con los datos

Observando el grafico respondemos las preguntas: a. ¿Cuántos optan por el género que no es de los tres mencionados? b. ¿Cuántos prefieren comedia y suspenso pero no cine de erotismo? c. ¿Cuántos optan por uno solo de estos géneros? d. ¿Cuántos solo prefieren la comedia? Respuestas: a) 56 b) 10 c) 204 d) 100

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PORBLEMAS RESUELTOS QUE NO ESTAN EN EL TEXTO BASICO

1. Dado el conjunto: A = {1; #; {#}; {1;2}} y las siguientes afirmaciones: I. # A V. {1;#} A

II. {1; 2} A VI. # A

III. {#} A VII. {{#}} A

IV. 1 A VIII. 2 A El número de afirmaciones correctas es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Solución:

Recordando que la pertenencia es una relación entre elementos y conjuntos y la inclusión es una relación entre un conjunto y los subconjuntos

I. # A es verdadera # es un elemento de A

II. {1; 2} A no es verdad porque {1; 2} es un elemento de A

III. {#} A es verdad porque {#} es un subconjunto de A

IV. 1 A no es verdad porque 1 no es subconjunto de A

V. {1;#} A es verdad porque {1;#} es subconjunto de A

VI. # A no es verdad porque # no es subconjunto de A

VII. {{#}} A es verdad porque {{#}} es subconjunto de A

VIII. 2 A no es verdad porque 2 no es elemento de A Respuesta: 4 son las afirmaciones correctas (alternativa c)

2. El número de subconjuntos propios del conjunto 2 ; 2; 2 , ; 2; 2; 2 ; 2; 3 es

a) 31 b) 3 c) 9 d) 7 e) 15 Solución:

Los subconjuntos propios de un conjunto se obtienen restando el total de subconjuntos menos 1, ya que en los subconjuntos propios no se considera como subconjunto al mismo conjunto dado. Además para determinar el número de subconjuntos se aplica la relación 2 donde “n” es el número de elementos que tiene el conjunto.

En nuestro caso 2 ; 2; 2 , ; 2; 2; 2 ; 2; 3 aparentemente tiene 5 elementos, pero debemos recordar que para denotar un conjunto no se debe repetir los elementos, luego tenemos: 2 ; 2 , ; 2 ; 2; 3 , pero observamos que aún se repite un elemento por lo tanto el conjunto bien denotado es 2 ; 2; 3 siendo su cardinal 3.

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En consecuencia el número de subconjuntos propios es:

2 1 2 1 7

Respuesta: El número de subconjuntos propios es 7. (alternativa d)

3. Si n ( A B ) = 2 n ( A B ) = 14 n ( A – B ) = 7 Hallar : n ( A ) + n ( B )

a) 14 b) 16 c) 21 d) 23 d) 28

Solución:

Nos valemos de un diagrama de Venn para ilustrar el ejercicio

Del grafico deducimos que n ( A ) + n ( B ) = 9 + 7 = 16

Respuesta: la suma es 16 (alternativa b)

4. Si 4 ∈ ∧ 4 4 . Hallar : n ( A ) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Solución:

Los valores de x son: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3

Los elementos del conjunto salen de reemplazar los valores de x en 4 3 ⇒ 4 9 4 13 2 ⇒ 4 4 4 8 1 ⇒ 4 1 4 5 0 ⇒ 4 0 4 4 1 ⇒ 4 1 4 5 2 ⇒ 4 4 4 8 3 ⇒ 4 9 4 13 Luego 4; 5; 8; 13 ; siendo n(A) = 4 Respuesta: el número de elementos de A es 4 (Alternativa a)

5. Calcular ; si E es un conjunto unitario: 4 1; 2 ; 3 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

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Solución:

Si el conjunto se unitario tiene un solo elemento, por lo tanto se debe cumplir que 4 1 2 3 4 tomando las igualdades de los extremos 4 1

3 4 y resolviendo se obtiene 3.

Reemplazando el valor de a en: 2 3 4 se tiene 2 3 3 3 4

2 9 4 3 ⇒ 2 10 ⇒ 5

Por lo tanto 5 3 2

Respuesta: 2 (alternativa b)

es la suma de 7 y 15; es decir 22 (alternativa d)

6. 34 alumnos rinden un examen de aritmética y un examen de biología. Los que aprobaron solo biología y ambos cursos representa el doble y los 3/2 de los que aprobaron solo aritmética respectivamente. Si los que no aprobaron biología ni aritmética son 7;¿Cuántos alumnos que aprobaron ambos cursos? a) 12 b) 6 c) 9 d) 8 e) 7

Solución: Con los datos confeccionamos el diagrama de Venn

Se forma la ecuación: 2 7 34

Resolviendo la ecuación tenemos: x = 6

Respuesta: Aprobaron ambos cursos 9 alumnos (alternativa c)

7. De 140 encuestados respecto al consumo de tres bebidas A, B, C, se tiene la siguiente información: 28 toman la bebida B pero no la C 36 toman la bebida A pero no la B 18 toman solo C 10 toman B y C pero no A Si 26 no toman A, B ni C; entonces ¿Cuántas personas toman las tres bebidas?

Matemática I

25

a) 22 b) 24 c) 28 d) 20 e) 26

Solución:

Construimos el diagrama de Venn respectivo para tres conjuntos

Por los datos del problemas tenemos:

10 18 26 140

Pero: 28, además 36 Reemplazando en la ecuación anterior

28 36 10 18 26 140

Resolviendo: 22

Respuesta: Toman las tres bebidas 22 personas. (alternativa a)

8. En una empresa peruano-alemana, 27 personas fuman, el número de personas que no fuman es el triple de los que fuman y no son peruanos. Hay 24 que no son peruanos ni fuman. Si la empresa tiene 99 empleados. ¿Cuál es el número de peruanos que no fuman? a) 54 b) 51 c) 32 d) 36 e) 48 Solución:

Modificamos el diagrama porque no puede haber una persona que sea peruano y extranjero a la vez

Matemática I

26

Según el diagrama las letras minúsculas tiene la siguiente representación simbólica: a número de peruanos que no fuman

b número de peruanos que fuman c número de extranjeros que fuman d número de extranjeros que no fuman

Luego podemos expresar en forma simbólica los datos: b + c = 27

a + d = 3 c d = 24

Planteamos la siguiente ecuación: a + b + c + d = 99 Reemplazando: a + 27 +24 = 99

Resolvemos: a = 48 Respuesta: Los peruanos que no fuman son 48 (alternativa e)

ACTIVIDAD:

1. Resuelva los ejercicios impares de las páginas: 806 – 810 - 817 – 821 del Texto Básico N° 1.

Matemática I

27

AUTOEVALUACION N° 1

1. El numero de subconjuntos propios del conjunto ∈ / 2 4 es

a) 31 b) 63 c) 127 d) 32 e) 64

2. Dado los conjunto U = {1;3;5;7;9;11}, A= { 1; 3; 5} y B = { 5; 7; 9} determinar: ∪

a) 5 b) 2 c) 3 d) 1 e) 4

3. Si A tiene 4 elementos, entonces el número de elementos que tiene el conjunto potencia de A es:

a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64

4. Si : P Q = { a, b, c, d, e } P – Q = { d, e } P Q = { c } Calcular : n ( Q – P ) + n ( Q )

a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Si A = { 2x – 1 / x Z –2 < x < 4 } . Hallar: n ( A )

a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 2

6. De un grupo de 400 clientes de un supermercado se encontró que 200 no compran fideos, 180 no compran arroz y 50 no compran ninguno de los dos productos. ¿Cuántos clientes compran ambos productos?

a) 75 *b) 70 c) 50 d) 62 e) 35

7. De 72 postulantes, se supo que 45 postulan a la Empresa A, 36 a la Empresa B y los que postulan a las dos empresas son el doble de los que no postulan a ninguna de las dos. ¿Cuántos postulan a una sola empresa?

a) 36 b) 30 c) 50 d) 40 e) 45

Matemática I

28

SEGUNDA UNIDAD

EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES


Ejemplificar y representar el conjunto de los números reales y aplicar eficazmente las propiedades fundamentales del algebra de los números reales en la resolución de ejercicios.

Establecer diferencias en los distintos tipos de expresiones algebraicas y polinomios, además realizar correctamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios, así como reconocer y desarrollar productos y cocientes notables.

CONTENIDOS

2.1 Los Conjuntos Numéricos

2.1.1 El Conjunto de los Números Reales (R)

2.1.2 Propiedades fundamentales de los Números Reales

2.1.3 Expresiones Algebraicas. Operaciones con Polinomios

2.2 Productos Notables. Factorización

2.2.1 Productos Notables

2.2.2 Factorización de Polinomios

2.3 Expresiones Racionales

2.3.1 M.C.D. y M.C.M. de Polinomios

2.3.2 Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas

2.3.3 Adición de Fracciones Algebraicas

2.3.4 Exponentes Enteros y Racionales

2.4 Expresiones Irracionales

2.4.1Radicación y Leyes de Radicación

Matemática I

29

Lea detenidamente los fundamentos teóricos del tema en la página 2 del texto básico. La lectura nos lleva a plantear el siguiente mapa conceptual que nos ayudará a comprender mejor como está estructurado el conjunto de los números reales:

Así tenemos que los subconjuntos que forman el Conjunto de los Números Reales

son:

Los Números Naturales: N = { 1; 2; 3; 4; …. } Los Números Enteros: Z = { …; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; … } Los números Racionales: Q= Z U { x / x es una fracción } Los números Irracionales: Q’ = { x / x no es una fracción }

2.1 Los Conjuntos Numéricos

2.1.1 El Conjunto de los Números Reales.

Matemática I

30

En resumen podemos expresar que los números naturales son los que nos permiten realizar el conteo, es decir empiezan en uno hasta el infinito, siempre positivos y enteros. Dentro de los números enteros tenemos a todos los naturales además del

cero y los negativos. Los Racionales además de los enteros incluyen las fracciones positivas y negativas; es importante advertir que el denominador no puede ser cero, tampoco raíces inexactas. Los irracionales comprenden a las raíces inexactas y toda expresión numérica cuya expresión decimal sea infinita no periódica.

Por lo tanto el conjunto de los números Reales constituye la unión de los números racionales y los irracionales: R = Q U Q’

A continuación vamos a resolver a manera de ejemplo algunas situaciones problemáticas:

1. Indique a que conjunto numérico pertenecen los siguientes números: – 2/7 Como es una fracción pertenece a los números racionales. 0/9 Al efectuar la división el resultado es cero, luego es un número entero.

√15 La expresión corresponde a una raíz inexacta, luego es un número irracional

√81 Al resolver la raíz cuadrada, se obtienen 2 valores +9 y –9; por lo tanto podemos afirmar que pertenece a los números enteros.

2. Dentro del paréntesis coloque V si la proposición es verdadera o F si la proposición es falsa. ( F ) Todos número racional el entero ( V ) Los números naturales son un subconjunto de los reales. ( V ) Todo número irracional es real. ( F ) Todas la raíces inexactas son números racionales. ( V ) Los números racionales son un subconjunto de los enteros.

3. Dentro del paréntesis coloque el subconjunto de los números reales al que pertenece cada número. ( Q ) –3/5 ( N ) 135 ( Z ) –10

( Q’ ) √37

Matemática I

31

ACTIVIDADES

1. Escriba dentro del paréntesis una V si la proposición es verdadera y una F si es falsa:

( ) Todas las fracciones no son números racionales.

( ) √7 es un número irracional. ( ) Todo numero entero es real. ( ) 2/5 es un número real. ( ) Todos los números enteros también son naturales.

( ) √27es un número racional. ( ) 0/9 es un número irracional. ( ) es un número real. ( ) –5 > –2 ( ) 0 no es entero

2. Resuelva los ejercicios impares de la página 3 del texto básico Nº 1

Al revisar el texto básico desde la página 3 encontrará algunas propiedades de los números reales, especialmente de la Adición y Multiplicación. Conocer las propiedades de las operaciones te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos que a su vez te permitirán entender mejor los modelos matemáticos que se puedan crear o analizar. Es importante saber diferenciar con precisión la propiedad para proceder a aplicarla con corrección. Aquí presento algunos casos de aplicación de las propiedades básicas:

Propiedad conmutativa para la adición: 4 + 6 = 6 + 4 Propiedad conmutativa para la multiplicación: 5 . (3) = (3) . 5 Propiedad asociativa para la adición: (4 + 6) + 9 = 4 + ( 6 + 9 ) Propiedad asociativa para la multiplicación: (5 . 4) . 7 = 5 . ( 4 . 7 ) Propiedad del inverso aditivo: 5 + ( –5 ) = 0

Propiedad del inverso multiplicativo: 9. 9 9. 1

Propiedad distributiva: 5 ( 7 . 4 ) = 5 . 7 + 5 . 4

2.1.2 Propiedades básicas del Algebra de los Números Reales

Matemática I

32

En la propiedad conmutativa no importa el orden en el cual pueden ser sumados o multiplicados dos o más números reales.

El la propiedad asociativa no interesa cuales números se sumen o se multipliquen primero.

El inverso aditivo es importante porque, nos permite convertir la sustracción en adición [ a – b = a +(–b) ]. El inverso multiplicativo, permite convertir una división en multiplicación [ a : b = a . b-1 ). Es importante indicar que el reciproco del 0 no está definido. La división entre cero no está definida. La propiedad distributiva es muy necesaria para las operaciones algebraicas, porque nos permite eliminar los paréntesis de una expresión.


Resolver las operaciones indicadas en cada caso.

1. ( 34 ) ( 23 ) = (81) ( 8 ) = 648

2.

3. 0,0225 0,15

4. 216 √216 6

5. 0.0064 / √ .

.

12.5

6. Simplifique las siguientes expresiones:

7. √80 16 5 4√5

8. √1029 343 3 7√3

9. 4√75 6√48 3√108 4 5 √3 6 4 √3 3 6 √3 26√3

10. 20 / 45 / √20 √45 2√5 3√5 √5

Matemática I

33

ACTIVIDADES

I. Escriba dentro del paréntesis una V si la proposición es verdadera y una F si es falsa:

1. ( ) 3 – 6 = 6 – 3 (propiedad conmutativa de la sustracción) 2. ( ) 3 (5 + 4 ) = 15 + 12 (propiedad asociativa de la adición) 3. ( ) 6 + (– 6) = 0 (propiedad del inverso aditivo) 4. ( ) (3) ( 1/3 ) = 1 (propiedad del inverso multiplicativo)

5. ( ) √5 √7 √7 √5 (propiedad conmutativa de la adición)

6. ( ) 4 (propiedad distributiva).

II. Resuelva las siguientes operaciones:

1. 3√5 7√3 8√3 4√5 √27

2. √ √

3. /

4. 5√54 7√50 7√16 5√18

5. 196 / 0,03125 / III. Resuelva los ejercicios impares de la página 7 del texto básico Nº 1

Desde la página 18 del Texto Básico Nº 1 encontraras el tema a tratar y te vas a dar cuenta que trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las expresiones algebraicas tienen como elementos básicos a los monomios. Un MONOMIO es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Por ejemplo: 3 donde el número que aparece multiplicando a las variables se denomina coeficiente, las letras son las variables y los exponentes son los grados relativos de las variables, si sumamos todos los exponentes obtenemos el grado absoluto del monomio. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal (incluyendo a los exponentes). Solo es posible sumar o restar monomios que son semejantes; a este procedimiento se denomina reducción de términos semejantes. Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.

2.1.3 Expresiones Algebraicas. Operaciones con Polinomios

Matemática I

34

Realizar la adición o sustracción de dos o más polinomios consiste en formar un nuevo polinomio llamado suma que se obtiene al reducir los términos semejantes de los polinomios dados. Para multiplicar polinomios es importante aplicar la propiedad distributiva. Para dividir polinomio el método más adecuado es el de Ruffini.

Se denomina expresión algebraica a la expresión resultante de combinar números, representados por símbolos, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división o extracción de raíces.

Existen dos procedimientos importantes en el manejo de las operaciones de suma y resta de polinomios: La eliminación de los signos de agrupación y la reducción de términos semejantes. La propiedad distributiva es una herramienta muy importante para multiplicar expresiones algebraicas. Para dividir un polinomio se puede utilizar el método de Rufini, de los coeficientes separados


Simplifique las siguientes expresiones:

1. . .

2.

3. 3 27

4.

5.

6. Realizar la siguiente suma de polinomios: 2 5 7 5 3 3 19 7 3 2 12

7. Realizar la siguiente resta de polinomios 3 5 7 5 3 5 9 3 4 12 8 12 3 9

8. Realizar la siguiente división (10x2 - 5 - 3x4 + 2x3) : (x + 2)

Matemática I

35

Se ordena y completa el polinomio dividendo: -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x – 5 Tomamos los coeficientes del dividendo y el término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2 y los colocamos en el siguiente formato:

–3 2 10 0 –5 –2 6 –3 8

Se baja el primer coeficiente (–3); luego se multiplica por el divisor –2 el resultado se coloca debajo de 2 y se suman las dos cantidades (8). Este resultado se vuelve a multiplicar por el divisor (–2), se coloca debajo de 10 y se suma. El procedimiento sigue igual hasta multiplicar el último coeficiente quedando la tabla de la siguiente forma:

–3 2 10 0 –5 –2 6 –16 12 –24 –3 8 –6 12 –29

Luego el cociente es -3x3 + 8x2 - 6x + 12 y el Resto: -29

9. Multiplique los siguientes polinomios:

2 3 2 5 . 2 3 4 6 6 9 4 6 10 15

4 6 2 6 15 4 6 6 9 4 6 10 15

ACTIVIDADES

Matemática I

36

1. Dados los polinomios:

2 4 7 4 5 2 2

7

5 3

6

3 4 5 5 Calcular: a) P(x) + Q (x) = b) P(x) − U (x) =P(x) + R (x) = c) 2P(x) − R (x) = d) S(x) + T(x) + U(x) =

2. Multiplicar: a) 3 1 . 3 4 b) 3 1 . 3 4 c) 3 3 . 5 3 2 d) 2 4 5 . 2 4 3 5 3 e) 5 2 . 2 6 2

3. Dividir: a) 5 3 2 ∶ 3 b) 2 11 30 20 ∶ 3 2 c) 2 70 ∶ 4 d) 32 ∶ 2 e) 3 2 ∶ 3 f) 2 4 5 . 2 4 3 5 3

4. Halla el resto de las siguientes divisiones a) 2 3 ∶ 1 b) 2 2 3 5 10 ∶ 2 c) 3 2 ∶ 3

5. Resuelva los ejercicios impares de la página 22 del texto básico Nº 1

2.2. Productos Notables. Factorización

Matemática I

37

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas y cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

PRODUCTO NOTABLES

Cuadrado de Binomio (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

(a ‐ b)2 = a2 ‐ 2 ab + b2

Suma de un Binomio por su diferencia (a + b) x (a – b) = a2 – b2

Producto de Binomios con término común (x + a) x (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Cubo de Binomios (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3

(a ‐ b)3 = a3 ‐ 3 a2 b + 3 ab2 ‐ b3

A continuación vamos a resolver a manera de ejemplo algunos ejercicios en los que se apliquen las relaciones estudiadas

Resolver los siguientes productos notables o especiales:

1. 3x 5y 9x 30xy 25y 2. 2x 7y 4x 28xy 49y 3. 2x 4y 8x 48x y 96xy 64y 4. 5x 3 125x 225x 135x 27 5. 3x 11 . 3x 11 9x 121 6. x 5 . x 7 x 12x 35 7. x 9 . x 10 x 19x 90 8. x 12 . x 8 x 4x 96 9. 4x 2 . 5x 13 20x 62x 26

10. 5x 7 . 9x 4 45x 43x 28 11. 9x 12 . 9x 12 81x 144

12. √3x 2√5 . √3x 2√5 3x 4 5 3x 20

13. √3x √12 √3x 2 √36 x √12 3x 12x 12

2.2.1 Productos Notables

Matemática I

38

Los principales productos notables o especiales son:

El cuadrado de un Binomio que se puede presentar como una suma o como una diferencia para su solución se utiliza las siguientes fórmulas: 2

2 El cubo de un binomio, que se puede presentar como una suma o como una diferencia para su solución se utiliza las siguientes fórmulas:

3 3 3 3

El producto de una suma por su diferencia, se aplica la siguiente relación: .

Producto de dos binomios que tiene un término común, se aplica: .

El producto de dos binomios lineales que tiene la variable común: .

Es importante recordar que para resolver correctamente los ejercicios debemos tener en cuenta la propiedad distributiva:

ACTIVIDADES

I. Resolver los siguientes productos notables o especiales: 5 8 5 7

13 7 13 7 11 3 5 15

16 14 3 8 2 1

√50 √2

5 8 3 7

√19 √10 √19 √10

5 6 6 5 9 8 9 8

II. Resuelva los ejercicios impares de la página 23 del texto básico Nº 1

Matemática I

39

Hemos visto el problema de encontrar el producto dado los factores. El proceso inverso de encontrar los factores, dado el producto, se denomina factorización, las reglas de la factorización la encuentras en la página 23 del texto básico Nº 1. Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan como resultado expresión algebraica inicial.

Es importante, antes de empezar a resolver los ejercicios, precisar los siguientes términos básicos:

Factorizar un polinomio consiste, en transformarlo en producto de dos o más polinomios de grado inferior al polinomio dado.

Factorizar completamente un polinomio, se trata de descomponerlo en factores primos. Cuando un polinomio no puede descomponerse en factores, se dice que es primo.

Los casos importantes de factorización son:

Factor Común; existe cuando en todos los términos de un polinomio se repiten una o más letras, o los coeficientes numéricos contienen algún factor que es común para todos ellos. Veamos algunos ejemplos:

18 21 3 3 6 7 En este caso se ha tomado el coeficiente numérico menor que es 3, porque está contenido exactamente en los otros coeficientes, y las letras x e y de menor exponente. 3 5 5 5 9 5 5 3 5 9 En este caso se toma como factor común la expresión (x –5) porque se repite en los tres términos del polinomio.

Suma o diferencia de potencia iguales; se presentan los casos de diferencia de cuadrados y suma y diferencia de cubos. (Es importante aclarar que no existe factorización para suma de cuadrados). Veamos algunos ejemplos.

100 49 10 7 . 10 7 Como puedes observar corresponde a la relación contraria del producto especial de la suma por su diferencia. 512 8 8 8 64 Como puedes observar corresponde a una suma de cubos 27 3 3 3 9 Como puedes observar corresponde a una diferencia de cubos

2.2.2 Factorización de Polinomios

Matemática I

40

Factorización de trinomios cuadrados perfectos corresponden a la relación contraía al producto especial suma o diferencia de cuadrados. Por lo tanto podemos aplicar las dichas relaciones. Veamos algunos ejemplos;

9 24 16 3 4

25 40 16 5 4

Trinomios de la forma:

Estos trinomios son el resultado del producto especial:

.

Para resolverlos tenemos que encontrar los números que sumándolos dé el término en x y multiplicándose den el término independiente .Veamos ejemplos:

10 21 7 3

4 45 5 9

Trinomios de la forma: Estos trinomios son el resultado del producto especial;

.

Ejemplos 10 32 24 2 4 5 6

12 26 16 3 8 4 2

Los principales casos de factorización son: Factor común, en los que se aplica la propiedad distributiva (en forma inversa)

Trinomio cuadrado perfecto:

2 . 2 .

Diferencia de cuadrados: .

Suma de cubos: . Diferencia de cubos: . )

Matemática I

41

A continuación vamos a resolver algunos ejemplos donde se apliquen las fórmulas estudiadas

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

5x 10 5 x 2

14x 4x 10x 2x 7x 2x 5

9 25y 3x 5y . 3x 5y

7x 12 x 4 . x 3

6 11 35 3 5 . 2 7

2 . x 3 x 2 . x 3 2 . x 3 x 3 x 2 2 . x 3 2x 1

27x 64 3x 4 . 9x 12x 16 625 25 . 25 25 . 5 . 5

x 125 x 5 . x 5x 25 8 1 3 1 5 1 1 8 3 5

ACTIVIDADES

I. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas: 20 15 49 25 4 7 3

22 121 7 2 5 8 27

343 289 1

3 9 3 22 9 3

49 56 16 16

II. Resuelva los ejercicios del la página 25 del texto básico

Matemática I

42

Desde la página 26 del texto básico Nº 1 se trata el tema de las expresiones algebraicas. Siendo de mucha importancia para las operaciones que se estudiarán posteriormente calcular el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de monomios procedemos a dar una explicación de cómo se realizan dichos cálculos. Para calcular el MCD en primer lugar establecemos el MCD de los coeficientes, luego se escribe la o las letras que se repiten en todas las expresiones y que tienen el menor exponente. Veamos ejemplos. Calcular el máximo común divisor de:

8 ; 4 ; 10 → 2

2 ; 4 ; 8 → 2

Para calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de monomios, primero se determina el MCM de los coeficientes, luego se escribe las letras con su mayor exponente así no se repitan en todas las expresiones. Veamos ejemplos Calcular el mínimo común múltiplo de:

4 ; 12 ; 3 ; 2 → MCM 12

Cuando se trata de polinomios primero se factoriza y luego se procede de manera similar a lo explicado anteriormente. Veamos el siguiente ejemplo: Hallar el MCD y MCM de: 4; x 8; 6 Primero factorizamos cada expresión:

4 2 2 x 8 2 2 4

6 2 3

Luego el MCD es: 2 y el MCM es 2 2 3 2 4

Para determinar el máximo común divisor de polinomios se descomponen cada uno de los polinomios dados en sus factores primos. El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente.

Para determinar el mínimo común múltiplo se descompone cada uno de los polinomios en factores primos y se toman todos los factores (comunes o no) con los mayores exponentes

2.3 Expresiones Racionales

2.3.1 Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de Polinomios

Matemática I

43

A continuación vamos a resolver algunos ejemplos donde se apliquen el tema estudiado:

Determinar el MCD y el MCM de los siguientes polinomios

30 ; 6 ; 14 El MCD de los coeficientes es 2, de la parte literal es x y z (menores exponentes). Por lo tanto el MCD de las tres expresiones es: 2 El MCM es 420

5 6 8 5 10 6

El MCD es: 5 6 El MCM es: 5 6 8 10

1 3 2

Se factoriza cada una de las expresiones 1 1 1 1 1 1 3 2 1 2

El MCD es: 1 El MCM es: 1 1 1 2

9 1 9 6 1

Factorizamos los polinomios 9 1 3 1 3 1 9 6 1 3 1

El MCD es: 3 1 El MCM es: 3 1 3 1

M x 3x 3x 60 N x 6x 18x 24 Factorizamos las expresiones: M x 3x 3x 60 3 x 5 x 4 N x 6x 18x 24 6 x 1 x 4 El MCD es: 3 x 4 El MCM es: 6 x 1 x 5 x 4

Matemática I

44

ACTIVIDADES

Determinar el MCD y el MCM de los siguientes polinomios

2 3 13 13 21 2 5 5 6

3 6 4 8 5 2 3 2 5

3 8 5 3 10

4 8 3 4 2 12

3 10 7 1 8 17 8 1 6 6 1

A partir de la página 28 encontramos que para multiplicar o dividir fracciones polinómicas basta que tengas en cuenta como se multiplican y dividen las fracciones en general. Además debes recordar, respecto a la parte literal, que, para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes y para dividir se restan, es suficiente.

Para multiplicar o dividir fracciones formadas por polinomios es conveniente Factorizar primero para proceder a una simplificación que permitirá realizar la operación de manera más fácil.

Es importante repasar el tema anterior.

A continuación vamos a resolver algunos ejemplos donde se apliquen la multiplicación y división de fracciones algebraicas

Simplifique las siguientes expresiones

2.3.2 Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas

Matemática I

45

3 7 4

3 4

3 4 1

3 4 1

3 4

3 4

Se aplica la propiedad distributiva, se factoriza y simplifica.

Realizar las siguientes operaciones:

5∗3

43

20

2

5 ∶

2

8

2

5∗

8

2

8

5

3 2

2 3∗

1

5 6

1 2

1 3∗

1 1

2 3

1 1

3 3

1

9

Como puedes observar en este ejercicio primero se ha factorizado para poder simplificar, luego se procede a realizar el producto.

ACTIVIDADES

I. Resolver las siguientes operaciones:

a) d)

b)

c)

II. Resolver los ejercicios 1, 3 y 5 de la página 31 del texto básico Nº 1

Matemática I

46

Para realizar la adición o sustracción de fracciones algebraicas se aplica los principios estudiados en la adición y sustracción de fracciones en general y lo explicado en la página 28 del texto básico Nº 1

Al sumar o restar fracciones algebraicas s debe tener en cuenta que:

Se simplifican las fracciones si es necesario. Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores, para determinar el

común denominador. Se divide el mínimo común denominador entre cada denominador y se multiplica

por el numerador respectivo. Se simplifica la fracción.

A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de adición de fracciones algebraicas

3

1

5

2

2 3 1 5

1 2

5 6 6 5

1 22 11

1 2

4 2 12

3

2 7

3

4 2 12 3 2 7

3

a b

3 a b1

3

1

4

2

3 2

1

2 2

2

2 33 1 2 2

2 2 3

3.3.3 Adición de Fracciones Algebraicas

Matemática I

47

2 2 4

2 2 3

2 2 6

2 2 3

ACTIVIDADES

Resolver las siguientes operaciones:

1 2 3

2 5

2

3

3

2

3 2

4

4 1

5 2

2

9 6 1

3

1

1

3 2 1

3

9

2

6

1

2

Para resolver ejercicios de radicales es importante que estudie las leyes de exponentes de la página 15 del texto básico nº 1

Es conveniente que memorices las leyes de exponentes, que se han recordado en la explicación del tema.

Es importante indicar que si la base es un número negativo y la potencia es n>1 el signo del resultado de la potencia va a depender de n. Si n es par el signo será positivo y si n es impar el valor de la potencia será negativo.

2 2 2 4 2 2 2 2 8

2.3.4 Exponentes Enteros y Racionales

Matemática I

48

Otro aspecto importante que destacar es que la expresión 0 es una indeterminación.

A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de aplicación de la teoría de exponentes

Simplificar las siguientes expresiones

Efectuar: 5

Calcular:

"2n" veces

"n" veces

x.x.x. .... .xM

x.x. ... .x

Simplificar:

3. 5 . 6 450

Reducir:

M

3 9

Reducir: E =

n 3 n 2 n

n

5 5 5

5

5 5 5 1

5125 25 1 151

Efectuar: E =

2 2x 1 3

4x 7 x 2

7 .4 .8

64 .2 16 .32

7 2 2

2 2 2 2

7 2 2

2 2 2 2

E7 2 2

2 2 8 1

7 2 2

2 2 77. 2 14

Matemática I

49

ACTIVIDADES

Simplificar: E =

5 3

4 3

x y x

y x

Señalar el exponente final de “x” en:

E =

52 4 3

23 4 2

x x (x )

(x ) x x

x 0

Calcular:

4 n n 2

3n 1 2 3n

7 .7

7 .7

Calcular: 23 2 3 2 2 3(4 ) .2 .8 .(2 )

Indicar el exponente de “x” luego de reducir:

E =

423

3 43 ( 2)

x

; x 0

x x .x

Simplificar: 15 10 9 5 10 11

20

a xb xc xa xb xc

(abc)

Para resolver ejercicios de radicales es importante que estudie las leyes de los radicales de la página 15 del texto básico A continuación vamos a resolver algunos ejemplos simplificación de radicales. Simplificar aplicando las leyes de radicales

√8x 2x 16x 4x

2.4 Expresiones Irracionales

2.4.1 Radicación y Leyes de Radicales

Matemática I

50

√3. √7 √21 21 /

√4x√2x√x 8x

√7 √7 7 /

√

√√

√

√


94 4

2

53

4 6

2

56

4 2

2

5

2√16 5√32 3√2 √50 4√2 20√2 3√2 5√2 7√2 25√2

8 .√6 . √3 144 12

√5

√3

√5

√3√3

√3

√15

3√15

3

√15

3

ACTIVIDADES

Simplificar aplicando las leyes de radicales

√10x 5x

√12. √9

√2x√3x√5x

√15


34

5 2

7

55

16

5

38

5

7√54 8√32 5√8 √200

27 .√6 . √2

√15

√12

Matemática I

51

AUTOEVALUACIÓN N° 2

1. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a) √ 3 es un número real. b) 3 5 5 3 es la propiedad asociativa de la suma. c) 3 es un monomio. d) 5 2 4 10 20 es la aplicación de la distributibidad. e) La división entre cero no está definida.

2. Determinar el máximo común divisor de:

: 6

: 2 5 3

: 3 11 6

3. Simplificar:

8. 256 .

1

32

4. Resolver: 8 2 4

5. Simplifique la respuesta en términos de exponentes positivos:

8 . .

2

Matemática I

52

TERCERA UNIDAD

ECUACIONES E INECUACIONES


Aplicar los principios de transformación de ecuaciones equivalentes en la resolución de ecuaciones de primer grado para resolver problemas prácticos.

Aplicar los principios para la solución de inecuaciones de primer grado. Aplicar los principios para la solución de ecuaciones de segundo grado. Aplicar los principios para la solución de inecuaciones de segundo grado. Identificar los tipos de ecuaciones y dar solución favoreciendo el aprendizaje

eficaz con economía de tiempo y esfuerzo.

CONTENIDOS

3.1 Ecuaciones de primer y segundo grado con una variable

3.3.1 Ecuaciones de primer grado con una variable 3.3.2 Ecuaciones de segundo grado con una variable

3.2 Inecuaciones de primer y segundo grado con una variable. 3.2.1 Intervalos 3.2.2 Inecuaciones de primer grado con una variable 3.2.3 Inecuaciones de segundo grado con una variable

3.3 Aplicaciones de la ecuaciones e inecuaciones 3.3.1 Aplicaciones de las ecuaciones e inecuaciones

Matemática I

53

A partir de la página 36 del Texto Básico Nº 1 encontraremos el estudio de las ecuaciones. Antes debemos recordar algunas ideas elementales estudiadas a nivel escolar.

ECUACIÓN es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas. Ejemplos: a) 12 + x = 20 b) 3x + 5y = 6 c) 4x + 3y + 2z = 12 d) x3 + 2y2 = 18 Las incógnitas, en general, se representan por las letras minúsculas: x ; y ; z ; w ; etc.

El grado de una ecuación con una incógnita está determinado por el mayor exponente de dicha incógnita. Ejemplos:

Ecuación dada Incógnita Grado de la ecuación

7x-6 = 5x+4 x Primer grado

5y2+2y = 10 y Segundo grado

2z3-4z2+6z + 6 z Tercer grado

Miembros de una Ecuación

Como toda ecuación es una igualdad de dos expresiones, comúnmente se llama primer miembro de la ecuación a lo que está a la izquierda del signo igual y segundo miembro a lo que está a la derecha, cada miembro de la ecuación puede constar de uno o más términos.

El procedimiento para encontrar el valor que satisface dicha igualdad se llama resolución de la ecuación.

3.1 Ecuaciones de Primer y Segundo Grado con una Variable

3.1.1 Ecuaciones de primer grado con una variable

Matemática I

54

TRANSPOSICION DE TERMINOS REGLA 1 Si un elemento esta “sumando” pasa a restar’ y si esta “restando, pasa a sumar”. Es decir, podemos trasladar un término de un miembro al otro, con solo cambiar el signo de sus coeficientes. Ejemplo:

4x-5 =3x+13 4x-3x = 13+5 x = 18

REGLA 2 Si un elemento esta “multiplicando”, entonces se despeja pasando a dividir; y si está dividiendo, pasa a multiplicar. Ejemplos:

COMO RESOLVER UNA ECUACION DE PRIMER GRADO Para esto aplicamos el siguiente procedimiento:

1. Suprimimos signos de colección o agrupación. 2. Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro. 3. Hacemos transposición de términos, escribiendo los que son independientes

en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuación. 4. Volvemos a reducir términos semejantes. 5. Despejamos la incógnita.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 7x – (2x–6) = (x+1) – (3x+2) Solución:

PASO 1.- Suprimimos signos de colección: 7x – 2x + 6 = x + 1 – 3x – 2 PASO 2.- Reducimos términos semejantes en cada miembro: 5x + 6 = –2x –1 PASO 3.- Por transposición de términos:

5x + 2x = –6 –1 PASO 4.- Volvemos a reducir términos semejantes en cada miembro:

7x = –7 PASO 5.- Despejamos “x” x = –7/7 .

Por lo tanto la respuesta es: x = –1

3x 27

27x

3x 9

x5

3x 5(3)

x 15

Matemática I

55

Para resolver ecuaciones lineales es necesario realizar operaciones en ella. Estas operaciones deben realizarse correctamente, ya que si hay errores estaremos transformando la ecuación inicial en otra que no es equivalente.

Recordamos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tiene exactamente las mismas soluciones.

Revise en la página 37 del texto básico las tres operaciones que garantizan la equivalencia.

A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de resolución de ecuaciones.

Resolver las siguientes ecuaciones:

12x - 7 = 23

Solución 12x = 23 + 7 12x = 30

30 5

12 2x

2. 4 3 5 4 3

75 2 4

x x

Solución

Para resolver esta ecuación es conveniente convertirla a entera, para lo cual hallamos el m. c. m. de los denominadores, en nuestro ejemplo es 20; luego dividimos el m. c. m. entre cada denominador y multiplicamos por los numeradores, de la siguiente manera:

4 (4) – 10 (3x – 5 ) = 20 (7) – 5 (4 – 3x ) Luego resolvemos la ecuación lineal que resulta: 16 – 30x + 50 =140 – 20 + 15x Transponemos términos: 16 + 50 +20 – 140 = 15x + 30x – 54 = 45x

54

45x 6

5x

3. 23 5 17 (3 5)( 4)x x x x

Matemática I

56

Solución

Para resolver esta ecuación efectuamos primero el producto notable 2 23 5 17 3 7 20x x x x

Observamos que se elimina el término cuadrático 3x2 luego la ecuación es de primer grado, y se resuelve 5 17 7 20x x 20 17 7 5x x 3

12x

1

4x

4. 4( 10) 6(2 ) 6x x x

Solución: 2 2 3 6 6

2 3 6 2 6

2 2

1

x x x

x x x

x

x

5. 2( 1) 3( 2) 6x x x

Solución:

4 40 12 40

4 28

7

x

x

x

ACTIVIDADES

I. Resolver las siguientes ecuaciones lineales:

xxxx 54622543 xxxx 105142659910

)37(3)4)(4()5( 2 xxxx

1422335

10 xx

x

2

68

3

6123

xxx

II. Resuelva los ejercicios impares de la página 42 del Texto Básico Nº 1

3.1.2 Ecuaciones de segundo grado con una variable

Matemática I

57

Lo referente a las ecuaciones de segundo grado con una variable lo podrás encontrar a partir de la página 47 del Texto Básico Nº 1. Sin embargo es necesario recordar algunos conceptos elementales.

Una ecuación de segundo grado llamada también cuadrática es una ecuación polinomial donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente la expresión se refiere al caso más común en que sólo aparece una incógnita y que puede expresarse en la forma canónica:

Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma a x2 + b x + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero. Ejemplos: x2 - 9 = 0;

X2 - x - 12 = 0; 2 x2 – 3 x - 4 = 0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. A continuación explico algunos métodos importantes: Factorización: Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

1) 2 4 0x x

Factorizamos por factor común: ( 4) 0x x Cuando el producto de dos factores es igual a cero, uno de ellos o los dos debe ser iguales a cero, luego 0 ( 4) 0 4x x x

2) 2 4 12 0x x

Factorizamos por la regla del aspa simple:

( 6)( 2) 0x x

6 2x x 3) 212 17 6 0x x

Factorizamos por la regla del aspa simple:

(3 2)(4 3) 0x x

Matemática I

58

32 3 4x x

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos. Raíz cuadrada: Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación. Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es

equivalente a Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada: 1) 2 9 0x

2 9 9 3x x x 2) 22 1 0x

2 1 1 1 2

2 2 22x x x x

3) 2( 3) 8x

( 3) 8 3 8x x

La ecuación no tiene respuesta real, es decir x R Completando el cuadrado: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ? Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son x2 + bx es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

x k .

x bxb2

2

2

.

Matemática I

59

1) 2 6 7 0x x

2

2

6 9 7 9

( 3) 2

x x

x

3 2x

3 2x 2) 2 10 5 0x x

2

2

10 25 5 25

( 5) 20

5 20

5 2 5

x x

x

x

x

3) 22 3 4 0x x

2

2

2 3 4 0; dividimos la ecuación entre 2

32 0

2

x x

x x

2

2

3 9 92

2 16 16

3 32 9

4 16

3 41

4 16

x x

x

x

3 41

4 4x

Fórmula cuadrática: La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

La expresión:

Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.

Valor de: Tipo de solución

xb b ac

a 2 4

2.

b ac2 4

b ac2 4

Matemática I

60

positivo dos soluciones reales cero una solución real negativo dos soluciones

imaginarias Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática: 1) 2 8 6 0x x

8 64 4(1)(6)

2(1)x

8 40 8 2 10 2( 4 10)

2 2 2x

4 10x 2) 29 6 1 0x x

6 36 4(9)(1)

2(9)x

6 0 6 0 6

18 18 18x

1

3x

3) 25 4 1 0x x

( 4) 16 4(5)(1) 4 4

2(10) 20x

Luego: x R

Matemática I

61

Como hemos observado existen diversos métodos para resolver una ecuación de segundo grado o cuadrática. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver.

Es importante aclarar que el método de factorización por el aspa simple, no siempre se puede aplicar, ya que, no todas las expresiones son factorizables en cambio cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la formula general. Como nuestro conjunto de trabajo es el Conjunto de los Números Reales, es importante precisar que cuando la expresión, llamada discriminante, que en la fórmula está dentro de la raíz cuadrada es menor que cero ( b2 – 4 a c < 0 ) las raíces de la ecuación no pertenecen a dicho conjunto, porque son imaginarias.

ACTIVIDADES

I. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1. Por factorización

Por raíz cuadrada

Completando cuadrados

2 7 12 0x x 2 30 0x x

22 11 12 0x x 26 7 5 0x x

2 49 0x 23 75 0x 24 25 0x 23 64 0x

2 8 3 0x x

Matemática I

62

Por fórmula

II. Resolver los ejercicios impares del 11 al 29 de la pagina 53 III. Resolver los ejercicios impares del 31 al 39 de la página 53 IV. Resolver los ejercicios impares del 45 al 53 de la página 53 V. Resolver los ejercicios impares del 55 al 73 de la página 54

El tema a desarrollar se encuentra a partir de la página 73 del Texto Básic0 Nª 1. Pero es necesario recordar con más precisión los conceptos básicos de intervalos estudiados en la etapa escolar.

INTERVALO Es aquel subconjunto de los números reales (R), cuyos elementos “x” están comprendidos entre los extremos a y b; siendo estos también números reales que pueden estar o no incluidos en el intervalo. Clases de intervalos INTERVALO ABIERTO.- Se llaman intervalo abierto, al subconjunto de números reales, comprendidos entre a y b; en donde los extremos no pertenecen al intervalo. El intervalo abierto se representa: <a; b> o ]a; b[. Gráficamente:

x <a; b> a < x < b.

2 10 5 0x x 22 5 6 0x x 23 9 7 0x x

25 8 2 0x x 27 11 4 0x x

2 1 0x x 23 10 3 0x x

3.2 Inecuaciones de Primer y Segundo Grado con una variable

3.2.1 Intervalos

Matemática I

63

Ejemplo: Representa gráficamente: x <-1;4>

INTERVALO CERRADO.- Se llama intervalo cerrado, al subconjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluyendo a y b. El intervalo cerrado se presenta: [a; b]. Gráficamente:

x [a; b] a x b. Ejemplo: Representar gráficamente: x [-4; 2].

INTERVALOS MIXTOS.- Los intervalos mixtos pueden ser: Intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha.

Es el subconjunto de los número reales “x” comprendidos entre a y b, sin incluir el extremo b, sin incluir el extremo b, se representa: [a; b> o [a; b[.

Gráficamente:

x [a; b> a x < b. Ejemplo: Representar gráficamente: x [-3; 3>.

Intervalo cerrado a la derecha y abierto a la izquierda. Es el subconjunto de los números reales “x” comprendidos entre a y b, sin incluir el extremo a, se representa: <a; b] o ]a; b]. Gráficamente:

x <a; b] a < x b

Matemática I

64

Ejemplo: Representar gráficamente: x <-2; 1].

Intervalo cerrado en “a” por la izquierda.- Es el subconjunto de los números reales “x” mayores o iguales que a; se representa: [a; +> o [a; +>.

Gráficamente:

x [a; > a x < + . Ejemplo: Representar gráficamente: x [-2; +>.

Intervalo abierto en “a” por la izquierda.- Es el subconjunto de los números reales “x” mayores que a, se representa: <a; +> o ]a; +[.

Gráficamente:

x <a; +> o ]a; +[ Ejemplo: Representar gráficamente: x <-1; +>.

Intervalo cerrado en b por la derecha Es el subconjunto de los números reales “x” menores o iguales que b, se representa: <-; b] o ]-; b].

Gráficamente:

x <-; b] - < x b. Ejemplo: Representar gráficamente: x <- ; 4]

Matemática I

65

Intervalo abierto en “b” por la derecha.- Es el subconjunto de los números reales “x” menores que b, se representa: <- ;b> o ]-; b[.

Gráficamente:

x <-; b> - < x < b. Ejemplo: Representa gráficamente: x <-; 2>

Ubicación en el Texto Básico: Desde la página 70

INECUACIONES DE PRIMER GRADO Son aquellas de la forma:

ax + b > 0 ; ax + b < 0 ax + b 0 ; ax + b 0 donde a 0

PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER UNA INECUACION Resolver una inecuación es hallar su conjunto solución, esto es, el conjunto de todos los valores de “x” que convierten el enunciado en una proposición verdadera. Para resolver una inecuación de primer grado seguimos los siguientes pasos:

Se suprimen los signos de colección, si los hay Se reduce la inecuación al común denominador, si es fraccionaria Se reúnen las incógnitas en el primer miembro y los demás en el segundo

miembro Se reúnen los términos semejantes, si los hay Se despeja la incógnita

Ejemplo: 3x-7 < 11 – 3x 3x + 3x < 11 + 7 6x < 18 x < 3

3.2.2 Inecuaciones de primer grado con una variable

Matemática I

66

x < - , 3 ]

Es muy importante recordar las reglas para las desigualdades:

o Si un mismo número se suma o se resta en ambos lados de una desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.

o Si a ambos lados de una desigualdad se multiplica o divide por el mismo número positivo la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.

o Si a ambos lados de una desigualdad se multiplica o divide por el mismo número negativo la desigualdad resultante tendrá el sentido contrario de la original.

o Cualquier lado de una desigualdad puede reemplazarse pór una expresión equivalente a ella.

o Si los lados de una desigualdad son ambos positivo o negativos, entonces sus recíprocos respectivos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con sentido contrario a la desigualdad original.

o Si ambos lados de un desigualdad son positivos y elevamos cada lado a la misma potencia positiva, entones la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original

A continuación vamos a resolver algunos ejemplos inecuaciones.

Resolver las siguientes inecuaciones

8x – 9 < 21 – 7x Solución:

15x < 30

x < 2 < – ∞ ; 2 >

3x – 8 < 5(2x – 3) Solución: 3x – 8 < 10x –15 15 –8 < 10x –3x 7 < 7x

1 < x < 1; ∞ >

Matemática I

67

1 (x+5)(x-2) – (x-1)(x+3) Solución: 1 > x2 + 3x –10 – (x2 + 2x– 6 )

1 > x – 4

5 > x <- ∞; 5 >

Resolver:

x x 5

3 2

Solución: 2x > 3x + 15

– 15 > x <– ∞; –15 >

- (x+3) < 3x + 5 < x + 13 Solución:

–x –3 < 3x + 5 ⋀ 3x + 5 < x + 13

–8 < 4x ⋀ 2x < 8 –2 < x ⋀ x < 4 < –2; ∞ > ∩ < –∞ ; 4 > <–2; 4 >

ACTIVIDADES

I. Resolver las siguientes inecuaciones

5x – 2 < 2x + 10 3x – 4 < 2x + 6 2(x+1) + 7 ≤ 17 21x – 20 > 20x – 21 123 – 321x ≥ 122 – 320x 8 + 9x + 10 < 11 + 12x + 13 –2 –3x –4 ≥ -5 –6x –7

Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método compuesto por una serie de pasos a seguir. Una de las cosas que se nos hará falta para este método es recordar cómo se resuelve una ecuación de segundo grado

3.2.3 Inecuaciones de segundo grado con una variable

Matemática I

68

Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor Método a seguir para la resolución: Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en uno de los lados de la inecuación, consiguiendo una expresión de cualquiera de los siguientes tipos:

ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c > 0

donde los valores b y c son números reales que pueden ser positivos o negativos incluso cero y a es un valor positivo. En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los demás términos y el orden de la desigualdad). Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, inducida por la inecuación, estos valores se denominan puntos críticos y servirán para hacer el análisis correspondiente. Ejemplo: Resolver: x2 – x – 6 0

Factorizando: (x – 3)(x + 2) 0 Respuesta: x [ –2 ; 3 ]

Luego, si P(x) 0 se tomarán los intervalos (+) y si P(x) 0 se tomarán los intervalos negativos.

Para resolver una inecuación cuadrática por el método de los puntos críticos se procede de la siguiente manera:

1. Se hace los cambios adecuados para que uno de los miembros de la desigualdad se cero

2. Se determinan los puntos críticos resolviendo la ecuación inducida por la inecuación que estamos resolviendo.

3. Se ubican los valores de los puntos críticos en la recta numérica real, de tal manera que eta queda dividida en tres intervalos a los cuales se les asigna de derecha a izquierda los signos ( + ) y ( – ) en forma alternada

4. Luego; para dar el conjunto solución de la inecuación aplicamos el siguiente criterio:

Si P(x) 0 se tomarán los intervalos (+) y si P(x) 0 se tomarán los intervalos negativos

Matemática I

69

A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de resolución de ecuaciones.

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. x2 − 6x + 8 > 0 Resolvemos la ecuación correspondiente para determinar los puntos críticos: x2 − 6x + 8 = 0

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

CS = (-∞, 2) (4, ∞)

x2 + 2x +1 = 0 Determinamos los puntos críticos

(x + 1)2 ≥ 0 Todo número elevado al cuadrado es mayor o igual que cero. Por lo tanto el conjunto solución es: CS =

3. 4x2 –16 ≥ 0

Determinamos los puntos críticos

Matemática I

70

P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0 P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0 P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0

CS = (-∞ , −2] [2, +∞)

4. 7x2 + 21x − 28 < 0

Simplificamos y hallamos los puntos críticos de: x2 +3x − 4 < 0 x2 +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0 P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0 P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0

CS = < −4, 1 >

ACTIVIDADES

I. Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas y dar el intervalo solución x2 + 10 7x x2 – 3x – 10 < 0 x(x-1) > 6 (x-3)(x+2) (x+6)(x+3)

(2x+5)2 (x+4)2 -x2 + 7x ≥ 0

Matemática I

71

Lo más importante en el estudio de la matemática es establecer cómo se aplican dichos conocimientos en los problemas que tienen incidencia con la rama profesional en la que nos estamos preparando. En nuestro caso daremos una muestra de cómo los conceptos estudiados en esta unidad se aplican a la administración. En nuestro texto básico hay una cantidad importante de problemas aplicados a situaciones administrativas que se encuentran en las siguientes paginas 42; 43; 47; 54, 55; 66, 67, 68, 78

Lo más importante es resolver algunos ejercicios que ilustren el tema.

A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de los siguientes problemas:

En una agencia de turismo se han vendido 25 paquetes turísticos a dos precios distintos: los de “Turismo en Grupo” a S/. 120 y los de “Lima Tours” a S/. 150 con las que han obtenido un ingreso de S/. 3 090. ¿Cuántos paquetes turísticos se han vendido de cada precio?

Solución: Sea: El número de paquetes turísticos Turismo en grupo: x El número de paquetes Lima tours será: 25 – x El ingreso por los paquetes Turismo en grupo es: 120x El ingreso por los paquetes Lima Tours es 150 (25 –x )

Luego por las condiciones del problema podemos plantear:

120x + 150 (25 –x ) = 3 090

Resolviendo la ecuación tenemos:

120x + 3 750 –150x = 3 090 x = 22

Respuesta: Se vendieron 22 paquetes de Turismo en grupo y 3 de Lima Tours

3.3 Aplicaciones de las Ecuaciones e Inecuaciones

3.3.1 Aplicaciones de las Ecuaciones e Inecuaciones

Matemática I

72

Una fábrica de camisas tiene costos fijos de S/. 6 300 mensuales y le cuesta S/.19 producir cada camisa. Se sabe que la fábrica vende cada artículo en S/. 37.

a. Determine el punto de equilibrio de la empresa

b. ¿Cuántas camisas produjo la fábrica si tuvo un gasto de S/. 15 800?

Solución:

Determinamos las funciones de Costo total ( C) e ingresos totales (Y)

La función de costo total es la suma de los costos variables más los costos fijos.

Mientras que la función de ingreso total es el producto del precio de venta por la

cantidad vendida.

Sea: x el número de camisas producidas y vendidas.

C = 19 x + 6 300

Y = 37 x

a) El equilibrio del modelo se presenta cuando los costos son iguales a los

ingreso. En este punto no hay ni ganancias ni perdidas.

Y = C 37x = 19x + 6 300

x = 350

Reemplazando tenemos el costo total y el ingreso de equilibrio que tienen

el mismo valor: C = Y = 37 (350) = 12 950

b) Si el costo total es : C = 15 800; reemplazamos en la función de costo total y

tenemos:

15 800 = 19x + 6 300 Resolviendo X = 500

Se tiene expresado los costos, de la empresa “Dulce Vida”, como C= 15 x + 6500, sabiendo que el precio de cada caja de chocolate es de S/. 20.


b. ¿Cuántas cajas de chocolate debe producir y vender para obtener utilidades

de S/. 6 000?

Solución

Sea: x el numero de cajas de chocolate producidas y vendidas

La función de costo total es: C = 15x + 6 500

La función de ingreso total es: Y = 20x

La función de utilidad es : U = Y –C U = 5x – 6 500

a) Equilibrio: Y = C

20x = 15x + 6 500 x = 1 300

Reemplazando tenemos el costo total y el ingreso de equilibrio que tienen

el mismo valor: C = Y = 20 (1 300) = 26 000

Matemática I

73

b) Si U = 6 000 entonces reemplazando en la función de utilidad tenemos:

6 000 = 5x – 6 500 x = 2 500

Respuesta: Debe producir y vender 2 500 cajas de chocolate para tener

una utilidad de 6 000 soles.

A un viaje de excursión asisten 50 personas. Si el costo del viaje a los estudiantes universitarios es de S/. 60 y el de sus familiares es de S/. 100, ¿cuántos universitarios viajan como máximo, si la recaudación no debe ser menor de S/. 4000? Solución Sea x en número de estudiantes que asistieron al viaje. 50 –x es el número de familiares que asistieron al viaje Realizamos el planteamiento de acuerdo a las condiciones del problema 60x + 100 ( 50 –x ) ≥ 4000 60x +5000 –100x ≥ 4000 1000 ≥ 40x 25 ≥ x Respuesta: Viajan como máximo 25 estudiantes.

Las funciones de oferta y demanda de un producto son: 100 ; 2 40 400 . Determine el precio y la cantidad de equilibrio del mercado. Solución: Sabemos que el equilibrio se presenta cuando la oferta es igual a la demanda; luego: 2 40 400 100

40 300 0

Resolviendo tenemos: p = 30 y p = 10; analizando las respuestas nos damos cuenta que el valor 10 no es posible ya que la cantidad ofertada será cero; por lo tanto se acepto solo el valor p = 30

La cantidad ofertada o demanda de equilibrio se obtiene reemplazando en cualquiera de las ecuaciones. Q = (30)2 –100= 800

Mensualmente una compañía puede vender “x” unidades de cierto artículo a “p” soles cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = 1400 – 40x . ¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 12 000 soles? Solución:

Matemática I

74

Sabemos que la función de ingreso es igual a precio de venta por cantidad, luego tenemos: Sea: x la cantidad de unidades vendidas Y = P. x ; si reemplazamos P tenemos: Y = (1400 –40x ) x Y = 1400x – 40x2 Si Y = 12 000 entonces 12 000 = 1400x – 40x2 Resolvemos la ecuación: 40x2 –1400x +12 000 = 0 X2 – 35x + 300 = 0 ( x –20 ) ( x –15 ) = 0 x = 20 ∨ X = 15 Respuesta: para obtener 12 000 de ingresos debe vender 15 ó 20 unidades del producto.

Para resolver un problema es importante seguir los siguientes pasos:

1. Leer las veces que sean necesarias hasta comprender el problema. 2. Determinar la o las variables. 3. Realizar el planteamiento, en el que se establece una ecuación o inecuación 4. Resolver la ecuación o inecuación planteada. 5. Dar la respuesta.

ACTIVIDADES

Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler de la casa y alimentación de su familia, y los 3/8 del sueldo en otros gastos. Al cabo de 15 meses ha ahorrado S/. 6 000. ¿Cuál es su sueldo mensual? Respuesta : 3 200

Vendí un automóvil por $ 8 000 más la tercera parte de lo que me había costado, y en esta operación gané $ 2 000. ¿Cuánto me había costado el auto?

En una peluquería el corte de cabello cuesta S/. 6 para hombre y S/. 8 para mujer. Si se hace el corte a 50 personas en un día y pagan en total S/. 360 ¿cuántos hombres y cuántas mujeres se cortaron el cabello durante el día?

Matemática I

75

Una fábrica de camisas tiene costos fijos de S/. 9 750 mensuales y le cuesta S/.22 producir cada camisa. Se sabe que la fábrica vende cada artículo en S/. 35.


b. ¿Cuántas camisas produjo la fábrica si tuvo un gasto de S/. 29 550?

Respuestas: a) 750 camisas y S/ 16 500 b) 900 camisas

Una pequeña empresa de pantalones elabora un número determinado de pantalones por día. Si duplica su producción y vende 60, le quedan más de 54. Pero si elabora 10 más y vende 28, tendrá entonces a lo sumo 40 pantalones por vender. Hallar ¿cuántos pantalones se elaboraron en un día?

Los vecinos del parque Los Olivos, desean remodelarlo podando algunos árboles del parque. Si una compañía alquila a S/ 150 una sierra eléctrica, más S/ 20 por hora ¿Qué cantidad máxima de tiempo pueden utilizar la sierra los vecinos del parque, si no pueden gastar más de S/ 350? Respuesta: 10 horas

Un laboratorio que produce perfumes encuentra que el costo total C de producir x unidades está dado por: C = 20x + 500 soles. Si cada unidad producida se vende a S/ 25, ¿cuál debe ser el nivel mínimo de producción para obtener alguna ganancia? Respuesta: 100 perfumes

Un empresario ha comprado un local cuadrangular por 259 200 soles. Sabiendo que uno de los lados del local tiene una longitud igual a las tres cuartas partes del otro y que el precio por metro cuadrado es de 600 soles. ¿Cuáles son las dimensiones del local? Respuesta : 24 y 18

Antonio compro cierto número de relojes a $192. Si el precio de cada reloj es: ¾ del número de relojes. ¿Cuántos relojes compró? Respuesta 16

Semanalmente una compañía puede vender “x” unidades de cierto artículo a “p” soles cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: p = 460 – 10x . ¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 5 250 soles? Respuesta: 21 ó 25

Matemática I

76

AUTOEVALUACIÓN N° 3

1. Resolver la siguiente ecuación

a) 3 1

b) 12 35 0

2. Resolver las siguientes inecuaciones

a) 5 2 3 1 3 2 4

b) 5

3. Tres personas reúnen un capital de $ 9 500 para establecer un comercio

minorista. Si la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la

tercera la mitad de lo que aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución

de cada uno de ellos?

4. Una fábrica de camisas tiene costos fijos de S/. 3600 mensuales y le cuesta S/.19

producir cada camisa. Se sabe que la fábrica vende cada artículo en S/. 37.

¿Cuántas camisas debe producir y vender la fábrica para tener una utilidad de S/.

6120?

5. Mensualmente una compañía puede vender “x” unidades de cierto artículo a “p”

soles cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = 1400 – 40x . ¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 12 000 soles?

Matemática I

77

CUARTA UNIDAD

RELACIONES BINARIAS

Y FUNCIONES


Identificar las características de las relaciones binarias Identificar las características que permiten que una Relación pueda definirse como

una Función Reconocer y graficar los diferentes tipos de Funciones Utilizar el concepto y las propiedades de las Funciones en la solución de problemas

orientados a la Administración.

CONTENIDOS

4.1 Relaciones Binarias 4.1.1 Producto cartesiano de conjuntos 4.1.2 Relación Binaria 4.1.3 Tipos de Relación Binaria 4.2.2

4.2 Funciones reales de variable real 4.2.1 Las funciones reales de variable real 4.2.2 Dominio y Rango de una Función real de variable real 4.2.3 Funciones polinómicas: Lineal y Cuadrática 4.2.4 Las Funciones Exponencial y Logarítmica

4.3 Aplicaciones en el campo de las ciencias de los negocios

Matemática I

78

Antes de desarrollar el tema de Relaciones Binarias recordemos la operación producto

cartesiano de conjuntos, ya que es la base del análisis de las relaciones binarias.

Recordamos la definición de producto cartesiano de conjuntos

, / ∈ ∧ ∈

Ejemplo: Dado los conjuntos 1; 2; 3 y 1; 2

El producto es:

1; 1 ; 1; 2 ; 2; 1 ; 2; 2 ; 3; 1 ; 3; 2

Grafico del producto cartesiano

4.1 RELACIONES BINARIAS

4.1.1 Producto cartesiano de conjuntos

Matemática I

79

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina relación binaria de A en B a todo

subconjunto del producto cartesiano

ó ⟺ ⊆

Elementos de una Relación Binaria:

4.1.2 Relación Binaria

Matemática I

80

Como observamos en el gráfico los elementos de una relación binaria son:

1. El Conjunto de partida.- es el conjunto de donde empieza la relación.

2. El conjunto de llegada.- es el conjunto a donde llega la relación.

3. La Ley de Composición.- es la que define la formación de los pares ordenados.

4. El dominio.- es un subconjunto del conjunto de partida formado por los elementos

que forman parte de la relación. También podemos decir que está formado por las

primeras componentes de los pares ordenados que forman la relación.

5. El Rango.- es un subconjunto del conjunto de llegada formado por los elementos

que forman parte de la relación. También podemos decir que está formado por las

segundas componentes de los pares ordenados que forman la relación.

6. Grafo de la Relación.- es el conjunto de pares ordenados que forman la relación

Cuando una relación binaria está definida en un conjunto A, es decir forma una relación

de A en A se pueden tener las siguientes relaciones binarias: Reflexiva, Simétrica,

Antisimétrica y Transitiva

Relación reflexiva

Cuando un elemento está relacionado con sigo mismo,

⇔ , ∀ ∈

Ejemplo:

1) En N la relación R definida por: " ⟺ " es reflexiva ya que ∀ ∈

, , " "

4.1.3 Tipos de Relaciones Binarias

Matemática I

81

2) En N la relación R definida por: " ⟺ " No es reflexiva ya

que 1; 1 ∉ puesto que 1 no es el doble de 1

Observación: Si la relación R es reflexiva entonces la diagonal formada por los pares (x, x) pertenece a la relación. Diagonal

Relación Simétrica

Si para todo par de elemento ocurre que si el elemento x esta relacionado con el

elemento y, entonces el elemento y está relacionado con el elemento x.

∀ , ∈ ∶ ⇒

Ejemplo:

1) En Z la relación R definida por: " ⟺ ú 2" Es simétrica ya

que

Matemática I

82

⟹ ∃ ∈ / 2 ⟹ 2 – ∈ ⟹

2) En N la relación R definida por: " ⟺ " no es simétrica ya que

2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto 4; 2 ∉

Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan

respecto a la diagonal principal.

Relación Antisimétrica

Si para todo par de elemento ocurre que el elemento x esta relacionado con el elemento

y, entonces el elemento y está relacionado con el elemento x, además, se deduce que

x = y.

∀ , ∈ : ∧ ⇒

Otra manera de expresarlo:

⇒ ; ∉ ∨ ; ∉

Ejemplo:

1) En N la relación R definida por: " ⟺ " es antisimétrica Ya que

∧ ⟹ ∃ , ∈ / ∧ . Combinándolas:

⟹ . 1 ⟹ 1 ⟹

2) En Z la relación R definida por: " ⟺ ú 2" . No es

antisimétrica ya que 2 4 4 2, 2 4

Si la relación R es antisimétrica pueden existir pares por encima o por debajo de la

diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal principal excepto la

diagonal misma.

Relación Transitiva

Cuando se verifica que si el elemento x está relacionado con el elemento y además el

elemento y está relacionado con el elemento z; entonces el elemento x esta relacionado

con el elemento z.

Matemática I

83

∀ , , ∈ : ∧ ⟹

Ejemplo:

1) En N la relación R definida por: " ⟺ " es transitiva ya que

∧ ⟹ ∃ , ∈ / ∧ Combinándolas

. . . . . ∈ ⟹

2) En N la relación R definida por: " ⟺ ". No es transitiva ya

que (4, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin

embargo 4 no es el doble de 1, de donde 4; 1 ∉

Relación de Equivalencia

Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de equivalencia si satisface

las tres propiedades:

R es reflexiva

R es simétrica

R es transitiva

Ejemplos

1) En Z la relación R definida por: ⟺ ú 3

2) Dado un conjunto ⊆ , la relación: ⟺ ∩ ∩

Son relaciones de equivalencia ya que son simultáneamente reflexivas, simétricas y

transitivas.

Relación de orden

De orden parcial: Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de orden

parcial si satisface las tres propiedades:

R es reflexiva

Matemática I

84

R es antisimétrica

R es transitiva

En este caso diremos que el conjunto A está parcialmente ordenado

Ejemplo:

1) En el conjunto de todos los divisores de 60, la relación R definida por: ⟺

2) En R, la relación definida por ⟺

Son relaciones de orden porque son reflexivas, antisimétricas y transitivas

De orden total: Diremos que una relación binaria R sobre A, es una relación de orden

total si es una relación de orden parcial y además se satisface que:

∀ , ∈ : ∨

En este caso diremos que el conjunto A está totalmente ordenado

Ejemplo:

1) La relación de orden “menor o igual” definida en el conjunto de los números

enteros es total

Ejemplos Resueltos

1) Hallar el dominio y el rango de las relaciones definidas en el conjunto

A = {1; 2; 3; 4; 5}

a) , ∈ . / 7

b) , ∈ . / 4

Solución:

Matemática I

85

Encontramos los pares ordenados que forman cada una de las relaciones

indicadas y luego establecemos el dominio con las primeras componentes de los

pares ordenados y el rango con las segundas componentes.

a) 2; 5 ; 3; 4 ; 5; 2 ; 4; 3

b) 1; 1 ; 1; 2 ; 1; 3 ; 2; 1 ; 2; 2 ; 3; 1

Respuestas: 2; 3; 4; 5 y 2; 3; 4; 5

1; 2; 3 y 1; 2; 3

2) Para el conjunto A = {1; 3; 5}; verificar si la siguiente relación es de

equivalencia:

1; 1 ; 3; 3 ; 5; 5 ; 1; 3 ; 3; 1

Solución:

o En la relación: 1; 1 ; 3; 3 ; 5; 5 ∈ ; es decir que se cumple que todos los

elementos de A están relacionados consigo mismo; luego es REFLEXIVA.

o Tiene dos pares ordenado de la forma , ; , donde ∈ ∧ ∈

por lo tanto la relación es SIMÉTRICA

o R también es TRANSITIVA y que se cumple:

1; 1 ∈ ∧ 1; 3 ∈ ⟹ 1; 3 ∈

3; 3 ∈ ∧ 3; 1 ∈ ⟹ 3; 1 ∈

1; 3 ∈ ∧ 3; 1 ∈ ⟹ 1; 1 ∈

3; 1 ∈ ∧ 1; 1 ∈ ⟹ 3; 1 ∈

3; 1 ∈ ∧ 1; 3 ∈ ⟹ 3; 3 ∈

Respuesta: R es una relación de EQUIVALENCIA

3) Se define las relaciones:

1; ; 2; ; 3; ; 3; ; 4;

; 2 ; ; 3 ; ; 4 ; ; 1

; ∈ ⟺ ; ∈ ∧ , ∈

Hallar:

Solución:

Matemática I

86

Determinamos los pares ordenados que forman la relación siguiendo la

regla de composición indicada.

1; ∈ ∧ ; 2 ∈ ⟹ 1; 2 ∈

3; ∈ ∧ ; 3 ∈ ⟹ 3; 3 ∈

3; ∈ ∧ ; 4 ∈ ⟹ 3; 4 ∈

3; ∈ ∧ ; 1 ∈ ⟹ 3; 1 ∈

4; ∈ ∧ ; 1 ∈ ⟹ 4; 1 ∈

Luego la relación por extensión es:

1; 2 ; 3; 3 ; 3; 4 ; 3; 1 ; 4; 1

Siendo: 1; 3; 4 1; 2; 3; 4

Por lo tanto: 2

Respuesta: es el conjunto { 2 }

4) Sea: B = {1; 2; 3; 4}

, ∈ . /

, ∈ . /

, ∈ . /

Hallar:

Solución:

Expresamos por extensión cada una de las relaciones dadas.

1; 1 ; 2; 2 ; 3; 3 ; 4; 4 ⟹ 4

2; 1 ; 3; 1 ; 3; 2 ; 4; 1 ; 4; 2 ; 4; 3 ⟹ 6

1; 2 ; 1; 3 ; 1; 4 ; 2; 3 ; 2; 4 ; 3; 4 ⟹ 6

Luego: 6 6 4 8

Respuesta: 8

5) Sea A = {a, b, c, 8, 13}. Consideremos la relación binaria R = {(a, b), (b, c), (8,

13)}

a) Completar la relación binaria R para que sea una relación de orden

b) Completar la relación binaria R para que sea reflexiva y transitiva, pero no

sea simétrica ni antisimétrica.

Matemática I

87

c) Completar la relación del apartado b) para que sea una relación de

equivalencia.

Solución:

1. En A = {a, b, c, 8, 13}. y la relación R = {(a, b), (b, c), (8, 13)}

Para qué R sea una relación de orden debe de ser reflexiva, antisimétrica

y transitiva.

o Para ser reflexiva necesitamos añadir todos los pares (x, x) para cualquier

x ∈ A. por lo que debemos agregar los pares:

(a, a), (b, b), (c, c), (8; 8) y (13; 13)

o La propiedad antisimétrica la conseguimos simplemente evitando que los

pares (x, y) e (y, x) con x R y aparezca a la vez en R. En este caso no es

necesario hacer agregado por que ya es antisimétrica

o Por último, para que satisfaga la propiedad transitiva hemos de añadir los

pares (x, z) siempre que en R estén los pares (x, y) e (y, z) para cuales

quiera x, y, z ∈ A. Como existen los pares (a, b) y (b, c) agregamos (a; c).

Respuesta: Por lo tanto el conjunto final es:

R = {(a, b), (b, c), (8, 13), (a, a), (b, b), (c, c), (8; 8), (13; 13), (a, c)}

2. Ahora queremos que sea reflexiva y transitiva pero que no sea ni simétrica,

ni antisimétrica, para ellos añadimos todos los pares (x, x) para cualquier x

∈ A y los pares (x, z) siempre que en R estén los pares (x, y) e (y, z) para

cualesquiera x, y, z ∈ A. Para evitar que sea antisimética basta con que

añadamos dos pares (x, y) e (y, x) con x R y. Por último la simétrica la

rompemos si cuando tengamos en R un par (x, y), el par (y, x) no esté en

R.

Respuesta:

R = {(a, b), (b, c), (8, 13), (a, a), (b, b), (c, c), (8; 8), (13; 13), (a, c),

(c, b)}

3. Para que la relación definida en el apartado b) sea una relación de

equivalencia debe de ser reflexiva, simétrica y transitiva. Como ya es

Matemática I

88

reflexiva y transitiva, sólo tenemos que añadir pares de manera que

también sea simétrica. Para ello basta con añadir el par (y, x) para cualquier

par (x, y) que esté en R.

Respuesta

R = {(a, b), (b, c), (8, 13), (a, a), (b, b), (c, c), (8; 8), (13; 13), (a, c),

(c, b), (b, a). (13, 8), (c, a) }

6) Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y consideremos la relación binaria R = {(1, 1), (1,

2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 2), (2, 5), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3,

5), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 5), (5, 8), (6, 6), (6, 8), (7, 7), (7,

8), (8, 8)}. Se pide: Comprobar que R determina un orden en A

Solución:

Realizando el análisis para cada tipo de proposición concluimos lo

siguiente:

Los pares (1; 1), (2;2), (3; 3), (4; 4), (5;5), (6; 6), (7; 7), (8;8) ∈ R, luego la

relación R es Reflexiva

Observando los pares ordenaos de la relación R nos damos cuenta que

1; 2 ∈ ∧ 2; 1 ∉ , luego R no es simétrica

Observamos que se cumple la propiedad ∧ ⟹ luego R es

transitiva

También podemos comprobar que R es antisimétrica

R no es relación de equivalencia porque no es simétrica.

Respuesta: R es una relación de orden porque es reflexiva, antisimétrica

transitiva y su grafico es:

Matemática I

89

4.2.1 Las Funciones Reales de Variable Real. En la página 88 del Texto Básico N° 1 se explica claramente que “una Función es un tipo especial de Relación que expresa cómo una cantidad (la salida) depende de otra cantidad (la entrada)”. En términos más genéricos podríamos decir, que la cantidad de salida es llamada “variable dependiente” y la cantidad de entrada es llamada “variable independiente”. Por ejemplo, la demanda de un producto (variable dependiente) está en función de su precio (variable independiente). Como vemos en este modelo, existen sólo dos variables que se relacionan. Sin embargo, cuando se analizan los modelos funcionales propios del campo administrativo, observamos que en muchos de ellos existe más de una variable que influye en la variable dependiente. Por ejemplo, el precio de un artículo depende del costo de producción, pero también de la publicidad o de otros factores que determinarán la fijación del mismo. Al primer modelo se le denomina de Funciones Reales de variable real (en singular) porque el campo numérico en el cual se desarrolla son los Números Reales y la variable independiente es una sola. Mientras que al segundo modelo se le denomina Funciones Reales de varias variables porque tiene más de una variable independiente.

4.2 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Matemática I

90

El desarrollo de esta asignatura se centrará en el estudio de Funciones Reales de variable real. La definición formal de Función lo encontrará en la página 88 del Texto Básico N° 1 o en la página 10 del Texto Básico N° 2.

4.2.2 Dominio y Rango de una Función Real de Variable Real. Como nuestro modelo se basa en la relación de sólo dos variables, una dependiente y otra independiente, lo podemos simbolizar de la siguiente manera: y f x . Donde y es la variable dependiente y x la variable independiente. Además, el modelo está formado por pares ordenados de la forma (x,y), donde el conjunto de valores de x forman el Dominio de la Función y el conjunto de valores de y forman el Rango de la Función. Uno de los propósitos fundamentales del análisis de una función es la determinación de su Dominio y de su Rango. Ejemplos de esta determinación de Dominio y Rango los vas a encontrar en las páginas 90 y 91 del Texto Básico N° 1 y en las páginas 13 y 14 del Texto Básico N° 2. Como la identificación del Dominio y Rango de una función es importante para el análisis funcional, desarrollaremos algunos ejercicios de la página 93 del Texto Básico N° 1. Dominio y Rango

1. f x

Solución. El dominio lo forman los valores de x. en la expresión x puede tomar todos los valores del conjunto de números reales menos el cero ya que la división entre cero no está definida.

Dom f x R 0

El rango lo forman los valores de yóf x ; para determinarlos debemos despejar la ecuación con respecto a x.

y8

x⇒ y

8

x ∴ Ran ⨍ x R 0

4. H z√

Matemática I

91

Los valores de Z deben ser mayores o iguales a cero; ya que si Z es negativo la raíz cuadrada no tiene respuesta real.

Z 0 ⇒ Dom H x 0; ∞⟩

Rango:

. √ 1

√1

1

1

Luego: 0

⇒ 0; ∞⟩

7.

Solución.

2 7 0

72

7

2

Rango:

9 9

2 7

2 7 9 9

2 9 9 7

Matemática I

92

2 9 9 7

9 7

2 9

Luego:

2 9 0 ∴

9

2

Valor numérico de la función El valor numérico de la función es la cantidad de resulta al remplazar el valor dado para x en la función dada.

13. f x 2x 1

Solución. 0 2 0 1 1

3 2 3 1 7

4 2 4 1 7

16. 7

Solución. 7

1 7 1 7 7

3 7 3 7 21

21.

Solución.

Matemática I

93

5 5 4

5 51

30

3 3 4

3 53 4

9 5

4

5

4

2 5

24.

Solución.

32 32 √32 2 4

64 64 √ 64 √ 2 4√4

Aplicación de las expresiones: a)

b)

25. 4 5

Solución.

a) 4 5 4 4 5

b) 4

28. 2 3 5

Solución.

Matemática I

94

a) 2 3 5 2 2 3 5 2 4 2 3 3 5

b) 4

4 2 3

4 2

4 2 3

Planeamiento del problema. 42. Si una máquina de $ 30.000 se deprecia en un 2% de un valor original cada

año, determine una f que exprese el valor, V; de la máquina después que han transcurrido t años.

Solución Valor de la máquina $30,000 Valor de la diferenciación: 0.02 (30.000) = 600 ∴ v t 30.000 600t

Actividades: De las páginas 93 y 94 del Texto Básico N° 1. 1. Resolver los ejercicios de Dominio y Rango N° 2, 5, 7 y 8 2. Resolver los ejercicios de Valor Numérico N° 13, 15, 18, 21 y 24 3. Resuelva los problemas N° 25, 28, 30 y 31 aplicando las fórmulas que se

indican 4. Realice el modelo funcional que se solicita en los ejercicios 41, 43 y 45

4.2.3 FUNCIONES POLINOMICAS

De todos los modelos funcionales, los Polinómicos son los más utilizados, especialmente el modelo Lineal y el modelo Cuadrático. Así mismo, las Funciones Exponenciales y Logarítmicas son de utilidad en el campo administrativo.

Matemática I

95

4.2.3.1 La Función Lineal. La Función Lineal recibe este nombre debido a que su gráfica es una línea recta. Por esta razón, el Texto Básico N°1, a partir de su página 128 nos presenta el análisis de la Función Lineal a través del estudio de la recta. La característica de mayor relevancia en una recta es su inclinación, la cual se puede medir a través de la noción de pendiente. La definición precisa de pendiente, la encuentras en la página 128 del texto Básico N° 1, así mismo, vas a encontrar las formas de determinar la Ecuación de la Recta. A manera de ejemplo, desarrollaremos algunos ejercicios de las páginas 134 y 135 del Texto Básico N° 1: Pendiente de la Recta. 1. 1; 4 ; 7,10

Solución.

10 1

7 49

33

6. 0, 6 , 3,0

Solución.

0 6

3 06

32

Ecuaciones Generales de la Recta.

12. Pasa por 52 , 5 y tiene pendiente

Solución.

51

352

3 155

2

6 30 2 5

Matemática I

96

2 6 35 0

20. Tiene pendiente 0 y su intersección el eje y es 12

Solución

Interseccióncony: 0, 12 m 0

12 0 0

1

20

2 1 0

Pendiente e intersección con el eje de Y

26. x 1 5

Solución. x 6

La recta es vertical y pasa por el punto x 6 Por lo tanto no tiene pendiente y no intersecta al eje Y

27. x 2y 3 0

Solución. Despejemos Y en la ecuación.

2 3

3

2→

3

2

1

2

∴ La pendiente es : m ylaintersecciónconelejeyes 3 2

32. y 7 3 x 4

Solución. Despejemos y

Matemática I

97

3 12 7 → 3 5

∴ m 3interseccióny 5 Rectas paralelas o perpendiculares. Observación: a) Dos rectas son perpendiculares cuando tienen pendientes iguales

‖ ↔

b) Dos rectas son perpendiculares cuando la pendiente de una de ellas es

inversa negativa de la otra.

↔ 1

42. y 4x 3; y 5 4x

Solución. Si : 4 3 ⇒ 4 Si : 5 4 ⇒ 4 ∴ Son paralelas porque sus pendientes son iguales.

46. x 2y 0; x y 4 0

Solución.

: 2 0 ⇒ 1

2 ⇒

1

2

: 4 0 ⇒ 4 ⇒ 1

∴ No son ni paralelas ni perpendiculares, porque sus pendientes no cumplen ninguna de las condiciones.

49. 3x y 4; x 3y 1 0

Solución. :3 4 ⇒ 4 3 ⇒ 3

: 3 1 0 ⇒ 1

3

1

3⇒

1

3

Matemática I

98

∴ Son perpendiculares porque m

Actividades: De las páginas 134, 135 y 136 del Texto Básico N° 1 1. Determine la Pendiente de la Recta de los ejercicios N° 3, 6 y 8 2. Determine la Ecuación General de la Recta de los ejercicios N° 11, 15, 16 y

17. 3. Determine si las rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos

en los ejercicios N° 43, 45 y 49

4.2.3.2 La Función Cuadrática.

A partir de la página 144 del Texto Básico N° 1 encontrarás el análisis de la Función Cuadrática. Lo más resaltante es su modelo funcional que tiene la siguiente forma: y ax bx c Donde a, b y c son números reales y además a debe ser diferente de cero. La Función Cuadrática tiene como gráfica una parábola, siendo su vértice el punto más importante, puesto que determina un valor máximo (a < 0) o un valor mínimo (a > 0). A continuación desarrollaremos algunos ejemplos sobre las características de la Función Cuadrática: Funciones Cuadráticas. Observación: Una función es cuadrática cuando el mayor exponente de la variable es igual a 2. 1. 5

Solución: Es cuadrática.

4. 5 25 5 1

Solución

Matemática I

99

5 25 25

No es cuadrática porque el mayor exponente es 4. Parábola. 9. a) Para la parábola f x 4x 8x 7 encuentre el vértice.

b) ¿El vértice corresponde al punto más bajo o más alto de la gráfica?

Solución a) 4 8 7

4 2 1 7 4

4 1 1 11

11

411

Luego el vértice es: V 1; 11

b) El vértice es el punto más alto.

14. y 4x

Solución. 4

4⇒

1

4

Vértice: V 0,0 Intersecciones: Si x 0 ⇒ y 0

Punto de intersección con los ejes (0,0) Rango: Ran y ⟨ ∞,0

Actividades: De las páginas 149 y 150 del Texto Básico N° 1 1. Establezca si la función es Cuadrática o no en los ejercicios N° 2, 3 y 6

Matemática I

100

2. Resuelva los problemas 9 y 12

3. Obtenga el vértice, las intersecciones y el Rango de los ejercicios 14, 18 y 21.

4. Establezca si la función tiene valor máximo o mínimo en los ejercicios 23 y

25.

Matemática I

101

4.2.4 LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

4.2.4.1 La Función Exponencial

La Función Exponencial es aquella en la que la variable se encuentra como exponente en la expresión. A partir de la página 182 del Texto Básico N° 1 se analiza esta función. El modelo funcional es el siguiente: f x b Donde b es un número real mayor que cero y diferente de uno. Uno de los aspectos más importantes de esta función es determinar su gráfica. A manera de ejemplo desarrollaremos ejercicios de la página 192 del Texto Básico N° 1 Grafico de la Función Exponencial. Se realiza un cuadro de tabulación.

5. y f x 2

Tabulación

x y

0 2

1 12

2 18

-1 8

-2 32

Actividades: De la página 192 del Texto Básico N° 1 1. Grafique las funciones de los ejercicios N° 1, 3 y 8

Matemática I

102

4.2.4.2 La Función Logarítmica Las Funciones Logarítmicas están relacionadas con las Funciones Exponenciales. Por ejemplo. Podemos decir que si la Función Exponencial tiene como base el número 2 (b=2) entonces la Función Logarítmica de base 2 es una Función Inversa a la primera. En el Texto Básico N° 1 encontrarás el estudio de la Función Logarítmica a partir de la página 195. Veamos algunos ejemplos de los ejercicios planteados en la página 201: 1. 10 10000

Solución log10000 4 3. log 64 6

Solución 2 64 Gráfico de la Función Logarítmica. 13. f x log x 4

Tabulación

x y

5 0

6 1

8 2 92 -1

174 -2

Evaluación.

24. log √2

Matemática I

103

Solución

√2 1

2⇒ 2 √2

26. log

Solución

1

25 2 ↔ 5

1

5

1

25

Hallar 30. 8

Solución log x 8 ↔ 2 x ⇒ x 256

43. 6 2

Solución 6 2 ↔ 6

Resolver las ecuaciones: 6 0

3 2 0

3 2

48. 30 4 2 ↔ 30 4

2 4 30 0

2 15 0

5 3 0

5 3 Actividades: De la página 201 del Texto Básico N° 1

Matemática I

104

1. Exprese cada forma logarítmica de manera exponencial y cada forma

exponencial de manera logarítmica de los ejercicios N° 2, 4, 7 y 8 2. Grafique las funciones de los ejercicios N° 9 y 11 3. Evalúe las expresiones de los ejercicios N° 18, 21, 24 y 26 4. Encuentre el valor de x de los ejercicios N° 33, 36, 38 y 44

Las funciones recientemente estudiadas son modelos que tienen una gran aplicación en el campo administrativo. Siendo ustedes estudiantes de la Facultad de Ciencias Administrativas, estarán de acuerdo en considerar esta parte de la Unidad como la más importante de su formación profesional. A continuación desarrollaremos algunos problemas.

4.3.1 Problemas del modelo Lineal.

Las aplicaciones lineales se pueden estudiar de la página 136 a la 143 de nuestro Texto Básico N° 1. Les presentamos un problema resuelto de la página 142. Problema 16. La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de 26.000

ejemplares cuando el precio es de $16 cada uno, y de 10.000 libros cuando el precio es de $24 cada uno. Determine una ecuación de demanda para el libro, suponiendo que aquella es lineal.

Solución. Si suponemos que la demanda es lineal, aplicamos la fórmula de la ecuación e la recta cuando se conocen 2 puntos: Los puntos son: 26000; 16 10000; 24 Luego:

4.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN EN LAS CIENCIAS DE LOS NEGOCIOS

Matemática I

105

1624 16

10000 26000 26000

16 8

16000 26000

16 0.0005 26000

0.0005 13 16

0.0005 29

0.0005 29

5800 200

Actividades: De la página 142 del Texto Básico N° 1 1. Resuelve los problemas impares

4.3.2 Problemas del modelo Cuadrático Las aplicaciones cuadráticas se pueden estudiar de la página 148 a la 151 de nuestro Texto Básico N° 1. Les presentamos algunos problemas resueltos de la página 150. Problema. 28. La función de demanda para una línea de reglas de plástico e una compañía

de artículos de oficina es p=0.9-0.0004q, en donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (diarias). Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante y determine este ingreso. Solución. La función de ingreso y = precio x cantidad.

Luego 0.9 0.0004

Matemática I

106

0.9 0.0004

Luego: 0.0004q 0.9q y Multiplicamos la ecuación por 2500

q 2250q 2500y 2500y

Completamos cuadrados: q 2250q 1265625 1265625

Luego

q 1125 0 2500 p 506.25 El vértice es V 1125; 506.25 , siendo el mayor valor por lo tanto el nivel que maximiza el ingreso es y 506.25dólares.

Actividades: De la página 150 del Texto Básico N° 1 1. Resuelve los problemas impares

4.3.3 Problemas del modelo Exponencial y Logarítmico. Las aplicaciones del modelo Exponencial se pueden estudiar de la página 186 a la 194 de nuestro Texto Básico N° 1. Y las aplicaciones del modelo Logarítmico se pueden estudiar de la página 200 a la 201. Les presentamos algunos problemas resueltos. Problemas. Formula del interés compuesto s p 1 r 19. $4000 durante 7 años a 6% compuesto anualmente.

Solución a) s 4000 1 0.06

s 6014.52

b) Interés compuesto: I S P

Matemática I

107

I 6014.52 4000

I 2014.52

60. La ecuación de oferta de un fabricante es p log 10 donde q es el número

de unidades ofrecidas con el precio p por unidad. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 1980 unidades?

Oferta: p log 10

Si q = 1980 ⇒ p log 10

p log 10 990

p log 1000

p 3

Actividades: 1. Resuelve los problemas 21, 25, 26 y 29 de la página 193 del Texto Básico N°1 2. Resuelve el problema 59 de la página 201 del Texto Básico N° 1

Matemática I

108

EVALUACION N° 4

1. Dada la siguiente función F determine “x + y “

5; 2 , 7; 2 , 5; 3 , 7; 4

2. Determine el dominio y rango de las siguientes funciones definida sobre los

números reales

a) 2 2

b)

3. Grafique las siguientes funciones definida sobre los números reales

a) 4 8 12 0

a) 3 4 12

4. La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de 5 000 ejemplares cuando el precio es de S/. 15 cada uno, y de 3 000 libros cuando el precio es de S/. 20 cada uno. Determine una ecuación de demanda para el libro, suponiendo que aquella es lineal.

5. La función de demanda para un cierto artículo es q = 11000 – 400 p , en donde p es el precio (en soles) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (diarias). Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricane y determine este ingreso.

Matemática I

109

RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES

PREGUNTA

1 2 3 4 5

Evaluación 1 63 2

5 70 45

Evaluación 2

Las respuestas son FFVVV

Luego son 3 verdaderas(x – 3) / – 2

4

Evaluación 3

140

299

⟨ ∞;5

4⟩

∞; 4

1era. 3000 2da. 5000 3ra. 1500

540 x = 20 x = 15

Evaluación 4 3

a) 2; ∞

b) 4 2

0.0025 27.5 5500 75625

Matemática I

110

G L O S A R I O

Asociativa: Las “leyes Asociativas” quieren decir que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.

Conjunto: es una colección de objetos. Cada objeto que forma el conjunto se denomina elemento.

Conjunto Numérico: Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.

Conmutativa: Las “Leyes Conmutativas” sólo quieren decir que puedes intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a ser la misma.

Distributiva: Es la propiedad que permite eliminar los paréntesis cuando se presenta un producto de un número por una expresión binomial.

Ecuaciones: Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Elemento Inverso Multiplicativo: Es el que multiplicado por un número racional, hace que su producto sea el elemento neutro.

Elemento Neutro: Es un elemento e del conjunto, tal que para cualquier otro elemento a del conjunto se cumple: a * e = e * a = a. Es decir, tiene un efecto neutro al ser utilizado en la operación.

Factor Común: Es un factor que se presenta en dos o más términos algebraicos, puede ser numérico o literal.

Factorización: La factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores) (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que al multiplicarlos todos, resulta el objeto original.

Función: Dados dos conjuntos A y B, l lamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A t ienen una y solo una imagen en B, Función real de variable real: Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los

Matemática I

111

números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R Inecuaciones: Una inecuación es una desigualdad (mayor o menor) que se presenta cuando se comparan dos expresiones algebraicas. Intervalos: Es un conjunto de números reales comprendidos entre dos números reales llamados extremos que pueden pertenecer o no al intervalo. También podemos decir, que un intervalo es un subconjunto de los números reales.

Números Enteros (Z): Los números enteros son los números naturales, los negativos y el cero. Los números enteros no tienen ni principio ni fin.

Números Racionales (q): Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios. Se les designa por Q y se les denomina Conjunto de Números Racionales.

Número Racional: Es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es frecuentemente fraccionario.

Números Irracionales (i): Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicos.

Números Reales: Son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales como a los números irracionales.

Relación Binaria: R es una relación binaria de A en B si y solo si R es un subconjuntos del producto cartesiano AxB

Relación Reflexiva: Una relación R es reflexiva en un conjunto no vacío A, si cada elemento de él está relacionado consigo mismo.

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