Matematica Basica i

MATEMATICA BASICA I

1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ

Vicerrectorado de Investigación

MATEMÁTICA BÁSICA I

TINS Básicos

INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA,

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA,

INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA NAVAL, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA ECONÓMICA,

INGENIERÍA MECÁNICA

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

Lima - Perú

MATEMATICA BASICA I

2

© MATEMÁTICA BÁSICA I Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación

Modificación y Complementación : Dr. José Reategui Canga

Diseño y Diagramación : • Julia Saldaña Balandra

• Fiorella Espinoza Villafuerte

Soporte académico : Instituto de Investigación Producción : Imprenta Grupo IDAT

Tiraje 3 A / 1600 / 2008-II

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y

transformación de esta obra.

MATEMATICA BASICA I

3

“El presente material contiene una compilación de contenidos

de obras de Matemáticas publicadas lícitamente,

acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del

profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser

empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución.

Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes

de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines

didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc.

A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de

Autor”.

MATEMATICA BASICA I

4

MATEMATICA BASICA I

5

PRESENTACIÓN

La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las

Ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la

base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo.

La Ingeniería como expresión de la tecnología, se erige sobre la base de

los diferentes espacios de la creación matemática y del pensamiento de

la humanidad.

De allí que, en la formación académica de Ingenieros, se debe privilegiar

el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes

firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

En esta proyección se ha desarrollado el presente texto de instrucción,

dirigido a estudiantes de Ingeniería, de las Carreras de Ingeniería de:

Sistemas, Industriales, Electrónica, Mecatrónica, Telecomunicaciones,

Automotriz, Aeronáutica, Marítima, Textil, Naval y de Software; para la

Asignatura de Matemática Básica I.

El texto en mención plasma la preocupación institucional de innovación

de la enseñanza-aprendizaje en educación universitaria, que en

acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos,

actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos.

MATEMATICA BASICA I

6

Esta segunda edición modificada y complementada por el Dr. José

Reategui Canga, prolijamente recopilada de diversas fuentes

bibliográficas de uso frecuente en la enseñanza-aprendizaje de la

Matemática, está ordenada en función del sillabus de la Asignatura arriba

mencionada; presenta la siguiente estructura temática:

Conjuntos y Lógica Matemática Básica. Conjuntos numéricos que

permiten aclarar las nociones de números y su clasificación en naturales,

enteros, racionales, irracionales hasta completar los reales.

Ecuaciones e Inecuaciones que son básicas para el estudio del

Álgebra.

Relaciones Binarias que son fundamentales para la comprensión de las

funciones básicas al estudio de la Geometría Analítica.

Los Lugares Geométricos: rectas y circunferencias conectan a

nociones algebraicas que permiten entrar en los delicados temas de las

cónicas: parábolas, elipses e hipérbolas; y de las familias básicas de

rectas y circunferencias.

MATEMATICA BASICA I

7

Se completa el texto con una Introducción a las Coordenadas Polares.Todo este material permitirá conectar a problemas varios dentro

de la carrera.

Finalmente el reconocimiento Institucional al Dr. José Reategui Canga

por su meritoria dedicación, a la preparación de esta segunda edición.

Su esfuerzo y dedicación académica será identificada al glosar las

páginas del texto, en el camino de entendimiento de la matemática

universitaria.

Lucio Heraclio Huamán Ureta

VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN

MATEMATICA BASICA I

8

MATEMATICA BASICA I

9

ÍNDICE

I. Conjuntos y Lógica .............................................................. 15

II. Breve presentación de los Conjuntos Numéricos ................. 43

III. Números Reales................................................................... 67

IV. Recta y Circunferencia ......................................................... 109

V. Cónicas................................................................................. 141

VI. Miscelanias de Ejercicios...................................................... 187

VII. Coordenadas Polares........................................................... 201

Bibliografía ...................................................................................... 233

MATEMATICA BASICA I

10

MATEMATICA BASICA I

11

DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA

CLASE Nº CONTENIDO SEMANA

1

Capítulo I. CONJUNTOS Y LÓGICA 1.1 DEFINICIÓN 1.2 IGUALDAD 1.3 SUB-CONJUNTOS 1.4 CONJUNTO DE LAS PARTES 1.5 UNIVERSOS 1.6 FAMILIA – COLECCIÓN – SISTEMA – CLASE 1.7 OPERACIONES DE CONJUNTOS 1.7.1 Unión 1.7.2 Intersección 1.7.3 Complemento 1.7.4 Diagramas 1.7.5 Grafos

1

2

1.8 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 1.9 LÓGICA 1.9.1 Enunciados 1.9.2 Proposiciones 1.9.3 Conectivos 1.9.4 Valor de la verdad 1.9.5 Tautología y Contradicción 1.9.6 Relaciones del Álgebra Proposicional 1.9.7 Funciones Proposicionales 1.9.8 Cuantificadores EJERCICIOS PROPUESTOS N°01 Capítulo II. BREVE PRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: N 2.2. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Z 2.3 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES: Q 2.4. EL CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES: Q´ Ó II

2

3

2.4.1 Irracionales algebraicos 2.4.2 Números trascendentales 2.5. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES: IR 2.6 RELACIONES 2.6.1 Las relaciones se presentan en todas las áreas del

conocimieno 2.6.2 Relaciones binarias 2.6.3 Propiedades 2.6.4 Relaciones de equivalencia 2.6.5 Clases de equivalencias 2.6.6 Relaciones de orden 2.6.7 Buena ordenación 2.6.8 Relaciones funcionales 2.6.9 Función

3

MATEMATICA BASICA I

12

EJERCICIOS PROPUESTOSN°02 Capítulo III. NÚMEROS REALES 3.1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 3.1.1 Definición 1 3.1.2 Proposición 1 3.1.3 Proposición 2 3.1.4 Proposición 3 3.1.5 Colorario 1 3.1.6 Proposición 4 3.1.7 Ejercicios 3.1.8 Proposición 5 3.1.9 Proposición 6 3.1.10 Proposición 7 3.1.11 Ejercicio 3.1.12 Proposición 8 3.1.13 Proposición 9

4

EJERCICIOS RESUELTOS N°01 EJERCICIOS PROPUESTOS N°03 3.2. DESIGUALDADES E INTERVALOS 3.3. PROPIEDADES GENERALES

4

5

3.4. INTERVALOS EN R 3.5 OPERACIONES CON INTERVALOS EJERCICIOS RESUELTOS N°02 3.6. INECUACIONES DE 2° GRADO

3.6.1 Método de factorización 3.6.2 Método por complementación de cuadros

EJERCICIOS RESUELTOS N°03 EJERCICIOS RESUELTOS N°04

5

6

3.7. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL 3.7.1 Definición 3.7.2 Propiedades generales de valor absoluto

EJERCICIOS RESUELTOS N°05 3.8. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

6

7

3.9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 3.10. SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO EJERCICIOS PROPUESTOS N°04 3.11. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA EJERCICIOS PROPUESTOS N°05 EJERCICIO PROPUESTOS N°06 EJERCICIOS RESUELTOS Nº06

7

8 3.12. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA Y

PENDIENTE DE UNA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS N°07

8

9

Capítulo IV. RECTA Y CIRCUNFERENCIA 4.1 LA ECUACIÓN DE LA RECTA: DIVERSAS FORMAS

DE SU ECUACIÓN 4.2 ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA

9

MATEMATICA BASICA I

13

CLASE

Nº CONTENIDO SEMANA

10 EXAMEN PARCIAL 10

11

4.3 FAMILIAS DE RECTAS 4.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS N°08 EJERCICIOS RESUELTOS N°07 EJERCICIOS PROPUESTOS N°09 EJERCICIOS PROPUESTOS N°10

11

12

4.5 LA CIRCUNFERENCIA 4.5.1 Definición 4.5.2 Elementos 4.5.3 Ecuaciones de la circunferencia 4.5.4 Familias de circunferencias EJERCICIOS PROPUESTOS N°11

12

13

Capítulo V. CÓNICAS 5.1 SECCIÓN CÓNICA O CÓNICA 5.2 PARÁBOLA 5.2.1 Elementos 5.2.2 Ecuaciones de una parábola 5.2.3 Öbservaciones 5.2.4 Ecuaciones general de la parábola

13

14

5.3 LA HIPÉRBOLA 5.3.1 Definición 5.3.2 Observaciones 5.3.3 Ecuaciones de la hipérbola 5.3.4 Hipérbolas conjugadas 5.3.5 Ecuación general de la hipérbola

14

15

5.4 LA ELIPSE 5.4.1 Definición 5.4.2 Elementos 5.4.3 Ecuaciones de la elipse 5.4.4 Observaciones 5.4.5 Forma general 5.4.6 Casos que se presentan 5.4.7 Ejercicios propuestos

15

16 y 17

Capítulo VI. MISCELANEA DE EJERCICIOS 6.1 LÍNEAS RECTAS. EJERCICIOS RESUELTOS 6.2 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.3 CIRCUNFERENCIA 6.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5 PARÁBOLA

16 y 17

MATEMATICA BASICA I

14

Capítulo VII. COORDENADAS POLARES 7.1 CONCEPTO 7.2 REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN COORDENADAS

POLARES 7.3 DEFINICIÓN 7.4 PASAR DE UN SISTEMA DE COORDENADAS A

OTRO 7.5. ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA

18

7.6 GRAFICAS DE FUNCIONES EN COORDENADAS POLARES

18

19 EXAMEN FINAL 19

4

MATEMATICA BASICA I

15

I. CONJUNTOS Y LÓGICA

1.1 DEFINICIÓN.- Un conjunto se describe como una lista o colección

de objetos llamados elementos o miembros, siendo números;

letras; funciones, etc.

De la nominación ya sea de la lista o colección se desprende un

criterio de pertenencia que permite establecer una relación

denotada ∈, escribiéndose:

a∈A si a es elemento o miembro de A o de lo contrario:

a∉A si a no es miembro de A

Ejemplos:

A = {a, b, c, d, e}; a∈A, b∈A, etc.

B = {b1 , b2 , ....... , b12}; b1∈B, b2∈B, etc.

C = {p es un número primo}; 5∈C, 7∈C, 8∉C, 12∉C, etc.

De ordinario los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B,

X, Y, Z, …... y los elementos con minúsculas a, b, x, y, t, u, v, …..

1.2 IGUALDAD.- Dos conjuntos A y B son iguales:

A = B

Si consisten de los mismos elementos. De lo contrario:

MATEMATICA BASICA I

16

A ≠ B

1.3 SUB-CONJUNTOS.- A es subconjunto de B o es parte de B, (o

está contenido) se denota: A ⊆ B ó B ⊇ A si cada elemento de A

es también elemento de B. De lo contrario A B ó B A.

Podemos observar que:

i) La relación ⊆ es de “contenido amplio” de modo que todo

conjunto está en la relación consigo mismo: ∀ A ⊆ A. Esto

es, una relación reflexiva.

ii) Cuando B ⊆ A pero B ≠ A se restringe a la relación

“contenido restringido o propio ⊂: B ⊂ A. Luego A es sub-

conjunto impropio de si mismo.

iii) (A ⊆ B y B ⊆A) ⇒ A = B propiedad antisimétrica

iv) (A ⊆ B y B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C propiedad transitiva

v) Es conveniente introducir el “conjunto vacío ∅ que se

considera sub-conjunto de cualquier otro: ∀ A: ∅ ⊆ A

1.4 CONJUNTO DE LAS PARTES.- Todas las partes de un conjunto

A son elementos de un nuevo conjunto P(A) que se llama el

“conjunto de las partes de A” o conjunto potencia.

Esto es:

∀ B ⊆ A ↔ B ∈ P(A)

MATEMATICA BASICA I

17

En particular:

A ⊆ A → A ∈ P(A)

A es elemento de P(A)

Lo que nos dice que todo conjunto es elemento de alguno otro.

Esta restricción se conoce como el axioma de las partes: “A todo

conjunto A le corresponde otro conjunto, sea P(A) cuyos

elementos son todas las partes de A”

La inoperabilidad de esto da lugar a las “Clases”.

Ejemplos

1. Si A={a,b}:

{ } { }{ }

P(A) a , b

a, b

⎧∅⎪

= ⎨⎪⎩

Hay 22 = 4 sub-conjuntos de A que forman P(A).

2. B={α, β, γ} :

{α}, {β}, {γ}

P(B) ={α,β}, {α, γ}, {β, γ}{α,β, γ} = A

∅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Hay 23 = 8 sub-conjuntos de B que forman P(B).

MATEMATICA BASICA I

18

1.5 UNIVERSOS. Para las aplicaciones los conjuntos concernientes a

un estudio o proceso son mirados como sub conjuntos de uno

mayor U ó X que contiene a todos los del estudio, al que se le

llama el “Universo del discurso” o simplemente un universo.

Ejemplo:

Cuando se trabaja con números y conjuntos naturales, el universo

apropiado es N. Cuando entran los enteros positivos y negativos

tomamos a Z (todos los números enteros). Para procesos

discretos se suele tomar como universo a Q (los racionales) y a

veces a R (los reales).

Es decir, para un mismo sistema se puede considerar más de un

universo. Veremos como en cada universo se puede hablar de un

álgebra de conjuntos con propiedades de interés.

1.6 FAMILIA – COLECCIÓN – SISTEMA – CLASE. Cuando los

miembros de un conjunto S son a su vez conjuntos se suele usar

el término de familia, de sistema, colección o aún clase.

Ejemplo:

La familia de topologías separadas, la colección de

circunferencias de centro <h, k>; el sistema de intervalos semi-

cerrados.

MATEMATICA BASICA I

19

Aunque la “clase”, se reserva para una extensión de los conjuntos,

sin embargo se puede usar para determinar algunas colecciones.

Así, se puede decir: la clase de los espacios Rn, la clase de los

conjuntos finitos, etc.

1.7 OPERACIONES DE CONJUNTOS. Se tienen 3 operaciones

básicas:

Unión con símbolo ∪

Intersección ∩

Complemento C

1.7.1 Unión: A ∪ B es el conjunto formado por los elementos

que pertenecen a A ó a B

Ejemplo:

A = los números impares

B = los pares

A ∪ B = {impares o pares} = {todos los números enteros}

1.7.2 Intersección: A ∩ B es el conjunto formado por los

elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo.

En el ejemplo anterior de impares y pares A ∩ B = ∅ se

dice en este caso que los conjuntos son disjuntos.

MATEMATICA BASICA I

20

Las operaciones de unión e intersección pueden

extenderse a familias de conjuntos.

Si {Ai}i∈J es una familia finita o infinita se define:

iJiA

∈∪ = conjunto de elementos que pertenecen a uno por lo

menos de los Ai

iJiA

∈∩ = conjunto de los elementos que pertenecen a todos los Ai

Ejemplo:

Sea Bi = intervalo abierto ( )i1

i1 2, − i ≥ 2

Aquí J = los enteros ≥ 2

Se tiene:

iJiB

∈∪ =(0, 2) intervalo abierto

( )23

21

iJi,B =∩

∈ intervalo abierto

1.7.3 Complemento. Supongamos que el conjunto A está dentro

de un universo X. Se define el complemento:

CA=A’=X–A los elementos de X que no pertenecen a A

Ejemplo:

Tomemos como universo X: los habitantes de una región y

por A los analfabetos. Su complemento es: A’=X-A está

formado por los que saben leer.

MATEMATICA BASICA I

21

Ejercicios para Resolver

1. Sea A el conjunto de los árabes, C el de los chinos.

Determinar un universo X en el cual esten sumegidos

A y B. ¿Cuál serían A’, C’, A∪C y A∩C?

2. Sea L el conjunto de leones, T los tigres y A las

águilas. Dar un universo X que no contenga los peces

ni las aves de corral. ¿Cuál es L’, T’∪A’?

3. Dar dos universos diferentes donde se pueda incluir a

los enteros Z.

1.7.4 Diagramas. Para tener un esquema visual Venn ideó

diagramas: los conjuntos A, B, …..., del discurso dentro de

un rectángulo grande que represente un universo:

X X

X

A B A B

A AB B

A´

A

MATEMATICA BASICA I

22

1.7.5 Grafos: Cuando se trata de los sub –conjuntos o partes de un

conjunto A, el universo puede ser el conjunto potencia P(A)=B, el

cual con las operaciones ∪, ∩ y complemento forman una Algebra

de Boole, con representación de grafo de Hasse. (Ver ejemplos).

Si el número de elementos de A es pequeño, su Algebra de

Boole P(A) puede representarse por un grafo de Hasse

simple. (Ver ejemplos).

Ejemplos:

2. A={1} tiene un solo elemento:

B’=P(A)=P{1} tiene 2 elementos: ∅ y A={1}.

Su Hasse es el par 0 que representa a ∅ y 1: 1

0| B’ es el soporte básico de la lógica bivalente

2. A={a, b} tiene 2 elementos

B2=P{a, b}={∅, {a}, {b}, A={a, b}} tiene 4=22

elementos... Los átomos son 2: a y b que cubren a

∅=0. Su Hasse es:

a y b son elementos complementarios.

A 1

a b

MATEMATICA BASICA I

23

B2 es isomorfo a B2 el cuadrado de B’:

(1, 1)

(0, 1) (1, 0)

(0, 0)

3. A={α, β, γ} ejemplo 1.4.2

B3=P(α, β, γ)={∅, α, β, γ, {α, β}, {α, γ}, {β, γ}, {α, β, γ}=A}

Los átomos son los subconjuntos de 1 elemento

{α, β, γ}=A. El número de elementos de B3 es

2|A|=23= 8. El grafo de Hasse:

{α, γ}{β, γ}{γ}

{α}{β}0

{α,β}

1 Α={α, β, γ}

Son complementarios los elementos diametralmente

opuestos como {α} con {β, γ}, etc.

B3 es isomorfo al producto B3.

MATEMATICA BASICA I

24

1.8 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS. La igualdad =; las operaciones ∪,

∩ y el complemento hacen de todo universo X un “álgebra” que

satisface las leyes o propiedades:

Dual

1) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Asociatividad

2) A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

Commutatividad

3) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

Distributividad

4) A∪∅=A A∩X=A

Unidades: ∅ y X (el universo usado).

5) ∅’=X X’=∅

Complemento de unidades (Recíprocas)

6) A∪X=X A∩∅=∅

Acción de recíprocas

7) A∪A’=X A∩A’=∅

Complementos. Acción doble y rígida.

MATEMATICA BASICA I

25

8) A∪A=A A∩A=A

Ídem potencia

9) A∪JiiJi

B∈∈∩=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∩ (A∪Bi) y A∩

JiiJiB

∈∈∪=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∪ (A∩Bi)

Distributividad generalizada de la propiedad 3

10) jLjjLj'A'A

∈∈∩=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∪ jLjjLj

'A'A∈∈∪=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∩

Leyes de Morgan.- Para 2 conjuntos dan:

(A1∪A2)’=A’1∩A’2 (A1∩A2)’=A’1∪A’2

1.8.1 Dualidad. Toda expresión tiene su dual que se obtiene

intercambiando las operaciones∪, ∩ y el universo X con ∅

y viceversa.

Esto aparece a derecha en la Leyes de 1.8.


Si A ⊆ B : Probar por diagramas

1. A∩B=A

2. A∪B=B

3. B’⊆A’

4. A∩B’=∅

5. A’∩B’=B’; A’∪B’=A’

MATEMATICA BASICA I

26

1.9 LÓGICA Los conjuntos emplean la lógica clásica o bivalente cuyo soporte o

rango es el par:

L2 = {0, 1}

Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad o

contradicción.

La matemática exige un razonamiento válido deductivo o inductivo

de absoluta claridad de modo a comprender y aplicar

debidamente las definiciones, proposiciones y teoremas libres de

complicaciones y ambigüedades.

En esta sección vamos a revisar elementos básicos de la Lógica

simbólica y el Calculo Proposicional.

1.9.1 Enunciados Son fraces que sirve para comunicarnos.

Ejemplos:

1. ¿Dónde estuviste?

2. Siéntate a ver la televisión.

3. Los niños son traviesos.

4. 51 es un número primo.

Las 2 primeras no son verdaderas ni falsas: i es una

pregunta y ii es una indicación. Las 2 últimas pueden ser

verdaderas o falsas; frases de este tipo se conoce como:

MATEMATICA BASICA I

27

1.9.2 Proposiciones Una proposición es toda frase sobre la cual podemos

afirmar que es verdadera o falsa. Las representaremos con

letras minúsculas p1, p2, …., q1 …, r, s, t, …

Ejemplos:

p1. Los alumnos de la U.T.P son estudiosos.

p2. Los números primos terminan en 2 como: 12, 32, …

q1. Rosa es bella.

r. Está garuando.

s. 2 1.5=

Cada una es una proposición pues podemos afirmar su

verdad o falsedad.

Negación de proposiciones. La negación de la

proposición p es ∼p que se lee no p (Se denota también por

7p).

Ejemplos:

q : Rosa es bella.

∼q : Rosa no es bella.

s : =2 1.5

∼s : 2 no es 1.5 o simplemente ≠2 1.5 .

MATEMATICA BASICA I

28


1. Dar 10 enunciados.

2. ¿Cuáles son proposiciones? Representar con letras.

3. Negar las que son proposiciones. ¿Cuál es la negación

de ∼q?

Proposiciones Compuestas.- Las proposiciones se enlazan

o relacionan unas con otras para generar las llamadas

proposiciones compuestas mediante los elementos de

enlace llamados conectivos.

1.9.3 Conectivos Para relacionar 2 o más proposiciones se emplean los

llamandos enlaces conectivos entre los cuales están:

1. Conjunción con símbolo ∧ y que enlaza proposiciones

con la letra “y”. Por ejemplo:

p : Juan estudia música.

1. q : Juan es menor de edad.

p ∧ q: Juan estudia música y es menor de

edad.

r : Está nevando.

2. s : Hace mucho frío.

r ∧ s: Está nevando y hace mucho frío.

MATEMATICA BASICA I

29

2. Disyunción con símbolo ∨, enlaza proposicones con la

letra “o”.

Ejemplos: t : Compro diez cuadernos.

1. u : Compro un pantalón.

v : Voy al concierto.

t∨u∨v: Compro diez cuadernos o compro un

pantalón o voy al concierto.

p1 : tomas té

2. p2 : tomas café

p1∨p2 : tomas té o tomas café

3. Implicación o condicional con símbolo →; enlaza 2

proposiciones p y q con las palabras: si p… entonces

q.

Ejemplos:

p : =4 2.5

1. q : 7 + 3 = 11

p → q: Si =4 2.5 entonces 7 + 3 = 11

r : Mañana va llover.

2. s : No iremos al campo.

r → s: Si mañana va llover entonces no

iremos al campo.

MATEMATICA BASICA I

30

4. Biconcional o doble implicación o equivalencia con

símbolo ↔; enlaza las proposiciones p y q con las

palabras: p si y sólo q; lo cual se puede expresar

también por la frase: “si p entonces q y si q entonces

p”, esto es:

p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p)

Ejemplos:

p: m > n

q: n < m

p ↔ q = m > n ↔ n < m : m > n si y sólo si n < m.

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Dadas las proposiciones:

p : Estamos en primavera

q : Las uvas son dulces

r : Pedro es deportista

s : Berta es hermosa

Relacionar con oraciones las siguientes

composiciones:

1. p ∨ q

2. p ∧ q

3. q ∧ r

4. p ∨ s

5. p → r

6. p ↔ q

7. ∼p → s

8. r → ∼q

9. p ∧ (q ∨ r)

10. q ∨ (r ∧ s)

11. q ∨ ∼r

12. ∼r ↔ ∼s

MATEMATICA BASICA I

31

2. Indicar 7 ejemplos de proposiciones simples y

compuestas

3. Negar las proposiciones anteriores.

4. Se da las proposiciones:

p: El mundo es amplio

q: Las frutas son agradables

r: La demostración es interesante

s: Fany es bella

t: 32 + 42 < (3 + 4)2

Representar con oraciones las proposiciones:

a) p∧r ; q ∨ s ; t → r

b) ∼q ∧ r ; p ∨ ∼s ; ∼r → ∼t

c) r → (q ∨ s) ; p ∨ (∼s) ∨ t

d) r ↔ t ; (s ∧ t) → r

1.9.4 Valor de la verdad Para evaluar el valor de verdad de una proposición

compuesta, es decir, de un enlace de proposiciones

simples s, q, v, … por medio de los conectivos, se emplea

la tabla de verdad con 3 o más columnas, tomando las

primeras columnas para poner los valores de verdad V y F,

ó, 1 ó 0. lo que diremos “verdadero y falso” de las

proposiciones simples, y las demás columnas para los

valores resultantes de las proposiciones compuestas, como

sigue:

MATEMATICA BASICA I

32

p q p∧q

1. Conjunción

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

p∧q es verdadero sólo

en el caso en que las 2 p

y q son verdadero.

p q p∨q

2. Disyunción

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

p∨q es verdadero o

valido en todos los casos

de validez de p ó q salvo

cuando los 2 son falsos

en cuyo caso p∨q es

falso.

p q p→q

3. Implicación

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

p→q es verdadero en

todos los casos a

excepción de aquel en

que p es valido y q falso.

p q p↔q

4. Bicondicional

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

p↔q es verdadero en los

2 casos en que ambos p

y q son iguales validos o

ambos falsos. En los 2

casos desiguales el

bicondicional es falso.

MATEMATICA BASICA I

33

EJERCICIOS 1. Construir la tabla de verdad de las proposiciones

compuestas:

a) p ↔ (q ∨ s) ; (r ∧ t) → s

b) (p ∧ s) → (r ∨ t) ; (r → t) ∨ ∼q

c) (∼q → s) ∧ (∼s → q) ; (p ∧ r) → (p ∨ r)

2. Dar las tablas de verdad de las proposiciones:

1. p → (q ∨ r)

2. q ∧ r → ∼p

3. (p ∨ ∼q) ∧ (∼p ∧ r)

4. r ∧ s → r ∨ s

5. (p ∧ s) ∨ (q ∧ r) ∨ ∼p

6. (r ∨ s) ∧ (p ∨ ∼q ∨ s)

7. (p ∧ s) ↔ ∼ (∼p ∨ ∼s)

8. (r ∧ q ∧ s) → (r ∨ q ∨ s)

9. (q ∧ s) ↔ (p ∨ r)

10. (q ∧ ∼s) ↔ (∼q ∨ s)

1.9.5 Tautología y Contradicción 1. Una proposición compuesta es tautológica o es una

tautología si en su tabla de verdad para todas las

combinaciones V ó F de sus proposiciones simples,

resulta ella siempre válida.

MATEMATICA BASICA I

34

Ejemplos:

p q p∨q p→(p∨q)

1. p→(p∨q) 1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

2. El silogismo: (p→q) ∧ (q→r) → (p →r) también es

tautológica

3. El modus ponens: (p→q) ∧ p → q

y el modus tolens o principio de inferencia

negativa: (p→q) ∧ ∼q → ∼p son tautologías.

Los 3: el silogismo, el modus ponens y el modus

tolens son básicas en las pruebas matemáticas.

2. Una “contradiccón” es lo opuesto a una tautología

esto es: siempre falsa para todas las combinaciones

de las proposiciones simples.

Ejemplo:

p ∼p p ↔ ∼p

P ↔ ∼p 1

0

0

1

0

0

∼[p→(p∨q)] ; etc., son contradicciones.

MATEMATICA BASICA I

35

1.9.6 Relaciones del Álgebra Proposicional. Ejercicios para Resolver

1. Por medio de las tablas de verdad verificar las

siguientes relaciones: (muestre las tautologías):

1.1. Idempotencia : p p pr r r

⎧⎨⎩

∨ ↔∧ ↔

1.2. Involución : ∼(∼p) ↔ p

1.3. Asociatividad : (p q) r p (q r)(p q) r p (q r)

⎧⎪⎨⎪⎩

∨ ∨ ↔ ∨ ∨∧ ∧ ↔ ∧ ∧

1.4. Conmutatividad : p q q pp q q p

⎧⎨⎩

∧ ↔ ∧∨ ↔ ∨

1.5. Distributividad : (p q) r (p r) (q r)(p q) r (p r) (q r)

⎧⎪⎨⎪⎩

∧ ∨ ↔ ∨ ∧ ∨∨ ∧ ↔ ∧ ∨ ∧

1.6. Identidad : p F F ; p F pq V V ; q V q

⎧⎪⎨⎪⎩

∧ → ∨ ↔∧ → ∧ ↔

1.7. Complemento : p p V ; p p F

( q) q ; F V⎧⎪⎨⎪⎩

∨ ↔ ∧ ↔↔ ↔

∼ ∼∼ ∼ ∼

2. Dar ejemplos verbales de las 7 relaciones.

3. Verificar las 2 Leyes de Morgan:

a) (r s) r s(r s) r s

∧ ↔ ∨⎧⎨ ∨ ↔ ∧⎩

∼ ∼ ∼∼ ∼ ∼

b) ∼(p → q) ↔ p ∧ ∼q

4. Verificar también que:

i) (p → q) ↔ (q∼ → ∼q)

ii) (∼p → q) ↔ (q → p)

MATEMATICA BASICA I

36

5. Dar ejemplos verbales de 1, 2, 3, 4

6. Construir 5 ejemplos de tautologías y 5 ejemplos de

contradicciones.

Si T es una tautología y C una contradicción, que da:

a) T ∨ C

b) T ∧ C

c) T → C

d) C → T

e) (T ∨ C) → ∼C

f) ∼C → ∼T

1.9.7 Funciones Proposicionales Las proposiciones en general expresan alguna

característica o cualidad.

Ejemplos

1. Pedro es deportista

2. María es bella

3. 41 es un número primo

El primero da la característica o cualidad deportista; la

segunda la belleza; la tercera la característica de ser

divisible sólo por la unidad y por si mismo.

MATEMATICA BASICA I

37

La característica o cualidad genera una función de un

dominio de sujetos en el conjunto {V, F} que se representa

por una mayúscula como función de una variable como la

x, r, s, t, …. en la forma P(x), Q(r), …. Por ejemplo: el ser

deportista: P(x): x es deportista, R(t): t es primo, etc., en

P(x) el dominio son los seres humanos: x: juan es

deportista; x=Berta es deportista, etc. En R(t) el dominio

son los números enteros t=25, es primo; t=37, es primo, ….

etc.

1.9.8 Cuantificadores Hay 2 símbolos que permiten transformar las funciones

proposicionales en proposiciones, es decir: suceptibles de

ser verdaderas o falsas.

I. Operador Universal: ∀ que expresa: “para todo” y que

debe traducirse según las características de la función.

Por ejemplo:

P(x): (ser hombre mortal)

∀x.P(x): todos los hombres son mortales

Q(y): (mujer hermosa)

∀y.Q(y): todas las mujeres son hermosas

R(t): (ser número entero primo)

∀t.R(t): todos los números son primos

MATEMATICA BASICA I

38

II. Operador Existencial: ∃ que expresa: “existe uno o

algunos” y que debe traducirse según la característica

de la función. Así, en los ejemplos anteriores:

∃x.P(x): existen hombres mortales

∃y.Q(x): existen, o algunas mejeres son hermosas

∃t.R(t): existen o hay enteros que son primos

Negación de Cuantificadores

I. La negación del cuantificador universal es: existencial

con la función proposicional negada:

∼[∀x.P(x)] ↔ ∃x: ∼P(x) …(α)

Si P(x) es: ser hombre mortal, la negación (α) dice:

Es falso que todos los hombres sean mortales equivale

a: existe un hombre que no es mortal.

Si R(t) es ser número entero primo la negación de:

∀t.R(t) es:

∼[∀t.R(t)] ↔ ∃t: ∼R(t)

“Es falso que todo entero sea primo”, equivale a “existe

uno o varios enteros que no son primos”.

II. La negación del cuantificador existencial es: universal

con la función proposicional negada:

MATEMATICA BASICA I

39

∼[∃x. P(x)] ↔ ∀x: ∼P(x)

En los ejemplos anteriores: “es falso que existan

hombres mortales” equivale a “todo hombre no es

mortal”.

En: ∼∃t. R(t) ↔ ∀t: ∼R(t)

Es falso que exista un número entero primo” equivale

a: “todo entero no es primo”.

Ejercicios

1. Dada las proposiciones:

p: El día está cálido

q: El profesor viene hoy

r: La luna está llena

s: 9 3= −

t: 32 + 52 = (3 + 5)2

formar proposiciones compuestas con los conectivos:

∧, ∨ y →.

2. Formar 5 funciones proposicionales y

cuantificarlas.

3. Negar las proposiciones cuantificadas anteriores.

Para concluir la lógica proposicional veamos la

importancia del:

MATEMATICA BASICA I

40

Razonamiento Deductivo.- Es un razonamiento muy

importante en la Matemática con el cual se establecen

numerosos teoremas, llamados tasmbién

Proposiciones.

Estos se enuncian mediante una “implicación” cuyo

antecedente es la hipótesis y el consecuente es la

tesis.

Por ejemplo la proposición: “si la raíz cuadrada de un

número natural n, no es un entero, entonces no es un

racional o fracción, si no un irracional”.

Aquí la hipótesis o antecedente es: “si la raíz cuadrada

del natural n, no es entero”. La tesis, implicación o

conclusión es: “la raíz cuadrada es irracional y no

racional”.

A lo largo del TINS se tendrá diversos razonamientos.

Completemos los conjuntos y pasemos en el capítulo II

a los conjuntos numéricos.

Los conjuntos emplean la lógica clásica o bivalente

cuyo soporte o rango es el par:

L2={0, 1}

MATEMATICA BASICA I

41

Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad

o contradicción.

Las relaciones 7 de 1.8:

A ∪ A’ = X ; A ∩ A’ = ∅

Expresan que un punto pertenece a un conjunto o a su

complemento pero no a ambos.

En esta lógica es valido el “tercio excluido”, así como el

principio de contradicción:

p ∨ 7 p ≡ 1 y p ∧ 7 p ≡ 0 …… 7 p= no p

El primero expresa que una proposición o es

verdadera o es falsa pero no hay una tercera

posibilidad. El segundo completa al anterior

expresando que la proposición no puede ser verdadera

y falsa a la vez.

Igualmente son válidos:

(p → q) ∧ (q → r) . → . (p → r)

ó silogismo y el caso que genera algunas pruebas por

absurdo

(⎤ p → p) → p

Se sugiere hacer el análisis de tablas y valuaciones.

MATEMATICA BASICA I

42

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1. Si un conjunto finito tiene k-elementos ¿Cuántos tiene su conjunto

potencia?

2. Si A={α, β, γ}, cómo es el gráfico o grafo de P(A)

3. ¿Y si G={a, b, c, d} , cómo es el grafo de P(G)

4. Por medio de un gráfico cómo el que se muestra:

A B

Verificar la Ley de Morgan: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ donde A’, B’ son los

complementos.

5. Verificar las leyes de distributividad 3) de 1.8

6. Si 2 conjuntos son infinitos: ¿son ambos isomorfos? Es decir:

¿Tienen el mismo número de elementos?

7. Probar que el silogismo es siempre válido en la lógica de los

conjuntos.- Igualmente probar el “modus ponens”: p∧(p → q).→.q

8. Por tablas verificar si la equivalencia: (p→q) ↔ ( ⎤q → ⎤p) es válida.

(A ∩ B)

MATEMATICA BASICA I

43

II. BREVE PRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

2.1 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: N Se ha convenido en llamar números naturales a cada elemento

del siguiente conjunto:

N = {0, 1, 2, 3, …, n ….}

2.1.1. Observaciones: o En N existen dos subconjuntos notables: el conjunto de

los números pares y el conjunto de los números

impares.

Pares = {2,4,6,8,…} Impares = {1,3,5,7,9,….}

o Si n ∈ N ⇒ 2n: representa un número par

2n – 1: representa um número impar

o En N se definen las operaciones de adición y

multiplicación, donde si x, y ∈ N → (x + y) ∈ N ∧ (x .

y) ∈ N (Ley de Clausura)

o La sustracción no siempre es posible en N. La

sustracción no está totalmente definida en N ¿∃x∈N tal

que 7+ x = 3? ¡No! Pues x = –4 ∉N por esta razón se

amplian los naturales en un nuevo conjunto de

números, el cual será definido seguidamente.

MATEMATICA BASICA I

44

2.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Z Z = {…., –3, –2, –1, 0, 1, 2,3, ….}

2.2.1. Observaciones: o En Z se tienen los siguientes subconjuntos notables Enteros positivos Z+ = {1,2,3,….} = N+ Enteros negativos Z- = {–1,–2,-3,….} = –N+ Enteros no negativos ,...}3,2,1,0{Z

0=+

Enteros no positivos ,.....}3,2,1,0{Z0

−−−=− ∴ Z = Z-∪ {0} ∪ Z+

o En Z siempre es posible restar, veamos una manera

práctica de interpolar la adicción y/o sustracción de

números enteros

Números positivos → ganancia

Números negativos → pérdida

Ejemplos:

1. ?pierdoogano¿negociodelluego131gano3pierde

⇒+−

2132pierdo2

−=+−⇒−

2. -9 -3 = -12

o En Z no siempre se puede dividir, i.e. la división no

está totalmente definida en Z

¿∃x∈Z tal que 3. x = 1?

¡No! Pues Zx ∉=31

MATEMATICA BASICA I

45

Por esta razón se amplian los enteros en el siguiente

conjunto de números.

2.3 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES: Q

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠∧∈= 0bZb,a/baQ ó

{ }aQ . a,b Z b 0b= ∀ ∈ ∧ ≠

Todo y número que puede escribirse en forma de fracción se llama

número racional.

EJEMPLOS

1. ; ; , ; ;−= − = =

8 3 1 1 24 3 0 5

2 1 2 3 5 son racionales

2. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−= ...,

nm,2,

45,

21,

31,...,

21,1,

nm...,Q

3. 0,666 , 0,75 , 0,78888 , -3.452 , -36 , +100, …∈Q

Propiedad 1: Los números racionales abarcan a los N y a los Z,

pues nn N1

∀ ∈ = y aa Z1

∀ ∈ =

Propiedad 2: Si el número dado es decimal periódico, su

transformación a fracción es por el siguiente cociente:

MATEMATICA BASICA I

46

Sea: N=a1 ,, am • b1 ,, bn c1 ,, cjci ,, cj ,, …

donde c1 ..cj es elperíodo decimal, a1, … am están a la izquierda del

punto decimal y b1, …, bn están a la derecha del punto. Entonces el

siguiente cociente da el número N:

n1 m 1 1 j 1 m 1

nj

a ..a b ..b c ..c a ..a b ..bq..q 0..0

−

Para simplificar la prueba supondremos m=n=1, j=2:

1 2 1 224

N a • bc c c c ...=

Multipliquemos N por 4 2

1000 10⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠:

a•bc1c2c1c2…c1c2…X(1000-10)

= abc1c2•c1c2...c1c2...-ab•c1c2…c1c2…

= abc1c2-ab

Despejando N tendremos:

abc c abN −=

−1 2

1000 10

es decir: N=a•bc1c2…c1c2…= 1 2

j n

abc c ab990

− que da la prueba.

Para cualquier otrol N la prueba es semejante.

MATEMATICA BASICA I

47

Ejemplos

1. 999abcabco, = donde abc abc= es el entero o producto por

1000 (3 ceros)

2. 999

eeabcabce, −= donde eabc eabc=

3. 0,abcbc…= abc a0,abcbc990

−= aquí J=2, n=1, m=0

4. m,abcbc.. = mabc mam,abcbc990

−= análoga a la prueba

5. 32

966,0...666,0 === … m=n=0, j=1

6. 1,222…= 12 1 119 9−

= … m=1, n=0, j=1

7. 99

36499

3367...6767,3 =−

=

8. 3013

9039

90443...4333,0 ==

−=

9. 99

36499

3367...6767,3 =−

=

10. 0,34747…= 347 3 344990 990

−=

11. 4,32121…= 4321 43 4278990 990

−=

Para m=1, j=2, n=2

12. 1,234545… = 12345 123 122229900 9900

−=

Para m=1, j=2, n=3

MATEMATICA BASICA I

48

13. 3,1235454…= 312354 3123 30923199000 99000

−=

¿Todos los números pueden escribirse en forma de fracción? ¡No!

Pues no existe x∈Q/x2 = 2 por tal motivo se crea el siguiente

conjunto de números.

2.4. CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES: Q´ Ó II Se da el nombre de número irracional a todo número que no es

racional.

i.e. I = {x / x ≠ nm , m, n ∈ Ζ; n ≠ 0}

Veamos por que, por ejemplo 2 no es un racional mn

Supongamos que lo fuera: 2 = mn

, donde mn

ha sido reducido y

no tienen factores comunes.

Tendremos elevando al cuadrado:

22

22

m2 m 2nn

= ⇒ =

lo que nos dice que m2 y por lo tanto m es par o múltiplo de 2.

Sea m=2r, r un entero. Reemplazando: 2 2 2 2 2m 4r 2n n 2r= = ⇒ =

lo que muestra que n es también par.

MATEMATICA BASICA I

49

Luego m y n siendo pares tienen un factor común, el 2, contrario a

la hipótesis.

Por consiguiente 2 no puede ser racional.

De modo semejante se puede probar que todo radical: 3 , 5 ,

..., 3 32, 3, ..., de un número que no es una potencia, no es

racional.

Ejemplos:

1. 2 = 1,4142…

2. 3 = 1,73 205…

3. 5 = 2,23 606…

4. 21 +

5. 32 −

6. 32

,21

,32 +

Propiedad 3. Un número irracional se caracteriza por tener parte

decimal no periódica, con infinitas cifras decimales. ¿Por qué?

En efecto: si el número tuviera parte decimal periódica, por

propiedad 2 de 2.3 podría expresarse como el cociente de 2

enteros, esto sería un racional.

MATEMATICA BASICA I

50

IN ⊂ Z ⊂ IR II ⊂ IR

Los números irracionales son de dos tipos:

2.4.1 Irracionales algebraicos. Son raíces de polinomios de

coeficientes enteros.

* ,...32,7,2 3 −

2.4.2 Números trascendentales. No son raíces de ningún

polinomio de coeficientes enteros.

* ...718281,2

...14159,3==π

e

π = 3,141592… infinito no periódicas. -π=-3.141592...

e = 2,7182 81 82… infinito no periódicas. –e=-2.71828...

2 = 1,4142 1356… infinito no periódicas. - 2 =-1.4142135

2.5. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES: IR Es el conjunto delos números racionales y el de los irracionales.

Las propiedades y/o relaciones se desarrollan en el Capítulo III.

IR : Q ∪ I , IR = IR+ ∪ {0} ∪ IR–

IR+ : Reales positivos.

IR– : Reales negativos.

Graficamente:

MATEMATICA BASICA I

51

1) IN ⊂ Z ⊂ Q

2) Q ∪ I = IR

3) Q ∩ I = ∅

EJERCICIOS RESUELTOS Transformar a Radicales Simples

1. 8410 +

A=10 ; B=84

Solución:

Cómo se sabe: A2 – B es un cuadrado perfecto = C2, entonces:

22CACABA −

±+

=±

En nuestro caso: C2 = 102 – 84 = 16 cuadrado perfecto

C = ± 4 asumiendo C = 4

372

4102

4108410 +=−

++

=+

2. −13 160

Solución:

Como en el caso anterior: C2 = 132 – 160 = 9 cuadrado perfecto

C = ± 3 asumiendo C = 3

13 3 13 313 160 8 5 2 2 52 2+ −

− = + = + = +

MATEMATICA BASICA I

52

3. Si 80945214 −−+=n ; hallar le menor valor de x cuando:

x2 – nx + n +1 = 0

Solución:

Como: 535945214 +=+=+

252

192

1918081809 2 −=−

−+

⇒=−=⇒− c

∴ 52553 =+−+ = n ⇒ x2 – 5n + 6 = (x-3) (x-2)=0 que da x=3

y x = 2

Luego el menor valor de x es 2.

4. Si 33 5252 −++=x . Hallar el valor numérico de 5186 3 ++ xx

Solución:

Como: ( ) ( )baabbaba +++=+ 3333

Entonces: 3

333 5252 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++=x

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++−+−++= 333 5252135252x

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++−= 333 525234x

⇒ 55252185252346 3333 +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +++−

29552521852521824 3333 =+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +++−

MATEMATICA BASICA I

53

5. Si a > 0; a ∈ R ⇒ 21≥+

aa

Solución: Cómo a > 0 ⇒ 010 ≥⇒>a

a

aa

⎛ ⎞⇒ − ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

21

0

⇒ 21021≥+⇒≥−+

aa

aa l.q.q.d.

6. Si a, b > 0 ⇒ ( ) 411≥+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ba

ba

Solución: Como a, b > 0 ⇒ a – b ≥ 0 ⇔ a ≥ b

⇒ ( ) 020 222 ≥+−⇒≥− bababa

⇒ abba 222 ≥+ ⇒ 222

≥+abb

aba

⇒ 4112 ≥+++⇒≥+ab

ba

ab

ba

Lo que implica:

44 ≥+

++

⇒≥+++a

bab

baaa

ab

bb

ba

( ) 411≥+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒ ba

ab l.q.q.d.

7. Si x ∈ 71;

111

3214,2 ∈+

⇒x

Solución: Como x ∈ 424,2 <<⇒ x

4 < 2x < 8 ⇒ 7 < 2x + 3 < 11 implica:

MATEMATICA BASICA I

54

71

321

111

<+

<x

∴ 71,

111

321

∈+x

8. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyas vértices son (-3, -1)

(0, 3) (3, 4) (4, -1)

Solución:

Graficando los vértices

El perímetro del cuadrilátero es:

________________

DACDBCABP +++=

Donde: ( ) ( ) 53103 22____

=−−+−−=AB

( ) ( ) 104330 22____

=−+−=BC

( ) ( ) 261443 22____

=++−=CD

( ) ( ) 71143 22____

=+−+−−=DA

B = (0, 3) C = (3, 4)

A = (-3, -1) D = (4, -1 )

MATEMATICA BASICA I

55

Entonces: P = 25,20261012 ≅++ und.

9. El punto medio del segmento entre P1 (x1; y1) y P2(x2, y2) es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

2;

22121 yyxx

1) Se pide hallar las coordenadas (x, y) del punto P en términos de

las coordenadas de P1; P2.

Para ello traemos desde los puntos P1; P2 segmentos paralelos al

eje y y corten al eje x en los puntos A, B, C.

2) Por la geometría plana elemental; se sabe que la ruta paralela al

eje y que pasa por el punto P biseca el segmento AC en el punto

B; esto es; B es punto medio del segmento AC.

Si B es punto medio del segmento AC entonces se cumple que:

x – x1 = x2 – x ⇒ d (A a B) = d (B a C) luego:

x = 2

21 xx +

de manera similar por los puntos P1;P; P2 trazamos segmentos

paralelos al eje x, obteniéndose y2 – y = y – y1

P2(x2; y2)

P1(x1; y1) P(x; y)

A(x1; 0) B(x; 0) C(x2; 0) x

y

MATEMATICA BASICA I

56

2

21 yyy +=

Luego la fórmula del punto medio es x x y y,+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 1 2

2 2

10. Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son

los puntos (-2, 3) (6, -3)

Solución:

Se pide hallar las coordenadas

de P; Q que dividen al segmento

Cómo:

______

21PP en tres segmentos de igual

longitud.

rPP

PP==

21

_____

2

_____

1

Entonces: p1 p2p

x rxx

1 r+

=+

, p1 p2p

y ryy

1 r+

=+

⇒ p

12 6 22x 1 312

− += =

+;

( )p

13 32y 111

2

+ −= =

+

⇒ ( )23p ,1=

Cálculo del Q

P1 P2

(-2, 3) P Q (6, -3)

P1 P2

(-2, 3) P (6, -3)

1 2

MATEMATICA BASICA I

57

1 6 1 3 103Q ; ; 12 2 3

⎛ ⎞+⎜ ⎟− ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

EJERCICIOS PARA RESOLVER [1] Probar las siguientes desigualdades:

1) a2 + b2 +c2 ≥ ab + ac + bc; ∀a,b,c∈R

2) ∀a,b∈R+⇒ a b ab2+

≥

3) Si a2+b2=1; c2+d2 = 1 entonces 1 ≥ ac+bd; ∀a,b,c,d ∈ R

4) Si a+b+c=1, donde a,b,c > 0 ⇒ (1-a)(1–b)(1–c) ≥ 8abc

5) a4 + b4 + c4 + d2 ≥ 4abcd; ∀a,b,c,d ∈ R

6) Si a > 0; a∈R ⇒ a+ 1a ≥ 2

7) Si a,b,c ∈R+ ⇒ + + ≥ + +bc ac ab a b ca b c

8) Si a > 0, b > 0 tal que a + b = 1 ⇒ ab ≤ ¼

9) Si a, b, c ∈R ⇒ a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 (a + b+ c)

10) Si a, b > 0 /a ≥ b ⇒ 2

2

a 3b b 3b a a

+ ≥ +

11) Si a, b, c > 0 ⇒ ( )1 1 1 a b c 9a b c

⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

12) si a > 0 ; a ≠ 1; a ∈R ⇒ 3 23 2

1 1a aa a

+ > +

13) ( ) ( )( )2 2 2 2 2a by a b y ; a,b, ,y R+ ≤ + + ∀ ∈x x x

14) (a + b + c+ d)2 ≤ 4(a2 + b2 + c2 + d2) ; ∀ a, b, c, d ∈ R

15) (a x + by + cz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)

16) Si x – 5 ∈ 2,2 x 3,7− → ∈

MATEMATICA BASICA I

58

17) Si x ∈ 2

1 1 11,3 ,x 3x 1 19 5

→ ∈+ +

[2] Resolver las siguientes inecuaciones

1) 3(3x – 17) + 5 (5 – 3x) ≥ 3(3x – 11) – 2(4x – 3)

2) 13 (2x – 3) – 7 (3x – 5) < 3 (2x – 11) + 13x

3) 3x 2 3x 7 3x 5 7 x5 2 2 3− + − −

− < −

4) ( ) ( )3x 7 8 43 x 7 2x4 3 7−

< − < −

5) 9x 5 3x 1 5x 44 2 3− − +

≥ −

6) 7x 2 5x 6 9x 342 3 5− − +

+ <

7) 2x 1 3x 2 2x 1 2>5 6 2 3− − +

+ +

8) 2 2

x 3x 5 ;a>b>0a b a b a b

+ <− + −

9) x xa b a b

− <− +2

10x x

a b a b− <

− +2

10 ; a > b > 0

10) x x x+ −+ >

5 512 6 3

x>

3

MATEMATICA BASICA I

59

2.6. RELACIONES

2.6.1 Las relaciones se presentan en todas la áreas del conocimiento. Por ejmplo: San Isídro es mas grande que

San Borja; Pedro es menor que Pablo; “…es congruente

con…” etc.

En matemática nos interesan las relaciones entre 2

conjuntos.

2.6.2 Relación Binaria Dados 2 conjuntos no vacios A y B, una realción binarias

de A y B es dado por todo conjunto R del producto A x B.

Al conjunto A se le denomina: Dominio o primera

proyección y al B el rango o segunda proyección.

Si invertimos: B x A se obtiene la relación inversa R-1 entre

B y A.

Cuando el conjunto B = A es una relación en el conjunto A.

2.6.3 Propiedades Una relación R en un conjunto A puede tener las siguientes

propiedades:

1) Reflexiva : ∀x ∈ A ⇒ <x,x> ∈ R

2) No reflexiva : ∃ x ∈ A ⇒ <x,x> ∉ R

3) Simétrica : ∀<a,b> ∈ R ⇒ <b,a> ∈ R

4) No simétrica : ∃<a,b> ∈ R ⇒ <b,a> ∈∉ R

5) Asimétrica : ∀<a,b> ∈ R ⇒ <b,a> ∉ R

6) Anti simétrica : ∀[<a,b> ∧ <b,a> ∈ R] ⇒ a = b

MATEMATICA BASICA I

60

7) Transitiva : ∀[<a,b> ∈ R ∧ <b,c> ∈ R] ⇒ <a,c> ∈ R

8) No trasitiva : ∃[<a,b> ∈ R ∧ <b,c> ∈ R] ⇒ <a,c> ∉ R

9) Intransitiva : ∀[<a,b> ∈ R ∧ <b,c> ∈ R] ⇒ <a,c> ∉ R

Las relaciones en un conjunto A pueden cumplir algunas

propiedades. Las más importantes relaciones son:

2.6.4 Relaciones de equivalencia Son las reflexivas, simétricas y transitivas.- Si R

denotamos simplemente por ∼, debe cumplir:

E1 ∀ a ∈ A ⇒ a ∼ a .............................reflexiva

E2 ∀ a, b ∈ A : si a ∼ b ⇒ b ∼ a......... simétrica

E3 a ∼ b ∧ b ∼ c ⇒ a ∼ c ................... transitiva

Ejemplos:

1. A = conjunto de las circunferencias en el plano c, si

tienen igual radio. Es una relación de equivalencia.

(se trata de las circunferencias. Ver Capítulo IV)

2. Relaciones de congruencias módulo m en los

enteros Z. Por ejemplo m = 5

a, b ∈ Z son cogruentes a ∼ b mod 5 si:

a – b es multiplo de 5. Así:

1 ∼ 6 mod 5; 2 ∼ 7, 3 ∼ 8 ∼ 13, 4 ∼ 9 ∼ 14 ∼ 19,… etc

MATEMATICA BASICA I

61

3. Rectas en el plano de igual pendiente:

y – x = 0 ∼ 2y – 2x – 3 = 0; y – 1 = 0 ∼ y + π = 0 ∼ etc.

x… (se tratar las rectas y propiedades. Ver Capítulo

IV).

2.6.5 Clases de Equivalencias Toda relación de equivalencia en un conjunto A, lo separa

en sub-conjuntos A1, A2,… formado por los conjuntos

equivalentes. Es lo que denominamos una partición de A.

Por ejemplo, en Z los enteros congruentes modulo m, sea

m=5 forma m=5 clases de equivalencia:

Z0={….., -10, -5, 0, 5, 10, 15, …..}

Z1={….., -9, -4, 1, 6, 11, …..}

Z2={….., -8, -9, 2, 7, 12, …..}

Z3={….., -7, -2, 3, 8, 13, …..}

Z4={….., -6, -1, 4, 9, 14, …..}

2.6.6 Relaciones de Orden Son las que cumplen la reflexividad, la antisimetría y la

transitividad.

Si la relación la denotamos por <, debe cumplir:

θ1: ∀a∈A ⇒ a<a

θ2: ∀a,b∈A: a<b∧b<a ⇒ a=b

θ3: a<b ∧ b<c ⇒ a<c

MATEMATICA BASICA I

62

Ejemplos:

1. En los números enteros o reales el orden se denota

por ≤ y se define:

a ≤ b si ∃c∈R+ (si existe un real positivo o cero c) tal

que a+c=b

2. En una circunferencia

centrada en el origen

del plano cartesiano, un

punto θ≤γ, si partiendo

del punto horizontal a

en sentido contrario al

reloj θ está antes que γ.

2.6.7 Buena Ordenación

Una relación de orden ρ en un conjunto A se dice que da

una buena ordenación, o que A, queda bien ordenado, si

cada subconjunto Ai no vacío posee primer elemento, es

decir:

∃a∈A ⇒ ∀x∈A (aρx)

Ejemplos:

1. El conjunto N de números naturales con el orden ≤ es

bien ordenado. Todo subconjunto de N posee primer

elemento.

2. El conjunto R de los reales con el orden ≤ no es bien

ordenado. Los subconjuntos 0<x<3; los enteros

MATEMATICA BASICA I

63

múltiplos de 5, 7, etc.; los irracionales positivos y

numerosos otros más no poseen primer elemento.


1. ¿Los pares y los impares determinan una relación de

equivalencia en los números enteros Z?

2. ¿Los triángulos de igual área dan una relación de

equivalencia en el conjunto de triangulos de un

plano?

3. Y otras figuras?

4. Dar 3 relaciones de equivalencia diferentes a los ya

visto.

5. La relación de las letras del alfabeto es de orden?,

¿de buen orden?

6. ¿En un salón en elque no hay niños con el mismo

apellido la lista que se confecciona es de orden?

7. Dar relaciones de orden en conjuntos finitos e

infinitos.

2.6.8 Relaciones Funcionales Una relación F entre 2 conjuntos A y B se dice ser funcional

si para cada elemento a∈A hay a lo más un elemento b∈B

tal que F(a,b).

Por ejemplo si A es el conjunto de los niños de un país y B

el de los hombres mayores, la relación “ser padre P”:

a∈A ∧ b∈B ⇒ b es padre de a, ó P(a,b), es una relación

funcional.

MATEMATICA BASICA I

64

El sub conjunto A1 ⊆ A de los elementos de A que están

relacionados constituye el dominio de la relación y el B1 ⊆ B

que están relacionados forma el co-dominio o rango de la

relación.

Cuando B=A la relación F se dice ser funcional en A.

Ejemplos:

1. El “ser madre” es también funcional.

2. La relación “ser duplo de p” en los números enteros Z

es funcional:

∀p∈Z: F(p)=2p

El dominio es todo Z y el rango es el conjunto de los

elementos pares.

3. El cuadrado de p es también una relación funcional

en Z.

2.6.9 Función Se denomina así a toda relación funcional de un conjunto A

en el conjunto B.

Por ejemplo el ser padre es función. Las relaciones

F(p)=2p, G(p)=p2 son funciones en Z.

En los capítulos siguientes veremos otros ejemplos de

interés.

MATEMATICA BASICA I

65


1. Dar 2 relaciones de orden en el conjunto N de los

naturales.

2. ¿Qué propiedades tienen la relación de vecindad?

3. ¿La relación ∀x∈R→ x , valor absoluto, es funcional?

4. Hermana, hermana de padre y madre ¿que clase de

relaciones son?

5. ¿Cuál es el dominio y rango de las relaciones 3x , x ; senθ; cosθ?

6. La relación ≤ en los enteros Z es de buen orden?

MATEMATICA BASICA I

66

MATEMATICA BASICA I

67

III. NÚMEROS REALES

Hemos visto en 2.5 que el conjunto R de los números reales está

formado por la unión de los racionales o fraccionarios y de los

irracionales. Los naturales y enteros quedan incluídos por estarlo dentro

de los racionales.

Las operaciones de adición y multiplicación e inversas y la relación de

orden < se extienden a todo R formando el Algebra de los Reales.

En este capítulo vamos a introducir los reales y propiedades desde un

punto de vista formal.

3.1 EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

3.1.1. Definición 1: El sistema de los números reales es un

conjunto R, provisto de dos operaciones: adición y multiplicación,

y una relación de orden, denotada por “<” que se lee “menor que”

que satisface los siguientes relaciones o leyes.

De la adición:

A1) ∀a, b ∈ R ; a + b ∈ R (clausura)

A2) ∀a, b ∈ R ; a + b = b + a (ley conmutativa)

A3) ∀a, b, c ∈ R ; (a + b) + c = a+ (b + c) (ley asociativa)

A4) Existe um único elemento al que denotamos por “0” tal que:

a+0=0+a=a; ∀a∈R (existencia y unidad del elemento

neutro aditivo)

MATEMATICA BASICA I

68

A5) Existe un único elemento al que denotamos por “-a” tal

que a+(-a)=(-a)+a=0; ∀a∈R (existencia y unicidade del

elemento inverso aditivo)

De la multiplicación:

M1) ∀a, b∈R ; a.b∈R (clausura)

M2) ∀a, b∈R ; ab = ba (ley conmutativa)

M3) ∀a,b,c∈R : (ab)c = a(bc) (ley asociativa)

M4) Existe um único elemento al que denotamos por “1” diferente

de “0” tal que: a.1 = 1.a = a; ∀a∈R (existencia y unicidad del

elemento neutro multiplicativo)

M5) Existe um único elemento al que denotamos por a-1 tal que:

∀a∈R; a ≠ 0; a.a-1 = a-1.a = 1 (existencia y unicidad del

elemento inverso multiplicativo)

D) ∀a,b,c∈R ; a (b + c) = ab + ac (ley distributiva)

En R, existe definida la relación menor “<” entre dos

números reales, que cumple los siguientes axiomas:

La relación < se aclara y aplica al ordenar los puntos y conjuntos

de una recta en 3.2.

O1) Si a<b y b<c → a<c ; ∀a, b, c ∈ R (ley transitiva)

O2) Si a<b → a+c < b+c ; ∀a, b, c ∈ R (ley de monotonía)

O3) Dados a, b ∈ R una y solamente una de las siguientes

relaciones se verifica a<b, a=b, b<a (ley de tricotomia)

O4) Si a<b y 0<c → ac < bc (ley de monotonía de la

multiplicación en la relación menor)

MATEMATICA BASICA I

69

3.1.2. Proposición 1: ∀a ∈ R , a.0 = 0

Prueba:

a × 0 = a × 0 + 0 (A4)

= a × 0 + [a + (-a)] (A5)

= [a × 0 + a] + (-a) (A3)

= (a × 0 + a × 1) + (-a) (M4)

= a (0 + 1) + (-a) (D)

= a . 1 + (-a) (A4)

= a + (-a) (M4)

a × 0 = 0 (A5)

3.1.3. Proposición 2: ∀a ∈ R , a + a = 2a

Demostración

a + a = a . 1 + a . 1 (M4)

= a (1 + 1) (D)

= a . 2 (A1)

= 2a (M2)

3.1.4. Proposición 3: ∀a ∈ R , –a = (–1) a

Prueba:

Si demostramos que a+(–1)a = 0, el teorema quedará probado,

puesto que (–a) y (–1)a resultan ambos el inverso aditivo de a,

que como sabemos es único (A5).

i.e. a + (–1) a = 1.a + (-1) a (M4)

= (1+(–1)) a (D)

MATEMATICA BASICA I

70

= 0.a (A5)

= 0 (Prop. 1)

Luego: -a = (–1) a (A5)

3.1.5. Corolario 1: ∀a, b ∈ R , a (-b) = – (ab) = (–a) b

En efecto: a (–b) = a ((–1) b) (Prop. 3)

= a (b (–1)) (M2)

= (ab) (–1) (M3)

= (–1) (ab) (M2)

= – (ab)

3.1.6. Proposición 4:

(Sustracción) ∀a, b ∈ R , a-b = a + (-b)

(Multiplicación) ∀a, b ∈ R; (-a)(-b)=ab

(División) ∀a, b ∈ R , b ≠ 0 ; 1a abb

−=

3.1.7. Proposición 5: ∀a, b ∈ R ; a ≠ 0 ; b ≠ 0 ; (ab)-1 = a-1 b-1

Prueba:

Si probamos que (ab) (a-1 b-1) = 1, la tesis queda demostrada

puesto que (ab)-1 y (a-1 b-1) resultan ambos el inverso

multiplicativo de (ab), que como sabemos debe ser único por (M4)

MATEMATICA BASICA I

71

(ab) (a-1 b-1) = (ab) (b-1 a-1) (M2)

= a [b (b-1 a-1)] (M3)

= a [((bb-1) a-1] (M3)

= a (1.a-1) (M5)

= a . a-1 (M4)

= 1 (M5)

Por lo tanto (ab)-1 = a-1b-1 (M5)


1) ∀a, b, c, d ∈ R ; b, d ≠ 0 se tiene a c ad bcb d bd

++ =

2) a c ac.b d bd

=

3)

aadb

c bcd

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

En efecto:

1) a cb d

+ = ab-1 + cd-1 (definición cociente)

= (ab-1) (dd-1) + (cd-1) (bb-1) (M1)

= (ab-1) (d-1d) + (cd-1) (b-1b) (M2)

= a (b-1 d-1) d + c (d-1 b-1) b (M3)

= (ad) (bd)-1 + (cb) (bd)-1 (M2)

= (ad + bc) (bd)-1 (D)

= ad bcbd+ (definición cociente)

MATEMATICA BASICA I

72

2) a c.b d

= (ab-1) (cd-1) (definición cociente)

= a (b-1c) d-1 (M3)

= a (cb-1) d-1 (M2)

= (ac) (b-1 d-1) (M3)

= (ac) (bd)-1 (Prop. 6)

= acbd

(definición cociente)

3.1.9. Proposición 7: Si ∀a, b, c ∈ R ; a + c = b + c → a = b

Se tiene:

1) a + c = b + c (hipótesis)

2) (a + c) + (-c) = (b + c) + (-c) (1)

3) a + [c + (-c)] = b + [c + (-c)] (A3)

4) a + 0 = b + 0 (A5)

5) a = b (A4)

3.1.10. Proposición 8: ∀a, b, x ∈ R ; b ≠ 0

x . b = a <-> x = a.b-1

Implicación directa:

(=>) 1. x . b = a (hipótesis)

2. (x.b)b-1 = ab-1

3. x (bb-1) = ab-1 (M3)

4. x.1 = a.b-1 (M5)

5. x = a.b-1 (M4)

MATEMATICA BASICA I

73

Implicación inversa:

(<=) 1. x = ab-1 (hipótesis)

2. x b = (ab-1) b (⇒)

3. x b = a(b-1b) (M3)

4. x b = a.1 (M5)

5. x b = a (M4)

Por tanto x b = a <-> x = ab-1


1) ∀a, b ∈ R ; ab = 0 <-> a = 0 ∨ b = 0

2) ∀a, b ∈ R ; a2 = b2 <-> a = b ∨ a = -b

Se tiene:

1) (=>)

1. ab = 0 (hipótesis)

2. Supongamos que b ≠ 0 (hipótesis auxiliar)

3. Existe b–1 (M5)

4. (ab)b–1 = 0b–1 (3, Prop. 1)

5. a (bb–1) = 0 (M3)

6. a.1 = 0 (5, M5)

7. a = 0 (M4)

8. Supongamos que a ≠ 0 (hipótesis auxiliar)

9. Existe a–1 (M5)

10. (ab)a–1 = 0a–1 (3, Prop. 8)

11. a (ba–1) = 0 (M3, Prop. 1)

12. a (a–1) b = 0 (M2)

MATEMATICA BASICA I

74

13. (a.a–1) b = 0 (M3)

14. 1.b = 0 (I3, M5)

15. b = 0 (I4, M4)

(<=)

1. a = 0 ∨ b = 0 (hipótesis)

2. ab = 0 (1, Proposición 1)

2) a2 = b2 <-> a2 – b2 = 0

<-> (a+b) (a-b) = 0

<-> a-b = 0 ∨ a+b = 0

<-> a = b ∨ a=-b

Ejecicio:

1. Probar: ∀a ∈ R ; a ≠ 0 ⇒ (a-1)-1 = a

2. ∀a, b, c ∈ R se tiene que si a=b entonces ac=bc

EJERCICIOS RESUELTOS

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. x 2 + 4 x - 21 = 0

Solución: x 2 + 4 x - 21 = (x +7) (x –3) = 0 <–>

x + 7 = 0 ∨ x –3 = 0

x = –7 ∨ x = 3

2. 4 x 2 + 12x + 1 = 0

Solución: 4 x 2 + 12x = –1

x 2 + 3 x = – 14

x 2 + 3 x + 94

= 1 94 4

− +

Por propos. 9

MATEMATICA BASICA I

75

23

2⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

x = 2 = ( )22

x ó3 32 22 2

< − > + = + = −x

ó -3 32 22 2

< − > = − + = −x x


1. Demostrar las siguientes propiedades de números reales:

a) –a–b = –(a + b)

b) Si a ≠ 0 ; ac = ab → c = b

c) Si a = b y a, b ≠ 0 → 1 1a b

=

d) (a – b)c = ac – bc

e) –(a – b) = –a + b

f) Si b ≠ 0 , a c a bcb

= ↔ =

2. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 13x – 7 = 5x + 3

b) 3x + 7 = 11x + 3

c) (x + 2)2 + (x – 4)2 = (x – 3)2 + (x – 7)2

d) (2x + 1) (3x – 4) + x + 3 = (x – 3) (6x + 5) – 3x + 7

e) x2 – 4x – 21 = 0

f) 3x2 – 11x+ 6 = 0

g) 5x2 + 3x + 2 = 0

h) 9x2 + 54x + 9 = 0

MATEMATICA BASICA I

76

ALGEBRA DE LOS REALES A continuación trataremos algunos problemas más básicos de los reales

R desde un punto de vista algebraico:

3.2. DESIGUALDADES E INTERVALOS La correspondencia entre los números reales y los puntos de una

recta permite observar otra propiedad fundamental del conjunto de

los números reales referentes a la existencia de un ordenamiento

en este conjunto.

Este concepto de “orden” se introduce en el sistema de los

números reales mediante la definición siguiente:

3.2.1 Definición 1: Si a y b son números reales, diremos que “a”

es menor que “b” si y sólo si b-a es un número positivo.

Simbólicamente:

a 0}

Equivalencias de las relaciones ≤ y <, ≥ y >.

1) a a

2) a ≤ b ↔ a 0

a es positivo si -a < 0

3.2.2 Definición 2: Una proposición de la forma a<b, a>b, a≤b,

a≥b; es una desigualdad.

MATEMATICA BASICA I

77

3.3. PROPIEDADES GENERALES DE DESIGUALDADES 3.3.1. Si a –b

3.3.3. Si abc

3.3.4. Si a ≠ 0 entonces a2 > 0

3.3.5. Si 0 ≤ a 0 ↔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)

2) ab < 0 ↔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)

3.3.7. a–1 tiene el mismo signo que a

3.3.8. Si a y b tienen el mismo signo y ab-1

En efecto:

Si a b–1

3.3.9. Proposición 10: Si a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 entonces a2 > b2 ↔ a > b

3.3.10 Proposición 11:Si a2 > b ; b ≥ 0 ↔ a > b ó a <– b

Prueba:

1) Si a ≥ 0 entonces a2 > b = ( )2b ↔ a > b

2) Si a < 0 → –a > 0

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78

Hemos demostrado que si a<0 entonces:

a2>b↔a<– b

Por (1°) y (2°) queda probado:

Si b ≥ 0 entonces a2 > b ↔ a > b ó a <– b

3.3.11 Si b > 0 entonces a2 al

conjunto de número reales: <a, b> = {x ∈ R / a < x < b}

3.4.2. Intervalo cerrado de extremos a y b, y se denota [a,b] al

conjunto: [a,b]={x∈R / a ≤ x ≤ b}

a b

3.4.3. Intervalo semiabierto de extremos a y b y se denotan: <a,b]

ó [a,b> a los conjuntos:

<a,b]={x∈R / a < x ≤ b}

[a,b>={x∈R / a ≤ x < b}

a b

MATEMATICA BASICA I

79

Ejemplos:

1. <a, +∞> = {x∈R / x > a}

2. [a, +∞>={x∈R / x ≥ a}

a

3. <–∞, +∞>=R

3.5 OPERACIONES CON INTERVALOS. Se tiene las siguientes:

3.5.1 <a, b] ∩ [b, c> = {b}

3.5.2 <a, b] ∩ <b, c> = ∅

3.5.3 <a, b] ∪ <b, c> = <a, c>

3.5.4 <-∞, a> ∪ <a, +∞> = R – {a}

3.5.5 Si a<c<b<d entonces:

<a, b] – <c, d] = <a,c]

<a, b] ∩ <c, d> = <c, b]

<a, b] ∪ <c, d> = <a, d>

<c, d>–<a, b] = <b, d>

3.5.6 <-∞, b> ∩ [a, +∞> = [a, b> ; a<b

MATEMATICA BASICA I

80

Ejercicios Resueltos

Resolver las inecuaciones:

1) 7x – 10 < 4

(7x – 10) + 10 < 4 + 10

7x < 14

x < 2

Solución: = <-∞, 2>

2) (x + 1)2 + (x+4)2 ≤ (x+3)2 + (x+5)2

(x2+2x+1) + (x2+8x+16) ≤ x2+6x+9+x2+10x+25

2x2 + 10x + 17 ≤ 2x2 + 16x + 34

10x + 17 ≤ 16x + 34

-17 ≤ 6x

–176

≤ x

x ≥ –176

conjunto solución x∈ 17 ,6

⎡− +∞⎢⎣

3) Resolver:

7 – 4x ≤ 3x + 5 < 9x + 11

Primero resolveremos 7 – 4x ≤ 3x + 5

↔ –4x – 3x ≤ 5 – 7

↔ –7x ≤ –2

↔ 7x ≥ 2

↔ x 27

≥

MATEMATICA BASICA I

81

Solución: 12s ,7

⎡= +∞⎢⎣

Ahora resolveremos 3x + 5 < 9x + 11

↔ 3x – 9x < 11 – 5

↔ –6x < 6

↔ 6x > –6

↔ x > –1

Solución 2s 1,= − +∞

Solución general: s = s1∩s2 =2 ,7

⎡ +∞⎢⎣

3.6. INECUACIONES DE 2° GRADO 3.6.1. Método de Factorización. Consideramos los 2 casos

siguientes:

Proposición 12. Dados a, b ∈ R

1. ab > 0 ↔ “a > 0 ∧ b > 0” ó “a < 0 ∧ b < 0”

2. a.b < 0 ↔ “a > 0 ∧ b < 0” ó “a < 0 ∧ b > 0”

Ejemplo:

Resolver:

1. 4x2 – 11x – 12 > 0

Factorizando (4x + 3) (x – 4) > 0

↔ (4x + 3 > 0 ∧ x – 4 > 0) ó (4x + 3 < 0 ∧ x – 4 < 0)

↔ (x > – 34

∧ x > 4) ó (x < – 34

∧ x < 4)

MATEMATICA BASICA I

82

↔ x > 4 ó x < – 34

3.6.2 Método por Completación de Cuadrados Recordemos los siguientes 2 casos:

Dado a, b ∈ R; b > 0

I. a2 −ia b a b

II. a2 > b ↔ > ∨ < −óa b a b

Ejemplos:

Resolver:

1. 4x2 + 12x – 3 > 0

→ x2 + 3x – ¾ > 0

→ x2 + 3x > ¾

→ x2 + 3x + 9/4 > ¾ + 9/4

→ (x + 3/2)2 > 3

→ 3 33 3

2 2+ > + < −x o x

→ 3 33 3

2 2+ > + < −x o x

2. 4x2 – 16x + 13 < 0

→ x2 – 4x + 13/4 < 0

→ x2 – 4x < – 13/4

→ x2 – 4x + 4 < 4 – 13/4

MATEMATICA BASICA I

83

→ (x - 2)2 < ¾

3( 2)

2 3 32 2

2 23

( 2)2

⎫→ − < ⎪

⎪⎪ − < ∧ − > −⎬⎪⎪→ − > −⎪⎭

x

y x x

x

3. Resolver 4x2 – 4x + 7 ≥ 0

→ x2 – x + 7/4 ≥ 0

→ x2 – x ≥ –7/4

→ x2 – x + ¼ ≥ –7/4 + ¼

→ (x – ½)2 ≥ – 3/2

Conjunto Solución: R

Pues ∀x∈R: 21 3

02 2

x⎛ ⎞− ≥ ≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠

: (todo cuadrado ≥0)

3.7. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

3.7.1. Definición: El valor absoluto de un número real “a” se

define como aquel número real no negativo que se denota

por:

|a|

donde: |a|=a si a≥0

|a|=-a si a<0

Ejemplos

1. Si a = –6 → | a | = – a i.e. | – 6 | = –(–6) = 6

2. Si a = 9 → | a | = a i.e. | 9 | = 9

3. Si a = 0 → | 0 | = 0

MATEMATICA BASICA I

84

3.7.2. Propiedades generales de valor absoluto

1. | a | ≥ 0 ; ∀ a ∈ R

| a | = 0 ↔ a = 0

2. | a |2 = a2 ; ∀ a ∈ R

3. | a | = | –a | ; ∀ a ∈ R

4. | a – b | = | b – a | ; ∀ a, b ∈ R

5. | a b | = | a | | b | ; ∀ a, b ∈ R

6. | a | = | b | ↔ a = b ∨ a = –b

7. | a | = b ↔ b ≥ 0 ∧ ( a = b ∨ a = –b )

8. a ≤ | a | ; ∀ a ∈ R

9. | a | 0 ∧ (–b < a b ↔ a > b ∨ a < -b

12. | a | ≥ b ↔ a ≥ b ∨ a ≤ –b

13. | a + b | ≤ | a | + | b | ; ∀ a, b ∈ R

14. || a | – | b || ≤ | a – b | ; ∀ a, b ∈ R

15. || a || = | a |; ∀ a∈ R

Prueba de 13 y 14:

| a + b | 2 = ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2

= a2 + b2 + 2ab

≤ | a |2 + | b |2 + 2| a b | = | a |2 + 2 | a | | b | + | b |2 = (|

a | + | b |)2

| a + b |2 ≤ ( | a | + | b | )2

| a + b | ≤ | a | + | b |

MATEMATICA BASICA I

85

| a | = | b + (a – b) | ≤ | b | + |a – b| → | a | – | b | ≤ |a – b| (I)

| b | = | a + (b – a) | ≤ | a | + | a – b | → | b | – | a | ≤ |(a – b)|

– (| a | – | b |) ≤ | a – b | (II)

De (I) y (II)

| a | – | b | ≤ | a – b | ∧ –(| a | – | b |) ≤ | a – b | → ≤ │a – b│}

Ejemplos: 1. | 3x + 4 | = | 7x – 3 |

↔ 3x + 4 = 7x – 3 ó 3x + 4 = –(7x – 3)

↔ –4x = –7 ó 10x = –1

↔ x = 74

ó x = 110

−

1 7,10 4

⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

2. | 10x + 7 | = 17

↔ 10x + 7 = 17 ó 10x + 7 = -17

↔ 10x = 10 ó 10x = -24

↔ x = 1 ó x = 125

−

12,15

⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

3. | 5 – 3x | < 7

↔ –7 < 5 – 3x < 7

↔ –12 < – 3x < 7

↔ 12 > 3x > –7

MATEMATICA BASICA I

86

↔ –7 < 3x < 12

↔ – 73

< x < 4

x ∈ 7,4

3−

4. | 7x + 3 | > 17

↔ 7x + 3 > 17 ó 7x + 3 < –17

↔ 7x > 14 ó 7x < –20

↔ x > 2 ó x < – 207

5. | x2 – 16 | > 9

↔ x2 – 16 > 9 ó x2 –16 < -9

↔ x2 > 25 ó x2 < 7

↔ (x > 5 ó x < –5) o ( )7 7− < <x

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Resolver las siguientes inecuaciones: (2do Grupo)

1) 2x2 – 6x + 3 < 0

2) 4x2 – 4x – 3 < 0

3) –4x2 – 8 < – 12x

4) x2 – 2x – 2 > 0

5) 3x2 – 10x + 3 < 0

6) x(3x + 2) < (x + 2)2

7) 5x2 – 14x + 9 > 0

8) 1 – 2x – 3x2 ≥ 0

9) 3x2 – 5x – 2 ≥ 0

MATEMATICA BASICA I

87

2. Resolver las siguientes inecuaciones: (3er grupo)

1) x4 – 4x3 – x2 + 4x – 6 < 0

2) 2 x3 + 3 x2 – 11 x –6 ≥ 0

3) x 3 – 3 x2 – 13x + 5 > 0

4) x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 > 0

5) x 5 + 3x4 – 5x3 – 15x2 – 4x + 12 > 0

6) x4 – 3x2 – 6x – 2 < 0

7) ( )( )( )3x 1 x 1

02x 1 (x 8)

− +≥

+ −

8) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

23 2

2 7

3 x x 1 1 5 x0

6x 3 3x 5

− − −>

+ −

9) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

7 8 103 2

4 2

x 8 x x 1 x 10

x 3 x 25 7

− + + −≥

+ −

10) ( )( ) ( )72

4 2 8

x 2x 1 x 3 x 90

x 2x −

− + + −>

−

11) x4 – 2x2 + 8x – 3 > 0

12) (x – 7) (x + 3) (x + 5) (x + 1) ≥ 1680

3. Resolver las siguientes inecuaciones: (4to grupo)

1) ( )( )

22x 3x 3 1x 2 2x 3 2

− +> −

− +

2) x 4 x 2x 5 x 3

+ −<

− +

3) 7 1 2x 4 x 2

+ < −− +

4) 2

7 6 2x 1 x 1

− >− −

MATEMATICA BASICA I

88

5) 2

2

x 2x 3 3x 4x 3

− +> −

− +

6) 2

7 6 5x 1 x 1

− <− −

7) 7 30 7x 7 x 2 x 1

+ <+ + +

8) 10 5 5x 7 x 2

+ <+ +

9) 1 1 xx 2 x 2

+ ≥− +

10) 6x2 + 23x4 + 3x3 – 41x2 – 9x + 18 > 0

4. Resolver las siguientes inecuaciones: (5to grupo)

1) 5 12x 1 x 2

≥− −

2) 2x 1 2 x 1 3 0− + − − <

3) x 1

07x 1

−≥

+

4) 3x 1 7x 3

+<

−

5) 7x 4 2x 5

+>

−

6) 3x 1 57x 1

−≤

+

7) |2x2 + 5x – 2| < |2x2 + 6x – 1|

8) |3x2 – 1| < |7x2 – 3|

9) 2x 1 x 12 0

x 2 x 1− −

− >+ +

MATEMATICA BASICA I

89

10) 2

2x 3x 4 1x 3x 2

+ −≤

− +

11) |2x3 – 3| ≤ |4x + 1|

5. Resolver la siguiente inecuación: (6to Grupo)

1) Dados los conjuntos A = {4x + 7 > – 17}

B = {4x2 – 13 |x| + 9 ≥ 0}, hallar CA ∩ B ; A ∩ CB.

2) Si D={3x2-(x+9)>0} ; E={x2+4x-2<0}; hallar D∩E; D∪E;

D’∪E’ y D’∩E’

6. Resolver las inecuaciones, expresando su conjunto solución en

forma de intervalo. (7mo Grupo)

a) 2x 5 1x 4

−≤

− R. [1,3]

b) 1 2x 3 3x 6≤ − ≤ − R. 3, + ∞

c) 2x 2x 3 5

x 3 x 3+ −

<+ +

R. 3,2−

d) x 1 1x 2

+>

− R. { }1, 2

2+∞ −

e) 2x 2x 2 2

x 1+ +

<−

R. ∅

f) 2x 3x 11 x

x 2+ +

<−

R. ∅

g) 3 14x 1 x 1

≤+ +

R. { } (4 1 2,7

⎛ ⎞−∞ − − − − ∪ +∞⎜ ⎟

⎝ ⎠

MATEMATICA BASICA I

90

7. Hallar el mayor valor de la expresión dada en el intervalo indicado.

(8vo Grupo)

1) 4 1 1

E si 0,1+ − −

= ∈x x

xx

R. 5

2) 7 2 3 2

E si 0,3+ − +

= ∈x x

xx

R. 4

3) 3 3 8 5 24

E si 5, 42

− − += ∈ − −

x xx

x

4) Hallar el menor valor de m que satisface:

i) 2x 1 1 mx 2 2

+− ≤

− donde [ ]x 4,7∈ .

ii) 3 2x mx 1−

≤−

donde 2 1 1,x 6 2

⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ R. i) 4 ii) 21

11

5) Para los siguientes conjuntos hallar A ∩ B

a) x 2 2x 3A x R /x 2 4x 1

− −⎧ ⎫= ∈ <⎨ ⎬+ −⎩ ⎭

x 2 x 3B x R /x 4 x 6

− +⎧ ⎫= ∈ ≤⎨ ⎬+ −⎩ ⎭ R. ]2,0−

b) 2

23 1A R /1

⎧ ⎫+ −= ∈ ≤⎨ ⎬−⎩ ⎭

x x xxx x

2 5B R / 14

⎧ ⎫−= ∈ ≤⎨ ⎬−⎩ ⎭

xxx

R. ]1,3

c) { }A R/ 5 2 3 y 2 2= ∈ + > − − > +x x x x x

4B R /1 X

⎧ ⎫= ∈ ≤⎨ ⎬−⎩ ⎭

xxx

R. 2, 0,13

−∞ − ∩ = φ

MATEMATICA BASICA I

91

d) 2 6 7 2A R /

1 1⎧ ⎫− +⎪ ⎪= ∈ ≥⎨ ⎬− −⎪ ⎪⎩ ⎭

x xxx x

2 3B R /4 6

⎧ ⎫− += ∈ ≤⎨ ⎬+ −⎩ ⎭

x xxx x

R ] { }, 3 6− ∞ ∪ ∩ + ∞ .

e) 3 3

2 2

2 4A R /1 2

⎧ ⎫− −⎪ ⎪= ∈ <⎨ ⎬+ +⎪ ⎪⎩ ⎭

x xxx x

4 22 8B R / 0

2⎧ ⎫⎛ ⎞− −⎪ ⎪= ∈ ≤⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

x xx xx

3.8. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Postulado de Cantor – Dedekind:

“Los puntos de una recta orientada son coordenados o está en

correspondencia binómica con los reales”.

Esta correspondencia permite aplicar los métodos del Análisis a la

Geometría creando asi una relación entre estas ramas

matemáticas que se conoce como: Análisis y Geometría o con

mayor propiedad Geométrica Analítica.

Correspondencia que permitirá, por ejmplo: usar con ventaja:

métodos algebraicos para resolver probelmas geométricos, e

inversamente usar representaciones geométricas de ecuaciones y

relaciones funcionales.

MATEMATICA BASICA I

92

Los sistemas de coordenadas fueron introducidos por el filósofo-

matemático francés René Descartes en 1637. Por ello es que

también se llama la Geometría Analítica como la Geometría

Cartesiana.

Para introducir esta rama matemática a un problema geométrico,

un buen plan es primero, trazar un sistema apropiado de

coordenadas.

A continuación trataremos algunos problemas básicos

geométricos con ayuda de la Geometría Analítica.

3.9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 3.9.1 Proposición 12. La distancia d entre 2 puntos P1(x1 , y1) y

P2(x2 , y2) está dado por la fórmula:

( ) ( )2 22 1 2 1d y y x x= − + −

En efecto:

En el triángulo recto P1 Q P2,

El teorema de Pitágoras

asegura que:

( ) ( )2 222 1 2 1d y y x x= − + −

x2-x1

MATEMATICA BASICA I

93

Sacando la raíz cuadrada positiva:

( ) ( )2 22 1 2 1d y y x x= − + −

3.10 SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO Hemos estado viendo problemas sobre rectas. Para analizar

diversas relaciones sobre el plano debemos introducir un sistema

apropiado.

El sistema cartesiano plano es la intersección de 2 rectas

orientadas perpendiculares de conformidad a la figura:

Cada punto del plano tiene 2

coordenadas: una sobre el eje

horizontal X, la abcisa, y otra sobre

el vertical Y, la ordenada. Pasemos a

ver diversos casos:

EJERCICIOS PROPUESTOS N°04

1. Verificar que los puntos A(3,8) , B(–11,3) y C(–8, –2) son los

vértices de un triángulo isósceles.

2. Verificar que los puntos A(7,5) , B(2,3) y C(6,–7) son los vértices

de un triángulo rectángulo.

3. Determinar un punto que equidiste de los puntos A(1,7), B(8,6) y

C(7,–1).

4. Verificar que los puntos A(2,4) , B(8,6) y D(4,8) son los vértices de

un paralelogramo.

y

MATEMATICA BASICA I

94

3.11. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA 3.11.1 Proposición 13. Si P1(x1 , y1) y P2(x2, y2) son los extremos

de un segmento ; las coordenadas (x,y) de un punto P que

divide a este segmento en la razón dada.

2

1

PPPPr = son 1r;

r1ryyy,

r1rx 2121 −≠

++

=++

=xx

Prueba:

- Por los puntos P1, P2 , P tracemos perpendiculares a los

ejes coordenados.

- Por Geometría Elemental, las tres paralelas P1 A1, PA y

P2 A2 interceptan segmentos proporcionales sobre las dos

transversales P1P2 y A1A2. Por lo tanto:

)(AAAA

PPPPr

2

1

2

1 α==

Las coordenadas de los pies de la

perpendicular al eje X son A1(x1,0),

A(x,0) y A2(x2,0).

Luego: xxxx −=−= 2211 AA;AA

En:

( ) 1r;r1r

xr 21

2

1 −≠++

=→−

−=α

xxxx

xx

P

MATEMATICA BASICA I

95

De manera similar, podemos comprobar

1r;r1ryyy 21 −≠

++

=

3.11.2 Observaciones: 1. Si r > 0, el punto P es interno al segmento dirigido .

2. Si r < 0, el punto P es externo al segmento dirigido

(pero siempre en la recta que contiene al segmento).

a) Estará más cerca al punto P1 si | r | < 1.

b) Estará más cerca al punto P2 si | r | > 1.

3. En el caso particular en que r = 1, tenemos el siguiente

corolario:

Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido

cuyos puntos extremos son: (x1 , y1) y (x2 , y2) esta dado

por:

1 2 1 2y y, y .2 2+ +

= =x xx

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremo los

puntos A(2,-1) y B(-1,2), y los lados iguales miden 17 unidades.

Hallar el vértice opuesto al lado desigual.

2. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo

que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son

(-2,1), (5,2) y (2, -3).

3. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(1,0) y

B(–1, 32 ). Hallar las coordenadas del tercer vértice C(x,y).

MATEMATICA BASICA I

96

4. Hallar las coordenadas de un punto P(x,y) que divida al segmento

P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en la razón 2

1

PPPPr = .

donde:

a) P1(4,–3) , P2(1,4) , r = 2

b) P1(5,3) , P2(-3,–3) , r = 1/3

c) P1(0,3) , P2(7,4) , r = –2/7

d) P1(–5,2) , P2(1,4) , r = -5/3

e) P1(–2,1) , P2(3,-4) , r = –8/3

3.11.3 Área de Polígonos de lados rectos. Los vértices de un

triángulo orientados en sentido antihorario son (x1,y1),

(x2,y2) y (x3,y3). Entonces el área del triángulo cuyos

vértices son dados es:

yA y

yΔ =

x

x

x

1 1

2 2

3 3

12

; la mitad del valor del arrego.

El valor dado de arreglo se obtienen adjuntado x, y, luego hay 3

flechas hacia abajo positivas y las 3 flechas hacia arriba

MATEMATICA BASICA I

97

(punteadas) negativas. Se hace las operaciones y al final se toma

la mitad del valor absoluto:

= ( ) ( )x y x y x y x y x y x y+ + − + +1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2 1

Ejemplo: Los vértives de un triángulo son <-3,0>, <-8,-7> y<-8,0>

¿Cuál es su área? El valor del área es:

12

( ) ( )= + + − + +1

21 0 0 0 56 02

.= − =1

21 56 17 52

Sólo se ponen las flechas a la derecha.

Nota.- En esta forma, la fórmula se puede generalizar para hallar

el área de cualquier polígono. Se puede comenzar de cualquier

vértice y en cualquier sentido teniendo cuidado de no saltarnos.

Para 4 lados o cuadriláteros:

1 1

2 2

3 3

4 4

x yx y1Ax y2x y

=

MATEMATICA BASICA I

98

Ejemplos:

1. Determinar el área:

Del triángulo DCE:

A = 12

= [ ]+ + − + + =( ) u213 30 9 6 9 15 6

2 (3 obticuas)

Del rectángulo ABCD:

A = 12

= ( )⎡ ⎤+ + + − + + + =⎣ ⎦ u211 15 15 1 3 3 5 5 8

2 (4 obticuas)

Del pentágono ABCED

A = 12

= ( )⎡ ⎤+ + + + − + + + + =⎣ ⎦ u211 15 30 9 1 3 6 9 5 5 14

2

(5 obticuas)

MATEMATICA BASICA I

99

2. Área de la figura ABCDE que debe dar aproximadamente 14

de

circulo de radio1: aprox. π4

.

Área de polígono = Ap inscrito en el 14

de círculo.

Ap = 12

= ⎡ ⎤+ + − = =⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 3 1 1 6 32 2 4 2 4 8 4

= .30 75

4

π= .0 785

4 área 1

4 de círculo

de radio 1


1. Hallar el área de los polígonos cuyas coordenadas de los vértices son:

a) (2,5) , (7,1) , (3,-4) y (-2,3) R. 39.5u2

b) (0,4) , (1,-6) , (-2,-3) y (-4,2) R. 25.5u2

c) (1,5) , (-2,4) , (-3,-1) , (2,-3) y (5,1) R. 40u2

d) (1,1), (7,1), (7,3), (7,6) y (1,3) R. 21u2

e) (-4,2), (-6,-2), (-2,-8), (5,-9), (10,-2) y (5,6) R. 153u2

132

12

00

0 0012

3210

MATEMATICA BASICA I

100


1. Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos

vértices son A(x1 , y1), B(x2 , y2), C(x3, y3)

Solución Las medianas de un triángulo se cortan en un punto P(x,y)

llamado baricentro, situado de los vértices a 2/3 de la distancia de

cada uno de ellos al punto medio del lado opuesto.

Consideramos la mediana APD, siendo D el punto medio de BC.

Las coordenadas de D son 2 3 2 3x x y y,2 2+ +

Como AP 2AD 3

=

resulta AP 2r 2PD 1

= = =

2 31

1 2 3

22

1 2 3

+⎡ ⎤+ ⎢ ⎥ + +⎣ ⎦= =+

x xxx x xx

2 31

1 2 3

y yy 2y y y2y

1 2 3

+⎡ ⎤+ ⎢ ⎥ + +⎣ ⎦= =+

,

luego las coordenadas del baricentro son

1 2 3 1 2 3y y yP ,3 3

+ + + +⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

x x x

D P

A(x1,y1)

MATEMATICA BASICA I

101

2. Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos

vértices son:

a) (5,7) , (1 ,–3) y (–5,1)

b) (2,–1) , (6,7) y (–4,–3)

c) (3,6) , (–5,2) y (7,–6)

d) (7,4) , (3,–6) y (–5,2)

e) (-3,1) , (2,4) y (6,–2)

3. Demostrar que los 3 puntos siguientes son colineales:

A(–3,–2) , B(5,2) y C(9,4)

Debe de verificar que el área de los 3 puntos es 0.

3.12. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA Y PENDIENTE DE

UNA RECTA 3.12.1 Definición. Si L es una recta que pasa por el punto

P0(x0,y0), entonces el ángulo θ formado por la recta L y el

eje x positivo en sentido antihorario se llama ángulo de

inclinación de L. Variación de θ es °≤θ≤ 1800 .

Llamaremos pendiente de una recta L a la tangente de su

ángulo de inclinación y denotaremos por mL = tan θ .

3.12.2 Observaciones:

Si 90 0θ < ⇒ >Lº m

Si 90 0θ > ⇒ <Lº m

Si 90= ⇒ → ∞Lº mθ

MATEMATICA BASICA I

102

Proposición 14. La pendiente de una recta L que pasa por los

puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) está dado por −= ≠

−2 1

L 2 12 1

y ym ; x xx x

.

La prueba de deja como ejercicio.

3.12.3 Rectas paralelas; perpendiculares: 1. Dos rectas L1 y L2 no verticales son

paralelas si y sólo si m1 = m2.

En efecto:

Si L1 // L2 1 2 1 2α α α α→ = → =tan tan

i – e = m1 = m2.

2. Dos rectas son perpendiculares . 1 2m ,m 1↔ = −

Esto es, si los ángulos de inclinación son x y θ, se

tiene:

90θ α= +º

- ( )90θ α= +tan tan º

- 1−= − =tan cot

tanθ α

α

tanα tanθ = –1

esto es: m1 . m2 = –1

MATEMATICA BASICA I

103

3.12.4 Ángulo entre 2 rectas Supongamos que tenemos 2 rectas

L1 y L2 que se cortan y queremos la

medida del ángulo que forman.

Sean las pertinentes según figura:

m1 = tan β

m2 = tanθ

tg tgtg1 tg tg

θ − βθ = α + β → α = θ − β → α =

+ θ β

2 12 1

2 1

m mi e tg ; m m 11 m m

−− α = ≠ −

+. (Suponemos que las

rectas no son perpendiculares, este es πα ≠

2)

EJERCICIOS RESUELTOS 1) El área de un triángulo es 8 und2 y los vértices son los puntos A(1, -2),

B(2, 3) y el tener vértice C esta en la recta 2x + y – 2 = 0.

Determinar las coordenadas del vértice C.

Solución: Cómo:

B(2, 3)

A(1, -2)

C(x, -2x + 2)

L: 2x + y – 2 = 0

MATEMATICA BASICA I

104

Se tiene:

⇒=+−

−= 8

111

2232

21

21

xxArea

41

=−=

yx

∴ x = (-1, 4)

2) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del

triángulo A (5, -4) B(-1, 3) C(-3, -2) y son paralelas a los lados

opuestos.

Solución:

Calculo de L1

Cómo L1 // ⇒ =____

ABAB m mL1

mL1 = mB-A = ( )− −= = −

− − −3 4 7 7

1 5 6 6

Punto de paso: (-3, -2)

⇒ Ecuación L1

Ecuación punto pendiente: += −

+yx

2 73 6

B (-1, 3)

A (5, -4) C (-3, -2)

L1

L3

L2

MATEMATICA BASICA I

105

Se tendrá: ( )−+ = +y x7

2 36

7x + 6y + 33 = 0

Cálculo de L2

Como L2 // 2

____

____ mLmBCBC

=⇒

( )( ) 4

531

23−

=−−−

−−== −BCBC mm

Ecuación punto pendiente: yx

+= −

−4 55 4

Entonces: ( )5454 +−=+ xy ;

Es decir: 0945 =−+ yx

Cálculo de L3

Como L3 // 3

____

_____ mLmACAC

=⇒

( )41

82

5342

____ −=−

=−−−−−

== CAAC

mm

Ecuación punto – pendiente: yx

−= −

+3 11 4

Entonces: ( )1413 +−=− xy

x + 4y – 11 = 0

3) Dadas las ecuaciones de dos lados de un paralelogramo

8x+3y+1=0; 2x+y-1=0 y la ecuación de una de sus diagonales

MATEMATICA BASICA I

106

3x+2y+3 = 0; determinar las coordenadas de las vértices de este

paralelogramo.

Solución:

Calculo vértice A1

L1= ∩ L2: 8x + 3y + 1 = 0

3x + 2y + 3 = 0

Cálculo vértice B:

L1 ∩ L3: 3x + 2y + 3 = 0

2x + 0y - 1 = 0

Cálculo vértice C:

L1 ∩ L3: 8x + 3y + 1 = 0

2x + y - 1 = 0

Para calcular D: se recurre ________CBAD =

( ) ( ) ( )5,29,53,1____

−−−+−=−+==−⇒ CBACBAD

D = (8, -17)

L1: 3x + 2y + 3 = 0

L2: 8x + 3y + 1 = 0

L3: 2x + y - 1 = 0

C

B

A

D

(x, y) = (1, -3)

(x, y) = (5, -9)

(x, y) = (-2, 5)

MATEMATICA BASICA I

107

4) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del

triángulo A(-4, 3) B(6, -4) C (-8, -2) y son paralelas a los lados

opuestos.

Solución:

Calculo de L1:

Como: L1 // ____AC mL − −

⇒ = =− +1

2 3 58 4 4

Ecuación punto de paso – pendiente: y ‘ y0 = (x – x0)

donde: (x0, y0) = (6, -4) mL1; 5/4

( ) 046456454 =−−⇒−=+ yxxy

y (x ) x y+ = − ⇒ − − =5

4 6 5 4 46 04

Calculo de L2:

Como: L2 // ( )

107

6443

2

____

−=

−−−−−

=⇒ mLBC

( )y x x y− = − + ⇒ + + =7

2 8 7 10 36 010

A(-4, 3)

C(-8, -2) B(6, -4)

L2

L3

L1

MATEMATICA BASICA I

108

Calculo de L3:

Como: L3 // ( )

71

142

6842

3

____−=

−=

−−−−−

=⇒ mLBC

( ) 017741013 =−+⇒+−=− yxxy

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Dado el triángulo de vértices A(-2,5) , B(-6,-3) y C(4,7). Hallar el

ángulo que forma la mediatriz del lado AB con la mediana trazada

desde C.

2. Hallar el radio de la circunferencia inscrita al triángulo isósceles

ABC sabiendo que A(-7,-1), B(5,4) y C(5,-6). R. 10/3

3. Tres rectas L1, L2 y L3 se interceptan en el punto M(-6,4). Si L1 y L2

contienen los puntos (2,2) , (0,0) respectivamente y L2 es bisectriz

del ángulo que hacen L1 con L3. Hallar la pendiente de L3. R. 3/2 ,

19/2

4. Encuentre los ángulos interiores del triángulo ABC cuyos vértices

son A(–2,–3), B(–5,4) y C(6,1).

5. Si P(3,6) y Q(–3,4) son los puntos de trisección del segmento AB,

hallar el ángulo ACB donde C = (7,–3).

6. Hallar el área del exágono regular inscrito en una circunferencia

de radio 1.

MATEMATICA BASICA I

109

IV. RECTA Y CIRCUNFERENCIA 4.1 LA ECUACIÓN DE LA RECTA: DIVERSAS FORMAS DE SU

ECUACIÓN Forma punto – pendiente.

La ecuación de la recta L que pasa por el

punto P0(x0,y0) y cuya pendiente es m

esta dado por:

L : y – y0 = m(x - x 0)

Forma pendiente-ordenada en el origen.

La ecuación de la recta L de pendiente m

y que corta al eje Y en el punto P0(o,b)

(siendo b la ordenada en el origen) está

dado por L: y = mx + b.

Forma cartesiana.

La ecuación de la recta que pasa por 2

puntos P1(x1,y1) y P2(x2, y2) está dado por:

1 2 1

1 2 1

y y y yx x x x

− −=

− −

MATEMATICA BASICA I

110

Ecuación simétrica de la recta.

La ecuación de la recta L corta a los

ejes coordenados X e Y en los puntos

A(a,o) y B(o,b) está dado:

L : y 1a b

+ =x

4.2 ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA.

La forma general de la ecuación de la recta L está dado por L :

Ax + By + C = 0, A, B, C son constantes con la condición que A, B

y C no son simultáneamente nulas.


1. Si A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 CyB

→ = − , que es una recta //

al eje x.

2. Si A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 CxA

→ = − , que es una recta //

al eje Y.

3. Si A ≠ 0, B ≠ 0 A CyB B

→ = − −x , que es la ecuación

de la recta con pendiente AmB

= − , sigue de las

relaciones vistas:

4.2.2 Consideremos 2 rectas:

L 1: A1 x + B1y + C1 = O; L 2 : A2x + B2 y + C2 = 0

MATEMATICA BASICA I

111

las relaciones siguientes son condiciones necesarias y

suficientes para:

1. L1, sea paralela a L 2:

L 1// L 2 1 1

2 2

A BA B

↔ = en efecto: las pendientes

deben ser iguales o: A A A BB B A B

− = ⇒ =1 2 1 1

1 2 2 2

2. L 1, sea perpendicular a L 2:

L 1 ⊥ L 2 A1A2 + B1B1 = 0 aquí las pendientes

perpendiculares o:

A B A A B BAB AB

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− = − − = ⇒ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 21 2 1 2

21 2

2

10

4.3 FAMILIAS DE RECTAS Todo conjunto de rectas que satisfacen una única condición

geométrica se llama familia de rectas o haz de rectas.

Sean las rectas L 1 : = A1x , B1 y + C1 = 0 ,

L 2 : = A2x , B2 y + C2 = 0 que se cortan en el

punto P0(x0 , y0) = 0 . La familia de rectas. Que pasan por el punto

de intersección de L 1 y L 2 es L 1 + k L 2 = O; K se denomina

un parámetro: es un valor constante para cada recta, variando de

una recta a otra.

MATEMATICA BASICA I

112

En efecto:

Si ( )x y y es el punto de intersección de L1 y L2 tendremos:

A x B y C yA x B y C

+ + =

+ + =1 1 1

2 2 2

0

0

Luego, para cada valor de K, la recta:

L1+KL2 = [A1 x + B1 y + C1 + K (A2 x + B2 y + C2)] =0

pasará por ( )x,y puesto que:

L KL A x B y C K A x B y C⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+ = + + + + + ⇒

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦1 2 1 1 1 2 2 2

0 0

0

MATEMATICA BASICA I

113

Ejemplos

1. Dar la familia de rectas que pasan por el punto (2,2)

Tomemos 2 rectas que se cortan en (2,2): sean y=x y y=2

La familia solicitada puede darse por: y-x+K(y-2)=0

2. Familia de rectas paralelas de pendiente 3:

Daremos 2 rectas paralelas de pendiente 3 y con ellas

formamos la familia pedida:

y = 3x

y = 3x + 2

Estas dos rectas paralelas se intersectan en el ∞, luego la

familia pedida puede ser dada por:

y - 3x + α (y - 3x - 2) = 0

MATEMATICA BASICA I

114

Nota. En un sistema coordenado lineal la distancia no dirigida

entre 2 puntos se define como el valor absoluto de la longitud del

segmento rectilíneo que une estos dos puntos.

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y

disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje x.

Hallar la ecuación del lugar geométrico:

Resp. x – 2y – 3 = 0

2) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve

de tal manera que la suma de sus distancia a los dos puntos A

(3, 0) y B (-3,0) es siempre igual a 8.

Resp. 7x2+ 16y2 = 112

4.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

4.4.1 La distancia no-dirigida de un punto

Q(x0,y0) a una recta:

L : Ax + By + C = 0 está dado por la fórmula

d (Q , L ) = 0 0

2 2

A By C

A B

+ +

+

x

MATEMATICA BASICA I

115

4.4.2 Observación: Si dos rectas L 1 : = Ax + By + C = 0 ,

L 2 : = Ax + By + D = 0

Son paralelas entonces la distancia entre estas dos rectas,

esta dado por:

d (L 1, L 2) =2 2

C D

A B

−

+

Verifiquemnos en la forma siguiente:

Distancia de un punto a una recta Preposición 15: Si L: Ax + By + C = 0 es una recta y P1 = (x1; y1)

es un punto de R2; entonces la distancia de P1 a L es:

1 1

2 2

+ +=

+

Ax By Cd

A B

Prueba:

: RQP1 ⇒ d = PR.cosα

(porque)es un segmento vertical

Como R∈L⇒ Ax1+By0+C=0

y

θ

x1

x

R (x1; y0)

P (x1; y1)

α

d

L: Ax + By + C = 0 Q

MATEMATICA BASICA I

116

⇒ Cómo B

CAxByBCx

BAyRP

++=++= 11

111

⇒ αcos11

BCAxBy

d++

=

Ahora: BAtg −

=θ pero θ = α (porque los lados de θ son

perpendiculares a los lados de α) B

ABAtg

−=−=α

; A > 0

También:

Si B < 0 ⇒ α > 90º y cos α > 0 ⇒ 0cos22

>+

−=

BABα

Si B > 0 ⇒ α < 90º y cos α > 0 ⇒ 0cos22

>+

=BA

Bα

∴Ax By C

dA B

+ +=

+1 1

2 2

A

B

α

MATEMATICA BASICA I

117

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4) y es

perpendicular a la recta que pasa por los puntos (7,3) y (5,–1).

2. Los vértices de un triángulo ABC son A(–2,1) , B(4,7) y C(6,–3).

Hallar la ecuación de sus lados.

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de

intersección de las rectas L 1 : 5x + 2y + 7 = 0,

L 2 : 4x – 3y + 24 = 0, y es perpendicular a la recta

L 3 : 3x – 4y – 12 = 0,

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de

intersección de las rectas 3x + 5y – 2 = 0; 2 x – 3y – 14 = 0 y es

paralela a la recta 4x – 3y – 12 = 0.

5. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas

2x – 3y – 5 = 0, x + 2y – 13 = 0, y el segmento que determina

sobre el X es igual al doble de su pendiente. ¿Cuál es su

ecuación?

6. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2,–1)

y que pasan por el punto (2,–1) y forman un ángulo de 45º con la

recta 2x – 3y + 7 = 0.

7. Dado el triángulo ABC cuyos vértices son A(9, 7), B(–5, 5) y

C(-3,–9) Hallar:

a) El área del triángulo ABC.

b) La ecuación de la recta que pasa por el, baricentro de dicho

triángulo y es perpendicular a la recta 7x + 8y + 84 = 0.

c) La ecuación de la mediatriz al lado AB.

MATEMATICA BASICA I

118

d) La ecuación de la altura bajada desde el vértice B al lado

AC.

e) La ecuación de la mediana bajada del vértice A al lado BC.

8. Encontrar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados

por las rectas L 1 : 3x + 4y – 7 = 0 y L 2 : 4x – 3y + 6 = 0.

9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las

rectas L 1 : 2x + 3y – 14 = 0, L 2 : 3x – y – 10 = 0, y dista del origen

7 unidades.

10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por las intersecciones de

las rectas L 1 : 3x – 4y = 0, L 2 : 2x – 5y + 7 = 0, y forma con los

ejes coordenadas un triángulo de área 8u2.

11. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo,

conociendo uno de sus vértices B(2,-1) y las ecuaciones de la

altura: 3 x – 4y + 27 = 0 y de la bisectriz: x + 2y – 5 = 0, trazadas

desde diferentes vértices.

Resta:

L AB = 4x + 7y – 1 = 0

L BC = 4x + 3y – 5 = 0


1. Las rectas L1 y L2 se cortan en el punto P(1,3) formando un

ángulo de 45º (medido de L 1 a L 2 ). La recta L 1 tiene ordenada

en el origen igual a 52

. Determinar los puntos sobre L 2 tales que

su distancia de estos puntos a L 1 sea = 4u.

MATEMATICA BASICA I

119

Solución

Como L 1 pasa por P(1,3) y

A = (0, 52

) su ecuación es:

L 1 : y – 3 = ( )532 1

1 0

−−

−x

La recta L 2 pasa por P(1,3) y su pendiente m es desconocido.

Como tg45º =1; m = 3: L 2 : y = 3 + 3(x - 1) y = 3x.

Ahora hallar los puntos Q(x0 , y0) L 2 tal que la distancia de Q a

L 1 es 4u.

Si (x0 , y0) ∈ L 2 3x0 – y0 = 0 y0 = 3x0.

Luego:

( )0 00

04o 2 3 52y 54 5 5 4 5

1 4 5

− +− += ⇔ = ⇔ − =

+

x xxx

0 05 5 4 5 5 5 4 5⇔ − = ∨ − = −x x

0 05 4 5 5 4 5

5 5− +

= ∨ = →x x ( ) ( )

0 0

5 4 5 3 3 5 4 5y y

5 5

− += ∨ =

A

MATEMATICA BASICA I

120

2. Hallar las ecuaciones de las restas que pasan por el punto (2,-1)

y que forman cada una un ángulo de 45º con la recta

2x – 3y + 7 = 0.

Solución Como (x1 , y1) = (2,–1)

Luego las ecuaciones por hallarse son: y + 1 = m(x – 2).

Graficando: (1.1)

Sea m la pendiente de L

Como: L : 2x + 3y + 7 = 0; su

pendiente es: 12 2m3 3

= − =−

2m3tg45º 1 m 521 m

3

−= = ⇒ =

+

⇒ L : y + 1 = 5(x - 2): 5 x – y – 11 = 0.

L : dependiente m1 tal que: 1

1

1

2 m 13tg45º 1 m1 51 m2

−= = ⇒ = −

+

⇒ L : y + 1 = ( )1 25

− −x

MATEMATICA BASICA I

121


1. Dadas las rutas L 1: x + y – 3 = 0; L 2: 2x – y + 1 = 0; hallar las

ecuaciones de las rutas que pasan por el punto (1,1) que forma

ángulos iguales con las rutas dadas.

2. Halle la tangente del ángulo que forma la ruta que pasa por (–5,6)

y (1,2) con la que pasa por (–4,7) y (8,7).

3. Encuentre las tangentes de los ángulos del triángulo cuyos

vértices son (1,4) (6,2) (0,–3).

4. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los

puntos A(2,-1) y B(-1,2); y los lados iguales miden cada 17

unidades, hallar el vértice opuesto al lado desigual.

R. C(–2,–2) , C(3,3)

5. Dos vértices de un triángulo equilátero son puntos A(1,0) y

B(–1,2 3 ), hallar las coordenadas del tercer vértice.

R. (–3,0) ; (3, 2 3 )

6. El lado de un rombo es igual a5 10 y dos de sus vértices

opuestos son los puntos (4;9) y (–2;–1), calcular el área de este

rombo.

7. Hallar las coordenadas de un punto P1(x,y) que divida al segmento

: P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en la razón 1

2

P PrPP

= .

a) P1(4;–3) ; P2(1,4) ; r = 2

b) P1(5,3) ; P2(–3,–3) ; r = ½

c) P1(0,3) ; P2(7,4) ; r = 2/7

d) P1(-5,2) ; P2(1,4) ; r = 5/3

e) P1(-2,1) ; P2(3,-4) ; r = 8/3

MATEMATICA BASICA I

122

8. Halla las áreas de los polígonos cuyas coordenadas de los

vértices son:

a) (2,4) , (7,1) , (3,–6) y (–2,3) R. 39,5 u2

b) (0,5) , (1,–7) , (–2,-4) y (–4,2) R. 25,5 u2

c) (1,6) , (–2,5) , (–3,2) y (5,2) R. 40 u2

d) (–4,3) , (–6,–3) , (–2,–8) , (5,–9) , (10,–3) y (5,7) R.153 u2

9. Tres rectas L 1, L 2 y L 3 se interceptan en el punto M(–6,4). Si L1

y L2 contienen los puntos (2,2), (0,0) respecto. Y L2 es bisectriz

del ángulo que hacen L 1 con L 3. Halla la pendiente de L 3.

10. Hallar el radio de la circunferencia inscrita al triángulo isósceles

ABC si A(–7,–1) , B(5,4) y C(5,–6). R. 10/3

11. Dado el triángulo de vértices A(–2,–5) , B(–6,–3) y C(4,7). Hallar el

ángulo que forma la mediatriz del lado AB con la mediana trazada

desde el vértice C.

12. Determinar el punto equidistante de los puntos A(9,0), B(-6,3),

C(5,6).

R. (1,–1)

13. Los puntos medios de los lados de un triángulo son A(2,5), B(4,2)

y C(1,1), hallar las coordenadas de los vértices del triángulo.

R. (2,-3) , (-1,4) y (5,6)

14. Discutir y graficar:

a) x2y – x2 – y = 0 b) xy2 + x – 8y = 0

c) xy – 2y – 3x = 0 d) x2y + xy – 2y – x = 0

e) x2y – 4y + x = 0 f) xy – x + 2y – 1 = 0

g) x2 y2 – 4xy2 + 3y2 – 4 = 0 g) xy – x 4y + 2 = 0

MATEMATICA BASICA I

123

15. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve

de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias

a los puntos A(-2,2) y B(2,5) es siempre constante e igual a 13.

16. Hallar la ecuación del L.G. de los puntos (x,y) tales que la suma

de sus distancias con respecto a los puntos (-4,0) y (2,0) es

siempre igual a 10 unidades.

17. Sobre un triángulo ABC cuya base AB se encuentran sobre el eje

“X” y la mediatriz de dicha base sobre el eje “Y”, tiene los vértices

A y B de coordenadas A(3,0) y B(-3,0). Hallar la ecuación del L.G.

descrito por el tercer vértice C(x,y) el cuál se mueve de manera

que °=+ 135BA .

18. Dado el triángulo ABC de vértices A(-4,0), B(0,8) y C(-3,0). Hallar

la ecuación del L.G. de los centros de los rectángulos inscritos en

el triángulo.

R. 4x + y – 4 = 0

19. Dos de los vértices de un triángulo son A(-1,3) y B(5,1). Hallar la

ecuación del L.G. del tercer vértice si se mueve de tal manera que

la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC .

20. Un triángulo ABC cuya base se encuentra sobre el eje X. Tiene los

vértices A( 3,0 ) y B( 3,0 ). Hallar la ecuación del L.G. descrito

por el tercer vértice C(x,y) el cuál se mueve de manera

que (A) (B) 120º+ = .

21. Sea un círculo de radio 4 unidades, se traza una tangente

geométrica que corta al eje X en N. Se traza el radio por el punto

de tangencia que prolongado corta en P a la perpendicular al eje

X levantada desde N; punto donde la tangente corta al eje X.

Hallar la ecuación del L.G. de P.

MATEMATICA BASICA I

124

22. Los puntos externos de la base de un triángulo son A(0,0) y

B(3,0). Hallar la ecuación del L.G. del vértice opuesto C, el cuál se

mueve tal que el ángulo de la base CAB es siempre el doble del

otro ángulo de la base CBA.

4.5 LA CIRCUNFERENCIA

4.5.1 Definición. Sea C un punto fijo del plano R2, r ∈ R+

entonces se llama circunferencia de

centro C y radio r al conjunto de

puntos p(x,y) que equidista de C(h,k)

una cantidad r>0.

i.e C = {(x,y) ∈ R2 / || cp || = r }

|| cp || = ( ) ( )2 2h y k− + −x ç

Es decir:

→ (x - h)2 + (y - k)2 = r2

4.5.2 Elementos 1. El punto fijo C(h,k) se llama

centro de la C.

2. La distancia fija r>0 se llama radio

de C.

3. El segmento AB se llama

diámetro de C.

4. El segmento DE se llama cuerda de C.

r

r

MATEMATICA BASICA I

125

5. La cuerda L1 que pasa por F se llama tangente a C en F.

6. La distancia de C a F es el radio de la circunferencia donde F

es punto tangente.

4.5.3 Ecuaciones de la Circunferencia I. Forma ordinaria. De conformidad a la definición 4.5.1:

La ecuación de la circunferencia de centro C(h,k) y radio r > 0

esta dado por C: (x - h)2 + (y - k) = r2.

Ejemplo: Circunferencia de centro <2,1> y que pasa por P(6,4). Se

tiene:

r2=(6-2)2+(4 -1)2=25 => r=5=>(x-2)2+(y -1)2=25

II. Forma canónica. La ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0,0):

h=K=0 de coordenadas y radio r > 0 está dado por

⇒x2+y2=r2.

MATEMATICA BASICA I

126

III. Ecuación general. Sea la ecuación que implica:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2 ⇒ x2 – 2xh + h2 + y2 – 2yk + k2 = r2

x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0

esto es x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ( )

Toda ecuación de la forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0 define

una circunferencia?

En ( ) completando cuadrados para pasar a su forma

ordinaria.

x2 + Ax + y2 + By = -C

→ 2 2 2 2

2 2A B A BA Y By C4 4 4 4

+ + + + + = + −x x

2 2 2 2 4

2 2 4A B A B Cx y d+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ + + + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Se representan 3 casos:

1. Si d > 0, en este caso

( )2 2

2A By d2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x

Estamos frente a una circunferencia de dentro A B,2 2

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

y

radio d .

MATEMATICA BASICA I

127

2. Si d = 0 2 2A By 0

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x

El único punto que satisface a la ecuación es A B,2 2

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Por consiguiente, para que haya circunferencia se requiere

que: A2+B2-4C>0

3. Si d < 0 el conjunto esφ .

Ejemplo

2x2 + 2y2 – 10x + 6y – 15 = 0

Dividiendo: x2 + y2 – 5x + 3y - 152

= 0

A2 + B2 – 4C = 25 + 9 – 4 x 152

= 4 > 0

Hay circunferencia:

Ordenando y completando cuadrados:

x x y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 225 9 15 25 95 3 16

4 4 2 4 4

x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞∴ − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 25 3

162 2

Circunferencia con centro en y⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

5 32 2

y radio 4.

MATEMATICA BASICA I

128

4.5.4 Familias de Circunferencias Hemos visto que la ecuación

general de una circunferencia es:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ó

A B A B Cx y r+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2 224

2 2 4

Por consiguiente depende de 3 valores:

A By− −2 2

son el centro y C o r es el radio. Estos 3 valores o

condiciones varíando de una curva a otra, determinan clases o lo

que se denomina familias de circunferencias.

Las familias más importantes son aquellas en que dependen de

una sola condición, la cual se denomina: “parámetro”.

Ejemplos:

1. Varía el radio; el centro fijo.

Determinar la familia de

circunferencias con centro en

el punto P(1,0).

En este caso el parámetro es el radio r. La ecuación general

será:

(x - 1)2 + (y - 0)2 = r2

Para cada valor de r tenemos una circunferencia de la

familia; así:

(x – 1)2 + y2 = 1 ; (x – 1)2 + y2 = 3 ; …

MATEMATICA BASICA I

129

2. Variación de uno de los centros (lo demás fijo).

Determinar la familia de circunferencias con centro en la

recta y=1 y de radio 2. Aquí el radio es fijo y el centro de

todas está en el eje y=1.

El centro genérico es x=α, y =1 es decir:

(x-α)2 + (y-1)2 = 4

α es el parámetro.

3. Variación de los 2 centros.

Hallar la familia de

circunferencias con centro en

el eje y-x=0 y radio 1. Aquí

varían A y B que dan el

centro pero proporcional-

mente dependientes de un

parámetro α;

(x-α)2 + (y-α)2 = 1

MATEMATICA BASICA I

130

Puede haber variación de 2 ó aún los 3 valores A, B, C en

función de un parámetro.

4. Hallar la familia de

circunferencias que pasa por

los 3 puntos: P1(0,0), P2(6,0) y

P3(3, α).

La circunferencia que pasa

por 3 puntos P1(x1,y1),

P2(x2,y2) y P3(x3,y3) es dado

por el determinante de 4º orden:

x y x yx y x yx y x yx y x y

++

=++

2 2

2 21 1 1 12 2

2 2 2 22 2

3 3 3 3

1

10

1

1

En el caso dado tendremos:

x y x y

x y x y

+− − α

= + − + =α

+ α α

2 2

22 2

2

1

0 0 0 1 18 96 0

36 6 0 1

9 3 1

Veamos ahora las familias dadas por 2 circunferencias:

La ecuación: C1 + λC2 = 0

Ó equivalente:

x2 + y2 + A1x + B1y + C1 + λ(x2 + y2 + A2x + B2 y+ C2) = 0 da

para cada valor del parámetro λ ≠ -1, una circunferencia que

pasa por por los 2 puntos de intersección I1 e I2 de C1 y C2 si

MATEMATICA BASICA I

131

es que estas circunferencias se cortan y su centro está en la

recta de los centros de Cr1 y Cr2.

Si Cr1 y Cr2 son tangentes, cada circunferencia de la

familia pasa por el punto de tangencia.

5.

Cr1 : (y-2)2 + x2 = 4 => y2 – 4y + x2 = 0

Cr2 : y2 + x2 = 1 => y2 + x2 – 1 = 0

Familia de circulo Cr1 + λCr2: y2 – 4y + x2 + λ(y2 + x2 - 1) = 0

Recta de centros X=0 ó eje Y

Puntos de intersección: , , ,−15 1 15 14 4 4 4

La recta que pasa por los puntos de intersección es: y =14

Todas las circunferencias de la familia:

y2 – 4y + x2 + λ(y2 + x2 - 1) = 0

MATEMATICA BASICA I

132

con y ≠ -1 pasan por los puntos de intersección

, , ,−15 1 15 14 4 4 4

.

La recta que pasa por estos puntos de intersección se

denomina “eje vertical”.

Veamos una propiedad importante del:

4.5.5. Eje radical.- Sean 2 circunferencias diferentes

cualesquiera:

Cr1: x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0

Cr2: x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0

Hemos formado la familia:

x2 + y2 + A1x + B1y+ C1 + λ (x2 + y2 + A2x + B2y + C2) = 0 y

discutido para todos los valores excepto λ = –1. Para este valor se

tiene la recta:

(A1 – A2)x + (B1-B2)y + (C1-C2) = 0

que se conoce comno el eje radical; pasa por los puntos de

intersección de Cr1 y Cr2 si ellas se cortan, por el punto de

tangencia si ellas son tangentes y por un punto entre las 2 si ellas

no se tocan.

El eje radical es perpendicular a la rcta de los centros y la

propiedad más importante es que para cada punto P(x,y) del eje

radical las tangentes a las circunferencias de la familia, todas

estas tangentes tienen la mnisma longitud.

MATEMATICA BASICA I

133

Para la prueba pongamos las circunferencias en la forma:

Cr1: (x - a1)2 + (y - b1)2 – r12 = 0

Cr2: (x - a2)2 + (y – b2)2 – r22 = 0

El eje radical P(λ = -1) se obtiene restando las 2: Cr1 – Cr2 = 0 ó

sea:

P… (2a1 – 2a2)x + (2b1 – 2b2)y + a22 – a1

2 + b22 – b1

2 + r12 – r2

2 = 0

Tenemos ahora un punto cualquiera P(x,y) en el eje radical y

tracemos las tangentes t1 a Cr1 y t2 a Cr2. El valor de cada una es

por (Pitágoras) los triángulos rectángulos:

t12 = (x-a1)2 + (y-b1)2 – r12

t22 = (x – a2)2 + (y – b2)2 – r22

y su diferencia:

t22 – t12 =(x - a2)2 + (y - b2)2 – r22 – [(x - a1)2 + (y - b1)2 – r1

2]

=(2a1–2a2)x + (2b1 – 2b2)y + a22 – a1

2 + b22 – b1

2 + r12 – r2

2

MATEMATICA BASICA I

134

Necesariamente igual a 0 por resultar la ecuación P del eje

radical.

Luego: t22 – t12 = 0 => t2 = t1

Lo que prueba que las 2 tangentes son iguales.

En forma semejante se puede probar que para toda otra

circunferencia Cr de la familia: las tangentes desde P(x,y) del eje

radical a Cr y a Cr1 (o Cr2) son iguales.

Consideremos dos circunferencias:

C1: x2 + y2 + Ax + By + C = 0

C2: x2 + y2 + Ex + Fy + C = 0

La familia de circunferencias que pasan por la intersección de C1 y

C2 viene expresada por

C: x2 + y2 + Ax + By + C +K (x2 + y2 + Ex +Fy + D) = 0 ; k ≠ -1

Donde k es el parámetro que puede tomar cualquier valor real.

MATEMATICA BASICA I

135

PROBLEMAS RESUELTOS Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto A(-4, -1) y

que es tangente a la recta L: 3x + 2y -12 = 0

Solución: Como la ecuación de la

circunferencia es: (x- h)2 + (y - k)2=r2

donde (h, k) es el centro y r su radio;

entonces el centro (h, k) = (-4, -1)

Para hallar el radio:

( ) ( ) ( )132

1326

23

121243,

22==

+

−−+−== Lcentrodr

⇒ Ecuación de la circunferencia será:

( ) ( ) 5214 22 =+++ yx

Ejemplo 2:

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, -5) y es

tangente a la recta L1: x – y – 4 = 0 en el punto B(3, -1)

Solución:

Hallando la recta LBC ⇒ mLBC = -1

donde mL1 = 1 ⇒ mLBC = -1

⇒ LBC: y + 1 = - (x - 3) ⇒ x + y – 2 = 0

Entonces el centro = (x, 2 - x) ⇒ ________

CBCA =

(-4, 1)

L: 3x + 2y – 12 = 0

C

L1: x - y – 4 = 0

B (3, -1)

A (7, -5)

MATEMATICA BASICA I

136

⇒ (x - 7)2 + (2 – x + 5)2 = (x - 3)2 + (2 – x + 1)2 ⇒ x = 5

⇒ centro será: (5, -3) ; radio = 22____

=CA

Entonces: (x - 5)2 + (y + 3)2 = 8

Ejemplo 3:

Sea la circunferencia cuya ecuación es:

25x2 + 25y2 + 30x - 20y – 62 = 0

Se pide:

1) Hallar el centro y el radio de C

2) Longitud de la circunferencia

3) Hallar el área del circulo

Solución: 1) Como la ecuación de una C en forma general es:

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Siendo su centro: D E,⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠2 2

; 332 =⇒= rr

( ) ( ) 325

225

3 =−+−⇒ yx

2) ( ) 322 ππ == rC

3) ( ) ππ 32 == rCA

Ejemplo 4:

Determinar para que valores del coeficiente angular L la recta y = Kx

1) Corta a la circunferencia x2 + y2 – 10x + 16 = 0.

2) Es tangente a esta circunferencia.

3) Esta fuera de la circunferencia.

MATEMATICA BASICA I

137

Solución: 1) Para que: L: y = Kx corta a la C: x2 + y2 – 10x + 16 = 0

Entonces L es recta secante a C

⇒ (x , Kx) ∈ C: x2 + K2 x2 – 10x + 16 = 0 ...... Δ

(1 + K2)x2 – 10x +16 = 0

Δ debe ser positivo, luego:

Δ > 0 ⇒ |K| < 34

2. Se cumple Δ = 0 ⇒ 43

±=K

3. Se cumple Δ < 0 ⇒ 43

>K

Ejemplo 5:

Hallar la circunferencia C que pasa por A(1, -1) y por los puntos de

intersección de las dos circunferencias:

C1: x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0

C2: x2+ y2 – 6x + 12y – 35 = 0

Solución:

Caso de familia de circunferencias: C1 + γC2 = 0

(x2 +y2 + 2x – 2y - 23) + γ (x2 +y2 - 6x + 12y - 35) = 0

Como: (1, -1) ∈ C ⇒ γ = -1/3 ⇒

C: x2 + y2 + 6x – 9y – 17 = 0

MATEMATICA BASICA I

138

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Hallar el centro y radio de las circunferencias (si existen).

a) x2 + y2 + 10x – 6y + 18 = 0

b) x2 + y2 -14x + 4y + 53 = 0

c) x2 + y2 + 2x -12y + 46 = 0

d) 2 x2 + 2y2 – 10x + 14y + 5 = 0

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

(5,1) , (9,5) y con centro sobre la recta 3x – 2x – 5 = 0.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia:

a) Centro en (0,-3) y tangente a L:5x – 12y + 3 = 0.

b) Centro en el eje X y pasa por (4,6) y (1,3).

c) Pasa por (7,-5) y tangente a L: x – y – 4 = 0 en (3, -1).

d) Que pasa por (2,3) , (3,29 y (-4,3).

4. Hallar la ecuación de las rectas tangentes a:

a) 9x2 + 9y2 + 18x – 12y – 16 = 0 cuyas pendientes miden 2.

b) x2 + y2 + 6x - 8 = 0 perpendiculares a la recta 4x - y + 31 = 0

c) x2 + y2 + 8x – 2y + 12 = 0 desde el punto (7,2).

5. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio

de una cuerda de esta circunferencia es (-2,4). Hallar la ecuación

de la cuerda.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (-8,5) y por la

intersección de las circunferencia:

C1: x2 + y2 – 8x – 6y + 17 = 0

C1: x2 + y2 – 18x – 4y + 67 = 0

¿Cuál es el eje radical? R. x2 + y2 + 2x – 8y – 33 = 0

MATEMATICA BASICA I

139

7. La recta que pasa por A(1,-3) y B(-1,-5) es mediatriz de una

cuerda de una circunferencia. Un extremo de esa cuerda D(2,2).

Hallar la ecuación de tal circunferencia si su radio mide 4

unidades.

8. dada la circunferencia x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0, determine los

valores de la pendiente m para los cuales la recta y = mx + 3.

a) Corta a la circunferencia en dos puntos distintos.

b) Es tangente e indique los puntos de intersección.

c) No tiene punto en común con la circunferencia.

9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto

A(1,-1) y por los puntos de intersección de las dos circunferencias:

x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0 ; x2 + y2 + 6x + 12y – 35 = 0

Verificar que desde un punto P(x1,y1) del eje radical; las 3

tangentes a las 3 circunferencias tienen igual longitud.

R. x2 + y2 + 6x – 9y – 17 = 0

MATEMATICA BASICA I

140

MATEMATICA BASICA I

141

V. CÓNICAS

5.1 SECCIÓN CÓNICA O CÓNICA Dada una recta L (fija) y un

punto fijo F no en esa recta. Se

llama cónica al lugar

geométrico de un Punto P que

se mueve en el plano de L y F

de tal manera que la razón de

su distancia de F a su distancia

de L es siempre una constante

positiva.

La recta fija L se llama mediatriz, el punto F foco y la constante

positiva, a la que denotaremos por: excentricidad de la cónica=e.

Por definición de cónica, el punto P debe satisfacer la condición

geométrica: PF

ePA

= .

Denominaciones: Si es e < 1 ⇒ la cónica se llama Elipse.

Si e = 1⇒ la cónica se llama parábola.

Si e > 1⇒ la cónica se llama hipérbole.

MATEMATICA BASICA I

142

5.2 PARÁBOLA Es el lugar geométrico de

los puntos cuyas distancias

a un punto fijo y a una recta

fija son iguales. Es decir:

P(x,y) = ρ ⇒ por definición

de cónica se tiene

d(p,F) = d(p,L).

5.2.1 Elementos (Ver figura que sigue)

1. La recta fija L se llama directriz de la parábola.

2. El punto fijo F se llama foco de la parábola.

3. La recta L‘ que pasa por el foco y es perpendicular a la

directriz L se llama eje focal.

4. Si Q es el punto de intersección de L con L‘, entonces el

punto medio V del segmento QF que pertenece a la

parábola se llama vértice.

5. El segmento BB‘ que une 2 puntos cualesquiera de la

parábola se llama cuerda.

6. La cuerda CC‘ que pasa por el foco se llama cuerda focal.

7. La cuerda focal RR‘ perpendicular a L‘ se llama lado recto.

8. El segmento FP que une el foco con un punto de la

parábola se llama radio de P.

MATEMATICA BASICA I

143

5.2.2 Ecuaciones de la parábola I. La ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal

coincide con el eje X es dada por y2 = 4px, donde el foco es (P,O)

y la ecuación de la directriz es x = –P.

II. La ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal

coincide con el eje Y esta dado por x2 = 4py, donde el foco es

(0,p) y la ecuación de la directriz es y = –p.

III. La ecuación de la parábola con vértice (h,k) y eje focal paralelo al

eje X esta dado por (y – k)2 = 4p(x – h), donde el foco es F(h + p ,

k) y la directriz es x = h – p.

IV. La ecuación de la parábola con vértice (h,k) y eje focal paralelo al

eje Y esta dado por (x – h)2 = 4p(y – k), donde el foco es F(h, k +

p) y la directriz es y = k – p.

MATEMATICA BASICA I

144


• Para los casos (I) y (III):

Si p > 0 ⇒ La parábola se abre hacia la derecha.

Si p < 0 ⇒ La parábola se abre hacia la izquierda.

• Para los casos (II) y (IV):

Si p > 0 ⇒ La parábola se abre hacia arriba.

Si p < 0 ⇒ La parábola de abre hacia abajo.

(I)

(II)

MATEMATICA BASICA I

145

(III)

(IV)

5.2.4 Ecuación general de la parábola Sea la ecuación en su forma ordinaria (x - h)2 = 4p(y - k)

x2 – 2xh + h2 – 4py + 4pk = 0 ie x2 + Ay + Bx + c = 0

Recíprocamente consideremos x2+Ay+Bx+C=0⇒x2+Bx=-Ay-c

→ x2 + Bx + 22 2 2B B B C BAy C x A y

4 4 2 A 4A⎛ ⎞⎛ ⎞= − − → + = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Representa una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje y.

Discusión.

Si A = 0 ⇒ x2 + Bx + c = 0 ( ◊ )

Si las raíces de ( ◊ ) son reales y desiguales:

MATEMATICA BASICA I

146

ie r1 y r2 ( ◊ ) se pueden escribir como (x – r1) (x – r2) = 0 y el lugar

geométrico correspondiente consta de las rectas diferentes x = r1 y x =

r2 paralelas ambas al eje y.

Si las raíces de ( ◊ ) son reales e iguales, el L.G. consta de 2 rectas

coincidentes representadas geométricamente por una recta paralela al

eje Y.

Si las raíces de ( ◊ ) no son reales no existen ningún lugar geométrico.

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Hallar el vértice; el foco y la ecuación de la recta directriz de las

parábolas cuyas ecuaciones son:

a) x2- 4x + 3 – y = 0

b) 3y2 – 4x + 12y + 16 = 0

c) 4x2 – 8x – 3y – 2 = 0

Solución:

a) x2 – 4x = y – 3 ⇒ (x - 2)2 = (y + 1)

⇒ vértice: (2, -1); eje focal ⎜⎜ eje y; 4p =1

Foco: F = (2, -1 + ¼) = (2, -3/4) p = 41

Ec. Directriz: y = -1 - ¼ = -5/4

L. lado recto: 14 =p

y

L -1

MATEMATICA BASICA I

147

b) 3y2 – 4x + 12y + 16 = 0

3y2 +12y = 4x – 16 = 4(x - 4)

y2+4y = ( ) ( ) ( )13424

34 2 −=+⇒− xyx

vértice: (1, -2), eje focal: ⎜⎜ eje x; 4p = 34

Foco: F = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ 2,

342,

311 p =

31

Directriz: x = 1 - 32

31

=

L. Lado Recto: 344 =p

-2

y

x

1

-2

x

y

MATEMATICA BASICA I

148

c) 4x2 - 8x = 3y + 2

x2 – 2x = 123

+y

( ) ( )2431 2 +=− yx

Vértice: V = (1, -2); eje focal: ⎜⎜ eje y; 4p = 23

Foco: F = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

1629,1

1632,1

Directriz: 1635

1632 −=−−=y

L Lado Recto: 434 =p

2) Hállese la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y

los extremos del lado recto de la parábola. y2 = 4x

Solución:

Como: Es una parábola cuyo vértice es el origen del sistema y

cuyo eje e focal es paralelo al eje horizontal entonces:

Siendo su foco:

F = (h + p, 0) = (1, 0)

Siendo: 4p = 4 ⇒ p = 1

MATEMATICA BASICA I

149

La longitud el lado recto 44 =p quiere decir sus extremos son los

A(1, 2) B (1, -2).

Luego la circunferencia pasa por los puntos (0, 0) (1, 2) (1, -2);

entonces la circunferencia tienen como ecuación:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

Reemplazando los puntos dados en la circunferencia se tienen:

D=0; E=-5; F=0, luego la ecuación de la circunferencia será:

x y y+ − =2 2 5 0

( )425

25 2

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ yx ; Centro: ),0( 2

5

Radio: 25

3) De la información del vértice y foco, hallar la ecuación de la

parábola.

vértice (2, 3) foco: (5, 3)

F

A

B

y

x

MATEMATICA BASICA I

150

Solución:

Eje focal ⎜⎜ eje x

( ) ( )Kyphx −=− 42

Como p = d (vértice; foco)

Vértice (h, k) = (2, 3) p = 2

⇒ ecuación parábola (x-2) = (y - 3)2


1. Discutir y graficar: 4x2 + 28x + 32y – 95 = 0.

2. Discutir y graficar: 4y2 – 32x – 12y – 103 = 0.

3. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2 = -8y que es

paralela a la recta 3x + 4y – 7 = 0.

4. Hallar la ecuación de la parábola si su foco es (2,-5) y la ecuación

de la directriz es 3x + 4y – 12 = 0.

5. Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la

curva y2 = 16x en el punto (4,-8).

6. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje

X y que pasa por los puntos (3,3) , (6,5) y (6,-3).

R. y2 – 2y – 4x + 9 = 0

7. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y2 – 8x = 0 si la

pendiente de dicha tangente es -1.

y

x 2

3 V

F

MATEMATICA BASICA I

151

8. Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (2,3), de eje

paralelo al eje Y, y que pase por el punto (4,5).

R. x2 – 4x – 2y + 10 = 0

9. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-2,3) y foco (1.3).

R. y2 – 6y – 12x – 15 = 0

10. El punto (-2,-4) es el punto medio de una cuerda de la parábola

x2 + 6x + 10y + 19 = 0. Hallar la ecuación de tal cuerda.

11. El eje de una parábola es la recta L1: x – 2y + 4 = 0, su foco está

en la recta L 2: x – 2 = 0 y su vértice es V(4,4). Hallar la longitud

del lado recto y la ecuación de las parábolas.

5.3 LA HIPÉRBOLA 5.3.1 Definición. Una hipérbole H es el conjunto de todos los

puntos del plano R2 con la propiedad de que el valor absoluto del

cociente de sus distancias a dos puntos fijos es siempre igual a

una constante positiva 2a menor que la distancia entre los puntos

2c.

i.e. Si F1 y F2 son los puntos fijos de R2 y “a” un número real

positiva entonces se tiene:

( ) ( ) ( ){ }21 2H P ,y IR : d PF d PF 2a= ∈ − =x

MATEMATICA BASICA I

152

5.3.2 Observaciones

MATEMATICA BASICA I

153

1. Toda hipérbola se compone de dos ramas H1 y H2 definidas

por:

( ) ( ) ( ){ }21 1 2H P ,y IR :d PF d PF 2a= ∈ − =x

( ) ( ) ( ){ }22 1 2H P ,y IR :d PF d PF 2a= ∈ − = −x

2. Los puntos fijos F1 y F2 son llamados focos de la hipérbole y

el punto medio F0 del segmento 1 2FF es el centro de la

hipérbola.

3. La recta L que pasa por los focos es llamado eje focal.

4. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos V1 y V2 que

son los vértices de la hipérbola y determinan el

segmento 1 2V V llamado eje transversal con una longitud de

2ª unidades.

5. La recta L 1 que pasa por F0 y es perpendicular al eje focal

es llamado eje normal.

6. El segmento 1 2B B del eje normal tiene como punto medio a

F0 y una longitud de 2b donde b=dist.

(F0,B1)= ax lado recto12

, (ver 11) se llama eje conjugado.

7. Un segmento 1CC que une dos puntos cualesquiera de la

hipérbola se llama cuerda.

8. La cuerda 1FF que pasa por el foco se llama cuerda de

focal.

9. La cuerda 1LL perpendicular al eje focal se denomina lado

recto y tiene una longitud de 2

2

b2a

unidades.

MATEMATICA BASICA I

154

10. La cuerda 1DD que pasa por el centro se llama diámetro.

11. Si c=d(F1 F0) = d(F2 F0) ⇒ c > a → C2 > a2 → c2 – a2 > 0

i.e. c2 – a2 = b2.

Los números a y b se denominan semiejes transversales y

conjugados respectivamente.

12. El número ce 1a

= > se llama excentricidad de la hipérbola.

13. Si a = b i.e. Si los semiejes transversales y conjugados

son iguales, entonces la hipérbola se llama equilátera.

Si a = b y 2 2c a be e 2

a a+

= → = =

Una hipérbola es equilátera . e 2↔ =

5.3.3 Ecuaciones de la hipérbola 1. T1: La ecuación de una hipérbola con centro en el origen y

eje transverso el eje X está dado por: 2 2

2 2

yH : 1a b

− =x

• Vértices: V1 (-a,o) y V2 (a,o)

• Focos: F1 (-c,o) y F2 (c,o)

• Directrices: 2a

c= ±x (Ver figura (1) pag 144 ó 157)

MATEMATICA BASICA I

155

2. T2 : La ecuación de una hipérbola con centro en el origen

y eje transverso el eje Y está dado por: 2 2

2 2

yH : 1a b

− =x

• Vértices: V1 (o,-a) y V2 (o,a)

• Focos: F1 (o,-c) y F2 (o,c)

• Directrices: 2ay

c= ± (Ver figura (2) pag 144 ó 157)

Observación

La ecuación de las asíntotas de la hipérbola para ambos casos se

obtiene haciendo cero al 2º: miembro de cada ecuación dada en

5.3.3.

i.e. bya

= ± x (Eje transverso el eje X)

ayb

= ± x (Eje transverso el deje Y)

3. T3: La ecuación de una hipérbole de centro (h,k) y eje

transverso paralelo al eje X está dado por:

( ) ( )2 2

2 2

h y kH: 1

a b− −

= − =x

• Vértice: V1 (h – c, h) y V2 (h + a, k)

• Focos : F1 (h – c, k) y F2 (h + c,k)

• Directrices: 2ah

c= ±x

MATEMATICA BASICA I

156

4. T4: La ecuación de una hipérbola de centro (h,k) y eje

transverso paralelo al eje Y está dado por:

( ) ( )22

2 2

y k h1

a b− −

− =x

• Vértice: V1 (h, k - a) y V2 (h, k + a)

• Focos: F1 (h, k - c) y F2 (h, k + c)

Observación

1. Las asuntotas de la hipérbola ( ) ( )2 2

2 2

h y h1

a b− −

− =x

son dos

rectas.

Cuyas ecuaciones se obtienen haciendo cero el 2º miembro

de la ecuación dada.

2. Las asíntotas de la hipérbola ( ) ( )2 2

2 2

y k h1

a b− −

− =x

son las

rectas .

a ay k (x h), y, y k (x h)b b

− = − − = − −

MATEMATICA BASICA I

157

(1)

(2)

(3)

(4)

MATEMATICA BASICA I

158

5.3.4 Hipérbolas conjugadas Dos hipérbolas son conjugadas si tienen sus ejes

transversales y conjugados intercambiados. i.e. Si la

Hipérbola H1 es conjugada con la hipérbola H2 entonces se

cumple:

Eje transverso de H1 = Eje conjugado de H2.

Eje conjugado de H1 = Eje transverso de H2.

Ver las figuras (3) y (4).

5.3.5 Ecuación general de la hipérbola La ecuación general de

hipérbola es de la forma:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 ….(I) donde A, B, C, D y E

son constantes. A y B tienen signos opuestos.

Completando cuadrados en (I): 2 2

2 22 2

C C D DA B y yA 4A B 4B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠x x

2

2 2

2 2

M

C DyC D 2A 2BE M1 14A 4B A B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + − + =

xi.e.

1. Si M > 0 I→ representa una hipérbola de eje focal

coincidente o paralelo al eje X.

MATEMATICA BASICA I

159

2. Si M < O ; I representa una hipérbola de eje focal 1

coincidente o paralelo al eje Y.

a. Si M = O ; I representa un par de rectas que se cruzan.

Ejemplos: 1) Hallar la ecuación de una hipérbola si una asíntota es 3x + 4y = 0

y un foco es (0, 20).

Solución:

Como la asíntotas son: 3x + 4y = 0

3x – 4y = 0

F = (0, 20) = F (0, C) ⇒ C = 20

Entonces (3x + 4y) (3x – 4y) = K

( ) ( )k k

y xx y k− −

− = ⇒ − =2 2

2 2

16 9

9 16 1

k ka yb c a b k= − = ⇒ = + ⇒ = −2 2 2 2 2 230416 9

⇒ y x− =

2 2

1144 256

2) Hallar las coordenadas de los vértices; foco; ecuaciones de las

directrices; asíntotas; longitud lado recto excentricidad y la

representación gráfica de la hipérbola 144169 22 =− yx

MATEMATICA BASICA I

160

Solución:

Como: x y a− = ⇒ =2 2

1 416 9

; b = 3; c = 5

Puntos de corte con los ejes son (±5, 0)

ce ;a

= =54

directrices: axe

= ± = ±2 16

5

Lado recto: ba

=22 9

2

Asíntota: by x xa

= ± =34

3) Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el

origen; el eje real sobre el eje x; excentricidad 17

2y lado recto

igual a 6.

Solución:

Como: a bea+

= =2 2 7

2; lR: b

a=

226

a b a b a⇒ + = ⇒ =2 2 2 2 274 3

4 b2 = 3

43ª

a2 = 16 ∧ b2 = 12

x y x y;a b

⇒ − = ⇒ − =2 2 2 2

2 21 1

16 12

MATEMATICA BASICA I

161


1. Discutir y graficar: 2 29 16y 36 32y 124 0− + + − =x x

2. Discutir y graficar: 2 216y 9 128y 18 103 0− + + + =x x

3. El punto (1,-2) está en una hipérbola uno cuyos focos es

(-2,2) y la directriz correspondiente es 2x–y–1=0. Hallar la

ecuación de esta hipérbola.

4. Hallar el área de triángulo formado por las asuntotas de la

hipérbola 9x2 – 4y2 = 36 y la recta x = 3.

5.4 LA ELIPSE 5.4.1 Una elipse es el

conjunto de puntos del

plano IR2 con la propiedad

de que la suma de sus

distancias a dos puntos fijos

del plano es una constante

positiva mayor que la

distancia entre los puntos.

ie Si F1 y F2 son los

puntos fijos del plano IR2 y “a” un número real positivo entonces:

Elipse= {P(x,y) IR2 / d(PF1) + d(PF2) = 2ª}

5.4.2 Elementos. Ver figura siguiente: (pág. 263)

1. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos de la elipse.

2. La recta L que pasa por los focos se llama eje focal.

MATEMATICA BASICA I

162

3. El eje focal corta a la elipse en dos puntos V1 y V2 llamadas

vértices y el segmento 1 2V V se llama eje mayor de la elipse

con una longitud de 2ª unidades.

4. El punto medio de los focos F0 se llama centro de la elipse.

5. La recta L 1 que pasa por F0 y es perpendicular al eje focal

se llama eje normal.

6. El eje normal corta a la elipse en los puntos B1 y B2

determinando el segmento 1 2B B llamado eje menor de la

elipse.

7. El segmento 1AA que une dos puntos cualesquiera de la

elipse se llama cuerda de la elipse.

8. La cuerda 1EE que pasa por un foco se llama cuerda focal.

9. La cuerda focal 1RR perpendicular al eje focal se llama lado

recto y tiene una longitud de 22b

a unidades.

10. La excentricidad: cea

=

MATEMATICA BASICA I

163

5.4.3 Ecuaciones de la Elipse t1: La ecuación de la elipse con centro en el origen de

coordenadas y eje focal coincide con el eje X está dado por:

2 2

2 2

yE : 1a b

+ =x

• Focos: F1(-C,O) y F2 (C,O) … c2 = a2 - b2

• Vértices: V1 (-a, o) y F2 (a,o)

• Directrices: 2a

C= ±x

• Excentricidad: cEa

=

• Longitud de del eje mayor: 2a

• Longitud del eje menor: 2b

V2

MATEMATICA BASICA I

164

t2: La ecuación de la elipse con centro en el origen de

coordenadas y eje focal coincide con el eje Y está dado por:

2 2

2 2

yE : 1b a

+ =x

• Focos: F1 (o,-c) y F2 (o,c)

• Vértices: V1 (o,-a) y V2 (o,a)

• Directrices: 2ay

c= ±

• Excentricidead cEa

=

t3: La ecuación de la elipse con centro el punto (h,k) y eje focal

paralelo al eje X está dado por:

( ) ( )2 2

2 2

h y kE 1

a b− −

= + =x

• Vértices: V1 (h – a, k) y V2 (h + a, k)

• Focos: F1 (h – c, k) y F2 (h + c, k)

t4: La ecuación de la elipse con centro el punto (h,k) y eje focal

paralelo al eje Y está dado por:

( ) ( )2 2

2 2

h y kE 1

b a− −

= + =x

• Vértice: V1(h, k -a) y V2 (h, k + a)

• Focos: F1 (h, k - c) y V2 (h, k + c)

MATEMATICA BASICA I

165

5.4.4 Observaciones

1. La longitud de cada lado recto es 22b

a y la

excentricidad está dada por ce 1a

= < para cada

elipse.

2. Se cumple la ecuación:

a2 = b2 + c2

Donde c = d (F0 , F1) = d (F0 , F2)

5.4.5 Forma general:

( ) ( )2 2

2 2

h y kE : 1

a b− −

+ =x

; ( ) ( )2 2

2 2

h y kE : 1

b a− −

+ =x

Desarrollando la primera:

( ) ( )2 22 2 2 2b h a y k a b− + − =x

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2b 2 h h a y 2yk k a b− + + − + =x x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b a y 2b h 2a ky b h a k a b 0+ − − + + − =x x

Que es de la forma: 2 2A Cy D Ey F 0 ; A 0 , C 0+ + + + = > >x x

Recíprocamente cuadradas: 2 2A D Cy Ey F+ + + = −x x

22 2

2D D EA C y y FA 4A C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

x x

MATEMATICA BASICA I

166

2 2 2 22 2

2 2D D E E D EA C y y FA 4A C 4C 4A 4C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠x x

2 2 2 2D E D C AE 4ACFA C y2A 2C 4AC

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x =t

Ecuación

2 2D Ey2A 2C: t1 1A C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ =

x

5.4.6 Casos que se presentan: a) Si t > 0 ⇒ obtenemos una elipse.

b) Si t = 0 →

2 2D Ey2A 2C 01 1A C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ =

x

D EEs un punto ,2A 2C

⎛ ⎞⇒ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Si t < 0 ⇒ ⇒ ∃ curva real.


1) Sea 3649 22 =+ yx . Hallar: vértice; focos; longitud del lado recto;

longitud el eje menor; excentricidad.

Solución:

Como: 194

364922

22 =+⇒=+yxyx , ecuación ordinaria de un

elipse.

MATEMATICA BASICA I

167

También: a2 = 9 ⇒ a = ± 3

b2 = 4 ⇒ a = ± 2

Eje focal paralelo al eje y.

También: 552222 ±=⇒=⇒+= cccba

V1: (0, -3) V2 (0, 3)

B1: (-2, 0) B2 (0, 2)

F1: (0, - 5 ) F2 (0, 5 )

2ª = 6 2b = 4

35

==ace

Lado recto: 382 2

=ab

2) Sea la elipse 4x2 + 9y2 - 48x + 72y + 144 = 0. Hallar centro, semi

ejes, vértices, focos.

Solución: Como: 4x2 + 9y2 - 48x + 72y + 144 = 0

Reagrupando: ( ) ( ) 116

436

6 22

=+

+− yx

Centro: (6, -4); a = 6; b = -4

Vértices: (0, -4), (12, -4)

Extremos eje menor: (6, 0) (6, -8)

V2

V1

F2

F1

B1 B2

y

x

MATEMATICA BASICA I

168

3) Un arco tiene la forma de semi elipse con una luz de 150 mts.

siendo su máxima altura de 45 mts. Hallar la longitud de sus

soportes verticales situados cada uno a igual distancia del

extremo del arco=50.

Solución:

Supongamos el eje x en la base del arco y el origen en su punto

medio. La ecuación el arco será: 12

2

2

2

=+by

ax

Siendo: a = 75 ; b = 45

Para hallar su altura de los soportes hacemos x = 25; en la

ecuación y despejamos y:

120255625

625 2

=+y ; )225(82 =⇒ y

230=y mts.

5.4.7 EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Discutir y graficar: E: 16x2 + 9y2 + 160x – 54y + 337 = 0

2. Discutir y graficar: E: 16x2 + 25y2 – 96y + 50y – 231 = 0

3. Hallar la ecuación canónica de la elipse donde sus focos

están sobre el eje X y que pasa por los puntos

( ) 4 53,2 3 y 4,3

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4. Hallar la ecuación de la elipse con vértice son los

puntos (-2,1) , (6,1) y sus semi eje menor es 3.

MATEMATICA BASICA I

169

5. hallara la ecuación de la elipse con vértice en (-1,-1) ; (3,3),

y excentricidad e = ½.

6. Discutir y graficar: E : 25x2 + 16y2 + 150x – 32y – 15y = 0.

7. Hallar la ecuación de la elipse de vértices (-4,7), (2,5) y uno

de los focos es (1,3).

8. Hallar el área del cuadrilátero que tiene dos de sus vértices

en los focos de la elipse 9x2 + 16y2 = 144 y los otros dos

vértices coinciden con los extremos del eje menor.

MATEMATICA BASICA I

170

MATEMATICA BASICA I

171

VI. COORDENADAS POLARES

6.1 CONCEPTO

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se

puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos

valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde

los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se

intersecan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando

coordenadas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (θ)

y una distancia (r). Para medir θ, en radianes, necesitamos una

semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo

llamado polo.

MATEMATICA BASICA I

172

Si queremos localizar un punto (r, θ) en este sistema de

coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una

circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo

de inclinación θ y, por último, localizamos el punto de intersección

entre la circunferencia y la recta; este punto será el que

queríamos localizar.

A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre

estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de

ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación.

Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es

positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido

contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo,

a favor del movimiento de las manecillas del reloj.

MATEMATICA BASICA I

173

Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo

se midan a partir del eje polar.

También podemos tener distancias “negativas”: ya que hayamos

localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección

tendrán un radio positivo y los puntos que estén sobre la

prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un

radio negativo. Por ejemplo:

MATEMATICA BASICA I

174

Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el

sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no

solo puntos.

En este tipo de funciones la variable independiente es θ y la

dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El

método para graficar estas funciones es el siguiente, primero

graficamos la función r = r(θ) en coordenadas rectangulares y a

partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares.

Guiándonos con la dependencia de r con respecto a θ.

Recordemos que θ es la variable independiente y va de 0 a 2π

generalmente. Por ejemplo la función r=θ tiene como gráfica en

rectangulares

MATEMATICA BASICA I

175

Mostraremos a continuación algunas gráficas en coordenadas

polares.

r = sen (2θ)

r = sen (3θ)

r = sen (4θ)

p=sen2θr=sen2θ

MATEMATICA BASICA I

176

r = sen (5θ)

Hasta aquí hemos visto que las funciones del tipo r = sen (aθ) son

rosas o rosetas. El número de pétalos depende del valor de a, si a

es par, el número de pétalos es 2a; y si a es impar el número de

pétalos es a.

Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se

puede hacer una tabulación sólo con algunos valores de θ que casi

siempre son: 0, π/2, π, 3π/2, 2π. y ver cómo cambia el valor de r.

r = 1- sen (θ)

Aquí

observamos que

el radio siempre

es positivo y va

de 1 a 2.

MATEMATICA BASICA I

177

6.2 REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN COORDENADAS POLARES

1. Observa que en este sistema de referencia, se ha destacado un

punto del plano, que se llama polo y una semirrecta que parte del

polo, que se llama eje polar.

2. Ve presionando sucesivas veces el pulsador azul del paso y, en

cada paso observa los elementos que van apareciendo

relacionados con el punto destacado. Anota estos elementos en tu

cuaderno.

3. Mueve el punto y observa cómo son la distancia y el ángulo en las

distintas zonas del plano.

MATEMATICA BASICA I

178

6.3 DEFINICION Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para

definir la posición de un punto en un espacio bidimensional

consistente en un ángulo y una distancia.

En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para

definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos

otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede

resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de

las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la

vida.

Definamos un sistema ortogonal con eje de abscisas X y eje de

ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado

en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos

inclinarlo con un ángulo α, tendremos un vector definido por las

variables r y α. Es decir, para definir un punto en el plano por

ejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x, y) en

coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un ángulo

α en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el

plano. (Si trabajamos en el espacio, tenemos (x, y, z) como

variables en las coordenadas cartesianas, y (r,α,z) en coordenadas

polares).

1 2

MATEMATICA BASICA I

179

6.4 PASAR DE UN SISTEMA DE COORDENADAS A OTRO Utilizando las propiedades de la trigonometría clásica, tenemos

que

De ahí obtenemos que ;

En este caso pasamos de las coordenadas cartesianas a polares.

Para pasar de polares a cartesianas, emplearemos el teorema de

Pitágoras

(la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de

la hipotenusa), entonces:

Para calcular , basta calcular el arco seno de , de donde

obtendremos dos Valores de , lo mismo para el arco coseno de

, con otros dos valores. Con cualquiera de estas tres

ecuaciones obtenemos el ángulo buscado.

MATEMATICA BASICA I

180

6.5 ECUACION DE LA TRAYECTORIA EN COOREDENADAS POLARES

En esta página, vamos a deducir paso a paso la ecuación de la

trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

La fuerza de interacción gravitatoria y eléctrica son centrales y

conservativas. Por tanto, la energía y el momento angular se

mantienen constantes en todos los puntos de la trayectoria

Posición y velocidad en coordenadas polares

La posición del punto P es x=r·cos θ , y=r·senθ expresamos la

velocidad de la partícula en coordenadas polares.

MATEMATICA BASICA I

181

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios

r y θ.

Vemos que:

Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares

son, por tanto.

6.6 GRAFICAS DE FUNCIONES EN CORDENADAS POLARES

Para hacernos una idea general de los gráficos que se

presentarán durante las páginas que veremos seguidamente,

vemos ahora un listado general de los tipos de funciones que son

graficados o las figuras que resultarán:

MATEMATICA BASICA I

182

1. Rosa

2. Cardióide

3. Limaçon o caracol

4. Circunferência

5. Lemniscata

6. Nefroide de Freeth

7. Concoide de Nicómenes

8. Cisoide de Diocles

9. Parábola

10. Espiral

Por supuesto que existen muchísimas otras figuras que se forman

a partir de las funciones en coordenadas polares, pero para este

estudio se ha tratado de presentar las más importantes o

comunes, a la vez que se muestra más de un ejemplo para casi

todos los tipos de gráfico, de manera que resulte totalmente clara

la forma que cada función tendrá al ser graficada en las

coordenadas polares.

Se espera que al finalizar la lectura completa de este trabajo, se

logre comprender claramente cada figura y se tenga una idea

global de los tipos de gráfico que podemos desarrollar mediante

funciones en coordenadas polares.

MATEMATICA BASICA I

183

ROSA Rosa de Cuatro Hojas/Pétalos Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver

cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La

función para este gráfico es:

El seno es máximo =1 cuando el ángulo es π2

y -1 para π32

. En este

caso da ºπ πθ = θ = =2 45

2 4

Rosa de Tres Hojas/Pétalos Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos.

Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es

parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un

ejemplo es el siguiente:

r = sen 2θ

MATEMATICA BASICA I

184

Aquí para ºπ πθ = ⇒ θ = =3 30

2 6 da sen 3θ=1 y r=2.

Rosa de Ocho Hojas/Pétalos El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho

hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada

El coseno alcanza su mayor valor en 0º: cosθ=1 y cosπ=-1. Luego los

mayores valores de r se obtienen en 4θ=0, =π, etc., dando r=2 en θ=0º,

ºπ= 45

4, etc.

r = 2 sen 3θ

r = 2 cos 4θ

MATEMATICA BASICA I

185

Una Rosa dentro de otra Un caso interesante y especial que se

puede dar es el que se muestra en la

gráfica que vemos a continuación,

donde se aprecia una rosa de tres

pétalos precisamente dentro de otra

rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:

Para:

θ=0º ; r=1

θ=10º ; 3θ=30º ⇒ r=0

θ=30º= π6

; 3θ= π2

⇒ r=1-2 = -1

θ=45º = π4

; 3θ= 34

π ⇒ r<0

θ=60º= π3

; 3θ=π ⇒ r=1

θ= π2

, sen π32

=-1 ⇒ r=1+2=3 etc.

CARDIOIDES

A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina Cardioide.

Para este ejemplo se presenta una Cardioide simétrica con respecto al

eje polar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se

distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este

gráfico Cardioide. La función que lo ha generado es:

r = 1 – 2 sen 3θ

MATEMATICA BASICA I

186

La cardiode toma su máximo valor en r=1+cos0º=2, y su mínimo en

θ=π⇒ r=1+cosπ=1-1=0

Habiendo visto el primer gráfico de una Cardioide, se presenta otro

gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos

en el gráfico de la siguiente función:

Aquí el senθ=1 para r senπ π⎛ ⎞⇒ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1 42 2

y el mínimo en

r senπ π⎛ ⎞θ = ⇒ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 32 1 0

2 2

Construcción de un Cardioide Se llama Cardioide a la curva que describe un punto P de una

circunferencia de radio a cuando rueda sobre otra circunferencia del

mismo radio.

r = 1 + cos θ

r = 2(1+sen θ)

MATEMATICA BASICA I

187

Deducción de la ecuación del Cardoide

1 2 3 4

5

MATEMATICA BASICA I

188

• Observa que el radio r=OP permanece paralelo al segmento CD que

une los centros de las circunferencias.

• Mueve el punto rojo y observa que los ángulos marcados en O, D, M y P son iguales al ángulo t.

• El triángulo MPC es isósceles por lo que MP=±2ª.cos(t).

• El radio OP=OM±MP, por tanto

• r=2a+2a.cos(t) = 2a(1+cos(t)).

MATEMATICA BASICA I

189

LIMACONES O CARACOLES Limaçón viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal,

lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad

del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó

como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un

Limaçón o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones

en coordenadas polares con la forma:

r =1 + b cosθ

Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se

muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo

interior. La función para este gráfico es la siguiente:

El mayor valor es dado en rθ = ⇒ = + =1 3

0 12 2

En θ=π se tiene el valor negativo:

r cos= + π = − = −1 1 1

12 2 2

valor que se observa en el lazo interior.

r=(1/2)+cosθ

MATEMATICA BASICA I

190

Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol

con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta

hacia abajo. Veamos:

Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que

es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos

observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a

continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora

está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o

caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:

r=2-3cosθ

r=3-2cosθ

MATEMATICA BASICA I

191

Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro

gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o

caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en

el gráfico siguiente:

CIRCUNFERENCIA. Esta nueva función nos presenta una forma

conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual será

formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:

r= 32

+cosθ

r=4+2senθ

MATEMATICA BASICA I

192

Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con

la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x

que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la

circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico

es esta:

r=-sen θ

r=6 sen θ

MATEMATICA BASICA I

193

LEMNISCATA. En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva

descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares:

r2=a2cos2θ

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a la

curva que se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente

utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado

lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo

apreciamos a continuación:

r2=sen2θ

MATEMATICA BASICA I

194

Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del

eje x o en sentido horizontal:

r2=16cos2θ

Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde

aparece una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en

sentido vertical. Veamos:

r2=-25cos2θ

LA NEFROIDE DE FREETH. Esta es una curva muy reciente si

hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que tienen

varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este

momento es bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático

MATEMATICA BASICA I

195

inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un ejemplo se

aprecia en este gráfico:

r=1+2senθ2

CONCOIDES DE NICÓMENES Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en

el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su

“Las líneas de la Concoide”. Veamos un gráfico en coordenadas polares

de la concoide de Nicómenes:

r=2secθ+3

MATEMATICA BASICA I

196

Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicómenes. La gráfica

anterior está hacia la derecha, mientras que la que se presenta a

continuación tiene una dirección hacia arriba. Veamos:

r=2cscθ+3

Un tercer ejemplo de Concoide de Nicómenes lo tenemos en el gráfico

que se muestra a continuación, donde su forma se ve diferente a los dos

gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le está restando

un número uno a la función. El mismo gráfico veríamos si se le estuviera

sumando uno a la función. El gráfico quedará así:

r=2secθ-1 , que resulta el mismo gráfico con r=2secθ+1

MATEMATICA BASICA I

197

CISOIDE DE DIOCLES Esta es una curva muy famosa y útil en el cálculo. Fue utilizada por un

griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicación del

cubo. El gráfico aparece de esta forma:

r=2sencθtanθ

PARÁBOLA. Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal

como podemos generar funciones de parábolas en coordenadas

cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas polares.

Veamos el ejemplo:

r=sen− θ8

2 2

MATEMATICA BASICA I

198

ESPIRAL. Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre

lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una

cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en

una serpiente enrollada por ejemplo. El gráfico que se presenta a

continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes,

precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y

matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva,

realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su

escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo.

Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función

en coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente:

r=θ

Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat,

pues fue examinada por Fermat en 1736. Su ecuación es r² = a²θ. En el

siguiente ejemplo se muestra una función y su respectiva gráfica que nos

permiten conocer la espiral de Fermat:

MATEMATICA BASICA I

199

r2=8θ

Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la función que veremos ahora,

que podríamos encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo

gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar .

Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral

recíproca o espiral hiperbólica. Tendremos entonces:

r=θ1

MATEMATICA BASICA I

200

Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra

mediante la siguiente función y su respectivo gráfico:

r=eθ

EJERCICIOS

Dibujar y dar las características de las siguientes curvas en coordenadas

polares.

Rosa de 4 pétalos:

1. r=3sen2θ

2. r=3cos2θ

Espirales:

3. r=2θ

4. r=3θ

Rosa de 3 pétalos:

5. r=4sen3θ

6. r=5cos3θ

De 8 pétalos:

7. r=2sen4θ

8. r=3cos4θ

MATEMATICA BASICA I

201

Rosas incluidas:

9. r=2-3sen2θ

10. r=3-4cos3θ

Cardioide:

11. r=2+2cosθ

12. r=3+3senθ

Caracoles:

13. r=2+3cosθ

14. r=3-4senθ

15. r=4+3sen2θ

16. r=5+4cos2θ

Circunferencia:

17. r=3senθ

18. r=4cosθ

Lemniscata:

19. r2=4cos2θ

20. r2=9sen2θ

Parábola:

21. rsen

=− θ

103 3

22. rcos

=− θ

125 5

Espiral:

23. r2=4θ

r2=6θ

MATEMATICA BASICA I

202

MATEMATICA BASICA I

203

VII. MISCELANEA DE EJERCICIOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Una recta L tiene una pendiente igual a – 2 y forma con los ejes

coordenadas un triángulo de área 9u2. Hallar la ecuación de L si

no pasa por el tercer cuadrante. R. 2x + y – 6 = 0

2. Los vértices de un trapecio son A(-2,3), B(-3,-2) y C(5;2). Se

prolongan los lados no paralelos BA y CD hasta cortarse en P.

Determinar las coordenadas del baricentro del triángulo APD así

formado. R. 1 16G3 3

⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,4) y forma

con la recta L: 2x + 3y – 6 = 0 un ángulo de 45º.

R. x + 2y – 1 = 0 ; x – 2y + 3 = 0

4. Hallar la ecuación de una recta que pase por un punto común de

x + 2y – 1 = 0 y 2x – y + 3 = 0; y diste del punto M(0,1) una

longitud igual a 15

unidades.

5. Hallar las ecuaciones de las medianas del triángulo formado por

las rectas 2x – 3y + 11 = 0 ; 3x + y – 11 = 0 ; x + 4y = 0.

R. 5x – 2y = 0 ; x + 7y + 11 = 0 ; 4x + 5y – 11 = 0

6. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son:

bc ac aby a y b ;y c2 2 2

= − − = − = −x x x . Probar que el área del

triángulo esta dado por : ( )( )( )1 a b b c c a8

− − − .

MATEMATICA BASICA I

204

7. Hallar el área del trapecio formado por las rectas 3x+y–5 = 0;

y + 3x – 20 = 0 ; x – 2y = 0.

8. Dos lados de un rectángulo están en las rectas:

L1 : 3x - 4y + 10 = 0 y L2 : 3x – 4y – 15 = 0.

La ecuación de la recta L que contiene a una de sus diagonales

es 7x + y – 10 = 0 . Hallar los vértices del rectángulo.

R. (1,3) , (2,-4) , (-2,-1) y (5,0)

9. Los lados iguales de un triángulo isósceles están en las rectas

L1 : 5x - 8y – 24 = 0 y L2: 8x – 5y – 15 = 0.

Hallar la ecuación de la recta que contiene al tercer lado, sabiendo

que pasa por el punto P(10,0).

R. y – 10 – x = 0 ; y – 10 = -x

10. Sea L1 la recta que pasa por el punto P(3,1), intersecta a la recta

L2 : 3x – y = 0 en Q y a la recta L3 : x + 5y = 0 en R de modo que,

P es punto medio del segmento QR .

Hallar la ecuación de la recta L perpendicular a L1 en P.

R. x – y - 2 = 0

11. En un triángulo ABC al vértice A está sobre el eje X; el vértice B

en la bisectriz de los cuadrantes impares, la ecuación de la recta

que contiene al lado AC es L1: x - y + 5 = 0, y la recta que

contienen al lado BC es L2: 2x – y – 2 = 0. Determinar:

a) El área del triángulo ABC. R. 18u2

b) La altura correspondiente al lado AB. R. 36

56

MATEMATICA BASICA I

205

c) Las ecuaciones de las bisectrices interna y externa del

ángulo A.

R. ( ) ( )2 2 53 53 7 2 y 10 2 5 53 0+ + − + + =x

y ( ) ( )2 2 53 53 7 2 y 10 2 5 53 0− − − + − =x

12. Calcular el perímetro del triángulo, conociendo el vértice A(1,3) y

las ecuaciones de dos de sus medianas: L1: x - 2y + 1 = 0 y

L2: y - = 0.

R. 2 5 2 17 4 2+ +

13. El punto A(1,-1) es el centro de un cuadrado, uno de cuyos lados

está sobre la recta L1: x – 2y + 12 = 0. Hallar las ecuaciones de

las rectas en la que están los otros lados del cuadrado.

R. 2x + y + 14 = 0 ; 2x + y – 16 = 0

14. Los lados de un triángulo están sobre las rectas L1:2x+5y-12=0

y L2: 5x + 2y + 12 = 0. Hallar la ecuación de la recta que

contienen al tercer lado de modo que el baricentro del triángulo

sea G(1,-1).

R. x – y – 7 = 0

15. Un rayo de luz va dirigido por la recta L1: x – 5y + 5 = 0 de

izquierda a derecha. Al llegar a la recta L2: 3x – y + 3 = 0 se ha

reflejado en ella. Hallar la ecuación del rayo reflejado.

R. 19x + 17y – 1 = 0

16. Hallar el área del triángulo que forma la bisectriz del ángulo

formado por las rectas.

L1:3x – y – 6 = 0, L2: x – 3y – 6 = 0, con la recta L: x + y – 8 = C y

con el eje x.

R. 254

MATEMATICA BASICA I

206

17. Las rectas L1 , L2 y L3 determinan un triángulo rectángulo, donde

L1 ⊥ L2 en P = (4, 1), la bisectriz del ángulo recto corta a L3: en

Q = (5,-6); hallar el área.

R. 50u2.

18. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo, conociendo

uno de sus vértices B(2,-7) y las ecuaciones de la altura.

L1: 3x + y + 11 = 0 y de la mediana L2: x + 2y + 7 = 0, trazadas

desde diferentes vértices.

R. x – 3y – 23 = 0 , 7x + 9y + 19 = 0 ; 4x + 3y – 13 = 0

19. Una recta que pasa por el punto de intersección de las rectas

2x – 3y – 5 = 0 ; x + 2y – 13 = 0 y el segmento que determina

sobre el eje X es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación

de tal recta.

20. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo conociendo uno

de sus vértices A(3,-1) y las ecuaciones de la bisectriz

x – 4y + 10 = 0 y de la mediana 6x + 10y – 59 = 0 trazados desde

diferentes vértices.

R. 2x + 9y – 65 = 0 ; 6x – 7y – 25 = 0 ; 18x + 13y – 41 = 0

21. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo,

conociendo uno de sus vértices B(2,6) y las ecuaciones de la

altura x – 7y + 15 = 0 y de la bisectriz 7x + y + 5 = 0, trazadas

desde uno de sus vértices.

R. 4x – 3y + 10 = 0 ; 7x + y – 20 = 0 ; 18x + 13y – 41 = 0

22. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el eje

Y, y los extremos de una de sus cuerdas son los puntos A(2,7) y

B(4,1).

R. x2 + y2 – 6y – 11 = 0

MATEMATICA BASICA I

207

23. Determinar si en el cuadrilátero de vértice A 55,3

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

, B 250,3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

,

C(7,1) y D(-5,10) se puede inscribir una circunferencia. En caso

afirmativo. Hallar la ecuación de la circunferencia.

R. x2 + y2 = 25

24. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo

cuyos lados se encuentran en las rectas.

L1: 3x + 4y – 29 = 0 , L2: 3x – 4y – 53 = 0 , L3: x – 3 = 0

R. x2 + y2 – 14x + 6y + 42 = 0

25. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es la cuerda

común a las circunferencias; x2 + y2 + 6x + 2y – 15 = 0 y

x2 + y2 – 6x – 9 = 0.

R. 169x2 + 169y2 – 312x – 546y + 117 = 0

26. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

P(1,11) y Q(9,3), y que es tangente a la recta L: x + y – 16 = 0.

R. (x - 2)2 + (y - 4)2 = 50

27. De un triángulo PQR se conocen el vértice P(-5,3) y las

ecuaciones de las circunferencias inscritas C1:(x+3)2+(y-9)2=20

y circunscrita C2: x2 + (y - 13)2 = 125. Determinar las coordenadas

de los vértices Q y R del triángulo.

R. Q(11,11), R(-11,15)

28. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por la

intersección de la circunferencias C1: x2 + y2 + 4x – 8y + 11 = 0,

C2: x2 + y2 – 4x – 4y – 8 = 0 cuyo centro está sobre la recta

L : x – 2y + 14 = 0.

R. 2x2 + 2y2 + 16x – 20y + 41 = 0

MATEMATICA BASICA I

208

29. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las

rectas x–3y–2=0 ; 3x–y+10=0; 3x–y–10=0 y x–3y+18=0.

R. x2 + y2 – 2x – 6y = 0

30. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia

x2 + y2 + 4x – 2y = 0; que son perpendiculares a la recta

x – 2x + 18 = 0.

R. 2x + y – 2 = 0 ; 2x + y + 8 = 0

31. Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en C(-2,-2)

y es tangente a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 14y + 52 = 0.

R. x2 + y2 + 4x + 4y – 44 = 0 o x2 + y2 + 4x + 4y – 200 = 0

32. Dada la recta L: 7 y 15 2 0+ − =x y la circunferencia

C: 2 2y 20 2 10 2y 225 0+ − − + =x x , si L1 y L2 son dos rectas

paralelas de pendientes negativa tangentes a C y tales que cada

una de ellas forme con L un ángulo θ , donde 3tan4

θ = . Hallar las

ecuaciones de L1 y L2.

R. L1: x + y - 10 2 = 0 ; L2: x + y - 20 2 = 0

33. Una circunferencia tiene radio 2 2 , si la circunferencia es

tangente a la recta L: 4x+ 3y – 2 = 0, y es tangente a la recta:

L1: x + y + 4 = 0, hallar el centro de la circunferencia. Está en la

intersección.

R. 3x - 4y + 7 = 0 ; 3x – 4y – 37 = 0

34. Hallara las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia

x2 + y2 – 4x + 8u = 11 que son paralelas a L: 3x – 4y + 2 = 0.

R. 3x – 4y – 7 = 0 ; 3x – 4y – 37 = 0.

35. Halla las ecuaciones de 3 circunferencias, tangentes exteriores 2

a 2, con centros en los puntos: C1(0,0) , C2(12,5) y C3(12,-9).

MATEMATICA BASICA I

209

R. C1: x2 + y2 = 49, C2: (x - 12)2 + (y – 5)2 = 36,

C3: (x - 12)2 + (y + 9)2 = 64

36. Dadas las circunferencias C1: x2 + y2 = 16 y

C2: x2+ y2 + 4x + 8y – 80 = 0 y el punto A(4,-12). Encontrar el área

del triángulo ABC, si se sabe que está inscrito en una de las

circunferencias y circunscrito a la otra.

R. 96u2

37. El punto medio de una cuerda de la circunferencia

x2 + y2 – 8x + 12 = 0 es M(5,-1). Hallar la ecuación de la recta que

contiene a dicha recta.

R. x – y – 6 = 0

38. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto

P(-8,5) y por las intersecciones de las circunferencias:

x2 + y2 – 8x – 6y + 17 = 0 ; x2 + y2 – 18x – 4y + 67 = 0.

R. x2 + y2 + 2x – 8y – 33 = 0

39. Dadas las ecuaciones de las circunferencias: x2 + y2 = 4 ;

x2 + y2 – 18x + 65 = 0. Hallar una tangente común.

R. 77 y – 2x – 18 = 0

40. Hallar en la circunferencia 16x2 + 16y2 + 48x – 8y – 43 = 0 el

punto M1 más próximo a las rectas 8x – 4y – 73 = 0 y calcular la

distancia de M1, a esta recta.

R. 17 5M , ,d 22 4

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

41. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a

las tres rectas: 4x–3y–10=0 ; 3x – 4y – 5 = ; 3x – 4y – 15 = 0.

R. 2 210 25y 1

7 7⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x ; 2 230 5y 1

7 7⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x

MATEMATICA BASICA I

210

42. Determinar el ángulo formado por la intersección de las dos

circunferencias: x2 + y2 – 6x – 2y + 2 = 0 , x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0

(se llama ángulo formado por dos circunferencias al ángulo

comprendido entre sus tangentes en el punto de intersección).

R. 90º

43. El punto A(8,6) es el centro de la cuerda de la circunferencia

x2 + y2 – 12x – 4y – 60 = 0. Hallar la ecuación de la cuerda y su

longitud.

R. x + 2y – 20 = 0 , cuerda 8 5 unidades.

44. La recta que pasa por A = (1,-3) y B(-1,-5) es mediatriz de una

cuerda de una circunferencia. Un extremo de esa cuerda es

D=(2,2). Hallar la ecuación de tal circunferencia si su radio es

igual a 4 unidades.

R. x2 + y2 – 12x – 4y + 24 = 0

45. Hallar la ecuación de la parábola si se dan su foco F(-3,2) y la

ecuación de la directriz 3x + 4y – 24 = 0.

R. 16x2 + 9y2 – 24xy + 294 + 92y – 251 = 0

46. Los puntos N(2,-3) y M(-2,9) son los extremos del lado recto de

una parábola cuyo vértice está en el segundo cuadrante;

determinar:

a) Las coordenadas del foco.

b) La ecuación de la directriz.

c) La ecuación de la parábola.

R. a) F(0,3) b) 3x+y+17=0 c) x2+9y2–6xy–102x–94y–199=0

47. Hallar la ecuación de una parábola de eje paralelo al eje Y, y que

pasa por los puntos: P(0,3), Q(3,4) y R(4,11).

R. 5x2 – 14x – 3y + 19 = 0

MATEMATICA BASICA I

211

48. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical, vértice V(3,1) y

con lado recto de longitud 8.

R. x2 – 6x – 8y + 17 = 0 ó x2 – 6x + 8y + 1 = 0

49. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son: Los puntos de

intersección de la recta x + 2 – 2 = 0 y la parábola

(x + 2)2 = 4(y - 1), y el vértice de esta.

R. 12u2

50. Una parábola de eje vertical pasa por los puntos A(0,0), B(2,2) y

C(-4,20).Hallar la ecuación de la tangente en el punto C.

R. 9x + y + 16 = 0

51. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y2-12x-2y+1=0.

que sea paralela a la recta 3x – 2y + 32 = 0. Además calcular la

distancia entre las dos rectas.

R. 3x – 2y + 6 = 0 , d 2 13=

52. Desde el foco de la parábola y2 = 4x se ha dirigido un rayo hacia

el arco superior, formado con el eje OX, un ángulo α tal que

4tan3

α = . Al llegar a la parábola el rayo se ha reflejado. Hallar la

ecuación de la recta que contiene el rayo reflejado.

R. y = 4

53. Dado el vértice V(4,-2) de una parábola y la ecuación de su

directriz 3x – 5y + 12 = 0. Hallar el foco de esta parábola.

R. F(7,-7)

54. La normal en el punto P(-1,-19) de una parábola es la recta

x – 3y – 56 = 0 y el eje focal esta sobre la recta x + y + 4 = 0.

Hallar la ecuación de la parábola.

R. x2 + 2xy + y2 – 8x + 24y + 48 = 0

MATEMATICA BASICA I

212

55. Dadas las parábolas y = x2; x = y2, ¿qué representa la familia

y-x2+λ(x-y2)=0?

56. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y2 – 8x = 0 si la

pendiente de tal tangente a la parábola es -1.

R. x + y + 2 = 0

57. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y

los puntos extremos del lado recto de la parábola x2+8y–4x+28=0.

R. x2+ y2 – 4x + 16y + 43 = 0

58. Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la

curva y2 = 8x en el punto (2,4).

R. L1: x – y + 2 = 0

L2: x + y – 6 = 0

59. Hallar la ecuación de la parábola de directrices x + 3 = 0, y que

pasa por los puntos: A(7,8) y B(2,-2).

R. (y - 2)2 = 4(x + 2) ; (y + 2)2 = 20(x - 2)

60. Determinar las tangentes común a las curvas x2–4x–4y+20= 0 ;

x2 + y2 – 4x + 10y – 24 = 0.

61. Si Q(3,6) es el punto medio de una cuerda de la parábola

x2 = 16y, hallar la ecuación de dicha cuerda.

R. 3x – 4y + 15 = 0

62. La fachada de una Iglesia tiene la forma parabólica cuyo vértice

está en la parte más alta de la misma. Si sobre la puerta a 6

metros de altura hay una cruz pequeña que coincide con el foco

de la parábola y la base mide 24 metros. Hallar la altura de la

fachada de tal Iglesia.

R. 3 3 5+

63. Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre

si 300mts y se extienden 80m por encima de la calzada.

MATEMATICA BASICA I

213

Si el cable (Que tienen la forma de una parábola) es tangente a la

calzada en el centro, determinar la altura del cable por encima de

la pista a 50mts y también a 100mts del centro del puente (asumir

que la pista es horizontal). R. 8,88mts ; 35,55mts.

64. Es necesario encerrar un campo rectangular con una cerca de

12000 de longitud. Determinar la relación existente entre el área

“y” del campo, cuando uno de los lados es “x”. Trazar la grafica

para 0 60≤ ≤x . ¿Para qué valor de x él área es máxima?

R. El valor de x que maximiza el área es x = 30, el área de

máxima es 600m2.

65. Una piedra arrojada al alto, formando un ángulo con el horizonte,

describe el arco de una parábola y cae a una distancia de 16m.

Determinar la altura de la piedra a 5m, del punto de tiro sabiendo

que la altura máxima alcanzada por la piedra es de 12m.

R. 5,25m

66. Una nave espacial en el espacio exterior en avistada desde la

base moviéndose en una ruta parabólica, cuyo foco es nuestro

planeta (considerar a la tierra como un punto). Cuando la recta

que va de la tierra a la nave espacial forma un ángulo de 90º con

el eje de la parábola, la nave se encuentra a 40 millones de

kilómetros. ¿Qué tan cerca pasará de la tierra la nave espacial?

R. A 20 millones de kilómetros.

67. Se tiene un reflector parabólico de ecuación y2 = 16x, desde el

reflector sale un rayo de luz que forma un ángulo α con el eje de

simetría con 12tan5

α = . El rayo de luz al llegar a la parábola se ha

reflejado. Hallar la ecuación de la recta L que contiene el rayo

MATEMATICA BASICA I

214

reflejado (el rayo de luz focal a la parábola en un punto que esta

en el primer cuadrante).

R. L: y = 12

68. Se lanza una piedra, siendo su trayectoria una parábola, la

máxima altura que alcanza la piedra es 8 metros y cae 32 metros

más allá del punto en que se lanzó la piedra. Hallar la altura que

alcanzó la piedra 24 metros más del punto en que fue lanzada.

R. 6 metros.

69. Una piedra se lanza en forma horizontal desde lo alto de una torre

de 125 pies de altura. La piedra cae al piso en el punto “A” como

indica la figura. En su trayectoria la piedra roza la copa de un

árbol que está a 24 pies del punto en el cual la piedra toca el piso.

Hallar la altura del árbol.

R. 9,8 pies.

70. Si la misma piedra se lanzara en forma horizontal desde lo alto a

250 pies ¿cuál sería la distancia desde la torre hasta el punto B en

que la piedra toca el piso y a que distancia de B debe estar el

mismoi árbol para que la piedra roce la copa del árbol?

71. En la siguiente figura se tiene una puerta en forma de una

parábola. La base mide 80 pulgadas y la máxima altura de la

puerta es 90 pulgadas. Un hombre está parado en la entrada de la

puerta a 20 pulgadas del punto “A”. Hallar la altura del hombre.

MATEMATICA BASICA I

215

72. Una elipse con eje paralelo al eje Y; tiene su centro (4,-2),

excentricidad 1e2

= y eje menor de longitud 12. Hallar la ecuación.

R. ( ) ( )2 22 y 41

36 48+ −

+ =x

73. Los focos de una elipse son F1(2,4) y F2(-10,4). Hallar la ecuación

de la elipse si uno de los vértices está sobre la recta L:x-y-2=0.

R. ( ) ( )2 24 y 41

100 64+ −

+ =x

74. Hallar la ecuación ordinaria de una elipse de eje horizontal con

centro (3,3) y pasa por el punto P(7,4). Además, se sabe que la

longitud de su lado recto es 2 veces su semidistancia focal.

R. ( ) ( )2 23 y 31

18 9− −

+ =x

75. Una elipse de eje focal paralelo al eje Y, pasa por el punto Q(-3,2)

y tiene sus vértices en la circunferencia x2 + y2 – 2x – 24 = 0 y es

concéntrica con ella. Determine la ecuación de la elipse.

R. ( )2 221 1 y 1400 25

−+ =

x

76. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse x2 + 2y2 = 4, que

son paralelas a la recta x – 4y + 5 = 0.

R. x – 4y + 6 = 0 ; x – 4y – 6 = 0

MATEMATICA BASICA I

216

77. Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones: focos

F1(2,0), F2(-2,0) y directrices x = ± 8.

R. 12x2 + 16y2 = 1

78. Hallar la ecuación de la elipse que satisface: Foco (1,-3), directriz

correspondiente: 3x + y – 3 = 0 , 10e4

= .

R. 7x2 – 6xy + 15y2 – 14x + 102y + 151 = 0

79. Hallar la ecuación de la elipse con centro en (-3,1), un extremo del

eje menor en (-1,1) y pasa por el punto (-2,-2).

R. 3(x + 3)2 + (y – 1)2 = 12

80. Hallar la ecuación de la elipse que es tangente a las rectas

L1: 3x – 2y – 20 = 0 y L2: x + 6y – 20 = 0, si sus ejes coinciden

con los ejes coordenados.

R. x2 + 4y2 = 40

81. El punto medio de una cuerda de la elipse 4x2+y2–8x–6y–3=0 es

el punto (2,5). Hallar la ecuación de la cuerda.

R. 2x + y = 9

82. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse 4x2 + 5y2 = 20

que son perpendiculares a la recta x + 3y + 7 = 0.

R. 3x – y – 7 ; 3x – y + 7 = 0

83. El lado recto de una elipse mide 325

. Hallar la ecuación de la

elipse si la recta L1: x = 2 es su eje focal, la recta L2: y = –4

contiene a uno de sus lados rectos y 2 es la ordenada de uno de

sus focos.

R. ( ) ( )2 22 y 11

16 25− +

+ =x

MATEMATICA BASICA I

217

84. La parte superior de la entrada de un túnel de forma semieliptica

tiene 10m de ancho. Si su altura en el centro es de 10m y la de

sus paredes laterales 6m, calcular la altura a 2m de una de las

paredes. R. 9.2m

85. Un arco tiene forma de semielipse con una luz de 150 metros

siendo su máxima altura de 45 metros. Hallar la longitud de dos

soportes verticales situados cada uno a igual distancia del

extremo de arco.

R. 30 2 metros

86. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el

sol, sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148.5 millones

de kilómetros y que la excentricidad vale 0,017. Hallar la máxima y

la mínima distancia de la tierra al sol.

R. (152,146) millones de kilómetro

87. Hallar la ecuación de la hipérbole de centro el origen, eje real

sobre el eje de coordenadas y longitud del lado recto 36 y

distancia entre los focos igual a 24.

88. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje real al

eje de coordenadas y excentricidad 2 3 y longitud del lado recto

igual a 18.

R. 121y2 – 11x2 = 81

89. Dibujar las hipérbolas siguientes y hallar sus puntos de

intersección x2 – 2y2 + x + 8y – 8 = 0 ; 3x2–4y2+3x+16y-18=0.

R. (1,1) , (1,3) , (-2,1) , (-2,3)

90. Si el eje es la recta 4x – 3y – 4 = 0, y uno de sus focos se

encuentran sobre la recta 2x – y – 4 = 0. Hallar la ecuación de la

hipérbola. R. ( ) ( )2 22 y 29 16+ −

−x

=1

MATEMATICA BASICA I

218

91. Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola de vértices

( ) ( )1 2V 1,2 ,V 1,8− − y una de sus asíntotas es y = 2x + 7.

R. ( ) ( )2 2y 5 x1199

4

− +− =

x

92. El punto A(-1,-4) está en la hipérbola, uno de cuyos focos es

F(0,-2) y la directriz correspondiente es L : x – 1 = 0. Hallar la

ecuación de esta hipérbola.

R. x2 - 4y2 – 10x – 16y – 11 = 0

93. La excentricidad de una hipérbola es 2 . Hallar la ecuación

canónica de la hipérbola que pasa por el punto ( )Q 3, 2 .

R. x2 – y2 = 1

94. Hallar las ecuación de la hipérbola que pasa por el punto Q(1,5) y

cuyas asíntotas son las rectas 2x + 3y + 1 = 0 y 2x – 3y = 0.

R. ( ) ( )2 2y 1 21

12 27− +

− =x

95. Una hipérbola equilátera tiene una asíntota L1: x – y = 6, la otra

pasa por el punto Q(1,3). Hallar la ecuación de la hipérbola

sabiendo que uno de sus vértices es V(-1,8).

R. x2 – y2 + 2x + 10y – 15 = 0

96. Los focos de una hipérbola son los extremos del otro lado recto de

la parábola y2 – 8y – 6y – 15 = 0. Hallar la ecuación de la

hipérbola sabiendo que triseca al lado recto de la parábola.

R. ( ) ( )2 29 y 3 9 11

16 128− +

− =x

MATEMATICA BASICA I

219

97. Hallar el área del triángulo formado por las asuntotas de la

hipérbola ( ) ( )2 22 y 21

4 9+ −

− =x

y la recta L: 9x + 2y – 10 = 0.

R. 12u2

98. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera, con uno de sus

focos en el punto F(-3,6) y su directriz correspondiente

3x – y + 3 = 0.

R. 2xy – 10x + 8y – 41 = 0

99. Hallar la ecuación de la hipérbola, si se conoce su excentricidad

e = 5 el foco F(2,-3) y la ecuación de la directriz correspondiente

3x – y + 3 = 0.

R. 7x2 – 6xy + y2 + 26x – 18y – 17 = 0

100. El punto M1(1,-2) está en una hipérbola, uno de cuyos focos es

F(-2,2), y la directriz correspondiente se da mediante la ecuación

2x – y – 1 = 0. Hallar la ecuación de esta hipérbola.

R. 91x2 – 100xy – 16y2 – 136x – 86y – 47 = 0

101. A y B son dos estaciones de navegación, ubicadas en los puntos

(-500,0) y (500,0) respectivamente. El receptor de un barco

detecta las señales de radio emitidas simultáneamente de las dos

estaciones, que indican que el barco esta, 600km más cercano a

A que a B ¿Dónde se encuentra al barco?

MATEMATICA BASICA I

220

LÍNEAS RECTAS. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dada la recta L: 3x + 4y – 6 = 0; determinar:

a) La pendiente de la recta L.

Sea m:

3x + 4y – 6 = 0

3x – 6 = – 4y → y = –3/4x –6/4

m = –3/4

b) La recta L1 paralelas a L que pasa por (2,–5).

Ïgual pendiente -3/4

y´ = –3/4x´ + b → –5 =–3/4 (2) + b-3.5 = b

→ y´ = –3/4x´ – 3.5

→ 4y´ = –3x´ – 14

c) La recta L2 que pasa por (4,-3) y es perpendicular a L.

El producto de las 2 pendientes: m de L2 y -3/4 de L1, vale -1.

(–3/4)(m) = –1 → m = 4/3

y”= 4/3x” + b → –3 = 4/3(4) + b

b = –8.3

y” = 4/3x” – 8.3 → 3y” = 4x” – 25

2. La pendiente de la recta L: 2x – 5y +8 = 0 es:

De la ecuación general donde m x + b = y

m: pendiente.

MATEMATICA BASICA I

221

2x – 5y + 8 = 0

2x + 8 = 5y

2x/5 + 8/5 = y …….. 2/5x + 8/5 = y….. (1)

m x + b = y…... (2)

Donde m = 2/5

3. Halle el punto de intersección de la recta L1:2x + 4y = 5 con la

recta L2 que pasa por (2,0) y es perpendicular a L1.

P: ( L1∩ L2 ) = ? P = (2,0)

* L1 → 2x + 4y = 5

L1 → 2x – 5 = 4y m1 = 2/4 → ½

L1 → 2x/4 – 5/4 = y

* L1 perpendicular a L2 m1. m2 = –1

(1/2) m2 = –1 → m2=–2

y = –2x + b como pasa por (2,0):

0 = (–2) (2) + b → b = –4

y = –2x – 4

y x x

y x y

⎧= − − = −⎫ ⎪⎪ ⎪⇒⎬ ⎨= − ⎪ ⎪ = −⎭ ⎪⎩

12 4

101 5

182 4

10

∴ El punto de intersección: ,− −11 1810 10

4. Las coordenadas de un punto P son (2,6) y la ecuación de la recta

L es 4x + 3y = 12. Hallar la distancia del punto P a la recta L

siguiendo en orden los siguientes pasos:

MATEMATICA BASICA I

222

P: (2,6)

L: 4x + 3y = 12

En los ejemplos a resolver se da la respuesta:

a) Hallar la pendiente L:

4x + 3y = 12

4x – 12 = –3y → y = –4/3x + 4

m = –4/3

b) Hallar la ecuación de la recta L´ que pasa por P y es

perpendicular a L:

S i es perpendicular: m1 m2 = –1 → (-4/3) m2 = –1

m2 = ¾

L´: {(2,6) ± t (4,3)}

y = m x + b : y = ¾ x + b

→ 6 = (3/4) (2) + b → b = 4.5

→ y = ¾ x + 45/10

c) Hallar las coordenadas de P´ punto de intersección de L y L´:

¾ x + 4.5 = –4/3 x + 4

9/12 + 16/12 x = –0.5

→ 25/12 x = –0.5

x = –6/25

→ y = –4/3 (–6/25) + 4 }P , .⎛ ⎞′ −⎜ ⎟⎝ ⎠

64 32

25

y = 4.32

MATEMATICA BASICA I

223

d) Distancia = PP′ donde P=(2,6)

= ( ).⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

226

2 6 4 3225

5. 3 naranjas y 4 uvas contienen 46 unidades de vitamina C, y 5

naranjas y 2 uvas contienen 51 unidades de vitamina C. ¿Cuántas

unidades de vitamina C contienen las uvas?

X1 X2 Y

3 4 46

5 2 51

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sean L1 una recta horizontal y L2 una recta vertical.

Determine las pendientes de L1 y L2. Justificar.

2. Dados los puntos A (1,7) y B (–3,2), determine una forma

explicita y = f (x), que exprese el hecho de que un punto

cualesquiera P (x , y) esta en la mediatriz L del segmento

AB.

3. El segmento AB de 6 unidades de longitud, tiene sus

extremos en los semiejes positivos X e Y, formando un

triangulo rectángulo con ellos. Si AB forma con el eje X un

ángulo de 30°. Halle la ecuación de la recta que pasa por C

(4,3) y es perpendicular a AB.

4. Relación entra la Temperatura del Aire y la Altitud

La relación entre la temperatura del aire T (en °F) y la

altitud h (en pies sobre el nivel de mar), es

MATEMATICA BASICA I

224

aproximadamente lineal para 0 ≤ h ≤ 20000.Si la

temperatura al nivel citado es 60°F, un aumento de

5000pies hace que la temperatura ambiente baje en unos

18°F. Expresar T en términos de h, y graficar h, T en

sistema de coordenadas.

5. Sean y = m x + b la imagen cuando se refleja la recta

x – 3y + 11 = 0 en el eje X. Hallar el valor de m + b.

6. En un juego: 4 hamburguesas y un perro caliente cuestan $

1.5; mientras 6 hamburguesas y 9 perros calientes cuestan

$ 12.00 ¿Cuánto vale un perro caliente?

7. Dadas las restas:

P: y = 2x

Q: y + 3x = 10

R: y+ ½ x + 10 = 0

Determinar los puntos de intersección 2 a 2 y elárea del

triángulo que se forma con dichos puntos.

CIRCUNFERENCIA. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por (0,0), (2,0),

(0,2).

Centro M1 ^ M2

C = (1,1)

→ r = ² 1)-(0 ² 1)-(0 +

r = 2

→ C : ( 2 ) ² = (x – 1) ² + (y -1)²

MATEMATICA BASICA I

225

2. Halle la formula que diga que P(x,y) se encuentra a una distancia

r>0 de un punto fijo, C(h,k). Describa el conjunto de esos puntos.

P: (x,y) r > 0 C:(h,k)

→ │P – C) = r r ² k) -(y ² h) - ( =+x

3. Obtenga una formula que exprese que el hecho de que P(x,y) esté

a una distancia 5 del origen. Describa el conjunto de esos puntos.

│P – P0│ = T

^ T > 0

→ P = (h,k) al centro ^ T > 0 el radio

→ C es el conjunto de puntos P = (x,y)

T² k) -(y ² h) - ( =+x

Para (h,k) = (0,0)

→ x² + y² = r²

4. Dada la ecuación: x² + y² = 4, determine el lugar geométrico

de todos los puntos medios de la ordenada de la ecuación dada.

Dado x² + y² = 2²

→ x : ab

y : ordenada

Si x ∈ [ -2,2 ] ^ y ∈ [ -2,2 ]

MATEMATICA BASICA I

226

El lugar geométrico de los y/2 es:

x ℮ [ -2,2 ] ^ y/2 ℮ [ -1,1 ]

5. Determine si el punto P se encuentra dentro, fuera, o sobre la

circunferencia con centro en C, y de radio r.

I) P(4,2) , C(1,-2) , r = 5

→ (4-1)² (2 2)²+ + = 9 16 5+ = → P sobre la

circunferencia

II) P(1,-2) , C(6,-7) , r = 7

→ 7)² (-2 6)² (1 ++ = 7.1 25 25 =+ → P fuera de la

circunferencia.

III) P(-2,5) , C(3,7) , r = 6

→ 7)² (5 3)² (-2 + = 5.4 4 25 =+ → P dentro de la

circunferencia

MATEMATICA BASICA I

227

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Halle la ecuación de la circunferencia con centro en (4,2)

que es tangente a la recta x = y.

2. Trazar la grafica de: x² + y² + 9 = 6y - 4x

3. En el mismo sistema coordenado, trace las graficas:

I) 2x - y = 4 II) x² + y² = 4 + 2x - 4

Demuestre q la curva I divide a la curva II en dos partes

iguales.

4. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene como

diámetro el segmento de extremos (-1,2) y (3,-4).

5. Deduzca la ecuación de la circunferencia concéntrica a

x² + y² + 4x – 6y = 0, y además que pase por el punto

P(2,6).

6. Trace la grafica de la circunferencia o semi–circunferencia,

indicando el centro y radio.

a) x² + y² = 4

b) (x-3) ² + (y+2) ² = 9

c) (x-3) ² + y² = 25

d) x² + (y+1) ² = 16

e) 4x² + 4y² = 9

f) ² 4 x− = y

g) x = y²- 9

h) y = 4x - x²

i) x = y² 25 −−

j) x² + 4x + y² - 6y = 12

k) x² + y² + 4y - 117 = 0

MATEMATICA BASICA I

228

l) x² + y² – 10x + 16 = 0

m 2x² + 2y² – 12x + 4y = 15

n) 9x² + 9y² + 12x = 6y – 4

o) x2 + y² + 4x - 2y + 5 = 0

p) x² + y² – 6x + 4y + 13 = 0

q) x² + y² – 2x – 8y = –19

r) x² + y² + 4x + 6y + 16 = 0

7. Deduzca una ecuación de la circunferencia que satisfaga las

condiciones pedidas:

a) Centro C (1/4,0), radio 5

b) Centro C (0,3) radio 5

c) Centro C (-4,6) que pase por P (1,2).

d) Centro en el origen, que pase por P (4,-7).

e) Centro C (-3,6), que sea tangente al eje X.

f) Centro C (4,-1), que sea tangente al eje Y.

g) Tangente a los dos ejes, centro en el segundo cuadrante, y

que tenga radio 4.

h) Que los extremos de un diámetro estén en A (4.-3) y B (-2,7).

8. Para la circunferencia dada, calcule las intersecciones con los

ejes X, Y.

I) x² + y² - 4x -6y + 4 = 0

II) x² + y² - 10x + 4y + 13 = 0

9. Una circunferencia de radio 4 tiene su centro en el punto C (1,-1).

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de

todos los radios.

MATEMATICA BASICA I

229

10. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro el

segmento de los extremos (-1,2) y (3,-4). Determine además la

ecuación de la circunferencia concéntrica cuyo radio mide 5.

11. Alcances de las emisiones de radio: La señal de una radiodifusora

tiene un alcance circular de 50 millas. Otra estación de radio; que

esta a 100mi. Al oriente, y a 80 al norte de la primera, tiene un

alcance de 80 mí. ¿Hay zonas en las q se pueden recibir las

señales de ambas estaciones? Explique su respuesta.

7.5 PARÁBOLA. EJERCICIOS PROPUESTOS N°20 1. Las secciones trasversales de una tienda de campaña de 6m. de

altura, tiene una forma de parábola y de base circular de 8m, de

diámetro; se desea ubicar una lámpara en la posición del foco de

la parábola. ¿A que distancia del suelo se ubicara la lámpara?

→ (x – h)² = 4p (y – k) (h , k) = (0 , 0)

-x² = 4p (y)

-6² = 4p (4)

-36 = 16p

-36/16 = p → p = -9/4 = -2.23

MATEMATICA BASICA I

230

→ F : (0, 3,75)

2. Determinar las ordenadas en los puntos de intersección de las

graficas de la recta y = 1 – x y la parábola y = x² – 1.

y = 1 – x y = x² – 1

x² – 1 =1-x

x² + x – 2 = 0

x² + x + ¼ - ¼ – 2 = 0

(x + 1)² = 9/4 → x + ½ = ± 3/2

→ X1 = ½ + 2/3 ^ X2 = ½ – 2/3

X1 = 2 X2 = –1

→ Y1 = –1 Y2 = 2

3. El techo de un pasillo de 8m. de ancho tiene la forma de una

parábola con 9m. de altura en el centro así como de 6m. de altura

en las paredes laterales. Calcula la altura del techo a 2 m. de una

de las paredes.

MATEMATICA BASICA I

231

x² = 4p (y)

(–4)² = 4p (–3)

16² = –12p

p = –4/3

x² = –16/3y

(–2)² = –16/3y

4 = –16/3y

y = –12/16 = –3/4

h = 9 – ¾ = 8.25m

4. La sección transversal de la taza de la figura es una parábola con

centro en la base de la taza y vértice un cm., de la base. La

abertura en la parte superior tiene un diámetro de 6cms. ¿cual es

la profundidad de la taza en un punto que se localiza a 2cm. del

eje?

x² = 4py

si p = 1

→ x² = 4y

Hallemos la altura total: p=1

(3)² = 4y → 9/4 = y (0,0)

y = 2.25

MATEMATICA BASICA I

232

Hallamos la altura a 2cm. del eje:

(2) ² = 4y → 4 = 4y

y = 1

Profundidad es ∆ Y = 2.25 – 1 = 1.25 cm.

5. La altura h, en pies, sobre el piso, que alcanza un cohete de

juguete a los t segundos de haber sido disparado, es

h = –16t² +120t. ¿Cuando llegara el cohete a 180 pies sobre el

piso? ¿Cual es la máxima altura alcanzada?

MATEMATICA BASICA I

233

BIBLIOGRAFÍA

1. Leithold, Luis (1994). Algebra y Trigonometría con Geometría

Analítica. México DF. Harla S.A. 899p.

2. Lehman, H. Charles García Díaz, R. (1988). Geometría Analítica. México. Limusa 494p.

3. Espinoza Ramos, Eduardo (2002). Análisis Matemático I.

Editorial Servicios Gráficos.

4. Espinoza Ramos, Eduardo (2002). Geometría Analítica. Editorial

Servicios Gráficos.

5. Kindle, Joseph. (1994). Geometría Analítica. México. Mc Graw-

Hill.

6. Venero, Armando. Análisis Matemático. Curso de Introducción.

Volumen I. México Trillas 808p.

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