MATEBLOQUEMÁTICA:

Parte I

Los números y sus

operaciones

La forma de aprender matemáticas

haciéndose la vida de cuadritos

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Introducción

Se dice que aprender matemáticas es algo reservado para quienes poseen

cualidades especiales, buen razonamiento o memoria ¡así lo consideran

muchos!

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Buena parte de los estudiantes transcurren sus cursos de matemáticas con

la idea de que lo que logren es bueno, consideran que será un éxito aprobar

aunque sea con la calificación mínima.

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También es frecuente que los estudiantes sueñen con el día en que podrán

realizar sus estudios sin nada que ver con las matemáticas.

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La labor de enseñanza enfrenta estas problemáticas, el maestro de

matemáticas suele enfrentar grupos que se dan por vencidos de manera

inmediata y no desean saber nada, lo que les interesa es aprobar a como de

lugar.

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Los alumnos en un acto de férrea disciplina aceptan los cursos de

matemáticas con resignación. Es algo que tienen que asimilar a como de

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lugar para seguir sus estudios. Pero no entienden la molesta conspiración

en su contra.

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La enseñanza de la matemática se ha caracterizado como una actividad en

la que el maestro debe combatir no sólo la falta de conocimientos de los

estudiantes sino que tiene que luchar contra la apatía y desinterés de éstos.

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Sin embargo, en eso consiste la tarea docente, proporcionar conocimientos es

parte de la actividad como maestro, pero crear en los estudiantes actitudes

favorables para acercarse a este tipo de conocimiento resulta más

importante.

Cuando un maestro recibe estudiantes bien formados, con pocas deficiencias

su labor puede ser anulada por sus propios estudiantes, es decir la forma en

que influirá puede verse disminuida por las características de sus alumnos,

avanzarían con poca o sin la intervención del maestro.

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Por ello, la labor del maestro se puede constatar realmente al observar a los

estudiantes que a pesar de querer comprender los contenidos matemáticos

no pueden hacerlo, en efecto, en esta situación el maestro puede mostrar el

nivel de profesionalización que posee. Este tipo de estudiantes,

desafortunadamente constituyen la mayoría, pero son el principal objetivo

de la labor docente.

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No es muy claro en que procedimientos podemos apoyarnos para tener éxito,

en educación no hay caminos definitivos ni “recetas” exitosas, lo único que

está ampliamente comprobado es que la situación actual no es la adecuada,

si por ello se entiende la clase tipo conferencia y la ejecitación

indiscriminada.

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Aprender matemáticas implica desarrollar diversas estrategias y formas de

abordar el conocimiento, no sólo consiste en memorizar, este aspecto puede

incluso ser mínimo, resulta más importante el desarrollar la imaginación, la

intuición matemática o estrategias para resolver problemas.

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En estas notas el maestro encontrará una forma de realizar su labor

tratando a partir de elementos muy sencillos y que pueden ser útiles

entemas complicados en la educación básica.

Los Bloques de Dienes

En la búsqueda de opciones para mejorar la enseñanza de la matemática se

han hecho intentos diversos tratamientos del contenido matemático,

profundizando más o menos, incluyendo temas o substituyendo unos por

otros, permutando temas, entre otro tipo de propuestas.

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También se han desarrollado propuestas con el manejo de dispositivos

provenientes de las nuevas tecnologías; incluso se buscan elementos que

están más al alcance de todos como lo es el caso del doblado de papel o la

elaboración de ciertos materiales.

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Dada la diversidad que enfrenta el docente en cuanto a personalidades,

formas de aprendizaje, formas de enseñanza, nivel de profundidad en el

manejo del contenido matemático, entre otros puntos, no es posible decir que

cierta forma de enseñanza o determinado material es exitoso en cualquier

situación.

Sin embargo, existen materiales de uso frecuente que han mostrado su

utilidad en diversos países y en situaciones culturales contrastantes. La

investigación en educación matemática también se ha centrado en la

aplicación de algunos recursos didácticos que han arrojado datos positivos a

su favor.

Uno de estos materiales son los denominados bloques de Dienes (no hay que

confundirlos con los denominados “Bloques Lógicos de Dienes”), con ellos se

pueden abordar diferentes temáticas y son sencillos de elaborar u obtener.

Dichos materiales consisten de varios cuadrados grandes y pequeños y

regletas de ciertas dimensiones:

En algunos países a este material se le conoce como “Algebra Tiles” y

existen otras versiones que tratan de resolver algunas limitaciones de este

material como los son los “Algeblocks”.

En este material exploraremos las potencialidades de los bloque s de Dienes

para abordar situaciones de enseñanza referidas a los números y sus

operaciones, aspecto fundamental en la educación básica.

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Los bloques de Dienes son figuras que los maestros pueden elaborar de

diversos materiales y dimensiones. Si se les desea utilizar en un

retroproyector pueden elaborarse de acrílico, si es en un pizarrón magnético

se pueden construir con cartulina américa y fragmentos de tiras imantadas,

o para usar con una franela se puede recurrir a lijas u otros materiales.

Por su parte los alumnos los pueden elaborar con cartulinas, madera,

plásticos u otro tipo de materiales.

Ya existen versiones para el maestro y el alumno en el mercado que pueden

adquirirse en diversas casas comerciales.

Un aspecto importante en la elaboración de los bloques de Dienes es que el

lado del cuadrado pequeño es uno de los lados de las regletas (rectángulos) y

el otro lado de éstas es el lado del cuadrado mayor:

Otro detalle importante es que con los cuadrados pequeños no se puede

cubrir de manera exacta el largo de las regletas ni con éstas se puede cubrir

de manera exacta los lados del cuadrado grande.

A este de materiales se les denomina de manera genérica como

manipulativos.

Con el uso de estos materiales puede beneficiarse la labor docente, per hay

que tener en cuenta que esto no sucederá con la simple aplicación de los

materiales, se requiere de:

Monitorear constantemente lo que los estudiantes con los que se

trabaja pueden realizar.

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Planear cuidadosamente cada sesión de trabajo con los materiales.

La improvisación en este tipo de experiencias por lo general

provoca experiencias frustrantes.

Estar atento a los planteamientos de los alumnos. Hay que

escuchar con detenimiento lo que plantean los estudiantes porque

ello permitirá interpretar adecuadamente sus dudas o reflexiones.

Manejar estrategias de enseñanza flexibles. Es decir, sin caer en el

desorden permitir el trabajo en equipos orientando las discusiones

de éstos. Permitir quemlos estudiantes se apoyen o corrigan u7nos

a otros. En suma, abandonar la posición del maestro autoritario y

totalmente directivo.

Permitir la participación de los estudiantes, sin importar si se

equivocan o proceden de manera correcta, el maestro corregirá lo

necesario.

Dosificar adecuadamente los temas del programa por cubrir para

dar el espacio requerido al uso de materiales.

El uso de los maerales que se proponen implica un cambio en la enseñanza,

pero no es una fórmula mágica, se hace con el interés de contar con

elementos para apoyar el desarrollo conceptual y que sea este el punto de

partida para propiciar el manejo operativo. Es mejor contar con recursos

intuitivos para reconstruir por sí mismo un conocimiento que confiar en la

memoria, si nos se acuerda alguien de una cierta fórmula o procedimiento,

pero sabe bien a lo que refiere el asunto que se trate podrá tener ideas para

utilizar procedimientos alternos para resolver satisfactoriamente las

situaciones a las que se enfrenta.

Supuestos constructivistas

El fundamento del uso de este tipo de materiales se encuentra en algunas

posiciones constructivistas. No es el caso revisar alguna de las corrientes en

esta dirección, pero consideremos de manera informal algunos de sus

supuestos básicos. Esto siempre trae consigo la simplificación de conceptos

importantes que pueden conducir a interpretaciones inadecuadas, pero vale

la pena manejar algunas ideas sobre las bases de esta corriente para

comprender el procedimiento de trabajo que se planteará.

Un aspecto principal es que el conocimiento se construye, esto es muy

importante, dado que implica que los conceptos y procedimientos no se

“aprenden” de manera instantánea y para siempre; esto es, los conceptos no

se “aprenden” de manera definitiva y permanecen estables en nuestra

mente.

Algunos autores contraponen los conceptos de “aprendizaje” y de

“construcción de conocimientos”, dejando al primero la adquisición de

conocimientos, como si los conocimientos estuvieran por ahí y de repente por

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alguna situación nos percatamos de su existencia y nos lo apropiamos, lo

tomamos para sí de manera completa; en tanto que lo referido a

construcción de nociones implica un proceso de formación del concepto que

no necesariamente concluye.

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El concepto de número no se adquiere de golpe, es algo que se procesa

durante períodos largos de tiempo y cada vez que se profundiza en éste se

encuentran aspectos nuevos. La historia de la matemática ofece varios

ejemplos sobre este punto.

Renovamos constantemente lo que hemos aprendido y lo vamos

enriqueciendo con otras experiencias. La nociones se van reformulando con

el tiempo y de acuerdo a lo que nos acontece. Esto sucede incluso con

nociones que consideramos básicas y pueden resultar sencillas. Se puede

decir que nos acercamos al conocimiento por aproximaciones sucesivas, en

un camino en el que no necesariamente se tienen avances, pueden suceder

también retrocesos.

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En este tipo de corrientes se considera que los conceptos se van

construyendo poco a poco en un proceso que puede ser interminable, son

acercamientos sucesivos. Imaginemos esta situación como la construcción de

un rompecabezas con muchas piezas, en cierto momento, aún sin terminar,

podemos conjeturar como será la forma final, pero nos faltan piezas por

acomodar para constatar lo que suponemos.

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Tenemos una idea de lo que se tiene que lograr pero no necesariamente es

correcta, esta idea será mejor a medida que se coloquen correctamente otras

piezas.

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Otro supuesto importante es que los conceptos se construyen por medio

de procesos en los que intervienen acciones y la conformación de

imágenes mentales sobre lo que sucede.

En la matemática, disciplina caracterizada por sus conceptos abstractos, es

indispensable pasar de un contacto con situaciones en las que el estudiante

pueda realizar algunas indagaciones y formular sus propias ideas sobre lo

que sucede, a la simbolización y el manejo abstracto. Es como si para llegar

al conocimiento abstracto se pasara por diversos planos conceptuales en los

que el alumno va conformando imágenes mentales de los conceptos, hasta

llegar a entender las convenciones en simbología y procedimientos que se

adoptan en la teoría.

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Si es posible, es importante que los alumnos realicen actividades con

materiales que puedan “manipular” y que tengan reglas sencillas de manejo,

de tal modo que el maestro puede diseñar actividades con ellos el estudiante

pueda ir conformando las nociones que interesa abordar.

No es un aspecto sencillo, realmente es complicado, pero no imposible y a fin

de cuentas es la labor que constantemente se enfrenta en la docencia.

Podemos plantear una serie de etapas a seguir, sin que estas sean rígidas,

solo se plantean para mostrar el tipo de acciones docentes que se requieren

antes de iniciar con los conocimientos abstractos.

Es una forma de sitematizar una forma de trabajo, cada maestro deberá

construir la propia:

Acción espontánea

Se le proporcionan los materiales a los estudiantes para que los conozcan,

se familiaricen con ellos y vean que relación guardan las partes que los

conforman.

En este nivel se maneja el lenguaje coloquial y no se asocian las piezas de

los manipulativos a ninguna noción.

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Es un nivel de exploración centrada en el material y sus características.

Acción indagadora

Se asignan ciertos significados a los materiales y se permite que el

estudiante experimente con éstos para verificar algunas conjeturas

sencillas y casi evidentes.

En este nivel el lenguaje para referirse a lo que sucede se hace también a

través del lenguaje cotidiano sin establecer muchas restricciones en

términos.

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Es un nivel de acción en la que se tienen intenciones claras, resaltar, sin

decirlo algunas relaciones.

Acción intensionada

Se complican después las relaciones y se plantean situaciones no tan

obvias, existe la intención de provocar el descubrimiento de relaciones no

evidentes.

En este caso el lenguaje y la simbología empieza a tener cierta

importancia y no se maneja tan libremente, se inicia la incorporación de

algunas convenciones simbólicas.

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Es un nivel de acción como el anterior, intencionada, pero con el propósito

claro de abordar ciertas relaciones.

Acción conjetural

Después de haber realizado ciertas actividades para propiciar el hallazgo

de relaciones importantes se pasa a un nivel de exploración más intenso

en el cual se plantean conjeturas claras.

Dichas conjeturas se plantean con un lenguaje simbólico y técnico más

intenso, se trata de inducir el uso de un lenguaje o “jerga” propia de los

asuntos correspondientes.

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Es un nivel de acción que implica el análisis de lo que ocurre.

Acción contrastativa

Posteriormente, se trata de valorar las conjeturas que se han establecido

y buscar argumentos para apoyar su validez general. Lo que se ha

conjeturado se pone a prueba varias veces y considerando varias

posibilidades para convencese a sí mismo de lo que ocurre y ayudar a

convencer a otros.

Aquí el lenguaje propio de la disciplina se hace importante para

simplificar las argumentaciones.

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Es un nivel en el que se pasa constantemente del análisis a la síntesis.

Acción representativa

En este tipo de acciones se trata que de manera principalmente simbólica

se hagan evocaciones de lo que sucedería con los objetos concretos que se

manipularon y con otro tipo de objetos que se podrían utilizar para el

mismo propósito.

Para provocar esta situación el maestro debería plantear a los

estudiantes actividades en las que el uso de los materiales resulte

engorroso o imposible, esto induce el desarrollo de estrategias mentales

en las que se imaginen los estudiantes lo que sucedería si se manejaran

los manipulativos de cierta manera.

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El lenguaje simbólico aqui tiene una función muy importante para poder

buscar representaciones alternativas a las relaciones que se exploran.

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Acción independizada

Es una acción totalmente mental sin evocaciones de los materiales

utilizados en las etapas anteriores, se trabaja de manera principal con

imágenes mentales y el lenguaje propio de la disciplina, es un

acercamiento a la formalización de los conceptos y sus relaciones con

otros.

En esta etapa el maestro debe involucrar al estudiante con situaciones en

las que no sólo realice las cosas que se le han enseñado si no que explore

caminos inversos, generalice resultados, pronostique resultados, realice la

actividad de diversas maneras (aunque esto se puede hacer desde la

etapas iniciales), genere nuevas situaciones problemáticas vinculadas a

las que se le han planteado, entre otras actividades que estimulan el

pensamiento lógico y permiten profundizar en el manejo de contenidos

abstractos.

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Hasta este momento se inicia el manejo abstracto de los conceptos sin

referencia explícita a situaciones como las anteriores.

Estas etapas no necesariamente son secuenciales o tienen que pasarse una a

una. Pero si ilustran un proceso complejo que no se puede pasar por alto. En

la siguiente parte se ilustrará la manera en la que se pueden plantear las

acciones antes mencionadas, no se utilizarán de manera constante porque

implicaría una planeaciónn cuidadosa de cada aspecto por tratar y ello

desviaría la atención del punto central de este trabajo: el uso de la Bloques

de Dienes.

Desafortunadamente, la enseñanza tradicional inicia en la última etapa y se

queda ahí sin la riqueza que se puede obtener en las etapas anteriores, pero

sobre todo sin dar la oportunidad a los estudiantes de conformar sus propios

conceptos y confrontarlos en diversas situaciones para inducirlos a la

aceptación de convenciones.

Adicionalmente, cabe mencionar que el iniciar con situaciones en las que

estudiante puede decir algo y puede participar porque entiende las

situaciones en ese nivel, le permite desarrollar una mejor autoimágen y

mejorar por lo tanto su autoestima. De tal modo si lo abstracto no lo

entiende a la perfección le quedan las atapas anteriores en las cuales el se

puede apoyar y tratar de usarlas como especie de “ganchos conceptuales” o

“metáforas” para salir de dificultades.

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No se trata de introducir actividades para distraer a los estudiantes, se

trata de eso y más. No sólo es incorporar algo que los distraiga y les haga

menos pesada la clase, se trata de enseñar fortaleciendo las partes

conceptuales antes de llegar a la mecanización y el manejo operativo.

Los conceptos formales son nociones aceptadas de manera oficial por la

comunidad de matemáticos, para llegar a ellos la humanidad tuvo que pasar

por muchas etapas constructivas, no se puede tratar de inducir un manejo

de conceptos formales si no se ha desarrollado un trabajo para construir

estas nociones.

Cuando los sujetos interactúan con objetos o situaciones, se ponen en juego

diversas estructuras mentales, en las que intervienen aspectos como las

creencias, concepciones del sujeto a partir de las cuales éste da “sentido” a

las acciones que realiza.

El sujeto configura imágenes mentales de lo que sucede, éstas provocan

ciertos significados personales que tienen sentido de manera personal para

el sujeto y que están ligadas al concepto formal, aunque esta relación puede

no ser consiente. Éstas imágenes entran en juego con las intuiciones de los

sujetos y las imágenes mentales que ya poseía, las cuales son temporales,

dad que es posible su modificarán o abandono como consecuencia de otras

experiencias, lo cual es natural que intervenga en la conformación de

nuevos conceptos.

ConceptoFormal

Imagenes

Significados

propios

intuiciones imagenes temporales

previas

En la construcción de estos “significados” se realizan fuertes interacciones

entre las representaciones mentales -asociadas a las acciones- y las

representaciones externas, vinculadas a diagramas o situaciones

particulares que se trabajan.

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Representación

MentalExterna

Representación

Tensión

Significados

Personales

Estas tensiones se logran equilibrar en algún momento hasta que otras

experiencias modifiquen este equilibrio. En cierto sentido, algunas acciones

de los docentes deben tratar de romper este equilibrio a fin de propiciar

dichas tensiones para elaborar nuevos significados e imágenes mentales.

Los significados que se han construido permiten la constitución de “campos

operacionales” que posibilitan el manejo de los “objetos matemáticos”,

aunque no se les relacione con una definición formal aún.

Significados

Campos

OperacionalesMatemáticos

Objetos

Estos “campos operacionales” permiten hacer “operativo” el conocimiento y

participan en la tensión con los significados ya formados, dando lugar a que

se modifiquen los significados e imágenes mentales ya conformadas, lo cual

tiene un efecto en las representaciones mentales de las nociones

matemáticas.

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Significados

Tensión

Campos

Operacionales

Equilibrio

Las diferentes experiencias que tienen los sujetos al participar en

actividades, relacionadas con las matemáticas, configuran imágenes y

significados sobre dichas actividades, las cuales pueden resultar

tensionadas a partir de otras experiencias.

Vale la pena comentar que no se supone que cada individuo está interesado

en construir nociones matemáticas. Precisamente la actividad diseñada por

el docente debe provocar procesos no necesariamente conscientes que

impliquen la generación de significados o conceptos matemáticos.

Es importante recalcar los significados creados por los sujetos son las

imágenes y los elementos principales que posee el individuo para

interactuar con diversas situaciones, por ello participan en acciones que se

realizan y pueden ser modificados.

El sujeto puede interactuar con objetos para que con base en esta

interacción se vayan conformando imágenes mentales y significados, los

cuales pueden ser totalmente alejados del concepto que se desee abordar,

dependerá de la actividad que se realice la relación que se pueda establecer

con las actividades y los conceptos, ahí es donde interviene el docente,

planeando actividades que ayuden al sujeto a formarse las nociones

requeridas.

Los objetos se pueden manipular, deformar, contemplar, o transformar, esto

influye en el sujeto de manera inmediata y le ayuda a comprender diversas

relaciones, en este tipo de actividades se apoya para generar ideas y

concepciones.

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En este proceso no se conoce todo lo que hay que saber del objeto, se le

explora y paulatinamente se van generando otras imágenes de éste, no

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siempre el proceso va en una dirección positiva, puede conducir a

desviaciones, pero el maestro puede ayudar a que esto no sudeda.

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Dos individuos que participen en la misma actividad pueden generar ideas

diferentes y entender lo que están haciendo de manera diversa. En la

matemática esto es frecuente, se dice que las clases de matemáticas son

sitios en donde:

El maestro piensa una cosa, dice otra, escribe otra, explica otra y el

alumno también entiende otra.

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De tal modo que la imagen más adecuada del concepto o procedimiento se

logra por caminos muy complejos, pero no se agota, siempre hay nuevos

aspectos que explorar.

En este proceso de construcción se pasa del lenguaje ordinario, cotidiano, al

lenguaje apoyado en recursos personales, de simbología o nomenclatura, a

las convenciones compartidas por los especialistas del ramo, justamente en

el sentido inverso acostumbrado.

Hay diversas maneras de promover la construcción de conceptos, en esta

publicación veremos como es posible apoyar la enseñanza de la matemática,

con una actitud que asume algunos principios del constructivismo. Es una

interpretación, un intento de sistematización, una forma de ejemplificar lo

que es posible realizar con un material como los Bloques de Dienes.

Cada maestro atendiendo a sus posibilidades personales y las de la situación

que enfrenta deberá elaborar sus propios procedimientos, se espera que el

libro que tiene en sus manos lo ayude en tan compleja labor.

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Los números naturales

Sin retroceder mucho, en lo que se refiere al aprendizaje de los números

naturales, podemos considerar como los Bloques de Dienes pueden ayudar a

realizar actividades para construir nociones relativas a los números

naturales.

Acción espontánea

Se le proporcionan los materiales a los alumnos para que los manipulen sin ligarlos necesariamente a

una actividad determinada, sólo se requiere que se familiaricen con ellos y vean la relación que

guardan las piezas.

Los niós pueden referirse a ellos como “cajitas”, “marquitos” u otras denominaciones.

Se pueden establecer correspondencias entre colecciones de objetos, de tal

manera que se pueda determinar, sin conocer los símbolos correspondientes

ni siquiera los nombres usuales, si una colección tiene más, menos, o igual

número de objetos que otra.

Acción indagadora

Se pueden comparar colecciones de objetos, por ejemplo, una de ositos con una de cuadrados

pequeños.

A partir de estas colecciones se podra determinar si hay más ositos:

o si hay más cuadraditos:

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o si hay tantos ositos como cuadraditos:

De esta manera los niños despúes de hacer intentos se percatan de lo que

sucede e inician sus discusiones con situaciones como:

A un osito no le tocó un cuadrito ¿me puedes dar uno más?

Hay un osito que le tocaron más plásticos

Tocó exactamente lo mismo a cada osito, les puedo dar más

Así los niños se van dando cuenta de situaciones en las que falta algo o

sobra algo, sin hacer uso de los símbolos o los nombres de los números.

Acción intensionada

Se pueden incluir colecciones de objetos que no sean del mismo tipo.

En este tipo de actividades se puede inducir a los niños para que realicen la comparación de manera

directa o utilicen algún otro recurso como poner marcas en su cuaderno y luego comparar.

Se pueden hacer este tipo de comparaciones con más de dos colecciones, por

ejemplo, colocar tantos cuadrados pequeños como ositos y ver si esto es

posible con una colección de pelotas.

Acción conjetural

Es posible mostrar las colecciones a los niños y preguntarles sobre en que colección ven más objetos

además de solicitarles que indiquen como es posible determinar donde hay más o menos objetos.

Posteriormente conviene hacer actividades donde sometan a prueba sus

conjeturas y se comuniquen de diversas maneras los resultados.

Acción contrastativa

Cuando se comparan varias colecciones se puede proceder visualmente, pero después se les pedirá a

los niños que lo corroboren, lo cual pueden hacer de manera directa o por medio de correspondencias

con cuadritos, como una colección auxiliar. Esto puede hacerse pidiendo a algunos niños que

comparen los ositos y cuadritos y a otro grupo de niños que hagan lo mismo con las pelotas y que en

un papel comuniquen al otro grupo sus resultados.

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Utilizando las marcas en el cuaderno u otros recursos, los niños se pueden dar cuenta de la necesidad

de manejar códigos comúnes.

Algunos niños dirán:

A cada osito le tocó ya un cuadrito, ahora que nos den los otros niños los suyos.

Hago un palito por cada cuadrito que le tocó a un osito.

Es importante que en esta etapa se vayan elaborando códigos simbólicos y

nominales comúnes que pueden conducir al establecimiento de los

numerales que conocemos.

En este caso dirían que:

A todos los ositos les tocó cuadradito y pelota pero sobra un cadradito y una pelota, la voy a guardar

para cunado tenga más ositos.

Los palitos de las pelotas son más que los de los ositos.

Si le pego una tarjetita con un número el que le toca al último osito y a la última pelota son diferentes:

1 2 3 4

1 2 34

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Realizando actividades de este tipo podemos llegar a conformar colecciones

que tengan más o menos que otras o establerlas de tal manera que tengan lo

mismo, pero sin la necesidad de tenerlas presentes a todas.

Acción representativa

Se puede pedir a los niños que determinen cuántas pelotas se deben tenar para que les toque una a

cada uno de los ositos:

Lo sual puede hacerse con cuadritos o con otros objetos, pero lo importante es que utilicen el conteo

como una de las estrategias para resolver este tipo de situaciones

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Posteriormente se le pueden plantear las situaciones sin tener los objetos enfrente tratando de que

determinen el número de pelotas que se deberían tener para que hubiera un osito sin pelota o uno con

dos pelotas. En este caso cnvendría utilizar números grandes para que no sea fácil recurrir a los

objetos.

También podemos hacer comparaciones de este tipo entre muchas

colecciones a fin de que los niños puedan constatar que no intervienen las

formas, tamaños o colores para determinar si una colección tienen más,

menos o igual cantidad de piezas.

Claro está que todo este trabajo dependerá del nivel de desarrollo de los

niños dado que si las pelotas son unas más chicas que otras pueden decir

que, aún cuando haya el mismo número de ositos que de pelotas, que:

Son menos pelotas que ositos ... a uno le tocó una pelota muy chica

En este momento cada vez más se podrá concentrar la atención en el manejo

simbólico y tener nulo contacto con los objetos.

Acción independizada

Se pueden plantear situaciones de conteo a los niños para que las resulevan sin tener a mano los

objetos que se trabajan o que sea imposible tenerlos en el salón como serían colecciones de coches o

aviones, ganado, frutos, entre otros a los cuales sólo se podrá evocar con la imaginación.

En este momento se pueden afianzar las estrategias de conteo que son indisensables para el

tratamiento de las operaciones aritméticas, pero este es un asunto que requiere especial atención y por

ello se trabajará un poco más adelantre.

Al trabajar las estrategias de conteo el maestro puede indicir al estudiante a que realice varios

procesos mentales importantes como conteos al revés, estimación de cantidades, que se realicen

conteos de diversas formas, que „lantee problemas a sus compañeros, entre otros aspectos.

Conviene insistir en que antes de iniciar a introducir la simbología o la

introducción de la nomenclatura, que no son otra cosa que convenciones

(que por cierto tardaron cientos de años en ser aceptadas por varios pueblos

de la antigüedad), conviene solicitar a los niños que den por sí mismos

nombres a las cantidades, casi siempre utilizan los que ya conocemos porque

eso lo aprenden fuera de la escuela, pero en caso de no ser así no importa, la

idea central es que planteen una nomenclatura que para ellos tiene sentido.

Cuando existan colecciones que tienen la misma cantidad de objetos, los

niños pueden proceder a darle un nombre para referirse a ellas, sin

importar el tipo de objetos con los cuales están formadas.

Al confrontar los diferentes nombres que se les asignen a esa propiedad de

las colecciones se podrá constatar la necesidad de convenir un nombre

común, uno que todos entiendan de la misma manera. Posteriormente, y

sólo hasta entonces, se podrá introducir las convenciones simbólicas, pero

previamente se puede también pedirles que den un símbolo (una grafía) que

represente a la situación, lo cual puede ser un dibujo o líneas en apariencia

al azar.

De nada sirve darles los nombres usuales de golpe, no entenderán porque

hay que hacerlo ni porque deben tener nombres que no conocían y se les

hacen extraños.

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El aprendizaje de la serie numérica es complejo, la siguiente lista intenta

resaltar las diversas componentes que deben ser contruidas y darles sentido:

Relaciones de correspondencia entre colecciones de objetos del

mismo tipo (colecciones homegéneas).

Relaciones de correspondencia entre colecciones de objetos que

no necesariamente son del mismo tipo (colecciones

heterogéneas).

Nombres de los números básicos (uno, dos, ...nueve, cero).

Símbolos básicos del sistema de numeración (0, 1, 2, ..., 9).

Tipos de agrupamientos en los que se basa el sistema.

Nombres de los diferentes agrupamientos (unidades, decenas,

centenas, millares, ...).

Reglas de composición de números básicos para formar otros

números (entre ellas la de escribirlos de derecha a izquierda

pero interpretarlos de izquierda a derecha).

Nomenclatura para la cosntrucción de nuevos números (el uso

de los nombres de agrupamientos y los otros que ya se tienen

para determinar el nombre de un nuevo número)

Nombres de números muy grandes

Simbología para los números muy grandes

Como vemos el camino es largo y no se puede preveer que todos los niños

adquieran las nociones correspondientes con sólo decirles las convenciones

que tarde o temprano deben asumir.

Para el desarrollo de laserie numérica se puede trabajar también con los

Bloques de Dienes, dado que las partes se pueden hacer corresponder con

procesos en la construcción de los números.

Los cuadrados pequeños se pueden hacer corresponder con unidades, las

regletas con decenas y los cuadrados mayores son centenas.

UNIDADDECENA

CENTENA

De tal manera que 10 cuadrados pequeños se pueden intercambiar por una

regleta y 10 regletas se pueden intercambiar por un cuadrado grande:

21

21

10 UNIDADES SON UNA DECENA

10 DECENAS SON UNA CENTENA

Así podemos representar algunas cantidades con los Bloque de Dienes:

4 17

10530

232

En el tratamiento de los números naturales el cero significa ausencia de

cantidad, por eso cuando no hay decenas o unidades no se colocan bloques

de ningún tipo. Cualquier colección con objetos se podrá relacionar con una

colección de cuadrados pequeños, de tal modo que tenga el mismo número de

cuadrados y de objetos en la colección:

0 1 2 3 4 5

Pero cuando se trata de números grandes resulta engorroso hacer dichas

representaciones solamente con los cuadraditos.

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Estrategias de conteo

Las estrategias de conteo son muy importantes para el manejo de la serie

numérica y el desarrollo de habilidades como la estimación o el cálculo

mental.

Con los números naturales podemos desarrollar diversas estrategias de

conteo:

De uno en uno y en una secuencia dada, es decir siempre se inicia por un

lado y en el mismo orden:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

Este es el nivel de conteo más bajo, que implica repetición en un orden dado.

Puede contarse primero en una dirección y luego en otra:

1 2 3 4 5 6 7 8

8 7 6 5 4 3 2 1

Este nivel implica rompre el orden inicial del conteo y centrarse en la

cantidad y no en el orden de los objetos en la colección.

Puede también contarse en cualquier orden:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 7 5 4 2 6 3 8

En este nivel se logra centrar de manera plena la atención en la cantidad,

sin importar el tipo de objetos y el orden en que se encuentren.

Por bloques:

2 4 6 8

Este nivel implica una redefinición de la unidad, en vez de considerar a la

unidad como el “1” se redefine ésta como el “dos” o el “3” según se agrupen

los objetos para realizar el conteo.

De un número y hacia adelante:

23

23

4 5 6 7 8

¡Hay tres cuadrados ocultos!

En este nivel, que es uno de los esenciales para el tratamiento de las

operaciones aritméticas, se trata de evitar que se centre el conteo en el

inicio de la serie numérica.

De un número dado y hacia atrás:

8 7 6 5 4

Si en total son 8 ¡Hay tres cuadrados ocultos!

Este nivel también resulta importante para el desarrollo de las operaciones

aritméticas, ambos implican un manejo importante de la serie numérica,

veamos por que:

En la suma: 7 + 6, algunos niños proceden diciendo:

Tenemos 7 ...

7 y 1 son 8

7 y 2 son 9

7 y 3 son 10

7 y 4 son 11

7 y 5 son 127 y 6 son 13

En la resta 15-9, también suelen decir:

24

24

Tenemos 9 ...

9 y 1 son 10

9 y 2 son 11

9 y 3 son 12

9 y 4 son 13

9 y 5 son 149 y 6 son 15

Es decir tienen que realizar conteos de manera más eficiente para no

confundirse, por ello es importante el tipo de ejercicios antes propuestos.

De manera combinada:

2 4 5 6 7

En ciertas condiciones, como el contar dinero se debe proceder de manera

combinada para establecer la cantidad que se tiene. Pero esto también es

importante en oteras operaciones como la multiplicación y la división,

aunque también los es cuando se hacen estimaciones.

Por exceso o defecto:

Son como 8 pero falta 1, o sea son 7

Este tipo de conteo resulta fundamental al hacer estimaciones y cálculos

mentales.

Agrupando:

¡10, 10 y 4, son en total 24!

Desagrupando:

¡Son 24, se pueden separar en dos grupos uno de 10 y otro de 14!

25

25

Ambos procesos son muy importantes para establecer los algoritmos de las

operaciones de suma y resta.

Como vemos si no se han desarrollado importantes avances en el desarrollo

de las estrategias de conteo resulta difícil que los niños se desempeñen

adecuadamente en el manejo de las operaciones aritméticas.

Operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y

división.

Como se ha dicho las operaciones se apoyan fuertemente en el conocimiento

que se tenga de la serie numérica lo que generalmente se hace implica

contar desde un número hacia adelante o atrás, de dos en dos o de cinco en

cinco, agrupar o desagrupar, entre otros aspectos.

Las operaciones con numeros enteros, se pueden trabajar con los bloques de

Dienes, para ilustrar los reagrupamientos, recordando que los cuadrados

pequeños son unidades, las regletas son decenas y los cuadrados mayores

son centenas.

UNIDADES DECENAS CENTENAS

También hay que tener en cuenta que 10 cuadrados pequeños se pueden

intercambiar por una regleta y 10 regletas se pueden intercambiar por un

cuadrado grande:

26

26

10 UNIDADES SON UNA DECENA

10 DECENAS SON UNA CENTENA

La suma

Veamos como se puede proceder en la enseñanza de la suma, claro está que

estamos suponiendo que no se está en el inicio si no que ya se ha avanzado

con situaciones más sencillas de las que se presentan a continuación.

Consideremos la suma:

128295

Se puede representar cada sumando con los bloques:

128295

de los cuadrados pequeños, que representan las unidades, se agrupan 10 de

ellos y se intercambian por una regleta, esto es, “8 y 5 son 13, se escribe 3 y

nos sobra una decena”

27

27

128295

3

1

Ahora 10 regletas se agrupan y se intercambian por un cuadrado, es decir:

“son 1, 2 y 9 decenas, lo cual da 12 decenas, se escribe 2 y se tiene una

cantena más”

128295

23

1 1

de tal modo que el resultado final sería 423

128295

423

1 1

Como se puede observar aquí se han aplicado diversas estrategias de conteo,

por otra parte los niños pueden intentar agrupamientos de diversas

maneras, no necesariamente iniciando por la derecha, lo cual puede resultar

beneficioso dado que al trabajar diferentes tipo de sumas se convencerán de

que iniciar por las unidades esw la forma más conveniente. El maestro debe

planear sus actividades considerando esta situación.

28

28

La resta

Para el caso de la resta:

321132

Procederíamos de la misma manera, representando las cantidades

involucradas con los bloques:

321132

Como “a 1 no se le pueden quitar 2, entonces “se pide prestada” una decena

para completar 11 unidades y quitar entonces las 2 que se requieren”, esto

hace que las dos decenas del 321 se reduzcan a una.

321132

9

111

Como a una decena no se le pueden quitar tres decenas, pedimos prestada

una centena y se realiza esta operación en la columna de las decenas”, esto

hace que las tres decenas de 321 se reduzcan a dos.

29

29

321132

89

111

2 11

De tal modo que el resultado es: 189.

321132

189

111

2 11

Observe que nuevamente se vuelven a recuperar las estrategias de conteo.

La multiplicación

Para la multiplicación podemos recurrir a la asociación de esta operación

con el área de un rectángulo. o a considerar que se “toma tantas veces” un

número como lo indica otro.

Por ejemplo, en una multiplicación sencilla, con cantidades menores que

diez.

32

Podemos considerar el área de un rectángulo cuyos lados son dos y tres

unidades:

30

30

326

3

2

O tambien considerar que se toma tres dos veces

326

2 veces 3

Si los factores implican un resultado mayor que 10, por ejemplo:

135

también se puede proceder de la misma manera, como el área de un

rectángulo de lados 13 y 5:

135

65

13

5

Incluso también como tomas 5 veces 13:

31

31

135

655 veces 13

El resultado se obtiene del arreglo antes considerado.

No todas las multiplicaciones se pueden realizar de esta manera o seria muy

complicado tratar de reducirlas a estos casos sencillos, por ello conviene

intentar el desarrollo de un algoritmo, como el que se conoce y que se

describirá a continuación:

Primero se realiza la operación a partir de las unidades:

135 5 X 3 = 15

¡5 por 3 son quince o sea cinco unidades y una decena!

Es decir se coloca un cinco como las unidades del resultado y se cuenta con

una decena más que se tendrá que agregar al resultado de la multiplicación

de 5 por la decena de 13:

135

¡5 por 3 son quince, se escribe 5 y "se lleva una decena!

1

5

Después se procede con las decenas:

32

32

135 5 X 10 = 50

5

1

¡5 por 1 cinco, son 5 decenas pero tenemos una de la operación anterior!

Así tenemos 5 decenas que junto con la decena que “llevamos” nos dan 6

decenas. De esta manera se obtine el resultado deseado:

1355

1

¡El resultado es 65!

6

Como se puede observar se puede relacionar este procedimiento con el

algoritmo usual.

Existen otras formas de realizar la operación que pueden trabarse pero que

resultan limitadas en algunas situaciones o pueden distorsionar el

algoritmo general como es el siguiente caso:

Se procede multiplicando las unidades de 13 por 5 y se coloca el resultado

completo debajo de la raya.

5 X 3 = 15

135

15

33

33

Después continuamos multiplicando las decenas de 13 por 5, lo cual nos da

cincuenta pero que podemos considerar como 5 decenas, de lo cual podemos

escribir esto con un sólo 5 en el lugar de las decenas:

5 X 10 = 50

135

1550

Posteriormente se realiza la suma de 15 y 50 para obtener el resultado:

135

15565

0

Es importante tratar de realizar la operación de varias formas y generar

algoritmos alternativos por que lejos de desviarnos proporcionan elementos

para el cálculo mental o estimaciones y permiten convencer a los niños de

que los métodos que se les proponen son los más adecuados. Es mejor

convencer que las cosas deben suceder de cierta manera que imponen, al fin

y al cabo debemos propiciar la reflexión y el análisis desde las primeras

experiencias escolares.

Cuando intentamos multiplicaciones cuyo resultado es un número mayor

que 100 y menor que 1000, podemos proceder de manera análoga.

Para ilustrar el procedimiento consideremos la multiplicación:

2114

34

34

Podríamos intentar tomar 14 veces 21, pero ello sería engorroso:

2114

294

14 veces 21

También se puede construir un rectángulo cuyos lados tengan dimensiones

de acuerdo a los factores, esto 21 y 14:

2114

29421

1

10

10

14

1 1 1 110

Esto induce una idea importante, se considera la multiplicación de 21 por

las unidades y por las decenas de 14, lo cual se puede considerar de manera

separada:

2114

10 X 21 4 X 21

35

35

Lo cual nos permite considerar el algoritmo colocando los resultados de cada

una de las multiplicaciones de la manera adecuada, considerando que la

multiplicación de 10 X 21 dará como resultado decenas y por lo tanto no

ocupará lugares de las unidades:

2114

10 X 21 4 X 21

8421 0294

En este momento podemos ver lo complejo que resulta utilizar

procedimientos intuitivos para cantidades muy grandes, incluso que rebasen

las cantidades que podemos considerar con los Bloques de Dienes, por ello

será necesario encontrar un algoritmo:

Consideremos la multiplicación:

3624

Se iniciará multiplicando primero las unidades de 36 y de 24, es decir,

multiplicando 6 y 4:

3624

4 veces 6

Lo cual es 24, es decir dos decenas y cuatro unidades, esto implica colocar

las cuatro unidades en su lugar y considerar las dos decenas para añadirlas

a la multiplicación de las unidades por las decenas:

36

36

3624

4

2

Posteriormente se multiplican las decenas de 36 por las unidades de 24, es

decir, 3 decenas por 4.:

3624

4

2

4 veces 3 decenas

Estas 12 decenas con las dos que se obtuvieron de la primera multiplicación

son en total 14 decenas que se convierten en 1 centena y cuatro decenas:

3624

4

2

14 decenas en total

Lo cual se puede considerar como 1 centena y 4 decenas:

37

37

3624

4

2

14

Ahora se pasa a multiplicar las unidades de 36 por las decenas de 24, o sea 2

X 6:

3624

4 2 decenas de veces 614

2

(es decir, 20 veces 6)

Esto se traduce a 120 unidades, o 12 decenas o 1 centena y 2 decenas:

38

38

3624

414

2

De tal modo que se deben considerar una centena y dos decenas que se

colocan en el lugar correspondiente, no hay unidades:

3624

414

2

2

1

Posteriormente se multiplican las decenas de 36 por las decenas de 24 o sea

2 X 3

39

39

3624

414

2

2

1

2 decenas de veces 3 decenas

Lo cual nos da 60 decenas, es decir 6 centenas:

3624

414

2

2

1

De tal manera que se colocan las seis centenas en el lugar correspondiente,

a las cuales se les tiene que agragar la centena que “llevamos” del proceso

inmediato anterior:

40

40

3624

414

2

2

1

7

De lo cual resulta que el producto es: 864

3624

414

2

2

1

7864

Este proceso trabajado con los niños no resulta tan laborioso dado que

muchos pasos se realizan de manera inmediata.

La división

La división se puede inducir como una operación inversa a la multiplicación,

esto lo podemos aprovechar para tratar los aspectos relativos a su algoritmo

más conocido.

Por ejemplo, la división:

3 6

41

41

Se puede abordar considerando una colección de seis objetos que se deben

agrupar de tres en tres, la pregunta sería ¿Cuántos de éstos se pueden

formar?

Así consideramos seis cuadritos y formamos grupos de tres:

Es decir de seis objetos se pueden formar dos grupos de tres. Por tanto el

resultado de la división será dos.

3

2

6 3 6

Puede haber residuo, como en el caso de la división:

3 7

En este caso de una colección de siete objetos se forman bloques de tres:

De tal modo que el resultado de la división es dos y se tendrá un residuo de

uno:

42

42

3

2

7 3 71

Cuando se tienen una división un poco más complicada como sería el caso en

que las cantidades incluidas son más grandes procedemos de manera

similar, por ejemplo, la división:

5 65

Procedemos entonces a utilizar seis regletas y cinco cuadraditos para tratar

de agruparlos en bloques de 5, lo cual implicará canjear cada regleta por 10

cuadraditos:

De tal modo que el resultado de la división es 13:

5 6513

Esto también se podría intentar de otra forma, para ello podríamos haber

considerado las 6 decenas y las cinco unidades para tratar de formar un

rectángulo en el que uno de los lados sea 5:

43

43

13

5

Como se puede observar el otro lado del rectángulo es 13, lo cual nos

conduce al mismo resultado:

También esta situación se puede detectar el residuo:

13

5 69

5 694

En relación al algoritmo podemos hacer la siguiente relación:

5 69

44

44

Iniciamos la construcción del rectángulo, que tiene uno de sus lados como 5,

para lo cual se agrupan inicialmente las regletas (decenas) en bloques de 5.

15 69

1

como se observa sobra una.

Convertimos la decena que nos sobró a unidades

15 69

19

Se forman entonces tres grupos de cinco unidades y sobran cuatro

135 69

19

Por tanto se forma el rectángulo de lados 5 y 13, con cinco bloques y nos

quedan cuatro unidades.

135 69

194

45

45

De tal forma que el cociente el resultado de la división es 13 y sobran cuatro.

Recordemos que el camino a seguir es utilizar primero los bloques sin

simbolizar las operaciones, luego tratar de que los estudiantes generen sus

propios algoritmos y notaciones, para que al final se desarrollen los

algoritmos de manera tradicional.

Podemos realizar el proceso anterior sin problemas cuando el dividendo es

mayor o igual que 100 y menor que 1000, y si el divisor mayor que 10 y

menor que 99:

Veamos el caso de la división:

21 296

se consideran las piezas con las que se representa a 294

21 296

Se procede posteriormente a formar el rectángulo donde uno de los lados es

21.

121 296

86

Se formó un rectángulo como el que se desea con las centenas y una decena,

sobraron 8 decenas y 6 unidades, con estas piezas completamos el

rectángulo:

46

46

1421 296

862

De este modo obtenemos que el resultado de la división es 14 y sobran 2.

Como se puede observar de lo anterior se puede deducir el algoritmo y se

justifica el inicio en la división por la izquierda en vez de por la derecha

como se hace en las otras operaciones.

Elevar al cuadrado

Podemos entonces proponernos introducir la forma en que se elevan al

cuadrado los números, solamente con decir que dado un número hay que

formar un cuadrado con las piezas que lo representan y posteriormente

determinar que número es representado por las piezas empleadas.

Por ejemplo el cuadrado de 3 será 9:

2

3 = 9

El cuadrado de 7 será 49:

2

7 = 49

El cuadrado de 11 será 121:

11 1212

=

El cuadrado de 25 es 625

47

47

25 6252

=

Así se pueden calcular manualmente los cuadrados de diversos números,

este ejercicio lejos de ser rutinario prepara a los estudiantes para abordar

otro tipo de situaciones que en el álgebra son muy importantes.

Raíz cuadrada

De manera inversa de lo anterior podemos tratar de extraer raíces

cuadradas tratando de formar con las piezas que representan a un número

dado, un cuadrado y posteriormente determinar cual es el lado de dicho

cuadrado.

Por ejemplo, la ríz cuadrada de 16 es 4:

2

16 = 4

La raíz cuadrada de 36 es 6:

2

36 = 6

48

48

La raíz cuadrada de 258 será aproximadamente 16:

Para convencernos de ello conviene considerar la representación de 258:

258

Con estas piezas dificilmente se podrá construir un cuadrado, por ello se

hacen unos cambios para lograrlo como sería cambiar una centena por 10

decenas:

12582 =158

Ahora se comienza a formar el rectángulo con las piezas existentes tratando

de ocupar todo lo que esta disponible, se observa que se pueden incorporar

dos rectángulos de lados 10 y 6:

12582 =158

49

49

En este momento se observa que se pueden colocar seis de los cuadrados

pequeños:

12582 =158 26

Rellenando el espacio restante con tiras de 6 unidades tendríamos 6 veces

26, o sea 156, lo cual puede conseguirse cambiando las tres decenas por 30

cuadraditos, al final sólomquedarán dos cuadrados pequeños libres:

162582 =158 26

2

Claramente esto implica al algoritmo de la raíz cuadrada:

Veamos otro ejemplo . la raíz cuadrada de 969 es alrrededor de 31:

50

50

969

Se trata de formar un cuadrado con las piezas y se observa que se pueden

acomodar bien los nueve cuadrados grandes, con lo cual sobran 6 decenas y

9 unidades:

969 32

69

Las seis decenas se pueden acomodar tres en cada lado, por lo que sólo

sobrarían 9 unidades, de las cuales se puede acomodar una:

51

51

969 312

69 618

Este tipo de actividades ayudan a lograr alguna comprensión de algoritmos

tan complicados como lo es el de la raíz cuadrada, la relación qye se

establezca entre las acciones y los pasos del algoritmo pueden desarrollarse

de manera diversa pero lo que es importante es que sea razonable y

comprobable con el material.

Algunos significados de las operaciones

En las partes que siguen y que se refieren a los números enteros se hará

mucho énfasis en los diversos significados implicados en las operaciones, por

ejemplo la suma está asociada a la idea de “añadir”, “juntar”, “poner”, entre

otros.

La suma de números naturales

De esta forma si trabajamos la suma de números naturales tendríamos que:

Para sumar 1 + 2

A 1 se le agrega o pone 2

De tal forma que 1 + 2 = 3

La resta de números naturales

En la resta de números naturales tendríamos:

Para restar 2 - 1

A 2 se le quita 1

De tal forma que 2 - 1 = 1

52

52

Hay que notar que en este caso la operación no se puede realizar si se desea

quitar algo más grande de lo que se tiene.

La multiplicación de números naturales

Vimos que la multiplicación de números naturales se puede considerar como

una suma reiterada o sea “poner tantas veces” un número según lo indica

otro:

Para multiplicar 2

se piensa como 3 + 3

De tal forma que 2

3

es decir, poner dos veces tres

= 63

La división de números naturales

La división de números naturales se relaciona con la operación contraria a

multiplicar o sea en vez de poner un número tantas veces como indica otro,

se piensa como dado un número determinar cuantas veces hay que poner

otro para que me dé el primero:

Para dividir 6

se piensa como el núero de veces

De tal forma que 6

que hay que poner 3 para obtener 6

Una vez 3

Dos veces 3

Una vez Dos veces

3

3 = 2

Conviene realizar ejercicios con o sin los bloques donde los niños encuentren

los factores o sumandos que se conduzcan bajo cierta operación al resultado

dado y que se manejen algunos aspectos como los números figurativos o las

series numéricas. Esto es, las configuraciones:

53

53

1 = 12

2 = 1 + 32

3 = 1 + 3 + 52

4 = 1 + 3 + 5 + 72

Lo cual nos permite observar que la suma de impares consecutivos siempre

será un cuadrado. Esto es:

1 3 5 7 2 1 2 ... ( )n n

De la misma forma podemos observar que la suma de números pares

consecutivos será igual a un rectángulo de lados n y n+1, es decir:

2(1) = 2

3(2) = 2 + 4

4(3) = 2 + 4 + 6

5(4) = 2 + 4 + 6 + 8

2 4 6 8 2 1 ... ( )n n n

Lo cual nos da la fórmula para la suma de los primeros números

consecutivos:

54

54

1 = 1

= 1 + 2 2(3)

2

= 1 + 2 + 3 3(4)

2

= 1 + 2 + 3 + 4 4(5)

2

1 2 3 41

2

...

( )n

n n

Las modificaciones que se hagan a lo aquí expuesto dependerán de las

decisiones de los maestros, la opción de presentación que se decidió sólo

dependió de hacer la exposición lo más sencillo posible.

55

55

Los números enteros

En la construcción formal de los números naturales S, en el contexto de la

teoría de conjuntos, se parte de la existencia de lo que se llama conjunto

sucesor, que es un conjunto infinito en el cual se puede definir una función,

del conjunto a sí mismo:

f: S S

tal que a cada elemento le corresponde otro al que se le denomina sucesor

n S(n)

y es tal que si n m, entonces S(n) S(m).

La intersección de toda la familia de conjuntos sucesores es precisamente el

conjunto de números naturales N.

Se comprueba después que dicho conjunto satisface los axiomas de Peano y

se pueden identificar a sus elementos de la siguiente forma:

0

{} 1

{, {}} 2

{, {}, {, {}}} 3

y así sucesivamente.

En este caso queda claro que el 0 representa ausencia de cantidad,

cardinalidad cero.

Sin embargo en el caso de los números enteros las interpretaciones deben

ser diferentes. En efecto, en la construcción de los números enteros Z se

trabaja con el producto cartesiano NN en el cual se define una relación de

equivalencia:

(n,m) (u,v) si y solo si n+v = u+m

de tal forma que el conjunto de números enteros Z es el conjunto cociente:

Z = NN /

56

56

lo cual tiene implicaciones interesantes, dado que los elementos de Z son

clases de equivalencia, graficamente podemos observar esto de la siguiente

manera:

(0,5)

(0,0)

(0,1)

(0,2)

(0,3)

(0,4)

(0,6)

(1,5)

(1,0)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,6)

(2,5)

(2,0)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,6)

(3,5)

(3,0)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,6)

(4,5)

(4,0)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,6)

(5,5)

(5,0)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,6)

(6,5)

(5,0)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,6)

(7,5)

(7,0)

(7,1)

(7,2)

(7,3)

(7,4)

(7,6)

[0,4] [0,0] [3,0]

-4 0 +3

De esta forma vemos que los números enteros son denominaciones de las

clases de equivalencia, representadas por franjas en el diagrama anterior,

de esta forma tenemos:

Miembros de la clase de equivalencia

Representante

de la clase de

equivalencia

Número

entero

asociado

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(0,3) (1,4) (2,5) (3,6) (4,7) (5,8) (6,9) ... 0,3 -3

(0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6) (5,7) (6,8) ... 0,2 -2

(0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (6,7) ... 0,1 -1

(0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) ... 0,0 0

(1,0) (2,1) (3,2) (4,3) (5,4) (7,6) (8,7) ... 1,0 +1

(2,0) (3,1) (4,2) (5,3) (6,4) (7,5) (8,6) ... 2,0 +2

(3,0) (4,1) (5,2) (6,3) (7,4) (8,5) (9,6) ... 3,0 +3 .

.

.

.

.

.

.

.

.

Desde la perspectiva matemática, los números enteros pueden ser

interpretados como clase de equivalencia, lo cual indica que un aspecto

importante. En este sentido el cero en los números enteros no representa

ausencia de cantidad si no un equilibrio.

57

57

Desde una perspectiva sicológica también se tiene esta dualidad con el

símbolo del cero que por un lado es ausencia de objetos en una colección y

por otra parte es la realización de una operación como “añadir” y su

contraria “suprimir”.

La creación de la serie numérica de los números naturales como

actualmente la conocemos tardó mucho tiempo en formarse, todavía

tuvieron que pasar cientos de años antes de que se incorporaran los

números negativos.

Desafortunadamente, se comete el error común al pensar que los números

enteros se pueden aprender de manera rápida dado que sólo implica

colocarles signo a los números naturales y ya.

Por comodidad se identifican a los números +3 y 3, pero en realidad

corresponden a situaciones diferentes, por ello cada vez que se considere un

número entero se presentará con un paréntesis y en cursivas negritas para

distingirlo de un número natural.

Para poder identificar con claridad que +3 y 3 se pueden manejar de la

misma manera debe pasar algún tiempo, pero en la enseñanza es frecuente

que esto se trate de hacer a la brevedad posible.

De esta forma las operaciones con los números enteros deben ser

interpretadas de maneras diferentes a lo que se ha hecho con los números

naturales, por ello utilizaremos los mismos signos pero en cursivas negritas

para ser distinguibles.

Para el desarrollo de este apartado utilizaremos los cuadraditos de colores,

de tal forma que a los obscuros se les identifique con una unidad positiva,

mientras que los blancos correspondan con una unidad negativa.

Unidades Negativas Unidades Positivas

Representaciones del cero

Como se ha dicho el cero en los números enteros 0 es un equilibrio, por ello

se puede representar conmlos cuadritos de la siguientes maneras:

58

58

0

Diferentes representaciones de números enteros

De esta manera también los números enteros tienen representaciones

diferentes, por ejemplo, +1 se puede representar de las siguientes maneras:

+1

También -1 puede ser representado como sigue:

-1

La idea central es poner un “creo” adyacente al número que se trabaja con el

fin de obtener diversas representaciones, este es en esencia el truco

algebraico de “restar y sumar la misma cantidad”.

Veamos como esto se presenta en representación de (+3) y (-3)

59

59

(+3) (+3)0(+3)0

(+3) (+3)

(-3)

(-3)

0

(-3)

0(-3) (-3)

Diferentes representaciones de (+3)

Diferentes representaciones de (-3)

Al signo del número se le asocia con el significado como “ganar” o “perder”;

también suelen mencionarse los de “poner” y “quitar”.

La suma de números enteros

Utilizando estas representaciones se puede realizar la suma de números

enteros. Veamos a continuación como se realiza esto a partir de considerar

todas las siguientes adiciones:

(+1) + (+2)

(+1) + (-2)

(-1) + (+2)

(-1) + (-2)

Al signo de la operación se le asocia con agregar

Para sumar (+1) + (+2)

A (+1) se le agrega o pone (+2)

De tal forma que (+1) + (+2) = (+3)

Observe que se parte de un cero y que el resultado no depende del cero

empleado:

60

60

Es decir si ganó uno y pongo otra ganancia de dos, al final gané tres.

Para sumar (+1) + (-2)

A (+1) se le agrega o pone (-2)

De tal forma que (+1) + (-2) = (-1)

Tampoco depende del cero que se utilice:

Es decir si ganó uno y luego añado una pérdida de dos , al final perdí uno.

61

61

Para sumar (-1) + (+2)

A (-1) se le agrega o pone (+2)

De tal forma que (-1) + (+2) = (+1)

Veamos que el resultado no se altera si se utiliza otro cero:

Es decir si perdí uno y pongo una ganancia de dos, al final gané uno.

Para sumar (-1) + (-2)

A (-1) se le agrega o pone (-2)

De tal forma que (-1) + (-2) = (-3)

Nuevamente no importará el cero que se emplee:

62

62

Es decir si perdí uno y pongo otra pérdida de dos, al final perdí tres.

De esta forma el estudiante se percata de lo que sucede y se evita que se

aprenda como dogma aquello de que “para sumar dos números enteros del

signo diferente ....”, lo va poder constatar y podrá establecer sus propios

procedimientos para interpretar lo que sucede.

La diferencia de números enteros

Veamos a continuación como se realiza esto a partir de considerar todas las

siguientes adiciones:

(+1) + (+2)

(+1) + (-2)

(-1) + (+2)

(-1) + (-2)

Iniciemos con mel primer caso:

Para restar (+1) - (+2)

A (+1) se le quita (+2)

De tal forma que (+1) - (+2) = (-1)

En este caso no importa el cero utilizado:

63

63

Es decir si habíamos ganado 1 y luego quitamos una ganancia de dos, en

realidad estamos perdiendo 1.

Es decir si ganó y quito una ganancia de dos , al final perdí uno.

En el segundo caso tendríamos:

Para restar (+1) - (-2)

A (+1) se le quita (-2)

¡No se puede quitar (-2)!

?¿Qué sucede?

Cuando un cero no alcanza para realizar la operación se puede otro cero que

resulte conveniente para el caso que enfrentamos (es decir sumamos y

restamos de manera conveniente). Veamos como completar la operación con

otro cero:

Para restar (+1) - (-2)

A (+1) se le quita (-2)

De tal forma que (+1) - (-2) = (+3)

¡Más vale que sobre que falte!

64

64

El resultado no se alteraría si se emplea otro cero que permita realizar la

peración:

Es decir si ganó uno y quito una pérdida de dos, al final gané tres.

Para el tercer caso procedemos como sigue:

Para restar (-1) - (+2)

A (-1) se le quita (+2)

¡Tenemos que modificar la situación inicial!

?

Tenemos que hacer “crecer” nuestro cero:

Para restar (-1) - (+2)

A (-1) se le quita (+2)

De tal forma que (-1) - (+2) = (-3)

Como se ve a veces es necesario tomar en cuenta si la situción inicial, el

cero, es adecuada para la operación que nos proponemos. Sin embargo, no

importa que nos suceda que no es suficiente la cantidad de ciertas fichas por

que ello nos obliga a replantear la situación u buscar otros caminos, a veces

equivocarse es más interesante que hacer las cosas de manera correcta,

como sucede con mucho software educativo.

65

65

Constatemos nuevamente que el cero, si es suficiente, no influye en la

operación anterior:

Es decir si perdí uno y quito una ganancia de dos, al final perdí tres.

El último caso de la diferencia de enteros que analizaremos es el siguiente:

Para restar (-1) - (-2)

A (-1) se le quita (-2)

De tal forma que (-1) - (-2) = (+1)

Veamos lo que sucede con otros ceros:

66

66

Es decir, si perdí uno y quito una pérdida de dos, al final gané uno.

La multiplicación de números enteros

Para multiplicar números enteros nos tenemos que enfrentar a la temible

“regla de los signos” que generaciones van y vienen y no se la aprenden. Sin

embargo, veremos que si se procede de manera similar como se hizo con los

números naturales podemos hacer evidente y plausible dicha regla.

Sólo hay que tener cuidado que el número del signo se interpreta como

“ganar” o “perder” o como “poner” o “quitar”.

Veamos a continuación como se realiza esto a partir de considerar todas las

siguientes multiplicaciones:

(+2) (+3)

(+2) (-3)

(-2) (+3)

(-2) (-3)

Consideremos el primer caso:

67

67

Para multiplicar (+2)

se piensa como

De tal forma que (+2)

(+3)

poner dos veces (+3)

= (+6)(+3)

cero un (+3)

cero

un (+3)

(+6)

(+6)

Es decir, si pongo dos veces (ganar dos veces), ganancias de tres, al final

habré ganado seis.

En el segundo caso tenemos:

Para multiplicar (+2)

se piensa como

De tal forma que (+2)

(-3)

poner dos veces (-3)

= (-6)(-3)

cero un (-3)

cero

un (-3)

(-6)

(-6)

Es decir, si pongo dos veces (ganar dos veces), pérdidas de tres, al final

habré perdido seis.

Para el tercer caso podemos proceder como sigue:

68

68

Para multiplicar (-2)

se piensa como

De tal forma que (-2)

(+3)

quitar dos veces (+3)

= (-6)(+3)

cero

un (+3)

cero

un (+3)

(-6)

(-6)

Como se hará dado cuenta el lector aquí se debía tener un cero

suficientemente grande.

El último caso, es crucial, es el que siempre causa problemas con los

estudiantes:

Para multiplicar (-2)

se piensa como

De tal forma que (-2)

(-3)

quitar dos veces (-3)

= (+6)(-3)

cero

un (-3)

cero

un (-3)

(+6)

(+6)

Como se puede observar se constata sin problemas la famosa y

desprestigiada “regla de los signos”. Por otra parte las interpretaciones

usuales de gara y perder en este tipo de situaciones se vuelven verdaderos

trabalenguas, incluso en los casos anteriores donde hemos incorporado estas

interpretaciones el lector debería haber sentido repulsa o por lo menos una

sensación de mareo ante semejantes absurdos.

Nos quedamos con el manejo de las fichas que conforman los Bloques de

Dienes, para evitar introducir metáforas que a veces complican más la

situación.

69

69

La división de números enteros

La división de números enteros es un asunto que también resulta

complicado para los estudiantes, en parte por que se tiene que trabaja rde

nuevo la “regla de los signos”.

Veremos a continuación como los Bloques de Dienes nos puedes ayudar para

trabajar este tema.

Para ello consideremos las siguientes divisiones de números enteros:

(+2) (+3)

(+2) (-3)

(-2) (+3)

(-2) (-3)

Para efectuar dichas divisiones recordemos que esta operación se puede

manejar como la inversa de la multiplicación, en la que se “toma tantas

veces” un número (uno de los factores) según lo indique otro (el otro factor).

Es decir, la división se podrá interpretar como determinar “el número de

veces (el cociente) que se debe tomar” un número (el divisor) para obtener

otro dado (el dividendo).

Analicemos el primer caso:

Para dividir (+ 6)

se trata de encontrar el número de veces

De tal forma que (+6)

que hay que poner o quitar (+3)

Se pone una vez (+3)

Se pone dos veces (+3)

Una vez Dos veces

(+3)

(+3) = (+ 2)

Cero

Cero

Cero

para obtener (+6)

Como se observa poniendo dos veces

logramos obtener (+6)

(es decir (+2)) el divisor (+3)

El problema aquí es determinar silo que se tiene que hacer es “poner” o

“quitar” cierta cantidad, dado que esto determina el signo del resultado

(cociente), supongámonos que nos equivocamos y en vez de poner se inicia

quitando de un cero y veamos a que nos conduce esta decisión.

70

70

Para dividir (+ 6)

supongamos que se inicia

Por lo tanto, ésta no es una forma correcta de proceder

quitando (+3) una y otra vez

Se quita una vez (+3)

Se quita dos veces (+3)

(+3)

Cero

Como se observa esto no nos

conduce a obtener (+6)

Si se sigue al pie de la letra el procedimiento nos damos cuenta si vamos o

no en la dirección correcta, sin necesidad de aprenderse de memoria algunas

reglas.

Veamos lo que sucede en el segundo caso:

Para dividir (+ 6)

se piensa como el número de veces

De tal forma que (+6)

que hay que quitar o poner (-3)

Se quita una vez (-3)

(-3)

(-3) = (- 2)

Cero

para obtener (+6)

Si se pusiera varias veces (-3)

la parte negativa crecería

y no podríamos obtener (+6)

por tanto lo que hay que hacer es quitar varias veces (-3)

Se quita por segunda vez (-3) Se quitó dos veces (-3)

esto indica que el resultado es (-2)

Para el tercer caso tenemos:

71

71

Para dividir (- 6)

se piensa como el número de veces

De tal forma que (-6)

que hay que quitar o poner (+3)

Se quita una vez (+3)

(+3)

(+3) = (- 2)

Cero

para obtener (-6)

Si se pusiera varias veces (+3)

la parte positiva crecería

y no podríamos obtener (-6)

por tanto lo que hay que hacer es quitar varias veces (+3)

Se quita por segunda vez (+3) Se quitó dos veces (+3)

esto indsica que el resultado es (-2)

En el último caso procedemos como sigue:

Para dividir (- 6)

se piensa como el número de veces

De tal forma que (-6)

que hay que quitar o poner (-3)

Se pone una vez (-3)

(-3)

(-3) = (+ 2)

Cero

para obtener (-6)

Si se quitara varias veces (-3)

la parte positiva crecería

y no podríamos obtener (-6)

por tanto lo que hay que hacer es poner varias veces (-3)

Se pone por segunda vez (-3) Se puso dos veces (-3)

esto indica que el resultado es (+2)

Después de manejar a los números enteros de esta manera se les puede ir

induciendo a los estudiantes a que por sí mismos conjeturen el

comportamiento de los signos en las operaciones, hasta llegar a establecer

las reglas de los signos. Después de haber manejado a satisfacción los

números enteros con paréntesis se puede ilustrar como en algunos casos

éstos se pueden omitir sin perder claridad en lo que se hace, además de

aprovechar las reglas de los signos para suprimir de manera definitiva el

paréntesis.

Varios estudios se han hecho sobre la interpretación de los niños sobre los

los números enteros, lo que se ha encontrado es que están más relacionados

72

72

con la representación de estados o tranformaciones, es decir, comparaciones

(como “tienes más que” o “debes tanto a”) y modificaciones a situaciones

dadas (como lo es el “ganar” o “perder” o el “recibir” o “dar”), esto hace que

los niós se confundan sobre todo por que estas interpretaciones no son tan

frecuentes y diversas cuando se maneja solamente números naturales.

Esta pronlemática tiene que ver con la resolución de problemas que no es un

punto sonbre el cual se discute en este trabajo, pero conviene tenerla

presenta siempre que se desee manejar a los números enteros.

No obstante a los matemáticos de primera línea se les hacían números

extraños que no se tenían que aceptar. La comunidad matemática tardó

cientos de años para incorporarlos de manera definitiva al conocimiento

matemático.

No tratemos que los estudiantes los acepten en una o dos clases, sólo por

decirles quienes son, se requiere una preparación muy cuidadosa para

convencerlos de sus propiedades y lograr un manejo efectivo de este tipo de

números.

Los modelos como los del elevador o las temperaturas pueden ser de utilidad

para ciertos aspectos como la suma o la resta, pero no pueden ser aplicados

a otras operaciones con los enteros, esto confunde a los estudiantes quienes

tienden a utilizar o generalizar todo lo que se maneja en las clases, por ello

se ha propuesto el modelos de los Bloques de Dienes que guardan cierta

coherencia en el trabajo de los números enteros sobre todo asumiendo que se

utilizan también algunas propiedades y situaciones establecidas para los

números naturales.

73

73

Las fracciones

En la construcción formal de los números racionales Q, en el ámbito de la

teoría matemática, en particular de la teoría de conjuntos, se parte de

trabajar con el producto cartesiano Z(Z-{0}) en el cual se define una

relación de equivalencia:

(p,q) (r,s) si y solo si ps = rq

donde q y s son diferentes de cero, de tal forma que el conjunto de números

racionales Q es el conjunto cociente:

Q = Z(Z-{0}) /

lo cual tiene implicaciones importantes, porque en este sentido los

elementos de Q son clases de equivalencia, graficamente podemos observar

esto de la siguiente manera:

[1,2][0,0] [1,1]

1/20 1

(-3,3) (-2,3) (-1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3)

(-3,2) (-2,2) (-1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2)

(-3,1) (-2,1) (-1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1)

(-3,-1) (-2,-1) (-1,-1) (0,-1) (1,-1) (2,-1) (3,-1)

(-3,-2) (-2,-2) (-1,-2) (0,-2) (1,-2) (2,-2) (3,-2)

(-3,-3) (-2,-3) (-1,-3) (0,-3) (1,-3) (2,-3) (3,-3)

De esta forma vemos que los números racionales que conocemos son

denominaciones de las clases de equivalencia, representadas por franjas en

el diagrama anterior, de esta forma tenemos:

Miembros de la clase de equivalencia

Representante

de la clase de

equivalencia

Número

racional

asociado

74

74

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(-2,6) (2,-6) (-1,3) (1,-3) (-3,9) (3,-9) (-100,300) ... -1,3 -1/3

(-1,2) (1,-2) (-2,4) (2,-4) (4,-8) (-4,8) (-50,100) ... -1,2 -1/2

(-2,2) (2,-2) (-3,3) (3,-3) (4,-4) (5,-5) (-6,6) ... -1,1 -1

(0,1000) (0,1) (0,2) (0,3) (0,-4) (0,5) (0,-6) ... 0,1 0

(2,2) (12,12) (30,30) (13,13) (40,40) (55,55) ... 1,1 +1

(1,2) (10,20) (2,4) (22,44) (4,8) (-4,-8) (-5,-10) ... 1,2 +1/2

(2,6) (20,60) (1,3) (-1,-3) (-3,-9) (3,9) (100,300) ... 1,3 +1/3 .

.

.

.

.

.

.

.

.

En el contexto matemático los números racionales pueden ser interpretados

como clases de equivalencia, lo cual es importante considerar cuando se

trabaja con ellos.

Las fracciones surgieron como una necesidad para hablar de partes de un

total, al inicio sólo se manejaban fracciones senciallas como una mitad o un

tercio, posteriormente se fueron requiriendo otro tipo de fracciones y se

desarrolló una herramienta matemática que permitía su uso. Esto también

llevó cientos de años, no fue un proceso que se realizara de manera

espontánea.

Desafortunadamente, se considera que a los estudiantes les basta conocer

las reglas de operación de las fracciones para manejarlas adecuadamente,

por otra parte se realiza la enseñanza a partirde modelos como la recta

numérica, el del “pastel” y otros más que han resultado ser los más

complejos de manejar.

En lo que sigue vamos a manejar exclusivamente fracciones en colecciones

para constatar que los Bloques de Dienes pueden ser de utilidad también en

los desarrollos de este tipo de números, lo cual permitirá basarnos

exclusivamente en técnicas de conteo y no en conocimientos de medición o

de áreas como sucede con otros modelos.

Para el desarrollo de este apartado utilizaremos los cuadraditos de colores,

la interpretación que se da a cada uno de ellos se explicará en su momento.

Relación parte y total, fracciones equivalentes

Uno de los aspectos importantes en la enseñanza de las fracciones es que los

estudiantes entiendan al símbolo: a

b como un número, no como dos

números en un cierto arreglo.

Esto se puede trabajar de la siguiente manera:

Consideremos una colección de 24 cuadraditos:

75

75

La tercera parte de esta colección son 8 piezas:

TOTAL

TERCERA PARTE

1

3

8

24

Es decir, 8 de 24, representan la relación 1 de 3: 8

24

1

3

Si la colección fuera de doce fichas, tendríamos:

TOTAL

TERCERA PARTE

1

3

4

12

Esto es, 4 de 12, representan la relación 1 de 3: 4

12

1

3

Ahora, si la colección fuera de 6 objetos, se tendría:

TOTAL

TERCERA PARTE

1

3

2

6

De ahí que también la relación 2 de 6 representa la tercera parte: 2

6

1

3

De esta forma hemos cosntatado que:

76

76

3824

1=

412

=26

=

Esto es, la misma relación entre una parte y un total, puede ser

representada por diferentes formas:

Con lo cual se muestra que “la tercera parte” es una noción que se refiere a

una situación genérica y que se puede representar de diversas maneras.

Esto permite dar un sentido y resaltar la equivalencia de fracciones.

Se pueden realizar actividades en las que los estudiantes se enfrenten con

colecciones que no pueden dividirse de manera exacta, lo cual ayuda a

repasar temas como los referidos a múltiplos y divisores de un número

entero.

Por otra parte se puede analizar cuando es posible que con una colección se

puedan separar dos partes diferentes dadas, como sería el caso de tercios y

los quintos:

Admite terceras partes

Admite quintas partes

Admite

terceras

partes

Admite

quintas

partes

En símbolos podríamos decir que esta situación se identifica cuando se el

mismo denominador:

77

77

326

1=

39

=412

=

5210

1=

315

=4

20=

515

=

5=

25Esto permitirá encotrar reglas como la de fijarse en el mínimo común

múltiplo que en algunos casos resulta ser el producto de los números

considerados.

Adición de fracciones

Lo anterior se puede aprovechar para la suma de fracciones, consideremos

nuevamente una colección de 24 objetos y señalaremos la suma de una

mitad más una tercera parte:

312

1+

241224

8+=

20=

24

Como vemos el resultado se encontró solamente contando y sin ningún

problema.

Si la colección consistiera de doce objetos se tendría:

78

78

312

1+

126

124

+=10

=12

Nuevamente el resultado se puede encontrar sñolo contando, no existe

ninguna dificultad adicional.

Si la colección consistiera de seis objetos se tendría:

312

1+

636

2+=

5=

6

Si la colección consistiera de tres objetos no se podría realizar esta operación

sin cortar uno de los cuadritos, esto nos ayudaría a reconocer que se debe

utilizar en la suma los menores denominadores posibles y el uso de

denominadores comúnes además de que este puede obtenerse con la

multiplicación de los denominadores. El algoritmo para sumar fracciones

surge de manera inmediata, sin problemas ni actos de fe, absolutamente

prohibidos en matemáticas.

Veamos otro ejemplo, sumar un tercio con un quinto. Apoyados en lo

realizado con anterioridad vemos que una colección de quince objetos sirve

muy bien para nuestros propósitos:

79

79

315

1+

153

155

+=8

=15

Esto puede aplicarse en caso de que el resultado sea mayor que la unidad,

por ejemplo, para efectuar la suma de dos tercios más tres cuartos:

334

2+

Tenemos que representar esta situación con una colección que sea

susceptible de dividirse en tercios y cuartos de manera simultánea, esto nos

conduciría a analizar varios casos, una de tres, una de cuatro, una de seis,

una de ocho y así hasta ver que la adecuada esla de doce:

334

2+

128

+= ...

Se podrían separa de una colección de doce los dos tercios pero faltarian

fichas para separar los tres cuartos, por ello nos veremos en la necesidad de

tomar otra unidad o sea otros doce cuaditos:

80

80

334

2+

129

128

+=

Por lo tanto el resultado sería 17 de los cuadritos, de una unidad de doce, lo

cual es razonable porque requerimos de tomar otra unidad, así que el

resultado es una unidad más cinco doceavos:

334

2+

129

128

+=17

=12

5=

121

Todos los problemas catastróficos con las fracciones se pueden resolver

contando, el único aspecto por considerar es que las fracciones que se

manejan estén en las mismas unidades, lo cual es natural, recordemos que

si sumaramos: 2m + 3m el resultado sin dudar sería 5m, si consideramos

unidades de peso 2Kg + 3 Kg = 5 Kg, entonces por uqe no anticipar que:

8 doceavos + 9 doceavos = 17 doceavos

Es decir la palabra “doceavos” esta siendo interpretada como una unidad de

medida.

Diferencia de fracciones

Para restar fracciones se procede de la isma manera que la suma de

fracciones. Consideremos otra vez una colección de 24 objetos y señalaremos

la resta de una mitad menos una tercera parte:

81

81

213

1 -24

824

12=

4=

24

mitadtercio

-

Contando se volvió a encontrar el resultado.

Si la colección consistiera de doce objetos se tendría:

213

1-

124

126

-=2

=12

Nuevamente el resultado se puede encontrar sólo contando, no existe

ninguna dificultad adicional.

Si la colección consistiera de seis objetos se tendría:

213

1-

626

3+=

1=

6

Reconocemos de nuevo la necesidad de utilizar los menores denominadores

posibles y el uso de denominadores comúnes. El algoritmo para restar

fracciones emerge inmediatamente.

82

82

Como se dijo con anterioridad, resulta inmediato que 2m + 3m = 5m o en

otro caso 2Kg + 3 Kg = 5 Kg, entonces por que no pensar los denominadores

comúnes como unidades de medida, de hecholo son:

11 doceavos + 7 doceavos = 4 doceavos

Multiplicación de fracciones

Llegamos ahora a un punto interesante que es el de la multiplicación de

fracciones. Consideremos para esta sección al producto de dos números como

el área de un rectángulo, como ya se utilizó con anterioridad.

Iniciemos nuestra discusión con la multiplicación: 1

2

1

3

Para ello consideremos un rectángulo con lados en los que se de la relación

expresada en los factores:

1/3

1/21/3

1/2

Luego se completa el rectángulo

con cuadros blancos

En un lado se marca un medio y en el otro un tercio, al completar el

rectángulo se observa que el área obscura es 1/6 del total, por lo tanto:

1

2

1

3

1

6

Veamos otro ejemplo 2

3

4

5

2/3

4/5

Luego se completa el rectángulo

con cuadros blancos y obscuros

2/3

4/5

según corresponda

Por tanto: 2

3

4

5

8

15

Con estas ideas el algoritmo salta a la vista. Cabe mencionar que en el caso

de la suma y la resta de fracciones se procedia a transformar las cantidades

83

83

que se tenían con el mismo denominador y por tanto lo que se hacía era

operar solamente los numeradores conservando el mismo denominador.

2

3

4

5

10

15

12

15

22

15 o

4

5

2

3

12

15

10

15

2

15

lo cual se asemejaba a decir:

10 m + 12 m = 22 m o 12 m - 10 m = 2m

10 Kg + 12 Kg = 22 Kg o 12 Kg - 10 Kg = 2Kg

10 quinceavos + 12 quinceavos = 22 quinceavos o

12 quinceavos - 10 quinceavos = 2 quinceavos

En el caso de la multiplicación ¿esto podría hacerse?

Si, en efecto, recordemos que

10 m 12 m = 22 m2

10 ft 12 ft = 22 ft2

3 quinceavos 5 quinceavos = 15 quinceavos2

Veamos que si se puede hacer así:

1

5

1

3

3

15

5

15

15

152

Entonces parece perfilarse como regla general que si se suman, restan o

multiplican fracciones se puede transformar cada elemento de la operación

al mismo denominador y sólo operar los numeradores, cuidando dar el

tratamiento adecuado a las unidades que se estén manejando y que están

representadas por el denominador común.

División de fracciones

Después de lo anterior no resulta difícil considerar a la división como una

operación invesrsa de la multiplicación. Por lo cual tenemos que encontrar

un lado de un rectángulo del cual sabemos el área total (dividendo) y uno de

los lados (divisor). Veamos algunos ejemplos:

1

6

1

3

84

84

1/3

1/6

1/3

1/6

Luego se completa el rectángulo

con cuadros blancos

1/2

Por tanto: 1

6

1

3

1

2

Veamos otro ejemplo 8

15

2

3

2/3

8/15

Luego se completa el rectángulo

con cuadros blancos y obscuros

2/3

4/5

según corresponda

8/15

Por tanto: 8

15

2

3

4

5

En el caso de la división ¿podría hacerse como si se manejaran unidades?

Si, en efecto, recordemos que

10 m 5 m = 2

36 ft 12 ft = 3

¿36 veinticuatravos 12 veinticuatravos = 36 12 = 3?

Veamos que si se puede hacer así:

9

6

2

4

36

24

12

24

36

12

Entonces, sin duda, sólo hay un algoritmo para realizar operaciones con

fracciones:

Transformar cada elemento de la operación al mismo denominador y sólo

operar los numeradores, considerando a los denominadores como unidades y

sujetándose a las reglas para éstas.

ALGORITMOS ANALOGÍAS

85

85

a

b

c

d

ad

bd

cb

bd

ad cb

bd

a

b

c

d

ad

bd

cb

bd

ad cb

bd

a

b

c

d

ad

bd

cb

bd

ad cb

bd

2

a

b

c

d

ad

bd

cb

bd

ad

cb

ad m + cb m = (ad + cb) m

ad m - cb m = (ad - cb) m

ad m cb m = (ad cb) m

ad m cb m = (ad cb)

86

86

Bibliografía:

Dienes, Z (1972); Algebra; Varazán

Howden, H.; Algebra Tiles for the Overhead Projector; Cuisenaire

Dreyfous, R.; Algebloks, user´s manual; Dreyfous & Assoc.