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Electricidad y magnetismo

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  • 1

    1. FUERZA ELCTRICA

    PROBLEMA 1. Dos cargas puntuales de magnitudes +q y +4q , se encuentran separadas a

    una distancia l . Una tercera carga se coloca de tal manera, que las cargas quedan en equili-brio por efecto slo de fuerzas elctricas.

    (a) Encontrar la ubicacin, magnitud y signo de la tercera carga.

    (b) Examinar si acaso el equilibro es estable.

    SOLUCIN

    (a) Las fuerzas entre las cargas +q y +4q son un par de accin reaccin como se indica

    en el diagrama.

    +q

    r1F

    +4q

    -r1F

    Para lograr el equilibrio de +q se requiere aplicarle una fuerza adicional del valor -r1F , de mo-

    do que la fuerza neta sobre ella sea nula.

    +q

    r1F -

    r1F

    Anlogamente, para lograr el equilibrio de +4q se requiere aplicarle una fuerza adicional

    del valor +r1F .

    +r1F

    +4q

    -r1F

    Los dos requerimientos anteriores pueden lograrse con una carga negativa ubicada

    entre las cargas +q y +4q , ya que ambas sern atradas por una carga negativa. A su

    vez, la carga negativa ser atrada por las cargas +q y +4q , con fuerzas de valor +r1F y

  • 2 Electromagnetismo Problemas y Soluciones

    -r1F respectivamente, quedando en equilibrio. El siguiente diagrama muestra las fuerzas

    sobre la carga -Q :

    -Q

    r1F -

    r1F

    Todas las fuerzas involucradas son de igual magnitud. La distancia entre +q y -Q la llama-

    remos a , como se indica en el diagrama siguiente :

    - Q

    l

    +qa

    +4q

    La magnitud de la fuerza entre +q y +4q es : = g l2

    1 2

    4c

    qF k .

    La magnitud de la fuerza entre +q y -Q es : = g1 2cqQF ka

    .

    La magnitud de la fuerza entre +4q y -Q es : ( )

    =-

    gl1 24

    cqQF k

    a .

    Luego, para el equilibrio de +q se requiere : =g gl2

    2 2

    4c c

    q qQk k

    a

    y el equilibrio de +4q requiere que : ( )

    =-

    g gl l2

    2 2

    4 4c c

    q qQk k

    a .

    De las ecuaciones de equilibrio se obtienen las soluciones para Q y a . Puesto que el lado

    izquierdo de ambas ecuaciones es el mismo, igualando entre s las expresiones del lado dere-

    cho, se obtiene ( )= -l 224a a .

    Resolviendo, se encuentra que = l3

    a .

    Sustituyendo el valor de a en una de las ecuaciones de equilibrio se obtiene que :

    = 49

    Q q .

  • 1. Fuerza Elctrica 3

    Puesto que la carga buscada es de signo negativo, hemos obtenido lo siguiente:

    - 49

    q

    2aa

    +q +4q

    (b) Un pequeo desplazamiento de la carga -Q hacia el lado derecho, hace que aumente la

    fuerza de atraccin hacia +4q y que disminuya la fuerza de atraccin hacia +q . El resultado

    es una fuerza neta hacia +4q que saca a la carga -Q de su posicin de equilibrio. Algo seme-

    jante ocurre si -Q se desplaza inicialmente hacia el lado izquierdo. En consecuencia, el equi-

    librio de la carga -Q es inestable.

    PROBLEMA 2. Dos cargas puntuales positivas y de igual magnitud, estn separadas una dis-

    tancia 2a . Una carga puntual de prueba se sita en un plano que es perpendicular a la lnea

    que une esas cargas y simtrico respecto a ellas.

    (a) Calcular el radio r del crculo de simetra en este plano, para el cual la fuerza sobre la

    carga de prueba tiene magnitud mxima.

    (b) Cul es la direccin de esta fuerza, considerando que la carga de prueba es positiva?

  • 4 Electromagnetismo Problemas y Soluciones

    SOLUCIN

    Consideremos que las cargas son de magnitudes q y 0q , y examinemos las fuerzas

    sobre 0q .

    r1F

    r2F

    rF

    a

    a

    0q

    q q

    y

    aa

    r1F y

    r2F son de igual magnitud : =1 2F F .

    pe

    =+gg 01 2 2

    0

    14

    q qF

    a y .

    Las componentes de r1F y

    r2F que son perpendiculares al plano, se anulan.

    Luego, a= g12F F sen , ya que las componentes de r1F y

    r2F paralelas al plano se

    suman. Es decir,

    ( )pe

    =+

    g gg 0 32 2 20

    24

    q q yF

    a y pues

    ( )a =

    +1

    2 2 2

    ysena y

    .

    F es funcin de y , de acuerdo a la relacin anterior.

  • 1. Fuerza Elctrica 5

    Grficamente :

    En =y r , F es mximo y para encontrar el valor de r se har = 0dFdy

    . Pues-

    to que:

    ( ) ( )pe pe = + - + +

    g g g g2

    0 03 5

    2 2 2 22 20 0

    2 322 2

    q q q q ydFdy a y a y

    ,

    debe resolverse,

    ( )pe - = + +

    g g2

    03 2 2

    2 2 20

    31 02

    q q ya ya y

    .

    La solucin buscada se obtiene de :

    - =+

    2

    2 2

    31 0ya y

    , cuya solucin es : = 2

    ay .

    Luego, el radio r es : =2

    ar .

    La fuerza rF es paralela al plano perpendicular a la lnea que une las cargas q , segn la figu-

    ra al inicio de la solucin presentada.

  • 6 Electromagnetismo Problemas y Soluciones

    PROBLEMA 3. En cada uno de los vrtices de un

    cubo de lado a , se coloca una carga puntual +q .

    Calcular la fuerza electrosttica resultante sobre

    una de las cargas.

    5

    aa

    6

    78

    4 3

    21a

    SOLUCIN

    Observe que, en este caso, lo ms

    adecuado es aplicar directamente la expre-

    sin vectorial :

    ( )pe

    = --

    r r rgg gr r11 130 1

    14

    ii i

    i

    q qF r r

    r r ,

    ( )-r r1 ir r

    1q r1iF

    r1r

    0

    z

    xy

    rir

    iq

    para la fuerza producida por la partcula i sobre la partcula 1. En tal expresin r1r y

    rir son

    los vectores posicin de las cargas 1 e i respectivamente. Aplicando el principio de super-

    posicin, la fuerza resultante sobre la carga 1 ser igual a :

    ( )pe= =

    = = --

    r r r rgg gr r

    8 81

    1 1 1302 2 1

    14

    ii i

    i i i

    q qF F r r

    r r

    Indudablemente, el resultado no depender del sistema

    de coordenadas utilizado, por lo que podemos elegir uno

    que simplifique lo ms posible los clculos; as por ejem-

    plo, podemos ubicar el origen del sistema en la carga 1

    y los ejes coincidiendo con los lados del cubo, como se

    indica en la figura.

    z

    x

    y6

    78

    5

    4 3

    21

  • 1. Fuerza Elctrica 7

    En este sistema los vectores posicin son:

    = =

    = = +

    = + = + +

    = = +

    r rr rr rr r

    1 5

    2 6

    3 7

    4 8

    0

    r r a k

    r a i r a i ak

    r a i a j r a i a j ak

    r a j r a j ak

    Reemplazando estos valores, la expresin para la fuerza se reduce a :

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    pe

    - - - - -= + + + +

    - - - - - - - + + +

    rg

    2

    1 3 3 3 30

    3 3 3

    4 2

    2 3 2

    a i a i a j a j akqFa a aa

    a i ak a i a j ak a j ak

    a a a

    Factorizando ( )21 a y agrupando los coeficientes de los vectores unitarios, obtenemos la expresin :

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pe

    - = + + + + + + + +

    rg

    2

    1 3 3 3 3 3 30

    2 1 2 1 2 1 1 1 14 2 3 2 3 2 3

    qF i j k

    El factor numrico ( ) ( )( )+ +3 31 2 2 1 3 es aproximadamente igual a 1,900 . Esto nos da una expresin para

    r1F :

    ( )e= - + +r 21 2

    0

    0,151 qF i j ka

    .

    Obsrvese que el vector est dirigido a lo largo de

    la diagonal del cubo y que su magnitud es igual a :

    e e= =

    rg

    2 2

    1 2 20 0

    0,151 3 0,262q qFa a

    . 7

    5 8

    6

    1 4

    2 3r1F

    z

    x

    y

    Examinar la posibilidad de resolver este problema mediante otros mtodos.

  • 8 Electromagnetismo Problemas y Soluciones

    PROBLEMA 4. Determinar la fuerza elctrica sobre la

    carga puntual 0q de la figura, que se encuentra en el

    eje de un anillo de radio R y carga total Q distribuida

    uniformemente. 0q

    a

    lR

    SOLUCIN

    R

    x

    q

    aa

    rdF

    r

    z

    y

    a

    dq

    dl

    El elemento de carga dq produce una fuerza r

    dF de magnitud :

    pe

    = g02

    04q dqdF

    r .

    rdF tiene componentes xdF , ydF y zdF ; sin embargo la fuerza resultante slo tiene com-

    ponente zF , ya que = = 0x yF F en virtud de la simetra del anillo en relacin a la ubicacin

    de 0q , y a la eleccin del sistema de coordenadas.

    ape

    = = g g02

    0

    cos4z

    q dq adF dFrr

    ,

    adems : l q qp p

    = = =g l g g2 2Q Qdq d Rd d

    R .

    Luego, la nica variable involucrada en zdF es q , ya que 0, , ,r Q q a y e0 son constantes.

  • 1. Fuerza Elctrica 9

    Entonces, p

    qpe p pe

    = =g g2

    0 03 3

    0 004 2 4zq Q q Qaa

    F dr r

    . Puesto que = +2 2 2r R a , el re-

    sultado queda :

    ( )pe

    =+

    03

    2 2 204

    z

    q QaF

    R a .

    PROBLEMA 5. En el problema anterior, reemplazar el anillo cargado por un disco cargado uni-

    formemente, con carga total Q y de radio R . Hallar la fuerza sobre una carga puntual 0q

    colocada sobre el eje del anillo.

    SOLUCIN

    El disco puede considerarse formado por una infinidad de anillos muy delgados, de dife-

    rentes radios. Esto permite aprovechar el resultado anterior, utilizndose como punto de parti-

    da, despus de hacer